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2006/2007 ISEC - Licenciatura SHT - Fsica I

Grandezas Vectoriais

Clculo Vectorial

ISEC - Lic. SHT - Fsica I Clculo Vectorial 1

Grandezas Escalares, Grandezas Vectoriais

Grandezas escalares so grandezas fsicas que ficam completamente determinadas por um

nmero e a correspondente unidade de medida - a medida da grandeza.

Grandezas vectoriais so grandezas fsicas que s ficam completamente determinadas

quando se indica, alm da medida da grandeza (o valor numrico e a unidade em que se

exprime), a direco e sentido da grandeza.

Exemplos:

Grandezas escalares: massa, temperatura, comprimento, rea, densidade, energia

Grandezas vectoriais: velocidade, deslocamento, acelerao, fora, campos

Vectores - Definies bsicas

Um vectorlivre uma entidade matemtica caracterizada por:

uma direco

um sentido

um comprimento

Os vectores normalmente designam-se por letras com um vector por cima:

por exemplo:

o vector nulo tem comprimento nulo, direco e sentidos indeterminados; representa-se por

Um vector livre no depende do ponto de aplicao e a linha de aco qualquer recta de

um mesmo feixe de rectas paralelas.

r

u

r

u

r

ur

u

r

u,

r

v,

r

wr

0

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Vectores - Adio de vectores

Para somar dois vectores, coloca-se a ponta inicial

(a ponta sem seta) do vector coincidente com a ponta final (a ponta com seta) do

vector e desenha-se o vector soma com incio na ponta inicial de

e fim na ponta final de :

A soma de vectores comutativa, , logo

indiferente qual o primeiro e qual o segundo vector que se

desenha. O desenho abaixo equivalente ao desenho de cima:

r

a e

r

b

r

b

r

a

r

a +

r

b =

r

b +r

a

r

a

r

brc =

r

a +

r

b

r

ar

b

r

a

r

br

c =r

a +

r

b

r

a

r

b

r

br

c =r

a +

r

br

a

r

a

r

b

r

c =r

a +

r

b

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Vectores - Adio de vectores

Mais exemplos de soma de vectores:

Quando os vectores tm a mesma origem aplica-se a regra do paralelogramo:

A diferena entre dois vectores, a soma

de com o simtrico de :

r

a

r

d

r

e =r

a +

r

d

r

a

r

fr

g =r

a +r

f

r

a "

r

dr

h =r

a -

r

d

r

a

r

dr

f

r

a

r

fr

fr

a

r

g =r

a +r

f

r

a "

r

dr

dr

a r

a "

r

d=r

a + "

r

d( )

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Vectores - Adio de vectores

Chama-se resultante ao vector soma de vectores. Quando queremos somar mais que dois

vectores podemos p-los todos uns a seguir aos outros como a figura mostra; o vector

resultante tem incio no incio do primeiro vector e a extremidade final na extremidade

final do ltimo vector:

r

a

r

b

r

cr

d

r

e

r

f

r

r =r

a +r

b +r

c +r

d+r

e +r

f

r

b

r

f

r

c

r

d

r

e

r

a

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Vectores - Adio de vectores

Podemos fazer uso das propriedade comutativa da adio:

e da propriedade associativa da adio:

O vector resultante nestas configuraes idntico ao da pgina anterior:

r

a +

r

b =

r

b +r

a

r

a +

r

b +r

c =r

a +

r

b( ) +r

c =r

a +

r

b +r

c( )

r

b

r

f

r

cr

d

r

e

r

a

r

a

r

b

r

c

r

d

r

e

r

f

r

r =r

a +

r

b +r

c +

r

d+r

e +

r

f

=

r

b +r

a +r

c +r

e +r

d+r

f

=

r

b +r

a( ) +r

c +r

e( ) +r

d+r

f( )

r

r =r

b +r

a( ) +r

c +r

e( ) +r

d+r

f( )

r

d+r

f

r

c +

r

e

r

b +r

a

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Vectores - Multiplicao de um n real por um vector

Se multiplicarmos um vector por um nmero real kobtemos um novo vector, , com:

a direco de

sentido de se k> 0 e sentido oposto a sek< 0

comprimento igual ao comprimento de multiplicado por!k! se k= 0 ou ento

representa o vector nulo: tem comprimento nulo, direco e sentidos indeterminados

r

u kr

u

r

u =

r

0 kr

u =

r

0

r

ur

u

r

ur

u

r

u

3r

u

-2r

u

r

0

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Vectores - Propriedades das operaes

Propriedades da adio de vectores

Comutativa

Associativa

Elemento neutro

Elemento simtrico

Propriedades da multiplicao de um vector por um nmero real

r

u +

r

v =

r

v +

r

u, "r

u,

r

v

r

u +

r

v( )+r

w =

r

u +

r

v +

r

w( ), "r

u,

r

v,

r

w

r

u +

r

0 =

r

0+

r

u =

r

u, "

r

u

r

u + "r

u( ) = "r

u( )+r

u =

r

0, #r

u

1"r

u =

r

u "1=

r

u

,#r

ukr

u +r

v

( )= k

r

u + kr

v, "k# R, "r

u,r

v

k" j( )r

u = k jr

u( ), #k,j$ R, #r

uk+ j( )r

u = kr

u + jr

u, "k,j# R, "r

u