2.7. sisteme cu răspuns la impuls în timp finit. · efectul recursivităţii constă în faptul...

Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I - 2014/2015 87

§.2.7. Sisteme cu răspuns la impuls în timp finit. Un sistem în timp discret al cărui răspuns la impuls {h[t]}tZ are un număr finit de valori nenule se numeşte sistem cu răspuns la impuls în timp finit sau sistem de tip FIR (Finite Impulse Response).

Restrângem discuţia la sistemele liniare cauzale, caracterizate de faptul că h[t] = 0, t < 0. Fie, în acest caz, t f{h[t]} {h[0], h[1], , h[t ], 0, 0, } N răspunsul la impuls al sistemului de tip FIR. Transformata z a acestui semnal este

ft1fh(z) h[0] h[1] z h[t ] z . (2.92)

Ea este convergentă în întreg planul „ z ” fiindcă suma are un număr finit de termeni nenuli. În acelaşi timp, potrivit rel. (2.6) h(z) este şi f.d.t. H(z) a sistemului de ordinul tf care furnizează răspunsul {h[t]}tN. Deci:

f ff

f

t t 1t1 f

f th[0] z h[1] z h[t ]H(z) h[0] h[1] z h[t ] z

z

. (2.93)

Răspunsul sistemului cu f.d.t. H(z) la un semnal de intrare oarecare având transfor-mata z: u(z), se obţine cu formula

ft1fy(z) H(z) u(z) h[0] u(z) h[1] z u(z) h[t ] z u(z) . (2.94)

În domeniul timp relaţiei (2.94) îi corespunde MM-II

f fy[t] h[0] u[t] h[1] u[t 1] h[t ] u[t t ] . (2.95)

Celor două relații le corespunde schema din Fig. 56 numită schema bloc a unui sistem de tip FIR. Pe calea de sus se arată modul în care prin întârzierea lui u[t], pas cu pas se obțin valorile u[t-1], ..., u[t-tf]. Pe calea de jos se arată modul în care se obțin și se însumează termenii ce intră în componența lui y[t]. Trăsătura distinctivă a structurii de tip FIR este lipsa conexiunii cu reacţie.

Spre deosebire de sistemele de forma

]nt[ub]1nt[ub]1t[ub]t[ub ]nt[ya]1nt[ya]1t[ya]t[ya

011nn

011nn

, (2.96)

care conţin în membrul stâng cel puţin doi termeni referitori la y, reprezentând astfel o ecuaţie recursivă, modelul (2.95) nu conține decât un singur termen, astfel că nu reprezintă o ecuaţie recursivă.

Efectul recursivităţii constă în faptul că răspunsul la impuls conţine un număr infinit de valori nenule; nu mai este un răspuns în timp finit. De aceea modelele cu ecuaţii recursive sunt denumite şi sisteme cu răspuns la impuls în timp infinit sau sisteme de tip IIR (Infinite Impulse Response). Trăsătura distinctivă a structurii unui sistem de tip IIR este prezenţa conexiunii cu reacţie.

Exemplul: i) Să se calculeze răspunsul la impuls unitar {h1[t]}tN al STD cu f.d.t. 2

1 23zH (z)

z 1.4z 0.48

. Să se arate că sistemul este de tip IIR. ii) Să se determine f.d.t. H2(z)

a sistemului de tip FIR care, prin răspunsul său la impulsunitar {h2[t]}, t=0;4, reproduce

Fig. 56. Schema bloc a sistemului de tip FIR care generează semnalul y[t] cu transformata z (2.95).

88 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I - 2013/2014 secvenţa {h1[t]}t=0;4. Să se construiască schema bloc a acestui sistem. iii) Să se arate că răspunsul sistemului de tip FIR de la punctul ii), pentru semnalul de intrare

1, t {0,3}u[t] 2, t {1, 2}

0 în rest

, este un semnal în timp finit.

Soluţie: i) Transformata z a răspunsului la impuls unitar al STD cu f.d.t. H1(z) este

2

1 1 13zh (z) H (z) (z) H (z) 1

(z 0.6)(z 0.8)

3z z zh (z) z 12 9

(z 0.6)(z 0.8) z 0.8 z 0.6

.

Rezultă t t

1h [t]=12 0.8 -9 0.6 , t N .

Se observă că {h1[t]}tN are un număr infinit de termeni nenuli. Deci H1(z) corespunde unui sistem de tip IIR.

Notă: Faptul că H1(z) corespunde unui sistem de tip IIR rezultă şi din egalitatea

y(z) = H1(z)u(z),

care conduce la

-1 -23y(z) = u(z)

1-1.4z + 0.48z (*),

respectiv la MM-II

y[t] 1.4 y[t 1] 0.48 y[t 2] 3 u[t] (**)

Sau

u[t]32]y[t0.481]y[t1.4y[t] (***).

Relaţiilor (*) şi (**) le corespunde schema bloc din Fig. 57a de mai jos. Ea poate fi reprezentată şi sub forma din Fig. 57b. Prezenţa conexiunii cu reacţie în aceste scheme indică caracterul de IIR al sistemului. Răspunsul la impuls {h1[t]}tN este ilustrat în Fig.57c.

.

ii) Din expresia lui h1[t] rezultă succesiv: h2[0] = h1[0] = 3, h2[1] = h1[1] = 4.2, h2[2] = h1[2] = 4.44, h2[3] = h1[3] = 4.2, h2[4] = h1[4] = 3.7488 (v. Fig. 58a). În consecinţă,

Fig. 57. Schema bloc a siste-mului cu f.d.t. H1(z) (a, b) și

răspunsul la impuls unitar al acestuia (c).


1 2 3 4 5 62 1 1 1 1 1h (z) h [0] h [1] z h [2] z h [3] z h [4] z 0 z 0 z ,

iar sistemul de tip FIR are f.d.t. 1 2 3 42H (z) 3 4.2 z 4.44 z 4.2 z 3.7488 z și schema bloc

din Fig. 58c.

iii) Potrivit relaţiei (2.95) pentru sistemul de tip FIR este valabil MM-II

y[t] 3 u[t] 4.2 u[t 1] 4.44 u[t 2] 4.2 u[t 3] 3.7488 u[t 4] .

Atunci, răspunsul sistemului pentru semnalul de intrare precizat în enunţ:

u[0] = 1, u[1] = 1, u[2] = 2, u[3] = 2, u[4] = 1, u[k] = 0, k > 5,

este

y[0] = 3, y[3] = 24.48, y[6] = 11.69768, y[1] = 10.2, y[4] = 25.22884, y[7] = 3.74884, y[2] = 18.84, y[5] = 20.33768, y[k] = 0, k > 8.

Răspunsul este ilustrat în Fig. 58b.

În general, dacă semnalul aplicat la intrarea unui sistem de tip FIR de ordinul tf are ultima valoare nenulă la momentul t = tu, atunci răspunsul sistemului la acel semnal se anulează şi el începând cu momentul ty = tu + tf + 1. Sistemele de tip FIR sunt utilizate în multe domenii. Un exemplu îl reprezintă sistemele de predicție. Fig. 59 ilustrează un sistem de predicție P într-un singur pas. Funcția lui este de a estima valoarea mărimii de ieșire y, a unui sistem cu orientarea u → y, la momentul t+1, notată cu ŷ[t+1] din valori măsurate ale mărimii de intrare și de ieșire {u[t], u[t-1], …, u[t-nu+1]} și {y[t], y[t-1], …, y[t-ny+1]}.1)

În cazul liniar:

]1[]1[][]1[]1[][]1[ 110110 unyn ntututuntytytytyyy

.

Este ușor de observat că această relație este de forma (2.95) întrucât cele două siruri de valori au rolul de mărimi de intrare. Identificarea unui model de predicție constă în determinarea rangurilor nu și ny și a coeficienților și

un0,ii}{ și yn0,jj}{ . Odată

stabilite rangurile, coeficienții se determină astfel încât eroarea de predicție (ŷ[k+1]- y[k+1]) să fie minimă.

1) Evident, estimarea lui ŷ[t+1] se face pentru a utiliza valoarea obținută înaintea momentului t+1 la care valoarea lui y va fi din nou măsurată.

Fig. 58. Răspunsul la impuls al sistemului cu f.d.t. H2(z) (a), răspunsul sistemului la semnalul de intrare dat

prin enunț (b) și schema bloc a sistemului (c).

90 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I - 2013/2014

În practică se operează și cu modele de predicție în mai mulți pași. Ele pot fi realizate în diferite variante care diferă prin volumul de date memorate și resursele folosite pentru memorare și prelucrare. În Fig. 60 este ilustrată schema bloc a unui sistem de predicție în 2 pași. Ea utilizează două blocuri de predicție BP1 și BP2, de tipul celui din figura anterioară. Structura blocului BP2 este mai simplă decât a blocului BP1. Rolul sistemului cu două blocuri de predicție este de a furniza valoarea lui ŷ[k+2]

astfel încât eroarea de predicție ŷ[k+2]- y[k+2] să fie minimă. Diferența ŷ[k+1]- y[k+1] nu face obiectul minimizării, iar ca urmare valoarea ŷ[k+1] nu mai reprezintă o estimată corectă a lui y[k+1]. §.2.8. Elemente de transfer liniare tipizate Denumirea de elemente de transfer liniare tipizate se referă la mai multe sisteme liniare, cu f.d.t. simple, care apar frecvent în aplicaţii ca modele ale unor subsisteme fizice 2). Utilizarea lor frecventă a făcut necesară cunoaşterea lor detaliată, ccea ce permite “modularizarea raţionamentelor” şi intuirea facilă a interacţiunilor care au loc în sisteme.

Principalele elemente de transfer tipizate (ET) sunt:

1°. ET-P - elementul de transfer proporţional 2°. ET-I - elementul de transfer integrator 3°. ET-D - elementul de transfer derivator 4°. ET-Tm - elementul de transfer cu timp mort 5°. ET-PT1 - elementul de transfer proporţional cu temporizare de ordinul 1 6°. ET-DT1 - elementul de transfer derivator cu temporizare de ordinul 1

2) În cazul sistemelor de reglare elementele de transfer tipizate se utilizează pentru modelarea tuturor părţilor componente: procesele conduse, elementele de execuţie, de măsurare şi regulatoarele.

u[t]

ŷ[t+1] u[t-1]

u[t-nu+1]

y[t] y[t-ny+1]

P

Fig. 59. Schemă bloc a unui sistem de predicție într-un pas.

Fig. 60. Predictor în doi pași realizat prin înserierea a două blocuri de predicție într-un singur pas.

u[k]

y [k+1]

BP1

u[k-1]

u[k-nu+1]

y[k] y[k-ny+1]

BP2

y [k+2]

u[k+1]


7°.ET-PI - elementul de transfer proporţional-integrator 8°. ET-PD - elementul de transfer proporţional-derivator 9°. ET-PDT1 - elementul de transfer proporţional-derivator cu temporizare de

ordinul 1 10°.ET-PID - elementul de transfer proporţional-integrator-derivator 11°.ET-PT2 - elementul de transfer proporţional cu temporizare de ordinul 2.

În tabelul de mai jos se prezintă pentru fiecare dintre aceste elemente de transfer: MM – II, expresia răspunsului indicial )t(y şi simbolizarea ET în schemele bloc. În expresiile MM – II, din cea de a doua coloană, cu excepţia ET – Tm, s-a omis scrierea argumentului t (timp).

Privind denumirile şi simbolizările din tabel trebuie reţinute următoarele precizări:

Denumirile parametrilor care apar în MM - II sunt: KP, KI, KD – amplificări ale componentelor P (proporţională), I (integratoare), D (derivatoare), T, T1, T2 – constante de timp, - coeficient de amortizare.

Denumirile elementelor de transfer se formează astfel:

Tipul P (proporţional), I (integrator) şi D (derivator) sunt date de membrul drept al MM – II, precizând componentele introduse de mărimea de intrare u.

Ordinul temporizării – I, II ş.a.m.d. – este dat de ordinul de derivare al mărimii de ieşire y.

ET cu componentă derivatoare sunt numite adeseori elemente anticipative. De exemplu ET-PDT1 este numit, de la caz la caz, element cu anticipare-întârziere

( TKK

P

D ) sau element cu întârziere-anticipare ( TKK

P

D ).

Simbolizările din tabel reproduc în interiorul blocului răspunsul indicial al ET, iar deasupra blocului reţin parametrii ET. 3)

Elemente de transfer tipizate

Elementul de

transfer (abreviere)

MM – II al ET ______________

F.d.t.

Răspunsul indicial )t(y , t > 0

Simbolizare prin răspuns

indicial

ET-P uKy P

______________ PK)s(H

PK)t(y

ET-I

udtKy I ______________

sK)s(H I

tK)t(y I

ET-D uKy D

______________ sK)s(H D

)t(K)t(y D

3) Simbolizările folosite în schemele bloc nu sunt unice. Pentru unele elemente de transfer se pot utiliza, în funcţie de caracterul lor, una sau alta dintre simbolizările din tabel (e.g.: ET-PDT1 ca element cu anticipare-întârziere sau ca element cu întârziere-anticipare, ET-PT2 ca element de ordinul II oscilant amortizat, aperiodic limită sau doar aperiodic). În afara simbolizărilor din tabel se folosesc şi alte simbolizări, de ex. blocuri în care se înscriu f.d.t. sau MM – II.


ET-Tm )t(uK)t(y P

______________ s

P eK)t(H )t(K)t(y P

ET-PT1

uKyyT P ______________

1TsK)s(H P

)e1(K)t(y Tt

P

ET-DT1

uKyyT D ______________

1TssK)s(H D

Tt

Dσ e

TK(t)y

ET-PI

dtuKuKy IP ______________

sKK)s(H I

P tKK)t(y IP

ET-PD

uKuKy DP

______________

sKK)s(H DP

)t(KK)t(y DP

ET-PDT1

uKuKyyT DP ______________

1TssKK)s(H DP

Tt

DTt

P eT

K)e1(K)t(y

sau

Tt

DTt

P eTT)e1(K)t(y

cu p

DD K

KT

(a)

(b)

ET-PID

uKdtuKuKy DIP ______________

sKsKK)s(H D

IP

)t(KtKK)t(y DIP

ET-PT2

uKyyT2yT P2 ______________

1Ts2sTK)s(H 22

P

<1 caz oscilant amortizat:

2

2

2

tT

P

1arctgcu

,T

1 sin

1

e1K)t(y

=1 caz aperiodic limită:

Tt

P eTt11K)t(y

1 cazul aperiodic:

)1(TTcu

,eTT

Te

TTT1K)t(y

22,1

2 Tt

2121 T

t

211

P

(a)

(b)

(c)


Cu privire la ET tipizate din tabel se impune aprofundarea următoarelor aspecte:

În tabel elementul de transfer integrator apare prin MM-II dt)t(uK)t(y I .

Această formă, folosită în exprimarea curentă, nu este riguroasă. Sunt riguroase următoarele trei forme:

t

0I d)(uK)0(y)t(y , 0I yy(0)u(t),K(t)y sau

x(t)y(t)y x(0)u(t),K(t)x 0I . (2.97)

Valoarea lui y(0) este o condiţie iniţială ce depinde de preistoria ET-I. Cele trei forme permit calculul efectiv al lui y(t) atunci când se cunoşte u(t) şi y(0).

Se observă că ET-I se găseşte în regim staţionar atunci și numai atunci când u(t) = 0.

Precizările de mai sus sunt, principial, valabile şi pentru celelalte elemente de transfer tipizate cu componentă integratoare. Astfel, pentru ET-PI este riguros MM-II

t

0IP dτu(τ(Ku(t)Ky(0)y(t) ,

iar pentru ET-PID modelul

)t(uKd)(uK)t(uK)0(y)t(y D

t

0IP .

La ET-PDT1 raportul KD/KP are dimensiunea timp. În acest context definim para-metrul

P

DD K

KT numit constantă de timp derivativă sau timp derivativ. Dacă TD >

T spunem că avem un ET-PDT1 de tip anticipare-întârziere iar dacă T > TD că este de tip întârziere-anticipare. În ambele situaţii răspunsul indicial prezintă la mo-mentul iniţial un salt de valoare

TTK D

P , iar apoi tinde asimptotic spre valoarea

KP. În primul caz variaţia asimptotică este descendentă întrucât PD

P KT

TK , iar

în al doilea caz ascendentă

P

DP K

TTK . Aceste aspecte pot fi observate cu

ușurință în figurile din tabel.

În ceea ce priveşte ET-PT2 este important să conştientizăm influ-enţa parametrului asupra răs-punsului sistemului. În funcţie de valoarea lui se disting trei cazuri (v. Fig. 61 şi tabelul de mai sus):

cazul subamortizat (comportare oscilant amortizată) (0 < 1),

cazul aperiodic critic (sistem cu amortizare critică) ( = 1),

cazul supraamortizat (compor-tare aperiodică) ( 1).

Din Fig. 61 se observă că valoarea lui poate fi corelată cu trei elemente caracteristice ale răspunsului indicial:

Fig. 61. Comportamentul tipic al sistemelor de ordinul II, de tip ET-PT2, ilustrat prin intermediul

raspunsului la semnal treaptă.

94 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I - 2013/2014 amplitudinea primei oscilaţii, atenuarea succesivă a amplitudinii oscilaţiilor şi numărul oscilaţiilor sesizabile.

Cu cât are o valoare mai mică, cu atât amplitudinea primei oscilaţii este mai mare, atenuarea următoarelor oscilaţii este mai redusă, iar numărul oscilaţiilor sesizabile este mai mare. În aces context parametrul este denumit coeficient de amortizare.

Temă: Să se demonstreze că în cazul supraamortizat ET-PT2 se comportă ca şi o

conexiune serie a două ET-PT1 având constantele de timp )1(TT 22,1 , MM-ISI al

sistemului fiind:

)t(x)t(y)t(uK)t(x)t(xT

)t(x)t(x)t(xT

1

p222

2111

.

§.2.9. Modelele matematice ale conexiunilor de sisteme Una dintre problemele de calcul care apare în mod frecvent cu privire la conexiunile de sisteme este cea a stabilirii MM al unei conexiuni atunci când se cunosc MM ale elementelor componente şi structura conexiunii. În acest context vorbim despre problema stabilirii modelelor matematice ale conexiunilor de sisteme. (v. §.1.1. secţiunea 4 şi §.1.4 secţiunea 1).

Ne interesează atât MM în domeniul timp cât şi MM operaţionale. Obiectul acestui paragraf este prezentarea unor metode de stabilire a modelelor matematice ale conexiunilor fundamentale de sisteme. Atât în domeniul timp, cât şi în domeniul imaginilor, avem de a face din punct de vedere matematic cu o problemă de eliminare. De fiecare dată, se operează cu variabile unificate.

1. Stabilirea MM-ISI pentru conexiunile fundamentale Conexiunile fundamentale sunt conexiunile serie, derivaţie şi cu reacţie. Problema stabilirii MM-ISI ale acestora este următoarea:

Se cunosc: MM-ISI ale sistemelor interconectate:

111

111111 xCy

uBxAx:)S( şi

222

222222 xCy

uBxAx:)S( . (2.98.1)

Se cere: MM-ISI al conexiunii

CxyBuAxx

:)S( (2.98.2)

Pentru a determina MM-ISI al conexiunii (oricare ar fi aceasta) se are în vedere prin-cipiul agregării stărilor: mulţimea mărimilor de stare ale unei conexiunii este formată din ansamblul mărimilor de stare ale subsistemelor componente. 4) În consecinţă, în toate cazurile conexiunea rezultată are starea TT

2T1 xxx , iar ordinul sistemului

rezultat este egal cu suma ordinelor sistemelor componente.

Pentru conexiunea serie din Fig. 62, ținând seamă de MM ale sistemelor și de relațiile care descriu modul de interconectare, obţinem succesiv :

'1 1 1 1 1 1 1 1'2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1

2 2 2

x A x B u A x B u

x A x B u A x B y A x B C xy y C x

Matriceal, rezultatul ia forma: 4) Principiul redă un fapt evident atât din punct de vedere matematic cât şi din punct de vedere fenomenologic: prin simplă interconectare nu se introduc stări noi și nici nu se elimină variabile de stare.

Fig. 62. Schema bloc a conexiunii serie

u=u1 y1=u2 S 1

y2=y S 2


2

1

C

2

B

1

x

2

1

A

212

1

2

1

xx

C0y

u0B

xx

ACB0A

xx

. (2.99)

Polinomul caracteristic al sistemului este egal cu produsul polinoamelor caracteristi-ce )(1A şi )(2A ale sistemelor componente:

)()(AICB

0AIAI)( 2A1A

212

1A

. (2.100)

Pentru conexiunea derivaţie (Fig.63) rezultă:

2

1

C

21

B

2

1

x

2

1

A

2

1

2

1

xx

CCy

uBB

xx

A00A

xx

(2.101)

Şi în acest caz ))) (λμ(λμ(λμ 2A1AA .

În cazul conexiunii cu reacţie din Fig. 64 eliminările se efectuează astfel:

111

1122212222222222'2

22111121111111'1

xCyyxCBxAyBxAyBxAuBxAx

xCBuBxA)yu(BxAuBxAx

Sub formă matriceală ecuaţiile devin

xx

0Cy

u0B

xx

ACBCBA

xx

2

1

C

1

B

1

x

2

1

A

212

211'2

'1

(2.102)

Polinomul caracteristic al sistemului este

1 2

1 1 2A A A 1 2

2 1 2

A B C( ) I A ( ) ( ) I H ( )H ( )

B C I A

. (2.103)

Se precizează că: în urma dezvoltării determinantului din ultima expresie polinoamele )(

1A şi )(2A se simplifică, iar valorile proprii ale sistemului rezultat prin

conexiune sunt date numai de determinantul )(H)(HI 21 .

2. Algebra schemelor bloc (MM-II). Prin algebra schemelor bloc se înţelege un ansamblu de reguli destinate calculului matricelor şi funcţiilor de transfer ale sistemelor complexe atunci când se cunosc: schemele bloc precum şi matricele şi funcţiile de transfer ale blocurilor componente.

Se disting două categorii de reguli:

u1=u y1 S1

y=y1+y2

S2 u2=uy2

u

Fig. 63. Schema bloc a conexiuni derivație

u1 y1=y S1

S2 y2 u2=y

u

(+)

Fig. 64. Schema bloc a conexiunii cu reacție


reguli de reducere, reguli de reconfigurare.

Regulile de reducere servesc pentru reducerea numărului de blocuri dintr-o schemă bloc iniţială prin înlocuirea diferitelor tipuri de conexiuni printr-un singur bloc având aceeaşi funcţie sau matrice de transfer ca şi conexiunea.

Regulile de reconfigurare servesc pentru modificarea unei scheme bloc date astfel încât să poată fi aplicate regulile de reducere.

Spre deosebire de regulile de reducere care, în principiu, nu introduc modificări sis-temice, aplicarea regulilor de reconfigurare se soldează întotdeauna cu modificări sistemice5) care păstrează însă, neschimbate, dependenţele intrare-ieşire.

În continuare se prezintă trei reguli de reducere. Ele se referă la conexiunile fundamentale care au făcut obiectul secţiunii anterioare. Se presupun cunoscute matricea de transfer )(H1 a sistemului S1 şi matricea de transfer )(H2 a sistemului S2. Trebuie determinate matricele de transfer ale conexiunilor.

1°. În cazul conexiunii serie din Fig. 62 se poate scrie şirul de egalităţi:

)(u)(H)(H)(u)(H)(H)(y)(H)(u)(H)(y)(y 1211212222 .

Comparând acest rezultat cu relaţia )(u)(H)(y , de definire a matricei de transfer, obţinem:

2 1H( ) H ( ) H ( ) . (2.104)

Pentru q subsisteme înseriate având f.d.t. Hi(), i=1;q se obţine 1

ii q

H( ) H ( )

. (2.105)

Rezultatul consemnează faptul că matricea de transfer a conexiunii este egală cu produsul matricelor de transfer ale subsistemelor componente luate în ordine inversă. Dacă însă cele q subsisteme sunt de tip SISO matricele de transfer se reduc la f.d.t., iar produsele din (2.104) şi (2.105) sunt comutative, astfel că nu mai contează ordinea factorilor.

2°. Pentru conexiunea derivaţie se obţine matricea de transfer

)(H)(H)(H 21 . (2.106)

Pentru cazul a q subsisteme legate în paralel formula devine q

ii 1

H( ) H ( )

. (2.107)

3°. Pentru conexiunea cu reacţie matricea de transfer se calculează considerând ca punct de plecare exprimarea mărimii de ieşire )(y în funcţie de elementul amonte şi făcând apoi substituţii succesive până când se obţine un rezultat dependent numai de )(y şi de )(u 6):

)](y)(H)(u)[(H)](u)(H)(u)[(H))(y)(u()(H)(u)(H)(y)(y 2122121111

De aici deducem:

)(u)(H)](H)(HI[)(y )(u)(H)(y)](H)(HI[ 11

21121 .

Identificând acest rezultat cu formula de definire, )(u)(H)(y , obţinem:

5) Se modifică numărul mărimilor de stare, rezultând realizări sistemice neminimale. 6) Această metodă de calcul este denumită „calcul din aproape în aproape”.


)(H)](H)(HI[)(H 11

21 . (2.108)

Dacă S1 şi S2 sunt de tip SISO, atunci H1 şi H2 sunt funcţii de transfer, deci expresii scalare, iar din (2.108) rezultă:

)(H)(H1)(H)(H

21

1

. (2.109)

Notăm funcţia de transfer a căii directe, adică a canalului „u, u1, S1, y”, cu dH , iar a canalului „u, y1, S1, y, S2, y2”, denumit sistem deschis (Fig. 65), cu H~ . În consecinţă, avem:

)(H)(H)(H~)(H)(H

21

1d

)(H~1)(H)(H d

. (2.110)

În formulele de calcul (2.108) şi (2.110) ale ma-tricelor şi funcţiilor de transfer pentru conexiu-nea cu reacţie semnul (+) corespunde reacţiei ne-gative, iar semnul () corespunde reacţiei pozitive.

În cazul sistemelor liniare cu mai multe mărimi de intrare dependenţele intrare-ieşire se pot obţine în domeniul imaginilor prin superpoziţie, folosind regulile de reducere de mai sus.

Exemplul: Să se stabilească pentru sistemul din Fig. 66, cu orientarea {w, v1, v2} y, de-

pendenţa intrare - ieşire în condiţii iniţiale nule în domeniul imaginilor.

Soluţie: Fie Hw(), Hv1() şi Hv2() f.d.t. prin care se exprimă influenţa mărimilor de intrare asupra mărimii de ieşire. Ele se obţin astfel:

)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H

)(w)(y)(H

MPPR

PPR

)(v)(vw

21

21

0201 1

(2.111.1)

)(H)(H)(H)(H)(H

)(H)(H))((H)(H)(H

)(v)(y)(H

PRMP

P

PRMP

P

)(v)(wv

12

2

12

2

0201

1

1

11 (2.111.2)

)(H)(H)(H)(H

)(H)(H)(H))((H)(v)(y)(H

MPPR

RPPM)(v)(wv

21

210102

2

11

111

(2.111.3)

Sistemul fiind liniar este valabil principiul superpoziţiei, astfel că dependenţa intrare-ieşire în condiţii iniţiale nule are forma:

u1 y1=y S1

S2 y2 u2=y

u

Fig. 65. Referitoare la noţiunea de „sistem deschis” (asocit conexiunii cu reacţie din

Fig.64)

Fig.66. Schema bloc a unui sistem de reglare cu o mărime de conducere (w), două mărimi perturbatoare (v1 și v2) și o mărime reglată (y)

a u

HR() w

-

v1 v2 y

HP1()

HP2()

HM()

y


1 2w v 1 v 2y( ) H ( )w( ) H ( )v ( ) H ( )v ( ) . (2.112)

Matriceal rezultatul se scrise astfel:

)(v)(v)(w

)(H)(H)(H)(y

2

1

sistemuluiatransferdematricea)(H

vvw 21 .

2.7. sisteme cu răspuns la impuls în timp finit. · efectul recursivităţii constă în faptul...

Documents