228519333 apuntes inv de operaciones
TRANSCRIPT
INTRODUCCIÓN
MODELO DE OPTIMIZACIÓN
Están diseñados para proporcionar los "mejores" valores de diseño del sistema y las variables de
política operativa - valores que conduzcan a los más altos niveles de rendimiento del sistema.
Conformados por:
Funciones objetivo
Variables de decisión
Restricciones
CLASIFICACIÓN
1. Estáticos y Dinámicos: Sucesión de decisiones para periodos múltiples.
2. Lineales y no lineales. Las variables de decisión aparecen en la función objetivo y
restricciones, están multiplicadas por constantes y acomodadas en forma de suma.
3. Modelo enteros y no enteros: Una o más variables de decisión son enteras o
fraccionarias.
4. Modelo determinístico y estocástico: Se conoce con certeza el valor de la función
objetivo, cumpliendo o no las restricciones.
MÉTODOS
1. Programación lineal: Planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo
2. Programación entera: Los métodos de ramificar y acotar encuentran la solución óptima
para un problema de programación entera.
3. Método de transporte: Analiza los costos de transporte tanto de la materia prima como
de los productos terminados
4. Método de asignación: El objetivo es asignar los trabajos a las máquinas (un trabajo por
máquina) con el costo mínimo total.
5. Programación no lineal: Los problemas no lineales se caracterizan por tener relaciones no
lineales; es decir, no existe una relación directa y proporcional entre las variables que
intervienen.
6. Método de sustitución directa: Es un método en donde la función objetivo está sujeta a
una o dos restricciones de igualdad lineales o no lineales, con en la cual se resuelve
explícitamente una variable y dicha variable se elimina en la formulación del problema.
En la teoría puede ser fácil de aplicar, sin embargo, no es conveniente su uso desde el
punto de vista práctico. La razón para esto es que las restricciones serán no lineales para la
mayoría de los problemas prácticos, y muchas veces son muy complicados de resolver.
7. Programación Cuadrática: Es un método usado para determinar la cartera de inversiones
óptima de un conjunto dado. Este tipo de problemas de optimización se caracterizan por
que la función objetivo de n variables es minimizado sujeto a “m” restricciones de
desigualdades o igualdades lineales.
8. Método de LaGrange: Este método se usa para resolver PNL en los que las restricciones,
son las restricciones igualdades.
Normalmente se usa un factor o multiplicador para su resolución. También suele
presentarse en problemas con dos variables y una sola restricción
9. Método de Fibonacci: Método iterativo irrestricto basado en la serie de Fibonacci. Es
considerado uno de los métodos más exactos. Es usado para encontrar el mínimo de una
función univariable, aunque la función no sea continua.
Programación Lineal Consiste en optimizar una función lineal, denominada función objetivo que esta sujeta a una serie
de restricciones. Se verán 3 métodos para resolver un problema de programación lineal
MÉTODO GRÁFICO
El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión.
El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas
X1, X2 para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas
las restricciones). La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta
área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos, el valor mínimo o máximo del
problema.
Cálculos analíticos para graficar el sistema de inecuaciones lineales, incluyendo la condición de no
negatividad (NN [ ]), que nos indica que solamente trabajaremos en el primer
cuadrante del plano cartesiano, cuadrante donde X1 y X2 son positivas.
El valor de la función objetivo en cada una de las esquinas del área de soluciones factible es:
La función objetivo se maximiza cuando y ;
Algoritmo Simplex
Algoritmo del método simplex para un problema de maximización
1. Convierta el PL en una forma estándar.
2. Encuentre una solución factible básica (sfb), si es posible, a partir de la forma estándar.
3. Determinar si la sfb actual es óptima.
4. Si la sfb actual no es óptima, entonces se determina cuál variable no básica se debe
transformar en variable básica y cuál variable básica se debe transformar en variable no
básica con el objeto de hallar una nueva sfb.
5. Aplicar Operaciones de renglón (OER) para encontrar la nueva sfb. Regresar al paso 3.
La “Dakota Furniture Company” fabrica escritorios, mesas y sillas. Para la manufactura de cada
tipo de mueble se requiere madera y dos tipos de manos de obra calificada: acabado y carpintería.
La cantidad de recursos necesarios para elaborar cada tipo de muebles se proporciona en la tabla
1.
Se cuenta en la actualidad con 48 ft tablón de madera, 20 horas de acabado y 8 horas de
carpintería. Un escritorio se vende en 60 dólares, una mesa en 30 dólares y una silla en 20 dólares.
Dakota opina que la demanda de escritorios y sillas es ilimitada, pero cuando mucho se pueden
vender 5 mesas. Puesto que los recursos disponibles ya se compraron, Dakota quiere maximizar el
ingreso total.
Definimos las variables: x1, x2 y x3.
X1: Número de escritorios fabricados.
X2: Número de mesas fabricadas.
X3: Número de sillas fabricadas
Para comenzar con el paso dos, se eligen las variables básicas (VB) y las variables no básicas
(VNB). Quedando de la siguiente manera:
De esta manera obtenemos nuestra primera solución factible (con x1, x2 y x3 igual a cero), pero no
óptima.
Variable básica que sale:
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 Solución RMC
z -60 -30 -20 0 0 0 0 0
s1 8 6 1 1 0 0 0 48
s2 4 2 1,5 0 1 0 0 20
s3 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8
s4 0 1 0 0 0 0 1 5
Para determinar la variable saliente se sigue la siguiente regla:
“La restricción con el cociente más pequeño se denomina ganador de la prueba de cociente, este
indicará que variable básica deberá salir”
Las operaciones que hacemos después son:
1. Dividir toda la fila pivote entre el elemento pivote.
2. Para las demás filas se sigue la siguiente ecuación:
La solución óptima es:
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 Solución RMC
z -60 -30 -20 0 0 0 0 0
s1 8 6 1 1 0 0 0 48 6
s2 4 2 1,5 0 1 0 0 20 5
s3 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8 4
s4 0 1 0 0 0 0 1 5 -
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 Solución RMC
z 0 15 -5 0 0 30 0 240
s1 0 0 -1 1 0 -4 0 16
s2 0 -1 0,5 0 1 -2 0 4
x1 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 4
s4 0 1 0 0 0 0 1 5
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 Solución RMC
z 0 15 -5 0 0 30 0 240
s1 0 0 -1 1 0 -4 0 16 -16
s2 0 -1 0,5 0 1 -2 0 4 8
x1 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 4 16
s4 0 1 0 0 0 0 1 5 -
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 Solución RMC
z 0 5 0 0 10 10 0 280
s1 0 -2 0 1 2 -8 0 24 -16
x3 0 -2 1 0 2 -4 0 8 8
x1 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 0 2 16
s4 0 1 0 0 0 0 1 5 -
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒
Si el caso hubiese sido de minimización, tomamos como referencia que todos los coeficientes de la
fila cero sean negativos.
Método de 2 fases o M’s
En la fase 1 se agregan variables artificiales y se resuelven por método simplex normal.
En la fase 2 se quitan las variables artificiales y se vuelve a utilizar el método simplex.
z 280
x1 2
x2 0
x3 8
Programación Lineal
(Problemas de ejercitación)
1. La SAVE IT COMPANY opera un centro de reciclado que recoge 4 tipos de materiales de desecho
sólido y lo trata para amalgamarlo en un producto comercializable. (El tratamiento y el
amalgamiento son dos procesos diferentes). Se puede hacer tres grados diferentes de este
producto (Vea la Tabla 1), según la mezcla de materiales que se use. Aunque existe alguna
flexibilidad para esta mezcla en cado grado, los estándares de calidad especifican una cantidad
mínima y máxima para la proporción de los materiales permitidos en ese grado. (Esta proporción
es el peso del material expresado como un personaje del peso total del producto de ese grado).
Para los dos grados más altos se especifica un porcentaje fijo de uno de los materiales. Estas
especificaciones se dan en la Tabla 1 junto con el costo de amalgamado y el precio de venta de
cada producto.
El centro de reciclado recoge los materiales de desecho sólido de ciertas fuentes habituales por lo
que casi siempre puede mantener una tasa de producción estable para tratarlos. En la Tabla 2 se
dan las cantidades disponibles para la recolección y tratamiento semanal, al igual que el costo de
proceso para cada tipo de material.
La Sav-It Co. Es propiedad de Green Earth, una organización dedicada a asuntos ecológicos. Esta
organización ha logrado contribuciones y apoyos por la cantidad de $30,000 semanales, que
deben usarse sólo para cubrir el costo del tratamiento completo de los desechos sólidos. El
consejo directivo Green Earth ha girado instrucciones a la administración de la Save-It para que
divida este dinero entre los materiales de manera tal que se recolecte y se trate al menos la mitad
de la cantidad disponible de cada material. Esta restricción se muestra en la Tabla 2.
Dentro de las restricciones especificas en las Tablas 1 y 2, la administración desea determinar la
cantidad que debe producir de cada grado y la mezcla exacto de materiales que usará para cada
uno, de manera que maximice la ganancia semanal neta (ingresos totales por ventas, menos costo
total de amalgamiento).
Solución
Variable de decisión
Xij= proporción del material j usado por semana en el producto de grado i producido por semana
(i=A=1, B=2, C=3; j=1, 2, 3, 4)
Función objetivo
Max z=Costos - Utilidades
Max z=8.5(X11+ X12+ X13+ X14)+ 7.0(X21+ X22+ X23+ X24)+ 5.5(X31+ X32+ X33+ X34)-3.0 (X11+ X12+ X13+
X14)- 2.5(X21+ X22+ X23+ X24)- 2.0(X31+ X32+ X33+ X34)
Restricciones
Especicificaciones de la mezcla
Disponibilidad de materiales
Restricciones sobre las cantidades tratadas
Restricciones sobre costos de tratamiento
3.0 (X11+ X21+ X31)+ 6.0(X12+ X22+ X32)+ 4.0(X13+ X23+ X33)+ 5.0 (X14+ X24+ X34)=30,000
Restricciones de no negatividad
N,N
La solución en Lindo se muestra a continuación:
2. Cierta empresa produce dos tipos de gasolinas, grado normal y grado extra, estas se producen
mezclando tres tipos de componentes de petróleo. La gasolina grado normal, puede venderse a
$0.50 de dólar por galón, y la de grado extra en $0.54 de dólar por galón.
Los compromisos actuales con los distribuidores requiere que se fabriquen cuando menos 10 000
galones de gasolina normal.
Los costos y ofertas de petróleo se muestran en las siguientes tablas:
Variable de decisión.
Función objetivo
Restricciones
• Disponibilidad de componentes.
Requerimiento de gasolina normal.
Especificaciones para gasolina normal y extra.
3. Tecnología Agrícola S.A. es una compañía fabricante de fertilizantes. El gerente desea planear la
combinación de sus dos mezclas a fin de obtener la mayor de sus utilidades. Las mezclas son:
El mayorista comprara cualquier cantidad de ambas mezclas de fertilizante que la compañía pueda
fabricar. Esta dispuesto a pagar a $71.50 la tonelada de (5.5.10) y a $69 la tonelada de (5.10.5).
En este mes la disponibilidad y costos de materia prima son:
Hay un costo de $15 por tonelada por mezclado de fertilizantes.
Objetivo: Maximizar las utilidades
Variables de decisión
Función objetivo:
Restricciones
Corrida en lindo:
Método de Ramificar y Acotar
Programación Entera: Los programas lineales enteros son aquellos en los que algunas o
todas las variables están restringidas a tener valores enteros (o discretos).
La empresa Telfa Corporation se dedica a la fabricación de mesas y sillas. Para la fabricar una mesa
se requieren una hora de mano de obra y 9 pies de tablón de madera, en tanto que para una silla
se necesitan 1 hora de mano de obra y 5 pies de tablón de madera. En la actualidad, están
disponibles 6 horas de mano de obra y 45 pies de tablón de madera al mes. Cada mesa contribuye
con 8 dólares a las utilidades y cada silla con 5 dólares. Formule y resuelva un PE para maximizar
las utilidades de Telfa .
Paso 1.- Definir las variables.
Paso 2.- Establecer función objetivo.
Max
(
) (
) (
) (
)
Paso 4.- Establecer Restricciones.
Restricción de la madera
(
) (
) (
) (
)
Restricción de mano de obra
(
) (
) (
) (
)
Si todas las variables de decisión asumieran valores enteros la solución óptima del
problema de PL sería la solución óptima del problema de PE.
Como no sucede lo antes mencionado en este caso se debe continuar al paso número 6.
Paso 6.-Dividir la región factible de la relajación del PL.
La solución óptima del PL es
Como es maximizar, el valor óptimo no debe de ser mayor a 41.25
Se elige de modo arbitrario una variable fraccionaria de la solución óptima del problema de PL
para generar dos zonas de posibles soluciones. En este caso se elige y a continuación se
presentan 2 opciones diferentes.
Paso 7.-Se realiza un árbol (que es la representación de todos los subproblemas que se
proponen).
Nodo: sub problema i (1, 2, 3….N)
Arco: Línea que une los nodos
Restricción: Se suma con el subproblema anterior
t = Indica el orden en el cual se resuelve el problema
S 2 Subproblema 1 + restricción
S 3 Subproblema 1 + restricción
A esto se le conoce como ramificación sobre
Paso 8.- Escoger un subproblema y resolverlo
La solución optima del subproblema 2 no ofreció una solución de enteros únicamente por
lo cual se repítela metodología del paso 6.
Paso 9.- Se repite la ramificación sobre la variable fraccionaria
S 4 Subproblema 2 + restricción
S 5 Subproblema 2 + restricción 1
Paso 10.- Escoger un subproblema y resolverlo.
El subproblema 4 no es factible.
Al resolver el subproblema 5 se obtiene la solución:
Z= 365/9
X1=40/9
X2=1
Como el valor de continua siendo fraccionario esta variable se vuelve a ramificar
Paso 11.- Escoger un subproblema y resolverlo.
S 6 Subproblema 5 + restricción
S 7 Subproblema 5 + restricción
Paso 12.- Escoger un subproblema y resolverlo
Para el Subproblema la solución es:
Z= 37
X1=4
X2=1
Dado que los valores de la solución son enteros, estos representan una solución factible
para el problema de PE.
Ejemplos
Forme el árbol de ramificación y acotamiento para el siguiente problema:
Sujeto a
0 y enteros
Se escoge a como la variable de ramificación.
Se tienen dos nuevos PL: PL1 y PL2
PL1:
Sujeto a
0
PL2:
Sujeto a
0
Aún se puede hacer un PL3 ya que en el PL2 no se cumple que las variables sean
números enteros, entonces:
Sujeto a
0
Árbol de ramificación y acotamiento
Min z= -5x1-8x2
St
X1+x2<=6
5x1+9x2<=45
NN
Lo primero que debemos hacer es inicializar el incumbente en z = ∞ e inicializar la lista de
problemas pendientes con la relajación lineal del problema:
(P0) min z=-5x1-8x2
St
X1+x2<=6
5x1+9x2<=45
X1,x2>=0
Lo resolvemos obteniendo la siguiente solución óptima: z0 = −41,25; x1 = 2,25 y x2 = 3,75
2. Notamos que las 2 variables son fraccionarias por lo que podemos tomar cualquiera de
ellas como variable de ramificación. Escojamos la variable x2 para ramificar generándose
así los siguientes problemas:
Tenemos ahora que la lista está compuesta por 2 problemas pendientes: L={(P1),(P2)}. Sin
embargo, aún no encontramos una solución entera por lo que no actualizamos el
incumbente.
Resolviendo primero (P1), se tiene que z1 = −41; x1 = 1,8 y x2 = 4, que tampoco es
solución entera por lo que ramificamos nuevamente por variable x1, dando origen a los
problemas:
Tenemos como problemas pendientes L={(P2),(P3),(P4)} y aun ninguna solución entera.
Escogemos (P3) para ser resuelto obteniendo que es infactible. Esto significa que
eliminamos a (P3) sin ser ramificado.
Primera solución entera: z5 = −37; x1 = 1 y x2 = 4 por lo que actualizamos el incumbente: z
= −37.
Ahora la lista es L=,(P2),(P6)-. Resolviendo (P6) se tiene que z6 = −40; x1 = 0 y x2 = 5,
que es una solución entera mejor que la anterior por lo que actualizamos el incumbente:
z¯ = −40.
Resolviendo finalmente el ´ultimo problema de la lista: (P2) se obtiene que z2 = −39; x1 =
3 y x2 = 3, que es una solución entera peor que la del incumbente por lo cual no es
necesario ramificar.
Como no quedan problemas en la lista, hemos encontrado que el óptimo entero del
problema viene dado por z = −40; x 1 = 0 y x 2 = 5
Programación entera binaria
La California Manufacturing Company está analizando su expansión mediante la
construcción de una nueva fábrica en Los Angeles, en San Francisco, o en ambas ciudades.
También se piensa en construir, a los más, un nuevo almacén; pero esta decisión está
restringida a la ciudad donde se construya la nueva fábrica.
A continuación se muestran los datos para tomar la decisión, incluido el valor presente
neto de cada alternativa y el capital requerido para sus respectivas inversiones. El objetivo
es encontrar la combinación factible de alternativas para maximizar el valor presente neto
total.
El objetivo es encontrar la combinación factible de alternativas que maximice el valor
presente neto total.
Solucion:
Se trata de un modelo de programación entera, en el que las variables de decisión tienen
la forma binaria [sólo pueden tomar dos valores: éxito (1) y fracaso (0) según sea el caso]
{ ó ó
Y la función objetivo es valor presente neto de estas decisiones.
Si se hace la inversión para la construcción de lo dado [ ], el VPN está dado en la
tabla anterior. Si no se hace [ ], el VPN es 0.
… *VPN total+
st
1. .
2. La compañía quiere construir cuando mucho un almacén nuevo.
3. Las decisiones 3 y 4 dependen de la 1 y 2 [decisiones contingentes/condicionales]. La
compañía consideraría la construcción de un almacén si la empresa nueva también estará
ahí.
4. La condición para que las variables de decisión sean binarias.
es binaria, para
Ramificación. Al manejarse variables binarias, la forma más sencilla de partir el conjunto
de soluciones factibles es fijar el valor de una variable. Hecho esto, el problema completo
se divide en dos sub-problemas. [En este caso, se fijará la variable ]
Acotamiento. Hay que obtener una cota que muestre qué tan buena puede ser la
solución factible, resolviendo una soltura [aquella que elimina restricciones que hacen que
el problema sea difícil; en este caso son aquellas que hacen que las variables sean
enteras].
Problema Completo:
Soltura: Sustituir que es binaria, para por y para los
mismos valores de j.
Sub-problema 1 y Sub-problema 2:
Soltura: Sustituir que es binaria, para por y para los mismos
valores de j.
Una vez hecho el acotamiento, se resuelve el problema y los sub-problemas por métodos
de programación lineal
Sondeo. Es cuando un sub-problema ya no se toma en cuenta en base a ciertos
parámetros dados en el modelo . Un sub-problema se sondea si:
1. Su cota ≤ z*
2. Su soltura no tiene soluciones factibles
3. La solución óptima es entera
A partir de este punto, se continúa ramificando a partir del sub-problema 2, evaluando
cada una de las variables restantes y considerando los pasos anteriores, hasta llegar a una
solución óptima.
Problemas de Transporte
Una compañía tiene cuatro enlatadoras que abastecen a cuatro almacenes y la gerencia
quiere determinar la programación de envío de costo mínimo para su producción mensual
de latas de tomate. La oferta de las enlatadoras, las demandas de los almacenes y los
costos de envío por caja de latas de tomate se muestran en la Tabla 1.
Minimizar
Z = 25 x11+ 35 x12 + 36 x13 + 60 x14 + 55 x21 + 30 x22 + 45 x23 + 38 x24 +
40 x31+50 x32 + 26 x33 + 65 x34 + 60 x41 + 40 x42 + 66 x43 + 27 x4
Variables
Z=costo a minimizar.
xij=cantidades de productos enviadas de cada centro de suministro a cada centro
de demanda.
y xij≥0 (i = 1,2,3,4; j = 1,2,3,4)
P2. Una compañía tiene 4 fabricas (F1, F2, F3, F4) que envían su producción a 4 almacenes
(A1, A2, A3, A4). Los costos y capacidades de producción, en cada una de las 4 fábricas son:
Las demandas mensuales del producto en cada uno de los 4 puntos de distribución son:
Los costos del transporte, en $/unidad, entre las diversas combinaciones de fábricas y
almacenes son:
Formule un problema de programación lineal para minimizar los costos de transporte y
producción
Xij = Unidades de producto a enviar desde la fábrica i-ésima (i=1, 2, 3, 4) al almacén j-
ésimo (j=1, 2, 3, 4)
Función objetivo:
Restricciones
Resolviendo en lindo
El entrenador de un equipo de natación debe asignar competidore4s para la prueba de
200 metros de relevo combinado que irán a las Olimpiadas Juveniles. Como muchos de sus
mejores nadadores son rápidos en más de una estilo, no es fácil decidir qué nadador
asignar a cada uno de los cuatro estilos. Los cinco mejores nadadores y sus mejores
tiempos (en segundos) en cada estilo son los siguientes:
El entrenador quiere determinar cómo asignar cuatro nadadores a los cuatro estilos de
nado para minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes.
a) Formule este problema como uno de asignación
b) Obtenga una solución óptima.
Solucion:
El número de asignados (cinco) debe ser igual al número de estilos (cuatro) así que se
introduce una asignación ficticia (estilo) como Crol. El papel de esta asignación es
proporcionar un estilo a la persona adicional. No se incurre en tiempos del estilo así que
serán ceros.
Variables de decisión
Función Objetivo
Minimizar
Restricciones:
Asignados Asignación
No negatividad
Resolviendo en lindo:
GRADOS DE LIBERTAD
Los grados de libertad son un indicador para identificar los casos en los que probablemente el
problema de balance de materia no producirá una solución.
Redefiniendo:
(Composiciones o flujos)
Posibilidades:
Si , el problema puede resolverse
, problema subespeficado (puede realizarse una optimización al proceso)
, no hay solución
Relación de ecuaciones
Las variables desconocidas de las corrientes de proceso pueden derivarse de lo siguiente:
-Balance de materia
-Balance de energía
-Especificaciones del proceso ̇ ̇
-Propiedades y leyes físicas
-Restricciones físicas (fracciones molares)
-Relaciones estequiométricas
BIBLIOGRAFÍA
Thomas F. Edgar, David M. Himmelblau; «OPTIMIZATION OF CHEMICAL PROCESSES»;Ed
McGraw-Hill; EUA 2001; 2da ed.
Wayne L. Winston; «INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, Algoritmos y Aplicaciones»; Ed.
Thomson; México 2005; 4ª ed.
N.V.S. Raju;”OPTIMIZATION METHODS FOR ENGINEERS”