210797504 derivada direcional gradiente 2013

CENTRO UNIVERSITÁRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL – UNIPLAN CURSO: ENGENHARIA CIVIL PROFª: Mª BEATRIZ SENA BRIGNOL DISCIPLINA: CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS – CFVV

Gradiente e suas várias aplicações: 1. Medida da declividade de um terreno. 2. Medida da variação de determinada característica de um meio (tais como a pressão atmosférica, a temperatura, etc.) de um ponto para outro desse meio. 3. Cálculo Vetorial: vetor resultante do produto do operador Nabla por uma função escalar de ponto. [Abrev.: grad.] 4. Eng. Civ. Linha que representa a diretriz de uma estrada, composta de uma sequência de retas com declividades permitidas, que o projetista traça sobre o perfil longitudinal do terreno. 5. Med. Coeficiente de modificação de temperatura, pressão, etc. 6. Met. Expressão numérica da diferença de pressão entre dois locais, expressa em milímetros, ou a distância entre esses dois lugares, expressa em graus de latitude. Gradiente termométrico vertical. Met. Decréscimo da temperatura em consequência das diferenças de altitude(contado de 100 em 100m). 7. Nabla: Operador vetorial que, multiplicado por uma função escalar, forma o gradiente da função, e por uma vetorial, o rotacional. 8. Arco: Geom. Seguimento de uma curva; medida linear de um segmento de curva. 9. Normal: Geom. Anal. Reta perpendicular a uma curva ou superfície. 10. Vetores Ortogonais: Cálc. Vet. Vetores cujo produto escalar é nulo. Num espaço tridimensional, as retas suportes desses vetores são ortogonais .

11. Vetor tangente: Geom. Anal. Vetor unitário t definido como a derivada drds

onde r é o vetor posição de um ponto de uma curva de

elemento de arco ds. 12. Ortogonal: Geom. Que forma ângulos retos (90°). 13. Escalar: Diz-se de qualquer grandeza que pode ser caracterizada exclusivamente por um número, dimensional ou não.

DERIVADA DIRECIONAL E O GRADIENTE

1. Consideremos uma função f(x,y) definida em D ⊂ ℜ2 e seja (x0,y0) um ponto de D; já sabemos calcular nesse ponto a taxa de variação de f em relação a 𝒳, mantido 𝒴 fixo, e a taxa de variação de f em relação a 𝒴 mantido 𝒳 fixo. Estas taxas são as derivadas parciais de f em relação a 𝒳 e a 𝒴 respectivamente.

2. Geometricamente elas descrevem o comportamento de f(x,y) (crescimento ou decrescimento) quando, a partir do ponto (x0,y0) caminhamos na direção do eixo 𝒳 [fx(xo,yo)] e na direção do eixo 𝒴[fy(xo,yo)].

3. Assim, por exemplo, fx(xo,yo)= +3, isto significa que caminhando a partir de (xo,yo) na direção do eixo 𝒳 no sentido positivo, veremos os valores de f(x,y) aumentar de aproximadamente 3 unidades para cada unidade de 𝒳 percorrida; Se fy(xo,yo)= −4, isto significa que, a partir de (xo,yo) caminhando na direção do eixo 𝒴 no sentido positivo, veremos os valores de f(x,y) diminuir aproximadamente de 4 unidades para cada unidade de 𝒴 percorrida. y y

r α r

y0 y0 α α r r

0 x0 x 0 x0 x

4. Queremos agora descrever o comportamento de f(x,y) quando, a partir de (xo,yo), caminhamos numa direção qualquer determinada pela reta orientada 𝓇 que forma com o eixo 𝒳 o ângulo orientado α. A taxa de variação de f em relação à distância percorrida na direção de 𝓇 será chamada derivada direcional de f(x,y) no ponto (x0,y0), na direção de α, e representaremos por fα(x0,y0).

5. Derivada pela Definição: Vamos definir, de um modo mais formal, a derivada direcional fα: Inicialmente, determinemos as equações paramétricas de 𝓇, tomando como parâmetro o comprimento de arco 𝒮:

MATERIAL DE ESTUDO PARA APLICAÇÃO DA NP2 Página 1


𝓇 = ¿ y S r α Ssenα

y0 Scosα0 x0 x

Agora vamos calcular f(x,y) nos pontos da reta 𝓇, ou seja, vamos compor a função f(x,y) com a s funções

{x(s)=x0+Scosα F(s)=f (x¿¿(s) , y(s ))=¿ f (x0+Scosα ; y 0+Ssenα)¿ y(s)= y0+Ssenα ¿Então, quando 𝒮 = 0, temos f(0) = f(x0,y0); a derivada de F(𝒮) no ponto 𝒮 = 0 é a Derivada Direcional de f(x,y) no ponto (x0,y0) e na direção α:

F ' (0 )=f α (x0 , y0 )ou seja ,lembrandoque F ' (0 )=limS→0

F (s )−¿F(0)

S−0¿ ⇒

⇒ f α (x0 , y0 )=limS→ 0

f (x0+S .cos α , y0+S . senα )−f (x0 , y0)S

Também é comum a notação: f α (x0 , y0 )=∂ f∂ s

(x0 , y0).

6. Exemplo 1. Calcular a f 450no ponto(1,2) para a função f ( x, y) = x2 y❑

𝓇={x=1+S .cos 450y=2+S . sen 450∴𝓇={x=1+ √2

2S

y=2+ √22

S ⇒F(s)=f (1+ √2

2S ,2+ √2

2S)=(1+ √2

2S)2

.(2+ √22

S )⇒F '(s )=¿ 2(1+ √2

2S) . √22 .(2+ √2

2S)+(1+ √2

2S)2

. √22

⇒ F '(0)=2.√22.2+1. √2

2≅ 2,12. Logo, f 450no ponto(1,2)

≅ 2, e isto significa que, se a partir do ponto (1,2) caminharmos na direção da reta orienta 𝓇 que forma 450

com o eixo 𝒳, então veremos os valores de f(x,y) aumentar de aproximadamente 2 unidades para cada unidade percorrida.

7 . Método de Cálculo da Derivada Direcional: Necessitamos, agora, de um método de cálculo da Derivada Direcional que nos dispense de ter que recorrer sempre à definição. Este método é estabelecido pelo seguinte Teorema: f(x,y) é diferenciável no ponto (xo,yo) então: f(x,y) tem derivadas direcionais neste ponto em qualquer direção α, e vale: f α(x0 , y0 ¿=f α ( x0 , y0 ) . cosα+ f y (x0 , y0 ) . senα

Obs.: O número que chamamos de derivada direcional de f(x,y) em (xo,yo) na direção α fornece, de fato, uma caracterização do comportamento de f(x,y) na direção e no sentido determinados por α, e α determina a direção e o sentido em que nos moveremos a partir de (xo,yo).

8. Exemplo 2. A temperatura de uma chapa é dada por T ( x, y)=x2+ y2 onde 𝒳 e 𝒴 são as coordenadas de um ponto, em cm, e T em 0C. Calcule de quanto varia, aproximadamente, a temperatura se caminharmos 1 cm a partir do ponto (3,4) na direção: (a) α = 300



(a) α = 300

Temos{T x (3,4 )=2 x⇒6T y (3,4 )=2 y⇒ 8⇒ T 300(3,4)= 6.cos300 + 8.sen300 = 6.√3

2 + 8.

12 = 3√3 + 4 ≅ 9,2

∴ T 300(3,4) ≅ 9,2 0c/cm; a temperatura deverá aumentar de 9,20c por cm aproximadamente.

(b) α’= 2100

Temos{T x (3,4 )=2 x⇒6T y (3,4 )=2 y⇒ 8⇒ T 2100(3,4)= 6.cos2100 + 8.sen2100 = −6.√3

2 + 8.

−12 = −5,19 −4 ≅ −9,2

∴ T 2100(3,4) ≅ −9,2 0c/cm; a temperatura deverá diminuir de 9,20c por cm aproximadamente.

9. FORMA VETORIAL – O GRADIENTE: A partir de um ponto (x0,y0) estamos determinando uma direção(direção e sentido) através de um ângulo α. r r α r r y0 α y0 y0 α y0

α 0 x0 0 x0 0 x0 0 x0

Podemos determinar uma direção através de um vetor v→

: y y

y v→

y v→

y0 yo yo yo

v→

v→

0 x0 0 x0 0 x0 0 x0

Este vetor v→

pode ter um módulo qualquer (comprimento), mas é comum indicarmos uma direção

através de um vetor unitário (de módulo 1) u→

, chamado versor da direção. Assim, o versor do eixo 𝒳 é

o vetor i→

, o versor do eixo 𝒴 é o vetor j→

, e um vetor v→

,qualquer, pode ser representado por v→

=¿ vxi→+

v y j→ onde vx ev y são as componentes de v

→ nos eixos 𝒳 e 𝒴 respectivamente.

v→

4

yo 3 yo 3

j→ v→

=¿ 3i→+ 4 j→ j→ v→ 4

0 i→ x0 i→ x0 v→

=¿ 3i→− 4 j→



O vetor unitário da direção de v→

pode ser obtido a partir de v→

dividindo-se v→

por ‖→v ‖, onde

‖→v ‖=módulode v→

=√vx2+v y2❑❑ ∴

u

→= v→

‖→v ‖ Como u→tem módulo 1, as componentes de

u→ serão{ux=1.cosα

u y=1. senα resultando em: u→=cos α i

→

+senα j→

10. A derivada Direcional de f(x,y) no ponto (xo,yo) e na direção α, esta direção pode ser determinada através do versor u→ onde u→=cos α i→+senα j→ , temos:

f α(x0 , y0 ¿=f u→ (x0 , y0 )=f x (x0 , y0 ) . cosα+f y (x0 , y0 ) . senα

O vetor f x (x0 , y0 ) . i→ + f y (x0 , y0 ) . j→ é chamado GRADIENTE de f(x,y) no ponto (xo,yo) e é representado por (grad f)(xo,yo) ou ❑→f(xo,yo) [lê-se “nabla” f no ponto (xo,yo)]:

❑→f(x0 , y0 ¿= f α ( x0 , y0 ) .i→+f y (x0 , y0 ). j→ Notamos, então que a derivada direcional f u→ (x0 , y 0) pode ser expressa em termos do gradiente e do versor u→

11. Lembrando que : f α+ π (x0, y0 )=−f α (x0 , y 0 ) resulta que o vetor oposto do gradiente −❑→f(xo,yo), determina a direção em que a derivada direcional é mínima, tendo valor simétrico ao da direção do gradiente: f u→ (x0 , y 0)=¿ derivada direcional máxima = ‖❑→ f (x0 , y0)‖

f−u→ (x0 , y0 )=¿ derivada direcional mínima = −‖❑→ f (x0 , y0)‖. Portanto, o gradiente indica, em cada ponto, a direção (e o sentido) em que a derivada direcional é máxima; o vetor oposto ao gradiente indica a direção em que a derivada direcional é mínima; nos dois casos, o módulo da derivada direcional é o módulo do gradiente. Por outro lado, em cada ponto (x0,y0), o vetor unitário t→, normal ao gradiente(perpendicular ao gradiente), determina uma direção em que a derivada direcional é nula, pois: f t→ ( x0 , y0 )=¿ ❑→f(x0 , y0 ¿∘ t→=‖❑→ f (x0 , y0)‖cos 90° = 0. Isto significa que, nesta direção a taxa de variação de f(x,y) em relação à distância percorrida é nula, e que, caminhando nesta direção f(x,y) é praticamente constante. Então podemos dizer que, em cada ponto (x0,y0), o vetor t→normal ao gradiente, é o vetor tangente à curva de nível de f(x,y) que passa pelo ponto (x0,y0).

12. A temperatura de uma chapa plana é dada por T ( x, y) = x2+ y2 (T em OC, X eY em cm¿.

(a) Determine o gradiente da temperatura no ponto (3,4):

O gradiente de T(x,y) é o vetor: ❑→T (x , y)=T x(x , y)❑ i→+T y(x , y)

❑ j→ = ❑→T (x , y)=¿ 2 xi→+2 yj→ no ponto (3,4)

temos: ❑→T (3,4)=¿ 6 i→+8 j→

(b) Determine, a partir do ponto (3,4), a direção em que a temperatura cresce o mais rapidamente possível, e qual a taxa de crescimento:



O gradiente indica a direção em que a taxa de variação da temperatura (derivada direcional) é máxima, logo: para a temperatura crescer o mais rapidamente possível devemos seguir, a partir de (3,4), na

direção do gradiente, ou seja, na direção u→ = ❑→T (3,4)

‖❑→T (3 , 4)‖ = 6 i→+8 j→

√62+82 = 0,6 i→+0,8 j→A derivada

direcional nesta direção é igual ao módulo do gradiente: f u→ (3,4 )= ❑→T (3,4)∘ u→= ‖❑→T (3 , 4)‖= 10; Portanto, a taxa de variação é 10°C por cm, aproximadamente.

(c) Determine, a partir do ponto (3,4), a direção em que a temperatura decresce o mais rapidamente possível, e qual a taxa de decrescimento:

O vetor oposto do gradiente indica a direção em que a temperatura decresce o mais rapidamente possível (derivada direcional mínima):

Direção de máximo decrescimento: −u→ = −6 i→−8 j→

Taxa de decrescimento: f−u→ (3,4)=−fu→(3,4)= −10. A temperatura decresce de aproximadamente 10°C por cm.

(d) Determine, a partir do ponto (3,4), em que direção devemos seguir a fim de que a temperatura permaneça constante:

Na direção do vetor t→, normal ao gradiente, a temperatura permanece constante: t→∘u→=0

(pois t→ é perpendicular a u→ ¿ ∴ (t x i→+t y j

→)∘(0,6 i→+0,8 j→¿=0 ∴ 0,6 t x+0,8 t y=0

∴ t xt y

=−0,80,6 =

−43 Como ‖→t ‖=¿ 1 ; t x

2 + t y2=1 e então (−43 t y2) +t y

2 = 1 ∴ t y=35=0,6 ou

(t ' ¿¿ y=−0,6)¿.

Segue que t x =−0,8(ou t ' x=0,8)❑Então t=−0,8 i→+0,6 j→ ou ¿ = 0,8 i→−0,6 j→ )

Os vetores t→e t '→são tangentes à curva de nível de T(x,y) que passa pelo ponto (3,4):

T(3,4) = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ∴ x2+ y2=25 (circunferência de centro (0,0) e raio 5).

(e) Calcular T30°(3,4): Temos: {fx=2x⇒6fy=2 y⇒ 8 ∴ f 30o (3,4 )=6. cos300+8. sen300 ⇒ 6.√3

2 + 8.

12 ≅ 9,2 ℃/cm

NOTA: T30°(3,4) < T u→(3,4)MATERIAL DE ESTUDO PARA APLICAÇÃO DA NP2 Página 5


13. Derivada Direcional de um Campo Escalar:

Problema 01. Suponha que um pássaro esteja pousado em um ponto A de uma chapa R cuja temperatura T é função dos pontos dela. Se o pássaro se deslocar em uma determinada direção, ele vai “sentir” aumento ou diminuição de temperatura?

R

AA resposta a esta pergunta será encontrada mediante a análise da taxa de variação da temperatura em relação à distância, no ponto A, quando o pássaro se move na direção dada. Logo, devemos encontrar a derivada direcional da função temperatura.

Problema 2. Suponha que, em outra situação, podemos conhecer a temperatura do ar nos pontos do espaço por meio de uma função T(x,y,z). Um pássaro localizado em um ponto P deseja resfriar-se o mais rapidamente possível. Em que direção e sentido ele deve voar?

A resposta a esta pergunta será possível se, grad T ≠ 0 em P, para se resfriar o mais rápido possível, o pássaro deve voar na direção e sentido de – grad T(P).

14. Encontrar o gradiente dos campos escalares:

(a) f(x,y,z) 2(x2+ y2) − z2 (b) g(x,y) x+e y

Utilizando a definição do vetor gradiente, para duas ou mais variáveis, obtemos:

(a) grad f = ∂ f∂x

i→

+ ∂ f∂ y

j→

+ ∂ f∂ z

k→

∴ 4x i→

+4 y j→

−2 z k→

(b) grad g = ∂ f∂ x

i→

+ ∂ f∂ y

j→∴ i

→

+e y j→

15. Calcular o gradiente de f(𝒳,𝒴) = 2 x2+ y2, em P(2,−1).

Temos¿

16. Seja f(x, y, z) = z❑−x2− y2



(a) Estando em (1, 1, 2), que direção e sentido devem ser tomados para que f cresça mais rapidamente?

Estando em (1, 1, 2), devemos tomar a direção e o sentido do vetor ∇f(1, 1, 2) = −2 i→−2 j

→+k→

para que f

cresça o mais rapidamente possível.

(b) Qual é o valor máximo de ∂ f∂ s (1, 1, 2)? O valor máximo de

∂ f∂ s (1, 1, 2) é dado por |∇ f (1,1 ,2)|=

❑→ f (1,1,2 )

‖❑→ f (1,1,2 )‖ = −2 i

→

−2 j→

+k→

√(−2 )2+(−2 )2+12 = 3

17. PROBLEMAS APLICADOS RESOLVIDOS

(a) Seja T (x , y , z )¿10−x2− y2−z2uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula P1 localizada P1(2, 3, 5) necessita esquentar-se o mais rápido possível. Outra partícula P2 localizada em P2(0, -1, 0) necessita resfriar-se o mais rapidamente possível. Pergunta-se:

1º) Qual a direção e o sentido que P1 deve tomar?

Solução:

Temos:¿

Como P1 necessita esquentar-se o mais rapidamente possível, deve tomar a direçãoeo sentidodo gradT (2,3,5 )=(−4 ,−6 ,−10 ) .

2º) Qual a direção e o sentido que P2 deve tomar?

Como P2 necessita resfriar-se o mais rapidamente possível, deve tomar a direçãoeo sentidodo vetor−gradT (0 ,−1 ,0 )=−( 0 ,2 ,0 )=(0 ,−2 ,0) .

−gradT (0 ,−1 ,0 )=0 i→

−2 y j→

0 k→

∴ −gradT (0 ,−1 ,0 )=¿ −2 y j→

3º) Qual é a taxa máxima de crescimento da temperatura em P1 e qual é a taxa máxima de decrescimento da temperatura em P2?

A taxa máxima de crescimento da temperatura em P1 é dada por |∇T (2,3 ,5)|=

❑→T (2,3,5)‖❑→T (2,3 ,5 )‖ = −4 i

→

−6 j→

−10 k→

√(4 )2+(6 )2+(10)2 = √16+36+100 = √152.

A taxa máxima de decrescimento da temperatura em P2 é dada por |∇T (0 ,−1 ,0)|= 2.



❑→T (0 ,−1,0)‖❑→T (0 ,−1,0 )‖ = 0 i

→

−2 y j→

+0 k→

√( 0 )2+ (−2 )2+(0)2 = √0+4+0 = 2.

(b) Um alpinista vai escalar uma montanha, cujo formato é aproximadamente o do gráfico de z=25−x2− y2, com z≥0.❑ Se ele parte do ponto P0(4, 3, 0), determinar a trajetória a ser descrita, supondo que ele busque sempre a direção de maior aclive.

Solução:

Seja r→

(t) = [x(t), y(t), z(t)] a equação da trajetória do alpinista. Inicialmente, vamos determinar a

projeção r1→

( t )=¿[x(t), y(t), z(t)] de r❑

→

(t ) sobre o plano xy . No plano xy ,adireção demaior aclive da

montanha é dada por ∇f, onde f = 25 −x2− y2. Como o alpinista deve se deslocar na direção de maior

aclive, o ∇f deve ser tangente à projeção r1→

( t ) da trajetória. Fazemos, então: r1 '→

(t ) = grad f[r1→

( t ) ¿ =[

dxdt

, dydt ]= [(−2x(t), −2y(t)]. Resolvendo a equação, vem: dxdt = −2x(t) e dydt = −2y(t) onde x (t)¿c1 e

−2t❑

e y (t )¿ c2 e−2 t. Particularizando as constantes C1 e C2, lembramos que o ponto de partida do alpinista,

correspondente a t = 0, é P0(4, 3, 0). Portanto, x(0) = 4 e y(0) = 3 e, desta forma, C1 = 4 e C2 = 3. Logo, a

projeção de r→

(t) é r1→

(t ) = ¿ 3e−2 t) e a trajetória é dada por:

r1→

( t ) = ¿ 3e−2 t ,25−¿)2−(3e−2 t)2]= ¿ 3e−2 t ,25−25e−4 t ¿¿❑

z

25

5 5 y

x P0

(c) O gráfico abaixo mostra as curvas de nível da temperatura T(x,y) da superfície do oceano de uma determinada região do globo terrestre. Supondo que T(x,y) é aproximadamente igual a

x−12x3

−14y2 +12

❑

, pergunta-se:

1º) Qual é a taxa de variação da temperatura nos pontos P0(2,3) e P1(4,1), na direção nordeste?



A taxa de variação da temperatura é dada pela derivada direcional. Considerando que um vetor unitário

na direção nordeste é(1√2 ,

1√2 ) e que grad f = (1−14 x2, -12 y❑¿ ,vem que:

∂ f∂ s (Po)=

∂ f∂ s (2,3)= ∇f(2,3). (

1√2 ,

1√2 ) = ¿¿.3). (

1√2 ,

1√2 ) = − 3

2√2 e

∂ f∂ s (P1)=

∂ f∂ s (4,1)= ∇f(4,1). (

1√2 ,

1√2 ) = − 7

2√2

2º) Se não conhecermos a forma da função T(x,y), como poderemos encontrar um valor aproximado para a taxa de variação do item (1º)?

Se não conhecermos a forma da função T(x,y), poderemos calcular a taxa de variação média da temperatura na direção nordeste no ponto P0. Basta observar a figura abaixo e assinalar as

temperaturas a nordeste: - 1°, e a sudeste: 0°. A seguir faz-se o quociente −1°−0 °1km onde 1 km é a

distância aproximada entre os dois pontos cujas temperaturas foram observadas. Portanto, −1 grau/km é o valor aproximado da taxa de variação da temperatura, em P0, na direção nordeste.

Analogamente, temos que −2°−(−1 °)0,4km

= −2,5 grau/km é o valor aproximado da taxa de variação da

temperatura em P1, na direção nordeste. Observamos que os valores encontrados em (1º) são aproximadamente os mesmos encontrados em (2º).

3º) Qual é a taxa máxima de variação da temperatura em P0?

A taxa máxima de variação da temperatura em P0 é dada por |grad f (P0)| = √0+(−32

)2

= 32

5 -4° 4 -3° 3 P0 -1° -2° 2 0°

1 1° P1

0 1 2 3 4 5 x



18. LISTA DE EXERCÍCIOS:

I - Se Z = 4 x2−5 y2, encontre (a) ∇Z, (b) O valor de ∇Z no ponto (2, -3), e (c) A Derivada Direcional

Du→Z❑

no ponto (2, -3) e na direção do vetor unitário u→

= (cosπ3 ) i

→ + (sen

π3 ) j

→

II - Se f(x , y )❑= 4 x2+xy+9 y2❑❑, encontre (a) ∇f(1,2), (b) Du→ f (1,2) ,onde u

→ é o vetor unitário na

direção de v→

= 4 i→

−3 j→

.

III - Encontre (a) O valor máximo da derivada direcional e (b) O vetor unitário u→

da direção para qual

esse valor máximo é obtido para f(x , y )❑= 2 x2+xe y2 no ponto (1, 0).

IV - A temperatura T em graus C em um ponto (x , y )❑de uma placa de metal aquecida é dada por T

= 300

x2+ y2+3, onde x e y❑ são medidos em centímetros. (a) Que direção tomar a partir do ponto (-4,

3) a fim de que a T aumente mais rapidamente? (b) Qual a velocidade de T quando alguém se move a partir do ponto (-4, 3) na direção do item (a)?

V - Seja f(x , y , z)❑= 3 x2+8 y2−5 z2 , encontre a derivada direcional de f em (1, -1, 2) na direção do

vetor v→

= 2 i→

−6 j→

+3 k→

.

VI - O potencial elétrico V em volts no ponto P = (x , y , z)❑no espaço xyz❑é dado por V = 100¿, onde x , y , z❑são dados em centímetros. Qual a taxa de variação de V no instante que passamos por Po= (2 ,1,−2)❑na direção de P1= (4, 3, 0)?

VII - Seja f(x , y , z)❑= xy+xz+ yz+xyz .❑Encontre (a) O valor máximo da derivada direcional de f em (8, -1, 4); (b) O vetor unitário da direção para a qual essa derivada direcional máxima ocorre.

VIII - Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) O gradiente ∇Z de cada campo escalar, (b) O valor de ∇Z

no ponto ( xo , yo¿, (c) A derivada direcional Du→Z❑

em ( xo , yo¿ na direção do vetor unitário u→

.

1. Z = 7 x−3 y+4❑, ( xo , yo¿= (1, 1); u→

= √32

i→

+¿ 12j→

2. Z = xy❑, ( xo , yo¿= (2, -1); u→

= √22

i→

+¿ √22

j→



3. Z = 2 x2+3 y2−1❑, ( xo , yo¿= (0, 0); u→

= (cosθ) i→

+¿ (senθ) j→

, θ = π3

4. Z = exy❑, ( xo , yo¿= (1, 1); (cosθ) i→

+¿ (senθ) j→

, θ = −π4

IX - Nos problemas de 5 a 8, encontre (a) ∇f( xo , yo¿ e (b) O valor da derivada direcional de f em ( xo , yo¿ na direção indicada.

5. f = (x , y )❑ = x2 y+2 x y2❑, ( xo , yo¿= (1, 2) na direção do vetor unitário u→

= −12

i→

+¿ √32

j→

6. f = (x , y )❑ = tan−1(yx )

❑

, ( xo , yo¿= (-2, 1) na direção de (-2, 1) para (-6, -2).

7. f = (x , y )❑ = 1❑

x2+ y2, ( xo , yo¿= (3, 2) na direção do vetor unitário u

→ = 513

i→

+¿ 1213

j→

8. f = (x , y )❑ = ln √ x2+ y2❑

, ( xo , yo¿= (3, -1) na direção do vetor unitário v→

= 4 i→

+¿ 3 j→

X - Nos problemas 9 e 10, um campo escalar Z=f (x , y )❑é dado no plano xy .❑Encontre a taxa de variação desse campo escalar quando nos movemos da direita para a esquerda a partir do ponto ( xo , yo¿ dado ao longo da reta que faz o ângulo θ indicado com o eixo positivo dos x .❑

9. Z = 3 x2−x y❑+3 y❑, ( xo , yo¿= (3, 1); θ = π4

10. Z = e− y2 cos x, ( xo , yo¿= (π, 1); θ = π6

XI - Nos problemas de 11 a 14, determine (a) O valor máximo da derivada direcional e (b) Um vetor unitário ❑

→ na direção da derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado.

11. f (x , y )❑ = x2−7 xy+4 y2❑, em ( xo , yo¿= (1, -1)12. f (x , y )❑ = (x+ y−2)2+(3x-y-6)2, em ( xo , yo¿= (1, 1)

13. f (x , y )❑ = x2− y2−sen y❑, em ( xo , yo¿= (1, π2 )

14. f (x , y )❑ = e−5 xsen5 y❑, em ( xo , yo¿= (0, π20 )

XII - A temperatura T no ponto (x , y )❑ de uma placa de metal circular aquecida com centro na origem

é dada por T = 400

x2+ y2+2, onde T é medido em graus C e x e y❑ são medidos em centímetros. (a)

Que direção tomar a partir do ponto (1, 1) a fim de que a T aumente o mais rapidamente possível? (b) Qual a velocidade do aumento de T quando alguém se move a partir do ponto (1, 1) na direção escolhida no item (a)?



XIII - Nos problemas de 15 a 18, encontre (a) O valor máximo da derivada direcional e (b) Um vetor

unitário u→

na direção em que a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto

indicado.

15. f ( x , y , z )=(x¿¿2+ y2+z2)−1em(1 ,2 ,−3)¿16. h(x+ y )2+( y+z )2+(x+ z)2 em(2 ,−1 ,2)17. g ( x , y , z )=ex .cos ( yz )❑em(1 ,0 , π )

18. f ( x , y , z )= xx2+ y2

+ yx2+z2

em(3 ,1 ,1)

XIV - Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar f (x , y )❑no ponto indicado e

na direção v→

= i→

+ j→

19. f ( x , y )=2 x2+2 y2emP(1 ,1)20. f ( x , y )=2 x❑+ y❑emP(−1,2)21. f ( x , y )=2 x2+2 y2 emP(1 ,1)

XV - Nos exercícios 22 a 31, calcular o gradiente do campo escalar dado.

22. f ( x , y , z )=xy+xz+ yz .❑

23. f ( x , y , z )=x2+2 y2+4 z2 .❑

24. f ( x , y , z )=3 x y3−2 y .❑

25. f ( x , y , z )=√ xyz .❑

26. f ( x , y , z )=z−√x2+ y2 .❑

27. f ( x , y , z )=e2x2+ y .❑

28. f ( x , y , z )= 2xx− y .

❑

29. f ( x , y , z )=2 xy+ y z2+ ln z .❑

30. f ( x , y , z )=√ x+ yz

.❑

31. f ( x , y , z )=z ex2− y .❑

XVI - Em que direção devemos nos deslocar partindo de Q(1, 1, 0) para obter a taxa de maior decréscimo da função f ( x , y )=(2x+ y−2)2+(5 x−2 y )2?

XVII - Em que direção a derivada direcional de f ( x , y )=2 xy−x2no ponto (1 ,1 ) é nula?

XVIII - Em que direção e sentido a função dada cresce o mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce o mais rapidamente?



32. f ( x , y )=2 x2+xy+2 y2 em(1 ,1)33. f ( x , y )=exy em(2 ,−1)

XIX - Determinar a derivada direcional da função f ( x , y )=3 x2√ y❑no ponto A0=(2 ,4 ) , na direção do

vetor u→

= 3 i→

+ 4 j→

.

XX - Calcule o gradiente de f ( x , y )= yln x+xy2no ponto (1,2 ) .

XXI -A temperatura em graus Celsius na superfície de uma placa de metal é T ( x , y )=20−4 x2− y2 onde x e y❑são medidos em centímetros. Em qual direção a partir de (2, -3) a temperatura cresce mais rapidamente? Qual a taxa de crescimento?


210797504 derivada direcional gradiente 2013

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