2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ pacs...

445

ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ

PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb,83.50.Ha, 83.60.Wc

Возможный механизм образования зародышей каналов гидродинамического пластического течения в кристаллах

В. И. Засимчук, Е. Э. Засимчук, Ю. Г. Гордиенко

Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины, бульв. Акад. Вернадского, 36, 03680, ГСП, Киев-142, Украина

В данной работе усовершенствована система уравнений, описывающих про-цессы зарождения и агломерации точечных дефектов в пластически дефор-мируемых металлах. Несколькими способами показана возможность обра-зования зародышей гидродинамических каналов из агломератов. Показано, что при сверхнизких температурах, даже при небольших нагрузках, воз-можно появление очень больших концентраций вакансий в металле, что

может привести к его разрушению.

У даній роботі вдосконалено систему рівнянь, які описують процеси заро-дження та аґломерації точкових дефектів у пластично деформованих мета-лах. Декількома способами показано можливість утворення зародків гідро-динамічних каналів з аґломератів. Показано, що при наднизьких темпера-турах, навіть при невеликих навантаженнях, можлива поява дуже великих

концентрацій вакансій в металі, що може призвести до його руйнування.

In a given work, the set of equations describing the processes of the origin and

agglomeration of point defects in plastically deformed metals is improved. Us-ing several methods, the possibility of nucleation of hydrodynamical channels

from agglomerates is shown. As shown, the appearance of very high concentra-tion of vacancies in metal is possible at ultralow temperatures and even under

light loads that can leads to the destruction of metal.

Ключевые слова: вакансии, агломераты вакансий, скорость генерации ва-кансий, диффузия, стационарное состояние, устойчивость, гидродинамиче-ские каналы, сверхнизкие температуры.

(Получено 6мая 2012 г.; окончат. вариант– 27марта 2014 г.)

1. ВВЕДЕНИЕ

В ряде наших предыдущих работ (см. [1, 2 и др.]) было показано,

Металлофиз. новейшие технол. / Metallofiz. Noveishie Tekhnol. 2014, т. 36, № 4, сс. 445—459 Оттиски доступны непосредственно от издателя Фотокопирование разрешено только в соответствии с лицензией

2014 ИМФ (Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины)

Напечатано в Украине.

446 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО

что при определенных условиях дислокационный механизм пла-стической деформации кристаллов сменяется гидродинамическим

течением материала по каналам с неупорядоченной (жидкостнопо-добной) структурой внутри. Процесс обусловлен неустойчивостью,

возникающей в процессе деформации дислокационной структуры и

самоорганизацией дефектов кристаллического строения, в виде,

так называемых, каналов гидродинамического течения, ориенти-рованных вдоль максимальных компонент тензора приложенных

напряжений. Впервые синергетическая модель образования заро-дышей таких каналов была рассмотрена в работе [3]. В основе моде-ли лежит рассмотрение взаимодействия точечных дефектов (вакан-сий) в процессе механического нагружения кристалла. Настоящая

работа является логическим продолжением работы [3] с учетом

процессов распада скоплений вакансий. Она посвящена рассмотре-нию возможности самоорганизации вакансий в виде образования

локальных участков с очень высокой плотностью вакансий и их

скоплений, которые могут рассматриваться как зародыши каналов

гидродинамического течения.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

2.1. Вывод уравнений и исследование стационарного состояния

Процессы агломерации точечных дефектов в пластически дефор-мируемых металлах будем рассматривать с помощью зацепляю-щихся уравнений Смолуховского, описывающих агрегационную

кинетику [4]. Однако, в отличие от модели работы [3], дополним эту

модель учётом вероятности распада скопления (или агломерата) ва-кансий и зависимости этой вероятности от размера и морфологии

(геометрической формы) скопления. Предположим также, что ге-нерация точечных дефектов происходит, в основном, благодаря

скольжению винтовых дислокаций со ступеньками, а внешние

напряжения достаточно высоки для атермического движения та-ких дислокаций с генерацией вакансий, но не достаточны для про-изводства междоузельных атомов [5]. Исследовалось влияние про-цессов агломерации, поэтому захват другими несовершенствами

(трещинами, включениями и границами) полагался пренебрежимо

малым. Тогда получим следующую систему уравнений:

1

2

1 1 1 1 2 2 1

2 3

/ 2 2 ,N N

k k k k

k k

v t B B v B v v C v C v D v

(1а)

1 1 1 1 1 1/ , для 1 ,

k k k k k k k k kv t B v v C v B v v C v k N (1б)

1 1 1

/ ,N N N N N

v t B v v C v (1в)

ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 447

где N – число вакансий в скоплении максимального размера, v1 –

концентрация вакансий (в относительных единицах), kv – концен-

трация скоплений, содержащих k вакансий, D –коэффициент диф-

фузии вакансий, 2/B u a d – скорость генерации вакансий (u –

скорость дислокации, – плотность дислокаций, a – межатомное

расстояние, d – расстояние между ступеньками на винтовой дисло-

кации) [5],

2 2

4 2

nk

R D k DB

a a

– интенсивность присоединения ва-

кансий к скоплению k вакансий с размерностью (например, 1/2

для планарных, дисковых и произвольных сплошных плоских

скоплений, 1/3 для сферических скоплений, 1/3 1/2 для не-плотных фрактальных скоплений) и эффективным радиусом

1~k

R k , а

2 2

4 2

kk

R C k CC

a a

– интенсивность отсоединения ва-

кансий от скопления k вакансий с размерностью с эффективным

радиусом Rk, C – вероятность отсоединения вакансий от скопления

вакансий, с аналогичной D, экспоненциальной зависимостью от от-

ношения энергии активации отсоединения к температуре, t – вре-

мя. Следует отметить, что k k

CC B

D , и это соотношение справедли-

во для k 1, а для малых значений k оно приблизительно, более же

точной является линейная связь 2 12B B , 3 1

3B B и т.д.

Действительно, уменьшение концентрации вакансий за единицу

времени за счёт объединения вакансий и присоединения вакансий к

скоплению из k вакансий с образованием нового скопления пропор-ционально произведению интенсивности присоединения вакансий

к скоплению Bk и концентраций вакансий и скоплений, т.е. опреде-ляется выражением k k

B v . Аналогично, увеличение концентрации вакансий за единицу

времени за счёт распада скоплений (отсоединения вакансии от

скопления) из k вакансий пропорционально произведению интен-сивности отсоединения вакансий от скопления Ck и концентраций

вакансий и скоплений, т.е. определяется выражением Ckvk. Нали-чие членов с этим выражением в представленной здесь модели поз-воляет учесть вклад процессов распада скоплений вакансий. Таким

образом, в этом выражается расширение синергетической модели

из работы [3], в которой учитывалась только необратимая агломе-рация вакансий в скоплениях. Отсюда получаем выражение (1а), в котором коэффициент перед

членом 2

1 1B v полагаем равным 2, поскольку при образовании одной

бивакансии исчезают сразу две вакансии. Аналогично и при распа-


де одной бивакансии появляются сразу две новые вакансии, а пото-му появляется коэффициент 2 перед членом 2 2

C v . Аналогично по-лучаем уравнение (1б). При выводе уравнения (1в) предполагается,

что скопления более чем из N вакансий не образуются и соответ-ственно, не распадаются. При этом следует учесть, что по имею-щимся экспериментальным данным [6—10] в условиях интенсивной

пластической деформации могут образовываться стабильные скоп-ления вакансий очень большого размера, вплоть до

410N . Счита-ем также, что мобильными по диффузионному механизму являют-ся только вакансии, а остальные скопления малоподвижны [11]. Найдём теперь стационарные состояния системы (1), т.е. состоя-ния, когда

0k

v t для целых k, 1 k N . (2)

Из (1в) получим:

1 1 1

/ .N N N N

v B v v C (3)

Воспользуемся методом математической индукции [12] и докажем,

что для всех целых k таких, что

1 k N (4)

верна формула:

1 1 1/ .

k k k kv B v v C (5)

Предположим, она верна для k m. Подставляем (5) при k m в

(1б) для k m 1. Получаем

1 2 1 2 1

/ .m m m m

v B v v C (6)

Утверждение (5) с учётом (4) доказано. Подставляем все (5) в ста-ционарное уравнение, полученное от (1а):

1

0.B D v (7)

Далее используем замену:

1

.v v (8)

Найдем стационарное решение для уравнения (1а) для области в

виде длинного цилиндрического образца, ось которого расположена

вдоль оси OX, а концентрация вакансий v зависит только от одной


координаты x. Тогда получим уравнение:

2

2,

vb

x

(9)

где

.B

bD

(10)

Граничные условия получаем из учёта того факта, что на грани-цах (x L ) образца длиной L все вакансии выходят на поверх-ность. Следовательно

( ) ( ) 0.v L v L (11)

Кроме того, концентрация вакансий v может быть только неот-рицательной величиной

( ) 0.v x (12)

Тогда получим:

2 21 1

.2 2

v bx bL (13)

Следовательно, в стационарных условиях концентрация вакан-сий v плавно меняется вдоль координаты x в пределах

21

02

v bL , (14)

достигая максимального значения 2 2bL в середине области.

Численные оценки показывают, что данное стационарное рас-пределение может быть достигнуто лишь для нереалистично боль-шого значения максимальной концентрации вакансий v 1. Та-ким образом, в реальных условиях оно невозможно и возникает во-прос о поведении нестационарного распределения вакансий и скоп-лений, например об его устойчивости по отношению к простран-ственным возмущениям.

2.2. Исследование устойчивости однородного распределения

точечных дефектов и их скоплений

Рассмотрим систему уравнений (1) для нестационарных состояний.

Для начала сведём её путем приближений к системе двух уравне-ний с двумя неизвестными. Для этого уравнения (1) для скоплений


k 1 умножим на Bk, а затем сложим их. В результате система (1)

приблизительно сведётся к виду:

2

1

2 2

1

2 ,

2 .C

vB B v vS S D v

t

SB v vS S

t

(15)

В (15) усредненные величины S, SC, , , связаны следующими со-отношениями:

2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

, ,

,

,

.

C

N N

m m C m m

m m

Nm

m m

m m m

N

m Sm m

m

Nm

m m

m m

N

Sm m

m

N Nm m

m m m m

m mm m

N N

S Sm m m m

m m

CS B v S C v S S

D

CB v

B C C

B DB v

BB v

Bm

mB v

B BCC v B v

B Bm D m

Cm mC v B v

D

Точность этого приближения определяется условиями усреднения

производных (с пренебрежением производными более высокого по-

рядка, чем m

B

m

, что справедливо для очень медленно меняющейся

функции Bm для m 1) и члена 2 2

2

N

k k

k

C v C v

(точность последнего

становится большей с увеличением количества членов суммирова-

ния, т.е. наибольшего размера скопления N 1). В итоге получаем систему:

2

1

2 2

1

2 ( ) ,

2 ( ).

vB B v S v D v

t

SB v S v

t

(16)


Переменная S имеет физический смысл интегральной относи-тельной интенсивности поглощения вакансий всеми скоплениями,

а знак ...S обозначает усреднение не по числу скоплений, а по

суммарной интенсивности поглощения S. Аналогично, переменная

SC имеет физический смысл интегральной относительной интен-сивности испускания вакансий всеми скоплениями, а знак ...

CS

обозначает усреднение не по числу скоплений, а по суммарной ин-тенсивности испускания SC. Однородное пространственное распределение описывается си-стемой:

20

1 0 0 0

2 20

1 0 0 0

2 ( ),

2 ( )

vB B v S v

t

SB v S v

t

(17)

с пространственно однородными решениями v0(t) и S0(t), которые

могут быть получены лишь численно для скоплений с разной мор-фологией () (рис. 1). Для расчета использовались следующие чис-ленные значения параметров: N 104

[6—10], 10 2 110 м сD ,

2 2 110 м сu , 1012 м

2, a 41010

м, d 1000a [11, 13]). Про-странственно однородные решения v0(t, ) и S0(t, ) системы (17)

для скоплений с разной морфологией () демонстрируют несколько

качественно разных режимов: а) режим необратимой агломерации

( 0) вакансий, рассмотренный в [3]; б) переходный режим

(

410 ); в) квазистационарный режим – постоянная плотность

вакансий, но стабильный рост скоплений (310 ).

Количественный анализ устойчивости однородного распределе-ния выполним с помощью стандартной процедуры исследования

локальной линейной стабильности. Для этого будем искать реше-ния системы (15) в виде:

0

0

( , ) ( ) ( , ),

( , ) ( ) ( , ).

v x t v t v x t

S x t S t S x t

(18)

Здесь v и S – это малые возмущения от однородного состояния,

которые имеют вид:

exp( ),

exp( ),

v

S

v iqx wt

S iqx wt

(19)

где v и S – некоторые постоянные, – частота временных воз-мущений, q – волновое число пространственных возмущений. Подстановкой (18) с учётом (19) в (15) получаем систему двух ли-нейных однородных алгебраических уравнений относительно двух

неизвестных v и S


2

1 0 0 0

2

1 0 0 0

4 ( ) ,

2 ( )

v v S v S v

S v S v S

B v v S Dq

B v v S

или

2

1 0 0 0( 4 ) ( ) 0,

v SB v S Dq v (20)

v0(t, )

S0(t, )

Рис. 1. Пространственно однородные решения v0(t, ) и S0(t, ) системы

(17) для скоплений с разной морфологией (): режим необратимой агломе-рации ( 0) вакансий, рассмотренный в [3] (а); переходный режим (

104) (б); квазистационарный режим – постоянная плотность вакансий,

но стабильный рост скоплений ( 103) (в).


2

1 0 0 0(4 ) ( ) 0.

v SB v S v

Как известно, чтобы такая система имела нетривиальные решения,

необходимо, чтобы её определитель был равен нулю [14]. Отсюда

получаем квадратное уравнение относительно частоты временных

возмущений

2 2

0 0 1 0( 4 )Dq S v B v

2 2

0 1 0 1 0( )( 4 4 ) 0.v Dq B v B v (21)

Однородное состояние по отношению к малым возмущениям v и S

будет стабильно для Re() 0 и нестабильно для Re() 0. Анализ решений уравнения (21) показывает, что условие неста-бильности Re() 0 выполняется в следующих случаях (22)—(24),

где n – это некоторое промежуточное значение (1 n N) размера

скопления, которое характеризует усредненное значение :

0 0

2 1

1

,

2 1, т.е. для 1 2 и , c

v C Dv

B n

(22)

00

2 1

1

2 1

1

,

2 1, т.е. для 1 2 и ,

1 2 , т.е. для 1 2 и ,c

C Dvv

B k

B k

(23)

0 0

2 1

1

,

2 1, т.е. для 1 2 и и .

v C Dv

B k k

(24)

Первый случай (22) реализуется на начальном этапе (для малых v0,

поскольку всегда C D) и для плотных скоплений вакансий 1/2

(например, 1/3 для сферических скоплений, 1/3 1/2 для

фрактальных скоплений), причем для пространственных возмуще-ний с длиной волны c, где

1 21 2

01 2

0

.

12

c

aav k

kv

(25)

На рисунке 2 графически показано соотношение 2k21, которое

играет роль одного из критериев стабильности пространственно од-нородного решения v0(t) и S0(t). Второй случай (23) реализуется на более позднем этапе (для

больших v0). Для неплотных скоплений вакансий 1/2 (напри-мер, 1/2 для фрактальных скоплений с большей эффективной

поверхностью) он реализуется для пространственных возмущений с


произвольной длиной волны 2/q, а для плотных скоплений ва-кансий 1/2 – для пространственных возмущений с длиной вол-ны c. Следует отметить уникальный вариант (24) для 1/2 (для пла-нарных скоплений в форме диска или любой другой плоской гео-метрической фигуры), который реализуется на более позднем этапе

для пространственных возмущений с произвольной длиной волны

2/q. Дело в том, что для планарных скоплений B1, и квад-ратное уравнение (21) относительно частоты временных возмуще-ний принимает вид:

2 2 2

0 0 03 ( ) 0,Dq S v v Dq (26)

а критерий нестабильности зависит не от размера максимального

скопления, а определяется условием v0, т.е. C Dv0. Исходя из численных оценок, можно получить, что значение

1 2 ( 1 2)

0cav k может находиться в широких пределах в зависимо-

сти от морфологии скоплений вакансий (), их однородной концен-трации (v0) и размеров скоплений (k). Например, для сферических

скоплений вакансий с 1/3, однородной концентрацией 0v

8 1010 —10 и размерами скоплений 41—10k критическая длина

волны пространственного возмущения может находиться в диапа-зоне

1 2 1 6 5 6

010 —3 10

cav k м (рис. 3).

Таким образом, неустойчивость однородного состояния системы

вакансий и их скоплений может привести к возникновению про-странственных структур, например, гидродинамических каналов

Рис. 2. Соотношение 2k21, один из критериев стабильности простран-

ственно однородного решения v0(t) и S0(t). Темным цветом обозначена

плоскость для указания условия 2k21

1, которое реализуется для

1/2 для всех k.


[1, 2] с характерным размером, который может определяться кри-тической длиной волны развитой неустойчивости c. В зависимости от значений приведенных выше параметров про-цесса агломерации устойчивое состояние может иметь тип фокуса

или узла, а неустойчивое состояние может иметь тип вершины или

седла [15]. Однако принятые здесь допущения и приближения не

позволяют с достаточной достоверностью и приемлемой точностью

сделать заключение об условиях их существования.

3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Из выражений (9), (10) и (13) мы видим, что стационарное распре-деление концентрации вакансий в образце в стационарном состоя-нии зависит от а) отношения скорости генерации вакансий B к ко-эффициенту диффузии вакансий D, б) длины образца, в) положения

рассматриваемой точки в образце. Однако важно отметить, что ста-ционарное распределение концентрации не зависит от вероятностей

перехода вакансий в агломераты и обратно, поскольку стационар-ное уравнение (7) не содержит явно описания процессов агрегации.

Более того, для выбранных значений параметров решение (13) дает

нереалистично большое значение максимальной концентрации

v 1. Как показано выше, однородное решение исходной системы

в виде (1) не является устойчивым по отношению к пространствен-ным возмущениям, а потому достижимость нереалистичного ста-

Рис. 3. Критическая длина волны пространственного возмущения c 1 2 ( 1 2)

0av k для скоплений вакансий в зависимости от морфологии () и

размеров (k) скоплений вакансий для однородной концентрации вакансий

v0 108.


ционарного решения (13) является крайне маловероятной. Пространственно однородное распределение вакансий v0(t, ) и

скоплений (через интегральную способность поглощения вакансий

S0(t, )) системы (см. рис. 1) может существовать в трех режимах: а)

режим необратимой агломерации ( 0) вакансий, рассмотренный

в [3], б) переходный режим ( 5105), в) квазистационарный ре-

жим – постоянная плотность вакансий, но стабильный рост скоп-лений ( 10

3). Это распределение становится неустойчивым по отношению к

малым пространственным возмущениям (19), которые могут разви-ваться по экспоненциальному закону для возмущений с произволь-ной или критической длиной волны (22)—(24). Следует отметить,

что на начальном этапе агломерации вакансий ( v0) условие не-устойчивости (22) связано с большей вероятностью испускания ва-кансий скоплениями по сравнению с их поглощением (C Dv0). Это

значит, что на начальном этапе развитие неустойчивости будет

определяться способностью скоплений отдавать вакансии с крити-ческой длиной волны пространственной нестабильности c. На

более позднем этапе ( v0), наоборот, условие неустойчивости (24)

определяется большей вероятностью поглощения вакансий по

сравнению с интенсивностью испускания их скоплениями (C Dv0). Это значит, что на более позднем этапе развитие неустойчивости бу-дет определяться способностью скоплений поглощать вакансии с

критической длиной волны пространственной нестабильности

c. При этом критическая длина волны пространственного воз-мущения для возникновения неустойчивости зависит от морфоло-гии скоплений. В случае 0 система (16) и условия неустойчиво-сти (22)—(24) соответствуют рассмотренной ранее синергетической

модели образования зародышей таких каналов на основе необрати-мой агрегации вакансий, которая была рассмотрена в работе [3]. Следует отметить, что в условиях большой концентрации вакан-сий и слабого испускания вакансий скоплениями (C Dv0) про-странственное распределение планарных скоплений ( 1/2) явля-ется абсолютно неустойчивым по отношению к возмущениям с лю-бой длиной волны. Этот результат может объяснить огромное коли-чество экспериментально наблюдаемых плоских вакансионных

комплексов с образованием дислокационных петель, зон локализа-ции дефектов и пластической деформации планарной формы, т.е. в

виде полос и плоскостей, которые не соответствуют кристаллогра-фически выгодным плоскостям скольжения дислокаций [5—10, 16—19]. Таким образом, указанная неустойчивость может приводить к

образованию пространственно-неоднородных распределений ва-кансий и их скоплений в виде пор, трещин и гидродинамических

каналов пластического течения [1, 2]. Вместе с тем, следует отметить, что предложенная исходная сис-


тема зацепляющихся уравнений (1) является нелинейной и не под-дается аналитическому решению даже в упрощенном виде (16) и

(17). Аналитические решения удается найти только для некоторых

случаев агрегации точечных объектов в скопления, например, для

одношаговых процессов агрегации [19—22]. Кроме того, сложность

процессов взаимодействия дефектов в процессе пластической де-формации не позволяет на данном этапе включить в рассмотрение

многие другие факторы, например, условия роста и существования

неплотных скоплений вакансий (например, фрактальных скопле-ний с 1/2), аномально высокую подвижность скоплений крупно-го размера в некоторых условиях пластической деформации [23]

и т.д. Однако приведенный здесь качественный анализ позволяет опре-делить условия нестабильности системы вакансий, которые способ-ны образовывать скопления сложной морфологии. Как видно из

пространственно однородных решений v0(t, ) и S0(t, ) системы (17)

для скоплений с разной морфологией, даже при небольших скоро-стях генерации вакансий, концентрация вакансий v0(t, ) может

достигать огромных величин. В условиях критической неустойчи-вости по отношению к пространственным возмущениям это может

вызывать локализацию дефектов и их скоплений с появлением зон

локализации дефектов, пор, трещин и, как результат, разрушение

материала.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе предложена система зацепляющихся уравне-ний Смолуховского с целью получения системы дифференциаль-ных уравнений (1), описывающей процессы агломерации вакансий

в скопления в пластически деформируемых металлах. Она являет-ся версией системы аналогичных уравнений [3], расширенной за

счет учета процессов распада скоплений вакансий. Найдено стаци-онарное решение этой системы относительно концентрации вакан-сий. Получено рекуррентное соотношение между концентрацией

скоплений из k вакансий и концентрацией скоплений из k 1 ва-кансий. Исходная система N-уравнений (1) сведена к более простой

приближенной системе двух уравнений (16) относительно концен-трации вакансий и интегральной интенсивности поглощения ва-кансий скоплениями. Найдено однородное нестационарное реше-ние системы (16). Система уравнений (16) исследована на устойчивость однородно-го нестационарного решения по отношению к малым простран-ственным возмущениям. Отмечено, что в условиях большой кон-центрации вакансий пространственное распределение планарных

скоплений является абсолютно неустойчивым по отношению к воз-


мущениям с любой длиной волны. Этот результат может объяснить

огромное количество экспериментально наблюдаемых плоских ва-кансионных комплексов с образованием дислокационных петель,

зон локализации дефектов и пластической деформации планарной

формы, т.е. в виде полос и плоскостей. Показано, что в образце всегда найдутся области, где стационар-ное состояние будет неустойчивым. Таким образом, показана воз-можность образования зародышей гидродинамических каналов в

кристалле в результате нелинейных процессов агломерации точеч-ных дефектов, которые генерируются в процессе пластической де-формации.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. E. E. Zasimchuk and L. I. Markashova, Mater. Sci. Eng. A, 127: 33 (1990).

2. М. Н. Белякова, Е. Э. Засимчук, Ю. Г. Гордиенко, Металлофиз. новейшие

технол., 21, № 4: 59 (1999).

3. Yu. Gordienko and E. Zasimchuk, Philos. Mag. A, 70, No. 1: 99 (1994).

4. M. von Smoluchowsky, Phys. Z., 17: 557 (1916).

5. J. Hirth and J. Lote, Theory of Dislocations (New York: McGraw-Hill: 1968).

6. M. Kiritani, Y. Satoh, Y. Kizuka, K. Arakawa, Y. Ogasawara, S. Arai, and

Y. Shimomura, Philos. Mag. Lett., 79, No. 10: 797 (1999).

7. X. L. Wu, B. Li, and E. Ma, Appl. Phys. Lett., 91, No. 14: 141908 (2007).

8. J. Piqueras, J. C. Grosskreutz, and W. Frank, physica status solidi (a), 11, No. 2: 567 (1972).

9. J. G. Antonopoulos, L. M. Brown, and A. T. Winter, Philos. Mag., 34, No. 4: 549 (1976).

10. W. Kleinert and W. Schmidt, physica status solidi (a), 60 (1): 69 (1980).

11. A. C. Damask and G. J. Dienes, Point Defects in Metals (New York: Gordon and

Breach: 1963).

12. А. Шень, Математическая индукция (Москва: МЦНМО: 2004).

13. Л. Н. Лариков, В. И. Исайчев, Структура и свойства металлов и сплавов. Диффузия в металлах и сплавах: Справочник (Киев: Наукова думка: 1987).

14. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и

инженеров (Москва: Наука: 1978).

15. Т. Хаяси, Нелинейные колебания в физических системах (Москва: Мир: 1968).

16. Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, J. S. Schreiber, E. E. Zasimchuk, and

I. K. Zasimchuk, Adv. Eng. Mater., 8, No. 10: 957 (2006).

17. E. E. Zasimchuk, Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, and I. K. Zasimchuk, J. Mater. Eng. Perf., 12, No. 10: 69 (2003).

18. Yu. G. Gordienko, E. E. Zasimchuk, and R. G. Gontareva, J. Mater. Sci. Lett., 22, No. 3: 241 (2003).

19. Y. Gordienko, Int. J. Mod. Phys. B, 26, No. 1: 1250010 (2012).

20. J. Ke and Z. Lin, Phys. Rev. E, 66: 050102(R) (2002).

21. Z. Lin and J. Ke, Phys. Rev. E, 67: 031103 (2003).

22. Z. Lin, J. Ke, and G. Ye, Commun. Theor. Phys., 43: 837 (2005).


23. Y. Matsukawa and S. J. Zinkle, Science, 318, No. 5852: 959 (2007).

REFERENCES

1. E. E. Zasimchuk and L. I. Markashova, Mater. Sci. Eng. A, 127: 33 (1990).

2. M. N. Belyakova, E. Eh. Zasimchuk, and Yu. G. Gordienko, Metallofiz. Noveishie Tekhnol., 21, No. 4: 59 (1999) (in Russian).

3. Yu. Gordienko and E. Zasimchuk, Philos. Mag. A, 70, No. 1: 99 (1994).

4. M. von Smoluchowsky, Phys. Z., 17: 557 (1916).

5. J. Hirth and J. Lote, Theory of Dislocations (New York: McGraw-Hill: 1968).

6. M. Kiritani, Y. Satoh, Y. Kizuka, K. Arakawa, Y. Ogasawara, S. Arai, and

Y. Shimomura, Philos. Mag. Lett., 79, No. 10: 797 (1999).

7. X. L. Wu, B. Li, and E. Ma, Appl. Phys. Lett., 91, No. 14: 141908 (2007).

8. J. Piqueras, J. C. Grosskreutz, and W. Frank, physica status solidi (a), 11, No. 2: 567 (1972).

9. J. G. Antonopoulos, L. M. Brown, and A. T. Winter, Philos. Mag., 34, No. 4: 549 (1976).

10. W. Kleinert and W. Schmidt, physica status solidi (a), 60, No. 1: 69 (1980).

11. A. C. Damask and G. J. Dienes, Point Defects in Metals (New York: Gordon and

Breach: 1963).

12. A. Shen’, Matematicheskaya Induktsiya (Moscow: MCNMO: 2004) (in Rus-

sian).

13. L. N. Larikov and V. I. Isaychev, Struktura i Svoystva Metallov i Splavov. Dif-

fuziya v Metallakh i Splavakh: Spravochnik (Kiev: Naukova Dumka: 1987) (in

Russian).

14. G. Korn and T. Korn, Spravochnik po Matematike dlya Nauchnykh Rabotnikov

i Inzhenerov (Mocow: Nauka: 1978) (Russian translation).

15. Ch. Hayashi, Nelineynye Kolebaniya v Fizicheskikh Sistemakh (Nonlinear Os-

cillations in Physical Systems) (Moscow: Mir: 1968) (Russian translation).

16. Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, J. S. Schreiber, E. E. Zasimchuk, and

I. K. Zasimchuk, Adv. Eng. Mater., 8, No. 10: 957 (2006).

17. E. E. Zasimchuk, Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, and I. K. Zasimchuk, J. Mater. Eng. Perf., 12, No. 10: 69 (2003).

18. Yu. G. Gordienko, E. E. Zasimchuk, and R. G. Gontareva, J. Mater. Sci. Lett., 22, No. 3: 241 (2003).

19. Y. Gordienko, Int. J. Mod. Phys. B, 26, No. 1: 1250010 (2012).

20. J. Ke and Z. Lin, Phys. Rev. E, 66: 050102(R) (2002).

21. Z. Lin and J. Ke, Phys. Rev. E, 67: 031103 (2003).

22. Z. Lin, J. Ke, and G. Ye, Commun. Theor. Phys., 43: 837 (2005).

23. Y. Matsukawa and S. J. Zinkle, Science, 318, No. 5852: 959 (2007).

2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ pacs...

Documents