· 2 vježba 121 morska voda sadrži 4.5% soli. koliko slatke vode treba uliti u 160 litara morske...

1

Zadatak 121 (Maja, gimnazija)

Morska voda sadrži 4.5% soli. Koliko slatke vode treba uliti u 80 litara morske vode da bi

koncentracija soli bila 2.5%?

Rješenje 121 Ponovimo!

Račun smjese

Kada miješamo dvije tvari masa m1 i m2 (ili obujma V1 i V2) te svojstava (cijena, postotak, promil,

gustoća, brzina i sl.) s1 i s2, a tražimo prosječno svojstvo s smjese, vrijedi izraz:

( ) 1 1 2 21 1 2 2 2

1

.1

2

m s m sm s m s m m s s

m m

⋅ + ⋅⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ =

+

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100.

Na primjer, 9 81 4.5 0.3

9 % , 81 % , 4.5 % , 0.3 % , .100 100 100

%1100 00

pp= = = = =

Kako se računa ''... p% od x...''?

100.

px⋅

1.inačica

Prema računu smjese dobije se:

4.51

801

02

2.5

?2

s koncentracija soli u morskoj vodi

m količina morske vode

s koncentracija soli u slatkoj vodi

s koncentracija soli u smjesi

m količina slatke vode

= −

= −

= −

= −

= −

Računamo m2.

( )1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2m s m s m m s m s m s m s m s⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )2 2 2 1 1 1 2 2 1 1m s m s m s m s m s s m s s⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ − ⇒

( ) ( )( ) ( )80 2.5 4.51

/1 1

2 2 1 1 2 2 0 2.2

52

s

m s sm s s m s m m

sss

s

⋅⋅

−

− ⋅ −⇒ ⋅ − = ⋅ − ⇒ = ⇒ = ⇒

− −

( )80 2 80 2 16064.

2 2 2 22.5 2.5 2.5m m m m

⋅ − ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

−

Treba uliti 64 litre slatke vode. (1 litra ≈ 1 kilogram)

2.inačica

Najprije izračunamo koliko ima soli u 80 litara morske vode.

4.580 3.6 .

100l l⋅ =

Neka je x količina slatke vode koju treba uliti u 80 litara morske. Tada je ukupna masa razrijeđene

vode (smjese) 80 + x. Kada x litara slatke vode ulijemo u 80 litara morske vode tih 3.6 litara soli činit

će 2.5% koncentracije soli u smjesi pa vrijedi jednadžba:

( ) ( )100

/2.5 2.5

80 3.6 80 3.6 80 144 144 80 64.100 2.5100

x x x x x⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =⋅

Treba uliti 64 litre slatke vode. (1 litra ≈ 1 kilogram)

2

Vježba 121 Morska voda sadrži 4.5% soli. Koliko slatke vode treba uliti u 160 litara morske vode da bi

koncentracija soli bila 2.5%?

Rezultat: 128 litara.

Zadatak 122 (Ivana, turistički tehničar)

Ako kilogram govedine s kostima ima 250 grama kostiju, koliki je postotak kostiju, a koliki

čistog mesa?

Rješenje 122

Ponovimo!

1 10 .00kg g=

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj

jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine. Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine:

• S – osnovna vrijednost

• p – postotak

• P – postotni iznos.

Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak. Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi:

.: 100 : 100S P p S p P= ⇒ ⋅ = ⋅

1.inačica Budući da kilogram govedine s kostima ima 250 grama kostiju, njihov postotak iznosi:

100 1 100100 1

0/

2 000

1

5

PS

S kg gp P S P

P gp

SSp

= =⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

=⇒⋅ ⇒

100 250 100 250 2500025.

1000 1

2

000 1000

5000

1000

g

g

gp p p p p

g

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Postotak kostiju je 25%, a čistog mesa

100 % 25% 75%.− =

2.inačica

Budući da kilogram govedine s kostima ima 250 grama kostiju, njihov postotak iznosi:

100 1 100100 1

0/

2 000

1

5

PS

S kg gp P S P

P gp

SSp

= =⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

=⇒⋅ ⇒

100 250 100 250 2500025.

1000 1

2

000 1000

5000

1000

g

g

gp p p p p

g

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Postotak kostiju je 25%.

3

U kilogramu govedine s kostima ima 250 grama kostiju pa na čisto meso otpada

1000 250 750 .g g g− =

Računamo postotak čistog mesa.

10 10001/

7

0100 1

500

0

S gPS p P S p P

Sp

P gS

⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒

=⋅

=⇒

100 750 100 750 7500075.

1000 1

7

000 1000

5000

1000

g

g

gp p p p p

g

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 122 Ako kilogram govedine s kostima ima 25 dekagrama kostiju, koliki je postotak kostiju, a

koliki čistog mesa?

Rezultat: 25%, 75%.

Zadatak 123 (Ivana, turistički tehničar)

U uzorku od 520 istovrsnih proizvoda utvrđeno je da ima 104 proizvoda s pogreškom. Koliko

posto ispravnih proizvoda ima u uzorku?

Rješenje 123

Ponovimo!


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine.

Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =



• p – postotak


Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak. Postotni račun od 100 napisan u obliku

razmjera glasi: .: 100 : 100S P p S p P= ⇒ ⋅ = ⋅

1.inačica

Budući da u uzorku od 520 istovrsnih proizvoda ima 104 proizvoda s pogreškom, u postotku to iznosi:

5201/

10010

100

4100

SPS p P

PSS p P p

S

⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

=

=⇒⋅ ⇒

100 104 10 40020.

520 520p p p

⋅⇒ = ⇒ = ⇒ =

Proizvoda s pogreškom ima 20%,a ispravnih proizvoda je

100 % 20 % 80 %.− =

2.inačica

Budući da u uzorku od 520 istovrsnih proizvoda ima 104 proizvoda s pogreškom, ispravnih proizvoda

4

je

520 104 416.− =

Računamo postotak ispravnih proizvoda.

5201/

10010

410

6100

SPS p P

PSS p P p

S

⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

=

=⇒⋅ ⇒

100 416 4160080.

520 520p p p

⋅⇒ = ⇒ = ⇒ =

Postotak ispravnih proizvoda je 80%.

Vježba 123 U uzorku od 520 istovrsnih proizvoda utvrđeno je da ima 416 ispravnih proizvoda. Koliko

posto neispravnih proizvoda ima u uzorku?

Rezultat: 20%.

Zadatak 124 (Dominik, tehnička škola)

Razredni odjel 1A ima 28 učenika. Izračunajte postotak djevojčica i postotak dječaka ako ima

5 dječaka.

Rješenje 124

Ponovimo!


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine.

Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =



• p – postotak



razmjera glasi:

.: 100 : 100S P p S p P= ⇒ ⋅ = ⋅

1.inačica

Budući da u razrednom odjelu od 28 učenika ima 5 dječaka, u postotku to iznosi:

100100 100

281/

5

S

PS

PS p P S p P p

S

⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

== ⇒⋅

=⇒

100 5 50017.86.

28 28p p p

⋅⇒ = ⇒ = ⇒ =

Tada je postotak djevojčica

100 % 17.86 % 82.14 %.− =

2.inačica

Budući da u razrednom odjelu od 28 učenika ima 5 dječaka, djevojčica je

28 5 23.− =

Računamo postotak dječaka i djevojčica u razrednom odjelu.

5

Postotak dječaka Postotak djevojčica

100S p P⋅ = ⋅

1001

/S p PS

= ⋅ ⋅⋅

100 Pp

S

⋅=

100 5

28p

⋅=

500

28p =

17.86.p =

100S p P⋅ = ⋅

1001

/S p PS

= ⋅ ⋅⋅

100 Pp

S

⋅=

100 23

28p

⋅=

2300

28p =

82.14.p =

Dominikov razred ☺

Vježba 124

Razredni odjel 1A ima 24 učenika. Izračunajte postotak djevojčica i postotak dječaka ako ima

5 dječaka.

Rezultat: 20.83% dječaka, 79.17% djevojčica.

Zadatak 125 (Matea, Ivana, Petra, TUPŠ)

Cijena kišobrana povećana je 20%, a potom snižena 30% i sada stoji 126 kn. Kolika je bila

početna cijena?

. 140 . 144 . 150 . 154A kn B kn C kn D kn

Rješenje 125

Ponovimo!

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine. Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


100.

px⋅

Kako zapisati da se x poveća za p% ?

100.

px x+ ⋅

Kako zapisati da se x smanji za p% ?

100.

px x− ⋅

1.inačica

6

Neka je x početna cijena kišobrana.

Budući da je cijena povećana za 20%, možemo napisati:

200.20 1.20 .

100x x x x x+ ⋅ = + ⋅ = ⋅

Nova cijena snižena je za 30% pa vrijedi:

( )30

1.20 1.20 1.20 0.30 1.20 1.20 1 0.30 1.20 0.70 0.84 .100

x x x x x x x⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅

Sada kišobran stoji 126 kn i zato možemo napisati jednadžbu:

0.84 126 0.84 126 15/ : 0.8 0.4x x x⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Odgovor je pod C.

2.inačica

Neka je x početna cijena kišobrana. Budući da je cijena najprije povećana 20%, a potom snižena 30% i

sada iznosi 126 kn, vrijedi jednadžba:

( ) ( )1 0.20 1 0.30 126 1.20 0.30 126 0.84 126 0.84 126 150./ : 0.84x x x x x+ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Odgovor je pod C.

Vježba 125

Cijena kišobrana snižena je 30%, a potom povećana 20% i sada stoji 126 kn. Kolika je bila

početna cijena?

. 140 . 144 . 150 . 154A kn B kn C kn D kn

Rezultat: C.

Zadatak 126 (Sara, srednja škola)

Obujam leda je za 1

9 %11

veći od obujma vode od koje je nastao. Koliki je obujam vode koja

nastaje taljenjem 312 dm3 leda?

3 3 3 3. 340 . 277 . 286 . 296A dm B dm C dm D dm

Rješenje 126

Ponovimo!

, , , .1

a a

b a c b n a d db ba nc ac c b c b

d d

⋅ + ⋅= = = =

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅



Na primjer,

7

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


100.

px⋅


100.

px x+ ⋅

Neka je x količina vode koja se smrzavanjem pretvara u led obujma 312 dm3. Prema uvjetu zadatka

vrijedi jednadžba.

1 100 1009

11 11 11 11312 312 312 31210

100

100100 100

1

0

1

x x x x x x x x+ ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒

1

1 111 312 3 /12 312 11 312 111 1 1

1

11

11

x x x x x x x x⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅⋅ = ⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒

/ :312 11 3

12 312 11 12 312 111 28 .2

2 61

x x x x dm⋅

⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod C.

Vježba 126

Obujam leda je za 1

9 %11

veći od obujma vode od koje je nastao. Koliki je obujam vode koja

nastaje taljenjem 0.312 m3 leda?

3 3 3 3. 0.340 . 0.277 . 0.286 . 0.296A m B m C m D m

Rezultat: C.

Zadatak 127 (Lussy, srednja škola) Cijena jednog proizvoda se prema cijeni drugog proizvoda odnosi kao 2 : 3. Prvi proizvod

poskupi za 10%, a drugi za 15%. Koliko je prosječno poskupljenje tih dvaju proizvoda?

Rješenje 127

Ponovimo!

Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


jedinice

8

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅



Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


100.

px⋅



• p – postotak



razmjera glasi:

.: 100 : 100S P p S p P= ⇒ ⋅ = ⋅

Neka je x cijena prvog proizvoda, a y cijena drugog proizvoda. Iz njihovog međusobnog odnosa

dobije se:

3: 2 : 3 2 3 2 3 1 5 .

2/ : 2 .x y y x y x y x y x= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Poskupljenje prvog proizvoda je 10% pa to iznosi

100.10 .

100x x⋅ = ⋅

Poskupljenje drugog proizvoda je 15% pa to iznosi

150.15 .

100y y⋅ = ⋅

Za oba proizvoda je:

• ukupna početna cijena

iz razmjera1.5 2.5

1.5y xx y x x x

= ⋅+ = = + ⋅ = ⋅

• ukupno poskupljenje

iz razmjera

1.50.10 0.15 0.10 0.15 1.5 0.325 .x y x x x

y x= ⋅⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

Računamo prosječno poskupljenje tih dvaju proizvoda.

[ ]

2.5

0.325 2.5 100 0.325

?

100S p P

S x

P x x p x

p

= ⋅

= ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒= ⋅

=

⋅

2.5 100 0.3251

/2.

35

1 .x px

x p⇒ ⋅ ⋅⋅

= ⋅ ⇒ =⋅⋅

Prosječno poskupljenje tih dvaju proizvoda je 13%.

Vježba 127

Cijena jednog proizvoda se prema cijeni drugog proizvoda odnosi kao 4 : 6. Prvi proizvod

poskupi za 10%, a drugi za 15%. Koliko je prosječno poskupljenje tih dvaju proizvoda?

Rezultat: 13%.

9

Zadatak 128 (Anchy Moon, turističko-hotelijerski komercijalist)

Dana je tablica energetskih vrijednosti i količine ugljikohidrata u 100 grama žitarica i u 100

grama mlijeka.

100 g ŽITARICA

100 g MLIJEKA

Energetska vrijednost

341 kcal / 1441 kJ

60 kcal / 251 kJ

Ugljikohidrati

57.0 g

4.53 g

Anchy Moon ☺ je uzela obrok od 20 g žitarica i 250 g mlijeka.

a) Kolika je energetska vrijednost obroka izražena u kilokalorijama (kcal)?

b) Koliko posto u tome obroku čine ugljikohidrati?

Rješenje 128

Ponovimo!

Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅



Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =



• p – postotak



razmjera glasi:

.: 100 : 100S P p S p P= ⇒ ⋅ = ⋅

a)

Anchy Moon uzela je 20 g žitarica. To je 5 puta manje od 100 g. Budući da 100 g žitarica ima

energetsku vrijednost 341 kcal, 20 g žitarica imat će 5 puta manju energetsku vrijednost i iznosit će

1341 68.2 .

5kcal kcal⋅ =

Ili pomoću razmjera:

6820100 : 341 20 : 100 6820 100 68

1/

1020 68.2 .

1 00 0x x x x x kcal= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒⋅ = ⇒ =

Anchy Moon uzela je 250 g mlijeka. To je 2.5 puta više od 100 g. Budući da 100 g mlijeka ima

energetsku vrijednost 60 kcal, 250 g mlijeka imat će 2.5 puta veću energetsku vrijednost i iznosit će

2.5 60 150 .kcal kcal⋅ =


10

15000100 : 60 250 : 100 15000 100 15

1/

100000 150 .

100x x x x x kcal= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒⋅ = ⇒ =

Energetska vrijednost obroka izražena u kilokalorijama iznosi:

68.2 150 218.2 .kcal kcal kcal+ =

b)

Najprije izračunamo masu ugljikohidrata u 20 g žitarica i 250 grama mlijeka.

Anchy Moon uzela je 20 g žitarica. To je 5 puta manje od 100 g. Budući da u 100 g žitarica ima 57.0 g

ugljikohidrata, u 20 g žitarica bit će 5 puta manje ugljikohidrata i iznosit će

157.0 11.4 .

5g g⋅ =


1140100 : 57.0 20 : 100 1140 100

1/

101140 1

01.4 .

100x x x x x g= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =⋅

Anchy Moon uzela je 250 g mlijeka. To je 2.5 puta više od 100 g. Budući da u 100 g mlijeka ima

4.53 g ugljikohidrata, u 250 g mlijeka bit će 2.5 puta više ugljikohidrata i iznosit će

2.5 4.53 11.325 .g g⋅ =


1132.5100 : 4.53 250 : 100 1132.5 100 1132.5 11.32

1/ 5

00 11.

00x x x x x g= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =⋅ ⇒ =

Masa ugljikohidrata u obroku iznosi:

11.4 11.325 22.725 .g g g+ =

Anchy Moon za obrok pojela je 20 g žitarica i 250 g mlijeka pa je ukupna masa obroka:

20 250 270 .g g g+ =

Računamo postotak ugljikohidrata u obroku.

[ ]100

270

22.725 270 100 22.725 270 100 22.725 / : 270

?

S

S p PP p p

p

=

= ⇒ ⇒ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ == ⋅ ⋅ ⇒

=

100 22.7258.42.

270p p

⋅⇒ = ⇒ =

Ugljikohidrati čine 8.42% obroka.

Vježba 128

Dana je tablica energetskih vrijednosti i količine ugljikohidrata u 200 grama žitarica i u 200

grama mlijeka.

200 g ŽITARICA

200 g MLIJEKA

Energetska vrijednost

682 kcal

120 kcal

Anchy Moon je uzela obrok od 20 g žitarica i 250 g mlijeka. Kolika je energetska vrijednost obroka

izražena u kilokalorijama (kcal)?

Rezultat: 218.2 kcal.

Zadatak 129 (Vedrana, gimnazija)

Ukupan prihod prodavača sastoji se od fiksnog dijela koji iznosi 3000 kn i od provizije koja se

obračunava na vrijednost prodane robe na sljedeći način:

I. ako je vrijednost prodane robe u rasponu od 5000 kn do 10000 kn, provizija iznosi 8% iznosa

koji premašuje 5000 kn (primjerice za vrijednost od 7000 kn provizija iznosi 8% od 2000 kn),

11

II. ako je vrijednost prodane robe veća od 10000 kn, obračunava se provizija na iznos od 5000 kn

do 10000 kn kako je opisano pod I., te još dodatna provizija od 12% na iznos koji premašuje 10000

kn.

Jedan je mjesec prodavač prodao robu u vrijednosti V kuna, pri čemu je V > 10000. Koliki je

njegov ukupni prihod za taj mjesec izražen s pomoću V?

. 2 200 0.12 . 3000 0.2 . 1400 0.08 . 4 600 0.04A V B V C V D V+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Rješenje 129

Ponovimo!



Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


100.

px⋅

Na iznos preko 10 000 kn računa se provizija 12% pa je to

( ) ( )12

10 000 10 000 0.12.100

V V− ⋅ = − ⋅

Za vrijednost robe koja je u rasponu od 5000 do 10000 kn računa se provizija 8%. U ovom slučaju je

vrijednost 5000 pa je provizija

85000 5000 0.08.

100⋅ = ⋅

Fiksni dio je 3000 kn pa je ukupna provizija u ovisnosti o V jednaka:

( )10 000 0.12 5000 0.08 3000 0.12 1200 400 3000 2 200 0.12 .V V V− ⋅ + ⋅ + = ⋅ − + + = + ⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 129

Ukupan prihod prodavača sastoji se od fiksnog dijela koji iznosi 3000 kn i od provizije koja se

obračunava na vrijednost prodane robe na sljedeći način:

I. ako je vrijednost prodane robe u rasponu od 5000 kn do 10000 kn, provizija iznosi 8% iznosa

koji premašuje 5000 kn (primjerice za vrijednost od 7000 kn provizija iznosi 6% od 2000 kn),

II. ako je vrijednost prodane robe veća od 10000 kn, obračunava se provizija na iznos od 5000 kn

do 10000 kn kako je opisano pod I., te još dodatna provizija od 15% na iznos koji premašuje 10000

kn.

Jedan je mjesec prodavač prodao robu u vrijednosti V kuna, pri čemu je V > 10000. Koliki je

njegov ukupni prihod za taj mjesec izražen s pomoću V?

. 1800 0.15 . 2 000 0.15 . 1600 0.06 . 3000 0.06A V B V C V D V+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Rezultat: A.

Zadatak 130 (Dado, ekonomska škola)

Cijena knjige je 125 kn. Cijena je prvo snižena za 20%, a nakon toga još za 30%. Za koliko je

kuna ukupno snižena cijena knjige?

. za 50 . za 55 . za 57.50 . za 62.50A kn B kn C kn D kn

Rješenje 130

Ponovimo!



12

Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


100.

px⋅

Kako zapisati da se x smanji za p% ?

100.

px x− ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ 1.inačica

Cijena knjige je 125 kn. Prvo sniženje je 20% i iznosi:

20125 125 0.20 25 .

100kn⋅ = ⋅ =

Sada je cijena knjige

125 25 100 kn− =

pa njezino sniženje od 30% je

10030 30

1100 30 .

100 00kn⋅ = ⋅ =

Ukupno sniženje cijene knjige iznosi:

25 30 55 .kn kn kn+ =

Odgovor je pod B.

2.inačica

Cijena knjige je 125 kn. Prvo je snižena 20%, a zatim još 30% pa je konačna cijena knjige:

( ) ( )125 1 0.20 1 0.30 125 0.80 0.70 70 .kn⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ =

Ukupno sniženje cijene knjige iznosi:

125 70 55 .kn− =

Odgovor je pod B.

3.inačica

Cijena knjige je 125 kn. Prvo je snižena 20%, a zatim još 30% pa je ukupno sniženje jednako

( ) ( ) ( )125 125 1 0.20 1 0.30 125 125 0.80 0.70 125 1 0.80 0.70 55 .kn− ⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =

Odgovor je pod B.

Vježba 130

Cijena knjige je 125 kn. Cijena je prvo snižena za 30%, a nakon toga još za 20%. Za koliko je

kuna ukupno snižena cijena knjige?

. za 50 . za 55 . za 57.50 . za 62.50A kn B kn C kn D kn

Rezultat: B.

13

Zadatak 131 (Tom, ekonomska škola)

Osoba A zaradila je x kuna, osoba B dvostruko više od osobe A, a osoba C tri četvrtine zarade

osobe B. Koja od navedenih tvrdnji nije točna?

. Osoba C zaradila je 50% više od osobe A.A

3 x. Osoba C zaradila je kuna više od osobe A.

2B

⋅

x. Osoba C zaradila je kuna manje od osobe B.

2C

. Osoba C zaradila je 25% manje od osobe B.D

Rješenje 131

Ponovimo!

, , .1

n a c a c a c a d b cn

b d b d b d b d

⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ = − =

⋅ ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Kako zapisati da je broj a n – terostruko puta veći od broja b?

.a n b= ⋅

Kako izračunati od ?a

xb

.a

xb

⋅



Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =



• p – postotak



razmjera glasi:

.: 100 : 100S P p S p P= ⇒ ⋅ = ⋅

Osoba A zaradila je x kuna. Osoba B ima dvostruko više od osobe A što iznosi 2 · x. Osoba C ima tri

četvrtine zarade osobe B pa to iznosi:

24

3 3 32 .

4 2

xx x

⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Provjeravamo tvrdnju A koja kaže da je osoba C zaradila 50% više od osobe A.

Osnovna vrijednost je zarada x osobe A, a postotni iznos je razlika između zarada osoba C i A.

[ ]3

100 100100 / :2 2 2 2

? ?

S x S x

x x x xP x P x p x p

p p

S p P x

= =

⋅= − ⇒ = ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

= =

⋅ = ⋅

14

11 1

100 50.2

002

p p p⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Tvrdnja je točna.

Provjeravamo tvrdnju B koja kaže da je osoba C zaradila 3

2

x⋅ kuna više od osobe A. Osoba A

zaradila je x kuna, a osoba C 3

2

x⋅ kuna pa je razlika u zaradi

3 3 3 2.

2 2 1 2 2

x x x x x xx

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅− = − = =

Osoba C zaradila je 2

x kuna više od osobe A pa tvrdnja nije točna. Odgovor je pod B.

(Napomena: ostale tvrdnje ne morate provjeravati jer je samo jedan od ponuđenih odgovora točan.

Tako piše u propoziciji: U sljedećim zadatcima od više ponuđenih odgovora samo je jedan točan.)

Vježba 131

Osoba A zaradila je x kuna, osoba B dvostruko više od osobe A, a osoba C 75% zarade

osobe B. Koja od navedenih tvrdnji nije točna?

. Osoba C zaradila je 50% više od osobe A.A

3×x. Osoba C zaradila je kuna više od osobe A.

2B

x. Osoba C zaradila je kuna manje od osobe B.

2C

. Osoba C zaradila je 25% manje od osobe B.D

Rezultat: B.

Zadatak 132 (Dora, gimnazija)

Masa vozila bez tereta je 3000 kg. Nakon utovara teret čini 60% ukupne mase. Koliko posto

ukupne mase čini teret nakon što je istovarena trećina tereta?

. 20 % . 45% . 50% . 75%A B C D

Rješenje 132

Ponovimo!


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ Kako se računa p% od x?

.100

px⋅

Kako izračunati od ?a

xb

.a

xb

⋅



Na primjer,

15

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =



• p – postotak



razmjera glasi:

.: 100 : 100S P p S p P= ⇒ ⋅ = ⋅

= 60% ⋅⋅⋅⋅

1.inačica

Neka je m masa tereta. Nakon utovara teret čini 60% ukupne mase (masa vozila + masa tereta) pa

vrijedi jednadžba:

( ) ( ) ( )60

100

60 33000 3000 3000

100 5m m m m m m= ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒

( ) ( )3

3000 5 3 3000 5 9 35 0/ 0 05

m m m m m m⇒ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = + ⋅⋅ ⇒

5 3 9 000 2 9000 2 9 000 4500./ : 2m m m m m⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Masa tereta je 4500 kg.

Kada se istovari trećina tereta na vozilu će ostati još 3000 kg tereta.

14500 4500 4500 1500 3000.

3− ⋅ = − =

Sada je ukupna masa vozila i ostatka tereta jednaka 6000 kg.

3000 3000 6000.+ =

Računamo koliko posto ukupne mase čini teret nakon što je istovarena trećina tereta.

[ ]

6 000

3000 6 000 100 3000 6000 1100 / : 6 000 3000 0

?

0

S

P p p

p

S p P

=

= ⇒ ⇒⋅ = ⋅ =⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

=

50.p⇒ =

Odgovor je pod C.

2.inačica

Neka je x ukupna masa (masa vozila + masa tereta). Budući da teret čini 60% ukupne mase, na masu

samog vozila otpada 40% od ukupne mase. Masa vozila je 3000 kg pa vrijedi jednadžba:

40 403000 3000 7 500.

100 100

100/

40x x x⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =⋅

Izračunali smo da je ukupna masa (masa vozila + masa tereta) jednaka 7500 kg. Tada je masa tereta

jednaka 4 500 kg.

7 500 3000 4500.− =

Ili ovako:

7 500100

60 607 500 4500.

100⋅ = ⋅ =

Trećina tereta iznosi 1500 kg.

16

14500 1500.

3⋅ =

Kada istovarimo 1500 kg tereta smanjit će se:

• ukupna masa (masa vozila + masa tereta) sa 7500 kg na 6000 kg

7 500 1500 6000− =

• masa tereta sa 4500 kg na 3000 kg

4500 1500 3000.− =

Računamo koliko posto ukupne mase čini teret nakon što je istovarena trećina tereta.

[ ]

6 000

3000 6 000 100 3000 6000 1100 / : 6 000 3000 0

?

0

S

P p p

p

S p P

=

= ⇒ ⇒⋅ = ⋅ =⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

=

50.p⇒ =

Odgovor je pod C.

Vježba 132

Masa vozila bez tereta je 3 t. Nakon utovara teret čini 60% ukupne mase. Koliko posto

ukupne mase čini teret nakon što je istovarena trećina tereta?

. 20 % . 45% . 50% . 75%A B C D

Rezultat: C.

Zadatak 133 (Koko, ekonomska škola)

Na koju vrijednost naraste 1 kn uložena uz p% kroz n godina, ako je ukamaćivanje godišnje?

Rješenje 133

Ponovimo!



Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


100.

px⋅


100.

px x+ ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =

Ako se 1 kn uloži uz p% na n godina onda se njezina vrijednost mijenja kroz godine ovako:

• na kraju prve godine naraste na C1

1 1 11 100 100

p pC = + ⋅ = +

• na kraju druge godine naraste na C2

2

1 1 1 12 1 1 1100 100 100 100 100

p p p p pC C C C= + ⋅ = ⋅ + = + ⋅ + = +

17

• na kraju treće godine naraste na C3

2 3

1 1 1 13 2 2 2100 100 100 100 100

p p p p pC C C C= + ⋅ = ⋅ + = + ⋅ + = +

• na kraju četvrte godine naraste na C4

3 4

1 1 1 14 3 3 3100 100 100 100 100

p p p p pC C C C= + ⋅ = ⋅ + = + ⋅ + = +

…………………………………………………………………………………………………

• na kraju n – te godine naraste na Cn

1

1 1 1 1 .1 1 1100 100 100 100 100

n np p p p p

C C C Cn n n n

−

= + ⋅ = ⋅ + = + ⋅ + = +− − −

Vježba 133

Na koju vrijednost naraste kapital C0 uložen uz p% kroz n godina, ako je ukamaćivanje

godišnje?

Rezultat: 1 .0 100

np

C Cn = ⋅ +

Zadatak 134 (Ivan, ekonomska škola)

Izračunajte 3

% od 7% od 1.6.14

Rješenje 134

Ponovimo!



Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


100.

px⋅

Decimalni broj pretvara se u razlomak tako da u brojnik stavimo broj kao cijeli (bez decimalne točke),

a u nazivnik dekadsku jedinicu koja ima nula koliko je mjesta poslije decimalne točke. Razlomak

skratimo, ako je moguće. Na primjer,

3 7 125 5 230270.3 , 0.07 , 1.25 , 23.027 .

10 100 100

12

4

5

100 1000= = = = = =

, , .1

a

n a d a c a cbnc b c b d b d

d

⋅ ⋅= = ⋅ =

⋅ ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Računamo 3

% od 7% od 1.6.14

18

3 3

7 7 16 3 7 16 3 16 3 1 1614 141.6100100 100 100 10 1400 100 10 100 10 200 100 1

7

1 0 0

1

40⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

3 1 3 1 2 3 1 3 1 1 3 42.4 10 .

100 10 25 100 10 25 100 25 100 5 12

16 2

200 501 00

−= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅

Vježba 134

Izračunajte 3

7% od % od 1.6.14

Rezultat: 4

2.4 10 .−

⋅

Zadatak 135 (Valentina, ekonomska škola)

Izračunajte 0.3% od 1 3 1 1

1 : 0.4.2 2 2 3

− ⋅ − −

Rješenje 135

Ponovimo!



Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


100.

px⋅

Decimalni broj pretvara se u razlomak tako da u brojnik stavimo broj kao cijeli (bez decimalne točke),

a u nazivnik dekadsku jedinicu koja ima nula koliko je mjesta poslije decimalne točke. Razlomak

skratimo, ako je moguće. Na primjer,

3 7 125 5 230270.3 , 0.07 , 1.25 , 23.027 .

10 100 100

12

4

5

100 1000= = = = = =

:, .1

, ,n a c a d b c a c a c a c a d a d

nb d b d b d b d b d b c b c

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅= − = ⋅ = = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅

.

a

a db

c b c

d

⋅=

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅

Zbog jednostavnosti najprije izračunamo vrijednost zadanog izraza (osnovnu vrijednost u postotnom

računu).

19

1 3 1 1 1 1 3 1 1 4 2 1 3 3 21 : 0.4 : :

2 2 2 3 1 2 2 2 3 10 2 2

4

6 10

− −− ⋅ − − = − ⋅ − − = ⋅ − =

4

1

1 3 1 2 1 3 1 5 3 5 9 5 4 1: .

2 2 6 5 2 2 6 2 4 212 12 12 3

−= ⋅ − = ⋅ − ⋅ = − = = = =

Sada računamo 0.3% od tog izraza.

1.inačica

3 3

1 0.3 1 1 1 3 1 1 1 310 100.3% 0.001 10 .1003 100 3 100 3 3 1000 3 1000 1000

3

3

1

−⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =

2.inačica

1 0.3 1 0.proširimo prvi 10 3

razlomak s 10 10

3 1 3 1 1 1 30.3% 0.001 10 .

3 100 3 100 3 1000 3 1000 1003 0

⋅ −⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =

⋅

Vježba 135

Izračunajte 0.3% od 1 3 1 1

1 : 0.4.2 2 3 2

− ⋅ + −

Rezultat: 0.001.

Zadatak 136 (Meggy, ekonomska škola)

Četvrtina glavnice uložena je uz 16% na 2 godine, trećina glavnice uz 10% na 6 mjeseci, a

ostatak na 8 mjeseci uz 12%. Kolika je glavnica ako su ukupne jednostavne kamate iznosile 3900 kn?

Rješenje 136

Ponovimo!

, , ,1

.n a c a d b c b a b a b a b

n ab d b d c c n n n

⋅ − ⋅ ⋅ += − = ⋅ = + =

⋅

Jednostavni kamatni račun

100100

,C p n

K C p n K⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =

gdje su:

K – jednostavne kamate ili interes

C – kapital ili glavnica

p – kamatna stopa ili kamatnjak

n – vrijeme u godinama.


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Neka je C tražena glavnica. Zadani uvjeti glase:

•

1

1 4

161

21

?1

C C

p

n g

K

= ⋅

=

=

=

20

•

1

2 3

102

6 16

2

6

112 2

?

2

2

C C

p

n mj g g g

K

= ⋅

=

= = = =

=

•

1 1 1 1 12 3 4 5

3 1 2 4 3 1 4 3 12 12

123

8 28

3 12 2 3

8

1

?3

C C C CC C C C C C C C C C C

p

n mj g g g

K

⋅ − ⋅ − ⋅= − − = = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = = ⋅

=

= = = =

=

• 3900K kn=

Budući da su ukupne jednostavne kamate zadane, vrijedi jednadžba:

3 3 31 1 1 2 2 21 2 3 100 100 100

C p nC p n C p nK K K K K

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + = ⇒ + + = ⇒

3 3 31 1 1 2 2 2

100 100 100/ 100

C p nC p n C p nK

⋅ ⋅⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅⇒ + + = ⇒

1001 1 1 2 2 2 3 3 3

C p n C p n C p n K⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

1 1 5100

1 1 2 2 3 34 3 12C p n C p n C p n K⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

1 1 5100

1 1 2 2 3 34 3 12C p n p n p n K⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

1/

1 1 5

1 1 2 2 3 34 3

1 1 5100

1 1 2 2 3 34 3 12

12p n p n p

C p n p n p n K

n

⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⇒

⋅

100 100 3900

1 1 5 1 1 1 5 216 2 10 12

1 1 2 2 3 34 3 12 4 3 2 12 3

K knC C

p n p n p n

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

390 000 390 000 390 000

1 1 1 5 2 1 2 5 102 4 2 5 5 8

3 3 3 3 3 316 10 12

4 2 12

kn kn knC C C⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + +

390 000 390 000 390 000 390 000

5 10 15 1 8 58 8

5

38

3 3

kn kn kn knC C C C⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ ++ + +

390 00030 000 .

13

knC C kn⇒ = ⇒ =

Vježba 136

Četvrtina glavnice uložena je uz 16% na 2 godine, trećina glavnice uz 10% na 6 mjeseci, a

ostatak na 8 mjeseci uz 12%. Kolika je glavnica ako su ukupne jednostavne kamate iznosile 7800 kn?

21

Rezultat: 60000 kn.

Zadatak 137 (Mirela, ekonomska škola)

Dvije glavnice su uložene uz jednostavni kamatni račun: prva 10000 kuna uz 10% godišnje,

druga 20000 kuna uz 4% godišnje. Kada će postići jednaku konačnu vrijednost? Obračun kamata je

dekurzivan.

Rješenje 137

Ponovimo!

Jednostavni kamatni račun

100100

,C p n

K C p n K⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =

gdje su:

K – jednostavne kamate ili interes

C – kapital ili glavnica

p – kamatna stopa ili kamatnjak

n – vrijeme u godinama.


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

10 0001

101

C kn

p

=

=

20 0002

42

C kn

p

=

=

?n =

Neka je n vrijeme (u godinama) za koje će dvije glavnice postići jednaku konačnu vrijednost. Tada

vrijedi:

1 1 2 21 1 2 2 1 2100 100

C p n C p nC K C K C C

⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ = + ⇒ + = + ⇒

/ 1001 1 2 2 100 1001 2 1 1 1 2 2 2100 100

C p n C p nC C C C p n C C p n

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ + = + ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⇒

( ) ( )100 100 1001 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1

C p n C p n C C n C p C p C C⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⇒

( ) ( )1001 1 2 2

1/

2 11 1 2 2

n C p C p CC p C

Cp

⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ =⋅ −

− ⋅⋅

⋅ ⇒

( ) ( )100 100 20 000 10 000 100 10 0002 1

10000 10 20 000 4 100 000 80 0001 1 2 2

C Cn n n

C p C p

⋅ − ⋅ − ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ −

101000 00050 .

20 000

00 000

20 000n n n g⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 137

Dvije glavnice su uložene uz jednostavni kamatni račun: prva 20000 kuna uz 10% godišnje,

druga 40000 kuna uz 4% godišnje. Kada će postići jednaku konačnu vrijednost? Obračun kamata je

dekurzivan.

Rezultat: 50 g.

22

Zadatak 138 (Fox, gimnazija)

Aritmetička sredina brojeva 0.16 i 0.14 je p % od broja 0.2.

. 12% . 50% . 75% . 26 %A p B p C p D p= = = =

Rješenje 138

Ponovimo!

, .1

n a c a cn

b d b d

⋅= ⋅ =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅



Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa ''... p % od x...''?

100.

px⋅

Neka je dan skup n pozitivnih brojeva { }, , , ... , .1 2 3

a a a an Tada je aritmetička sredina An brojeva

a1, a2, a3, … , an definirana izrazom

...1 2 3 .

a a a anAn

n

+ + + +=

Neka su a i b dva pozitivna realna broja. Tada je aritmetička sredina A brojeva a i b definirana izrazom

2.

a bA

+=

1.inačica

0.16 0.14 0.2 0.30 0.2 0.30 0.2 0.300.2

100 2 100 1 2 100 2/ 100

100 2

p p p p+ ⋅ ⋅⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅= ⇒ = ⇒

0.2 15 0.2 15 75/ 5 .p p p⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⇒ =⋅=

Postotak je p = 75 %. Odgovor je pod C.

2.inačica

0.16 0.14 2 0.30 0.30 1 0.300.2

100 2 100 10 2 100 2 10

2

010 5 2

p p p p+⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

0.30 0.3075.

500 2 50/ 500

0 2

p pp⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅

Postotak je p = 75 %. Odgovor je pod C.

Vježba 138

Aritmetička sredina brojeva 0.32 i 0.28 je p % od broja 0.4.

. 12% . 50% . 75% . 26 %A p B p C p D p= = = =

Rezultat: C.

23

Zadatak 139 (Vesna, ekonomska škola)

Sav svoj novac Marko je uložio u dva posla: u posao A uložio je 70 %, a u posao B 30 % od

ukupne svote. Posao A mu je donio dobitak 20 %, a posao B dobitak 120 %. Ukupno, Marko je

ostvario dobitak od:

. 42 % . 50% . 53% . 61%A B C D

Rješenje 139

Ponovimo!



Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


100.

px⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


100.

px x+ ⋅

30 % ⋅⋅⋅⋅ x

70 % ⋅⋅⋅⋅ x

1.inačica

Neka je x ukupna svota koju Marko posjeduje.

U posao A uložio je 70 % što iznosi

700.70 .

100x x⋅ = ⋅

U posao B uložio je 30 % što iznosi

300.30 .

100x x⋅ = ⋅

Budući da mu je posao A donio dobitak od 20 %, vrijedi:

( )20

0.70 0.70 0.70 0.20 0.70 0.70 1 0.20 0.70 1.20 0.84 .100

x x x x x x x⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ = ⋅

Budući da mu je posao B donio dobitak od 120 %, vrijedi:

( )120

0.30 0.30 0.30 1.20 0.30 0.30 1 1.20 0.30 2.20 0.66 .100

x x x x x x x⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ = ⋅

Dobitak koji je Marko ostvario iznosi:

( )50

0.84 0.66 1.50 1 0.50 0.501

.00

x x x x x x x x⋅ + ⋅ = ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅

Marko je ostvario dobitak od 50 %.

24

Odgovor je pod B.

2.inačica

Neka je x ukupna svota koju Marko posjeduje.

U posao A uložio je 70 % i ostvario dobitak od 20 %. U posao B uložio je 30 % i ostvario dobitak od

120 %. Sada je:

( ) ( )70 20 30 120

1 1 0.70 1 0.20 0.30 1 1.20100 100 100 100

x x x x⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + =

( )0.70 1.20 0.30 2.20 0.70 1.20 0.30 2.20 1.50x x x x= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ =

( )50

1 0.50 0.50 .100

x x x x x= ⋅ + = + ⋅ = + ⋅

Marko je ostvario dobitak od 50 %.

Odgovor je pod B.

Vježba 139

Sav svoj novac Marko je uložio u dva posla: u posao A uložio je 60 %, a u posao B 40 % od

ukupne svote. Posao A mu je donio dobitak 20 %, a posao B dobitak 120 %. Ukupno, Marko je

ostvario dobitak od:

. 59 % . 45% . 55% . 60 %A B C D

Rezultat: D.

Zadatak 140 (Đurđica, ekonomska škola)

Učinak četiriju poskupljenja po p% jednak je učinku dvaju poskupljenja po 200%. Postotak p

je u intervalu:

. 60, 70 . 70, 80 . 80, 90 . 90, 100A B C D

Rješenje 140

Ponovimo!

.n p nm p m

a a⋅ ⋅

=



Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =


100.

px⋅

Ako se broj x poveća za p%, a zatim još za q%, pišemo:

.1 1100 100

p qx

⋅ + ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Neka je C0 osnovna vrijednost. Nakon četiriju poskupljenja po p% bit će:

4

1 1 1 1 1 .0 0100 100 100 100 100

p p p p pC C⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ +

Ako osnovna vrijednost C0 poskupi dva puta po 200% bit će:

25

2200 200 200

1 1 1 .0 0100 100 100

C C⋅ + ⋅ + = ⋅ +

Iz uvjeta zadatka slijedi:

4 2 4 2200

1 1 1 10 0 0 0100 10

200/ :

01000 100

p pC C C C C⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒

( )4 4 4

2 2 21 1 2 1 3 1 3

100 100 1

4

0/

0

p p p⇒ + = + ⇒ + = ⇒ + = ⇒

4 24 21 3 1 3 1 3 3 1

100 100 100 100

p p p p⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒

( )3 1 100 3 1 73.21 70, 80 .100

/ 100p

p p p⇒ = − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⇒ ∈⋅

Odgovor je pod B.

Vježba 140

Učinak osam poskupljenja po p% jednak je učinku četiri poskupljenja po 200%. Postotak p

je u intervalu:

. 60, 70 . 70, 80 . 80, 90 . 90, 100A B C D

Rezultat: B

· 2 vježba 121 morska voda sadrži 4.5% soli. koliko slatke vode treba uliti u 160 litara morske...

Documents