2 20 kn/m ПРИМЕР – 10 1 3 1.0h 1 2 3' y -...

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

Доц. др Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]

57

ПРИМЕР – 10

На слици 10.1 је приказан носач који је састављен од три штапа. Хоризонтални штапови су

константног попречног пресека b/h=0.20/0.50 m, док је коси штап са линеарном променом висине.

Одредити силе на крајевима штапова и реакције ослонаца услед деловања:

1. задатог оптерећења,

2. температуре у оси штапова 2 и 3 од 0t 30 C ,

3. температурне разлике дуж штапа 2 од 0t 40 10 30 C ,

4. обртања укљештења у чвору 3 за Iu 3 . 7 5

t2 0

kN 1E 3 10 , 10

m C

20 kN/m

0.5h

1.0h

3'

3.0

3

1 3

2

1

4

2

4.0 3.0 3.0

Слика 10.1 – Геометрија носача са оптерећењем

3

1 21

4

23

1

4

1

23

7

89

5

6

Y

X

Слика 10.2 – Избор генералисаних померања чворова система

Непозната генералисана померања су: 1,2,3

Подаци:

штап i k L

1 1 2 4.0 -1.0 0 2 1 3 6.0 1.0 0 3 1 4 5.0 -0.8 -0.6

Усваја се да је:

ch h 0.5m ,

3

3 2 22c c c

cc c

b hI b h h 0.5 F12 0.0208m 48.08

b hF 12 b h 12 12 I

1

7 6cEF 0.2 0.5 3 10 3 10 ,

37 4

c

0.2 0.5EI 3 10 6.25 10

12



58

Елементи матрице трансформацуја штапова из локалног у глобални координатни систем:

k i1 2 3

ik

x x 0 4 10 4 0 4; 1.0; 1.0; 0.8

L 4 6 5

k i1 2 3

ik

y y 3 3 0 3; 0; 0 ; 0.6

L 4 5

Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:

1

4

1

23

1

4.0

1 2 3 1

1 c

4

1

0.04688 0.1875 0.04688

k EI 0.75 0.1875

сим. 0.04688

2

3

1

4

Слика 10.3 – Компоненте померања штапа 1

Матрица трансформације штапа:

1 2 3 1

g

4

0 0 0 1

0 0 0

T 0 0 1 0 0

0 0 0

0 0 0

2

3

1

4

1

2 3 4

1 0 0 2

T 0 1 0 3

0 0 1 4

1 1 1 c

2 3 4

0.04688 0.1875 0.04688 2

k̂ k T EI 0.1875 0.75 0.1875 3

0.04688 0.1875 0.04688 4

Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:

T

1 1 1 c

2 3 4

0.04688 0.1875 0.04688 2

ˆk T k EI 0.75 0.1875 3

сим. 0.04688 4

1

2

7

89

2

6.0

3

Матрица крутости штапа у локалном координатном систему:

2 c

1 2 3 7 8 9

8.0 0 0 8.0 0 0 1

0.0555 0.1666 0 0.0555 0.1666 2

0.6666 0 0.1666 0.3333 3k EI

8.0 0 0 7

0.0555 0.1666 8

сим. 0.6666 9




59


k

1 2 3 7 8 9

0 0 0 0 1

0 0 0 0 2

0 0 1 0 0 0 3T

0 0 0 0 7

0 0 0 0 8

0 0 0 0 0 1 9

2

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0T

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1


2 2 2ˆk k k

5

6

1

23

3

5x1.0=5.0

5 4 3 2 1 0

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

h

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

M0

Штап је променљивог попречног пресека, па је за

формирање елемената базне матрице крутости

потребно применити нумерички поступак.

Усвојено: ch h 0.5

Коефицијент нумеричке интеграције mk 1.0

Величина поделе носача: 1.0

Општи израз за трапезно правило:

1 2 3 n 1 nf(x)dx (f 2f 2f ... 2f f )2


4c c c c

c ig m m mc 0 m 5m 1

I h h h1 1EI k k k 0.02083 6.956 0.1449

F 2 h h 2 h

33 342 2 2c c c

c ig 0 m 0 m 0 m0 m 5m 1

h h h1 1EI M k M k M k 2.7327

2 h h 2 h

c igc ig

1 1EI d 0.3659

EI 2.7327

Матрица крутости штапа у локалном координатном систему:

ig ig

2 2igig ig

ig igg

ig

2ig

1 0 0 1 0

d L 0d L d L

d 0 d Lk

1 d 0

сим. d L



60

3 c

6.9002 0 0 6.9002 0

0.01464 0.07319 0 0.01464

k EI 0.3659 0 0.0732

6.9002 0

сим. 0.01464


3

0.8 0.6 0 0 0

0.6 0.8 0 0 0

T 0 0 1 0 0

0 0 0 0.8 0.6

0 0 0 0.6 0.8

3 c

5.529 4.1467 0 5.529 4.1467

0.0088 0.0117 0.0732 0.0088 0.0117

k̂ EI 0.0439 0.0586 0.3659 0.0439 0.0586

5.529 4.1467 0 5.529 4.1467

0.0088 0.0117 0.0732 0.0088 0.0117


3 c

1 2 3 5 6

4.4285 3.3104 0.0439 4.4285 3.3104 1

2.4974 0.0586 3.3104 2.4974 2

k EI 0.3659 0.0439 0.0586 3

4.4285 3.3104 5

сим. 2.4974 6

Матрица крутости система штапова:

c

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12.4285 3.3051 0.0439 0 4.4214 3.3051 8.0 0 0

3.3051 2.5959 0.07938 0.0469 3.3051 2.493 0 0.0555 0.1666

0.0439 0.07938 1.7826 0.1875 0.0439 0.0586 0 0.1666 0.333

0 0.0469 0.1875 0.04688 0 0 0 0 0

K EI 4.4214

1

2

3

4

3.3051 0.0439 0 4.4214 3.3051 0 0 0 5

3.3051 2.493 0.0586 0 3.3051 2.493 0 0 0 6

8.0 0 0 0 0 0 8.0 0 0 7

0 0.0555 0.1666 0 0 0 0 0.0555 0.1666 8

0 0.1666 0.3333 0 0 0 0 0.1666 0.666 9

1 – Задато оптерећење

Вектор еквивалентног оптерећења:

1

4

1

23

1

4.0

20 kN/m

1

50

Q 40

30

T

1 1 1

50 2

Q T Q 40 3

30 4

Слика 10.6 – Еквивалентно оптерећење штапа 1



61

1

2

7

89

2

6.0

3

20 kN/m

3.0 3.0

2 2

0 1

49 2

41 3Q Q

0 7

11 8

19 9


Укупни вектор еквивалентног оптерећења система:

Tp

s

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q 0 99 1.0 30 0 0 0 11 19

Срачунавање непознатих генералисаних померања:

p pss s sK q Q

1p p

s ss s c

0.1218 0.1554 0.0099 0

q K Q EI 0.5840 0.0298 99

сим. 0.5630 1.0

ps

c

15.395 11

q 57.846 2EI

3.516 3

Срачунавање сила на крајевима штапова:

p p pii i i

ˆR k q Q

Штап 1:

p11

57.846 50 47.95 2

ˆR k 3.516 40 31.79 3

0 30 32.05 4

Штап 2:

p22

15.395 0 123.16 1

57.846 49 45.20 2

3.516 41 29.02 3ˆR k0 0 123.16 7

0 11 14.80 8

0 19 29.81 9

Штап 3:

p33

15.395 0 154.75 1

57.846 0 0.56 2ˆR k 3.516 0 2.78 3

0 0 154.75 5

0 0 0.56 6

Реакције ослонаца:

p p po os s sR K q Q

os

30 32.05 4

0 123.16 515.395

0 93.15 6K 57.846

0 123.16 73.516

11 14.80 8

19 29.81 9



62

Дијаграми пресечних сила:

31.7929.02

15.65

29.81

4022.52.78

Слика 10.8 – Дијаграм момената савијања [kNm]

14.80

45.02

32.05

47.950.56

Слика 10.9 – Дијаграм трансверзални сила [kN]

-123.16

-154.7

5

0.0

Слика 10.10 – Дијаграм нормални сила [kN]

32.05

123.16

14.80

93.15

123.16

29.81

Слика 10.11 – Реакције ослонаца [kN] [kNm]



63

Слика 10.12 – Tower 5: Дијаграм момената савијања [kNm]

Слика 10.13 – Tower 5: Дијаграм трансверзални сила [kN]

Слика 10.14 – Tower 5: Дијаграм нормални сила [kN]



64

2 – Температура у оси штапа 2 и 3 00t 30 C


Q

2

6.0

6Q 1 t =30 C0

0

1 7 c t

6 5

Q Q EF t

3 10 10 30 900

t2

900 1

0 2

0 3Q

900 7

0 8

0 9


5.0

x 13

1.01N [kN]


4c c c

c 11 m m m0 m 5m 1

h h h1 1EF k k k 6.956

2 h h 2 h

6 5c 1t c tEF EF t L 3 10 10 30 5.0 4500 ,

14500

x 646.9246.956

t3

646.924

0

Q 0

646.924

0

Tt t

3 3 3

516.844 1

387.633 2

Q T Q 0 3

516.844 5

387.633 6

Укупни вектор еквивалентног оптерећења система је:

Tt

s

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q 383.156 387.633 0 0 516.844 387.633 900 0 0



65

Срачунавање непознати генералисаних померања:

1 1t t

s ss s ss

383.156 1

q K Q K 387.633 2

0 3

ts

c

106.917 11

q 285.923 2EI

15.366 3


t t ti i i i

ˆR k q Q

Штап 1:

t1 1

285.923 0 10.52 2

ˆR k 15.366 0 42.09 3

0 0 10.52 4

Штап 2:

t2 2

106.917 900 44.66 1

285.923 0 18.44 2

15.366 0 57.90 3ˆR k0 900 44.66 7

0 0 18.44 8

0 0 52.77 9

Штап 3:

t3 3

106.917 646.055 51.56 1

285.923 0 3.16 2ˆR k 15.366 0 15.83 3

0 646.055 51.56 5

0 0 3.16 6


t t to os s sR K q Q

t

o os

0 10.52 4

516.844 43.90 5106.917

387.633 28.97 6R K 285.923

900 44.66 715.366

0 18.44 8

0 52.77 9



66

Дијаграм пресечних сила:

52.77

57.90

42.09

15.83


-3.1

6

10.52

18.44


-44.66

-51.5

6

0.0


10.52

44.66

18.44

28.97

44.66

52.77




67






68

3 – Температурна промена у штапу 2 за 0t 30 C


h t

t =400

t =10U

o ut t t 40 10 30

1

2

7

89

2

6.0

3

t=30 C0

3 c tc

tQ EI

h

4 53

30Q 6.25 10 10

0.50

3Q 37.50

3 9Q Q

9Q 37.50

t2

0 1

0 2

37.50 3Q

0 7

0 8

37.50 9


Укупни вектор еквивалентног оптерећења система:

Tt

s

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q 0 0 37.50 0 0 0 0 0 37.50


1t

s ss

0 1

q K 0 2

37.50 3

ts

c

0.372 11

q 1.119 2EI

21.096 3


t t ti i i i

ˆR k q Q

Штап 1:

t1 1

1.119 0 3.90 2

ˆR k 21.096 0 15.61 3

0 0 3.90 4

Штап 2:

t2 2

0.372 0 .298 1

1.119 0 3.58 2

21.096 37.5 23.25 3ˆR k0 0 2.98 7

0 0 3.58 8

0 37.5 44.72 9

Штап 3:

t3 3

0.372 0 2.58 1

1.119 0 1.53 2ˆR k 21.096 0 7.64 3

0 0 2.58 5

0 0 1.53 6



69


44.72

23.25

7.64

15.61


+3.58

-3.90

+1.53


2.98

2.58

0.0

Слика 10.27 – Дијаграм нормални сила [kN] Реакције ослонаца:

to os

0 3.90 4

0 2.98 50.372

0 0.33 6R K 1.119

0 2.98 721.096

0 3.58 8

37.50 44.72 9

3.90

2.98

3.58

0.33

2.98

44.72




70






71

4 – Обртање укљештења у чвору 3 за Iu 3


u 2

m sek 3s 0 0 0.000873rad

180 60 180 6060

L

U

QQ

QQ2

3

5

6


Срачунавање сила на крајевима штапа:

2 5 u2

6 EIQ Q

L

2Q 9.094

5Q 9.094

3 u2 EI

QL

3Q 18.188

6 u4 EI

QL

6Q 36.38

Вектор еквивалентног оптерећења је:

2

0 1

9.094 2

18.188 3Q

0 7

9.094 8

36.38 9


1

s ss so oq K K q

1

s ss

4 5 6 7 8 9

0 4

0 50 4.4214 3.3051 8.0 0 0 1

0 6q K 0.0469 3.3051 2.498 0 0.0555 0.166 2

0 70.1875 0.0439 0.0586 0 0.1666 0.333 3

0 8

0.000873 9



72

s c

0.0000255 1

q EI 0.0000936 2

0.000168 3


i i i iˆR k q Q

Штап 1:

1 1 c

0.0000936 1.69 2

ˆR k EI 0.000168 6.78 3

0 1.69 4

Штап 2:

2 2 c

0.0000255 0 12.74 1

0.0000936 9.094 7.02 2

0.000168 18.188 10.22 3ˆR k EI0 0 12.74 7

0 9.094 7.02 8

0 36.38 31.90 9

Штап 3:

3 3 c

0.0000255 15.45 1

0.0000936 0.69 2ˆR k EI 0.000168 3.43 3

0 15.45 5

0 0.69 6


o os s

0.0469 0 0 0 0 0 0

0 4.4214 3.3051 0 0 0 0

0 3.3051 2.493 0 0 0 0R K q

0 0 0 8.0 0 0 0

0 0 0 0 0.0555 0.1666 0

0 0 0 0 0.1666 0.6666 0.000873

o

1.69 4

12.76 5

8.71 6R

12.74 7

7.02 8

31.89 9



73


3.43

10.216.78

31.89


7.02

-0.6

9

-1.69


-12.74

-15.4

5

0.0


1.69

12.74

7.02

8.71

12.74

31.89




74




2 20 kn/m ПРИМЕР – 10 1 3 1.0h 1 2 3' y -...

Documents