144 tesiscarballo

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<ul><li> 1. UNIVERSIDAD DE SONORADivisin de Ciencias Exactas y NaturalesDEPARTAMENTO DE MATEMTICASEl Teorema de Seifert-Van Kampen y AlgunasAplicacionesQUE PARA OBTENER ELTTULO DE:LICENCIADO EN MATEMTICASPRESENTA:EDGAR CARBALLO DOMNGUEZDIRECTOR DE TESIS:DR. RAFAEL ROBERTO RAMOS FIGUEROAHermosillo, Sonora. Agosto de 2008.</li></ul><p> 2. El Teorema de Seifert-Van Kampen y AlgunasAplicacionesEdgar Carballo DomnguezDirector de tesis: Dr. Rafael Roberto Ramos Figueroa1 3. ndiceIntroduccin 2Teora de Homotopa Elemental 42.1. Homotopa de Trayectorias 42.2. Homotopa de Aplicaciones 162.3. El Grupo Fundamental del Crculo 342.4. Retractos y Aplicaciones 40Grupos Libres y Productos Libres de Grupos 453.1. Producto Dbil de Grupos Abelianos 453.2. Grupos Abelianos Libres 523.3. Producto Libre de Grupos 663.4. Grupos Libres 743.5. Presentacin de Grupos por Generadores y Relaciones 80El Teorema de Seifert y Van Kampen sobre el Grupo Fun-damentalde la Unin de Dos Espacios. Aplicaciones 904.1. Enunciado del Teorema de Seifert y Van Kampen 904.2. Primera Aplicacin del Teorema de Seifert y Van Kampen 954.3. Segunda Aplicacin del Teorema de Seifert y Van Kampen . 1054.4. Estructura del Grupo Fundamental de una Superficie Compacta1084.5. Prueba del Teorema de Seifert y Van Kampen 126 4. 1. IntroduccinUno de los principales problemas de la topologa es saber cundo dosespacios topolgicos no son homeomorfos, lo cual en general es muy difcil,pues, para demostrar que dos espacios topolgicos son homeomorfos hay queencontrar tan slo un homeomorfismo, pero al contrario, para demostrar queno lo son, hay que demostrar que no existe un homeomorfismo, y es imposiblerevisar cada funcin y decidir si es un homeomorfismo.Podemos en cambio, encontrar propiedades topolgicas, es decir, propieda-desde un espacio topolgico que se conserven bajo homeomorfismos, entrelas que tenemos: Conexidad, compacidad, medibilidad, los axiomas de nu-merabilidady separacin, etctera, podemos usar esto para saber que la bolacerrada no es homeomorfa a la bola abierta y que sta no es homeomorfa ala unin disjunta de dos bolas abiertasEsta lista de propiedades topolgicas no es suficiente, pues si revisamoscada una de ellas ninguna nos distingue entre la esfera y el toro que sabemospor intuicin que no pueden ser homeomorfos.La topologa algebraica nos da nuevas propiedades topolgicas que, me-dianteel lgebra nos hacen distinguir la esfera del toro.La intencin de esta tesis es introducir al lector la topologa algebraica, ypresentarle el primer grupo de homotopa o grupo fundamental y que apreciela importancia de ste.Esta tesis esta separada en 3 secciones. La primera, posiblemente la partems topolgica, nos presenta el grupo fundamental, y algunas otras defini-cionescomo homotopa y por supuesto algunos resultados sobre ellos, estaseccin es para presentar al lector las herramientas topolgicas con que seva a trabajar. La segunda seccin es puramente algebraica y se estudian losgrupos libres, que como veremos, adems de ser interesante por s misma,nos va a ser de gran ayuda en la ltima seccin que es la central en esta tesiscomo el ttulo indica; esta seccin la dedicamos al teorema de Seifter-VanKampen que nos dice cmo es la estructura de los grupos fundamentalesde muchos espacios topolgicos y como aplicacin calcularemos los gruposfundamentales del toro, el doble toro, etc., as como el plano proyectivo, labotella de Klein y sumas conexas de stos.Suponemos que el lector est familiarizado con conceptos bsicos de topolo-gageneral, como continuidad, compacidad, conexidad por trayectorias, es-paciosproducto y cociente y en algunos mometos se hace referencia a los2 5. axiomas de separacin Tambin el lector debe estar familiarizado con elconcepto de grupo, subgrupo, subgrupo normal3 6. 2. Teora de Homotopa ElementalEste captulo de este trabajo est basado principalmente en [3], exceptola seccin 2.3 que fue basada en [4] y en [5].I denoter al intervalo cerrado [0,1].2.1. Homotopa de TrayectoriasA travs de este trabajo llamaremos aplicacin a una funcin continua.Definicin 2.1. Si X es un espacio topolgico y o- : I 1 X es una aplicacin,entonces llamaremos a a una trayectoria, si adems o- (0) = a (1) = xoentonces le llamamos lazo en xo.Definicin 2.2. Sean r, a : I &gt; X trayectorias tales quea (0) = T (0) = xoo- (1) -= T (1) =decimos que r y a son homotpicos con puntos extremos fijos denotado pora er-:-. T rel {0, 1} o bien a rc're1{0,1} '7- si existe una aplicacin F:IxI &gt; Xtal que para cualquier s, t E IF (s ,0) = o- (s)F (s,1) = T (s)F (O, t) xoF (1, t) =pro(s)Figura 1:En este caso llamamos a F homotopa de a ar y podemos denotadoF a 27/are1{0,1} 7.4 7. 2.1 Homotopa de Trayectorias.Intuitivamente, una trayectoria a : I &gt; X se dice que es homotpica rel-ativaal {O, 1} a r si se puede deformar continuamente una en la otra dejandosus puntos extremos fijos. Al ir variando s, dejando fijo t = 4, observamosque la imagen de F nos va "pintando" una curva en el espacio topolgico Xrepresentando el instante en el tiempo t = to, como si hubieramos tomadouna fotografa; recprocamente, si dejamos fijo s = so y vamos variando t enel intervalo I, la imagen de F nos "pinta" la trayectoria de una partcula opunto de la curva mientras sta se deforma.Enunciaremos ahora un pequeo lema sobre continuidad en la unin deespacios topolgicos que nos va a ser de gran ayuda en el resto de este captu-lo.Lema 2.3. Sea X = AUB donde A y B son cerrados en X. Sean f : A &gt; Yy g : B &gt; Y funciones continuas tales que para toda x EAn13 se tiene quef (x) = g (x)entonces podemos definir h : X &gt; Y tal queh (x) =f (x) si x E Ag (x) si x E By adems h es continua en X .Al lema anterior se le conoce como el lema de pegado, cuya prueba puedeser encontrada en [5] p.123. nProposicin 2.4. La relacin %t{oa}es de equivalencia.Demostracin. Sean o-,T, p : I &gt; X trayectorias en X tales quea (0) = T (0) = p (0) = roa (1) = r (1) = p (1) = riProbaremos primero la propiedad reflexiva, sea F:IxI X definida porF (s, t) = a(s) entonces F es una homotopa de a a a puesF (s, O) = o- (8)F (s, 1) = o- (s)F (O, t) = cr (0) = xoF (1, t) = o- (1) = xi5 8. 2.1 Homotopa de Trayectoriasas F ret, re1{0,1}Probemos la simetra; supongamos que F r- b'reio 7. Sea G: IxI Xtal que G (s, t) = F (s, 1 - t) entoncesG (s, O) = F (s, 1) = (s)G (s, 1) = F (s, O) = u (3)G (O, t) = F (O, 1 t) x0G (1, t) = F (1,1 t) = xicon lo cual G : r P.:mg j}Por ltimo, para probar la transitividad supongamos que F : a 7""jrel{0,1}Y G Itre1{0,1} P Definimos la funcin H: I x I &gt; X porH (s, t) =F (s,2t) si O &lt; tG (s,2t 1) si 12 &lt; t 1fFigura 2:Entonces H es continua pues F (s, 1) = 7 (s) = G (s, O) y las homotopasF, G son continuas, por el lema 2.3 H es continua y satisfaceH (s, O) = F (s, O) = ,a (s)H (s, 1) F (s, 1) = p(s)H (O, t) = xoH (1, t) = xl6 9. 2.1 Homotopa de TrayectoriasFigura 3:entonces H : a ;;'-s' re/{0,1} p. Ya probado esta proposicin 2.4 podemos hablar de sus clases de equiva-lencia,a las que les llamaremos clases de homotopa.Definicin 2.5. Sean a, T : 1 I X trayectorias en X tal que u (0) x0,o- (1) = T (0) = x1 , r (1) = x2 . DefinimosCIT (t){ a (2t) si O t 12T (2t 1) si &lt; t &lt; 1Proposicin 2.6. Si F : a Pere1{0 ,0 Ci y C 1"1-"ire1{0,1} 1-1a 7- I.Demostracin. Grficamente tenemos la siguiente situacinFigura 4:entonces OT rd{o,i}Definimos H : I x 1 &gt; X motivada por la figura 5, de la siguiente maneraF (2s, t) si O &lt; 44I s ti) +1 = 4s to 1 4Para co, queremos que para cada to E 1 fijo[to 2 1 r to + 211111 4 j [111]entonces para cada s E {P,s &gt; s 1&gt;4 1 to44-2 toCon estos clculos definamos F : [0,1] x [0,1] tal que para cada (s, t) E[0, 1] x [0, 1]11 14. 2.1 Homotopa de TrayectoriasEst bien definida puesCT el)) a (1) X0 T (0) T (4 (L-,E,-1) t7. (4 (4(-422)t-t )(t+2` t co t42) T (1) = XO = (0) = 2y por el lema 2.3 es continua. Es la homotopa buscada pues{ cr (4s) si O &lt; s &lt; 1F (s, O) = T (4s 1) si 1 &lt; s &lt; 1co (2s 1) si I &lt; s &lt; 1a (23) si O &lt; s &lt; 1F (s, 1) = T (48 - 2) si 1 &lt; s &lt; 1GJ (4s 3) si 1 &lt; s &lt; 1F (0,0 = o- (0) = x0(4F(1,t) = w2 t t2) ta (1) = xoy por lo tanto (UT) LO -n.%ret{0,1} a (no).Ahora vemos que [xo] es el elemento neutro de ni (X, xo). Sea [a] Eri (X, xo), vamos a probar que 0.X0 re1{0,1} a. Consideramos la figura 8.Encontremos un homeomorfismo de [0, 1511- a [0,1], entonces a cada s E[O, !al-1 le asociamoss 2s1)4-1 O to + 1esto nos propone la funcin(M) Si O &lt; S &lt; t-+T1-xo Si fr-j- s &lt; 1pues el punto final de a es xo; F est bien definida ya queto-(2 ()p-)+1= a (1) = x0= ( (ar) W) (S)= (- (7W)) (S)F (8 ,t) r= {0"e12 15. 2.1 Homotopa de TrayectoriasFigura 8:la continuidad se sigue del lema 2.3; AdemsF (s, O) = (aro) (s){a (2s) si O &lt; s ni (X, xi ) tal que ce.[a] = [a-1 ua] es unisomorfismo.Demostracin. Primero a, est bien definido pues si al a2 entoncespor la proposicin 2.6 tenemos que a -lcia rtsre/{0,1} a-1c2 a . Y adems(a-1 o-l oi) (0) = a-1 (0) = a (1) -=(a-l o-i a) (1) = a (1) =As que a. [a] E ni (X, xi)13 16. 2.1 Homotopa de TrayectoriasFigura 9:Veamos que a* es un homomorfismo. Sean [al] , [a-2] E ir, (X, xo), entoncesa* [cric2] la o-oa]Ra 1 0.1a) (a 10.2a)][ct-10_2ct1a* [o-1] a.. [0-2] Para demostrar que es biyectiva encontraremos una funcin inversa. Pro-ponemosaz' como sta, ahora, si [aso ] E Ir]. (X xo) y [ux1] E ir, (X, xi)entonces(a* o a. 1 ) [0-.01 = cez' (a* [axo]) = aZ1 Ga-luxoal) = [aa-laxoaa-l] = [axoi(a,71 a*) [axil = a* (a7 1 [cx1]) = a* Gauxi a-11777) [ux1]Por lo que a* es un isomorfismo. nCorolario 2.9. Si X es conexo por trayectorias, entonces el grupo funda-mentalir1 (X, xo) es independiente del punto xo salvo isomorfismos.Definicin 2.10. Definimos la categora de los espacios topolgicos puntea-doscomo aquella cuya clase de objetos son los pares (X, xo); y si (Y, yo) esotro espacio topolgico con punto base yo, los morfismos son las aplicacionesf : X Y tal que f (x0)= yo. Cita le]Definicin 2.11. Si f : X &gt; Y tal que f (xo) = yo definimos su morfismoinducido f* : (X, xo) ri (Y, yo) Por la regla f, [a] = [f o a].14 17. 2.1 Homotopa de TrayectoriasObservacin 2.12. Ntese que f* est bien definido pues si al Rtirel{0,1} 0.2son lazos en xo entonces existe una homotopa F tal queF (8,0) = o-1(s)F (s, 1) = u1(s)F (O, t) = F (1, t) = xoAs, definimos G:IxI --&gt; Y por G (s, t) f o F (s, t). EntoncesG (s,0) = f (F (s, 0)) = f (0-1 (s)) = (f o 01) (s)G (8,1) = f (F (3,1)) = f ( 0-2(s)) = o a2) (s)G (O, t) f (F (O, t)) = f (xo) = yo f (F (1, t)) = G ( 1 , t)as G- : f o al P"-.te/{0,1} f 0-2f* es un homomorfismo puesf. (rail a-21) = ( [0-1 0-2]) = (0-10-2)]y ademsf (2s Y es una aplicacin tal que f (xo) = yo entoncesf* es un funtor, donde xo es el punto base de X y yo es el punto base de Y.Demostracin. Si Y = X y f = Ida- la identidad en X entonces si [u] Eri (X, x0) entonces f* [u] = [fu] = [u]. Adems si g : (11 yo) (Z, zo)entonces (g f). [u] = [g ffu] = g* [fu] = g* f* [a] por lo que (g f). = g* f**.. Ahora podemos hablar del funtor grupo fundamental de la categora delos espacios topolgicos punteados a la categora de los grupos.15 18. 2.2 Homotopa de Aplicaciones2.2. Homotopa de AplicacionesDado que las trayectorias son aplicaciones de I en X, Podemos intentarreemplazar I por algn espacio topolgico Y y definir homotopa. As ya notendremos puntos finales {0,1} como en I pero lo podemos reemplazar poralgn A C Y.Definicin 2.14. Sean X,Y espacios topolgcos yA C X, sean f,g : X &gt; Yaplicaciones tales que fl A = gIA decimos que f g rel A o bien f Rtrebt gsi existe una aplicacin F : X x I &gt; Y que satisface que para toda x E X,a E A y toda t E I lo siguienteF (x, O) = f (x)F (x, 1) = g (x)F (a, t) f (a) = g (a)En el caso de que A = 0 escribimos simplemente f g.Figura 10:Proposicin 2.15. La relacin -td rem es una relacin de equivalencia.Demostracin Sean X, Y espacios topolgicos y A C X y sean f, g, h :X &gt; Y. Veamos que f rtd LA f Definimos F (x, t) = f (x) entoncesF (x, O) = f (x)F (x,1) = f (x)F (a, t) = f (a)As que f f.16 19. 2.2 Homotopa de AplicacionesAhora la simetra, supongamos que f Z-JrciA g por la homotopa F. Defi-nimosG (x, t) = F (x, 1 t) que es continua y ademsG (x, O) = F (x, 1) = g (x)G (x, 1) = F (x, O) = f (x)G (a,t) = F (a, 1 t) = f (a) g (a)As que G : g ^1relA f A continuacin probaremos la transitividad, suponemos que F : f l'eremG h, vamos a probar que f ic:Irem h. SeaH (x t) = F (x, 2t) si O &lt; t X se satisface que f g, podemostomar en particular X = Y y las aplicaciones Idx, x0 entonces Idx xo yentonces X es contrable.Recprocamente, supongamos que X es contrable, entonces existe xo E Xtal que H : Idx xo entoncesH (x, O) = Idx (x) = xH (x, 1) = xo (x) = xoSea Y un espacio topolgico y f, : Y &gt; X Definimos F: Y x / &gt; X porla regla F (y, t) = H (f (y) , t) entonces : f xo puesF (y, O) = H (f (y) , O) = f (y)F (y, 1) = H (f (y) , 1) = xoDe manera anloga, definimos G : Y x / &gt; X por la regla G (y, t) =(g (y) , t) entonces G : g ft. ro puesG (y, O) = H (g (y) , O) = g (y)G (y, 1) = H (g (y) , 1) = x0Entonces f xo g que es lo que queramos probar. nTeorema 2.19. si X es un espacio topolgico contrable entonces X esconexo por trayectorias.Demostracin. Sea X un espacio topolgico contrable y ro, x1 E X apli-candoel teorema 2.18 al espacio topolgico Y = I y a las funciones xo y x1tenemos que F : xo lta x1 entoncesF (s, O) = roF (s, 1) = xlSea a (t) F (O, t) es continua pues F tambin lo es, ademsa (0) = F (O, O) = xoa (1) = F (O, 1) = x1entonces a : I &gt; X es la trayectoria que buscamos. Entonces X es conexopor trayectorias. n18 21. 2.2 Homotopa de Aplicaciones Obsrvese que no podemos afirmar el recproco, es decir, si X es un espaciotopolgico conexo por tratectorias, no podemos afirmar que sea contraible,pues la esfera es un espacio topolgico conexo por trayectorias pero no escontraible.Corolario 2.20. Todo subconjunto convexo X de un espacio euclideano escontraible.Demostracin. Sea Y un espacio topolgico y fi , f2 : Y --&gt; X, definimosuna homotopa porF (y, t) = t f2 (y) + (1 t) fi. (y)entoncesF (y, O) = fi (y)F (Y, h (Y)claramente F es continua pues es la combinacin convexa entre las aplica-cionesfi y f2 ; lo que nos muestra que fi f2 y por el teorema 2.18 se tieneque X, es contrable. nDefinicin 2.21. Un espacio topolgico X es simplemente conexo si esconexo por trayectorias y su grupo fundamental es trivial.Proposicin 2.22. Todo espacio topolgico contrable es simplemente conexo.La demostracin de esta proposicin no es obvia, pues aunque por elteorema 2 18 sabemos que si a es una trayactoria basada en xo entoncesa x xo pero no podemos asegurar que o- xo rel {0, 1}; pero para ellonecesitaremos algunos resultados.il Lema 2.23. Si X es un espacio topolgico y F : 1 x 1 &gt; X una aplicacinLlamamos a (t) = F (O, t), (t) F (1, t), ry (s) = F (s, O), (s) = F (s, 1).entonces 8 ce-17/3 rel {O, 1}.Demostracin. Sean xo = 5 (0) = a (1) y x i = 5 (1) = (1). La idea es lasiguiente, vamos a contrur homotopas E, G que vayan "transformando" aa-1 y a fi en los lazos constantes xo y x i respectivamente, y usarlos juntocon F para obtener una homotopa H tal que H : a-17,3 xoxi rel {0, 1}.Primero con...</p>