12- elements d'Élasticité (1)

8/18/2019 12- Elements d'Élasticité (1)

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Chapitre V

Elément d’élasticité.

V.1 Contraintes dans un corps élastique

Dans le volume d’un milieu continu, déformé par l’action de forces extérieures,apparaissent des tensions mécaniques appelées contraintes, qui tendent à le ramener à sa

position de repos. Ces contraintes se transmettent de proche en proche par les forces de liaison

entre atomes dont le rayon d’action est faible du point de vue macroscopique. Un élément devolume, contenant un très grand nombre d’atomes est soumis, à travers la sur face qui ledélimite de la part de la matière qui l’entoure, à des actions appelées contraintes.

Définition des contraintes

Considérons un corps déformable soumis à l’action d’une charge c'est-à-dire à unsystème de forces extérieures p1, p2 …, pn satisf aisant aux conditions d’équilibre. L’action deces forces engendre un déplacement des particules voisines du milieu, c'est-à-dire que la

distance entre ces particules varie ; ce qui provoque une interaction supplémentaire entreelles. La résultante de toutes les contraintes dans une section (fig. .V.1) est la force intérieure.

Considérons une section C et découpons au voisinage d’un point M un élément d’aire∆F auquel correspond la force . La contrainte moyenne au voisinage du point M estexprimée par le rapport :

moyF

(V.1)

La contrainte totale au point M de la section C est donnée par la limite :

F

P

F

Plim

0F

(V.2)

Fi g V.1

La contrainte, comme la force, est une grandeur vectorielle. Son unité de mesure dans le

système S.I est le Pascal Pa .

1 ²)s.m/(kg1²m/ N1Pa

Le vecteur de la contrainte P est représenté habituellement par ses projections sur les

axes d’un système de coordonnées rectangulaires x,y,z (fig V.2).


2/25

Fi g V.2

Soit la normale extérieure à la section C pour la partie A du corps. Alors xP est lacomposante de la contrainte P suivant l’axe x qui agit sur la section C.

Si par exemple la normale coïncide avec l’axe y (fig.V.3), on a la composanteyyy PP perpendiculaire à la section.

Cette contrainte est normale et elle est désignée par yy . Les deux autres contraintes

zyxy PetP sont dans la section et on les appelle contraintes tangentielles ou de cisaillement.

Elles sont désignées respectivement par zyxy

et . Ainsi, on a :

yyyyP xyxy

P (V.3)

zyzyP

Fi g V.3

Soit un cube élémentaire à l’intérieur d’un corps soumis à des contraintes : celles- ciagissent sur les six faces du cube (fig V.4). Choisissons un système de coordonnées tel que les

axes, sont parallèles aux côtés du cube. Décomposons les contraintes totales agissant sur les

faces en trois composantes. Ainsi, nous obtiendrons 18 composantes qui sont fonctions descoordonnées du point :

1

2

5

( , , )

( , , )

.............................

( , , ).............................

xx

yy

xy

F x y z

F x y z

F x y z

Si par exemple la contraintexx agit sur la facette perpendiculaire à l’axe x (fig V.5),

alors sur la facette x = dx, on a la contrainte normale :

x

xxxx

à cause de la variation de la coordonnée x. A la limite lorsque dx, dy, dz tendent vers

zéro l’ensemble des contraintes qui caractérisent l’état de contraintes dans le point sera réduità neuf composantes qui forment une matrice appelée tenseur de second ordre S ij :


3/25

iik

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij nS

(V.4)

où ik est l’ensemble des neufs contraintes normales (si i=k) et tangentielles (si i k) relativesaux trois côtés perpendiculaires entre eux au même point, n i est un vecteur unitaire normal àl’élément choisi ; i, k sont les indices indiquant les axes x, y, z.

Fi g V.5dydxdz z

z z

dx x zx

zx

xzxy

dz z

yz

yz

dz z

z z

yz

xz

dx x

zy

dx x zx

zx

xy

yx

zy dyyxy

xy

dz

z

dyy

y

y

y

y

dyyzy

zy

z

x

dx

dx


4/25

Equation indéfinie d’équilibre.

Considérons l’état d’équilibre de l’élément découpé au voisinage d’un point (fig. V.5).Supposons encore qu’il existe une force volumique qui agit sur ce cube. Si X ; Y et Z sont les

projections de la force volumique appliquée à une unité de masse du corps sur les axes decoordonnées, alors pour l’élément, on a les composantes suivantes :

X. .dv = X. .dx.dy.dz

Y. .dv = Y. .dx.dy.dz (V.5)

Z. .dv = Z. dx.dy.dz

où est la densité du corps au point considéré. D’après la statique, les conditions d’équilibre s’écrivent :

0)F(M0F ii

x

i

ix

0)F(M0F ii

y

i

iy (V.6)

0)F(M0F ii

z

i

iz

Le développement de la première équation de (V.6) donne (fig. V.6).

0Fi

ix

dz.dydz.dydxx

xxxx

xx

dzdxdzdxdyy

xy

xy

yx

(V.7)

dydxdydxdzz

xzyz

xz

Fi g V.6

dy

dz dydx x zx

zd

dx

dydz dy y zy

yy

dydzdyyzy

yy

dzdyzx

dydzzx d.z

dvy

dz dx y

dzdydxxyx

yx

yz dz dx dy yz

z

dz

x

y

0

xd y dz

Z


5/25

+ 0dz.dy.dx..

Si l’on considère le cas du mouvement des particules du corps élastique, alors au lieude zéro dans (V.7) on aura :

dx dy dz2

2

t

U

où U est la projection de déplacement du point considéré sur l’axe 0x ; et

2

2

t

U

, est l’accélération suivant cet axe.

Ainsi l’équation (V.6) donne :

2

2

xzxzxx

t

U0.

zzx

De la même manière, on obtient encore deux autres équations :

0Fi

iy

et 0F

i iz

Autrement dit, on a les équations définissant le mouvement (l’équilibre) (dites équationde CAUCHY)

2

2

0.t

U X

z y x

xz xy xx

2

2. 0 (V.8)

yx yy yz V

x y z t

2

2

0.

t

W

z y x

zz zy zy

où V et W sont respectivement les projections du déplacement du point considéré sur les axes

x et y respectivement.

Considérons maintenant les autres équations qui restent du système (V.6). Soit par

exemple l’équation :0)( i

i

x F M

La (fig V.6) montre toutes les forces qui donnent le moment par rapport à l’axe x :On a :

. .2 2 2 2 y z

yy yy z zz

dz dz dy dy

dy dxdz dxdz dz dxdy dxdy y z

[ .2 2

zy yz zx zy yz zx zx

dy dydy dxdydz dz dxdydz dx dydz dydz

y z x

(V.8)

. 02 2 2 2

yx

yx yx

dz dz dy dz dydz dy dydz dxdydz dxdydz

x

En négligeant les infiniment petits du quatrième ordre vis-à-vis de ceux du troisième,

nous avons :

yz zy


6/25

Ce qui démontre la loi de réciprocité des contraintes tangentielles : sur deux facettes

orthogonales, les contraintes tangentielles normales à l’arête commune sont égales et sontsimultanément dirigées vers cette arête ou opposées à celle-ci. Alors des équations d’équilibreon a :

; ; yx xy xz zx yz zy

ou d’une manière générale :

ik ki Ainsi le tenseur de contraintes est symétrique, ce qui réduit à six le nombre de

composantes indépendantes.

Pour établir les relations entre les composantes, des contraintes et la charge aux points

de la surface, considérons l’état d’équilibre d’un tétraèdre élémentaire (fig V.7).

Soit dans la surface ABC d’aire égale à ds et soient l= cos x, ; m = cos y, ;n= cos z, les cosinus directeurs de la normale qui est perpendiculaire au plan abc .

Fi g V.7

L’aire des faces est donnée par les expressions :- l’aire aob= ds cos z, = nds- l’aire bos= ds cos x, = lds- l’aire aos= ds cos y, = mds

Les équations d’équilibre (V.6) s’écrivent alors comme suit :

n

1i

ix 0F

où

0nds.mdsldsds.Pxzxyxxx

donc :n.ml.P xzxyxxx

n.ml.P yzyyyxy (V.9)

n.mlP zzzyzxz

Les forces volumiques ont l’ordre de petitesse trois, tandis que les autres forces sontd’ordre deux. En effet ;

yx

xy zy

Y

O

cv

a

yz

z p x

y

z

xz

py

xy

zx

x

z

b


7/25

.X.dv =6

1. X. dx.dy.dz

mais par exemple

dzdy2

1.

l

bocairellds xxxxxx

où dx = ao, dy = ob, dz = oc (fig. V.7)

Si la face abc appartient à la surface du corps alors xP , yP et zP seront les composantes

de la charge au point considéré 0ds . On appelle les équations (V.9) conditions à lasurface, qui permettent évidement de déterminer le tenseur de contraintes.

Supposons que l’élément oabc est découpé à l’intérieur du corps et que xP , yP , zP sont

les projections de la contrainte totale P sur les axes des coordonnées x,y,z arbitralement

choisis, (fig V.8). Déterminons les contraintes normales et tangentielles et dans le

système de coordonnées .,, Les axes et sont dans le plan abc, l’axe lui est perpendiculaire.

Fig V.8

Les cosinus des angles par les axes x, y, z et ,, , sont donnés dans le tableau ci-dessous

D’après (V.9) on a :xP 2xz2xy2x nml

yP 2yz2y2yx nml (V.10)

zP 2z2zy2zx nml

La contrainte est la projection de P sur la normale , c'est-à-dire :

x y z

l1 1m 1n l2

2m 2n

l33

n 3m

a

c

YxyP

yP

zv P

v

X

Z


8/25

2

2yy

2

2xx2Z2y2x mlnPmPlP

22yz22xz22xy

2

2zz mn1n21m2n (V.12a)

La projection de P sur l’axe est désignée par et sur par et s’expriment par

les relations suivantes :

)nmnm()n1n1(

)mlml(nnmm11

1221yz1221xz

1211xy21zz21yy21xx

(V.12 b)

)nmnm()1n1n(

)m1m1(nnmm11

3223yz3223xz

3223xy32zz32yy32xx

Les formules (V.11) et (V.12) montrent que si le tenseur de contraintes est connu en un

point, on peut calculer toutes les composantes de la contrainte agissant sur la face oblique au

même point et dont la normale est (fig V.7, V.8)

Déterminons maintenant la contrainte normale qui agit sur une face élémentaire perpendiculaire à l’axe à partir de l’équation (V.2) (fig V.9). On a alors :

2 2 21

2 2 2

xx yy zz

xy xz yz

m n

ml nl mn

(V.13)

F ig. V.9

Reportons sur la normale le segment (S) au point considéré de façon que

v

C

S

(V.14)

où C = const.

Les coordonnées de l’extrémité de S sont :x = S.1, y = S.m, z = S.n (V.15)

De (V.13-15), on obtient

2 2 2

2

² 2

2 2

v xx yy zz xy

xz yz

S x y z xy

xz yz C

(V.16)

alors :)z,y,x(²C

x

Y

Z

y0

X

z


9/25

L’équation (V.16) donne une surface du second degré appelée surface des contraintes deCauchy. Les extrémités de tous les segments S seront déposées sur cette surface.

La rotation du système de coordonnées, permet de transformer l’équation (V.6) de

manière à faire disparaître les doubles produits des coordonnées, c'est-à-dire qu’il existe unsystème111 z,y,x tel que :

0111111 zyzxyx

(V.16)

Ces axes sont les axes principaux et les plans orthogonaux correspondants sont appelés

plans principaux. Les contraintes normales à ces plans sont appelées contraintes principales au

point considéré. Désignons les par :

321 ,, Avec

3zl21y11x ,,

Si au voisinage du point l’élément a été découpé par les plans principaux alors del’équation (V.10) on obtient :

lP 1x mP 2y (V.17)

nP 3z Pour déterminer les directions des axes principaux, considérons au voisinage du

point 0 un élément dont la face abc est une facette (plan) principale (fig V.10).

Fi g V.10

La contrainte totale est dans ce cas une contrainte principale et elle est dirigée suivantla normale à cette facette. De (V.10) ont peut écrire :

nm1 xzxyxx1x

yz

xy

z

Z

Y

a

zy yz

xz

zx y

a

x

X

b

c


10/25

nmlmyzyyyxy

nmlnzzzyzxz

d’où

1 0 x xy xz m n

0nm1 yzyxy (V.18) 0nm1

zyzxz

l, m, n sont les inconnus dans ce système d’équations homogènes. Ce système possèdeune solution différente de zéro dans le cas où son déterminant est nul, autrement dit :

0

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

(V.19)

Le développement de ce déterminant permet d’obtenir l’équation cubique suivante :0III 32

2

1

3 (V.20)

où

zzyyxx1I 2

yz

2

xz

2

xyyyzzzzxxyyxx2I 2 2 2

3 2 xx yy zz xy xz yz xx yz yy xz zz xy I I1, I2, I3, sont les invariants de l’état de contraintes. L’équation (V.20) ne dépend pas du choixdu système de coordonnées et les invariants I1, I2 et I3 restent constants pendant la rotation des

axes x, y, et z.

V.2 Théorie des déformations

Définition des déformations

Quand un corps élastique est soumis à des contraintes, il change de forme et de

dimensions. Ces changements appelés déformation se classent en quelques types

fondamentaux.

Découpons du corps considéré (roche par exemple) un cube infiniment petit (fig V.11)

dont les cotés sont égaux à dx, dy et dz ; c'est-à-dire M1= dx = AB, M2 = dy = AC et M3 =dz, car ABCD est la projection du cube sur le plan xoy.

Les déformations en un point du corps élastique sont déterminées par les allongements

des côtés dx, dy, et dz et par la variation des angles 1M2, 1M3 et 2M3. Les déformations du

cube peuvent être évaluées évidemment par celles de ses projections. Si U est le déplacement

du point A suivant l’axe ox, le déplacement du point B sera donc (fig V.12).


11/25

dxx

UUUU

Fi g V.11

où U est l’accroissement de la fonction U (x, y, z) engendré par la variation de x. Si V est le déplacement du point A suivant y, alors pour le point B on a :

dxx

VVVV

où la quantité V est aussi engendrée par la variation de x. L’allongement absolu du coté dudx = AB est égal à :

dxx

U

)dx(

L’allongement relatif sera :

x

U

dx

)dx(x

Analogiquement, on obtient pour les cotés M2 et M3 respectivement :

z

W,

y

Vzy

où V et W sont les déplacements du point considéré M suivant l’axe y et z.

Le coté AB = dx subit aussi une rotation dans le plan oxy que l’on désigne paryx ; avec :

AA

BBtg yxyx

Étant donné que les déformations sont petites, l’angleyx est égal à

x

U1

x

U

dxx

Udx

dxx

U

yx

Y

DB

X

3

2

Z

M

y

A x

1

Z

C


12/25

Fi g V.12

la quantitéx

U

est petite par rapport à l, donc yx peut devenir égal à :

x

Vyx

(V.21)

de la même manière on a aussi :

y

Uxy

(V.22)

L’angle de glissement ou de la déviation est égal à la somme des angles de rotation (V.21) et(V.22) soit :

yU

xv

xyyxxy

(V.23)

En étendant l’analyse ci-dessus à trois dimensions (angles de déviation 3M2 et 3M1), onobtient les expressions pour zxyz et ; ainsi nous avons les équations de Cauchy :


13/25

déformations normales

x

y

z

U

x

V

y

W

z

déformations de cisaillement

xy

yz

zx

V U

x y

W V

y z

U W

z x

(V.24)

Les formules (V.24) montrent que les six composantes ,,,,,, zxyzxyzyx de l’état

de déformation en un point s’expriment par neuf dérivées partielles des déplacements U, V etW :

z

W;

y

W;

x

W

z

V;

y

V;

x

Vz

U;

y

U;

x

U

(V.25)

Les composantes de (V.25) constituent le tenseur des déplacements.

En plus de ces déformations, le corps subit une rotation dont les composantes sont

définies par :

y

U

x

V

x

W

z

U

z

V

y

W

z

y

x

(V.26)

Si les composantes de rotation (V.26) sont nulles ; nous aurons alors :

, ,W V U W V U

y z z x x y

C'est-à-dire que l’expression du dx + v dy + w dz est la dérivée totale d’une fonction (x, y,z) et :

, ,u v W x y z

Dans ce cas on dit qu’il y a une déformation pure et que les déplacements ont le potentiel (x, y, z).

Les variations de dimensions produits par les déformations normales se traduisent par

un changement de volume. La variation par unité de volume est appelée dilatation est notée .

Considérons un petit élément de volume dv = dx. dy. dz. où les côtés dx, dy et dz sont

respectivement perpendiculaires. Le volume dans le cas de petites déformations sera égal au

produit des côtés déformés :


14/25

( ) (1 ) (1 ) (1 )

(1 )

x y z

x y z x y y z z x x y z

dv dv dv dy dz

dx dy dz

En négligeant les produits des déformations relatives des côtés, on obtient alors)1(dv)dv(dv

zzyyxx

d’où la déformation volumique relative sera :

zzyyxxdv

)dv(

Ainsi le premier invariant est la déformation volumique qui s’écrit :

Udvz

w

y

v

x

uzzyxx

(V.27)Elle reste constante si l’on change la position des axes des coordonnées au point

considéré. Ainsi la dilatation est égale à la divergence du vecteur du déplacement élastique U .

Tenseur des déformations

La déformation d’un corps élastique en un point est déterminée par les composantes dusystème d’équations (V.25) qui constituent le tenseur des déformations relatives, de sorteque :

a- si l’on change le système de coordonnées, alors les composantes d’état de déformations’expriment par les composantes initiales et par les carrés des cosinus directeurs paranalogie à (V.14).

b- si l’on cherche les composantes de l’allongement d’un segment, alors elless’expriment par les composantes (V.25) et par les cosinus directeurs du segment paranalogie avec (V.9).

En effet la déformation en un point sera déterminée si l’on peut calculer l’allongement

relatif pour n’importe quel segment infiniment petit issu de ce point. Désignons ce segment par AB= r (Fig. V.13) et soient ,, ses projections sur les axes x,y,z respectivement. En

luit appliquant des contraintes, le point A se déplace en A 1, et B en B1, les projections du

segment déformé AB, sur les axes x,y,z sont :

w,v

u)ux(uux

11

1

(V.28)

Les quantités

111 w,v,u représentent les accroissements des fonctions u, v et w si l’on passe du point A vers Bautrement dit, on a une variation de x, y et z sur dx dy , dz .

Puisque AB est infiniment petit, alors les accroissements w,v,u des fonctions u,v et w

peuvent être remplacés par leurs différentielles :

dzz

udy

y

udx

x

uu

ou

dz

u

y

u

x

uu


15/25

ainsi

zu

y

u

x

u

z

v

y

v

x

u

(V.29)

z

w

y

w

x

w

Fig V.13

Divisons les équations (V.29) par r = AB et désignons les allongements des projections

de AB par rapport à sa longueur par :

, , xr yr z r r r

Ainsi nous avons :

nz

Wmy

W1x

W

nz

Vm

y

V1

x

V

nz

Um

y

U1

x

U

zx

yr

xr

(V.30)

où

r n,

r m,

r 1

(V.31)

sont les cosinus directeurs du segment initial AB.

Analogiquement aux formules (V.4), on a l’équation (V.25) qui est un tenseur nonsymétrique car en général

x

W

z

U,

z

V

y

W,

y

U

x

V

Ce tenseur est symétrique dans le cas seulement de déformation pure.Considérons maintenant l’allongement du segment AB = r lui-même

défini par ;

on obtient alors :

2222r r

d’où en négligeant les infiniment petits du second ordre, on obtient : r r (V.32)

où

²r 222


16/25

r

r

r r r r r r r

En substituant dans (V.32) les valeurs de : ,, d’après (V.29) et en tenant comptede (V, 31) on peut obtenir la déformation relative du segment sous la forme :

1nx

W

z

Umn

z

V

y

Wm1

y

U

x

V

²nz

W

²my

V

²1x

Ur

Si l’on désigne par :

x

W

z

U2

z

V

y

W2

y

U

x

V2

zx

yz

xy

(V.33)

on obtient :

nl2mn2lm2²n²m²1 ZXyzxyzyxr (V.34)

Si l’on compare cette formule avec (V.12a) on déduit que la matrice

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(V.35)

représente le tenseur des déformations en un point donné. Par analogie à l’état decontrainte en un point ; on peut trouver en ce point considéré trois axes orthogonaux

principaux qui forment les plans de coordonnées où

0zxyzxy

On parle dans ce cas de plans principaux. Afin de trouver la position des axes

principaux, il faut procéder de la même manière que pour l’état de contrainte. Ainsi de (V.30)et en tenant compte de la symétrie du tenseur de déformation et de l’absence de rotation on a :

1 1

1

1

xr x xy xz

yr xy y yz

zr zx zy z

m n

m m n

n m n

d’où

0nm1

0nm1

0nm1

zyzxz

yzyxy

xzxyx

(V.36)

où est la déformation principale.

A l’instar de (V.19) on a encore :

0

zyzxz

yzyxy

xzxyx

(V.37)

d’où il vient que :


17/25

3 2 0 (V.38)

où

zyx0

zyz

yzy

zxz

xzx

yxy

xyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(V.39)

sont les invariants des transformations des coordonnées. Pour trouver les déformations

principales. 321 et,, correspondant aux axes principaux, il faut résoudre l’équation

cubique. En utilisant la condition 11 222 nm on peut trouver les cosinus directeurs des

axes principaux.

V.3 Loi de Hooke

Les propriétés élastiques servent à décrire la possibilité pour un corps de résister à unecontrainte sans subir une déformation permanente. La loi de Hooke exprime une relation de

proportionnalité entre contraintes et déformations.

L’état de contrainte en un point est caractérisé par six composantes désignées par :

zx yz xy z y x ,,,,,

et simultanément nous avons les déformations

zxyzxyzyx ,,,,,

Pour établir les liaisons générales entre contraintes et déformations, admettons que

chacune des composantes d’état de contrainte dépend de toutes les composantes de ladéformation en un point c'est-à-dire que :

zxx6zx

zxx5yz

zxx4xz

zxx3z

zxx2y

zxyzxyzzx1x

....,......,.....,.....,,f

....,......,.....,.....,,f

....,......,.....,.....,,f

....,.......,.....,.....,,f

....,.......,.....,.....,,f

,,,,,f

(V.40)

Si l’on admet qu’à l’état normal du corps, les contraintes sont nulles, alors on a :

6.....,,2,1i00,0,0,0,0,0f i le développement de Taylor de la fonction contrainte donne :

zx66yz65xy64z63y62x61zx

zx16yz15xy14z13y12x11xx

aaaaaa

.............................................................................................

aaaaaa

(V.41)

les coefficients mna dépendent de la constitution du corps.

La dépendance linéaire des équations (V.41) exprime le principe de superposition ou

celui d’indépendance des effets selon lequel la contrainte qui apparaît en présence descomposantes de déformation ij est égale à la somme des contraintes apparaissant en

présence de chacune de ces déformations.


18/25

Parmi ces 36 coefficients, il n’y a que 21 qui sont indépendants, mais pour les corpsisotropes il n’en reste que deux. Le module d’élasticité longitigional E et le moduled’élasticité transversal sont liés par la formule suivante :

12

E

où est le coefficient de Poisson.Trouvons maintenant l’expression des déformations en fonction des contraintes. Pour

cela considérons un parallélépipède (fig. V.14) dont les côtes sont égaux à 1. Admettons le

principe d’indépendance des forces et supposons que les contraintes tangentielles ne produisent que le glissement. Supposons encore que toutes les contraintes sont nulles sauf

x i, alors l’allongement relatif sera :

' x x E

Fi g V.14

Si sur l’élément n’agit que y , on aura sur l’axe x le raccourcissement du côté :

E

y

x

Par analogie, on obtient pour ce même côté sous l’effet de la contrainte z le raccourcissementsuivant

E

z

x

Ainsi l’allongement relatif total sera :

1

1

y

yx

zy

zx

xy

zx

z

x

zxy

xy

zy

zy xz

x z

yx

x

1


19/25

y x z x x y z

E E E

et de la même manière on peut calculer les allongements suivants les axes y et z.

Ainsi, nous trouverons les formules :

xyzz

zxyy

zyxx

E

1

E

1

E

1

(V.42)

ou bien :

1

1

1

11 I

1 1 I

11 I

x x

y y

z z

E

E

E

(V.43)

où

z y x I 1

Ces formules expriment la loi de Hooke généralisée pour les contraintes normales. De (V.43)

on a aussi :

1zyxzzyyxx l31E

1

(V.44)

Ou en tenant compte de (V.27) :

1lE

21 (V.44a)

Ce qui montre que la déformation volumique unitaire est proportionnelle à la somme

des contraintes normales (I1). La formule (V.44a) représente la loi de Hooke pour la formevolumique.

0alors0,0,0Si zyx

car il n’existe que la tension suivant x, y, z (fig. V.44), ce qui donne alors :

021 ou21

les relations entre les glissements et les contraintes tangentielles peuvent être écrites

sous la forme suivante :

zxzx

yzyz

xyxy

1y

1y

1

(V.45)


20/25

Pour exprimer maintenant les contraintes par les déformations (cas de la compression

totale par exemple) il faut résoudre le système d’équations (V.43) par rapport, , x y z et tenant compte de (V.44), on obtient alors :

21

E1

E

1xxx

avec

xxx 1E

211

E

où

xxx 2 (V.46)

où

12,

211

E E

sont les coefficients de Lamé

On peut obtenir à partir des équations (V.45) et (V.46) les expressions des contraintes

en fonction des déformations :

zxzxzzz

yzyzyyy

xyxyxxx

2

2

2

(V.47)

où

2 , , ,

, , , ,

ii ii

ij ij

i x y z

j x y z i j

De (V.47) il vient que

23(I zyxl Les coefficients de Lamé permettent d’exprimer E et :

2,

23E (V.48)

Pour le cas d’une compression totale on a :

.0, pzxyzxyzyx

De l’équation (V.47) on a :

0 p20 p2

0 p2

zxz

yzy

xyx

(V.49)

donc

p323 (V.50)

où

23

p3

et

0 xy yz zx


21/25

La quantité

23

3

P (V.51)

s’appelle le cœfficient de la compression totale. Le signe moins rend positif.La quantité

1 K

est appelée module de la compression totale ou module de volume.

Quoique la loi de Hooke s’applique largement, elle n’est pas valable lorsque lestensions sont importantes. Quand la tension dépasse la limite d’élasticité du corps concerné laloi de Hooke ne s’applique plus et la déformation augmente plus rapidement (fig. V.15). Ladéformation ne disparaît alors plus complètement lorsqu’on annule la tension.

Fig V. 15 Relati on entre contrainte et déformation

V.4 Constantes élastiques

Les principaux constantes élastiques sont :

E : Module de Young

: Cœfficient de Poisson

, : Constantes de Lamé

K : Module d’incompressibilité.

Les relations entre les différentes constantes élastiques sont :

3 2

1, , 3 2( ) 32

E K

En éliminant les différentes paires de constantes de ces trois équations, on obtient les

relations exprimant l’une de ces cinq constantes en fonction de deux autres d’entre elles.

E K

213E

12

E

211

E

(E, K)3K

6K

E (E, )

3K

9K

E

E

3K 3K

9K

E

E


22/25

Les constantes élastiques sont définies de telle sorte qu’elles soient des nombres positifs. Il en résulte que doit être compris entre 0 et 0,5 (car et étant positif et

/ est inférieur à 1). Les valeurs de varient de 0,05 pour les roches très dures etrigides à 0,45 pour les sédiments mous ou meubles. Les liquides n’ont pas de résistance aucisaillement, aussi 5,0et0 .

Pour la plupart des roches E, K et varient de 20 à 120 GPa, E étant en général le plus

élevé et le plus petit des trois.

V.5 Equations fondamentales de la théorie d’élasticité

Le système complet des équations fondamentales de la théorie d’élasticité comprend :

a- Equations statiques

1- Equations indéfinies d’équilibre (du mouvement).

0t

WZ

zyx

0t

VY

zyx

0t

U

Xzyx

2

2

zzyzx

2

2yzyyx

2

2

xzxyx

(V.52)

2- Conditions à la surface

cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos( , ) cos( , ) cos( , )

x x xy

y yx y yz

z zx zy z

P x y z

P x y z

P x y z

(V.53)

(E, )

2

2E

E33E

EK 3

2E

( , K) 21k 3 3K 1 2

2 1

1

k 3

, 12

213

12

21

2

,

211

3

1

2

21

K, 9K

3K

3K 2

2 3K

K 23

(K, ) K

9K

3K

3K

3

(K )

2

,

23

2

3

2


23/25

b- Equations géométriques

3-

Equation de Cauchy (relations dynamiques)

z

W

z

U,

z

W

z

V

y

W

,y

V

x

U

x

V,

x

U

zxz

yzy

xyx

(V.54)

4- Equations de compatibilité

2 22 2

2

2 2 22

2

22 22

2

; 2²

; 2

²

; 2²

y xy yz xy x zx z

y yz xy yz zx x z

xy yz y x zx zx z

y x x y y x y z x y

z y y z x y z x y z

x z z x y z x y z x

(V.55)

c- Equations physiques

5-

loi de Hooke généralisée

zxyyxxxxzzz

yzyzxxzzyyy

xyxyzzyyxxx

1;

E

1

1;

E

1

1;

E

1

(V.56)

lIE

21

zxzxzzz

yzyzyyy

xyxyxxx

2

2

2

(V.57)

23I l d- Equations de Lamé

Exprimons les contraintes dans les équations (V.52) et (V.53) par les déplacements en

tenant compte de (V.57) et (V.57), on a :

2x

Y

Y

xx

xy

xz

U

V U

x

W U

x

(V.58)

Pour substituer ces expressions dans la première équation (V.52), calculons les dérivées

suivantes :


24/25

²z

U

dzx

W

z

²y

U

dyx

V

y

²x

U

²x

U

xx

22xz

22xy

22

x

Ainsi, de (V.52), on a :

2

2

222222

t

U0X

²z

U

²y

U

²x

U

zx

W

yx

V

²x

U

x (V.59)

mais

xz

W

y

V

x

U

xzx

W

yx

V

²x

U 222

et utilisons la désignation simplifiée

U²z

U

²y

U

²x

U 2222

ou 2 s’appelle le laplacien de la fonction U (x, y, z), on aura :

2

2

20

x

U U X

t

Par analogie, on trouve également :2

2

2

22

2

( ) 0

( ) Z 0

V µ µ V Y

y t

W µ µ W

z t

(V.60)

Ainsi, nous avons un système d’équations fondamentales de la théorie d’élasticité pourla détermination des déplacements appelées équations de Lamé. Ces équations renferment

simultanément les conditions d’équilibre et de mouvement de chaque élément du corps.

L’ensemble de ces trois équations de Lamé sous une forme vectorielle donne : F

t

UUgrad

2

22

ou

Ft

UUUdivgrad

2

22

(V.61)

Si l’on tient compte de la formule de l’analyse suivante,UrotrotUdivgradU2

on aura :

FtU

UrotrotUdivgrad2 2

2

(V.62)


25/25

Les équations obtenues permettent de déterminer le caractère des déplacements

élastiques U dans le temps et dans l’espace d’un corps (homogène, élastique, de constantesélastiques , et de densité ) et soumis à l’action d’une force massive F

. C’est pourquoi lesconditions aux limites du corps élastique telle que la distribution des contraintes ou des

déplacements doivent être connues.

12- elements d'Élasticité (1)

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