1.1reel sayılarkisi.deu.edu.tr/serkan.aras/bölüm 1(2).pdfbu bölümde reel sayılar, denklemler...

Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.

1

TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde reel sayılar, denklemler ve koordinat düzlemi gözden geçirilecektir.

Muhtemelen bu kavramlarla tanıştınız, ancak gerçek dünya problemlerini modelleme

(tanımlama) ve problem çözme ile birlikte bunların nasıl çalıştığına yeniden bakmak yararlı

olacaktır.

Gerçek yaşam durumlarında bu kavramların nasıl kullanıldığına bakalım: Varsayalım ki

yarı zamanlı işinizde saat başına $9 alıyorsunuz. Ödemenizi y ve çalışma saatinizi x ile

göstererek y = 9x denklemi ile modelleyebiliriz. 200 dolar kazanmak için ne kadar saat

çalışmanız gerektiğini bulmak için, 200 = 9x denklemini çözeriz. y = 9x denklemini koordinat

düzleminde çizmek, çalışılan saatlerle birlikte ödemelerin nasıl değiştiğini görmemizde bize

yardımcı olur.

1.1 Reel Sayılar

Reel Sayıların Özellikleri Toplama ve Çıkarma Çarpma ve Bölme Reel Doğru

Kümeler ve Aralıklar Mutlak Değer ve Uzaklık


2


3


4


5

Farklı paydalara sahip kesirleri topladığımızda, genellikle Özellik 4 ‘ü kullanmayız.

Bunun yerine, en küçük mümkün ortak paydaya (sıklıkla paydaların çarpımından daha küçük)

sahip olacak şekilde kesirleri yeniden yazarız ve ardından Özellik 3 ‘ü kullanırız. Bu payda,

gelecek örnekte En Küçük Ortak Payda (EKOP) olarak tanımlanmıştır.

ÖRNEK 3: Kesirleri Toplamada EKOP Kullanımı

Hesapla:

Çözüm Her paydayı asal çarpanlarına ayırdığımızda

Her çarpanın en yüksek kuvveti kullanılarak, bu çarpanlara ayırmada ortaya çıkan tüm

çarpanların çarpılmasıyla en küçük ortak payda (EKOP) bulunur.

Böylece EKOP ‘dır. Yani:

Şekil 3 ‘de gösterildiği gibi, reel sayılar bir doğru üzerindeki noktalarla temsil edilebilir.

Pozitif yön (sağa doğru) bir ok ile gösterilir. Sıfır (0) reel sayısına karşılık gelen ve orijin

olarak adlandırılan keyfi bir referans noktası O seçeriz. Herhangi bir uygun ölçü birimi

Ortak payda kullanılır

Özellik 3: Aynı paydaya sahip kesirler toplanır.


6

verilmişken, her pozitif x sayısı orijin sağında x birim uzaklığında bulunan nokta ile temsil

edilir ver her negatif -x sayısı orijinin solunda x birim uzaklığında bulunan nokta ile gösterilir.

Sayı ile ilişkilendirilen P noktası, P ‘nin koordinatı olarak adlandırılır ve doğru ise koordinat

doğrusu veya reel sayı doğrusu veya basitçe reel doğru olarak adlandırılır. Çoğunlukla

noktayı koordinatı ile tanımlarız ve bir sayıyı reel doğru üzerindeki bir nokta olarak

düşünürüz.

Şekil 3. Reel doğru

Reel sayılar sıralamaya tabi tutulur. Eğer b – a pozitif bir sayı ise, a sayısı b ‘den

küçüktür deriz ve a < b yazarız. Geometrik olarak, bu sayı doğrusu üzerinde a ‘nın b ‘nin

solunda uzanması demektir. Eş değer olarak, b sayısı a ‘dan büyüktür de deyip b > a

yazabiliriz. 𝑎 ≤ 𝑏 (veya 𝑏 ≥ 𝑎) sembolü a < b veya a = b anlamına gelir ve “a sayısı b ‘e eşit

veya küçüktür” şeklinde okunur. Örneğin, aşağıdakiler doğru eşitsizliklerdir (Şekil 4 ‘e

bakın):

Şekil 4

Bir küme nesnelerin bir araya gelmesidir ve bu nesneler kümenin elemanları olarak

adlandırılır. Eğer S bir kümeyse, 𝑎 ∈ 𝑆 gösterimi a ‘nın S ‘in bir elemanı olduğu ve 𝑏 ∉ 𝑆 ise

b ‘nin S ‘in bir elemanı olmadığı anlamına gelir. Örneğin, Z tamsayılar kümesini temsil

ediyorsa, bu durumda −3 ∈ 𝑍 ancak 𝜋 ∉ 𝑍 ‘dir.

Bazı kümeler ayraçlar içinde elemanların listelenmesi ile tanımlanabilir. Örneğin, 7 ‘den

küçük tüm pozitif tam sayılardan oluşan bir A kümesi aşağıdaki gibi yazılabilir.

A kümesi ayrıca ortak özellik gösterimi kullanarak da şöyle yazılabilir:


7

𝐴 = {𝑥 | x tam sayıdır ve 0 < 𝑥 < 7}

gösterimi “A kümesi, x ‘in tamsayı ve 0 < 𝑥 < 7 olduğu tüm x ‘lerden oluşur.” olarak okunur.

Eğer S ve T küme ise, 𝑆 ∪ 𝑇 birleşimi S veya T (veya her ikisinde) ‘de bulunan tüm

elemanlardan oluşan kümedir. S veya T ‘nin kesişimi is S ve T ‘nin her ikisinde bulunan tüm

elemanlardan oluşan 𝑆 ∩ 𝑇 kümesidir. Başka bir deyişle, 𝑆 ∩ 𝑇 kümesi S ve T ‘nin ortak

kısmından oluşur. ∅ ile gösterilen boş küme, eleman içermeyen kümedir.

ÖRNEK 4: Kümelerin Birleşimi ve Kesişimi

𝑆 = {1,2,3,4,5}, 𝑇 = {4,5,6,7} ve 𝑉 = {6,7,8} ise 𝑆 ∪ 𝑇, 𝑆 ∩ 𝑇 ve 𝑆 ∩ 𝑉 bulunuz.

Çözüm

Aralık olarak adlandırılan reel sayıların bazı kümeleri kalkülüs içerisinde sıklıkla ortaya

çıkar ve geometrik olarak doğru parçasına karşılık gelirler. Eğer 𝑎 < 𝑏 ise, a ile b arasındaki

tüm sayılardan oluşan a ‘dan b ‘ye açık aralık (𝑎, 𝑏) ile gösterilir. a ‘dan b ‘ye bitim

noktalarını içeren kapalı aralık kapalı aralık [𝑎, 𝑏] ile gösterilir. Ortak özellik gösterimiyle

aşağıdakiler yazılabilir:

Şekil 5. Açık aralık (a, b)

Şekil 6. Kapalı aralık [a, b]

Dikkat edilirse aralık gösterimindeki parantezler ( ) ve Şekil 5 ‘deki grafikteki içi boş

çemberler, aralıktan bitim noktalarının dışlandığını gösterir. Oysaki, köşeli parantezler ve

Şekil 6 ‘daki içi dolu çemberler bitim noktalarının dahil edildiğini gösterir. Aynı zamanda

S veya T ‘deki tüm elemanlar

S ve T ‘deki ortak elemanlar

S ve T ‘de ortak eleman yoktur


8

aralıklar bir bitim noktasını içerebilir veya tek veya iki yönde sonsuza kadar genişleyebilir.

Aşağıdaki tablo, mümkün aralık tiplerini listelemektedir.

ÖRNEK 5: Aralıkların Çizimi

Eşitsizliklere göre her aralığı ifade ediniz ve ardından aralığın grafiğini çiziniz.

ÖRNEK 6: Aralıkların Birleşimi ve Kesişimi Bulma

Her kümenin grafiğini çiziniz.

Çözüm

a) İki aralığın kesişimi iki aralığın her ikisinde bulunan sayılardan oluşur. Bu yüzden

Bu küme Şekil 7 ‘de gösterilmiştir.

b) İki aralığın birleşimi, bir aralık veya diğer aralıktaki (veya her ikisindeki) sayılardan

oluşur. Bu yüzden


9

Bu küme Şekil 8 ‘de gösterilmiştir.

Şekil 7. Şekil 8.

|𝑎| ile gösterilen bir a sayısının mutlak değeri, reel sayı doğrusunda a ‘dan 0 ‘a olan

uzaklıktır (Şekil 9 bakın). Uzaklık her zaman pozitif veya sıfırdır, bu yüzden her a sayısı için

|𝑎| ≥ 0 ‘dır. Hatırlanırsa, a negatif iken −𝑎 pozitiftir. Böylece aşağıdaki tanım yapılır.

Şekil 9

Mutlak Değerin Tanımı

a reel bir sayı ise, bu durumda a ‘nın mutlak değeri:

|𝑎| = � 𝑎 eğer a ≥ 0−𝑎 𝑒ğ𝑒𝑟 𝑎 < 0

�

ÖRNEK 7: Sayıların Mutlak Değerlerinin Hesaplanması

Mutlak değerler ile çalışırken aşağıdaki özellikleri kullanırız.


10

Reel doğru üzerinde −2 ile 11 arasındaki uzaklık nedir? Şekil 10 ‘dan uzaklığın 13

olduğunu görürüz. Bu sonuca |11 − (−2)| = 13 veya |(−2) − 11| = 13 ‘den ulaşırız. Bu

gözleme dayanarak aşağıdaki tanımı yaparız (Şekil 11 bakın).

Şekil 10 Şekil 11. Doğru parçasının uzunluğu |𝑏 − 𝑎|

Reel Doğru Üzerindeki Noktalar Arası Uzaklık

Eğer a ve b reel sayılar ise, reel doğru üzerindeki a ve b noktaları arasındaki uzaklık

şöyledir:

𝑑(𝑎, 𝑏) = |𝑏 − 𝑎|

Negatiflerin Özellik 6 ‘sından şu ortaya çıkar:

|𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏|

Bu, bekleneceği üzere a ‘dan b ‘ye uzaklık ile b ‘den a ‘ya uzaklığın aynı olduğunu

söyler.

ÖRNEK 8: Reel Doğru Üzerindeki Noktalar Arası Uzaklık

−8 ve 2 noktaları arasındaki uzaklık:

𝑑(𝑎, 𝑏) = |−8 − 2| = |−10| = 10

Şekil 12 ‘de gösterildiği gibi, geometrik olarak bu hesaplamayı kontrol edebiliriz.


11

Şekil 12

1.2 Üslü Ve Köklü İfadeler

Bu kısımda m/n üssünün rasyonel sayı olduğu gibi ifadeleri inceleğeceğiz. Bunu başarmak için tamsayılı üsler, köklü sayılar ve n. kök konularını anımsamalıyız.

Tanmsayılı Üsler

Aynı sayıların çarpılması sıklıkla üssel notasyonla ifade edilir. Örneğin 5.5.5 , 53 olarak ifade edilir.

Üstel Noasyon:

Eğer a bir reel sayı ve n pozitif tamsayı ise a nın n inci kuvveti

olur.

a ya taban n e ise üs denir.

Örnek 1

Üstel Notasyon

Üstel notasyonla çalışırken pek çok faydalı kural kullanabiliriz. Çarpma için kuralı bulmak için

54 ü 52 ile çarpalım

Aynı tabana sahip iki kuvveti çarpmak için bunların üslerini toplarız.

Genelleştirilecek olursa


12

böylelikle

Olur.

Bu kural m ve n sıfır veya negatif bile olsa geçerli olmasını isteriz. Örneğin

Bu ancak

Sağlandığında geçerli olur.

Buna benzer olarak :

Bu da ancak sağlanırsa geçerlidir.

Buna göre şu tanım yapılabilir.

Sıfır veya negatif Üsler

Eğer olmak şartıyla bir tamsayı ise ve n pozitif bir tamsayı ise

dir ve

Örnek 2

Sıfır ve Negatif Üsler


13

Üslerle Çalışmak İçin Kurallar

Üslerle ve tabanlarla çalışmak için aşağıdaki kurallar ile aşina olmamız gerekir. Tabloda a ve b sayıları reel sayılardır ve m ve n üsleri tamsayıdır.

Kural Örnek

Kural 3 ün ispatı:

m ve n pozitif tamsayı ise

veya olması halinde ispat negatif üslerin tanımı kullanılarak yapılabilir.

Kural 4 ün ispatı


14

n pozitif tamsayı ise

Burada olursa ispat negatif üslerin tanımı kullanılarak yapılabilir

Örnek 3

Üslerle ilgili kuralların kullanılması

Örnek 4

Üstel İfadelerin basitleştirilmesi

Şu ifadeleri basitleştirin

Çözüm


15

Bir ifadeyi basitleştirirken aynı sonuca götüren pek çok farklı metot bulabiliriz. Bu bilgilere ek olarak negatif üslerle ilgili şu ek kurallar verilebilir:

Kural Örnek

7. Kuralın ispatı

Negatif üslerin tanımı ve kesirlerdeki ikinci özellik kullanılarak

elde edilir.

Örnek 5

Negatif üslü ifadelerin basitleştirilmesi

Negatif üsleri yok edip aşağıdaki ifadeleri basitleştirin

Çözüm

a) 7. Kuralı ve sonra 1.kuralı kullanarak


16

b) Önce Kural 6 yı sonra 5 ve 4 ü kullanarak

Bilimsel Notasyon

Bilim insanları çok büyük veya çok küçük sayıları daha kolay yazabilmek için üstel ifadelerden yararlanırlar.Örneğin güneşin ötesindeki en yakın yıldız Proxima Centauri 40.000.000.000.000 km uzaktadır. Bir hidrojen atomunun kütlesi 0,00000000000000000000000166 gr dır. Böyle sayıların okunması ve yazılması çok zor olduğundan bilim insanları bunları bilimsel notasyon ile gösterirler .

Bilimsel Notasyon:

Bir x pozitif sayısı aşağıdaki gibi yazılırsa bilimsel notasyon ile gösterilmiştir denir

burada dır ve n tam sayıdır.

Örneğin Proxima Centauri yıldızına olan uzaklık dir. Üsteki 13 sayısı virgülü 13 kez sağa götürmemiz gerektiğini söyler.

Hidrojen atomunun kütlesinin olduğu söylendiğinde üsteki -24 sayısı virgülü 24 kes sola götürmemiz gerektiğini gösterir.


17

Örnek 6

Ondalık sayıdan bilimsel notasyona geçiş

Aşağıdaki ifadeleri bilimsel notasyonda yazın

Çözüm

Bilimsel notasyon hesap makinelerinde de çok büyük ve küçük sayıları göstermek için kullanılır. Örneğin 1.111.111 sayısının karesi alındığında makine

veya şeklinde görüntü verebilir.

Burada son basamaklar 10 un kuvvetini belirtir, yani sonucu şöyle ifade edebiliriz.

Köklü İfadeler

n tamsayı iken 2n in ne anlama geldiğini biliyoruz. 24/5 şeklindeki rasyonel sayı şeklindeki bir kuvveti açıklamak için köklü ifadeleri anlamak gerekir.

sembolü pozitif karekök anlamına gelir. Böylece

şu demektir: ve de

olduğundan sadece iken anlamlıdır. Örneğin:

çünkü ve de


18

Karekökleri, n. köklerin özel bir halidir. x in n. kökü n. kuvveti alındığında x i veren sayı demektir.

n. kökün tanımı:

Eğer n bir pozitif tam sayı ise temel n. kök şu şekilde tanımlanır:

, anlamına gelir.

Eğer n çift ise ve de olmalıdır.

Böylece

Ancak ve de tanımlanmamıştır. Örneğin tanımlanmamıştır çünkü reel sayıları karesi negatif olamaz.

Dikkat edilirse

ancak

Böylece eşitliğinin her zaman doğru olmadığı görülmüş olur. Sadece

iken doğru olur. Ancak her zaman yazabiliriz Son denklem sadece karekökler için değil tüm çift kökler için geçerlidir. n. kökler ile ilgili bu ve diğer özellikler aşağıda verilmiştir. Her özellik için verilen köklerin mevcut olduğu varsayılmıştır.

Özellikler Özellik Örnek

çünkü

çünkü

ve


19

Örnek 8 n. köklü ifadelerin basitleştirilmesi

Bazen gibi benzer kökleri birleştirmek faydalı olabilir. Bu dağılma özelliği kullanılarak yapılabilir. Böylelikle

yazılabilir.

Örnek 9 Kökleri birleştirmek

Rasyonel Üsler

𝑎1/3 gibi rasyonel üslerin ne anlama geldiğini anlamak için köklü ifadeleri kullanmalıyız. 𝑎1/𝑛 i üstel sayılarla ilgili kurallarla uyumlu olarak anlamlandırmak için:

yazılmalıdır.

n. kök tanımı ile

Olur.


20

Genel olarak rasyonel üsler şu şekilde tanımlanır.

m ve n nin tamsayı olduğu ve olan tüm m/n şeklindeki rasyonel üsler için

veya buna denk olarak olur

Eğer n çift ise olması gerekir.

Bu tanıma göre üsteller için kurallar rasyonel üsler için de geçerlidir.

Örnek 10 Rasyonel üsleri kullanmak

Örnek 11 Üsteller için kuralların rasyonel üsler için kullanımı

Örnek 12 Köklü ifadeleri rasyonel üsler olarak yazıp basitleştirmek


21

Paydayı Rasyonelleştirme

Sıklıkla paydadaki köklü ifadeyi yok etmek için pay ve payda uygun ifade ile çarpılır. Bu

prosedüre paydayı rasyonelleştirmek denir. Eğer payda formunda ise payı ve paydayı

ile çarparız. Böylece değeri “bir” ile çarpmış oluruz ve değer değişmez.

Örneğin:

Dikkat edilirse son kesrin paydasında köklü ifade yoktur. Genel olarak payda

formundaysa ve ise payı ve paydayı ile çarpmak ( iken) paydayı rasyonelleştirir çünkü

Örnek 13 Paydanın Rasyonelleştirilmesi

1.3 Cebirsel İfadeler

Ekleme Ve Çıkarma, Cebirsel İfadelerin Çarpılması, Özel Çarpım Formülleri, Ortak Çarpana Göre

Çarpanlara Ayırma, Üç Terimlilerin Çarpanlara Ayrılması, Özel Çarpanlara Ayırma Formülleri, Grup

Terimine Göre Çarpanlara Ayırma

Değişken belirli bir sayı kümesinden gelen herhangi bir sayıyı temsil edebilen bir harftir. Eğer

x,y ve z gibi değişkenler ve bazı reel sayılar ile başlarsak ve bunları toplama, çıkarma,

çarpma, bölme, kuvvet ve kök için birleştirirsek cebirsel ifade elde edilir. Örneğin,


22

22x 3x 4− + x 10+ 2y 2xy 4−+

Tek terimli axk ifadesinde a reel sayı ve k negatif olmayan tamsayıdır. İki terimli iki tek

terimlinin toplamı, üç terimli üç tek terimlinin toplamıdır. Genellikle, tek terimlilerin toplam

polinom olarak adlandırılmaktadır. Yukarıda verilenlerden ilk ifade polinom iken diğerleri

değildir.

Polinomlar

x değişkenine bağlı bir polinom aşağıdaki formdadır:

burada a0, a1, …., an reel sayılar ve n pozitif tamsayıdır. Eğer an ≠ 0 ise polinomun derecesi

n’dir. Tek terimliler akxk terimlerine polinom terimleri denir.

Bir polinom derecesinin, polinomdaki değişkenin en yüksek kuvveti olduğuna dikkat edin.

Polinom Tür Terimler Derece 22x 3x 4− + Üç Terimli 22x , 3x,4− 2

8x 5x+ İki Terimli 8x ,5x 8

2 313 x x x2

− + − Dört Terimli 2 313, x,x , x

2− −

3

5x 1+ İki Terimli 5x,1 1

59x Tek Terimli 59x 5

6 Tek Terimli 6 0

Polinomlarda Toplama ve Çıkarma

Reel sayıların özelliklerini kullanarak bölüm 1.1 de bahsedildiği şekilde polinomları toplar ve

çıkarırız. Dağılma özelliğini kullanarak benzer terimlerin terimleri (yani, aynı değişkenlerin

aynı kuvvete sahip terimlerin) birleştirilmesidir. Örneğin,

( )7 7 7 75 3 5 3 8x x x x+ = + =

Polinomları çıkartırken, eksi işareti parantez içindeki bir ifadeden önce gelirse, parantez

kaldırılırken parantez içerisindeki her bir terimin işaretinin değiştirilmesi gerektiği

hatırlanmalıdır.


23

( )b c b c− + = − −

[Bu dağılma özelliğine bir örnektir. ( ) 1a b c ab ac, a+ = + = − ]

ÖRNEK 1: Polinomları ekleme ve çıkarma

(a) Toplamı bul ( ) ( )3 2 3 26 2 4 5 7x x x x x x− + + + + −

(b) Farkı bul ( ) ( )3 2 3 26 2 4 5 7x x x x x x− + + − + −

ÇÖZÜM 1:

(a) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 3 2

3 3 2 2

3 2

6 2 4 5 7

= 6 5 2 7 4 Benzer terimlerin gruplandırılması

=2 5 4 Benzer terimlerin birleştirilmesi

x x x x x x

x x x x x x

x x x

− + + + + −

+ + − + + − +

− − +

(b)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 3 2

3 2 3 2

3 3 2 2

2

6 2 4 5 7

= 6 2 4 5 7 Dağılma Özelliği

= 6 5 2 7 4 Benzer terimlerin gruplandırılması

=-11x 9 4

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

− + + − + −

− + + − − +

− + − − + + +

+ + Benzer terimlerin birleştirilmesi

Cebirsel İfadelerin Çarpılması

Polinomların veya diğer cebirsel ifadelerin çarpımını bulmak için, Dağılma Özelliğini tekrar

tekrar kullanmak gerekir. Özellikle iki terimlinin çarpımında üç kez kullanmak gerekir.

Bu, iki faktörün çarpımında; bir faktördeki her bir terimin diğer faktördeki her terimle

çarpılarak toplanacağını ifade etmektedir.

İki cebirsel ifadenin çarpımında genellikle Dağılma Özelliği ve Üs Kuralları kullanılır.


24

ÖRNEK 2: İki Terimlilerin Çarpımında FOIL Kullanımı

Üç terimlileri veya diğer polinomları daha fazla terimlerle çarptığımızda, Dağılım Özelliğini

kullanırız.

ÖRNEK 3: Polinomların Çarpımı:

( ) ( )22 3 5 4x x x+ − + çarpımını bulun.

ÇÖZÜM : Dağılma Özelliğini kullanarak:

ÇÖZÜM 2: Tablo Formu kullanarak:

Özel Çarpım Formülleri:

A ve B herhangi bir reel sayı yada cebirsel ifade olmak üzere

1. ( ) ( )+ − = −2 2 Benzer Terimlerin çarpılması ve toplanmasıA B A B A B

2. ( )+ = + +2 2 22 Toplamın KaresiA B A AB B

3. ( )− = − +2 2 22 Farkın KaresiA B A AB B

4. ( )+ = + + +3 3 2 2 33 3 Toplamın KübüA B A A B AB B

5. ( )− = − + −3 3 2 2 33 3 Farkın KübüA B A A B AB B

Bu formüllerin (veya cebirde başka bir formülün kullanılması) temel fikri Yerine Koyma

Prensibidir. Formüldeki herhangi bir harf için herhangi bir cebir ifadesinin yerini koyabiliriz.

Dağılma Özelliği

Benzer Terimlerin Birleştirilmesi


25

Örneğin, ( )22 3x y+ bulabilmek için, çarpım formülü 2 kullanarak 2x yerine A ve 3y yerine B

koyabiliriz.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 22 3 2 2 3 3

2 2 2

2

2

x y x x y y

A B A AB B

+ = + +

+ = + +

ÖRNEK 4: Özel Çarpım Formüllerini Kullanma

Özel çarpım formüllerini kullanarak aşağıdakilerin her birini bulunuz.

(a) ( )23 5x + (b) ( )32 5x −

ÇÖZÜM:

(a) 2. Çarpım formülünde A=3x ve B= 5 yerine koyarak

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 5 3 2 3 5 5 9 30 25x x x x x+ = + + = + +

(b) 5. Çarpım formülünde A = x2 ve B = 2 yerine koyarak

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 22 2 2 2 3 6 4 22 3 2 3 2 2 6 12 8x x x x x x x− = − + − = − + −

ÖRNEK 5: Özel çarpım formüllerini kullanarak aşağıdaki çarpımları bulunuz.

(a) ( ) ( )2 2x y x y− + (b) ( ) ( )1 1x y x y+ − + +

ÇÖZÜM:

(a) 1. Çarpım formülünde A=2x ve B= y yerine koyarak

( ) ( ) ( ) ( )22 22 2 2 4x y x y x y x y− + = − = −

(b) Eğer x + y bir grup olarak alınırsa cebirsel ifade de A = x + y ve B = 1 ise 1. çarpım

formülü kullanılarak

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

2 2

1 1 1 1

1 1.Çarpım Formülü

2 1 2.Çarpım Formü

x y x y x y x y

x y

x xy y

+ − + + = + − + +

= + −

= + + − lü

Ortak Çarpanlara Ayırma:

Cebirsel ifadeleri genişletmek için Dağılma Özelliğini kullanırız. Bazen, bir ifadeyi daha basit

olanların çarpımı olarak çarpanlarına ayırarak bu süreci tersine çevirmeye gerek duyarız

(tekrar Dağılma Özelliğini kullanarak). Örneğin,


26

x -2 ve x + 2, x2 – 4 ün çarpanlarıdır. En kolay çarpanlara ayırma, ortak faktör olduğunda

gerçekleşmektedir.

ÖRNEK 6: Ortak Faktöre Göre Çarpanlara Ayırma:

Her bir ifadeyi çarpanlarına ayırın.

(a) 23 6x x− (b) 4 2 3 3 48 6 2x y x y xy+ −

(c ) ( ) ( ) ( )2 4 3 5 3x x x+ − − −

ÇÖZÜM:

(a) 3x2 ve 6x için en büyük ortak çarpan 3x;

( )23 6 3 2x x x x− = −

(b) Dikkat edilecek olursa;

8, 6 ve -2 için ortak çarpan 2

x4, x3 ve x için ortak çarpan x

y2, y3 ve y4 için ortak çarpan y2 olmak üzere

3 terimin en büyük ortak çarpanı 2xy2 ise,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

4 2 3 3 4 2 3 2 2 2 2

2 3 2 2

8 6 2 2 4 2 3 2

2 4 3

x y x y xy xy x xy x y xy y

xy x x y y

+ − = + + −

= + −

( c) iki terimde de ortak çarpan x – 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 4 3 5 3 2 4 5 3 Dağılma Özelliği

2 1 3 Basitleştirme

x x x x x

x x

+ − − − = + − − = − −

Üç Terimleri Çarpanlara Ayırma

Üç terimli 2x bx c+ + ifadesini çarpanlara ayırma

( ) ( ) ( )2x r x s x r s x rs+ + = + + +

r + s= b ve rs = c i sağlayacak r ve s nin bulunması gerekmektedir.

ÖRNEK 7: Deneme ve yanılma ile 2x bx c+ + ifadesini çarpanlara ayırma 2 7 12x x+ + çarpanlarına ayırınız.

Çarpanlara Ayırma

Genişletme


27

ÇÖZÜM: Çarpımları 12 ve toplamları 7 olan iki tamsayı bulmak gerekmektedir. Deneme ve

yanılma ile 3 ve 4 tamsayılarını elde edebiliriz. Sonuçta çarpanlara ayırma;

( ) ( )2 7 12 3 4x x x x+ + = + +

2ax bx c+ + ifadesini çarpanlarına ayırmak için ( )px r+ ve ( )qx s+ çarpanlarının bulunması

gerekmektedir.

pq a,= rs c= , ps qr b+ = eşitliklerini sağlayan p, q, r ve s sayılarının bulunmaya çalışılması gerekmektedir.

Eğer bu sayıların hepsi tamsayı ise, p, q, r ve s bulmak için sınırlı sayıda olasılık söz konusudur.

ÖRNEK 8: Deneme ve yanılma ile 2ax bx c+ + ifadesini çarpanlara ayırma

26 7 5x x+ − çarpanlarına ayırınız.

ÇÖZÜM: 6 sayısını 6 ∙ 1 ya da 3 ∙ 2 olarak, -5 sayısını −5 ∙ 1veya 5 ∙ (−1) olarak

çarpanlara ayırabiliriz. Bütün durumları deneyerek, çarpanlara ayrılabilir.

( ) ( )26 7 5 3 5 2 1x x x x+ − = + −

ÖRNEK 9: Bir ifadenin formunu fark etmek

Her bir ifadeyi çarpanlara ayırınız.

(a) 2 2 3x x− − (b) ( ) ( )25 1 2 5 1 3a a+ − + − ÇÖZÜM:

(a) Deneme ve yanılma ile ( ) ( )2 2 3 3 1x x x x− − = − + (b) Aşağıdaki formdaki ifade

(a) da olduğu gibi çarpanlar ( - 3 )( + 1)

12’nin çarpanları

-5 ’ in çarpanları

6 ’ in çarpanları

Burada ile ifade edilmektedir.


28

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

+ − + − = + − + + − +

25 1 2 5 1 3 5 1 3 5 1 1

= 5 2 5 2

a a a a

a a

Özel Çarpanlara Ayırma Formülleri

Formül İsim

1. ( ) ( )− = − +2 2 Farkın KaresiA B A B A B

2. ( )+ + + 22 22 = Tam KareA AB B A B

3. ( )− + − 22 22 = Tam KareA AB B A B

4. ( ) ( )− = − + +3 3 2 2 Farkın KübüA B A B A AB B

5. ( ) ( )+ = + − +3 3 2 2 Küp ToplamıA B A B A AB B

ÖRNEK 10: Karelerin Farklarını Çarpanlara Ayırma

Her bir ifadeyi çarpanlara ayırın.

(a) −24 25x (b) ( )+ −2 2x y z ÇÖZÜM:

(a) A = 2x ve B = 5 ile kare Farkı formüllerini kullanarak ( ) ( ) ( )

( ) ( )− = − = − +

− = − +

22 2

2 2

4 25 2 5 2 5 2 5

x x x x

A B A B A B

(b) A = x + y ve B = z ile kare farkı formüllerini kullanarak ( ) ( ) ( )+ − = + − + +2 2x y z x y z x y z

ÖRNEK 11: Küp toplamları ve farklarının çarpanlara ayrılması

Her bir polinomu çarpanlara ayırınız.

(a) −327 1x (b) +6 8x ÇÖZÜM:

(a) A = 3x ve B = 1 ile Küp farkını kullanarak

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) − = − = − + +

− + +

3 23 3 2

2

27 1 3 1 3 1 3 3 1 1

= 3 1 9 3 1

x x x x x

x x x

(b) A = x2 ve B = 2 ile Küp toplamı kullanarak

( ) ( ) ( )+ = + = + − +36 2 3 2 4 28 2 2 2 4x x x x x

Üç terimli tam kare aşağıdaki formlarda ise,


29

+ +2 22A AB B − +2 22A AB B

Eğer ortadaki terimler dıştaki terimlerin kareköklerinin çarpımın artı veya eksi iki katı ise (2AB yada -2AB) kusursuz bir karesel ifade olduğunu fark ederiz.

ÖRNEK 12: Kusursuz karesel ifadeleri fark etme

Her bir üç terimliyi çarpanlara ayırınız.

(a) + +2 6 9x x (b) − +2 24 4x xy y ÇÖZÜM:

(a) A = x ve B = 3, . Orta terim 6x olduğu için üç terimli tam karedir. Tam kare formülü kullanarak

( )+ + = + 22 6 9 3x x x (b) A = 2x ve B = y, . Orta terim -4xy olduğu için üç terimli tam

karedir. Tam kare formülü kullanarak ( )− + = − 22 24 4 2x xy y x y

Bir ifadeyi çarpanlara ayırırken bazen çıkan sonucu tekrar çapanlara ayırmak gerekebilir. Çarpanlara ayırma işlemi ifade tamamen çarpanlara ayrılana kadar devam edecektir.

ÖRNEK 13: İfadenin Tamamen Çarpanlara Ayrılması

Her bir ifadeyi tamamen çarpanlara ayırın.

(a) −4 22 8x x (b) ÇÖZÜM:

(a) ( )( ) ( )

− = −

− + −

4 2 2 2 2

2 2

2 8 2 4 Ortak çarpan 2x

=2 2 2 x 4 kare farkı

x x x x

x x x

(b) Yeni örnekler kesirli üslere göre değişkenlerin çarpanlara ayrılması ile ilgilidir.

ÖRNEK 14: Kesirli Üslere Sahip İfadelerin Çarpanlara Ayrılması

(a) −− +3 2 1 2 1 23 9 6x x x (b) ( ) ( )−+ + +2 3 1 32 2x x x ÇÖZÜM:


30

(a) En küçük x in üssüne göre çarpanlara ayrılırsa, yani 1 2x−

( )( ) ( )

− − −

−

− + = − +

− − − +

3 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2

1 2 2

3 9 6 3 3 2 3x göre ortak çarpan

=3 1 2 3 2 çarpanlara ayrılır

x x x x x x

x x x x x

(b) (x + 2)’in en küçük üssüne göre çarpanlara ayrılırsa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

− − −

−

−

+ + + = + + + +

+ +

+ +

2 3 1 3 2 3 2 3

2 3

2 3

2 2 2 2 2 göre ortak çarpan

= 2 2 2 basitleştirme

=2 2 1

x x x x x x x

x x

x x ortak çarpan 2

Gruplama İle Çarpanlara Ayırma

En az dört terimli polinomlar bazen gruplandırılarak çapanlara ayrılırlar.

ÖRNEK 15: Gruplama İle Çarpanlara Ayırma

(a) 3 2x x 4x 4+ + + (b) 3 2x 2x 3x 6− − + ÇÖZÜM:

(a) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 3 2

2

2

x x 4x 4 x x 4x 4 Terimleri gruplama

=x x 1 4 x 1 ortak çarpana göre

= x 4 x 1 her bir terim x+1 e göre çarpa

+ + + = + + +

+ + +

+ + nlara ayrılır

(b) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 3 2

2

2

x 2x 3x 6 x 2x 3x 6 Terimleri gruplama

=x x 2 3 x 2 ortak çarpana göre

= x 3 x 2 her bir terim x-2 e göre çar

− − + = − − −

− − −

− − panlara ayrılır

1.4 RASYONEL İFADELER

Cebirsel İfadelerin Tanım Kümesi, Rasyonel İfadeleri Basitleştirme, Rasyonel İfadeleri

Çarpma ve Bölme, Rasyonel İfadeleri Toplama ve Çıkarma, Bileşik Kesirler, Pay veya

Paydayı Rasyonel Hale Getirme, Genel Hatalardan Kaçınma

İki cebirsel ifadenin oranı kesirli ifade olarak adlandırılır. Aşağıda birkaç örnek verilmiştir:

Rasyonel ifade, pay ve paydanın her ikisinin de polinomlar olduğu kesirli ifadedir.


31

Bu bölümde rasyonel ifadeler üzerinde cebirsel işlemleri nasıl yapacağımız öğreneceğiz.

Cebirsel İfadenin Tanım Kümesi

Genellikle, cebirsel ifade değişkenin tüm değerleri için tanımlı olmayabilir. Cebirsel ifadenin

tanım kümesi değişkenin almasını izin verilen reel sayıların bir kümesidir. Aşağıdaki tablo

bazı temel ifadeleri ve tanım kümelerini vermektedir

İfade Tanım kümesi

ÖRNEK 1 Bir İfadenin Tanım Kümesini Bulmak

Aşağıdaki ifadelerin tanım kümelerini bulunuz.

ÇÖZÜM

(a) Bu polinom her x için tanımlanmıştır. Böylece, tanım kümesi reel sayıların kümesidir.

(b) Önce paydayı çarpanlarına ayırırız.

x=2 veya x=3 olursa payda 0 olur.

x=2 veya x=3 iken payda sıfır olduğundan, ifade bu sayılar için tanımlı değildir. Tanım

kümesi

(c) Payın tanımlı olması için, olmalıdır. Aynı zamanda, sıfır ile bölemeyiz, yanı

Karekökünü almak için olmalı olursa payda 0 olur

Böylece, tanım kümesi


32

Rasyonel İfadeleri Basitleştirme

Rasyonel ifadeleri basitleştirmek için, pay ve paydayı çarpanlarına ayırıyoruz ve kesirlerin

aşağıdaki özelliğini kullanıyoruz:

Bu pay ve paydadan ortak çarpanları sadeleştirmemize izin verir.

ÖRNEK 2 Sadeleştirme ile Rasyonel İfadeleri Basitleştirme

Basitleştirin:

ÇÖZÜM

Çarpanlarına ayırın

Ortak çarpanları sadeleştirin

bir çarpan olmadığı için, ifadesindeki 'leri sadeleştiremeyiz.

Rasyonel İfadelerde Çarpma ve Bölme

Rasyonel ifadeyi çarpmak için, kesirlerin aşağıdaki özelliğini kullanıyoruz:

Bu özellik iki kesri çarpmak için paylarını ve paydalarını çarpmamızı söylüyor.

ÖRNEK 3 Rasyonel İfadelerin Çarpımı

Belirtilen çarpımı yapın ve basitleştirin:

ÇÖZÜM Önce çarpanlarına ayırırız.

Çarpanlara ayırın

Kesirlerin özelliği



33

Kesirli ifadeleri bölmek için, kesirlerin aşağıdaki özelliğini kullanırız.

Bu özellik bir kesri başka bir kesirle bölmek için, böleni ters çeviririz ve çarparız.

ÖRNEK 4 Rasyonel İfadelerin Bölümü

Belirtilen bölümü yapın ve basitleştirin:

ÇÖZÜM

Ters çevirin ve çarpın



Rasyonel İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Rasyonel ifadelerde toplama ve çıkarma için, öncelikle ortak paydayı buluruz ve kesirlerin

aşağıdaki özelliğini kullanırız:

Herhangi bir ortak paydayı kullanabilmemize rağmen, Bölüm 1.1'de açıklandığı gibi en

küçük ortak paydayı (LCD) kullanmak en iyisidir. LCD her paydayı çarpanlarına ayırarak

ve çarpanların hepsinde görünen en yüksek kuvveti kullanan farklı çarpanların bileşkesini

alarak bulunur.

Aşağıdaki hatayı yapmaktan kaçının:

Örnek olarak, eğer ve alırsak, hatayı görebiliriz:


34

ÖRNEK 5 Rasyonel İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Belirtilen işlemleri yapın ve sadeleştirin:

ÇÖZÜM

(a) Burada LCD sadece bu ifadedir:

LCD kullanarak çarpanları yazın

Çarpanları ekleyin

Terimleri pay içinde birleştirin

(b) ve ifadelerinin LCD'si 'dir.


LCD kullanarak kesirleri birleştirin


Payda terimleri birleştirin

Bileşik Kesirler

Bileşik kesir, payın, paydanın veya her ikisinin de kesirli ifadelerden oluştuğu bir kesirdir.

ÖRNEK 6 Bileşik Kesri Sadeleştirme

Basitleştirin:

ÇÖZÜM 1 Paydaki terimleri bir tek kesir içinde birleştiriyoruz. Aynısını paydada yapıyoruz.

Sonra ters çevirip çarpıyoruz.


35

ÇÖZÜM 2 İfadedeki tüm kesirlerin LCD'sini buluruz, sonra payı ve paydayı bununla

çarparız. Bu örnekte tüm kesirlerin LCD'si 'dir. Böylece

Pay ve paydayı ile çarpın

Sadeleştirin


Sonraki iki örnek kesirli ifadelerle çalışma yeteneği gerektiren kalkülüs durumlarını gösterir.

ÖRNEK 7 Bileşik Kesri Basitleştirme

Basitleştirin:

ÇÖZÜM Ortak paydayı kullanarak kesirleri pay içinde birleştirerek başlıyoruz.

Pay içinde kesirleri birleştirin

Kesirlerin 2. Özelliği (böleni ters çevirin ve çarpın)


Sadeleştirme

Kesirlerin 5. Özelliği (Ortak kesirleri sadeleştirin)

ÖRNEK 8 Bileşik Kesri Basitleştirme

Basitleştirin:


36

ÇÖZÜM 1 Paydan ifadesini çarpanlarına ayırın

En küçük üslü 'nin kuvvetini çarpanlarına ayırın, bu örnekte

ÇÖZÜM 2 = bir kesir olduğundan, pay ve paydayı

ile çarparak tüm kesirleri ortadan kaldırabiliriz.

Pay veya Paydayı Rasyonelleştirme

Bir kesir şeklinde bir paydaya sahipse, pay ve payda eşlenik köküyle

çarpılarak payda rasyonelleştirilebilir. Bölüm 1.3'teki Özel Çarpım Formülü 1 ile paydanın ve

eşlenik kökünün çarpımı bir kök içermeyeceğinden bu işlem uygulanır:

ÖRNEK 9 Paydayı Rasyonelleştirme

Paydayı rasyonelleştirin:

ÇÖZÜM Pay ve paydanın her ikisini 'nin eşlenik kökü ile çarparız.

Pay ve paydayı eşlenik köküyle çarpın.

Özel Çarpım Formülü 1



37

ÖRNEK 10 Payı Rasyonelleştirme

Payı rasyonelleştirin:

ÇÖZÜM Payı ve paydayı eşlenik köküyle çarparız.

Payı ve paydayı eşlenik köküyle çarpın.


Kesirlerin 5. Özelliği (ortak çarpanları

sadeleştirme)

Ortak Hatalardan Kaçınma

Toplama operatörüne çarpımın özelliklerini uygularken hata yapmayın. Cebirde ortak

hataların çoğu böyle hataları içerir. Aşağıdaki tablo çarpmanın birkaç özelliğini belirtir ve

bunların toplamaya uygulanmasındaki hataları gösterir.

Sağ sütundaki eşitliklerin yanlış olduğunu kanıtlamak için, basitçe a ve b yerine sayıları

koyun ve her iki tarafı hesaplayın. Örneğin, dördüncü hatada a=2 ve b=2 alırsak, sol tarafı şu

şekilde iken

sağ tarafı şu şekilde buluruz


38

olduğundan, verilen eşitlik yanlıştır. Siz de diğer eşitliklerin her birindeki hatayı

benzer şekilde kanıtlamalısınız.

1.5 Denklemler

Bir denklem iki matematiksel ifadenin eşit olduğunu söyleyen bir ifadedir. Örneğin:

3 + 5 = 8

bir denklemdir. Cebirde çalıştığımız çoğu denklemde, sayıları belirten semboller (genellikle

harfler) olan değişkenler bulunur.

4𝑥 + 7 = 19

denkleminde x harfi bir değişkendir. Denklemde x’ i “bilinmeyen” olarak düşünüyoruz ve

amacımız denklemi doğru yapan (gerçekleyen) x değerini bulmaktır. Denklemi doğru kılan

bilinmeyen değerlere denklemin çözümleri veya kökleri denir ve çözümleri bulma işlemine

denklemin çözümü denir.

Tam olarak aynı çözümlere sahip iki eşitlik denklemi eş değer denklemler olarak

adlandırılır. Bir denklemi çözmek için değişkenin “eşit” işaretinin bir tarafında tek başına

durduğu daha basit eşdeğer bir denklem bulmaya çalışıyoruz.

Aşağıda bir denklemi çözmekte kullandığımız özellikler vardır. (Burada A, B ve C

herhangi bir cebir ifadesini ve ⇔ sembolü eşdeğerdir anlamına gelir.)

Bu özellikler eşitliği çözerken bir denklemin her iki tarafında da aynı işlemi

gerçekleştirmenizi gerektirir. Bu nedenle bir denklemi çözerken “−7 eklemeyi” söylersek, bu

“denklemin her iki yanına −7 ekleme” nin kısa bir yoludur.

Doğrusal Denklemlerin Çözümü


39

Denklemin en basit türü her terimin değişkeninin sabit veya sıfırdan farklı bir çarpımı

ile oluşturduğu bir denklem olan doğrusal denklemdir veya birinci dereceden denklemdir.

Doğrusal Denklemler

Tek değişkenli doğrusal denklem 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 biçiminde tanımlanmaktadır. Burada a

ve b reel (gerçel) sayılar ve x değişkendir.

Aşağıda doğrusal denklemler ile doğrusal olmayan denklemler arasındaki farkı görmek için

bazı örnekler vardır.

Doğrusal denklemler Doğrusal olmayan denklemler

Örnek 1 Bir Doğrusal Denklemin Çözümü

denklemini çözünüz.

Çözüm Bunu, bir tarafta x değişkeni ve diğer tarafta da sabitleri içeren tüm terimlerle eş

değer bir denklem haline getirerek çözeriz.

Cevabı Kontrol Et: x = 3 için denklemin sol yanı = 7(3)− 4 = 17

denklemin sağ yanı = 3(3) + 8 = 17

Bilimdeki birçok formül çeşitli değişkenleri içerir ve değişkenlerden birini diğerleri açısından

ifade etmek genellikle gereklidir. Sonraki örnekte, Newton ‘un Yerçekimi Kanunu ‘ndaki

değişkene çözüm buluyoruz.

Örnek 2 Diğerleri Cinsinden Bir Değişken İçin Çözüm

Aşağıdaki denklemi M değişkeni cinsinden çözünüz.

Değişkenin karesini içerir, doğrusal değil.

Değişkenin kare kökünü içerir, doğrusal değil. Değişkenin tersini içerir, doğrusal değil.

Verilen denklem “4 ekle” “sadeleştir”

“3x çıkar”

“sadeleştir”

“14 ile çarp”

“sadeleştir”


40

Çözüm Bu denklem birden fazla değişkene sahip olsa da M ‘yi bir tarafta bırakarak diğer

değişkenlere sayı gibi davranarak çözeriz.

Çözüm ‘dir.

Örnek 3 Diğerleri Cinsinden Bir Değişkeni Çözme

Şekil 1 ‘de gösterilen kapalı dikdörtgen kutunun alanı formülüyle

hesaplanır. h yükseklik, l boy ve w eni temsil etmektedir.

Şekil 1. Bir kapalı dikdörtgen kutu

Bu denklemde w değişkenini diğerleri cinsinden elde ediniz.

Çözüm Bu denklem birden fazla değişkene sahip olsa da w değişkenini bir tarafta bırakarak

diğer değişkenlere sayı gibi davranarak çözeriz.

Çözüm:

İkinci Derece Denklemlerin Çözümleri

2𝑥 + 1 = 5 veya 4 − 3𝑥 = 2 gibi doğrusal denklemler birinci derecedendir. 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0

veya 2𝑥2 + 3 = 5𝑥 gibi kuadratik (karesel) denklemler ikinci derecedendir.

Sağ tarafta M çarpanlarına ayırıldı.

𝐺𝑚𝑟2 ‘nin tersi ile çarp.

sadeleştir.

w içeren terimler bir araya toplanır.

2lh çıkar.

sağ tarafta w çarpanlarına ayrılır.

2l + 2h ‘a böl.


41

İkinci Derecen Denklem

Bir ikinci derece denklemin genel formu

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

biçimindedir. Burada a, b ve c reel sayı olup 𝑎 ≠ 0 ‘dır.

Bazı kuadratik denklemler, reel sayıların aşağıdaki temel özelliklerini ve çarpanlarına

ayırmayı kullanarak çözülebilir.

Sıfırla-Çarpım Özelliği

0=AB ancak ve ancak 0=A veya 0=B ’dır.

Bu özellik bir kuadratik (veya diğer) denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırabilirsek

her çarpanı sırayla sıfıra eşitleyerek çözebileceğimiz anlamına gelir. Bu yöntem

yalnızca denklemin sağ tarafı sıfır olduğunda çalışır.

Örnek 4: Çarpanlara ayırma yöntemiyle ikinci dereceden denklem çözme

2452 =+ xx denklemini çözünüz.

Çözüm: Denklemin sağ tarafını sıfır olacak biçimde yeniden yazmalıyız.

2452 =+ xx

02452 =−+ xx “24 çıkar”

0)8)(3( =+− xx “çarpanlarına ayır”

𝑥 − 3 = 0 veya 𝑥 + 8 = 0 “sıfırla çarpım özelliği”

𝑥 = 3, 𝑥 = 8 “çözüm”

Kontrol: 24159)3(532 =+=+ , 244064)8(5)8( 2 =−=−++−

Örnek 4’de denklemin bir tarafının neden 0’a eşit olması gerektiğini gördünüz mü? Denklem

𝑥(𝑥 + 5) = 24 biçiminde çarpanlarına ayırılması çözümü bulmaya yardımcı olmaz. Çünkü

24 sayısı sonsuz yolla çarpanlarına ayırabilir (6.4,1/2.48,-60.-2/5).

𝑐 bir sabit olmak üzere 𝑥2 − 𝑐 = 0 denkleminin çarpanlarına ayırılışı �𝑥 − √𝑐��𝑥 + √𝑐� = 0

biçimdedir. Çözümler: 𝑥 = √𝑐, 𝑥 = −√𝑐’dir. Genellikle bu çözümler 𝑥 = ±√𝑐 olarak yazılır.

Basit Bir Kuadratik Denklem Çözümü

𝑥2 = 𝑐 denkleminin çözümleri 𝑥 = √𝑐, 𝑥 = −√𝑐 ‘dir.

Örnek 5: a) 𝑥2 = 5 b) (𝑥 − 4)2 = 5 denklemlerini çözünüz.

Çözüm: a) 𝑥 = ±√5

b) Bu denklemin her iki tarafının karekökünü alarak da çözebiliriz;

(𝑥 − 4)2 = 5


42

𝑥 − 4 = ±√5

𝑥 = 4 ± √5 “4 ekle”

Çözümler 𝑥 = 4 − √5 ve 𝑥 = 4 + √5 ‘dir.

Örnek 5’te görüldüğü gibi (𝑥 ± 𝑎)2 = 𝑐 biçimindeki bir denklemin çözümü her iki tarafın

karekökü alınarak bulunur. Bu formdaki denklemin sol tarafı tam kare’dir (perfect square).

Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklem kolayca çarpanlarına ayrılamıyorsa o zaman kareye

tamamlama tekniğini kullanarak denklemi çözebiliriz. Bu, bir ifadeyi tam kare yapmak için

bir sabit eklediğimiz anlamına gelmektedir. Örneğin, 𝑥2 − 6𝑥 ifadesini tam kare yapmak için

9 eklemeliyiz. Çünkü 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)2’dir.

Kareye Tamamlama (Tam Kare Yapmak)

𝑥2 + 𝑏𝑥 ifadesini tam kare yapmak için x katsayısının yarısının karesi �𝑏2

�2eklenir. Bu

durumda;

𝑥2 + 𝑏𝑥 + �𝑏2

�2

= �𝑥 +𝑏2

�2

olur.

Kare tamamlanırken, 𝑥2 katsayısının 1 olduğundan emin olun. öyle değilse, bu

katsayıyı, 𝑥 içeren her iki terimden de hesaba katmalısınız:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑎 �𝑥2 +𝑏𝑎

𝑥�

Ardından, parantez içindeki ifadeyi kareye tamamlayın. Teriminin parantez içine eklenen

terimin a ile çarpıldığını unutmayın.

Örnek 6: Kareye Tamamlayarak Kuadratik Denklemi Çözme

a) 𝑥2 − 8𝑥 + 13 = 0 b) 3𝑥2 − 12𝑥 + 6 = 0 denklemlerini tam kare yaparak

çözünüz.

Çözüm: a) 𝑥2 − 8𝑥 = −13 “13 çıkar”


43

𝑥2 − 8𝑥 + 16 = −13 + 16 “Kare yapmak için (−8 2⁄ )2 = 16 ekle”

(𝑥 − 4)2 = 3 “tam kare”

𝑥 − 4 = ±√3 “karekök al”

𝑥 = 4 ± √3 “4 ekle”

b) Denklemin her iki yanından 6 çıkarıldıktan sonra

3𝑥2 − 12𝑥 = −6

3(𝑥2 − 4𝑥) = −6 “sol taraf 3 çarpan parantezine al”

3(𝑥2 − 4𝑥 + 4) = −6 + 3.4 “Tam kare için parantezin içine (−4/2)2 = 4 ekle ve

sol taraf 3 parantezinde olduğun için sağ tarafa da 3.4=12 ekle”

3(𝑥 − 2)2 = 6 “Tam kare”

(𝑥 − 2)2 = 63

= 2 “3’e böl”

𝑥 − 2 = ±√2 “karekök al”

𝑥 = 2 ± √2 “2 ekle”

Genel 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 kuadratik denkleminin kökleri için genel bir formül elde etmede tam

kare tekniğini kullanabiliriz.

Kuadratik Formül

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0) denkleminin kökleri;

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

dır.

İspat: sol tarafta 𝑥2 teriminin katsayısını 1 yapmak için denklem 𝑎 ile bölünürse;

𝑥2 +𝑏𝑎

𝑥 = −𝑐𝑎

Şimdi kareye tamamlamak için � 𝑏2𝑎

�2 her iki tarafa eklenildiğine,

𝑥2 +𝑏𝑎

𝑥 + �𝑏

2𝑎�

2

= −𝑐𝑎

+ �𝑏

2𝑎�

2

�𝑥 +𝑏

2𝑎�

2

=−4𝑎𝑐 + 𝑏2

4𝑎2

Tam kare ifadesi elde edilir. Burada her iki tarafın karekökü alınır ve b/2a çıkarılırsa;

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎


44

olarak bulunur.

Örnek 7: Kuadratik formülü kullanma

a) 3𝑥2 − 5𝑥 − 1 = 0 b) 4𝑥2 + 12𝑥 + 9 = 0 c) 𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 0 denklemlerinin

her biri için tüm çözümleri bulunuz.

Çözüm: a) Bu denklemde 𝑎 = 3, 𝑏 = −5, 𝑐 = −1 olduğundan formül gereği,

𝑥 =−(−5) ± �(−5)2 − 4(3)(−1)

2(3)=

5 ± √376

𝑥 =�5 + √37�

6≈ 1.8471, 𝑥 =

�5 − √37�6

≈ −0.1805

b) 𝑎 = 4, 𝑏 = 12, 𝑐 = 9 olduğundan

𝑥 =−12 ± �122 − 4(4)(9)

2(4) = −32

Denklemin tek kökü vardır.

c) 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 2 olup;

𝑥 =−2 ± �22 − 4(1)(2)

2(1) =−2 ± √−4

2= −1 ± √−1

Herhangi bir reel sayının karesi negatif olamaz. √−1 sayısı reel sayı sisteminde tanımlı

değildir. Bu denklemin reel çözümü yoktur. Bölüm 3.5’te karmaşık sayı sistemini çalışacağız.

Bu sistemde negatif sayıların karekökleri mevcuttur. Örnek 7 (c) karmaşık sistemde bir

çözüme sahiptir.

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 denklemi için oluşturulan kuadratik formülde 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ifadesine

diskriminant denir. D(veya ∆) sembolü ile gösterilir. Eğer 𝐷 < 0 ise √𝑏2 − 4𝑎𝑐 tanımlı

değildir ve denklemin reel çözümü yoktur. Eğer 𝐷 = 0 ise denklemin birbirine eşit iki reel

çözümü vardır. Eğer 𝐷 > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki reel çözümü vardır.

DİSKRİMİNANT

İkinci dereceden 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 denkleminin diskriminantı 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 bçiminde

tanımlanmaktadır.

1. 𝐷 > 0 ise denklemin iki farklı reel(gerçel) kökü(çözümü) vardır.

2. 𝐷 = 0 ise denklemin birbirine eşit olan iki reel kökü vardır.

3. 𝐷 < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.


45

Örnek 8: Diskriminant Kullanma

Denklemlerinin diskriminantını kullanarak kaç tanesinde reel çözüm olduğunu bulunuz.

Çözüm: a) 𝐷 = 42 − 4(1)(−1) = 20 > 0 → iki farklı reel kök var.

𝑏) 𝐷 = (−12)2 − 4(4)(9) = 0 → eşit iki reel kök var.

𝑐) 𝐷 = (−2)2 − 4 �13� (4) = −4/3 → reel kök yoktur.

Şimdi gerçek hayattaki bir durumu ikinci dereceden bir denklem ile modelleyelim.

Örnek 9: Mermi Yörüngesi

Başlangıçta 𝑉0 hızına sahip olarak fırlatılan ya da yukarı doğru atılan bir nesne 𝑡 saniye

sonunda ℎ yüksekliğinde olduğuna göre ℎ ve 𝑡 için;

ℎ = −16𝑡2 + 𝑉0𝑡

formülü ile verilmektedir. Mermi ateşlendiğinde ilk hızının 800 𝑓𝑡/𝑠𝑛 olduğu varsayılsın.

Merminin izlediği yol şekil 1 de gösterildiğine göre

a) Mermi yere ne zaman düşer?

b) 6400 ft yüksekliğe ne zaman ulaşır?

c) Ne zaman 2 mil yüksekliğe ulaşır?

d) Merminin ulaştığı en yüksek nokta kaç ft’ dir?

Çözüm: a) 𝑉0 = 800 olduğundan

ℎ = −16𝑡2 + 800𝑡

olur. Mermi yere geldiğinde ℎ = 0 olacağından,

0 = −16𝑡2 + 800𝑡

denklemi çözülmelidir.

0 = −16𝑡(𝑡 − 50)

𝑡 = 50 veya 𝑡 = 0 dır. 𝑡 = 0 başlangıç olduğundan cisim yere 50 𝑠𝑛

sonra ulaşır.

b) ℎ = 6400 alınırsa;

6400 = −16𝑡2 + 800𝑡

Tüm terimler sol tarafa toplanırsa;


46

Mermi 6400 ft yüksekliğe 10 sn sonra(çıkışta) ve daha sonra 40 sn (inişte) sahip olur.

c) 2 𝑚𝑖𝑙 = 2 × 5280 = 10.560 𝑓𝑡

𝐷 = (−50)2 − 4(1)(660) = −140 < 0

Denklemin reel çözümü yoktur. Mermi asla 2 mil yüksekliğe ulaşamaz

d) Mermi hareketi boyunca aldığı yollarda bir iniş ve bir çıkış vardır. Yalnız en yüksek

noktada istisna olarak tek bir çıkış söz konusudur. Bu ise t için aşağıdaki denklemin her

sadece bir çözümü olduğunu gösterir;

ℎ = −16𝑡2 + 800𝑡

16𝑡2 − 800𝑡 + ℎ = 0

Denklemin tek bir çözüme sahip olması için diskriminantı sıfır

olmalıdır.

Mermi maksimum 10.000 ft yüksekliğe ulaşabilir.

DİĞER DENKLEM TİPLERİ

Şimdiye kadar doğrusal ve kuadratik denklemlerin nasıl çözüleceğini gördük. Şimdi daha

yüksek kuvvete sahip, kesirli ve köklü ifade içeren denklem türlerini inceleyeceğiz.


47

Örnek 10: Kesirli(rasyonel) ifade içeren Denklem

Çözüm: Paydaları yok etmek için denklemin eşitliğin her iki tarafını paydaların en küçük

ortak katı ile çarpılmalıdır:

Örnek 11: Köklü İfade İçeren Denklem

2𝑥 = 1 − √2 − 𝑥 denklemini çözünüz.

Çözüm: Karekökü yok etmek için, köklü ifade eşitliğin bir tarafında yalnız bırakıldıktan

sonra her iki tarafın karesi alınarak aşağıdaki biçimde çözüm gerçekleştirilir.

𝑥 = − 14 ve 𝑥 = 1 potansiyel çözümlerdir. Orijinal denklemde bu çözümler kontrol

edilmelidirler.


48

𝑥 = 1 çözüm değildir.

𝑎𝑊2 + 𝑏𝑊 + 𝑐 = 0 bir denklem formu W cebirsel bir ifadedir. Bu denklem ikinci

derecedendir. Bir sonraki iki örnekte göreceğiniz gibi cebirsel ifadeyi uygun bir şekilde yerine

koyarak denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülüp çözüm gerçekleştirilir.

Örnek 12: Dördüncü dereceden denklem –Kuadratik Form

𝑥4 − 8𝑥2 + 8 = 0 denkleminin tüm çözümlerini bulunuz

Çözüm: 𝑊 = 𝑥2 yazılırsa W yeni kuadratik denklemin değişkeni olur.

Örnek 13: Kesirli Kuvvete Sahip Denklem

𝑥1/3 + 𝑥1/6 − 2 = 0 denklemini çözünüz.

Çözüm: 𝑊 = 𝑥1/6 olarak alınırsa 𝑊2 = �𝑥1/6�2

= 𝑥1/3 olur.

Bir denklemi çözdüğümüzde bir veya daha fazla

yabancı(gereksiz) çözüm bulabiliriz. Yani bu çözümler

orijinal denklemi sağlamayan çözümlerdir. Bir

denklemin her iki tarafında kare alındığında

yabancı(gereksiz) çözümler ortaya çıkabilir. Çünkü kare

alma işlemi yanlış olan bir denklemi doğru hale

getirebilir. Örneğin; −1 ≠ 1 dir. Fakat, (−1)2 =

(1)2’dir. İşte bu gibi durumlarda cevaplar orijinal

denklemde kontrol edilmelidir.


49

Cevap kontrol edildiğinde çözüm sadece 𝑥 = 1’dir.

Örnek 14: Mutlak Değerli Denklem

|2𝑥 − 5| = 3 denklemini çözünüz.

Çözüm: Mutlak değer tanımından;

1.6 Denklemlerle Modelleme


50

Fen bilimleri, ekonomi, finans, tıp ve diğer çeşitli alanlardaki birçok problem bir cebir

problemi diline dönüştürülebilir. Bu nedenle, cebir oldukça yararlıdır. Bu bölümde gerçek-

yaşam problemlerini çözmek için denklemleri matematiksel modeller olarak kullanacağız.

Model Oluşturma ve Kullanma

Aşağıdaki kılavuzu, kelimelerle tanımlanan durumları modelleyen denklemleri oluşturmada

bize yardımcı olması için kullanacağız. Kılavuzun denklemleri oluşturmada nasıl yardımcı

olabileceğini göstermek için, bu bölümdeki her örnek üzerinde çalışırken kılavuzdaki adımları

kenara yazacağız.

Aşağıdaki örnek, bu kılavuzun kelime içeren bir problemi cebirin diline çevirmede

nasıl kullanıldığını örneklemektedir.

ÖRNEK 1. Araba Kiralama

Araba kiralama şirketi bir arabayı kiralamak için günlük 30$ ve mil başına 15 cent ücret

istemektedir. Helen iki gün için araba kiralamıştır ve 108$ fatura gelmiştir. Ne kadar mil

boyunca arabayı kullanmıştır?

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Bizden Helen ‘in sürdüğü mil miktarını bulmamız istenmektedir. Böylece

x = sürülen mil miktarı

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Problemde verilen tüm bilgiyi cebir diline dönüştürelim.

Kelimelerle Cebirle

Sürülen mil miktarı x

Mesafe maliyeti (mil başına 0.15$) 0.15x


51

Günlük maliyet (günlük 30$) 2(30)

Modeli Kur. Şimdi modeli oluşturalım.

mesafe maliyeti + günlük maliyet = toplam maliyet

0.15 x + 2(30) = 108

Çöz. x için çözümü bulalım.

Helen, kiralık arabasını 320 mil boyunca sürmüştür.

Takip eden örnek ve alıştırmalarda, birçok farklı gerçek-yaşam durumunda ortaya çıkan

problemleri modelleyen denklemleri oluşturacağız.

Faiz Problemleri

Bir bankadan borç para aldığınızda veya bir banka paranızı tasarruf hesabında sizin için

tutarak sizden borç aldığında, her iki durumda da borçlu paranın kullanım sebebiyle ödeme

yapmak zorundadır. Ödenecek ücret, faiz olarak isimlendirilir. En temel faiz türü, mevduata

yatırılmış ve borçlanılmış toplam miktarın yıllık yüzdesi olan basit faizdir. Depozito veya

borç miktarı, P anapara olarak isimlendirilir. Paranın kullanımı için ödenen yıllık yüzde, r

faiz oranıdır. Hesapta bulunan paranın toplam yıl sayısı t değişkeni ve toplam kazanılan faizi

ise I değişkeni ile göstereceğiz. Aşağıdaki basit faiz formülü, r faiz oranından t yıl için

yatırılan P anaparadan kazanılan I faiz miktarını vermektedir.

𝐼 = 𝑃𝑟𝑡

Bu formülü kullanırken, r ‘yi yüzdeden ondalık sayıya çevirmeyi unutmayınız. Örneğin, %5,

ondalık formunda, 0.05 ‘dir. Böylece %5 faiz oranında, 3 yıllık zaman diliminde 1000$

depozitoya ödenecek faiz: 𝐼 = 𝑃𝑟𝑡 = 1000(0.05)(3) = 150$.

ÖRNEK 2. Yatırımdaki Faiz

Mary ‘e 100.000$ miras kalmıştır ve bunu iki mevduat sertifikasına yatırmıştır. Bir sertifika

%6 diğeri ise %412 yıllık basit faiz ödemektedir. Eğer Mary ‘nin toplam faizi yıllık 5025$ ise,

her bir faiz oranına ne kadar para yatırmıştır?

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Problem, Mary ‘nin her bir faiz oranına yatırdığı miktarı bizden

istemektedir. Bu yüzden,

𝑥 = %6 ‘dan yatırılan miktar

60 çıkar

0.15 böl

hesapla


52

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Mary ‘e kalan toplam miras miktarı 100.000$ olduğundan, %412

oranından 100.000 −𝑥 para yatırdığı anlaşılmaktadır. Verilen tüm bilgiyi, cebir diline

dönüştürülelim.

Kelimelerle Cebirle

%6 ‘dan yatırılan miktar x

%412 ‘dan yatırılan miktar 100.000 −x

%6 ‘dan kazanılan faiz 0,06 x

%412 ‘dan kazanılan faiz 0,045(100.000 −x)

Modeli Kur. Mary ‘nin toplam kazandığı faizin 5025$ olduğu gerçeğini kullanarak modeli

kurarız.

%6 ‘dan faiz + %412 ‘dan faiz = toplam faiz


Böylece, Mary %6 ‘dan 35.000$ yatırmış ve kalan miktar olan 65.000$ ‘ı %412 ‘den

yatırmıştır.

Cevabı Kontrol Et: toplam faiz = 35.000$ ‘ın %6 sı + 65.000$ ‘ın %412 ‘sı

= 2100$ + 2925$ = 5025$

Alan ve Uzunluk Problemleri

Fiziksel bir durumu modellemek için cebiri kullandığımızda, bazen geometriye ait

temel formülleri kullanmamız gerekir. Örneğin, bir alan veya çevre uzunluğu formülüne veya

benzer üçgenlerin kenarlarıyla ilişki kuran formüle veya Pisagor Teoremine ihtiyaç duyarız.

Bu formüllerin çoğu, kitabın ön-arka sayfasında listelenmiştir. Sonraki iki örnek, bazı gerçek-

yaşam problemlerini çözmek için bu geometrik formülleri kullanmaktadır.


x ifadelerini birleştir

4500 çıkar

0,015 ‘e böl


53

ÖRNEK 3. Bir Bahçenin Boyutları

Kare bir bahçe, Şekil 1 ‘de gösterildiği gibi dış kenarı etrafında 3 ft genişliğe sahip bir yürüme

yolu bulundurmaktadır. Eğer yürüme yolu da dahil olmak üzere tüm bahçenin alanı 18.000 ft2

ise, ekili alanın boyutları nedir?

Şekil 1

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Ekili alanın uzunluğu ve genişliğini bulmamız istenmektedir. Böylece

𝑥 = ekili alanın uzunluğu

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekil 1 ‘deki bilgiyi cebirin diline dönüştürelim.

Kelimelerle Cebirle

Ekili alan uzunluğu x

Tüm bahçenin uzunluğu x + 6

Tüm bahçenin alanı (𝑥 + 6)2

Modeli Kur. Şimdi modeli kurarız.

Tüm bahçenin alanı = 18.000 ft2


Bahçenin ekili alanı, yaklaşık 128 ft ‘e 128 ft ‘dir.

ÖRNEK 4. İnşaat Sahasının Boyutları

Dikdörtgen şeklindeki bir inşaat sahasının uzunluğu genişliğinden 8ft büyüktür ve alan

büyüklüğü 2900 ft2 ‘dir. Sahanın boyutlarını bulunuz.

Kare kökünü al 6 çıkar


54

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Sahanın uzunluğu ve genişliğini bulmamız istenmektedir. Böylece

𝑤 = sahanın genişliği

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Problemde verilen bilgiyi cebirin diline dönüştürelim (Şekil 2

bakın).

Kelimelerle Cebirle

Sahanın genişliği w

Sahanın uzunluğu w + 8

Şekil 2

Modeli Kur. Şimdi modeli kurarız.

Sahanın genişliği × Sahanın uzunluğu = Sahanın alanı

𝑤(𝑤 + 8) = 2900


Sahanın genişliği pozitif bir sayı olması gerektiğinden, w = 50 ft olması gerektiğini anlarız.

Sahanın uzunluğu ise (𝑤 + 8) = 50 + 8 = 58 ft ‘dir.

ÖRNEK 5. Benzer Üçgenleri Kullanarak Bir Binanın Yüksekliğinin Bulunması

6ft uzunluğundaki bir adam, dört katlı bir binanın yüksekliğini bulmak istemektedir. Binanın

gölgesini ölçüp, bunun 28ft uzunluğunda olduğunu buluyor. Bu arada kendi gölgesinin

uzunluğu ise 312 ft ‘dir. Binanın yüksekliğini bulunuz.

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Problem binanın yüksekliğini bulmamızı istemektedir. Böylece

ℎ = binanın yüksekliği

Genişletme işlemi 2900 çıkar

Çarpanlarına ayır

Sıfır-Çarpım Özelliği


55

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekil 3 ‘deki üçgenlerin benzer olduğu gerçeğini kullanırız.

Hatırlanırsa, herhangi bir iki benzer üçgenin karşılıklı kenarlarının oranı eşittir. Şimdi, bu

gözlemi cebirin diline çevirelim.

Şekil 3

Kelimelerle Cebirle

Binanın yüksekliği h

Büyük üçgendeki yüksekliğin

tabana oranı

ℎ28

Küçük üçgendeki yüksekliğin

tabana oranı

63.5

Modeli Kur. Büyük ve küçük üçgenler benzer olduğundan, aşağıdaki denklemi elde ederiz.

Büyük üçgendeki yüksekliğin tabana oranı = Küçük üçgendeki yüksekliğin tabana oranı

Çöz. h için çözümü bulalım.

Böylece, binanın yüksekliği 48ft ‘dir.

Karışım Problemleri

Birçok gerçek-dünya problemi farklı tip maddelerin karıştırılmasını içerir. Örneğin,

inşaat işçileri çimento, çakıl ve kumu karıştırabilir; meyve suyu konsantresi farklı tip meyve

sularının karıştırılmasını gerektirebilir. Karışımları ve konsantrasyonları içeren problemler,

bir maddenin x miktarının V hacimli bir çözeltide çözüldüğünde maddenin C

konsantrasyonunun aşağıdaki denklemle elde edildiği gerçeğini kullanırlar.

28 ile çarp


56

Böylece eğer 10g şeker 5L suda çözülürse, bu takdirde şeker konsantrasyonu 𝐶 = 105

= 2𝑔/𝐿

‘dir. Bir karışım problemini çözmek genellikle çözeltide bulunan bir maddenin x miktarını

analiz etmemizi gerektirir. Bu denklemi x için çözdüğümüzde, 𝑥 = 𝐶𝑉 olduğunu görürüz.

Dikkat edilirse, birçok karışım probleminde C konsantrasyonu gelecek örnekte olduğu gibi

yüzde olarak ifade edilir.

ÖRNEK 6. Karışımlar ve Konsantrasyon

Soft içecek imalatçısı, sadece %5 portakal suyu içerse de portakal sodasının doğal olarak

tatlandırıldığı şeklinde pazarlama yapmaktadır. Yeni yasal düzenleme, doğal olarak

adlandırılması için bir içeceğin en azından %10 meyve suyu içermesi gerektiğini şart

koymaktadır. Bu imalatçı yeni düzenlemeye uyum sağlamak için portakal sodasının 900 gal

‘ına ne kadar saf portakal suyu eklemelidir?

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Problem eklenecek saf portakal suyu miktarını bizden istemektedir.

Böylece

𝑥 = eklenecek saf portakal suyu miktarı (galon olarak)

Kelimeleri Cebire Dönüştür. İki farklı maddenin karıştırılacağı bu tip problemlerde, verilen

bilgiyi organize etmek için bir diyagram çizilmesi yardımcı olacaktır (Şekil 4 bakın).

Hacim 900 galon x galon 900 + x galon

Portakal suyu 900 galonun x galonun 900 galonun %10 ‘u

miktarı %5 ‘i = 45 galon %100 ‘ü = x galon =0,1(900 + x) galon

Şekil 4

Şekildeki bilgi, cebir diline aşağıdaki gibi çevrilir.


57

Kelimelerle Cebirle

Eklenecek portakal suyu miktarı x

Karışımın miktarı 900 + x

İlk varildeki portakal suyu miktarı (0,05)900 = 45

İkinci varildeki portakal suyu miktarı 1 . x = x

Karışımdaki portakal suyu miktarı 0.10(900 + x)

Modeli Kur. Modeli kurmak için, karışımdaki portakal suyu toplam miktarının ilk iki

varildeki portakal suyuna eşit olduğu gerçeğini kullanalım.

İlk varildeki portakal + İkinci varildeki portakal = karışımdaki portakal

suyu miktarı suyu miktarı suyu miktarı


Böylece, imalatçı sodaya 50 gal saf portakal suyu eklemelidir.

Cevabı Kontrol Et:

Karışımdan önce meyve suyu miktarı = 900 gal ‘ın %5 ‘i + 50 gal saf portakal suyu

= 45 gal + 50 gal = 95 gal

Karışımdan sonra meyve suyu miktarı = 950 gal ‘ın %10 ‘u = 95 gal

Miktarlar eşittir.

Bir İşi Yapmak İçin Gereken Zaman Problemleri

Bir işi birkaç kişi ile tamamlamanın ne kadar zaman alacağını belirlemeyi içeren bir

problem çözdüğümüzde, eğer bir kişi veya makine bir görevi yerine getirmek için H birim

zamana ihtiyaç duyarsa, birim zamanda görevin tamamlanma kısmı 1/𝐻 kadar olur bilgisini

kullanırız. Örneğin eğer bir işçi çimenleri 5 saate biçiyorsa, bu takdirde söz konusu işçi 1

saatte çimenlerin 1/5 ‘ini biçecektir.

ÖRNEK 7. Bir İşi Yapmak İçin Gerekli Zaman

Beklenen yoğun sağanak yağış nedeniyle, barajdaki su seviyesi 1ft kadar azaltılmalıdır. A

boşaltma kanalını açmak, 4 saatte su seviyesini bu miktara indirmektedir. Oysaki daha küçük

Şekil 4 ‘den

Dağılma özelliği

0.1x ve 45 çıkar

0.9 ‘a böl


58

olan B boşaltma kanalını açmak, aynı işi 6 saate yapmaktadır. Her iki boşaltma kanalı da

açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak ne kadar zaman alır?

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Her iki boşaltma kanalı açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak için gereken

zamanı bulmamız istenmektedir. Böylece

𝑥 = her iki boşaltma kanalı açıldığında su seviyesini 1ft kadar azaltmanın aldığı (saat olarak)

zaman

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Bu problemde x değişkenini diğer niceliklerle ilişkilendiren bir

denklem bulmak kolay değildir. Açıkçası x basitçe 4 + 6 değildir. Çünkü bu, iki boşaltma

kanalının birlikte su seviyesini azaltmak için tek başına olduklarından daha fazla zamana

ihtiyaç duyması anlamına gelirdi. Bunun yerine, her bir boşaltma kanalı tarafından 1 saate işin

ne kadarlık kısmının yapılabileceğine bakarız.

Kelimelerle Cebirle

A ve B ‘nin birlikte su seviyesini 1ft azaltmak için gerek duyduğu süre x saat

1 saate A ‘nın düşürdüğü su seviyesi miktarı 14 ft

1 saate B ‘nin düşürdüğü su seviyesi miktarı 16 ft

1 saate A ve B ‘nin birlikte düşürdüğü su seviyesi miktarı 1𝑥 ft

Modeli Kur. Şimdi modeli kuralım.

A tarafından yapılan kısım + B tarafından yapılan kısım = Her ikisi tarafından yapılan kısım


Her iki boşaltma kanalı açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak 2 25 saat veya 2 saat 24 dakika

zaman alacaktır.

Uzaklık, Oran ve Zaman Problemleri

Bir sonraki örnek uzaklık, oran (hız) ve zaman ile ilgilidir. Burada akılda tutulması

gereken formül:

Uzaklık = oran × zaman

EKOP ile çarp, 12x Topla

5 ‘e böl


59

formülde, oran ya sabit hız ya da hareket eden bir nesnenin ortalama hızıdır. Örneğin, 4 saat

süresince 60 mi/h ile araba sürmek 60 × 4 = 240 mi bir uzaklığa sizi götürür.

ÖRNEK 8. Uzaklık-Hız-Zaman Problemi

Bir jet, 4200 km mesafesindeki New York ‘dan Los Angeles ‘a uçmaktadır. Dönüş yolculuğu

için hız gidiş hızından 100 km daha fazladır. Toplam seyahat 13 saat sürerse, New York ‘dan

Los Angeles ‘a giderken jeti hızı ne kadardı?

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. New York ‘dan Los Angeles ‘a giderken jeti hızı bizden istenmektedir.

s = New York ‘dan Los Angeles ‘a hız

Böylece s +100 = Los Angeles ‘dan New York ‘a hız

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Bilgiyi bir tabloda organize edelim. Şehirler arasının 4200 km

olduğunu bildiğimizden, ilk önce “Uzaklık” sütununu doldururuz. Ardından s değişkenine

göre her iki hızı (oran) da ifade etmiş olduğumuzdan, “Hız” sütununu doldururuz. Son olarak,

aşağıdaki formülü kullanarak “Zaman” sütununu hesaplarız.

Zaman = Uzaklıkoran

Modeli Kur. Toplam seyahat 13 saat almaktadır, bu yüzden aşağıdaki model söz konusudur.

Çöz. Ortak payda ile çarparak s (s+100), şu elde edilir:

Her ne kadar bu denklem büyük sayılarla çarpanlarına ayrılsa da, ikinci dereceden formül ve

bir hesaplayıcı yardımıyla hızlıca hesaplanabilir.


60

s hızı temsil ettiğinden, negatif cevap red edilir ve jetin New York ‘dan Los Angeles ‘a

hızının 600 km/saat olduğu sonuncuna varılır.

ÖRNEK 9. Kuş Uçuşundaki Enerji Tüketimi

Kuş bilimciler, bazı kuş türlerinin gün ışığı saatlerinde büyük su kütleleri üzerinden uçmaktan

kaçınma eğilimi gösterdiklerini belirlemişlerdir. Çünkü, gündüzleri hava genellikle toprak

üzerine yükselmekte ve su üzerine düşmektedir. Böylece su üzerinde uçmak daha çok enerji

gerektirmektedir. Bir ada üzerinde kıyı şeridine en yakın nokta olan ve B ‘den 5 mil

uzaklığındaki A noktasından bir kuş serbest bırakılmıştır. Kuş kıyıdaki C noktasına

uçmaktadır ve ardından kıyı boyunca uçarak Şekil 5 ‘de gösterildiği gibi D yuva alanına

hareket etmektedir. Kuşun 170 kcal ‘lık enerji stoğu olduğunu varsayalım. Kuş kara üzerinde

uçarken 10 kcal/mil ve su üzerinde 14 kcal/mil kullanmaktadır.

a) Kuşun uçuş boyunca tam olarak 170 kcal enerji kullanabilmesi için C noktası nereye

yerleştirilmelidir?

b) Kuş A noktasından D noktasına doğrudan uçmaya yetecek kadar enerjiye sahip midir?

Şekil 5

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. C ‘nin yerini bulmamız bizden istenmektedir. Böylece

x = B ‘den C ‘ye uzaklık

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekle ve aşağıdaki bilgiye dayanarak aşağıdaki tablo oluşturulur.

kullanılan enerji = mil başına enerji × uçulan mil

Pisagor Teoreminden


61

Kelimelerle Cebirle

B ‘den C ‘ye uzaklık x

Su üzerinde uçulan uzaklık (A ‘dan C ‘ye) �𝑥2 + 25

Kara üzerinde uçulan uzaklık (C ‘dan D ‘ye) 12 − 𝑥

Su üzerinde harcanan enerji 14�𝑥2 + 25

Kara üzerinde harcanan enerji 10(12 − 𝑥)

Modeli Kur. Şimdi modeli kuralım.

toplam kullanılan enerji = su üzerinde kullanılan enerji + karada kullanılan enerji

Çöz. Bu denklemi çözmek için, ilk olarak eşitliğin sol tarafına tüm diğer terimler getirilir ve

ardından her iki tarafın karesi alınarak karekök yok edilir.

Bu denklem çarpanlarına ayrılabilir, ancak sayılar çok büyük olduğundan ikinci dereceden

formül ve bir hesaplayıcı yardımıyla daha kolaydır.

C noktası B noktasından 6 23 mil veya 3 3

4 mil uzakta olmalıdır, böylece kuş uçuş esnasında

tam olarak 170 kcal enerji kullanır.

b) Pisagor Teoreminden, A ‘dan D ‘ye doğrudan uçuş uzunluğu √52 + 122 = 13 mil ‘dir. Bu

rota için kuşun ihtiyacı olan enerji miktarı 14 × 13 = 182 kcal ‘dır. Bu, kuşun mevcut

enerjisinden daha fazladır. Dolayısıyla bu rotayı kullanmaz.

Karekök terimini sağ tarafta bırak

Sol tarafı sadeleştir

Her iki yanın karesini al

Genişlet (Aç)

Tüm terimler sağ tarafa


62

1.7 EŞİTSİZLİKLER

Cebirdeki bazı problemler denklemler yerine eşitsizliklere neden olur. Eşitsizlik, eşitlik

işaretinin yerine sembollerden biri olması dışında sadece bir denklem gibi görünür <, >, ≤ ve

≥. Aşağıda eşitsizliğe örnek verilebilir:

4𝑥 + 7 ≤ 19

Yukarıdaki tablo bazı sayıların eşitsizliği sağladığını ve bazı sayıların eşit olmadığını

göstermektedir.

Değişken içeren bir eşitsizliği çözmek demek; eşitsizliği sağlayan değişkenin tüm değerlerini

bulmak demektir. Eşitliklerden farklı olarak, bir eşitsizlik genelde gerçek sayı doğrusu

üzerinde bir aralık veya aralıkların birleşmesinden oluşan sınırsız sayıda çözüme sahiptir.

Aşağıdaki örnek denklemle ile eşitsizlik farkını göstermektedir.

Eşitsizlikleri çözmek için, eşitsizlik işaretinin bir tarafında değişkeni izole etmek için

aşağıdaki kuralları kullanırız. Bu kurallar, iki eşitsizliğin eşdeğer olduğunu söyler (⇔

sembolü eşittir (eşdeğerdir anlamına gelir). Bu kurallardaki A, B ve C sembolleri gerçek

sayılar veya cebirsel ifadeler için kullanılmaktadır. Burada ≤ sembolü içeren eşitsizliklerin

kurallarını belirtmekteyiz, ancak dört eşitsizlik sembolü için de geçerlidir.

Eşitsizlik Kuralları Tanımlama

1. 𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ 𝐴 + 𝐶 ≤ 𝐵 + 𝐶 Ekleme. Eşitsizliğin her bir yanına aynı

değeri eklemek eşitsizliğin değerini

değiştirmez.

2. 𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ 𝐴 − 𝐶 ≤ 𝐵 − 𝐶 Çıkarma. Eşitsizliğin her bir yanından aynı

Denklem:

Eşitsizlik:

Çözüm Grafik


63

değeri çıkarmak eşitsizliğin değerini

değiştirmez.

3.Eğer C > 0 ise, 𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ 𝐶𝐴 ≤ 𝐶𝐵 Çarpma. Eşitsizliğin her bir yanını pozitif

bir değer ile çarpmak eşitsizliğin yönünü

değiştirmez.

4.Eğer C < 0 ise, 𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ 𝐶𝐴 ≥ 𝐶𝐵 Çarpma. Eşitsizliğin her bir yanını negatif

bir değer ile çarpmak eşitsizliğin yönünü

değiştirir.

5.Eğer A > 0 ve B > 0 ise, 𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ 1𝐴

≥ 1𝐵 Tersini Almak. Eşitsizliğin her iki tarafının

tersi alınırken pozitif değerler eşitsizliğin

yönünü değiştirir.

6. Eğer 𝐴 ≤ 𝐵 𝑣𝑒 𝐶 ≤ 𝐷 ise 𝐴 + 𝐶 ≤ 𝐵 + 𝐷 Eşitsizlikler Toplanabilir

Kural 3 ve 4'e özel dikkat edin. Kural 3, bir eşitsizliğin her bir yanını pozitif bir sayı

ile çarpabildiğimizi (veya bölebildiğimizi) söyler; ancak Kural 4, bir eşitsizliğin her

iki yanını negatif bir sayı ile çarparsak, eşitsizlik yönünü tersine çevirdiğimizi söyler.

Örneğin, aşağıdaki eşitsizlikle başlarsak;

3 < 5

ve bu eşitsizliği 2 ile çarparsak

6 < 10 elde edilir

Eğer -2 ile çarparsak

-6 > -10 olur.

Doğrusal Eşitsizliklerin Çözümü

Her terim sabit veya değişkenin bir katı olduğunda bir eşitsizlik doğrusaldır. Doğrusal

eşitsizliği çözmek için, eşitsizlik işaretinin bir tarafında değişkeni izole etmek gerekmektedir.

ÖRNEK 1: Doğrusal Eşitsizliklerin Çözümü

3𝑥 < 9𝑥 + 4 eşitsizliğini çözünüz ve sonucu çiziniz.

ÇÖZÜM

3𝑥 < 9𝑥 + 4 Verilen eşitsizlik

3𝑥 − 9𝑥 < 9𝑥 + 4 − 9𝑥 9x çıkartılır

−6𝑥 < 4 Basitleştirme

− �− 16� 6𝑥 > 4 �− 1

6� Her iki tarafı �− 1

6�çarpıp eşitsizliğin yönünü değiştir.


64

𝑥 > − 23

Çözüm kümesi − 23 den büyük olan bütün sayıları içermektedir. Diğer bir ifadeyle eşitsizliğin

çözüm kümesi �− 23

, ∞� aralığıdır.

ÖRNEK 2 : Eşzamanlı Eşitsizlik Çözme

Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz.

4 ≤ 3𝑥 − 2 < 13

ÇÖZÜM

Çözüm kümesi her iki eşitsizliği sağlayacak x değerlerini içermelidir.

4 ≤ 3𝑥 − 2 ve 3𝑥 − 2 < 13. Kural 1 ve 3 kullanılarak

4 ≤ 3𝑥 − 2 < 13

6 ≤ 3𝑥 < 15

2 ≤ 3𝑥 < 5

Çözüm aralığı [2, ��5) dir.

Doğrusal Olmayan Eşitsizliklerin Çözümü

Değişkenlerin ikinci yada diğer kuvvetlerinin eşitsizliğini çözmek için aşağıdaki kurallar takip

edilmelidir.

Kesirlerin yada Çarpımların İşareti

Eğer çarpım yada kesirler çift sayıda negatif çarpana sahip ise, değeri pozitiftir.

Eğer çarpım yada kesirler tek sayıda negatif çarpana sahip ise, değeri negatiftir.

Örneğin 𝑥2 − 5𝑥 ≤ −6 eşitsizliğini çözerken, çarpanlara ayırabilmek için bütün

terimleri eşitsizliğin sol tarafına taşırız.

(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≤ 0


65

Eşitsizlik (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) çarpımının negatif yada sıfır olması gerektiğini söyler. Bu

nedenle çözüm için her bir çarpanın negatif yafa pozitif olma durumu düzenlenmelidir.

Çarpımın işareti çarpanların işaretine bağlıdır.

DOĞRUSAL OLMAYAN EŞİTSİZLİKLERİ ÇÖZERKEN KILAVUZ

1. Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Gerekirse, sıfır olmayan tüm terimlerin

eşitsizlik işaretinin bir tarafında görünmesi için eşitsizliği yeniden yazılır. Eşitsizliğin

sıfır olmayan tarafı kesirli ifade içeriyorsa, bunları ortak bir payda getirilmesi gerekir.

2. Çarpanlara Ayırma. Eşitsizliğin sıfırdan farklı tarafı çarpanlara ayrılır.

3. Aralık Bulma. Her çarpanın sıfır olduğu değerler belirlenir. Bu sayılar reel sayı

doğrusuna aralıklar yerleştirilir. Bu sayılarla sağlanan aralıklar yazılır.

4. Tablo yada Diyagram Yapma. Her aralıkta her çarpanın işaretlerinin bir tablo veya

diyagramını oluşturmak için test değerlerini kullanılır. Tablonun son satırında, bu

çarpanların çarpımının (veya bölümün) işareti belirlenir.

5. Çözüm. İşaret tablolarının son satırındaki eşitsizlik çözümü belirlenir. Eşitsizliğin

aralıkların bitiş noktalarının bir kısmı veya tamamı tarafından sağlanıp sağlanmadığı

kontrol edilir. (Eşitsizlik ≤ ya da ≥ içeriyorsa bu durum ortaya çıkabilir).

ÖRNEK 3: İkinci Dereceden Eşitsizliklerin Çözümü


𝑥2 − 5𝑥 ≤ −6

ÇÖZÜM: Yukardaki kurallar takip edilirse;

Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Bütün terimler sol tarafa alınır.

𝑥2 − 5𝑥 ≤ −6

𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0

Çarpanlara Ayırma. Eşitsizliğin sol tarafı çarpanlara ayrılır.

(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) < 0

Aralık Bulma. Sol taraftaki çarpanlar x – 2 ve x – 3 dür. Bu çarpanlar sırasıyla x, 2 ve 3 iken

sıfır olur. Şekilde görüldüğü gibi reel sayı doğrusu üç aralığa ayrılırsa

(−∞, 2), (2,3), (3, ∞)

(𝑥 − 2) 𝑣𝑒 (𝑥 − 3) çarpanları sırasıyla 2 ve 3 de işaret değiştirmektedir.


66

Tablo yada Diyagram Yapma. Bulunan her aralıkta her bir çarpanın işaretini belirlemek için

test değerlerini kullanılır. Her aralıkta bir sayı seçilir. Seçilen sayı ile x - 2 ve x - 3

çarpanlarının işaretleri kontrol edilir. (−∞, 2) aralığı için 1 test değeri seçilirse,

x – 2 = 1 – 2 = -1 < 0

x – 3 = 1 – 2 = -1 < 0

Her içi çarpanda bu aralıkta negatiftir. Her aralık için tek bir test değerinin kullanılması

yeterlidir.

(2,3), (3, ∞) aralıkları için 𝑥 = 2 12 ve 𝑥 = 4 değerleri kullanarak aşağıdaki tablo

oluşturulabilir.

Çözüm. Eğer tablo yada diyagram okunursa (𝑥 − 2)(𝑥 − 3), (2,3) aralığında negatif

olmaktadır. (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi;

{𝑥| 2 ≤ 𝑥 ≤ 3} = [2�, �3]

2 ve 3 sınırları eşitsizliği sıfırdan küçük ve eşit yaptığı için dahil edilmesi gerekmektedir.

ÖRNEK 4: Tekrarlı Çarpanlarda Eşitsizlik Çözümü


𝑥(𝑥 − 1)2(𝑥 − 3) < 0

ÇÖZÜM: Sıfırdan farklı bütün terimler tek tarafta ve çarpanlara ayrılmış durumdadır.

x- 2 x - 3

( x- 2) (x - 3)

Aralık

x- 2

x - 3

(x- 2) (x - 3)


67

Aralık bulma. Sol taraftaki çarpanlar 𝑥, (𝑥 − 1)2 𝑣𝑒 (𝑥 − 3) dür. Bu çarpanlar sırasıyla

𝑥 = 0,1,3 de sıfır olmaktadır. Bu sayılar reel sayı doğrusuna aşağıdaki aralıklar yerleştirilirse,

(−∞, 0), (0,1), (1,3), (3, ∞)

Tablo Yapma. Aşağıdaki diyagram her bir çarpan için her bir aralıkta test noktaları konarak

düzenlenir.

Çözüm. Tablodan 𝑥(𝑥 − 1)2(𝑥 − 3) < 0 eşitsizliğinin x için çözümü (0,1) 𝑦𝑎 𝑑𝑎(1,3)dir.

(0,1) ∪ (1,3)

ÖRNEK 5: Kesirli Eşitsizliklerin Çözümü

Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz. 1 + 𝑥1 − 𝑥

≥ 1

ÇÖZÜM:

Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Bütün terimler sol tarafa alınıp ortak payda da

basitleştirilir. 1 + 𝑥1 − 𝑥

≥ 1

1 + 𝑥1 − 𝑥

− 1 ≥ 0

1 + 𝑥1 − 𝑥

−1 − 𝑥1 − 𝑥

≥ 0

1 + 𝑥 − 1 + 𝑥1 − 𝑥

≥ 0

2𝑥1 − 𝑥

≥ 0 Aralık Bulma. Sol taraftaki çarpanlar 2𝑥 ve 1 − 𝑥 dir. Bu çarpanlar x, 0 ve 1 de sıfır

olmaktadır. Bu sayılar reel sayı doğrusuna aşağıdaki aralıklar yerleştirilirse,

x

(𝑥 − 1)2

(𝑥 − 3)

𝑥(𝑥 − 1)2(𝑥 − 3)


68

(−∞, 0), (0,1), (1, ∞)

Tablo Yapma. Aşağıdaki diyagram her bir çarpan için her bir aralıkta test noktaları konarak

düzenlenir.

Çözüm. Tablodan 2𝑥1−𝑥

≥ 0 [0, ��1) aralığı için geçerlidir. 0 eşitsizliği 1 den büyük ve eşit

yaptığı için sağlamaktadır. Bununla birlikte 1 dahil değildir. Çünkü kesir 1 noktasında tanımlı

değildir. Çözüm aralığı [0, ��1) dir.

Örnek 5 bize sınır noktalarının orijinal eşitsizliğin çözümü için kontrol edilmesi

gerektiğini göstermektedir.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli eşitsizlikleri çözmek için aşağıdaki özellikleri kullanırız.

Özellik 1’i ispat etmek için |𝑥| < 𝑐 , x'den 0'a olan uzaklığın c'den küçük olduğunu

söylediğini unutmayın. Aşağıdaki şekilden, x'in -c ve c arasında olması durumunda bunun

doğru olduğunu görebilirsiniz.

2𝑥

1 − 𝑥

2𝑥1 − 𝑥

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Özellikleri

Eşitsizlik Eşitlik Formu Grafik


69

ÖRNEK 6: Mutlak Değerli Eşitsizlik Çözümü


|𝑥 − 5| < 2

ÇÖZÜM 1: |𝑥 − 5| < 2 eşitsizliği

−2 < 𝑥 − 5 < 2 eşittir.

3 < 𝑥 < 7

Çözüm aralığı (3,7) dir.

ÇÖZÜM 2: Geometrik olarak şekilden de görüldüğü gibi, çözüm seti 5'den 2 birim uzakta

olan tüm sayılardan oluşur.

Çözüm aralığı (3,7) dir.

ÖRNEK 7: Mutlak Değerli Eşitsizlik Çözümü


|3𝑥 + 2| ≥ 4

ÇÖZÜM: Özellik 4 ü kullanarak

3𝑥 + 2 ≥ 4 yada 3𝑥 + 2 ≤ −4

3𝑥 ≥ 2 3𝑥 ≤ −6

𝑥 ≥ 23 𝑥 ≤ −2

Çözüm kümesi

�𝑥| 𝑥 ≤ −2 ≤ 𝑦𝑎𝑑𝑎 𝑥 ≥23

� = (−∞�, �−2] ∪ �23

� , �∞)


70

Eşitsizliklerle Modelleme

Gerçek hayat problemlerini modellemek sıklıkla eşitsizliklere yol açtığından, genellikle bir

niceli diğerinden daha fazla (veya daha az) belirlemeyle ilgileniyoruz.

ÖRNEK 8: Karnaval Biletleri

Bir karnaval bileti iki planı vardır.

Plan A: 5 $ giriş ücreti ve her binişe 25 ¢

Plan B: 2 $ giriş ücreti ve her binişe 50 ¢

Plan A ‘nın Plan B 'den daha ucuz olması için ne kadar binişe ihtiyaç vardır?

ÇÖZÜM: Değişkeni Tanımla. Plan A'nın Plan B'den daha ucuz olduğu binişlerin sayısı

soruluyor. Bu nedenle

x = biniş sayısı

Kelimeleri cebire çevirme. Sorudaki bilgiler aşağıdaki şekilde organize edilebilir.

Kelime Cebirsel İfade

Biniş sayısı x

Plan A maliyeti 5 + 0.25 x

Plan B maliyeti 2 + 0.50 x

Model Kurma.

Plan A ücreti < Plan B ücreti

5 + 0.25𝑥 < 2 + 0.50𝑥

Çöz.

3 + 0.25x < 0.50𝑥

3 < 0.25𝑥

12 < 𝑥

Sonuç olarak 12'den fazla biniş yapmayı planlıyorsanız, Plan A daha ucuzdur.

ÖRNEK 9: Fahrenhayt ve Santigrat Ölçekleri Arasındaki İlişki

Bir ilaç şişesindeki yönergeler şişenin 5C ile 30C arasındaki bir sıcaklık değerinde saklanması

gerektiğini belirtmektedir. Fahrenhayt ölçeğine karşılık gelen sıcaklık aralığı nedir?

ÇÖZÜM Fahrenhayt ve Santigrat dereceleri arasındaki ilişki 𝐶 = 59

(𝐹 − 32) denklemi ile

bulunmaktadır. Şişedeki ifadeyi eşitsizlik terimiyle ifade edersek:

Böylece eşitsizliği sağlayan Fahrenhayt sıcaklıkları aşağıdaki gibi bulunur.


71

İlaç 41F ile 86F arasında saklanmalıdır.

1.8 KOORDİNAT GEOMETRİSİ

Koordinat Düzlemi, Uzaklık ve Orta Nokta Formülleri, İki Değişkenli Denklemlerin

Grafikleri, Kesişimler, Çemberler, Simetri

Koordinat düzlemi, cebir ve geometri arasındaki bağlantıdır. Koordinat düzleminde, cebirsel

denklemlerin grafiklerini çizebiliriz. Grafikler, böylece bize denklemdeki değişkenlerin

arasındaki ilişkiyi "görmemizi" sağlar. Bu bölümde, koordinat düzlemini işleyeceğiz.

Koordinat Düzlemi

Nasıl ki bir doğru üzerindeki noktalar reel sayılarla koordinat doğrusu şeklinde

tanımlanabilirse, bir düzlemdeki noktalar da sıralı sayı çiftleri ile koordinat düzlemi veya

Cartesian düzlem olarak tanımlanabilir. Bunu yapmak için, her doğrunun 0'da kesiştiği iki

dik reel doğru çizeriz. Genellikle, bir doğru sağa doğru pozitif yönlü yataydır ve x-ekseni

denir, diğer çizgi yukarı doğru pozitif yönlü dikeydir ve y-ekseni denir. X-ekseni ve y-

ekseninin kesişim noktası orijin O adını alır ve iki eksen düzlemi dört kadrana (quadrant)

böler, Şekil 1'de I, II, III ve IV ile gösterilmiştir. (Koordinat eksenlerinin üzerindeki noktalar

herhangi bir kadrana ait değildir).

ŞEKİL 1 ŞEKİL 2


72

Koordinat düzlemindeki herhangi bir P noktasının yeri Şekil 1'de gösterildiği gibi bir tek (a,b)

sıralı sayı çifti ile saptanabilir. İlk sayı a 'ya, P 'nin x-koordinatı denir, ikinci sayı b 'ye P 'nin

y-koordinatı denir. P 'nin koordinatlarını "adresi" olarak düşünebiliriz, çünkü düzlemdeki

yerini belirtirler. Şekil 2'de birkaç nokta koordinatlarıyla gösterilmiştir.

ÖRNEK 1 Koordinat Düzleminde Bölgelerin Grafiğini Çizme

Her kümede verilen bölgeleri tanımlayın ve çizin.

ÇÖZÜM

(a) x-koordinatları 0 veya pozitif olan noktalar, Şekil 3(a)'da gösterildiği gibi y-ekseni

üzerinde veya onun sağında yayılır.

(b) y-koordinatı 1 olan tüm noktaların kümesi, Şekil 3(b)'de gösterildiği gibi x-ekseninin bir

birim üzerinde yatay bir doğrudur.

(c) Bölüm 1.7'den yalnızca ve yalnızca −1 < 𝑦 < 1 olduğunda |𝑦| > 1 olduğunu

hatırlayalım.

Bu nedenle, verilen bölge y-koordinatı -1 ve 1 arasında uzanan düzlemdeki bu noktalardan

oluşur. Böylece, bölge yatay doğru y=1 ve y=-1 arasında (fakat üzerinde değil) uzanan tüm

noktalardan oluşur. Bu doğrular, küme içinde yayılan noktaları değil, bu doğruların

üzerindeki noktaları belirtmek için kesikli çizgiler ile Şekil 3(c)'de gösterilmektedir.

ŞEKİL 3

Uzaklık ve Orta Nokta Formülleri

Şimdi düzlemdeki iki nokta 𝐴(𝑥1, 𝑦1) ve 𝐵(𝑥2, 𝑦2) arasındaki 𝑑(𝐴, 𝐵) uzaklığı için bir

formül buluyoruz. Bölüm 1.1'den hatırlayacağımız üzere, sayı doğrusunda a ve b arasındaki

uzaklık 𝑑(𝑎, 𝑏) = |𝑏 − 𝑎| olmaktadır. Şekil 4'te görüyoruz ki, yatay doğru üzerinde


73

𝐴(𝑥1, 𝑦1) ve 𝐶(𝑥2, 𝑦1) noktaları arasındaki uzaklık |𝑥2 − 𝑥1| olmalıdır ve düşey doğru

üzerinde 𝐵(𝑥2, 𝑦2) ve 𝐶(𝑥2, 𝑦1) arasındaki uzaklık |𝑦2 − 𝑦1| olmalıdır.

ŞEKİL 4

ABC üçgeni dik üçgen olduğu için, Pisagor Teoremi aşağıdaki ifadeyi verir

UZAKLIK FORMÜLÜ

Düzlemde 𝐴(𝑥1, 𝑦1) ve 𝐵(𝑥2, 𝑦2) noktaları arasındaki uzaklık

ÖRNEK 2 Uzaklık Formülünün Uygulanması

𝑃(1, −2) veya 𝑄(8,9) noktalarının hangisi 𝐴(5 ,3) noktasına daha yakındır?

ÇÖZÜM Uzaklık formülünden;

Bu, 𝑑(𝑃, 𝐴) < 𝑑(𝑄, 𝐴) olduğunu gösterir, böylece P, A'ya daha yakındır (Bakınız

Şekil 5)


74

Şimdi de 𝐴(𝑥1, 𝑦1) noktasını 𝐵(𝑥2, 𝑦2) noktası ile birleştiren doğru parçasının M orta

noktasının (𝑥, 𝑦) koordinatlarını bulalım. Şekil 6'da APM ve MQB üçgenlerinin eş olduğuna

dikkat edin, çünkü 𝑑(𝐴, 𝑀) = 𝑑(𝑀, 𝐵) ve yöndeş açıları eşittir.

ŞEKİL 6

Bundan 𝑑(𝐴, 𝑃) = 𝑑(𝑀, 𝑄) sonucu çıkar, bu nedenle 𝑥 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥

Bu denklemi x için çözdüğümüzde, 2𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 dir, böylece 𝑥 = 𝑥1+𝑥22

olur. Benzer

şekilde, 𝑦 = 𝑦1+𝑦22

olur.

ORTA NOKTA FORMÜLÜ

𝐴(𝑥1, 𝑦1) 'dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2)'ye doğru parçasının orta noktası

ÖRNEK 3 Orta Nokta Formülünün Uygulanması

Köşe noktaları 𝑃(1,2), 𝑄(4,4), 𝑅(5,9) ve 𝑆(2,7) olan dörtgenin paralelkenar olduğunu

iki köşegenin birbirini iki eşit parçaya böldüğünü kanıtlayarak gösterin.

ÇÖZÜM Eğer iki köşegen aynı orta noktaya sahipse, birbirini kesmelidir. PR

köşegeninin orta noktası

ve QS köşegeninin orta noktası

Böylece her köşegen diğerini keser, Şekil 7'de gösterilmektedir.


75

ŞEKİL 7

İki Değişkenli Denklemlerin Grafiği

İki değişkenli denklem, 𝑦 = 𝑥2 + 1 gibi, iki miktar arasındaki ilişkiyi açıklar. Eğer x ve y

için değerler denklemde yerine konulduğunda denklemi gerçekleştiriyorsa, (x,y) noktası

denklemi sağlar. Örneğin, (3,10) noktası 𝑦 = 𝑥2 + 1 denklemini sağlar, çünkü 10=32+1,

fakat (1,3) noktası sağlamaz, çünkü 3 ≠ 12 + 1.

BİR DENKLEMİN GRAFİĞİ

x ve y 'li bir denklemin grafiği, koordinat düzleminde denklemi sağlayan tüm (x,y)

noktalarının kümesidir.

Bir denklemin grafiği bir eğridir, bu nedenle bir denklemin grafiğini çizmek için,

yapabildiğimiz kadar çok noktayı işaretleriz, sonrasında düzgün bir eğri ile bunları

birleştiririz.

ÖRNEK 4 Noktaları İşaretleyerek Grafik Çizmek

2𝑥 − 𝑦 = 3 denkleminin grafiğini çizin.

ÇÖZÜM Öncelikle y için verilen denklemi çözelim

𝑦 = 2𝑥 − 3

Bu bize aşağıdaki tablo y-koordinatlarını hesaplamamamıza yardım eder:

Tabii ki, grafikte sonsuz sayıda nokta vardır, ve bunların hepsini göstermek mümkün değildir.

Fakat, ne kadar çok nokta işaretlersek, denklem ile verilen grafiğin neye benzediğini o kadar

iyi hayal edebiliriz. Şekil 8'de bulduğumuz noktaları işaretliyoruz; bir doğru üzerinde


76

yayıldıkları görünmektedir. Böylece, bir doğru ile birleştirilen noktalarla grafiği tamamlarız.

(Bölüm 1.10'da bu denklemin grafiğinin gerçekten bir doğru olduğunu kanıtlıyoruz.)

ŞEKİL 8

ÖRNEK 5 Noktaları İşaretleyerek Grafik Çizmek

𝑦 = 𝑥2 − 2 denkleminin grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM Denklemi sağlayan noktaların bazıları aşağıdaki tabloda bulunmaktadır. Şekil 9'da

bu noktaları işaretleriz ve düzgün bir eğriyle bunları birleştiririz. Bu şekildeki eğri parabol

olarak adlandırılır.

ŞEKİL 9

Parabollerin ayrıntılı bir tartışması ve geometrik özellikleri Bölüm 10'da verilmektedir.

ÖRNEK 6 Mutlak Değer Denkleminin Grafiği

ÇÖZÜM Değerlerin bir tablosunu yapıyoruz:

ŞEKİL 10


77

Şekil 10'da bu noktaları işaretliyoruz ve bunları denklemin grafiğini çizmek için kullanıyoruz.

Kesişimler

Grafiğin x-eksenini kestiği noktaların x-koordinatları, grafiğin x-kesişimleri olarak

adlandırılır ve grafiğin denkleminde y=0 yazarak elde edilir. Grafiğin y-eksenini kestiği

noktaların y-koordinatları, grafiğin y-kesişimleri olarak adlandırılır ve grafiğin denkleminde

x=0 yazılarak elde edilir.

KESİŞİMLERİN TANIMI Kesişimler Nasıl Bulunduğu Grafikteki yerleri x-kesişimleri: Denklemin grafiğinin x-eksenini kestiği noktaların x-koordinatlarıdır.

y=0 yazılır ve x için çözülür

y-kesişimleri: Denklemin grafiğinin y-eksenini kestiği noktaların y-koordinatlarıdır.

x=0 yazılır ve y için çözülür

ÖRNEK 7 Kesişimleri Bulma

𝑦 = 𝑥2 − 2 denkleminin grafiğinin x- ve y-kesişimlerini bulunuz.

ÇÖZÜM x-kesişimini bulmak için, y=0 yazarız ve x için çözeriz. Böylece

y=0 yazın

Her iki tarafa 2 ekleyin

Karekökünü alın

x-kesişimleri √2 ve −√2

y-kesişimlerini bulmak için, x=0 yazarız ve y için çözeriz. Böylece

x=0 yazın

y-kesişimi -2'dir.

Bu denklemin grafiği Örnek 5'te çizilmişti. Şekil 11'de x- ve y-kesişimleri gösterilerek tekrar

verilmiştir.


78

ŞEKİL 11

Çemberler

Bir denklemin x ve y içinde grafiğinin nasıl bulunacağını tartışmıştık. Bu problemin

tersi bir grafiğin denklemini bulmaktır, bu da xy-düzleminde verilen bir eğriyi gösteren bir

denklemdir. Böyle bir denklem, diğer noktalarla değil, eğri üzerindeki noktaların

koordinatlarıyla sağlanır. Bu Descartes ve Fermat tarafından formüle edilen analitik

geometrinin temel prensibinin diğer yarısıdır. Eğer geometrik bir eğri cebirsel denklemlerle

gösterilebilirse, cebir kuralları eğriyi analiz etmek için kullanılabilir fikrine dayanır.

Bu tip problemlerin bir örneği olarak, r yarıçaplı ve merkezi (h,k) olan bir çember

denklemini bulalım. Tanım gereği, çember, C(h,k) merkezinden uzaklığı r olan tüm P(x,y)

noktaların bir kümesidir (bakınız Şekil 12). Böylece yalnızca ve yalnızca d(P,C)=r ise P

çemberin üzerindedir. Uzaklık formülünden;

Her iki tarafın karesi alınır.

Bu istenen denklemdir.

ŞEKİL 12


79

ÇEMBER DENKLEMİ

(h,k) merkezli ve r yarıçaplı bir çemberin denklemi

Buna çemberin denklemi için standart form denir. Eğer çemberin merkezi orijin (0,0) ise,

denklem

olur.

ÖRNEK 8 Çemberin Grafiğini Çizme

Her denklemin grafiğini çizin.

ÇÖZÜM

(a) Denklemi 𝑥2 + 𝑦2 = 52 olarak yeniden yazdığımızda, merkezi orijinde yarıçapı 5 olan bir

çember denklemi olduğunu görürüz. Grafiği Şekil 13'te gösterilmektedir.

(b) Denklemi (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 52 olarak yeniden yazdığımızda, merkezi (2,-1)

noktasında, yarıçapı 5 olan çember denklemi olduğunu görürüz. Grafiği Şekil 14'te

gösterilmektedir.

ŞEKİL 13 ŞEKİL 14

ÖRNEK 9 Bir Çemberin Denklemini Bulmak

(a) Yarıçapı 3 ve merkezi (2,-5) olan bir çemberin denklemini bulun.

(b) Çapının uç noktaları P(1,8) ve Q(5,-6) olan çemberin denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM

(a) r=3, h=2 ve k=-5 olan çember denklemini kullandığımızda, aşağıdaki ifadeyi elde ederiz

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 5)2 = 9

Grafik Şekil 15'te gösterilmektedir.


80

ŞEKİL 15

(b) Öncelikle merkezin PQ çapının orta noktası olduğunu görüyoruz, bu nedenle Orta Nokta

Formülünden, merkez;

�1 + 5

2,8 − 6

2� = (3,1)

Yarıçap r, P'den merkeze olan uzaklıktır, böylece Uzaklık Formülünü kullanarak,

𝑟2 = (3 − 1)2 + (1 − 8)2 = 22 + (−7)2 = 53

Bu nedenle, çemberin denklemi

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 53

Grafik Şekil 16'da gösterilmektedir.

ŞEKİL 16

Önceki örnekteki çember denklemini genişletelim.

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 53 Standart form

𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 53 Kareleri açın

𝑥2 − 6𝑥 + 𝑦2 − 2𝑦 = 43 Genişletilmiş formu elde etmek için 10 çıkarın

Çemberin denkleminin genişletilmiş şekilde verildiğini varsayıyoruz. Merkezini ve yarıçapını

bulmak için, standart formdaki denkleme dönmeliyiz. Bu demektir ki önceki hesaplamadaki

adımları tersine çevirmeliyiz ve 𝑥2 − 6𝑥 gibi bir ifadeyi mükemmel kare haline getirmek için


81

ne eklememiz gerektiğini bilmemiz gerekir. Yani sonraki örnekteki gibi kareye

tamamlamamız gerekmektedir.

Kareye tamamlama cebirdeki birçok konuda kullanılmaktadır. Bölüm 1.5'te kuadratik

denklemleri çözmek için kareye tamamlamayı kullandık.

ÖRNEK 10 Bir Çember Denklemini Tanımlamak

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 7 = 0 denkleminin bir çember belirttiğini gösterin ve bu çemberin

merkezini ve yarıçapını bulun.

ÇÖZÜM öncelikle x-terimleri ve y-terimlerini gruplarız. Sonra her grubu kendi içinde kareye

tamamlarız. Bu, 𝑥2 + +2𝑥 için (12

. 2)2 = 1 ekleyerek kareye tamamlarız ve 𝑦2 − 6𝑦 için

[12

. (−6)]2 = 9 ekleyerek kareye tamamlarız, demektir.

Terimleri gruplayın

Her iki tarafa 1 ve 9 ekleyerek

kareye tamamlayın.

Çarpanlara ayırın ve basitleştirin.

Eşitliği sağlamak için her iki tarafa aynı sayıları eklemeliyiz.

Bu denklemi çemberin standart denklemiyle karşılaştırdığımızda görüyoruz ki h=-1, k=3 ve

r=√3, böylece verilen denklem merkezi (-1,3) ve yarıçapı √3 olan çemberi gösterir.

Simetri

Şekil 17 𝑦 = 𝑥2 'nin grafiğini göstermektedir. Grafiğin y-ekseninin solunda kalan kısmının y-

ekseninin sağında kalan kısmının yansıması olduğuna dikkat edin. Buradan çıkarılacak sonuç,

eğer (x,y) noktası grafiğin üzerinde ise, bu durumda (-x,y) ‘de grafiğin üzerindedir ve bu

noktalar birbirinin y-eksenindeki yansımalarıdır. Bu durumda, grafik y-eksenine göre

simetriktir deriz. Benzer şekilde, (x,y) noktası grafiğin üzerindeyken, (x,-y) ‘de grafiğin

üzerindeyse, grafik x-eksenine göre simetriktir deriz. (x,y) grafiğin üzerindeyken (-x,-y) ‘de

grafiğin üzerindeyse, grafik orijine göre simetriktir.

ŞEKİL 17


82

SİMETRİNİN TANIMI Simetri Türü Simetrinin Nasıl

Test Edildiği Grafiğin neye benzediği (bu bölümdeki şekiller)

Geometrik anlamı

x-eksenine göre simetri

y,-y ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez

x-ekseninde yansıtıldığında grafik değişmez

y-eksenine göre simetri

x,-x ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez

y-ekseninde yansıtıldığında grafik değişmez

Orijine göre simetri

y,-y ile ve x,-x ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez

Orijinde 180𝑜 döndürüldüğünde grafik değişmez.

Bu bölümde geri kalan örnekler denklemlerin grafiğini çizerken simetrinin bize nasıl yardım

ettiğini gösterir.

ÖRNEK 11 Grafik Çizmek için Simetrinin Kullanılması

𝑥 = 𝑦2 denklemini simetri için test edin ve grafiğini çizin

ÇÖZÜM Eğer 𝑥 = 𝑦2 denkleminde -y, y ile yer değiştirirse,

𝑥 = (−𝑦)2 y'yi -y ile yer değiştirin.

𝑥 = 𝑦2 Basitleştirin

ve böylece denklem değiştirilmez. Bu nedenle, grafik x-eksenine göre simetriktir. Fakat x'i -x

ile değiştirmek −𝑥 = 𝑦2 denklemini verir, bu orijinal denklem ile aynı değildir, bu nedenle

grafik y-eksenine göre simetrik değildir.

Şekil 18'de gösterildiği gibi, grafiği çizmek için öncelikle noktaları y>0 için işaretleyerek ve

sonra x-ekseninde grafiği yansıtarak x-eksenine göre simetriyi kullanırız.


83

ŞEKİL 18

ÖRNEK 12 Grafik Çizmek için Simetrinin Kullanılması

𝑦 = 𝑥3 − 9𝑥 denklemini simetri için test edin ve grafiğini çizin.

ÇÖZÜM Eğer denklemde x 'i -x ile ve y 'yi -y ile değiştirirsek, aşağıdaki ifadeleri elde ederiz

−𝑦 = (−𝑥)3 − 9(−𝑥) x'i -x ile ve y'yi -y ile değiştirin

−𝑦 = −𝑥3 + 9𝑥 Basitleştirin

𝑦 = 𝑥3 − 9𝑥 -1 ile Çarpın

ve böylece denklem değiştirilmez. Bu, grafik orijine göre simetriktir demektir. Öncelikle x>0

için noktaları işaretleyerek çizeriz, sonra orijine göre simetriyi kullanırız (bakınız Şekil 19).

ŞEKİL 1

1.10 Doğrular

Bu bölümde bir koordinat düzleminde bulunan düz doğruların denklemlerini bulacağız.

Denklem doğrunun nasıl bir eğim gösterdiğine göre bağlı olacağı için öncelikle doğrunun

eğimi kavramını ele alacağız.

Bir Doğrunun Eğimi

Öncelikle bir doğrunun dikliğini ölçmek için veya soldan sağa gidildiğinde ne kadar hızlı

yükseldiğini ve alçaldığını gösteren bir yol bulmalıyız. Sağa giderken ki hareket mesafesine


84

“yatay gidiş”, buna karşılık gelen yükseliş veya düşüş ise “yükselti” olarak adlandırılacaktır.

Bir doğrunun eğimi yatay gidişin yükselişe oranı ile hesaplanır.

Eğim=Yükselti

Yatay gidiş

Şekil 1 bize eğimin önemli olduğu durumları göstermektedir. Marangoz bir çatının veya

merdivenlerin açısı için meyil terimini kullanır; yol eğimi için derece terimi kullanılır.

Eğer bir doğru koordinat düzlemi üzerinde yer alıyorsa doğru üzerindeki her hangi iki nokta

arasındaki “yatay gidiş” x-koordinatı boyunca hareketi, “ yükselti” ise y-koordinatı üzerindeki

hareketi ifade eder. (Bakın Şekil 2) Bu da bize aşağıdaki eğim tanımını verir.

Doğrunun Eğimi:

𝐴(𝑥1, 𝑦1) ve de 𝐵(𝑥2, 𝑦2) noktalarından geçen düşey olmayan bir doğrunun eğimi

olur

Düşey doğrunun eğimi tanımlanmamıştır.

Eğim Eğim Eğim

Eğim

Yükselti

Y koordinatındaki

Değişim (pozitif)

Yükselti

Y koordinatındaki

Değişim (negatif)

Yükselti

Yatay Gidiş


85

Eğim, doğru üzerindeki hangi iki noktanın seçildiğinden bağımsızdır. Bunun doğru olduğu

Şekil 3 teki benzer üçgenlerden anlaşılabilir.

ŞEKİL 3

Şekil 4 eğimleri ile etiketlenmiş farklı doğruları göstermektedir. Pozitif eğimli olanlar sağa

gittikçe yukarı gitme eğilimindedir, negatif olanlar ise sağa gidildikçe aşağı hareket

etmektedir. En dik doğrular eğimi mutlak değerce en büyük doğrulardır, yatay doğruların

eğimi sıfır olur.

ŞEKİL 4 Farklı eğimli doğrular.

Örnek 1 İki noktası bilinen doğrunun eğimini bulmak

𝑃(2,1) ve 𝑄(8,5) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulun.


86

ŞEKİL 5

Çözüm: Herhangi iki nokta tek bir doğru tanımlayacağından dolayı, bu iki noktadan tek bir

doğru geçer. Eğimin tanımından

bulunur.

Bu şu demektir; sağa 3 birim ilerlediğimizde doğru 2 birim yükselir. Doğru Şekil 5 ‘de

çizilmiştir.

Doğru Denkleminin Nokta Eğim Formu

Şimdi 𝑃(𝑥1, 𝑦1) verilen bir noktasından geçen ve eğimi m olan bir noktanın eğimini bulmaya

çalışalım. 𝑥 ≠ 𝑥1 olan bir 𝑃(𝑥, 𝑦) noktası, ancak ve ancak P1 ve P ‘den geçen doğrunun eğimi

m ‘e eşitse bu doğru üzerindedir. (Şekil6) Böylece

ŞEKİL 6

Bu denklem 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) formunda da yazılabilir. Denklem ancak 𝑥 = 𝑥1 ve 𝑦 = 𝑦1

olduğunda sağlanır. Bu yüzden verilen doğrunun denklemine eşittir.

Nokta Eğim Formu ile Doğru Denklemi

(𝑥1, 𝑦1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi :

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) olur.


87

Örnek 2 Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denkleminin bulunması

a) (1,-3) noktasından geçen ve eğim -1/2 olan doğrunun denklemini bulun.

b) Doğruyu çizin

Çözüm

a) 𝑚 = − 12

, 𝑥1 = 1 ve 𝑦1 = −3 iken, nokta eğim formu kullanılarak

bulunur.

b) Eğimin -1/2 olması sağa iki birim ilerlediğimizde doğrunun düşeyde 1 birim aşağı düşmesi

anlamına gelir.

Buna bağlı olarak şekil 7 yi çizebiliriz.

ŞEKİL 7

Örnek 3 İki noktası bilinen doğrunun denkleminin bulunması

(-1,2) (3,-4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun

Doğrunun eğimi

olur

Nokta eğim formu kullanılarak 𝑥1 = −1 ve de 𝑦1 = 2


88

Doğru Denkleminin Eğim-Kesim Formu

Varsayalım dikey olmayan bir doğrunun eğimi m ve de y-kesim noktası b olsun (Şekil 8). Bu

doğrunun y eksenini (0,b) noktasında kestiğini gösterir, böylece doğrunun eğim kesim formu:

olur.

Bu da daha basit olarak 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 yazılabilir. Buna da doğrunun denkleminin eğim-kesim

formu denir.

ŞEKİL 8

Doğru Denkleminin Eğim-Kesim Formu:

y-kesimi b ve eğimi m olan bir doğrunun eğimi

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Örnek 4

Eğim- kesim formundaki doğrular

a) Eğimi 3, y-kesimi -2 olan doğrunun denklemini bulun.

b) 3𝑦 − 2𝑥 = 1 doğrusunun eğimini ve y kesimini bulun.

Çözüm

a) m = 3 ve b = -2 olduğundan eğim kesim formu ile

𝑦 = 3𝑥 − 2 yazılır.

b) Denklemi önce 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 formunda yazarız.

Doğru denkleminin eğim kesim formundan, eğimin m=2/3 ve y-kesiminin b=1/3 olduğunu

görürüz.

Düşey ve Yatay Doğrular


89

Eğer bir doğru yatay ise eğimi m = 0 dır ve dolayısıyla denklemi y = b dir , burada b ise y-

kesimidir. (Şekil 9)

ŞEKİL 9

Düşey doğrunun eğimi yoktur ancak denklemini x=a şeklinde yazabiliriz, burada a x-

kesiminidir, çünkü doğru üzerindeki bütün noktaların x koordinatı a dır.

Yatay ve Düşey Doğrular:

(a,b) noktasından geçen düşey doğrunun denklemi x = a dır.

(a,b) noktasından geçen yatay doğrunun denklemi y = b dir

Örnek 5 Yatay ve düşey doğrular

a) (3,5) ten geçen düşey doğrunun denklemi x = 3 tür

b) x=3 denkleminin grafiği x kesimi 3 olan bir düşey doğrudur.

c) (8,-2) ten geçen yatay doğrunun denklemi y = -2 dir

d) y = -2 denkleminin grafiği, y kesiminin -2 olduğu yatay doğrudur. (Şekil 10)

ŞEKİL 10

Bir Doğrunun Genel Denklemi

Bir doğrusal denklem


90

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

formundaki bir denklemdir. Burada A,B,C sabitlerdir ve A ve B nin her ikisi aynı anda sıfır

olmamalıdır. Bir doğrun denklemi “doğrusal bir denklemdir”

- Düşey olmayan bir doğrunun denklemi y = mx+b veya –mx+y-b=0 şeklindedir. Bu da

A= -m, B= 1, C= -b olan bir doğrusal denklemdir.

- Bir düşey doğrunun denklemi x=a veya x-a =0 dır. Bu da A=1, B= 0, C= -a olan

doğrusal bir denklemdir.

Doğrusal bir denklemin grafiği bir doğrudur.

Bu da bir doğru denkleminin eğim-kesim formudur. Burada 𝑚 = − 𝐴 𝐵⁄ ve 𝑏 = − 𝐶 𝐵.⁄

- Eğer B=0 ise denklem

𝐴𝑥 + 𝐶 = 0 veya 𝑥 = − 𝐶 𝐴⁄ olur ki bu da bir düşey doğrudur.

Böylece, aşağıdaki ifadeyi kanıtlamış olduk.

Doğrunun genel Denklemi:

Her doğru denkleminin grafiği :

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 olur. (A ve B nin her ikisi birden sıfır olmamalı)

Örnek 6 Doğrusal bir denklemin grafiğinin çizilmesi

2𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0 denkleminin grafiğini çiziniz.

Çözüm 1

Denklem doğrusal olduğundan dolayı grafiği de doğru şeklindedir. Grafiği çizmek için doğru

üzerinde iki nokta bulmak yeterlidir. Kesim noktaları bulunması en kolay noktalardır.

x-kesimi: y=0 yazılarak 2𝑥 − 12 = 0 ve x=6 olur.

y-kesimi: x=0 yazılarak −3𝑦 − 12 = 0 ve y= -4 olur.

Bu noktalar ile şekil 11 deki grafiği çizeriz.

Çözüm 2

Denklemi eğim-kesim formunda


91

Bu denklem 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 formundadır, böylece eğim 𝑚 = 23 ve y-kesimi de b= -4 olur.

Grafiği çizmek için y kesim noktasını işaretler ve gösterildiği gibi 3 birim sağa 2 birim yukarı

giderek grafiği şekil 12 deki gibi çizeriz.

ŞEKİL 11 ŞEKİL 12

Paralel ve Dik Doğrular

Eğim bir doğrunun dikliğini ölçtüğünden, paralel doğruların aynı eğime sahip olduklarını

söylemek makul olacaktır. Aslında bunu ispatlayabiliriz.

Paralel Doğrular

İki tane düşey olmayan doğru ancak ve ancak eğimleri birbirine eşitse paraleldir.

İspat:

Şekil 13 teki 𝑙1 ve 𝑙2 doğruları 𝑚1 ve 𝑚2 eğimlerine sahiptir. Eğer doğrular paralel ise

sağdaki ABC ve DEF üçgenleri benzerdir.

Eğimler eşitse üçgenler benzerdir. Böylece ve doğrular paraleldir.


92

ŞEKİL 13

Örnek 7 Verilen bir doğruya paralel bir doğrunun denklemini bulmak

(5,2) noktasından geçen ve 4𝑥 + 6𝑦 + 5 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini

bulun.

Çözüm Önce verilen doğrunun denklemini eğim kesim formunda yazalım

Doğrunun eğimi 𝑚 = − 23 olur. Böylelikle istenen doğrunun eğiminin de 𝑚 = − 2

3 olacağı

aşikârdır. Doğru denkleminin nokta eğim formundan

Böylece istenen doğrunun denklemi 2𝑥 + 3𝑦 − 16 = 0 olur.

Dik kesen doğrular için olan koşul, paralel doğrular için olan kadar açık değildir.

Birbirine dik doğrular

Eğimleri m1 ve m2 olan iki doğru ancak ve ancak 𝑚1𝑚2 = −1 olduğunda yani

Eğimlerin birbirinin tersinin eksilisi yani

𝑚2 = − 1𝑚1

olduğunda birbirlerine diktir denir.

Örnek 8 Birbirine dik doğrular

𝑃(3,3), 𝑄(8,17)ve 𝑅(11,5) noktalarının bir dik üçgenin köşeleri olduğunu gösterin.

Çözüm PR ve QR doğrularının eğimleri sırası ile


93

ve olur

𝑚1𝑚2 = −1 olduğundan bu doğrular birbirine diktir. Böylece PQR şekil 15 deki gibi dik

üçgendir.

ŞEKİL 15

Örnek 9 Verilen bir doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmak

4𝑥 + 6𝑦 + 5 = 0 doğrusuna dik olan ve orijinden geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm Örnek 7 de 4𝑥 + 6𝑦 + 5 = 0 doğrusunun eğiminin − 23 olduğunu gördük. Bu

durumda buna dik doğrunun eğimi bu doğrunun tersinin negatifi yani 32 olur. İstenen doğru

(0,0) dan geçtiğine göre nokta eğim formuna göre doğrunun denklemi

olur.

Doğrusal Denklemlerle Modelleme: Değişimin oranı olarak Modelleme

İki büyüklük arasındaki ilişkiyi modellemek için bir doğru kullanıldığında, bu doğrunun

eğimi büyüklüklerden birinin diğerine göre değişim oranını göstermektedir. Örneğin şekil

17a ‘daki grafik doldurulan bir tanktaki gaz miktarını göstermektedir. Belirtilen noktalar

arasındaki eğim

Doğrunun eğimi tankın dolum oranını verir ki bu dakikada 2 galondur. Şekil 17b ‘deki

grafiğe göre ise tank dakikada 0,03 galon oranıyla boşalmaktadır, eğim -0,03 tür.


94

Aşağıdaki iki örnek, doğrunun eğiminin değişim oranı olduğunu gösteren diğer durumları

incelemektedir.

Örnek 11 Değişim oranı olarak eğim

Bir nehir üzerinde rezervuar oluşturmak için bir baraj inşa edilmektedir. Rezervuardaki su

miktarı w şu denklem ile verilmiştir.

Burada t barajın kurulmasından sonra kaç yıl geçtiği w ise barajdaki su seviyesinin feet

cinsinden değerini göstermektedir.

a) Bu denklemin grafiğini çizin

b) Bu doğrunun eğimi ve w kesimi ne ifade etmektedir.

ŞEKİL 18

Çözüm a) Bu denklem bir doğrudur ve bu yüzden grafik de doğru şeklinde olmalıdır. İki

nokta bir doğru belirleyeceğinden buna göre doğru çizilir.

t=0 iken olduğundan (0,28) doğru üzerindedir.

t=2 iken olduğundan (2,37) doğru üzerindedir.


95

Bu noktalarca oluşturulan doğru şekil 18 de verilmiştir.

b) Eğim 𝑚 = 4,5 su seviyesinin zamana göre değişim oranını gösterir.

Buna göre su seviyesi yılda 4,5 feet yükselir. w-kesimi 28 dir ve bu t=0 da olur, bu da baraj

inşa edildiğindeki su seviyesini gösterir.

Örnek 12 Sıcaklık ile yükseklik arasındaki doğrusal ilişki

a) Kuruyan hava yükseldikçe genleşir ve soğur. Eğer zeminde sıcaklık 200C ve de 1 km

yükseklikte sıcaklık 100C ise T sıcaklığı ile (0C) h yüksekliği arasındaki (km) ilişkiyi

ifade edin. (İlişkinin doğrusal olduğunu varsyın)

b) Denklemin grafiğini çizin, eğim neyi temsil etmektedir?

c) 2,5 km yüksekliğinde sıcaklık ne olur.

Çözüm

a) T ve h arasındaki ilişkinin doğrusal olduğu varsayımından yola çıkarsak, denklemin

formunun

𝑇 = 𝑚ℎ + 𝑏

şeklinde olması gerekir. Burada m ve b katsayıdır. h=0 olduğunda T=20 olmaktadır. Bu

yüzden

böylece

h=1 iken T=10 olur. Böylece

İstenen ifade

şeklindedir.

ŞEKİL 19


96

b) Grafik şekil 19 da çizilmiştir. Eğim 𝑚 = −100𝐶/𝑘𝑚 ve bu ifade yerden yüksekliğe göre

sıcaklığın değişim oranını gösterir. Buna göre her bir kilometre yükselmek sıcaklığı 10 0C

düşürür.

c) h=2,5 km olduğunda sıcaklık

olur.

1.11 Değişimleri Kullanarak Modeller Oluşturma

Bilim adamları, gerçek dünya olayı için matematiksel bir model hakkında konuştuklarında,

genellikle iki nicelik arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir denklemi ifade eder. Örneğin, model

bir hayvan türünün nüfusunun zamanla nasıl değiştiğini veya sıcaklığı değiştikçe bir gazın

basıncının nasıl değiştiğini tarif edebilir. Bu bölümde varyasyon(değişim) adı verilen bir çeşit

modelleme çalışıyoruz.

İki tip matematiksel model çok sık ortaya çıkar ve özel isimler verilir. İlkine doğrudan

değişme denir ve bir nicelik diğerinin sabit bir katı olduğunda ortaya çıkar, bu bağımlılığı

modellemek için 𝑦 = 𝑘𝑥 biçiminde bir denklem kullanırız.

Eğer 𝑥 𝑣𝑒 𝑦 nicelikleri arasında;

𝑦 = 𝑘𝑥 , 𝑘 ≠ 0 bir sabit

denklemi varsa 𝑦 doğrudan 𝑥 ile değişmektedir veya 𝑦, 𝑥 ile doğru orantılıdır ya da basitçe

orantılıdır denir. 𝑘 sabitine ise orantı sabiti denir.

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 biçiminde bir denklem grafiğinin 𝑚 eğimi 𝑏 ise

keseni olduğunu hatırlayın. Dolayısıyla 𝑦 = 𝑘𝑥 doğrusu, doğru

orantılı değişimi tanımlar ve 𝑘 eğimi 𝑦 ise ekseni kestiği noktayı

gösterir (bkz.Şekil-1).


97

Örnek 1: Bir gök gürültülü fırtınada gök gürültüsü duymadan

önce yıldırım görürsünüz çünkü ışık sesden daha hızlı

ilerlemektedir. Sizinle fırtına arasındaki mesafe doğrudan

yıldırım ile gök gürültüsünün arasındaki zaman aralığı olarak

değişir.

a) 5400 ft.'lik bir fırtınadan gelen yıldırımın size ulaşması için 5 saniye sürdüğünü

varsayalım.

Oransallık sabitini belirleyin ve varyasyon denklemini yazın.

b) Bu denklemin grafiğini çizin. Orantı sabiti neyi temsil eder?

c) Şimşek ile yıldırım arasındaki zaman aralığı 8 saniyeyse, fırtına ne kadar uzaktadır?

Çözüm: a) 𝑑 sizin fırtınadan uzaklığını ve 𝑡 zaman aralığını göstersin Böylece:

𝑑 = 𝑘𝑡

olur. Burada 𝑘 sabittir bu sabiti bulmak için 𝑡 = 5 iken 𝑑 = 5400 olduğu kullanılırsa;

Böylece 𝑑 = 1080𝑡 denklemi elde edilmiş olur.

b) 𝑑 = 1080𝑡 denkleminin grafiği şekil-2 de gösterilmiştir. Doğru

orijinden geçmektedir. 1080 eğimine sahiptir. 𝑘 = 1080 sabiti

sesin yaklaşık hızıdır(ft/s cinsinden).

c) 𝑡 = 8 olduğunda

𝑑 = 1080.8 = 8640

olur. Fırtına 8640 ft uzaklıktadır.

Matematiksel modellemede sıklıkla kullanılan bir başka denklem 𝑦 = 𝑘 𝑥⁄ ’dir. Burada 𝑘 bir sabittir. Eğer 𝑥 𝑣𝑒 𝑦 nicelikleri arasında;


98

𝑦 =𝑘𝑥

, 𝑘 ≠ 0

denklemi varsa 𝑦 ters olarak 𝑥 ile değişmektedir veya 𝑦, 𝑥 ile ters orantılıdır denir. 𝑘 sabitine

ise orantı sabiti denir. Şekil- 3 de 𝑥 > 0 ve 𝑘 > 0 için ters değişim grafiği gösterilmiştir.

Örnek 2: Ters Değişme

Boyle Yasası, bir gaz örneğinin sabit bir sıcaklıkta sıkıştırılmasında gazın basıncının gazın

hacmiyle ters orantılı olduğunu belirtmektedir.

a) 25 ° C'de 0.106 𝑚3 'lük bir hava örnekleminin basıncının 50 kPa olduğunu

varsayalım. Orantı sabitini bulun ve tersini ifade eden denklemi yazın

b) Örnek 0.3 𝑚3' lük bir hacme kadar genişlerse, yeni basıncı bulun.

Çözüm: a) 𝑃 örnek gaz numunesinin basıncı olsun ve 𝑉 ise hacmi olsun. Sonra, Boyle yasası

tanımından;

𝑃 =𝑘𝑉

denklemi oluşur. 𝑘 sabittir bu sabiti bulmak için gerçek değerler 𝑃 = 50, 𝑉 = 0.106 orijinal

denklemde yerine konulursa orijinal denklem;

𝑃 =5.3𝑉

olarak elde edilir.

b) V=0.3 olduğunda yeni basınç;


99

𝑃 =5.30.3

≈ 17.7

olur.

Fiziksel bir nicelik çoğunlukla birden fazla başka niceliğe bağlıdır. Bir nicelik iki veya daha

fazla diğer nicelikle orantılıysa, bu ilişki ortak değişim olarak adlandırırız.

Eğer 𝑥 , 𝑦 𝑣𝑒 𝑧 nicelikleri arasında;

𝑧 = 𝑘𝑥𝑦 , 𝑘 ≠ 0

denklemi varsa 𝑧, 𝑥 𝑣𝑒 𝑦 ile ortak değişmektedir veya 𝑧, 𝑥 𝑣𝑒 𝑦 ile orantılıdır denir. 𝑘

sabitine ise orantı sabiti denir.

Bilimlerde, üç veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiler yaygındır ve tartıştığımız farklı

oransallıkların kombinasyonu mümkündür. Örneğin;

𝑧 = 𝑘𝑥𝑦

, 𝑘 ≠ 0

Biçiminde ise 𝑧, 𝑥 ile doğru orantılı ve 𝑦 ile ters orantılıdır denir.

Örnek 3: Newton'un Yerçekimi Kanunu

Newton'un Yerçekimi Kanunu, 𝑚1ve 𝑚2 kütleli nesnelerin, kütleleri ile ortak olarak orantılı

olan ve nesneler arasındaki mesafenin (𝑟) karesi ile ters orantılı olan bir 𝐹 kuvveti ile

birbirlerini çektiğini söylüyor. Newton'un Yerçekimi Yasasını bir denklem olarak ifade

ediniz.

Çözüm: Genel yer çekimi sabiti G ile gösterilsin. Kanunun

tanımından ters ve doğru oransallıklar düşünülürse

denklem;

𝐹 = 𝐺𝑚1𝑚2

𝑟2

olarak yazılır. Eğer 𝑚1ve 𝑚2 kütleleri sabitlenirse

𝐹 = 𝐶 𝑟2⁄ olur.(𝐶 = 𝐺. 𝑚1. 𝑚2) olur. Şekil-4’te 𝐶 =

1 𝑣𝑒 𝑟 > 0 için bu denklemin grafiği gösterilmiştir.

Yerçekimi etkisinin artan mesafe ile nasıl azaldığını gözlemleyin.

1.1reel sayılarkisi.deu.edu.tr/serkan.aras/bölüm 1(2).pdfbu bölümde reel sayılar, denklemler...

Documents