Finansal Matematik

2. BİLEŞİK

FAİZ

2.1 Bileşik faiz hesapları

2.1.1. Devre sonu ödemeli ve devre başı ödemeli bileşik Faiz

2.1.2. Orantılı bileşik faiz

2.1.3. Anlık bileşik faiz

2.1.4. Denk faiz (eşdeğer oranlar)

2.1.5. Kesirli toplam dönemler

2.1.6. Faiz oranının bulunması

2.1.7. Zamanın bulunması

2.1.8. Bileşik faizde paranın değer denklikleri

2.2. Bileşik İskonto

2.2.1. Senet (bono) değiştirme

Finansal Matematik

m

12 12

2.1. Bilesik Faiz Faiz ödenen her dönemden sonra tahakkuk eden (elde edilen) faizin anaparaya eklen-

mesiyle hesaplanan faizdir.

Faiz dönemleri: yıl, yarıyıl, çeyrek yıl, ay, hafta, gün veya sürekli an olabilir.

C0 : Anapara, Cn’nin simdiki deg eri, Cn’nin iskontolu degeri,

Cn: Toplam deg er, birikmis deg er, C0 ’nin bilesik/birikmiş (n. devre sonu) deg eri,

t: Yıl cinsinden ana paranın faiz için kullanma zamanı

m: Bir yılda faiz ödenen dönem sayısı,

n: Faiz ödenen toplam dönem sayısı, n = m.t ile hesaplanır,

r: yıllık faiz oranı,

i: Dönem basına ödenen faiz oranı, i = r

ile hesaplanır.

Örnek. r = %24 ⇒ m = 12 dönem (ay) var,

Aylık (dönemlik) faiz oranı: i = r = 0,24 = 0, 02 = %2.

Bir C0 anaparası, 1.dönemin basında , dönem basına r faiz oranı ile yatırıldıg ında

n.dönemin sonunda Cn birikmis deg eri asag ıdaki gibi hesaplanır:

1.dönem sonunda faiz: I = C0.r birikmis deg er: C1 = C0 + C0.r = C0 (1 + r),

2.dönem sonunda faiz: I = C0 (1 + r).r birikmiş

Değer C2 = C0 (1 +r) + C0 (1 + r).r =

C0 (1 + r)(1 + r) = C0 (1 + r)2

3.dönem sonunda faiz: I = C0 (1 + r)2.r ve birikmis deg er: C3 = C0 (1 + r)2 + C0 (1 + r)2.r

=C0 (1 + r)2(1 + r) = C0 (1 + r)3,

…

n. dönem sonunda

birikmiş değer: C n = C0 (1 + r)n

Finansal Matematik

bir yıldan küçük faiz dönemleri için (n=m.t) Cn = C0 (1 + r/m )m.t

Böylece Cn birikmis deg erinin simdiki deg eri Co = Cn (1 +r )−n

veya C0 = Cmt (1 + r/m) −m.t

m → ∞ halinde faiz ödenen dönem kesikli olmaktan çıkıp sürekli hale geldig inden bu

durumda kullanılan bilesik faiz oranı sürekli bilesik faiz oranı olarak adlandırılır.

Sürekli bilesik faizde Cn birikmis değeri

lim𝑚→∞

(1 +𝑥

𝑚)

𝑚

= 𝑒𝑥 yardımıyla,

𝐶𝑛 = 𝐶0 lim𝑚→∞

(1 +𝑟

𝑚)

𝑚𝑡

𝐶𝑛= 𝐶0𝑒𝑟𝑡 olur.

Örnek.

a) 1000 TL’nin %12’den 2 yıllık basit faizini bulunuz.

b) 1000 TL’nin 6 aylık faiz ödemeli %12’den 2 yıllık faizini bulunuz.

Cevap :

a)

r= 1 yıl faizi n=2

C0 = 1000, r = 0, 12, (yıl)t = 2 , (1 yıldaki dönem) m =2 ⇒ I = 1000 (0, 12) 2 = 240 TL

b) )

r= 1 yıl faizi t=2 n=m.t = 2 . 2 = 4 dönem

Periyot 6 ay oldug undan 1 yıldaki dönem sayısı m = 2 ve t = 2 oldug undan toplam

C0 = 1000, r = 0, 12 , r/m = 0 ,12 /2 =0 ,06

Cn = Cmt = C0 (1 + r)n = 1000(1 + 0, 06)4 = 1262, 48 TL bulunur.

I = Cn – C0 = 1262, 48 − 1000 = 262, 48 TL faiz getirisi.

Finansal Matematik

12

12

Örnek. Bir kimse emeklilig i için tasarruf yapmak üzere S ubat 2010’da bankaya

100,000 TL yatırırmışsa, aylık faiz ödemeli %12 yıllık bilesik faiz oranından S ubat

2030’da kaç parası olur?

C0 = 100000, t = 20, m = 12, n = 20.12 = 240, r = 0, 12 r/m= 0,12 =0,01

⇒ Cn = C0 (1 + r)n = 100000 (1 + 0,12 )240 = 108.925.5, 37 TL.

Özet :

Faiz tutarının hesaplanmasında genel olarak 4 metod vardır. Basit faiz ve bileşik faiz,

diğer taraftan difere faiz ve antisipe faiz. Ayrıca yıl 360 veya 365 (pratik veya gerçek)

gün kullanılması da ayrı bir kriterdir.

basit faiz bileşik faiz

Difere faiz + +

Antisipe faiz + +

Difere faiz : her devre için hesaplanan faiz devre sonunda ödenir

Antisipe faiz : her devre için hesaplanan faiz devre başında ödenir.

Difere faizde 1 lira, 1 devre sonunda (1+ r) lira olur.

Antisipe faizde (1-r) lira, 1 devre sonunda 1 lira olur.

Örnek . C0 = 50.000 r=0,1 difere faiz

Devre(yıl) C0 C0 I=C0rt I=C0[(1+r)t-1] Cn=C0(1+rt) Cn=C0(1+r)t

t Basit Bileşik basit bileşik basit Bileşik

1 50.000 50.000 5.000 5.000 55.000 55.000

2 50.000 55.000 5.000 5.500 55.000 60.500

3 50.000 60.500 5.000 6.050 55.000 66.550

Finansal Matematik

2.1.1. Devre başı ödemeli (difere) devre sonu ödemeli (antisipe) faiz

Difere bileşik faiz

C1= C0 + C0 r = C0 (1+r)

C2= C0 (1+r) + C0 (1+r)r = C0 (1+r)2

C3= C0 (1+r)2 + C0 (1+r)2r = C0 (1+r)3

…

Cn= C0 (1+r)n-1 + C0 (1+r)n-1 r = C0 (1+r)n

I=Cn – C0 = C0 (1+r )n – C0 = C0 [(1+r)n – 1]

Bileşik faiz formülü ile nüfus hesaplamalarında da yararlanılır.Nüfus da ana paranın

bileşik faizine benzer artış gösterir.

Antisipe bileşik faiz

C1= C0 + C0 r/(1-r) = C0 [1+r/(1-r)] = C0 (1-r)-1

C2= C0 /(1-r) + {C0 /(1-r)} . { r/(1-r)} = [C0 / (1-r)][1+r/(1-r)] = C0/(1-r)2 = C0 (1-r)-2

…

Cn= C0 (1-r)-n

I=Cn – C0 = C0 (1-r )-n – C0 = C0 [1/(1-r)n – 1]

2.1.2. Orantılı bileşik faiz

Belirli bir t devre için, bu devreden m kez daha küçük bir devre r/m oranında faiz

uygulanması işlemidir.

Örnek, yıllık faiz 0,08 ise, 6 aylık devre yılın yarısı olur ve faiz 0,04 olur. Diğer taraftan

aylık 0,05 faizin yıllık orantılı faiz nispeti 0,6 dır, çünkü devre 12 kat artmıştır.

Finansal Matematik

Bu gibi durumlarda orantılı faiz uygulamak şartı ile (m) devre sayısı küçüldükçe Cn

değeri büyür.

m=1 ise r = yıllık faiz r/m = r/1 = r

m>1 için yıldan küçük devre faiz oranı r/m olur.

süre büyük devrenin t katı ise küçük devrenin mt katı olur.

Cn = C0 (1+r/m)mt

C0 (1+r/m)mt > C0 (1 + r)t

yukarıdaki eşitsizliğin tüm elemanları pozitif olduğu için eşitsizliğin her iki tarafı C0 ile

bölünüp t. dereceden kökü alınırsa.

(1 + r/m)m > 1+r elde edilir.

Sol taraftaki eşitsizlik açılırsa,

1 + r +m(m−1)

2!x

r2

m2 + ⋯ +rm

mm > 1 + r elde edilir.

Örnek : C0 = 10.000 tl, yıllık %8 faiz ile 6 aylık devre esasına göre %4 den 5 yıl bir süre

için veriliyor.

Yıllık %8 ile

Cn = 10.000 x 1,085 = 14.692,67 tl {logCn=4+5x0.03342=4,16710 , antilogCn=14692,67}

6 aylık %4 ile

Cn = 10.000 x 1,0410 = 14.822,44 tl

daha fazla olduğu görülür.

Finansal Matematik

Orantılı faiz ile devreler giderek büyüyen sayılara bölününce Cn değeri de giderek

büyür. Ancak devreler küçüldükçe Cn değeri yavaşlayan bir hızla büyür. Bu nedenle

orantılı faiz de devre m kez küçülünce m=sonsuz için Cn değerinin bir limiti vardır, bu

limite anlık faize göre baliğ (Cn) denir.

2.1.3. Anlık faiz

C0 başlangıç değerinin devreler en küçük sonsuza kadar küçültülmüş bir orantılı faiz

ile devre sonu değeri

Cn=C0 . ert dir.

Çünkü, devre m ye bölününce orantılı faiz r/m , devre sayısı mt olup orantılı faize

göre

Cn=C0 (1+ r/m)mt olduğu görülmüştü

m büyüdükçe Cn değeri büyür m=sonsuz için Cn değeri maximum olur. Bu max

değeri bir limittir. Yukarıdaki formülü m=sonsuz için limitini alırsak,

lim𝑚→∞

(1 +1

𝑚)

𝑚

= 𝑒 𝑣𝑒 lim𝑚→∞

(1 +𝑟

𝑚)

𝑚

= 𝑒𝑟 olduğuna göre,

(1 + 𝑟

𝑚)

𝑚𝑡

= [(1 +𝑟

𝑚)𝑚]

𝑡

𝑎𝑙𝚤𝑛𝚤𝑟𝑠𝑎

lim𝑚→∞

(1 +𝑟

𝑚)

𝑚𝑡

= 𝑒𝑟𝑡 olur .

Bu durumda m=sonsuz için Cn=C0 . e r t olur.

Örnek : 10.000 lira yıllık %8 faiz ile 3 aylık devre orantılı faiz üzerinden 9 yıl sonunda

parasın dönem sonu değeri ne olur?

Cevap: 3 ay,1/4 yıl olduğu için orantılı faiz 0,08/4=0,02 olur.

9 yılda 9x4=36 eşit 3 aylık devre olduğundan

Cn=10.000x1,0236 = 20.398,57 tl

Finansal Matematik

Örnek: 10.000 lira aylık %0,6 ile 10 yıl faizde tutulmak yerine orantılı faiz ile yıllık

devrelere göre faize verilirse kapital kaybı ne olur?

Cevap : aylık devrelere göre Cn = 10,000x1,006120 = 20.511,43

Yıllık devrelere göre, aylık 0,006 nın yıllık orantılı faizi 0,006x12=0,072 olur

Cn= 10.000x1,07210= 20.040

Bu durumda kapital kaybı 20.511,43-20.040=471,43 tl

Finansal Matematik

2.1.4. Denk (Esdeger) faiz Oranı

Bir C0 kapitali, iki farklı devre esasına göre, iki ayrı faiz oranı üzerinden t yıl sonunda

aynı miktar devre sonu değerine (Cn) ulaşırsa bu iki faiz oranlarına denk faiz oranı

denir.

C0(1+r1)t = C0(1+r2)mt

Burada r1 ve r2 denk faiz oranıdır. Formülün her iki tarafı da C0 bölünürse,

(1+r1) = (1+r2)m elde edilir.

Formülün her iki tarafının logaritması alınırsa

log(1+r1) = mlog(1+r2) veya

log(1+r2) = log(1+r1)/m veya

m= log(1+r1) / log(1+r2) elde edilir.

Denk faiz uygulamasında ilgili 3 elemandan ikisi genellikle bellidir,

üçüncüsü yukarıdaki şekilde elde edilir.

Örnek : yıllık %12 nini 6 aylık devre için denk faiz oranı nedir?

(1+r1) = (1+r2)m

(1+0,12) = (1+r2)2

log(1+r2) = (log 1,12)/2 = 0,04922/2=0,02461 (log1,12 = 0.049218)

1+r2 = 1,058293

r2=0,058293 = %5,8

Örnek : aylık %0,8 in yıllık denk faizi nedir?

(1+r1) = (1+r2)m

(1+r1) = (1+0,08)12

log(1+r1) = 12 log 1,008 = 12 x 0,00346 = 0,04152

1+r1 = 1,100325

r1=0,100325 = %10

Finansal Matematik

Verilen bir r oranı için m devre sayısı arttıkça Cn birikmis deg eri de artar. Farklı m deg erlerine

sahip iki ayrı r oranına, aynı zaman sürecinde aynı Cn deg erini veriyorlarsa, bunlara esdeg

er oranlar denir.

Örnek. 10000 TL’nin yıll ık faiz oranı r= 0, 12 oranından m = 1, 2, 4, 12, 52, 365 alt dönemleri

için ayrı ayrı 10 yıl sonra ne kadar olacag ını hesaplayınız.

m : bir yıl içindeki faiz devresi , t= faiz süresi (yıl) tm: faize tabi toplam devre sayısı

rm = r/m = (yıllık faiz/ay) : m alt devreye ait faiz oranı

m t n=mt r/m C0 Cn=C0 (1+ r)tm

1 10 10 0,12 10000 31058,48

2 10 20 0,12 2 10000 32071,36

4 10 40 0,12 4 10000 32620,38

12 10 120 0,12 12 10000 33003,87

52 10 520 0,12 52 10000 33155,30

365 10 3650 0,12 365 10000 33194,62

Örnek. 1 TL ve 1 yıl için asag ıda istenilen denk oranları bulunuz.

a) Yıllık faiz r = %10, 08’e denk gelen aylık faiz r12 =?

1.(1+r12/12)12 = 1. (1+ r1/1)1 1.(1+r12/12)12 = 1+ 0,1008 (1+r12/12) = (1+ 0,1008)1/12 r12 = 12 [(1,1008)1/12 – 1] =0,09642251 = %9,64

b) Dört aylık faiz r4 = %12’ye denk i k i ay l ı k gelen r2 =?

1.(1+r2/2)2 = 1. (1+ r4/4)4 1.(1+r2/2)2 = (1+ 0,12/4)4

(1+r2/2) = (1+ 0,03)2 r2 = 2 [(1,03)2 – 1] =0,1218 = %12,18

c) Anlık faiz r1 = 0,09 denk gelen 4 a y l ı k f a i z r4 =?

1.(1+r4/4)4 = 1.e.r1.1 1.(1+r4/4)4 = e0,09 (1+r4/4) = e0,09/4

r4 = 4 [e0,09/4 – 1] =0,0910201 = %9,10

Finansal Matematik

2.1.5. Kesirli Toplam Dönemler Bilesik faizde faiz uygulanan toplam dönem sayısı tam sayı deg il, kesirli olarak ve-

rilmis ise asag ıdaki metodlar kullanılır.

Teorik Metod: n toplam dönem sayısı kesirli olarak isleme katılır.

Pratik Metod: Birikmis deg eri bulurken ilgili tarihi geçmeyen en büyük tam dönem

sayısı kadar ileriye dog ru bilesik faiz, geriye kalan ve 1 dönem etmeyen kısım için de

ileriye dog du basit faiz uygulanır. Geçmisteki deg eri bulurken ise ilgili tarihi içeren en

küçük dönem kadar geriye dog ru bilesik faiz ile ve daha sonra ilgili tarihe kadar ileriye

dog ru basit faiz uygulanır.

Örnek. 1000 TL’nin 5 yıl 7 ay sonra r2 = %13, 50 oranından deg erini

a) Teorik,

b) Pratik Metod uygulayarak bulunuz.

Finansal Matematik

2

12

a) Cn = 1000, r2 = 0, 1350, t = 5 +7/12 = (67/12) = 67/6, m=2, n=2(67/12)=67/6

C0 = 10000 (1 + 0,1350 ) 67/6 = 2073, 84 TL

b) 5 yıl + 7 ay= 11 tane 6 ay + 1 ay

C0=1000 C11 Cn=C11+(1/12)

Cn = 1000(1 + 0,1350 )11

.(1 + 0, 1350. 1 ) = 2051, 382851.(1 + 0,1350 ) = 2074, 46 TL 2 12 12

Örnek. Y ı l l ı k f a i z r = %10’dan 3 yıl 7 ay sonraki 2800 TL’nin simdiki deg erini

a) Teorik,

b) Pratik Metod uygulayarak bulunuz.

a) Cn = 2800, r = 0, 10, m = 1, n = 3 +7/12 = 43/12

C0 = Cn (1+r)-n = 2800 (1 + 0,10)-43/12 =1989,91 TL

b) 3 yıl + 7 ay= 4 tane 1 yıl - 5 ay

C0 = 2800(1 + 0, 10)−4.(1 + 0, 10. 5 ) = 1992, 12 TL

Finansal Matematik

2.1.6. Faiz Oranının Bulunması

Örnek . Bir yatırım sirketi paranızı 10 yılda 3 katına çıkaracag ını vaadetmektedir.

Buna göre aylık ödemeli bilesik faiz oranı nedir?

C0 = X, Cn = 3X, t = 10, m = 12, tm = 120, r12 =?

Cn = C0 (1 + r ) nm ⇒ 3X= X(1+ r12 )120

m 12

31 / 1 2 0 = 1 + r 1 2 / 12 r12 = 12 ( 31/120 – 1) = 0,1103656 = %11,04

Örnek . 3 yılda %50 deg er artısı getirecek sürekli bilesik faiz oranı nedir?

C0 = X, Cn = 1, 5X, n = 3, r∞ =?

Cn = C0 ern. ⇒ 1, 5X = X.er.3

⇒ ln 1, 5 = 3.r∞. ln e

⇒ r∞ = ln 1,5/3 =%13, 52

Finansal Matematik

m

m = 13,62643323

2.1.7. Zamanın Bulunması Örnek . 2000 TL nin r4 = 0, 10 oranından 800 TL faiz getirmesi için ne kadar

zaman geçer?

Cn = C0 (1+ rm )n, C0 = 2000, r4 = 0, 10, I = 800, m = 4, n =?

Cn = C0 + I = 2000 + 800 = 2800 TL

2800 = 2000(1 + 0,10 )n ⇒ 28 = (1 + 0, 025)n

4 20

1, 4 = 1, 025n ⇒ log 1, 4 = n. log 1, 025

n = log 1,4/log 1,025 = 13, 6264332dönem

n = mt =⇒ t = n /4 = 3, 406608306 yıl

0, 406608306 × 12 = 4, 879299672 ay

0, 879299672 × 30 = 26, 37899016 gün

3 yıl 4 ay 26 gün

Örnek. Bir yatırım aylık ödemeli bir faiz oranıyla 6 yılda 2 katına çıkıyorsa, aynı

yatırımın 3 katına çıkması için ne kadar zaman geçer?

C0 = X, Cn = 2X, t = 6, m = 12, n = 12.(6) = 72

Cn = C0 (1 + i)n =⇒ 2X = X(1 + i)72

1+i = 21/72

3X = X(1 + i)n1

3 = 2n1/72 log 3 = (n1/72) log2 n1 = 72 log3/log2 = 114,1173001 dönem

114,1173001/12 = 9,509775004 yıl

0, 509775004 × 12 = 6, 117300048 ay

0, 11730048 × 30 = 3, 51900144 gün

9 yıl 6 ay 4 gün

Finansal Matematik

2.1.8. Bilesik Faizde Paranın Deger Denklikleri

C-n C0 Cn

Özellikler

1) X, Y, Z para deg erlerini n1, n2, n3 dönemleri göstermek üzere,

C0 Cx Cy Cz

Y = X(1 + i)n2−n1

Z = Y (1 + i)n3−n2

Z = X(1 + i)n2−n1 .(1 + i)n3−n2 = X(1 + i)n3−n1

2) Iki ayrı ödemeler kümesi aynı bir odak tarihinde birbirine denk iseler, bu iki ödemeler

kümesi herhangi bir odak tarihinde de denktir.

Not: Yukarıdaki iki özellik Basit Faiz için geçerli deg ildir.

Örnek. 7 Yıl sonra 2500 TL lik bir borç ödenecek, y ı l l ı k f a i z r = %10,

a) 3 yıl sonundaki,

b) 10 yıl sonundaki denk borcu bulunuz.

Finansal Matematik

12

12

a) X = 2500(1 + 0,10 )−48 = 1678, 58 TL

b) Y = 2500(1 + 0,10 )36 = 3370, 45 TL

Örnek. Bir kisinin 18 ay sonra ödenmek üzere 1000 TL ve 4 yıl sonra ödenmek üzere

1500 TL borcu vardır. r4 = %6 ise bu borçların

a) S imdi,

b) 2 yıl sonra tek bir ödeme ile ödemek kaç TL ile mümkündür?

m = 4 oldug una göre faiz periyodu 3 aydır. S u halde 3 aylık periyot 1 dönem yapar.

a) X = 1000(1 + 0,06 )−6 + 1500(1 + 0,06 )−16 = 2096, 59 TL 4 4

b) Y = 1000(1 + 0,06 )2 + 1500(1 + 0,06 )−8 = 2361, 79 TL 4 4

Finansal Matematik

d(m)

2.2. Bilesik Iskonto

Bileşik iskonto :

İskonto işlemi ters faiz işlemi olarak düşünülebilir.

Cn = C0 (1 + d)n d= yıllık iskonto oranı

İskonto miktarı I = Cn - C0 dır.

Örnek. 37.573,3 lira değerindeki bir senet vade sonuna 5 yıl 3 ay 16 gün kala

yıllık %8 iskonto ile kırdırılırsa peşi,n değeri ne olur?

C0 = Cn (1 + r)-n

3 ay 16 gün = 106 gün, 106/360=0,2944 yıl , n = 5,2944 tür.

Log C0 = log 37573,3 – 5,2944 log 1,08

=4.57488 – 5,2944 (0,03342)

= 4,39794

C0 = 104,39794 = 25.000 lira

Örnek. Sendin vade değeri 40.000 lira olup yıllık %7,3 bileşik iskonto ile

kırdılıp 26.000 lira ele geçmiştir. Senedin vadesini hesaplayınız.

n = (log 40000 – log 26000)/log1,73

=(4,60206 – 4,41497) / 0,03060 = 6,114 yıl = 6 yıl 1 ay 11 gün.

. Bir periyod içinde birden çok yapılan iskonto

d(m) : Yılda m kez yapılan yıllık iskonto oranı,

m : Dönem basına yapılan iskonto oranı

olmak üzere Cn üzerinden hesaplanan iskontolu deg er

C0 = Cn (1 - dm/m)n

şeklinde bulunur. Bu durumda birikmis değer

Cn = Co(1 - dm/m) -n formülü ile hesaplanır.

Finansal Matematik

12

365

Örnek. 2 yıl sonraki 1000 TL’nin iskontolu deg erini

a) d(12) = %12,

b) d(365) = %7 için hesaplayınız.

a) C0 = 1000(1 − 0,12 )2.12 = 785, 68 TL

b) C0 = 1000(1 − 0,07 )2.365 = 869, 35 TL

2.2.1. Senet (bono) değiştirme

Bazı durumlarda, borçlu ve alacaklı anlaşarak borcun ödenmesi

gerekli tarihi ileri veya geriye alarak, mevcut senedi yeni bir senetle

değiştirebilirler. Veya bir borçlunun aynı alacaklıya birden fazla

borcu bulunduğu durumlarda, yine taraflar anlaşarak iki veya daha

fazla borç senedini tek bir senede dönüştürmek isteyebilirler. Veya

belli bir tarihte ödenecek tek bir borcun ödenmesi birden çok farklı

tarihlerde ödenecek senetlere dönüştürülmesi istenebilir. Bu tür

senet değişikliği problemlerinde çözüm senetlerin peşin değerlerinin

eşitliği prensibine dayandırılır.

Sabit (iskonto) faiz oranı ile ;

Cn / (1+r)n = C1 / (1+r)n1 + C2 / (1+r)n2 + … + CL / (1+r)nL

Cn(1+r)-n = C1(1+r)-n1 + C2(1+r)-n2 + … + CL(1+r)-nL

Cn(1+r)-n = ΣCi(1+r)-ni

Cn/(1+r)n = ΣCi/(1+r)ni

Farklı iskonto (faiz) oranı ile

Cn / (1+r)n = C1 / (1+r1)n1 + C2 / (1+r2)n2 + … + CL / (1+rL)nL

Cn(1+r)-n = C1(1+r1)-n1 + C2(1+r2)-n2 + … + CL(1+rL)-nL

Cn(1+r)-n = ΣCi(1+ri)-ni

Cn/(1+r)n = ΣCi/(1+ri)ni formülleri kullanılır.

Değişik vadeli birden çok senet, tek bir senet ile değiştirlirse yeni

sendin vadesine ortak vade denir.

Cn = C1 + C2 + … + CL olarak hesaplanan n ortak vadesine

ortalama vade denir.

Finansal Matematik

Dönemler yıl cinsinden kesirli ise

Bu işlemlerde n yıl cinsinden kullanılır ve kesirli olduğunda kesir kısmı

aya ve güne çevrilerek işlem yapılır.

Cn / (1+r)n = C1 / (1+r)n1 + C2 / (1+r)n2 + … + CL / (1+r)nL

Cn = (1+r)n [ C1(1+r1)-n1 + C2(1+r2)-n2 + … + CL(1+rL)-nL ]

=C1(1+r)n-n1 + C2(1+r)n-n2 + … + CL(1+r)n-nL

= ∑ Ci(1+r)n-ni

(1+r)n =Cn /[ C1(1+r)-n1 + C2(1+r)-n2 + … + CL(1+r)-nL ]

nlog (1+r) =log Cn – log [ C1(1+r)-n1 + C2(1+r)-n2 + … + CL(1+r)-nL ]

n ={log Cn – log [ C1(1+r)-n1 + C2(1+r)-n2 + … + CL(1+r)-nL]} / log(1+r)

elde edilir.

Bu çözümde senet vadeleri farklı ise ni değerleri farklı olduğundan

(1+r) için genel bir çözüm yoktur. Ancak r belirsiz varsayılıp yaklaşık

bir çözüm elde edilebilir. Bu durumda (1+r)-ni değerleri ayrı ayrı

hesaplanıp yerine konularak sonuç elde edilir.

Cn = Σ Ci (1+ri)-ni (1+r)n

Cn =(1+r)n Σ Ci (1+ri)-ni

logCn = nlog(1+r) + log Σ Ci (1+ri)-ni

n = {log Cn – [log ΣCi (1+ri)-ni]} / log (1+r) elde edilir.

Örnek : 50.000 liralık bir senet ödemesi tarihine 6 ay kala vade 5 yıl

uzatılıyor. %9 iskonto oranı üzerinden yeni senet değerini bulunuz.

Cn/(1+r)n = ΣCi/(1+ri)ni

Cn/(1,09)5,5 = 50000 /(1,09)0,5

Cn = 50000 x 1,095

logCn = log 50000 +5 log 1,09

Finansal Matematik

= 4,69897 + 5x0,037 = 4,88612

10logCn = Cn = 104,88612 = 76.934 lira

Örnek : Değeri 15.000 vadesi 4 yıl olan bir senet ile, değeri 35.000

vadesi 6 yıl olan bir senet yerine 8 yıl vadeli bir senet

düzenlenecektir. %6 iskonto oranı ile düzenlenecek yeni senedin

değeri ne olmalıdır?

Cn/(1+r)n = ΣCi/(1+ri)ni

Cn/(1,06)8 = 15000/(1,06)4 + 35000/,06)6

Cn = 15000 x (1,06)4 + 35000 x (1,06)2

X1=1,064

log X1 = 4 log 1,06 = 4 x 0,02531 =0,10124

X1= 1,26256

X2=1,062

log X2 = 2 log 1,06 = 2 x 0,02531

X2= 1,1236

= 15000 x 1,26256 + 35000 x 1,1236 =18938,4 + 39326 = 58264,4 lira

Örnek : Değeri 15.000 vadesi 4 yıl olan bir senet ile, değeri 35.000

vadesi 6 yıl olan bir senet yerine 58.264,4 liralık bir senet verilmiştir. %6

iskonto oranı ile düzenlenecek yeni senedin vadesi ne olmalıdır?

Cn = Σ Ci (1+ri)-ni (1+r)n

n = {log Cn – [log ΣCi (1+ri)-ni]} / log (1+r)

={log 58264,4 –log [15000 x 1,06-4 + 35000 x 1,06-6]} / log 1,06

={log58264,4–log[(15000x(-4)log1,06)+35000x(-6)log1,06)]}/log1,06

={log 58264,4–log[15000x(-4)x0,02531)+35000x(–6)x0,02531)]}/

log1,06

={log 58264,4 –log[15000x[(-0,10124) +35000x (-0,15186)]}/log1,06

Excel çözümü için

={log 58264,4 –log[15000x[1/10^(0,10124)+35000x1/10^0,15186)]}/

log1,06

Finansal Matematik

={log 58264,4 –log[15000x[0,792063)+35000x(0,704929)]}/ log1,06

={log 58264,4 –log[11880,95+24272,21]}/ log1,06

={log 58264,4 –log[36553,16]}/log1,06

={4,765403 – 4,562925}/0,025306

= 20247/2531 = 8,001241 yıl ( 8 yıl 3 gün)

Örnek : Değeri 20.000 vadesi 8 yıl iskonto oranı %9 olan bir senet ile,

değeri 40.000 vadesi 5 yıl iskonto oarnı %7 olan iki senet yerine 6 yıl

vadeli %7 iskonto oranlı bir senet düzenlenecektir. Düzenlenecek

yeni senedin değeri ne olmalıdır?

Cn = Σ Ci (1+ri)-ni (1+r)n

Cn = [20000x1,09-8 + 40000x1,07-5] x 1,076

logCn = [log20000x(-8log1,09) + log40000x(-5log1,07)] x6log1,07

= [4,30103-8x0,03743+4,60206-5x0,02938] x 6x0,02938

= 4,00159+4,45516] x 0,17628

10logCn = Cn= [104,00159 +104,45516]x 100,17628

Cn = [10036,5 +28520,7] x 1,5007 = 57862,8 lira

Örnek : Değeri 70.000 vadesi 10 yıl ve değeri 30.000 vadesi 3 yıl olan

iki senet değeri 100.000 liralık olan bir senet ile değiştiriliyor. %6,8

iskonto oranı ile düzenlenecek yeni senedin vadesi ne olmalıdır?

Cn = Σ Ci (1+ri)-ni (1+r)n

n = {log Cn – [log ΣCi (1+ri)-ni]} / log (1+r)

={log 100000 –log [70000 x 1,068-10 + 30000 x 1,068-3]} / log 1,068

={log100000–log[(70000x(-10)log1,068)+30000x(-3) log1,068)]} /

log1,068

={log 100000–log[70000x(-10)x0,02857+30000x(-3),02857]}/log1,068

Excel çözümü

Finansal Matematik

={log 100000–log[70000x1/100,28570+30000x1/1008571]}/log1,068

={log 100000–log[70000x(0,51796)+30000x(0,8209)]}/log1,068

={log 100000 –log[60884,2]}/log1,068

={5 – 4,78450}/0,02857

= 21550/2857 = 7,543 yıl (7 yıl, 6 ay, 15 gün)

Örnek : Değeri 22.000 vadesi 2 yıl olan bir senet, değeri 30.000

vadesi 8 yıl olan bir senetle değiştiriliyor. Bu işlemdeki iskonto oranı

ne olmalıdır?

Cn/(1+r)n = ΣCi/(1+r)ni

Cn/(1+r)n = C1/(1+r)n1

Cn/C1 = (1+r)n /(1+r)n1

Cn/C1 = (1+r)n-n1

Log Cn – log C1 = (n-n1) log (1+r)

log (1+r) = (log30000 – log22000)/(8-2)

= 0,02245

1+r = 1,05305

r = %5,3

Finansal Matematik

Alıstırmalar

3. Değeri 13000 lira vadesi 4 yı1 7 ay olan senet %8den kırdırılırsa değeri ne

olur?

4. Değeri 18000 lira olan bie senet vadesine 2 yıl kala 15000 değerle

kırdırılırsa iskonto orano ne olur?

5. Bir senet vadesine 3 yıl 3 ay kala %8 den kırdırılıyor, peşin değeri 23000 lira

olabn senedin kırdırılma değeri ne olur?

6. Değeri 25000 lira olan bir senet %6 dan kırdırılıpğ elimize 19000 lira

geçerse vadesi nedir?

7. 5000 liralık bir senet vadesine 3 ay kala vadenin 4 yıl daha uzatılması için

%7 iskonto ile yeni senet imzamanırsa, yeni senet değeri ne olur?

8. 8000 liralık vadesi 6 yıl ve değeri 14000 vadesi 4 yıl olan niki senet, 9 yıl

vadeli yeni bir senetle değiştirlmek isteniyor. %6,5 iskonto orani ile yeni

senet değeri ne olur?

9. 10 yıl vadeli 100000 liralık bir bono borca karşılık 5 yıl kala 50000 ödenmek

İstenirse kalan borcun 10. Yıl sonundaki değeri ne olur? t=0,06 (C.30086)

10. Peşin değeri 150000 lira olan bir mal için bir kimse 5 diğeri 10 yıl sonra

ödenmek üzere eşit değerli iki bono düzenmek isteniyor. İskonto %7

olduğuna göre bono değerini hesaplayınız. (C.122809,6)

11. Bir kisinin simdi 50000 TL borcu var olsun. Bu borcu j1 = 0, 09 oranından

1. ve 2.yıl sonunda X TL esit taksitlerle ödeyeceg ine göre, X nedir?

12. Altı ayda bir ödemeli 0,07 bilesik faiz oranından 200 TL ne kadar

zamanda 350 TL olur?

13. 0,125 sürekli bilesik faiz oranından 3 yılda 25000 TL biriktirmek için

simdi kaç TL’lik yatırım yapmak gerekir?

14. t = 1 ve P = 1 için asag ıda istenen denk oranları bulunuz.

a) d(2) = %6’ya denk olan d(12) =?

b) j12 = %12’ye denk olan d(4) =?

c) j∞ = %9’a denk olan d = d =?