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7/27/2019 115030312-Matematicas-Anaya-Competencias-Basicas-3-ESO

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Material complementariopara el desarrollo

de las competencias bsicasEl desarrollo de las competencias bsicas es uno delos grandes retos de todas las etapas en la educacinobligatoria. Contribuir decisivamente a este desarrolloes uno de los objetivos fundamentales de nuestro pro-yecto.

Coordinador: Carlos MarchenaAutores: Juan Antonio Daz

Cristbal Navarrete


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1 Telepata con nmeros de dos cifrasAccede a la pgina http://descartes.cnice.mec.es/matemagicas/index.htm, pulsa laopcin Magia y haz clic en Telepata.

Realiza varias pruebas. Es magia o es telepata?

Tratemos de averiguar cmo es posible que nos adivinen el pensamiento.

a) Elige varios nmeros de dos cifras, resta la suma de sus cifras y observa qutienen en comn los resultados obtenidos:

NMERO SUMADESUSCIFRAS DIFERENCIAS

92 9 + 2 = 11 92 11 = 81

35

17

88

b) Ahora elige un nmero, resta las suma de sus cifras y observa qu figura de lasde la tabla le corresponde.

Esa misma figura aparece varias veces en la tabla, asociada a distintos nme-ros. Bscalos y antalos. Qu tienen todos esos nmeros en comn?

Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Actividad I. lgebractividad I. lgebra

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

n

1

v

2

i

3

4

5

%

6@

7

8

9

n

10

i

11

Q

1

12

n

13

G

14

@

15

Q

16

%

17

e

18

n

19

20

v

21

p

22

@

23

G2

24

Q

25

i

26

e

27

n

28

29

p30

31

32

33

34

35

e3

36

n

37

G

38

39

v

40

Q

41

%

42

p

43

G

44

e

45

n

46

47

%4

48

Q

49

%

50

@

51

G

52

v

53

54

n

55

56

@

57

58

p

59

5

60

61

p

62

e

63

n

64

65

66

67

Q

68

G

69

70

71

i6

72

n

73

G

74

%

75

i

76

p

77

Q

78

79

v

80

e

81

n

82

v

83

7

84

Q

85

G

86

v87@

88

89

e

90

n

91

92

93

p

94

95

Q8

96

@

97

Q

98

e

99

n

100

101

102

103

104

i

105

Q

106

107

e9


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c) Mara estuvo trabajando con este problema. Despus de pensar mucho, se diocuenta de que al restar al nmero pensado la suma de sus cifras, siempre obtenaun mltiplo de 9. Podra demostrar ella este resultado?

Para hacerlo, tuvo en cuenta (porque necesita utilizarlo) que la descomposicinpolinmica de un nmero de dos cifras xy es 10x+y. Observa:

NMERODESCOMPOSICIN

POLINMICA

SUMADESUSCIFRAS DIFERENCIAS

92 9 10 + 2 9 + 2 92 (9 + 2) = 81

29 2 10 + 9 2 + 9 92 (2 + 9) = 18

xy 10x+y

yx

Acaba t su demostracin completando la tabla.

2 Telepata con nmeros de tres o ms cifrasSi se desea hacer el mismo truco de magia con nmeros de tres cifras,

a qu nmeros habra que colocar el mismo smbolo en la tabla? Tra-temos de averiguarlo utilizando el procedimiento anterior.

a) Cul sera la descomposicin polinmica de un nmero de trescifras, xyz? Completa la siguiente tabla:

NMERODESCOMPOSICINPOLINMICA

SUMADESUSCIFRAS DIFERENCIAS

321 3 100 + 2 10 + 1 3 + 2 + 1 = 6 321 6 = 315

845 8 100 + 4 10 + 5

927

xyz

zxy

b) Observa los resultados obtenidos en la ltima columna. Tienen alguna relacin?

c) Podras demostrar que si a un nmero de tres cifras se le resta la suma de suscifras se obtiene un mltiplo de 9?

d) Se podra generalizar el resultado para cualquier nmero? Justifica tu respuesta.


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1 Un impuesto, el IVAMara, que quiere comprar un vehculo, haido a dos concesionarios y le han hecho dosofertas que le han sorprendido:

r&OFMDPODFTJPOBSJPCARS, el coche quele interesa cuesta 15 000 . Le hacen undescuento del 10% y, posteriormente, leaaden el IVA.

r&OFMDPODFTJPOBSJPAUTOS, el precio delvehculo es el mismo, pero primero le aa-den el IVA y posteriormente le descuentan,

tambin, un 10%.

a) El porcentaje de IVA que hay que aadira cada producto no siempre es el mismo.Busca qu significan las siglas IVA y ela-bora una tabla indicando el porcentaje deIVA que hay que aadir segn el tipo deproducto.

TIPOIVA PORCENTAJEDEINCREMENTO BIENOSERVICIO

Superreducido

Reducido

General

b) Calcula el precio de los siguientes artculos, con el IVA correspondiente incluido:

ARTCULO PRECIOSINIVA PRECIOCONIVA

Aspirinas 1,70

Perfume 40

Billete de tren 25

Barra de pan 0,60

Libro 19,50


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Actividad II. Porcentajesctividad II. Porcentajes


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c) Calcula, sin utilizar la calculadora, cunto tendra que pagar Mara por el vehculoen cada concesionario.

d) Realiza los mismos clculos utilizando la calculadora. Ten en cuenta que:

Para aadir un n% de porcentaje, debes teclear:

15 000*n%+=

Para restar un n% de porcentaje, debes teclear:

15 000*n%-=

r$PODFTJPOBSJP$"34

15 000*10%-=* IVA%+=

r$PODFTJPOBSJP"6504

Obtienes los mismos resultados que en el clculo anterior?

e) Qu es preferible para Mara, que le apli-quen primero el descuento y despus elimpuesto, o al revs?

f) El IVA es un impuesto que el concesionariodebe pagar a Hacienda. Qu concesiona-

rio pagar mas dinero, en concepto de IVA,por la venta de dicho vehculo?

g) Para el concesionario, qu es mejor, aplicar primero el descuento y despus elimpuesto o al revs?


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2 DescuentosEn un supermercado hemos encontrado las siguientes ofertas:

r--7&4&53&4:1"(6&%04

r$0.13&53&4:-&3&("-".046/0

r$0.13&6/0:-&%&4$0/5".046/

a) Qu porcentaje de descuento sobre un producto se aplica en cada caso?

b) Qu oferta te parece ms ventajosa?

3 El 0,7% del PIB

Existen asociaciones que piden que los pases desarrollados destinen el 0,7% de suProducto Interior Bruto (PIB) a ayudas a pases en vas de desarrollo.

a) Qu es el PIB?

b) A qu compromiso han llegado los pases desarrollados actualmente?

c) Qu cantidad destina Espaa, actualmente, a ayudas a pases en vas de desarrollo?

d) En 2008, el PIB de Espaa fue de 1 396 881 millonesde dlares. Qu cantidad habra destinado Espaa alos pases en vas de desarrollo si hubiese concedidoese 0,7% de su PIB?


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1 Representacin grfica de una funcin

Para representar grficamente una funcin en los ejes cartesianos, podemos cons-truir una tabla de valores. Por ejemplo:

y = 3x 4

Vamos a utilizar la herramienta WIRIS para representar funciones. Para ello, accedea la pgina:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/es/index.html

r&OMBQFTUBB , pulsa la opcin .

r&OFMFTDSJUPSJPBQBSFDFSdibujar( )

r&OUSFMPTQBSOUFTJTTFEFCFFTDSJCJSMBGVODJORVFEFTFBSFQSFTFOUBS1PSFKFNplo: dibujar(y=3x-4)

r1PTUFSJPSNFOUFIB[DMJDTPCSFFMTNCPMP ; obtendrs la siguiente recta:dibujar(y=3x-4)

Representa con WIRIS las grficas correspondientes a las siguientes funciones:


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Actividad III. Wirisctividad III. Wiris

y = 3

X Y

0 4

1 1

2 2

1 7

Figura 1


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a)y= 3x+ 4

b)y= 5

c) y=x2 5x+ 6

d)y= x2 + 4

e)y= x

3

+ 4x

f) y=x4 5x2 + 4

Observa que a medida que crece el grado del polinomio, crece tambin el nmero dedobleces de su representacin grfica.

2 Representacin grfica de varias funciones

Con WIRIS tambin se pueden representar las grficas de dos o ms funciones enlos mismos ejes cartesianos. Para ello, basta con escribir las expresiones analticasde las funciones entre llaves y separadas por comas. Aqu tienes dos ejemplos:

Representa en los mismos ejes cartesianos las siguientesfunciones:

a)y=x e y= x

b)y=x+ 1 e y= 3x 7

c)y= x2 + 9 e y=x+ 3

d)y=x2 2x e y= x2 + 4

dibujar({y=3x-4,y=x2-4})

dibujar({y=x2-x-2,y=x2 -4,y=x2})

Figura 2

Figura 3


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3 Resolucin de ecuaciones y sistemas

Para hallar el punto en el que se cortan dos funciones que vienen dadas por sus ex-presiones analticas, sera necesario resolver el sistema de ecuaciones que forman.

WIRIS es una potente herramienta que permite resolver todo tipo de ecuaciones

y sistemas. Para resolver un sistema, debemos pinchar en la pestaa

la opcin , indicar el nmero de ecuaciones, escribirlas y presionar el

smbolo .

Para hallar, por ejemplo, el punto de corte de las funciones de la Figura 2 habra queescribir:

Obtendremos como soluciones: ,

que son los puntos del plano (0, 4) y (3, 5).

Para resolver una ecuacin, en la misma pestaa , debemos pinchar en la

opcin . Por ejemplo, para la ecuacin x2 6x+ 8 = 0, obtendremos

como soluciones: {{x= 2},{x= 4}}.

a) Calcula los puntos de corte de las grficas de estas funciones:

I. y=x e y= x

II. y=x+ 1 e y= 3x 7

III. y= x2 + 9 e y=x+ 3

IV. y=x2 2x e y= x2 + 4

b) Resuelve las siguientes ecuaciones y sistemas:

I.2x

5+

3x

2

7

10=

3x

4

13

20

II.2x 5

4=

x 5

8

III. 2x 3y= 63x 3y= 2

IV.2y

5

x

3=

1

15

15x 15y= 2


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La probabilidad es una manera de medir el azar. La probabilidad de que ocurra un suceso

es igual al nmero de casos favorables a ese suceso dividido entre el nmero de casosposibles.

Por ejemplo, si en una clase en la que hay 10 nios y 15 nias se hace un sorteo, la

probabilidad de que el premio le toque a un nio es10

25=

2

5, y la de que le toque a una

nia,15

25=

3

5.

1 Dados y fraccionesMiguel y Julia estn enfrascados en una discusin sobre proba-bilidad. El experimento consiste en lanzar dos dados y formar

una fraccin propia (esto es, menor que la unidad) con los n-meros obtenidos. As, por ejemplo, si se obtienen los nmeros 2

y 6 se formara la fraccin2

6.

Miguel dice que lo ms probable es que se obtenga una fraccinreducible. Sin embargo, Julia asegura que lo ms probable es quesea irreducible. Quin de los dos lleva razn?

a) Construye una tabla con los distintos resultados que se puedenobtener.

b) Simplifica las fracciones obtenidas.

c) Calcula la probabilidad de obtener una fraccin irreducible y la de obtener unafraccin reducible.


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Actividad IV. Probabilidadctividad IV. Probabilidad

NUMERADOR

1 2 3 4 5 6

DENOMINADOR

1

2

3

4

5

6


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2 Cumpleaos felicesTres amigas se encuentran en el parque.

Mara presume de su fecha de nacimiento, ya queninguno de sus dgitos se repite en ella. Naci el23 de abril del ao 1967 (23-04-1967).

Ana comenta que es ms especial la fecha de na-cimiento de su hija Violeta, ya que fue un 29 de

febrero, concretamente el 29-02-2004.

Teresa dice que el caso ms singular es el de suhijo Alberto, ya que la fecha de nacimiento de su hijo forma un nmero capica. Al-berto naci el 10 de febrero de 2001 (10-02-2001).

Despus de mucho discutir, llegaron a un acuerdo: deberan calcular cul de los trescasos tiene mayor probabilidad de que ocurra durante los prximos diez aos (desdeel 1 de enero de 2011 al 31 de diciembre de 2020).

Podras ayudarlas?

r 7FBNPTQSJNFSPFMDBTPEF7*0-&5"a) Averigua qu condicin deben cumplir los dgitos de un ao para que sea bi-

siesto.

b) Cuntos aos bisiestos hay entre 2011 y 2020, ambos incluidos?

c) Cul es la probabilidad de nacer un 29 de febrero entre las fechas indicadas.

r &MDBTPEF"-#&350FTGDJM

d) Cuntos nmeros capicas de dos cifras existen?

Y de tres cifras?

Y de cuatro cifras?

e) Un nmero capica de ocho cifras se puede formar uniendo dos nmeros decuatro cifras: ABCDDCBA

Si sustituyes DCBA por los posibles aos entre 2011 y 2020, rpidamente po-drs formar todos los nmeros capicas que buscas.


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f) Cul es la probabilidad de que la fecha de nacimiento forme un nmero capi-ca?

g) Busca en la Wikipedia el significado de la palabra palndromo. Pon ejemplos depalndromos no numricos como los siguientes:

All ves Sevilla

Amor a Roma

Dbale arroz a la zorra el abad

r &MDBTPEF."3"QBSFDFDPNQMJDBEP

h) Si empiezas probando por el ao e intentas completar la fecha aadiendo elmes, te dars cuenta, rpidamente, del resultado.

Cul es la probabilidad de que la fecha de nacimiento tenga todos los dgitosdistintos?


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1 Estados de nimoMara acostumbra a hacer una representacin grfica de su estado de nimo a lolargo del da, y compararlo con el de otros das. Las siguientes grficas representanel estado de nimo de Mara durante los cinco das de la semana pasada, desde quese levanta a las 8 de la maana hasta que se acuesta a las 9 de la noche, aproxima-damente. El estado de nimo lo tiene tabulado de 0 a 10.

r-6/&4&MMVOFTTFMFWBOUUSJTUFQPSRVFIBCBQBTBEPVOCVFOGJOEFTFNBOBZno tena ganas de ir al instituto y, mucho menos, de madrugar. Cuando lleg alinstituto se encontr a sus amigas y se alegr algo. Comenzaron las clases, quefueron un poco aburridas, y, por fin, lleg el recreo. Despus del recreo las clasesfueron ms amenas, ya que eran sus favoritas: Plstica, Matemticas y Msica.La tarde la pas estudiando y se acost un poco cansada.

r."35&4&MNBSUFTUVWPFYBNFOBQSJNFSBIPSBMFTBMJQFSGFDUP&TUBCBEFTFPsa de llegar a casa y contrselo a sus padres. Por la tarde estuvo en natacin, yse acost un poco ms tarde de lo habitual, ya que sus padres la dejaron ver suserie favorita.

r.*3$0-&4&MNJSDPMFTWJTJUBSPOVONVTFP"MHVOPTDPNQBFSPTTFQPSUBSPOmal en la sala de exposiciones y se enfad un poco. La Historia nunca haba sidouna de sus asignaturas favoritas, pero las explicaciones del profesor le parecieronmuy interesantes. Despus almorz con sus compaeros en una pizzera. Se lopas genial. Por la tarde descans un poco antes ponerse a estudiar, tena quepreparar el examen del jueves, adems de hacer las tareas.

r+6&7&4&MKVFWFTQBTUPEB MBNBBOBCBTUBOUFOFSWJPTBZBRVFFMFYBNFOera a ltima hora. Durante el recreo estuvo repasando en la biblioteca del centroy durante la penltima hora el profesor la llam al orden porque andaba bastantedespistada en clase. El examen, como se tema, no le sali muy bien. Por la tardefue de nuevo a natacin y estuvo ayudando a su hermana con los deberes. Antesde acostarse record que no haba terminado un trabajo de Ciencias que tena queentregar al da siguiente. Le dieron las once.


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Actividad V. Grficasctividad V. Grficas

A B

C D


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r7*&3/&4*OWFOUBVOBTJUVBDJOQBSBFTUFEB

a) Asocia una grfica a cada da de la semana y construye una para el viernes.

b) A qu crees que se debe que unas grficas corten al eje de abscisas antes queotras?

c) Mirando las grficas de forma global, qu da crees que estaba Mara ms ani-mada? Y qu da estaba menos animada?

d) En la grfica C hay un mximo absoluto. A qu acontecimiento se debe?

e) Dibuja tres grficas que representen, aproximadamente, tu estado de nimo enlos tres ltimos das y comntala con tus compaeros.


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f) Dibuja una grfica que represente tu estado de nimo durante el ltimo fin desemana. Existe mucha diferencia con las grficas de los das lectivos?

g) Las siguientes grficas representan el estado de nimo de varias personas. Rea-liza un breve resumen de cmo ha sido su da.

Una de ellas no tiene sentido. Cul es?

h) Asocia una de estas expresiones analticas a cada una de las funciones del apar-tado anterior:

A.y=k B.y= ax+ b, a > 0 C.y= ax+ b, a > 0

D.y= ax2 + bx+ c, a > 0 E.y= ax2 + bx+ c, a > 0

i) Las siguientes grficas corresponden al estado de nimo de dos personas dife-rentes a lo largo de cierto da:

Si representasen tu estado de nimo, cul de las dos preferiras?

I II III

IV V VI

A

B


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1 Paseos por el roAntonio tiene que llevar agua, todos los das, a la cuadra.Para ello debe ir, primero, desde su casa al ro a cogerlay, posteriormente, desde el ro a la cuadra.

La situacin es la que ves a la derecha.

En qu punto del ro debe coger el agua para que el camino sea lo ms corto po-sible?

Intentaremos resolver el problema grficamente, viendo las distintas posibidades ymidiendo.

a) Representa la situacin en unos ejes cartesianos: el ro ser el eje de abscisas(OX), la casa estar en el punto A(0, 4) del eje de ordenadas y la cuadra, en elpunto B(7, 3).

b) Como todos sabemos, el camino ms corto entre dos puntos es una lnea recta.

Imagina que el agua del ro puede cogerla en los puntos en los que las coordena-das son enteras. Mide las distancias desde cada uno de esos puntos a la casa ya la cuadra. Smalas.

Cul de los resultados es el menor?

c) Resuelve nuevamente el problema, pero sin utilizar una regla para medir: cons-truye tringulos rectngulos y usa el teorema de Pitgoras para calcular la distan-

cia entre cada dos de esos puntos.


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Actividad VI. Geometractividad VI. Geometra

CASA

CUADRA

RO

PUNTO DISTANCIAA A DISTANCIAA B DISTANCIATOTAL

(0, 0)

(1, 0)

(2, 0)

(3, 0)

(4, 0)

(5, 0)

(6, 0)

(7, 0)


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d) Vamos a tratar de resolver el problema utilizando simetras y lgebra.

r &TDSJCFMBTDPPSEFOBEBTEFMTJNUSJDPEFMQVOUPB (7, 3) respecto al eje de abs-cisas OX. Lo llamaremos B'.

r $BMDVMBVUJMJ[BOEPFMUFPSFNBEF1JUHPSBTMBEJTUBODJBEFMQVOUPA al puntoB'. Comprueba que el resultado es el mismo que has obtenido anteriormente.

r $BMDVMBMBFDVBDJOEFMBSFDUBRVFQBTBQPSMPTQVOUPTA y B', que tendr unaexpresin de la forma y= ax+ b. Para obtener los valores de a y b, sustituyelas coordenadas de los puntos A y B' en dicha expresin.

r $BMDVMBMBJOUFSTFDDJOEFMBSFDUBRVFQBTBQPSAB' con el eje OX. Para ello,

resuelve el sistema que forman sus ecuaciones. Obtienes la misma solucin?

2 Simetra en la naturalezaLa simetra est presente en la naturaleza. Busca ejemplos en los que estpresente, en el mundo animal, en el vegetal o en el mineral.

PUNTO DISTANCIAA A DISTANCIAA B DISTANCIATOTAL(0, 0)

(1, 0)

(2, 0)

(3, 0)

(4, 0)

(5, 0)

(6, 0)

(7, 0)

B'

B

B'

B

A


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1 SupermercadoJuan, cuando va al supermercado, se fija en los precios de muchos artculos y sepregunta las cosas ms insospechadas. En la tabla se indican los precios y caracte-rsticas de algunos productos que anot el ltimo da que fue al supermercado:

a) Compara los precios que ha anotado Juan con los de otros supermercados.Existe mucha diferencia de precios? Si no tienes un supermercado a mano,puedes buscar dichos precios a travs de internet.

b) Podras ayudarle con las siguientes cuestiones?

ry$VOUPDVFTUBVONFUSPEFQBQFMIJHJOJDP

ry$VOUPDVFTUBVOMJUSPEFQBTUBEFEJFOUFT

ry$VOUPDVFTUBVOBHBMMFUB


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Actividad VII. Proporcionalidadctividad VII. Proporcionalidad

PRODUCTO PESOOCONTENIDO PRECIOPapel higinico 6 rollos (30 m aprox. cada uno) 1,85

Pasta de dientes 75ml 2,50

Agua mineral sin gas 33 cl 25 cnt.

Agua mineral sin gas 50 cl 30 cnt.

Agua mineral sin gas 1,5l 55 cnt.

Agua mineral sin gas 5l 1,20 Galletas 800 g (50 galletas aprox.) 2,20

Suavizante concentrado 1,5l (50 lavados) 2,15

Suavizante diluido 3l(30 lavados) 2,20

Arroz 1 kg 1,20

Gel 750ml 1,70

Naranjas de zumo 5 kg 2,90


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c) Cmo sale ms barato, comprar agua mineral sin gas, en botellas de 33 cl, enbotellas de 50 cl, en botellas de litro y medio o en botellas de 5 litros? Qu dife-rencia habra de precio, en cada caso, si comprramos 60 litros de agua?

d) Es, en realidad, ms econmico comprar un suavizante concentradoque diluido?

e) Para resolver las siguientes cuestiones tendrs que hacer clculos aproximados.

ry$VOUPDPTUBSVOHSBOPEFBSSP[

ry$VOUPDPTUBSVOWBTPEF[VNPEFOBSBOKBTSFDJOFYQSJNJEBT

ry$VOUPDPTUBSFMHFMRVFVUJMJ[BTFOVOCBPPEVDIB

LITROSDEAGUA CAPACIDAD

NMERODEBOTELLAS

PRECIOPORBOTELLA

TOTAL

60 0,33l

60 0,50l

60 1,5l

60 5l


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1 Cuadrados perfectosMara propuso un reto a su profesor de Matemticas:

r 2VJUBOEPTPMBNFOUFVOBDFSJMMBEFFTUBGJHVSBEFCFTconseguir un cuadrado perfecto.

r &TP FT JNQPTJCMF SFTPQM FMQSPGFTPS QFSP TFQVTPmanos a la obra.

r 5BOTPMPUFOFNPTDFSJMMBTCBTUBSBDPOJSQSPCBOEPuna a una hasta agotar todas las posibilidades.

Antes de seguir leyendo, toma t cinco cerillas, colcalas como se indica en el dibujoe intenta conseguir un cuadrado perfecto quitando una de ellas.

El profesor no consigui construir un cuadrado. Aqu tiene los distintos resultadosque obtuvo:

Mara le coment que haba truco:

r -PRVFTFQVFEFDPOTUSVJSFTVORVFFTVODVBESBEPQFSGFDUPDPODSFUBNFOUFFMcuadrado de 2. Observa la tercera figura.

Tras esto, el profesor le propuso a Mara nuevos retos:

a) Cuntos cuadrados perfectos hay entre los nmeros 1 900 y 2 100?

b) Si una persona contaba con x aos de edad en el ao x2, qu edad tena en1985?

Para resolver el problema puedes utilizar los resultados obtenidos en el problemaanterior, pero ten en cuenta que la persona debe seguir viva en 1985. Por ejemplo:

r1PESBUFOFSBPTFO2, pero no seguira viva en 1985.

r5BNCJOQPESB UFOFSBPTFOFMBP2, pero no habra nacidoantes de 1985.


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Actividad VII. Teorema de Pitgorasctividad VII. Teorema de Pitgoras


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2 Terna pitagricaObserva que la terna de nmeros 3, 4 y 5 son naturales y cumplen el teorema dePitgoras: 52 = 32 + 42.

Por este motivo se la llama terna pitagrica.

a) Escribe otras ternas pitagricas.

b) Existe alguna relacin entre la terna 3, 4 y 5 y las ternas que has obtenido?

c) Dibuja un tringulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm. Qu tipo de tringuloobtienes?

d) Dibuja otro tringulo cuyos lados midan lo mismo que otras ternas que hayasobtenido. Existe alguna relacin entre los tringulos construidos?

3 Mi extraa habitacinNecesito pintar el suelo y las paredes de mi dormitorio, que tiene una plantacomo figura en el dibujo. Hechas todas las mediciones necesarias y habin-dome informado de los precios de los materiales para pintar, tengo todosestos datos:

r-BBMUVSBEFMBIBCJUBDJOFTEFN

r)BZVOBWFOUBOBRVFNJEFNN

r-BQVFSUBUJFOFNEFBODIPZNEFBMUVSB

r-BQJOUVSBOFDFTBSJBQBSBQJOUBSVONFUSPDVBESBEPDVFTUB.Cunto me costar pintar la habitacin, techo incluido?

4 Msica y matemticasLa Matemticas estn ms presentes en la vida cotidiana de lo quete imaginas. Por ejemplo, en la msica. Busca informacin sobre estetema.

3,25 m

4,75 m2m


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1 Mosaicos y cenefasUn mosaico es un recubrimiento del plano mediante figuras geomtricas. Un mosai-co puede superponerse en s mismo mediante distintos movimientos: traslaciones,giros o simetras.

a) Busca mosaicos que encuentres a tu alrededor y dibjalos sobre una cuadrcula.

b) Un mosaico regular es aquel que est formado por un nico tipo de polgonoregular.

Investiga, dibujando, qu polgonos regulares rellenan el plano.

c) Demuestra que, entre los polgonos regulares, solo los tringulos, los cuadradosy los hexgonos llenan el plano.

d) Completa la siguiente tabla con el valor de los ngulos interiores de los polgonosregulares que tienen el nmero de lados indicado:

e) Un mosaico semirregular es aquel que est formado por dos o ms tipos depolgonos regulares.

Dibuja sobre papel cuadriculado algunos mosaicos semirregulares. Aqu tienes,como ejemplo, algunas piezas compuestas por dos tipos de polgono regular.


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Actividad IX. Geometractividad IX. Geometra

POLGONOREGULAR(N. DELADOS) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15

NGULOINTERIOR(GRADOSSEXAGESIMALES) 60 90


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f) Un mosaico irregular es aquel que est formado por polgonos irregulares.

Dibuja, en un papel cuadriculado, algunos ejemplos de mosaicos construidos conpolgonos no regulares. Observa aqu algunos ejemplos:

g) Algunos mosaicos irregulares estn formados a partir de polgonos regulares:

Estudia cmo se han obtenido los siguiente mosaicos a partir de polgonos regulares:


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h) Clasifica los mosaicos que aparecen en las siguientes fotografas tomadas en elReal Alczar de Sevilla y en la Alhambra de Granada.

A

C

E

G

I

B

D

F

H

J


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1 CalificacionesLas notas que obtuvieron los alumnos de 3. ESO A de cierto instituto en el ltimoexamen de Matemticas fueron las siguientes:

a) Halla el valor de x sabiendo que, en total, hay 25 alumnos y alumnas en la clase.

b) Calcula su nota media.

c) Cul es la calificacin ms repetida entre los alumnos de dicha clase?

d) Qu tanto por ciento de personas han aprobado el examen?

e) Mara est satisfecha porque la mitad de la clase obtuvo menor o igual nota queella, aunque la otra mitad obtuvo mayor calificacin o igual. Cul es la nota deMara?

f) Halla el tanto por ciento de alumnos y alumnas que obtuvieron notable o sobre-saliente.


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Actividad X. Estadsticactividad X. Estadstica

NOTASENMATEMTIACS FRECUENCIAABSOLUTA

Insuficiente(tomar como valor, 2) xSuficiente (tomar como valor, 5) 7

Bien (tomar como valor, 6) 2x

Notable (tomar como valor, 7) 5

Sobresaliente (tomar como valor, 9) 1


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g) Si el profesor ha decidido subir un punto a todos los alumnos de la clase por buencomportamiento, cul ser la nueva nota media? Y el porcentaje de aproba-dos?

h) Elige el grfico que te parezca ms adecuado y representa los datos anteriores.

2 Ms calificacionesLas siguientes grficas representan las notas finales de Matemticas que obtuvieron

los alumnos de 3. ESO A, 3. ESO B, 3. ESO C y 3. ESO D del mismo instituto enel curso 2008-2009.

a) Qu grupo tiene mejor nota media? Qu grupo tiene la media ms baja?

b) En qu grupo estn los alumnos que sacaron en dicho examen las mejores notas?

c) Qu grupo de los anteriores posee un nivel ms homogneo en matemticas?

d) En qu grupo o grupos hay un nivel ms disperso en cuanto a las calificacionesde matemticas?

INSUFICIENTE

SUFICIENTE

BIEN

NOTABLE

SOBRESALIENTE

3. ESO A

2

4

6

8

10

3. ESO B 3. ESO C 3. ESO D


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3 Calificaciones de tus compaerosRealiza una encuesta a tus compaeros sobre las calificaciones que obtuvieron enel ltimo examen de Matemticas.

a) Haz una representacin grfica de dichos resultados.

A qu grupo de los anteriores se aproxima ms?

b) Imagina que uno de tus compaeros ha obtenido en sus ltimos exmenes deMatemticas y Ciencias estas calificaciones:

r4FFYBNJOBEF.BUFNUJDBTZPCUJFOFVOy2VOPUBFTQFSBSTBDBSFOCiencias si sigue la tendencia de los ltimos exmenes?

ry1PESBTPCUFOFSVOBGSNVMBRVFSFMBDJPOFTVTDBMJGJDBDJPOFTFO.BUFNUJDBT(x) con sus calificaciones en Ciencias (y)?

MATEMTICAS 5,25 6 6,5 5 7,25

CIENCIAS 5,75 6,5 7 5,5 7,75


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1 Un acertijoTe proponemos el siguiente acertijo:

Piensa un nmero, smale 5, resta 3, suma 10, resta 9, suma 8,resta 4, resta el nmero que habas pensado al principio.

Si no te has confundido, el resultado es 7.

a) Se obtendr siempre el mismo resultado? Comprubalo con otros nmeros.

b) Demuestra matemticamente que siempre se obtiene 7. Para ello, llamax al n-mero que se piensa y efecta las operaciones indicadas.

2 Acertijosa) Piensa un nmero, smale 5, resta 2, multiplica por 2, suma

6, divide entre 2, resta el nmero que habas pensado alprincipio.

Cul es el resultado? Comprueba que siempre se obtieneel mismo resultado y demustralo matemticamente.

b) Piensa un nmero, smale 8, resta 5, multiplica por 3, resta 6, divide entre 3, restael nmero que habas pensado al principio.

Cul es el resultado? Comprueba que siempre sale el mismo resultado y de-mustralo matemticamente.


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Actividad XI. lgebractividad XI. lgebra


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c) Piensa un nmero, smale 5, resta 1, suma 8, resta 4,suma 3, resta 2, resta el nmero que habas pensado alprincipio y halla la raz cuadrada del resultado obtenido.

Cul es el resultado? Comprueba que siempre se obtie-ne el mismo resultado y demustralo matemticamente.

d) Inventa un acertijo y propnselo a tus compaeros (cuida que el resultado siem-pre sea el mismo y no dependa del nmero que se haya pensado).

3 Acertijos a la inversaa) Mara le propuso a su profesor hacer el juego a la inversa: plantear primero una

igualdad matemtica y, a partir de ella, enunciar el acertijo. Cul sera el enun-ciado de este acertijo y cul es el resultado que siempre obtendremos?

(5 x+ 3 1 + 4 1) : 5 x

b) Cul sera el enunciado y el resultado del siguiente acertijo?

6 x 5 + 2 x 2 + 3

4+ 1 2 x


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4 Lenguaje algebraicoa) Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones:

I. El doble de un nmero ms su tercera parte es ocho.

II. La mitad de un nmero menos su doble es veinticuatro.

III. El cuadrado de un nmero menos quince unidades es igual al doble de dichonmero ms una unidad.

IV. La raz cuadrada de un nmero ms la mitad de dicho nmero es doce.

b) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones o frmulas:

I. La densidad de un cuerpo en funcin de su masa y el volumen que ocupa.

II. La velocidad de un mvil en funcin del espacio recorrido y el tiempo empleado.

III. Frmula para calcular el ndice de masa corporal.

IV. Relacin entre un kilobyte y un gibabyte.

V. Volumen de un prisma.


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209

1 TangramEl tangram es un puzzle construido a partir de un cua-drado. Busca el origen de este entretenido pasatiempoy construye uno sobre una cartulina.

a) Existe alguna relacin entre el rea de las figurasque componen el tangram?

b) Qu fraccin, con respecto al rea total, corresponde a cada figura?

c) Tengo un pequeo tangram cuya rea total es de 36 cm2. Cul es el rea decada pieza?

d) Mi amigo Mario tiene un tangram, y el lado de su figura n. 4 mide 4 cm. Cul esel rea de cada una de sus piezas?

e) Mi amiga Mara se acaba de comprar un tangram. El lado del cuadrado completomide 8 cm. Cul es el permetro de cada figura?


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Actividad XII. Fraccionesctividad XII. Fracciones

1

2

4

5

6

73

FIGURA

FRACCIN

FIGURA

REA (cm2)

FIGURA

REA (cm2)

FIGURA

PERMETRO


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f) Existe alguna relacin entre los permetros que has calculado anteriormente?

g) Intenta construir alguna de las siguientes figuras (no olvides que debes utilizar lassiete piezas del tangram).

h) Calcula el rea y el permetro de las figuras anteriores. Podras sacar algunaconclusin?

i) Si el lado del cuadrado grande de un tangram mide xcm, calcula el rea de todasla figuras en funcin de x.

j) Conocido el permetro y el rea de una de las figuras del tangram, se podraobtener el rea y el permetro del resto de las figuras?

k) Construye sobre una cartulina un nuevo modelo de tangram. Puedes utilizar cual-quier figura, geomtrica o no. No olvides dibujar las propuestas y sus soluciones.Aqu tienes un ejemplo, el cardio tangram.

l) Podras construir un puzzle para demostrar el teorema de Pitgoras?

x

x

1

2

4

5

6

73


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Actividad I

1 Telepata con nmeros de dos cifrasa)

Los resultados obtenidos son, todos, mlti-plos de 9.

b) Los nmeros son el 0 y los mltiplos de 9:

0 - 9 - 18 - 27 - 36 - 45 - 54 - 63 - 72 - 81 - 90 - 99

c)

2 Telepata con nmeros de tres o ms cifrasa)

b) Son, todos ellos, mltiplos de 9.

c) 100x+ 10y+z (x+y+z) = 99x+ 9y== 9 (11x+y)

d) S, porque siempre se obtiene un mltiplode 9. Por ejemplo, con nmeros de cuatrocifras xyzt:

1 000x+ 100y+ 10z + t (x+y+z + t) =

= 999x+ 99y+ 9z = 9 (111x+ 11y+z)

Actividad II

1 Un impuesto, el IVAa) IVA, Impuesto sobre el Valor Aadido.

b)

c) CARS: 15 000 1 500 + 2 160 = 15 660

AUTOS: 15 000 + 2 400 1 740 = 15 660

d) Se obtienen los mismos resultados.

x+ 0,16x 0,10(x+ 0,16x) == 1,16x 0,116x= 1,044x

x 0,10x+ 0,16(x 0,10x) == 0,90x+ 0,144x= 1,044x

d) Para Mara es indiferente.

e) El concesionario AUTOS, porque tiene queaplicarlo a una cantidad mayor.

f) Para el concesionario es mejor aplicar pri-mero el descuento.

2 Descuentosa) LLVESE TRES Y PAGUE DOS. El des-

cuento sobre cada producto es del 33,33%.

COMPRE TRES Y LE REGALAMOS UNO.El descuento en cada producto es del 25%.

COMPRE UNO Y LE DESCONTAMOS UN

30%. Descuentan en cada producto un 30%.b) La oferta ms ventajosa es la primera, siem-

pre que necesitemos comprar tres produc-tos. Si solo necesitsemos comprar uno,nos convendra la tercera.

3 El 0,7% del PIBa) El producto interior bruto, PIB, es el total de

la produccin de un pas en bienes y servi-cios durante un ao.

b) El acuerdo es destinar un 0,56% en 2010,

con el objetivo de llegar al 0,7% en 2015.c) Aproximadamente, 6 690 millones de dlares.

d) El 0,7% de 1 396 881 millones de dlares es9 778 millones de dlares.

Actividad III

1 Representacin grfica de una funcina)

a)NMERO SUMADESUSCIFRAS DIFERENCIA

92 9 + 2 = 11 92 11 = 81

35 3 + 5 = 8 35 8 = 27

17 1 + 7 = 8 17 8 = 9

88 8 + 8 = 16 88 16 = 72

b)b) ARTCULO PRECIOSINIVA PRECIOCONIVAAspirinas 1,70 1,77

Perfume 40 46,40

Billete de tren 25 26,75

Barra de pan 0,60 0,62

Libro 19,50 20,87

c)NMERO

DESCOMPOSICINPOLINMICA

SUMADESUSCIFRAS

DIFERENCIA

92 9 10 + 2 9 + 2 92 (9 + 2) = 81

29 2 10 + 9 2 + 9 29 (2 + 9) = 18

xy 10x+y x+y 10x+y (x+y) = 9x

yx 10y+x y+x 10y+x (y+x) = 9y

TIPO

GENERAL

PORCENTAJE

DEINCREMENTOBIENOSERVICIO

Reducido 7%Algunos alimentos, productossanitarios, transporte de viaje-ros, hostelera y construccin.

Superreducido 4%Alimentacin, libros y peri-dicos, especialidades farma-cuticas.

General 16% En otros casos.

a)NMERO

DESCOMPOSICINPOLINMICA

SUMADESUSCIFRAS

DIFERENCIA

321 3 100 + 2 10 + 1 3 + 2 + 1 = 6 321 6 = 315

845 8 100 + 4 10 + 5 8 + 4 + 5 = 17 845 17 = 828

927 9 100 + 2 10 + 79 + 2 + 7 = 18 927 18 = 909

xyz 100x+ 10y+z x + y + z 99x+ 9y= 9 (11x+y)

zxy 100z + 10x+y z + x + y 99z + 9x= 9 (11z +x)

Solucionesoluciones


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212

b)

c)

d)

e)

f)

2 Representacin grfica de varias funcionesa)

b)

c)

d)

3 Resolucin de ecuaciones y sistemasa) I. x= 0, y= 0

II. x= 2, y= 1

III. x1 = 3, y1 = 0; x2 = 2, y2 = 5

IV.x1 = 2, y1 = 0;x2 = 1, y2 = 3

b) I. x= 123

II. x1 = 54,x2 = 1

III. x= 0, x= 2

IV.x= 95

,x= 5

3

Actividad IV

1 Dados y fraccionesa) y b)

c) Probabilidad de obtener una fraccin irredu-cible: 12/21

Probabilidad de obtener una fraccin reduci-ble: 9/21

2 Cumpleaos felicesa) Para que un ao sea bisiesto, debe ser ml-

tiplo de 4, excepto si es divisible entre 100,pero no entre 400.

b) Hay tres: 2012, 2016, 2020.

c) 3/3 653

d) De dos cifras hay 9 nmeros capicas, tan-tos como nmeros de una cifra distinta de 0.

De tres cifras hay 90 nmeros capicas,tantos como nmeros de dos cifras. De cua-tro cifras tambin hay 90.

e) 11 022 011, 21022 012, 31 022 013,41 022 014, 51 022 015, 61 022 016,71 022 017, 81 022 018, 91 022 019,02 022 020.

f) Las posibles fechas de nacimiento son11/02/2011, 21/02/2012 y 02/02/2020. Laprobabilidad pedida es, por tanto, 3/3 653.

g) Palndromo es una palabra, frase o nmeroque se lee igual de izquierda a derecha que

de derecha a izquierda.h) La probabilidad es nula.

a) y b)NUMERADOR

1 2 3 4 5 6

DENOMINADOR

1

2

3

4

5

6

12

11

= 1

22

= 1

46

= 23

36

= 12

66

= 1

55

= 1

44

= 1

33

= 1

26

= 13

24

= 12

16

14

56

45

34

23

13

35

25

15


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213

Actividad V

1 Estados de nimoa) Lunes, A. Martes, D. Mircoles, C. Jueves, B.

b) Se debe a que se acost ms tarde.

c) Ms animado, el martes. Menos animado,el lunes.

d) Coincide con el almuerzo en la pizzera.e) Respuesta libre.

f) Respuesta libre.

g) I: Se levanta desanimado, se va animandohasta la mitad del da, y despus se va des-animando hasta que se acuesta.

II: Se levanta animado, se va desanimandohasta la mitad del da y despus se va ani-mando hasta que se acuesta.

III: Se levanta desanimado y a lo largo del

da mejora su estado de nimo.IV: Se levanta animado y, segn transcurre elda, va empeorando, hasta que se acuesta.

V: Tiene el mismo estado de nimo durantetodo el da.

VI: No es una funcin, no tiene sentido.

h) AV, B III, C IV, D II, E Ii) B empieza con mejor estado de nimo, pero

A mejora ms rpidamente.

Actividad VI

1 Paseos por el roa)

b)

El menor resultado, 9,9, se obtiene cuandocoge el agua del ro en el punto (0, 4).

c)

d) B' (7, 3)

dist(A, B') = 49 = 7

El punto de corte es (4, 0).

2 Simetra en la naturaleza

Respuesta abierta.

Actividad VII1 Supermercado

a) Respuesta libre.

b) Un metro de papel higinico, 0,01 .

Un litro de pasta de dientes, 33,33 .

Una galleta, 0,044 .

c)

d) Suavizante concentrado: 0,043 /lavado

Suavizante diluido: 0,073 /lavado

Es ms barato el suavizante concentrado.

e) Respuestas libres.

Actividad VIII

1 Cuadrados perfectos

a) 442 = 1 936; 452 = 2 025

b) Tena 44 aos en 1936. En 1985 tendra 93aos.

2 Terna pitagrica

a) Por ejemplo: 6, 8 y 10; 12, 16 y 20; 9, 12 y15.

b) Algunas son proporcionales.

c) Tringulo rectngulo.d) Son semejantes.

A

B

RO

b) PUNTO DISTANCIAA A DISTANCIAA B DISTANCIATOTAL(0, 0) 4 7,6 11,6

(1, 0) 4,1 6,7 10,8

(2, 0) 4,5 5,8 10,3

(3, 0) 5 5 10

(4, 0) 5,7 4,2 9,9

(5, 0) 6,4 3,6 10

(6, 0) 7,2 3,2 10,4

(7, 0) 8,1 3 11,1

c)) PUNTO DISTANCIAA A DISTANCIAA B DISTANCIATOTAL(0, 0) 4 58 11,62

(1, 0) 17 45 10,83

(2, 0) 20 34 10,3

(3, 0) 5 5 10

(4, 0) 32= 42 18=32 72= 9,9

(5, 0) 41 13 10,01

(6, 0) 52 10 10,37(7, 0) 65 3 11,06

c) LITROSDEAGUA CAPACIDAD

NMERODEBOTELLAS

PRECIOPORBOTELLA

TOTAL

60 0,33l 180 0,25 45

60 0,50l 120 0,30 36

60 1,5l 40 0,55 22 60 5l 12 1,20 14,40


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214

3 Mi extraa habitacin

Paredes: (3,25 + 3,25 + 4 + 2,5 + 2,5) 2,5 1,5 1,5 1 2 = 34,5 m2

Techo: 3,25 4 + 4 1,5 = 19 m2

Precio de la pintura: (34,5 + 19) 1,5 = 80,25

Actividad IX1 Mosaicos y cenefas

a) Respuesta libre.

b) Tringulo equiltero, cuadrado y hexgono.

c) Los ngulos interiores de estos polgonosson divisores de 360.

Tringulo: ngulo interior, 60 (seis tringu-los)

Cuadrado: ngulo interior, 90 (cuatro cua-

drados)Hexgono: ngulo interior ,120 (tres hex-gonos)

d)

e) Respuesta libre.

f) Respuesta libre.g) A. Se puede partir de un cuadrad

B. Se puede partir de un cuadrado.

h) Todos son irregulares, salvo el H, que es se-mirregular.

Actividad X

1 Calificaciones

a)x= 4 b)x = 5,4

c) Bien d) 84%

e) Bien f) 24%

g)x = 6,4. El porcentaje de aprobados es elmismo, 84%.

h)

b)y=x+ 0,5

2 Ms calificaciones

a) La mejor media es del grupo D y la msbaja, del C.

b) En el grupo D.

c) El grupo ms homogneo es el A.

d) En los grupos C y D.

3 Calificaciones de tus compaeros

a) Respuesta libre.

b) En Ciencias obtendra un 6,75.y=x+ 0,5

Actividad XI

1 Un acertijo

a) S.

b)x+ 5 3 + 10 9 + 8 4 x==x+ 23 16 x= 7

2 Acertijosa) [(x+ 5 2) 2 + 6] : 2 x= 6

b) [(x+ 8 5) 3 6] : 3 x= 1

c) x+ 5 1 + 8 4 + 3 2 x= 3

d) Respuesta libre.

3 Acertijos a la inversa

a) Piensa un nmero, multiplcalo por 5, suma3, resta 1, suma 4, resta 1, divide el resul-tado entre 5 y resta el nmero pensado. El

resultado es 1.b) Piensa un nmero, multiplcalo por 6, resta

5, suma el doble del nmero pensado, resta2, suma 3, divide el resultado entre 4, suma1 y resta el doble del nmero pensado. Elresultado es 0.

4 Lenguaje algebraico

a) I. 2x+ x3

= 8

II. x

2

2x = 24

III. x2 15 = 2x+ 1

d) POLGONOREGULAR(N. DELADOS) 3 4 5 6 7

NGULOINTERIOR(GRADOSSEXAGESIMALES) 60 90 108 120 128,57

POLGONOREGULAR(N. DELADOS) 8 9 10 12 15

NGULOINTERIOR(GRADOSSEXAGESIMALES) 135 140 144 150 156

INSUF.

2

4

6

8

SUF. BIEN NOT. SOBRES.


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ANAYA,

S.A.,

Matemticas3.

ESO.

Materialfotocop

iableautorizado.

IV. x + x2

= 12

b) I. p = mV

(m = masa, V= volumen)

II. v= et

(e = espacio, t= tiempo)

III. IMC = me2

(m5 masa, e = estatura)

IV. 1 Gb = 1020 KbV. A h (A = rea de la base, h = altura)

Actividad XII

1 Tangram

a) La relacin entre las reas es la siguiente:

= ; = = ; = ; = 12

de ;

= 12

de ; = 14

de

b)

c)

d) rea de la figura = 16 m2 rea total = 128 m2

e)

f) S hay algunas relaciones entre los perme-tros: =; =; =; = 2

g)

h) El rea siempre es la misma; el permetro,no.

i)

j) S.

k) Respuesta libre.

l) Por ejemplo:

2 4b) FIGURA

FRACCIN 1/4 1/4 1/16 1/8 1/16 1/8 1/8

c) FIGURA REA (cm2) 9 9 2,25 4,5 2,25 4,5 4,5

FIGURA

REA (cm2) 32 32 8 16 8 16 16

e)FIGURA REA (cm2)

8 + 232= 8 + 82

8 + 232= 8 + 82

4 + 28= 4 + 42

48= 82

4 + 28= 4 + 42

8 + 32= 8 + 42

8 + 32= 8 + 42

i)FIGURA REA (cm2)

x4

u2

x4

u2

x16

u2

x8

u2

x16

u2

x8

u2

x8

u2

115030312-matematicas-anaya-competencias-basicas-3º-eso

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