matematicas 4º eso opción b anaya adaptacion curricular

ADAPTACIÓN CURRICULARJ. Colera, M.ª J. Oliveira, I. Gaztelu

4OPCIÓN B

EDUCACIÓN SECUNDARIA

Matemáticas

Esta serie de Matemáticas responde a un proyecto pedagógico creado y desarrollado por Anaya Educación para la ESO. En su elaboración han participado:

Autores: José Colera, M.ª José Oliveira, Ignacio Gaztelu, Leticia Colera Cañas y M.ª Mar Martínez

Coordinación editorial: Mercedes García-Prieto

Edición: Carlos Vallejo

Diseño de cubiertas e interiores: Miguel Ángel Pacheco y Javier Serrano

Tratamiento infográfico del diseño: Javier Cuéllar, Patricia Gómez y Teresa Miguel

Equipo técnico: Coral Muñoz

Corrección: Sergio Borbolla

Ilustraciones: Montse Español y Álex Orbe

Edición gráfica: Olga Sayans

Fotografías: 123RF/Quickimage, Age Fotostock, Archivo Anaya ( Candel, C.; Cosano, P.; Martin, J.; Padura, S.; Pérez-Uz, B.; Ruiz, J.B.; Ruiz Pastor, L.; Steel, M.; Zuazo A.H.), Corbis/Cordon Press, NASA.

Las normas ortográficas seguidas son las establecidas por la Real Academia Española en la nueva Ortografía de la lengua española, publicada en el año 2010.

Unidad Contenidos Competencias

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ejercicios y problemas ............

Autoevaluación .......................

1 Números reales

Página 7

2 Polinomios y fracciones algebraicas

Página 21

3 Ecuaciones, inecua-ciones y sistemas

Página 33

1.

2.

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1.

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5.


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Índice

33

Esta serie de Matemáticas responde a un proyecto pedagógico creado y desarrollado por Anaya Educación para la ESO. En su elaboración han participado:

Autores:

Coordinación editorial:

Edición:

Diseño de cubiertas e interiores:

Tratamiento infográfico del diseño:

Equipo técnico:

Corrección:

Ilustraciones:

Edición gráfica:

Fotografías:


1. Números irracionales ................................... 82. Números reales ............................................ 93. Intervalos y semirrectas ................................ 104. Raíces y radicales.......................................... 125. Potencias y raíces con la calculadora............. 136. Propiedades de los radicales ......................... 147. Números aproximados. Notación científica... 16

Ejercicios y problemas ............ 18Consolida lo aprendido utili-zando tus competencias.

Autoevaluación ....................... 20

1 Números reales

Página 7

2 Polinomios y fracciones algebraicas

Página 21

3 Ecuaciones, inecua-ciones y sistemas

Página 33

1. Operaciones con polinomios........................ 222. Factorización de polinomios ........................ 253. Fracciones algebraicas .................................. 27

Ejercicios y problemas ............ 29

Consolida lo aprendido utili-zando tus competencias.

Autoevaluación ....................... 31

1. Ecuaciones de segundo grado....................... 342. Otros tipos de ecuaciones............................. 353. Sistemas de ecuaciones lineales..................... 374. Sistemas de ecuaciones no lineales................ 385. Inecuaciones de primer grado ...................... 39


Autoevaluación ....................... 43

Índice

4 Funciones. Características

Página 45

1. Conceptos básicos........................................ 462. Cómo se presentan las funciones.................. 473. Funciones continuas. Discontinuidades ....... 494. Crecimiento, máximos y mínimos ............... 505. Tendencia y periodicidad............................. 51


Autoevaluación ....................... 54


1. Distintos tipos de funciones lineales............. 562. Ecuación de una recta en la forma

punto-pendiente ......................................... 573. Parábolas y funciones cuadráticas................. 584. Funciones de proporcionalidad inversa

y radicales .................................................... 605. Funciones exponenciales .............................. 61


Autoevaluación ....................... 64

1. Semejanza .................................................... 662. Semejanza de triángulos ............................... 683. La semejanza en los triángulos rectángulos ... 694. Homotecia y semejanza................................ 71


Autoevaluación ....................... 74

1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo ..................................... 76

2. Relaciones trigonométricas fundamentales.............................................. 77

3. Utilización de la calculadora en trigonometría .......................................... 79

4. Resolución de triángulos rectángulos ........... 80


Autoevaluación ....................... 82

5 Funciones elementales

Página 55

6 La semejanza. Aplicaciones

Página 65

7 Trigonometría

Página 75


1.

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Autoevaluación .......................

9 Estadística

Página 95

10 Cálculo de probabilidades

Página 105

11 CombinatoriaPágina 115

1.

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4.

5.

6.

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8 Geometría analítica

Página 83

5

4 Funciones. Características

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5 Funciones elementales

Página 55

6 La semejanza. Aplicaciones

Página 65

7 Trigonometría

Página 75


1. Dos ramas de la estadística ........................... 962. Tablas de frecuencias ................................... 973. Parámetros estadísticos: x– y q ................... 984. Medidas de posición .................................... 1005. Diagramas de caja ........................................ 101


Autoevaluación ....................... 104

1. Probabilidades en experiencias simples......... 1062. Probabilidades en experiencias compuestas .... 1083. Composición de experiencias

independientes............................................. 1094. Composición de experiencias

dependientes................................................ 110


Autoevaluación ....................... 113

1. En qué consiste la combinatoria .................. 1162. El diagrama en árbol .................................... 1173. Variaciones y permutaciones ........................ 1194. Cuando no influye el orden ......................... 1215. Combinaciones............................................ 122


Autoevaluación ....................... 124

9 Estadística

Página 95

10 Cálculo de probabilidades

Página 105

11 CombinatoriaPágina 115

1. Vectores en el plano..................................... 842. Operaciones con vectores............................. 853. Punto medio de un segmento

y puntos alineados ....................................... 864. Ecuaciones de rectas. Paralelismo

y perpendicularidad ..................................... 875. Rectas paralelas a los ejes coordenados ......... 896. Posiciones relativas de dos rectas .................. 907. Distancia entre dos puntos........................... 91


Autoevaluación ....................... 93

8 Geometría analítica

Página 83

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Los números irracionales fueron descubiertos por los pitagóricos aproximadamente en el siglo v antes de nuestra era. Sin embargo, más que como números, fueron tomados como magnitudes geométricas. Esta forma de tratarlos se extendió durante casi dos mi-lenios. Es muy reciente, pues, la idea de que estos números, junto con los racionales, forman un único conjunto con estructura y características muy intere-santes.

El concepto de número real, como ahora lo maneja-mos, se fue concibiendo y construyendo al evolucio-nar el estudio de las funciones. Finalmente, fue for-malizado en 1871 por el alemán Cantor.

1Números reales

DEBERÁS RECORDAR

■ Cómo expresar un número decimal exacto en forma de fracción.

■ Cómo expresar un decimal periódico en forma de fracción.

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Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos núme-ros enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica.

Números irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden obte-nerse como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita no periódica. Por ejemplo, π = 3,14159265359…

Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente in-teresantes. Veamos algunos.

La diagonal del cuadrado: el número √2El teorema de Pitágoras nos proporciona el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1:

d = d = d √√12 + 12 = √√2 es un número irracional.

Otros irracionales expresados mediante radicales

Los números √√3, √√5, √√8, …, 3√√3√3 4 , 5√√5√5 10 , … son irracionales.

En general, si p no es una potencia n-ésima, entonces √√n√n p√p√ es irracional.

El número de oro: F = √5 + 12

La diagonal de un pentágono de lado unidad es el número √√5 + 12

. Histórica-

mente es el primer número del que se tuvo conciencia de su irracionalidad. En el siglo v a.C., los griegos pitagóricos descubrieron con sorpresa (y casi con espanv a.C., los griegos pitagóricos descubrieron con sorpresa (y casi con espanv -to) que la diagonal del pentágono y su lado no guardaban una proporción exacta. Hasta entonces se creía que todo el universo se regía por los números naturales y las razones entre ellos (fracciones). Pero al descubrir que no era así, les pareció razones entre ellos (fracciones). Pero al descubrir que no era así, les pareció razonesque el caos se asomaba a su mundo. Por eso, llamaron irracional (contraria a la razón) a esta relación entre diagonal y lado del pentágono.

Posteriormente, los artistas griegos consideraron que la proporción F : 1 resul-taba especialmente armoniosa, por lo que la llamaron razón áurea, y al número F, número áureo.

El nombre, F (fi, letra griega correspondiente a la F), es la inicial de Fidias,escultor griego que utilizó asiduamente esta razón.

El número πComo sabes, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diáme-tro. Este número lo conoces y lo utilizas desde hace muchos cursos. Has hecho uso de las siguientes aproximaciones suyas: 3,14 o 3,1416. Su verdadero valor tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

π es la letra griega correspondiente a la “p”. ¿Por qué este nombre? La palabra griega perifereia significa “circunferencia” (la periferia del círculo).perifereia significa “circunferencia” (la periferia del círculo).perifereia

Números irracionalesNúmeros irracionales1

1√—

√—

√2

1

FF

1

SÍMBOLO DE LOSPITAGÓRICOS

Construcción del número F.

1

1—21—2

F

√—

√—

√5—2

L2r

= π2r

L

Números reales2

La recta real

i en una recta situamos un origen (el cero, 0) y marcamos la longitud uni-dad, a cada punto le corresponde un número racional o un número irracional. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por eso, a la recta numérica la llamamos recta real.

Actividades

naturales,

enteros,

fraccionarios

racionales,

irracionales

Ejercicio resuelto

naturales,

enteros,

fraccionarios

racionales,

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Entrénate

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La diagonal del cuadrado: el número √2

Otros irracionales expresados mediante radicales

El número de oro: = √5 + 12

El número π

Números irracionales1

Construcción del número .

Números realesNúmeros reales2El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama con-junto de números reales y se designa por Á. De modo que la tabla sobre nú-meros, que ya conocemos, puede ampliarse y completarse del siguiente modo:

racionalesQ

enterosZ

naturalesN 8 0, 4, 24

6, √√121

realesÁ

Q Qenteros negativos 8 –11, – 27

3, 3√√3√3 –8

fraccionarios 8 5,84; 12

; 5,)83; – 3

10

irracionales 8 √√2, √√3, F, π, –√√5 + 2, 2 + √√35

°§°§°§§§§¢§¢§§¢§¢§§§§£§£§

°§°§°§§§§§§§§§§§§¢ ¢ §¢§§¢§¢ ¢ §

¢ §§§§§§§§§§§§£§£§

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§§§§

§§§§

§§§§

§ §

§§§

¢§¢§

§¢§¢

§ § §§§

§§§§

§§§§

§§§§

£§£§

Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que se hacen con los racionales: suma, resta, multiplicación y división (salvo por el cero) y se mantienen las mismas propiedades.

También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los números racionales.

La recta real

0 1

Si en una recta situamos un origen (el cero, 0) y marcamos la longitud uni-dad, a cada punto le corresponde un número racional o un número irracional. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por eso, a la recta numérica la llamamos recta real.

1 Sitúa cada uno de los siguientes números en los casi-lleros correspondientes. Ten en cuenta que cada nú-mero puede estar en más de un casillero. (hazlo en tu cuaderno).

107; 3,95; 3,)95; –7; √√20; 36

9; √√√4

9; –√√36; 7

3; π – 3

Actividades

naturales, Nenteros, Zfraccionarios

racionales, Qirracionales

Situar cada uno de los siguientes números en los casilleros corres-pondientes. Cada uno puede es-tar en más de un casillero:

24; 0,71; 0,7)1; –5;

35

; √√7; –√√9; 287

; π – 1

Ejercicio resuelto

naturales, N 24; 28/7 = 4

enteros, Z 24; –5; –√√9 = –3; 28/7 = 4

fraccionarios 0,71; 0,71); 3/5

racionales, Q 24; 0,71; 0,71); –5; 3/5; –√√9 = –3; 28/7 = 4

irracionales √√7; π – 1

1 a) ¿Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como co-ciente de dos números enteros?

–2; 1,7; √√3 ; 4,)2; –3,7

)5;

3π; –2√√5b) Expresa como fracción aquellos

que sea posible.c) ¿Cuáles son irracionales?

2 a) Clasifica en racionales o irracio-nales los siguientes números:

√√32

; 0,8)7; –√√4 ; – 7

3;

1

√√2; 2π

b) Ordénalos de menor a mayor.c) ¿Cuáles son números reales?

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Intervalos y semirrectasIntervalos y semirrectas3Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura que debes conocer.

Intervalo abierto

El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos los números comprendi-dos entre a y b, sin incluir ni a ni b: {x / a < x < b}.

Se representa así: a b

Por ejemplo, el intervalo (–2, 1) es el conjunto de todos los números compren-didos entre –2 y 1, sin incluir ni –2 ni 1: {x / –2 < x < 1}.

Su representación es esta: –2 1

Intervalo cerrado

El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos los números comprendi-dos entre a y b, ambos incluidos: {x / a Ì x Ì b}.


Por ejemplo, el intervalo [–2, 1] es el conjunto de todos los números compren-didos entre –2 y 1, incluyendo el –2 y el 1: {x / –2 Ì x Ì 1}.


Intervalo semiabierto

• El intervalo (a, b] es el conjunto de todos los números comprendidos en-tre a y b, incluyendo b pero no a: {x / a < x Ì b}.


• El intervalo [a, b) es el conjunto de todos los números comprendidos en-tre a y b, incluyendo a pero no b: {x / a Ì x < b}.


Por ejemplo, el intervalo (3, 4] es el conjunto de todos los números comprendi-dos entre 3 y 4, incluyendo el 4 pero no el 3: {x / 3 < x Ì 4}.

Su representación es esta: 3 4

El intervalo [3, 4) es el conjunto de todos los números comprendidos entre 3 y 4, incluyendo el 3 pero no el 4: {x / 3 Ì x < 4}.


(a, b) = {x / a < x < b}

a b

La expresión anterior se lee así:

conjunto de

núme-ros x

talesque

son mayo-res que a

y meno-res que b

{ x / a < x < b }

Intervalo abierto

Semirrectas y recta real

(–@, a) son los números menores que a: {x / x < a}.

(–@, a] son los números menores que a y el propio a: {x / x Ì a}.

(a, +@) son los números mayores que a: {x / x > a}.

[a, +@) son los números mayores que a y el propio a: {x / x Ó a}.

–@, 2) es el conjunto {x / x < 2} 8 2

[2, +@) es el conjunto {x / x Ó 2} 8 2

@ @

–@, a) = {x / x < a}

a

(–@, a] = {x / x Ì a}

a

(a, +@) = {x / x > a}

a

[a, +@) = {x / x Ó a}

a

Semirrectas

{x / 3 Ì x < 5} b) {x / x Ó 0}

c) {x / –3 < x < 1} d) {x / x < 8}

(–1, 4] b) [0, 6] c) (–@, –4) d) [9, +@)

–1 0 3 1 5

–2 0 0 4

Actividades

Ì Ì

@

Ejercicios resueltos

2 3@

1@

0

Ì Ì –2 0

Ó –1

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Intervalos y semirrectas3

Intervalo abierto

l intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos los números comprendi-dos entre a y b, sin incluir ni a ni b: {x / a < x < b}.


or ejemplo, el intervalo (–2, 1) es el conjunto de todos los números compren-didos entre –2 y 1, sin incluir ni –2 ni 1: {x / –2 < x < 1}.


Intervalo cerrado

l intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos los números comprendi-dos entre a y b, ambos incluidos: {x / a Ì x Ì b}.


or ejemplo, el intervalo [–2, 1] es el conjunto de todos los números compren-didos entre –2 y 1, incluyendo el –2 y el 1: {x / –2 Ì x Ì 1}.


Intervalo semiabierto

El intervalo (a, b] es el conjunto de todos los números comprendidos en-tre a y b, incluyendo b pero no a: {x / a < x Ì b}.


• El intervalo [a, b) es el conjunto de todos los números comprendidos en-tre a y b, incluyendo a pero no b: {x / a Ì x < b}.


or ejemplo, el intervalo (3, 4] es el conjunto de todos los números comprendi-dos entre 3 y 4, incluyendo el 4 pero no el 3: {x / 3 < x Ì 4}.


El intervalo [3, 4) es el conjunto de todos los números comprendidos entre 3 y 4, incluyendo el 3 pero no el 4: {x / 3 Ì x < 4}.


a, b) = {x / a < x < b}

a b

La expresión anterior se lee así:

{ x / a < x < b }

Intervalo abierto

Semirrectas y recta real

(–@, a) son los números menores que a: {x / x < a}.

(–@, a] son los números menores que a y el propio a: {x / x Ì a}.

(a, +@) son los números mayores que a: {x / x > a}.

[a, +@) son los números mayores que a y el propio a: {x / x Ó a}.

• (–@, 2) es el conjunto {x / x < 2} 8 2

• [2, +@) es el conjunto {x / x Ó 2} 8 2

La propia recta real se representa en forma de intervalo así: Á = (–@, +@)

(–@, a) = {x / x < a}

a

(–@, a] = {x / x Ì a}

a

(a, +@) = {x / x > a}

a

[a, +@) = {x / x Ó a}

a

Semirrectas

1 Escribe los conjuntos siguientes en forma de interva-lo y representa los números que cumplen las condi-ciones indicadas en cada caso:

a) Comprendidos entre 5 y 6, ambos incluidos.

b) Mayores que 7.

c) Menores o iguales que –5.

2 Escribe en forma de intervalo y representa:

a) {x / 3 Ì x < 5} b) {x / x Ó 0}

c) {x / –3 < x < 1} d) {x / x < 8}

3 Escribe en forma de desigualdad y representa:

a) (–1, 4] b) [0, 6] c) (–@, –4) d) [9, +@)

4 Escribe en forma de intervalo o semirrecta y repre-senta en la recta real los números que cumplen la desigualdad indicada en cada caso:a) –3 Ì x Ì 2 b)–1 < x < 5x < 5xc) 0 < x Ì 7 d)x > –5x > –5x

5 Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números representados.

a) –1 0 3

b) 1 5

c) –2 0

d) 0 4

6 Indica cuáles de los números siguientes están inclui-dos en A = [–3, 7) o en B = (5, +∞):B = (5, +∞):B

–3; 10; 0,5; 7; √√5; 6,)3

Actividades

1. Escribir en forma de intervalo y representar:

a) 2 < x Ì 3 b)x Ì 1

c) x > 0

2. Escribir en forma de desigual-dad y representar:

a) [–2, 0] b) [–1, +@)

c) (0, 1)


1. a) Intervalo semiabierto (2, 3] 2 3

b) Semirrecta (–@, 1] 1

c) Semirrecta (0, +@) 0

2. a) {x / –2 Ì x Ì 0} –2 0

b) {x / x Ó –1} –1

c) {x / 0 < x < 1}x < 1}x 0 1

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Potencias y raíces con la calculadora5Raíces y radicalesRaíces y radicales4Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe √√n√n a, a un número b que cumple la siguiente condición:

√√n√n a = b si bn = a

√√n√n a se llama radical; a, radicando, y n, índice de la raíz.

Cuando manejes expresiones como esta, habrá ocasiones en las que debes cal-cular el valor numérico. Para ello, deberás tener en cuenta la definición, como en las que se proponen en este margen, o bien recurrir a la calculadora. Pero en otros casos deberás mantener el radical, simplificarlo, operar con otros radicales, etcétera. Nos dedicaremos a esto en el próximo epígrafe.

Algunas peculiaridades de las raíces

• Si a Ó 0, √√n√n a existe cualquiera que sea n.

• Si a < 0, solo existen sus raíces de índice impar.a < 0, solo existen sus raíces de índice impar.a

• Aunque 4 tiene dos raíces cuadradas, con √√4 nos referimos a la positiva: √√4 = 2.

En general, un número positivo, a, tiene dos raíces cuadradas: √√a y –√√a .

Forma exponencial de los radicales

Los radicales se pueden expresar como potencias:

√√a = a1/2, pues (a1/2)2 = a2/2 = a

3√√3√3 a2 = a2/3, pues (a2/3)3 = a6/3 = a2

Por ejemplo:

√√5 = 51/2 ; 5√√5√5 23 = 23/5

3√√3√3 64 = 3√√3√3 26 = 26/3 = 22 = 4

1 Expresa en forma exponencial.

a) 5√√5√5 x b) 3√√3√3 x x x2 c) 15√√15√15 a6

d) √√a13 e) 6√√6√6 a a a5 f ) 4√√4√4 a a a8

2 Calcula.

a) 41/2 b) 1251/3 c) 6251/4

d)82/3 e) 645/6 f ) 363/2

3 Expresa en forma radical.

a) x7/9 b) n2/3 c) b3/2 d) a4/5


a) 5√√5√5 x2 b)√√2 c) 3√√3√3 106 d) 4√√4√4 202

e) 5√√5√5 (–3)3 f ) 4√√4√4 a g) (5√√5√5 x–2 )3 h) 15√√15√15 a5

5 Pon en forma de raíz.

a) 51/2 b) (–3)2/3 c) (43)1/3

d) (a3)1/4 e) (a1/2)1/3 f ) (a a a–1)3/5

Actividades

1. Di el valor de k en cada caso:k en cada caso:ka) 3√√3√3 k = 2 b) k√√k√k –243 = –3

c) 4√√4√4 k = 23

d) k√√k√k 1 024 = 2

2. Calcula las raíces siguientes:a) 3√√3√3 –8 b) 5√√5√5 32

c) 5√√5√5 –32 d) 8√√8√8 0

e) 4√√4√4 81 f ) 3√√3√3 125

Cálculo mental Potencias y raíces sencillas:

Potencias de índice cualquiera: (o bien )

Raíces de índice cualquiera: (o bien )

Cálculo de raíces con la tecla de potencia

ay calculadoras antiguas que proce-den al revés:

8 247 $ {‘∞…|‘\“««\}

Atención

Actividades

En algunas calculadoras, en vez de llamar a esta función se le llama x1/y, y actúa así:

32 5

Atención

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Potencias y raíces con la calculadoraPotencias y raíces con la calculadora5Raíces y radicales4e llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe , a un número b

que cumple la siguiente condición:

= b si bn = a

se llama radical; a, radicando, y n, índice de la raíz.

Algunas peculiaridades de las raíces

Forma exponencial de los radicales

= a1/2, pues (a1/2)2 = a2/2 = a

= a2/3, pues (a2/3)3 = a6/3 = a2

Por ejemplo:

= 51/2 ; = 23/5

= = 26/3 = 22 = 4

( )

Actividades

a) = 2 b) = –3

c) =

d) = 2

Calcula las raíces siguientes:a) b)

c) d)

e) f )

Cálculo mental Potencias y raíces sencillas:

Todas las calculadoras científicas tienen las teclas Todas las calculadoras científicas tienen las teclas T x y $. Muchas tienen tam-bién y , aunque estas suelen aparecer como segunda función (es decir, fuera de la tecla y, por tanto, deben ser precedidas por s).

Por ejemplo:

2472 8 247 x {∫\‘≠≠£}{∫\‘≠≠£}{∫\‘ 4,83 8 4,8 {‘‘≠…∞£“}{‘‘≠…∞£“}{‘‘≠√√247 8 $ 247 = {‘∞…|‘\“««\¢}3√√3√3 4,8 8 4,8 = {‘…\°\°\∞««≠\}{‘…\°\°\∞««≠\}{‘…\°\°\∞««≠

Si hay en la pantalla un número cuya raíz cuadrada quieres calcular, antes de dar a la tecla $ pulsa =.

Por ejemplo: {∞°¢≠«}{∞°¢≠«}{∞°¢ = $ = {“¢‘…\\|‘“\¢«\}

■Potencias de índice cualquiera: ‰ (o bien á)

17,845 8 17,84 ‰ 5 = {‘°≠|{‘°≠|{‘° ≠\\…£|£°¢}≠|≠\\…£|£°¢}≠|42,5 8 4 ‰ 2,5 = {∫∫∫∫∫∫«“}

Raíces de índice cualquiera: (o bien )Atención, aquí el orden en que intervienen el índice, el radicando y la tecla de-penden mucho de la calculadora. Por ejemplo:

5 32 = {∫∫∫∫∫∫“} pantalla sencilla5√√5√5 32

5 ”32 = pantalla descriptiva

Incluso hay calculadoras con la tecla . Con ellas se procede así:5√√5√5 32 8 32 5 = {∫∫∫“}

■Cálculo de raíces con la tecla de potencia

5√√5√5 32 = 321/5 8 32 5 5 Y = {∫∫∫“}5√√5√5 323 = 323/5 8 32 3 Å 5 = {∫∫∫°}

Hay calculadoras antiguas que proce-den al revés:

√√247 8 247 $ {‘∞…|‘\“««\}

Atención

Halla con la calculadora:

1 a) √√541 b) 3272 c) 3√√3√3 8,53

2 a) 5√√5√5 8,24 b) 6√√6√6 586 c) 4√√4√4 79,46

3 a) 5√√5√5 372 b) 4√√4√4 2,15 c) 3√√3√3 0,0082

4 Calcula las raíces del ejercicio 2 utilizando la tecla ‰.

(Por ejemplo: 8,24 ‰ 5 Y =).

5 Calcula las raíces del ejercicio 3 utilizando la tecla ‰.

(Por ejemplo: 37 ‰ 2 Å 5 =).

Actividades

En algunas calculadoras, en vez de llamar a esta función En algunas calculadoras, en vez de

√En algunas calculadoras, en vez de

√En algunas calculadoras, en vez de En algunas calculadoras, en vez de

√En algunas calculadoras, en vez de

x√x se le llama x1/y, y actúa así:

32 ≈ 5 =

Atención

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Raíz de un radical

Suma y resta de radicalesDos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expre-siones decimales aproximadas. Solo pueden sumarse radicales idénticos. Por ejemplo:

Sí puede simplificarse la expresión siguiente:

7 + 11 – = 17

Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales queda oculta. Previamente, deberemos sacar los factores que podamos fuera de las raíces, o simplificarlas. Por ejemplo:

+ – = + – =

= 4 + 3 – 5 = 2

Eliminación de un radical del denominadorEs costumbre en los resultados matemáticos en los que intervienen radicales evitar que estos estén en el denominador. Veamos unos casos en los que esto se consigue de forma sencilla:

= = = =

= = =

Observa que se multiplica el denominador por el radical necesario para que desaparezca la raíz:

Lógicamente, el numerador se multiplica por la misma expresión.

Suma si es posible.

Entrénate

Elimina el radical del denominador.

Entrénate

Propiedades de los radicalesPropiedades de los radicales6Los radicales tienen una serie de propiedades que debes conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencias de propiedades de las potencias.

■Simplificación de radicales

Si el radicando está en forma de potencia, o puede ponerse así, es posible que el radical pueda simplificarse. Para ello, conviene expresarlo en forma de po-tencia.

Por ejemplo:4√√4√4 32 = 32/4 = 31/2 = √√33√√3√3 26 = 26/3 = 22 = 44√√4√4 64 = 4√√4√4 26 = 26/4 = 23/2 = √√23 = √√8

■Extracción de factores fuera de una raíz

Si el radicando descompuesto en factores tiene potencias de exponente igual o mayor que el índice de la raíz, algunos de ellos pueden salir fuera de la raíz.

Por ejemplo:

√√18 = √√32 · 2 = √√32 · √√2 = 3√√2

√√720 = √√24 · 32 · 5 = √√24 · √√32 · √√5 = 24/2 · 3 · √√5 =

= 22 · 3 · √√5 = 12√√53√√3√3 81 = 3√√3√3 34 = 3√√3√3 33 · 3 = 3√√3√3 33 · 3√√3√3 3 = 33√√3√3 3

■Producto de radicales del mismo índice

Por ejemplo:

√√3 · √√2 = √√3 · 2 = √√6

√√15 · √√20 = √√15 · 20 = √√300 = √√100 · 3 = √√100 · √√3 = 10√√3

√√2 · √√2 = √√2 · 2 = √√4 = 2

√√2 · √√8 = √√2 · 8 = √√16 = 43√√3√3 5 · 3√√3√3 50 = 3√√3√3 5 · 50 = 3√√3√3 53 · 2 = 3√√3√3 53 · 3√√3√3 2 = 53√√3√3 2

■Potencia de un radical

Por ejemplo:

(√√23)4 = √√23 · 4 = √√212 = 212/2 = 26

(5√√5√5 4 )3 = (5√√5√5 22)3 = 5√√5√5 22 · 3 = 5√√5√5 26 = 25√√5√5 2

(6√√6√6 72)3 = 6√√6√6 72 · 3 = 6√√6√6 76 = 7

Actividades

1 Simplifica.a) 4√√4√4 52 b) 6√√6√6 23 c) 8√√8√8 34

d) √√74747 e) 3√√3√3 56 f ) 4√√4√4 118

Entrénate

2 Extrae factores.

a) √√12 b) √√50

c) 3√√3√3 16 d) 3√√3√3 24

e) √√175 f ) 4√√4√4 80

g) √√180 h) √√300

Entrénate

3 Multiplica y simplifica.

a) √√3 · √√3 b) √√2 · √√5

c) √√5 · √√15 d) √√5 · √√20

e) √√10 · √√6 f) √√3 · √√27

Entrénate

4 Efectúa.

a) (3√√3√3 2 )3 b) (5√√5√5 3 )10 c) (√√7 )3

d) (6√√6√6 23)2 e) (3√√3√3 52 )2 f) (4√√4√4 22)3

Entrénate

Escribe con solo una raíz.

Entrénate

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■Raíz de un radicalPor ejemplo:

√√√√5 = 4√√4√4 5

√√3√√3√3 11 = 6√√6√6 11

■Suma y resta de radicalesDos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expre-siones decimales aproximadas. Solo pueden sumarse radicales idénticos. Por ejemplo:

√√3 + √√2√√7 – 3√√3√3 7

°¢°¢°£¢£¢

Solo pueden realizarse de forma aproximada, o bien hay que dejarlas indicadas.

Sí puede simplificarse la expresión siguiente:

7√√5 + 11√√5 – √√5 = 17√√5

Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales queda oculta. Previamente, deberemos sacar los factores que podamos fuera de las raíces, o simplificarlas. Por ejemplo:

√√32 + √√18 – √√50 = √√25 + √√32 · 2 – √√52 · 2 =

= 4√√2 + 3√√2 – 5√√2 = 2√√2

■Eliminación de un radical del denominadorEs costumbre en los resultados matemáticos en los que intervienen radicales evitar que estos estén en el denominador. Veamos unos casos en los que esto se consigue de forma sencilla:

1√√2

= √√2√√2 · √√2

= √√22

√√3√√2

= √√3 · √√2√√2 · √√2

= √√62

13√√3√3 7

= 3√√3√3 72

3√√3√3 7 · 3√√3√3 72 =

3√√3√3 72

3√√3√3 73 =

3√√3√3 72

7

Observa que se multiplica el denominador por el radical necesario para que desaparezca la raíz:

√√2 · √√2 = 2 ; 3√√3√3 7 · 3√√3√3 72 = 7Lógicamente, el numerador se multiplica por la misma expresión.

2 Suma si es posible.

a) √√2 + 7√√2 b) 3√√7 + √√7

c) 2√√3 – √√3 d) √√2 + 5√√2 – 3√√2

Entrénate

3 Elimina el radical del denominador.

a) 1√√3

b) 2√√5

c) 3√√2

d) √√2√√3

Entrénate

Propiedades de los radicales6

Simplificación de radicales

Extracción de factores fuera de una raíz

Producto de radicales del mismo índice

Potencia de un radical

( )( ) ( )( )

1 Simplifica.

a) 12√√12√12 x9 b) 12√√12√12 x8 c) 5√√5√5 y√y√ y y10

d) 6√√6√6 8 e) 9√√9√9 64 f f f ) 8√√8√8 81

2 Saca del radical los factores que sea posible.

a) √√x x x3 b) 3√√3√3 a5 c) √√b5

d) 3√√3√3 32x x x4 e) 3√√3√3 81a3 b5 c f ) 5√√5√5 64

3 Multiplica y simplifica.a) √√2 √√3 √√6 b) 3√√3√3 a 3√√3√3 a2 3√√3√3 a4

c) 6√√6√6 x 6√√6√6 x x x2 d) 4√√4√4√ 35 4√√4√4√5

34 Extrae factores y suma si es posible.

a) √√12 + √√3 b)√√18 – √√2

c) √√45 – √√20 d)2√√6 – √√8

Actividades

Simplifica.

Entrénate

Extrae factores.

Entrénate

Multiplica y simplifica.

Entrénate

Efectúa.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Entrénate

1 Escribe con solo una raíz.

a) √√√√5 b) √√3√3 3√√3√3 7 c) √√3√3 √√10

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Números aproximados. Notación científicaNúmeros aproximados. Notación científica7 Aproximaciones y errores

En las aplicaciones prácticas se suelen manejar números aproximados. Recorde-mos algunos conceptos y procedimientos con los que se controla su uso.

Se llaman cifras significativas las que se usan para expresar un número aproximado. Solo se deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste y de modo que sean relevantes para lo que se desea transmitir.

Por ejemplo, si al medir la capacidad de una piscina se obtiene 718 900 l, sería l, sería lmás razonable decir que tiene 719 m3, utilizando solo 3 cifras significativas. Pero si la medición no fue muy fina, lo propio sería decir 720 m3 o, mejor, 72 decenas de m3.

Error absoluto de una medida aproximada es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado.

Error absoluto = |Valor real – Valor aproximado|

El valor exacto, generalmente, es desconocido. Por tanto, también se desco-noce el error absoluto. Lo importante es poder acotarlo: el error absoluto es menor que… Una cota del error absoluto se obtiene a partir de la última cifra significativa utilizada.

En el ejemplo anterior (capacidad de la piscina: 719 m3), la última cifra signifi-cativa (el 9) designa unidades de m3. El error absoluto es menor que medio metro cúbico (error < 0,5 m3).

Error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Es tanto menor cuantas más cifras significativas se usan.

En el ejemplo, el error relativo es menor que 0,5719

< 0,0007. < 0,0007.

Notación científicaLos números 3,845 · 1015 y 9,8 · 10–11 están en notación científica porque:

— Están descritos mediante dos factores, un número decimal y una potencia de 10.

— El número decimal es mayor o igual que 1 y menor que 10.

— La potencia de 10 es de exponente entero.

El primero, 3,845 · 1015 = 3 845 000 000 000 000, es un número “grande”.

El segundo, 9,8 · 10–11 = 0,000000000098, es un número “pequeño”.

El exponente sirve para interpretar cómo de grande o de pequeño es el número, pues nos da la cantidad total de cifras que tiene.

a) 34 m tiene 2 cifras significativas.b) 0,0863 hm3 tiene 3 cifras signifi-

cativas.c) 53 000 g tiene 2 cifras significa-

tivas, pues los ceros del final solo sirven para designar el número. Mejor sería que se pusiera 53 mi-les de gramos, o bien, 53 kg.

Observa

a) °¢°¢°£¢£¢

Medición: 34 mError absoluto < 0,5 m

b)°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§

Medición: 0,0863 hm3

Error abs. < 0,00005 hm3

Es decir, error abs. < 50 m3

c) °¢°¢°£¢£¢

Medición: 53 000 gError absoluto < 500 g

Observa

Los errores relativos de las medicio-nes anteriores son:a) E.r. < 0,5/34 < 0,015b) E.r. < 0,00005/0,0863 < 0,0006c) E.r. < 500/53 000 < 0,0095 < 0,01

Observa

Expresa en notación científica los si-guientes números:a) 340 000b) 0,00000319c) 25 · 106

d) 0,04 · 109

e) 480 · 10–8

f ) 0,05 · 10–8

Cálculo mental


Actividades

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Números aproximados. Notación científica7 Aproximaciones y errores

e llaman cifras significativas las que se usan para expresar un número aproximado. Solo se deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste y de modo que sean relevantes para lo que se desea transmitir.

rror absoluto de una medida aproximada es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado.

Error absoluto = Valor real – Valor aproximado

El valor exacto, generalmente, es desconocido. Por tanto, también se desco-noce el error absoluto. Lo importante es poder acotarlo: el error absoluto es menor que… Una cota del error absoluto se obtiene a partir de la última cifra significativa utilizada.

rror relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Es tanto menor cuantas más cifras significativas se usan.

Notación científica

34 m tiene 2 cifras significativas.b) 0,0863 hm3 tiene 3 cifras signifi-

cativas.c) 53 000 g tiene 2 cifras significa-

tivas, pues los ceros del final solo sirven para designar el número. Mejor sería que se pusiera 53 mi-les de gramos, o bien, 53 kg.

Observa

Observa

os errores relativos de las medicio-nes anteriores son:

E.r. < 0,5/34 < 0,015b) E.r. < 0,00005/0,0863 < 0,0006c) E.r. < 500/53 000 < 0,0095 < 0,01

Observa

xpresa en notación científica los si-guientes números:

340 000b) 0,00000319c) 25 · 106

d) 0,04 · 109

e) 480 · 10–8

f ) 0,05 · 10–8

Cálculo mental

1. Expresar con un número ra-zonable de cifras significativas las siguientes cantidades:a) Visitantes en un año a una

pinacoteca: 183 594.b)Asistentes a una manifesta-

ción: 234 590.c) Número de bacterias en

1 dm3 de cierto preparado: 302 593 847.

2. Dar una cota del error absolu-to y una cota del error relativo cometido en cada una de las valoraciones que se han dado en las cantidades del ejercicio anterior.

3. Efectuar y repasar con la cal-culadora:a) (6,4 · 105) · (5,2 · 10–6)b)(2,52 · 104) : (4 · 10–6)


1. a) Puede ser razonable que esta cantidad se dé con tanta precisión, pues los asistentes a un museo pagan una entrada que, lógicamente, se contabiliza. Suponemos que ese número, 183 594, es el de entradas vendidas.No obstante, para cierto tipo de comunicaciones podría simplificarse la cifra: “casi doscientos mil”, “más de ciento ochenta mil” son valoraciones adecuadas.

b) Es imposible que nadie haya contado los manifestantes con tanta precisión. Aunque la cifra no esté “hinchada” o “achicada” por razones sectarias, no se puede afinar tanto en estas valoraciones. Razonable sería decir, por ejem-plo, “más de doscientos mil”, o bien “entre 200 000 y 250 000”.

c) Una o, como mucho, dos cifras significativas: 3 cientos de millones de bacterias (o 30 decenas de millones).

2. a) Si decimos que el número de visitantes es 180 mil (o mejor, 18 decenas de miles) cometemos un error absoluto de 183 594 – 180 000 = 3 594 personas. Lo sabemos con precisión porque conocemos la cantidad exacta. Sin embargo, quien reciba la información (18 decenas de miles) deberá entender que puede haber un error de hasta 5 unidades de la primera cifra no utilizada: 5 000 personas. Es decir:

180 mil personas, con un error menor que 5 000Error relativo < 5 000/180 000 < 0,028 < 0,03 8 E.r. < 0,03

b) Valoración: 200 000 8 Error absoluto < 50 000Error relativo < 50 000/200 000 = 0,25

c) Valoración: 3 cientos de millones = 300 millonesError absoluto < 0,5 decenas de millones = 5 millonesError relativo < 5/300 < 0,017 < 0,02 8 E.r. < 0,02

3. a) (6,4 · 105) · (5,2 · 10–6) = 33,28 · 105 – 6 = 3,328 · 10 · 10–1 = 3,328

b) (2,52 · 104) : (4 · 10–6) = 0,63 · 104 – (–6) = 6,3 · 10–1 · 1010 = 6,3 · 109

1 Escribe estos números en notación científica:a) 13800 000 b) 0,000005

c) 4800000 000 d)0,0000173

2 Calcula mentalmente y comprueba con la calculadora.

a) (2 · 105) · (3 · 1012) b) (1,5 · 10–7) · (2 · 10–5)c) (3,4 · 10–8) · (2 · 1017) d) (8 · 1012) : (2 · 1017)e) (9 · 10–7) : (3 · 107) f ) (4,4 · 108) : (2 · 10–5)g) (5 · 10–7) · (8 · 10–9)

3 ¿Cuál de las siguientes medidas es más precisa (tiene menos error relativo)? Di, en cada una, de qué orden es el error absoluto cometido:a) Altura de Claudia: 1,75 m.b)Precio de un televisor: 1175 €.c) Tiempo de un anuncio: 95 segundos.d)Oyentes de un programa de radio: 2 millones.

4 Di una cota del error absoluto en cada una de estas medidas: 53 s; 18,3 s; 184 s; 8,43 s. ¿En cuál de ellas es mayor el error relativo?

Actividades

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Ejercicios y problemasConsolida lo aprendido utilizando tus competencias

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■ Practica

Números reales

1 a) Clasifica los siguientes números en racio-nales e irracionales:

4113

; √√49 ; 53,)7; 3,2; √√12 ; 3√√3√3 5 ; π

2b) ¿Alguno de ellos es entero?c) Ordénalos de menor a mayor.

2 Di cuáles de los siguientes números son irra-cionales:

–34

; 1,7)3; √√3 ; π; √√9 ; 1 + √√5

2; 3,7

3 Indica cuáles de los siguientes números pue-den expresarse como cociente de dos números en-teros y cuáles no:

21,5; √√7 ; 2,010010001…;3√√3√3 –8; 2 + √√3 ; 0,

)5; 2π – 1

4 Clasifica estos números en naturales, enteros, racionales y reales:

3 – 34

√√2 7,23

–2 π + 1 0 –413

3√√3√3 –1 119

√√5

2 2,48 18 1 + √√2

–1 5√√5√5 –2 1 1,010203…

Intervalos y semirrectas

5 Describe cuáles son los números que pertene-cen a los intervalos siguientes:

A = (–2, 3) B = [5, 10] C = [0, 7)

D = (–1, 4] E = (–@, 2) F = [3, +@)

6 Considera los números siguientes:1; 2; 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1

a) Indica cuáles de ellos pertenecen al intervalo [2, 4).b) ¿Y cuáles pertenecen al intervalo [2, 4]?c) ¿Y cuáles al (2, +@)?

7 Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen estas condiciones, en cada caso:a) 0 < x < 1 b) x Ì –3 c) x > 0d) –5 Ì x Ì 5 e) x > –5 f ) 1 Ì x < 3

8 Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos:a) (1; 2,5) b) [–2, 3] c) [–7, 0)d) [–3, +@) e) (2, +@) f ) (–5, 2]

9 Expresa como intervalos y mediante desigual-dades cada uno de los conjuntos de números repre-sentados:a)

–2 5b)

3c)

2 7d)

–1

10 Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en ca-da caso:a) Menores o iguales que 3.b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0,

pero no el –1.c) Mayores que 2, pero menores que 3.d) Mayores que 5.

Potencias y raíces


a) 3√√3√3 52 b) 5√√5√5 a2 c) 8√√8√8 a5 d) 3√√3√3 x

e) √√a–1 f f f ) 4√√4√4 a2 g) √√a h) √√2

12 Expresa en forma de raíz.a) 32/5 b) 23/4 c) a1/3 d) a1/2

e) x1/4 f ) a3/2 g) x–1/2 h) x–3/2

13 Calcula.a) 251/2 b) 271/3 c) 1252/3 d) 813/4

e) 95/2 f ) 165/4 g) 493/2 h) 85/3

14 Calcula las siguientes raíces:

a) 4√√4√4 16 b) 5√√5√5 243 c) 7√√7√7 0

d) 4√√4√4 1 e) 3√√3√3 –1 f f f ) 5√√5√5 –1

g) 3√√3√3 –27 h)√√144 i) 6√√6√6 15 625

( ) ( ) ( )( ) ( )

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Practica Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen estas condiciones, en cada caso:) 0 < x < 1 b) x Ì –3 c) x > 0

d) –5 Ì x Ì 5 e) x > –5 f ) 1 Ì x < 3

Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos:a) (1; 2,5) b) [–2, 3] c) [–7, 0)d) [–3, +@) e) (2, +@) f ) (–5, 2]

Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en ca-da caso:a) Menores o iguales que 3.b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0,

pero no el –1.c) Mayores que 2, pero menores que 3.d) Mayores que 5.

Expresa en forma de raíz.a) 32/5 b) 23/4 c) a1/3 d) a1/2

e) x1/4 f ) a3/2 g) x–1/2 h) x–3/2

a) 251/2 b) 271/3 c) 1252/3 d) 813/4

e) 95/2 f ) 165/4 g) 493/2 h) 85/3

15 Di el valor de k en cada caso:k en cada caso:k

a) k√√k√k 243 = 3 b) 3√√3√3 k = –2 c) 4√√4√4 k = 32

d) k√√k√k –125 = –5 e) 3√√3√3 k = –1 f f f )√√k√k√4964

= 78

16 Obtén con la calculadora.

a) 5√√5√5 9 b) 3√√3√3 –173 c) 4√√4√4 143

d) 4√√4√4 75,3 e) 6√√6√6 603 f f f ) 3√√3√3 0,062

17 Halla con la calculadora.

a) 283/4 b) 81/2 c) 0,022/3

d)0,83/5 e) 125/2 f) 3,51/5

Radicales

18 Simplifica.

a) 6√√6√6 9 b)√√625 c) 15√√15√15 212

d) 4√√4√4 49 e) 6√√6√6 125 f f f ) 5√√5√5 315

19 Simplifica los siguientes radicales:

a) 10√√10√10 a8 b) 4√√4√4 a12 c) 12√√12√12 a3

d) 8√√8√8 a2 b2 e) 3√√3√3 a6 b6 f f f ) 6√√6√6 a2 b4

20 Multiplica y simplifica el resultado.

a) √√2 · √√3 · √√6 b) 3√√3√3 a · 3√√3√3 a2

c) √√5 · √√10 · √√8 d)√√a · √√a3

21 Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:

a) 3√√3√3 16 b)√√28 c) 4√√4√4 210

d)√√8 e) √√200 f f f )√√300

22 Reduce a un solo radical.

a) √√√√13 b)√√3√√3√3 2 c) √√5√5 3√√3√3 15

d)√√3√3 4√√4√4 25 e) √√√√33 f f f )√√5√5 √√11

23 Calcula y simplifica en cada caso:

a) (√√2)10 b) (3√√3√3 2 )4 c) (4√√4√4 32)8

d)√√4√4 √√8 e) (√√√√2 )10 f f f ) (√√3√3 √√2 )6

24 Ejercicio resueltoEjercicio resuelto

Expresa como un solo radical:

√√63 – 5√√28 + √√112Descomponemos en factores cada radicando:√√63 =√√32 · 7 =3√√7√√28 =√√22 · 7 =2√√7√√112 =√√24 · 7 =4√√7

°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§8 3√√7–5·2√√7+4√√7=

= 3√√7 – 10√√7 + 4√√7 == –3√√7

25 Expresa como un solo radical.a) 2√√45 – 3√√20 b)5√√48 + √√12c) 3√√28 – 5√√7 d) 3√√3√3 81 – 3√√3√3 24

26 Efectúa.a) 2√√8 + 4√√72 – 7√√18 b)√√12 + √√75 – √√27c) √√32 + 3√√50 – 2√√8 d)3√√2 + √√18 – 3√√8

27 Suprime el radical del denominador.

a) 2√√2

b) 4√√6

c) 6√√12

d) 3√√15

28 Suprime el radical del denominador.

a) 33√√3√3 5

b) 18√√8√8 a5

c) 13√√3√3 x

d) 54√√4√4 2

Números aproximados. Notación científica

29 Expresa con un número razonable de cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo de la aproximación que des.a) Oyentes de un programa de radio: 843 754b)Precio de un coche: 28 782 €c) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distan-

cia: 0,0375 segundos.d)Gastos de un ayuntamiento: 48 759 450 €

30 Escribe en notación científica.a) 752 000 000 b) 0,0000512c) 0,000007 d)15 000 000 000

31 Expresa en notación científica.a) 32 · 105 b) 75 · 10–4 c) 843 · 107

d) 458 · 10–7 e) 0,03 · 106 f ) 0,0025 · 10–5

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32 Calcula mentalmente.a) (1,5 · 107) · (2 · 105) b) (3 · 106) : (2 · 1011)

c) (4 · 10–7) : (2 · 10–12) d)√√4 · 108

33 Calcula con lápiz y papel, expresa el resultado en notación científica y compruébalo con la calculadora.a) (3,5 · 107) · (4 · 108) b) (5 · 10–8) · (2,5 · 105)c) (1,2 · 107) : (5 · 10–6) d) (6 · 10–7)2

■ Aplica lo aprendido

34 Halla el área total y el volumen de un cilin-dro de 5 cm de radio y 12 cm de altura. Da su va-lor exacto en función de π.

35 En un círculo cuya circunferencia mide 30π m, cortamos un sector circular de 120° de am-plitud. Halla el área de ese sector dando su valor exacto en función de π.

36 Calcula el área total y el volumen de un cono de 5 cm de radio y 10 cm de generatriz.

Da el valor exacto.

37 Calcula el perímetro de los triángulos ABC, ABC, ABCDEF y DEF y DEF GHI. Expresa el resultado con radicales.GHI. Expresa el resultado con radicales.GHI

4 u

C IC IC IC I

D GA

B EF HB EF HB E

C IC IC IC IC I

38 Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya lon-gitud es √√3 cm. Expresa el resultado con radicales.

¿Sabes clasificar los números en los distintos con-juntos numéricos?

1 Clasifica los siguientes números en naturales, ente-ros, racionales, irracionales y reales:

7,53; √√64 ; √√72

; –5; π4

; 3,2)3; 7

11

¿Conoces y utilizas las distintas notaciones para un intervalo?

2 a) Escribe como intervalo y representa –3 < x Ì 5.

b) Escribe como desigualdad y representa (–@, 8].

c) Escribe en forma de intervalo y representa “los nú-meros mayores que –1”.

d)Expresa como una desigualdad el conjunto de nú-meros representado:

–5 2

¿Sabes identificar una raíz con una potencia y mane-jar las operaciones con radicales?

3 Halla el valor de k en cada caso:k en cada caso:k

a) 3√√3√3 k = 7 b) k√√k√k –125 = –5 c) √√625 = k

4 Simplifica y, si es posible, extrae factores:

a) 3√√3√3 215 b) 8√√8√8 610

c) 3√√3√3 60 · 3√√3√3 18 d)√√3√√3√3 64

5 Opera:

a) 4√√3 – 5√√3 + 2√√3 b) √√12 + √√48 – √√27 – √√75

6 Suprime el radical del denominador y simplifica.

a) 3√√5√√3

b) 144√√4√4 7

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El lenguaje algebraico actual es sencillo, cómodo y operativo. En el largo camino para llegar a él, cabe considerar tres grandes etapas.

Álgebra primitiva o retórica. En ella, todo se des-cribe con lenguaje ordinario. Babilonios, egipcios y griegos antiguos la practicaban; y también los árabes, quienes, entrado ya el siglo ix, retornaron a ella.

Álgebra sincopada. Diofanto (s. iii) fue el pionero, utilizando una serie de abreviaturas que aliviaban los procesos. Por ejemplo, 7x 4 + 2x 3 – 4x 2 + 5x – 6 lo escribía ss7 c2 x5 M s4 u6 (s significa cuadrado; c, cubo; x, incógnita; M, menos; u, número).

Durante el Renacimiento (ss. xv y xvi), el álgebra sincopada mejoró debido a la incorporación de nue-vos símbolos: operaciones, coeficientes, potencias...

Álgebra simbólica. Consiste en una simbolización completa. Vieta, a finales del xvi, mejoró lo que ya había, de modo que su lenguaje algebraico fue prede-cesor del actual. Y Descartes, en el siglo xvii, lo aca-bó de perfeccionar. Actualmente, escribimos el álge-bra tal como lo hacía él, a excepción del signo =, que él lo ponía así: (parece que este signo proviene de una deformación de æ, iniciales de aequalis, igual).

La falta de operatividad del álgebra durante muchos siglos obligó a los matemáticos a agudizar su ingenio para obtener y demostrar relaciones algebraicas. Al-gunos se valieron, para ello, de figuras geométricas, dando lugar al álgebra geométrica.

2Polinomios y fracciones algebraicas

DEBERÁS RECORDAR

■ Cómo se operan los polinomios (suma, resta y multiplicación).

■ Cómo sacar factor común.

■ Las identidades notables.

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Producto de dos polinomios

División de polinomios

x3 x2 – 11x + 13 = (2 + 3) · ( 2 – 5 + 2) + 7

Esta forma de disponer los cálculos permite multiplicar polinomios de manera ordenada y segura. Cuando falta algún término, hay que dejar un hueco en el lugar correspondiente.

Ten en cuenta

Si un polinomio P depende de la variable x, se le suele designar P (x).

Nomenclatura

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios1 Suma y resta de polinomios

Para sumar dos polinomios, agrupamos sus términos y simplificamos los mono-mios semejantes. Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Por ejemplo: A = 3x2 + 5x – 2, x – 2, x B = B = B x3 + 4x2 – 5

3x2 + 5x – 2x – 2x 3x2 + 5x – 2x – 2x

8 x3 + 4x2 – 5 8 –x –x – 3 – 4x2 + 5A

+ B

A + B x3 + 7x2 + 5x – 7x – 7x

A

– B

A – B –x–x– 3 – x2 + 5x +x +x 3

A veces, escribimos directamente el resultado, quitando paréntesis (si los hay) y agrupando los monomios semejantes. Por ejemplo:

• (x2 + 3x + 2)x + 2)x + (2x2 – 5) = x2 + 3x +x +x 2 + 2x2 – 5 = 3x2 + 3x – 3x – 3x

• (3x + 1) – (2x + 1) – (2x x – 3) = 3x – 3) = 3x x +x +x 1 – 2x +x +x 3 = x +x +x 4

Producto de un monomio por un polinomioPara multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Por ejemplo: M = M = M x3 – 2x2 + 5x – 1, x – 1, x N = 3N = 3N x2

x3 – 2x2 + 5x – 1x – 1x

8 3x2

M

Ò N

M · M · M N 3x5 – 6x4 + 15x3 – 3x2

También, en este caso, podemos escribir directamente el resultado. Por ejemplo:

• (2x2 – 3) · (2x) = 4x) = 4x x3 – 6x

• 7(2x + 5) = 14x + 5) = 14x x + 35x + 35x

• (5x2)(6x2 – 4x +x +x 3) = 30x4 – 20x3 + 15x2

1 Sean P = P = P x4 – 3x3 + 5x +x +x 3, Q = 5Q = 5Q x3 + 3x2 – 11. Halla P + Q y Q y Q P – P – P Q.Q.Q

2 Efectúa.

a) 2x (3x2 – 4x)x)x b)5(x3 – 3x)x)x

c) 4x2(–2x +x +x 3) d)–2x (x2 – x +x +x 1)

e) –6(x3 – 4x +x +x 2) f f f ) –x–x– (x4 – 2x2 + 3)

3 Halla los productos siguientes:

a) x (2x +x +x y +y +y 1) b)2a2(3a2 + 5a3)

c) ab (a +a +a b) d)5(3x2 + 7x + 11)x + 11)x

e) x2y2y2 (x +x +x y +y +y 1) f f f ) 5xy 2(2x +x +x 3y3y3 )y)y

g) 6x2y2y2 2(x2 – x +x +x 1) h)–2(5x3 + 3x2 – 8)

i) 3a2b 3(a – a – a b +b +b 1) j) –2x (3x2 – 5x +x +x 8)

ActividadesActividades

Se llama opuesto de un polinomio al que resulta de cambiar de signo todos sus términos:

–(x3 + 2x2 – 5x – 11) =

= –x3 – 2x2 + 5x + 11

Definición

Restamos x2(2x + 3) ÄÄ8

Restamos –5x(2 + 3) ÄÄÄÄÄ8

Restamos 2(2x + 3) ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8

2x3 – 7x2 – 11x + 13 | 2x + 3 – 2x3 – 3x2 x2 – 5x + 2 – 10x2 – 11x + 13 10x2 + 15x 4x + 13 – 4x – 6 7

(2x3) : (2x) = x2

(–10x2) : (2x) = –5x

(4x) : (2x) = 2

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Producto de dos polinomiosPara multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de los fac-tores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y, después, se suman los monomios semejantes obtenidos.

Por ejemplo: P = 2P = 2P x3 – 4x2 – 1, Q = 3Q = 3Q x – 2x – 2x

2x3 – 4x2 – 1 6Ä 6Ä 6Ä P

3x – 2x – 2x 6Ä 6Ä 6Ä Q

–4x3 + 8x2 + 2 6Ä producto de –2 por 6Ä producto de –2 por 6Ä P

6x4 – 12x3 – 3x 6Ä producto de 36Ä producto de 36Ä x por x por x P

6x4 – 16x3 + 8x2 – 3x +x +x 2 6Ä 6Ä 6Ä P · P · P Q

A veces, cuando hay pocos términos, realizamos el producto escribiéndolo direc-tamente. Por ejemplo:

(2x2 – 1) (3x + 4) = 6x + 4) = 6x x3 + 8x2 – 3x – 4x – 4x

División de polinomiosLa división de polinomios es similar a la división entera de números naturales. Veamos cómo se procede en la práctica dividiendo dos polinomios concretos:

P (x) = 2x) = 2x x3 – 7x2 – 11x +x +x 13 Q (x) = 2x) = 2x x +x +x 3 P (x) :x) :x Q (x)x)x

dividendo = divisor · cociente + resto

Por tanto: 2x3 – 7x2 – 11x + 13 = (2xx + 3) · (x2 – 5x + 2) + 7

Esta forma de disponer los cálculos permite multiplicar polinomios de manera ordenada y segura. Cuando falta algún término, hay que dejar un hueco en el lugar correspondiente.

Ten en cuenta

Si un polinomio P depende de la variable x, se le suele designar P (x).

Nomenclatura

Operaciones con polinomios1 Suma y resta de polinomios

Producto de un monomio por un polinomio

Actividades 4 Dados los polinomios P = 3P = 3P x2 – 5, Q = Q = Q x2 – 3x +x +x 2, R = –2R = –2R x +x +x 5, calcula:

a) P · R b)Q · Q · Q R c) P · Q

5 Opera y simplifica:

a) 2x (3x2 – 2) + 5(3x – 4)x – 4)x

b) (x2 – 3)(x +x +x 1) – x (2x2 + 5x)x)x

c) (3x – 2)(2x – 2)(2x x +x +x 1) – 2(x2 + 4x)x)x

6 Efectúa P (x)x)x : Q (x) en cada caso y expresa el resulx) en cada caso y expresa el resulx -tado así:

P (x) = x) = x Q (x)x)x · cociente + resto

a) P (x) = 3x) = 3x x2 – 11x +x +x 5 Q (x) = x) = x x +x +x 6

b)P (x) = 6x) = 6x x3 + 2x2 + 18x +x +x 3 Q (x) = 3x) = 3x x +x +x 1

c) P (x) = 6x) = 6x x3 + 2x2 + 18x +x +x 3 Q (x) = x) = x x

d)P (x) = 5x) = 5x x2 + 11x – 4x – 4x Q (x) = 5x) = 5x x – 2x – 2x

Actividades

Se llama opuesto de un polinomio al que resulta de cambiar de signo todos sus términos:

–(x3 + 2x2 – 5x – 11) =

= –x3 – 2x2 + 5x + 11

Definición

Restamos x2(2x + 3) ÄÄ8

Restamos –5x(2x + 3) ÄÄÄÄÄ8

Restamos 2(2x + 3) ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8

2x3 – 7x2 – 11x + 13 | 2x + 3 – 2x3 – 3x2 x2 – 5x + 2 – 10x2 – 11x + 13 10x2 + 15x 4x + 13 – 4x – 6 7

(2x3) : (2x) = x2

(–10x2) : (2x) = –5x

(4x) : (2x) = 2

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División de un polinomio por x – a. Regla de Ruffini

Es muy frecuente tener que dividir un polinomio por una expresión del tipo x – a. El procedimiento que exponemos a continuación permite realizar esas divisiones de forma rápida y cómoda. Veámoslo por medio de un ejemplo:

7x4 – 11x3 – 94x + 7 | x – 3 – 7x4 + 21x3 7x3 + 10x2 + 30x – 4 10x3 – 10x3 + 30x2 30x2

– 30x2 + 90x – 4x + 4x – 12 – 5

Esta misma división puede realizarse, sintéticamente, del siguiente modo:

3 23 23 21 30 90 –12

7 –11 0 –94 7

7 –5

1 7 9

3 · 10

7 –3 · 10

7 –3 · 307 –3 · 307 –3 · (–7 –3 · (–7 –4)7 –4)7 –

3 2

7 –

–11 + 21

3 ·

7 –3 ·

7 –7

0 + 30 –94 + 90

RESTO

7 – 12

3 5

4

2

6 8

107 –107 –307 –307 ––47 ––47 ––4

cociente: 7 10 30 –4 significa: 7x3 + 10x2 + 30x – 4

resto: –5

Los pasos, numerados en verde, son los mismos que se hacen en la división rea-lizada arriba.

Este método, en el que solo intervienen los coeficientes y solo se realizan las ope-raciones que realmente importan, se llama regla de Ruffini.

La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Las operacio-nes (sumas y multiplicaciones por a) se realizan una a una. Se obtienen, así, los coeficientes del cociente y el resto de la división.

Paolo Ruffini fue un matemático ita-liano que vivió entre los siglos xviii y xix. Se le dio su nombre a esta regla porque la utilizó en la demostración de una importante propiedad mate-mática. Pero dicha regla ya aparecía en un libro de álgebra de Pietro Paoli publicado 25 años antes.

Paolo Ruffini

7 Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones:

a) (5x4 + 6x2 – 11x + 13) : (x – 2)

b) (6x5 – 3x4 + 2x) : (x + 1)

c) (7x2 – 5x3 + 3x4 – 2x + 13) : (x – 4)

d) (4x3 – 9 – 51x2 + 6x4 – 3x) : (x + 3)

8 Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios:

a) (x2 + 3x + 2) : (x + 2)

b) (2x3 + 3x + 1) : (x – 1)

c) (x4 – 3x3 + 2x + 8) : (x – 2)

d) (x5 – 4x3 + 3x2) : (x – 1)

Actividades

7 –11 0 –94 73 21 30 90 –12 7 10 30 –4 | –5 144424443 coeficientes resto del cociente

Factorización de polinomios2 Raíces de un polinomio

n número a se llama raíz de un polinomio P (x) si P (a) = 0. Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P (x) = 0.

ara localizar las raíces enteras de un polinomio, probaremos con los divisores (positivos y negativos) de su término independiente.

Una vez localizada una raíz, a, puesto que P(x) es divisible por x – a, podremos ponerlo así: P(x) = (x – a) · P1(x). Las restantes raíces las buscaremos en P1(x).

Procedimiento para factorizar un polinomio

actorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (fac-tores) del menor grado posible.

eamos, prácticamente, cómo factorizar P (x) = 4x4 – 4x3 – 9x2 + x + 2:

Para localizar las raíces de P (x), iremos probando con los divisores (positivos y negativos) de 2. Empecemos por 1 y por –1:

4 –4 –9 1 21 4 0 –9 –8

4 0 –9 –8 |–6

4 –4 –9 1 2–1 –4 8 1 –2 4 –8 –1 2 |0

1 no es raíz. –1 sí es raíz.

Escribimos P (x) factorizado: P (x) = (x + 1)(4x3 – 8x2 – x + 2)

Ahora buscamos las raíces de P1(x) = 4x3 – 8x 2 – x + 2:

1 ha quedado descartado. Probamos de nuevo con –1 y resulta que no lo es (es decir, –1 es una raíz simple). A continuación, probamos con 2:

2 sí es raíz de P1(x) [y, por tanto, de P(x)]

P1(x) = (x – 2)(4x2 – 1)

4 –8 –1 22 8 0 –2

4 0 –1 | 0

Cuando queda un polinomio cuyas raíces se pueden localizar por otros medios, al hacerlo se concluye el proceso. En nuestro caso, reconocemos que 4x2 – 1 = (2x + 1)(2x – 1). Por tanto, el resultado final es:

P (x) = (x + 1)(x – 2)(2x + 1)(2x – 1) = 4(x + 1)(x – 2)(x + 1/2)(x – 1/2)

Hay polinomios para cuya factorización no es necesario aplicar la regla de Ruffini. Por ejemplo, Q (x) = x4 – x3 – 20x2.

Empezamos por extraer x2 como factor común: Q (x) = x2 (x2 – x – 20)

Ahora hallamos las raíces de x2 – x – 20: x1 = 5 y x2 = –4.

Por tanto, Q (x) = x2 (x – 5)(x + 4).

i si 0, 1, –1, 2 o –2 son raíces de los siguientes polinomios:a) x3 – 4xb) x4 – x3 – 2x2

c) x3 + x2 – 25x – 25d) x5 – 5x3 + 4x

Cálculo mental

as igualdades notables, así como la extracción de factor común, son procedimientos sencillos que ayudan en la factorización de polinomios.

Igualdades notables

• Si llegamos a un polinomio de se-gundo grado sin raíces, dicho poli-nomio queda como un único fac-tor (no se puede descomponer en dos).

• Si un polinomio tiene más de dos raíces no enteras, entonces, aun-que pueda factorizarse, nosotros no sabremos hacerlo.

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División de un polinomio por x – a. Regla de Ruffini

s muy frecuente tener que dividir un polinomio por una expresión del tipo x – a. El procedimiento que exponemos a continuación permite realizar esas divisiones de forma rápida y cómoda. Veámoslo por medio de un ejemplo:

7x4 – 11x3 – 94x + 7 | x – 3 – 7x4 + 21x3 7x3 + 10x2 + 30x – 4 10x3 – 10x3 + 30x2 30x2

– 30x2 + 90x – 4x + 4x – 12 – 5

sta misma división puede realizarse, sintéticamente, del siguiente modo:

cociente: 7 10 30 –4 significa: 7x3 + 10x2 + 30x – 4

resto: –5

Los pasos, numerados en verde, son los mismos que se hacen en la división rea-lizada arriba.

Este método, en el que solo intervienen los coeficientes y solo se realizan las ope-raciones que realmente importan, se llama regla de Ruffini.

a regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Las operacio-nes (sumas y multiplicaciones por a) se realizan una a una. Se obtienen, así, los coeficientes del cociente y el resto de la división.

Paolo Ruffini fue un matemático ita-liano que vivió entre los siglos xviii y xix. Se le dio su nombre a esta regla porque la utilizó en la demostración de una importante propiedad mate-mática. Pero dicha regla ya aparecía en un libro de álgebra de Pietro Paoli publicado 25 años antes.

Paolo Ruffini

Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones:

(5x4 + 6x2 – 11x + 13) : (x – 2)

b) (6x5 – 3x4 + 2x) : (x + 1)

c) (7x2 – 5x3 + 3x4 – 2x + 13) : (x – 4)

d) (4x3 – 9 – 51x2 + 6x4 – 3x) : (x + 3)

Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios:

(x2 + 3x + 2) : (x + 2)

b) (2x3 + 3x + 1) : (x – 1)

c) (x4 – 3x3 + 2x + 8) : (x – 2)

d) (x5 – 4x3 + 3x2) : (x – 1)

Actividades

7 –11 0 –94 73 21 30 90 –12 7 10 30 –4 | –5 144424443 coeficientes resto del cociente

Factorización de polinomiosFactorización de polinomios2 Raíces de un polinomio

Un número a se llama raíz de un polinomio P (x) si P (a) = 0. Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P (x) = 0.

Para localizar las raíces enteras de un polinomio, probaremos con los divisores (positivos y negativos) de su término independiente.

Una vez localizada una raíz, a, puesto que P(x) es divisible por x – a, podremos ponerlo así: P(x) = (x – a) · P1(x). Las restantes raíces las buscaremos en P1(x).

Procedimiento para factorizar un polinomio

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (fac-tores) del menor grado posible.

Veamos, prácticamente, cómo factorizar P (x) = 4x4 – 4x3 – 9x2 + x + 2:

• Para localizar las raíces de P (x), iremos probando con los divisores (positivos y negativos) de 2. Empecemos por 1 y por –1:

4 –4 –9 1 21 4 0 –9 –8

4 0 –9 –8 |–6

4 –4 –9 1 2–1 –4 8 1 –2 4 –8 –1 2 |0

1 no es raíz. –1 sí es raíz.

Escribimos P (x) factorizado: P (x) = (x + 1)(4x3 – 8x2 – x + 2)

• Ahora buscamos las raíces de P1(x) = 4x3 – 8x 2 – x + 2:

1 ha quedado descartado. Probamos de nuevo con –1 y resulta que no lo es (es decir, –1 es una raíz simple). A continuación, probamos con 2:

2 sí es raíz de P1(x) [y, por tanto, de P(x)]

P1(x) = (x – 2)(4x2 – 1)

4 –8 –1 22 8 0 –2

4 0 –1 | 0

• Cuando queda un polinomio cuyas raíces se pueden localizar por otros medios, al hacerlo se concluye el proceso. En nuestro caso, reconocemos que 4x2 – 1 = (2x + 1)(2x – 1). Por tanto, el resultado final es:

P (x) = (x + 1)(x – 2)(2x + 1)(2x – 1) = 4(x + 1)(x – 2)(x + 1/2)(x – 1/2)

Hay polinomios para cuya factorización no es necesario aplicar la regla de Ruffini. Por ejemplo, Q (x) = x4 – x3 – 20x2.

• Empezamos por extraer x2 como factor común: Q (x) = x2 (x2 – x – 20)

• Ahora hallamos las raíces de x2 – x – 20: x1 = 5 y x2 = –4.

Por tanto, Q (x) = x2 (x – 5)(x + 4).

Di si 0, 1, –1, 2 o –2 son raíces de los siguientes polinomios:a) x3 – 4xb) x4 – x3 – 2x2

c) x3 + x2 – 25x – 25d) x5 – 5x3 + 4x

Cálculo mental

Las igualdades notables, así como la extracción de factor común, son procedimientos sencillos que ayudan en la factorización de polinomios.

Igualdades notables

• Si llegamos a un polinomio de se-gundo grado sin raíces, dicho poli-nomio queda como un único fac-tor (no se puede descomponer en dos).

• Si un polinomio tiene más de dos raíces no enteras, entonces, aun-que pueda factorizarse, nosotros no sabremos hacerlo.

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1. Factorizar y decir cuáles son las raíces.

P(x(x( )x)x = 12x5 – 36x4 + 27x + 27x + 27 3

2. Factorizar.

Q(x(x( ) = 4x) = 4x x) = 4x) = 4 2 – 8x +x +x 3

3. Factorizar.

R(x(x( ) = x) = x x3 – x +x +x 6


1. Todos los sumandos tienen el factor x3. Los coeficientes 12, –36 y 27 son múltiplos de 3. Por tanto, podemos sacar 3x3 como factor común.

P(x) = 3x) = 3x x3 (4x2 – 12x +x +x 9)

Observamos que 4x2 – 12x + 9 es igual a (2x + 9 es igual a (2x x – 3)x – 3)x 2.

P(x) = 3x) = 3x x3 (2x – 3)x – 3)x 2

Obtenemos las raíces igualando a 0 cada factor.

Las raíces de P(x) son 0 (raíz triple) y 3/2 (raíz doble).x) son 0 (raíz triple) y 3/2 (raíz doble).x

2. Buscamos las raíces igualando a 0 y resolviendo la ecuación:

4x2 – 8x +x +x 3 = 0 8 x = x = x 12

; x = x = x 32

Por tanto: Q(x) = 4x) = 4x (x – x – x 12)(x – x – x 3

2), o bien:

Q(x) = 2x) = 2x (x – x – x 12) 2(x – x – x 3

2) = (2x – 1)(2x – 1)(2x x – 3)x – 3)x

3. Utilizamos la regla de Ruffini para localizar una raíz entre los divisores de 6:

–2 es una raíz de R(x).x).x

Buscamos raíces de x2 – 2x +x +x 3:

x2 – 2x +x +x 3 = 0 no tiene solución.

1 0 –1 6–2 –2 4 –6

1 –2 3 | 0

Hemos llegado a un polinomio de segundo grado que no tiene raíces.

Entonces: R(x) = (x) = (x x +x +x 2)(x2 – 2x +x +x 3)

1 Factoriza los siguientes polinomios:

a) 3x2 + 2x – 8x – 8x

b) 3x3 – 48x

c) x3 – 2x2 – 5x +x +x 6

d)x3 – 7x2 + 8x +x +x 16

e) x3 – 2x2 – 15x

f ) 2x3 – x2 – x + 2x + 2x

2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio (hazlo en tu cuaderno):

a) x2 + 12x + 36 = (x + )2 b) 49 + 14x + x2

c) 4x2 – 20x + 25 = ( – 5)2 d) 1 + 4x + 4x 2

3 Expresa en cada caso como producto de dos bino-mios (hazlo en tu cuaderno):

a) x2 – 16 = (x + ) (x – ) b) x2 – 1

c) 9 – x2 d) 4x2 – 1

4 Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios:

a) x3 – 6x2 + 9x b) x3 – x

c) 4x4 – 81x2 d) x3 + 2x2 + x

e) 3x3 – 27x f ) 3x2 + 30x + 75

5 Factoriza los polinomios siguientes:

a) x 4 – 8x 3 + 16x 2 b) x 3 – 4x

c) 9x 3 + 6x 2 + x d) 4x 2 – 25

Actividades

Fracciones algebraicas3

Simplificación

Reducción a común denominador

Suma y resta


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1 0 –1 6–2 –2 4 –6

1 –2 3 | 0

Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio (hazlo en tu cuaderno):

x2 + 12x + 36 = (x + )2 b) 49 + 14x + x2

c) 4x2 – 20x + 25 = ( – 5)2 d) 1 + 4x + 4x 2

Expresa en cada caso como producto de dos bino-mios (hazlo en tu cuaderno):

x2 – 16 = (x + ) (x – ) b) x2 – 1

c) 9 – x2 d) 4x2 – 1

Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios:

a) x3 – 6x2 + 9x b) x3 – x

c) 4x4 – 81x2 d) x3 + 2x2 + x

e) 3x3 – 27x f ) 3x2 + 30x + 75

a) x 4 – 8x 3 + 16x 2 b) x 3 – 4x

c) 9x 3 + 6x 2 + x d) 4x 2 – 25

Actividades

Fracciones algebraicasFracciones algebraicas3Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios.fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios.fracción algebraica

Por ejemplo: x3x x x2 – 5

, 1x + 1x + 1x

, 3x + 1x + 1xx x x2 + 6x – 3x – 3x

Las fracciones algebraicas se comportan de forma muy similar a las fracciones numéricas, como veremos a continuación.

SimplificaciónPara simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.

Por ejemplo: 3x (x + 1)x + 1)x 2

6x x x2(x + 1)x + 1)x = 3x (x + 1)(x + 1)(x x + 1)x + 1)x

3 · 2 · x · x · x x · (x · (x x + 1)x + 1)x = x + 1x + 1x

2x

Reducción a común denominadorPara reducir varias fracciones a común denominador, se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador. Este será múltiplo de todos los denominadores.

3x

, 5x – 2x – 2x

Denominador común: x · (x · (x x – 2)x – 2)x

9 93 · (x – 2)x – 2)xx · (x · (x x – 2)x – 2)x

, 5 · x(x – 2) · x – 2) · x x

Observa que en cada fracción se han multiplicado numerador y denominador por el factor apropiado para obtener el denominador común que se desea.

Suma y restaPara sumar o restar fracciones algebraicas, se reducen a común denominador y se suman o se restan los numeradores, dejando el mismo denominador común.

Por ejemplo: 3x

+ 5x – 2x – 2x

= 3(x – 2)x – 2)xx (x – 2)x – 2)x

+ 5xx (x – 2)x – 2)x

= 3x – 6 + 5x – 6 + 5x xx (x – 2)x – 2)x

= 8x – 6x – 6xx x x2 – 2x

1. 3x + 5x + 5x2x + 3x + 3x

– – x – 7x – 7x2x + 3x + 3x

2. 5x + 4x + 4xx

+ + x – 2x – 2x2x

3. 3xx x2

+ + x + 3x + 3xx

4. 3xx – 1x – 1x

– – 2x + 1x + 1x


1. 3x + 5x + 5x2x + 3x + 3x

– x – 7x – 7x2x + 3x + 3x

= 3x + 5 – (x + 5 – (x x – 7)x – 7)x2x + 3x + 3x

= = 2x + 12x + 12x2x + 3x + 3x

2. 5x + 4x + 4xx

+ + x – 2x – 2x2x

= = 2(5x + 4)x + 4)x2x

+ x – 2x – 2x2x

= = 10x + 8 + x + 8 + x x – 2x – 2x2x

= 11x + 6x + 6x2x

3. 3x x x2

+ + x + 3x + 3xx

= 3x x x2

+ + x (x + 3)x + 3)xx · x · x x

= 3 + x x x2 + 3xx x x2

= x x x2 + 3x + 3x + 3xx x x2

4. 3xx – 1x – 1x

– – 2x + 1x + 1x

= (x + 1) · 3x + 1) · 3x x(x + 1)(x + 1)(x x – 1)x – 1)x

– (x – 1) · 2x – 1) · 2x(x + 1)(x + 1)(x x – 1)x – 1)x

= 3x x x2 + 3x – (2x – (2x x – 2)x – 2)x(x + 1)(x + 1)(x x – 1)x – 1)x

= =

= 3x x x2 + x + 2x + 2xx x x2 – 1

Para sumar (o restar) fracciones alge-braicas con el mismo denominador, se suman los numeradores y se man-tiene el denominador común.

3x + 1x + 1x

+ xx + 1x + 1x

– – x – 2x – 2xx + 1x + 1x

= =

= 3 + x – (x – (x x – 2)x – 2)xx + 1x + 1x

= = 5x + 1x + 1x

Atención

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Practica

Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasEjercicios y problemas

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ProductoEl producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus numeradores partido por el producto de sus denominadores.

Por ejemplo: 2xx – 3x – 3x

· 5x + 1x + 1xx x x2

= 2x · (5x · (5x x + 1)x + 1)x(x – 3) · x – 3) · x x x x2

= 10x x x2 + 2xx x x3 – 3x x x2

CocienteEl cociente de dos fracciones algebraicas es el producto de la primera por la in-versa de la segunda (producto cruzado de términos).

Por ejemplo: 3x

: 5x + 2x + 2x

= = 3x

· x + 2x + 2x5

= 3(x + 2)x + 2)x5x

= 3x + 6x + 6x5x

1 Simplifica las fracciones siguientes. Para ello, saca factor común cuando convenga:

a) 15x x x2

5x x x2(x – 3)x – 3)xb) 3(x – 1)x – 1)x 2

9(x – 1)x – 1)x

c) 3x x x2 – 9x x x3

15x x x3 – 3x x x4d) 9(x + 1) – 3(x + 1) – 3(x x + 1)x + 1)x

2(x + 1)x + 1)x

e) 5x x x2(x – 3)x – 3)x 2(x + 3)x + 3)x15x (x – 3)x – 3)x

f ) x (3x x x3 – x x x2)(3x – 1)x – 1)x x x x3

2 Opera y simplifica.

a) 2x

+ 32x

+ x – 2x – 2xx

b) 3x + 1x + 1x

– 2x x x2 + 8xx x x2 + x

– 4x

c) 2x x x2 – 9

– 7xx – 3x – 3x

+ 3

d) 5x x x3 + 15x x x2

x + 3x + 3x – 10x x x3 + 15x x x2

5x x x2 + 2 + 2x

3 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica. Ten en cuenta las identidades notables:

a) x x x2 – 1x

: (x – 1)x – 1)x b) x (x – 2)x – 2)xx

: x x x2 – 4x + 2x + 2x

c) x x x2 – 2x + 1x + 1xx

: x – 1x – 1xx

d)6x x x2 · x – 3x – 3xx x x3

e) 3x – 3x – 3xx x x2

· x (x + 1)x + 1)xx x x2 – 1

f ) 2xx – 1x – 1x

: : 4x x x2

2x – 2x – 2x

g) x + 5x + 5x10

· 5(x + 5)x + 5)x 2

h) 2x x x2

3x · 6x

4x x x3

i) 4x – 3x – 3x2x

· · 4x x x2

8x – 6x – 6xj) 3x – 3x – 3x

x x x2 · 3x

18(x – 1)x – 1)x

4 Opera y simplifica.

a) 6x x x2

4x x x2 – 9 : : ( 5x

2x – 3x – 3x + 5x

2x + 3x + 3x )b) x x x2

5x x x2 – 25 – – 1

5 – x x x3 + x x x2

(x + 1)(5x + 1)(5x x x x2 – 25)

Actividades

Se llama inversa de una fracción alinversa de una fracción alinversa -gebraica a la que se obtiene intercam-biando numerador y denominador:

La inversa de 5x + 2x + 2x

es x + 2x + 2x5

.

Definición

1. 2x – 7x – 7xx

· · 3x + 1x + 1x

2. 5x – 3x – 3x

: xxx x2 + 1

3. 3x

· ( 5x + 3x + 3xx – 1x – 1x

: 5x + 3x + 3xx )


1. 2x – 7x – 7xx

· · 3x + 1x + 1x

= = 3(2x – 7)x – 7)xx (x + 1)x + 1)x

= = 6x – 21x – 21xx x x2 + x

2. 5x – 3x – 3x

: xx x x2 + 1

= 5x – 3x – 3x

· x x x2 + 1x

= 5(x x x2 + 1)(x – 3)x – 3)x x

= 5x x x2 + 5x x x2 – 3x

3. 3x

· (5x + 3x + 3xx – 1x – 1x

: 5x + 3x + 3xx ) = 3

x · 5x + 3x + 3x

x – 1x – 1x · x

5x + 3x + 3x = 3

x – 1x – 1x

UNIDAD

2

29

■ Practica

Operaciones con polinomios

1 Opera y simplifica las siguientes expresiones:a) 3x (2x – 1) – (x – 1) – (x x – 3)(x – 3)(x x + 3)x + 3)x + (x – 2)x – 2)x 2

b) (2x – 1)x – 1)x 2 + (x – 1)(3 – x – 1)(3 – x x) – 3(x) – 3(x x +x +x 5)2

c) 43

(x – 3)x – 3)x 2 – 13

(3x – 1)(3x – 1)(3x x +x +x 1) – 13

(4x3 + 35)

2 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:a) (2y(2y(2 +y +y x)(2x)(2x y)(2y)(2 – y – y x) +x) +x (x +x +x y)y)y 2 – x (y(y( + 3)y + 3)yb) 3x (x +x +x y) – (y) – (y x – x – x y)y)y 2 + (3x +x +x y)y)y y)y)c) (2y(2y(2 +y +y x +x +x 1)(x – 2x – 2x y – 2y – 2 ) – (y) – (y x + 2x + 2x y + 2y + 2 )(y)(y x – 2x – 2x y – 2y – 2 )y)y

3 Halla el cociente y el resto de cada una de es-tas divisiones:a) (7x2 – 5x + 3)x + 3)x : (x2 – 2x + 1)x + 1)xb) (2x3 – 7x2 + 5x – 3)x – 3)x : (x2 – 2x)x)xc) (x3 – 5x2 + 2x +x +x 4) : (x2 – x +x +x 1)

4 Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes:a) (3x5 – 2x3 + 4x – 1)x – 1)x : (x3 – 2x +x +x 1)b) (x4 – 5x3 + 3x – 2)x – 2)x : (x2 + 1)c) (4x5 + 3x3 – 2x)x)x : (x2 – x +x +x 1)

Factor común e identidades notables

5 Expresa como cuadrado de un binomio.a) 16x2 + 1 – 8x b) 36x2 + 25y + 25y + 25 2 + 60xyc) 9x4 + y2 + 6x2y2y2 d) y4 – 2y – 2y – 2 2 + 1

6 Expresa como producto de dos binomios.a) 49x2 – 16 b) 9x4 – y2 c) 81x4 – 64x2

d)25x2 – 3 e) 2x2 – 100 f ) 5x2 – 2

7 Saca factor común e identifica los productos notables como en el ejemplo.• 2x4 + 12x3 + 18x2 = 2x2(x(x( 2 + 6x +x +x 9) = 2x2(x(x( + 3)x + 3)x 2

a) 20x3 – 60x2 + 45x b) 27x3 – 3xy2

c) 3x3 + 6x2y2y2 + 3y + 3y y + 3y + 3 2x d)4x4 – 81x2y2y2 2

Regla de Ruffini. Aplicaciones

8 Aplica la regla de Ruffini para hallar el co-ciente y el resto de las siguientes divisiones:

a) (5x3 – 3x2 + x – 2)x – 2)x : (x – 2)x – 2)x

b) (x4 – 5x3 + 7x +x +x 3) : (x +x +x 1)

c) (–x(–x(– 3 + 4x)x)x : (x – 3)x – 3)x

d) (x4 – 3x3 + 5) : (x +x +x 2)

9 Comprueba si los polinomios siguientes son divisibles por x – 3 o x – 3 o x x +x +x 1.

a) P1(x) = x) = x x3 – 3x2 + x – 3x – 3x

b)P2P2P (x) = x) = x x3 + 4x2 – 11x – 30x – 30x

c) P3P3P (x) = x) = x x4 – 7x3 + 5x2 – 13

☞ Recuerda, para que sea divisible, el resto debe ser 0.

Factorización de polinomios

10 Factoriza los siguientes polinomios:

a) x2 + 4x – 5x – 5x b) x2 + 8x +x +x 15

c) 7x2 – 21x – 280x – 280x d) 3x2 + 9x – 210x – 210x

11 Busca, en cada caso, una raíz entera y factori-za, después, el polinomio:

a) 2x2 – 9x – 5x – 5x b) 3x2 – 2x – 5x – 5x

c) 4x2 + 17x +x +x 15 d) –x–x– 2 + 17x – 72x – 72x

12 Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios:

a) 3x3 – 12x b) 4x3 – 24x2 + 36x

c) 45x2 – 5x4 d) x4 + x2 + 2x3

e) x6 – 16x2 f ) 16x4 – 9

13 Descompón en factores y di cuáles son las raíces de los siguientes polinomios:

a) x3 + 2x2 – x – 2x – 2x b) 3x3 – 15x2 + 12x

c) x3 – 9x2 + 15x – 7x – 7x d) x4 – 13x2 + 36

14 Factoriza los siguientes polinomios y di cuá-les son sus raíces:a) x3 – 2x2 – 2x – 3x – 3x b) 2x3 – 7x2 – 19x + 60x + 60xc) x3 – x – 6x – 6x d) 4x4 + 4x3 – 3x2 – 4x – 1x – 1x


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Producto

Cociente

Actividades

Definición


UNIDAD

2

30

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UNIDAD

2

Aplica lo aprendido

Fracciones algebraicas

15 Simplifica estas fracciones algebraicas: Simplifica estas fracciones algebraicas:

a) 9x12x x x2

b) x (x + 1)x + 1)x5(x + 1)x + 1)x

c) x x x2(x + 2)x + 2)x2x x x3

16 Simplifica las siguientes fracciones algebrai Simplifica las siguientes fracciones algebrai-cas. Para ello, saca factor común:

a) x x x2 – 4xx x x2

b) 3xx x x2 + 2x

c) 3x + 3x + 3x(x + 1)x + 1)x 2

d) 2x x x2 + 4xx x x3 + 2x x x2

e) 8x x x3 – 4x x x2

(2x – 1)x – 1)x 2f ) 5x x x3 + 5x

x x x4 + x x x2

17 Efectúa. Efectúa.

a) 16x

+ 13x x x2

– – 12x x x3

b) 2x

+ x – 1x – 1xx – 7x – 7x

c) 2x

– 3x – 4x – 4x

+ x + 1x + 1xx – 4x – 4x

d) 2xx – 3x – 3x

– – x – 1x – 1xx + 3x + 3x

e) 3x – 1x – 1x

+ 12

+ x4

f ) 3x

– 1x x x2 + x

+ 2

18 Simplifica. Para ello, transforma en producto Simplifica. Para ello, transforma en producto el numerador y el denominador.

a) 2x + 4x + 4x3x x x2 + 6x

b) x + 1x + 1xx x x2 – 1

c) x – 2x – 2xx x x2 + 4 – 4x

d)x x x2 – 3xx x x2 – 9

e) x x x2 – 4x x x2 + 4x + 4x + 4x

f ) x x x3 + 2x x x2 + x3x + 3x + 3x

19 Opera, y simplifica si es posible. Opera, y simplifica si es posible.

a) xx + 1x + 1x

· 3x x x2

b) 3x + 2x + 2xx – 1x – 1x

: x + 1x + 1xx

c) 3(x – 1)x – 1)x 2

: 2x – 1x – 1x

d) (x + 1) : x + 1) : x x x x2 – 12

■ Traducción al lenguaje algebraico

20 Expresa mediante un polinomio cada uno de Expresa mediante un polinomio cada uno de estos enunciados:a) La suma de los cuadrados de dos números conse-

cutivos.b)El área total de un ortoedro de dimensiones x,

2x y 5 cm.x y 5 cm.xc) La cantidad de leche envasada en “x” botellas

de 1,5 l y en “l y en “l y y en “y y en “ ” botellas de 1 l.l.l

d)El área de un triángulo rectángulo en el que un cateto mide 3 cm más que el otro.

21 Expresa algebraicamente y simplifica cada ex-presión obtenida:a) La edad de Alberto dentro de 22 años.b)La cantidad que se obtiene al invertir x euros y x euros y x

ganar el 11%.c) Por un ordenador y un equipo de música se pa-

gan 2 500 €. Si el ordenador cuesta x euros, x euros, x¿cuánto cuesta el equipo de música?

d)Comprar un artículo por x euros y perder el x euros y perder el x15% de su valor. ¿Cuánto costaría ahora?

e) El perímetro de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos mide los 3/5 de la hipote-nusa, y el otro cateto, 5 cm menos que esta.

f f f ) Los lados de un triángulo rectángulo isósceles de 24 cm de perímetro.

22 Expresa algebraicamente y simplifica cada ex-presión obtenida:a) El área de una lámina de bronce cuya base mide

5/3 de su altura.b)El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo

rectángulo cuyos catetos miden 16 – x y 9 – x y 9 – x x.c) El área de un cuadrado de lado x +x +x 3.d)La diferencia de áreas de dos cuadrados de lados

x y x y x x +x +x 3, respectivamente.e) La superficie de un jardín rectangular de base x

y perímetro 70 m.f f f ) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo

rectángulo isósceles de 24 cm de perímetro.g) El área de un rombo sabiendo que la longitud de

una diagonal es el triple de la otra.

23 Expresa algebraicamente cada enunciado. Expresa algebraicamente cada enunciado.a) El cuadrado de la diferencia de dos números.b)La suma de los cuadrados de dos números.c) La diagonal de un rectángulo de dimensiones x e x e x y.d)El coste de la mezcla de dos tipos de café, cuyos

precios son 8 €/kg y 10 €/kg.

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Halla el cociente y el resto:

Autoevaluación

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UNIDAD

2

24 Expresa algebraicamente el área de esta coro Expresa algebraicamente el área de esta coro-na circular.

■ Aplica lo aprendido25 Escribe, en cada caso, un polinomio de se-

gundo grado que tenga por raíces:a) 7 y –7 b)0 y 5c) –2 y –3 d)4 (doble)

26 Escribe, en cada caso, un polinomio que ten Escribe, en cada caso, un polinomio que ten-ga las siguientes raíces:

a) x1 = 1; x2x2x = –1; x3x3x = 2

b)x1 = 0; x2x2x = 2; x3x3x = –1

27 Expresa median-te polinomios el área y el volumen de este or-toedro:

x + x + x 4x – x – x 2

x

28 En un rectángulo de lados x e x e x y inscribimos y inscribimos yun rombo. Escribe el perímetro del rombo en fun-ción de los lados del rectángulo.

x

y

29 Expresa algebraicamente el área de la parte coloreada utilizando x e x e x y. y x

Traducción al lenguaje algebraico

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¿Sabes operar con polinomios?

1 Opera y simplifica:a) (2x + 3) · (x + 3) · (x x2 – 3x) – x) – x x (x + 8)x + 8)xb) (x x x3 – 2x + 3)(x + 3)(x x x x2 + 4x – 1)x – 1)x

2 Halla el cociente y el resto:a) (2x3 + 3x2 – 7) : (x + 1)x + 1)xb) (2x x x3 – 11x x x2 + 5x) : (2x) : (2x x – 1)x – 1)x

¿Factorizas un polinomio con agilidad?

3 Completa en tu cuaderno estas expresiones:a) (x + 5)x + 5)x 2 = x x x2 + + 25b) (2x – x – x )2 = 4x x x2 – 12x + 9x + 9xc) (7x + x + x )2 = x x x2 + x + 16x + 16x

4 Factoriza:a) x4 – 16x2 b)x x x3 – 25xc) x3 – 6x2 + 9x d) x3 – 2x5 – 5x + 6x + 6x

¿Manejas los procedimientos para simplificar distin-tas expresiones algebraicas?

5 Reduce:

a) 6 · (x x x2 + 13

– – x x x2 – 46

– x + 1)b) 3 – x

x2 + 1x

– x x x + 52x

6 Sustituye x por 1 + 2x por 1 + 2x y por 1 + 2y por 1 + 2 en y en y x2 – y – 8 y simplifica.y – 8 y simplifica.y

¿Sabes traducir un enunciado al lenguaje algebraico?

7 Expresa algebraicamente y simplifica.

a) La diferencia de los cuadrados de dos números que suman 7 unidades.

b)Precio final de un producto que costaba x euros x euros xdespués de una subida del 8%.

c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que un cateto mide la mitad del otro.

d)Lo que pago por tres bocadillos y cinco refrescos.

Autoevaluación

xx + + + + x + x 2x

33

Diofanto (siglo iii) propuso problemas algebraicos complejos y los resolvió por métodos originales y muy interesantes. Pero su aportación careció de mé-todo y tuvo poco valor pedagógico.

Al-Jwarizmi (siglo ix) fue quien, por primera vez, realizó un tratamiento sistemático y completo de la resolución de ecuaciones de primero y segundo gra-dos. Su libro Al-jabr wa-l-muqabala, elemental, di-dáctico y exhaustivo, fue muy conocido y estudiado y, posteriormente, traducido a todos los idiomas.

En el siglo xvi, varios algebristas italianos (Tartaglia, Cardano, Ferrari, Fior) mantuvieron unas intere-santísimas, agitadas y fecundas discusiones sobre la resolución de distintos tipos de ecuaciones cúbicas (de tercer grado). Sus diatribas, en muchos casos, se dilucidaban en debates públicos a los que se retaban mediante pasquines. A pesar de que el tono de estos y de aquellas (pasquines y diatribas) distaba mucho de ser correcto, sirvieron para dar un gran impulso a la resolución de ecuaciones de grado superior.

Los sistemas de ecuaciones se plantearon y resolvie-ron de forma simultánea a las ecuaciones, ya que el paso de un sistema de dos ecuaciones con dos incóg-nitas a una ecuación con una incógnita no supone ningún problema especial.

Históricamente, los sistemas de ecuaciones lineales no han sido un reto especialmente difícil. Ya en el siglo ii a.C., los chinos resolvían sistemas lineales de varias ecuaciones con el mismo número de incógni-tas, mediante un método elegante y potente, similar al que se usa en la actualidad.

3Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

DEBERÁS RECORDAR

■ Qué entendemos por ecuación y por su solución.■ En qué consisten y cómo se manejan las desigual-

dades.

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Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones de segundo grado1Las ecuaciones de segundo grado son de la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0, con a ? 0

Ecuaciones completasCuando b ? 0 y c ? 0, se dice que la ecuación es completa y se resuelve apli-cando la siguiente fórmula:

x = x = x –b ± √√b b b2 – 4ac2a

8 °§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§

Si b2 – 4ac > 0, hay dos soluciones.ac > 0, hay dos soluciones.acSi b2 – 4ac = 0, hay una solución.ac = 0, hay una solución.acSi b2 – 4ac < 0, no hay ninguna solución.ac < 0, no hay ninguna solución.ac

Por ejemplo, la ecuación x2 + x – 2 = 0 es completa. En ella, a = 1, b = 1, c = –2. La resolvemos aplicando la fórmula:

x = –1 ± √√1 + 82

= –1 ± √√92

= –1 ± 32

x1 = 1x2x2x = –2

°¢°¢°£¢£¢

Tiene dos soluciones.

Ecuaciones incompletasSi b = 0 o c = 0, la ecuación se llama incompleta y se puede resolver con mucha sencillez, sin necesidad de aplicar la fórmula anterior:

• Si b = 0 8 Despejamos directamente x2. Por ejemplo:

3x2 – 48 = 0 8 3x2 = 48 8 x2 = 16 8 x = ±√√16 = ±4

• Si c = 0 8 Factorizamos sacando factor común. Por ejemplo:

2x2 – x = 0 8 x (2x – 1) = 0 x1 = 02x – 1 = 0 x – 1 = 0 x 8 x2x2x = 1/2

1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 10x2 – 3x – 1 = 0 b) x2 – 20x + 100 = 0

c) 3x2 + 5x + 11 = 0 d) 2x2 – 8x + 8 = 0

2 Resuelve estas ecuaciones:

a) 2x2 – 50 = 0 b) 3x2 + 5 = 0

c) 7x2 + 5x = 0 d) 2x2 + 10x = 0

Actividades

Resuelve sin utilizar la fórmula y, si es posible, a ojo:a) x2 = 9b) x2 – 9 = 0c) 5x2 – 20 = 0d) 3x2 – 300 = 0e) (x – 5)2 = 25f ) (x – 5)2 = 4g) 3(x – 2)2 = 3h) 3(x – 2)2 – 3 = 0i) 7(x – 4)2 = 63j) 7(x – 4)2 – 63 = 0

Cálculo mental

Las ecuaciones incompletas también se pueden resolver por la fórmula an-terior, pero es mucho más cómodo resolverlas mediante el procedimien-to adjunto.

Ten en cuenta

Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 9x2 + 6x +x +x 1 = 0 b)5x2 – 7x – 7x – 7 +x +x 3 = 0 c) 5x2 + 45 = 0

a) x = x = x –6 ± √√36 – 3618

= –618

= –13

. Solución única.

b)x = x = x 7 ± √√49 – 6010

= 7 ± √√–1110

. Sin solución.

c) 5x2 + 45 = 0 8 5x2 = –45 8 x2 = –9 8 x = ± √√–9. Sin solución.

Ejercicio resuelto

Otros tipos de ecuaciones2

Ecuaciones factorizadas

x (x – 1)(x2 – 5x + 6) = 0 x1 = 0x – 1 = 0 8 x2 = 1

x2 – 5x + 6 = 0

Ecuaciones con radicales

Resolvamos la ecuación + 2 = 2x :

Aislamos el radical en un miembro, pasando al otro lo demás:

= 2x – 2

Elevamos al cuadrado los dos miembros:

( )2 = (2x – 2)2 8 x2 + 7 = 4x2 – 8x + 4

Pasamos todo a un miembro y lo ordenamos:

x2 + 7 – 4x2 + 8x – 4 = 0 8 –3x2 + 8x + 3 = 0

Resolvemos la ecuación obtenida: (a = –3, b = 8, c = 3)

x = ± = ± = ± 10

En este tipo de ecuaciones (con radicales), al elevar al cuadrado (2.° paso), pue-den aparecer soluciones falsas. Por eso, es necesario comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación inicial. En este caso, x = –1/3 no es solución, pero x = 3 sí lo es.

La ecuación tiene una solución: x = 3

(x – 4)(x – 6) = 0 b) (x + 2)(x – 3) = 0

c) x (x + 1)(x – 5) = 0 d) (3x + 1)(2x – 3) = 0

e) x (x2 – 64) = 0 f ) (2x + 1)(x2 + 5x – 24) = 0

Actividades

Para resolver una ecuación de este tipo:

[…] · […] · […] = 0es decir, “producto de varios facto-res igualado a cero”, igualamos a cero cada uno de los factores y resolvemos las correspondientes ecuaciones.

No lo olvides

Para resolver una ecuación en la que aparece un radical:• Se aísla el radical en uno de los

miembros.• Se elevan al cuadrado los dos

miembros, con lo que desaparece el radical.

• Se resuelve la ecuación resultante.• Se comprueba la validez de cada

solución sobre la ecuación inicial.

No lo olvides

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Ecuaciones de segundo grado1Las ecuaciones de segundo grado son de la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0, con a ? 0

Ecuaciones completas

±

n x2 + x – 2 = 0 es completa. En ella, a = 1, b = 1, c = –2. La resolvemos aplicando la fórmula:

x = ± = ± =

Ecuaciones incompletasSi b = 0 o c = 0, la ecuación se llama incompleta y se puede resolver con mucha sencillez, sin necesidad de aplicar la fórmula anterior:

Si b = 0 8 Despejamos directamente x2. Por ejemplo:

3x2 – 48 = 0 8 3x2 = 48 8 x2 = 16 8 x = ± = ±4

Si c = 0 8 Factorizamos sacando factor común. Por ejemplo:

2x2 – x = 0 8 x (2x – 1) = 0

10x2 – 3x – 1 = 0 b) x2 – 20x + 100 = 0

c) 3x2 + 5x + 11 = 0 d) 2x2 – 8x + 8 = 0

2x2 – 50 = 0 b) 3x2 + 5 = 0

c) 7x2 + 5x = 0 d) 2x2 + 10x = 0

Actividades

Resuelve sin utilizar la fórmula y, si es posible, a ojo:a) x2 = 9b) x2 – 9 = 0c) 5x2 – 20 = 0d) 3x2 – 300 = 0e) (x – 5)2 = 25f ) (x – 5)2 = 4g) 3(x – 2)2 = 3h) 3(x – 2)2 – 3 = 0i) 7(x – 4)2 = 63j) 7(x – 4)2 – 63 = 0

Cálculo mental

Las ecuaciones incompletas también se pueden resolver por la fórmula an-terior, pero es mucho más cómodo resolverlas mediante el procedimien-to adjunto.

Ten en cuenta

±

± ±

5x2 + 45 = 0 8 5x2 = –45 8 x2 = –9 8 x = ± . Sin solución.

Ejercicio resuelto

Otros tipos de ecuacionesOtros tipos de ecuaciones2Hay ecuaciones que no son de primer ni de segundo grado, pero que podrás resolver aplicando lo que ya sabes. Veamos algunos ejemplos.

Ecuaciones factorizadasQueremos resolver la ecuación x (x – 1)(x – 1)(x x2 – 5x +x +x 6) = 0.

En el primer miembro aparece el producto de tres factores. Para que un producto sea cero, es necesario que uno de los factores sea cero.

Por tanto, igualamos a cero cada uno de los factores:

x (x – 1)(x2 – 5x + 6) = 0 x1 = 0x – 1 = 0 8 x2 = 1

x2 – 5x + 6 = 0 x3 = 2x4x4x = 3

Ecuaciones con radicales

Resolvamos la ecuación √√x x x2 + 7 + 2 = 2x :

• Aislamos el radical en un miembro, pasando al otro lo demás:

√√x x x2 + 7 = 2x – 2

• Elevamos al cuadrado los dos miembros:

(√√x x x2 + 7)2 = (2x – 2)2 8 x2 + 7 = 4x2 – 8x + 4

• Pasamos todo a un miembro y lo ordenamos:

x2 + 7 – 4x2 + 8x – 4 = 0 8 –3x2 + 8x + 3 = 0

• Resolvemos la ecuación obtenida: (a = –3, b = 8, c = 3)

x = –8 ± √√64 + 36–6

= –8 ± √√100–6

= –8 ± 10–6

x1 = –1/3x2x2x = 3

• En este tipo de ecuaciones (con radicales), al elevar al cuadrado (2.° paso), pue-den aparecer soluciones falsas. Por eso, es necesario comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación inicial. En este caso, x = –1/3 no es solución, pero x = 3 sí lo es.

La ecuación tiene una solución: x = 3


a) (x – 4)(x – 6) = 0 b) (x + 2)(x – 3) = 0

c) x (x + 1)(x – 5) = 0 d) (3x + 1)(2x – 3) = 0

e) x (x2 – 64) = 0 f ) (2x + 1)(x2 + 5x – 24) = 0

2 Resuelve.

a) √√x – 3 = 0 b)√√x + 2 = x

c) √√4x + 5x + 5x = x +x +x 2 d)√√x + 1x + 1x – 3 = x – 8x – 8x

e) √√2x x x2 – 2 = 1 – x f f f )√√3x x x2 + 4 = √√5x + 6x + 6x

Actividades

Para resolver una ecuación de este tipo:

[…] · […] · […] = 0es decir, “producto de varios facto-res igualado a cero”, igualamos a cero cada uno de los factores y resolvemos las correspondientes ecuaciones.

No lo olvides

Para resolver una ecuación en la que aparece un radical:• Se aísla el radical en uno de los

miembros.• Se elevan al cuadrado los dos

miembros, con lo que desaparece el radical.

• Se resuelve la ecuación resultante.• Se comprueba la validez de cada

solución sobre la ecuación inicial.

No lo olvides

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Ecuaciones con la x en el denominador

Resolvamos la ecuación 200x

+ 5 = 200x – 2x – 2x

:

• Para suprimir los denominadores, multiplicamos todo por x · (x · (x x – 2):x – 2):x

200(x – 2)x – 2)x + 5x(x – 2) = 200x – 2) = 200x x x x 8 200x – 400 + 5x – 400 + 5x x2 – 10x = 200x = 200x x x x 8

8 5x2 – 10x – 400 = 0 x – 400 = 0 x 8 x2 – 2x – 80 = 0 x – 80 = 0 x 8

8 x = x = x 2 ± √√4 + 3202

x1 = 10x2x2x = –8

• Comprobamos en la ecuación inicial y vemos que ambas soluciones son válidas.

Por tanto, la ecuación inicial tiene dos soluciones: x = –8 y x = –8 y x x = 10.x = 10.x

Ecuaciones bicuadradas: ax 4 + bx 2 + c = 0Son ecuaciones de 4.° grado sin términos de grado impar. Para resolverlas, ha-cemos x2 = z y, por tanto, x4 = z2. Se obtiene así una ecuación de segundo grado cuya incógnita es z :

az2 + bz + c = 0

Una vez resuelta, se obtienen los correspondientes valores de x. Por cada valor positivo de z habrá dos valores de x, pues x2 = z 8 x = ±√Una vez resuelta, se obtienen los correspondientes valores de

√Una vez resuelta, se obtienen los correspondientes valores de

√z .

ActividadesActividadesActividades

3 Un vendedor callejero lleva un cierto número de relo-jes, por los que piensa sacar 200 €. Pero comprueba que dos de ellos están deteriorados. Aumentando el precio de los restantes en 5 €, consigue recaudar la misma cantidad. ¿Cuántos relojes llevaba?

☞ Llevaba x relojes. El precio de cada uno iba a ser 200x .

4 El lado menor de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Calcular el otro cateto sabiendo que la hipotenusa mide 1 cm más que él.☞ Si los catetos miden 5 cm y x cm, la hipotenusa medirá

√√x 2 + 252 + 252 cm.

5 Un grupo de amigos alquilan un autocar por 2 000 €para una excursión.

Fallan 4 de ellos, por lo que los restantes deben pagar 25 € más cada uno.

¿Cuántos había al principio?

6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 8 cm. Calcula la longitud del otro cateto sabiendo que la hipotenusa mide 2 cm más que él.

Actividades

Resolver la ecuación x4 – 13x2 + 36 = 0.

x4 – 13x2 + 36 = 0 x x x2 = zÄÄ8 z2 – 13z + 36 = 0

z = 13 ± √√169 – 1442

= 13 ± 52

8 °¢°¢°£¢£¢

z = 9 8 x = ±3z = 4 8 x = ±2

Soluciones: x1 = 3, x2 = – 3, x3 = 2, x4 = –2

Ejercicio resuelto

1 Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) 10x + 3x + 3x

+ 5 = 4x – 1x – 1x

b) 2 000x

+ 25 = 2000x – 4x – 4x

c) 1x

+ 1x x x2 = 3

4

2 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:a) x4 – 5x2 + 4 = 0b) x4 + 3x2 – 4 = 0c) x4 + 5x2 + 4 = 0d) x4 – 25x2 = 0e) x4 – 3x2 + 4 = 0

Entrénate

Sistemas de ecuaciones lineales3Dos ecuaciones forman un cuando lo que pretende-mos de ellas es encontrar su solución común.

Si ambas ecuaciones son lineales, se dice que el sistema es lineal.

Resolución de un sistema lineal

Método de sustitución

una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra. Se obtiene, así, una ecuación con una incógnita. Se resuelve. Su solución se sustituye en la primera ecuación. Por ejemplo:

8 = 15 – 2 8 3(15 – 2 ) – 5 = 1 8 … 8 = 4 8

8 = 15 – 2 · 4 = 15 – 8 = 7

Solución: x = 7, y = 4

Método de igualación

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados. Al igual que en el método anterior, también en este se obtiene una ecuación con una incógnita. Por ejemplo:

8

8 8 = 15 – 2y 8 y = 4

= 15 – 2 · 4 = 7


Método de reducción

preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números que convenga) para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Al restarlas se obtiene una ecuación sin esa incógnita. Por ejemplo:

1.ª · 4ÄÄÄ82.ª · 3ÄÄÄ8

Restando: 26 = 286 8 y = 11

3x + 5 · 11 = 76 8 x = 7


Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando los tres méto-dos que conoces: sustitución, iguala-ción y reducción:

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Ecuaciones con la x en el denominador

±

Ecuaciones bicuadradas: ax 4 + bx 2 + c = 0Son ecuaciones de 4.° grado sin términos de grado impar. Para resolverlas, ha-cemos x2 = z y, por tanto, x4 = z2. Se obtiene así una ecuación de segundo grado cuya incógnita es z :

az2 + bz + c = 0

Una vez resuelta, se obtienen los correspondientes valores de x. Por cada valor positivo de z habrá dos valores de x, pues x2 = z 8 x = ± .

Actividades

€

€

€

€

Actividades

x4 – 13x2 + 36 = 0 ÄÄ8 z2 – 13z + 36 = 0

z = = 8 z = 9 8 x = ±3z = 4 8 x = ±2

Soluciones: x1 = 3, x2 = – 3, x3 = 2, x4 = –2

Ejercicio resuelto

Resuelve las ecuaciones siguientes:

Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:a) x4 – 5x2 + 4 = 0b) x4 + 3x2 – 4 = 0c) x4 + 5x2 + 4 = 0d) x4 – 25x2 = 0e) x4 – 3x2 + 4 = 0

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Sistemas de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones lineales3Vamos a recordar qué son los sistemas de ecuaciones y cómo se resuelven.

Dos ecuaciones forman un sistema de ecuaciones cuando lo que pretende-mos de ellas es encontrar su solución común.

Si ambas ecuaciones son lineales, se dice que el sistema es lineal.

°¢°¢°£¢£¢

a a ax + x + x b b b y y = y = y ca'x + a'x + a'x b'y = b'y = b'y c'

Resolución de un sistema lineal

■Método de sustitución

Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra. Se obtiene, así, una ecuación con una incógnita. Se resuelve. Su solución se sustituye en la primera ecuación. Por ejemplo:

3x – 5x – 5x y – 5y – 5 = 1y = 1y x + 2x + 2x y + 2y + 2 = 15y = 15y

°¢°¢°£¢£¢ 8 xx = 15 – 2y = 15 – 2y = 15 – 2 8 3(15 – 2y 3(15 – 2y 3(15 – 2y) – 5y) – 5y) – 5 = 1 8 … 8 y = 4 8

8 x = 15 – 2 · 4 = 15 – 8 = 7


■Método de igualación

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados. Al igual que en el método anterior, también en este se obtiene una ecuación con una incógnita. Por ejemplo:

3x – 5x – 5x y – 5y – 5 = 1y = 1y

x + 2x + 2x y + 2y + 2 = 15y = 15y

°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§ 8 x = x = x 1 + 5y1 + 5y1 + 5

38 x = 15 – 2x = 15 – 2x y = 15 – 2y = 15 – 2

°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§ 8 1 + 5y1 + 5y1 + 5

3 = 15 – 2y 8 y = 4

x = 15 – 2 · 4 = 7


■Método de reducción

Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números que convenga) para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Al restarlas se obtiene una ecuación sin esa incógnita. Por ejemplo:

3x + 5x + 5x y + 5y + 5 = 76y = 76y4x – 2x – 2x y – 2y – 2 = 6y = 6y

°¢°¢°£¢£¢

1.ª · 4ÄÄÄ82.ª · 3ÄÄÄ8

12x + 20x + 20x y + 20y + 20 = 304y = 304y12x – x – x 6y6y6 = 18y = 18y

Restando: 26y26y26 = 286 8 y = 11

3x + 5 · 11 = 76 8 x = 7


Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando los tres méto-dos que conoces: sustitución, iguala-ción y reducción:

a) °¢°¢°

£¢£¢x + x + x y = 5y = 5y

x – x – x y = –1y = –1yb)°

¢°¢°

£¢£¢x + 2x + 2x y + 2y + 2 = 1y = 1y

3x + x + x 2y2y2 = –5y = –5y

c) °¢°¢°

£¢£¢–x–x– – 3x – 3x y – 3y – 3 = –15y = –15y

x – x – x y = –5y = –5yd)°

¢°¢°

£¢£¢2x + 3x + 3x y + 3y + 3 = 2y = 2y

x – x – x y = 1/6y = 1/6y

e) °¢°¢°

£¢£¢x + 4x + 4x y + 4y + 4 = 0y = 0y

2x2x2 – 4x – 4x y – 4y – 4 = –3y = –3yf ) °

¢°¢°

£¢£¢x + x + x y = 1y = 1y

x – x – x y = 0y = 0y

g) °¢°¢°

£¢£¢x + x + x y = 5y = 5y

2x2x2 + 2x + 2x y + 2y + 2 = –1y = –1yh)°

¢°¢°

£¢£¢2x – x – x y = 3y = 3y

x – x – x 12 y = –1y = –1y

i) °¢°¢°

£¢£¢x + x + x y = 5y = 5y

2x + 2x + 2x y + 2y + 2 = 10y = 10yj) °

¢°¢°

£¢£¢2x – x – x y = 5y = 5y6x + x + x 3y3y3 = –15y = –15y

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Sistemas de ecuaciones no linealesSistemas de ecuaciones no lineales4Son aquellos en los que una de las dos ecuaciones, o ambas, son no lineales, es decir, tienen monomios de segundo grado (x2, y2, x · y) o de grado superior, o radicales, o alguna incógnita en el denominador…

Para resolverlos, podemos despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el resultado en la otra (método de sustitución) o eliminar una incógnita simplifi-cando entre las dos ecuaciones (método de reducción) o cualquier otro método por el que podamos pasar a una ecuación con una incógnita.

Los sistemas de ecuaciones no linea-les se resuelven de forma esencial-mente igual a los sistemas lineales.

Ten en cuenta

Si hay raíces o incógnitas en el de-nominador, al resolver la ecuación puede aparecer alguna solución falsa. Por eso, en tales casos, es necesario comprobar todas las soluciones sobre el sistema inicial.

No lo olvides

1 Resuelve los siguientes sistemas:

a) °¢°¢°£¢£¢

x – x – x y = 15y = 15yx · x · x y = 100y = 100y

b)°¢°¢°£¢£¢

x2 + xy +xy +xy y 2 = 21x +x +x y = 1y = 1y

c) °¢°¢°£¢£¢

2x – x – x y = 2y = 2yx2 + xy = 0xy = 0xy

d)°¢°¢°£¢£¢ y = y = y √√x + 1x + 1x

y = 5 – y = 5 – y x

Actividades

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) °¢°¢°£¢£¢

y°y° – y – y x = 1x = 1xx2 + y 2 = 5

b)°¢°¢°£¢£¢

x2 + y2 = 58x2 – y 2 = 40

a) Aplicamos el método de sustitución:

°¢°¢°£¢£¢

y°y° – y – y x = 1x = 1x 8 y = 1 + xx2 + y 2 = 5 8 x2 + (1 + x)2 = 5 8 x2 + 1 + x2 + 2x = 5 8

8 2x2 + 2x – 4 = 0 8 x2 + x – 2 = 0 8

8 x1 = 1 8 y1 = 1 + 1 = 2x2 = –2 8 y2 = 1 – 2 = –1

Hay dos soluciones: x1 = 1, y1 = 2

x2 = –2, y2 = –1

b) Aplicamos el método de reducción:

°¢°¢°£¢£¢

x2 + y2 = 58x2 – y 2 = 40

Sumando: 2x2 = 98 8 x2 = 49 8 x = ±7x = ±7x

Si x = 7 8 49 + y2 = 58 8 y2 = 9 8 y = ±3Si x = –7 8 49 + y2 = 58 8 y2 = 9 8 y = ±3

Hay cuatro soluciones: x1 = 7, y1 = 3

x2 = 7, y2 = –3

x3 = –7, y3 = 3

x4 = –7, y4 = –3

Ejercicio resuelto

Inecuaciones de primer grado5A veces, los enunciados que dan lugar a una expresión algebraica no dicen “es igual a”, sino “es mayor que” o “es menor que”. Estos enunciados dan lugar a expresiones como estas, llamadas inecuaciones:

2x + 4 > 0 10 – 5x Ì 15

Una inecuación es una desigualdad algebraica. Tiene dos miembros entre los cuales aparece uno de estos signos: <, Ì, >, Ó.

Se llama solución de una inecuación a cualquier valor de la incógnita que hace cierta la desigualdad.

Las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones (solo hay un número igual, pero hay infinitos números menores que otro).

Resolución de una inecuación de primer gradoPara resolver una ecuación, seguíamos una serie de pasos: quitar paréntesis, quitar denominadores, pasar las x a un miembro y los números al otro…

Todos ellos son válidos, exactamente igual, para las inecuaciones, salvo uno:

Si se multiplican o se dividen los dos miembros de una inecuación por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Actividades

a < b a es menor que b.

a Ì b a es menor que b o igual a b.

a > b a es mayor que b.

a Ó b a es mayor que b o igual a b.

Recuerda

2 < 5 8 –2 > –5

–x > 3 8 x < –3

–2x Ó 1 8 x Ì

No lo olvides

<

Ejercicio resuelto

< < < <

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Sistemas de ecuaciones no lineales4Son aquellos en los que una de las dos ecuaciones, o ambas, son no lineales, es decir, tienen monomios de segundo grado (x2, y2, x · y) o de grado superior, o radicales, o alguna incógnita en el denominador…

Para resolverlos, podemos despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el resultado en la otra (método de sustitución) o eliminar una incógnita simplifi-cando entre las dos ecuaciones (método de reducción) o cualquier otro método por el que podamos pasar a una ecuación con una incógnita.

Los sistemas de ecuaciones no linea-les se resuelven de forma esencial-mente igual a los sistemas lineales.

Ten en cuenta

Si hay raíces o incógnitas en el de-nominador, al resolver la ecuación puede aparecer alguna solución falsa. Por eso, en tales casos, es necesario comprobar todas las soluciones sobre el sistema inicial.

No lo olvides

Resuelve los siguientes sistemas:

Actividades

Aplicamos el método de sustitución:

y = 1 + xx2 + (1 + x)2 = 5 x2 + 1 + x2 + 2x = 5 8

8 2x2 + 2x – 4 = 0 8 x2 + x – 2 = 0 8

8 x1 = 1 8 y1 = 1 + 1 = 2x2 = –2 8 y2 = 1 – 2 = –1

Hay dos soluciones: x1 = 1, y1 = 2

x2 = –2, y2 = –1

b) Aplicamos el método de reducción:

Si x = 7 49 + y2 = 58 y2 = 9 y = ±3Si x = –7 49 + y2 = 58 y2 = 9 y = ±3

Hay cuatro soluciones: x1 = 7, y1 = 3

x2 = 7, y2 = –3

x3 = –7, y3 = 3

x4 = –7, y4 = –3

Ejercicio resuelto

Inecuaciones de primer gradoInecuaciones de primer grado5A veces, los enunciados que dan lugar a una expresión algebraica no dicen “es igual a”, sino “es mayor que” o “es menor que”. Estos enunciados dan lugar a expresiones como estas, llamadas inecuaciones:

2x + 4 > 0 10 – 5x Ì 15

Una inecuación es una desigualdad algebraica. Tiene dos miembros entre los cuales aparece uno de estos signos: <, Ì, >, Ó.

Se llama solución de una inecuación a cualquier valor de la incógnita que hace cierta la desigualdad.

Las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones (solo hay un número igual, pero hay infinitos números menores que otro).

Resolución de una inecuación de primer gradoPara resolver una ecuación, seguíamos una serie de pasos: quitar paréntesis, quitar denominadores, pasar las x a un miembro y los números al otro…

Todos ellos son válidos, exactamente igual, para las inecuaciones, salvo uno:

Si se multiplican o se dividen los dos miembros de una inecuación por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

1 Traduce a lenguaje algebraico.

a) El triple de un número más 8 unidades es menor que 20.

b)El doble del número de personas de mi clase no supera a 70.

2 Resuelve y representa gráficamente las soluciones.

a) 5x < –5 b) 2x +x +x 3 Ó 7

c) 104 – 9x Ì 4(5x – 3)x – 3)x d)3(4 – x) x) x > 18x +x +x 5

e) x4

– x Ó 5x3

– 16

f f f ) 4 – 2x3

> 2(x – 3)x – 3)x

Actividades

a < b a es menor que b.

a Ì b a es menor que b o igual a b.

a > b a es mayor que b.

a Ó b a es mayor que b o igual a b.

Recuerda

2 < 5 8 –2 > –5

–x > 3 8 x < –3

–2x Ó 1 8 x Ì –12

No lo olvides

Resolver estas inecuaciones:

a) 2x +x +x 1 < 7

b)7 – 5x Ì 12

Ejercicio resuelto

a) 2x + 1 x + 1 x < 7 8 2x < 6 8 x < 6 : 2 8 x < 3

Solución: x puede ser cualquier número menor que 3.x puede ser cualquier número menor que 3.x

Conjunto de soluciones: (–@, 3)0 1 2 3

b)7 – 5x Ì 12 8 –5x Ì 12 – 7 8 –x –x – Ì 5 : 5 8 –x –x – Ì 1 8 x Ó –1

(Al cambiar de signo, cambia el sentido de la desigualdad).

Solución: x puede ser –1 o cualquier número mayor que él.x puede ser –1 o cualquier número mayor que él.x

Conjunto de soluciones: [–1, +@)–2 –1 0 1 2 3

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Sistemas de inecuacionesSi deseamos encontrar las soluciones comunes a varias inecuaciones, decimos que estas forman un sistema de inecuaciones.

Por ejemplo:

• Las soluciones de 2x + 1 < 7 son x < 3

–2 –1 0 1 2 3 4

• Las soluciones de 7 – 5x Ì 12 son x Ó – 1

–2 –1 0 1 2 3 4

Por tanto, las soluciones del sistema formado por ambas ecuaciones:

°¢°¢°£¢£¢

2x +x +x 1 < 77 – 5x Ì 12

son –1 Ì x < 3 –2 –1 0 1 2 3 4

Cuando decimos “las soluciones son x < 3” queremos decir “las solucio-nes son todos los números menores que 3”.Análogamente, x Ó –1 significa “el número –1 y todos los números ma-yores que él”.

Observa

3 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) °¢°¢°£¢£¢

3x Ì 152x Ó 8

b)°¢°¢°£¢£¢

3x – 5 x – 5 x Ì x +x +x 12x +x +x 4 < 5x – 8x – 8x

c) °¢°¢°£¢£¢

5x – 7 x – 7 x > 233 – 2x > x – 30x – 30x

d)°¢°¢°£¢£¢

–2x – 1 x – 1 x Ó 14 – 8x5x + 8 x + 8 x > 6x + 5/2x + 5/2x

4 Tres amigos contratan tres viajes a Praga. Les cuesta algo menos de 2 200 € en total. Cinco amigos con-tratan el mismo viaje. Por ser cinco, les hacen una bo-nificación de 500 €, y pagan algo más de 3 000 €.

¿Cuánto vale ese viaje a Praga, si sabemos que es múl-tiplo de 10 €?

Actividades

1. Resolver este sistema de inecuaciones:

°¢°¢°£¢£¢

3x +x +x 2 Ì 175 – x < 2

2. ¿Cuánto vale un chocolate con churros en el bar de la esqui-na? Ayer fuimos 6 personas y nos costó más de 20 €. Hoy hemos ido 8 personas y ha costado menos de 30 €.

Problema resuelto

1. 1.a inecuación: 3a inecuación: 3a x +x +x 2 Ì 17 8 3x Ì 15 8 x Ì 5

0 1 2 3 4 5 6

2.a inecuación: 5 – a inecuación: 5 – a x < 2 8 –x –x – < –3 8 x > 3

0 1 2 3 4 5 6

Sistema: Solución: 3 < x Ì 5

0 1 2 3 4 5 6

La solución del sistema es cualquier número mayor que 3, que no supere al 5.

2. Llamamos x al precio del chocolate con churros:x al precio del chocolate con churros:x

Ayer: 6x > 20 8 x > 3,)3 8 x Ó 3,34 €

Hoy: 8x < 30 8 x < 3,75 € 8 x Ì 3,74 €

Por tanto, su precio está comprendido entre 3,34 € y 3,74 €. Probablemente, sea 3,50 €.

Practica

Las siguientes ecuaciones son de segundo gra-do e incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula general:

a) (3x + 1)(3x – 1) + = 1 – 2x

b) – =

c) = +

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) (2x + 1)2 = 1 + (x – 1)(x + 1)

b) + x =

c) x + – = x2 – 2

Halla el conjunto de soluciones de cada inecuación y represéntalo.

a) 3x – 7 < 5 b) 2 – x > 3

c) 7 Ó 8x – 5 d) 1 – 5x Ì –8

e) 6 < 3x – 2 f ) –4 Ó 1 – 10x

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Completa en tu cuaderno para que los siguien-tes sistemas tengan como solución x = –1, y = 2:


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Sistemas de inecuacionesSi deseamos encontrar las soluciones comunes a varias inecuaciones, decimos que estas forman un sistema de inecuaciones.

Por ejemplo:

Las soluciones de 2x + 1 < 7 son x < 3

Las soluciones de 7 – 5x Ì 12 son x Ó – 1

Por tanto, las soluciones del sistema formado por ambas ecuaciones:

Ì son –1 Ì x < 3

Cuando decimos “las soluciones son x < 3” queremos decir “las solucio-nes son todos los números menores que 3”.Análogamente, x Ó –1 significa “el número –1 y todos los números ma-yores que él”.

Observa

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€ €

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Actividades

Ì

€

€

Problema resuelto

Ì Ì Ì

Ì

)Ó €

€ Ì €

€ €

€

■ Practica

Ecuaciones: soluciones por tanteo

1 Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones:a) 2x +x +x 3 = 32 b)√√2x + 1x + 1x = 9c) xx + 1x + 1x = 8 d) (x – 1)x – 1)x 3 = 27

2 Busca por tanteo, con la calculadora, una so Busca por tanteo, con la calculadora, una so-lución aproximada hasta las décimas.a) x3 + x2 = 20 b)xx = 35x = 35x

c) 3x = 1 000x = 1 000x d)x3 = 30

Ecuaciones de segundo grado


a) x2 – 2x – 3 = 0x – 3 = 0x b)2x2 – 7x – 4 = 0x – 4 = 0x

c) 2x2 – 5x – 3 = 0 d)x2 + x +x +x 2 = 0

4 Resuelve:

a) 4x2 – 64 = 0 b)3x2 – 9x = 0x = 0x

c) 2x2 + 5x = 0x = 0x d)2x2 – 8 = 0

5 Las siguientes ecuaciones son de segundo gra-do e incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula general:

a) (3x + 1)(3x – 1) + (x – 2)x – 2)x 2

2 = 1 – 2x

b) x x x2 + 23

– x x x2 + 14

= x + 5x + 5x12

c) (2x – 1)(2x – 1)(2x x + 1)x + 1)x3

= 3x – 2x – 2x6

+ x x x2

3

6 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) (2x + 1)2 = 1 + (x – 1)(x + 1)

b) (x + 1)(x + 1)(x x – 3)x – 3)x2

+ x = x4

c) x + 3x + 1x + 1x2

– x – 2x – 2x3

= x2 – 2

Otros tipos de ecuaciones


a) (2x – 5)(x – 5)(x x +x +x 7) = 0 b) (x – 2)(4x – 2)(4x x + 6) = 0x + 6) = 0x

c) (x +x +x 2)(x2 + 4) = 0 d) (3x +x +x 1)(x2 + x – 2) = 0x – 2) = 0x

8 Resuelve.a) x – x – x √√x = 2 b)x – x – x √√25 – x x x2 = 1

c) x – x – x √√169 – x x x2 = 17 d)x +x +x √√5x + 10x + 10x = 8

e) √√2x x x2 + 7 = √√5 – 4x f f f )√√x + 2x + 2x + 3 = x – 1x – 1x

9 Resuelve estas ecuaciones:

a) 2x

– 12x

= 3x2

b) 800x

– 50 = 600x + 4x + 4x

c) 1x x x2 – 2 = – 2 = 3 – x

3x x x2 d) x2

= 1 + 2x – 4x – 4xx + 4x + 4x

Inecuaciones

10 Halla el conjunto de soluciones de cada inecuación y represéntalo.

a) 3x – 7 < 5 b) 2 – x > 3

c) 7 Ó 8x – 5 d) 1 – 5x Ì –8

e) 6 < 3x – 2 f ) –4 Ó 1 – 10x

11 Halla el conjunto de soluciones de los si-guientes sistemas de inecuaciones:

a) °¢°¢°£¢£¢

x – 1 x – 1 x > 0x +x +x 3 > 0

b)°¢°¢°£¢£¢

2 – x > 02 + x Ó 0

c) °¢°¢°£¢£¢

x +x +x 1 Ó 0x – 4 x – 4 x Ì 0

d)°¢°¢°£¢£¢

x > 03 – x Ì 0

Sistemas lineales

12 Completa en tu cuaderno para que los siguien-tes sistemas tengan como solución x = –1, y = 2:

a) °¢°¢°£¢£¢

x – 3x – 3x y – 3y – 3 = …y = …y2x + x + x y = …y = …y

b)°¢°¢°£¢£¢

y – y – y x = …x = …x2y2y2 +y +y x = …x = …x

c) °¢°¢°£¢£¢

3x + x + x y y = …y = …y… + y /2 = 0

d)°¢°¢°£¢£¢

… – 2x = 4x = 4x3y3y3 + … = 1y + … = 1y


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€

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€ €

edad actual edad hace 6 años

padre xhijo y

En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6 €/kg y otra de 8,50 €/kg. El encargado quiere preparar 20 kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea 7 €/kg. ¿Cuánto tiene que poner de cada clase?

cantidad precio coste

café a xcafé B ymezcla 20

13 Resuelve estos sistemas por el método de sus-titución:

a) °¢°¢°£¢£¢

3x – 5x – 5x y – 5y – 5 = 5y = 5y4x + x + x y = –1y = –1y

b)°¢°¢°£¢£¢

8x – 7x – 7x y – 7y – 7 = 15y = 15yx +x +x 6y6y6 = –5y = –5y

c) °¢°¢°£¢£¢

2x +x +x 5y5y5 = –1y = –1y3x – x – x y = 7y = 7y

d)°¢°¢°£¢£¢

3x – 2x – 2x y – 2y – 2 = 2y = 2y5x + 4x + 4x y + 4y + 4 = 7y = 7y

14 Resuelve los siguientes sistemas por el méto-do de igualación:

a)°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§

y°y° = 2y = 2y x – 3x – 3x

y£

y£

= y = y x – 3x – 3x2

b)°¢°¢°£¢£¢

5x +x +x y = 8y = 8y2x – x – x y = –1y = –1y

c) °¢°¢°£¢£¢

x +x +x 6y6y6 = –2y = –2yx – 3x – 3x y – 3y – 3 = 1y = 1y

d)°¢°¢°£¢£¢

4x – 5x – 5x y – 5y – 5 = –2y = –2y3x +x +x 2y2y2 = 10y = 10y

15 Resuelve los siguientes sistemas por el méto-do de reducción:

a) °¢°¢°£¢£¢

3x +x +x 2y2y2 = 4y = 4y5x – 2x – 2x y – 2y – 2 = 4y = 4y

b)°¢°¢°£¢£¢

2x +x +x 5y5y5 = 11y = 11y4x – 3x – 3x y – 3y – 3 = –4y = –4y

c) °¢°¢°£¢£¢

x + x + x 6y6y6 = –4y = –4y3x – 5x – 5x y – 5y – 5 = 11y = 11y

d)°¢°¢°£¢£¢

5x – 2x – 2x y – 2y – 2 = 3y = 3y10x +x +x 3y3y3 = –1y = –1y

16 Resuelve por el método que consideres más adecuado:

a) °¢°¢°£¢£¢

7x +x +x 6y6y6 = 2y = 2yy£y£ + 5 = 3y + 5 = 3y

b)°¢°¢°£¢£¢

5x – 3x – 3x y – 3y – 3 = 1y = 1y4x +x +x 2y2y2 = 14y = 14y

c) °¢°¢°£¢£¢

3(x +x +x 2) = y +y +y 7x +x +x 2(y2(y2( +y +y 1) = 0

d)°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§

x3

+ y2

= 3

2(x +x +x y) = 16y) = 16y

Sistemas no lineales

17 Halla las soluciones de estos sistemas:

a) °¢°¢°£¢£¢

x +x +x y = 1y = 1yxy + 2xy + 2xy y + 2y + 2 = 2y = 2y

b)°¢°¢°£¢£¢

2x +x +x y = 3y = 3yx2 + y 2 = 2

c) °¢°¢°£¢£¢

2x +x +x y = 3y = 3yxy – xy – xy y 2 = 0

d)°¢°¢°£¢£¢

3x – y = 3y = 3y2x2 + y2 = 9

18 Resuelve los sistemas siguientes por el méto-do de reducción y comprueba que tienen cuatro soluciones:

a) °¢°¢°£¢£¢

x2 + y2 = 742x2 – 3y– 3y– 3 2 = 23

b)°¢°¢°£¢£¢

3x2 – 5y – 5y – 5 2 = 72x2 = 11y 2 – 3


19 El área de una lámina rectangular de bronce es de 60 cm2 y su base mide 5/3 de su altura. Halla las dimensiones de la lámina.

20 Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2 500 €, y los vende, después de algún tiempo, por 2 157,5 €. Con el equipo de mú-sica perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto le costó cada uno?

21 En una papelería, el precio de una copia en En una papelería, el precio de una copia en color es 0,75 € y el de una en blanco y negro es 0,20 €. En una semana, el número de copias en color fue la décima parte que en blanco y negro y se recaudaron 110 €. Calcula cuántas copias se hi-cieron de cada tipo.

22 Se mezclan 8 Se mezclan 8 l de aceite de 4 l de aceite de 4 l €/l con otro l con otro lmás barato para obtener 20 l a 2,5 l a 2,5 l €/l. ¿Cuál es el l. ¿Cuál es el lprecio del aceite barato?

23 La suma de dos números consecutivos es me La suma de dos números consecutivos es me-nor que 27. ¿Cuáles pueden ser esos números si sa-bemos que son de dos cifras?

24 Un grupo de amigos han reunido 50 Un grupo de amigos han reunido 50 € para ir a una discoteca. Si la entrada cuesta 6 €, les so-bra dinero, pero si cuesta 7 € no tienen bastante. ¿Cuántos amigos son?

25 En un rectángulo en el que la base mide 3 cm En un rectángulo en el que la base mide 3 cm más que la altura, el perímetro es mayor que 50 pe-ro no llega a 54. ¿Cuál puede ser la media de la base?

26 Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,80 €; tres barras de pan y cuatro litros de leche cuestan 4,70 €. ¿Cuánto vale una barra de pan? ¿Cuánto cuesta un litro de leche?

b)

€

€

Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm. Si restamos una misma cantidad a los tres la-dos, obtenemos un triángulo rectángulo. ¿Qué canti-dad es esa?

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UNIDAD

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27 Una empresa aceitera ha envasado 3 000 l de l de laceite en 1 200 botellas de 2 l y de 5 l y de 5 l l. ¿Cuántas l. ¿Cuántas lbotellas de cada clase se han utilizado?

28 Un test consta de 48 preguntas. Por cada acierto se suman 0,75 puntos y por cada error se restan 0,25. Mi puntuación fue de 18 puntos. ¿Cuántos aciertos y errores tuve, si contesté a todo?

29 Un fabricante de bombillas obtiene un bene-ficio de 0,80 € por cada pieza que sale de su taller para la venta, pero sufre una pérdida de 1 € por cada pieza defectuosa que debe retirar. En un día ha fabricado 2 255 bombillas, obteniendo unos be-neficios de 1 750 €. ¿Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se fabricaron ese día?

30 Una empresa de alquiler de coches cobra por Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160 € por 3 días y 400 km, y otro pagó 175 € por 5 días y 300 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro.

31 La edad de un padre es hoy el triple que la del hijo y hace 6 años era cinco veces la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?

☞☞edad actual edad hace 6 años

padre x y – 6y – 6yhijo y x – 6x – 6x

32 En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6 €/kg y otra de 8,50 €/kg. El encargado quiere preparar 20 kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea 7 €/kg. ¿Cuánto tiene que poner de cada clase?

☞cantidad precio coste

café a x 6 6xcafé B y 8,50 8,50y8,50y8,50mezcla 20 7 140

Aplica lo aprendido

Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2 500 €, y los vende, después de algún tiempo, por 2 157,5 €. Con el equipo de mú-sica perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto le costó cada uno?

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Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,80 €; tres barras de pan y cuatro litros de leche cuestan 4,70 €. ¿Cuánto vale una barra de pan? ¿Cuánto cuesta un litro de leche?

¿Dominas la resolución de ecuaciones de segundo grado y de otros tipos de ecuaciones?

1 Resuelve:a) 5(x – 3)x – 3)x 2 + x x x2 – 46 = –(2x + 1)(1 – 3x + 1)(1 – 3x x)x)x

b) (x + 3)(2x + 3)(2x x – 5) = 0x – 5) = 0x

c) 32x

– 34x

= x + 1x + 1x8

¿Sabes resolver inecuaciones?

2 Resuelve y representa las soluciones.

a) 2(x – 5)x – 5)x3

Ì 2x – 6x – 6x b)°¢°¢°£¢£¢

5x – 3 x – 3 x > x + 5x + 5xx – 6 x – 6 x Ì 0

¿Sabes resolver con soltura sistemas de ecuaciones?

3 Resuelve:

a) °§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§

y°y° + 1 = 6 – y + 1 = 6 – y xx3

+ + y2

= 12 = 12b)

°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§

x3

+ y = y = y 52

2x + 6x + 6x y + 6y + 6 = 15y = 15y

c) °¢°¢°£¢£¢

x2 – y = 8y = 8yx – 2x – 2x y – 2y – 2 = 1y = 1y

d)°¢°¢°£¢£¢

x2 – y2 = 342x2 – y2 = –7

¿Has adquirido destreza en el planteamiento y la re-solución de problemas algebraicos?

4 Dos bocadillos y un refresco cuestan 5,35 €; tres bocadillos y dos refrescos cuestan 8,60 €. Calcula el precio de un bocadillo y el de un refresco.

5 Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm. Si restamos una misma cantidad a los tres la-dos, obtenemos un triángulo rectángulo. ¿Qué canti-dad es esa?

6 En una empresa alquilan bicicletas a 3 € la hora y motocicletas por 5 € fijos más 2 € por hora. ¿A par-tir de cuántas horas es más económico alquilar una motocicleta que una bicicleta?

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El concepto de función ha ido evolucionando y per-filándose a lo largo del tiempo. ¿Qué requisitos se le ha ido exigiendo a dicho concepto?— Una función relaciona dos variables.— Las funciones describen fenómenos naturales.— Las relaciones funcionales pueden ser descritas

mediante fórmulas (relaciones algebraicas).— Las funciones pueden ser representadas gráfica-

mente.Oresme (matemático francés del siglo xiv) afirmó en 1350 que las leyes de la naturaleza son relaciones de dependencia entre “dos cantidades”. Puede con-siderarse una primera aproximación al concepto de función.Galileo (finales del siglo xvi) utiliza por primera vez la experimentación cuantitativa (diseña, experimen-ta, mide, anota) para establecer relaciones numéricas que describan fenómenos naturales.Descartes (siglo xvii), con su algebrización de la geometría, propicia que las funciones puedan ser re-presentadas gráficamente.Leibniz, en 1673, utiliza por primera vez la palabra función para designar estas relaciones.Euler, entre 1748 y 1755, fue perfilando el concep-to, al que dio precisión y generalidad, admitiendo, finalmente, que una relación entre dos variables pue-de ser función aunque no haya una expresión analíti-ca que la describa. El propio Euler fue quien aportó la nomenclatura f (x).

4Funciones. Características

DEBERÁS RECORDAR

■ Cómo se representan y se interpretan funciones descritas mediante enunciados.

■ Qué es y cómo se obtiene la pendiente de un seg-mento.

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Conceptos básicosConceptos básicos1Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se las lla-ma x e y :

x es la variable independiente y es la variable dependiente

La función, que se suele denotar por y = f (x), asocia a cada valor de x un único valor de y :

x 8 y = f (x)

Para visualizar el comportamiento de una función, recurrimos a su representa-ción gráfica: sobre unos ejes cartesianos con sendas escalas, representamos las dos variables:

La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).

Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa, x, y su ordenada, y.

Se llama dominio de definición de una función, f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función.

Se llama recorrido de f al conjunto de valores que toma la función. Es decir, al conjunto de valores de y para los cuales hay un x tal que f (x) = y.

1 Esta gráfica corresponde a la función:profundidad dentro del agua profundidad dentro del agua profundidad dentro del agua 8 presión

PRPROFUNDIDADOFUNDIDADPROFUNDIDADPRPROFUNDIDADPR(m)(m)

PRESIÓNPRESIÓN(atm)(atm)

10 20 30 40 50 60

1

2

3

4

5

6

7 a) ¿Cuáles son las varia-bles?

b) ¿Qué escalas se utili-zan?

c) Di cuál es el dominio de definición y el re-corrido.

2 Esta gráfica muestra la humedad relativa del aire en una ciudad.

60

70

80

2 4 6 8 1011121 3 5 7 9TIEMPO(horas)

HUMEDAD (%)

a) ¿Cuáles son las variables dependiente e indepen-diente? ¿Qué escalas se utilizan?

b) ¿Durante cuánto tiempo se midió la humedad?

c) ¿Entre qué valores varió la humedad?

3 La gráfica describe la temperatura a la que sale el agua de un grifo.

a) ¿Cuáles son las dos va-riables?

b)Explica por qué es una función.1

102030405060

2 3 4 5 6TIEMPOTIEMPO (min) (min)

TEMPTEMPERAERATURATURAERATURAERA (°C) (°C)TURA (°C)TURA

c) ¿Cuáles son el dominio de definición y el recorrido?

4 Y

X

Y

X

III

Una de estas dos gráficas corresponde a una función, y la otra, no. Identifica cada cual, razonadamente.

Actividades

X

(ordenada) y (x, y)y)y

Y

Xx

(abscisa)

RecorridoRecorridoRde f

Dominio de f

f

Y

Cómo se presentan las funciones2anto para el estudio de las matemáticas como para otras ciencias o en la vida

cotidiana, nos encontramos frecuentemente con funciones.

Las funciones nos vienen dadas de muy diversas formas: mediante su gráfica, por una tabla de valores, por una fórmula o mediante una descripción verbal (enun-ciado).

Mediante su expresión gráfica

mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función es mediante su representación gráfica Por eso, siempre que pretendamos ana-lizar una función, intentaremos representarla gráficamente, cualquiera que sea la forma en la cual, en principio, nos venga dada.

Mediante un enunciadouna función viene dada por un enunciado o una descripción (como la

que se hace en la siguiente actividad 1 para describir el recorrido de Alberto hasta la escuela), la idea que nos podemos hacer de ella es, casi siempre, cuantitativa-mente poco precisa.

Actividades

Entrénate

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Conceptos básicos1na función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se las lla-

ma x e y :x es la variable independiente y es la variable dependiente

La función, que se suele denotar por y = f (x), asocia a cada valor de x un único valor de y :

x 8 y = f (x)

ara visualizar el comportamiento de una función, recurrimos a su representa-ción gráfica: sobre unos ejes cartesianos con sendas escalas, representamos las dos variables:

La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).

Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa, x, y su ordenada, y.

e llama de una función, , y se designa por , al conjunto de valores de para los cuales existe la función.

Se llama de al conjunto de valores que toma la función. Es decir, al conjunto de valores de para los cuales hay un tal que ( ) = .

Actividades

Cómo se presentan las funcionesCómo se presentan las funciones2Tanto para el estudio de las matemáticas como para otras ciencias o en la vida cotidiana, nos encontramos frecuentemente con funciones.

Las funciones nos vienen dadas de muy diversas formas: mediante su gráfica, por una tabla de valores, por una fórmula o mediante una descripción verbal (enun-ciado).

Mediante su expresión gráficaLas siguientes dos funciones vienen dadas por sus representaciones gráficas:

ÍNDICE DE LA BOLSA EN UN AÑOLA BOLSA EN UN AÑOLA VELOCIDAD DE UN CICLISTAOCIDAD DE UN CICLISTAOCIDAD DE UN CICLISTEN CADA INSTANTE DE UN RECEN CADA INSTANTE DE UN RECEN CADA INST ORRIDO

5

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50 60 70

VEVELOLOCIDADCIDAD (km/h) (km/h)

TIEMPOTIEMPO (min) (min)

100%

50%

E F M A M J J A S O N D

PORPORCENTCENTPORCENTPOR AJE SOBREAJE SOBRECENTAJE SOBRECENTEL EL VAVALOR ALOR ALCOMIENZCOMIENZO DEL AÑOO DEL AÑO

Como mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función es mediante su representación gráfica. Por eso, siempre que pretendamos ana-lizar una función, intentaremos representarla gráficamente, cualquiera que sea la forma en la cual, en principio, nos venga dada.

Mediante un enunciadoCuando una función viene dada por un enunciado o una descripción (como la que se hace en la siguiente actividad 1 para describir el recorrido de Alberto hasta la escuela), la idea que nos podemos hacer de ella es, casi siempre, cuantitativa-mente poco precisa.

1 Haz una gráfica en la que se vea representado el recorrido de Alberto desde su casa hasta el co-legio, en función del tiempo: de casa salió a las 8:30 h y fue seguidito hasta casa de su amigo Íker. Lo esperó un rato sentado en un banco y lue-go se fueron juntos, muy despacio, hacia el cole-gio. Cuando ya estaban llegando, se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco. Vol-vió corriendo, la recuperó y llegó al colegio a las 9 en punto.

2 Vamos a analizar la gráfica de arriba que describe la velocidad del ciclista:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en hacer el recorrido?b)En los primeros 15 minutos circula en llano. ¿A

qué velocidad lo hace? ¿Qué distancia recorre?c) Entre el minuto 18 y el 27 va cuesta arriba. Di a

qué velocidad.d)Señala un intervalo de 5 minutos en el que marcha

cuesta abajo. ¿A qué velocidad lo hace?

Actividades

1 El consumo de agua de un colegio viene dado por esta gráfica:

0,400,40

44

0,800,80

8 18 12 12 16 26 20 20 244

1,201,20CONSUMOCONSUMO (m (m3)

TIEMPOTIEMPO (h)

Haz un pequeño informe rela-cionando la gráfica con los movi-mientos del colegio (horas de en-trada y de salida, recreos...).

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Mediante una tabla de valoresCon frecuencia se nos dan los valores de una función mediante una tabla en la cual se obtienen directamente los datos buscados. Sin embargo, en otros casos, como en la tabla siguiente, hay que efectuar complejos cálculos para obtener lo que se busca.

Esta tabla de valores permite calcular lo que cada persona debe pagar a Hacienda un cierto año (cuota íntegra) en función de lo que gana (base liquidable).

base liquidable hasta euros

cuota íntegra euros

resto base liquidable hasta euros

tipo aplicable %

0 0 4000 15

4 000 600 10 000 25

14 000 3 000 12 000 28

26 000 6 360 20 000 37

46 000 13 760 en adelante 45

Alguien que gane 32 500 €:• Se sitúa en la 4.ª fila.• Por los primeros 26 000 € paga

6 360 €, y por el resto, el 37%: 32 500 – 26 000 = 6 500 € 37% de 6 500 = 6 500 Ò 0,37 =

= 2 405 €Por tanto, paga 6 500 + 2 405.Es decir, si gana 32 500 €, ha de pa-gar 8 905 €.

Ejemplo

Mediante su expresión analítica o fórmulaLa expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función. Pero requiere un minucioso estudio posterior.Veamos algunos ejemplos:

▼ ejemplo 1Una bola que se deja caer por un plano levemente incli-nado lleva una aceleración de 0,2 m/s2.La distancia, e, en metros, que recorre en función del tiempo, t, en segundos, viene dada por la fórmula e = 0,1t 2. t (st (st )

e (me (me ) (m

▼ ejemplo 2El volumen de una esfera en función de su radio es:

V = 43πr3 (r en cm, V en cm3)

r (cm)r (cm)r

V (cV (cV m3)

3 En el ejemplo 1, calcula la distancia que recorre la bola en 1, 2, 3, 4 y 5 segundos. ¿A qué tiempo corresponde una distancia de 2 m?

4 En el ejemplo 2, halla el volumen de una esfera de radio 5 cm y el radio de una esfera de volumen 800 cm3.

5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm

800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm800 cm333333333333333333333

5 El coste de una línea de telefonía móvil para internet es C = 10 + 1,5C = 10 + 1,5C t (C, en €; t, en horas). Representa la función.

6 Esta tabla muestra cómo varía la cantidad de agua que hay en un depósito cuando se abre un desagüe:

t (min) 0 1 2 3 5

V (l) 20 18 16 14 10

Representa la función tiempo 8 volumen.

Actividades

Funciones continuas. Discontinuidades3

Una función es cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo.

Se puede decir de una función que es [ , ] si no presenta ninguna discontinuidad en él.

La primera gráfica, discontinua, re-fleja el pago “por horas” (hora em-pezada, hora pagada). La segunda consiste en pagar exactamente lo que se gasta. En la tercera, hay un pago inicial (por entrar en el aparcamien-to, 2 €) y, a continuación, se paga lo que se gasta.

Observa

Actividades

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Mediante una tabla de valoresfrecuencia se nos dan los valores de una función mediante una tabla en la cual

se obtienen directamente los datos buscados. Sin embargo, en otros casos, como en la tabla siguiente, hay que efectuar complejos cálculos para obtener lo que se busca.

base liquidable hasta euros

cuota íntegra euros

resto base liquidable hasta euros

tipo aplicable %

lguien que gane 32 500 €:• Se sitúa en la 4.ª fila.• Por los primeros 26 000 € paga

6 360 €, y por el resto, el 37%: 32 500 – 26 000 = 6 500 € 37% de 6 500 = 6 500 Ò 0,37 =

= 2 405 €Por tanto, paga 6 500 + 2 405.Es decir, si gana 32 500 €, ha de pa-gar 8 905 €.

Ejemplo

Mediante su expresión analítica o fórmulaexpresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función.

Pero requiere un minucioso estudio posterior.Veamos algunos ejemplos:

▼

Una bola que se deja caer por un plano levemente incli-nado lleva una aceleración de 0,2 m/s2.

a distancia, e, en metros, que recorre en función del tiempo, t, en segundos, viene dada por la fórmula e = 0,1t 2.

▼

l volumen de una esfera en función de su radio es:

V = πr3 ( en cm, en cm3)

t (min)

V (l)

Actividades

Funciones continuas. DiscontinuidadesFunciones continuas. Discontinuidades3

a

La función de la izquierda es continua en todo su dominio de definición.

La función de la derecha no es continua, porque presenta una discontinuidad en el punto de abscisa a.

Hay distintos tipos de discontinuidad. Observa algunos:

Hay un salto. Le falta un punto. Solo está definida en puntos aislados.

Una función es continua cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo.

Se puede decir de una función que es continua en un intervalo [a, b] si no presenta ninguna discontinuidad en él.

Hasta hace poco, los aparcamientos cobraban “por horas”. Esto quiere decir que solo por entrar ya se pagaba 1 h. Si se estaba 1 h y 10 min se pagaban 2 h. La primera de las tres gráficas siguientes describe esta forma de pago:

1

2468

10

2 3 4 5 TIEMPO (h)

PAPAGOGO ((€€))

1

2468

10

2 3 4 5 TIEMPO (h)

PAPAGOGO ((€€))1 2

1

2468

10

2 3 4 5 TIEMPO (h)

PAPAGOGO ((€€)) 3

Los usuarios prefieren que las tarifas se rijan por la función continua de en me-dio. Los representantes de los aparcamientos preferirían, si se quiere que la fun-ción sea continua, la de la derecha.

La primera gráfica, discontinua, re-fleja el pago “por horas” (hora em-pezada, hora pagada). La segunda consiste en pagar exactamente lo que se gasta. En la tercera, hay un pago inicial (por entrar en el aparcamien-to, 2 €) y, a continuación, se paga lo que se gasta.

Observa

1 a) ¿Cuánto vale aparcar media hora según cada mo-delo 1 , 2 y 3 ?

b) ¿Cuánto dinero cuesta aparcar 1 h 15 min según cada modelo?

c) ¿Y aparcar 4 h y 6 minutos?

d)Propón un modelo de tarifa que sea intermedio entre la preferencia de los usuarios y la de los repre-sentantes de los aparcamientos.

Actividades

Un representante de ordenadores re-cibe cada mes 1000 € fijos más 50 €por cada aparato vendido. Esta es la gráfica de la función:aparatos vendidos 8 ganancias mensuales8 ganancias mensuales8

Explica por qué no se pueden unir los puntos.

Entrénate

VENTAS(n.o de aparatos)

5 10

GANANCIAS (€)

1 000

2 000

50

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Crecimiento, máximos y mínimosCrecimiento, máximos y mínimos4

1 De la función de la derecha di:

a) En qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente.

b)Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos.

Actividades

Decir los intervalos en que es cre-ciente y en los que es decreciente la función dada gráficamente a la derecha. ¿Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos?

–7–7 1111

La función está definida entre –7 y 11.

Es creciente en los intervalos (–7, –3) y (1, 11).

Es decreciente en el intervalo (–3, 1).

Tiene un máximo relativo en el punto de abscisa –3. Su valor es 2.

Tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa 1. Su valor es –5.

Hay puntos en los que la función toma valores menores que en el mínimo relativo. Por ejemplo, para x = –7, la función toma el valor –6.

Ejercicio resuelto

CRECIENTECRECIENTE DECRECIENTE

La función f es creciente en este tramo porque

si x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2).

Análogamente, una función es decreciente en un intervalo cuando

si x1 < x2, entonces f (x1) > f (x2).

Una función puede ser creciente en unos interva-los y decreciente en otros.

x2x2xx1

f (f (f x1)

y = f (f (f x )

f (f (f x2x2x )

Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando en él la función toma un valor mayor que en los puntos próximos. En tal caso, la función es creciente hasta el máximo y decreciente a partir de él.

Análogamente, si f tiene un mínimo rela-tivo en un punto, es decreciente antes del punto y creciente a partir de él.

MÁXIMO

MÍNIMO

CRERER

CIE

NTE DECRERER

CIENENETNTN

ETET

DECRERER CIENTECRERER

CIE

NTELa función puede tomar en otros puntos valores mayores que un máximo relativo y menores que un mínimo relativo.

Observa la gráfica del consumo de agua de un colegio que aparece en el margen de la página 47 y responde:a) ¿Cuándo el consumo es creciente?

¿Cuándo es decreciente?b) ¿Durante qué horas se alcanza los

valores máximos y mínimos de consumo de agua?

Entrénate

Tendencia y periodicidad5 la cantidad media de ejemplares por hectárea que hay

de una cierta especie de planta a distintas alturas:

Observamos que, a partir de una cierta altura, cuanto más se sube menos ejem-plares se encuentran. Y que, a partir de 1600 m, casi no hay plantas de este tipo. Podemos afirmar que:

Cuando la altura aumenta por encima de los 1600 m, el número de plantas tiende a cero.

ay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, pode-mos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estu-diadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara.

Periodicidad la variación de la altura de un cestillo de una noria cuando esta da

una vuelta. Tarda medio minuto (30 segundos), y en ese tiempo sube, llega al punto más alto, baja y llega al suelo. Pero este movimiento se repite una y otra vez. Su representación gráfica es esta:

En esta función, lo que ocurre en el intervalo [0, 30] se repite reiteradamente. Se trata de una función periódica de periodo 30.

Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese interva-lo se llama periodo

Entrénate

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Crecimiento, máximos y mínimos4

Actividades

los intervalos en que es cre-ciente y en los que es decreciente la función dada gráficamente a la derecha. ¿Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos?

función está definida entre –7 y 11.

Es creciente en los intervalos (–7, –3) y (1, 11).

Es decreciente en el intervalo (–3, 1).

Tiene un máximo relativo en el punto de abscisa –3. Su valor es 2.

Tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa 1. Su valor es –5.

Hay puntos en los que la función toma valores menores que en el mínimo relativo. Por ejemplo, para x = –7, la función toma el valor –6.

Ejercicio resuelto

a función f es creciente en este tramo porque

si x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2).

Análogamente, una función es decreciente en un intervalo cuando

si x1 < x2, entonces f (x1) > f (x2).

Una función puede ser creciente en unos interva-los y decreciente en otros.

Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando en él la función toma un valor mayor que en los puntos próximos. En tal caso, la función es creciente hasta el máximo y decreciente a partir de él.

Análogamente, si f tiene un mínimo rela-tivo en un punto, es decreciente antes del punto y creciente a partir de él.

La función puede tomar en otros puntos valores mayores que un máximo relativo y menores que un mínimo relativo.

Entrénate

Tendencia y periodicidadTendencia y periodicidad5La siguiente gráfica muestra la cantidad media de ejemplares por hectárea que hay de una cierta especie de planta a distintas alturas:

500 1000 1500

300

200

100

ALALTURATURAALTURAAL (m) (m)TURA (m)TURA

NÚMERO DE EJEMPLMERO DE EJEMPLMER ARESO DE EJEMPLARESO DE EJEMPL

Observamos que, a partir de una cierta altura, cuanto más se sube menos ejem-plares se encuentran. Y que, a partir de 1600 m, casi no hay plantas de este tipo. Podemos afirmar que:

Cuando la altura aumenta por encima de los 1600 m, el número de plantas tiende a cero.

Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, pode-mos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estu-diadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara.

PeriodicidadObservamos la variación de la altura de un cestillo de una noria cuando esta da una vuelta. Tarda medio minuto (30 segundos), y en ese tiempo sube, llega al punto más alto, baja y llega al suelo. Pero este movimiento se repite una y otra vez. Su representación gráfica es esta:

30

40

60 90 120

En esta función, lo que ocurre en el intervalo [0, 30] se repite reiteradamente. Se trata de una función periódica de periodo 30.

Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese interva-lo se llama periodo.

1 La cantidad de radiactividad que posee una sustancia se reduce a la mitad cada año. La gráfica adjunta describe la cantidad de radiactivi-dad que hay en una porción de esa sustancia al transcurrir el tiempo.

11

RADIARADIACTIVIDADCTIVIDAD

TIEMPOTIEMPO (años) (años)1 21 2

¿A cuánto tiende la radiactividad tiende la radiactividad tiendecon el paso del tiempo?

2 La cisterna de unos servicios públi-cos se llena y se vacía, automática-mente, cada dos minutos, siguien-do el ritmo de la gráfica adjunta.

a) Dibuja la gráfica correspon-diente a 10 min.

b) ¿Cuánta agua habrá en la cister-na en los siguientes instantes?

I) 17 min II) 40 min 30 s III) 1 h 9 min 30 s

Entrénate

1

10

20

30

2

VOVOVOVOLLLUMENUMENUMENUMENUMENUMENUMENUMENUMENUMEN (((lll )))

TIEMPOTIEMPOTIEMPOTIEMPOTIEMPOTIEMPOTIEMPOTIEMPOTIEMPO (min) (min) (min) (min) (min) (min) (min) (min)

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■ PracticaInterpretación de gráficas

1 Pepe y Susana han medido y pesado a su hijo David cada mes, desde que nació hasta los 21 me-ses. Estas son las gráficas de la longitud y del peso de David en función de la edad:

2

4

6

8

10

12

14 PESOESO (kg) (kg)

EDADEDAD (meses) (meses)

3 6 9 12 15 18 21

3 6 9 12 15 18 21

50

60

70

80

90 LONGITUDONGITUD (cm) (cm)

EDADEDAD (meses) (meses)

a) ¿Cuánto medía y pesaba David cuando nació?b) ¿Cuánto creció David los seis primeros meses?

¿Y de los seis a los veintiún meses? ¿En qué meses fue mayor su crecimiento?

c) ¿Cuánto aumentó de peso David los dos prime-ros meses? ¿Y del mes 12 al mes 18?

d) ¿Cuánto pesaba David cuando medía 80 cm?¿Qué edad tenía entonces?

2 Hemos sacado de la nevera un vaso con agua y lo hemos dejado sobre la mesa de la cocina. Esta gráfica muestra la temperatura del agua en grados centígrados al pasar el tiempo.

20 40 602

8

16

22TEMPTEMPERAERATURATURAERATURAERA (°C) (°C)TURA (°C)TURA

TIEMPOTIEMPO (min) (min)

a) ¿A qué temperatura está el interior de la nevera?b) ¿A qué temperatura está la habitación?c) Imagina que en ese mismo momento sacamos

del microondas un vaso con agua a 98 °C y lo de-jamos sobre la mesa. Dibuja una gráfica aproxi-mada que muestre la temperatura del agua en este segundo vaso al pasar el tiempo.

Enunciados, fórmulas y tablas

3 Representa la función y = y = y x3 – 3x + 2 definix + 2 definix -da en [–2, 3]. Para ello, completa en tu cuaderno:da en [–2, 3]. Para ello, completa en tu cuaderno:

x –2 –1 0 1 2 3y

¿Cuál es el recorrido de la función?

4 Tres deportistas han estado nadando durante media hora. Su entrenador ha medido las distan-cias recorridas cada 5 minutos y ha obtenido los siguientes datos:

tiempo (min) 5 10 15 20 25 30distancia A

(m) 95 235 425 650 875 1100

distancia B (m) 250 500 750 1 000 1250 1500

distancia C (m) 360 710 1 020 1 300 1490 1600

a) Dibuja la gráfica que relaciona la distancia y el tiempo de cada nadador y descríbelas.

b) ¿Ha habido algún adelantamiento durante la me-dia hora?

c) Calcula la velocidad media de cada uno en todo el recorrido.

d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de cada una de las tres funciones?

5 Los coches, una vez que se compran, empie Los coches, una vez que se compran, empie-zan a perder valor a un ritmo de un 20% anual, aproximadamente.a) Haz una tabla de valores que dé el valor, en años

sucesivos, de un coche que costó 12000 €.b)Representa gráficamente la función años trans-

curridos-valor del coche.c) Encuentra una fórmula que permita hallar el pre-

cio del coche en función de los años transcurridos.

De cada una de las siguientes funciones di:

¿Es periódica esta función? ¿Cuál es su periodo?

Continúa esta gráfica sabiendo que se trata de una función periódica. Di cuál es su periodo.

Observa la gráfica de la función y responde:

Resuelve problemas

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Practica

xy

Tres deportistas han estado nadando durante media hora. Su entrenador ha medido las distan-cias recorridas cada 5 minutos y ha obtenido los siguientes datos:

tiempo (min)

distancia A (m)

distancia B (m)

distancia C (m)

la gráfica que relaciona la distancia y el tiempo de cada nadador y descríbelas.

b) ¿Ha habido algún adelantamiento durante la me-dia hora?

c) Calcula la velocidad media de cada uno en todo el recorrido.

d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de cada una de las tres funciones?

Características de una función

6 De cada una de las siguientes funciones di:

a) En qué intervalos crece y en cuáles decrece.

b)Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos.

–2–2–4–4 22 44

Y

XX

–2–2

22

44

–2–2–4–4 22 44

Y

XX

–2–2

22

44I II

7 Observa las siguientes gráficas de funciones: Observa las siguientes gráficas de funciones:

TIEMPO

TEMPERATURA ERATURA ERA (°C)

2

–12

23A

B

C

a) Relaciona cada curva con uno de estos enunciados.

I. Temperatura de un vaso de agua cuando pasa de la mesa a la nevera.

II. Temperatura de un vaso de agua cuando sale de la nevera y se deja en la mesa.

III. Temperatura de un vaso de agua cuando pasa de la mesa al congelador.

b)Determina a qué tiende cada una cuando crece la variable independiente.

8 ¿Es periódica esta función? ¿Cuál es su periodo?

11

Y

X22 33 44 55 66 77 88 99

22

11

Averigua los valores de la función en los puntos de abscisas x = 1, x = 1, x x = 3, x = 3, x x = 20, x = 20, x x = 23 y x = 23 y x x = 42.x = 42.x

9 Continúa esta gráfica sabiendo que se trata de una función periódica. Di cuál es su periodo.

11

Y

X22 33 44 55 66 77 88 99

22

11

10 Observa la gráfica de la función y responde:

–2–2–4–4 22

Y

XX

–2–2

22

44

44

a) ¿Cuáles son su dominio de definición y su reco-rrido?

b) ¿Tiene máximo y mínimo relativos? En caso afir-mativo, ¿cuáles son?

c) ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?d) ¿En qué intervalos es la función creciente y en

cuáles es decreciente?

■ Resuelve problemas

11 Esta es la gráfica de la evolución de la tempe-ratura de un enfermo.

1 2 3 4 5 6 7

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39

40 TEMPTEMPERAERATURATURAERATURAERA (°C) (°C)TURA (°C)TURA

TIEMPOTIEMPO (días) (días) (días)

a) ¿Cuánto tiempo estuvo en observación?b) ¿En qué día la temperatura alcanza un máxi-

mo? ¿Y un mínimo?c) ¿En qué intervalos de tiempo crece la temperatu-

ra y en cuáles decrece?d) ¿Qué tendencia tiene la temperatura?e) Elabora un pequeño informe interpretando tus

resultados.

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12 Un nadador se deja caer desde un trampolín. Su entrenador ha medido el espacio que recorre ca-da cuatro décimas de segundo mediante un méto-do fotográfico. Obtiene la siguiente tabla:do fotográfico. Obtiene la siguiente tabla:

tiempo (s) 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8espacio (m) 0 0,78 3,13 7,05 12,5 14 14,5 15

El nadador se ha detenido a los 15 metros.a) Representa la gráfica espacio-tiempo.b) ¿Sabrías decir en qué momento entró en el agua?c) ¿Qué velocidad estimas que llevaba en el momen-

to de entrar en el agua?d) ¿Qué altura tiene el trampolín?

13 Cuando una persona sana toma 50 g de glu-cosa en ayunas, su glucemia (% de glucosa en la sangre) se eleva, en una hora aproximadamente, desde 90 mg/dl, que es el nivel normal, hasta 120 mg/dl.

Luego, en las tres horas siguientes, disminuye hasta valores algo por debajo del nivel normal, y vuelve a la normalidad al cabo de 5 horas.

a) Representa la curva de glucemia de una persona sana.

b) Di cuál es su máximo, su mínimo y explica su tendencia.


¿Sabes interpetar la gráfica correspondiente a una si-tuación real o construirla a partir de un enunciado?

1 Un ciclista hace una excursión a un lugar que dista30 km de su casa. Al cabo de una hora, cuando ha re-corrido 15 km, hace una parada de media hora. Reanu-da la marcha con la misma velocidad hasta llegar a su destino, donde descansa otra media hora, y regresa al punto de partida a la misma velocidad que a la ida. Re-presenta la gráfica tiempo-distancia al punto de partida.

2 La siguiente gráfica representa la altura a la que se encuentra, con el paso del tiempo, un globo de hi-drógeno que se va elevando… hasta que estalla:

2

100

200

300

400

500

TIEMPO (min)

ALTURAALTURAAL (m)TURA (m)TURA

ESTESTALLALLESTALLESTESTALLEST AAALLAALLALLAALL

4 6 8 10 12

a) ¿Cuánto tarda en estallar desde que lo soltamos?b) ¿Qué altura gana entre el minuto 3 y el minuto 6?

¿Y entre el 7 y el 11?c) ¿Cómo es esta función, crece o decrece?d) ¿Cómo continuarías la gráfica si el globo no hubie-

ra estallado?

¿Reconoces las características más relevantes de una función?

3 Observa la gráfica y halla:

–2–2

–4–4

–2–2–4–4 22

Y

XX

22

44

a) Dominio y recorrido.

b)Máximos y mínimos.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Dónde es continua y los puntos de discontinuidad.

4 a) ¿Es periódica esta función?

22

Y

X

22

4466

88

¿Cuál es su periodo?

b)Halla los valores de la función en los puntos de abscisas:

x = 2; x = 2; x x = 4; x = 4; x x = 40; x = 40; x x = 42x = 42x

Autoevaluación

55

Después de Euler aún siguió, entre los matemáticos, la discusión sobre qué requisitos eran imprescindibles para definir una función y cuáles no. En 1923 se llegó a la siguiente definición, muy parecida a la que se usa actualmente.

Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta corres-pondencia se indica mediante la ecuación y = f (x).

Pero en esa búsqueda de la precisión, se generaron una serie de funciones estrafalarias que llevaron a Poincaré, en el año 1899, a decir:

“Durante medio siglo hemos visto una masa de funciones extrañas construidas de modo que se parezcan lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. Antes, cuando se inventaba alguna función, era con alguna meta práctica. Hoy son inventadas con el fin de mos-trar que el razonamiento de nuestros antecesores fue erróneo”.

En esta unidad vamos a dedicarnos a esas funciones honestas que propugnaba el gran Poincaré, esas fun-ciones que sirven para algo más que para construir o desmontar conceptos.

5Funciones elementales

DEBERÁS RECORDAR

■ Cómo se obtienen puntos de una función dada por su expresión analítica.

■ Cómo se obtiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

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Distintos tipos de funciones linealesDistintos tipos de funciones lineales1 Función de proporcionalidad: y = mx

Las funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre los valores de las dos variables.

La pendiente de la recta es la razón de proporciona-lidad, m.

y = mxy = mxY

X

Función constante: y = n

Se representa mediante una recta paralela al eje X. Su pendiente es 0.

La recta y = 0 coincide con el eje X.

y = n

y = 0n

X

Y

Expresión general: y = mx + n

Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen.

Por ejemplo:

La recta °F = 32 + 1,8 °C permite pasar de una temperatura en grados centígrados, °C, a la corres-pondiente en grados Fahrenheit, °F.

y = mx + n

n

Y

X

1 Representa:

a) y = 2x b) y = 23

x c) y = – 14

x d) y = – 73

x

2 Representa:

a) y = 3y = 3y b) y = –2y = –2y c) y = 0y = 0y d) y = –5y = –5y

3 Representa:

a) y = 2y = 2y x – 3x – 3x b) y = y = y 23

x +x +x 2

c) y = –y = –y 14

x + 5x + 5x d) y = –3y = –3y x – 1x – 1x

4 Un móvil, en el instante inicial, está a 3 m del origen y se aleja de este con una velocidad de 2 m/s.

Halla la ecuación de su posición en función del tiem-po y represéntala.

5 El coste del uso doméstico de gas ciudad es de 12 € al bimestre más 0,05 € por cada kWh consumido.

Escribe la ecuación del coste bimensual, C, en fun-ción del número de kWh (E ) de gas consumido.

Actividades

El espacio recorrido con movi miento uniforme (velocidad cons tante) en fun-ción del tiempo es:

e = v · tv es la pendiente de la recta que rela-ciona e con t.

Ejemplo

• El precio de la comida en algunos restaurantes es constante, no de-pende de la cantidad que nos sir-vamos.

• La distancia de un satélite artificial a la Tierra es constante, no varía con el tiempo.

Ejemplos

200200200200

100100100100

100100100100100°C°C

°F°F

°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C°F = 32 + 1,8 °C

Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente2 Pendiente de una recta

La pendiente de una recta es la variación de la y (aumento o disminución) cuando la x aumenta una unidad.

Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta, P(x1, y1) y Q(x2, y2), para hallar la pendiente, procedemos así:

Pendiente =

y2 – y1 es la variación de la y.x2 – x1 es la variación de la x.

La pendiente de una recta dada por su ecuación es el coeficiente de la x cuando está despejada la y.Por ejemplo, observemos una tabla de valores correspondientes a y = 2x + 1:

Advertimos que cuando la x avanza 1, la y sube 2; es decir, la pendiente de la recta es 2.

x

y

Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente

Punto: P (x0, y0) Pendiente: m Ecuación: y = y0 + m(x – x0)

Recta dada por dos puntos

Ejercicio resuelto

a) y = 4 + x. Observa que (0, 4) está en el eje Y. Es decir, 4 es la ordenada

en el origen.b) Empezamos hallando su pendiente: m = = = –

Ecuación de la recta que pasa por (–2, 7) y cuya pendiente es – :

y = 7 – (x + 2)

Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a) Pasa por (–3, –5) y tiene una pendiente de .

b) Pasa por el punto (0, –3) y tiene una pendiente de 4.

c) Pasa por (3, –5) y por (– 4, 7).

Indica un punto y la pendiente de cada una de las rectas siguientes:

a) y = –4 + 3(x – 1) b) y = –2(x – 3) c) y = 1 + 4x

Actividades

La pendiente de la recta3x – 2y + 1 = 0

es m =

.

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Distintos tipos de funciones lineales1 Función de proporcionalidad: y = mx

as funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre los valores de las dos variables.

La pendiente de la recta es la razón de proporciona-lidad, m.

Función constante: y = n

e representa mediante una recta paralela al eje X. Su pendiente es 0.

La recta y = 0 coincide con el eje X.

Expresión general: y = mx + n

u representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen

Por ejemplo:

La recta °F = 32 + 1,8 °C permite pasar de una temperatura en grados centígrados, °C, a la corres-pondiente en grados Fahrenheit, °F.

y = 2x b) y = x c) y = – x d) y = – x

Un móvil, en el instante inicial, está a 3 m del origen y se aleja de este con una velocidad de 2 m/s.

Halla la ecuación de su posición en función del tiem-po y represéntala.

El coste del uso doméstico de gas ciudad es de 12 € al bimestre más 0,05 € por cada kWh consumido.

Escribe la ecuación del coste bimensual, C, en fun-ción del número de kWh (E ) de gas consumido.

Actividades

l espacio recorrido con movi miento uniforme (velocidad cons tante) en fun-ción del tiempo es:

e = v · tv es la pendiente de la recta que rela-ciona e con t.

Ejemplo

• El precio de la comida en algunos restaurantes es constante, no de-pende de la cantidad que nos sir-vamos.

• La distancia de un satélite artificial a la Tierra es constante, no varía con el tiempo.

Ejemplos

Ecuación de una recta en la forma punto-pendienteEcuación de una recta en la forma punto-pendiente2 Pendiente de una recta

La pendiente de una recta es la variación de la y (aumento o disminución) cuando la x aumenta una unidad.

Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta, P(x1, y1) y Q(x2, y2), para hallar la pendiente, procedemos así:

Pendiente = y2y2y – y1x2x2x – x1

y2 – y1 es la variación de la y.x2 – x1 es la variación de la x.

La pendiente de una recta dada por su ecuación es el coeficiente de la x cuando está despejada la y.Por ejemplo, observemos una tabla de valores correspondientes a y = 2x + 1:

Advertimos que cuando la x avanza 1, la y sube 2; es decir, la pendiente de la recta es 2.

x 0 1 2 3 4

y 1 3 5 7 9

Ecuación de una recta en la forma punto-pendienteCon mucha frecuencia hemos de escribir la ecuación de una recta de la cual co-nocemos un punto y la pendiente. La damos a continuación.

Punto: P (x0, y0) Pendiente: m Ecuación: y = y0 + m(x – x0)

■Recta dada por dos puntos

Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, procedemos así:• A partir de los dos puntos, obtenemos su pendiente.• Con la pendiente y uno de los puntos, obtenemos la ecuación.

Hallar la ecuación de cada una de las rectas siguientes:

a) Pasa por (0, 4) y tiene una

pendiente de 73

.

b) Pasa por (–2, 7) y por (4, 5).

Ejercicio resuelto

a) y = 4 + 73

x. Observa que (0, 4) está en el eje Y. Es decir, 4 es la ordenada

en el origen.b) Empezamos hallando su pendiente: m = 5 – 7

4 – (–2) = –2

6 = – 1

3

Ecuación de la recta que pasa por (–2, 7) y cuya pendiente es – 13

:

y = 7 – 13

(x + 2)

1 Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a) Pasa por (–3, –5) y tiene una pendiente de 49

.

b) Pasa por el punto (0, –3) y tiene una pendiente de 4.

c) Pasa por (3, –5) y por (– 4, 7).

2 Indica un punto y la pendiente de cada una de las rectas siguientes:

a) y = –4 + 3(x – 1) b) y = –2(x – 3) c) y = 1 + 4x

Actividades

(x2x2x , y2y2y )

(x1, y1)x2x2x – x1

y2y2y – y1

La pendiente de la recta3x – 2y + 1 = 0

es m = 32

.

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Parábolas y funciones cuadráticasParábolas y funciones cuadráticas3La curva que describe un balón cuando se lanza a canasta es una parábola. Tam-bién describen parábolas las bolas de golf o los chorros de agua. Parabólicas son las secciones de las antenas que captan las emisiones de televisión procedentes de los satélites artificiales y las secciones de los faros de los coches. Y otros muchos objetos presentes en nuestra vida.

También hay muchas funciones que se representan mediante parábolas:

— El área de un cuadrado en función de su lado (A = l2) o la de un círculo en función de su radio (A = πr2).

— La altura a la que se encuentra una piedra que lanzamos hacia arriba en fun-ción del tiempo transcurrido desde que se lanzó (a = v0t – 4,9t2).

— El espacio que recorre un coche desde que decidimos frenar hasta que real-mente se para, en función de la velocidad que llevaba (e = 0,0074v2 + 0,21v).

— …

Parábola tipo: la función y = x2

Empecemos por representar el modelo de parábola más sencillo, que corresponde a la función y = x2.

Se trata de una curva simétrica respecto al eje Y; tiene un mínimo en el punto (0, 0), al que llamamos vértice.

Tiene dos ramas, una decreciente y otra creciente.

Es una función definida en todo Á y continua, pues no presenta saltos: se puede representar de un solo trazo.

Como veremos a continuación, las gráficas de todas las demás funciones cuadráticas son similares a esta.

Otras parábolas

Observa las siguientes curvas con sus respectivas ecuaciones:

tabla de valores

x y

–4–3–2–101234

16941014916

yy = = y = yy = y xx22yy = = y = y 3xx22

yy = y = y x22 – – 66xx + + x + x 66yy = = y = yy = y 33xx22 – 18 – 18xx + 24 + 24x + 24xx + 24x

Puedes comprobar, en cada una de ellas, que las coordenadas de los puntos seña-lados cumplen las correspondientes ecuaciones.

Funciones cuadráticas

as funciones y = ax2 + bx + c, con a ? 0, llamadas cuadráticas se represen-tan todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo .

Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y.

Su forma (hacia abajo, hacia arriba, más ancha…) depende de a, coeficiente de x2, del siguiente modo:

Si a > 0, tienen las ramas hacia arriba, y si a < 0, hacia abajo.

Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola.

Representación de funciones cuadráticas

Ejercicio resuelto

xy

±

Entrénate

55

1010

1515

–2–4 40 2

eje

ramas

vértice

yy = – = – y = – yy = – y —— x221122

1122

yy = – = – y = – y —— x22 + + 22x – – x – x 44

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Parábolas y funciones cuadráticas3a curva que describe un balón cuando se lanza a canasta es una parábola. Tam-

bién describen parábolas las bolas de golf o los chorros de agua. Parabólicas son las secciones de las antenas que captan las emisiones de televisión procedentes de los satélites artificiales y las secciones de los faros de los coches. Y otros muchos objetos presentes en nuestra vida.

También hay muchas funciones que se representan mediante parábolas:

— El área de un cuadrado en función de su lado (A = l2) o la de un círculo en función de su radio (A = πr2).

— La altura a la que se encuentra una piedra que lanzamos hacia arriba en fun-ción del tiempo transcurrido desde que se lanzó (a = v0t – 4,9t2).

— El espacio que recorre un coche desde que decidimos frenar hasta que real-mente se para, en función de la velocidad que llevaba (e = 0,0074v2 + 0,21v).

— …

Parábola tipo: la función y = x2

mpecemos por representar el modelo de parábola más sencillo, que corresponde a la función y = x2.

Se trata de una curva simétrica respecto al eje Y; tiene un mínimo en el punto (0, 0), al que llamamos vértice

Tiene dos ramas una decreciente y otra creciente.

Es una función definida en todo Á y continua, pues no presenta saltos: se puede representar de un solo trazo.

Como veremos a continuación, las gráficas de todas las demás funciones cuadráticas son similares a esta.

Otras parábolas

tabla de valores

x y

uedes comprobar, en cada una de ellas, que las coordenadas de los puntos seña-lados cumplen las correspondientes ecuaciones.


Las funciones y = ax2 + bx + c, con a ? 0, llamadas cuadráticas, se represen-tan todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo Á.

Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y.

Su forma (hacia abajo, hacia arriba, más ancha…) depende de a, coeficiente de x2, del siguiente modo:

• Si a > 0, tienen las ramas hacia arriba, y si a < 0, hacia abajo.

• Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola.

Representación de funciones cuadráticasVeamos algunos pasos que conviene dar para representar y = y = y ax2 + bx +bx +bx c :

1.º La abscisa del vértice es p = – b2a

. Calculamos la ordenada.

2.º Obtención de algunos puntos próximos al vértice.Calculamos el valor de la función en abscisas enteras próximas al vértice, a su derecha y a su izquierda. Así se obtiene la curva en su parte más interesante.

3.º Puntos de corte con los ejes.— Corte con el eje X: se resuelve la ecuación X: se resuelve la ecuación X ax2 + bx +bx +bx c = 0.c = 0.c

— Corte con el eje Y: es el (0, Y: es el (0, Y c).c).c

4.º Representación.

Escogeremos sobre los ejes unas escalas que nos permitan plasmar la informa-ción en un espacio razonable.

Representar Representar R y = y = y x2 – 3x – 4.x – 4.x

22

44

66

–2–2

–4–4

–6–6

22

y = = y = y x22 – 33x – – x – x 444

4–2–2

Ejercicio resuelto

1.º Obtención del vértice:

Abscisa: p = –(–3)

2 · 1 = = 3

2 = 1,5 = 1,5

Ordenada: f (1,5) = –6,25f (1,5) = –6,25f

°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§ El vértice es (1,5; –6,25).

2.º Obtención de puntos próximos al vértice:

x –2 –1 0 1 2 3 4 5y 6 0 –4 –6 –6 –4 0 6

3.º Puntos de corte con los ejes:

• Cortes con el eje X:X:X

x2 – 3x – 4 = 0 x – 4 = 0 x 8 x = x = x 3 ± √√9 + 162

8 x1 = –1, x2x2x = 4

• Corte con el eje Y: (0, –4)Y: (0, –4)Y

(Esta información ya la teníamos en la tabla anterior)

4.º Puedes ver la representación a la izquierda.

1 Representa las siguientes parábolas:a) y = y = y x2 + 2b) y = y = y x2 – 3c) y = (y = (y x – 2)x – 2)x 2

d) y = (y = (y x + 1)x + 1)x 2

2 Representa las siguientes parábolas:a) y = y = y x2 – 2x + 3b) y = y = y x2 – 6x + 5

3 Dibuja estas funciones:

a) y = y = y 14

x2 + x – 2

b) y = 2y = 2y x2 – 10x + 8

Entrénate

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Funciones de proporcionalidad inversa y radicalesFunciones de proporcionalidad inversa y radicales4 Funciones de proporcionalidad inversa

De un rectángulo de 100 cm2 de superficie, desconocemos sus lados. Los llama-mos x e x e x y. Es claro que xy = 100. Lo ponemos así:xy = 100. Lo ponemos así:xy

y = y = y 100x

(A igualdad de áreas, los lados son inversamente proporcionales).

Las relaciones de proporcionalidad inversa, como la que acabamos de describir, se presentan con mucha frecuencia en la naturaleza, la física, la economía… Va-mos a analizarlas teóricamente.

Las funciones y = y = y kx

presentan las características siguientes:

• No están definidas en x = 0.x = 0.x

• Si x se acerca a 0, x se acerca a 0, x y toma valores cada vez más grandes. Por eso, decimos que y toma valores cada vez más grandes. Por eso, decimos que yel eje Y es una Y es una Y asíntota.

• Si x toma valores cada vez más grandes, x toma valores cada vez más grandes, x y se acerca a 0. Por eso, el eje y se acerca a 0. Por eso, el eje y X es X es Xasíntota.

Esta curva es una hipérbola.

Funciones radicalesLas funciones y = √√x e y = –√√x se pueden representar punto a punto y dan lugar a las gráficas que ves debajo. Son mitades de parábola y juntas describen una parábola idéntica a y = x2, pero con su eje sobre el eje X.

YY

XX

YY

XX

yy = = y = yy = y xx

yy = – = – y = – yy = – y xx

El dominio de definición de estas funciones es [0, +@).

ky = y = y —x

5

5 10 15 20 25 30

1015202530

y = y = y x

y = – y = – y x

1 Representa con detalle la parte positiva de la función

y = y = y 36x

. Para ello, dale a x los valores 1, 2, 3, 4, 6, 9, x los valores 1, 2, 3, 4, 6, 9, x

12, 18 y 36 y utiliza una hoja de papel cuadriculado para representar los puntos obtenidos.

2 Representa la función y = y = y 6x

. Para ello, da a x los x los xvalores ±1, ±2, ±3 y ±6.

3 Representa y = y di su dominio de definición. (Da a x los valores 0, –1, –4, –9, –16).

4 Representa estas funciones y di sus dominios:a) y = √√x + 1x + 1x

(Da a x los valores –1, 0, 3, 8, 15). b) y = √√1 – x

(Da a x los valores 1, 0, –3, –8, –15).

Actividades

Funciones exponenciales5 Funciones exponenciales crecientes: y = ax, a > 1

x

2 x

o x toma valores cada vez más grandes,

x

2 x

o x toma los valores –4, –5, –6, –10, …, 2 x se hace muy pequeño. Es decir, hacia la izquierda, 2x tiende a cero.

Se llaman a las que tienen la ecuación y = ax.Todas ellas son continuas, están definidas en todo Á y pasan por los puntos (0, 1) y (1, a).Si la base es mayor que 1 (a > 1), entonces son crecientes.Crecen tanto más rápidamente cuanto mayor es a.

Funciones exponenciales decrecientes (0 < a < 1)

Las funciones y = ax con 0 < a < 1 también pasan por (0, 1) y (1, a), son continuas y definidas en todo Á, pero son decrecientes. Decrecen tanto más rápidamente cuanto más próximo a 0 sea a.

Actividades

y = 3x crece más deprisa que y = 2x.

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Funciones de proporcionalidad inversa y radicales4 Funciones de proporcionalidad inversa

Funciones radicalesLas funciones y = e y = – se pueden representar punto a punto y dan lugar a las gráficas que ves debajo. Son mitades de parábola y juntas describen una parábola idéntica a y = x2, pero con su eje sobre el eje X.

El dominio de definición de estas funciones es [0, +@).

Representa y = y di su dominio de definición. (Da a x los valores 0, –1, –4, –9, –16).

Representa estas funciones y di sus dominios:y =

(Da a x los valores –1, 0, 3, 8, 15). y =

(Da a x los valores 1, 0, –3, –8, –15).

Actividades

Funciones exponencialesFunciones exponenciales5 Funciones exponenciales crecientes: y = ax, a > 1

En el margen tienes la gráfica de la función exponencial de base 2: y = 2y = 2y x

x Ó 0: x 0 1 2 3 4 …

2 x 1 2 4 8 16 …

Cuando x toma valores cada vez más grandes, 2x x x tiende a infinito.

x Ì 0:x –1 –2 –3

2 x 2–1 = 12

= 0,5 = 0,5 2–2 = 14

= 0,25 = 0,25 2–3 = 18

= 0,125 = 0,125

Cuando x toma los valores –4, –5, –6, –10, …, 2 x se hace muy pequeño. Es decir, hacia la izquierda, 2x tiende a cero.

Se llaman funciones exponenciales a las que tienen la ecuación y = ax.• Todas ellas son continuas, están definidas en todo Á y pasan por los puntos

(0, 1) y (1, a).• Si la base es mayor que 1 (a > 1), entonces son crecientes.• Crecen tanto más rápidamente cuanto mayor es a.

Funciones exponenciales decrecientes (0 < a < 1)

La función y = y = y (12)x también es exponencial. Como su base (1/2) es menor que

1, la función es decreciente.

Las funciones y = ax con 0 < a < 1 también pasan por (0, 1) y (1, a), son continuas y definidas en todo Á, pero son decrecientes. Decrecen tanto más rápidamente cuanto más próximo a 0 sea a.

40–4

yy = = y = y 22xx

55

1010

1515

40–4

y = = y = y 22xx55

1010

1515

yy =

=

y =

y33x

1y = y = y (—)x

2

1 Calcula los valores de la función y = 1,5y = 1,5y x para los x para los x

valores enteros de x comprendidos entre –6 y 6. x comprendidos entre –6 y 6. xRepresenta la función.

2 Calcula los valores de la función y = 0,8y = 0,8y x para los x para los x

valores enteros de x comprendidos entre –8 y 8. x comprendidos entre –8 y 8. xRepresenta la función.

3 La función y = 5y = 5y 0,2x puede ponerse de forma expox puede ponerse de forma expox -nencial y = y = y ax teniendo en cuenta que 5x teniendo en cuenta que 5x 0,2x = (5x = (5x 0,2)x.

a) Calcula 50,2 y guarda el resultado en la memoria: 5 ‰ 0,2 =m.

b)Representa la función dando valores a x. Por ejemplo, para x = 4: x = 4: x Ñ‰ 4 ={∫«…\“}.

Actividades

y = 3x crece más deprisa que y = 2x.

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■ Practica

Pendiente de una recta

1 Halla gráficamente la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes puntos:

a) (2, 4) y (–1, –2) b) (–3, 5) y (3, –1)

c) (–3, 5) y (2, 1) d) (3, 2) y (5, 2)

2 Halla las pendientes de las siguientes rectas, obteniendo dos de sus puntos:

a) y = 4y = 4y x – 2x – 2x b) y = – y = – y 45

x

c) y = y = y 5x4

+ 3 d) y = 8 – 5y = 8 – 5y x

Comprueba, en cada caso, que coinciden con el coeficiente de la x (puesto que la x (puesto que la x y está despejada).y está despejada).y¿Qué relación existe entre el crecimiento o el decre-cimiento de una recta y su pendiente?

3 Halla las pendientes de las siguientes rectas:

a) 6x + 3y – 4 = 0 b) x + 4y – 2 = 0

c) –3x + 2y = 0 d) 3y – 12 = 0

Ecuación y representación de una función lineal

4 Asocia a cada recta su ecuación. Di, en cada caso, cuál es su pendiente.a) y + 2 = 0y + 2 = 0yb)3x – x – x y = 3y = 3yc) y = 2 – y = 2 – y xd)2x – 3x – 3x y – 3y – 3 = 12y = 12y

u

t

s

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2

2–2

X

Y

2

5 Halla la ecuación de las rectas que cumplen las siguientes condiciones y dibújalas:

a) Pasa por (5, 3) y tiene una pendiente de 3/5.

b)Pasa por el punto (5, 3) y tiene pendiente –1/2.

c) Pasa por el punto (5, 6) y tiene la misma pen-diente que la recta 2x + x + x y = 0.y = 0.y

6 Halla la ecuación de las rectas que pasan por los puntos que se indican y represéntalas:a) (2, 3) y (7, 0)b) (–2, 5) y por el origen de coordenadasc) (–3, 2) y (3, 2)d) (0, 4) y (4, 0)


7 Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice de cada parábola:

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y … … … … … … … … …

a) y = x2 + 3 b) y = x2 – 4c) y = 2x2 d) y = 0,5x2

8 Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próximos a él y los pun-tos de corte con los ejes:

a) y = (y = (y x + 4)x + 4)x 2 b) y = y = y 13

x2 + 2x

c) y = –3y = –3y x2 + 6x – 3x – 3x d) y = –y = –y x = –x = – 2 + 5

9 Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) don-de se encuentra el vértice de estas parábolas seña-lando, en cada caso, si se trata de un máximo o de un mínimo:a) y = y = y x2 – 5 b) y = 3 – y = 3 – y x2

c) y = –2y = –2y x2 – 4x + 6x + 6x d) y = 3y = 3y x2 – 6xRepresenta cada una de esas parábolas.

10 Asocia a cada una de las gráficas una de las expresiones siguientes:

III

I

II

IV

Dibuja la gráfica de estas funciones, dando a x los valores que se indican en cada caso:

a) = = –3; –1; –1/2; 1/2; 1; 3

b) = – = –3; –1; –1/2; 1/2; 1; 3

c) = = –2; 0; 1; 3/2; 3; 4

d) = – = –3; –2; –3/2; –1/2; 0; 1

Representa las funciones siguientes:

a) = b) =

c) = d) =

II ) y = III) y = 3 –

III) y = 2 + IV) y =

Resuelve problemas

Observa los datos de esta tabla:

altura (m)

temperatura (°C)

Un fontanero cobra 18 € por el desplaza-miento y 15 € por cada hora de trabajo.a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-

coste y represéntala gráficamente.b) Si ha cobrado por una reparación 70,50 €, ¿cuán-

to tiempo ha invertido en la reparación?

Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la sali-da, cuando se encuentra a 6 km, hace una parada de 10 minutos. Reanuda la marcha y llega a su des-tino una hora después de haber salido.a) Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa.b) ¿Lleva la misma velocidad antes y después de la

parada? (Suponemos que en cada etapa la veloci-dad es constante).

UNIDAD

5

a) y = y = y x2

b) y = (y = (y x – 3)x – 3)x 2

c) y = y = y x2 – 3

d) y = y = y x2 – 6x + 6x + 6x

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Practica

Halla las pendientes de las siguientes rectas:

a) 6x + 3y – 4 = 0 b) x + 4y – 2 = 0

c) –3x + 2y = 0 d) 3y – 12 = 0

u

t

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r

2

2–2

X

Y

Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice de cada parábola:

x

y

y = x2 + 3 b) y = x2 – 4c) y = 2x2 d) y = 0,5x2

Otras funciones

11 Dibuja la gráfica de estas funciones, dando a x los valores que se indican en cada caso:

a) y = 3x

x = –3; –1; –1/2; 1/2; 1; 3

b) y = – 3x

x = –3; –1; –1/2; 1/2; 1; 3

c) y = 1x – 2x – 2x

x = –2; 0; 1; 3/2; 3; 4

d) y = – 1x + 1x + 1x

x = –3; –2; –3/2; –1/2; 0; 1

12 Representa las funciones siguientes:

a) y = √√x + 2 b) y = 2 – √√x

c) y = √√3 – x x x d) y = 2 √√x + 2x + 2x

13 Representa las siguientes funciones dando ax valores comprendidos entre –4 y 4:x valores comprendidos entre –4 y 4:x

a) y = 1,4y = 1,4y x b) y = 0,75y = 0,75y x

c) y = 2y = 2y x – 1 x – 1 x d) y = 0,5y = 0,5y x + 2x + 2x

14 Asocia a cada gráfica una de las fórmulas que aparecen debajo:

III) y = 12 – x

III) y = 3 – 1x – 3x – 3x

III) y = 2 + 2x

IV) y = –1x + 3x + 3x


15 Disponemos de 40 cm de cuerda con los que Disponemos de 40 cm de cuerda con los que podemos construir cuadrados.a) Escribe la ecuación de la función que nos da el pe-

rímetro de un cuadrado construido con parte de esa cuerda o con toda ella, en función de su lado.

b)Halla el dominino de definición de la función.c) Representa la función.

16 Ana corre una carrera popular de 10 km a Ana corre una carrera popular de 10 km a una velocidad constante de 12 km/h. El pequeño David, que corre a 6 km/h, solo quiere hacer los últimos 5 km y llegar a la meta con Ana, así que sale desde el kilómetro 5. Los dos comienzan a correr a las 10:00 h de la mañana.a) ¿A qué hora estará Ana en el punto desde el que

salió David? ¿A qué distancia de la salida estará David en ese momento?

b)Dibuja, en los mismos ejes coordenados, la gráfi-ca de cada recorrido.

17 Observa los datos de esta tabla:

altura (m) 0 360 720 990

temperatura (°C) 10 8 6 4,5

a) Representa los puntos en una gráfica.b)Suponiendo que se sigue la misma pauta, halla la

expresión analítica de la función altura-temperatura.c) ¿A partir de qué altura la temperatura es menor

que 0 °C?

18 Un fontanero cobra 18 € por el desplaza-miento y 15 € por cada hora de trabajo.a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-

coste y represéntala gráficamente.b) Si ha cobrado por una reparación 70,50 €, ¿cuán-

to tiempo ha invertido en la reparación?

19 Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la sali-da, cuando se encuentra a 6 km, hace una parada de 10 minutos. Reanuda la marcha y llega a su des-tino una hora después de haber salido.a) Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa.b) ¿Lleva la misma velocidad antes y después de la

parada? (Suponemos que en cada etapa la veloci-dad es constante).

UNIDAD

5

a b

2 42 4

Y

XX–4–4 –2–2

44

2

2 42 42 42 4 66

Y

XX

44

66

22

c dY

XX–4–4–6–6 –2–2–2

44

2

2 42 42 42 4

Y

X–2–2

–2–2

–4–4

–2–2

–4–4

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20 ¿Cuál es la ecuación de la función que nos da el área de un cuadrado dependiendo de cuánto mi-da su lado? Haz su representación gráfica.

21 La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una piedra que lanzamos verticalmen-te hacia arriba con una velocidad de 20 m/s viene dada por: h = 20t – 5t2

a) Representa gráficamente la función.b) Di cuál es su dominio de definición.c) ¿En qué momento alcanza la altura máxima?

¿Cuál es esa altura?d) ¿En qué momento cae la piedra al suelo?e) ¿En qué intervalo de tiempo la piedra está a una

altura superior a 15 metros?

22 En el contrato de alquiler de un apartamento figura que el precio subirá un 5% anual. a) Si el precio es de 450 € mensuales, ¿cuál será

dentro de 5 años?b) Escribe la función que da el precio del alquiler

según los años transcurridos.

23 Una furgoneta que costó 20 000 € se depre-cia a un ritmo de un 12% anual.a) ¿Cuál será su precio dentro de 4 años?b) Halla la función que da el precio del vehículo se-

gún los años transcurridos.c) Calcula cuánto tiempo tardará el precio en redu-

cirse a la mitad.


¿Manejas con destreza las funciones lineales?

1 Escribe la ecuación de cada una de estas rectas:

a) Pasa por el punto (1, –2) y tiene pendiente 3/2.

b) Pasa por los puntos (–2, –5) y (1, 1).

2 Estas son las tarifas de dos compañías telefónicas:

A: 0,30 € por establecimiento de llamada y 0,20 €/min

B: 0,22 €/min

a) ¿Cuánto cuesta una llamada de 5 minutos en cada compañía? ¿Y de 15 min? ¿Y de 20 min?

b) Haz, para cada una de las dos compañías, la gráfica de la función que nos da el precio de la llamada dependiendo del tiempo que dure.

¿Conoces familias de funciones (cuadráticas, de pro-porcionalidad inversa, radicales, exponenciales) y las representas a partir de sus ecuaciones, y viceversa?

3 Representa las siguientes funciones:

a) y = y = y x2 – 4 b) y = y = y x2 + 4x – 5x – 5x

c) y = y = y –1x

d) y = y = y 1x – 3x – 3x

e) y = y = y √√–x + 2x + 2x f ) y = 2y = 2y x – 3

4 Asocia a cada una de las gráficas una ecuación:

III

11–1–1111

33

–3–3 3 53 5 22 44–2–2

22

IVIII

22–2–2–4–4

22

–2–222 44–2–2

22

44

a) y = –y = –y x = –x = – 2 – 4x – 3x – 3x b) y = 1,5y = 1,5y x

c) y = y = y 1x

+ 1 + 1 d) y = y = y √√x + 3x + 3x

¿Asocias una situación real con algún modelo de fun-ción y te basas en él para interpretarla?

5 En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un 10% anual. Su sueldo inicial es de 24000 € anuales.

a) ¿Cuánto ganará dentro de 10 años?

b)Escribe la función que relaciona el dinero que ga-na con el número de años transcurridos.

Autoevaluación

65

El estudio teórico de la semejanza se suele basar en el teorema de Tales. Recordemos quién fue este personaje.

Tales nació en Mileto (actualmente, en la costa oc-cidental de Turquía), aproximadamente, en el año 640 a.C. Murió con más de 90 años.

Visitó Egipto y, posiblemente, Babilonia, y aprendió la ciencia práctica acumulada durante siglos por estas civilizaciones. Aportó estos conocimientos, segura-mente muy elaborados, al mundo griego.

Fue el primero que exigió que las afirmaciones mate-máticas y de otras ciencias fueran avaladas por razona-mientos bien fundamentados. Por eso, se le considera el fundador de la ciencia griega.

Muy admirado en su época y en siglos posteriores, se le dio el rango del primero de “los siete sabios de Gre-cia”. Esta gran admiración de la que fue objeto hizo que se le mitificara y se le atribuyeran méritos que realmente no eran suyos. Por ejemplo, la predicción de un eclipse. Y la paternidad del teorema que lleva su nombre.

Parece cierto que en Egipto midió la altura de una pirámide comparando su sombra con la que arrojaba, en el mismo instante, una vara vertical. Pero esta apli-cación práctica de la semejanza no significa que diera forma al enunciado del teorema, ni mucho menos que lo demostrara.

Ambos logros, junto con una adecuada fundamenta-ción y su desarrollo teórico de la semejanza, hay que atribuírselos a Euclides, dos siglos y medio posterior.

6La semejanza.Aplicaciones

DEBERÁS RECORDAR

■ Qué representan los planos, las maquetas y los mapas. Cómo se interpretan. Para qué sirven.

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SemejanzaSemejanza1Dos figuras semejantes tienen la misma forma. ¿Cómo se manifiesta matemática-mente esta apariencia?

— Los ángulos correspondientes en figuras semejantes son iguales.

— Las longitudes de los segmentos correspondientes en figuras semejantes son proporcionales. La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza.

Figuras semejantes en la vida corriente

Estamos rodeados de reproducciones:

— Fotografías, vídeos, películas en pantallas de distintos tamaños…

— Maquetas de monumentos o de urbanizaciones, copias de cuadros famosos, reproducciones de coches…

— Planos de edificios o de ciudades, mapas…

Las primeras pretenden, exclusivamente, transmitir unas características que se conservan con la semejanza: la imagen, la forma, el color, la belleza del original.

Con los planos y los mapas pretendemos más: queremos que además de apreciar la forma, se puedan obtener con precisión medidas, distancias. Por ello, van acompañados de una escala con la que se pueden obtener magnitudes de la reaescala con la que se pueden obtener magnitudes de la reaescala -lidad midiendo sobre su reproducción (plano o mapa).

Escala es el cociente entre cada longitud de la reproducción (mapa, plano, maqueta) y la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad.

Una escala 1:200 significa, como ya sabes, que 1 cm del plano corresponde a 200 cm = 2 m de la realidad.

La expresión 1:200 puede ponerse así: 1200

, con lo que se muestra la razón de semejanza entre las dos figuras.

Relación entre las áreas y entre los volúmenes

Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, la razón entre sus áreas es k2 y la razón entre sus volúmenes es k3.

La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza.

Si una maqueta está a escala 1:200, la razón entre la superficie de una parcela y la de su representación es 2002 = 40 000. Y la razón entre el volumen de un edificio y el de su representación en la maqueta es 2003 = 8 000 000.

1 Una parcela con forma de cuadri-látero irregular tiene 820 m2 de área y su lado menor mide 40 m. Hacemos un plano de la parcela en el que el lado menor mide 16 cm. ¿Cuál será el área de la parcela en el plano?

2 La razón entre las áreas de dos rec-tángulos semejantes es 9/16. Si el perímetro del menor es 138 m, ¿cuál será el perímetro del mayor?

3 Queremos hacer una maqueta a escala 1:25 de un barco que mide 9 m de largo. La superficie de la cubierta es de 21 m2 y el volumen del casco es 31,5 m3. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta?

4 Los catetos de un triángulo rectán-gulo miden 12 cm y 16 cm. ¿Cuál será el área de otro semejante cuya hipotenusa mide 85 cm?

5 Las áreas de los círculos máximos de dos esferas son 100π cm2 y16π cm2. ¿Cuál será la razón entre su radios? ¿Y la razón entre los vo-lúmenes de las dos esferas?

Entrénate

Actividades

Ejercicio resuelto

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UNIDAD

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66 67

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Semejanza1

Figuras semejantes en la vida corriente

Escala es el cociente entre cada longitud de la reproducción (mapa, plano, maqueta) y la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad.

Relación entre las áreas y entre los volúmenes

a razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza.

Entrénate

1 a) Un edificio de la maqueta anterior tiene forma de ortoedro. Sus dimensiones son 9 cm Ò 6,4 cm de planta y 4 cm de altura. Halla las dimensiones, el área de la fachada y el volumen en la realidad.

b)La superficie de un campo de fútbol sala en la ma-queta es de 32 cm2. ¿Cuál es la superficie en la rea-lidad?

c) Una caseta de la maqueta está hecha con 0,3 cm3

de poliexpán. ¿Cuál es su verdadero volumen?d)La altura de un edificio en la realidad es 65 m.

¿Cuál es su altura en la maqueta?

2 La Luna está a 384 000 km de nosotros y su diáme-tro es 3 500 km.

a) Calcula su superficie y su volumen.

b) El Sol está a 150 000 000 km de nosotros. Y su ta-maño aparente es igual que el de la Luna. Según esto, halla el diámetro del Sol. Halla también su superficie y su vo-lumen a partir de las correspondien-tes magnitudes de la Luna.

Actividades

El dibujo adjunto representa la maqueta de una urbanización a escala 1:500.

Sobre la maqueta se han tomado las siguientes medidas:

polideportivo°¢°¢°£¢£¢

largo = 30 cmancho = 18 cm

depósito

cilíndrico°¢°¢°£¢£¢

diámetro = 6 cmaltura = 10 cm

carpa: diámetro = 16 cm

Para construir la carpa de la ma-queta se han necesitado 402 cm2

de tela.

En el depósito de la maqueta ca-ben 283 cm3 de arena.

Hallar:

a) La superficie total del polide-portivo.

b)El volumen del depósito.

c) La superficie y el volumen de la carpa, en la realidad.

Ejercicio resuelto

Dimensiones en la realidad:

polideportivo °¢°¢°£¢£¢

Largo = 30 cm Ò 500 = 15 000 cm = 150 mAncho = 18 cm Ò 500 = 9 000 cm = 90 m

depósito °¢°¢°£¢£¢

Radio = 3 cm Ò 500 = 1 500 cm = 15 mAltura = 10 cm Ò 500 = 5 000 cm = 50 m

carpa: Radio = 8 cm Ò 500 = 4 000 cm = 40 m

a) Superficie del polideportivo = 150 m Ò 90 m = 13 500 m2

b) Volumen del depósito = πr2h = π · 152 · 50 = 35 342,9 m3

También se puede calcular a partir del volumen del depósito en la maqueta:

Vdepósito realVdepósito realV = Vdepósito maquetaVdepósito maquetaV · 500depósito maqueta · 500depósito maqueta3 = 283 cm3 · 5003 =

= 35 375 000 000 cm3 = 35 375 m3

c) Superficie de la carpa = 12

4πr2 = 2π · 402 = 10 053,1 m2

También se puede calcular a partir de la superficie en la maqueta:

Scarpa realScarpa realS = Scarpa maquetaScarpa maquetaS · 500carpa maqueta · 500carpa maqueta2 = 402 cm2 · 5002 =

= 100 500 000 cm2 = 10 050 m2

Volumen de la carpa = 12

· 43πr3 = 2

3π403 = 134 041,3 m3

LUNA SOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOLSOL

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Semejanza de triángulosSemejanza de triángulos2 Teorema de Tales

Si las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

ABBC

= A'B'B'C'

Como consecuencia, se verifica: ABA'B'

= BCB'C'

= OAOA'

También ocurre lo recíproco: si los segmentos También ocurre lo recíproco: si los segmentos T AB y BC son proporcionales BC son proporcionales BCa A'B' y A'B' y A'B' B'C' y las rectas B'C' y las rectas B'C' a y a y a b son paralelas, entonces la recta b son paralelas, entonces la recta b c es paralela c es paralela ca ellas.

El teorema de Tales sirve para estudiar la semejanza de triángulos.

Triángulos semejantes

a'b'

c'A'

B'

C'

a

b

c

A

B

Cb

c'A'

Dos triángulos semejantes tienen:

• Sus lados proporcionales:

aa'

= bb'

= cc'

= razón de semejanza

• Sus ángulos, respectivamente iguales:

A^ = A^', B^ = B^', C^ = C^'

Triángulos en posición de Tales

Los triángulos ABC y AB'C' tienen un ángulo común, el A^. Es decir, el triángulo pequeño está encajado en el grande.

Además, los lados opuestos a A^ son paralelos.Decimos que esos dos triángulos están en posición de Tales.Dos triángulos en posición de Tales son semejantes.

C

Aa

bc

B

C'

A'O

s

r

B'

a'a

B'

C'A

B

C

B'

1 Las medidas de este dibujo son:

AB = 2,3 cmBC = 1,5 cmBC = 1,5 cmBCB'C' = 2,4 cmB'C' = 2,4 cmB'C'

Aplica el teorema de Tales y calcula la longitud de A'B'.

2 Para aplicar el teorema de Tales, trazamos por A una recta paralela a b y a c:

Calcula x.

Actividades

La semejanza en los triángulos rectángulos3os triángulos rectángulos son particularmente importantes, tanto desde el pun-

to de vista teórico como práctico. Por eso les vamos a dedicar una atención es-pecial. Empecemos por estudiar un criterio de semejanza muy fácil de aplicar.

Criterio de semejanza de triángulos rectángulos

os triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángulos agudos.

sto es así, pues con ese ángulo y el ángulo recto ya son dos los ángulos iguales y, por tanto, también será igual el tercero.

Por ejemplo:

8 a = b

Consecuencias del criterio de semejanza anterior

odos los triángulos obtenidos al trazar perpendiculares a alguno de los lados de un ángulo son semejantes.

odos esos triángulos (ABO, A'B'O, A''B''O) son semejantes por tener el ángulo a común.

Por tanto, sabemos, sin más comprobación (por el criterio anterior), que sus lados son proporcio nales .

= = = =

n un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa determina dos trián-gulos semejantes al original.

n la figura II encontramos tres triángulos rectángulos: ABC, AMB y AMC.

— ABC y AMB son semejantes por compartir el ángulo ^.

— ABC y AMC son semejantes por compartir el ángulo C^.

Entrénate

C

A

ab

c

B

C'

A's

r

B'

C

A

bc

B

C'

s

1,5 cm

4 cm

x

2,5 cmr

B'

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Semejanza de triángulos2 Teorema de Tales

i las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

= Como consecuencia, se verifica: = =

Triángulos semejantes

os triángulos semejantes tienen:

Sus lados proporcionales:

= = = razón de semejanza

Sus ángulos, respectivamente iguales:

^ = ^', ^ = ^', C^ = C^'

Triángulos en posición de Tales

os triángulos ABC y AB'C' tienen un ángulo común, el ^. Es decir, el triángulo pequeño está encajado en el grande.

Además, los lados opuestos a ^ son paralelos.Decimos que esos dos triángulos están en posición de Tales.Dos triángulos en posición de Tales son semejantes.

Actividades

La semejanza en los triángulos rectángulosLa semejanza en los triángulos rectángulos3Los triángulos rectángulos son particularmente importantes, tanto desde el pun-to de vista teórico como práctico. Por eso les vamos a dedicar una atención es-pecial. Empecemos por estudiar un criterio de semejanza muy fácil de aplicar.

Criterio de semejanza de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángulos agudos.

Esto es así, pues con ese ángulo y el ángulo recto ya son dos los ángulos iguales y, por tanto, también será igual el tercero.

Por ejemplo:

90° + 35° + a = 180°90° + 35° + b = 180°

°¢°¢°£¢£¢ 8 a = b

a b

35°

35°

Consecuencias del criterio de semejanza anterior

Todos los triángulos obtenidos al trazar perpendiculares a alguno de los lados de un ángulo son semejantes.

Todos esos triángulos (ABO, A'B'O, A''B''O) son semejantes por tener el ángulo a común.

Por tanto, sabemos, sin más comprobación (por el criterio anterior), que sus lados son proporcio nales .

OAOB

= OA'OB'

= OA''OB''

ABOB

= A'B'OB'

= A''B''OB''

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa determina dos trián-gulos semejantes al original.

En la figura II encontramos tres triángulos rectángulos: ABC, AMB y AMC.

— ABC y AMB son semejantes por compartir el ángulo B^.

— ABC y AMC son semejantes por compartir el ángulo C^.

AA'

A''O B'Ba

B''

I

A

C BC BMC BMC Ba

b

m nm nC Bm nC BC Bm nC B

hc

m nC Bm nC BC Bm nC Bm nC B

II

En el triángulo rectángulo ABC coABC coABC -nocemos AB = 9 cm y AC = 26 cm. AC = 26 cm. ACA 6 cm del vértice C cortamos el C cortamos el Ctriángulo CDE de forma que DEsea paralela a AB. Halla el área del trapecio ADEB.

Entrénate

A B

ED

C

6 cm

26 cm

9 cm

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UNIDAD

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Veamos algunos ejemplos de aplicaciones del criterio de semejanza en triángulos rectángulos.

1. Para medir la altura de un edi-ficio, Miguel se sitúa de modo que ve alineados la parte alta de la verja y la del edificio. Se-ñala su posición y toma las me-didas que se ven en el dibujo.

a) Explicar por qué los trián-gulos ABC y ABC y ABC ADE son seADE son seADE -mejantes.

b)Calcular ED y la altura del ED y la altura del EDedificio.

2. Hallar el volumen de un tron-co de cono de 9 cm de altura sabiendo que los radios de sus bases miden 20 cm y 8 cm.

Problemas resueltos

1.

2 m

1,6 m

7 m

3 mB

A

C

E

D

a) Los triángulos ABC y ABC y ABC ADE son semejantes por ser rectángulos con un ADE son semejantes por ser rectángulos con un ADEángulo agudo igual, A^.

b) EDCB

= ADAB

8 ED3 – 1,6

= 2 + 72

8 ED = 9 · 1,42

= 6,3 m

La altura del edificio es 6,3 + 1,6 = 7,9 m.

2. Ampliamos el tronco hasta completar un cono. Llamamos x al incremento de la altura. x al incremento de la altura. xTenemos en cuenta la seme-janza de los dos triángulos: el pequeño, de catetos 8 y x; y el grande, de catetos 20 y x +x +x 9:

x8

20

9

x8

= x + 9x + 9x20

8 20x = 8x = 8x x +x +x 72 8 12x = 72 x = 72 x 8 x = 6 cmx = 6 cmx

El volumen del tronco de cono es la diferencia de volúmenes de dos conos:

VtroncoVtroncoV = 13π · 202 · (9 + 6) – 1

3π · 82 · 6 = 1

3π (6 000 – 384) = 5 881,06 cm3

1 Calcula la altura de un árbol que proyecta una som-bra de 7,22 m en el momento en que un poste de 1,60 m da una sombra de 67 cm.

2 Halla los lados del trián-gulo ABC.ABC.ABC 5 cm

4 cm

8 cm

B

D

CA

E

3 En el mismo instante y lugar de la actividad 4, ¿qué longitud tendrá la sombra de un edificio que mide 32 m de altura?

4 Si la altura de Rita es 1,65 m, ¿cuál es la altura de la farola?

Actividades

1,5 m

1,65 m

2,5 m

Homotecia y semejanza4

NOMBREP APELLIDOS APELLIDO


Actividades

e llama homotecia de centro O y razón k a una transformación que hace corresponder a cada punto P otro P' tal que:• O, P y P' están alineados.• : = k

•

Dos figuras homotéticas son seme-jantes de razón |k |.

Definición

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UNIDAD

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Problemas resueltos

2 m

1,6 m

7 m

3 mB

A

C

E

D

^

Actividades

1,5 m

1,65 m

2,5 m

Homotecia y semejanzaHomotecia y semejanza4Cada punto de la figura azul (por ejem-plo, el A) se ha transformado en un punto de la roja (A'punto de la roja (A'punto de la roja ( ) que cumple las condiciones:

• O, A y A' están alineados.A' están alineados.A'

• OA' = 2 · OA' = 2 · OA' OA

A'

B'D'

C'

A

OB

D

C

D

Es una homotecia de centro homotecia de centro homotecia O y razón 2.O y razón 2.O

La homotecia es una transformación que produce figuras semejantes. La razón de semejanza es igual a la razón de homotecia. Si dos figuras son homotéticas, sus segmentos correspondientes son paralelos.

Observa cómo se aplica la homotecia para construir un rectángulo áureo a partir de una hoja A-4, teniendo en cuenta que el D.N.I. es un rectángulo áureo.

A-4


Recuerda que un rectángulo se llama áureo si su lado mayor se obtiene multiplicando el menor por F. El

número F = √√5 + 12

se llama número áureo. 1

F

En el dibujo de la izquierda se ve cómo un chico ayuda a una chica a “tapar” la luna con una moneda. En esa situación, la moneda y el disco de la Luna son figu-ras homotéticas. Es una homotecia en el espacio, pues los discos están en planos distintos. El centro de la homotecia es el ojo de la chica.

Observa cómo utiliza la chica de la derecha este mismo procedi-miento para comprobar si “aque-lla ventana que ve allí enfrente” es un rectángulo áureo: la compara con su D.N.I., mediante una ho-motecia con centro en su ojo.

1 En el procedimiento descrito arriba para obtener una hoja de papel con dimensiones áureas a partir de una A-4 y con la ayuda del D.N.I., se aplica una homotecia. ¿Cuál es su centro? ¿Y su razón?


Actividades

Se llama homotecia de centro O y razón k a una transformación que hace corresponder a cada punto P otro P' tal que:• O, P y P' están alineados.• OP' : OP = k

• °¢°¢°£¢£¢

Si k > 0,k > 0,kSi k < 0,k < 0,k

P'PO

P' PO

Dos figuras homotéticas son seme-jantes de razón |k |.

Definición

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UNIDAD

6

Aplica lo aprendido

Esta figura representa, a escala 1:2 000, una parcela de terreno. Calcula su perí-metro y su área, tomando las medidas necesarias.

Resuelve problemas

BA

M N

P

■ Practica

Figuras semejantes

1 ¿Cuáles de estas figuras son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?

FF1 FF2 FF33

2 a) ¿Son semejantes los triángulos interior y ex-terior?

b) ¿Cuántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya ra-zón de semejanza sea 2,5?

3 Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de 2,5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente.

4 Un joyero quie-re reproducir un bro-che como el de la fi-gura duplicando su tamaño.

1 cm1 cm

a) Haz un dibujo de la figura ampliada.b)Calcula su superficie.

5 Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, ¿qué área ocupará en un plano de escala 1:25?

6 Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula:a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la

maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro.b)La superficie de un jardín que en la maqueta

ocupa 40 cm2.c) El volumen de una piscina que en la maqueta

contiene 20 cm3 de agua.

7 En un mapa de escala 1:1 500 000, la distan-cia entre dos poblaciones es de 2 cm.a) ¿Cuál es la distancia real?b) ¿Qué distancia habrá en el plano entre dos ciuda-

des que distan 180 km?

8 Esta figura es el logotipo de una empresa automovilística. Quieren reproducirlo de forma que ocupe 54 cm2 de superficie. ¿Cuáles serán sus dimensiones? Dibújalo.

1 cm1 cm

9 ¿Cuánto medirán los lados de un trapecio se-mejante al de la figura, cuyo perímetro sea 163,2 cm?

21 cm

8 cm

12 cm10 cm

10 a) Copia esta figura en tu cuaderno y amplíala al doble tomando O como centro de homotecia.O como centro de homotecia.Ob)Redúcela a 1/3 tomando A como centro de ho-

motecia.

A

B

C

D

O

11 Halla el centro y la razón de homotecia que Halla el centro y la razón de homotecia que transforma la figura ABCDE en ABCDE en ABCDE A'B'C'D'E'.A'B'C'D'E'.A'B'C'D'E'

A' E'

D'D'B'B'C'C'

EE

CC

B DB D

A

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UNIDAD

6

Semejanza de triángulos

12 El perímetro de un triángulo isósceles es 49 m y su base mide 21 m. Halla el perímetro de otro triángulo semejante, cuya base mide 4 m. ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo mayor y el menor?

13 En el triángulo ABC hemos trazado ABC hemos trazado ABC DEparalelo a CB.

18 cm

12 cm

10 cm7 cm

A

BC

DDD E

¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y ABC y ABCADE ? Calcula AC y AC y AC AB.

14 ¿Por qué son seme-jantes los triángulos ABC ABC ABCy AED? Halla el perímetro del tra-pecio EBCD. A

CD

E

BB

6 cm

10 cm

17 cm

15 Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a AB es paralelo a AB CD.

C

B

A

O DDy

x10,6 cm

8,5 cm

6 cm

DDO7,2 cm

a) Di por qué son semejantes los triángulos OAB y OAB y OABODC.ODC.ODC

b) Calcula x e x e x y.

16 En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es 3/4. Halla el perímetro de otro trián-gulo semejante en el que el cateto menor mide 54 cm.

17 La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es 150 cm2, ¿cuál es el área del menor?

18 El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado desigual mide 14 m. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m.

■ Aplica lo aprendido19 En una carretera de montaña,

nos encontramos una señal que nos advierte que la pendiente es del 8%; es decir, por cada 100 m que reco-rremos, el desnivel es de 8 m.

8%

a) ¿Cuál es el desnivel que se produce cuando re-corremos 3 km?

b)Para que el desnivel sea de 500 m, ¿cuántos kiló-metros tendremos que recorrer?

20 Esta figura representa, a escala 1:2 000, una parcela de terreno. Calcula su perí-metro y su área, tomando las medidas necesarias.

21 Dos triángulos ABC y ABC y ABC PQR son semejanPQR son semejanPQR -tes. Los lados del primero miden 24 m, 28 m y 34 m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 129 m.

22 Los lados mayores de dos triángulos semejan-tes miden 8 cm y 13,6 cm, respectivamente. Si el área del menor es 26 cm2, ¿cuál es el área del mayor?

■ Resuelve problemas23 ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su an-

chura es 1,2 m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?

24 Entre dos pueblos A y A y A B hay una colina. Para medir la distancia AB, fijamos un punto P desde el P desde el Pque se ven los dos pueblos y tomamos las medidas:

BA

M N

P

AP = 15 km, PM = 7,2 km y PM = 7,2 km y PM MN = 12 km. MN = 12 km. MN(MN es paralela a MN es paralela a MN AB). Calcula la distancia AB). Calcula la distancia AB AB.

Practica

Esta figura es el logotipo de una empresa automovilística. Quieren reproducirlo de forma que ocupe 54 cm2 de superficie. ¿Cuáles serán sus dimensiones? Dibújalo.

¿Cuánto medirán los lados de un trapecio se-mejante al de la figura, cuyo perímetro sea 163,2 cm?

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25 Una lámpara situada a 25 cm de una lámina cua-Una lámpara situada a 25 cm de una lámina cua-Una lámpara situada a 25 cm de una lámina cuadrada de 20 cm de lado, proyecta una sombra sobre una pantalla paralela que está a 1,5 m de la lámpara.

¿Cuánto mide el lado del cuadrado proyectado?

26 Queremos construir un ortoedro de volumen 36 015 cm3 que sea semejante a otro de dimensio-nes 25 Ò 15 Ò 35 cm. ¿Cuánto medirán sus aristas?

27 Para hacer un embudo de boca ancha, hemos cortado un cono de 5 cm de radio a 3 cm del vértice.La circunferencia obtenida tiene 2 cm de radio.Halla el volumen del em-budo.

3 cm

5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm

28 Hemos recubierto con un te-jado cónico un depósito cilíndrico de 4 m de radio y 14,4 m de altura. Si el radio del cono es 10 m, ¿cuál es el volumen de la zona compren-dida entre el cono y el cilindro?

29 La base de una escultura tiene forma de tron-co de pirámide cuadrangular re-gular en el que los lados de las bases miden 80 cm y 140 cm, y su altura, 150 cm. Halla su volu-men.

140 cm

150

cm

80 cm

30 Halla el volumen de una maceta como la de la figura, en la que los radios de las bases mi-den 6 cm y 14 cm, y la genera-triz, 30 cm.

6 cm6 cm

14 cm

30 cm

¿Manejas la semejanza de figuras para obtener medi-das de una a partir de la otra?

1 Queremos hacer una maqueta de un jardín rectangu-lar a escala 1:400. Su perímetro es de 850 m, y su área, de 37 500 m2. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta?

¿Conoces las condiciones que se deben comprobar para asegurar que dos triángulos son semejantes?

2 Comprueba si son semejantes dos triángulos ABC y ABC y ABCA'B'C' que cumplen las condiciones siguientes:A'B'C' que cumplen las condiciones siguientes:A'B'C'

a) AB = 10, BC = 18; BC = 18; BC CA = 12

A'B' = 25; A'B' = 25; A'B' B'C' = 45; B'C' = 45; B'C' C'A' = 30C'A' = 30C'A'

b) AB = 20; BC = 30; CA = 40

A'B' = 40; B'C' = 50; B'C' = 50; B'C' C'A' = 60C'A' = 60C'A'

c) A^ = 58°; B^ = 97°

A^' = 58°; C^' = 35°' = 35°'

¿Utilizas con soltura la semejanza para resolver pro-blemas?

3 Álvaro debe situarse a 3 m de un charco para ver la copa de un árbol reflejada en él. Si la distancia del charco al árbol es de 10,5 m y la estatura de Álvaro es de 1,72 m, ¿cuál es la altura del árbol?

4 Un centro comercial P está si-tuado entre dos vías paralelas r y s. Se quiere unir, mediante carreteras, con las poblaciones A, B, C y D. Con los datos de la figura, calcula x e y.

6 km

10 km

B

x

y

D r

s

P

C 6,75 km

9 kmA

5 Un florero tiene forma de tronco de pirámide de bases cuadradas de 8 cm y 12 cm de lado, y altura 16 cm. Calcula su volumen.

8 cm

12 cm

16 c

m16

cm

16 c

m16

cm

16 c

m

Autoevaluación

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7Trigonometría

DEBERÁS RECORDAR

■ Cuándo son semejantes dos triángulos rectángulos.■ Cómo utilizar las sombras para medir ciertas

longitudes inaccesibles.

Hace más de 3 000 años, babilonios y egipcios uti-lizaron la semejanza y rudimentos de trigonometría para medir campos, realizar construcciones, e inclu-so para la astronomía y la navegación... Estos conoci-mientos pasaron a Grecia, donde cabe destacar a dos grandes astrónomos (pues trigonometría y astrono-mía van de la mano):

Hiparco de Nicea (180-125 a.C.), considerado el “padre de la astronomía”, consolidó el sistema sexa-gesimal para la medida de ángulos. Teniendo en cuenta que la esencia de la trigonometría es susti-tuir medidas angulares por medidas lineales, elaboró unas tablas en las que asociaba la me-dida de cada ángulo con la longitud de la cuerda correspondiente.

Ptolomeo de Alejandría (85-165) amplió y mejoró la obra de Hiparco y escribió un enorme tratado de astronomía de trece libros, al que se acabó llamando el Almagesto, (el más grande).

Los indios, durante los siglos iv y v, desarrollaron una trigonometría con un enfoque distinto al de los griegos: asociaron a cada ángulo la longitud de lasemicuerda del ángulo doble (lo que posteriormente se llamaría seno del ángulo), consiguiendo así trabajar con triángulos rectángulos, más fáci-les de manejar.

Los árabes (siglos ix-x) se inspiraron en el Almagesto de Ptolomeo pero utilizaron las tablas de los senos de los indios, las ampliaron con otras medidas y las me-joraron. Su trigonometría, bien fundamentada y muy práctica, se extendió por Europa a partir del siglo xii.

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Razones trigonométricas de un ángulo agudoRazones trigonométricas de un ángulo agudo1Vamos a estudiar todas las posibles razones entre dos de los lados de un triángu-lo rectángulo.

Definiciones

Sobre un ángulo agudo, a, construimos un triángulo rectángulo, ABC. Damos ABC. Damos ABClas siguientes definiciones con sus correspondientes abreviaturas:

seno de a = longitud del cateto opuesto a alongitud de la hipotenusa

sen a = BCAB

coseno de a = longitud del cateto contiguo a alongitud de la hipotenusa

cos a = ACAB

tangente de a = longitud del cateto opuesto a alongitud del cateto contiguo a a

tg a = BCAC

Estas relaciones se llaman razones trigonométricas del ángulo a.

Cálculo gráfico (aproximado) de las razones trigonométricas de un ángulo

La propia definición nos proporciona un método para calcular las razones trigo-nométricas de un ángulo agudo:

Se dibuja el ángulo. Desde un punto, B, de uno de los lados se traza una per-pendicular al otro lado. De este modo se forma un triángulo rectángulo ABC. Se miden los lados:

AC = 41 mm, BC = 28 mm, AB = 50 mm

Ahora, con estos datos, calculamos las razones trigonométricas:

sen a = BCAB

= 2850

= 0,56 cos a = 4150

= 0,82 tg a = 2841

= 0,68

Podríamos medir el ángulo con el transportador. Obtendríamos a = 34°. Por tanto:

sen 34° = 0,56 cos 34° = 0,82 tg 34° = 0,68

Las medidas efectuadas son aproximadas. Por tanto, las relaciones finales también lo son.

Razón. Se llama razón entre dos nú-meros a su cociente.

Recuerda

1 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triánguo rectángulo mucho más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que obtienes, aproximadamente, los mismos valores.

Actividades

Para designar ángulos, se suelen utilizar letras griegas como:

a alfa

b beta

g gamma

f fi

AC

B

a

AC

B

a

Las razones trigonométricas depen-den del ángulo pero no del triángulo.

No lo olvides

Relaciones trigonométricas fundamentales2os valores de sen, cos y tg de un mismo ángulo no son independientes, sino

que están relacionados, de tal modo que conociendo uno de ellos, podemos calcular los otros dos. Las relaciones que los ligan son las siguientes (se las suele llamar relaciones fundamentales):

(sen a)2 + (cos a)2 = 1 [I] aa

= tg a [II]

stas igualdades son fáciles de demostrar:

[I] (sen a)2 + (cos a)2 = 2 +

2 = = 1

pues por el teorema de Pitágoras se cumple que + = .

[II] aa

= : = = tg a

En los siguientes ejercicios resueltos vemos cómo, conocida una razón trigono-métrica de un ángulo, se pueden calcular las otras dos.

Actividades

n lugar de (sen a)2 se suele poner sen2 a. Del mismo modo:

(cos a)2 = cos2 a y (tg a)2 = tg 2 aA pesar de la costumbre, y para evitar confusiones, utilizaremos durante este curso la expresión con paréntesis.

Notación

ÄÄÄÄ8 ÄÄÄÄ8


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Razones trigonométricas de un ángulo agudo1 a estudiar todas las posibles razones entre dos de los lados de un triángu-

lo rectángulo.

Definiciones

Cálculo gráfico (aproximado) de las razones trigonométricas de un ángulo

Se dibuja el ángulo. Desde un punto, B, de uno de los lados se traza una per-pendicular al otro lado. De este modo se forma un triángulo rectángulo ABC. Se miden los lados:

= 41 mm, = 28 mm, = 50 mm

Ahora, con estos datos, calculamos las razones trigonométricas:

sen a = = = 0,56 cos a = = 0,82 tg a = = 0,68

Podríamos medir el ángulo con el transportador. Obtendríamos a = 34°. Por tanto:

sen 34° = 0,56 cos 34° = 0,82 tg 34° = 0,68

Las medidas efectuadas son aproximadas. Por tanto, las relaciones finales también lo son.

azón. Se llama razón entre dos nú-meros a su cociente.

Recuerda

Actividades

Para designar ángulos, se suelen utilizar letras griegas como:

a alfa

b beta

g gamma

f fi

Las razones trigonométricas depen-den del ángulo pero no del triángulo.

No lo olvides

Relaciones trigonométricas fundamentalesRelaciones trigonométricas fundamentales2Los valores de sen, cos y tg de un mismo ángulo no son independientes, sino que están relacionados, de tal modo que conociendo uno de ellos, podemos calcular los otros dos. Las relaciones que los ligan son las siguientes (se las suele llamar relaciones fundamentales):

(sen a)2 + (cos a)2 = 1 [I] sen acos a

= tg a [II]

Estas igualdades son fáciles de demostrar:

[I] (sen a)2 + (cos a)2 = (BCAB )2

+ (ACAB )2

= BC 2 + AC 2

AB2 = 1

pues por el teorema de Pitágoras se cumple que BC 2 + AC 2 = AB2.

[II] sen acos a

= BCAB

: ACAB

= BCAC

= tg a

En los siguientes ejercicios resueltos vemos cómo, conocida una razón trigono-métrica de un ángulo, se pueden calcular las otras dos.

1 sen 37° = 0,6. Calcula cos 37° y cos 37° y cos tg 37°.tg 37°.tg 2 tg 28° = 0,53. Calcula tg 28° = 0,53. Calcula tg sen 28° y cos 28°.cos 28°.cos

Actividades

En lugar de (sen a)2 se suele poner sen2 a. Del mismo modo:

(cos a)2 = cos2 a y (tg a)2 = tg 2 aA pesar de la costumbre, y para evitar confusiones, utilizaremos durante este curso la expresión con paréntesis.

Notación

1. Sabiendo que cos a = 0,63, calcular s = s = s sen a y t = t = t tg a.

Mediante la igualdad I, conocido sen a obtenemos cos a, y viceversa.

s2 + 0,632 = 1 8 s2 = 1 – 0,632 = 0,6031 8 s = s = s √√0,6031 = 0,777

(Solo tomamos la raíz positiva, porque sen a ha de ser positivo).

t = t = t 0,7770,63

= 1,23 Solución: sen a = 0,777 tg a = 1,23

2. Sabiendo que tg a = 2, calcular s = s = s sen a y c = c = c cos a.

Mediante las igualdades I y II, conocida tg a se obtienen, resolviendo un sistema de ecuaciones, los valores de sen a y cos a:

sc

= 2 = 2

s2 + c2 = 1

°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§ s = 2c

(2c)c)c 2 + c2 = 1 8 4c2 + c2 = 1 8 5c2 = 1

c2 = 15

solo tomamossolo tomamosÄÄÄÄ8la raíz positivaÄÄÄÄ8la raíz positivaÄÄÄÄ8 c = c = c 1√√5

racionalizandoÄÄÄÄ8 c = c = c √√55

; s = s = s 2√√55

Solución: sen a = 2√√55

= 0,894 cos a = √√55

= 0,447


A C

B

aC

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Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°Los triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos son 45°, 30° o 60° aparecen con mucha frecuencia, por lo que resultan especialmente interesantes en geo metría. Vamos a hallar las razones trigonométricas de estos ángulos.

■Razones trigonométricas de 45°

La hipotenusa de este triángulo rectángulo isós celes mide:

h = √√12 + 12 = √√2. Por tanto:

sen 45° = 1√√2

= √√22

, cos 45° = √√22

, tg 45° = 145°

1h

1

■Razones trigonométricas de 30° y de 60°

Calculamos la altura de este triángulo equilátero:

a = √√12 – (12)2 = √√1 – 1

4 = √√√3

4 = √√3

2

30°

60°1/2

1a

Por tanto:

sen 30° = 12

cos 30° = √√32

tg 30° = 1/2√√3/2

= 1√√3

= √√33

sen 60° = √√32

cos 60° = 12

tg 60° = √√3/21/2

= √√3

3 Teniendo en cuenta que tg 45° = 1, deduce el valor de sen 45° y de cos 45° mediante las relaciones fun-damentales.

4 Teniendo en cuenta que sen 30° = 1/2, halla el valor de cos 30° y de tg 30° mediante las relaciones fun-damentales.

5 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

sen a 0,94 4/5

cos a 0,82 √√3/2tg a 3,5 1

En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su expresión decimal.

6 Un carpintero quiere construir una escalera de tije-ra, cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°.

Para que la altura de la es-calera, estando abierta, sea de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?

7 Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo cose-no vale 0,8.

8 Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tan-gente vale 0,7.

Actividades

60°60°

1

30°

45°45°45°

√Ä√Ä√3

√Ä√Ä√3—3

1—2

√Ä√Ä√2—2

√Ä√Ä√3—2

sen cos tg

30°12

√√32

√√33

45° √√22

√√22

1

60° √√32

12 √√3

Utilización de la calculadora en trigonometría3

Selección del modo deg (grados sexagesimales)

Anotar un ángulo. Tecla

Cálculo de una razón trigonométrica. Teclas

Funciones inversas: ( ), ( ), ( )

ara el cálculo y el manejo de las razo-nes trigonométricas, hasta ahora solo hemos utilizado las operaciones arit-méticas de la calculadora: + - * / y $.En este apartado vamos a aprender a manejar las teclas específicamente tri-gonométricas.

Teclas trigonométricas

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Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°os triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos son 45°, 30° o 60° aparecen con

mucha frecuencia, por lo que resultan especialmente interesantes en geo metría. Vamos a hallar las razones trigonométricas de estos ángulos.

Razones trigonométricas de 45°

a hipotenusa de este triángulo rectángulo isós celes mide:

h = = . Por tanto:

sen 45° = = , cos 45° = , tg 45° = 1

Razones trigonométricas de 30° y de 60°

alculamos la altura de este triángulo equilátero:

a = = = =

Por tanto:

sen 30° = cos 30° = tg 30° = = =

sen 60° = cos 60° = tg 60° = =

eniendo en cuenta que tg 45° = 1, deduce el valor de sen 45° y de cos 45° mediante las relaciones fun-damentales.

Teniendo en cuenta que sen 30° = 1/2, halla el valor de cos 30° y de tg 30° mediante las relaciones fun-damentales.

Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

sen a

cos a

tg a

En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su expresión decimal.

Un carpintero quiere construir una escalera de tije-ra, cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°.

Para que la altura de la es-calera, estando abierta, sea de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?

Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo cose-no vale 0,8.

Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tan-gente vale 0,7.

Actividades

sen cos tg

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Utilización de la calculadora en trigonometríaUtilización de la calculadora en trigonometría3Las calculadoras científicas nos dan directamente el valor del seno, del coseno o de la tangente de cualquier ángulo. También nos dicen cuál es el ángulo del que conocemos el valor de una de sus razones trigonométricas.

Veamos, paso a paso, cómo se recurre a la calculadora para trabajar en trigono-metría.

■Selección del modo deg (grados sexagesimales)

Las calculadoras manejan tres unidades de medida de ángulos:

• Grados sexagesimales (deg). Son los que utilizamos normalmente.

• Grados centesimales (gra). Un ángulo recto tiene 100 grados centesimales. Nunca usaremos esta unidad de medida.

• Radianes (rad). Esta unidad de medida de ángulos está relacionada con el estudio funcional de las razones trigonométricas (funciones trigonométri-cas). A partir del curso próximo se usará con frecuencia.

En este curso utilizaremos, exclusivamente, los grados sexagesimales. Por tanto, selecciona en la calculadora el modo deg, a partir de la tecla M o !En este curso utilizaremos, exclusivamente, los grados sexagesimales. Por

!En este curso utilizaremos, exclusivamente, los grados sexagesimales. Por

, según el modelo de calculadora.

■Anotar un ángulo. Tecla OPara escribir el ángulo 38° 25' 36'', se procede así:

38O25O36O{«°…¢“\\\\\|} sO{∫«°o“∞o«\}Se anota el ángulo en forma decimal Se expresa el ángulo en forma sexagesimal

En las calculadoras de pantalla descriptiva se procede del mismo modo:calculadoras de pantalla descriptiva se procede del mismo modo:calculadoras de pantalla descriptiva

38O25O36O=

■Cálculo de una razón trigonométrica. Teclas ß © tPara calcular sen (47° 25'), se procede así:

ß47O25O {¢|…¢‘\\\\\|} = {≠…|«\“£«£∞‘“‘}{≠…|«\“£«£∞‘“‘}{≠Es decir, sen 47° 25' = 0,736

Análogamente, se procede con coseno, ©, y tangente, t.

■ Funciones inversas: fi (sß), Â (s©), T (st)

¿Cuál es el ángulo cuyo seno vale 0,5? Sabemos que es 30°. La forma de pre-guntárselo a la calculadora es esta:

s ß 0,5 = {∫∫∫∫«≠}{∫∫∫∫«≠}{∫∫∫∫«≠Análogamente:

cos a = 0,56 8 ¿a? 8 s© 0,56 =sO{∞∞o∞\o«£…‘«}tg a = 3 8 ¿a? 8 st 3 =sO{|‘o««o∞¢…‘°}

Para el cálculo y el manejo de las razo-nes trigonométricas, hasta ahora solo hemos utilizado las operaciones arit-méticas de la calculadora: + - * / y $.En este apartado vamos a aprender a manejar las teclas específicamente tri-gonométricas.

Teclas trigonométricas

Obtén las siguientes razones trigono-métricas y escribe en tu cuaderno los resultados redondeando a las milési-mas.a) sen 86°sen 86°sen b) cos 59°cos 59°cosc) tg 22°tg 22°tg d) sen 15° 25' 43''sen 15° 25' 43''sene) cos 59° 27'cos 59° 27'cos f) tg 86° 52'tg 86° 52'tgg) sen 10° 30'' (atención, 10° 0' 30'')sen 10° 30'' (atención, 10° 0' 30'')sen

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Resolución de triángulos rectángulosResolución de triángulos rectángulos4Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos (lados o ángulos) a partir de algunos elementos conocidos.

Las razones trigonométricas nos permiten resolver cualquier tipo de triángulo rectángulo.

■Conocidos dos lados

• El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras.

• Cada uno de los ángulos agudos se halla a partir de la razón trigonométrica que lo relaciona con los dos lados conocidos.

■Conocidos un lado y un ángulo

• Otro lado se halla mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos.

• El otro ángulo agudo es complementario del que conocemos.

1. Los dos catetos de un triángu-lo rectángulo miden 17 cm y 40 cm. Hallar los ángulos del triángulo.

2. Iris está haciendo volar su co-meta. Ha soltado 36 m de hilo y mide el ángulo que forma la cuerda con la horizontal: 62°. ¿A qué altura se encuentra la cometa sabiendo que la mano de Iris que sostiene la cuerda está a 83 cm del suelo?


1. El ángulo a se relaciona con los dos catetos me-

diante su tangente: tg a = 1740

= 0,42540

17a

Hallamos con la calculadora el ángulo cuya tangente es 0,425:

st0,425=sO{“«o‘o«‘…||}. Es decir, a = 23° 1' 32''.

El otro ángulo es su complementario: 90° – 23° 1' 32'' = 66° 58' 28''

2. a es la altura de la cometa por encima de la mano de a es la altura de la cometa por encima de la mano de aIris.

a es el cateto opuesto al ángulo de 62°. El seno es la raa es el cateto opuesto al ángulo de 62°. El seno es la raa -zón trigonométrica que la relaciona con la hipotenusa:

sen 62° = a36

8 a = 36 · a = 36 · a sen 62° = 31,79 m

La cometa está a una altura de 31,79 + 0,83 = 32,62 m.

a

62°62°

36 m

A^ = 90° – B^

BB

B

AA

a c

c = c = c —acos B^

acsen A^ = —

b = b = b c2 – a2

a

b = b = b a · tg B^

1 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27° y la hipotenusa 46 m. Halla los dos catetos.

2 ¿Cuánto mide la apotema de un pentágono regular de lado l = 10 cm?l = 10 cm?l

3 Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71 cm. Calcula, en grados y minutos, los dos ángulos agudos.

4 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 37°, y el cateto opuesto, 87 m. Halla el otro cateto y la hipotenusa.

Actividades

UNIDAD

7


Practica

^

^

^

^ ^

sen a

cos a

tg a

sen a

cos a

tg a

a 15° 55° 20' 72° 25' 40'' 85,5°

sen a

cos a

tg a

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Resolución de triángulos rectángulos4Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos (lados o ángulos) a partir de algunos elementos conocidos.

Las razones trigonométricas nos permiten resolver cualquier tipo de triángulo rectángulo.

Conocidos dos lados

El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras.

Cada uno de los ángulos agudos se halla a partir de la razón trigonométrica que lo relaciona con los dos lados conocidos.

Conocidos un lado y un ángulo

Otro lado se halla mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos.

El otro ángulo agudo es complementario del que conocemos.


Actividades

UNIDAD

7


■ Practica

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos:a) b) c)

7 m

25 m 8 m

aaaaaaaaaaa

a

11,6

cm

32 m 60 m

2 Midiendo los lados, halla las razones trigono-métricas de B^ en cada caso:a) b)

A

AB

BC

C

A

3 Halla las razones trigonométricas de los ángu-los agudos de los siguientes triángulos rectángulos (A(A(^ = 90°):a) b = 56 cm; b = 56 cm; b a = 62,3 cma = 62,3 cmab)b = 33,6 cm; b = 33,6 cm; b c = 4,5 cmc = 4,5 cmcc) c = 16 cm; c = 16 cm; c a = 36 cma = 36 cma

4 Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y ABC y ABC AHB son rectángulos.AHB son rectángulos.AHB

Halla en cada uno las razones trigono-métricas de B^ y compara los resulta-dos. ¿Qué observas?

BHC

A

1,96 cm23,04 cm

24 cm6,72 cm7

cm

5 Calcula las razones trigonométricas de los án-gulos A^ y C^, ABD y CBD .

B

C16 cm

15 cm

A D

12 c

m

Relaciones fundamentales

6 Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utili-zando las relaciones fundamentales (a < 90°).

7 Halla el valor exacto (con radicales) de sen ay tg a sabiendo que cos a = 2/3 (a < 90°).

8 Si tg a = a = a √√5, calcula sen a y a y a cos a (a (a a < 90°).a < 90°).a

9 Calcula y completa esta tabla en tu cuaderno, con valores aproximados:con valores aproximados:

sen a 0,92

cos a 0,12

tg a 0,75

10 Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90°). Hazlo en tu cuaderno.siguiente (

sen a 2/3

cos a √√2/3tg a 2

Calculadora

11 Completa en tu cuaderno la tabla siguiente, utilizando la calculadora:

a 15° 55° 20' 72° 25' 40'' 85,5°

sen a

cos a

tg a

12 Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos.a) sen a = 0,58 b) cos a = 0,75 c) tg a = 2,5

d) sen a = √√53

e) cos a = 1√√3

f ) tg a = 3√√2

13 Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de los casos siguientes:a) sen a = 0,23 b) cos a = 0,74 c) tg a = 1,75

d) sen a = 1√√2

e) tg a = √√3 f ) cos a = √√32

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14 Halla la medida de los lados y los ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángu-los (Alos (Alos (^ = 90°):a) b = 7 cmb = 7 cmb c = 18 cmc = 18 cmcb)a = 25 cma = 25 cma b = 7 cmb = 7 cmbc) b = 18 cmb = 18 cmb B^ = 40°d) c = 12,7 cmc = 12,7 cmc B^ = 65°e) a = 35 cma = 35 cma C^ = 36°

15 Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?

16 En un triángulo isósceles, su lado desigual mide 18 m, y su altura, 10 m. Calcula sus ángulos.

17 Calcula el perímetro y el área de un triángulo Calcula el perímetro y el área de un triángulo isósceles en el que el ángulo desigual mide 72° y la medida del lado opuesto a ese ángulo es de 16 m.

18 Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?

19 Calcula la altura, h, y el área de los siguien-tes triángulos:a) b)B Bb)B Bb)

DD AA CA CA CA CDA CDD AA CD ACA CCA CA CCA C

28 cm

32 cmA C32 cmA C13 cmA C13 cmA C

18 cm hh

65°65° 35°A C

35°A CA CA CA CA C

20 Calcula la altura sobre el lado AB en los siAB en los siAB -guientes triángulos:a) b)

21 Para medir la altura de un árbol, nos situa Para medir la altura de un árbol, nos situa-mos a 20 m de su base y observamos, desde el sue-lo, su parte más alta bajo un ángulo de 50°. ¿Cuán-to mide el árbol?

22 Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como indica la figura.

Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE.AE.AE

23 Una escalera, por la que se accede a un túnel, tiene la forma y las di-mensiones de la figura.

Calcula la profundidad del punto B.

¿Dominas las razones trigonométricas de un ángulo agudo y sabes utilizarlas para calcular lados y ángu-los? ¿Conoces las relaciones entre ellas?

1 a) Si cos a = 0,52, calcula sen a y tg a.

b) Si tg b = 125

, calcula sen b y cos b.

La calculadora científica es un instrumento básico en trigonometría. ¿Sabes manejarla con eficacia?

2 Si sen a = 0,35, ¿cuánto mide a = 0,35, ¿cuánto mide a a? Halla las otras razo-nes trigonométricas de a con ayuda de la calculadora.a con ayuda de la calculadora.a

¿Sabes resolver triángulos rectángulos a partir de un lado y un ángulo o de dos lados?

3 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 50°, y la hipotenusa, 16 cm. Resuelve el triángulo.

4 Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?

5 En un triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales mide 70° y su altura es de 12 cm. Halla la medida de los lados del triángulo.

Autoevaluación

B B

CA

15 cm70°

B B

AC

23 cm40°

B

A

30°25 m

30 m

10 m

50°50°

B

P C E

D

QA

75 m10

0 m

60° 30°

45°30°

45°

83

DEBERÁS RECORDAR

■ Algunas propiedades de los paralelogramos.■ Algunas formas de la ecuación de una recta.■ Sistemas de ecuaciones lineales con y sin solución.

Con la invención de la Geometría Analítica se pone de manifiesto, una vez más, que las grandes creacio-nes humanas son fruto de una época, de un momento histórico cuyas circunstancias lo propician. Solo falta el personaje genial que lo lleve a efecto. En este caso fueron dos franceses, Descartes y Fermat, quienes la desarrollaron independiente y casi simultáneamente.

René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático, en su obra El discurso del Método incluyó una parte final llamada “Geometría” en la que se detalla cómo se aplica el álgebra a la resolución de algunos proble-mas geométricos con la ayuda de un sistema de co-ordenadas. Coordenadas cartesianas se llamaron, pues en aquella época los textos científicos se escribían en latín y Descartes latinizó su nombre: Cartesius.

Pierre de Fermat (1601-1655), abogado, político y matemático por afición, desarrolló un sistema simi-lar al de Descartes: aplicó los métodos algebraicos al tratamiento de figuras geométricas representadas en unos ejes de coordenadas rectangulares. Esto lo des-cribió en 1636, un año antes que Descartes, pero no fue publicado hasta después de su muerte, por lo que su obra no ejerció tanta influencia como la de aquel. Por eso es frecuente atribuir solo a Descartes la inven-ción de la Geometría Analítica, olvidando la contri-bución de Fermat que, incluso, llegó un poco antes.

La utilización de los vectores en la geometría (los fí-sicos ya los usaban hacía tiempo) llegó en el siglo xix por medio de Gauss, Möbius y Bellavilis.

8Geometría analítica

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Producto de un vector por un número

Suma de vectores

Resta de vectores

Operaciones con vectores2Notación

Vectores en el planoVectores en el plano1En un sistema de ejes cartesianos, cada punto se describe mediante sus coorde-nadas: A(1, 4), B(6, 6).

La flecha que va de A a B se llama B se llama B vector y se representa por vector y se representa por vector8AB. Es el vector

de origen A y extremo B.

Al vector 8AB podríamos describirlo así: desde A avanzamos 5 unidades en el

sentido de las X y subimos dos unidades en el sentido de las X y subimos dos unidades en el sentido de las X Y. Y. Y

Eso se dice más brevemente así: las coordenadas de 8AB son (5, 2).

O, mejor, así ..............8AB = (5, 2).

O, simplemente, así ....8AB(5, 2).

Las coordenadas de un vector se obtienen restando las coordenadas de su origen a las de su extremo:

B(6, 6), A(1, 4) 8AB = (6, 6) – (1, 4) = (5, 2)

Módulo de un vector, 8AB, es la distancia de A a B. Se designa así: |

8AB|. Si

las coordenadas de 8AB son (x, y), entonces y), entonces y |

8AB| = √√x2 + y2.

Dirección de un vector es la de la recta en la que se encuentra y la de todas sus paralelas.

Cada dirección admite dos sentidos opuestos.

Por ejemplo, 8PQ y PQ y PQ

8PR son vectores de sentidos

opuestos.

P

Q

R

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma direc-ción y el mismo sentido. En tal caso, tienen las mismas coordenadas.

1 Representa los vectores 8AB y

8CD, siendo A(1, 1),

B(–2, 7), C(6, 0), C(6, 0), C D(3, 6) y observa que son igua-les. Comprueba que

8AB =

8CD CD CD hallando sus coor-

denadas. Calcula su módulo.

2 Tenemos tres puntos de coordenadas:A(3, –1), B(4, 6), C(0, 0) C(0, 0) C

Halla las coordenadas del punto D para que los vecD para que los vecD -tores

8AB y

8CD sean iguales.CD sean iguales.CD

Actividades

Dos vectores iguales 8AB =

8A'B' situaA'B' situaA'B' -

dos en rectas distintas (y, por tanto, paralelas) determinan un paralelo-gramo ABB'A'A' '.

B'

A'A

B

A'

Igualdad de vectores

A(1, 3), B(4, 8), A'(2, –3), '(2, –3), ' B'(5, 2). Comprobar que los vectores'(5, 2). Comprobar que los vectores' 8

AB AB AB y8

A'B' A'B' A'B' son iguales.

Representándolos, observamos que tienen el mismo módulo, la misma direc-ción y el mismo sentido. Pero también podemos comprobarlo mediante sus coordenadas:

Coordenadas de 8AB: (4, 8) – (1, 3) = (3, 5)

8AB(3, 5)

Coordenadas de 8

A'B' : (5, 2) – (2, –3) = (3, 5) 8

A'B'(3, 5)°¢°¢°

£¢£¢ 8AB =

8A'B'

Ejercicio resuelto

88ABAB(5, 2)(5, 2)(5, 2) BB(6, 6)(6, 6)

A(1, 4)(1, 4)55 22

B'B'

A'A'

A

BB

A'A'

Entrénate

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Producto de un vector por un númeroEl producto de un número k por un vector k por un vector k 8v es otro vector k8v que tiene:

• Módulo: igual al producto del módulo de 8v por el valor absoluto de k:

|k8v| = |k| |8v|

• Dirección: la misma que 8v.

• Sentido: el mismo que el de 8v o su opuesto, según k sea positivo o negativo, k sea positivo o negativo, krespectivamente.

–2v8–2v8–2v

–v8 0v80v80v = 08

0,5v80,5v80,5v1,5v81,5v81,5v8v

El producto 08v es igual al vector cero, 80. Es un vector cuyo origen y extremo

coinciden y, por tanto, su módulo es cero. Carece de dirección.

El vector –18v se designa por –8v y se llama opuesto de 8v.

Las coordenadas del vector k8v se obtienen multiplicando por k las coordek las coordek -nadas de 8v. Las coordenadas de

8 se obtienen multiplicando por

8 se obtienen multiplicando por

0 son (0, 0). Las coordenadas de –8v son las opuestas de las coordenadas de 8v.

Suma de vectoresPara sumar dos vectores, sumar dos vectores, sumar 8u y 8v, se procede del si-guiente modo: se sitúa 8v a continuación de 8u, de manera que el origen de 8v coincida con el extremo de 8u. La suma 8u + 8v es el vector cuyo origen es el de 8u y extremo el de 8v.

8v

8v

8u8u

u8 + v8

Las coordenadas del vector 8u + 8v se obtienen sumando las coordenadas de 8ucon las de 8v. Por ejemplo:

8u(7, –3) , 8v(4, 5) 8 8u + 8v = (7 + 4, –3 + 5) = (11, 2)

Resta de vectoresPara restar dos vectores, restar dos vectores, restar 8u y 8v, se le suma a 8u el opuesto de 8v:

8u – 8v = 8u + (–8v) 8v

8u

8u

u8 – v8

–v8

Las coordenadas del vector 8u – 8v se obtienen restándole a las coordenadas de 8u las de 8v. Por ejemplo:

8u(7, –3), 8v(4, 5) 8 8u – 8v = (7 – 4, –3 – 5) = (3, –8)

Operaciones con vectoresOperaciones con vectores2

Los vectores se designan también mediante una letra minúscula con una flechita encima. Para ello, se sue-len utilizar las letras 8u, 8v, 8w, y, si se necesitan más, 8x, 8y, 8z .

Notación

Vectores en el plano1

Actividades

Igualdad de vectores

Ejercicio resuelto

1 a) Representa los vectores 8u = 8AB,

8v = 8

Representa los vect8

Representa los vectBC, siendo BC, siendo BC A(1, 3), B(4, 5),

C(6, –2). Halla sus cC(6, –2). Halla sus cC oordenadas.b) Representa 8u + 8v y halla sus

coordenadas.c) Representa 38u, –28u y 08v y

halla sus coordenadas.

d) Representa y halla las coorde-nadas del vector 38Representa y halla las coorde

8Representa y halla las coorde

u – 48Representa y halla las coorde

8Representa y halla las coorde

v.

2 Representa y halla las coordenadas de los vectores:8w = 28u + 8v, 8p = 8u – 8v y8q = –8u + 1

28v,

siendo 8u(3, –1) y 8v (–4, 2).

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Punto medio de un segmento y puntos alineadosPunto medio de un segmento y puntos alineados3Si A(x1, y1) y B(x2x2x , y2y2y ), entonces las coorde-nadas del punto medio del segmento AB son:AB son:AB

M = (x1 + x2x2x2

, y1 + y2

2 )

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de sus extremos.

Por ejemplo, el punto medio del segmento de extremos A(–2, 1) y B(4, 3) es

M =M =M (–2 + 42

, 1 + 32 ) = (1, 2).

Comprobación de que tres puntos están alineadosLos puntos A, B y B y B C están alineados C están alineados Csiempre que los vectores

8AB y

8BC

tengan la misma dirección, y esto ocurre si sus coordenadas son proporcionales.A(x1, y1)

B(x2x2x , y2y2y )

C(C(C x3x3x , y3)

A, B y B y B C están alineados si C están alineados si C8AB //

8BC ; es decir, si las coordenadas del vector

(x2x2x – x1, y2y2y – y1) son proporcionales a las de (x3x3x – x2x2x , y3 – y2y2y ).

A(x1, y1)B(x2x2x , y2y2y )

O

MSi M es el punto medio de M es el punto medio de M AB, se dice que B es el B es el B simétrico de Arespecto de M.

Punto simétrico

El símbolo // puesto entre dos vec-tores denota que son paralelos; es decir, que tienen la misma dirección.

Notación

Comprobar si los puntos A(2, –1), B(6, 1), C(8, 2) están alineados.8AB = (6 – 2, 1 – (–1)) = (4, 2)8BC = (8 – 6, 2 – 1) = (2, 1)BC = (8 – 6, 2 – 1) = (2, 1)BC

°¢°¢°£¢£¢

Las coordenadas son proporcionales, pues 2 · (2, 1) = (4, 2).

Por tanto, 8AB //

8BC y los puntos están alineados.BC y los puntos están alineados.BC

Ejercicio resuelto

1 Halla las coordenadas del punto medio de los si-guientes segmentos:

a) A(–2, 5), B(4, 1) b) P(7, –3), Q(–5, 1)

c) R(1, 4), S(7, 2) d)A(–3, 5), B(4, 0)

2 Si conocemos el punto medio del segmento AB, M(4, 4), y uno de los extremos es M(4, 4), y uno de los extremos es M A(7, 2), ¿cuáles son las coordenadas de B?

3 Halla las coordenadas del punto simétrico de A res-pecto de P en los siguientes casos:P en los siguientes casos:P

a) A(4, –1), P(–7, 2)

b)A(2, 4), P(5, –1)

4 Comprueba si R(2, 7), S(5, –1) y TT T(15, –25) es-tán alineados.

5 Averigua el valor de a para que los puntos a para que los puntos a R(2, 7), S(5, –1) y QQ Q(a, –25) estén alineados.

Actividades

Ecuaciones de rectas. Paralelismo y perpendicularidad4

Actividades

Recuerda


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Punto medio de un segmento y puntos alineados3

Comprobación de que tres puntos están alineados

Punto simétrico

Notación

( )

Ejercicio resuelto

Actividades

Ecuaciones de rectas. Paralelismo y perpendicularidadEcuaciones de rectas. Paralelismo y perpendicularidad4Una recta queda determinada por dos puntos. A partir de ellos, como ya sabe-

mos, se obtiene la pendiente, m = y2y2y – y1x2x2x – x1

, y, con ellos, la

ecuación de la recta: y = y = y y1 + m(x – x – x x1)

El vector 8AB que une los dos puntos se llama vector di-

rección de la recta.

Por ejemplo, la recta r que pasa por A(3, 7) y B(8, –3) tiene como vector di-rección a

8AB(5, –10) o cualquier otro vector paralelo a él, como el (1, –2). La

pendiente de esta recta es: m = –3 – 78 – 3

= –105

= –2 = –2

Su ecuación es: y = 7 – 2(y = 7 – 2(y x – 3); es decir, x – 3); es decir, x y = –2y = –2y x + 13x + 13x

Vector dirección de una recta es cualquier vector paralelo a ella. Si A y Bson puntos de la recta,

8 de una recta es cualquier vector paralelo a ella. Si

8 de una recta es cualquier vector paralelo a ella. Si

AB es un vector dirección de ella.

Si 8d(a, b) es un vector dirección de r, su pendiente es: m = b

a

1 Halla la ecuación de la recta que pasa por:

a) A(1, 3), B(5, 5) b) A(1, 6), B(8, –2)

2 Halla la ecuación de la recta que pasa por (7, –5) y tiene por vector dirección (7, – tiene por vector dirección (7, – tiene por vector dirección (7, –4).

3 Halla la recta paralela a 5x – 6x – 6x y – 6y – 6 + 14 = 0 que pasa y + 14 = 0 que pasa ypor (0, –3).

4 Halla la recta paralela a 5yHalla la recta paralela a 5yHalla la recta paralela a 5 – 10 = 0 que pasa por y – 10 = 0 que pasa por y(2, 4).

Actividades

La pendiente de una recta dada por su ecuación es el coeficiente de la xcuando la y está despejada.y está despejada.y

Recuerda

rr

AAA(3, 7)(3, 7)

BB(8, –3)(8, –3)(1, –2)(1, –2)

88ABAB(5, –10)(5, –10)

A(x1, y1)

B(x2x2x , y2y2y )

A

1. Hallar la ecuación de la rec-ta que pasa por A(–2, 3) y B(6, 7).

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (5, –3) y tiene por vector dirección

8d(3, 2).

3. Hallar la ecuación de la recta paralela a r : 2x + 5x + 5x y + 5y + 5 – 4 = 0 y – 4 = 0 yque pasa por:

a) (0, 0) b)(4, –3)


1. Un vector dirección es 8AB(8, 4). Otro vector dirección:

8d(2, 1)

Pendiente: m = 12

. Ecuación: y = 3 + y = 3 + y 12

(x + 2)x + 2)x 8 y = y = y 12

x + 4x + 4x

2. Su pendiente es: m = 23

Su ecuación es: y = –3 + y = –3 + y 23

(x – 5)x – 5)x

3. Puesto que la rectas que nos piden son paralelas a r (tienen su misma pen-diente), empezamos hallando la pendiente de r. Para ello, despejamos la yy nos fijamos en el coeficiente de la x:

2x + 5x + 5x y + 5y + 5 – 4 = 0y – 4 = 0y 8 y = –y = –y 25

x + x + x 45

Pendiente: m = – 25

a) Pasa por (0, 0) y su pendiente es – 25

8 y = –y = –y 25

x

b)Pasa por (4, –3) y su pendiente es – 25

8 y = –3 – y = –3 – y 25

(x – 4)x – 4)x

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Vector perpendicular a otroLos vectores 8v1(5, 2) y 8v2(–2, 5) son perpendiculares. Se justifica observando, en la gráfica del margen, que los dos triángulos sombreados son iguales y, por tanto, a + b = 90˚. En general:

Los vectores de coordenadas (a, b) y (–b, a) son perpendiculares.

Recta perpendicular a otraUn vector dirección de una recta r1 es

8d1 = (a, b).

Si r2r2r es perpendicular a r1, un vector dirección de r2r2r es 8d2 = (–b, a).

Las pendientes de r1 y r2r2r son, respectivamente, m1 = ba

y m2 = –ab

.

El producto de sus pendientes es –1: m1 · m2 = ba

· –ab

= –1

Las pendientes, m1 y m2, de dos rectas perpendiculares se relacionan así:

m1 · m2 = –1 o, lo que es lo mismo, m2 = – 1m1

5 Da tres vectores perpendiculares a (– 6, 1).

6 Halla la ecuación de la recta que pasa por PP P(2, –5) y es perpendicular al vector 8v(5, 7).

7 La recta r pasa por (3, 0), y la recta r pasa por (3, 0), y la recta r s, por (–5, 3). Ambas son perpendiculares a 4x + 2y+ 2y+ 2 – 7 = 0.y – 7 = 0.y

Halla sus ecuaciones.

Actividades

1. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por r que pasa por r A(4, 7) y es perpendicu-lar al vector 8v(3, –5).

El vector 8d(5, 3) es perpendicular a 8v y, por tanto, es un vector direc-

ción de r. La pendiente de r es r es r m = 35

. Su ecuación es:

y = 7 + y = 7 + y 35

(x – 4) x – 4) x 8 y = y = y 35

x + x + x 235

2. Obtener varios vectores perpendiculares a 8v(2, 3).

(–3, 2) es perpendicular a 8v. También lo son (3, –2), (–6, 4), (6, –4)...

3. Dar la ecuación de la recta r, perpendicular a r, perpendicular a r s : 5x – 3x – 3x y – 3y – 3 + 15 = 0, que y + 15 = 0, que ypasa por (–7, 2).

Pendiente de s: y = y = y 53

x + 5x + 5x 8 m1 = 53

Pendiente de r : m2 = – 1m1

= – 35

Ecuación de r : y = 2 – y = 2 – y 35

(x + 7)x + 7)x 8 y = –y = –y 35

x – x – x 115


(–2, 5)(–2, 5)

(5, 2)(5, 2)b a

vv822v2vvv881

vv88(2, 3)(2, 3)

(3, –2)(3, –2)

(–3, 2)(–3, 2)(–(–6, 4)6, 4)

(6, (6, –4–4)))

Rectas paralelas a los ejes coordenados5 Rectas paralelas al eje X

Rectas paralelas al eje Y

Actividades

No lo olvides


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Vector perpendicular a otro

Recta perpendicular a otra

Actividades


Rectas paralelas a los ejes coordenadosRectas paralelas a los ejes coordenados5 Rectas paralelas al eje X

Como sabes, la función constante, y = y = y k, se re-presenta mediante una recta paralela al eje X y, X y, Xpor tanto, de pendiente 0. Vectores dirección de estas rectas son (a, 0) para cualquier valor de a distinto de 0.

y = y = y kk

Rectas paralelas al eje YAnálogamente, las ecuaciones x = x = x k se representan k se representan kmediante rectas paralelas al eje Y. (Sin embargo, Y. (Sin embargo, Yestas rectas no son la representación de funciones, porque a un valor de x, el k, le corresponden más de uno –¡todos!– los valores de Y ).

y = y = y k

k

Vectores dirección de las rectas x = x = x k son (0, k son (0, k a) para a ≠ 0.a ≠ 0.a

1 Representa r y r y r s y da tres vectores paralelos y tres s y da tres vectores paralelos y tres sperpendiculares a ellas:r: 5x – 7 = 0x – 7 = 0x s: 3 + 4y: 3 + 4y: 3 + 4 = 0y = 0y

2 Las rectas r y r y r s pasan por el punto (5, s pasan por el punto (5, s –3). r es paralela a 5yparalela a 5yparalela a 5 + 17 = 0, y y + 17 = 0, y y s es perpendicular a ella. Representa r y r y r s y da sus ecuaciones.s y da sus ecuaciones.s

Actividades

Vector dirección de la recta y = y = y k es (a, 0).Vector dirección de la recta x = x = x k es k es k(0, a).

No lo olvides

1. Dar varios vectores paralelos y varios perpendiculares a la recta de ecuación 3yecuación 3yecuación 3 + 7 = 0. Representarla.y + 7 = 0. Representarla.y

3y3y3 + 7 = 0y + 7 = 0y 8 y = –y = –y 73

Vectores paralelos: (1, 0), (2, 0), (–1, 0), ...

Vectores perpendiculares: (0, 1), (0, 2), (0, –1), ...

2. Representar la recta 5x – 2 = 0 y dar varios vectores paralelos y varios x – 2 = 0 y dar varios vectores paralelos y varios xperpendiculares a ella.

5x – 2 = 0x – 2 = 0x 8 x = x = x 25

Vectores paralelos: (0, 1), (0, 2), (0, –1), ...

Vectores perpendiculares: (1, 0), (2, 0), (–1, 0), ...

3. Dar la ecuación de la recta r, perpendicular a 2r, perpendicular a 2r x – 7 = 0, que pasa por x – 7 = 0, que pasa por x(–3, 8).

2x – 7 = 0x – 7 = 0x 8 x = x = x 72

es paralela al eje Y. Y. Y

Por tanto, la recta r es paralela al eje r es paralela al eje r X: X: X y = y = y k.

Como r pasa por (–3, 8), su ecuación es r pasa por (–3, 8), su ecuación es r y = 8.y = 8.y


7y = y = y – —3

2x = x = x —5

yy = = y = yy = y 8(–3, 8)(–3, 8)(–3, 8)

77xx = = x = x ——22

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Posiciones relativas de dos rectasPosiciones relativas de dos rectas6Gráficamente, dos rectas pueden cortarse o no. Si no se cortan, son paralelas.

Pero si las rectas vienen dadas por sus ecuaciones, es posible que se dé un tercer caso: que sean la misma recta y, al mostrar distinto aspecto algebraico, no se aprecie a simple vista.

Para averiguar la posición relativa de dos rectas dadas por sus ecuaciones, se re-suelve el sistema formado por ellas.

1 Di la posición relativa de los siguientes pares de rec-tas:a) r : 8x + 2x + 2x y + 2y + 2 – 14 = 0, y – 14 = 0, y s: 5x – x – x y – 20 = 0y – 20 = 0yb) r r r : 3x – 2x – 2x y – 2y – 2 – 14 = 0y – 14 = 0y

s: pasa por (1, –2) y por (10, 1).

c) r : pasa por (–1, 4) y (7, –2).s: 3x +x +x 4y4y4 = 0y = 0y

d) r : pasa por (2, –1) y (8, 2).

s: su pendiente es 12

y pasa por (0, –2).

Actividades

Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas:

a) r : 5x – 4x – 4x y – 4y – 4 +y +y 10 = 0

s : y = 2y = 2y x +x +x 1

b)r pasa por (2, –1) y (8, 2).r pasa por (2, –1) y (8, 2).r

s pasa por (2, 5) y su pendiens pasa por (2, 5) y su pendiens -te es –1.

c) r pasa por (3, 8) y (8, 3).r pasa por (3, 8) y (8, 3).r

s : x +x +x y = 11y = 11y

d)r pasa por (2, 4) y (4, 7).

s : y = y = y 32

x – 2x – 2x

Ejercicio resuelto

a) °¢°¢°£¢£¢

5x – 4x – 4x y – 4y – 4 +y +y 10 = 0y = 2y = 2y x + 1x + 1x

8 5x – 4(2x – 4(2x x + 1)x + 1)x + 10 = 0 8

8 5x – 8x – 8x x – 4 +x – 4 +x 10 = 0 8 –3x +x +x 6 = 0 8 x = 2x = 2x

y = 2 · 2 +y = 2 · 2 +y 1 = 5 8 y = 5y = 5y

Las rectas se cortan en el punto (2, 5).

(2, 5)(2, 5)

s r

b)Un vector dirección de r es (8, 2) – (2, –1) = (6, 3) // (2, 1). Su pendiente r es (8, 2) – (2, –1) = (6, 3) // (2, 1). Su pendiente res, por tanto, m = 1/2.

r : y = – 1 + y = – 1 + y 12

(x – 2) x – 2) x 8 y = y = y 12

x – 2x – 2x

s : y = –(y = –(y x – 2)x – 2)x + 5

°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§

y = y = y 12

x – 2x – 2x

y = –y = –y x + 7x + 7x Resolviendo el sistema se obtiene

el punto de corte, (6, 1).(6, 1)(6, 1)

ss

rr

c) Un vector dirección de r es (8, 3) – (3, 8) = (5, –5) // (1, –1). Su pendiente r es (8, 3) – (3, 8) = (5, –5) // (1, –1). Su pendiente res, por tanto, m = –1.

r : y = 8 – (y = 8 – (y x – 3) x – 3) x 8 y = –y = –y x = –x = – +x +x 11 8 x + x + x y =y =y 11

r y r y r s son la misma recta.s son la misma recta.s

d)Un vector dirección de r es (4, 7) – (2, 4) = (2, 3). Pendiente, r es (4, 7) – (2, 4) = (2, 3). Pendiente, r m = 3/2.

r : y = 4 + y = 4 + y 32

(x – 2) x – 2) x 8 y = y = y 32

x +x +x 1

r es paralela a r es paralela a r s porque tienen la misma pendiente, s porque tienen la misma pendiente, s3/2, pero distintas ordenadas en el origen: 1 y –2, res-pectivamente.

sr

Distancia entre dos puntos7

Actividades


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Posiciones relativas de dos rectas6

Actividades

Ejercicio resuelto

Distancia entre dos puntosDistancia entre dos puntos7Si dos puntos tienen la misma abscisa o la misma ordenada, hallar su distancia es muy fácil. Por ejemplo, en el gráfico:

dist (A(A( , B) = 6; B) = 6; B dist (C, C, C D) = 5 (basta con contar cuadritos)

O bien, mediante sus coordenadas: dist [(3, –1), (3, 11)] = 11 – (–1) = 12

dist [(4, 7), (1, 7)] = 4 – 1 = 3

Para dos puntos cualesquiera, A (x1, y1), B (x2x2x , y2y2y ), su distancia se obtiene ha-llando el módulo del vector

8Para dos puntos cualesquiera,

8Para dos puntos cualesquiera,

AB.

dist (A(A( , B) = B) = B |8AB| = √√(x2x2x – x1)2 + (y(y( 2y2y – y1)2

Esta fórmula también es válida si los puntos tienen la misma abscisa o la misma ordenada.

1 Halla la distancia entre A y B .a) A (–7, 4), B (6, 4) b) A (3, 4), B (3, 9)c) A (–5, 11), B (0, –1) d) A (4, –6), B (7, 4)

2 Aplica el teorema de Pitágoras para comprobar que el triángulo de vértices A(–2, 3), B(3, 1) y C(5, 6) es C(5, 6) es Crectángulo. ¿Es también isósceles?

Actividades

BB

CC

DD

AA

A(x1, yyy111)))x2x2x – x1

x1 x2x2x

y2y2y – y1

y1

y2y2y B(x2x2x , y2y2y )

1. Calcular los lados del trián-gulo de vértices A(–2, 2), B(1, 6), C(6, –6).

2. a) Hallar las longitudes de los lados del cuadrilatero cuyos vértices son A(2, 1), B(4, 6), C(–1, 4) y C(–1, 4) y C D(–3, –1).

b) Probar que es un rombo.

c) Calcular su área.


1. |8AB| = √√(1 + 2)2 + (6 – 2)2 = √√32 + 42 = 5

|8BC BC BC | = √√(6 – 1)2 + (–6 – 6)2 = √√52 + 122 = 13

|8ACAC AC | = √√(6 + 2)2 + (–6 – 2)2 = √√82 + 82 = 11,31

2. a) |8AB| = √√(4 – 2)2 + (6 – 1)2 = √√22 + 52 = √√29

|8BC|BC|BC = √√(–1 – 4)2 + (4 – 6)2 = √√25 + 4 = √√29

|8

CD | = √√(–3 + 1)2 + (–1 – 4)2 = √√4 + 25 = √√29

|8

AD | = √√(–3 – 2)2 + (–1 – 1)2 = √√25 + 4 = √√29

b) Comparamos las coordenadas de 8AB y

8DC:DC:DC

8AB = (4, 6) – (2, 1) = (2, 5)

8DC = (–1, 4) – (–3, –1) = (2, 5)

El cuadrilátero tiene los lados iguales y paralelos dos a dos. Es un rombo.

c) Calculamos su diagonales:

d = d = d |8AB|AB| | = √√(–1 – 2)2 + (4 – 1)2 =√√18; d' = d' = d' |

8DB | = √√(4 + 3)2 + (6 + 1)2 = √√98

Área = d · d · d d'2

= √√18 · √√982

= = 422

= 21 u = 21 u2

aa

B

AA

cc

bb

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■ Practica

Vectores y puntos

1 Dados los puntos A(–2, 0), B(0, 4), C(5, 2) y C(5, 2) y C D(3, –4) halla las coordenadas de los vectores

8AB,

8BC, BC, BC

8CD,

8DA,

8AC y AC y AC

8BD.

2 Con origen en el punto Con origen en el punto A(3, –3), dibuja los vectores

8AB(–3, 2),

8AC(5, 1) y AC(5, 1) y AC

8AD(1/2, –4). ¿Cuá-

les serán las coordenadas de los puntos B, C y C y C D?

3 a) Di cuáles son las coor a) Di cuáles son las coor-denadas de los vectores 8u y 8v. 8v

88u

b)Dibuja los vectores 8u + 8v y 8u – 8v y di cuáles son sus coordenadas.

4 Dados los vectores 8u(4, –2) y 8v(–2, –1):

a) Representa los vectores 8u + 8v; 8u – 8v; 12

8u y –38v y halla sus coordenadas.

b) Calcula las coordenadas de este vector:8w = 2w = 2w 8u + 38v

5 a) Representa los puntos a) Representa los puntos A(–3, 0), B(0, 4), C(4, 4) y C(4, 4) y C D(1, 0) y halla el punto medio de ACy de BD.b)Halla las coordenadas de

8AB y

8DC y comprueDC y comprueDC -

ba que son las mismas.

6 Calcula las coorde-nadas de los puntos me-dios de los lados y de las diagonales del cuadrilá-tero ABCD.

AA

DD

CC

BB

DD

7 Si M(–3, 5) es el punto medio del segmento AB, halla el punto B en cada uno de los siguientes B en cada uno de los siguientes Bcasos:a) A (–1, 5) b)A (6, –4) c) A (–4, –7)

8 Halla, en cada caso, el punto simétrico de A(–3, –5) respecto de:a) P(–2, 0) b) Q(2, –3) c) O(0, 0)

Rectas

9 Escribe la ecuación de las siguientes rectas:

a) Pasa por (–4, 2) y su pendiente es 12

.

b) Pasa por (1, 3) y su pendiente es –2.

c) Pasa por (5, –1) y su pendiente es 0.

10 Da, en cada caso, un vector dirección, la pen Da, en cada caso, un vector dirección, la pen-diente y la ecuación de la recta que pasa por A y B:

a) A(–1, 0), B(0, 3)

b)A(0, –2), B(5, –2)

c) A(–2, 3), B(4, –1)

11 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por PP P(– (– (–4, 3) y tiene por vector dirección

8d:

a)8d(2, –1) b)

8d(–1, –3) c)

8d(2, 0)

12 Halla la ecuación de las siguientes rectas:

a) Paralela a y = –2x + 3 y pasa por (4, 5).

b) Paralela a 2x – 4y + 3 = 0 y pasa por (4, 0).

c) Paralela a 3x + 2y – 6 = 0 y pasa por (0, –3).

13 Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta que Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por PP P(3, –2) y es perpendicular al vector 8v:

a) 8v(2, 1) b) 8v(–5, 4) c) 8v(–1, 0)

14 Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y que pasa por el punto r y que pasa por el punto r P en los siguientes P en los siguientes Pcasos:

a) r : y = –2y = –2y x +x +x 3; P (–3, 2)

b) r : 3x – 2x – 2x y – 2y – 2 +y +y 1 = 0; P (4, –1)

c) r : x = 3; x = 3; x P (0, 4)

15 Halla el punto de intersección de las rectas ry s en los casos siguientes:s en los casos siguientes:s

a) °¢°¢°£¢£¢

r : 3x – 5x – 5x y – 5y – 5 +y +y 17 = 0 s : 7x + 3x + 3x y + 3y + 3 – 63 = 0y – 63 = 0y

b)°¢°¢°£¢£¢

r : 3x – 2x – 2x y – 2y – 2 + 9 = 0y + 9 = 0y s : x – 2x – 2x y – 2y – 2 + 5 = 0y + 5 = 0y

16 Representa las rectas 3x + 6 = 0 y 2x + 6 = 0 y 2x y + 6 = 0 y 2y + 6 = 0 y 2 – 5 = 0 y – 5 = 0 yy halla su punto de intersección.

Aplica lo aprendido

UNIDAD

8

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

¿

Halla el simétrico de P (–7, –15) respecto de M(2, 0).

¿

¿

¿

¿

Autoevaluación

Ejercicios y problemas

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Practica

Halla la ecuación de las siguientes rectas:

Paralela a y = –2x + 3 y pasa por (4, 5).

b) Paralela a 2x – 4y + 3 = 0 y pasa por (4, 0).

c) Paralela a 3x + 2y – 6 = 0 y pasa por (0, –3).

Distancias

17 Calcula la distancia entre P y P y P Q:Q:Q

a) PP P(3, 5), Q(3, –7) b) PP P(–8, 3), Q(–6, 1)c) PP P(0, –3), Q(–5, 1) d) PP P(–3, 0), Q(15, 0)

18 a) Halla el punto medio del segmento de ex-tremos A(–2, 0), B(6, 4).b)Comprueba que la distancia del punto medio a

cada uno de los extremos es la misma.

19 Comprueba que el triángulo de vértices A(–1, 0), B(3, 2), CC C(7, 4) es isósceles. ¿Cuáles son los lados iguales?

20 Comprueba, mediante el teorema de Pi-tágoras, que el triángulo de vértices A(–2, –1), B(3, 1), CC C(1, 6) es rectángulo.

■ Aplica lo aprendido21 Averigua el valor de k para que se cumpla:k para que se cumpla:k

(65, –2) = k(–3, 5)

22 Dados los vectores 8u(3, 2), 8v(x, 5) y 8w(8, y), y), ycalcula x e x e x y para que se verifique: y para que se verifique: y 28u – 8v = 8w

23 Dados Dados los vectores 8u(5, –3), 8v(1, 3) y 8w(2, 0), calcula el valor de m y n para que se verifique:

8u = m8v + n 8w

24 Comprueba, en cada caso, que los puntos da-dos están alineados:a) A (1, 2), B (4, 3), C (19, 8)b)P (–2, –3), Q (2, 0), R (–26, –21)

25 Calcula m para que los puntos R(5, –2), S(–1, 1) y T(2, T(2, T m) estén alineados.

26 Comprueba si los puntos A(18, 15) y B(–43, –5) pertenecen a la recta x – 3x – 3x y – 3y – 3 +y +y 27 = 0.

27 Escribe la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por (4, –3) en los siguientes casos:a) r : 2x + 7 = 0x + 7 = 0x b) r : –y: –y: – + 4 = 0y + 4 = 0y

28 Estudia si las rectas Estudia si las rectas r y r y r s son paralelas o s son paralelas o sperpendiculares:r : 3x – 5x – 5x y – 5y – 5 + 15 = 0 y + 15 = 0 y s : pasa por (–2, –3) y (8, 3).

29 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas:

a) °¢°¢°£¢£¢

r : 2x – 5x – 5x y – 5y – 5 +y +y 3 = 0s : P(3, 1), Q(–2, 3)

b)°¢°¢°£¢£¢

r : 5x – 4x – 4x y – 4y – 4 +y +y 8 = 0s : A(4, 7), B(0, 2)

30 Halla la ecuación de la recta perpendicular a AB en su punto medio, siendo AB en su punto medio, siendo AB A(–5, 3) y B(2, 7).

31 Comprueba que el cuadrilátero de vértices A (1, 5), B (5, 1), C (–4, –3) y D (–8, 1) es un paralelogramo. Para ello, prueba que los puntos medios de sus diagonales coinciden.

UNIDAD

8 UNIDAD

8

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

¿Sabes hallar el punto medio de un segmento y el simétrico de un punto respecto de otro? ¿Y com-probar si tres puntos están alineados?1 Representa los puntos A(–5, 0), B(0, 2), C(3, 7) y C(3, 7) y C

D(–2, 5) y comprueba analíticamente que el punto medio de AC coincide con el punto medio de AC coincide con el punto medio de AC BD.

2 Halla el simétrico de P (–7, –15) respecto de M(2, 0).3 Comprueba si los puntos A(1, –5), B(3, 0) y

C(6, 6) están alineados.

¿Sabes calcular la distancia entre dos puntos?4 Calcula la longitud de los lados del triángulo de

vértices A(– 4, 1), B(6, 3) y C(–2, –3).

¿Obtienes con soltura la ecuación de una recta dada de diferentes formas?5 Obtén la ecuación de las rectas r y r y r s tales que:s tales que:s

r pasa por (–3, 2) y es perpendicular a 8r pasa por (–3, 2) y es perpendicular a 8r x – 3x – 3x y – 3y – 3 + 6 = 0.y + 6 = 0.ys pasa por (9, –5/2) y es paralela a 2s pasa por (9, –5/2) y es paralela a 2s x + x + x y – 7 = 0.y – 7 = 0.y

¿Reconoces, sin representarlas, si dos rectas son paralelas o perpendiculares?6 Estudia la posición relativa de estas rectas:

r : 2x + x + x y – 2 = 0y – 2 = 0y s : x + x + x 1Estudia la posición relativa de estas rectas:

1Estudia la posición relativa de estas rectas:

2y = 1y = 1y

¿Obtienes con agilidad el punto de corte de dos rectas?7 Halla el punto de intersección de las siguientes rectas:

3x + 8x + 8x y + 8y + 8 – 7 = 0 y 4y – 7 = 0 y 4y x + 2x + 2x y + 2y + 2 – 31 = 0y – 31 = 0y

Autoevaluación

Ejercicios y problemas

95

DEBERÁS RECORDAR

■ Algunos conceptos básicos de estadística: población, muestra, variable, ...

En el desarrollo histórico de la Estadística se pueden distinguir tres grandes etapas.

Censos. Desde la Antigüedad y hasta el siglo xvi. Solo se realizan recogidas de datos y, a lo sumo, una exposición ordenada y clara de estos.

Análisis de datos. Abarca los siglos xvii, xviii y xix. Se supera lo meramente descriptivo y los datos pasan a ser analizados científicamente con el fin de extraer conclusiones.

Se suele considerar que esta etapa comienza con los trabajos de John Graunt (s. xvii), quien utilizó ar-chivos parroquiales para realizar un profundo estu-dio de los nacimientos y las defunciones en Londres durante 30 años: anotó el sexo de cada nacido, las enfermedades de los fallecidos y otras muchas varia-bles. Con ello pudo extraer conclusiones válidas para el futuro e inauguró, así, la Estadística Demográfica.

Algo más tarde, el profesor Neumann (s. xvii) co-menzó a utilizar métodos con los que elaboró esta-dísticas muy minuciosas y así, por ejemplo, consiguió demostrar la falsedad de la creencia popular de que en los años terminados en 7 morían más personas. Sus métodos sirvieron de base para elaborar las tablas de mortalidad utilizadas por las compañías de seguros.

También es destacable el trabajo de Quételet (s. xix), el primero en aplicar la estadística a las Ciencias So-ciales, para lo que se valió de la probabilidad.

Estadística inferencial. Se inicia a finales del xix. La esencia de esta rama de la Estadística es que a partir de una muestra se extraen conclusiones válidas para toda una población. Para ello, se echa mano de la alta matemática. Son figuras destacadas en este cam-po Ronald Fisher y Karl Pearson.

9Estadística©

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Tabla con datos agrupadosuando en una distribución estadística el número de valores que toma la varia-

ble es muy grande, conviene elaborar una tabla de frecuencias agrupándolos en intervalos. Para ello:

e localizan los valores extremos, a y b, y se halla su diferencia, r = b – a (re-corrido).

2. Se decide el número de intervalos que se quiere formar, teniendo en cuenta la cantidad de datos que se poseen. El número de intervalos no debe ser inferior a 6 ni superior a 15.

e toma un intervalo, r', de longitud algo mayor que el recorrido r y que sea múltiplo del número de intervalos, con objeto de que estos tengan una longi-tud entera.

e forman los intervalos, de modo que el extremo inferior del primero sea algo menor que a y el extremo superior del último sea algo mayor que b. Es deseable que los extremos de los intervalos no coincidan con ninguno de los datos. Para ello, conviene que los extremos de los intervalos tengan una cifra decimal más que los datos.

El punto medio de cada intervalo se llama marca de clase. Es el valor que repre-senta a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Tablas de frecuencias2

uando se elabora una tabla con datos agrupados, se pierde algo de información (pues en ella se ignora cada valor concreto, que se difumina dentro de un intervalo). A cambio, se gana en claridad y eficacia.

No lo olvides

Población. Es el conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento nos interesa y que serán objeto de nuestro estudio.Muestra es un subconjunto extraído de la población, cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población.Individuo es cada uno de los ele-mentos que forman la población o la muestra.Caracteres son los aspectos que de-seamos estudiar en los individuos de una población. Cada carácter puede tomar distintos valores o modalida-des.Una variable estadística recorre to-dos los valores de un cierto carácter.Las variables estadísticas pueden ser:Cuantitativas si toman valores nu-méricos.• discretas: solo toman valores aisla-

dos.• continuas: pueden tomar cual-

quier valor de un intervalo.Cualitativas si toman valores no nu-méricos.

Recuerda

Dos ramas de la estadística

Población. Es el conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento nos interesa y que serán objeto de nuestro estudio.Muestra es un subconjunto extraído Muestra es un subconjunto extraído Muestrade la población, cuyo estudio sirve para inferir características de toda la

RecuerdaRecuerda

Dos ramas de la estadística1La estadística tiene por objeto el desarrollo de técnicas para el conocimiento numérico de un conjunto de datos empíricos (recogidos mediante experimentos o encuestas). Según el colectivo a partir del cual se obtenga la información y el objetivo que se persiga a la hora de analizar esos datos, la estadística se llama descriptiva o inferencial.

Estadística descriptiva

La estadística descriptiva trata de describir y analizar algunos caracteres de los estadística descriptiva trata de describir y analizar algunos caracteres de los estadística descriptivaindividuos de un grupo dado (población) sin extraer conclusiones para un grupo mayor.

Para este estudio, se dan los siguientes pasos:

1. Selección de los caracteres que interesa estudiar.

2. Análisis de cada carácter: diseño y realización de una encuesta o de un experi-mento y recogida de datos.

3. Clasificación y organización de los resultados en tablas de frecuencias.

4. Elaboración de gráficos, si conviene para divulgarlos a un público amplio (no expertos).

5. Obtención de parámetros: valores numéricos que resumen la información obtenida.

▼ ejemplo

Supongamos que por orden del rector, un funcionario de una universidad organiza, tabula, representa gráficamente y obtiene parámetros de algunos ca-racteres de todos los alumnos (por ejemplo: edades, resultados académicos) para compararlos con estudios similares hechos en años anteriores. Este estu-dio es estadística descriptiva, pues se realiza sobre la totalidad de la pobla-ción.

Estadística inferencial

La estadística inferencial trabaja con muestras y pretende, a partir de ellas, “in-ferir” características de toda la población. Es decir, se pretende tomar como ge-nerales propiedades que solo se han verificado para casos particulares. En ese proceso hay que operar con mucha cautela: ¿Cómo se elige la muestra? ¿Qué grado de confianza se puede tener en el resultado obtenido?

▼ ejemplo

Una editorial realiza una encuesta a 387 alumnos de una universidad sobre sus preferencias en la lectura, con el fin de extraer consecuencias válidas para todos los universitarios. Esto es estadística inferencial, pues, a partir de una muestra, se desea obtener información sobre algún aspecto de la población.

Actividades

Se estudia el corportamiento de una variable en una muestra.

Se infiere el comportamiento de esa variable en la población.

168 160 167 175 175 167 168 158 149 160 178 166 158 163 171 162 165 163 156 174 160 165 154 163 165 161 162 166 163 159 170 165 150 167 164 165 173 164 169 170

Ejercicio resuelto

intervalos 148,5-153,5 153,5-158,5 158,5-163,5 163,5-168,5 168,5-173,5 173,5-178,5

m. de clase

frecuencias

a b

r' > b – a

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Tras la recogida de datos, la elaboración de una tabla de frecuencias es el siguienTras la recogida de datos, la elaboración de una tabla de frecuencias es el siguienT -te paso. Cuando la variable toma pocos valores, la elaboración de la tabla es su-mamente sencilla. No hay más que hacer el recuento de los resultados.

Tabla con datos agrupadosCuando en una distribución estadística el número de valores que toma la varia-ble es muy grande, conviene elaborar una tabla de frecuencias agrupándolos en intervalos. Para ello:

1. Se localizan los valores extremos, a y b, y se halla su diferencia, r = b – a (re-corrido).

2. Se decide el número de intervalos que se quiere formar, teniendo en cuenta la cantidad de datos que se poseen. El número de intervalos no debe ser inferior a 6 ni superior a 15.

3. Se toma un intervalo, r', de longitud algo mayor que el recorrido r y que sea múltiplo del número de intervalos, con objeto de que estos tengan una longi-tud entera.

4. Se forman los intervalos, de modo que el extremo inferior del primero sea algo menor que a y el extremo superior del último sea algo mayor que b. Es deseable que los extremos de los intervalos no coincidan con ninguno de los datos. Para ello, conviene que los extremos de los intervalos tengan una cifra decimal más que los datos.

El punto medio de cada intervalo se llama marca de clase. Es el valor que repre-senta a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Tablas de frecuenciasTablas de frecuencias2

Cuando se elabora una tabla con datos agrupados, se pierde algo de información (pues en ella se ignora cada valor concreto, que se difumina dentro de un intervalo). A cambio, se gana en claridad y eficacia.

No lo olvides

Población. Es el conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento nos interesa y que serán objeto de nuestro estudio.Muestra es un subconjunto extraído de la población, cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población.Individuo es cada uno de los ele-mentos que forman la población o la muestra.Caracteres son los aspectos que de-seamos estudiar en los individuos de una población. Cada carácter puede tomar distintos valores o modalida-des.Una variable estadística recorre to-dos los valores de un cierto carácter.Las variables estadísticas pueden ser:Cuantitativas si toman valores nu-méricos.• discretas: solo toman valores aisla-

dos.• continuas: pueden tomar cual-

quier valor de un intervalo.Cualitativas si toman valores no nu-méricos.

Recuerda

Dos ramas de la estadística1

Estadística descriptiva

▼

Estadística inferencial

▼

1 Reparte los cuarenta datos del ejercicio resuelto ante-rior en 10 intervalos con el mismo recorrido total.

2 Reparte los cuarenta datos del ejercicio resuelto ante-rior en 8 intervalos. Para ello, toma r' = 32.r' = 32.r'

Actividades

Se estudia el corportamiento de una variable en una muestra.

Se infiere el comportamiento de esa variable en la población.

Elaborar una tabla de frecuen-cias con las estaturas de 40 ado-lescentes:

168 160 167 175 175 167 168 158 149 160 178 166 158 163 171 162 165 163 156 174 160 165 154 163 165 161 162 166 163 159 170 165 150 167 164 165 173 164 169 170

Ejercicio resuelto

1. Valores extremos: a = 149, a = 149, a b = 178. Recorrido: b = 178. Recorrido: b r = 178 – 149 = 29.r = 178 – 149 = 29.r

2. Tomaremos solo 6 intervalos. Un múltiplo de 6 mayor que 29 y próximo a él es 30. Longitud de cada intervalo: 5.

3. Formamos los intervalos comenzando por un número algo menor que a = 149 a = 149 ay terminando en un número algo mayor que b = 178.b = 178.b

4. Repartimos los datos en los intervalos:

intervalos 148,5-153,5 153,5-158,5 158,5-163,5 163,5-168,5 168,5-173,5 173,5-178,5

m. de clase 151 156 161 166 171 176

frecuencias 2 4 11 14 5 4

r = b – aa b

r' > b – a

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Parámetros estadísticos: x– y qParámetros estadísticos: 3La tabla de frecuencias de la izquierda puede corresponder a:puede corresponder a:puede corresponder

• Una distribución de datos aislados que toma los valores x1, x2x2x , … xn.

• Una distribución de datos agrupados en intervalos, de los cuales x1, x2x2x , … xnson las marcas de clase.

En el primer caso, la tabla refleja exactamente la distribución real. En el segundo, la tabla es una buena aproximación a la realidad.

Recordemos cómo se obtienen los parámetros a partir de una tabla:

■Media: x– = S fifif xiS fifif

S fS fS f fif xixix i i 8 suma de todos los datosS fS fS f fif = f = ffif = fif N N N 8 n.° total de individuos

Por ejemplo, en la distribución que tenemos en el margen:

SfSfSfif = 288. Hay 288 individuos (que han realizado el test).f = 288. Hay 288 individuos (que han realizado el test).ffif = 288. Hay 288 individuos (que han realizado el test).fif

SfSfSfif xixix = 766. Es la suma de las puntuaciones de todos los individuos.i = 766. Es la suma de las puntuaciones de todos los individuos.i

La media es x– = 766/288 = 2,66.

■Varianza: Var = Var = VarS fifif (x(x( i – i – i x–)2

N o bien Var = Var = Var

S fifif xi2

N – x– 2

Las dos expresiones coinciden.

— En la primera de ellas, se ve claro el significado de la varianza: promedio de los cuadrados de las desviaciones a la media.

— La segunda es más cómoda para los cálculos, como se puede apreciar en el ejemplo (tabla del margen):

Var = Var = Var 2446288

– 2,662 = 1,42

■Desviación típica: q = √varianza

La desviación típica es un parámetro más razonable que la varianza, pues se expresa en la misma magnitud que los datos y que la media (por ejemplo, si los datos vienen en centímetros, la desviación típica viene en centímetros; sin embargo, la varianza se daría en centímetros cuadrados).

En el ejemplo: q = √√1,42 = 1,19

■Coeficiente de variación: C.V. = qx–

El coeficiente de variación sirve para comparar las dispersiones de población heterogéneas, pues indica la variación relativa.

En el ejemplo: C.V. = 1,192,66

= 0,447. O bien 44,7%.xi

fi

Actividades

xi fi fi xi

012345

123186924819

031

172276192

95

288 766

xi fi fi xi fi xi2

012345

123186924819

031

172276192

95

0 31 344 828 768 475

288 766 2446

xi fi

x1x2x2x...

xn

f1f1ff2f2f...fnfnf

puntuaciones en un test

distribución de pesos (en kg)

intervalos frecuencias

Ejercicio resuelto

xi fi fi xi fi xi2

n.º de individuos Sfi 8 suma de valores Sfi xi 8 suma de cuadrados Sfi x i

2 8 media 8 desv. típica q 8

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Parámetros estadísticos: x– y q3

Media: x– = S S

S S

Varianza: S S

Desviación típica: q = √varianza

Coeficiente de variación: C.V. = qx– 1 Halla, manualmente y con calculadora, x–, q y C.V.

en la tabla obtenida en el ejercicio resuelto de la pági-na 97:

xi 151 156 161 166 171 176fi 2 4 11 14 5 4

2 Halla, manualmente y con calculadora, x–, q y C.V. en la distribución de los ejercicios 1 y 2 de la página 97.

Compara los resultados entre sí y con los del ejercicio 1 de esta página.

Actividades

xi fi fi xi

xi fi fi xi fi xi2

xi fi

puntuaciones en un test

Calcular x–, q y C.V. en la si-guiente distribución:

distribución de pesos (en kg)

intervalos frecuencias

42,5-53,553,5-64,564,5-75,575,5-86,586,5-97,597,5-108,5

4198672417

Ejercicio resuelto

Empezamos sustituyendo los intervalos por sus marcas de clase:

N = N = N SfSfSfif = 229f = 229ffif = 229fif

SfSfSfif xixix = 17 658i = 17 658i

SfSfSfif xixix 2 = 1 390 434

xi fi fi xi fi xi2

4859708192103

419867241

7

1921 1216 0205 8323 772

721

9 21666 139

421 400472 392347 024

74 263

229 17658 1 390 434

Los números de la 3.a columna, a columna, a ffif xixix , se obtienen multiplicando los números de las columnas anteriores (xixix · i · i ffif = f = ffif = fif ffif xixix ). Por ejemplo, 59 · 19 = 1 121.

Análogamente, los de la 4.a columna se obtienen multiplicando los de la 1.a columna se obtienen multiplicando los de la 1.a a por a por a

los de la 3.a (a (a xixix · i · i ffif xixix = i = i ffif xixix 2). Por ejemplo, 59 · 1 121 = 66 139.

Con las sumas de las columnas de la tabla, obtenemos los parámetros:

media: x– = SfSfSfif xixixSfSfSfif

= 17658229

= 77,1 kg = 77,1 kg

desviación típica: q = √√√ SfSfSfif xixix 2

SfSfSfif– x–2 = √√√1 390434

229– 77,12 = 11,2 kg

coef. de variación: C.V. = qx–

= 11,277,1

= 0,145 = 14,5%

con calculadora

1. Preparamos la calculadora para que trabaje en el modo sd.

2. Borramos los datos que pudiera haber acumulados de otras ocasiones: I A3. Introducimos los datos: 48 * 4 D 59 * 19 D … 103 * 7 D4. Resultados obtenidos:

n.º de individuos Sfi n 8 {∫∫∫∫∫∫∫∫∫““£} suma de valores Sfi xi æ 8 {∫∫∫∫∫∫∫‘|\∞°} suma de cuadrados Sfi x i

2 Æ 8 {∫∫∫∫∫‘«£≠¢«¢} media x– X 8 {∫||…‘≠£‘|≠«‘} desv. típica q g 8 {∫‘‘…“““«≠‘«“}

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Medidas de posiciónMedidas de posición4■Mediana

Si los individuos de una población están colocados en orden creciente se-gún la variable que estudiamos, el que ocupa el valor central se llama indi-viduo mediano, y su valor, la mediana. La mediana, Me, está situada de modo que antes de ella está el 50% de la población, y detrás, el otro 50%.

Por ejemplo: 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 12, 15 8 mediana: Me = 8

Si el número de individuos es par, la mediana es el valor medio de los dos cen-trales. Por ejemplo: 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 16 8 Me = 8,5

■Cuartiles

Si en lugar de partir la totalidad de los individuos en dos mitades, lo hace-mos en cuatro partes iguales (todas ellas con el mismo número de indivi-duos), los dos nuevos puntos de separación se llaman cuartiles.

Cuartil inferior, Q1, es un valor de la variable que deja por debajo de él al 25% de la población, y por encima, al 75%.

El cuartil superior, Q3 , deja debajo al 75% y encima al 25%.

Se designan por Q1 y Q3, porque la mediana sería el Q2.

Por ejemplo, en la distribución

1, 2, 2 , 3, 4, 5 , 5, 5, 6 , 8, 9, 10 123 123 123 123 25% 7 25% 7 25% 7 25% Q1 Me Q3

estos parámetros toman los valores siguientes: Q1 = 2,5; Me = 5; Q3 = 7

Mediana y cuartiles se llaman medidas de posición.

En general, las cosas no son tan fáci-les como en este ejemplo. Obsérvalo en el ejercicio resuelto.

Ten en cuenta

Calcular Me, Q1Q1Q y Q3Q3Q en la distribución:

1 1 2 3 4 4 5 5 5

5 6 7 7 7 8 9 10

Ejercicio resuelto

Hay 17 individuos. 17/2 = 8,5 8 La Me es el valor del individuo 9.°, Me = 5.

17/4 = 4,25 8 (5.° lugar) Q1 = 4

17 · (3/4) = 12,75 8 (13.° lugar) Q3 = 7

7Me

7 7 7 Q1 Me Q3

1 Calcula Me, Q1 y Q3Q3Q en la siguiente distribución, cuyos datos están dados ordenadamente:

0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5

5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10

Actividades

Este diagrama se llama también de caja y bigotes.

Diagramas de caja5

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Medidas de posición4Mediana

i los individuos de una población están colocados en orden creciente se-gún la variable que estudiamos, el que ocupa el valor central se llama indi-viduo mediano, y su valor, la mediana. La mediana, Me, está situada de modo que antes de ella está el 50% de la población, y detrás, el otro 50%.

or ejemplo: 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 12, 15 8 mediana: Me = 8

Si el número de individuos es par, la mediana es el valor medio de los dos cen-trales. Por ejemplo: 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 16 8 Me = 8,5

Cuartiles

i en lugar de partir la totalidad de los individuos en dos mitades, lo hace-mos en cuatro partes iguales (todas ellas con el mismo número de indivi-duos), los dos nuevos puntos de separación se llaman cuartiles.

Cuartil inferior Q1, es un valor de la variable que deja por debajo de él al 25% de la población, y por encima, al 75%.

El cuartil superior Q3 , deja debajo al 75% y encima al 25%.

Se designan por Q1 y Q3, porque la mediana sería el Q2.

or ejemplo, en la distribución

1, 2, 2 , 3, 4, 5 , 5, 5, 6 , 8, 9, 10 123 123 123 123 25% 7 25% 7 25% 7 25% Q1 Me Q3

estos parámetros toman los valores siguientes: Q1 = 2,5; Me = 5; Q3 = 7

ediana y cuartiles se llaman medidas de posición

n general, las cosas no son tan fáci-les como en este ejemplo. Obsérvalo en el ejercicio resuelto.

Ten en cuenta

Ejercicio resuelto

Hay 17 individuos. 17/2 = 8,5 8 La Me es el valor del individuo 9.°, Me = 5.

17/4 = 4,25 8 (5.° lugar) Q1 = 4

17 · (3/4) = 12,75 8 (13.° lugar) Q3 = 7

7Me

7 7 7 Q1 Me Q3

Actividades

Observa la siguiente forma de representar distribuciones estadísticas.

Q1

0

Me Q3Q3Q

1 2

DIAGRAMA DE CAJA

ESCALAESCALAESCAL3 4 5 6 7 8 9 10

25% 25% 25%25%

La gráfica corresponde a la distribución de notas en un cierto examen. En la par-te alta se ha puesto la escala sobre la que se mueve la variable. Debajo se pone el diagrama propiamente dicho, que consiste en lo siguiente:

— La población total se parte en cuatro trozos, cada uno de ellos con el 25% de los individuos, previamente ordenados de menor a mayor.

— El 50% de los valores centrales se destacan mediante un rectángulo (caja).

— Los valores extremos (el 25% de los menores y el 25% de los mayores) se representan mediante sendos segmentos (bigotes).

Los puntos que separan los cuatro trozos son, obviamente, los cuartiles y la me-diana (Q1, Me, Q3Q3Q ).

Los diagramas de caja (o caja y bigotes) se construyen del siguiente modo:diagramas de caja (o caja y bigotes) se construyen del siguiente modo:diagramas de caja

• La caja abarca el intervalo Q1, Q3Q3Q (llamado recorrido intercuartílico) y en ella se señala expresamente el valor de la mediana, Me.

Q1 Me Q3Q3Q

• Los bigotes se trazan hasta abarcar la totalidad de los individuos, con la condi-ción de que cada lado no se alargue más de una vez y media la longitud de la caja.

Q1 Me Q3Q3Q

• Si uno (o más) de los individuos quedara por debajo o por arriba de esa longitud, el correspondiente lado del bigote se dibujaría con esa limitación y se añadiría, mediante asterisco, el individuo en el lugar que le corresponda. Por ejemplo:

Q1 Me Q3Q3Q

*

La longitud de este lado del bigote es 1,5 veces la de la caja. En este lado no está incluido el individuo extremo que se representa median-te un asterisco.

Este diagrama se llama también de caja y bigotes.

Diagramas de caja

Este diagrama se llama también de y bigotes.

Diagramas de caja5

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1 Representa mediante diagramas de caja y bigotes las siguientes distribuciones:

a) 1 1 2 3 4 4 5 5 b) 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5

5 6 7 7 7 8 9 10 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7

7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 10 10

Actividades

1. Representar, mediante un diagrama de caja, la siguiente distribución.

0 0 0 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3 44 4 4 4 4 4 4 5 5 5

2. Las estaturas de los 40 alum-nos y alumnas de una clase son, dadas ordenadamente:

149 150 154 156 157158 159 160 160 160161 162 162 163 163163 163 164 165 166166 166 167 167 167168 168 168 169 169170 170 170 171 172173 174 175 175 189

Representar la distribución mediante un diagrama de caja.

Problemas resueltos

1. Tenemos 40 individuos.40 : 2 = 20 8 La mediana será el valor intermedio entre los individuos 20.° y 21.°. Esto es: Me = 2,5.Me = 2,5.Me

40 : 4 = 10 8 El cuartil inferior será el valor intermedio entre los individuos 10.° y 11.°: Q1 = 1,5.

Y, de la misma manera: Q3Q3Q = 4.

0 1 2 3 4 5

La longitud de la caja es 4 – 1,5 = 2,5. Los bigotes recogen al resto de la dis-tribución. No hay individuo excepcionales.

2. Puesto que el número de individuos es múltiplo de cuatro, Q1, Me y Me y Me Q3Q3Qserán los valores que hay entre los individuos 10.° y 11.°, entre 20.° y 21.°, entre 30.° y 31.°, respectivamente. Es decir,

Q1 = 160,5 Me = 166Me = 166Me Q3Q3Q = 169,5

150150 160160 170170 180180 190190

**

La longitud de la caja es 169,5 – 160,5 = 9.

Una vez y media esta longitud es 1,5 · 9 = 13,5.

El altísimo estudiante que mide 189 cm se separa del extremo superior de la caja 189 – 169,5 = 19,5. Esa distancia es mayor que una vez y media la longitud de la caja. Por eso, hemos puesto a la derecha un bigote de longi-tud 13,5 y hemos añadido un asterisco que señala la situación del individuo excepcional.

UNIDAD

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Practica

xi fi xi fi

intervalo fi intervalo fi

xi

fi

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Actividades

Problemas resueltos

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■ PracticaTablas de frecuencias

1 En una maternidad se han tomado los pesos (en kilogramos) de 50 recién nacidos:

2,8 3,2 3,8 2,5 2,7 3,7 1,9 2,6 3,5 2,33,0 2,6 1,8 3,3 2,9 2,1 3,4 2,8 3,1 3,92,9 3,5 3,0 3,1 2,2 3,4 2,5 1,9 3,0 2,92,4 3,4 2,0 2,6 3,1 2,3 3,5 2,9 3,0 2,72,9 2,8 2,7 3,1 3,0 3,1 2,8 2,6 2,9 3,3

a) ¿Cuál es la variable y de qué tipo es?b)Construye una tabla con los datos agrupados en

6 intervalos de 1,65 a 4,05.c) Representa gráficamente esta distribución.

2 A un grupo de 30 personas se les ha tomado el número de pulsaciones por minuto (ritmo car-díaco) obteniéndose los siguientes resultados:

87 85 61 51 64 75 80 70 69 8280 79 82 74 92 76 72 73 63 6567 71 88 76 68 73 70 76 71 86

Representa gráficamente esta distribución agrupan-do los datos en 6 intervalos (desde 50,5 a 92,5).

Media, desviación típica y C.V.

Halla la media, la desviación típica y el coeficiente de variación en las siguientes distribuciones:

3 43xi fi

012345

1297633

4xi fi

0123456

1567443

5 65intervalo fi

1,65-2,052,05-2,452,45-2,852,85-3,253,25-3,653,65-4,05

45

131783

6intervalo fi

50,5-57,557,5-64,564,5-71,571,5-78,578,5-85,585,5-92,5

138864

7 Los gastos mensuales de una empresa A tie-nen una media de 100 000 euros y una desviación típica de 12 500 euros. En otra empresa B, la me-dia es 15 000 euros, y la desviación típica, 2 500 euros. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos tiene más variación relativa.

Medidas de posición

8 La mediana y los cuartiles de la distribución de “Aptitud para la música” (escala 1-100) en un co-lectivo de personas son Q1Q1Q = 31, Me = 46 y Me = 46 y Me Q3Q3Q = 67.Copia y completa las siguientes afirmaciones:a) El 75% tiene una aptitud superior o igual a ——.b)El 25% tiene una aptitud superior o igual a ——.c) El ——% tiene una aptitud igual o menor a 46

puntos.d)El ——% tiene una aptitud superior o igual a 46

e inferior o igual a 67.e) El ——% tiene una aptitud superior o igual a 31

e inferior o igual a 67.

9 La altura, en centímetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una misma clase es:150169 171 172 172 175 181182183 177 179 176 184 158Calcula la mediana y los cuartiles y explica el signi-ficado de estos parámetros.

10 Calcula la mediana y los cuartiles de la si-guiente distribución:

xi 0 1 2 3 4 5fi 12 9 7 6 3 3

11 Halla la mediana, los cuartiles y el percentil 60 en cada una de las siguientes distribuciones, correspondientes a las notas obtenidas en un test que han hecho dos grupos de estudiantes:

A: 25 – 22 – 27 – 30 – 23 – 22 – 31 – 1824 – 25 – 32 – 35 – 20 – 28 – 30B: 27 – 32 – 19 – 22 – 25 – 30 – 2129 – 23 – 31 – 21 – 20 – 18 – 27

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Diagramas de caja

Haz el diagrama de caja correspondiente a las si-guientes distribuciones.

12 La del ejercicio 8.

13 La del ejercicio 9.

14 La A y la B del ejercicio 10.

Muestreo

15 Se quieren realizar los siguientes estudios:III. Tipo de transporte que utilizan los vecinos de

un barrio para acudir a su trabajo.III. Estudios que piensan seguir los alumnos y las

alumnas de un centro escolar al terminar la ESO.III. Edad de las personas que han visto una obra de

teatro en una ciudad.IV. Número de horas diarias que ven la televisión

los niños y las niñas de tu comunidad autóno-ma con edades comprendidas entre 5 y 10 años.

a) Di en cada uno de estos casos cuál es la población.b) ¿En cuáles de ellos es necesario recurrir a una

muestra? ¿Por qué?16 Para hacer un sondeo electoral en un pueblo

de 400 electores, aproximadamente, se va a elegir

una muestra de 200 individuos. Di si te parece váli-do cada uno de los siguientes modos de seleccionar-los y explica por qué.a) Se le pregunta al alcalde, que conoce a todo el pue-

blo, qué individuos le parecen más representativos.b)Se eligen 200 personas al azar entre las que acu-

den a la verbena el día del patrón.c) Se seleccionan al azar en la guía telefónica y se les

encuesta por teléfono.d)Se acude a las listas electorales y se seleccionan al

azar 200 de ellos.

■ Aplica lo aprendido17 En una urbanización de 25 familias se ha ob-

servado la variable “número de coches que tiene la familia” y se han obtenido los siguientes datos:0 1 2 3 1 0 1 2 3 10 1 1 1 4 0 1 1 1 43 2 2 1 1a) Construye la tabla de frecuencias.b)Haz el diagrama de barras.c) Calcula la media y la desviación típica.d)Halla la mediana y los cuartiles.e) Dibuja el diagrama de caja.

¿Conoces los parámetros estadísticos x–, q y C.V.? ¿Los sabes calcular e interpetar?

1 La edad de los visitantes de una exposición está reco-gida en la siguiente tabla:

edad [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75]n.º de

vis. 63 95 189 243 175 105

a) Representa los datos en un gráfico adecuado.b)Halla x–, q y C.V.

2 Los beneficios, en millones de euros, de dos empre-sas en seis años consecutivos han sido los siguientes:

A 5,9 2,5 7,4 8,1 4,8 3,7B 4,5 3,8 5,7 3,5 5,5 4,6

¿Cuál de las dos empresas tiene mayor variación?

¿Conoces las medidas de posición, mediana, cuar-tiles y percentiles? ¿Los sabes calcular e interpre-tar? ¿Sabes utilizarlos para construir o interpretar un diagrama de caja?

3 Halla la mediana y los cuartiles de la siguiente distri-bución:

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 6 8

Haz el correspondiente diagrama de caja.

4 Indica por qué el diagrama de caja siguiente es inco-rrecto:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

*

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II

I Aplica lo aprendido

edad

n.º de vis.

AB

Autoevaluación

DEBERÁS RECORDAR

■ Qué son los sucesos.■ Qué experiencias son regulares y cuáles son

irregulares.

Históricamente, el interés por la probabilidad comienza con los juegos de azar. Cardano, algebrista italiano del siglo xvi, fue un jugador empedernido en algunas épocas de su vida. Esta pasión le hizo ser conocedor de trucos y fullerías. Acabó escribiendo un libro sobre el juego, en el que, por primera vez, se teoriza sobre las probabilidades.

Fue otro jugador en el siglo xvii, el caballero de Meré, quien indujo, sin saberlo, a que los matemáticos Pas-cal y Fermat mantuvieran una fructífera correspondencia: en sus cartas, proponían soluciones a algunos problemas sobre juegos planteados por Meré (al tirar cuatro dados, ¿qué es más ventajoso, apostar por “algún 6” o por “ningún 6”?), y elucubraban sobre otras situaciones probabilísticas. Así nació, con estos dos genios, la base de la teoría de las probabilidades.

Ni Pascal ni Fermat publicaron sus conclusiones, pero sí lo hizo Huygens en 1657, en un breve libro titulado Sobre los razonamientos en los juegos de azar.

En 1713, Jacques Bernouilli recogió lo escrito por Huygens, lo amplió y completó, construyendo así el primer libro importante sobre la teoría de las probabilidades: Arte de la conjetura.

Laplace, en 1812, publicó Teoría analítica de las pro-babilidades, donde recogió y organizó multitud de resultados que había ido obteniendo y difundiendo desde hacía 40 años. Se trata de la mayor aportación de la historia a esta teoría. Pocos años después publicó Ensayo filosófico de las probabilidades, destinado a los no expertos. De este libro es la siguiente frase:

La teoría de las probabilidades es solo sentido común expresado con números.

10Cálculo de probabilidades

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Mat

emát

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Probabilidades en experiencias simplesProbabilidades en experiencias simples1 Experiencias irregulares

Para calcular la probabilidad de un suceso correspondiente a una experiencia irregular (una chincheta, o un dado cargado, o extraer una bola de una bolsa cuya composición ignoramos…) no queda más remedio que experimentar. Es decir, repetir la experiencia muchas veces, averiguar la frecuencia relativa de ese suceso y asignarle ese valor (aproximado) a la probabilidad. Cuantas más veces hagamos la experiencia, más fiable será el valor asignado.

Por ejemplo, si en una bolsa hay bolas de cinco colores ( , , , y ) y realizamos 100 veces la experiencia de extraer, mirar, anotar y devolver a la bolsa, obteniendo los siguientes resultados:

f (f (f ) = 34, f (f (f ) = 23, f (f (f ) = 21, f (f (f ) = 8, f (f (f ) = 14

les asignaríamos los siguientes valores a las probabilidades:

P [ ] ≈ f r ( ) = 0,34; P [ ] ≈ f r ( ) = 0,23; P [ ] ≈ f r ( ) = 0,21;

P [ ] ≈ f r ( ) = 0,08; P [ ] ≈ f r ( ) = 0,14

Experiencias regulares. Ley de LaplaceSi la experiencia aleatoria se realiza con un instrumento regular (dado correcto, baraja completa…), entra en juego la ley de Laplace. Recordémosla:

• Si el espacio muestral tiene n casos y la experiencia es regular, entonces todos ellos tienen la misma probabilidad, 1/n.

• Si un suceso tiene k casos, entonces su probabilidad es k casos, entonces su probabilidad es k k/n.

P [S ] = número de casos favorables a Snúmero total de casos posibles

Por ejemplo, en una bolsa hay 40 bolas idénticas salvo en el color. De ellas, 15 son rojas. Entonces, al extraer una bola al azar:

P [Roja] = 1540

= 38

= 0,375

1. Lanzamos un dado con forma de dodecaedro perfecto, con las caras numeradas del 1 al 12. Calcular:

a) P[8]

b) P[menor que 3]

c) P[impar]

d)P [número primo]

e) P[mayor que 4 pero menor que 8]

Problemas resueltos

1. a) P[8] = 112

. Hay 12 casos, y el “8” es uno de ellos.

b) Solo 1 y 2 son menores que 3 8 P[menor que 3] = 212

= 16

c) Hay 6 números impares menores que 12 8 P[impar] = 612

= 12

d)2, 3, 5, 7, 11 son primos 8 P[número primo] = 512

e) P [{5, 6, 7}] = 312

= 14

1 2 3 4 5 6

f 154 123 236 105 201 181

fr 0,154 0,123 0,236 0,105 0,201 0,181

diferencias 0 1 2 3 4 5

n.º de veces 6 10 8 6 4 2

probabilidad 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36

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Probabilidades en experiencias simples1 Experiencias irregulares

Experiencias regulares. Ley de Laplace

Problemas resueltos

2. Con un molde se han fabri-cado varios miles de dados. Sospechamos que son inco-rrectos. ¿Cómo procedemos para averiguar si son o no co-rrectos? En caso de que no lo sean, ¿cómo evaluaremos la probabilidad de cada cara?

3. Lanzamos dos dados correctos y anotamos las diferencias de las puntuaciones.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b)¿Qué probabilidad tiene cada caso?

c) Hallar la probabilidad del suceso “la diferencia es ma-yor que 3”.

4. Un juego de cartas solo distin-gue estas posibilidades:

figura (sota, caballo o rey), figura (sota, caballo o rey), figura as, menor que 6 (2, 3, 4, 5), ma-yor que 5 (6, 7).

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b)Di la probabilidad en cada caso.

c) ¿Cuál es la probabilidad de “no figura”?

2. Podemos suponer que todos los dados son idénticos. Experimentamos con varios efectuando, en total, 1000 lanzamientos. Estos son los resultados:

Observamos que algunas de las frecuencias relativas se diferencian demasiado del valor 1/6 = 0,166…

1 2 3 4 5 6

f 154 123 236 105 201 181

fr 0,154 0,123 0,236 0,105 0,201 0,181

Puesto que el número de experimentaciones (1000) es suficientemente grande, podemos concluir que el dado es defectuoso. Tomaremos las frecuencias relativas de las distintas caras como valores aproximados de sus respectivas probabilidades.

3. A partir de la tabla de la izquierda, construimos A partir de la tabla de la izquierda, construimos

la distribución siguiente:

diferencias 0 1 2 3 4 5

n.º de veces 6 10 8 6 4 2

probabilidad 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36012345

101234

210123

321012

432101

543210

a) y b) En la tabla anterior aparece el espacio muestral, E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, Econ las probabilidades asociadas a cada caso.

c) P [Diferencia mayor que 3] = P [{4, 5}] = 4/36 + 2/36 = 6/36 = 1/6

4. Hay 40 cartas. La probabilidad de cada una es 1/40.

a) En este juego, el espacio muestral es E = {“E = {“E figura”, “as”, “< 6”, “> 5”}.

b) Hay 3 figuras en cada palo ÄÄ8ÄÄ8Ä P [figura] = 12/40 = 3/10 = 0,3

Hay 4 ases en la baraja ÄÄÄÄ8 P [as[as[ ] = 4/40 = 1/10 = 0,1

Hay 4 números < 6 en cada palo 8 P [< 6] = 16/40 = 2/5 = 0,4

Hay 2 números > 5 en cada palo 8 P [> 5] = 8/40 = 1/5 = 0,2

c) P [no figura] = 1 – P [figura] = 1 – 0,3 = 0,7

1 Lanzamos un dado con forma de octaedro, con sus caras numeradas del 1 al 8. Evalúa estas probabilidades:

a) P [múltiplo de 3]

b)P [menor que 5]

c) P [número primo]

d)P [no múltiplo de 3]

2 Lanzamos dos dados y anotamos la menor de las pun-tuaciones.

a) Escribe el espacio muestral y asígnale probabilidad a cada uno de los casos.

b)Halla la probabilidad del suceso “la menor puntuación es menor que 4” = “< 4”.

c) Halla P [no < 4].

Actividades

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Composición de experiencias independientes3Probabilidades en experiencias compuestasProbabilidades en experiencias compuestas2Las experiencias simples que forman una experiencia compuesta pueden ser de-pendientes o independientes.

Dos o más experiencias aleatorias se llaman independientes cuando el resultado de cada una de ellas no depende del resultado de las demás.

Por ejemplo, el lanzamiento de dos dados puede considerarse como composición de dos pruebas (un dado y otro dado) independientes, pues el resultado de cada dado no influye en el otro.

Dos o más experiencias aleatorias se llaman dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influye en las probabilidades de las siguientes.

Por ejemplo, extraer dos cartas de una baraja (una carta seguida de otra carta) es la composición de dos pruebas dependientes, pues el resultado de la primera influye en las probabilidades de los sucesos de la segunda:

1.a extracción quedan 2.a extracción —————— ———— —————— as 39 cartas, 3 ases P [as] = 3/39

no as 39 cartas, 4 ases P [as] = 4/39

Como vemos, las probabilidades de los sucesos en la 2.a extracción dependen de lo que ocurrió en la 1.a.

Extracciones con o sin reemplazamiento

“Extraemos una bola de esta bolsa y, después, otra”. Falta un dato: ¿la que hemos extraído la echamos de nuevo a la bolsa antes de la 2.a extracción o no?a extracción o no?a

— “Sacamos una bola, la miramos, la devolvemos a la bolsa, removemos y volvemos a sacar”, lo resumimos así: “sacamos dos bolas con reemplazamiento”.

— “Sacamos una bola, la miramos y sacamos otra” se resume así: “sacamos dos bolas sin reemplazamiento”.

En el primer caso, las experiencias son independientes. En el segundo, dependientes.

1 Lanzamos un dado y, después, sacamos una bola de la bolsa. Estas dos experiencias, ¿son dependientes o independientes?

2 Lanzamos un dado. Si sale par, extraemos una bola de la bolsa A. Si sale impar, de la B. Las experiencias, ¿son dependientes o independientes?

par

impar

AA

B

Actividades

Las siguientes experiencias:a) extraer tres cartas de una baraja, b) lanzar cinco dados,se pueden considerar como experiencias compuestas de otras simples:a) Extraer una carta de una baraja,

después otra, y después otra.b) Lanzar un dado, y otro… y otro.

Recuerda

uando varias experiencias aleatorias son independientes, la probabilidad de que ocurra S1 en la primera, S2 en la segunda, etc., es:

P [S1 y S2 y …] = P [S1] · P [S2] · …

l resultado de cada experiencia no influye en el resultado de la siguiente.

Experiencias independientes

Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de:

5 caras b) alguna cruz

Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en ambas monedas y seis en el dado? ¿Cuál, la de obtener cruz en las monedas y par en el dado?

Actividades

Problemas resueltos

P[5 en y 3 en ] = P[5] · P[3] =

c) P[un 3 y un 5] = P[3 en y 5 en ] + P[5 en y 3 en ] =

=

d) P [par en R y > 2 en V ] = P [par] · P [> 2] =

· = =

La 1.ª es as.Quedan 3 ases en 39 cartas.

La 1.ª no es as.Quedan 4 ases en 39 cartas.

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Composición de experiencias independientesComposición de experiencias independientes3Probabilidades en experiencias compuestas2Las experiencias simples que forman una experiencia compuesta pueden ser de-pendientes o independientes

os o más experiencias aleatorias se llaman independientes cuando el resultado de cada una de ellas no depende del resultado de las demás.

or ejemplo, el lanzamiento de dos dados puede considerarse como composición de dos pruebas (un dado y otro dado) independientes, pues el resultado de cada dado no influye en el otro.

os o más experiencias aleatorias se llaman dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influye en las probabilidades de las siguientes.

or ejemplo, extraer dos cartas de una baraja (una carta seguida de otra carta) es la composición de dos pruebas dependientes, pues el resultado de la primera influye en las probabilidades de los sucesos de la segunda:

1.a extracción quedan 2.a extracción —————— ———— —————— as 39 cartas, 3 ases P [as] = 3/39

no as 39 cartas, 4 ases P [as] = 4/39

Como vemos, las probabilidades de los sucesos en la 2.a extracción dependen de lo que ocurrió en la 1.a.

Extracciones con o sin reemplazamiento

Actividades

a) extraer tres cartas de una baraja, b) lanzar cinco dados,se pueden considerar como experiencias compuestas de otras simples:a) Extraer una carta de una baraja,

después otra, y después otra.b) Lanzar un dado, y otro… y otro.

RecuerdaEs más sencillo calcular las probabilidades de los sucesos compuestos descomponiéndolos en sucesos simples.

Cuando varias experiencias aleatorias son independientes, la probabilidad de que ocurra S1 en la primera, S2 en la segunda, etc., es:

P [S1 y S2 y …] = P [S1] · P [S2] · …

El resultado de cada experiencia no influye en el resultado de la siguiente.

Experiencias independientes

1 Se extraen 3 cartas con reemplazamiento. Halla:

a) P [as en 1.a y a y a figura en 2.figura en 2.figura a y 3.a y 3.a a]a]a b)P [3 ases]

c) P [un as y dos figuras] d)P [ningún as]

2 Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de:

a) 5 caras b) alguna cruz

3 Lanzamos 3 monedas. Calcula:

a) P [tres caras] b) P [ninguna cara] c) P [alguna cara]

4 Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en ambas monedas y seis en el dado? ¿Cuál, la de obtener cruz en las monedas y par en el dado?

Actividades

1. Lanzamos dos dados, uno rojo (R) y otro verde ( VV V). Hallar estas probabilidades:

a) 3 en R y 5 en V

b)5 en R y 3 en V

c) un 3 y un 5

d)par en R y par en R y par > 2 en V

“par” = {2, 4, 6}

“> 2” = {3, 4, 5, 6}

2. Sacamos una bola de A y una bola de B. Calcular:

A B

a) P[ y ]

b)P[ y ]

c) P[ y ]

d)P[una de ellas y otra y otra ]

e) P[la segunda ]

Problemas resueltos

1. a) P[3 en R y 5 en V [3 en R y 5 en V [3 en R y 5 en V] = P[3] · P[5] = 1/6 · 1/6 = 1/36

b) P[5 en R y 3 en V V V] = P[5] · P[3] = 1/6 · 1/6 = 1/36

c) P[un 3 y un 5] = P[3 en R y 5 en V V V] + P[5 en R y 3 en V V V] =

= ( 136) + ( 1

36) = 236

= 118

d) P [par en R y > 2 en V ] = P [par] · P [> 2] =

= 36

· 46

= 1236

= 13

6,65,64,63,62,61,6

6,55,54,53,52,51,5

6,45,44,43,42,41,4

6,35,34,33,32,31,3

6,25,24,23,22,21,2

6,15,14,13,12,11,1

2. a) P[ y ] = P[1.a ] · P[2.a ] = 25

· 36

= 630

= 15

b) P[ y ] = P[1.a ] · P[2.a ] = 25

· 26

= 430

= 215

c) P[ y ] = P[1.a ] · P[2.a ] = 35

· 36

= 930

= 310

d)P[una de ellas y otra ] = P[ y ] + P[ y ] = 430

+ 930

= 1330

e) P[la 2.a ] = P[cualquier cosa la 1.a] · P[la 2.a ] = 1 · 16

= 16

La 1.ª es as.Quedan 3 ases en 39 cartas.

La 1.ª no es as.Quedan 4 ases en 39 cartas.

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Composición de experiencias dependientesComposición de experiencias dependientes4

El resultado de cada experiencia influye en las probabilidades de las siguientes.

Experiencias dependientes

De una urna con 3 bolas verdes y 2 rojas, extraemos dos bolas. Calcular la probabilidad de que:

a) Ambas sean verdes.

b)La 1.a sea roja y la 2.a sea roja y la 2.a a verde.a verde.a

c) Las dos sean rojas.

P[ en este caso] = 24

Si la 1.a es

P[ ] = 35

Si la 1.a es , quedan cuatro: 1 y 3

Problema resuelto

a) Imaginemos una gran cantidad de gente. Cada uno de ellos tiene una urna con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas. Son sometidos a dos pruebas:

1.a prueba: Han de extraer bola verde. (La dejan fuera).

2.a prueba: Han de volver a extraer verde.

Averigüemos qué proporción de gente supera cada prueba y, en consecuencia, qué proporción supera las dos.

P[ ] = 3/5. Por término medio, 3 de cada 5 individuos extraen bola verde y superan la 1.a prueba.

primera extracción

Ahora, la composición de la urna se modifica dependiendo del resultado de la primera prueba. Como estamos siguiendo la pista a los que extraen bola verde, estos tienen ahora una urna con 2 bolas verdes y 2 bolas rojas. Veamos qué proporción de ellos supera la 2.a prueba.

P[ ] = 2/4. Por término medio, 2 de cada 4 de los que superan la 1.a prueba superan también la 2.a.

segunda extracción

Proporción de individuos que superan ambas pruebas: 35

· 24

= 620

. Es decir:

P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a / la 1.a] = 35

· 24

= 620

= 310

Estas pruebas son dependientes, porque el resultado de la primera influye en la segunda.

b) P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a / la 1.a] = 25

· 34

= 620

= 310

c) P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a / la 1.a] = 25

· 14

= 220

= 110

Si dos sucesos S1 y S2 corresponden a pruebas dependientes, la probabilidad de que ocurra S1 en la 1.a y S2 en la 2.a es:

P [S1 y S2] = P [S1] · P [S2 en la 2.ª / S1 en la 1.a] = P [S1] · P [S2 / S1]

La expresión P[S2 / S1] se llama probabilidad condicionada: probabilidad de S2 condicionada a que ocurra S1.

Para tres sucesos dependientes:

P [S1 y S2 y S3] = P [S1] · P [S2 / S1] · P [S3 / S1 y S2]

La probabilidad condicionada P [S3 / S1 y S2] significa “probabilidad de que ocurra S3 supuesto que ocurrieron S1 y S2”.

Descripción de la experiencia mediante un diagrama en árbol

a experiencia de la página anterior se puede describir sistemáticamente, y de forma muy clara, mediante un diagrama en árbol

P[ y ] = · = =

P[ y ] = · = =

P[ y ] = · = =

P[ y ] = · = =

ignificado de algunas probabilidades:

= P [ en la 1.a]

= P [ en 2.a / en 1.a]

Recuerda

i en la 1.a sale as, quedan 3 ases en 39 cartas. Por tanto:

P [as en 2.a / as en 1.a] =

Análogamente:

P [as en 3.a / as en 1.a y 2.a] =

Observa

Extraemos dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea un rey y la segunda un as?

Copia y completa el diagrama en árbol del problema resuelto de esta página y sobre él halla P [ningún as].

Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean blancas? ¿Y negras?

Se extraen, una tras otra, 3 cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener bastos las tres veces?

Supón que se extraen con reemplazamiento.

b) Supón que se extraen sin reemplazamiento.

Una urna A tiene tres bolas blancas y una negra. Otra B tiene una bola negra. Sacamos una bola de A y la echamos en B. Removemos y sacamos una bola de B. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca?

Actividades

Extraemos tres cartas de una baraja española. Hallar la probabilidad de obtener tres ases.

P [3 ases] = P [as en 1.a y as en 2.a y as en 3.a] =

= P[as en 1.a] · P[as en 2.a / as en 1.a] · P[as en 3.a / as en 1.a y 2.a] =

= · ·

Lo describimos en un diagrama en árbol:

P [3 ases] = P [as y as y as] = P [as] · P[as en 2.a / as en 1.a] ·

· P[as en 3.a / as en 1.a y 2.a] = · · =

Problema resuelto

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Composición de experiencias dependientes4Experiencias dependientes

P[ en este caso] =

Si la 1.a es

P[ ] =

Si la 1.a es , quedan cuatro: 1 y 3

Problema resuelto

Imaginemos una gran cantidad de gente. Cada uno de ellos tiene una urna con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas. Son sometidos a dos pruebas:

1.a prueba: Han de extraer bola verde. (La dejan fuera).

2.a prueba: Han de volver a extraer verde.

Averigüemos qué proporción de gente supera cada prueba y, en consecuencia, qué proporción supera las dos.

P[ ] = 3/5. Por término medio, 3 de cada 5 individuos extraen bola verde y superan la 1.a prueba.

primera extracción

Ahora, la composición de la urna se modifica dependiendo del resultado de la primera prueba. Como estamos siguiendo la pista a los que extraen bola verde, estos tienen ahora una urna con 2 bolas verdes y 2 bolas rojas. Veamos qué proporción de ellos supera la 2.a prueba.

P[ ] = 2/4. Por término medio, 2 de cada 4 de los que superan la 1.a prueba superan también la 2.a.

segunda extracción

Proporción de individuos que superan ambas pruebas: · = . Es decir:

P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a / la 1.a] = · = =

Estas pruebas son dependientes, porque el resultado de la primera influye en la segunda.

b) P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a / la 1.a] = · = =

c) P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a / la 1.a] = · = =

i dos sucesos S1 y S2 corresponden a pruebas dependientes, la probabilidad de que ocurra S1 en la 1.a y S2 en la 2.a es:

P [S1 y S2] = P [S1] · P [S2 en la 2.ª / S1 en la 1.a] = P [S1] · P [S2 / S1]

La expresión P[S2 / S1] se llama probabilidad condicionada probabilidad de S2 condicionada a que ocurra S1.

Para tres sucesos dependientes:

P [S1 y S2 y S3] = P [S1] · P [S2 / S1] · P [S3 / S1 y S2]

La probabilidad condicionada P [S3 / S1 y S2] significa “probabilidad de que ocurra S3 supuesto que ocurrieron S1 y S2”.

Descripción de la experiencia mediante un diagrama en árbol

La experiencia de la página anterior se puede describir sistemáticamente, y de forma muy clara, mediante un diagrama en árbol:

3/5 La urnaqueda así

La urnaqueda así

2/5

2/4

2/4

3/4

1/4

P[ y ] = 35

· 24

= 620

= 310

P[ y ] = 35

· 24

= 620

= 310

P[ y ] = 25

· 34

= 620

= 310

P[ y ] = 25

· 14

= 220

= 110

Significado de algunas probabilidades:25

= P [ en la 1.a]

34

= P [ en 2.a / en 1.a]

Recuerda

Si en la 1.a sale as, quedan 3 ases en 39 cartas. Por tanto:

P [as en 2.a / as en 1.a] = 339

Análogamente:

P [as en 3.a / as en 1.a y 2.a] = 238

Observa

1 Extraemos dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea un rey y la segunda un as?

2 Copia y completa el diagrama en árbol del problema resuelto de esta página y sobre él halla P [ningún as].

3 Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean blancas? ¿Y negras?

4 Se extraen, una tras otra, 3 cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener bastos las tres veces?

a) Supón que se extraen con reemplazamiento.

b) Supón que se extraen sin reemplazamiento.

5 Una urna A tiene tres bolas blancas y una negra. Otra B tiene una bola negra. Sacamos una bola de A y la echamos en B. Removemos y sacamos una bola de B. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca?

Actividades

Extraemos tres cartas de una baraja española. Hallar la probabilidad de obtener tres ases.

P [3 ases] = P [as en 1.a y as en 2.a y as en 3.a] =

= P[as en 1.a] · P[as en 2.a / as en 1.a] · P[as en 3.a / as en 1.a y 2.a] =

= 440

· 339

· 238

Lo describimos en un diagrama en árbol:

4/40

36/40

2/38

3/39

36/39

36/38AS

3.a EXTR.a EXTR.a

2.a EXTR.a EXTR.a

1.a EXTR.a EXTR.a

AS

NO ASQuedan 39 cartas.

De ellas, 3 ases.

Quedan 38 cartas.De ellas, 2 ases.

NO AS

AS

NO AS36/40

NO AS36/40

NO AS

P [3 ases] = P [as y as y as] = P [as] · P[as en 2.a / as en 1.a] ·

· P[as en 3.a / as en 1.a y 2.a] = 440

· 339

· 238

= 12470

Problema resuelto

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UNIDAD

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■ Practica

Experiencias simples

1 En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Calcula la probabilidad de que la primera bola extraída sea un número…:a) … de una sola cifra. b) … múltiplo de 7.c) … mayor que 25.

2 Se extrae una carta de una baraja española. Di cuál es la probabilidad de que sea:a) rey o rey o rey as. b) figura y figura y figura oros. c) no sea espadas.

3 Lanzamos dos dados y anotamos la puntuación mayor (si coinciden, la de uno de ellos).a) Completa en tu cua

derno la tabla y di las probabilidades de los seis sucesos elementales 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

6

64

52

21

b) Halla la probabilidad de los sucesos:A: n.° par, B: n.° menor que 4.

Experiencias compuestas

4 a) Tenemos dos barajas de 40 cartas. Sacamos una carta de cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figuras (sota, caballo o rey)?b)Tenemos una baraja de 40 cartas. Sacamos dos

cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean un 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figura?

5 Lanzamos tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres puntuaciones sean menores que 5?

6 Sacamos una bola de cada urna. Calcula la probabilidad de que:a) Ambas sean rojas.b) Ambas sean negras.c) Alguna sea verde.

7 Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 verdes. Extraemos dos. Calcula P [2 rojas] y P [2 verdes].


8 Una urna contiene 100 bolas numeradas así:00, 01, 02, …, 99

Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades del número que tiene cada bola. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) x = 3 b) y = 3 c) x ? 7 d) x > 5

e) x + y = 9 f ) x < 3 g) y > 7 h) y < 7

9 Después de tirar muchas veces un modelo de chinchetas, sabemos que la probabilidad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38.

Si tiramos dos chinchetas, ¿cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma?

10 En un laboratorio se somete un nuevo medicamento a tres controles. La probabilidad de pasar el primero es 0,89, la de pasar el segundo es 0,93 y la de pasar el tercero es 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo producto pase las tres pruebas?

11 Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una de B. Calcula:

A B

a) P [1.a roja y 2.a roja y 2.a a roja]a roja]a b)P [1.a roja y 2.a roja y 2.a a verde]a verde]a

c) P [2.a roja / 1.a roja / 1.a a verde]a verde]a d)P [2.a roja / 1.a roja / 1.a a roja]a roja]a

e) P [2.a roja]a roja]a f ) P [2.a verde]a verde]a

☞ e) Para calcular esta probabilidad, ten en cuenta el si-guiente diagrama:

A

B

B

3 2— · —5 3

2 1— · —5 3

2—3

1—32—

5

3—5

En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase.Calcula la probabilidad de que:

Los dos sean chicos.b) Sean dos chicas.c) Sean un chico y una chica.

Resuelve problemas

En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas están marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se hacen tres extracciones y se anotan los resultados en orden.

Calcula la probabilidad de que el número formado sea el 121, suponiendo que la experiencia sea:

Con reemplazamiento.

b) Sin reemplazamiento.

Matías y Elena juegan con una moneda.La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Matías. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Elena.

Calcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar.

¿Resuelves problemas de probabilidad de experien-cias simples y compuestas?

Autoevaluación

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UNIDAD

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Practica Aplica lo aprendido

Una urna contiene 100 bolas numeradas así:00, 01, 02, …, 99

Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades del número que tiene cada bola. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

x = 3 b) y = 3 c) x ? 7 d) x > 5

e) x + y = 9 f ) x < 3 g) y > 7 h) y < 7

En un laboratorio se somete un nuevo medicamento a tres controles. La probabilidad de pasar el primero es 0,89, la de pasar el segundo es 0,93 y la de pasar el tercero es 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo producto pase las tres pruebas?

A B

A

B

B

12 En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase.Calcula la probabilidad de que:a) Los dos sean chicos.b) Sean dos chicas.c) Sean un chico y una chica.

13 Tiramos dos dados correctos. Di cuál es la Tiramos dos dados correctos. Di cuál es la probabilidad de obtener:a) En los dos la misma puntuación.b) Un 6 en alguno de ellos.c) En uno de ellos, mayor puntuación que en el otro.

14 Se extraen dos bolas de esta bolsa.

Calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color.


15 En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas están marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se hacen tres extracciones y se anotan los resultados en orden.

Calcula la probabilidad de que el número formado sea el 121, suponiendo que la experiencia sea:

a) Con reemplazamiento.

b) Sin reemplazamiento.

16 Matías y Elena juegan con una moneda.La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Matías. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Elena.

Calcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar.

¿Resuelves problemas de probabilidad de experien-cias simples y compuestas?

1 Encima de una mesa tenemos estas cuatro cartas de una baraja española:

– Cinco de copas. – As de oros.

– Cuatro de bastos. – Dos de oros.

Sacando al azar otra carta del mazo y fijándonos en su número, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones de las cinco cartas (las cuatro de la mesa y la extraída del mazo) sea 15? ¿Y 16?

2 Lanzamos una moneda y un dado y observamos los resultados obtenidos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz y cinco?

b) ¿Y la de obtener cara y cara y cara número par?

3 Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que el producto de las puntuaciones:

a) Sea 5. b) Sea 6. c) Sea 4.

☞ Haz una tabla con todos los casos posibles.

4 Tenemos dos bolsas, A y B, con estas bolas:

A: 7 blancas y 3 negras

B: 1 blanca, 2 negras y 7 rojas

Tirando un dado, si sale 1 o 2 extraemos una bola de A. Si sale 3, 4, 5 o 6, extraemos una bola de B. Calcula la probabilidad de extraer bola roja.

5 La urna A tiene 3 bolas rojas y 1 negra, y la B, 3 negras y 1 roja. Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una bola de B. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean rojas.

Autoevaluación

115

DEBERÁS RECORDAR

■ La utilidad del diagrama en árbol.

“¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las tres medallas (oro, plata, bronce) los ocho finalistas de una carrera?” Propuestas como esta son propias de la combinatoria: a partir de una colección finita de objetos, averiguar cuántas agrupaciones hay que cumplan ciertas condiciones.

Problemas de este tipo aparecen en todas las cultu-ras y, en muchos casos, relacionadas con situaciones místicas o cabalísticas, como el I Ching chino o la Cábala judía.

Summa (1914), de Luca Paccioli, es la primera obra impresa donde aparecen problemas de combinatoria.

La combinatoria empezó a fraguarse como ciencia paralelamente a la probabilidad y, por tanto, estuvo ligada a los juegos. Aunque fue Tartaglia (algebrista italiano del s. xvi) uno de los pioneros, esta ciencia recibió el mayor impulso a partir de la correspon-dencia mantenida por los franceses Pascal y Fermat(s. xvii) sobre situaciones de azar inspiradas en las mesas de juego. Los problemas probabilísticos que de ahí surgen se resuelven mediante un enfoque combinatorio.

Bernouilli (s. xviii) dedicó, en su Arte de la conjetu-ra, algunos capítulos a asentar la teoría de la combi-natoria, básica para el cálculo de probabilidades.

El término combinatoria, tal como lo usamos actual-mente, fue introducido por el alemán Leibniz.

Euler (s. xviii) enriqueció la combinatoria con nue-vas líneas de trabajo. Una de ellas, los grafos, comenzó su andadura con la resolución del reto de los puentes de Königsberg.

11Combinatoria

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En qué consiste la combinatoriaEn qué consiste la combinatoria1La combinatoria se ocupa de contar agrupaciones realizadas con un determina-do criterio. Veamos algunos ejemplos:

1. Irene tiene 4 pantalones y 6 camisetas. ¿Cuántas indumentarias distintas puede elegir?

Cada camiseta puede ponerse con cada pantalón. Por tanto, el número de in-dumentarias es 4 Ò 6 = 24.

2. Cuatro amigos, A, B, C, D, diseñan un campeonato de pimpón, todos contra todos, a un vuelta. ¿Cuántos partidos se han de jugar?

A - B B - C C - D En total, 6 partidos.

A - C B - D

A - D

3. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener al lanzar un dado de color rojo y otro de color verde?

Cada resultado del dado rojo se puede emparejar con cada uno de los del dado verde. Por tanto, habrá 6 Ò 6 = 36 resultados.

4. ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 amigos P, Q, R, en un banco que tiene tres lugares — — —?

Hagámoslas:

P Q R P R Q Q P R Q R P R P Q R Q P

Hay seis formas distintas.

1 Irene, además de 4 pantalones y 6 camisetas, tiene 3 gorras. ¿Cuántas indumentarias de pantalón-camise-ta-gorra puede llevar?

2 ¿Cuántos partidos han de jugar 5 amigos, A, B, C, D, E, para completar un campeonato de pimpón, todos contra todos, a una vuelta?

3 Lanzamos un dado y extraemos una carta de una ba-raja de 40 cartas. ¿Cuántos resultados distintos pode-mos obtener?

4 En una carrera compiten 4 corredores, P, Q, R, S, y se en-tregan dos copas: una grande al campeón y otra pequeña al segundo. ¿De cuántas formas se puede hacer el reparto?

Actividades

El diagrama en árbol2

Ejemplo 1. Se juegan los partidos de ida de las semifinales de la Copa del Rey de fútbol. Son Mallorca-Deportivo y Betis-Albacete. Se confecciona una quiniela con los dos partidos.

En cada casillero hay que poner 1, X o 2. Para ganar, hay que acertar los dos resultados.

a) ¿Cuántas quinielas hay que rellenar para tener la seguridad de ganar?

b) ¿Cuántas quinielas habría que haber hecho la semana anterior para acertar los cuatro partidos de vuelta de los cuartos de final de la Copa del Rey?

a): ¿Cuántas quinielas hay que hacer para acertar los dos partidos?

Tres posibilidades para acer-tar el primer partido. A cada una de esas tres posibilidades le corresponden las tres que se necesitan para acertar el otro partido.

3 · 3 = 9 quinielas

l diagrama en árbol tiene la ventaja de que permite pensar, pa-so a paso, en este tipo de problemas en los que las distintas posi-bilidades se van multiplicando.

Antes de dar cada paso, nos cuestionaremos a cuántas ramas da lugar la nueva situación en la que nos encontramos.

Resolvamos el apartado b).

En cada paso, el número de posibilidades se multiplica por 3, pues el resultado de cada partido no depende de los anteriores.

El número de quinielas posibles es:

3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81

Mallorca – Deportivo ❑Betis – Albacete ❑

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En qué consiste la combinatoria1

1. Irene tiene 4 pantalones y 6 camisetas. ¿Cuántas indumentarias distintas puede elegir?

Cada camiseta puede ponerse con cada pantalón. Por tanto, el número de in-dumentarias es 4 Ò 6 = 24.

2. Cuatro amigos, A, B, C, D, diseñan un campeonato de pimpón, todos contra todos, a un vuelta. ¿Cuántos partidos se han de jugar?

A - B B - C C - D En total, 6 partidos.

A - C B - D

A - D

3. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener al lanzar un dado de color rojo y otro de color verde?

Cada resultado del dado rojo se puede emparejar con cada uno de los del dado verde. Por tanto, habrá 6 Ò 6 = 36 resultados.

4. ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 amigos P, Q, R, en un banco que tiene tres lugares — — —?

Hagámoslas:

P Q R P R Q Q P R Q R P R P Q R Q P

Hay seis formas distintas.

Irene, además de 4 pantalones y 6 camisetas, tiene 3 gorras. ¿Cuántas indumentarias de pantalón-camise-ta-gorra puede llevar?

¿Cuántos partidos han de jugar 5 amigos, A, B, C, D, E, para completar un campeonato de pimpón, todos contra todos, a una vuelta?

Lanzamos un dado y extraemos una carta de una ba-raja de 40 cartas. ¿Cuántos resultados distintos pode-mos obtener?

En una carrera compiten 4 corredores, P, Q, R, S, y se en-tregan dos copas: una grande al campeón y otra pequeña al segundo. ¿De cuántas formas se puede hacer el reparto?

Actividades

El diagrama en árbolEl diagrama en árbol2Como has podido ver en el apartado anterior, para resolver un problema de combinatoria es fundamental tener muy claro cuáles son las condiciones de las agrupaciones buscadas y proceder con orden y sistema a su formación o a su recuento. Para esta forma de proceder, es sumamente útil el diagrama en árbol. Veamos en qué consiste mediante algunos ejemplos:

• Ejemplo 1. Se juegan los partidos de ida de las semifinales de la Copa del Rey de fútbol. Son Mallorca-Deportivo y Betis-Albacete. Se confecciona una quiniela con los dos partidos.

En cada casillero hay que poner 1, X o 2. Para ganar, hay que acertar los dos resultados.

a) ¿Cuántas quinielas hay que rellenar para tener la seguridad de ganar?

b) ¿Cuántas quinielas habría que haber hecho la semana anterior para acertar los cuatro partidos de vuelta de los cuartos de final de la Copa del Rey?

a): ¿Cuántas quinielas hay que hacer para acertar los dos partidos?

Tres posibilidades para acer-tar el primer partido. A cada una de esas tres posibilidades le corresponden las tres que se necesitan para acertar el otro partido.

3 · 3 = 9 quinielas

I. MALL. - DEP.I. MALL. - DEP.I. MALL. - DEP

111XXX222

1X21X21X

1

X

22

II. BET. - ALB.II. BET. - ALB.II. BET CONCLUSIÓNI

1X21X21X2

II

El diagrama en árbol tiene la ventaja de que permite pensar, pa-so a paso, en este tipo de problemas en los que las distintas posi-bilidades se van multiplicando.

Antes de dar cada paso, nos cuestionaremos a cuántas ramas da lugar la nueva situación en la que nos encontramos.

Resolvamos el apartado b).

En cada paso, el número de posibilidades se multiplica por 3, pues el resultado de cada partido no depende de los anteriores.

El número de quinielas posibles es:

3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81

1.er PARTIDORTIDOR1X (111X)2

2.o PARTIDORTIDOR 3.er PARTIDORTIDOR 4.o PARTIDORTIDOR

1

X1

X1

2

X

2

1

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X2

2

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1X

(22X1)

2

1

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Mallorca – Deportivo ❑Betis – Albacete ❑

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• Ejemplo 2. Antonio, Beatriz, Carmen y Darío juegan la fase final de un campeo-nato de pimpón. Hay una copa para el campeón y una placa para el subcampeón.

a) ¿De cuántas formas pueden adjudicarse los trofeos?

b) ¿Cuántas posibles clasificaciones finales puede haber?

a): ¿De cuántas formas pueden repartirse los dos trofeos?

Hay cuatro posibilidades para el puesto de campeón. Cada una de ellas se puede comple-tar con 3 opciones para el sub-campeón.

4 · 3 = 12 posibilidades

CAMPEÓN

AAABBBCCC

BCDACDAB

A

B

CD

SUBCAMPEÓN CONCLUSIÓN

,,,,,,,,,

DDD

ABDC

,,,

BCDACDABDABC

b): ¿Cuántas posibles clasificaciones finales puede haber?

Hay 4 posibles campeones, pero, una vez fijado el campeón, solo puede haber 3 subcampeones. Y si fijamos al 1.° y al 2.°, solo que-dan 2 aspirantes para el 3.er lugar. Conocidos los 1.°, 2.° y 3.°, para el 4.° lugar solo queda un candidato.

El número de posibilidades es:4 · 3 · 2 · 1 = 24

Con el diagrama en árbol se puede pensar paso a paso y permite ver cuáles son las distintas posibilidades que se dan en cada uno de esos pasos.

Si en lugar de pormenorizar todas las posibilidades solo queremos contarlas, podremos dejar el árbol incompleto o, incluso, simplemente imaginarlo:

¿Cuántas flechas hay que poner en primer lugar? ¿Cuántas salen de cada uno de esos resultados?…

1 Alberto, Beatriz y Claudia van a ver a su abuelo. Al irse, este les dice: “Escoged cada uno el libro que queráis de estos”, y les muestra 10 libros distintos. ¿De cuántas formas pueden hacer su elección?

Actividades

¿De cuántas formas se pueden repartir 3 medallas entre las 12 participan-tes de una carrera?

1.er lugar: 12.2.° lugar: Por cada una de las anteriores, 11.3.er lugar: Por cada una de las anteriores, 10.

°§°§°¢§¢§§¢§¢£§£§

Total: 12 Ò 11 Ò 10 =

= 1 320 posibilidades

Ejercicio resuelto

CAMPEÓND (ABCD)CDBC (ADBC)B

CDBDBC

B

C

D

SUBCAMPEÓN TERCERTERCERTER O CCERO CCER UARTO

A

B

C C (DABC)B

BCA

B

C

D

Variaciones y permutaciones3 de los problemas que se han resuelto en los apartados anteriores tienen

aspectos comunes. Los clasificaremos en modelos que podemos tratar teórica-mente, es decir, de forma general.

Variaciones con repeticiónamos a recuperar un problema, resuelto antes, para que nos sirva de modelo.

Se juegan dos partidos. ¿Cuántas quinielas hemos de hacer para acertar los dos?

Disponemos de tres signos, 1, X, 2. Con ellos hemos de llenar dos lugares. Podemos poner el mismo signo en los dos lugares (es decir, puede repetirse). El número de posibilidades es 3 · 3 = 32.

¿Y para acertar cuatro partidos?

Con los tres signos, 1, X, 2, hemos de llenar cuatro lugares, pudiendo repetirse una o más veces los signos utilizados.

El número de posibilidades es 3 · 3 · 3 · 3 = 34.

isponemos de m elementos. Formamos agrupaciones ordenadas (“tiras”) de n de ellos, repetidos o no.

A estas agrupaciones se las llama variaciones con repetición de m elementos tomados n a n. Al número de ellas se le designa por VRm, n (o bien VRm

n ).

VRm, n = mn

Justificación de la fórmula

En el primer lugar podemos situar cualquiera de los m elementos. En el 2.° lu-gar, también, sin importar cuál es el que ocupa el 1.°. Y así sucesivamente, cada lugar puede ser ocupado por cualquiera de los m elementos sin importar cuáles son los que ocupan los lugares anteriores. Por tanto, el número de posibilidades es m · m · … · m (n factores) = mn.

• Hay m elementos de partida.• Se forman agrupaciones de n de

esos elementos.• Pueden estar repetidos.• Importa el orden en que se ponen.

Variaciones con repetición

Resuelve cada enunciado de dos formas:a) Realizando un diagrama en árbol o razonando como

si lo realizaras.b) Reconociendo el modelo de variaciones con repeti-

ción y aplicando la fórmula.

¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras impares?

Disponemos de 7 colores con los que hemos de pintar las tres franjas adjuntas.

¿Cuántas banderas salen?

Notas: 1. Cada franja hay que llenarla con un solo color.

2. Dos o las tres franjas pueden ser del mismo color.

3. Dos banderas con los mismos colores colocados en distinto or-den son distintas.

¿Cuántas quinielas hemos de rellenar para acertar, con seguridad, los 15 resultados?

Actividades

m m m m … m 1.° 2.° 3.° 4.° … n.°

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Ejemplo 2. Antonio, Beatriz, Carmen y Darío juegan la fase final de un campeo-nato de pimpón. Hay una copa para el campeón y una placa para el subcampeón.

a) ¿De cuántas formas pueden adjudicarse los trofeos?

b) ¿Cuántas posibles clasificaciones finales puede haber?

a): ¿De cuántas formas pueden repartirse los dos trofeos?

Hay cuatro posibilidades para el puesto de campeón. Cada una de ellas se puede comple-tar con 3 opciones para el sub-campeón.

4 · 3 = 12 posibilidades

b): ¿Cuántas posibles clasificaciones finales puede haber?

Hay 4 posibles campeones, pero, una vez fijado el campeón, solo puede haber 3 subcampeones. Y si fijamos al 1.° y al 2.°, solo que-dan 2 aspirantes para el 3.er lugar. Conocidos los 1.°, 2.° y 3.°, para el 4.° lugar solo queda un candidato.

El número de posibilidades es:4 · 3 · 2 · 1 = 24

on el diagrama en árbol se puede pensar paso a paso y permite ver cuáles son las distintas posibilidades que se dan en cada uno de esos pasos.

Si en lugar de pormenorizar todas las posibilidades solo queremos contarlas, podremos dejar el árbol incompleto o, incluso, simplemente imaginarlo:

¿Cuántas flechas hay que poner en primer lugar? ¿Cuántas salen de cada uno de esos resultados?…

Alberto, Beatriz y Claudia van a ver a su abuelo. Al irse, este les dice: “Escoged cada uno el libro que queráis de estos”, y les muestra 10 libros distintos. ¿De cuántas formas pueden hacer su elección?

Actividades

Ejercicio resuelto

Variaciones y permutacionesVariaciones y permutaciones3Algunos de los problemas que se han resuelto en los apartados anteriores tienen aspectos comunes. Los clasificaremos en modelos que podemos tratar teórica-mente, es decir, de forma general.

Variaciones con repeticiónVamos a recuperar un problema, resuelto antes, para que nos sirva de modelo.

• Se juegan dos partidos. ¿Cuántas quinielas hemos de hacer para acertar los dos?

Disponemos de tres signos, 1, X, 2. Con ellos hemos de llenar dos lugares. Podemos poner el mismo signo en los dos lugares (es decir, puede repetirse). El número de posibilidades es 3 · 3 = 32.

• ¿Y para acertar cuatro partidos?

Con los tres signos, 1, X, 2, hemos de llenar cuatro lugares, pudiendo repetirse una o más veces los signos utilizados.

El número de posibilidades es 3 · 3 · 3 · 3 = 34.

Disponemos de m elementos. Formamos agrupaciones ordenadas (“tiras”) de n de ellos, repetidos o no.

A estas agrupaciones se las llama variaciones con repetición de m elementos tomados n a n. Al número de ellas se le designa por VRm, n (o bien VRm

n ).

VRm, n = mn

Justificación de la fórmula

En el primer lugar podemos situar cualquiera de los m elementos. En el 2.° lu-gar, también, sin importar cuál es el que ocupa el 1.°. Y así sucesivamente, cada lugar puede ser ocupado por cualquiera de los m elementos sin importar cuáles son los que ocupan los lugares anteriores. Por tanto, el número de posibilidades es m · m · … · m (n factores) = mn.


esos elementos.• Pueden estar repetidos.• Importa el orden en que se ponen.

Variaciones con repetición

1.er PARTIDORTIDOR

1, X, 2

2.º PARTIDORTIDOR

Resuelve cada enunciado de dos formas:a) Realizando un diagrama en árbol o razonando como

si lo realizaras.b) Reconociendo el modelo de variaciones con repeti-

ción y aplicando la fórmula.

1 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras impares?

2 Lanzamos un dado 4 veces. Importa el orden en que salen los números. ¿Cuántos resultados distintos pueden darse?

3 Disponemos de 7 colores con los que hemos de pintar las tres franjas adjuntas.

¿Cuántas banderas salen?

Notas: 1. Cada franja hay que llenarla con un solo color.

2. Dos o las tres franjas pueden ser del mismo color.

3. Dos banderas con los mismos colores colocados en distinto or-den son distintas.

4 ¿Cuántas quinielas hemos de rellenar para acertar, con seguridad, los 15 resultados?

Actividades

m m m m … m 1.° 2.° 3.° 4.° … n.°

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Variaciones ordinarias• ¿De cuántas formas pueden obtener los puestos 1.° y 2.° los cuatro participantes en

un torneo?

Disponemos de cuatro elementos, A, B, C, D. Para el 1.er lugar, hay 4 opciones. Una vez fijado el primero, para el 2.° lugar, quedan 3 opciones (no hay repeti-ción, ya que el que queda 1.° no puede quedar 2.°).

El número de posibilidades es 4 · 3 = 12.

• ¿De cuántas formas se pueden repartir las 3 medallas los 8 finalistas de una carrera?

Disponemos de 8 elementos. Hemos de clasificar, ordenadamente, a 3.

Para el 1.er lugar, hay 8 posibilidades. Fijado el 1.°, hay 7 posibles segundos puestos. Fijados el 1.° y el 2.°, hay 6 posibles terceros puestos.

Número de posibilidades: 8 · 7 · 6 = 336.

Disponemos de m elementos. Formamos agrupaciones ordenadas (“tiras”) de n de ellos, sin que se repita ninguno. A estas agrupaciones se las llama va-riaciones ordinarias, o simplemente, variaciones de m elementos tomados n a n. Al número de ellas se le designa por Vm, n (o bien Vm

n ).

Vm, n = m · (m – 1) · (m – 2) · … 14444244443 n factores decrecientes

Permutaciones• ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados los cuatro participantes en un torneo?

4 · 3 · 2 · 1 = 24 formas

• ¿Y los ocho finalistas olímpicos en una carrera?

8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320

Las distintas formas en que se pueden ordenar los m elementos de un con-junto se llaman permutaciones. Su número se designa por Pm (se lee “per-mutaciones de m elementos”) y es igual al número de variaciones de m elementos tomados m a m.

Pm = Vm, m = m · (m – 1) · … · 3 · 2 · 1

A este número se le llama m factorial y se escribe m !

Por ejemplo: 3! = 3 · 2 · 1 = 6 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120


ellos. Obviamente, n Ì m.• No pueden repetirse.• Importa el orden en que se ponen.

Variaciones ordinarias

• Hay m elementos de partida.• Se toman los m.• No pueden repetirse.• Lo único que importa es el orden.

Permutaciones

5 Enuncia un problema similar al de las banderas de la página anterior que se resuelva mediante variaciones ordinarias y resuélvelo razonadamente (diagrama en árbol) y aplicando la fórmula.

6 En los ejercicios propuestos y resueltos en los dos aparta-dos anteriores, identifica cuáles responden al modelo de variaciones con repetición, de variaciones ordinarias o de permutaciones, y resuélvelos mediante las fórmulas.

Actividades

m m – 1 m – 2 … m – n + 1 1.° 2.° 3.° … n.°

Cuando no influye el orden4mpecemos poniendo algunos ejemplos que nos sirvan de referencia.

Cuatro amigos juegan un campeonato de pimpón por el sistema de liga (todos con-tra todos) a una sola vuelta. ¿Cuántos partidos jugaron?

Si utilizamos un diagrama en árbol para contar el número de partidos, obten-dremos 4 · 3 = 12, pero nos encontraremos con que aparecerá cada partido dos veces: AB y BA, AC y CA, CD y DC…

Por tanto, el número total de partidos reales se obtiene dividiendo por 2.

La respuesta es = 6.

Diez antiguos amigos se citan en un lugar a cierta hora. Al encontrarse, ¿cuántos apretones de manos se dan?

Si influyera el orden (A saluda a B, B saluda a A), entonces habría 10 · 9 = 90 saludos. Como no influye el orden, cada saludo se ha considerado dos veces.

Por tanto, el número de apretones de mano es 90 : 2 = 45.

En una carrera con 8 corredores se clasifican para la final los tres primeros. ¿De cuántas formas puede efectuarse la clasificación?

Si influyera el orden, ¿de cuántas formas distintas pueden asignarse los tres primeros puestos?

La respuesta es 8 · 7 · 6 = 336.

Teniendo en cuenta que no influye el orden, ¿cuántas veces hemos contado la clasificación de los mismos individuos?

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Seis formas, tantas como permutaciones de 3 elementos: 3 · 2 · 1 = 6

Por tanto, el número de posibles clasificaciones es 336 : 6 = 56.

La estrategia que se ha utilizado en estos tres problemas es la misma:

Hemos reinterpretado el enunciado como si el orden en que se seleccionan los elementos sí influyera. Después, hemos averiguado el número de veces que se ha contado cada uno de los casos que nos interesan, y hemos dividido por él.

Es importante que adquieras destreza con esta estrategia, porque te ayudará a resolver numerosos problemas.

En un monte hay 7 puestos de vigilancia contra in-cendios y cada uno de ellos está unido a los demás por un camino. ¿Cuántos caminos habrá en total?

Vicente quiere regalar a su amigo Carlos 3 discos, y los quiere elegir entre los 10 que más le gustan. ¿De cuántas formas puede hacerlo?

Actividades

ontar como si influyera el orden y dividir por el número de repeticio-nes.

Estrategia

Cada partido está dos veces.

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Variaciones ordinarias¿De cuántas formas pueden obtener los puestos 1.° y 2.° los cuatro participantes en un torneo?

Disponemos de cuatro elementos, A, B, C, D. Para el 1.er lugar, hay 4 opciones. Una vez fijado el primero, para el 2.° lugar, quedan 3 opciones (no hay repeti-ción, ya que el que queda 1.° no puede quedar 2.°).

El número de posibilidades es 4 · 3 = 12.

¿De cuántas formas se pueden repartir las 3 medallas los 8 finalistas de una carrera?

Disponemos de 8 elementos. Hemos de clasificar, ordenadamente, a 3.

Para el 1.er lugar, hay 8 posibilidades. Fijado el 1.°, hay 7 posibles segundos puestos. Fijados el 1.° y el 2.°, hay 6 posibles terceros puestos.

Número de posibilidades: 8 · 7 · 6 = 336.

isponemos de m elementos. Formamos agrupaciones ordenadas (“tiras”) de n de ellos, sin que se repita ninguno. A estas agrupaciones se las llama va-riaciones ordinarias, o simplemente, variaciones de m elementos tomados n a n. Al número de ellas se le designa por Vm, n (o bien Vm

n ).

Vm, n = m · (m – 1) · (m – 2) · … 14444244443 n factores decrecientes

Permutaciones¿De cuántas formas pueden quedar clasificados los cuatro participantes en un torneo?

4 · 3 · 2 · 1 = 24 formas

¿Y los ocho finalistas olímpicos en una carrera?

8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320

as distintas formas en que se pueden ordenar los m elementos de un con-junto se llaman permutaciones. Su número se designa por Pm (se lee “per-mutaciones de m elementos”) y es igual al número de variaciones de m elementos tomados m a m.

Pm = Vm, m = m · (m – 1) · … · 3 · 2 · 1

A este número se le llama m factorial y se escribe m !

Por ejemplo: 3! = 3 · 2 · 1 = 6 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120


ellos. Obviamente, n Ì m.• No pueden repetirse.• Importa el orden en que se ponen.

Variaciones ordinarias

• Hay m elementos de partida.• Se toman los m.• No pueden repetirse.• Lo único que importa es el orden.

Permutaciones

Enuncia un problema similar al de las banderas de la página anterior que se resuelva mediante variaciones ordinarias y resuélvelo razonadamente (diagrama en árbol) y aplicando la fórmula.

En los ejercicios propuestos y resueltos en los dos aparta-dos anteriores, identifica cuáles responden al modelo de variaciones con repetición, de variaciones ordinarias o de permutaciones, y resuélvelos mediante las fórmulas.

Actividades

m m – 1 m – 2 … m – n + 1 1.° 2.° 3.° … n.°

Cuando no influye el ordenCuando no influye el orden4Empecemos poniendo algunos ejemplos que nos sirvan de referencia.

• Cuatro amigos juegan un campeonato de pimpón por el sistema de liga (todos con-tra todos) a una sola vuelta. ¿Cuántos partidos jugaron?

Si utilizamos un diagrama en árbol para contar el número de partidos, obten-dremos 4 · 3 = 12, pero nos encontraremos con que aparecerá cada partido dos veces: AB y BA, AC y CA, CD y DC…

Por tanto, el número total de partidos reales se obtiene dividiendo por 2.

La respuesta es 122

= 6.

• Diez antiguos amigos se citan en un lugar a cierta hora. Al encontrarse, ¿cuántos apretones de manos se dan?

Si influyera el orden (A saluda a B, B saluda a A), entonces habría 10 · 9 = 90 saludos. Como no influye el orden, cada saludo se ha considerado dos veces.

Por tanto, el número de apretones de mano es 90 : 2 = 45.

• En una carrera con 8 corredores se clasifican para la final los tres primeros. ¿De cuántas formas puede efectuarse la clasificación?

Si influyera el orden, ¿de cuántas formas distintas pueden asignarse los tres primeros puestos?

La respuesta es 8 · 7 · 6 = 336.

Teniendo en cuenta que no influye el orden, ¿cuántas veces hemos contado la clasificación de los mismos individuos?

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Seis formas, tantas como permutaciones de 3 elementos: 3 · 2 · 1 = 6

Por tanto, el número de posibles clasificaciones es 336 : 6 = 56.

La estrategia que se ha utilizado en estos tres problemas es la misma:

Hemos reinterpretado el enunciado como si el orden en que se seleccionan los elementos sí influyera. Después, hemos averiguado el número de veces que se ha contado cada uno de los casos que nos interesan, y hemos dividido por él.

Es importante que adquieras destreza con esta estrategia, porque te ayudará a resolver numerosos problemas.

1 En un monte hay 7 puestos de vigilancia contra in-cendios y cada uno de ellos está unido a los demás por un camino. ¿Cuántos caminos habrá en total?

2 Vicente quiere regalar a su amigo Carlos 3 discos, y los quiere elegir entre los 10 que más le gustan. ¿De cuántas formas puede hacerlo?

Actividades

Contar como si influyera el orden y dividir por el número de repeticio-nes.

Estrategia

Cada partido está dos veces.

BCDACDABDABC

ABACADBABCBDCACBCDDADBDC

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— = 6122

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CombinacionesCombinaciones5Vamos a recuperar algunos problemas resueltos en el apartado anterior que nos sirvan de modelo para el tratamiento teórico de un nuevo tipo de agrupamiento.

• ¿Cuántos partidos han de jugar 4 amigos si deciden enfrentarse cada uno contra todos los demás?

Disponemos de 4 elementos, A, B, C, D. Queremos agruparlos de dos en dos, sin que importe el orden. El número de posibilidades se obtiene contándolas como si importara el orden (4 · 3) y, después, dividiendo por el número de veces que está repetida cada opción.

Resultado: 4 · 32

= 6

• ¿Cuántos apretones de mano se darán 10 amigos que se encuentran?

Análogamente, contamos los saludos como si importara el orden (A saluda a B o B saluda a A). Serían V10, 2 = 10 · 9. Después, dividimos por 2.

Resultado: 10 · 92

= 45

• En un colectivo de 10 personas, ¿de cuántas formas se pueden elegir los 3 represen-tantes que acudirán a una cierta reunión?

Aunque no importa el orden en que salgan elegidos, empecemos contándolos como si importara: V10, 3 = 10 · 9 · 8

Pero como no influye el orden, cada una de las posibles elecciones la hemos contado 6 veces: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Tantas como formas en que se pueden ordenar estos 3 elementos, es decir:

P3 = 3 · 2 · 1 (permutaciones de 3 elementos)

Por tanto, el número de posibles elecciones es: V10, 3V10, 3V

P3P3P = 10 · 9 · 8

3 · 2 · 1= 120

Generalicemos estos resultados:

Disponemos de m elementos. Se llaman combinaciones a las distintas agru-paciones que podemos formar tomando n de ellos, sin que importe el orden en que aparezcan y sin que puedan repetirse. Su número se designa por Cm, n (o bien Cm

n , y se lee “combinaciones de m elementos tomados n a n”).

Cm, n = VmVmV , n

PnPnP = m (m – 1) · ... · (m – n + 1)

n (n – 1) · ... · 3 · 2 · 1

1 Tenemos 6 puntos en el espacio de tal modo que no hay tres alineados ni cuatro coplanarios. ¿Cuántas rectas podemos trazar uniendo dos de estos puntos? ¿Cuántos planos que se apoyen en tres de ellos? (ali-neados: Sobre la misma línea recta. coplanarios: Sobre el mismo plano).

2 ¿Cuántas posibles mezclas de dos colores, en idénti-cas cantidades, se pueden hacer con 8 tarros de pin-tura de distintos colores?

¿Cuántas mezclas de tres colores?

¿Y de cuatro colores?

Actividades

La “combinatoria” es el arte de “combinar”, es decir, de hacer y con-tar “combinaciones” entre objetos siguiendo ciertas reglas. En este con-texto, la palabra combinación puede significar “agrupamiento”, “selección con ciertos criterios”… Tiene un sig-nificado amplio.

Pero, a partir de ahora, la palabra combinación adquiere un significa-do muy preciso: el que le damos en esta página.

Por tanto, en adelante, cuando se hable de “combinaciones”, deberás fijarte si se refiere a la expresión de siempre, en sentido amplio, o bien a esta otra tan concreta.

La palabra “combinación”


ellos.• No pueden estar repetidos.• No importa el orden.

Combinaciones

UNIDAD

11


Practica

¿De cuántas formas pueden repartirse 3 en-tradas para un concierto de rock entre 6 amigos y amigas sin que ninguno pueda llevarse más de una?

Para formar un equipo de baloncesto, hacen falta 5 jugadores y el entrenador dispone de 10.

¿Cuántos equipos distintos puede formar?

b) Si elige a dos jugadores y los mantiene fijos, ¿cuántos equipos distintos podrá hacer con los ocho que le quedan?

Se van a celebrar elecciones en una comunidad de vecinos y hay que elegir al presidente, al secretario y al tesorero. ¿De cuántas maneras se pueden elegir estos tres cargos, si se presentan ocho candidatos?

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Combinaciones5amos a recuperar algunos problemas resueltos en el apartado anterior que nos

sirvan de modelo para el tratamiento teórico de un nuevo tipo de agrupamiento.

¿Cuántos partidos han de jugar 4 amigos si deciden enfrentarse cada uno contra todos los demás?

Disponemos de 4 elementos, A, B, C, D. Queremos agruparlos de dos en dos, sin que importe el orden. El número de posibilidades se obtiene contándolas como si importara el orden (4 · 3) y, después, dividiendo por el número de veces que está repetida cada opción.

Resultado: = 6

¿Cuántos apretones de mano se darán 10 amigos que se encuentran?

Análogamente, contamos los saludos como si importara el orden (A saluda a B o B saluda a A). Serían V10, 2 = 10 · 9. Después, dividimos por 2.

Resultado: = 45

En un colectivo de 10 personas, ¿de cuántas formas se pueden elegir los 3 represen-tantes que acudirán a una cierta reunión?

Aunque no importa el orden en que salgan elegidos, empecemos contándolos como si importara: V10, 3 = 10 · 9 · 8

Pero como no influye el orden, cada una de las posibles elecciones la hemos contado 6 veces: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Tantas como formas en que se pueden ordenar estos 3 elementos, es decir:

P3 = 3 · 2 · 1 (permutaciones de 3 elementos)

Por tanto, el número de posibles elecciones es: = = 120

Generalicemos estos resultados:

isponemos de m elementos. Se llaman combinaciones a las distintas agru-paciones que podemos formar tomando n de ellos, sin que importe el orden en que aparezcan y sin que puedan repetirse. Su número se designa por Cm, n (o bien Cm

n , y se lee “combinaciones de m elementos tomados n a n”).

Cm, n = = · ... · ( – + 1) · ... · 3 · 2 · 1

Tenemos 6 puntos en el espacio de tal modo que no hay tres alineados ni cuatro coplanarios. ¿Cuántas rectas podemos trazar uniendo dos de estos puntos? ¿Cuántos planos que se apoyen en tres de ellos? (ali-neados: Sobre la misma línea recta. coplanarios: Sobre el mismo plano).

¿Cuántas posibles mezclas de dos colores, en idénti-cas cantidades, se pueden hacer con 8 tarros de pin-tura de distintos colores?

¿Cuántas mezclas de tres colores?

¿Y de cuatro colores?

Actividades

a “combinatoria” es el arte de “combinar”, es decir, de hacer y con-tar “combinaciones” entre objetos siguiendo ciertas reglas. En este con-texto, la palabra combinación puede significar “agrupamiento”, “selección con ciertos criterios”… Tiene un sig-nificado amplio.

Pero, a partir de ahora, la palabra combinación adquiere un significa-do muy preciso: el que le damos en esta página.

Por tanto, en adelante, cuando se hable de “combinaciones”, deberás fijarte si se refiere a la expresión de siempre, en sentido amplio, o bien a esta otra tan concreta.

La palabra “combinación”


ellos.• No pueden estar repetidos.• No importa el orden.

Combinaciones

UNIDAD

11


■ Practica

Formar agrupaciones

1 Dos amigos juegan al tenis y acuerdan que será vencedor el primero que logre ganar dos sets. Escribe todas las formas en que puede desarrollarse el partido.

2 a) a) Forma todos los números de cuatro cifras que se puedan hacer con los dígitos 1 y 2. ¿Cuántos son?b) ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden hacer

con los dígitos 0 y 1?Ten en cuenta que 01101 = 1 101 no es un número de cinco cifras.

3 Si queremos hacer lápices bicolores de doble punta y disponemos de los colores rojo, azul, ne-gro, verde y amarillo, ¿cuántos modelos se pueden formar? Escríbelos todos.

4 Si tienes tres pantalones (azul, negro, blan-co) y cuatro camisetas (azul, roja, verde, blan-ca), describe todas las indumentarias que puedes vestir sin que coincidan el color de las dos prendas.

Utilizar las fórmulas

5 Calcula:a) VR 4, 3 b) VR 3, 4 c) V7, 3V7, 3V d) P7P7P

e) C6, 4C6, 4C f ) V9, 5V9, 5V g)P10P8P8P

h) C10, 8C10, 8C

6 Calcula:

a) V5, 2V5, 2V – C5, 3C5, 3C b)VR6, 2VR6, 2VRC4, 2C4, 2C

c)P4P4P

V4, 3V4, 3V

d)P5P5PP3P3P

e)P10P9P9P

f )P12P9P9P

7 Las expresiones VR8,2; P8P8P ; V8,2V8,2V ; C8,2C8,2C son las soluciones de los siguientes apartados a), b), c), d), pero no en ese orden. Asigna a cada apartado su solución:a) Palabras de ocho letras, con o sin sentido, que se

pueden hacer con las letras de pelícano.b) Posibles parejas que se pueden formar para jugar

un torneo de ajedrez entre 8 personas.c) Números de dos cifras que se pueden formar con

los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.d)Posibles formas de dar el primer y segundo pre-

mios de un concurso literario con 8 participantes.

8 Ocho problemas muy parecidos. En cada uno de los siguientes problemas la pregunta es: ¿De cuántas formas se puede hacer?a) 3 chicos van a comprarse un polo cada uno a una

heladería en la que hay 6 clases de polos.b)6 chicos van a comprarse un polo cada uno a una

heladería en la que hay 3 clases de polos.c) Repartir 3 polos distintos entre 6 chicos.d)Repartir 3 polos iguales entre 6 chicos.e) Un chico escoge 3 polos entre 6 distintos.f ) Un chico escoge 3 polos entre 6 iguales.g) Repartir 6 polos distintos entre 6 chicos.h)Repartir 3 polos de fresa y 3 de vainilla entre

6 chicos.Sus soluciones son: C 3

6, P6P6P , VR36, 1, VR6

3, V 36.

Están dadas en otro orden y se pueden repetir.

9 ¿De cuántas formas pueden repartirse 3 en-tradas para un concierto de rock entre 6 amigos y amigas sin que ninguno pueda llevarse más de una?

10 Para formar un equipo de baloncesto, hacen falta 5 jugadores y el entrenador dispone de 10.

a) ¿Cuántos equipos distintos puede formar?

b) Si elige a dos jugadores y los mantiene fijos, ¿cuántos equipos distintos podrá hacer con los ocho que le quedan?

11 Se van a celebrar elecciones en una comunidad de vecinos y hay que elegir al presidente, al secretario y al tesorero. ¿De cuántas maneras se pueden elegir estos tres cargos, si se presentan ocho candidatos?

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12 Se van a repartir tres regalos entre seis perso-nas. Calcula de cuántas formas se pueden repartir en cada uno de los siguientes casos:a) Los regalos son distintos (una bicicleta, unos pa-

tines y un chándal) y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona.

b) Los regalos son iguales y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona.

c) Los regalos son distintos y puede tocarle más de uno a la misma persona.

13 Los participantes de un concurso tienen que ordenar a ciegas seis tarjetas en las que está escrita cada una de las letras de la palabra premio.a) ¿Cuántas ordenaciones distintas pueden salir?b) Les ofrecen fijar la p en el lugar que le corresponde

y reducir el premio a la mitad. ¿Cuántas ordena-ciones posibles se pueden obtener de esta forma?

14 ¿De cuántas formas pue-den sentarse tres personas en un banco de 5 asientos?¿Y si el banco es de 3 asientos?

15 Estás haciendo la maleta para irte de vacaciones y quieres llevarte cuatro de las ocho camisetas que tie-nes. ¿De cuántas formas las puedes seleccionar?

16 El lenguaje de un ordenador se traduce a se-cuencias de dígitos formados por ceros y unos. Un byte es una de estas secuencias y está formado por 8 dígitos. Por ejemplo: 0 0 1 0 0 0 1 1

¿Cuántos bytes diferentes se pueden formar?


17 El número 75775 está formado por dos cin-cos y tres sietes.

¿Cuáles son los números que podemos formar con dos cincos y tres sietes?

18 En unos almacenes emplean el siguiente có-digo para marcar los artículos:

• La primera cifra indica la sección correspondiente y es un número entre el 1 y el 9.

• Después, hay tres cifras, cada una de ellas del 0 al 9, que corresponden al número del proveedor.

¿Cuántas marcas distintas se pueden hacer?

19 Seis amigos, 3 chicos y 3 chicas, van al cine.¿De cuántas formas pueden sentarse si quieren es-tar alternados?

¿Conoces los agrupamientos combinatorios clásicos (variaciones, permutaciones, combinaciones), las fórmulas para calcular su número y los aplicas a la resolución de problemas?

1 En un examen, el profesor ha puesto 7 problemas, de los que hay que elegir 5.

¿Cuántas elecciones se puede plantear un alumno?

2 ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden hacer con los dígitos 1, 2 y 3?

3 ¿De cuántas formas podemos elegir al delegado y al subdelegado de un curso en el que hay siete candida-tos?

¿Utilizas el diagrama en árbol y otras estrategias para formar o contar agrupaciones siguiendo ciertos cri-terios?

4 Con las letras de la palabra casa, ¿cuántas ordena-ciones, con o sin sentido, podemos formar? Es- críbelas todas.

Autoevaluación

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Aritmética

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Pruebas de evaluaciónEl desarrollo de las competencias básicas es uno de los grandes retos de todas las etapas en la educación obligatoria. Contribuir decisivamente a este desarrollo es uno de los objetivos fundamentales de nuestro pro-yecto.

Para ello, ponemos a disposición del profesorado estas pruebas de evaluación por bloques de contenidos, de manera que los docentes puedan comprobar el progre-so de cada estudiante.

Nuestro proyecto propone, además, un Generador de Evaluaciones con el que podrá obtener pruebas para evaluar cada unidad individualmente o junto con otras unidades. Incluye también una prueba de evaluación inicial, para evaluar los preconceptos de sus estudian-tes en relación con los contenidos del curso, y una prue-ba de evaluación final, con la que podrá comprobar el grado de adquisición de los contenidos de la materia.

Evaluación


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Aritmética y álgebra

1 Clasifica los siguientes números según pertenezcan a los conjuntos N, Z, Q y Á:

–2; 7/4; √2; 5,43; 13; π; 0; 3√–4; 1 – √3

2 El programa estadístico de una empresa de medición de audiencia arroja la cifra de 3 283 252 telespectadores para cierto partido de fútbol.

Expresa esa cantidad con un número adecuado de cifras significativas y calcula co-tas del error absoluto y del error relativo.

3 Expresa en notación científica y calcula:

350 000 · 0,00015132 · 104

4 Expresa como potencia y efectúa: 15√a10 :

12√a8

5 Extrae factores del radical: 3√16a6

6 Reduce: 3√50 + 4√18 – 5√8

7 Halla el cociente y el resto de la siguiente división: (x3 – 5x2 + 3x – 2) : (x2 – 2x)

8 Factoriza el polinomio siguiente: 2x3 – 12x2 + 18x

9 Calcula el valor de k para que el polinomio x4 + 2x2 + kx – 10 sea divisible por x + 2.

10 Simplifica: x2 – 2xx2 – 5x + 6

11 Efectúa:

a) xx – 3 – 2

x b) ( x2

– 3x ) · 2x

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a) x – √25 – x2 = 1 b) 1x + x = 5

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Aritmética y álgebra

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13 Un inversor tiene 50 000 €. Coloca una parte al 3% y el resto al 5%. En un año obtie-ne un beneficio de 1 800 €. Calcula el valor de cada parte.

14 Resuelve las inecuaciones siguientes y expresa el resultado en forma de intervalo:

a) –2x2 – x + 3 ≥ 0 b) x – 3 < 2x +

1

{ 5 – 2x > 3x

15 ¿Cuántos litros de aceite de 2,60 €/l, tenemos que mezclar con 10 l de otro de 4 €/l para que el precio de la mezcla sea inferior a 3 €/l?

16 Una parcela rectangular tiene una superficie de 2 000 m2. Para remodelar la urbani-zación, ampliando las calles, se le expropian 5 m a lo ancho y 2 m a lo largo, con lo que la superficie queda reducida a 1 680 m2. ¿Cuáles eran las dimensiones origina-les de la parcela?

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Funciones

1 Esta gráfica representa la distancia de una madre avestruz al nido donde es-tán los huevos que incuba, desde las 12:05 hasta las 12:21.

a) ¿Cuánto tiempo, en total, está se-parada de los huevos?

b) ¿A qué distancia máxima se ha ale-jado? ¿A qué hora del día ha ocu-rrido eso?

c) Escribe los intervalos de tiempo en los que la función crece y en los que decrece. ¿Qué significan?

d) ¿En qué intervalo se ha acercado más rápido al nido? ¿Por qué crees que ha ocurrido esto?

2 Determina, de la siguiente gráfica, estas ca-racterísticas: dominio, recorrido, máximos, mí-nimos, intervalos de crecimiento y de decreci-miento, puntos de corte con los ejes y puntos de discontinuidad.

3 Calcula el dominio de definición de cada una de estas funciones:

a) y = √x – 3 b) y = 1x2 – 6x + 5

c) y = √x2 – 4 d) El área, A(x) de un cuadrado de lado x.

4 Observa la función periódica representada.

a) Halla su periodo.

b) Calcula el valor de la función en:x = 4, x = 6, x = 10, x = 21 y x = 50.

c) Halla la T.V.M. de la función en los interva-los [4, 6] y [6, 10].

5 Representa la siguiente función definida a trozos:

x2 + 3x – 2 si x < 0

y = { 2x – 2 si 0 ≤ x ≤ 2

3 – x2

si x > 2

5 10 15

10

DISTANCIA AL NIDO (m)

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(min)21

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Funciones

6 Representa las siguientes funciones:

a) y = x2 + 6x – 5 b) y = 2x2 – 1 c) y = x2

3 + 4x

d) y = 1x – 3

e) y = 2x + 1

f) y = 1x – 2

+ 3

g) y = √x + 5 h) y = –2√x – 1 i) y = 2x

7 Halla el valor de cada una de las siguientes expresiones con logaritmos:

a) log2 8 b) log3 81 c) log2 0,0625 d) log3 1243

e) log4 64 f) log 1 000 g) log 0,0001 h) log5,62 1

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Geometría

1 Los catetos del triángulo rectángulo ABC miden AB = 21 cm y AC = 28 cm.

Desde el punto D, tal que AD = 9 cm, se traza una paralela a AC.

Halla el perímetro y el área del trapecio ADEC.

2 Queremos hacer una maqueta, a escala 1:500, de una torre cilíndrica cuya altura es 180 m y el área de su base mide 2 000 m2. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta?

3 Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 9 cm, y su proyección sobre la hipotenusa, 5,4 cm. Calcula el perímetro y el área del triángulo.

4 La altura de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 9 cm. Los lados de sus bases miden 6 cm y 14 cm. Halla su volumen.

5 Calcula la medida de los ángulos de un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 9 m y 16 m.

6 Dibuja dos ángulos cuyo seno sea 4/5, y halla su coseno y su tangente.

7 Halla la altura sobre el lado AC y el área del triángulo.

8 Para hallar la altura de una antena, medimos desde al punto A el ángulo de elevación y obtenemos 58°. Nos alejamos 50 m y el nuevo ángulo de ele-vación es de 42°. ¿Cuál es la altura de la antena?

B

CA

D E

B

CA30º

48 cm

20 c

m

A B

58º 42º

50 m

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Geometría

9 a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vec-tores u8 y v8?

b) Dibuja u8 + v8 y u8 – v8 y di cuáles son sus coordenadas.

10 Representa el triángulo cuyos vértices son A(–3, 1), B(1, 2) y C(5, 0) y calcula:

a) La ecuación del lado AC.

b) El punto medio de BC.

c) La longitud del lado AB.

11 Dada la recta r: 3x + y – 2 = 0, halla una recta pararela a r y otra perpendicular a r que pasen por el punto A(–3, 1).

12 Estudia, en cada caso, la posición relativa de las rectas:

4x – 2y + 1 = 0 y – 5 = 0a)

{ y = 2x – 3 b)

{ 3x + 2 = 0

u8

v8

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Estadística y probabilidad

1 Antonio y Teresa juegan a los bolos todas las semanas. Han ido apuntado el número de strikes que hace, por partida, cada uno. Estos son los resultados:

• Antonio: 1, 3, 3, 2, 4, 5, 4, 7, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 3, 4.

• Teresa: 2, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 7, 3, 4, 2, 3, 3, 5, 6, 4.

Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de cada uno, y determina quién de ellos es más regular.

2 Anastasia está haciendo un estudio sobre las longitudes de los espárragos de su huerta y los diámetros de las nueces de su nogal. Ha tomado una muestra de 20 espárragos y 20 nueces, y ha obtenido los siguientes datos:

LONGITUDES, EN cm, DE LOS ESPÁRRAGOS

21,3 20,4 23 22,5

18,9 22,7 24,1 23,4

21,9 22,3 26,2 21,7

22,1 23,8 20,4 19,6

19,8 20,9 22 21,5

DIÁMETROS, EN cm, DE LAS NUECES

3,2 3,4 2,8 4,1

2,4 4,2 2,9 2,3

5,2 1,7 2,2 2,1

5,1 4,3 3,8 4,9

5,2 2,7 1,9 5,3

a) Construye una tabla de frecuencias con los intervalos 17-19-21-23-25-27 para los espárragos y los intervalos 1-2-3-4-5-6 para las nueces.

b) Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de cada distri-bución.

c) ¿Cuál de las dos distribuciones es más dispersa?

3 El número de antenas que hay en cada uno de los 14 bloques de una urbanización viene dado por la siguiente distribución: 12, 8, 8, 9, 11, 9, 11, 10, 9, 8, 10, 11, 12, 13.

a) Ordena los datos y calcula la mediana y los cuartiles.

b) Halla los percentiles p60, p80 y p95.

c) Dibuja el diagrama de caja.

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4 Calcula las siguientes probabilidades:

a) Al extraer una carta de una baraja de 40: P[AS], P[OROS], P[AS DE OROS], P[FIGURA], P[MAYOR QUE 4].

b) Al lanzar un dado de parchís: P[1], P[5], P[NÚMERO PAR], P[NÚMERO PRIMO], P[MENOR QUE 5].

c) Al extraer una pieza del ajedrez: P[NEGRA], P[BLANCA], P[PEÓN], P[TORRE], P[REY], P[PEÓN NEGRO], P[ALFIL BLANCO]. (Recuerda que en un ajedrez hay las mismas pie-zas negras que blancas, y que de cada color hay 8 peones, 2 torres, 2 caballos, 2 alfiles, un rey y una reina.)

5 Extraemos una bola de esta urna, apuntamos la letra y la dejamos donde estaba. Volvemos a extraer una bola de la misma urna.

A

A

BB

CC C

D

E E

a) Halla estas probabilidades:

• P[1.a A Y 2.a B] • P[A Y B]

• P[LAS DOS E] • P[ALGUNA A]

• P[NINGUNA C] • P[LAS DOS D]

b) Vuelve a calcular las probabilidades en el caso de que después de extraer la pri-mera bola, esta no se devuelva a la urna.

6 Extraemos una carta de una baraja de 40 cartas. Si sale figura (sota, caballo o rey), lanzamos un dado con 12 caras numeradas de 1 a 12; si no, lanzamos un dado de parchís. Calcula estas probabilidades:

a) P[10] b) P[1] c) P[LANZAR EL DADO DE PARCHÍS]

7 En una empresa hay jefes, empleados y becarios, unos son menores de 30 años, otros tienen entre 30 y 50 años, y los demás son mayores de 50 años. Observa cómo se distribuyen según esta tabla de contingencia:

MENORES DE 30 ENTRE 30 Y 50 MAYORES DE 50 TOTAL

JEFES 1 3 7 10

EMPLEADOS 9 42 24 75

BECARIOS 12 3 0 15

TOTAL 22 48 31 100

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Calcula estas probabilidades:

a) P[EMPLEADO] b) P[MAYOR DE 50]

c) P[JEFE MENOR DE 30] d) P[BECARIO MAYOR DE 50]

e) P[ENTRE 30 Y 50] f ) P[MENOR DE 30]

g) P[MENOR DE 30 / JEFE] h) P[JEFE / MAYOR DE 50]

i) P[MENOR DE 30 / BECARIO] j) P[ENTRE 30 Y 50 / EMPLEADO]

k) P[EMPLEADO / MENOR DE 30] l) P[JEFE O BECARIO / MENOR DE 30]

8 En la final de la copa hay dos equipos de 11 jugadores y 5 árbitros. Cada uno de los jugadores de un equipo debe dar la mano a los del otro y a los árbitros. ¿Cuántos apretones de mano se dan antes de empezar el partido?

9 Resuelve los siguientes problemas de combinatoria:

a) Voy a invitar al parque de atracciones a tres de mis diez mejores amigos. ¿De cuántas formas puedo elegirlos?

b) Un día puede ser soleado, nublado o lluvioso. ¿Cuántos tipos de resultados pue-den darse en una semana?

c) En un parque acaban de entrar diez bomberos nuevos. ¿De cuántas formas puedo elegir al conductor y al de la escalera?

d) De las cinco asignaturas que me tocan hoy, ¿de cuántas formas pueden repartirse a lo largo de la mañana?

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SOLUCIONES

Aritmética y álgebra1 N: 13,0

Z: –2; 13; 0

Q: –2; 13; 0; 7/4; 5,43

Á: –2; 7/4; √2; 5,43; 13; π; 0; 3√–4; 1 – √3

2 3 300 000 espectadores.

Error absoluto < 50 000

Error relativo < 50 000/3 300 000 < 0,015

3 3,5 · 105 · 1,5 · 10–4

1,32 · 106 = 3,98 · 10–5

4 a2/3: a2/3 = 1

5 2a2 3√2

6 17 √2

7 Cociente: x – 3 Resto: –3x – 2

8 2x(x – 3)2

9 k = 7

10 xx – 3

11 a) x2 – 2x + 6x2 – 3x

b) x2 + 63

12 a) x = 4 b) x = 2; x = 1/2

13 Colocó 35 000 € al 3% y 15 000 € al 15%.

14 a) [–3/2, 1] b) (–4, 1)

15 Hay que añadir más de 25 litros.

16 Hay dos soluciones:

— Largo: 50 m. Ancho: 40 m.

— Largo: 16 m. Ancho: 125 m.

Funciones1 a) Se separa 13 minutos de los huevos.

b) A 90 m. A las 12:11.

c) Intervalos de crecimiento:

(12:06, 12:07); (12:08, 12:09); (12:10, 12:11); (12:11:30, 12:11:45); (12:13, 12:17)

En estos intervalos se aleja de sus huevos.

Intervalos de decrecimiento: (12:11, 12:11:30); (12:11:45, 12:12),

(12:17, 12:18); (12:19, 12:20) En estos intervalos se acerca a sus huevos. d) En el intervalo (12:11, 12:11:30). Porque

persigue a un animal que intenta robarle los huevos.

2 Dominio: [–8, 8]. Recorrido: [–3, 3]. Máximos: (–5, 3), (1, 3), (7, 2). Mínimos: (–8, –2), (–2, –3), (4, –2), (8, –1). Intervalos de crecimiento: (–8, –5), (–2, 1), (4, 7). Intervalos de decreci-miento: (–5, –2), (1, 4), (7, 8). Puntos de corte con los ejes: con el eje X son (–7, 0), (–3, 0), (–0,5; 0), (3, 0), (6, 0), (7,7; 0) y con el eje Y es (0, 1). Punto de discontinuidad: la función es discontinua en x = 1.

3 a) Dominio = [3, +@)

b) Dominio = (–@, 1) « (1, 5) « (5, +@) = = Á – {1, 5}

c) Dominio = (–@, –2] « [2, +@)

d) Dominio = (0, +@)

4 a) Periodo = 8

b) f(4) = 1; f(6) = –3; f(10) = 3; f(21) = f(5) = = 1; f(50) = f(2) = 3

c) T.V.M. [4, 6] = f(6) – f(4)6 – 4

= –42

= –2

T.V.M. [6, 10] = f(10) – f(6)10 – 6

= 64

= 32

5

X

Y

1

1

6

X

Y

2

2

a)

X

Y

1

1

b)

X

Y

2

2–6

c)

–12

d) Y

1 1

3 X

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SOLUCIONES

7 Altura = 10 cm. Área = 240 cm2.

8 Altura = 102,9 m.

9 a) u8 (–3, 0); v8 (4, 2)

b)

10 a) AC : x + 8y – 5 = 0

b) M (3, 1)

c) |A8

B| = √17 u

11 Paralela: 3x + y + 8 = 0.

Perpendicular: x – 3y + 6 = 0.

12 a) Pararelas.

b) Se cortan en el punto (– 23

, 5).

v8 v8

– v8

u +8

v8u –

8

u8

u8

1

1–1

BA

C

M

Estadística y probabilidad1 Antonio: x = 61

16 = 3,81; q = 1,33;

C.V. = 1,333,81

= 0,35

Teresa: x = 6816

= 4,25; q = 1,39;

C.V. = 1,394,25

= 0,33

Es más regular Teresa que Antonio.

2 a)

DIÁMETROS DE LAS NUECES

INTERVALOS MARCAS DE CLASE FRECUENCIAS

1-2 1,5 2

2-3 2,5 7

3-4 3,5 3

4-5 4,5 4

5-6 5,5 4

LONGITUDES DE LOS ESPÁRRAGOS

INTERVALOS MARCAS DE CLASE FRECUENCIAS

17-19 18 1

19-21 20 5

21-23 22 9

23-25 24 4

25-27 26 1

e) Y

1

1 X

f) Y

1

3

1

2X

g) Y

X1

1

h) Y

X1

–1

i)

4–4

5

10

Y

X

7 a) 3 b) 4 c) –4 d) –5

e) 3 f ) 3 g) –4 h) 0

Geometría

1 Perímetro = 64 cm. Área = 180 cm2.

2 Altura maqueta = 36 cm.

Área base maqueta = 80 cm2.

3 Perímetro = 36 cm. Área = 54 cm2.

4 V = 948 cm3

5 a = 29° 21' 28''

b = 60° 38' 32''

6 ìAOB = a

cos a = 0,6

tg a = 1,3)

ìAOC = b

cos b = –0,6

tg b = –1,3)

u8 + v8 = (1, 2) u8 – v8 = (–7, –2)

A

BC

0

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SOLUCIONES

b) P[1.a A Y 2.a B] = 2/10 · 2/9 = 4/90 = 2/45

P[A Y B] = 2/45 + 2/45 = 4/45

P[LAS DOS E] = 2/10 · 1/9 = 2/90 = 1/45

P[ALGUNA A] = 1 – P[NINGUNA A] = 1 – (8/10 · · 7/9) = 1 – 56/90 = 34/90 = 17/45

P[NINGUNA C] = 7/10 · 6/9 = 63/90 = 7/10

P[LAS DOS D] = 0

6 a) P[10] = 3/10 · 1/12 = 3/120 = 1/40

b) P[1] = 3/10 · 1/12 + 7/10 · 1/6 = 1/40 + 7/60 = = 17/120

c) P[LANZAR EL DADO DE PARCHIS] = 7/10

7 a) P[EMPLEADO] = 75/100 = 3/4

b) P[MAYOR DE 50] = 31/100

c) P[JEFE MENOR DE 30] = 1/100

d) P[BECARIO MAYOR DE 50] = 0

e) P[ENTRE 30 Y 50] = 48/100 = 12/25

f ) P[MENOR DE 30] = 22/100 = 11/50

g) P[MENOR DE 30 / JEFE] = 1/10

h) P[JEFE / MAYOR DE 50] = 7/31

i ) P[MENOR DE 30 / BECARIO] = 12/15 = 4/5

j ) P[ENTRE 30 Y 50 / EMPLEADO] = 42/75 = 14/25

k) P[EMPLEADO / MENOR DE 30] = 9/22

l ) P[JEFE O BECARIO / MENOR DE 30] = 13/22

8 Entre los jugadores se dan 11 · 11 = 121 apretones. Todos los árbitros dan 5 · 22 = = 110 apretones. Por tanto, se dan 121 + 110 = = 231 apretones de mano.

9 a) C10, 3 = V10, 3

P3 = 10 · 9 · 8

3 · 2 · 1 = 120

b) VR3, 7 = 37 = 2 187

c) V10, 2 = 10 · 9 = 90

d) P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

b) Espárragos: x = 43820

= 21,9; q = 1,84;

C.V. = 1,8421,9

= 0,08

Nueces: x = 7120

= 3,55; q = 1,32;

C.V. = 1,323,55

= 0,37

c) La distribución más dispersa es la de las nueces, aunque parezca, por la desvia-ción típica, que es mayor la de los espá-rragos.

3 a) Datos ordenados: 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13

Me = 10; Q1 = 9; Q3 = 11

b) p60 = 11; p80 = 12; p95 = 13

c)

4 a) P[AS] = 4/40 = 1/10; P[OROS] = 10/40 = 1/4; P[AS DE OROS] = 1/40; P[FIGURA] = 12/40 = = 3/10; P[MAYOR QUE 4] = 24/40 = 3/5

b) P[1] = 1/6; P[5] = 1/6; P[NÚMERO PAR] = = 3/6 = 1/2; P[NÚMERO PRIMO] = 3/6 = 1/2; P[MENOR QUE 5] = 4/6 = 2/3

c) P[NEGRA] = 1/2; P[BLANCA] = 1/2; P[PEÓN] = = 16/32 = 1/2; P[TORRE] = 4/32 = 1/8; P[REY] = 2/32 = 1/16; P[PEÓN NEGRO] = = 8/32 = 1/4; P[ALFIL BLANCO] = 2/32 = 1/16

5 a) P[1.a A Y 2.a B] = 2/10 · 2/10 = 4/100 = 1/25

P[A Y B] = P[1.a A y 2.a B] + P[1.a B y 2.a A] = = 1/25 + 1/25 = 2/25

P[LAS DOS E] = 2/10 · 2/10 = 4/100 = 1/25

P[ALGUNA A] = 1 – P[NINGUNA A] = 1 – (8/10 · · 8/10) = 1 – 64/100 = 36/100 = 9/25

P[NINGUNA C] = 7/10 · 7/10 = 49/100

P[LAS DOS D] = 1/10 · 1/10 = 1/100

8 9 10 11 12 13

Registros de evaluaciónSe ofrecen dos tipos de registros: el informe indivi-dualizado de evaluación recoge los criterios de eva-luación y las competencias trabajadas en un conjunto de unidades. Le facilitará la elaboración de informes personalizados para anotar los criterios y las compe-tencias superadas o pendientes. El registro de evalua-ción por competencias para el aula, de un conjunto de unidades, le ayudará en el seguimiento de la evo-lución personal y colectiva de cada grupo de alumnos.

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CRITERIOS DE EVALUACIÓN

UNIDAD 1 NÚMEROS REALES

1.1. Domina la expresión decimal de un número o una cantidad y calcula o acota los errores absoluto y relativo en una aproximación.

1.2. Realiza operaciones con cantidades dadas en notación científica y controla los errores cometidos (sin calculadora).

1.3. Usa la calculadora para anotar y operar con cantidades dadas en notación científica, y controla los errores cometidos.

2.1. Clasifica números de distintos tipos.

2.2. Conoce y utiliza las distintas notaciones para los intervalos y su representación gráfica.

3.1. Utiliza la calculadora para el cálculo numérico con potencias y raíces.

3.2. Interpreta y simplifica radicales.

3.3. Opera con radicales.

3.4. Racionaliza denominadores.

4.1. Maneja con destreza expresiones irracionales que surjan en la resolución de problemas.

UNIDAD 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

1.1. Realiza sumas, restas y multiplicaciones de polinomios.

1.2. Divide polinomios, pudiendo utilizar la regla de Ruffini si es oportuno.

1.3. Resuelve problemas utilizando el teorema del resto.

1.4. Factoriza un polinomio con varias raíces enteras.

2.1. Simplifica fracciones algebraicas.

2.2. Opera con fracciones algebraicas.

3.1. Expresa algebraicamente un enunciado que dé lugar a un polinomio o a una fracción algebraica.

UNIDAD 3 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

1.1. Resuelve ecuaciones de segundo grado y bicuadradas.

1.2. Resuelve ecuaciones con radicales y ecuaciones con la incógnita en el denominador.

1.3. Reconoce la factorización como recurso para resolver ecuaciones.

1.4. Formula y resuelve problemas mediante ecuaciones.

2.1. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales.

2.2. Resuelve sistemas de ecuaciones no lineales.

2.3. Formula y resuelve problemas mediante sistemas de ecuaciones.

3.1. Resuelve e interpreta gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con unaincógnita.

3.2. Resuelve e interpreta inecuaciones no lineales con una incógnita.

3.3. Formula y resuelve problemas mediante inecuaciones o sistemas de inecuaciones.


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Evaluación Aritmética y álgebraInforme individualizado de evaluación Informe individualizado de evaluación

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Evaluación Aritmética y álgebraInforme individualizado de evaluación Informe individualizado de evaluación

COMPETENCIAS/INDICADORES DE SEGUIMIENTOMATEMÁTICA

Reconoce los distintos conjuntos de números.

Aproxima números como ayuda para la explicación de fenómenos.

Opera con números reales para resolver distintos tipos de problemas.

Opera con polinomios sin dificultad, y explica con claridad los nuevos procesos aprendidos.

Opera con fracciones algebraicas sin dificultad.

Domina el uso del lenguaje algebraico para modelizar situaciones matemáticas.

Resuelve, sin dificultad, sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones.

COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA

Extrae información numérica de un texto dado.

Conoce la relación entre los distintos conjuntos de números y la explica de forma clara y concisa.

Entiende enunciados para resolver ejercicios.

Expresa procedimientos matemáticos de una forma clara y concisa.

Entiende el lenguaje algebraico como un lenguaje con estructuras y características propias.

CONOCIMIENTO E INTERACCIÓN CON EL MUNDO FÍSICO

Identifica distintos tipos de números y el uso cotidiano que hacemos de ellos.

Domina la notación científica y el manejo de errores para describir fenómenos de nuestra realidad.

Reconoce la presencia de las matemáticas en la naturaleza.

Utiliza el lenguaje algebraico para modelizar situaciones del mundo físico.

Aplica sus conocimientos sobre sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones para resolver proble-mas cotidianos.

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y COMPETENCIA DIGITAL

Usa la calculadora como herramienta que facilita los cálculos.

Utiliza internet para reforzar y avanzar en su aprendizaje.

Maneja la calculadora para trabajar con polinomios.

SOCIAL Y CIUDADANA

Valora la aportación de otras culturas al desarrollo de las matemáticas.

CULTURAL Y ARTÍSTICA

Contempla los números y los sistemas de numeración como una conquista cultural de la humanidad.

Reconoce el componente artístico de las matemáticas.

Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del lenguaje algebraico.

APRENDER A APRENDER

Es consciente del desarrollo de su propio aprendizaje.

Valora el aprendizaje de razonamientos matemáticos como fuente de conocimientos futuros.

Autoevalúa los conocimientos adquiridos sobre números y álgebra.

DESARROLLO DE LA AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL Y COMPETENCIA EMOCIONAL

Analiza procesos matemáticos relacionados con números.

Decide, ante un problema planteado, qué procedimiento de los aprendidos es el más válido.

Utiliza sus conocimientos matemáticos para resolver problemas.

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UNIDAD 4 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

1.1. Dada una función representada por su gráfica, estudia sus características más relevantes (dominio de definición, recorrido, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad...).

1.2. Representa una función de la que se dan algunas características especialmente relevantes.

1.3. Asocia un enunciado con una gráfica.

1.4. Representa una función dada por su expresión analítica obteniendo, previamente, una tabla de valores.

1.5. Halla la TVM en un intervalo de una función dada gráficamente, o bien mediante su expresión analítica.

1.6. Responde a preguntas concretas relacionadas con continuidad, tendencia, periodicidad, crecimiento... de una función.

UNIDAD 5 FUNCIONES ELEMENTALES

1.1. Representa una función lineal a partir de su expresión analítica.

1.2. Obtiene la expresión analítica de una función lineal conociendo su gráfica o alguna de sus caracterís-ticas.

1.3. Representa funciones definidas “a trozos”.

1.4. Da la expresión analítica de una función definida “a trozos” dada gráficamente.

2.1. Representa una parábola a partir de la ecuación cuadrática correspondiente.

2.2. Asocia curvas de funciones cuadráticas a sus expresiones analíticas.

2.3. Escribe la ecuación de una parábola conociendo su representación gráfica en casos sencillos.

2.4. Estudia conjuntamente las funciones lineales y las cuadráticas (funciones definidas “a trozos”, inter-sección de rectas y parábolas).

3.1. Asocia curvas a expresiones analíticas (proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales y logaritmos).

3.2. Maneja con soltura las funciones de proporcionalidad inversa y las radicales.

3.3. Maneja con soltura las funciones exponenciales y las logarítmicas.

3.4. Resuelve problemas de enunciado relacionados con distintos tipos de funciones.

4.1. Calcula logaritmos a partir de la definición y de las propiedades de las potencias.


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Evaluación FuncionesInforme individualizado de evaluación Informe individualizado de evaluación

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ado.

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Evaluación FuncionesInforme individualizado de evaluación Informe individualizado de evaluación


Interpreta funciones dadas en forma de tabla o mediante su expresión analítica.

Domina todos los elementos que intervienen en el estudio de las funciones y su representación gráfica (dominio, continuidad, crecimiento…).

Comprende qué implica la linealidad de una función entendiendo esta como una modelización de la realidad.

Domina los distintos tipos de funciones estudiados (cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales y logarítmicas), sus correspondientes gráficas y las situaciones que modelizan.


Extrae información de un texto dado.

Utiliza los términos apropiados al trabajar en el análisis de funciones.

Entiende un texto con el fin de poder resumir su información mediante una función y su gráfica.

Entiende los enunciados de los ejercicios.



Extrae toda la información presente en una función.

Aplica sus conocimientos sobre funciones para entender y resolver problemas cotidianos.


Utiliza internet para reforzar, ampliar y avanzar en sus conocimientos.

Maneja la calculadora con soltura para comprobar datos.

SOCIAL Y CIUDADANA

Analiza fenómenos de la vida real mediante su representación gráfica.

Domina las representaciones gráficas para entender informaciones dadas de este modo.

Reconoce la utilidad de las funciones para modelizar y estudiar fenómenos cotidianos.


Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del estudio de las funciones.

Descubre el componente lúdico de las matemáticas.

APRENDER A APRENDER

Utiliza sus conocimientos para resolver problemas.

Es consciente de la utilidad de sus conocimientos para trabajar con funciones.

Domina los contenidos fundamentales sobre funciones.

Autoevalúa los conocimientos adquiridos sobre funciones.


Utiliza sus conocimientos para asimilar y reforzar nuevos contenidos.


Utiliza la lógica y sus conocimientos matemáticos para analizar gráficas de fenómenos de la vida real.

Analiza fenómenos físicos mediante su representación gráfica.

Resuelve un problema dado creando una función que lo describa.

Elige el procedimiento más adecuado para resolver problemas.

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Evaluación GeometríaInforme individualizado de evaluación Informe individualizado de evaluación


UNIDAD 6 LA SEMEJANZA. APLICACIONES

1.1. Maneja los planos, los mapas y las maquetas (incluida la relación entre áreas y volúmenes de figuras semejantes).

1.2. Aplica las propiedades de la semejanza a la resolución de problemas en los que intervengan cuerpos geométricos.

1.3. Aplica los teoremas del cateto y de la altura a la resolución de problemas.

UNIDAD 7 TRIGONOMETRÍA

1.1. Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, conociendo los lados de este.

1.2. Conoce las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de los ángulos más significativos (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).

1.3. Obtiene una razón trigonométrica de un ángulo agudo a partir de otra, aplicando las relaciones funda-mentales.

1.4. Obtiene una razón trigonométrica de un ángulo cualquiera conociendo otra y un dato adicional.

1.5. Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera dibujándolo en la circunferencia goniomé-trica y relacionándolo con alguno del primer cuadrante.

2.1. Resuelve triángulos rectángulos.

2.2. Resuelve triángulos oblicuángulos mediante la estrategia de la altura.

UNIDAD 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

1.1. Halla el punto medio de un segmento.

1.2. Halla el simétrico de un punto respecto de otro.

1.3. Halla la distancia entre dos puntos.

1.4. Relaciona una circunferencia (centro y radio) con su ecuación.

2.1. Obtiene la intersección de dos rectas definidas en algunas de sus múltiples formas.

2.2. Resuelve problemas de paralelismo y perpendicularidad.

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Evaluación GeometríaInforme individualizado de evaluación Informe individualizado de evaluación


Domina la semejanza y la utiliza para resolver problemas.

Razona los pasos que conducen a establecer las relaciones trigonométricas fundamentales.

Calcula las razones trigonométricas de un ángulo y utiliza las relaciones trigonométricas fundamentales, cuando es preciso.

Utiliza correctamente la trigonometría para resolver problemas geométricos.

Opera gráfica y analíticamente con vectores, sin dificultad.

Encuentra la ecuación de una recta y domina los conceptos de paralelismo y perpendicularidad.

Entiende y halla las posibles posiciones de dos rectas.

Utiliza los conceptos, los procedimientos y la terminología de la geometría analítica con propiedad.


Extrae información geométrica de un texto dado.

Comprende los enunciados de los problemas y extrae la información necesaria para resolverlos.


Aprende los nuevos términos referentes a la geometría y los utiliza correctamente.


Reconoce la ayuda de la geometríia para manejarse en el mundo físico y resolver problemas en diversos ámbitos.

Es consciente de la contribución de la geometría al desarrollo de otras ciencias.

Reconoce la utilidad de las matemáticas para modelizar y estudiar fenómenos de la vida cotidiana y como herramienta para trabajar en otros campos.


Utiliza internet para poner al día sus conocimientos y avanzar en su aprendizaje.

Utiliza con agilidad la calculadora para obtener razones o ángulos.

SOCIAL Y CIUDADANA

Toma conciencia de la utilidad de la geometría en multitud de labores humanas.

Utiliza la geometría para resolver problemas de la vida cotidiana.


Valora la aportación de otras culturas al desarrollo de la geometría.

Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del estudio de la geometría.

APRENDER A APRENDER

Domina los contenidos fundamentales de geometría.

Se interesa por ampliar sus conocimientos en la materia.

Valora el aprendizaje de razonamientos matemáticos como fuente de conocimientos futuros.

Autoevalúa los conocimientos adquiridos sobre geometría.



Se adapta a usar distintos métodos para el aprendizaje de los contenidos geométricos.

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UNIDAD 9 ESTADÍSTICA

1.1. Construye una tabla de frecuencias de datos aislados y los representa mediante un diagrama debarras.

1.2. Dado un conjunto de datos y la sugerencia de que los agrupe en intervalos, determina una posible partición del recorrido, construye la tabla y representa gráficamente la distribución.

1.3. Dado un conjunto de datos, reconoce la necesidad de agruparlos en intervalos y, en consecuencia, de-termina una posible partición del recorrido, construye la tabla y representa gráficamente la distribución.

2.1. Obtiene los valores de x– y q a partir de una tabla de frecuencias (de datos aislados o agrupados) y

los utiliza para analizar características de la distribución.

2.2. Conoce el coeficiente de variación y se vale de él para comparar las dispersiones de dos distribuciones.

3.1. A partir de una tabla de frecuencias de datos aislados, construye la tabla de frecuencias acumuladas y, con ella, obtiene medidas de posición (mediana, cuartiles, centiles).

3.2. Construye el diagrama de caja y bigotes correspondiente a una distribución estadística.

3.3. Interpreta un diagrama de caja y bigotes dentro de un contexto.

4.1. Reconoce procesos de muestreo correctos e identifica errores en otros en donde los haya.

UNIDAD 10 CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1.1. Aplica las propiedades de los sucesos y de las probabilidades.

2.1. Calcula probabilidades en experiencias independientes.

2.2. Calcula probabilidades en experiencias dependientes.

2.3. Interpreta tablas de contingencia y las utiliza para calcular probabilidades.

2.4. Resuelve otros problemas de probabilidad.

UNIDAD 11 COMBINATORIA

1.1. Resuelve problemas de variaciones (con o sin repetición).

1.2. Resuelve problemas de permutaciones.

1.3. Resuelve problemas de combinaciones.

1.4. Resuelve problemas de combinatoria en los que, además de aplicar una fórmula, debe realizar algún razonamiento adicional.

2.1. Resuelve problemas en los que conviene utilizar un diagrama en árbol.

2.2. Resuelve problemas en los que conviene utilizar la estrategia del producto.

2.3. Resuelve otros tipos de problemas de combinatoria.

3.1. Aplica la combinatoria para resolver problemas de probabilidades sencillos.

3.2. Aplica la combinatoria para resolver problemas de probabilidad más complejos.


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Evaluación Estadística y probabilidadInforme individualizado de evaluación Informe individualizado de evaluación

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Conoce los parámetros estadísticos y los calcula.

Es consciente de la importancia en la elección de una muestra.

Analiza y saca conclusiones de un conjunto de datos referente a una variable estadística.

Conoce las técnicas básicas de la probabilidad y las utiliza para resolver problemas.

Analiza y saca conclusiones de un conjunto de datos referente a dos o más variables.

Utiliza la combinatoria como herramienta para resolver problemas de probabilidad.

Domina las técnicas de la combinatoria como medio para resolver problemas.


Extrae información de un texto dado.

Entiende los enunciados de los ejercicios.


Utiliza con propiedad la terminología referente a la estadística, a la probabilidad y a la combinatoria


Valora la estadística como medio para describir y analizar multitud de procesos del mundo físico.

Utiliza las técnicas de la probabilidad para describir fenómenos del mundo físico.

Valora la combinatoria como medio para describir y analizar diferentes situaciones del mundo físico.


Utiliza internet para revisar, reforzar y ampliar sus conocimientos.

Muestra interés por utilizar herramientas informáticas que permitan trabajar con datos estadísticos.

SOCIAL Y CIUDADANA

Domina los conceptos de la estadística como medio para analizar críticamente ciertas informaciones.

Domina los conceptos de la probabilidad como medio para analizar críticamente ciertas informaciones.

Domina los conceptos de la combinatoria como medio para analizar la información críticamente.


Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del estudio de la estadística.

Valora las aportaciones de culturas pasadas al desarrollo de la probabilidad.

Valora las aportaciones de culturas pasadas al desarrollo de la combinatoria.

APRENDER A APRENDER

Domina los contenidos fundamentales.


Valora su aprendizaje como fuente de conocimientos futuros.

Autoevalúa sus conocimientos sobre estadística, probabilidad y combinatoria.



Valora los conocimientos estadísticos adquiridos como medio para interpretar la realidad.

Aprende procedimientos matemáticos que se pueden adaptar a distintos problemas.


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Evaluación Estadística y probabilidadInforme individualizado de evaluación Informe individualizado de evaluación

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EVALUACIÓN ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

REGISTRO DE EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS PARA EL AULA

MATEMÁTICACOMUNICACIÓN

LINGÜÍSTICACONOCIMIENTO DEL

MUNDO FÍSICOTTATAMIENTO DE LA

INF. Y C. DIGITALSOC. YCIUD.

CULTURAL YARTÍSTICA

APRENDER A APRENDER

INICIATIVA PERSONALY C. EMOCIONAL

NOMBRE Rec

onoc

e lo

s di

stin

tos

conj

unto

s de

núm

eros

.

Apro

xim

a nú

mer

os

com

o ay

uda

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la e

xplic

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n de

fen

ómen

os.

Ope

ra c

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ra r

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dis

tinto

s pr

oble

mas

.

Ope

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omio

s y

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frac

cio-

nes

alge

brai

cas

sin

dific

ulta

d.

Dom

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el u

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aje

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-br

aico

par

a m

odel

izar

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acio

nes.

Res

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e, s

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ltad,

sis

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as

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cuac

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y

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e-m

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e in

ecua

cion

es.

Extr

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form

ació

n nu

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ica

de u

n te

xto

dado

.

Entie

nde

enun

ciad

os p

ara

reso

lver

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cios

.

Expr

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proc

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ient

os m

atem

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ncis

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Entie

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ras

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ticas

pro

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.

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.

Rec

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la n

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eliz

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.

Aplic

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Usa

la

ca

lcul

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Man

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Valo

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ión

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la h

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.

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com

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Es c

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arro

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opio

apr

endi

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.

Valo

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mie

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lo

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MUNDO FÍSICOTTATAMIENTO DE LA

INF. Y C. DIGITALSOC. YCIUD.

CULTURAL YARTÍSTICA

APRENDER A APRENDER

INICIATIVA PERSONALY C. EMOCIONAL

NOMBRE Rec

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78

EVALUACIÓN FUNCIONES



LINGÜÍSTICACON. DEL M. FÍSICO

T. INF.Y C. DIG.

SOCIAL YCIUDADANA

CULT. YARTÍSTICA

APRENDER A APRENDER

IN. PERSONALY C. EMOCIONAL

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Extr

ae

info

rmac

ión

de

un

text

o da

do.

Util

iza

los

térm

inos

apr

opia

dos

al

trab

ajar

en

el a

nális

is d

e fu

ncio

-ne

s.

Entie

nde

un t

exto

con

el fin

de

po-

der r

esum

ir su

info

rmac

ión

med

ian-

te u

na f

unci

ón y

su

gráf

ica.

Entie

nde

los

enun

ciad

os

de

los

ejer

cici

os.

Expr

esa

proc

edim

ient

os m

atem

áti-

cos

de u

na f

orm

a cl

ara

y co

ncis

a.

Extr

ae t

oda

la i

nfor

mac

ión

pres

en-

te e

n un

a fu

nció

n.

Aplic

a su

s co

noci

mie

ntos

so

bre

func

ione

s pa

ra e

nten

der

y re

solv

er

prob

lem

as c

otid

iano

s.

Util

iza

inte

rnet

par

a av

anza

r en

sus

co

noci

mie

ntos

.

Man

eja

la c

alcu

lado

ra c

on s

oltu

ra

para

com

prob

ar d

atos

.

Valo

ra la

apo

rtac

ión

de o

tras

cul

tu-

ras

al d

esar

rollo

de

las

mat

emát

i-ca

s.

Anal

iza

fenó

men

os r

eale

s m

edia

n-te

su

repr

esen

taci

ón g

ráfic

a.

Dom

ina

las

repr

esen

taci

ones

grá

-fic

as p

ara

ente

nder

inf

orm

acio

nes

dada

s de

est

e m

odo.

Rec

onoc

e la

util

idad

de

las

func

io-

nes

para

mod

eliz

ar y

est

udia

r fe

nó-

men

os d

e la

vid

a co

tidia

na.

Rec

onoc

e la

im

port

anci

a de

otr

as

cultu

ras

en e

l de

sarr

ollo

del

est

u-di

o de

las

func

ione

s.

Des

cubr

e el

com

pone

nte

lúdi

co d

e la

s m

atem

átic

as.

Util

iza

sus

cono

cim

ient

os p

ara

re-

solv

er p

robl

emas

.

Es c

onsc

ient

e de

la u

tilid

ad d

e su

s co

noci

mie

ntos

pa

ra

trab

ajar

co

n fu

ncio

nes.

Dom

ina

los

cont

enid

os f

unda

men

-ta

les

sobr

e fu

ncio

nes.

Auto

eval

úa l

os c

onoc

imie

ntos

ad-

quiri

dos

sobr

e fu

ncio

nes.

Es c

onsc

ient

e de

l des

arro

llo d

e su

pr

opio

apr

endi

zaje

.

Util

iza

sus

cono

cim

ient

os p

ara

asi-

mila

r y

refo

rzar

nue

vos

cont

enid

os.

Util

iza

la l

ógic

a y

sus

cono

cim

ien-

tos

mat

emát

icos

par

a an

aliz

ar g

rá-

ficas

de

fenó

men

os d

e la

vid

a re

al.

Anal

iza

fenó

men

os f

ísic

os m

edia

n-te

su

repr

esen

taci

ón g

ráfic

a.

Res

uelv

e un

pro

blem

a da

do c

rean

-do

una

fun

ción

que

lo d

escr

iba.

Elig

e el

pro

cedi

mie

nto

más

ade

cua-

do p

ara

reso

lver

pro

blem

as.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

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22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

© G

RU

PO

AN

AY

A, S

.A.,

Mat

emát

icas

4.°

B E

SO

. Mat

eria

l fot

ocop

iabl

e au

toriz

ado.

© G

RU

PO

AN

AY

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.A.,

Mat

emát

icas

4.°

B E

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. Mat

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l fot

ocop

iabl

e au

toriz

ado.

79



LINGÜÍSTICACON. DEL M. FÍSICO

T. INF.Y C. DIG.

SOCIAL YCIUDADANA

CULT. YARTÍSTICA

APRENDER A APRENDER

IN. PERSONALY C. EMOCIONAL

NOMBRE Inte

rpre

ta f

unci

ones

dad

as e

n fo

r-m

a de

tab

la o

med

iant

e su

exp

re-

sión

ana

lític

a.

Dom

ina

todo

s lo

s el

emen

tos

que

inte

rvie

nen

en

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estu

dio

de

las

func

ione

s y

su r

epre

sent

ació

n gr

á-fic

a (d

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ontin

uida

d…).

Com

pren

de q

ué i

mpl

ica

la l

inea

li-da

d de

un

a fu

nció

n en

tend

iend

o es

ta c

omo

una

mod

eliz

ació

n de

la

real

idad

.

Dom

ina

los

dist

into

s tip

os d

e fu

n-ci

ones

est

udia

dos

(cua

drát

icas

, de

prop

orci

onal

idad

in

vers

a...

), su

s co

rres

pond

ient

es g

ráfic

as y

las

si-

tuac

ione

s qu

e m

odel

izan

.

Extr

ae

info

rmac

ión

de

un

text

o da

do.

Util

iza

los

térm

inos

apr

opia

dos

al

trab

ajar

en

el a

nális

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ncio

-ne

s.

Entie

nde

un t

exto

con

el fin

de

po-

der r

esum

ir su

info

rmac

ión

med

ian-

te u

na f

unci

ón y

su

gráf

ica.

Entie

nde

los

enun

ciad

os

de

los

ejer

cici

os.

Expr

esa

proc

edim

ient

os m

atem

áti-

cos

de u

na f

orm

a cl

ara

y co

ncis

a.

Extr

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oda

la i

nfor

mac

ión

pres

en-

te e

n un

a fu

nció

n.

Aplic

a su

s co

noci

mie

ntos

so

bre

func

ione

s pa

ra e

nten

der

y re

solv

er

prob

lem

as c

otid

iano

s.

Util

iza

inte

rnet

par

a av

anza

r en

sus

co

noci

mie

ntos

.

Man

eja

la c

alcu

lado

ra c

on s

oltu

ra

para

com

prob

ar d

atos

.

Valo

ra la

apo

rtac

ión

de o

tras

cul

tu-

ras

al d

esar

rollo

de

las

mat

emát

i-ca

s.

Anal

iza

fenó

men

os r

eale

s m

edia

n-te

su

repr

esen

taci

ón g

ráfic

a.

Dom

ina

las

repr

esen

taci

ones

grá

-fic

as p

ara

ente

nder

inf

orm

acio

nes

dada

s de

est

e m

odo.

Rec

onoc

e la

util

idad

de

las

func

io-

nes

para

mod

eliz

ar y

est

udia

r fe

nó-

men

os d

e la

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a co

tidia

na.

Rec

onoc

e la

im

port

anci

a de

otr

as

cultu

ras

en e

l de

sarr

ollo

del

est

u-di

o de

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func

ione

s.

Des

cubr

e el

com

pone

nte

lúdi

co d

e la

s m

atem

átic

as.

Util

iza

sus

cono

cim

ient

os p

ara

re-

solv

er p

robl

emas

.

Es c

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ient

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la u

tilid

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s co

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mie

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pa

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co

n fu

ncio

nes.

Dom

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cont

enid

os f

unda

men

-ta

les

sobr

e fu

ncio

nes.

Auto

eval

úa l

os c

onoc

imie

ntos

ad-

quiri

dos

sobr

e fu

ncio

nes.

Es c

onsc

ient

e de

l des

arro

llo d

e su

pr

opio

apr

endi

zaje

.

Util

iza

sus

cono

cim

ient

os p

ara

asi-

mila

r y

refo

rzar

nue

vos

cont

enid

os.

Util

iza

la l

ógic

a y

sus

cono

cim

ien-

tos

mat

emát

icos

par

a an

aliz

ar g

rá-

ficas

de

fenó

men

os d

e la

vid

a re

al.

Anal

iza

fenó

men

os f

ísic

os m

edia

n-te

su

repr

esen

taci

ón g

ráfic

a.

Res

uelv

e un

pro

blem

a da

do c

rean

-do

una

fun

ción

que

lo d

escr

iba.

Elig

e el

pro

cedi

mie

nto

más

ade

cua-

do p

ara

reso

lver

pro

blem

as.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

© G

RU

PO

AN

AY

A, S

.A.,

Mat

emát

icas

4.°

B E

SO

. Mat

eria

l fot

ocop

iabl

e au

toriz

ado.

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RU

PO

AN

AY

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Mat

emát

icas

4.°

B E

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ocop

iabl

e au

toriz

ado.

80

EVALUACIÓN GEOMETRÍA




MUNDO FÍSICOT. INFORM.

Y C. DIGITALSOCIAL Y

CIUDADANACULTURAL YARTÍSTICA

APRENDER A APRENDER

I. PERSONALY C. EMOC.

NOMBRE Dom

ina

la s

emej

anza

y l

a ut

iliza

pa

ra r

esol

ver

prob

lem

as.

Raz

ona

los

paso

s qu

e co

nduc

en a

es

tabl

ecer

las

rel

acio

nes

trig

ono-

mét

ricas

fun

dam

enta

les.

Cal

cula

la

s ra

zone

s tr

igon

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ri-ca

s de

un

ángu

lo y

util

iza

las

rela

-ci

ones

trig

onom

étric

as f

unda

men

-ta

les,

cua

ndo

es p

reci

so.

Util

iza

corr

ecta

men

te

la

trig

ono-

met

ría

para

re

solv

er

prob

lem

as

geom

étric

os.

Ope

ra g

ráfic

a y

anal

ítica

men

te c

on

vect

ores

, sin

difi

culta

d.

Encu

entr

a la

ecu

ació

n de

una

rec

ta

y do

min

a lo

s co

ncep

tos

de p

aral

e-lis

mo

y pe

rpen

dicu

larid

ad.

Entie

nde

y ha

lla l

as p

osib

les

posi

-ci

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de

dos

rect

as.

Util

iza

los

conc

epto

s, l

os p

roce

di-

mie

ntos

y la

term

inol

ogía

de

la g

eo-

met

ría a

nalít

ica

con

prop

ieda

d.

Extr

ae i

nfor

mac

ión

geom

étric

a de

un

tex

to d

ado.

Com

pren

de l

os e

nunc

iado

s de

los

pr

oble

mas

y e

xtra

e la

inf

orm

ació

n ne

cesa

ria p

ara

reso

lver

los.

Expr

esa

proc

edim

ient

os m

atem

áti-

cos

de u

na f

orm

a cl

ara

y co

ncis

a.

Apre

nde

los

nuev

os t

érm

inos

ref

e-re

ntes

a l

a ge

omet

ría y

los

util

iza

corr

ecta

men

te.

Rec

onoc

e la

ayu

da d

e la

geo

met

ríia

para

man

ejar

se e

n el

mun

do fí

sico

.

Rec

onoc

e la

util

idad

de

la g

eom

e-tr

ía p

ara

reso

lver

pro

blem

as e

n di

-ve

rsos

ám

bito

s.

Es c

onsc

ient

e de

la c

ontr

ibuc

ión

de

la g

eom

etría

al de

sarr

ollo

de

otra

s ci

enci

as.

Rec

onoc

e la

util

idad

de

las

mat

e-m

átic

as p

ara

mod

eliz

ar y

est

udia

r fe

nóm

enos

de

la v

ida

cotid

iana

y

com

o he

rram

ient

a pa

ra t

raba

jar

en

otro

s ca

mpo

s.

Util

iza

inte

rnet

par

a po

ner

al d

ía

sus

cono

cim

ient

os y

ava

nzar

en

su

apre

ndiz

aje.

Util

iza

con

agili

dad

la c

alcu

lado

ra

para

obt

ener

raz

ones

o á

ngul

os.

Tom

a co

ncie

ncia

de

la u

tilid

ad d

e la

geo

met

ría e

n m

ultit

ud d

e la

bore

s hu

man

as.

Util

iza

la g

eom

etría

par

a re

solv

er

prob

lem

as d

e la

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a co

tidia

na.

Valo

ra la

apo

rtac

ión

de o

tras

cul

tu-

ras

al d

esar

rollo

de

la g

eom

etría

.

Rec

onoc

e la

im

port

anci

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otr

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cultu

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sarr

ollo

del

est

u-di

o de

la g

eom

etría

.

Dom

ina

los

cont

enid

os f

unda

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-ta

les

de la

geo

met

ría.

Se

inte

resa

por

am

plia

r su

s co

noci

-m

ient

os g

eom

étric

os.

Valo

ra

el

apre

ndiz

aje

de

razo

na-

mie

ntos

mat

emát

icos

com

o fu

ente

de

con

ocim

ient

os fut

uros

.

Auto

eval

úa l

os c

onoc

imie

ntos

ad-

quiri

dos

sobr

e ge

omet

ría.

Util

iza

sus

cono

cim

ient

os m

atem

á-tic

os p

ara

reso

lver

pro

blem

as.

Se

adap

ta a

usa

r di

stin

tos

mét

o-do

s pa

ra e

l apr

endi

zaje

de

los

con-

teni

dos

geom

étric

os.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

© G

RU

PO

AN

AY

A, S

.A.,

Mat

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icas

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Mat

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81




MUNDO FÍSICOT. INFORM.

Y C. DIGITALSOCIAL Y


APRENDER A APRENDER

I. PERSONALY C. EMOC.

NOMBRE Dom

ina

la s

emej

anza

y l

a ut

iliza

pa

ra r

esol

ver

prob

lem

as.

Raz

ona

los

paso

s qu

e co

nduc

en a

es

tabl

ecer

las

rel

acio

nes

trig

ono-

mét

ricas

fun

dam

enta

les.

Cal

cula

la

s ra

zone

s tr

igon

omét

ri-ca

s de

un

ángu

lo y

util

iza

las

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-ci

ones

trig

onom

étric

as f

unda

men

-ta

les,

cua

ndo

es p

reci

so.

Util

iza

corr

ecta

men

te

la

trig

ono-

met

ría

para

re

solv

er

prob

lem

as

geom

étric

os.

Ope

ra g

ráfic

a y

anal

ítica

men

te c

on

vect

ores

, sin

difi

culta

d.

Encu

entr

a la

ecu

ació

n de

una

rec

ta

y do

min

a lo

s co

ncep

tos

de p

aral

e-lis

mo

y pe

rpen

dicu

larid

ad.

Entie

nde

y ha

lla l

as p

osib

les

posi

-ci

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de

dos

rect

as.

Util

iza

los

conc

epto

s, l

os p

roce

di-

mie

ntos

y la

term

inol

ogía

de

la g

eo-

met

ría a

nalít

ica

con

prop

ieda

d.

Extr

ae i

nfor

mac

ión

geom

étric

a de

un

tex

to d

ado.

Com

pren

de l

os e

nunc

iado

s de

los

pr

oble

mas

y e

xtra

e la

inf

orm

ació

n ne

cesa

ria p

ara

reso

lver

los.

Expr

esa

proc

edim

ient

os m

atem

áti-

cos

de u

na f

orm

a cl

ara

y co

ncis

a.

Apre

nde

los

nuev

os t

érm

inos

ref

e-re

ntes

a l

a ge

omet

ría y

los

util

iza

corr

ecta

men

te.

Rec

onoc

e la

ayu

da d

e la

geo

met

ríia

para

man

ejar

se e

n el

mun

do fí

sico

.

Rec

onoc

e la

util

idad

de

la g

eom

e-tr

ía p

ara

reso

lver

pro

blem

as e

n di

-ve

rsos

ám

bito

s.

Es c

onsc

ient

e de

la c

ontr

ibuc

ión

de

la g

eom

etría

al de

sarr

ollo

de

otra

s ci

enci

as.

Rec

onoc

e la

util

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de

las

mat

e-m

átic

as p

ara

mod

eliz

ar y

est

udia

r fe

nóm

enos

de

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ida

cotid

iana

y

com

o he

rram

ient

a pa

ra t

raba

jar

en

otro

s ca

mpo

s.

Util

iza

inte

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par

a po

ner

al d

ía

sus

cono

cim

ient

os y

ava

nzar

en

su

apre

ndiz

aje.

Util

iza

con

agili

dad

la c

alcu

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para

obt

ener

raz

ones

o á

ngul

os.

Tom

a co

ncie

ncia

de

la u

tilid

ad d

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82

EVALUACIÓN ESTADÍSTICA

Y PROBABILIDAD



LINGÜÍSTICACONOC. DEL

MUNDO FÍSICOT. INF. Y

C. DIGITALSOCIAL Y


APRENDER A APRENDER

INICIATIVA PERS.Y C. EMOCIONAL

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83



LINGÜÍSTICACONOC. DEL

MUNDO FÍSICOT. INF. Y

C. DIGITALSOCIAL Y


APRENDER A APRENDER

INICIATIVA PERS.Y C. EMOCIONAL

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Tratamiento de la diversidad

La Educación Secundaria Obligatoria se organiza de acuerdo con los principios de educación común y de atención a la diversidad del alumnado. Las medidas de atención a la diversidad de nuestro proyecto están orientadas a responder a las necesidades educativas concretas del alumnado y a la consecución de las com-petencias básicas y los objetivos del curso.

Atender a la diversidad del alumnado y conseguir una mejora de sus resultados académicos puede requerir la adopción de medidas como agrupamientos flexibles, apoyo en grupos ordinarios, desdoblamientos, adapta-ciones del currículo, etc.

Para contribuir en esta tarea, nuestro proyecto presen-ta una serie de medidas cuya finalidad es preventiva o compensadora; en un momento dado, cualquier alum-no puede precisarlas.

Las actividades que se proponen en este material se organizan en dos fichas de trabajo por cada unidad. Plantean cuestiones que permiten asociar diversos contenidos previamente estudiados y ejercitar diferen-tes destrezas. Tanto las fichas de refuerzo como las de ampliación son recursos dirigidos a desarrollar en los estudiantes las competencias básicas.

Al principio de cada unidad se encuentra un esquema de los contenidos tratados en ella, con actividades es-pecíficas para cada contenido. Y al final, ofrecemos las soluciones de todas las actividades.

UNIDAD

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Números reales

UNIDAD

11Números reales

UNIDAD

1Recuerda lo fundamental

87

NÚMEROS REALES

NÚMEROS RACIONALES

Son los que se pueden expresar como .......... ....................................................................

EJEMPLOS: 0,125 = 12,333… =

NÚMEROS IRRACIONALES

La expresión decimal de un número irracional es ....................................................................

EJEMPLO: z3 = ............

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

NOMBRE EXPRESIÓN NÚMEROS QUE COMPRENDE REPRESENTACIÓN EJEMPLO

(a, b)

[a, b]

(a, b]

[a, b)

(–@, b)

(–@, b]

(a, +@)

[a, +@)

RAÍCES

• nza = b si bn = ... EJEMPLO:

3z8 = 2, porque ............

• Podemos expresar un radical en forma de potencia así:

nza = ...

nzam = ...

EJEMPLOS: 5za = ...

5z32 = ... 8

1/3 = ... 53/4 = ...

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

① np

zap = nza ②

nza · b =

nza ·

nzb ③ =

EJEMPLO: 6z53 = ... EJEMPLO:

3z8 · 3 = ... EJEMPLO:

4

z8116 = ...

④ ( nza)p

= nzap ⑤ =

mn

za

EJEMPLO: ( 3z5)2

= ... EJEMPLO: = ...

• Racionalizar denominadores consiste en ...................................................................................

...............................................................................................................................................

nz ab

nza nzb

3

z z5

m

z nza

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Ficha de trabajo A

Números reales

UNIDAD

1

PRACTICA

1 Coloca estos números en el lugar de la tabla que les corresponda:

2,53 2,53)

3,14)

π = 3,141592... 1,4)

z2 = 1,4142...

NÚMEROS REALES

RACIONALES IRRACIONALES

NÚMERO EXPRESIÓN FRACCIONARIA

2 Escribe, ordenándolos de menor a mayor, tres números del intervalo [2; 2,25].

3 Representa el número z5, ayudándote de reglas y compás. (Usa el teorema de Pitágoras).

4 Escribe en notación científica los números siguientes:

a) 340 mil millones 8

b) 84 millonésimas 8

5 Expresa en forma radical y luego simplifica las expresiones siguientes:

a) 272/3 = 3z272 =

3z(33)2 = ...

b) 85/3 =

c) 43/2 =

6 Simplifica las expresiones siguientes:

a) 3z7 ·

4z72 =

b) z3 : 5z32 =

c) 3

z z212 =

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89

Ficha de trabajo A

APLICA. EL JARDINERO

El padre de Marta es jardinero municipal. Le encargan que prepare un jardín según las especificaciones del arquitecto. Una vez que ve los planos, se da cuenta de que la tarea va a requerir muchos cálculos y pide ayuda a su hija, que ya está en 4.º de ESO. Según el plano, el jardín será un cuadrado, con otro cuadrado más pequeño en su interior, tal como se ve en el dibujo:

1 El primer problema es que solo le han dado la superficie del cuadrado pequeño, 16 m2. El jardinero le pregunta a Marta cuál sería el lado del cuadrado pequeño y el del grande, añadiendo que en el informe final suelen utilizar siempre tres cifras decimales.

2 Como quieren poner una valla metálica rodeando el jardín, el jardinero le dice a Marta que cuesta 12 euros el rollo de cinco metros y que si le hace el favor de calcular cuán-to se van a gastar en la valla. ¿Puedes ayudar a Marta con los cálculos?

3 Mientras el jardinero está poniendo la valla, recibe una llamada de su jefa diciéndole que quiere saber la superficie que va a ocupar el jardín, especificando la zona de cés-ped y la de flores, con vistas a introducir los datos en la memoria anual de la concejalía. Marta se ofrece a calcular el dato que piden. ¿Qué resultados obtiene Marta?

4 Marta se acuerda de que está estudiando cotas de errores en el instituto y decide pasar el rato haciendo cuentas mientras su padre acaba el trabajo. Marta calcula una cota del error absoluto y otra del error relativo de la longitud del lado del cuadrado grande.

¿Cuáles han sido las cotas halladas por Marta?

CÉSPED

FLORES

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1 Calcula las expresiones siguientes, sin usar calculadora:

a) (0,3)

+ 0,5)

)2 : 0,4)

b) 0,2)

· (1,2)

– 1,1)

· 0,3)

)

2 Representa en la recta real, con ayuda de regla y compás, los números siguientes:

a) z5 b) 1 + z5 2

3 Escribe tres números (ordenándolos de menor a mayor) del interior del intervalo [1; 1,1).

4 Da el valor aproximado, con 4 cifras decimales, de z3 y halla una cota del error abso-luto y otra del error relativo cometidos.

5 Opera esta expresión 0,00000250,0000125

, dando el resultado en notación científica.

6 Expresa estos radicales en forma de potencia, opera y simplifica.

a) 3z2 ·

4z23 :

4z2 =

b) (3

z z5 )2 :

6z5 =


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Números realesNúmeros reales

UNIDAD

1Ficha de trabajo B

PRACTICA

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Ficha de trabajo B

APLICA. VISITA AL MUSEO

En la primera excursión escolar, el profesor de matemáticas os lleva al Museo de la Cien-cia. Espera que sea un día divertido y aprovecha para encargaros un trabajo sobre la visita. Aquí están algunas de las preguntas que os hace y que tendrás que contestar.

1 Una vez en el museo, nos enteramos de que los ordenadores de información que había en las salas tenían una memoria RAM de 4 gigabytes. Además, nos dijeron que un gigabyte tiene 1073741824 bytes. Escribe el número de bytes, en notación científica, de cada ordenador.

2 En la sala de astronomía, pudimos leer que la distancia media de Saturno al Sol es de 1433 millones de kilómetros. ¿Puedes decirme, en notación científica, cuántos metros son?

3 En el jardín del museo, hay un estanque rodeado de césped, como indica el siguiente dibujo:

a) El estanque tiene una superficie de 4 m2. Las zonas de césped se han formado cortando cuatro tepes cuadrados, de igual tamaño que el estanque, y reordenando los trozos para rodear el estanque, formando al final otro cuadrado. ¿Cuál es el lado del cuadrado final?

b) Aproxima el valor del lado que acabas de calcular con cinco cifras decimales y da una cota del error absoluto y una del error relativo.

ESTANQUE

JARDÍN

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SolucionesSoluciones

UNIDAD

1

Ficha de trabajo APRACTICA

1

2 Respuesta abierta: 2,1 < 2,15 < 2,24.

3 z5 = z22 + 12

4 a) 3,4 · 1011 b) 8,4 · 10–5

5 a) 32 b) 25 c) 23

6 a) 6z77 b)

10

z3 c) 22

APLICA

1 Cuadrado pequeño: 4 m

Cuadrado grande: 4z2 = 5,657 m

2 El perímetro mide 16z2 = 22,627 m.

Cada metro de valla cuesta 2,4 euros.

Por tanto, toda la valla cuesta 54,30 euros.

3 La parte de césped tiene una superficie de 16 m2.

La parte de flores tiene una superficie de 16 m2.

4 Cota del error absoluto = 0,00012

= 0,0005 m

Cota del error relativo = 0,00055,657

= 0,000088 m

Ficha de trabajo BPRACTICA

1 a) 169

b) – 481

2 a) z5 = z22 + 12

b)

3 Respuesta abierta:

1,01 < 1,05 < 1,057

4 z3 = 1,732050... › 1,7321

Ea = 0,00004919... < 0,00005

Er = 0,00005 = 0,0000288... < 0,00005

5 2,5 · 10–6

1,25 · 10–5 = 2 · 10–1

6 a) 6z25

b) 6z5

APLICA

1 4,295 · 109 bytes

2 1,433 · 1012 m

3 a) El lado mide z20 m.

b) z20 = 4,47214

Cota del error absoluto = 0,000012

= = 0,000005 m

Cota del error relativo = 0,0000054,47214

=

= 0,000001118 m

21

1

0

√5

√5

1 + z52

21

1

0

√5

√5

2

2

10 1+√5√5

√51+

z3

RACIONALES IRRACIONALES

NÚMERO FRACCIÓN

π

z2

2,53

2,53)

3,14)

1,4)

253100 25199 28390139

UNIDAD

2

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Nombre y apellidos: .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Polinomios y fracciones algebraicasNombre y apellidos

Polinomios y fracciones algebraicasRecuerda lo fundamental

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La regla de Ruffini sirve para dividir un polino-mio entre ..................................................EJEMPLO: (6x5 – 3x4 + 2x – 3) : (x – 1)

El proceso para dividir dos polinomios es simi-lar a ...........................................................

EJEMPLO:3x3 – 2x2 + 4 x2 + 1

DIVISIBILIDAD POR x – a

Para que un polinomio con coeficientes enteros sea divisible por x – a, es necesario que ............

....................................................................................................................................................

TEOREMA DEL RESTO

El valor que toma un polinomio, P (x), cuando hacemos x = a, coincide con ................................

....................................................................................................................................................

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

El valor que toma un polinomio, P(x), cuando hacemos x = a, coincide con

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

• Factorizar consiste en ..............................................................................................................

• Sacar factor común consiste en ..............................................................................................

EJEMPLO: 3x4 + 2x3 – 5x = ...

• Podemos usar las identidades notables para factorizar.

EJEMPLOS: x2 + 4x + 4 = ... x2 – 6x + 9 = ... x2 – 25 = ...

• En general, el procedimiento para factorizar un polinomio es .....................................................

.................................................................................................................................................

EJEMPLO: x4 – x3 – 16x2 + 16x = ...

FRACCIONES ALGEBRAICAS

• Una fracción algebraica es .......................................................................................................

.................................................................................................................................................

• La forma de operar con ellas es ................................................................................................

.................................................................................................................................................

6 –3 0 0 2 –3

1

UNIDAD

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Ficha de trabajo A

Polinomios y fracciones algebraicas

UNIDAD

2

PRACTICA

1 Divide los polinomios (x5 – 6x3 – 25x) : (x2 + 3x).

2 Realiza estas divisiones por la regla de Ruffini. Indica el polinomio cociente P(x) y el resto R, en cada caso:

a) (x3 – 3x2 + 2x + 4) : (x + 1) b) (2x4 + x3 – 5x – 3) : (x – 2)

3 Aplica el teorema del resto y calcula el resto de estas divisiones sin hacerlas.

a) (x5 – 32) : (x – 2) b) (x4 + x2 + 1) : (x + 1) c) (2x3 – 15x – 8) : (x – 3)

4 Factoriza estas expresiones, sacando factor común:

a) 2x4 – 8x2 + 4x

b) 5x3 – 25x2

c) x5

3 – x3

9 + x2

3

5 Factoriza estas expresiones, usando identidades notables.

a) 4x2 – 12x + 9

b) 16x2 + 8x + 1

c) 25x2 – 9

6 Encuentra, mediante Ruffini, las raíces enteras de estos polinomios y factorízalos.

a) x3 + 8x2 + 21x + 18 b) x4 – 10x2 + 9

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95

Ficha de trabajo A

APLICA. AUTOBUSES INTERURBANOS

El consorcio de autobuses interurbanos de cierta ciudad ha estudiado la afluencia de via-jeros los viernes por la mañana. Después de obtener los datos y someterlos al estudio de su centro de cálculo, han llegado a la conclusión de que la afluencia de viajeros, en miles, viene dada por la expresión polinómica V(x) = 27x3 – 54x2 + 27x, donde x es la hora de la mañana según la siguiente relación: x = 0 se corresponde con las 6:00 h; x = 1, con las 9:00 h, y x = 2, con las 12:00 h. Una vez calculada la expresión, se la pasan a todos los institutos de la ciudad para que realicen ciertos cálculos.

1 Lo primero que vas a hacer es factorizar todo lo posible el polinomio V(x). (Saca factor común, aplica las identidades notables, etc.).

2 Ahora vas a calcular cuántos viajeros llegan en cada momento a la terminal. Completa la tabla siguiente, recordando las equivalencias entre horas del día y valor de x.

(Por ejemplo: las 6 h corresponden a x = 0, las 7 h corresponde a x = 13

, etc.).

3 Entre las 6 h y las 10 h, ¿cuál es la hora punta (hora de máxima afluencia de viajeros)? ¿Y la hora de menor afluencia? ¿Cómo se pueden explicar estos datos?

6 h 7 h 8 h 9 h 10 h 11 h 12 h

x 0 1

V(x) (en miles)

13

23

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Polinomios y fracciones algebraicas

UNIDAD

2Ficha de trabajo B

1 ¿Cuánto deben valer a y b para que esta división sea exacta?

(x3 – 5x2 + ax + b) : (x2 – 3x + 1)

2 Fíjate en la transformación que podemos hacer en esta división:

(x4 – 3x2 + 2x – 6) : (2x – 6) = x4 – 3x2 + 2x – 62(x – 3)

= 12

· x4 – 3x2 + 2x – 6x – 3

Fijándote en la última expresión, calcula el cociente de la primera división, por la regla de Ruffini.

3 Descompón en factores y halla el mín.c.m. y el máx.c.d. de los polinomios:

P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 – 8x2 – 4x y Q(x) = x6 – 4x5 + 3x4 + 4x3 – 4x2

4 Comprueba que se verifican las igualdades siguientes:

a) ( x2

x2 – 2x + 1 – 2x – 3

x – 1 + 1) · x – 1

3x – 2 = 1

x – 1

b) ( xx – y

– 1) · ( x – yy2 ) : 1

y = 1

PRACTICA

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Ficha de trabajo B

APLICA. AGUA PARA EL GANADO

En una excursión os llevan a una granja-escuela. Allí veis que el encargado está constru-yendo unos depósitos de agua para el ganado y, viendo sus problemas, decidís ayudarle con los cálculos matemáticos. El ganadero quiere construir dos depósitos de agua. Uno de ellos de forma cúbica para almacenar el agua y el otro, comunicado con este, de modo que tenga la misma anchura, 6 m más de largo y 2 m menos de alto. Este último lo usará como bebedero. El ganadero quiere, además, que los dos tengan la misma capacidad de almacenar agua. Observa el diseño que os enseña el encargado:

1 Lo primero que tenéis que hacer es expresar el volumen de cada depósito en función de la arista, x.

2 Lo siguiente que os pregunta el encargado es de qué dimensiones debe construir cada uno de los dos depósitos para cumplir con la condición de que los dos tengan la misma capacidad.

x

x

xx

x + 6

x

x – 2

B

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UNIDAD

2


1 Cociente: x3 – 3x2 + 3x – 9

Resto: 2x

2 a) C(x) = x2 – 4x + 6; R = –2

b) C(x) = 2x3 + 5x2 + 10x + 15; R = 27

3 a) 0 b) 3 c) 1

4 a) 2x (x3 – 4x + 2) b) 5x2 (x – 5)

c) x2

3 (x3 – x

3 + 1)

5 a) (2x – 3)2 b) (4x + 1) 2 c) (5x + 3) (5x – 3)

6 a) (x + 2) (x + 3) (x + 3)

b) (x – 1) (x + 1) (x – 3) (x + 3)

APLICA

1 V(x) = 27x (x – 1)2

2

3 La hora de mayor afluencia es a las 7 h, cuan-do la gente empieza a llegar para ir a trabajar.

La hora de menor afluencia es a las 9 h, cuan-do la gente ya está en el trabajo.


1 a = 7 b = –2

2

3 P(x) = x(x + 1)2 (x + 2) (x – 2)

Q(x) = (x – 1) (x + 1) (x – 2)2 · x2

máx.c.d. = x (x + 1) (x – 2)

mín.c.m. = x2 (x + 1)2 (x – 2)2 (x – 1) (x + 2)

4 a) ( x2

(x – 1)2 – 2x – 3

(x – 1) + 1) · x – 1

3x – 2 =

= (3x – 2)(x – 1)2

· (x – 1)(3x – 2)

= 1x – 1

b) ( xx – y

– 1) · ( x – yy2 ) : 1

y =

= y

(x – y) · (x – y)

y2 : 1

y = 1

y : 1

y = 1

APLICA

1 VA = x3

VB = x (x – 2)(x + 6)

2 El depósito A debe ser un cubo de lado 3 m.

El depósito B debe ser un prisma de lados 3 m, 1 m y 9 m, respectivamente.

2 x 0 1/3 2/3 1 4/3 5/3 2

V(x) 0 4 2 0 4 20 54

1 0 –3 2 –6

3 3 9 18 60

1 3 6 20 546

47

48

C(x) = 12

· (x3 + 3x2 + 6x +

+ 20) = x3

2 + 3x2

2 + 3x + 10

UNIDAD

3

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Ecuaciones, inecuaciones y sistemasNombre y apellidos

Ecuaciones, inecuaciones y sistemasRecuerda lo fundamental

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

COMPLETAS

ax2 + bx + c = 0, con a – 0, se resuelve con la fórmula:

x = .................................

BICUADRADAS

Para resolverlas, .....................................

................................................................

EJEMPLO: x4 – 10x2 + 9 = 0

CON x EN EL

DENOMINADOR


................................................................

EJEMPLO: 2x

+ 2x = 5

CON RADICALES

Para resolverlas, ................................................................

EJEMPLO: zx + 1 – 5 = 0

TIPO (…) · (…) · (…) = 0


................................................................

EJEMPLO: x(x + 1) (2x – 7) = 0

OTROS TIPOS DE ECUACIONES

SUSTITUCIÓN

Consiste en .........................

............................................

............................................

IGUALACIÓN

Consiste en .........................

............................................

............................................

REDUCCIÓN

Consiste en .........................

............................................

............................................

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

INECUACIONES

• Una inecuación es ....................................................................................................................• Las soluciones de una inecuación son ......................................................................................

y se expresan en forma de ......................................................................................................

• Las soluciones de un sistema de dos inecuaciones de primer grado con una incógnita

se obtienen mediante ...............................................................................................................

INCOMPLETASax2 + c = 0, con a – 0,se resuelve:

ax2 + bx = 0, con a – 0,se resuelve:

• Si c < 0, .....................• Si c > 0, .....................

......................................... .........................................

UNIDAD

3

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Ficha de trabajo A

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

UNIDAD

3

1 Resuelve estas ecuaciones de 2.º grado, aplicando la fórmula:

a) x2 – 6x + 8 = 0 b) x2 – 4x + 4 = 0

2 Resuelve sin aplicar la fórmula.

a) x2 – 5x2

= 0 b) 8x2 – 32 = 0

3 Resuelve las ecuaciones bicuadradas siguientes:

a) x4 – 8x2 – 9 = 0 b) x4 – 3x2 – 4 = 0

4 Resuelve las ecuaciones, quitando primero denominadores.

a) 3x

+ 9x = 3x + 9 b) 4x2 + 1

x = 5

5 Resuelve los sistemas.

a) x + y = 1

x · y = –30

67

8 b) x2 – y2 = 7

x + y = 7

67

8

6 Resuelve las inecuaciones.

a) 6x – 4 < 2x + 3 b) x + x2

Ó 3

PRACTICA

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101

Ficha de trabajo A

APLICA. LA URBANIZACIÓN

La profesora de matemáticas os propone que diseñéis una urbanización de pisos. Tal como se muestra en el dibujo, se pretende edificar 8 bloques de apartamentos en torno a una gran plaza cuadrada de 1 ha de superficie. Cada bloque debe ocupar 216 m2.

1 ¿Cuáles deben ser las dimensiones x e y de cada bloque de apartamentos?

2 De cada planta se quieren sacar dos apartamentos como los que ves en el dibujo, de 108 m2 cada uno. ¿A qué distancia de la esquina A se debe construir el tabique de separación?

3 En la plaza queremos plantar rosales y árboles. La profesora no recuerda cuántos quiere poner de cada especie, pero se acuerda de que si sumamos el doble del número de rosales más el triple del número de árboles, sale 66. Además, añade que si se suman el número de rosales con la mitad del número de árboles, obtenemos 23. ¿Cuál es el número de rosales y de árboles que vamos a poner en la plaza?

1 ha

y

x

xx

x

108 m2108 m2

A

4 m

50 m

4 m

4 m

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Ficha de trabajo BUNIDAD

3

1 Resuelve estas ecuaciones.

a) (x + 1)2

2 –

x + 14

= 9 b) 3x2 – 4x3

= 0

c) 5x – 2

+ x – 6(x – 2)2

= 2 d) x3 – x2 – 14x + 24 = 0

e) 2 zx – 1 = 4 – x f) zx + 4 + z2x – 1 = 6

2 Resuelve los sistemas siguientes.

a) x2 + y2 + xy = 21

x + y = 1

67

8

b) 1x2 + 1

y2 = 13

1x

– 1y

= 1

3 Encuentra el intervalo de la recta real que es solución del sistema siguiente:

x + 3 < 4 – xx2

– 3x Ì x + 6

67

8

PRACTICA

64

74

8

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103

APLICA. ENVASES PARA ZUMOS

Ficha de trabajo B

La empresa “Buenzumol” quiere lanzar al mercado envases de tetrabrick de diversas formas con una capacidad de 500 cm3 (1/2 l ). Resulta que la persona encargada de los cálculos es amigo de tus padres y te cuenta sus problemas para que veas que incluso un estudiante de ESO puede resolverlos. Añade que, para fabricar los envases, disponen de rollos de cartón plastificado de 30 cm de ancho.

1 La primera opción que tienen es hacer un envase con forma de prisma de base cua-drada, como se ve en el dibujo:

a) ¿Qué dimensiones tendrá el prisma para que, en su desarrollo, ocupe todo el ancho del rollo? (Recuerda que solo nos interesa la solución entera).

b) ¿Qué superficie de cartón se necesitará para cada envase?

2 La segunda opción es hacer un envase con forma de prisma hexagonal regular, cuya altura mida el doble que el lado de la base. El amigo de tus padres te reta a calcular las dimensiones del tetrabrick para que contenga el mismo volumen que en la primera opción.

a) ¿Qué superficie de cartón se necesita para hacer un envase con las medidas ante-riores?

b) El amigo de tus padres ya tiene la solución, pero quiere que le digas cuál de los dos envases es más rentable.

3 Cada pack con un número determinado de envases cuesta 6 €. Pero, como oferta, te dice que van a ofrecer que llevándote 3 envases más, cada uno costará 10 céntimos menos y pagarás los 6 €. ¿Sabrías decir cuántos envases hay en el pack original? ¿Y cuál es el precio de cada tetrabrick?

y

x

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UNIDAD

3


1 a) x = 4; x = 2 b) x = 2

2 a) x = 0, x = 52

b) x = 2, x = –2

3 a) x = 3, x = –3

b) x = 2, x = –2

4 a) x = 1, x = 12

b) x = 1, x = –45

5 a) x = 6, y = –5; x = –5, y = 6

b) x = 4, y = 3

6 a) x < 74

b) x Ó 2

APLICA

1 x = 4 m e y = 50 m

2 Se debe construir a 19 m de la esquina A.

3 Habrá 18 rosales y 10 árboles.


1 a) x = 72

; x = –5

b) x = 0, x = 49

c) x = 4, x = 3

d) x = 2, x = 3, x = 4

e) x = 2

f) x = 5

2 a) x1 = –4, y1 = 5; x2 = 5; y2 = –4

b) x1 = 13

, y1 = 12

; x2 = –12

, y2 = –13

3 x é [–127

, 12 )

APLICA

1 a) El lado de la base mide 5 cm y la altura, 20 cm.

b) Cada envase tiene una superficie de 450 cm2.

2 a) El apotema de la base mide x2

cm. Así,

el lado de la base mide 4,58 cm y la altura, 9,16 cm.

Necesitamos 360 cm2.

b) El hexagonal, porque necesita menos car-tón para el mismo volumen.

3 En el pack original había 12 envases.

Cada tetrabrick cuesta 0,5 €.

UNIDAD

4

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Recuerda lo fundamental

Funciones. Características

FUNCIONES

FORMAS DE DAR UNA FUNCIÓN

Una función puede darse por:

— una ..........................................................

— ................................................................

— ................................................................

— ................................................................

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Una gráfica representa una función si a cada valor de x le ................................................

EJEMPLOS: Función No función

DOMINIO DE DEFINICIÓN

Es el conjunto de valores de x .....................

.....................................................................

.....................................................................

Causas que pueden limitar el dominio:

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS

• f es creciente en un intervalo si ................

..................................................................

• f es decreciente en un intervalo si ............

..................................................................

• f tiene un máximo relativo en un punto

cuando ......................................................

• f tiene un mínimo relativo en un punto

cuando ......................................................

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es la variación ...............................................

La pendiente de una recta se halla así:

• Si conocemos dos puntos: m = ...........

• Si conocemos la ecuación de la recta, .........

..................................................................

TASA DE VARIACIÓN MEDIA EN [a, b ]

• Es la pendiente de .....................................

..................................................................

T.V.M. [a, b] = .......................

• Mide el grado de: .......................................

..................................................................

VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN

DISCONTINUIDADES

• Razones por las que una función puede ser discontinua en un punto:

a) Tiene ramas ................ b) ........................... c) .............................. d) ................................

• Se dice que una función es continua cuando ..............................................................................

Nombre y apellidos


UNIDAD

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Ficha de trabajo A


UNIDAD

4

PRACTICA

1 Halla el dominio de definición de estas funciones:

a) b) f (x) = 3

x – 2 c) f (x) = zx – 1

2 Señala los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los valores de x donde las funciones presentan máximo o mínimo relativos, en cada caso.

a) b)

3 ¿Cuál de estas funciones crece más “rápido” en el intervalo citado? Averígualo calcu-lando la tasa de variación media en dicho intervalo.

a) b) c)

6X

Y

1

3

2X

Y

1

1

4

2X

Y

1

1

2

2X

Y

1

3

2X

Y

1

1

4

2X

Y

1

1

2

2X

Y

1

3

2X

Y

1

1

4

2X

Y

1

1

2

2X

Y

108 964–1 53

X

Y

42

3

–2X

Y

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Ficha de trabajo A

APLICA. DÍA DE SENDERISMO

El instituto ha llevado a hacer senderismo a los estudiantes de Bachillerato. Aprovechan-do la circunstancia, el profesor de matemáticas os encarga una investigación sobre el día en el campo. La marcha empezó a las 6:00 h y tuvieron que ascender por un monte situa-do a 12 km del albergue en el que estaban alojados. De las siguientes gráficas, la primera muestra la relación entre el espacio recorrido y el tiempo de caminata, y la segunda, el perfil geológico de la marcha.

1 a) ¿Cuál es el dominio de definición de la función tiempo empleado-distancia recorrida?

b) ¿A qué hora terminó la excursión?

2 La función es, casi siempre, creciente (a más tiempo empleado, más kilómetros reco-rridos). Sin embargo, se ve un periodo de tiempo donde la gráfica es un trozo de recta horizontal. ¿Cuál es? ¿Cómo interpretas esa situación durante la excursión? ¿En qué kilómetro ocurre eso?

3 A lo largo de las dos primeras horas del recorrido (intervalo [0, 2]), la gráfica crece más rápido que en el intervalo [2, 6]. ¿Cuál es la T.V.M. de la función en cada tramo? Interprétalo observando la gráfica del perfil.

4 Calcula la velocidad empleada en cada uno de los tramos de subida. ¿Cuál es la velo-cidad media empleada en la subida?

(ALBERGUE)

(CIMA)

DISTANCIA (km)

TIEMPO (h)2 6 10 144 8 12 16

6

12

24

(ALBERGUE)

ALTURA (m)

DISTANCIA(km)

6 12

200

400

(CIMA) 800

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................


UNIDAD

4Ficha de trabajo B

PRACTICA

1 Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) b) f (x) = 5x – 2x2 – 3x + 2

2 Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes. ¿Cuáles son sus máximos y mínimos?

a) b)

3 Observa esta función. Calcula la tasa de variación media (T.V.M.) en los intervalos

[0, 1], [0, 12 ], [0,

14 ], [0,

18 ] (Puedes ayudarte de la expresión analítica, y = x2 + 1,

de la función).¿Podrías estimar a qué valor tiende la T.V.M. para un intervalo [0, 0 + h] cada vez más pequeño?

3 7

–3 X

Y

3

1

3

4

–2 5 7X

Y

Y

X12

14

1

1

1,5

2

2

2

–2–4 X

Y

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APLICA. CIENCIA-FICCIÓN

Ficha de trabajo B

Trabajas en el Observatorio Astronómico. A pesar de todas las probabilidades en contra, un hecho fatídico se cierne sobre el planeta: un enorme asteroide va a chocar contra nosotros. Tus compañeros y tú habéis comprobado que cada 3 horas se acerca 4000 kilómetros más. La única solución que se encuentra es disparar un proyectil con un explosivo de gran potencia que sea capaz de disgregar el asteroide. La ecuación que mide la altura alcan-zada por el proyectil, en miles de kilómetros, en función del tiempo es A = (–t2/16) + 2t.

En el momento del disparo, el asteroide está a 32000 km de nuestro planeta. Son las 9:00 h.

1 Tu jefa, con las prisas del momento, te pide que calcules la ecuación que da la dis-tancia que nos separa del asteroide en cada momento. “Y Sánchez”, te grita, “¡no olvides que, como viene hacia nosotros, la distancia decrece!”

2 Una vez que tienes la ecuación, te pide que calcules la hora en la que se prevé que el asteroide choque contra la Tierra.

3 Para poder dar el dato a los militares, con el fin de poder disparar el proyectil, tienes que elaborar dos tablas:

a) Una que relacione la distancia a la que está el asteroide según transcurre el tiempo (hazlo cada 3 horas).

b) La otra, que relacione la altura del proyectil con el tiempo transcurrido (parte de 0 y haz los cálculos cada 4 horas).

4 Para facilitar la labor a los militares, decides adjuntar, junto a las tablas, las gráficas de las trayectorias del proyectil y del asteroide. Realiza las gráficas en los mismos ejes coordenados. Además, en tu informe di si impactará el proyectil en el asteroide, a qué hora aproximada y a qué distancia de la Tierra, aproximadamente. Todo esto lo puedes hacer mirando las gráficas. ¡Adelante!

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UNIDAD

4


1 a) [0, 6] b) Û – {2}

c) x Ó 1

2 a) Crece en (–1, 53 ) á (4, 6) á (8, 9)

Decrece en ( 53

, 4) á (6, 8) á (9, 10)

Máximo en x = 53

, en x = 6 y en x = 9.

Mínimo en x = 4 y en x = 8.

b) Crece: (–@, –2) á (4, +@)

Decrece: (–2, 2) á (2, 4)

Máximo en x = –2. Mínimo en x = 4.

3

APLICA

1 a) 0 Ì t Ì 14 b) A las 20 h.

2 En 6 Ì t Ì 10. Período de descanso en la cima.

3 En [0, 2]: T.V.M. = 62

= 3 8 v = 3 km/h

En [2, 6]: T.V.M. = 64

= 1,5 8 v = 1,5 km/h

En [0, 2] el perfil es más suave: avanzan más rápido.

4 vm = 126

= 2 km/h


1 a) [–3, 3) á (3, 7] b) Û – {1, 2}

2 a) Crece en (–2, 3) á (5, +@).

Decrece en (–@, –2) á (3, 5).

Máximo en x = 3 y x = 7.

Mínimo en x = 5 y x = –2.

b) Crece en (–@, –4) á (2, +@).

Decrece en (–4, –2) á (–2, 2).

Máximo en x = –4. Mínimo en x = 2.

3

Podemos estimar que la T.V.M. en un intervalo [0, 0 + h) cada vez más pequeño, tiende a ser 0.

APLICA

1 d = 32 – 43

t. La distancia se da en miles de

kilómetros.

2 El asteroide chocará 24 h después, es decir, a las 9:00 h del día siguiente.

3 a) ASTEROIDEa)

t (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24

d 32 28 24 20 16 12 8 4 0

b) PROYECTIL b)

t (h) 0 4 8 12 16 20 24 28 32

A 0 7 12 15 16 15 12 7 0

4

3Intervalos [0, 1] [0, 1

2 ] [0, 14 ] [0, 1

8 ]T.V.M. 1

12

18

132

4

0 4 8 12 16 20 24 28 32t

d

8 PROYECTIL

ASTEROIDE

12

16

20

24

28

32

64

47

44

8

a) T.V.M.[1, 2] = 3 – 02 – 1 = 3

2

b) T.V.M.[1, 2] = 4 – 12 – 1 = 3

2

c) T.V.M.[1, 2] = 2 – 12 – 1 = 1

Crecen igual a) y b) y más rápido que c).

• Impacto entre las 12 y 13 horas después del lanzamiento.

• Se producirá entre los 15000 y 16000 km de altura.

UNIDAD

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Funciones elementalesNombre y apellidos

Funciones elementales

DEFINICIÓN DE LOGARITMO DE UN NÚMERO

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe .......... al exponente loga P = x ï .........

Si la base es 10, los logaritmos se llaman .......................

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES

• Ecuación: y = ....................

– La base tiene que ser .............................

– Es creciente si ........ y decreciente si .......

– Pasa por (0, ...) y (1, ...)

• Dominio de definición: ................................

• Gráfica: a > 1 a < 1

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

• Ecuación: y = ....................

– La base tiene que ser .............................

– Pasa por (1, ...) y por (... , ...)

• Dominio de definición: ................................

• Su inversa es ............................................

• Gráfica:

LINEALES

• Expresión: .....................

• Gráfica: .........................

• m = ........

• n es la .........................

A TROZOS

Su expresión analítica es ..

........................................

EJEMPLO:°¢£x2, x < 11 – x, x Ó 1

FUNCIONES RADICALES

• Expresión analítica: ................................

• Dominio de definición: ...........................

• Gráfica:

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

• Expresión analítica: .........................................

• Dominio de definición: .....................................

• Su gráfica se llama .........................................

Gráfica:

• Las rectas a las que se aproximan las ramas de la curva se llaman .....................................

OTRAS FUNCIONES

..........................................................................................................

°¢£

CUADRÁTICAS

• Expresión: .....................

• Gráfica: .........................

• Si a > 0, ........................

• Si a < 0, ........................

• Vértice en x = .........

UNIDAD

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Ficha de trabajo A


UNIDAD

5

1 Representa las funciones cuadráticas siguientes:

a) y = x2

4 b) y = 2x2 + 6x c) y = –x2 + 6x – 5

2 Representa las funciones de proporcionalidad inversa:

a) y = 3x b) y = –

2x c) y =

1x + 2

3 Representa las funciones radicales:

a) y = zx – 1 b) y = zx + 1 c) y = z4 – x

PRACTICA

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Ficha de trabajo A

APLICA. NEGOCIOS

El hermano de Clara quiere abrir una tienda de fotocopias y le pide ayuda para que realice unos cálculos iniciales sobre la rentabilidad del negocio. Como Clara es amiga tuya, que-dáis un día para hacer el trabajo. Clara te dice que el proveedor de su hermano asegura que la fotocopiadora trabaja según la siguiente tarifa por copia:

y = 5x + 2

x

donde x es el número de copias e y es el precio expresado en céntimos.

1 En primer lugar, necesitáis saber cómo varía el precio de cada copia según el número de copias. Para ello decidís hacer una tabla para los valores x = 1, 5, 10, 100, …, 1000, etc. Luego se os ocurre que, quizá, sería muy recomendable ver los datos refle-jados en una gráfica y os ponéis a ello. ¿En torno a qué valor se estabiliza el precio por copia?

2 El hermano de Clara le dijo que los gastos que reporta la máquina por su mantenimiento son 15 € por revisarla cada 10000 copias y 50 € por reponer el tóner de tinta cada 5000 copias. Os pregunta cuál es el gasto por copia.

3 Se os ocurre que a su hermano le vendría muy bien conocer la función R(x) que da la rentabilidad de la máquina en función del número de copias:

R(x) = [Tarifa según el número de copias – gasto por copia] · x

Junto a su expresión algebraica le dais una tabla de valores y su gráfica aproximada.

4 Si la máquina le ha costado 300 €, ¿con cuántas copias comenzará a amortizarla, es decir, a partir de cuántas copias ganará más de 300 €?

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5

PRACTICA

1 Resuelve, gráfica y analíticamente, el sistema:

2 Representa las funciones siguientes:

a)

¿Es continua? ¿Por qué?

b) y = –3 + zx – 1

c) y = 2–x + 1

y = 1 – 1x – 1

y = – x2

2 + 2

64

74

8

x + 1 x < 0

y = x2 – 2x + 1 0 Ì x < 2

zx – 2 2 Ì x

64

74

8

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APLICA. INGENIERÍA HIDRÁULICA

Ficha de trabajo B

Un vecino, que trabaja en la depuradora del ayuntamiento, te enseña el nuevo diseño que van a empezar a construir. Pero antes necesitan tener ciertos datos para ver si de verdad va a ser útil la nueva depuradora. El diseño es el siguiente:

El agua de los embalses llena el pilón A, cuya capacidad es de 90 m3. Cuando este está lleno, se abre el filtro 1 y co-mienza a llenarse el pilón B.

1 Los ingenieros aseguran que el pilón A se vacía según los datos de la siguiente tabla:

t (h) 0 1 2 …

VA (m3) 90 89,6 88,4 …

Además, suponen que sigue una función decreciente cuadrática VA = at2 + c. Tu vecino te pide que halles la ecuación de dicha función y que construyas su gráfica. ¿Cuánto tarda el pilón A en vaciarse?

2 Ahora tu vecino te pregunta cuál será la función de llenado del pilón B y en qué momento ambas piletas tienen el mismo volumen de agua.

3 Una vez lleno B, se abre la válvula del filtro 2 y pasa un cierto volumen de agua al tubo depurador, cerrándose el filtro 2 una vez que el tubo está lleno. El tubo es un cilindro de sección (área de la base) 1,5 m2 y longitud, 10 m. Se estima que el tiempo de lle-nado y desinfección del agua es de 1 hora. ¿Qué volumen de agua se desinfecta cada hora?

FILTRO 1FILTRO 2

TUBODEPURADOR

DEPÓSITODE AGUAPOTABLE

10 m

1,5 m2

A

B

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UNIDAD

5UNIDAD

6


1 a) b) c)

2 a) b) c)

3 a) b) c)

APLICA

1

El precio se estabiliza en torno a 5 cént. por copia.

2 15

10000 +

505000

= 115

10000 = 0,0115 € =

= 1,15 cént.

3 R(x) = 3,85x + 23 ( ) = 3,85

x 10 … 100 … 1000

R (cént.) 40,5 … 387 … 3852

R (euros) 0,40 … 3,87 … 38,52

4 A partir de 7792 copias.


1 Soluciones de la ecuación 1 – 1x – 1

= x2

2 + + 2 son:

2 a) No es continua en x = 2 (salto finito).

b) c)

APLICA

1 VA = –0,4t2 + 90

Se vacía en t = 15 h.

2 VB = 0,4t2

El volumen de ambos se iguala cuando

0,4t2 = –0,4t2 + 90 8 t = 10,6 horas

3 15 m3

x 1 5 10 100 … 1000

y 7 5,4 5,2 5,02 … 5,002

2

10 100

4

Y

X

R (x)

2

4

4 8 10 100 1000

5

6

8

y =5

Y

X

x = 0, y = 2

x = 2, y = 0

x = –1, y = 32

X

Y

–1

–1

X

Y

–12

X

Y

24

–4–2

2 4 6

t

VA90

5 15

X

Y

–11

X

Y

24

–2 2

X

Y

24

–4–2

–4 –2 2X

Y

24

–4–2

2 4 6

X

Y

3

–3

–33

X

Y2

–2–2

2X

Y2

–2–2

2

X

Y

2

2X

Y

2

2X

Y2

2

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

La semejanza. AplicacionesNombre y apellidos

La semejanza. AplicacionesRecuerda lo fundamental

UNIDAD

6

FIGURAS SEMEJANTES

Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son ...............................................

y sus distancias .........................................................................................................................

Por ejemplo, si las figuras F y F' son semejantes, entonces A = ... , B = ... , ... = ... , ... = ...

Además, si —AB = 2 ·

—A'B', entonces

—BC = ..........

—CD = ..........

—DA = ..........

—AC = ..........

y la razón de semejanza es ......................................

TEOREMA DE TALES

Dos rectas, r y s, cortadas por segmentos paralelos determinan segmentos ......

............. Es decir:

........... = ........... = ...........

TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES

Los triángulos ABC y AB'C' están en posición de Tales porque tienen un ángulo

......................... y los lados

opuestos ......................................................

Los triángulos en posición de Tales son .........

y se verifica que ........... = ............ = ............

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes condiciones:

• Tienen dos ángulos ................. • Sus lados son ................. • Tienen un ángulo igual y los

lados ................................

A = ... , B = ... , C = ...

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2

Teorema del cateto: c2 = a · n; b2 = a · m

Teorema de la altura: h2 = m · n

D C

C'D'

F F'

AA'

B

B'

CC'

A A'

BB'

a'a

c

b'b

c'

A'A

c

b'b

c'

CB

B'A' C'

Ar

s C C'A

B

B'

aa'

= ... = ... A = ... ; bb'

= ...

BC

A

a

hnm

b c

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Ficha de trabajo A

La semejanza. Aplicaciones

UNIDAD

6

1 Calcula los datos que faltan, sabiendo que estos polígonos son semejantes:

2 Aplica el teorema de Tales y calcula la longitud de los segmentos —

A'B' y —BC .

3 Ramiro observa que la torre de la ermita (30 m) se refleja distorsionada sobre el agua del estanque que la rodea. Situándose en la orilla opuesta y tomando las medidas que se indican, ¿cuál es la anchura máxima del estanque?

4 Calcula las medidas que faltan en el triángulo rectángulo siguiente:

z

x

y

6

4

4

2

103

A'B'

C'

A6

4

2

1,5

x

y

B

C

1,80 m

3 m x

c

n

h

m10 cm

8 cm

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Ficha de trabajo A

APLICA. LA PLAZA DE TOROS

3 Con los datos de los dos problemas anteriores, calcula cuál es la superficie que deben alicatar los operarios.

En una localidad han decidido reformar la plaza de toros. Para ello quieren alicatarla por fuera con azulejos esmaltados, además de otras reformas. La profesora de matemáticas os propone en clase que sigáis los mismos pasos que han seguido los técnicos para realizar su tarea.

1 En primer lugar, se necesita saber la altura de la plaza, pero los planos con los que se construyó se han perdido y hay que medir todo de nuevo. Deciden hacerlo ayudándose de la semejanza de triángulos, tal como se indica en el dibujo. La profesora os informa de que el operario medía 1,70 m. ¿Cuál es la altura de la plaza?

2 Ahora necesitamos conocer el diámetro de la pla-za. Para medirlo, se fija una tangente a la plaza, A'B' y, a continuación, una cuerda entre dos esta-cas, AB, paralela a la tangente, como puedes ver en el dibujo. ¿Cuál es el valor del diámetro?

20 m

2 m

h

1,70 m

5 m

d

6 m

21 m

A

A'

3 m

B

B'

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

PRACTICA


6La semejanza. Aplicaciones

1 Calcula la longitud de los datos que faltan en estas figuras.

a) b)

2 Observa esta figura ( ABC es triángulo rectángulo).

a) ¿Por qué son semejantes ABC y ABD ? ¿Y ABD y BDC ?

b) Aplica el apartado anterior para calcular h, —AD y

—DC .

3 Calcula el área del triángulo de la figura. ¿Cuál será el área de un triángulo semejante a él y de perímetro 58,4 m?

xy

BA

O

B'A' 15

22 15

40

10 cm

6 cm8 cm

h

CDA

B

α β

αβ

6 cm8 cm

a

c

m n

y

x

B

AO

A'

B'

6

5

5,4 4

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APLICA. CONSTRUYENDO UN PUENTE

Ficha de trabajo B

El gobierno autonómico va a construir un puente sobre el río a las afueras de tu localidad. Una tarde te pasas por allí para ver cómo lo hacen. Ves que los topógrafos han tomado posiciones delimitando un trapecio, desde cuyos vértices A y B se ve un punto P en la otra orilla del río, tal como aparece en el dibujo de la derecha:

1 A la vista del dibujo y de los datos que te aporta, ¿cuál será la longitud del puente A'P?

2 Mientras ves cómo empiezan a trabajar los topógrafos, te preguntas cómo se las apañarán para calcular la altura mínima que debe tener el puente. Por suerte estás cerca de un par de técnicos y les oyes decir que usando un bastón marcador de 1,5 m y alejándose 9 m de la orilla, pueden ver el fondo de la orilla opuesta (observa el dibu-jo). ¿Cuál es la altura del talud?

3 Por último, te enteras de que van a poner postes de acero verticales en los laterales del puente, tal como ves en el dibujo. Has oído a uno de los técnicos que el más alto será de 20 m, pero te preguntas cuánto medirán los otros.

B '

A '

P

A500 m

450 m20 m

B

9 mLongitud del puente

1,5 m

a

O

A

A' B ' C ' D '

B

C

D

22,5

20 m

22,522,522,522,5

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UNIDAD

7UNIDAD

6


1 x = 3, y = 5, z = 2,67

2 x = 1, y = 3

3 x = 50 m 8 La anchura es 53 m.

4 C = z100 – 64 = z36 = 6

c2 = a · n; 36 = 10 · n; n = 3,6

m = 6,4 h = z6,4 · 3,6 = 4,8

APLICA

1 La altura es de 38 m.

2 El diámetro es de 48 m.

3 La superficie lateral es de 5730,265 m2.


1 a) x = 8,75; y = 12,75

b) x = 6,75; y = 7,5

2 a) ABC ABD por tener dos ángulos iguales.

Análogamente, ABD BDC (ángulos respec-tivamente iguales).

b) Comparando ABC y ABD tenemos:

3 m2 = 82 – 62 = 28 ; m › 5,3

h2 = m · n ; 36 = 5,3 · n ; n › 6,8

a = m + n › 12,1

c = za2 – b2 › 9,1

Perímetro = 29,2 m. Área = 36,3 m2.

Si el nuevo perímetro es 58,4 = 2 · 29,2, el área será 4 veces mayor: 145,2 m2.

APLICA

1 La longitud del puente es de 180 m.

2 La altura es de 30 m.

3 Habrá dos postes de 20 m, dos de 15 m, dos de 10 m y dos de 5 m.

—ACAB

= —ABAD

; 108

= 8x

—ACBC

= —ABBD

; 106

= 8h

x = 6,4 = —AD

—DC = 3,66

78

h = 4,8

67

8

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

TrigonometríaNombre y apellidos

TrigonometríaRecuerda lo fundamental

UNIDAD

7

TRIGONOMETRÍA

RELACIONES FUNDAMENTALES

Son: I) ..............................................................

II) ..............................................................

Sirven para obtener ...........................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

sen a = .....................

cos a = .....................

tg a = ........................

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Resolver un triángulo es hallar .....................................................................................................

..................................................................................................................................................

• Triángulos rectángulos: para resolverlos se utiliza ......................................................................

• Triángulos oblicuángulos: para resolverlos es necesario trazar ....................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ENTRE 0° Y 360°

Representación de ángulos

• Se utiliza una circunferencia de radio ........... y centro en ................... que se llama ..................

• Para representar un ángulo en la circunferencia se procede así:

– Su vértice en .................................................................................

– Uno de sus lados sobre .................................................................

– Para situar el otro lado se mide el ángulo en sentido .......................

......................................................................................................

Seno, coseno y tangente

Si 0° ≤ a ≤ 360°:

sen a = ....................... cos a = ....................... tg a = .......................

Los ángulos que no tienen tangente son los de ....................................

B

CA

α

c a

b

αy1

z

x

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEALGUNOS ÁNGULOS

30° 45° 60°

sen a

cos a

tg a

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124

PRACTICA


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

UNIDAD

7Ficha de trabajo A

Trigonometría

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada caso:

a) b)

2 Si sen a = 25

, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales

(0 < a < 90°).

3 Sabiendo que tg a = 2, calcula, en forma de radical, el valor de sen a y cos a (a < 90°).

4 Resuelve (halla los lados y ángulos desconocidos) el siguiente triángulo:

5 Calcula el área de este triángulo (calcula primero la altura sobre la base).

4,2 cm

1,4 cmα

10 cm

6 cm

BA

a

C

50 m

10 m50°

A

B

C

h

12 cm15 cm

α

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125

Ficha de trabajo A

APLICA. LA BUHARDILLA

Unos tíos tuyos quieren construir una buhardilla sobre su casa del pueblo y te piden ayuda para ha-cer los cálculos. Observa el plano que te da tu tía y a ver si puedes contestar a sus preguntas.

1 “¿A qué distancia de A y de B habrá que poner la viga de máxima altura?”, te pre-gunta tu tía. ¿Qué le contestas?

2 “Oye, me vendría bien que me dijeras cuál va a ser la altura de las puertas de los ar-marios, h y h', para comprar la madera”. Halla el dato que te pide tu tío.

3 Una vez hechos los armarios, tus tíos quieren forrar de madera toda la superficie de los techos y te preguntan cuál es esa superficie. (Son rectángulos de longitud 13 m y anchura

—DC y

—CE respectivamente).

4 Además, quieren poner radiadores para calentar la buhardilla. Te dicen que cada uno calienta unos 30 m3. ¿Cuántos radiadores necesitarán para toda la buhardilla? (Debes calcular el volumen útil de la buhardilla, esto es, descontando el volumen de los armarios).

13 m

8 m1 m 1 m BA

D

E

C

60º40º

4,52 m

h

h'

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PRACTICA


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

UNIDAD

7

10 m12 m

50°

CB P

A

a

h

Ficha de trabajo B

Trigonometría

1 Dibuja dos ángulos en la circunferencia goniométrica cuyo seno sea 34

, y halla su coseno y su tangente.

2 Sabiendo que tg a = –3 y que 0 < a < 180°, halla, sen a y cos a. ¿Cuál es el ángulo a?

3 Sabiendo que sen 40° › 0,64, calcula:

a) cos 40° b) tg 130° c) sen 220° d) cos 320°

4 En el triángulo de la figura, calcula:

a) Altura h. b) Longitud —BP.

c) Longitud —PC. d) Longitud

—BC = a.

e) Área.

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APLICA. LA GRAN PRESA

Ficha de trabajo B

Paula suele veranear todos los años en un pueblo, cerca del cual van a construir una pre-sa. Curiosamente, una amiga de su madre está en el equipo de trabajo y un día la lleva a ver las obras. Paula aprovecha para hacerle muchas preguntas sobre cómo se diseña y se construye una presa de este tipo.

1 En primer lugar, Paula quiere saber cómo calculan la anchura de la presa. Su amiga le enseña los dibujos preliminares y le dice. “Bueno, con estos datos, hasta tú puedes calcular la anchura, CD, de la presa”. ¿Cuál es esa anchura?

2 Después, Paula le pregunta por la construcción de la presa. Observa el dibujo que vio Paula y calcula la altura, x, de los cimientos. Aprovecha, también, para calcular la longitud d de la rampa de caída.

3 Paula se ha enterado de que la presa va a dar servicio eléctrico a los pueblos A y B, tendiendo cables de alta tensión entre la presa y cada uno de los pueblos, y entre los propios pueblos. Esta vez no hace falta que pregunte nada, porque su amiga le asegura que, desde la presa, los pueblos se ven bajo un ángulo de 43°. ¿Cuál es la distancia entre los dos pueblos? (Calcula primero

—AA' ).

C

35º

30º

Da

B

A

500 m

60 m

x

d

60º

40 m

P

A

B

A'h

43º

30 km

20 k

m

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UNIDAD

7


1 a) tg a = 0,33 cos a = 0,95

sen a = 0,32

b) sen a = 0,8 cos a = 0,6

tg a = 1,3

2 cos a = = 0,92 tg a = 0,43

3 1 + tg2 a = 1cos2 a

; cos a =

sen a =

4 a = 11,66

B = 30° 57' 50'' C = 59° 2' 10''

5 h = 7,66 8 A = 191,5 m2

APLICA

1 A 2,61 m de A y a 5,39 m de B.

2 h = 1,73 m

h’ = 0,84 m

3 La parte izquierda del techo es un rectángulo de 13 m de ancho y 3,22 de alto. Su superfi-cie es de 41,86 m2.

La parte derecha tiene 13 m de ancho y 5,74 m de alto. Su superficie es de 74,62 m2.

4 La altura de la viga más alta es de 4,52 m.

El volumen de la buhardilla es 235,04 m3.

El volumen de los armarios es 11,245 m3 y 5,46 m3, respectivamente.

Por tanto, el volumen que se debe calentar es de 218,335 m3.

Así, se necesitan 218,335 : 30 = 7,28 ≈ 8 ra dia-dores.


1

2 cos a = –0,31

sen a = 0,9

a = 108° 26'

3 a) cos 40° = 0,77 b) tg 130° = –1,19

c) sen 220° = sen (180° + 40°) = –sen 40° == –0,64

d) cos 320° = cos (360° – 40°) = cos 40° == 0,77

4 h = 12 · sen 50° › 9,19 m —BP = 12 · cos 50° › 7,71 m

—PC = z102 – h2

= 3,94 m —BC = 11,65 m

Área = 53,53 m2

APLICA

1 La anchura de la presa es 1,67 km.

2 Los cimientos medirán 9,28 m de altura.

La rampa mide 80 m.

3 La distancia entre los pueblos es de 20,55 km.

z1 – 525

z 2025

=1z1 + 22

z5

5

z5

5= =

2

z1 – 425 cos a = 0,66

cos b = –0,66

tg b = –1,13

tg a = 1,13

z1 – ( 34 )2cos a = Ï

αβ

UNIDAD

8

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................


Geometría analíticaNombre y apellidos

Geometría analítica

UNIDAD

8

GEOMETRÍA ANALÍTICA

PUNTOS ALINEADOS

Los puntos A (x1, y1), B (x2, y2) y C (x3, y3) están alineados si los vectores 8AB y

8BC son

....................... , es decir, si sus coordenadas son ....................

y2 – y1x2 – x1

= ....................

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Las coordenadas del punto medio M de un segmento de extremos A y B son: A (x1, y1), B (x2, y2) 8 M(............. , .............)

Por ejemplo, si A(3, –6) y B(–1, 4), entonces las coordenadas

del punto medio son: ...............................................................

................................................................ M(............. , .............)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) es d = | 8AB | = z...................

Por ejemplo, si A (3, –7) y B (8, 5), entonces d = ....................................

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS

Las pendientes de las rectas r1 y r2 son, respectivamente, m1 y m2.

– Si r1 y r2 son paralelas, entonces m2 = ............

– Si r1 y r2 son perpendiculares, entonces m2 = ............

Por ejemplo, si la pendiente de una recta r es 2, la pendiente de cualquier paralela a ella es ............

y la pendiente de cualqier recta perpendicular a ella es ............

EJEMPLO: y = 2x + 3 es ............ a y = 2x – 5 y ............ a y = –12

x – 4.

Ax + By + C = 0 es la ecuación de una recta r :

– Si A = 0, entonces r es paralela al eje ............ EJEMPLO: 3y – 5 = 0

– Si B = 0, entonces r es paralela al eje ............ EJEMPLO: 3x – 5 = 0

– Si B ? 0, entonces la pendiente de r es ............

A (x1, y1)

B (x2, y2)

M

O

x1 x1 x1

y1

y2

y3C

B

A

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130

PRACTICA

Ficha de trabajo A

1 Calcula las coordenadas del punto medio, M, del segmento AB en los casos siguien-tes. Comprueba que d(A, B) = 2 · d(A, M).

a) A (–3, 5), B (5, 3) b) A (–4, –6), B (–2, 4)

2 Comprueba si están alineados los puntos A, B, C, en los casos siguientes:

a) A (2, 3), B (3, 5), C(–2, –5) b) A (2, 3), B (3, 7), C (–2, –3)

3 Calcula el perímetro del triángulo de vértices A (2, 3), B (8, 0) y C (11, 8).

4 En el ejercicio anterior, calcula la ecuación de la recta AC y la ecuación de la recta

perpendicular a ella que pasa por B. ¿En qué punto, D, ambas rectas se cortan?

5 Dada la recta 3x – 2y + 5 = 0, calcula su pendiente y halla:

a) Ecuación de la recta r paralela a ella que pasa por A (1, –5).

b) Ecuación de la recta s perpendicular a ella por B (–3, 4).

c) ¿Cómo son las rectas r y s, entre sí? (Observa la pendiente de ambas).


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Geometría analíticaGeometría analítica

UNIDAD

8

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Ficha de trabajo A

APLICA. INFRAESTRUCTURAS VIARIAS

En un estudio de ingeniería civil se van a proyectar unas autovías que sustituyan a una antigua carretera en muy mal estado y con muchas curvas. La antigua carretera va desde A hasta C, y ahora quieren construir dos ramales paralelos, uno que pase por A y otro que pase por C. Para hacer el informe, se han colocado unos ejes coordenados con centro en O (la gasolinera).

1 ¿Cuál es la ecuación de la recta que representa el ramal r?

2 ¿Y cuál es la ecuación del ramal s?

3 Desean diseñar otro ramal que comunique A con A', perpendicular a ambas auto-vías. ¿Qué ecuación tendrá la recta AA'? ¿Cuáles son las coordenadas de A'? ¿Qué longitud tendrá el paso elevado?

4 Quieren construir otra gasolinera, G, en la autovía s y que esté en la perpendicular a r pasando por O. ¿Qué coordenadas tendrá G? Es conveniente que calcules primero la ecuación de la recta OG.

G

100 m

OC

A

A'

s

r

GASOLINERA

PASO

ELEVADO

CARRETERAANTIGUA

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PRACTICA


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Geometría analíticaGeometría analítica

UNIDAD

8Ficha de trabajo B

1 Calcula las coordenadas del punto A', simétrico de A (–4, 5), respecto al punto P (–6, –3).

2 Dado el triángulo de vértices A (–5, 1), B (–2, –4) y C (4, 5), halla:

a) Su perímetro.

b) La ecuación de la recta r perpendicular a AB que pasa por C.

c) Punto D de corte de AB con r.

d) Distancia —CD.

e) Área del triángulo ABC.

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APLICA. CARRETERAS DE MONTAÑA

Ficha de trabajo B

En una zona de montaña, las auto-ridades quieren proyectar un nuevo sistema de carreteras. Pretenden construir dos tramos paralelos de autovía por los valles de la zona. Los topógrafos han elaborado un mapa orográfico sobre unos ejes coorde-nados para facilitar los cálculos de los ingenieros. Sofía está en el equi-po de planificación y os enseña el mapa para que la ayudéis con los cálculos. El centro del sistema de coordenadas lo han puesto en una localidad cercana. Este es el mapa:

1 “Vamos a ver, chicos. Según el plano, ¿cuáles son las coordenadas de O y de A? Una vez que las hayáis calculado, ¿cuál es la ecuación de la carretera r ?”

2 “Supongo que ahora os resultará más fácil decirme cuál es la ecuación de la autovía s que pasa por B”.

3 “Acaban de decirme que quieren construir un nuevo ramal entre O y B con una gasolinera, G, en su punto medio. Tenemos que calcular la ecuación de este nuevo ramal, las coordenadas de G y la distancia de la gasolinera hasta B (mirad, en el plano, a qué distancia equivale una unidad)”.

4 “Los ingenieros quieren construir un túnel que una las autovías r y s, y que sea perpendicular a ambas. Una de las entradas debe estar en O. ¿Qué ecuación tendrá? ¿Qué coordenadas tendrá la otra salida del túnel, C?”

1 km

G

B

C

D

A

r

s

OTÚNEL

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UNIDAD

9UNIDAD

8


1 a) M (1, 4) d (A, B) = 2z17 d (A, M) = z17

b) M (–3, –1) d (A, B) = 2z26 d (A, M) = z26

2 a) Sí están alineados.

b) No están alineados.

3 P = d (A, B) + d (B, C ) + d (A, C ) =

= z45 + z73 + z106 › 25,54

4 Recta AC: y = 5x9

+ 179

• Recta perpendicular a AC por B:

y = – 9x5

+ 725

• Punto D de corte:

5x9

+ 179

= – 9x5

+ 725

D = (563106

, 513106)

5 m = 32

a) y + 5 = 32

(x – 1)

b) y – 4 = – 23

(x + 3)

c) Perpendiculares.

APLICA

1 y = –x

2 y = –x + 7

3 La recta AA' tiene como ecuación y = x + 8.

Las coordenadas de A' son (– 12

, 152 ).

El paso elevado tendrá, aproximadamente, 495 m.

4 La ecuación de OG es y = x.

Las coordenadas de G son ( 72

, 72 ).


1 A'(–8, –11)

2 a) 26,41 u

b) y – 5 = 35

(x – 4)

c) D (–14934

, –134)

d) d (C, D) = 9,78 u

e) A = d (A, B) · d (C, D)2

› 28,09 u2

APLICA

1 Las coordenadas de O son (0, 0); las de A,

(–5, 7). La ecuación es y = – 75

x.

2 La ecuación es y = – 75

x + 635

.

3 La ecuación del nuevo ramal es y = 74

x.

Las coordenadas de G son (2, 72 ).

La distancia de la gasolinera a O es 4,03 km.

4 La ecuación del túnel es y = 5x7

.

Las coordenadas de C son (44174

, 2205518 ) ›

› (5,96; 4,26).

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

EstadísticaNombre y apellidos

Estadística

UNIDAD

9

ESTADÍSTICA

VARIABLES ESTADÍSTICAS

Variables cuantitativas son las que ............................................................................................

Pueden ser de uno de estos dos tipos:

• cuantitativas discretas si .........................................................................................................

• cuantitativas continuas si ........................................................................................................

Variables cualitativas son las que ...............................................................................................

EJEMPLOS: “la profesión del padre” es ..........................................................................................

“el peso” es ...............................................................................................................

“el número de coches que hay en cada familia” es .......................................................

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

MEDIA: –x = ..................................................... VARIANZA: Var = ..................................................

DESVIACIÓN TÍPICA: q = ...................................... COEFICIENTE DE VARIACIÓN: C.V. = ..............................

EJEMPLO: Calcular –x, Var, q y C.V. para los valores siguientes: 3, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9

MEDIDAS DE POSICIÓN

Cada una de las medidas de posición es un parámetro que divide a la población en dos trozos de tamaños previstos.

• La mediana, Me, parte a la población en dos trozos .....................................

Es decir, el ...... % de la población mide menos que Me y el ...... % mide más.

• El cuartil inferior, Q1, deja por debajo al ...... % y por encima al ...... %.

• El cuartil superior, Q3, deja por debajo al ...... % y por encima al ...... %.

EJEMPLO: Di cuáles son la mediana y los cuartiles de la siguiente distribución:

2, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10

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136

PRACTICA

1 Dada la distribución siguiente:

3 3 3 4 4 5

5 6 6 8 8 8

Completa la tabla siguiente:

xi fi xi fi xi2fi

3

4

5

6

8

2 Con ayuda de la tabla, calcula los parámetros –x, q y C.V.

3 Completa ahora esta otra tabla:

xi fi Fi en %

3

4

5

6

8

4 Con los datos de la segunda tabla, calcula Q1, Me y Q3.


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

EstadísticaEstadística

UNIDAD

9Ficha de trabajo A

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137

Ficha de trabajo A

APLICA. CONTROL DE LIMITACIÓN DE VELOCIDAD

En un punto conflictivo de una carretera existe un limitador de velocidad a 90 km/h. Se ha hecho un estudio estadístico, midiendo por radar la velocidad de los vehículos que han pasa-do por allí durante una hora. El resultado, correspondiente a 30 coches, ha sido el siguiente:

100 110 120 120 130 110 90 95

95 80 85 70 65 75 85 105

100 110 80 90 90 95 130 140

140 140 60 60 60 70

1 El departamento de estudios estadísticos necesita agrupar los datos en una tabla para poder empezar con los cálculos. ¿Puedes ayudarles completando la siguiente tabla?

2 Necesitan que calcules los parámetros –x, Var, q y C.V.

3 Para poder elaborar un informe pre-ciso, tienen que construir el polígo-no de frecuencias acumuladas. Haz este trabajo por ellos.

4 ¿Hasta qué velocidad transitan el 25% de los vehículos muestreados?

5 ¿De qué velocidad no exceden el 50% de los vehículos?

58 86 11472 100 128 142

10

20

30

5

15

25

Fi

INTERVALO MARCAS xi fi Fi % xi fi xi2fi

[58, 72)

[72, 86)

[86, 100)

[100, 114)

[114, 128)

[128, 142)

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PRACTICA


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Ficha de trabajo B

Estadística

UNIDAD

9

1 Completa la siguiente tabla:

2 Calcula –x y q.

3 Calcula Q1, Q2 y Q3. Utiliza un procedimiento geométrico como hacemos aquí con Q1:

Por semejanza:

405

= 25x

8 x = ...

En la tabla siguiente se muestran los datos de un estudio hecho sobre las calificaciones obtenidas por un grupo de 30 alumnos en una prueba de Matemáticas.

xCALIF.

%

5

Q1 = 25

40

CALIFICACIONES fi

[0, 5) 12

[5, 7) 8

[7, 9) 6

[9, 10) 4

xi fi xi fi xi2fi Fi en %

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APLICA. NIVEL ECONÓMICO DE UNA REGIÓN

Ficha de trabajo B

El profesor de Geografía de una de tus amigas les ha pedido que hagan un trabajo sobre el nivel económico de vuestra región. A tu amiga le hacen falta unas cuantas herramientas matemáticas que tú conoces, por lo que le ayudas a hacer su trabajo.

El diagrama de barras que te muestra indica el nivel de ingresos anuales de 1000 familias en-cuestadas. Los niveles A, B, C y D corresponden a los intervalos de ingresos (en miles de euros) [0, 9), [9, 12), [12, 15) y [15, 21), respectiva-mente.

1 Lo primero que necesita tu amiga es un histograma, teniendo en cuenta que los intervalos no tienen todos el mismo ancho. Constrúyeselo.

2 Realiza ahora un estudio estadístico completando una tabla de datos y los parámetros –x, Var, q y C.V.

3 ¿Cuántas familias están por debajo de la media de ingresos anuales?

4 Tu amiga necesita tu ayuda para calcular los niveles de ingresos correspondientes a Q1, Q2 y Q3. Necesita, además, interpretar los resultados. Ayúdala.

A CB D

180

420

300

100

200

400

FAMILIAS

9 12 15 21

40

80

120

160

INTERVALO xi fi Fi % xi2 xi fi xi

2fi

[0, 9)

[9, 12)

[12, 15)

[15, 21)

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UNIDAD

10UNIDAD

9


1

2 –x = 5,25, q = 1,88; C.V. = 2,79

3

4 Q1 = 3,5; Me = 5; Q3 = 6,5

APLICA

1

2 –x = 96,73 km/h; Var = 561,61; q = 23,7;

C.V. = 0,25 › 25%

3

4 El 25% circulan a 76,19 km/h o menos.

5 No exceden de 95,31 km/h.


1

2 –x = 16430

= 5,47; q = = 2,65

3 Q1 = 3,125; Q2 = Me = 5,75; Q3 = 7,83

APLICA

1

2

–x = ∑ xi fi

N = 11,43;

Var =

∑ xi2

fiN

– x2 = 15,025

q = 3,88 C.V. = q

–x = 0,34 › 34%

3 Por debajo de la media de ingresos están el 47,43% de las familias.

4 Q1 = 9,7: El 25% de las familias están por debajo de 9 700 € anuales.

Q2 = 12,143: El 50% de las familias están por debajo de 12143 € anuales.

Q3 = 13,929: El 75% de las familias están por debajo de 13928 € anuales.

xi fi xi fi xi2fi

3 3 9 27

4 2 8 32

5 2 10 50

6 2 12 72

8 3 24 192

3 xi fi Fi en %

3 3 3 25

4 2 5 41,67

5 2 7 58,33

6 2 9 75

8 3 12 100

xi fi Fi % xi fi xi2fi

65 6 6 20 390 25350

79 5 11 36,7 395 31205

93 6 17 56,7 558 51894

107 6 23 76,7 642 68694

121 2 25 83,3 242 29282

135 5 30 100 675 91125

58 86 11472 100 128 142

10

20

30

5

15

25

Fi

xi fi xi fi xi2fi Fi en %

2,5 12 30 75 12 40

6 8 48 288 20 66,67

8 6 48 384 26 86,67

9,5 4 38 361 30 100

30 164 1108

9 12 15

D

C

B

A

21

40

80

120

160

25

xi fi Fi % xi fi xi2fi

4,5 180 180 18 810 3645

10,5 300 480 48 3150 33075

13,5 420 900 90 5670 76545

18 100 1000 100 1800 32400

z 110830

– 5,472

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Cálculo de probabilidadesNombre y apellidos

Cálculo de probabilidades

UNIDAD

10

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DEL AZAR. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

• Repetimos un experimento un número N de veces, todo lo grande que deseemos. Anotamos el n.º de veces que sale un suceso S determinado. A ese número le llamamos frecuencia absoluta f(s) de S.

• A medida que N crece, el cociente f(s)N

(frecuencia relativa de S) se estabiliza en torno a un valor.

• Consecuencias: Al hacer una experiencia aleatoria con un instrumento irregular, estimamos la

probabilidad de un suceso S asignándole el valor p = f(s)N

(p es una medida de la presencia del suceso en el experimento).

LEY DE LAPLACE

• Si realizamos una experiencia aleatoria con un instrumento regular (dado no trucado, moneda, etc.),

la probabilidad de un suceso S es el cociente p = número de casos favorables a S

números de casos posibles

EJEMPLO: Probabilidad de sacar n.º primo al tirar un dado: S = {2, 3, 5}p = ......................

EXPERIENCIAS COMPUESTAS

El cálculo de probabilidades en una experiencia compuesta se simplifica si se descom-pone en experiencias simples. Estas pueden ser independientes o dependientes.

Experiencias independientes. Dos experiencias son independientes cuando .................................

..................................................................................................................................................

En este caso, P [S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª] = ..............................................................................

..................................................................................................................................................

Experiencias dependientes. Dos experiencias son dependientes cuando .......................................

..................................................................................................................................................

En este caso, P [S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª] = ..............................................................................

EJEMPLOS:

• Las experiencias “lanzar un dado” y “lanzar una moneda” son ...................................................

Por tanto, P [3 en el dado y CARA en la moneda] = ......................................................................

• Si tenemos una bolsa con 3 bolas blancas y 2 negras y realizamos dos extracciones,

las experiencias “color de la 1.ª bola” y “color de la 2.ª bola” son ..............................................

Por tanto, P [blanca la 1.ª y blanca la 2.ª] = ..............................................................................

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PRACTICA

Ficha de trabajo A

1 Si lanzas una moneda 3 veces:

a) ¿Cuántos resultados posibles obtienes?

b) ¿Qué probabilidad tienes de sacar solo dos caras?

c) ¿Y de no sacar más de una cruz?

2 Extraemos una carta de una baraja de 40. Calcula:

a) Probabilidad de que sea AS.

b) Probabilidad de que sea AS o FIGURA.

c) Probabilidad de sacar AS o COPAS.

3 De una urna con 5 bolas rojas, 3 negras y 2 blancas extraemos una bola, la repone-mos a la urna y luego hacemos una 2.ª extracción.

a) ¿Qué probabilidad hay de que no salga blanca en ambas?

b) ¿Y si después de la 1.ª extracción no reponemos la bola?

4 En un juego, el jugador gana si, al lanzar una moneda 3 veces y extraer una carta de una baraja, el resultado sea: “No sacar más de una cruz” y “No salgan espadas”. En caso contrario pierde. ¿Qué probabilidad tiene el jugador de ganar?


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Cálculo de probabilidadesCálculo de probabilidadesCálculo de probabilidades

UNIDAD

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Ficha de trabajo A

APLICA. FIESTAS EN EL BARRIO

Durante las fiestas del barrio, vas con tus amigas y amigos a la feria. Allí os paráis ante una caseta donde el feriante os propone la siguiente apuesta:

“¡Apueste y gane! Tiraré una moneda cuatro veces y luego sacaré una carta de la baraja.

— Si sale cara 2 o 3 veces y la carta es de Bastos o Espadas, me llevo su apuesta.

— Si sale cara 0, 1 o 4 veces y la carta es de Oros o Copas, entonces le daré a usted un 50% más de lo que apostó.

— Si sale otro resultado, ¡seguimos jugando!”

El juego parece muy beneficioso para el apostador, pero hay algo que os preocupa y deci-dís hacer unos cuantos cálculos.

1 En primer lugar, os preguntáis cuál será la probabilidad de sacar cara 0, 1 o 4 veces.

2 Luego, queréis calcular la probabilidad de sacar 2 o 3 caras.

3 Pasáis a las cartas. Os ponéis a calcular la probabilidad de sacar Oros o Copas al extraer una carta de la baraja.

4 ¿Qué probabilidad tenéis de ganar la apuesta? ¿Y de perderla? ¿Y de seguir jugando sin ganar ni perder?

5 ¿Qué se espera que ocurra si el apostador pone x euros en el platillo? Os dais cuen-ta de que tenéis que analizar la función de ganancia o pérdida E(x) = 1,5 x p – x q, donde p es la probabilidad de ganar y q es la probabilidad de perder.

6 ¿Cuál será el resultado más probable si apostáis 100 euros entre todos? ¿Y si pudie-rais jugar 1000 euros?

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PRACTICA

1 Tengo 6 tarjetas A, B, C, D, E, F.

a) ¿De cuántas formas distintas puedo escoger dos de ellas?

b) ¿Cuántas de esas formas tienen solo una vocal?

c) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos consonantes?

2 En una serie semifinal de 100 m lisos de atletismo, se clasifican los dos primeros para la final. Participan 6 atletas.

a) ¿De cuántas formas distintas pueden clasificarse?

b) De los 6 atletas, tres son del mismo equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos clasificados sean del mismo equipo?

3 Para una oposición, el temario consta de 25 temas y, para aprobarla, hay que contes-tar bien a dos temas extraídos al azar. Luis ha preparado 15 temas.

a) ¿De cuántas formas distintas le pueden salir dos temas estudiados?

b) ¿Qué probabilidad tiene de aprobar?

c) ¿Es más probable que apruebe Begoña que, en su oposición de 30 temas, ha pre-parado 17?

Ficha de trabajo B


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

Cálculo de probabilidadesCálculo de probabilidadesCálculo de probabilidades

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APLICA. FIESTAS EN EL BARRIO

Ficha de trabajo B

Durante las fiestas del barrio, vas con tus amigas y amigos a la feria. Allí os paráis ante una caseta donde el feriante os propone la siguiente apuesta:

“¡Apueste y gane! Tiraré una moneda cuatro veces y luego sacaré dos cartas de la baraja.

— Si sale cara 2 o 3 veces y las cartas son de Bastos o Espadas, me llevo su apuesta.

— Si sale cara 0, 1 o 4 veces y las cartas son de Oros o Copas, entonces le daré a usted un 30% más de lo que apostó.

— Si sale otro resultado, ¡seguimos jugando!”

El juego parece muy beneficioso para el apostador, pero hay algo que os preocupa y deci-dís hacer unos cuantos cálculos.

1 ¿Cuál es la probabilidad de sacar cara 0 veces? ¿Y la de sacarla una vez? ¿Y dos veces? ¿Y tres veces? ¿Y cuatro veces?

2 ¿De cuántas formas distintas pueden extraerse dos cartas cualesquiera de una baraja?

3 ¿De cuántas formas pueden salir Oros o Copas?

[Analiza el número de veces que puede salir (O, O), (C, O) o (C, C)].

4 ¿Cuál es la probabilidad de que gane la apuesta el participante? ¿Y de que pierda?

5 Si apostáis 1 euro, ¿qué se espera que ocurra? Tenéis que analizar la expresión E(x) = 1,3 x p – x q para x = 1, donde p es la probabilidad de ganar y q la de perder.

6 ¿Y qué ocurrirá si apostáis 1000 euros?

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UNIDAD

11UNIDAD

10


1 a) 23 = 8 resultados

b) {CC+, C+C, +CC} 8 p = 38

c) {CCC, CC+, C+C, +CC} 8 p = 48

2 a) p = 440

= 110

b) p = 440

+ 1240

= 1640

c) P [A o C] = P [A] + P [C] – P [As de Copas] =

= 440

+ 1040

– 140

= 1340

3 a) P [B– y B–] = 810

· 810

= 64100

b) P [B–1 y B–2] = 810

· 79

= 5690

4 P [No sacar más de una cruz] = 48

P [No espadas] = 3040

= 34

P [Ganar] = 48

· 34

= 38

APLICA

1 P [0, 1 o 4] = 616

= 38

2 P [2 o 3] = 1016

= 58

3 P [Oros o Copas] = 12

4 P [ganar] = 632

= 316

P [perder] = 1032

= 516

P [seguir jugando] = 1632

= 12

5 Se espera que el resultado sea:

E(x) = 1,5x · 632

– 10x32

= –x32

El apostador perderá 1/32 de lo que apueste.

6 E(100) = –3,13 €

E(1000) = –31,25 €


1 a) C6, 2 = 6 · 52 · 1

= 15

b) Con una vocal (A o E) hay 4 formas distin-tas. Luego hay 8 formas distintas con una vocal cualquiera.

c) Dos consonantes se extraen de C4, 2 = 6 formas.

Luego p = 615

= 25

.

2 a) C6, 2 = 15

b) Tres de ellos se clasifican de C3,2 = 3 for-mas.

Luego p = 315

= 15

.

APLICA

1 P [sacar cara 0 veces] = 116

P [sacar cara 1 vez] = 416

P [sacar cara 2 veces] = 6

16



2 C40, 2 = 780 formas distintas.

3 Oros y Copas salen de C10, 1 · C10, 1 = 100 maneras.

Copas y Copas salen de C10, 2 = 45 formas.

Oros y Oros salen de C10, 2 = 45 formas.

Por tanto, Oros o Copas saldrán de 190 formas.

4 La probabilidad de ganar, p, es de 19208

= 0,09.

La probabilidad de perder, q, es de 95624

= 0,15.

5 E(1) = –0,033, es decir, se perderá 3 cént.

6 En ese caso, se perderán 30 euros.

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Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

CombinatoriaNombre y apellidos

CombinatoriaRecuerda lo fundamental

UNIDAD

11

COMBINATORIA

VARIACIONES CON REPETICIÓN

Son las agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos distintos. Pueden repetirse e influye el orden.

El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n es:

VRm, n = ........................

EJEMPLO: ¿Cuántos resultados pueden salir al tirar una moneda dos veces? VR2, 2 = ...................

¿Y tres veces? ...................

VARIACIONES

Son las agrupaciones ordenadas de n elementos no repetidos que se pueden formar a partir de m elementos distintos.

El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n es:

Vm, n = ........................

EJEMPLO: ¿De cuántas maneras 6 atletas pueden quedar primero, segundo y tercero en una carrera?

.........................................................................................................................................................

PERMUTACIONES

Son las distintas formas en que se pueden ordenar los m elementos de un conjunto.

El número de permutaciones de m elementos es:

Pm = ........................

EJEMPLO: ¿De cuántas maneras puedo colocar tres libros en una estantería, de izquierda a derecha?

.........................................................................................................................................................

COMBINACIONES

Son los distintos subconjuntos de n elementos que se pueden obtener con un con-junto de m elementos. No influye el orden. No se pueden repetir.

El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n es:

Cm, n = ........................

EJEMPLO: ¿Cuántos tríos puedo escoger de un grupo de cinco alumnos?

.........................................................................................................................................................

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PRACTICA

1 Cuatro equipos de fútbol-sala A, B, C, D se enfrentan entre sí, todos contra todos, en un torneo. ¿De cuántas formas diferentes pueden quedar al final el 1.º y el 2.º? Utiliza un diagrama de árbol.

2 En una liga de 10 equipos de balonmano, ¿de cuántas formas pueden quedar clasifi-cados los tres primeros? ¿En cuántas de ellas A es campeón?

3 Lanzo un tetraedro (4 caras) numerado. ¿Cuántos resultados pueden salir? ¿Y si lo lanzo dos veces? ¿Y si lo lanzo tres veces?

4 Con dos colores: A (azul) y R (rojo), ¿cuántas banderas de dos franjas verticales puedes formar? ¿Y con tres colores para tres franjas?

5 Queremos que tres pueblos A, B, C tengan todos entre sí línea telefónica. ¿Cuántas líneas tenemos que instalar? ¿Y si fueran cuatro pueblos? ¿Y si fueran diez pueblos?


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

CombinatoriaCombinatoria

UNIDAD

11Ficha de trabajo A

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149

Ficha de trabajo A

APLICA. FABRICACIÓN DE YOGURES

En una fábrica de yogures tienen el siguiente sistema para codificar los distintos productos que elaboran. Hay tres sabores: Natural (N), Fresa (F) y Plátano (P). Por cada sabor produ-cen dos tipos de yogures: Entero (código 0) y Desnatado (código 1). De cada tipo fabrican dos modalidades: con cereales (código 0) y sin cereales (código 1). A su vez, pretenden utilizar dos tipos de envases: de un cuarto de litro (código 0) y de un litro (código 1).

1 Un día encontraron unas etiquetas que decían “P101”. ¿A qué producto pertenecen?

2 El departamento de compras quiere saber cuántas etiquetas distintas deben elaborar para todos los productos. ¿Puedes decírselo?

3 Han decidido fabricar otros dos sabores: Kiwi (K) y Melocotón (M). ¿Cuántos tipos de productos lanzará ahora al mercado la empresa?

4 En el laboratorio han observado que los yogures obtenidos al mezclar dos sabores entre los cinco elaborados dan un resultado excelente. ¿Cuántas mezclas pueden obtener?

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PRACTICA

1 Cinco atletas A, B, C, D, E participan en la final de los 100 m. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar a meta? ¿En cuántas de ellas sería A el 3.º?

2 En un juego de cartas, de una baraja de 40, cada jugador recibe en cada mano 5 car-tas. ¿Cuántas manos diferentes puede recibir un jugador al empezar?

3 Un entrenador de baloncesto dispone de 2 jugadores para el puesto de base, 4 para los dos puestos de aleros y 3 para los dos puestos de pívot. ¿Cuántos equipos distin-tos podrá formar?

4 Sabiendo que Cm, n = , ¿podrías encontrar, por tanteo, la solución de la igualdad

( 5x ) = ( 5

x + 1) ?


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................

CombinatoriaCombinatoria

UNIDAD

11Ficha de trabajo B

(mn )

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APLICA. RESOLVER UN ENIGMA ES ENCONTRAR UN TESORO

Ficha de trabajo B

Vincent MacArrow dedica toda su vida a buscar un tesoro oculto. Sus pesquisas le llevan a una cripta que se abre con una cerradura formada por cinco cilindros giratorios, cada uno de ellos con los dígitos del 0 al 9 en su superficie. Solo una de las combinaciones numé-ricas abrirá la puerta. Sería imposible probar todas las combinaciones, pero MacArrow ha ido recorriendo medio mundo para recoger cinco pistas que, al resolverlas, le darán las cinco cifras clave para abrir la cripta.

PRIMER ACERTIJO (CIFRA DE LAS DECENAS DE MILLAR)

“Con las letras de TESORO, tantas palabras que terminan en O menos las que empiezan en consonante, resta las cifras de la cantidad resultante”.

SEGUNDO ACERTIJO (CIFRA DE LAS UNIDADES DE MILLAR)

“Juega con dos dados y con tres ducados. ¿Cuántos resultados tendrás? ¡Su 48.a parte calcularás!”

TERCER ACERTIJO (CIFRA DE LAS CENTENAS)

“¡Oh, dodecaedro hermoso20 vértices estamosni yo, ni mis 9 vecinos nos hablamoscalcula 1/20 de los caminos (diagonales) que contamos!”

CUARTO ACERTIJO (CIFRA DE LAS DECENAS)

“Acuérdate de Tartaglia. Sin desarrollar combinatoria, halla x y sigue hacia la gloria”

QUINTO ACERTIJO (CIFRA DE LAS UNIDADES)

“Desde A hasta el tesoro irás.Nunca subir podrás.¿De cuántos caminosdispondrás?”

“¿Ya tienes el número mágico? La cerradura abrirás si con sus cifras 52 sumaras”.

A

C

FE

B

D

G H

( 9x ) = ( 9

x + 1)

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UNIDAD

11


1 De 12 formas (V4, 2).

2 V10, 3 = 10 · 9 · 8 = 720. Fijando A en el 1.º, quedan 9 equipos para quedar 2.º y 3.º, y esto ocurrirá de V9, 2 = 9 · 8 = 72 formas.

3 1 vez 8 4 resultados 2 veces 8 42 = 16

3 veces 8 43 = 64

4 AR, RA 8 2 banderas ABC, ACB, BAC, BCA...: P3 = 3! = 6

5 A B AB BC C3, 2 = 3 AC

C Para 4 pueblos: C4, 2 = 4 · 3

2 · 1 = 6 líneas

Para 10 pueblos: C10, 2 = 10 · 92

= 45 líneas

APLICA

1 Es un yogur de plátano, desnatado, con cerea-les y de un litro.

2 Para cada sabor, el total de etiquetas es VR2, 3 = 23 = 8.

Como hay 3 sabores, habrá, en total, 8 · 3 = 24 etiquetas.

3 Ahora tenemos 5 sabores. Habrá, en total, 5 · 23 = 40 tipos de productos distintos.

4 Al mezclar dos sabores, tenemos: C5, 2 = 10 mezclas.


1 P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

A sería 3.º en los casos (__ __ A __ __)

P4 = 24 casos.

2 V40, 5 = 40 · 39 · 38 · 37 · 365 · 4 · 3 · 2 · 1

= 658008

3 C2, 1 · C4, 2 · C3, 2 = 2 · 4 · 32

· 3 · 22

= 36 equipos

4 VR2, 3 = 23 = 8 mensajes

5 x = 2, pues

APLICA

PRIMER ACERTIJO: Fijada una O como última letra, hay P5 = 120 palabras que terminan en O. De estas últimas, las que empiezan por una consonante fijada son P4 = 24. Como hay 3 consonantes, hay 24 · 3 = 72 palabras que empiezan por consonante.

Restando: 120 – 72 = 48

Restando cifras: 8 – 4 = 4.

El primer número es el 4.

SEGUNDO ACERTIJO: Con dos dados hay 36 resul-tados. Con 3 ducados hay VR2, 3 = 8 resultados. Con los dos dados y los tres ducados hay 36 · 8 = = 288 resultados. Por tanto, el segundo número es 288 : 48 = 6.

TERCER ACERTIJO: De cada vértice salen 10 diago-nales. Por tanto, en total habrá 200 diagonales. Como así contamos dos veces cada diagonal, tendremos 100 diagonales. Por tanto, el tercer número es 100/20 = 5.

CUARTO ACERTIJO:

9!x! (9 – x)!

= 9!(x + 1)! (9 – x – 1)!

8

8 (x + 1)! (9 – x – 1)! = x! (9 – x )! 8 x + 1 =

9 – x

Por tanto, x = 4.

QUINTO ACERTIJO: Hay 6 caminos hasta el tesoro.

Uniendo todas las soluciones, nos queda el núme-ro 4 6 5 4 6, que abre la cripta. Si sumamos sus cifras, nos da 25 = 52.

( 52 ) = ( 5

3 ).}

Material complementario para el desarrollo de las competencias básicasLa incorporación de las competencias básicas al currículo permite poner el acento en aquellos apren-dizajes que se consideran imprescindibles desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicación de los saberes adquiridos.Cada una de las materias contribuye al desarrollo de diferentes competencias y, a su vez, cada una de las competencias básicas se alcanzará como consecuen-cia del trabajo en varias materias. Su logro capacitará al alumnado en su realización personal y en su incorpora-ción satisfactoria a la vida adulta.En este proyecto de Matemáticas para 2.° ESO, todas las tareas propuestas al alumnado están concebidas para el desarrollo progresivo de las competencias, al hilo de la secuenciación temática de los contenidos.

Coordinador: Carlos MarchenaAutores: Juan Antonio Díaz Cristóbal Navarrete

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1 El número π

Como sabes, los números racionales junto con los irracionales conforman el conjunto de los números reales. El número π es irracional, es real. Mucho se ha escrito sobre él, desde frases que ayudan a recordar cuáles son sus primeras cifras hasta poemas.

Por ejemplo, el número de letras de cada palabra de la frase “Sol y Luna y Cie-lo proclaman al Divino autor del Mundo” nos dicta las primeras cifras de este nú-mero: 3,1415926535…

a) El siguiente poema, de Manuel Golmayo, ayuda a reconocer las veinte primeras cifras del número π.

Soy y seré a todos definible,mi nombre tengo que daros,

cociente diametral siempre inmediblesoy de los redondos aros.

Escríbelas.

¿Qué papel juega el número π en el cálculo de la longitud de una circunferencia? ¿A qué se refiere el autor del poema anterior con cociente diametral? ¿Y con re-dondos aros? ¿Y con siempre inmedible?

b) Busca ahora información sobre un famoso poema de Wislawa Szymborska, poetisa polaca que obtuvo el Premio Nobel de Literatura en 1996, que versa sobre el número π.

Wislawa SzymborskaPremio Nobel de Literatura 1996

En este poema se puede leer algo similar a esto (dependerá de la traducción que hayas encontrado):

“La serpiente más larga de la tierra después de muchos metros se acaba. Lo mismo hacen aunque un poco después las serpientes de la fábulas. La compar-sa de cifras que forma el número Pi no se detiene en el borde de una hoja, es capaz de continuar por la mesa, el aire, la pared, la hoja de un árbol, un nido, las nubes, y así hasta el cielo, …”


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Actividad I. Los números realesActividad I. Los números reales

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¿A qué característica o propiedad del número π se está refiriendo la autora en es-te fragmento del poema?

Según esto, ¿podrías encontrar dos cifras seguidas que coincidan con tu edad? ¿Y un grupo de cifras que coincidan exactamente con tu número de teléfono?

2 Otros números irracionales

a) Busca el valor aproximado del número áureo.

b) Mide el largo y el ancho de una tarjeta de crédito. ¿Qué número aparece, aproxi-madamente, si hallas la razón entre las medidas que has obtenido?

c) Dibuja un cuadrado de longitud x. Adósale un rectángulo de altura x de forma que sea semejante al rectángulo formado por el cuadrado y él mismo.

x

x1

d) Si cuentas las letras de cada palabra de “Te ayudaré a recordar la cantidad”, ob-tendrás las primeras cifras de un importante número irracional. ¿Qué número es?

e) ¿Conoces algunos números irracionales distintos de π, del número áureo y del que has encontrado en el apartado anterior? Nómbralos.

3 Los números

a) Números naturales, enteros, fraccionarios… Realiza una clasificación de los nú-meros que conoces, explicando brevemente el criterio seguido. Pon, en cada ca-so, un par de ejemplos.

b) Completa el siguiente esquema con los distintos conjuntos de números: naturales (N), enteros(Z), racionales (Q), irracionales (|I) y reales (Á).

¿Cuál es la razón de semejanza de esos dos rectán-gulos?

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Actividad II. ÁlgebraActividad II.

1 Matemágicas

Accede a la página siguiente:

http://descartes.cnice.mec.es/matemagicas/index.htm

Entra en el apartado magia y realiza la actividad “La edad y los sueños”.

¿Obtienes el resultado que se indica? Prueba nuevamente.

Traduce al lenguaje algebraico algunos de los acertijos que te proponen, observa el polinomio que obtienes y déjalo ahí. Volveremos a él.

Ahora resuelve los tres acertijos que te proponemos a continuación. Has de tener en cuenta que solo funcionan si estamos en el año 2011. Si estuviésemos en cualquier otro año, después de hacer esta investigación sabrás cómo rectificar lo que aquí ob-tengas para que el acertijo funcione.

Acertijo 1

a) Piensa en el número de días de la semana en los que te gustaría evadirte y soñar.

b) Multiplica por 4 dicho número.

c) Suma 6 al resultado.

d) Multiplica por 25 dicho número.

e) Si tu cumpleaños ha pasado, súmale 1861; si no, 1860.

f ) Resta tu año de nacimiento.

Observa el número de tres cifras que has obtenido. ¿A qué corresponde la cifra de las centenas?

¿A qué te suena el número que formas con las dos cifras que quedan?

Traduce el acertijo a lenguaje algebraico.

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Acertijo 2


b) Multiplica por 20 dicho número.

c) Suma 5 al número obtenido.

d) Multiplica por 5 el resultado.

d) Si ya has cumplido los años, suma 1986; si no, 1985.

e) Resta al número anterior tu año de nacimiento.

Observa el número de tres cifras que has obtenido.

La cifra de las centenas es…

¿Encuentras tu edad en algunas cifras de ese número?


Acertijo 3


b) Multiplícalo por 2.

c) Suma 3 al resultado obtenido.

d) Multiplica el resultado por 50.

e) Si has cumplido ya los años, suma 1861; si no, 1860.

f ) Resta al resultado tu año de nacimiento.

Del número de tres cifras que has obtenido, la cifra que está en el lugar de las cen-tenas corresponde a…

Y ahora, busca tu edad en ese número.


Acertijo 4

Esto es más que un acertijo, es una investigación.

Compara las traducciones a lenguaje algebraico que has hecho para los tres acerti-jos que te hemos propuesto. ¿Ves alguna coincidencia en ellas?

¿Entiendes cuál es la rutina para poder llegar a ese número de tres cifras que que-remos obtener?

Y ahora compara estas traducciones con la que obtuviste al principio para la página de “La edad y los sueños”. ¿Cómo la rectificarías para que todo saliese bien?

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Actividad III. Geometría AnalíticaActividad III.

GEOGEBRA

Vamos a estudiar geometría utilizando un programa denominado Geogebra.

El programa es libre y se puede bajar fácilmente de forma gratuita en la siguiente dirección:

http://www.geogebra.org/cms/es/download

Cuando abras el programa, aparecerá un escritorio como este:

Si pulsamos el triángulo que aparece en la parte inferior de cada botón de la barra de herramientas, se despliega un menú con mas opciones:

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Es conveniente seleccionar la opción “Cuadrícula” disponible en el menú “Vista”:

1 Trazado de rectas

Vamos a trazar la recta que pasa, por ejemplo, por los puntos (1, 3) y (5, 4). Para ello, seleccionamos la opción “recta que pasa por dos puntos”:

a) Traza una recta perpendicular a la anterior que pase por el punto (0, 0).

b) Traza la recta paralela a la recta original que pasa por el punto (3, 0).

c) Halla la ecuación y la pendiente de la recta que pasa por los puntos (–2, 5) y (3, –2).

2 Triángulos

a) Dibuja el triángulo de vértices (1, 1), (5, 2) y (3, 3).

b) Calcula su área. Para ello, selecciona la opción “área” e indica, con el puntero, cuáles son los vértices del triángulo.

c) Halla su baricentro. Para ello, traza las rectas que van desde un vértice al punto medio del lado opuesto y calcula el punto donde se cortan.

d) Halla el circuncentro y traza la circunferencia circunscrita. Recuerda que es el punto donde se cortan las tres mediatrices y es el centro de la circunferencia circunscrita.

e) Calcula el incentro y traza la circunferencia inscrita.

Observa que en la barra izquierda aparecen las coordenadas de los puntos y la ecuación de la recta.

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3 Cálculo de distancias

Ahora queremos calcular la distancia del punto (3, 5) a la recta de ecuación 3x + y = 7.

Recuerda que la distancia de un punto a una recta es la menor de las distancias de dicho punto a los puntos de la recta, que nos la da la perpendicular.

Comenzamos trazando la recta. Para ello, calculamos las coordenadas de dos de sus puntos. Por ejemplo, (1, 4) y (2, 1). Con ellos, dibujamos la recta utilizando la op-ción “recta que pasa por dos puntos”.

A continuación, trazamos la perpendicular a la recta que pasa por (3, 5) y calculamos la distancia entre el punto dado y el punto donde se cortan ambas rectas:

Calcula, siguiendo los pasos descritos, la distancia entre las rectas –2x + y = 6 y 4x + 2y = 4.

4 Polígonos regulares

Dibuja una circunferencia con centro en el origen y radio 2. Construye un hexágono y un octógono inscritos en ella.

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Actividad IV. Álgebra y geometríaActividad IV.

1 Resolución de sistemas de ecuaciones con WIRIS

Vamos a utilizar la herramienta WIRIS para resolver sistemas de ecuaciones. Para ello, accede a la página:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/es/index.html

WIRIS es una potente herramienta que permite resolver todo tipo de ecuaciones y sis-temas. Para resolver un sistema, debemos pinchar en la pestaña la opción

, indicar el número de ecuaciones, escribirlas y presionar el símbolo .

Para hallar, por ejemplo, las soluciones del sistema y = 3x – 4{ y = x2 – 4

habría que escribir:

Obtendremos como soluciones:

a) Resuelve, con el programa WIRIS, los siguientes sistemas:

x2 + y2 = 1

i) { (x – 12 )2

+ y2 = 1

x2 + y2 = 1

ii) { (x – 2)2 + y2 = 1

x2 + y2 = 1

iii) { (x – 4)2 + y2 = 1

b) Decide para qué valores de a el sistema siguiente tiene una, dos o ninguna so-lución:

{ x2 + y2 = 1

(x – a)2 + y2 = 1

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2 Circunferencias con GEOGEBRA

La ecuación de la circunferencia con centro en C(a, b) y radio r es:

(x – a)2 + (y – b)2 = r 2

a) Indica cuáles son el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

C1: x2 + y2 = 1

C2: (x – 2)2 + y2 = 1

C3: (x – 12 )2

+ y2 = 1

C4: (x – 4)2 + y2 = 1

C5: (x – a)2 + y2 = 1

b) Representa gráficamente, utilizando el programa Geogebra, las circunferencias siguientes del ejercicio anterior. En cada caso, di su posición relativa:

i) C1 y C2

ii) C1 y C3

iii) C1 y C4

c) Deduce para qué valores de a las circunferencias C1 y C5, del apartado a), se cortan en dos puntos, son tangentes o no se cortan.

d) Encuentra los valores del parámetro a para los que el sistema siguiente tiene una, dos o ninguna solución:

{ y = x

(x – a)2 + y2 = 1

Estudia el problema gráfica y analíticamente.

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Actividad V. Funciones con WirisActividad V. Funciones con Wiris

1 Representación con WIRIS de funciones definidas a trozos

Observa cómo se ha representado, con WIRIS, la siguiente función definida a trozos:

f(x) = { x2 – 1 si x < 0

x si x > 0

Representa, con WIRIS, las siguientes funciones definidas a trozos:

a) f(x) = {

1x

si x < 0

x2 si x > 0

2 La función valor absoluto

La función valor absoluto se puede expresar como una función definida a trozos:

f(x) = §x§ = { x si x > 0

–x si x < 0

Su gráfica consiste en convertir en positiva la parte negativa:

f(x) = x f(x) = §x§

a) Expresa la siguiente función como función definida a trozos y represéntala gráfi-camente:

f(x) = §x2 – 1§

3 si x < –2

b) f(x) = { x + 3 si –2 < x < 2

–3x + 4 si x > 2

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b) Otra opción, más cómoda, para representar el valor absoluto de una función es utilizar el botón §§ que aparece en la barra de herramientas de WIRIS. Repre-senta, de esta manera, las siguientes funciones:

i) f(x) = §1x§

ii) f(x) = §x3 – x§

3 Propiedades de las funciones

a) Representa con WIRIS la siguiente función e indica en qué puntos alcanza su máximo y su mínimo:

f(x) = x3 – 12x

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b) Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua, y repre-séntalas gráficamente.

c) Busca dos ejemplos de funciones periódicas y represéntalas gráficamente.

d) Representa gráficamente las siguientes funciones. Indica cuáles son su dominio y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento:

i) f(x) = √ x2 – 4

ii) f(x) = √ 4 – x2

4 Asíntotas de una función

Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima la función en el infinito. Según co-mo sea la recta, la asíntota se denomina horizontal, vertical u oblicua.

Estudiemos las asíntotas de la función f(x) = x2

x – 1:

Representa las siguiente funciones e indica si tienen asíntotas y de qué tipo son:

a) f(x) = 1x – 2

b) f(x) = x2 + 1x2 – 4

c) f(x) = x3

x2 – 9 d) f(x) = 2x

Como se puede observar, la función tiene una asíntota vertical en x = 1 y una asínto-ta oblicua en y = x + 1.

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1 El viaje de fin de curso

Lucía y Lucas quieren hacer jabón líquido reciclando aceite doméstico usado. Después, lo envasarán y lo ven-derán con el fin de recaudar dinero para el viaje de fin de curso.

Tienen que decidir cuál es la forma de envase mas ade-cuada. Para ello, estudian las medidas que pueden tener un cubo, un prisma de base rectangular y un tetraedro, todos ellos con un litro de capacidad.

a) Mide las dimensiones de un tetrabrik de un litro de capacidad.

b) Calcula las dimensiones que han de tener un cubo y un tetraedro para que su ca-pacidad sea de 1 litro (1 litro = 1 dm3).

c) Si todos se elaboran con el mismo material, ¿cuál resulta más económico?

d) Lucía piensa que el envase en forma de cubo tendría la forma mas atractiva y fá-cil de realizar. ¿Cuál será el coste de un envase de este tipo, si el precio de 1 m2 de material es de 10 €?

e) Sabemos que el coste de elaboración, por litro de jabón, es de 1 €. ¿A cuánto hay que vender el litro de jabón líquido envasado para obtener un beneficio del 75% sobre el coste total de producción?

f) Lucía y Lucas disponen de 200 € para invertir en este proyecto. Si dedicasen to-do el presupuesto a la fabricación de jabón, ¿cuántos litros podrían producir?


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Actividad VI. GeometríaActividad VI.

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g) Si se dedicasen los 200 € del presupuesto a la compra de material para realizar envases, ¿cuántos envases se podrían fabricar?

h) Completa la siguiente tabla:

Presupuesto dedicado a la

elaboración de jabón (en €)

Coste de los envases

necesarios (en €)

Ingresos porla venta de toda la producción (en €)

Beneficios (en €)

10 10 · 0,60 = 6 10 · 2,80 = 28 28 – 16 = 12

20

30

40

50

75

100

125

150

175

200

i) ¿Cuántos litros de jabón hay que elaborar y cuántos metros cuadrados de mate-rial hay que comprar para que se obtengan máximos beneficios?

j) Diseña una campaña de publicidad para el producto. No olvides incluir el nombre del producto, un eslogan, cualidades del producto, etc.

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1 Una estantería debajo de la escalera

Se desea construir una estantería aprovechando el hueco de una escalera, de for-ma triangular.

Las dimensiones del hueco son: 1,5 m de base; 0,9 m de altura y 0,8 m de fondo.

a) Queremos colocar en esta estantería dos baldas: la primera, a 30 cm sobre el suelo; la segunda, 30 cm más arriba que la primera. ¿Cuál será la superficie de cada balda?

b) Para colocar la balda bajo el hueco de las escalera, hay que cortar las maderas en ángulo. ¿Cuánto debe medir éste ángulo?

c) Si el metro cuadrado de madera que vamos a utilizar cuesta 30 €, ¿cuánto cos-tarán los dos estantes?

d) Diseña ahora tu propia estantería con la forma que desees y utilizando la canti-dad de madera que necesites. Calcula su coste.


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Actividad VII. TrigonometríaActividad VII.

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e) Se dispone de 30 cds de dimensiones 14 cm × 14 cm × 1 cm y de 30 dvds de dimensiones 19 cm × 14 cm × 2 cm. Se desea colocar en el hueco dos baldas para colocar todo, de manera que en el estante superior haya solo cds, y en el otro, solo dvds. ¿A qué altura, con respecto al suelo, hay que colocar las baldas para minimizar costes?

f ) Se desea tapar el hueco de la escalera con dos puertas de madera, una de ellas de forma triangular y otra de forma trapezoidal, de manera que cada una ocupe la mitad de la longitud de la base del hueco de la escalera.

i) Indica cuánto miden los catetos de la puerta triangular.

ii) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo y del trapecio?

iii) ¿Cuál es la superficie de cada una de ellas? ¿Cuál será el coste de fabricación de dichas puertas?

g) Amaya ha diseñado una estantería de esta forma:

i) Calcula la longitud del lado de cada cuadrado para que la estantería quepa en el hueco de la escalera y todos los cuadrados sean iguales.

ii) Calcula su coste de fabricación.

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1 Calificaciones en Matemáticas

En un instituto hay cuatro clases de 4.° ESO. Se han estudiado las notas que han obte-nido sus alumnos en la primera evaluación de la asignatura de matemáticas.

Las medias y las desviaciones típicas de las cuatro clases han sido las siguientes:

• 4.° ESO A: media = 5; desviación típica = 1,1952

• 4.° ESO B: media = 5; desviación típica = 3,4112

• 4.° ESO C: media = 5; desviación típica = 2,1742

• 4.° ESO D: media = 5; desviación típica = 0,3015

a) ¿En qué curso se encuentran los alumnos con mejor nota en matemáticas? ¿Y los alumnos con peor nota en matemáticas?

b) Atendiendo a la asignatura de matemáticas, ¿cuál es el curso más homogéneo?

c) ¿A qué grupo te gustaría pertenecer y por qué?

d) Si tu nota en matemáticas es 7, ¿en qué grupo dicha nota sería la mejor de la clase?

Observemos ahora las notas de los alumnos de cuarto de este instituto (las notas del curso 1 no corresponden, necesariamente, a 4.° ESO A):

• Notas del grupo 1 (11 alumnos matriculados):

0 0 2 3 4 5 6 7 8 10 10


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Actividad VIII. EstadísticaActividad VIII.

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• Notas del grupo 2 ( 21 alumnos matriculados):

3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7

• Notas del grupo 3 ( 22 alumnos matriculados):

4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6

• Notas del grupo 4 (11 alumnos matriculados):

3 3 3 5 5 6 6 7 8 8 x

e) Sabiendo que la nota media en cada uno de los cursos es de 5, halla el valor de x en las notas del grupo 4.

f) Halla el valor de la mediana en los cuatro grupos. ¿Qué observas?

g) Realiza la tabla de frecuencias absolutas de las notas para cada uno de los cuatro cursos.

h) ¿Qué tabla, de las anteriores, corresponde a 4.° ESO A? ¿Y a 4.° ESO B, C y D?

i ) Representa, mediante diagramas de barras, las notas de los cuatro grupos ante-riores.

j) Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál crees que es la nota media de todos los alum-nos de cuarto?

k) Halla la desviación típica y el coeficiente de variación de las notas en matemáti-cas del conjunto de los alumnos de 4.° ESO.

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1 La liga andaluza

Se desea organizar una liga de fútbol en Andalucía, en la que participe un equipo de cada provincia andaluza. Cada equipo se enfrentará a otro dos veces, como lo-cal y como visitante. Cada semana, un equipo juega un solo partido y se juegan cuatro encuentros.

a) ¿Cuántas semanas durará la liga?

b) Realiza un esquema para organizar la liga, utiliza para ello una tabla de doble entrada.

c) Calcula la probabilidad de que en la primera semana se enfrenten Córdoba con-tra Jaén.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera semana se enfrenten Córdoba y Jaén, en el estadio de Córdoba?

e) El equipo de Granada dispone en su plantilla de 2 porteros y 14 jugadores. ¿Cuán-tas alineaciones distintas puede realizar si cualquier jugador, salvo los porteros, puede jugar en cualquier posición?


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Actividad IX. ProbabilidadActividad IX.

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f) El fichaje estrella del equipo de Granada ha sido Rafael, que no es portero. ¿Cuántas alineaciones diferentes se pueden realizar con él en el equipo?

g) Por cada partido ganado, el equipo sumará tres puntos, y por cada partido empatado, un punto. ¿Cuál es el nú-mero máximo de puntos que puede obtener un equipo?

h) ¿Podría un equipo acabar la liga con 42 puntos? ¿Y con 41 puntos? ¿Y con 40 pun-tos? Indica, en cada caso, cuántos partidos tiene que ganar, perder y empatar.

i ) Asociada a dicha liga se desea organizar una quiniela con cuatro apuestas, que costará 1 €. Calcula la probabilidad de que una persona tenga 4 aciertos. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga 3 aciertos?

j) Si se estima que en dicha quiniela participará el 25% de la población adulta an-daluza, ¿cuánto se recaudará?

k) La organización desea repartir la recaudación de la siguiente forma:

— El 40% para los participantes con 4 aciertos.

— El 30% para los participantes con 3 aciertos.

— El 30% de beneficios para la organización.

Si una persona tiene 3 aciertos, ¿cuánto espera recibir de premio?

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b)

Actividad II

1 Acertijo 1La cifra de las centenas corresponde al nú-mero que se había pensado. Las otras dos cifras corresponden a la edad.

Traducción a lenguaje algebraico:

a) x

b) 4x

c) 4x + 6

d) (4x + 6) · 25 = 100x + 150

e) Si el cumpleaños ha pasado: 100x + 150 + 1 861 = 100x + 2 011

Si el cumpleaños no ha pasado: 100x + 150 + 1 860 = 100x + 2 010

f) Si el cumpleaños ha pasado: 100x + 2011 – año nacimiento

Si el cumpleaños no ha pasado: 100x + 2 010 – año nacimiento

Acertijo 2La cifra de las centenas es el número que se había pensado.

La edad se corresponde con las cifras de de-cenas y unidades.


a) x

b) 20x

c) 20x + 5

d) (20x + 5) · 5 = 100x + 25





Actividad I

1 El número πa) 3,1415926535897932384…

La longitud de una circunferencia es π ve-ces su diámetro.

Cociente diametral: cociente entre la lon-gitud de una circunferencia y su diámetro.

Con redondos aros se refiere a las cir-cunferencias.

Y con siempre inmedible se refiere a que el número π tiene infinitas cifras decimales.

b) Se refiere al número de cifras decimales de π, infinitas.

Con seguridad se podrían encontrar dos ci-fras seguidas que coincidan con tu edad. Y también un grupo de cifras que coincidan exactamente con tu número de teléfono.

2 Otros números irracionalesa) Con veinte cifras decimales:

1,61803398874989484820...

b) Largo: 8,6 cm. Ancho: 5,4 cm.

8,6 : 5,4 = 1,59… Se obtiene, aproxima-damente, el número áureo.

c)

Para que los rectángulos sean semejan-tes, sus medidas deben verificar:

1x

= xx + 1

8 x2 – x – 1 = 0 8 x = 1 + √ 5 2

d) El número e = 2,71828…

e) Por ejemplo, √ 2 , √ 5 , …

3 Los númerosa) Números naturales: 0, 1, 2, 3, …

Números enteros (los naturales más los negativos): 7, –3, 45…

Números racionales (los enteros más los

fraccionarios): 7, –3, 45, 15

, 78

…

Números reales (los racionales más los

irracionales): 7, –3, 78

, √ 7 , f,…


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Actividad III

1 Trazado de rectas

a) y b)

c)

2 Triángulos

a) y b)

c)

Acertijo 3La cifra de las centenas corresponde al nú-mero pensado.

La edad se corresponde con las cifras de de-cenas y unidades.


a) x

b) 2x

c) 2x + 3

d) (2x + 3) · 50 = 100x + 150





Acertijo 4En los tres casos se obtiene el mismo resul-tado:

Si el cumpleaños ha pasado: 100x + 2011 – año nacimiento

Si el cumpleaños no ha pasado: 100x + 2 010 – año nacimiento.

La edad se consigue restando el año en el que se nació del año en curso (2011, por ejemplo), si es que ya se han cumplido los años. Si no se han cumplido, hay que bajar una unidad el año el que se está. Para ob-tener en la cifra de las centenas el número pensado no hay más que sumar 100x, sien-do x ese número.

En la página “La edad y los sueños” se obtie-nen expresiones algebraicas del tipo:

100x + 111 – año cumpleaños

100x + 110 – año cumpleaños

El error está en que se debe conseguir 2011 en lugar de 111 (si estamos en 2011), o 2010 en lugar de 110. También se puede rectificar dejando 111 y 110 y restando, en lugar del año de nacimiento con cuatro ci-fras, el año de nacimiento con solo las dos últimas cifras (si el año de nacimiento es del siglo XX). Piensa por qué es así. Piensa, también, cómo habría que rectificar esto úl-timo para una persona que hubiese nacido ya en el siglo XXI.

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Actividad IV

1 Resolución de sistemas con WIRISa) i ) Tiene dos soluciones.

ii) Tiene solución única.

iii) Incompatible

b) Si a < –2 o a > 2, el sistema no tiene solución.

Si a = –2 o a = 2, el sistema tiene una solución.

Si –2 < a < 2, el sistema tiene dos solu-ciones.

2 Circunferencias con GEOGEBRA

a) C1: Centro: (0, 0). Radio: 1.

C2: Centro: (2, 0). Radio: 1.

C3: Centro: (1/2, 0). Radio: 1.

C4: Centro: (4, 0). Radio: 1.

C5: Centro: (a, 0). Radio: 1.

b) i) Las circunferencias son tangentes ex-teriores.

d)

e)

3 Cálculo de distancias

a) y = 6 + 2x

x y

0 6

1 8

y = 4x – 42

x y

0 –2

1 0

4 Polígonos regularesa)

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b)

2 La función valor absoluto x2 – 1 si x < –1

a) f(x) = §x2 – 1§= { –x2 + 1 si –1 < x < 1

x2 – 1 si x > 1

b) i)

ii)

ii) Las circunferencias se cortan en dos puntos.

iii) Las circunferencias no se tocan.

c) Se cortan en dos puntos si a < –2 o a > 2.

Son tangentes si a = –2 o a = 2.

No se cortan si –2 < a < 2.

d) Si a < –√ 2 o a > √ 2 , el sistema no tie-ne solución.

Si a = –√ 2 o a = √ 2 , el sistema tiene una solución.

Si –√ 2 < a < √ 2 , el sistema tiene dos so-luciones.

Actividad V

1 Representación con WIRIS de funciones definidas a trozosa)

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4 Asíntotas de una funcióna)

Asíntota horizontal: y = 0

Asíntota vertical: x = 2

b)


Asíntotas verticales: x = –2, x = 2

c)

Asíntotas verticales: x = –3, x = 3

Asíntota oblicua: y = x

3 Propiedades de las funciones

a)

Máximo: (–2, 4).

Mínimo: (2, –4).

b) Respuesta abierta.

c) Respuesta abierta.

d) i) f(x) = √ x2 – 4

D(f) = (–@, –2] « [2, +@)

(–@, –2) DECRECIENTE; (2, +@) CRECIENTE

ii) f(x) = √ 4 – x2

D(f) = [–2, 2]

(–2, 0) CRECIENTE; (0, 2) DECRECIENTE

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Actividad VII

1 Una estantería debajo de la escalera

a) Las baldas tendrán una superficie de 0,8 m2 y de 0,4 m2.

b) El ángulo debe medir 30° 57' 50''.

c) Costarán 36 €.

d) Respuesta libre.

e) La balda de los cds ha de estar a 68 cm del suelo, y la de los dvds, a 35 cm.

f) i) Los catetos miden 45 cm y 75 cm.

ii) Triángulo: 90°; 30° 57' 50''; 59° 2' 10''

Trapecio: 90°; 90°; 59° 2' 10''; 127° 57' 50''

iii) STRIÁNGULO = 0,16875 m2

STRAPECIO = 0,50625 m2

Fabricar la puerta triangular costará 5,0625 €. La puerta trapezoidal cos-tará 15,1875 euros. En total, 20,25 €.

g) i) El lado del cuadrado debe medir 25 cm.

ii) El coste de fabricación será 108 €.

Actividad VIII

1 Calificaciones en Matemáticas

a) Tanto los alumnos con mejor nota como los alumnos con peor nota están en 4.° ESO B.

b) El curso más homogéneo es 4.° ESO D.

c) Respuesta libre.

d) En 4.° ESO D.

e) x = 1

f ) Es 5 en todos los grupos.

g) Grupo 1

xi fi0 22 13 14 15 16 17 18 1

10 2

d)


Actividad VI

1 El viaje de fin de curso

a) Tetrabrik: 20 cm x 6 cm x 9 cm, aproxi-madamente.

b) Cubo: 1 dm de lado.

Tetraedro: 6√ 72 dm de lado.

c) Área total del tetrabrik: 7,1 dm2

Área total del cubo: 6 dm2

Área total del tetraedro: 7,21 dm2

Resultaría más económico el cubo.

d) El coste de un envase con forma de cubo será 60 céntimos.

e) Hay que vender a 2,80 € el litro de jabón.

f ) Se pueden producir 200 litros.

g) Se podrían fabricar 333 envases.

h) Presupuesto dedicado a la

elaboración de jabón (en €)

Coste de los envases necesarios

(en €)

Ingresos por la venta de toda la producción

(en €)

Beneficios (en €)

10 10 · 0,60 = 6 10 · 2,80 = 28 28 – 16 = 12

20 20 · 0,60 = 12 20 · 2,80 = 56 56 – 32 = 24

30 30 · 0,60 = 18 30 · 2,80 = 84 84 – 48 = 36

40 40 · 0,60 = 24 40 · 2,80 = 112 112 – 64 = 48

50 50 · 0,60 = 30 50 · 2,80 = 140 140 – 80 = 60

75 75 · 0,60 = 45 75 · 2,80 = 210 210 – 120 = 90

100 100 · 0,60 = 60 100 · 2,80 = 280 280 – 160 = 120

125 125 · 0,60 = 75 125 · 2,80 = 350 350 – 200 = 150

150 150 · 0,60 = 90 (*) 150 · 2,80 = 420 420 – 240 = 180

175 175 · 0,60 = 105 (*) 175 · 2,80 = 490 490 – 280 = 210

200 200 · 0,60 = 120 (*) 200 · 2,80 = 560 560 – 320 = 240

(*) Nos pasamos del presupuesto. Por tanto, no po-

demos elaborar tantos litros de jabón.

i ) Envasan 125 litros, para los que nece-sitan 7,5 m2 de material. Obtienen unos beneficios máximos de 150 €.

j ) Respuesta libre.

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Actividad IX

1 La liga andaluzaa) La liga durará 14 semanas, 7 partidos de

ida y 7 de vuelta.

b) Respuesta abierta. Damos un ejemplo de organización.

Partidos de ida:

AL CA CO GR HU JA MA SEAL 1.a 2.a 3.a 5.a 6.a 7.a 4.a

CA 3.a 2.a 7.a 5.a 4.a 6.a

CO 1.a 6.a 4.a 5.a 7.a

GR 4.a 7.a 6.a 5.a

HU 1.a 2.a 3.a

JA 3.a 2.a

MA 1.a

SE

Los partidos de vuelta se organizan de la misma forma.

c) 2/14 = 1/7

d) 1/14

e) 2 · C14, 11 = 2 · 364 = 728

f) 2 · C13, 10 = 2 · 286 = 572

g) 14 · 3 = 42

h) Acabar con 41 puntos es imposible. Aca-bar con 40 puntos sí es posible, logrando 13 victorias y 1 empate. Terminar con 39 puntos también es imposible.

i ) P[4 ACIERTOS] = 1/81; P[3 ACIERTOS] = 8/81

j ) Se estima que la población andaluza ma-yor de 18 años en 2010 era de 6 500 000 habitantes.

25% de 6 500 000 = 1 625 000

k) Si la probabilidad de tener 3 aciertos es de 8/81, se espera que tengan tres acier-tos:

881

de 1 625 000 ≈ 160 494 personas

La recaudación total asciende a 1 625 000 €. Al conjunto de los acertantes de 3 les to-cará el 30%:

30% de 1 625 000 = 487 500 €

Por tanto, a cada acertante de 3 le toca-rán:

487 500 : 160 494 ≈ 3,04 €

Grupo 2

Grupo 2

xi fi3 34 35 96 37 3

Grupo 3Grupo 3

xi fi4 15 206 1

Grupo 4

xi fi1 13 35 26 27 18 2

h) Grupo 1: 4.° ESO B

Grupo 2: 4.° ESO A

Grupo 3: 4.° ESO D

Grupo 4: 4.° ESO C

i)

j) 5

k)

k) xi fi0 21 12 13 74 55 326 77 58 3

10 2

q = 1,81; C.V. = 1,815

= 0,36

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

Tareas competenciales para preparar las pruebas de diagnóstico

Las tareas competenciales incluidas en este apartado pretenden ser un material de apoyo al profesorado en el trabajo por competencias destinado a preparar prue-bas de diagnóstico, y en ningún caso tienen la intención de reemplazar el quehacer programador que cada pro-fesor o profesora plantee al respecto.

Las tareas diseñadas tienen como objetivo ayudar al profesorado a determinar el grado de consecución de las competencias básicas por parte del alumna-do, así como proporcionarle una ejemplificación prác-tica de «actividades competenciales». Es decir, por un lado, estas tareas buscan orientar al profesorado en el diseño de tareas competenciales, y, por otro, intentan proporcionarle una herramienta útil para «cuantificar» la realidad competencial de sus estudiantes, tanto indi-vidual como grupalmente.

Estas tareas deben integrarse dentro del desarrollo continuado que representa el trabajo por competen-cias, que, en ningún caso, puede responder a momen-tos esporádicos de ejecución.

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1 COMPRA Y VENTA DE CARNE

Antonio, Bernardo, Carlos y Domingo son los socios de una carnicería. Deciden com-prar en el matadero lotes de carne de vacuno.

Para ello, eligen una res cuyo peso, una vez eviscerada y deshuesada, ha sido de 241 kg y medio.

El matadero les prepara lotes de 5 kg y tres cuartos, a un precio de 60 euros cada lote.

a) ¿Cuántos lotes obtendrán de la res elegida?

b) A la hora de comprarlos, deciden que Antonio pague una determinada cantidad de lotes; Bernardo, 3 kg más que Antonio; Carlos, 3 kg más que Bernardo, y Domingo, 3 kg más que Carlos. ¿Cuántos lotes adquirió cada uno y cuánto gastó?

c) Después, en el mercado, deciden ponerlos a la venta, a un precio de 16 euros cada kilo de carne. Al final de la jornada, han vendido todo. ¿Cuánto ganará cada uno?


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Tareas competenciales para preparar las pruebas de diagnósticoTareas competenciales para preparar las pruebas de diagnóstico

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2 ESCULTURA MATEMÁTICA

En el museo de la Ciencia de la localidad donde vive Luis, se ha inaugurado una exposición de estructuras y formas geométricas. Luis y sus compañeros han ido con su profesora de matemáticas a visitarla y, después de hacer todo el recorrido, les han dado unas fichas con datos de figuras de la muestra para que averigüen algunas cuestiones sobre sus medidas.

A Luis le ha tocado esta estructura transparente de metacrilato: un prisma en cuyo interior se intersecan dos figuras planas, un cuadrado y un triángulo rectángulo.

La altura del prisma, que es de base cuadrada, es el doble de lo que mide el lado de su base. Además, los puntos E y F son los puntos medios de las aristas sobre las que están. Las cuestiones que tiene que resolver son las siguientes:

a) Tomando 1 u como altura del prisma, calcula la medida exacta del perímetro del cuadrado BEDF y de su superficie (no uses calculadora, ni des los resultados con números decimales).

b) Calcula, también, la medida exacta del perímetro y de la superficie del triángulo rectángulo ABC.

c) Supongamos que un insecto camina sobre la estructura, recorriendo exactamente estos segmentos: DE - EB - BA - AC. Comprueba que el valor exacto de la distancia que recorre es 3 + √3 veces el valor del lado del cuadrado BEDF.

Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

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3 COMPUESTOS QUÍMICOS

El agua oxigenada, que se usa en las casas como desinfectante, es un agua enrique-cida en oxígeno. Su fórmula molecular es H2O2. Esto significa que cada molécula de agua oxigenada está formada por dos átomos de hidrógeno (H2) y dos átomos de oxígeno (O2).

Sabemos que un átomo de hidrógeno pesa 1,66 · 10–24 g y que uno de oxígeno pesa 1,33 · 10–23 g.

a) ¿Cuál de los dos átomos pesa más, el de hidrógeno o el de oxígeno?

b) Cada vez que aplicamos agua oxigenada a una herida pequeña, la cantidad uti-lizada es, aproximadamente, de 1 cm3 (1 gramo). ¿Cuántas moléculas de agua oxigenada tiene esa dosis?

c) ¿Cuántas moléculas de agua oxigenada tiene un frasco de 250 cm3? ¿Cuántos cuatrillones son (1 cuatrillón = 1024)?

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4 OFERTAS BANCARIAS

Daniel dispone de un capital de 60000 euros y va a tres entidades bancarias, A, B y C, en busca de una oferta, a 10 años, para el rendimiento de su dinero. Le ofrecen:

A 8 Un 3% anual de interés compuesto durante los 10 años.

B 8 Un 6% anual de interés compuesto durante los cinco primeros años y, después, para el capital generado, un 2% de interés simple durante los otros 5 años.

C 8 Un 2% anual de interés compuesto durante los tres primeros años; para el capi-tal final, un 5% anual de interés compuesto durante los tres años siguientes y, finalmente, para el capital generado, un 3% anual de interés compuesto durante los cuatro años restantes.

Daniel hace números, buscando cuál de las tres ofertas le proporciona más capital después de esos 10 años.

a) ¿Cuánto dinero ganará con la oferta del banco A?

b) ¿Y con la del banco B?

c) ¿Y con la del banco C? ¿Qué oferta es, por tanto, la más interesante?

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5 ÁLGEBRA Y TANGRAM

En clase de matemáticas, Inés está manipulando y formando figuras con un tangram chino (cuadrado dividido en 7 piezas). Su profesor le pide que lo vuelva a montar en su composición cuadrada original y le plantea los siguientes problemas:

a) Si llamas x al lado del cuadrado grande, PQRS, escribe la expresión, en función de x, de la diagonal de ese cuadrado.

b) Halla, en función de x, la expresión del área de cada figura A, B, C, D, E, F y G. Compara las superficies de las piezas. Prueba, usando sus expresiones alge-braicas, que la suma de las superficies de las piezas D, F y G coincide con la superficie de la pieza A (SD + F + G = SA).

c) ¿Cuánto medirá el lado x de un tangram en el que las superficies de las piezas A, C y F suman 7 · 22 cm2?

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6 PLEAMAR Y BAJAMAR

En un puerto, el práctico (oficial encargado) dispone de un medidor de alturas del nivel del mar.

En un día con el mar en calma, las diferentes alturas que registra la marea, a ciertas horas del día, vienen dadas por la siguiente tabla:

a) Un aparato, activado por el movimiento del mar, va dibujando la gráfica que rela-ciona ambas variables. Dibuja esa gráfica. ¿Puedes asegurar que será continua?

Suponiendo que las subidas y bajadas de la marea fuesen idénticas a lo largo de unos cuantos días, ¿qué tipo de función dibujaría el aparato?

b) ¿En qué intervalos de tiempo crece o decrece la función? ¿Cuándo se alcanza la bajamar (altura mínima del agua) y cuándo la pleamar (altura máxima)?

c) El práctico utiliza la tasa de variación media, T.V.M., para medir en qué intervalos de tiempo crece o decrece más rápido la altura del agua. Compara esta medida en los intervalos [0, 6] y [6, 12], y en los intervalos [12, 18] y [18, 22].

HORAS2

ALTURA (cm)

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

150

160

170

180

190

200

200

220

200 195

20Hora

Altura (cm)

2

190 180 170 165 160 155 160 180 190

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Tarea 1

188

7 REPOSTANDO COMBUSTIBLE

Ernesto va a realizar un largo viaje. Al subir al coche, observa que el marcador de combustible registra 10 litros. Decide ir a la gasolinera y echar al depósito 30 litros, que le cuestan 30 euros.

a) Construye una tabla de valores que relacione los litros de combustible, x, que hay en el depósito, con lo que Ernesto paga, P (toma x = 10, 20, 30, 40 y ten en cuenta que los 10 litros que ya tenía el depósito no tiene que pagarlos). Represen-ta la gráfica correspondiente.

b) ¿Cuál es la expresión analítica que relaciona P con x?

c) Compara la tasa de variación media de P(x) en los intervalos [10, 30] y [30, 40]. ¿Qué observas? ¿Qué tipo de función es?

d) Si Ernesto hubiera llenado el depósito, habría pagado 50 euros. ¿Cuál es la capa-cidad del depósito?

e) A Ernesto le gusta la mecánica. Un día, tratando de cambiar los amortiguadores traseros del coche, pudo atisbar la base del depósito de combustible, que tiene forma de cilindro: era un círculo de 20 cm de radio. ¿Qué altura tiene el depósito?

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

VOLUMEN (l )

PRECIO (€)

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Tarea 1

189

8 EL DEPÓSITO

El volumen de agua almacenado en un depósito, V, depende del tiempo, t, en el que esté abierto un desagüe, según la expresión analítica

V = 5 (1 + 1

t + 1 )donde t viene dado en horas, y V, en metros cúbicos.

a) ¿Cuál es la capacidad del depósito?

b) Se estima que una familia de cuatro miembros necesita unos 200 litros de agua diarios. ¿Para cuántos días tendrían con el depósito lleno y el desagüe cerrado?

c) Suponiendo que el desagüe está abierto, completa una tabla de valores en la que se relacione V con t (toma t = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12). Construye una gráfica con los datos que obtengas.

d) Si el desagüe se quedara abierto indefinidamente, ¿se vaciaría del todo el depósi-to? Justifica la respuesta e interprétala.

e) El depósito tiene forma de ortoedro, y su base es un rectángulo de 10 m2 de su-perficie. ¿A qué altura sobre la base se encuentra el desagüe?

2 4 6 8 10 12

5

10

VOLUMEN (m3)

TIEMPO (h)

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Tarea 1

190

9 ACONDICIONAMIENTO DE VÍAS DE TRÁFICO

Los técnicos de Obras Públicas quieren hacer una carretera, desde la población O, en línea recta, de forma que cruce el río por el punto D, que es el más próximo al pueblo.

Sobre el plano de la región, colocan unos ejes coordenados con origen en O. El lado de cada cuadradito del plano equivale a 1 km.

a) El punto donde comienza el puente tiene por coordenadas D(8, 6) y el punto final, E(12, y + 6). ¿Cuál es la distancia, d, del pueblo al puente? ¿Y cuál es la longi-tud, l, del puente?

b) Se quiere construir una gasolinera, G, al otro lado del puente, en línea recta con O, D y E, y 15 km más allá del punto E. ¿Qué coordenadas tendrá G en el plano?

c) Finalmente, se construirá un hotel en un punto H, a la derecha de la carretera y a 5 km de distancia de esta, de forma que H esté a la misma distancia de E que de G. ¿Qué distancia será esta?

G

by

128

6

O

a15 km

E

D

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Tarea 1

191

10 DADO TRUCADO

El siguiente diagrama de barras muestra las puntuaciones obtenidas al lanzar 1000 veces un dado trucado.

a) ¿Cuál es la probabilidad esperada para cada puntuación?

b) Aun conocedores de este experimento, dos jugadores, A y B, deciden jugar con el dado.

Lanzan el dado al aire y:

A gana si sale un número primo.

B gana si sale un 1 o un número compuesto.

¿Qué probabilidades tiene cada uno de ganar?

c) ¿Se te ocurre algún sistema de juego para que este sea equitativo?

1

180

2

160

3

130

4

210

5

200

6

120

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Tarea 1

Pautas de correcciónPautas de corrección

192

1 COMPRA Y VENTA DE CARNE

Niveles de puntuación:3. Las respuestas correctas son:

a) (241 + 12 ) : (5 +

34 ) = 42 lotes

b) Si x es la cantidad pagada por Antonio, tendremos:

x + (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) = 42 8 8 4x = 24 8 x = 6

Por tanto: Antonio adquirió 6 lotes y pagó 360 €;

Bernardo compró 9 lotes por 540 €; Carlos pagó 12 lotes por 720 €, y Domingo adqui-rió 15 lotes por 900 €.

c) En total han recaudado: 16 · (241 + 1/2) = 3864 euros.

Por cada lote han recaudado: 3864 : 42 = 92 euros.

La ganancia por cada lote ha sido de 92 – 60 = 32 euros.

Como Antonio adquirió 6 lotes, ganará 6 · 32 = 192 €.

Bernardo ganará 288 €; Carlos, 384 €, y Domingo, 480 €.

2. Resuelve correctamente los apartados a) y b).

1. Resuelve correctamente el apartado a).

0. En cualquier otro caso.

2 ESCULTURA MATEMÁTICA


El lado del cuadrado BEDF es

l =

Su perímetro es P = 4 · = 2√2 .

Su superficie es l2 = ( )2 =

12

.

b) Los catetos del triángulo rectángulo mi-

den 1 y , y su hipotenusa, .

PABC = ; SABC =

c) El insecto recorrerá una distancia igual a

+ = (3 + √3 ).

2. Plantea y calcula correctamente los aparta-dos a) y b), pero no realiza correctamente el apartado c).

1. Plantea bien los apartados a) y b), pero comete errores en los cálculos, o bien solo realiza correctamente uno de esos dos apartados.


3 COMPUESTOS QUÍMICOS

Niveles de puntuación:

3. Las respuestas correctas son:

a) 1,66 · 10–24 < 1,33 · 10–23. Pesa más un átomo de oxígeno.

b) Una molécula pesa 2 · (0,166 + 1,33) · 10–23 = 2,992 · 10–23 g

En 1 g de agua oxigenada hay

1 : (2,992 · 10–23) ≈ 0,33 · 1023 = = 3,3 · 1022 moléculas.

c) En un frasco de 250 cm3 habrá 250 · 3,3 · 1022 = 8,25 · 1024 moléculas.

Son 8,25 cuatrillones de ellas.

Competencia Utilizar y relacionar distintos tipos de números para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Emplea distintos tipos de números, y elige la notación y forma de cálculo apropiadas, para resolver problemas.

Contenido Números decimales. Notación científica. Operaciones.

Competencia Utilizar y relacionar los números y sus operaciones para resolver problemas cotidianos.


Utiliza los números racionales y sus operaciones para plantear problemas y obtener información. Resuelve problemas de proporcionalidad.

ContenidoNúmeros racionales y sus operaciones. Repartos directamente proporcionales.



Emplea distintos tipos de números y opera con ellos, para resolver problemas. Obtiene medidas indirectas en situaciones reales.

Contenido Números racionales e irracionales. Operaciones. Teorema de Pitágoras.

2 + z2 + z62

z24

z22

z22

z22

z62

z62

3 z22

z z22( 1

2 )2

+

( 12 )2

=

.

z22

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Tarea 1


193

2. Resuelve correctamente los apartados a) y b), pero no el c).

1. Resuelve correctamente el apartado b).


4 OFERTAS BANCARIAS


a) Con la oferta del banco A, el capital final será:

C1 = 60000 (1 + 0,03)10 = 80635 euros

Ganará, por tanto, 20635 euros.

b) Con la oferta del banco B, obtendrá, tras los primeros 5 años:

C2 = 60000 (1 + 0,06)5 = 80294 euros (ha ganado ya 20294 euros)

Después de este período, colocando este dinero a interés simple al 2% anual durante 5 años, obtiene unos beneficios de:

i = C · r · t

100 =

80294 · 2 · 5100

= 8029 euros

Por tanto, el beneficio, después de 10 años, será:

20294 + 8029 = 28323 euros

c) Con la oferta del banco C, tendrá, al final de cada tramo, estos capitales:

C1 = 60000 (1 + 0,02)3 = 63672 euros

C2 = 63672 (1 + 0,05)3 = 73708 euros

C3 = 73708 (1 + 0,03)4 = 82959 euros

Con esta oferta tendrá unos beneficios de 22959 euros.

La oferta más interesante es la del ban-c o B.

2. Responde correctamente a dos de los tres apartados.

1. Responde correctamente a uno de los tres apartados.


5 ÁLGEBRA Y TANGRAM


a) d = √x2 + x2 = √2x

b) La expresión algebraica del área de cada figura, en función de x, es:

x2

4 :

x2

8 = 2 8 A y B tienen doble super-

ficie que C, D y E. x2

8 :

x2

16 = 2 8 C, D y E tienen doble

superficie que F y G.

SD + F + G = x2

8 +

2x2

16 =

4x2

16 =

x2

4 = SA

c) x2

4 +

x2

8 +

x2

16 = 7 · 22 8 7x2 = 448 8

8 x = 8

El lado del tangram medirá 8 cm.

2. Responde correctamente a los apartados a) y b).

1. Responde correctamente al apartado b).


6 PLEAMAR Y BAJAMAR

Competencia

Expresar información sobre fenómenos cotidianos mediante distintos lenguajes (numérico, gráfico…) e interpretar los datos que reporta.


Analiza tablas y gráficas asociadas a situaciones reales para obtener información sobre su comportamiento.

ContenidoRelaciones funcionales entre dos variables: tablas y gráficas. La tasa de variación media.

Competencia

Utilizar números y el razonamiento matemático para producir e interpretar información y para resolver problemas cotidianos.


Maneja expresiones literales para obtener valores concretos en fórmulas y ecuaciones, en diferentes contextos.

Contenido Expresiones algebraicas. Ecuaciones. Teorema de Pitágoras.



Emplea distintos tipos de números, eligiendo la notación y forma de cálculo apropiadas, para resolver problemas.

Contenido Problemas aritméticos. Porcentajes. Interés bancario.

x2

4x2

4x2

8x2

8x2

8x2

16x2

16

A B C D E F G

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Tarea 1


194



a)

La función es continua.

Si la marea se comportase de forma idén-tica durante varios días, tendríamos una función periódica de período 24 horas.

b) La función crece en el intervalo (12, 24). Decrece en (0, 12).

La bajamar (155 m) se alcanza a las 12 horas. La pleamar (200 m), desde las 22 horas a las 0 horas.

c) T.V.M. [0, 6] = 170 – 200

6 – 0 = –5 cm/hora

T.V.M. [6, 12] = 155 – 170

12 – 6 = –2,5 cm/hora

La marea baja más rápidamente de 0 h a 6 h que de 6 h a 12 h.

T.V.M. [12, 18] = 190 – 155

6 ≈ 5,83 cm/hora

T.V.M. [18, 22] = 200 – 190

4 = 2,5 cm/hora

La marea sube más rápidamente de 12 h a 18 h que de 18 h a 22 h.

2. Responde correctamente a los apartados a) y b) o a) y c).

1. Responde correctamente al apartado a).


7 REPOSTANDO COMBUSTIBLE



a)

b) La expresión analítica de la función es P = x – 10.

c) T.V.M. [10, 30] = 20 – 030 – 10

= 1

T.V.M. [30, 40] = 30 – 2040 – 30

= 1

La T.V.M. es la misma en ambos casos.

Es una función lineal de pendiente 1.

d) 50 = x – 10 8 x = 60.

La capacidad del depósito es de 60 litros.

e) V = 60 litros = 60 dm3

r = 20 cm = 2 dm

V = πr2h 8 60 = π · 4 · h 88 h ≈ 4,78 dm = 47,8 cm

2. Responde correctamente a tres de los cinco apartados.

1. Responde correctamente a dos apartados.


8 EL DEPÓSITO

Competencia



Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables. Obtiene medidas indirectas en situaciones reales.

ContenidoRelaciones funcionales. Expresión analítica de una función. Volumen de prismas.

Competencia

Expresar información sobre fenómenos cotidianos mediante distintos lenguajes (numérico, gráfico…) e interpretar los datos.


Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables. Obtiene medidas indirectas.

Contenido Relaciones funcionales. La tasa de variación media. Volumen del cilindro.

2

ALTURA (cm)

HORAS4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

150

160

170

180

190

200

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

VOLUMEN (l )

PRECIO (€)

VOLUMEN (litros) 10 20 30 40

PRECIO (€) 0 10 20 30

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195



a) La capacidad del depósito la obtenemos tomando t = 0.

Capacidad = 5 · (1 + 1) = 10 m3 = = 10000 litros

b) La familia tendrá cubiertas sus necesida-des durante 10000 : 200 = 50 días.

c)

d) Si el desagüe permaneciese abierto inde-finidamente, el depósito no se vaciaría, porque su volumen se estabiliza en torno a 5 m3.

Esto significa que el desagüe está a una determinada altura por encima de la base.

e) V = Abase · h 8 5 = 10 · h 8 8 h = 0,5 m = 50 cm

El desagüe se encuentra a 50 cm de su base.

2. Responde correctamente a tres de los cinco apartados.

1. Responde correctamente a, al menos, dos apartados.


9 ACONDICIONAMIENTO DE VÍAS DE TRÁFICO



a) D(8, 6) 8 d = √82 + 62 = 10 km

Los triángulos OAD y DBE son semejan-tes:

y4

= 68

8 y = 3

Por tanto, l = √32 + 42 = 5 km

La distancia del pueblo al puente es de 10 km y el puente mide 5 km.

b)

Las soluciones del sistema son a = 9 y b = 12. Las coordenadas de G son (24, 18).

c) Si H está a igual dis-tancia de G y de E, está en la mediatriz de EG y a 5 km del punto medio de EG.

—GH =

—HE = z52 + —MG2

= z25 + 7,52 ≈

≈ 9 km


1. Responde correctamente a un único aparta-do.


Competencia Representar e interpretar la realidad. Resolver problemas geométricos.

Elemento de competencia Obtiene medidas indirectas.

ContenidoSemejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras. Resolución de problemas geométricos.

TIEMPO (h) 0 2 4 6

VOLUMEN (m3) 10 6,7 6 5,71

8

5,6

10

5,45

12

5,38

2 4 6 8 10 12

5

10

VOLUMEN (m3)

TIEMPO (h)

8

d

l yE

B

AO

D4

6

l b

B

E

G

D

a15

3

4

G(a, b)

{a2 + b2 = 152

ab

= 34

5

HE

M

G

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Tarea 1


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10 DADO TRUCADO



a) P [1] = 180

1000 = 0,18; P [2] = 0,16;

P [3] = 0,13; P [4] = 0,21; P [5] = 0,2; P [6] = 0,12

b) A gana si sale 2, 3 o 5.

B gana si sale 1, 4 o 6.

P [A] = 0,16 + 0,13 + 0,2 = 0,49

P [B] = 0,18 + 0,21 + 0,12 = 0,51

c) Por ejemplo: A gana si sale 2, 3 o 4. B gana si sale 1, 5 o 6. En ambos casos, la probabilidad de ganar es 0,5.


1. Responde correctamente a un único apar-tado.


Competencia Manejar técnicas matemáticas básicas para interpretar la realidad y resolver problemas.


Interpreta gráficos estadísticos. Aplica conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver problemas.

Contenido Gráficas estadísticas. Experiencias compuestas.

TAREA

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1 TORNILLOS Y TUERCAS

Una máquina fresadora fabrica tornillos combinando el tipo de cabeza (zona en la que se inserta el destornillador) y el paso de rosca (lo que avanza el tornillo por cada vuelta que se le dé), según lo especificado en estas tablas:

Una segunda máquina fabrica tres tipos de tuercas: cuadrada (C), hexagonal (X) y octogonal (O).

Una tercera máquina coloca en cada tornillo una tuerca, y graba cada pieza con una inscripción que indica su cabeza, su paso de rosca y su tuerca. Así, una pieza HMX es un tornillo de cabeza hendida y paso de 1,5 mm con tuerca hexagonal.

a) ¿Cuántos tipos de piezas fabrican estas máquinas? Completa una tabla como esta:

b) La máquina que fabrica los tornillos sigue estas instrucciones:

• Un 60% de la producción es de cabeza H, y el resto, de cabeza E.

• Para cada tipo de cabeza, 1/5 es de paso G; la cuarta parte del resto, de paso M, y lo que queda, de paso P .

Sobre una producción dada de tornillos, ¿qué porcentaje serán del tipo HP? ¿Y del tipo EM?

c) ¿Cuántas vueltas habrá que darle a un tornillo HM para que se hunda hasta la ca-beza en un tablero de 1,8 cm de grosor?

Hendida(H)

Estrella(E)

CABEZA

Pequeño, 1 mm(P)

Grande, 2 mm(G)

Mediano, 1,5 mm(M)

PASO DE ROSCA

H

E

G

M

P

G

C HGC

X HGX

O

CABEZA PASO DE ROSCA TUERCA TIPO DE PIEZA


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................


TAREA

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2 VIAJES ESPACIALES

La nave Valiant I, construida para viajar al espacio, puede cubrir grandes distancias y fotografiar fenómenos y objetos del cosmos.

En su primer vuelo, cruzará la atmósfera terrestre, se situará a 4 · 104 km sobre la superficie de la Tierra y orbitará alrededor de ella a una velocidad uniforme de 250 m/s.

a) Sabiendo que el radio de la Tierra es de unos 6500 km, ¿qué longitud tiene una de esas órbitas circulares? Da el resultado en notación científica, con tres cifras significativas.

b) Estima el tiempo, en días y horas, que tardará la nave en dar una de estas vueltas alrededor de la Tierra (los científicos, cuando supieron este dato, la apodaron “la nave de los malos augurios”).

c) En el viaje completo, la nave cubrirá, girando alrededor de la Tierra, 2,92 · 106 km. ¿En cuánto tiempo, en días y horas, lo hará y cuántas órbitas describirá?

d) Finalizada esta parte, la Valiant viajará a Marte cuando este se encuentre más próximo a la Tierra (60 millones de kilómetros). Viajará a una velocidad de 12000 km/h. ¿Cuánto tiempo durará este viaje?

Tarea 2

MT 6 ·107 km

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3 FORMAS Y NÚMEROS

En clase de matemáticas, la profesora reparte este rompecabezas y pide a sus alum-nas y alumnos que planteen y resuelvan cuestiones relativas a las medidas de las piezas y del rompecabezas completo. “Solo tenéis que tener en cuenta que el seg-mento AM sea el segmento unidad (medida 1) y que expreséis todas las medidas en su valor exacto; no uséis la calculadora ni hagáis aproximaciones”.

a) Inés lo ve muy complicado al principio, pero, poco a poco, va localizando diversas medidas. Se plantea averiguar, por ejemplo, cuántos segmentos AM son el perí-metro de la figura ABCD. ¿Puedes ayudarla?

b) Y ya puestos, ¿por qué no abordar el tema de las áreas? Por ejemplo, ¿cuál es el área del rompecabezas completo? ¿Y cuál es el de los triángulos grandes? ¿Será cierto que ocho de esos triángulos grandes cubrirían el rompecabezas?

c) Imagina que dos hormigas compiten, partiendo de A y debiendo llegar a C. La hor-miga Josefa camina haciendo este recorrido: AP-PQ-QC. La hormiga Pecosa hace este otro: AM-MS-SO-OR-RC. Ambas salen a la vez y caminan a la misma velocidad. ¿Cuál llegará primero a la meta? ¿Qué ventaja le sacará a su contrincante?

Tarea 2

C

R

D

M

P O

Q

A BS

1

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200

4 INFLACIÓN

Los datos de la variación de precios durante el primer y el segundo semestre del año están ya en poder de los técnicos del Ministerio de Economía y quedan reflejados en esta tabla, donde los porcentajes positivos expresan subidas de precio, y los negati-vos, bajadas.

a) ¿Cuál ha sido la variación anual en cada apartado? ¿Cuál será el IPC anual? (Re-dondea a las milésimas).

b) El año pasado, el 6 de enero, Antonio salió de casa, compró un roscón de 2 kg, a 10 €/kg, y adquirió un billete de tren por 1,50 €, para ir a visitar a su hermana. Después, por la tarde, merendó en una cafetería con unos amigos, y pagó 2,40 €. Este año, en la misma fecha, va a hacer exactamente lo mismo.

¿Con cuánto dinero regresará Antonio a casa si sale con 30 €? (Redondea los pre-cios a céntimos).

c) Empresarios y trabajadores pactaron, al comenzar el año anterior, que si el IPC su-peraba el 4%, los salarios subirían en el mismo porcentaje que este. Según esto, un trabajador que gane 1000 euros al mes, ¿cuánto debe cobrar a partir de enero de este año?

Tarea 2

Alimentación +5% +5% i)

Vestido +2% +6% ii)

Transporte +7,5% +2,5% iii)

Hostelería y restauración –5% +5% iv)

Ocio y espectáculos

Índice de Precios al Consumo anual (IPC)(media de los apartados i), ii), iii), iv) y v))

+3% –5% v)

APARTADOS 1.er SEMESTRE 2.o SEMESTRE VARIACIÓN ANUAL

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201

5 CONCURSO ALGEBRAICO

En clase de matemáticas se ha organizado un concurso de problemas algebraicos. Los alumnos y las alumnas son distribuidos en grupos de tres. Alfonso, Beatriz y Carla forman uno de esos grupos y plantean los siguientes acertijos:

a) En una bolsa tenemos cierto número de caramelos. Si tuviéramos dos más, el cuadrado de esa cantidad sería 20 veces la cantidad actual más su cuarta parte. ¿Cuántos caramelos tenemos en la bolsa?

b) Tenemos una amiga. El producto de la edad que tenía hace 4 años por la edad que tendrá dentro de 4 años es igual al cuadrado de su edad actual menos el cuadrado de la edad que tenía hace 10 años.

c) El jardín de la princesa Hiu-Tao está dividido en tres zonas, A, B y C, donde crecen flores de loto. Este año, en la zona A ha habido una flor menos que en la B, y en la C, una más que en la B. El número total de flores ha sido tal que el doble del cuadrado de las que han crecido en A, más dos flores, equivale a la cuarta parte del cuadrado de las que han salido en C más veintidós veces las que ha habido en B. ¿Cuántas flores ha habido en el jardín de Hiu-Tao?

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6 COMPETENCIA COMERCIAL

Las empresas A, B y C fabrican el mismo tipo de artículo.

A paga a sus comerciales un fijo de 1400 euros al mes más 50 € por cada artículo vendido.

B paga un fijo de 900 € al mes más 150 € por artículo vendido.

C paga 600 € al mes más 130 € por artículo vendido.

Al acabar el mes, tres comerciales, uno de cada empresa, han vendido el mismo número de artículos.

a) ¿Cuál debería ser ese número de artículos para que el comercial de la empresa B haya ganado más que el de la A?

b) ¿Y cuál debería ser para que el de C haya ganado más que el de A?

c) A pesar de sus condiciones laborales, el comercial de C es un profesional de-cidido: en los dos últimos meses ha vendido un total de 50 artículos. Por ello, la empresa decidió subirle en un 20% la comisión por cada artículo vendido durante el segundo mes. Al final de los dos meses, el comercial ha ingresado 8480 euros (entre fijos y comisiones). ¿Cuántos artículos vendió en cada mes?

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203

7 PLANIFICACIÓN DE VENTAS

El departamento de ventas de una empresa que fabrica un determinado artículo, ana-liza el mercado, hace sus cálculos y llega a la conclusión de que los ingresos, I (en miles de euros), obtenidos por la venta de x artículos (en miles) vienen dados por la función

I = –x2 + 12x – 20

a) Completa en una tabla los ingresos obtenidos en función de los artículos vendidos (toma x = 0, 2, 4, 6, 8, 10), y traza la gráfica que relaciona ambas variables.

b) Calcula los costes de fabricación antes de empezar a vender los artículos. Es decir, ¿cuánto vale I para x = 0? ¿Cuántos artículos tienen que venderse para que no haya pérdidas? ¿Para qué número de artículos vendidos se alcanzan los ingresos máximos? ¿Cuáles serán estos?

c) ¿Crees que debe pararse la fabricación en algún momento? ¿En cuál? ¿Por qué?

Tarea 2

2 4 6 8 10

–15–10

–25–20

–5

5

1520

10

INGRESOS (miles de euros)

ARTÍCULOS (miles)

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8 CUIDEMOS LOS BOSQUES

Los técnicos forestales de una región muy boscosa estiman que sus árboles repre-sentan un volumen de madera de 30 m3 por hectárea, y que el crecimiento de esta cifra es de un 4% anual.

a) Teniendo en cuenta estos datos, ¿qué volumen de madera, por hectárea, tendrá el bosque dentro de un año? ¿Y dentro de dos años? (Redondea los resultados a unidades de metros cúbicos).

b) ¿Cuál es la expresión analítica que relaciona el volumen de madera del bosque, V, en metros cúbicos, con el transcurso del tiempo, t, en años? Haz su representa-ción gráfica.

c) Si un incendio destruyera el bosque y se replantase con lo equivalente a 1 m3 de madera por hectárea, ¿cuántos años deberían transcurrir para recuperar la actual cantidad de madera, suponiendo un mismo ritmo de crecimiento? Haz estimacio-nes para 40, 50, 60, … años.

Tarea 2

42 6 10 14 188 12 16 20

30

40

50

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70VOLUMEN (m3)

TIEMPO (años)

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9 MANCOMUNIDAD DE AGUAS

Tres pueblos, A, B y C, se encuentran comunicados por una carretera de montaña, muy sinuosa. Sus respectivos depósitos de agua se encuentran bastante obsoletos para el crecimiento de población experimentado por cada uno, así que deciden unirse en una mancomunidad y construir un depósito común de agua, con capacidad más que suficiente para todos ellos.

Los técnicos colocan un sistema de coordenadas con origen en un punto O, de ma-nera que A se sitúa sobre el eje Y, con

—OA = 8 km, y B se sitúa sobre el eje X,

con —OB = 12 km. En este sistema, C está entre A y B, en línea recta con ellos,

y —AB = 4 ·

—CB.

Deciden ubicar el depósito en una elevación, a igual distancia de A que de B, y a 4 km del punto medio, M, del segmento que, en el plano, une A con B.

a) ¿Qué coordenadas tendrán en el plano los puntos C y M?

b) ¿A qué distancia, en línea recta, estará el depósito, D, de cada pueblo?

c) Elaborado el presupuesto de edificación y canalización a cada pueblo, los costes totales serán de 9 millones de euros. Como el número de habitantes de C es 1,5 veces el de A y, a su vez, los habitantes de A son la mitad que los de B, se decide repartir el coste total de forma directamente proporcional al número de habitantes de cada localidad. ¿Cuánto pagará cada una?

Tarea 2

BO

C

2 4

M

4 km

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10 VESTIRSE Y TRIUNFAR

En un concurso de televisión, cada participante entra, con los ojos vendados, en una habitación en la que hay tres baúles. En el primero hay dos sombreros con puntuaciones 1 y 3; en el segundo, 3 chaquetas con puntuaciones 2, 4 y 6 y, en el tercero, 2 pantalones con puntuaciones 7 y 9.

Cada concursante debe coger, al azar, un sombrero, una chaqueta y un pantalón, obteniendo tantos puntos como sumen las puntuaciones de las prendas elegidas.

Por participar, cada concursante paga 20 euros. Si obtiene una puntuación menor que 12, quedará eliminado y perderá su dinero. Si la puntuación es 12, recibirá 20 euros. Si es 14 o 16, recibirá 100 euros. Y si es 18, conseguirá el premio máximo, 200 euros.

a) ¿Cuántos posibles atuendos tiene cada concursante para elegir? Escribe, de for-ma ordenada, todas las posibles combinaciones numéricas y la suma obtenida en cada caso.

b) ¿Cuál es la probabilidad de quedar eliminado y perder los 20 euros?

¿Cuál es la probabilidad de no ganar ni perder nada?

¿Cuál es la probabilidad de ganar algo?

c) ¿Cuál es la probabilidad de llevarse a casa una cantidad mayor que 80 euros? ¿Y la de llevarse una cantidad menor o igual que 180?

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207

1 TORNILLOS Y TUERCAS



a) Son 2 · 3 · 3 = 18 tipos distintos de pie-zas.

b)

Tipo HP 8 60100

· 35

= 1850

= 925

=

= 0,36 8 36% de la producción

Tipo EM 8 40100

· 15

= 450

= 225

=

= 0,08 8 8% de la producción

c) Para hundir un tornillo de rosca M en un tablero de 1,8 cm, habrá que darle 18 : 1,5 = 12 vueltas.

2. Resuelve correctamente los apartados a) y b) o a) y c).

1. Resuelve correctamente solo uno de los tres apartados.


2 VIAJES ESPACIALES



a) L = 2πR = 2 · π · (6500 + 40000) == 2,92 · 105 km = 2,92 · 108 m

b) Si en un segundo la nave recorre 250 m, los 2,92 · 108 m los recorre en 2,92 · 108 : 250 = 1,17 · 106 s = = 325 horas = 13 días 13 horas.

c) Una vuelta alrededor de la Tierra son 2,92 · 105 km.

2,92 · 106 km serán 10 vueltas. Tardará 130 días 130 horas = 135 días 10 horas.

d) 6 · 107 km : 12000 km/h = 5 · 103 h == 208 días 8 horas

2. Resuelve correctamente tres de los cuatro apartados.

1. Resuelve correctamente dos apartados.


Tarea 2


Competencia

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones básicas. Usar el razonamiento matemático para tratar información y para resolver problemas cotidianos.


Utiliza números decimales, su expresión en notación científica y sus operaciones. Obtiene medidas indirectas.

Contenido

Números decimales. Notación científica. Longitud de la circunferencia.Unidades de longitud y de tiempo.

Competencia

Utilizar y relacionar distintos tipos de números y sus operaciones básicas. Resolver problemas cotidianos.


Utiliza números racionales para plantear problemas y obtener información. Elabora tablas de conteo. Calcula porcentajes.

Contenido

Técnicas de conteo. Números racionales y sus operaciones. Resolución de problemas con fracciones, números decimales y porcentajes.

H

E

G

M

P

G

M

P

C HGC

X HGX

O HGO

C HMC

X HMX

O HMO

C HPC

X HPX

O HPO

C EGC

X EGX

0 EGO

C EMC

X EMX

0 EMO

C EPC

X EPX

O EPO

CABEZA PASODE ROSCA TUERCA TIPO

DE PIEZA

1/5 (1/4) · (4/5) = 1/5 3/5

G M P

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Tarea 2


3 FORMAS Y NÚMEROS



a) La mitad del lado del rompecabezas es

√12 + 12 = √2 .

Así, su lado mide 2√2 y su perímetro

es 8√2 .

b) El área del rompecabezas es (2√2 )2 = = 2 2(√2 )2 = 8.

El área de cada triángulo grande es

= 1.

Y, efectivamente, ocho triángulos gran-des cubrirían el rompecabezas.

c) Josefa recorre una distancia 2 + 2√2 , y

Pecosa, 2 + 3√2 . Ganará Josefa y su

ventaja será una distancia de √2 unida-des.




4 INFLACIÓN



a) Alimentación 8 1,05 · 1,05 = 1,103 88 +10,3%

Vestido 8 1,02 · 1,06 = 1,081 8 +8,1%

Transporte 8 1,075 · 1,025 = 1,102 88 +10,2%

Hostelería 8 0,95 · 1,05 = 0,998 8 8 –0,2%

Ocio 8 1,03 · 0,95 = 0, 979 8 –2,1%

IPC 8 (+10,3 + 8,1 + 10,2 – 0,2 – 2,1) : 5 = 5,26%

b) Los precios ahora serán:

Roscón 8 20 · 1,103 = 22,06 €

Billete 8 1,5 · 1,102 = 1,65 €

Cafetería 8 2,4 · 0,998 = 2,40 €

Total: 26,11 €

Antonio regresará a su casa con 30 – 26,11 = 3,89 €.

c) Deberá cobrar 1000 · 1,0526 = 1052,60 euros al mes.

2. Resuelve correctamente dos de los tres apartados.

1. Resuelve correctamente un único apartado.


5 CONCURSO ALGEBRAICO



a) Sea x el número actual de caramelos.

(x + 2)2 = 20x + x/4.

La solución factible es x = 16 caramelos.

b) Sea x la edad de la amiga.

(x + 4) (x – 4) = x2 – (x – 10)2

La solución factible es x = 14 años.

z2 · z22

Competencia

Utilizar el lenguaje algebraico para producir e interpretar información y para resolver problemas cotidianos.


Resuelve problemas cotidianos utilizando el álgebra.

Contenido Problemas algebraicos. Ecuaciones de segundo grado.

Competencia

Utilizar y relacionar distintos tipos de números y sus operaciones básicas para interpretar información y resolver problemas cotidianos y del mundo laboral.


Emplea distintos tipos de números, eligiendo la notación y forma de cálculo apropiadas para resolver problemas.

Contenido Problemas aritméticos. Porcentajes. Números índice.

Competencia Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones básicas para resolver problemas cotidianos.


Utiliza números irracionales y sus operaciones para plantear problemas y obtener información. Obtiene medidas indirectas.

Contenido Números irracionales: operaciones. Teorema de Pitágoras.

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Tarea 2


c) Si en B ha habido x flores, en A ha habido x – 1, y en C, x + 1.

2(x – 1)2 + 2 = (x + 1)2

4 + 22x

La solución factible es x = 15.

2. Responde correctamente dos apartados cualesquiera, o bien resuelve uno y plantea correctamente los otros dos.

1. Responde correctamente un apartado o plantea bien, aunque no resuelva, los tres.


6 COMPETENCIA COMERCIAL



a) El comercial de B ganará más que el de A si 150x + 900 > 50x + 1400.

La solución es x > 5 artículos. Es decir, han debido vender 6 artículos o más.

b) 130x + 600 > 50x + 1400. Su solución es x > 10 artículos.

Han debido vender 11 artículos o más.

c) Sean x los artículos vendidos el primer mes e y los vendidos el segundo mes:

Las soluciones son x = 20 e y = 30.

Vendió 20 artículos el primer mes y 30 el segundo.

2. Responde correctamente a dos apartados cualesquiera, o resuelve bien uno de ellos y plantea correctamente, aunque no resuelva bien, los otros dos.

1. Responde correctamente un apartado o plantea, aunque no resuelva, los tres.


7 PLANIFICACIÓN DE VENTAS



a)

b) Los costes de fabricación son de 20000 euros. Para que no haya pérdidas, se tienen que vender más de 2000 artículos y menos de 10000. Los ingresos máxi-mos, 16000 euros, se alcanzan cuando se venden 6000 artículos.

c) La fabricación debe cesar cuando se hayan fabricado y vendido 10000 artí-culos, puesto que, a partir de ahí, los ingresos empiezan a ser negativos.


1. Responde correctamente solo a uno de los apartados.


Competencia



Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables y determina el tipo de función que pueda representarlas.

ContenidoEstudio de relaciones funcionales mediante tablas y gráficas. Función cuadrática.

Competencia Utilizar el razonamiento matemático para interpretar información y resolver problemas cotidianos.



ContenidoProblemas con planteamiento algebraico. Inecuaciones. Sistemas de primer grado.

{ x + y = 50

730 + (1,2 · 130 y + 600) = 8480

x (miles de artículos)

I (miles de euros)

0

–20 0 12 16 12 0

2 4 6 8 10

2 4 6 8 10

–15–10

–25–20

–5

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INGRESOS (miles de euros)

ARTÍCULOS (miles)

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Tarea 2


8 CUIDEMOS LOS BOSQUES



a) Al cabo de t = 1 año, tendremos V = 30 + 30 · 0,04 = 30 · 1,04 =

= 31,2 ≈ 31 m2.

Al cabo de t = 2 años, el volumen será V = 31,2 · 1,04 = 32,45 ≈ 32 m2.

b) La expresión analítica de la función es V = 30 · 1,04t.

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60

70VOLUMEN (m3)

TIEMPO (años)

c) V40 = 1,0440 ≈ 5 m3

V50 = 1,0450 ≈ 7 m3

V60 = 1,0460 ≈ 11 m3

V70 = 1,0470 ≈ 16 m3

V80 = 1,0480 ≈ 23 m3

V90 = 1,0490 ≈ 34 m3

El bosque tardaría en recuperarse entre 80 y 90 años.




9 MANCOMUNIDAD DE AGUAS


3. La respuestas correctas son:

a) M(6, 4) y C ( 6 + 122

, 42 ) = (9, 2)

b) —AB = z82 + 122

= 14,4 km

—AM =

—MB = 7,2 km;

—MC = 3,6 km;

Por tanto, —DA =

—DB = z7,22 + 42

=

= 8,2 km y —DC = z3,62 + 42 = 5,4 km

c) Por cada parte del presupuesto que pague A, la población C pagará 1,5 partes, y B, 2 partes.

Esto supone 9 millones de euros para 4,5 partes. Por tanto, a cada parte le corresponden 2 millones. Así:A pagará 2 millones; B, 4 millones, y C, 3 millones.


1. Responde correctamente a un solo apar-tado.


10 VESTIRSE Y TRIUNFAR

Competencia

Interpretar la realidad y poner en práctica procesos de razonamiento que lleven a la resolución de problemas.


Utiliza técnicas de recuento. Aplica conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver problemas y situaciones de la vida cotidiana.

ContenidoTécnicas de recuento. Experiencias aleatorias. Cálculo de probabilidades.

Competencia Interpretar y expresar con claridad informaciones y datos. Resolver problemas de la vida cotidiana.


Utiliza fórmulas para obtener medidas indirectas. Resuelve problemas aritméticos.

Contenido

Distancia entre puntos. Coordenadas del punto medio. Teorema de Pitágoras. Resolución de problemas geométricos y aritméticos.

Competencia

Expresar información de fenómenos cotidianos mediante distintos lenguajes (numérico, gráfico…) e interpretar los datos que reporta.


Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables. Obtiene medidas indirectas en situaciones reales.

ContenidoEstudio de relaciones funcionales. Expresión analítica de una función. La función exponencial.

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211

Tarea 2




a) El número total de atuendos que pueden salir es:

2 · 3 · 2 = 12

Los posibles resultados y sumas son:

b) Hay 12 posibles resultados.

P [perder 20 €] = P [suma 10] = 1/12

P [no ganar ni perder] = P [suma 12] == 3/12 = 1/4

P [ganar algo] = P [suma 14 o 16 o 18] == 8/12 = 2/3

c) P [ganar más de 80 €] = P [suma 18] == 1/12

P [ganar 180 € o menos] = 1




127

129

147

149

167

169

Resultados Suma Resultados Suma

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12

12

14

14

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327

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1 TECNOLOGÍA PARA PINTAR

Una máquina pintadora, modelo A, tarda en pintar una estancia 8 h. Otra máquina más completa, B, lo hace en 4 h, y una tercera, C, aún más rápida, lo hace en 2 h.

a) ¿Qué fracción de la estancia pintan las tres juntas en una hora?

b) ¿Cuánto tiempo tardarán en pintar la estancia las tres juntas?

c) La estancia es de base rectangular, de 16 m Ò 8 m, y tiene 3 m de altura. ¿Cuán-tos metros cuadrados de pared pintan las tres juntas por cada hora de trabajo? ¿Cuánto tardarán en pintar el suelo de una pista de deportes, rectangular, de 63 m Ò 24 m?


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................


TAREA

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2 MAQUETA ASTRONÓMICA

Miguel tiene que construir una maqueta que represente, de forma bastante aproxi-mada, la situación de la Tierra (T), Marte (M) y el Sol (S) en el momento en que el triángulo MTS sea rectángulo con ángulo recto en T.

Para ello se ha comprado un tablero rectangular, de 1 m Ò 50 cm, donde ubicará los tres cuerpos planetarios. Colocará Marte y el Sol a 80 cm de distancia.

a) Miguel tiene que tomar, como distancia MS real, la mínima que puede llegar a tener, unos 200 millones de kilómetros. ¿A qué escala va a realizar su trabajo? Interpreta el resultado.

b) La distancia entre T y S es, aproximadamente, de 150 millones de kilómetros. ¿Cuál será la distancia, en la maqueta, de T a S? ¿Y de T a M?

c) Según esta maqueta, ¿a qué distancia real estará T de M cuando el triángulo es rectángulo en T?

Tarea 3

80 cm

T

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214

Tarea 3

3 ESTRUCTURAS DE CRISTAL

En el Museo de Arte Contemporáneo de una ciudad se exponen estas dos estructu-ras de cristal. La del fondo, P1, es un prisma de base rectangular de 1 m de ancho y 2 m de largo, y su altura tiene un metro más que la diagonal de su base. P2 es otro prisma, y la anchura de su base es el triple que la diagonal de la base de P1.

a) ¿Qué dimensiones tiene el paralelogramo, ABCD, en que intersecan los dos pris-mas? ¿Cuál es su área? Calcula las medidas exactas.

b) ¿Cuál es el volumen del prisma P2?

c) Compara los volúmenes de los dos prismas.

B

A

D

C P2

P1

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Tarea 3

4 ATRACO Y HUIDA

Un grupo de ladrones atraca una oficina bancaria en el pueblo A, y huyen por la auto-pista hacia el puesto fronterizo F, que está a 120 km de A. El vehículo en el que viajan alcanza una velocidad punta de 160 km/h.

Alertada la policía de A, sus agentes emprenden la persecución 15 minutos después. Yendo a la máxima potencia, sus vehículos pueden circular a 200 km/h.

a) Los ladrones han emprendido la huida a las 9:00 h de la mañana. ¿Cuánto tiempo tardarán en llegar a la frontera? ¿A qué hora ocurrirá?

b) Teniendo en cuenta el retraso y la velocidad máxima que pueden alcanzar los poli-cías de A, ¿podrán dar alcance a los ladrones antes de que estos crucen la fronte-ra?

c) Si los ladrones consiguiesen cruzar la frontera, podrían desviarse por una carretera comarcal que sale del punto C, situado a 10 km de la frontera, entre esta y una localidad B. Si así ocurriese, los policías perderían su rastro.

Por si acaso, al iniciar su persecución (9:15 h de la mañana), los agentes de A alertan a sus compañeros del otro lado de la frontera. Desde la localidad B, situada al otro lado de la frontera y a 100 km de esta, se pone en marcha un dispositivo de apoyo. La policía de B pone sus coches a una velocidad punta de 180 km/h. ¿Podrán interceptar a los ladrones antes del desvío en C? ¿A qué hora lo harán y a cuántos kilómetros de F?

B

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Tarea 3

5 CAJAS DE CARAMELOS

Para envasar caramelos, se fabrican cajas de base octogonal (no necesariamente regular) de lado x, obtenidas a partir de cartones cuadrados de 40 cm de lado a los que se les recortan las esquinas una misma longitud, l, por cada lado.

a) ¿Qué expresión analítica, en función de x, tendrá la superficie del fondo de la caja?

b) Si se quiere que cada caja tenga un volumen de 7000 cm3 y una altura de 5 cm, ¿a cuántos centímetros (l) de la esquina habrá que cortar los cartones cuadrados?

c) En las condiciones anteriores, ¿qué superficie de cartón sería necesaria para construir las caras laterales de la caja?

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Tarea 3

6 FILOSOFÍA HINDÚ SOBRE EL MATRIMONIO

Un viejo aforismo hindú dice que la edad de una mujer para casarse no debe sobrepa-sar en 7 años la mitad de la edad del hombre que ha elegido por pareja.

En Bombay residen Rajiv, que es 8 años mayor que su prometida; y Pandit, que tendrá el doble de años que su dama cuando se case.

a) ¿Antes de qué edad deberá casarse la prometida de Rajiv, según el aforismo?

b) La prometida de Pandit no se muestra nada preocupada sobre la edad ideal para su matrimonio. ¿Por qué?

c) En una pagoda de Bombay se han casado Benhaib y su prometida Rama.

Un amigo susurra a otro: entre los dos suman 60 años.

Y el amigo le contesta: sí, y si él tuviese 36 años más y ella 12 más, la edad de él duplicaría a la de ella.

¿A qué edad se ha casado esta pareja? ¿Verifican el viejo aforismo?

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Tarea 3

7 RENTABILIDAD DE UN BUEN VINO

Una afamada bodega lanzó al mercado una nueva marca de vino de crianza. Durante los años que estuvo comercializándose, se estudió el nivel de rentabilidad, analizan-do la relación que había entre las ganancias, G, por las ventas (en miles de euros) y el precio, P, que ponían a cada botella (en euros).

El resultado de este análisis queda reflejado en la siguiente gráfica:

a) ¿A qué precio máximo se comercializó la botella? ¿Ha sido rentable en todo mo-mento? ¿Puedes estimar qué habría ocurrido si no se hubiese interrumpido la producción?

b) ¿Entre qué valores de P descendieron los resultados? ¿Y entre cuáles ascendie-ron?

¿Para qué valores de P se alcanzaron las mínimas (o las máximas) ganancias? ¿Cuáles fueron estas?

c) ¿Cómo varían las ganancias en los intervalos [3, 4] y [4, 6], según varía el precio de la botella?

¿Y en los intervalos [6, 7] y [7, 14]?

3 4 6 7 14

–2

1

3,6

2

PRECIO (€)

GANANCIAS (miles de €)

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Tarea 3

8 I&M: INVERTIR Y MEJORAR

La firma I&M se hizo cargo de una vieja empresa con el fin de sanearla. Su estrategia es clara: renovar e invertir para mejorar.

Los beneficios, B, que la empresa obtiene por la fabricación y venta de sus productos están relacionados con la cantidad de dinero, x, invertida en mejorar sus estructuras y adquirir nuevas tecnologías.

Los estudios de su departamento de planificación concluyen que x y B se relacionan según esta expresión analítica:

B = 5(x – 1)x + 1

donde B viene dado en miles de millones de euros, y x, en millones de euros.

a) Construye la gráfica que relaciona x y B apoyándote en una tabla de valores (da a x valores enteros, de 0 a 12 millones de euros).

b) ¿Cuál era la situación económica cuando la firma compró la vieja empresa? ¿A partir de qué gasto en inversiones empezó a haber beneficios? Si la firma aumen-tara las inversiones indefinidamente, ¿aumentarían indefinidamente los benefi-cios? Justifica la respuesta tomando x = 50, x = 100, x = 1 000 y observando qué ocurre.

c) La función es creciente. ¿Crece por igual en todos sus tramos? Para saberlo, halla su tasa variación media en los intervalos [0, 3], [3, 8] y [8, 12]. Analiza los resultados.

21 3 5 7 9 11 124 6 8 10

–3–2

–5–6

–4

–1

1

345

2

BENEFICIOS (miles de millones de €)

INVERSIONES (millones de €)

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Tarea 3

9 ENTORNO NATURAL

Se quieren acondicionar los accesos a una antigua ermita desde los puntos O y D de la carretera estatal. La ermita está enclavada en el centro de un bello entorno natural atravesado por un río. Para cruzar el río, hay dos antiguos puentes, el puente CHICO y el puente GRANDE. Los topógrafos, a partir de ciertas medidas que ya tienen, deben calcular otras.

a) El camino OE es perpendicular a la carretera. ¿Cuál es la distancia de O a A? ¿A qué distancias aproximadas,

—EA y

—EB, está la ermita de cada puente? (Ten

en cuenta los datos del gráfico).

b) Tomando como base los triángulos EOD y ABE, ¿a qué distancia está la ermita del acceso D? ¿Cuántos kilómetros hay desde este acceso D al punto F del puente GRANDE?

c) Se construirá un camino paralelo a OD, con entrada por los puntos P y B, y, exactamente en su punto medio, se habilitará un merendero M. ¿A qué distancia desde cada acceso P y B estará el merendero?

E

Mmerendero

ermita

B

F

DATOS

AC = 4 kmOC = 4 kmOF = 10 km

D

C

A

P

O

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Tarea 3

10 PRUEBA DE ORTOGRAFÍA

El departamento de Lengua de un instituto decide hacer una prueba de ortografía a dos grupos de 4.º de ESO, con 30 alumnos cada uno.

El número de faltas cometidas al hacer una composición escrita queda reflejado en las siguientes tablas:

a) Calcula, en cada distribución, la media, la desviación típica y el coeficiente de variación.

b) Una vez corregidos los ejercicios, todas las pruebas se mezclan aleatoriamente y se guardan en un paquete.

Un día, un profesor extrae una de esas pruebas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que presente al menos tres faltas? ¿Y de que tenga alguna?

c) Otro día, el mismo profesor extrae del paquete dos pruebas. ¿Cuál es la probabi-lidad de que ambas tengan menos de dos faltas?

xi (n.º de faltas) fi (alumnos) xi (n.º de faltas) fi (alumnos)

01234568

43468221

01234567

32389311

GRUPO A GRUPO B

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Tarea 3


1 TECNOLOGÍA PARA PINTAR



a) Cada máquina, en una hora, pinta:

A 8 18

de la estancia.

B 8 14

de la estancia.

C 8 de la estancia.

Las tres juntas, en una hora, pintarán:

18

+ 14

+ 12

= 78

de la estancia.

b) La estancia completa ( 88 ) será pintada

en 88

: 78

≈ 1 h 9 minutos.

c) La superficie lateral de la estancia es:

2 · 16 · 3 + 2 · 8 · 3 = 144 m2

En una hora de trabajo, las tres máquinas

pintan 78

· 144 = 126 m2.

La superficie de la pista es de 1512 m2.

Tardarán en pintarla:

1512 : 126 = 12 horas.




2 MAQUETA ASTRONÓMICA



a) 802 · 108 ·105

= 1x

8 x = 2,5 · 1011 cm

La escala es 1 : 2,5 · 1011. Significa que 1 cm de la maqueta equivale a 2,5 · 106 km reales.

b) 2,5 · 106

1 = 1,5 · 108

—TS

8 —TS = 60 cm

—TM = √802 – 602

= 52,9 cm

c) Estará a 52,9 · 2,5 · 106 km = 1,32 · 108, es decir, a unos 132 millones de kilóme-tros.




3 ESTRUCTURAS DE CRISTAL



a) La diagonal de la base de P1 es:

d = √22 + 12 = √5



Utilización de números irracionales para resolver problemas. Obtiene medidas indirectas y relaciona magnitudes.

Contenido Números irracionales. Teorema de Pitágoras. Áreas y volúmenes.

Competencia

Utilizar los números y sus operaciones. Utilizar el razonamiento matemático para resolver problemas cotidianos.


Utiliza números decimales, su expresión en notación científica y sus operaciones, para resolver problemas. Maneja escalas.

ContenidoNúmeros decimales. Notación científica. Escalas. Teorema de Pitágoras.

Competencia

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones básicas.Interpretar información.Resolver problemas cotidianos.


Utiliza números racionales y sus operaciones para resolver problemas y obtener información.

Contenido

Números racionales y sus operaciones. Resolución de problemas con fracciones y decimales.

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ABCD tiene, por tanto, √5 m de ancho y 1 + √5 m de alto.

Su área será: √5 · (1 + √5 ) = 5 + √5 m2

b) La base de P2 tiene √5 m de ancho y

3√5 m de largo. Su altura es 1 + √5 m.

VP2 = √5 · 3√5 · (1 + √5) = 15 + 15 √5 m3

c) VP1 = 2 (1 + √5 ) m3

VP2

VP1 = 15(1 + z5)

2(1 + )z5 = 7,5

El volumen de P2 es 7,5 veces el de P1.




4 ATRACO Y HUIDA



a) v = et

8 t = ev

= 120 : 160 = 0,75 h =

= 45 min

Llegarán al punto F a las 9 h 45 min.

b) Los agentes de A, a 200 km/h, tardarían en llegar a F:

t = ev

= 120 : 200 = 0,6 h = 36 min

Como han salido 15 minutos más tarde que los ladrones (36 + 15 = 51), llega-rían a la frontera a las 9:51 h.

La policía no podrá alcanzar a los ladrones.

c) Cuando la policía de B es avisada (9:15 h), los ladrones llevan huyendo 15 min = 0,25 h.

En ese tiempo han recorrido 160 · 0,25 == 40 km de la carretera AF.

Su distancia al punto C es 120 + 10 – 40 == 90 km, la misma que hay de B a C.

Los policías de B interceptarán a los ladrones, pues tienen que cubrir la misma distancia que ellos y la velocidad de sus vehículos es mayor.

Unos y otros se acercan a una veloci-dad de 160 + 180 = 340 km/h. Tienen que cubrir 180 km en un tiempo t = 180 : 340 ≈ 0,53 h ≈ 32 min.

Interceptarán a los ladrones a las 9 h 47 min.

En esos 32 minutos, los agentes de B recorrerán 180 · 0,53 = 95,4 km.

Su distancia a F será de 100 – 95,4 == 4,6 km.




5 CAJAS DE CARAMELOS


3. Las soluciones correctas son:

a) La superficie de los triángulos de las esquinas es l2/2.

l = 40 – x

2 = 20 –

x2

SBASE CAJA = 402 – 4 · l2

2 =

= 1600 – 2 (20 – x2 )2

=

= 800 + 40x –

x2

2

b) V = ABASE · altura 8 7000 =

= (800 + 40x – x2

2 ) · 5 8 x = 20 cm

Por tanto, el corte habría que hacerlo a una distancia de la esquina l = 10 cm.

Tarea 3


Competencia

Utilizar formas de razonamiento matemático para interpretar información y resolver problemas cotidianos.


Resuelve problemas cotidianos utilizando el álgebra. Utiliza fórmulas adecuadas para obtener medidas en situaciones reales.

ContenidoProblemas algebraicos. Ecuaciones de segundo grado. Áreas y volúmenes.

Competencia Utilizar los números y sus operaciones. Resolver problemas cotidianos.


Usa distintos tipos de números y sus operaciones para resolver problemas.

Contenido Problemas aritméticos. Móviles.

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Tarea 3


c) La caja tendrá cuatro caras rectangulares de dimensiones 20 cm y 5 cm, y otras

cuatro caras de dimensiones zl2 + l2 = = 10√2 ≈ 14,14 cm y 5 cm.

La superficie de cartón necesaria es:

S = 4 · 20 · 5 + 4 · 14,14 · 5 ≈ 683 cm2




6 FILOSOFÍA HINDÚ SOBRE EL MATRIMONIO


3. La solución correcta es:

a) Sea x la edad a la que se casará Rajiv. Su prometida tendrá x – 8 años. Según el aforismo:

x – 8 Ì x2

+ 7 8 x2

Ì 15 8 x Ì 30

Rajiv deberá casarse antes de los 30 años, y su prometida, antes de los 22 años.

b) Si x es la edad a la que se casará Pandit, su prometida tendrá x/2 años y se deberá verificar:

x2

Ì x2

+ 7 8 0x Ì 7

Esta inecuación se verifica para todo valor de x. Es decir, Pandit puede casar-se a esa edad, porque la edad de su prometida verificará el aforismo.

c) Si x e y son las edades de Rama y Benhaib, respectivamente:

Ambas edades verifican el aforismo, pues 24 Ì 36 : 2 + 7.




7 RENTABILIDAD DE UN BUEN VINO


3. Las respuestas correctas son: a) La botella se comercializó hasta un precio

máximo de 14 euros. Ha sido rentable salvo cuando la botella valió menos de 4 euros. Las ganancias se estabilizaron en torno a los 1000 millones de euros, que hubiera sido la ganancia estimada si la producción hubiera continuado, aun aumentando el precio de la botella.

b) Hubo descensos con valores de P en los intervalos (0, 3) y (6, 14). Subieron en el intervalo (3, 6).

El valor mínimo de G es –2000 €, alcan-zado cuando la botella valía 3 €. El valor máximo de G es 3600 euros, alcanzado cuando P = 6 €.

c) T.V.M. [3, 4] = 0 – (–2)

1 = 2. Las ganancias

crecen 2000 euros por cada euro que aumenta el precio de la botella.

T.V.M. [4, 6] = 3,62

= 1,8. El crecimiento de

las ganancias es menor en este intervalo, 1800 euros por cada euro que aumenta la botella.

T.V.M. [6, 7] = 2 – 3,6

1 = –1,6. Las ganan-

cias disminuyen 1600 euros por cada euro que aumenta la botella.

T.V.M. [7, 14] = 1 – 2

7 ≈ –0,143. Las ga-

nancias decrecen unos 143 euros por cada euro que aumenta el precio de la botella, menos que en el caso anterior.

Competencia

Interpretar información numérica, gráfica… sobre fenómenos cotidianos. Interpretar los datos que reporta.


Analiza gráficas asociadas a situaciones reales para obtener información.

Contenido Relaciones funcionales. Tasa de variación media.Competencia

Utilizar el razonamiento matemático para resolver problemas cotidianos.


Resuelve problemas cotidianos utilizando planteamientos algebraicos.

Contenido Problemas algebraicos. Sistemas de ecuaciones. Inecuaciones.

{x + y = 60

y + 36 = 2(x + 12)x = 24, y = 36

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Tarea 3


2. Resuelve correctamente dos apartados, con-testando con la precisión adecuada.

1. Resuelve correctamente un apartado, con-testando con la precisión adecuada.


8 I&M: INVERTIR Y MEJORAR



a)

b) Cuando la firma adquirió la empresa, esta tenía unas pérdidas de 5000 millo-nes de euros.

A partir de 1 millón de euros de inversión, empezó a haber beneficios.

x = 50 8 B = 4,80

x = 100 8 B = 4,90

x = 1000 8 B = 4,99

Si la inversión aumentara indefinidamen-te, los beneficios no lo harían, ya que la función tiende a estabilizarse en 5000 millones de euros.

c) La función no crece por igual en todos los tramos. La tasa de variación media nos da una medida de su variación en cada tramo:

T.V.M. [0, 3] = 2,5 + 53 – 0

= 2,5. Los benefi-

cios aumentan 2,5 mil millones de euros por cada millón de euros invertido.

T.V.M. [3, 8] = 3,89 – 2,5

8 – 3 = 0,278

T.V.M. [8, 12] = 4,23 – 3,89

12 – 8 = 0,085

Cuanto mayor es la inversión, el creci-miento de los beneficios por cada mil euros invertidos va disminuyendo.


1. Responde correctamente a un solo apar-tado.


9 ENTORNO NATURAL



a) —OA = z42 + 42

≈ 5,7 km

Para calcular —EA y

—EB, tenemos en

cuenta que los triángulos OAC y AEB son semejantes:

—AC —OC

= —EB —AB

8 44

= —EB6

8 —EB = 6 km

—EA = z62 + 62

≈ 8,5 km

b) Para calcular —OD, tenemos en cuenta

que los triángulos EOD y ABE son semejantes.

—OD —OE

= —AB —EB

8 —OD

—OA +

—AE

= —AB —EB

8

8

—OD

5,7 + 8,5 =

66

8 —OD ≈ 14,2 km

Para calcular —DF, aplicamos el teorema

de Pitágoras en el triángulo rectángulo OFD.

—DF = z14,22 – 102

= 10,1 km

Competencia

Interpretar información. Conocer y manejar elementos matemáticos básicos para resolver problemas.


Utiliza técnicas apropiadas para obtener medidas indirectas.

ContenidoDistancia entre puntos. Semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras.

Competencia



Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables.

Contenido Relaciones funcionales. Expresión analítica. Tasa de variación media.

x 0 1

0

2

1,67

3

2,5

4

3

5

3,33

6

3,57

7

3,75

8

3,89

9

4

10

4,09

11

4,17

12

4,23–5B

21 3 5 7 9 11 124 6 8 10

–3–2

–5–6

–4

–1

1

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BENEFICIOS (miles de millones de €)

INVERSIONES (millones de €)

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c) Para calcular —PB, observamos que los

triángulos EPB y EOD son semejantes.

—ED —EB

= —OD —PB

8 20,1

6 =

14,2 —PB

8

8 —PB ≈ 4,24 km

El merendero estará a 2,12 km de cada acceso.


1. Resuelve correctamente solo el apartado a).


10 PRUEBA DE ORTOGRAFÍA



a) –xA = 3,03 –xB = 3,2

qA = 1,92 qB = 1,66

C.V.A = qA–xA

= 0,63 C.V.B = qB–xB

= 0,52

b) P [al menos 3 faltas] = P [3 faltas o más] =

= 1 – P [menos de 3 faltas] = 1 – 1960

== 0,68

P [alguna falta] = 1 – P [ninguna falta] =

= 1 – 760

= 0,88

c) Al sacar una y luego otra, en la segunda extracción ya no hay 60 pruebas, sino 59. Entonces, se tiene:

P [menos de 2 faltas en la 1.ª y menos de 2 faltas en la 2.ª] =

= 1260

· 1159

= 0,037




Tarea 3


Competencia

Manejar técnicas matemáticas básicas para interpretar la realidad. Poner en práctica procesos de razonamiento que lleven a la resolución de problemas.


Interpreta tablas y datos estadísticos. Calcula parámetros estadísticos. Aplica conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver problemas.

ContenidoTablas y parámetros estadísticos. Experiencias aleatorias. Cálculo de probabilidades.

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1 CIUDAD EMPRESARIAL

Una firma industrial decide comprar un terreno de 240 hectáreas para edificar en ella una fábrica y una urbanización para sus trabajadores.

Se decide que 1/6 del terreno sea ocupado por las oficinas y la planta industrial, 2/5 de lo que queda se destinará a zonas verdes y lugar de ocio, mientras que el resto será destinado a las viviendas de los empleados.

a) ¿Qué fracción del terreno se dedicará a las viviendas de los empleados? ¿Cuántas hectáreas son?

b) Del terreno dedicado a viviendas, un 30% será para chalets, y el resto, para blo-ques de pisos. De la parte de chalets, un 20% serán para unifamiliares, un 30% para pareados y un 50% para adosados. ¿Cuántas hectáreas ocupará el terreno dedicado a cada tipo de chalet? ¿Y a bloques de viviendas?

c) La empresa favorece la contratación de empleados jóvenes con acceso a un em-pleo por primera vez. Por eso, de los 900 empleados que vivirán en la ciudad con sus familias, un 46,75

)% serán jóvenes en su primer empleo. ¿Cuántos serán es-

tos jóvenes?


Curso: ..................................................................... Fecha: ....................................................................


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228

Tarea 4

2 CONTAMINACIÓN DE LAS AGUAS

Un brote de enfermedades gastrointestinales aparece un día de verano en una peque-ña localidad. El análisis del agua del depósito con el que se abastece la población prueba que son unas bacterias las causantes de la enfermedad, y que hay unas 85000 bacterias por cm3. Los médicos y biólogos enviados por las autoridades sani-tarias tienen que elaborar un informe detallando sus acciones y sus conclusiones. Los datos numéricos los expresarán en notación científica, con tres cifras significativas.

a) El depósito es un cilindro de 20 m de radio y 15 m de altura y está lleno. ¿Cuántas bacterias estiman que hay en el depósito?

b) Un análisis al microscopio muestra que las bacterias tienen estructura esférica, con un radio de 6 millonésimas de milímetro. Ante la velocidad de su reproducción, urge actuar: los investigadores deciden inyectar en el agua una población de anti-bacterias. El radio de cada una de estas es de 15 nanomilímetros (15 diezmilloné-simas de milímetro).

¿Cuántas veces es mayor una bacteria que una antibacteria?

c) Las pruebas en el laboratorio muestran que las bacterias son destruidas cuando son atacadas por una población de antibacterias en la proporción 1000 a 1. Según esto, ¿qué número de antibacterias debe inyectarse en el agua del depósito?

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229

Tarea 4

3 ILUMINACIÓN

En un túnel de carretera, de forma semicircular y de 8 metros de diámetro, los focos de iluminación se sitúan en el techo, formando dos hileras. Su ubicación es tal que cada foco dista lo mismo al centro de la vías de circulación, C, que al extremo de la vía más próximo al foco, B (véase la figura). De esta manera, cada hilera de focos ilumina todo el carril contrario.

a) ¿Cuál es el valor exacto de la distancia, l, de cada foco al otro extremo de la vía de circulación, A? ¿Y cuál es el valor exacto del perímetro que abarca la sección triangular producida por el foco en su iluminación, AFC?

b) ¿A qué altura exacta está cada foco del suelo? ¿Cuál es la superficie exacta de la sección triangular producida por el foco en su iluminación, AFC?

c) Encuentra la relación exacta entre la superficie de la sección del túnel y la sección de iluminación de cada foco. Compara la mayor con la menor, aproximando a las centésimas.

h

l

A B

F

C4 m

4 m

4 m

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Tarea 4

4 DESCARGA EN LOS MUELLES

Para descargar las bodegas de un gran barco mercante, las autoridades necesitan contratar los servicios de una empresa de estibadores.

La empresa A cuenta con cinco “toros”, que, con sus cinco operadores, podrían des-cargar a un ritmo de 10 000 toneladas cada 10 días. Pero no es suficiente, porque las 50 000 toneladas que lleva el buque deben ser descargadas en 5 días.

a) ¿Cuántos trabajadores y “toros” más necesita la empresa para cumplir con el tra-bajo?

b) Definitivamente, la empresa A no puede asumir, ella sola, el trabajo. Se contrata a otra empresa, B, que, con sus 15 trabajadores en sus máquinas, es capaz de descargar 4000 toneladas por día. Con estas condiciones, ¿cuántos trabajadores más tendrá que contratar la empresa A para cumplir con el trabajo en 5 días?

c) El pago por el trabajo asciende a un total de 5 · 105 €, y el acuerdo al que llegan las empresas es que el reparto debe ser proporcional al número de toneladas des-cargadas. ¿Cuánto cobrará cada empresa?

d) Cada empresa paga a sus trabajadores de forma distinta: A ofrece a los suyos el 75% de lo cobrado, y B, el 60%. ¿Cuánto cobrará un trabajador de la empresa A? ¿Y uno de la B?

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Tarea 4

5 REFORMAS EN LA PLAZA

Una plaza cuadrada de cierta localidad se ha ampliado añadiendo 20 m a cada uno de sus lados, tal como ves en el gráfico. El resultado ha sido que la superficie de la plaza se ha visto ampliada en 4080 m2.

a) ¿Cuáles eran las dimensiones iniciales de la plaza?

b) La zona que ocupaba la antigua plaza se va a parcelar de la siguiente manera: en cada una de las esquinas se cogerá un triángulo rectángulo isósceles, los cuatro iguales, que se destinarán a zona de jardín. El resto, con forma de octógono irregu-lar, será una zona de recreo, y tendrá una superficie de 8264 m2. ¿Qué perímetro tendrá esta zona octogonal?

c) Las esquinas triangulares se vallarán con una cerca metálica de 80 cm de altura, cuyo coste es de 30 €/m2. ¿Cuántos metros cuadrados de cerca se necesitarán y cuál será el coste de vallado?

10 m

10 m

ba

a c

10 m

10 m

ba

a c

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Tarea 4

6 EXCURSIONES TURÍSTICAS

Una empresa de autobuses es contratada para llevar a tres grupos de turistas a sen-das excursiones.

Dispone de un autobús, grande y cómodo, ideal para largos viajes, y ha estimado que, para obtener algún beneficio, debe cobrar 1200 euros por cada viaje.

En la primera excursión, el autobús fue lleno. En la segunda, hubo 10 plazas vacan-tes, por lo que se cobró a cada turista 4 euros más. En la tercera, quedaron 20 plazas vacías, y cada viajero tuvo que pagar 10 euros más.

a) ¿Cuál fue el precio de cada plaza en el primer viaje y cuántos turistas fueron?

b) ¿Cuántos turistas fueron y cuánto pagó cada uno en el segundo y en el tercer viaje?

c) Al acabar cada viaje, el conductor del autobús tiene que limpiar el vehículo, emplean-do en ese trabajo 30 minutos. A veces le ayuda un amigo, que tiene menos práctica que él, y tardan 20 minutos entre los dos. Un día, el conductor no se encontraba bien, y su amigo, amablemente, le hizo el trabajo. ¿Cuánto tardó?

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Tarea 4

7 EL TÚNEL

Con una chapa de 20 cm de ancho, Roberto quiere hacer la estructura de un túnel para una maqueta de trenes. Doblándola convenientemente (mira la figura), obtiene una sección de túnel rectangular, con una altura de x cm.

a) ¿Qué superficie S tendrá la sección si dobla la chapa de forma que el túnel tenga 3 cm de altura?

b) Encuentra la expresión analítica que relaciona la superficie de la sección del túnel, S, con su altura, x. Construye su gráfica.

c) ¿Cuál es el valor de x que hace que la superficie de la sección del túnel sea máxima? ¿Cuál es esa superficie máxima?

d) Roberto ya tiene construida la estructura, de forma que la superficie de la sección es máxima, pero decide inclinar ligeramente los laterales del túnel hacia el exte-rior para aumentar la anchura del túnel por su parte inferior. Así, su túnel tiene ahora una sección trapezoidal de 4 cm de altura (mira la figura). ¿Cuál es la base mayor de ese trapecio? ¿Cuál es ahora la superficie de la sección del túnel?

x

21 3 5 7 94 6 8 10

102030405060

ALTURA (cm)

SUPERFICIE DE LA SECCIÓN (cm2)

4 cm5 cm

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Tarea 4

8 ¡CUIDADO CON EL TIGRE!

En un parque zoológico se tiene que realizar una pequeña operación quirúrgica a un peligroso tigre de Bengala. Se le administra un anestésico, con una concentración ini-cial en sangre de 10 mg/cm3. La concentración del producto en la sangre disminuye con el tiempo según la relación

C = 10 · 0,9t

donde C viene dado en mg/cm3, y t, en minutos.

a) El ayudante de quirófano se encargará de vigilar la concentración en sangre del anestésico y, para ello, ha de confeccionar una tabla en la que relacione t con C, y la gráfica correspondiente. Hazlo tú tomando t = 0, 2, 4, 6, …, 22.

b) La función, ¿crece o decrece? ¿Dónde?

¿Cómo varía la concentración C, por minuto, en los intervalos [0, 10] y [10, 22]? Compara e interpreta ambos resultados.

c) Por las condiciones físicas del tigre, es conveniente que la operación no comience hasta que la concentración del anestésico no se reduzca en algo más de un 25% de la cantidad inicial inyectada. ¿Cuándo podrá empezar la intervención?

d) El anestesista estima que el tigre empezará a despertarse cuando la concentra-ción sea inferior a un 12% de la cantidad inicial inyectada. ¿Cuál es el tiempo aproximado del que dispone el veterinario para hacer la intervención?

42 6 10 14 188 12 16 20 22

2468

1012

CONCENTRACIÓN (mg/cm3)

TIEMPO (min)

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Tarea 4

9 MATEMÁTICAS EN UNA FINCA

Marta y Javier han elaborado un trabajo para clase. Han hecho una copia exacta del plano de la finca de los abuelos de Marta.

Después, sobre el terreno, han tomado algunas medidas, ayu-dándose de líneas auxiliares, y han anotado todos los datos minuciosamente:

O, E y G están en línea recta.

C, D y F están en línea recta.

EF es paralelo a CB.

FH es paralelo a EG.

OG es perpendicular a CB.

M es el punto medio de OB. —AB =

—OA

—OE = 24 m —ED = 40 m —DC = 20 m —CG = 10 m —AM = 40 m

Y ahora llega el trabajo de mesa: eligen algunos de los datos que tienen y calculan otros.

a) O, E y G están en línea recta. También lo están C, D y F. ¿Cuánto mide —DG?

¿Y —EF?

b) FH es paralelo a EG. ¿Cuánto mide —CB? ¿Y

—FB?

c) M es el punto medio de OB. —AB =

—OA.

—AM = 40 m. ¿Cuánto mide

—AB? ¿Y

—OA?

d) ¿Cuál es el perímetro de la finca? ¿Cuánto mide su superficie?

A

B

H

G

C

DE24 m 20 m10 m40 mO

F

M

40 m

AB

CDO

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Tarea 4

10 ¡TIRO AL CUADRO!

En una de las casetas de un recinto ferial, se invita a los visitantes a tirar dos dar-dos, desde una distancia lo suficientemente cercana como para que, con los ojos vendados, el dardo se clave sobre un gran tablero cuadrado de 4 m Ò 4 m y 4 Ò 4 casillas ¡Es imposible que el dardo caiga fuera, y es igual de probable que el dardo caiga en cualquiera de las casillas!, asegura el feriante. El cuadrado, además, está dividido en cuatro regiones, A, B, C y D, de medidas 3 Ò 3, 3 Ò 1, 1 Ò 3 y 1 Ò 1, respectivamente (mira la figura).

Participar cuesta 2 € (1 euro por dardo). Si un dardo cae en A, no se obtiene pre-mio. Si cae en C, el premio es 1 €. Si cae en B, el premio son 3 euros, y si cae en D, el premio son 4 €.

a) Hasta ahora, 160 dardos se han clavado en el tablero. Estima cuántos de ellos han caído en cada región.

b) Un concursante va a tirar dos dardos. ¿Cuántos resultados posibles puede obte-ner con cada uno? ¿Cuáles son las posibles parejas de resultados? ¿Qué cantida-des puede recibir el concursante después de pagar y tirar? Forma una tabla.

c) Para tirar dos dardos hay que pagar 2 €. ¿Cuál es la probabilidad de perderlos? ¿Y la de perder solo uno? ¿Cuál es la probabilidad de ni perder ni ganar nada? ¿Y la de ganar 1 €? ¿Y la de ganar 2 €? ¿Y la de ganar más de 2 €? Expresa tus resultados con porcentajes.

D

C

B

A

D

C

B

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Tarea 4


1 CIUDAD EMPRESARIAL



a) Fábrica 8 1/6. Queda 5/6.

Zonas verdes y ocio 8 25

de 56

= 13

. Queda 1/2.

Viviendas 8 1/2 8 1/2 de 240 ha = = 120 ha

b) Chalets 8 30% de 120 = 30100

· 120 = = 36 ha

Unifamiliares: 20% de 36 = 7,2 ha

Pareados: 30% de 36 = 10,8 ha

Adosados: 50% de 36 = 18 ha

Bloques de pisos 8 84 ha

c) 46,75)

% de 900 =

= 4675 – 467

90 ·

1100

· 900 = 420,8

Es decir, unos 421 empleados son jóve-nes en su primer empleo.


1. Resuelve correctamente el apartado a) o el c).


2 CONTAMINACIÓN DE LAS AGUAS



a) VDEPÓSITO = πr2h = π · 202 · 15 ≈ ≈ 18840 m3 = 1,88 · 104 m3 =

= 1,88 · 1010 cm3

Número de bacterias que hay en el depó-sito:

1,88 · 1010 · 85000 = 1,60 · 1015 (1,6 mil billones)

b) Comparamos los volúmenes de una bac-teria y de una antibacteria:

El volumen de una bacteria es 64 veces el de una antibacteria.

c) Deberán inyectarse 1,60 · 1018 antibac-terias.


1. Resuelve correctamente el apartado a) o el b).


3 ILUMINACIÓN



a) El triángulo FAB es rectángulo. Por tanto:

l = √82 – 42 = 4√3 m

El perímetro de la sección triangular es 8 + 4√3 m.

b) La altura, h, es la del triángulo equiláte-ro FCB, de 4 m de lado.

h = √42 – 22 = 2√3 m

Competencia Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones. Razonar. Resolver problemas cotidianos.


Utiliza números irracionales y opera con ellos. Obtiene medidas indirectas.

ContenidoNúmeros irracionales: operaciones. Teorema de Pitágoras. Áreas.

Competencia

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones básicas. Razonar. Resolver problemas cotidianos.


Expresa números en notación científica y opera con ellos. Obtiene medidas indirectas.

Contenido Notación científica. Unidades de volumen. Volúmenes.

Competencia Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones. Resolver problemas cotidianos.


Utiliza números racionales y sus operaciones para resolver problemas y obtener información. Calcula porcentajes.

ContenidoNúmeros racionales. Resolución de problemas con fracciones, decimales y porcentajes.

VBAC.

VANTIBAC. =

= 64

43

· π · (6 · 10–6)3

43

· π · (15 · 10–7)3

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Tarea 4


La superficie buscada es:

SAFC = SFAB – SFCB = – =

= 4√3 m2

c) Comparamos ambas superficies:




4 DESCARGA EN LOS MUELLES



a) Es un problema de proporcionalidad com-puesta:

5

10 ·

1000050000

= 5x

8 x = 50

La empresa necesitaría 45 trabajadores y toros más.

b) La empresa B es capaz de descar-gar 20000 toneladas en los 5 días. A debe descargar las 30000 restantes. Resolviendo como en el apartado anterior, tenemos:

5

10 ·

1000030000

= 5x

8 x = 30

La empresa A debe contratar a 25 tra-bajadores más.

c) El pago, por cada tonelada descargada, es:

5 · 105 : 5 · 104 = 10 €

Así, a la empresa A le corresponden 3 · 105 €, y a la empresa B, 2 · 105 €.

d) A paga a sus empleados: 0,75 · 3 · 105 = 225000 €.

Cada trabajador de A cobrará: 225000 : 30 = 7500 €.

B paga a sus empleados: 0,60 · 2 · 105 = 120000 €.

Cada trabajador de B cobrará: 120000 : 15 = 8000 €.


1. Resuelve correctamente dos de los aparta-dos.


5 REFORMAS EN LA PLAZA



a) Si x es la longitud inicial de cada lado,(x + 20)2 – x2 = 4080 8 x = 92 m

b) Superficie de la antigua plaza = 922 == 8464 m2

Superficie de las cuatro esquinas == 8464 – 8264 = 200 m2

Superficie de cada esquina = 200 : 4 == 50 m2

Llamamos a a cada lado igual de los triángulos isósceles; c, a su hipotenusa, y b, a lo que queda del lado del cuadra-do original:

50 = a2/2 8 a2 = 100 8 a = 10 m

c = √102 + 102 = 10√2 m ≈ 14,14 m

b = 92 – 2a = 92 – 20 = 72 m

Competencia

Utilizar formas de razonamiento matemático para producir e interpretar información y para resolver problemas cotidianos.



ContenidoProblemas algebraicos. Ecuaciones de segundo grado. Perímetros y áreas.

Competencia

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones básicas. Interpretar información. Resolver problemas cotidianos y del mundo laboral.


Maneja los números y sus operaciones. Elige la forma de cálculo apropiada para resolver problemas. Relaciona magnitudes.

Contenido

Problemas aritméticos. Proporcionalidad compuesta. Repartos proporcionales. Porcentajes.

8 · 2√32

4 · 2√32

5 50000 x

Días Toneladas

P .D.

P .I.

Trabajadores

10 10000 5

▼ ▼

2

4z3 = 2π

z3 =

2z3π3

≈ 3,63

π · 42

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Tarea 4


Perímetro del octógono = 4b + 4c = = 344,56 m

c) Perímetro de cada triángulo = 2a + c == 34,14 m

Superficie de la cerca = 34,14 · 0,80 · 4 ≈ 109,25 m2

Coste de la valla = 30 · 109,25 == 3277,50 €




6 EXCURSIONES TURÍSTICAS



a) x 8 número de plazas del autobús

y 8 precio de cada plaza

b) En el segundo viaje fueron 50 turistas, y cada uno pagó 24 euros.

En el tercer viaje fueron 40 turistas, y cada uno pagó 30 euros.

c) El conductor, en un minuto, hace 1/30 del trabajo.

Entre los dos, en un minuto, hacen 1/20 del trabajo.

Si el amigo tarda t minutos en hacer el trabajo completo, cada minuto hace 1/t del trabajo.

1t

+ 1

30 =

120

8 t = 60 minutos

2. Resuelve correctamente los apartados a) y c).



7 EL TÚNEL



a) Si x = 3 cm, S = 3 · (20 – 6) = 42 cm2

b) La expresión que relaciona S con x es:

S = (20 – 2x) · x

c) La superficie es máxima cuando x = 5 cm, y su valor es S = 50 cm2.

d) Los lados iguales del trapecio miden 5 cm.

y = √52 – 42 = 3 cm

La base menor del túnel mide 10 cm, y la mayor, 16 cm.

Superficie de la sección trapezoidal:

S = 10 + 16

2 · 4 = 52 cm2


1. Resuelve correctamente dos apartados.


Competencia Expresar información e interpretar los datos que nos reporta. Resolver problemas geométricos.


Identifica relaciones entre dos variables y determina el tipo de función que las representa. Utiliza fórmulas para obtener medidas en situaciones reales.

Contenido Relaciones funcionales. Función cuadrática.

Competencia

Utilizar el razonamiento matemático para producir e interpretar información y para resolver problemas.



ContenidoProblemas algebraicos. Sistemas de ecuaciones. Ecuaciones con la x en el denominador.

21 3 5 7 94 6 8 10

102030405060

ALTURA (cm)


4 cm

y

5 cm

21 3 5 7 94 6 8 10

102030405060

ALTURA (cm)


4 cm

y

5 cm

x · y = 1200

(x – 10) (y + 4) = 1200)

x = 60 plazas, y = 20 € por cada plaza {

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Tarea 4


8 ¡CUIDADO CON EL TIGRE!



a)

b) La función es decreciente en todo su dominio.

T.V.M. [0, 10] = 3,49 – 10

10 – 0 = –0,65

T.V.M. [10, 22] = 0,98 – 3,49

22 – 10 = –0,21

C decrece más rápidamente en el pri-mer intervalo (0,65 mg/cm3 por minuto) que en el segundo (0,21 mg/cm3 por minuto).

c) La intervención podrá empezar cuando la concentración sea menor que el 75% de 10 mg/cm3, es decir, menor que 7,5 mg/cm3.

Puesto que 10 · 0,93 = 7,29, la opera-ción comenzará a los 3 minutos de haber inyectado el anestésico.

d) El 12% de 10 es 1,20.

Para t = 20, C = 1,22. El veterinario tiene unos 20 – 3 = 17 minutos para intervenir al tigre.

2. Responde correctamente a tres de los apar-tados.

1. Responde correctamente solo a dos de los apartados.


9 MATEMÁTICAS EN UNA FINCA



a) —DG = z202 – 102

≈ 17,32 m

Los triángulos EFD y DGC son semejan-tes:

—GC —DG

= —EF —ED

8 10

17,32 =

—EF40

8

8 —EF =

40017,32

≈ 23,1 m

b) —FH = 40 + 17,32 ≈ 57,32 m

Para calcular —CB, necesitamos conocer

la medida de —HB.

Los triángulos OEF y FHB son semejan-tes:

—OE —EF

= —FH —HB

8 24

23,1 =

57,32 —HB

8

8 —HB ≈ 55,17 m

—CB = 10 + 23,1 + 55,17 = 88,27 m

—FB = z57,322 + 55,172

≈ 79,56 m

c) —OF = z242 + 23,12

≈ 33,31 m

—OB =

—OF +

—FB = 33,31 + 79,56 =

= 112,87

—MB =

—OB2

= 56,44

—AB = z402 + 56,442

≈ 69,18 m

—OA ≈ 69,18 m

Competencia

Manejar técnicas matemáticas básicas para interpretar la realidad. Razonar para resolver problemas.


Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables.

Contenido

Relaciones funcionales. Expresión analítica de una función. La función exponencial. Tasa de variación media. Porcentajes.

Competencia Interpretar informaciones y datos. Resolver problemas de la vida cotidiana.


Utiliza fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas indirectas de magnitudes.

ContenidoSemejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras. Resolución de problemas.

TIEMPO (t) 0 2

CONCENTRACIÓN (C) 10 8,1

4

6,56

6

5,31

8

4,30

10 12 14 16

3,49 2,82 2,29 1,85

18

1,50

20

1,22

22

0,98

42 6 10 14 188 12 16 20 22

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CONCENTRACIÓN (mg/cm3)

TIEMPO (min)

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241

d) Perímetro = 2 · 69,18 + 88,27 + 20 + + 64 = 310,63 m

Para hallar el área, sumaremos las áreas de los triángulos OAB, OGB y DGC.

Área de OAB = 56,44 · 40 ≈ 2257,6 m2

Área de OGB =

= (64 + 17,32) · (55,17 + 23,1)

2 ≈

≈ 3182,46 m2

Área de DGC = 17,32 · 10

8 ≈ 86,6 m2

Área de la finca = 5526,66 m2


1. Resuelve correctamente uno o dos aparta-dos.


10 ¡TIRO AL CUADRO!



a) A tiene 9 cuadrados de un total de 16. En A habrán caído, aproximadamente,

9

16 de 160 = 90 dardos.

En B (y también en C), 316

de 160 =

= 30 dardos.

Y en D, 116

de 160 = 10 dardos.

b) Los posibles resultados para cada dardo son 4 · 4 = 16. Las posibles parejas y sus resultados económicos quedan refle-jados en la tabla.

c) Perder 2 € 8 caso AA; P[perder 2 €] =

= 916

· 916

= 0,3164 8 31,64%

Perder 1 € 8 casos AC y CA

P [perder 1 €] = 2 · 916

· 316

=

= 0,2109 8 21,1%

No perder ni ganar 8 caso CC; P[no

perder ni ganar] = 316

· 316

= 0,0352 8

8 3,52%

P[ganar 1 €] = P[AB] + P[BA] =

= 2 · 916

· 316

= 0,2109 8 21,1%

P[ganar 2 €] = P[AD] + P[DA] + P[BC] +

+ P[CB] = 2 · 916

· 116

+ 2 · 316

· 316

=

= 0,141 8 14,1%

P[ganar más de 2 €] = 1 – (0,3164 ++ 0,211 + 0,0352 + 0,211 + 0,141) == 0,0854 8 8,54%

2. Razona adecuadamente y responde a los apartados a) y b).

1. Responde solo al apartado a).


Tarea 4


Competencia Razonar para resolver problemas.


Utiliza técnicas de recuento. Aplica conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver problemas cotidianos.

ContenidoTécnicas de recuento. Experiencias aleatorias. Cálculo de probabilidades.

Posibles resultados

GananciasPosibles

resultadosGanancias

AA

AB

AC

AD

BA

BBBCBD

0 + 0 = 0

0 + 3 = 3

0 + 1 = 1

0 + 4 = 4

3 + 0 = 4

3 + 3 = 6

3 + 1 = 4

3 + 4 = 7

CA

CB

CC

CD

DADBDCDD

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 1 = 2

1 + 4 = 5

4 + 0 = 4

4 + 3 = 7

4 + 1 = 54 + 4 = 8

matematicas 4º eso opción b anaya adaptacion curricular

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