11 transformada de_laplace (2)
TRANSCRIPT
1
{ } ∫∞
−==0
)()()( dttyetyLsY st
La transformada de Laplace
2
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
3
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
dtetfsFtfL st−∞
∫==0
)()()}({
.iws += σ
La transformada de Laplace
4
Observa que la transformada de Laplace es una
integral impropia, uno de sus límites es infinito:
0 0
( ) lim ( )h
s t s t
he f t dt e f t dt
∞− ⋅ − ⋅
→∞=∫ ∫
{ }( ) ( ),f t F s=L{ }{ }
( ) ( ),
( ) ( ), etc.
y t Y s
x t X s
=
=
LL
Notación:
5
Condiciones suficientes de existencia de la TL
Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y
),0[,|)(| ∞∈∀≤ tMetf at
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
0|)(|lim =ℜ∈∃ −
∞→
bt
tetftqb
Entonces:
L{f(t)} = F(s) existe ∀s > a.
dtetfsFtfL st−∞
∫==0
)()()}({
6
{ }
{ } 00
1111
0
0
>>⇒==
=−===
−−+−−
∞−∞ −∫
sRe,aeeee
se
sdte)s(FL
ibtatt)iba(st
stst
Calcula la transformada de f(t) = 1:
{ } .sRe,s
)s(F)t(f 01
1 >=→=
Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
7
{ }
{ }1
0
1
0
1
0
0 )(
−∞ −−
∞ −−
∞−∞ −
==
=−
−−
===
∫
∫∫nstn
stn
stnstnn
tLs
ndtet
s
n
dts
ent
s
etdtetsFtL
Calcula la transformada de f(t) = tn:
1
!)()( +=→=
nn
s
nsFttf
{ } { }
{ }{ }
10
1
!
1 +
−
=
=
=n
n
nn
s
ntL
stL
tLs
ntL
{ }( )0>sRe
8
{ } ( )
( )1
1
1
1
)(
0
1
0
1
0
+=
+−
====∞
+−
∞ +−∞ −−− ∫∫
se
s
dtedteesFeL
ts
tssttt
Calcula la transformada de f(t) = e-t:
1
1)()(
+=→= −
ssFetf t { }( )1−>sRe
9
{ } ( )
( ) asas
Ae
as
A
dtAedteAesFAeL
tas
tasstatat
>−
=−
−
====∞
−−
∞ −−∞ − ∫∫
,)(
)(
0
0
0
Calcula la transformada de f(t) = Aeat:
a}sRe{,as
A)s(FAe)t(f at >
−=→=
10
{ }
( ) dteatsens
a
s
adt
s
eatsena
s
eat
s
a
dts
eata
s
eatsendteatsensFatsenL
ststst
ststst
∫∫
∫∫∞ −∞ −∞−
∞ −∞−∞ −
−=
−−−
−
=−
−−
===
0 22
0
0
0
0
0
)()()cos(
)cos()()()()(
Calcula la transformada de f(t) = sen(at):
22)()()(
as
asFatsentf
+=→=
222
2
2
2
;1as
aI
s
aI
s
a
+==
+
Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at)
{ }( )0>sRe
11
{ }
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 222222
0 22
0
0
0
0
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
2
as
a
asi
iaiasias
asi
eiaseiasasi
ias
e
ias
e
iias
e
ias
e
i
dteei
dtei
ee)s(F)at(senL
i
ee)at(sen
tiastias
tiastiastiastias
tiastias
stiatiat
iatiat
+=
+=+−−
+
=+−−+
=
−
−+
=
−−
−+−
=−
=−==
−=
∞+−−−
∞+−−−∞−−+−
∞ −−+−
∞ −−
−
∫
∫
Calculemos la transformada de f(t) = sen(at) de nuevo:
12
{ } ( )
( )
{ } { })()cos(
11
)(
)()cos(
2222
22
0
0
0
atseniLatLas
ai
as
s
as
ias
ias
ias
iase
ias
dtedteesFeL
atseniate
tias
tiasstiatiat
iat
+=+
++
=++=
++
−=
+−
====
+=
∞+−
∞ +−∞ − ∫∫
Calculemos la transformada de f(t) = eiat:
13
c
1
t
0 if ( )
1 if
t cu t c
t c
<− = ≥
La función Heaviside o escalón unidad:
c0
1
{ }0
1 1
( ) ( ) lim
lim lim ( )
hs t s t
hc
h s cs t s h s cs sch h
u t c e u t c dt e dt
ee e e s
∞− ⋅ − ⋅
→∞
− ⋅− ⋅ − ⋅ − ⋅− −→∞ →∞
− = − = =
= − =
∫ ∫L
14
Función delta de Dirac
ε/1
a ε+a
área = 1Sea la función parametrizada:
t
)(lim)( 0 tfat εεδ →=−
{ }
−=
−=
−−
+−−
s
ee
s
e
s
etfL
sas
saas
εε
εε
ε11
)()(
{ } ass
ass
as es
see
s
eetfL −
−
→−
−
→−
→ =
=
−=ε
ε
ε
εεε ε 000 lim1
lim)(lim
)(tfε
( )[ ])()(1
)( εεε +−−−= atuatutf
Observemos que
15
ta
{ }
{ } 1)(
)(
=
=− −
tL
eatL as
δ
δ )( at −δ)(tδ
Así la transformada de la función delta de Dirac es:
16
Funciones periódicas
Supongamos que f (t) es una función periódica de periodo T. Entonces:
{ } )(1
1)()( 1 sF
etfLsF
sT−−==
donde F1(s) es la transformada de Laplace de la función f(t) sobre el primer periodo y cero fuera.
∫ −=T
st dttfesF0
1 )()(
t t
T
17
)()(
)()(
,)()(
)()(
)()(
0
00
0
)(
0
0
0
sFedttfe
dfeedttfe
TtdTfedttfe
dttfedttfe
dttfesF
sTT
st
ssTT
st
TsT
st
T
stT
st
st
−−
∞−−−
∞+−−
∞−−
∞−
+=
+=
−=++=
+=
=
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
ττ
τττ
τ
τ
Demostración
18
Ejemplo: onda cuadrada
a 2a
aT 2=
)(1
1)( 12
sFe
sFas−−
=
( )asasa
a
sta
st ees
dtedttfesF 222
0
1
1)()( −−−− −=== ∫∫
)1(
1
)1()(
2
2
asas
asas
eses
eesF
+=
−−=∴ −
−−
19
Tabla de transformadas de Laplace
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
1
sen
cos
sen
cos
!
at
at
n atn
ts
st
s
e ts a
s ae t
s a
nt e
s a
ωωω
ωω
ωωω
ωω
−
−
−+
+
+
+ ++
+ +
+
( )
ase
s
nt
t
s
t
at
nn
+−
+
1
!
s
1
1 1
1
1
2
δ
20
21
22
23
24
25
Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante:
conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.
∫∞+
∞−
− ≥==i
i
st tdsesFi
tfsFLγ
γπ0,)(
2
1)()}({1
Transformada inversa de Laplace
26
Re(s)
Im(s)
γ
∫∞+
∞−
− ≥==i
i
st tdsesFi
tfsFLγ
γπ0,)(
2
1)()}({1
γ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas lassingularidades de F(s) queden a su izquierda.
Con condiciones de existencia:
∞<
=
∞→
∞→
)(lim)2(
0)(lim)1(
ssF
sF
s
s
27
Por ejemplo, determinemos:
Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1, entonces basta con tomar γ > -1. Tomemos γ = 0 y el contorno de integración C de la figura.
+−
21
)1(
1
sL
Re(s)
Im(s)
γ=0-1
C1R
-R
=+
= ∫∫∞+
∞−ds
s
e
idsesF
i C
sti
i
st2)1(2
1)(
2
1
ππγ
γ
∫ ∫−=
++
+iR
iRC
stst
s
e
ids
s
e
i1
22 )1(2
1
)1(2
1
ππ0 por la desigualdad ML cuando R→∞ con t≥0.
+===
+
= −−
−→−= 21
121 )1(
1lim
)1(Res
2
2
sLtee
ds
d
s
e
i
i tst
s
st
sππ
Haciendo R→∞ y utilizando teoría de residuos:
28
Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para todo s del semiplano Re(s) ≤ γ y |s| > R, tenemos que
ks
msF ≤|)(|
[ ]).( de polos losson s,...,s,s donde
)(Res)}({
n21
1
1
sF
sFesFLn
k
st
ss k∑
= =
− =
Entonces si t > 0:
En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s) polinomios de grado n y d respectivamente, d > n; entonces podemos usar la igualdad anterior.
29
Ejercicio: Calcular, a partir de su definición, la transformada inversa de Laplace
de la función)2)(1(
)(++
=ss
ssg
Respuesta. [ ]
I
ib
ib
stdse)s(glimi
)s(gL ∫ρ+
ρ−∞→ρ
−
π=
2
11
s=-1
s=-2 Re(s)
Im(s)
t > 0 t < 0
−=−=
=
2
1
)()(
s
s
esgsf st
puntos singulares aislados de f(s).
s = -1; polo simple:
s = -2; polo simple:
[ ] t
-sesg −
=−=)(Res
1
[ ] t
-sesg 2
22)(Res −
==
[ ] [ ][ ]
<=
>+===
0 ,0
0 ,)(Res)(Res221
tI
tsfsfiI-s-s
π [ ][ ] 0 ,0)(
0 ,2)(1
21
<=>+−=
−
−−−
tsgL
teesgL tt
30
Ejemplo, determinar:
+−= −
21
)1)(2(
1)(
ssLtf
.1sy 2s :doble otroy simple uno polos, dos posee
)1)(2()(
21
2
−==+−
=ss
esFe
stst
9
3
2lim
)1(lim
)1)(2(Res
)1)(2(Res)(
2
122
2122
tttst
s
st
s
st
s
st
s
etee
s
e
ds
d
s
e
ss
e
ss
etf
−−
−→→
−==
−−=−
++
=
+−
+
+−
=
31
P2. Junio 2007
1. Emplear la integral de Bronwich para determinar
Respuesta.
−+
−2
1
)2)(1(
1
ssL
[ ]
2
1
2
)2)(1()(
)(lim2
1)(
,)2)(1(
1)(
−+=
=
∈−+
=
∫+
−∞→
−
ss
esf
dsesgi
sgL
Csss
sg
st
ib
ib
stρ
ρρπ
s = -1, s = 2, puntos singulares aislados de f
32
( )
∫ ∫ ∫
∫ ∑
Γ
Γ=
++=
=
>
1
1
)()()(
)(Res2)(
0, tde valoresPara2
1
ρ γ
π
C
Rs
dssfdssfdssf
sfidssfR
γ
γ
ρ
ρ
∪Γ
∪Γ−
+
C
C
:
:
2
1
s=2s=-1 Re (s)
Im (s)
γρC
33
Residuo en s = -1
t
st
esf
sss
e
ssf
−
==−Φ′=
Φ+
=−+
=
9
1)1()(Res
)(1
1
)2(1
1)(
-1s
2
Residuo en s = 2
tt
st
etesf
sss
e
ssf
22
2s
22
9
1
3
1)2()(Res
)()2(
1
1)2(
1)(
−=Ψ′=
Ψ−
=+−
=
=
34
[ ]( )
[ ]∫∫
∫
∫
+>=
+−=
+−=
+=
∞→
Γ
−
∞→
Γ
−
Γ =−=
ρρ
ρπ
π
π
C
ttt
ttt
ss
tdssf
teeeidssf
teeeidssf
rfrfidssf
0 para ,0)(lim
39
12)(lim
3
1
9
12)(
)(Res)(Res2)(
1
1
1
22
22
21
35
∫ ∫+
−∞→∞→ −+=
γ
ρ
ρρρds
ss
edssf
ib
ib
st
2)2)(1(lim)(lim
[ ] 0,39
1
)2)(1(
1 222
1 >−+=
−+
−− teteess
L ttt
36
Para valores de t < 0,
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∑
−
−
−
<=
+=
+=
=−=
∞→
Γ ∞→∞→∞→
Γ
Γ
ρ
ρ
ρ
ρ
γρρρ
γ
π
C
C
C
Rs
tdssf
dssfdssfdssf
dssfdssfdssf
sfidssfR
0 para ,0)(lim
)(lim)(lim)(lim
)()()(
0)(Res2)(
2
2
2
[ ] 0,0)(1 <=− tsgL
37
1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente; entonces:
).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL +=+
La transformada de Laplace es un operador lineal.
Propiedades
38
{ }[ ]
{ } { })()(
)()(
)()(
)()(
2211
0 22
0 11
0 2211
2211
tfLctfLc
dtetfcdtetfc
dtetfctfc
tfctfcL
stst
st
+
=+
=+
=+
∫∫∫
∞ −∞ −
∞ −
Demostración:
39
2. Desplazamiento temporal
( )
)(
)(
)(
)()()(
)()(
0
0
0
0
0
0
0
00
0
sFe
tt
dfee
dtttfe
dtttuttfesX
dttfesF
st
sst
t
st
st
st
−
∞−−
∞−
∞−
∞−
=
−=
=
−=
−−=
=
∫
∫
∫
∫
λ
λλλ
<>−
=−=0
000 ,0
),()()()(
tt
ttttfttutftg
)()}()({
)()}({0
0 sFettutfL
sFtfLst−=−
=
40
Ejemplo:
−
−3
31
s
eL
s
{ }3
2 2
stL = { }
332 2
)3()3(s
etutL s−=−−
)3()3(2
1 23
31 −−=
∴−
− tuts
eL
s
3t
41
)(
)()()(
)()(
0
)(
0
0
asF
dttfedttfeesX
dttfesF
tasatst
st
+=
==
=
∫∫
∫∞
+−∞
−−
∞−
{ } { }22 )(
11
asteL
stL at
−=→=
3. Desplazamiento en frecuencias
Ejemplo:
)()}({
)()}({
asFtfeL
sFtfLat +=
=−
42
4. Cambio de escala en tiempo
( )
)/()/1(
)(1
)()(
)()(
0
)/(
0
0
asFa
atdfea
dtatfesX
dttfesF
as
st
st
=
==
=
=
∫
∫
∫
∞−
∞−
∞−
λλλλ
=
=
a
sF
aatfL
sFtfL
1)}({
)()}({
43
5. Derivada de la transformada de Laplace
[ ]
{ })(
)(
)()(
)()(
0
0
0
ttfL
dtttfe
dttfeds
dsF
ds
d
dttfesF
st
st
st
−=
−=
=
=
∫
∫
∫
∞−
∞−
∞−
{ })()(
)}({)(
ttfLsF
tfLsF
−=′=
44
6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función
La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:
donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.
La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:
)0()()}('{ fssFtfL −=
)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL −−=
45
En forma similar:
Demostración:
)0()0(')0()()}({ )1(21)( −−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL
{ } ( )
)0()()()0(
)()()(')('
0
00
0
fssFdttfesf
dttfsetfedttfetfL
st
ststst
−=−−=
−−==
∫
∫∫∞
−
∞−∞−
∞−
( ) 0)(lim =−
∞→tfe st
t
46
Supongamos que:
)0()0(')0()()}({ )2(321)1( −−−−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL
{ } ( )
{ })0()0(')0()(
)0()()()0(
)()()()(
)1(21
)1()(
0
)1()1(
0
)1(
0
)1(
0
)()(
−−−
−∞
−−−
∞−−∞−−
∞−
−−−−
=−=−−=
−−==
∫
∫∫
nnnn
nnnstn
nstnstnstn
ffsfssFs
ftfsLdttfesf
dttfsetfedttfetfL
Entonces: ( ) 0)(lim )1( =−−
∞→tfe nst
t
47
Ejercicio: Determina la transformada de Laplace de la función
usando la transformada de Laplace de
)cos()( attf =
)(tf ′′
[ ][ ]
[ ]
22
222
22
2
2
2
)(
)()()(
01)()(
)0()0()()( :que Puesto
0(0)fy 1f(0)con )()(
)cos()(
)()(
)cos()(
:Tenemos
as
ssF
ssFssFatfLa
ssFstfaL
fsfsFstfL
tfatf
atatf
atasentf
attf
+=⇒
⇒−=−=−⇒⇒−⋅−=−⇒
⇒′−−=′′=′=−=′′⇒
⇒−=′′−=′
=
48
49
50
Emplear las propiedades correspondientes para determinar la
transformada de Laplace de los polinomios de Laguerre, que se
definen como:
...2,1,0 ),(!
)()(
== − netdt
d
n
etL tn
n
nt
n
Respuesta.
[ ]
[ ]11
)(
)1(
!
)1(
!)1()1()()1(
1)Re( ),(1
1
++−
−
+=
+−−=−=
>=+
=
nn
nnnntn
t
s
n
s
nsgetL
ssgs
eL
51
[ ]
[ ]
...2,1,0 ,0)(
)0(...)0()0(
)()(
)(
0
)(
)1(21
)(
==
++′+−
−=
=
=
−
−−−
−
netdt
d
ffsfs
tfLstfdt
dL
ettf
t
tnn
n
nnn
nn
n
tn
52
)1(!
1)(
!
)()1(
!)(
)(
1
)(
−=
=+
=
−
+−
shn
etdt
d
n
eL
shs
snet
dt
dL
tnn
nt
n
ntn
n
n
1)Re( ,)1(
)(! 1
)(
>−=
+
− ss
set
dt
d
n
eL
n
ntn
n
nt
Gracias a esta propiedad y a la linealidad de la TL podemos convertir una ec. diferencial como
" 3 ' 4 ( 1)
(0) 1, '(0) 2
y y y t u t
y y
+ − = ⋅ −= − =
en una ec. algebraica
2
2 1( )*( 3 4) ( 1) ss
s eY s s s s +
⋅+ − + + =
Resolver paray(t)
Resolver para Y(s)
Ec. Diferencial
Transformada de Laplace
Ec. Algebraica
Si resolvemos la ec. algebraica:
2
2 2
( 1) ( 1)( )
( 3 4)
s ss s e eY s
s s s
−− + ⋅ ⋅ − ⋅=⋅ + −
y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), encontraremos la solución de la ec. diferencial.
Ec. Algebraica
Solución de la Ec. Diferencial
Inversa de la Transformada
de Laplace
La transformada inversa de Laplace de:
es
4 43 32 15 80 4 16
4325 5
( ) ( 1)( + ( ) )
( )( ( ) )
t tee
t t
y t u t e e t
u t e e
−
−
= − ⋅ ⋅ − −
− ⋅ − ⋅
2
2 2
( 1) ( 1)( )
( 3 4)
s ss s e eY s
s s s
−− + ⋅ ⋅ − ⋅=⋅ + −
4 43 32 15 80 4 16
4325 5
( ) ( 1)( + ( ) )
( )( ( ) )
t tee
t t
y t u t e e t
u t e e
−
−
= − ⋅ ⋅ − −
− ⋅ − ⋅
es la solución de la ec. diferencial:
" 3 ' 4 ( 1)
(0) 1, '(0) 2
y y y t u t
y y
+ − = ⋅ −= − =
De modo que:
Para conseguirlo hemos aplicado:
Primero, que la TL y su inversa son lineales:
{ } { } { }{ } { } { }1 1 -1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( )
cf t g t c f t g t
cF s G s c F s G s− −
+
+
L = L + LL = L + L
{ } { }{ } { }2
'( ) ( ) (0),
''( ) ( ) (0) '(0)
f t s f t f
f t s f t s f f
⋅ −
⋅ − ⋅ −
L = LL = L
and
etc...
Y segundo, la TF de las derivadas de una función son:
A este método se le conoce como cálculo de Heaviside.
Por ejemplo:
012
1
012
01
)0()0(')0()(
0)()}0()({)}0(')0()({
0)()(')(''
asas
fafsfsF
sFafssFafsfsFs
tfatfatf
++++=
=+−+−−
=++
Y antitransformando obtendremos la solución.
Veamos un ejemplo concreto: Resolver la ec. diferencial
)4)0(y0()(2)(' 3 =≥=+ − ftetftf t
tt
t
tt
eetfss
sF
ssFssF
ssFfssF
eLtfLtfL
etftfLetftf
32
3
33
5)(3
1
2
5)(
03
1)(24)(
03
1)(2))0()((
0}{)}({2)}('{
0})(2)('{;0)(2)('
−−
−
−−
−=→+
−+
=
=+
−+−
=+
−+−
=−+
=−+=−+
62
Ejemplo
Resolver
2222 )1()1(
1)(
++
+=
−
s
e
ssY
sπ
0)0()0(,0
0sin=′=
><≤
=+′′ yyt
ttyy
ππ
{ }{ }
11
1
)sin()(sin
sin)(sin)()(
22
2
++
+=
−−+=−−=+
−
s
e
s
ttutL
ttutLsYsYs
sπ
πππ
[ ] [ ][ ]
≥−<≤−
=
−−−−−+−=
πππ
ππππ
tt
tttt
ttttutttty
cos
0cossin
)cos()()sin()(cossin)(
21
21
21
21
63
Ejemplo:
+−
+=
++=
=++
−−
−
2
1
1
1
23
1)(
)(2)(3)(
2
2
sse
ssesY
esYssYsYs
ss
s
[ ])1(2)1()1()( −−−− −−= tt eetuty
Resolver 0)0()0(),1(23 ==′−=+′+′′ yytyyy δ
64
7. Transformada de Laplace de la integral de una función
{ }s
sFtfL
sduufL
t )()}({
1)(
0==∫
)(1
)(11
)(
)()(
)()(
000
00
0
sFs
dttfes
es
df
dtdfesX
dttfesF
ststt
tst
st
=
+
−
=
=
=
∫∫
∫ ∫
∫
∞−
∞−
∞−
∞−
ττ
ττ
Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p ≥ 0, entonces:
para Re(s) > p.
65
Ejercicio: Obtener la transformada de Laplace de la función:
du)usinh()ucosh(u)t(ft
860
3∫=
Respuesta.
[ ] [ ]gLs
fL
duug
duuuutf
t
t
1
)(
)8sinh()6cosh()(
0
0
3
=
=
==
∫∫
66
22)8sinh()6cosh()(
886633
tttt eeeetttttg
−− ++==
( )tttt eeeetg 142214
4
1)( −− −+−=
[ ]
[ ] ⇒
+
−−
++
−−
=
−>+
= +−
4444
1
)14(
!3
)2(
!3
)2(
!3
)14(
!3
4
1
)Re()Re( ,)(
!
ssssgL
zszs
netL
nztn
[ ]
+
−−
++
−−
=⇒4444 )14(
1
)2(
1
)2(
1
)14(
1
2
3
sssssfL
67
{ }s
sFduufL
t )()(
0=∫ ∫
∞=
sduuF
t
tfL )(
)(
{ })()(con tfLsF =
8. Transformada de Laplace de f(t)/t
68
Calcula la transformada de Laplace de t
ttf
sin)( =
{ }
( )
duuFt
tfL
ssF
sI
sI
s
dtetss
dts
et
s
et
s
dts
et
s
etdtetsFtL
s
I
ststst
ststst
∫
∫∫
∫∫
∞
≡
∞ −∞ −∞−
∞ −∞∞−
−
=
+=⇒
+==
+⇒
⇒−=
−+
−
−−
−===
)()(
:empleando Ahora,
1
1)(
1
1;
111
sin11
sincos1
cossin)(sin)(sin
2222
02200
000
suduut
tL
ssarctan
2arctan
1
1sin2
−==+
=
∞∞
∫π
69
)cos()()(Si attftg =
24
222
2222
0
4
2
222
2
)()()()(
)(1
)(
as
aais
a
ais
ai
aias
a
aias
ai
dtet
atsensG
atsent
tg
st
+=
−−
+
=
+−
−++
==
=
∫∞
−
2
)()()(
iasFiasFsG
−++=
ℜ∈acon
Ejemplo:
)()()(Si atsentftg =[ ]
2
)()()(
iasFiasFisG
−−+=
ℜ∈acon
9. TF de f(t)cos(at) y f(t)sen(at)
70
10. Teorema del valor final
Si existe, entonces:
11. Teorema del valor inicialEl valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es:
)(lim tft→∞
)(lim)(lim 0 ssFtf st →∞→ =
)(lim)(lim)0(0
ssFtff st ∞→→== +
71
Recordemos que
la operación se conoce
como la convolución de y y se denota como
La transformada de Laplace de esta operación está dada por:
∫∞
∞−− τττ dtff )()( 21
)(1 tf ),(2 tf
)}({)}({)}(*)({
)()()}(*)({
2121
2121
tfLtfLtftfL
sFsFtftfL
⋅=⋅=
).(*)( 21 tftf
12. Integral de convolución
72
<≥−= ∫
0,0
0,)()()(*)( 0
t
tdtgftgtft
τττ
Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0, entonces la convolución queda:
Así que para estas funciones podemos definirla convolución como:
∫ ≥−=t
tdtgftgtf0
)0(,)()()(*)( τττ
73
De hecho, podemos utilizar la convolución para encontrar transformadas inversas de Laplace:
1
1
11
)1(
1
0
21
21
−−==
∗=
−=
−
∫ −
−−
tede
etss
Lss
L
tt
t
t
ττ τ
74
44
1
2
)()()(*)(
2
0
22
0
)(2
ttt
t t
etdee
dedtgftgtf
−−
−−∞
∞−
+−=
==−=
∫
∫∫ττ
τττττ
τ
τ
)}({)}({)}(*)({ 2121 tfLtfLtftfL ⋅=Ejemplo: Verificar que funciona para f(t) = t y g(t) = e-2t
con valores 0 para t < 0.
)2(
1
)2(
1
4
11
4
11
2
1
}{4
1}1{
4
1}{
2
1
44
1
2
2
2
2
2
+
=+
+−
=+−
=
+−
−
−
ss
sss
eLLtL
etL
t
t
)2(
1
)2(
11
)2(
1}{;
1}{
22
22
+=
+
+== −
ssss
seL
stL t
75
Ejercicio: Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la
solución del problema de Cauchy:
0)0(
1)0(
sin
=′=
=+′′
y
y
tyy
Respuesta.
[ ] [ ] [ ][ ]
2
22
1
1sin
)()0()0(yL );(
stL
ssYsysyyLssYyL
+=
−=′−−=′′=
76
• Transformada de la ecuación:
[ ] [ ]
( ) ( )
++
+=⇒
++
+=⇒
⇒+
=−+⇒=+′′
−−22
12
1222
22
1
1
1)(
1
1
1)(
1
1)1(sin
sL
s
sLty
ss
ssY
sssYtLyyL
( ) ttss
Ls
L
ts
sL
sinsin1
1
1
1
1
1
cos1
221
22
1
21
∗=
++=
+
=
+
−−
−
77
tt
tduttu
duututt
t
t
cos2
sin2
1)cos)2(cos(
2
1
)sin(sinsinsin
0
0
−=−−=
=−=∗
∫
∫
tt
ttty cos2
sin2
1cos)( −+=
78
{ }
1
1)(
41)(;
1
10)}(*{41)(
1
1)0()}({4)0()(
}{)(4)(;)()(4)(
)(1
)}({}{
)()(*
0
2
−=−−
−=
−−−
−=−−−
=
−
=−−
=
=
∫
ssX
sssX
stxtLsssX
shthsLxssX
eLthdt
dLtx
dt
dLedssxst
dt
dtx
dt
d
sXs
txLtL
tt
thtxt
t
1)0(;)()(4)(0
==
−− ∫ xedssxsttx
dt
d tt
Resolver la ec.integro-diferencial:
79
ttt eeetx
ssssX
sss
ssX
ssX
sssX
22
2
3
1
3
1)(
2
1
3
1
2
1
1
1
3
1)(
)3)(2)(1()(
1
1)(
41)(
−++−=
++
−+
−−=
−−−=
−=−−
Antitransformando:
80
Ejercicio: Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la
solución del problema de Cauchy
Respuesta.
0)0(
)3()()(0
)(3
=
−=
− ∫ −
x
tduuxetxdt
d t ut δ
)3()()(
)(
0
)(3 −=
− ∫ − tduuxetx
dt
d
th
t ut δ
81
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] ss
t
etLetL
sXs
txLtfLthL
etfxfth
ssHhthsLthL
ssXxtxsLtxL
33
3
)()3(
)(3
1)()()(
)(,)(
)()0()()(
)()0()()(
−− ==−∗−
=⋅=
=⋅=∗=−=′∗=−=′∗
δδ
82
[ ]
−
+
=
−+=
−−==
−−
−−
−−−
−
−−
44
1
4
3)(
44
14
3)(
)4(
)3()( ,
3)(
31
311
3
33
s
eL
s
eLsXL
ssesX
ss
essXe
s
sssX
ss
s
ss
)3(4
4
1)3(
4
3)( −+−= tetHtx
83
Raíces del denominador D(s) o polos de F(s):
Caso I – Polos reales simples
Caso II – Polos reales múltiples
Caso III – Polos complejos conjugados
Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples
)( as −2)( as −
))(( *asas −−
01
1
01
1
)(
)()(
bsbs
asasa
sD
sNsF
mm
m
nn
nn
++++++== −
−
−−
Desarrollo en fracciones parciales: Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos.
[ ] 2*))(( asas −−
84
Caso I – Polos reales simples )( as −
32
)3)(2(
1
6
1
)(
)()(
23
++
−+=
+−+=
−++==
s
C
s
B
s
A
sss
s
sss
s
sD
sNsF
Ejemplo
as
A
−
85
15
2
)2(
1
3
10
3
)3(
1
2
6
1
)3)(2(
1
3
2
0
−=
−+⇒
+
+=
++⇒
−
−=
+−
+⇒
−=
=
=
s
s
s
ss
s
s
C
ss
s
s
B
ss
s
s
A
32)3)(2(
1)(
++
−+=
+−+=
s
C
s
B
s
A
sss
ssF
assD
sNasA
=
−=
)(
)()(
86
)3)(2(
)2()3()3)(2(326
123
+−−++++−=
++
−+=
−++
sss
sCssBsssAs
C
s
B
s
A
sss
s
)2()3()3)(2(1 −++++−=+∴ sCssBsssAs
Ass
s
s
=
+−
+∴=0
)3)(2(
1
)6()23()(
)2()3()6(12
222
ACBAsCBAs
ssCssBssAs
−+−++++=
−+++−+=+
16;123;0 =−=−+=++ ACBACBA
métodoalternativo
y resolver...
87
+−
−+
−=
++
−+=
−++=
3
1
15
2
2
1
10
31
6
132
6
1)(
23
sss
s
C
s
B
s
Asss
ssF
La transformada inversa de Laplace es:
tt eetf 32
15
2
10
3
6
1)( −−+−=
88
Otro ejemplo
2
1
1
2
1
1
211
)2)(1)(1(
372
)2)(1(
372)(
2
2
2
+−
−+
+=
++
−+
+=
+−+++=
+−++=
ssss
C
s
B
s
A
sss
ss
ss
sssF
1)1)(3(
3148
)1)(1(
372
2)3)(2(
372
)2)(1(
372
1)1)(2(
372
)2)(1(
372
2
2
1
2
1
2
−=−−+−=
+−++=
+=++=
++++=
+=−
+−=
+−++=
−=
+=
−=
s
s
s
ss
ssC
ss
ssB
ss
ssA Transformada inversa de Laplace:
ttt eeetf 22)( −− −+=
89
Caso II – Polos reales múltiples 2)( as −
12)1)(2(
44
)(
)()(
22
23
−+
−++=
−−+−==
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
ss
sD
sNsF
Ejemplo
)()( 2 as
B
as
A
−+
−
Polos realessimples
Polos realesmúltiples
90
3)1)(2(
44
2)1)(2(
44
0
230
23
2
=
−−+−⇒
=
−−+−⇒
=
=
s
s
ss
ss
ds
d
s
B
ss
ss
s
A
assD
sNasA
=
−=
)(
)()( 2
assD
sNas
ds
dB
=
−=)(
)()( 2
)1)(2(
44)(
2
23
−−+−=sss
sssF
91
Transformada inversa de Laplace:
tt eettf −−+= 232)(
−−
−−
+
=
−+
−++=
−−+−=
1
1
2
113
12
12
)1)(2(
44)(
2
2
2
23
ssss
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
sssF
92
En general, para polos reales múltiples:
( ) ( )( )sNsD
sF = ( ) ( ) ( ) ( )nr pspspssD −−−= 21
( ) ( ) ( ) n
nr
rr
r
ps
a
ps
a
ps
a
ps
b
ps
b
ps
bsF
−++
−+
−+
−++
−+
−= −
− 3
3
2
2
1
11
1
1
1
( ) ( )( )1
1!
1
ps
r
j
j
jr pssFds
d
jb
=−
−=
( ) ( )[ ]ipsii pssFa =−=
1
1
1
1
]))(([)!1(
1
]))(([!
1
]))(([
]))(([
11
1
1
1
11
1
ps
rr
r
ps
rj
j
jr
ps
rr
psr
r
pssFds
d
rb
pssFds
d
jb
pssFds
db
pssFb
−=−
−
−=−
−=−
−=
+−
=
+=
+=
+=
93
Caso III – Polos complejos conjugados
ejemplo
))(( *asas −−
iaas
B
as
B
s
A
ss2,
)4(
4*
*
2=
−+
−+=
+
2
1
)2(
4
2
1
)2(
4
14
4
2
*
2
02
−=
−
=
−=
+
=
+=
+=
−=
=
=
is
is
s
issB
issB
sA
conjugados complejos
−+
−−=
*
11
2
11
asass
Transformada inversa de Laplace:
)2cos(1)( ttx −=
94
ejemplo
iaas
B
as
B
ss
s43,
256
4*
*
2+−=
−+
−=
+++
)4(8
1
43
4
)4(8
1
43
4
43
*
43
iis
sB
iis
sB
is
is
+=
−++=
−=
+++=
−−=
+−=
Transformada inversa de Laplace:
)cos(2)( φωσ += − teBtf t
245.0,4,3
,8
17),4(
8
1
−===
=−=
φωσ
BiB
)245.04cos(4
17)( 3 −=∴ − tetf t
donde
95
Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III,teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.
Caso IV – factores complejos conjugados múltiples
[ ] 2*))(( asas −−
96
Ejemplo: Obtener la solución del problema de valores iniciales siguiente, mediante el método operacional de Laplace.
2)0(;0)0(
23)2(2
2
2
=′=
−−=−− −
uu
ttseneudt
du
dt
ud t πδ
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ( )
( ) [ ] ( )
( ) ( ) [ ] ( ) ⇒−++
+=+−⇒
⇒−++
+=−−⇒
⇒−++
=−−−⇒
⇒
−−=−′−′′⇒
⇒
−−=−′−′′
−
−
−
−
−
s
s
s
t
t
es
uLss
es
uLss
es
uLusLuLs
tLtseneLuLuLuL
ttseneLuuuL
22
22
2
22
2
341
2212
341
222
341
222
23)2(2
23)2(2
π
π
π
πδ
πδ
97
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
−−
−
−−−
−−
−
+−+−−=⇒
⇒+
+−
−
−++
+++
−+
−−
=⇒
⇒+−
−+−++
++−
=⇒
222
2
22
22
22
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98
Ejercicio: Obtener la transformada de Laplace de la función )5()3()( 3 tshtchttf =
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