11. acetatos controlo

11

Pedro BeiroInstituto Superior de Engenharia de Coimbra

Departamento de Engenharia MecnicaRua Pedro Nunes, 3030 - 199 Coimbra, Portugal

[email protected]

Instrumentao e ControloMdulo de Controlo de Sistemas

2

ndice

Introduo

Fundamentos matemticos

Diagramas de blocos

Modelao matemtica de sistemas fsicos

Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo

Aces bsicas de controlo

Erro em estado estacionrio

Estabilidade de sistemas de controlo

Anlise de sistemas de controlo com MatLab/Simulink

Construo de sistemas de controlo com MatLab/Simulink

23

1769 Controlo da velocidade de uma mquina a vapor (J. Watt)

1922 Estabilidade de sistemas de controlo recorrendo a equaesdiferenciais (Minorsky)

1932Estabilidade de sistemas de controlo em malha fechada atravsda resposta de sistemas de controlo em malha aberta a sinais deentrada sinusoidais (Nyquist)

1934 Sistemas de controlo de posio capazes de acompanhar umsinal de entrada varivel no tempo (Hazen)

Anos 40 Sistemas de controlo em malha fechada com capacidade desatisfazer requisitos de desempenho (Mtodo de resposta em frequncia)

IncioAnos 50

Mtodo de resposta de frequnciaMtodo do lugar das razes

Teoria clssica de controloSistemas de controlo com uma entrada e uma sada (SISO)

Histria

Introduo

4

FinalAnos 50

Maior complexidade dos sistemas de controloInsuficincia da teoria de controlo clssica

IncioAnos 60

Anlise no domnio do tempo (PCs)Sistemas de controlo + complexos

Teoria de controlo modernaSistemas de controlo com vrias entradas e sadas (MIMO)

1960 - 80Controlo de sistemas determinsticos e estocsticos

Controlo adaptativoControlo com aprendizagem

1980 - ...

Controlo robustoControlo fuzzy

Teoria de controlo moderna aplicada a vrias cincias (engenharias, biologia, economia,...)

Histria

Introduo

35

Definies

Varivel controlada

Grandeza medidaGrandeza de sada do sistema de controlo

Varivel manipulada

Grandeza variada pelo controladorAfecta o valor da varivel controlada

ControlarMedir o valor da varivel controladaAplicar valor certo da varivel manipulada a sistema de controloCorrigir/limitar erro entre valor medido da varivel controlada evalor desejado

Sistema a controlar

Objecto fsico a controlar que desempenha funo/operao(ex.: caldeira, reactor, navio, etc.)

Perturbao Sinal que afecta de forma adversa a varivel controladaPerturbao

interna Perturbao gerada no interior do sistema de controlo

Perturbaoexterna

Perturbao gerada no exterior do sistema de controlo(pode considerar-se como um sinal de entrada)

Introduo

6

Sistema de controlo em anel aberto

Varivel controlada no afecta aco de controloVarivel controlada no medida nem comparada com sinal de entradaCada sinal de entrada corresponde a uma operao pr-determinadaExactido do sistema de controlo dependente da calibraoUsados quando no existam perturbaesAces de controlo so funo do tempo

Entrada Controlador SadaProcesso

Mquina de lavar roupa

Entrada Sada

Diagrama de blocos ilustrativo de uma mquina de lavar roupa

Introduo

47

Sistema de controlo em anel fechado

Sistema de controlo com realimentao (retroaco)Reduz sinal de erro do sistema de controloSistema de controlo inclui uma relao pr-estabelecida entre sinais de

entrada e sada sob a forma de um sinal de erro enviado ao controladorSinal de erro = sinal de entrada sinal de sada

(valor desejado) (varivel controlada)

Controlo de velocidade em automvel Ar condicionado

Introduo

Entrada Controlador SadaProcesso

Medio

+-

8

Controlo em anel aberto da temperatura de um compartimento Controlo em anel fechado da temperatura de um compartimento

Sistema em anel aberto vs. sistema em anel fechado

Introduo

59

Construo simples Construo mais complexa(maior nmero de componentes)

Fcil manuteno Estabilidade mais problemtica

Sensvel a perturbaes(calibrao frequente)

Insensvel a perturbaes(realimentao)

Vantajoso quando no vivel medir sinais de sada

Vantajoso caso existam perturbaesou variaes nos parmetros

Sistema em anel aberto vs. sistema em anel fechado

Introduo

10

Introduo

Temperatura medida por um termmetro analgicoConversor A/D converte temperatura lida em sinal digitalSinal digital enviado ao controlador atravs da interfaceSinal digital comparado com sinal de entrada (temperatura desejada)Erro entre temperatura desejada e lida sinal enviado ao aquecedorTemperatura lida aproximar-se- ou igualar a temperatura desejada

Sistema de controlo de temperatura de forno eltrico

ConversorA/D Interface

Amplificador Interface

Controlador Temperatura desejada

termmetro analgico

aquecedor

Rel

611


Transformada de Laplace

Permite transformar uma equao diferencial representativa de um sistema de controlo numa equao algbrica da varivel complexa s

Sistema de controlo Pode representar-se por equaes diferenciais


Permite obter uma soluo da equao diferencialresolvendo a equao algbrica da varivel complexa s

Permite prever o desempenho de um sistema de controlo sem resolver as equaes diferenciais que o representam

Transformada Inversa de Laplace

12

LLLL

L L L L -1




Transformada directa de Laplace

Sistema de controlo Pode representar-se por equaes diferenciais

Transformar equao diferencial numa equao algbrica em s

Soluo da equao diferencial resolvendo a equao algbrica em s

713



Varivel complexa Nmero complexo cujas partes Re e Im variams = + j

Funo complexa Funo de s com parte real e parte imaginriaF (s) = Fx + jFy com Fx e Fy

Condio de mdulo

Condio angular

x yF(s ) F F= +2 2

= + =

y

x

FF( j ) arctg

F

ngulo medido no sentido anti-horrioa partir do semi-eixo real positivo

14



Funo complexa analtica

Pontos ordinrios

Pontos singulares

Plos

Zeros

Funo e suas derivadas existemnuma regio do plano complexo s

Pontos do plano complexo s em que a funocomplexa analtica

Pontos do plano complexo s em que a funocomplexa no analtica

Pontos singulares onde a funo complexa ou as suasderivadas

Pontos (singulares, ordinrios) onde a funo complexase anula

815



f (t) funo da varivel t, tal que f (t) = 0, t < 0s = + j varivel complexa

F (s) Transformada de Laplace

+ +

= = = st st[ f ( t )] F(s ) e dt [ f ( t )] f ( t ) e dt

0 0

LLLL

LLLL [A f (t)] = A LLLL [f (t)]

LLLL [f1 (t) + f2 (t)] = LLLL [f1 (t)] + LLLL [f2 (t)]

Propriedades bsicas da Transformada de Laplace

Definio de Transformada de Laplace

16



tes.t

tf ( t ) A, c

A e t

917



Funo degrau



te.tf ( t ) A cA t

0 00

Vlida em todo o plano complexo s, excepto no plo s = 0

Caso especial da funo exponencial em que = 0No definida para t = 0

st st A[ A] A e dt A e dts

+ +

= = = 0 0

LLLL

f(t)A

0 t

18



Funo degrau unitrio



t( t )t

0 01

1 0

Vlida em todo o plano complexo s, excepto no plo s = 0

Caso especial da funo exponencial em que = 0 e A = 1No definida para t = 0

+ +

= = = st st[ ( t )] e dt e dt

s0 0

11 1 1LLLL

1(t)1

0 t

10

19



Funo rampa


st stst e A e[ A t ] A t e dt A t dt

s s

++ +

= = =

0 00

LLLL

-stA Ae dts s

+

= 20

te.tf ( t ) A cA t t

11

21



Funo cosinuside


tes.tf ( t ) A, cA cos( t ) t

12

23



Funo impulso


<

tes.t t

Alim t ttg( t ) A,t ct ,t t

00

0 0

0

0

0 0

Caso especial da funo impulso rectangular

[ ] -stt t

A[ g(t )] lim [ f ( t )] lim ( )t s

e

= = =

0

0 00 0 0

1LLLL

stst

t t

d A ( e )dt A s e A slim lim Ad s s(t s )

dt

= = =

0

0

0 0

00 0

00

1

LLLL

(usando a funo impulso rectangular)

f(t)A/t0

0 tt0

24



LLLLstt tf f e dt

+

=

0

(fazendo t1 = e s1 = s)

LLLLs t s ttf f ( t ) e d( t ) f ( t ) e dt F(s ) F(s )

+ +

= = = =

1 1 1

21 1 1 1 1

0 0

Mudana da escala de tempo

Na anlise de sistemas de controlo pode ser vantajoso mudar a escala de tempo

O tempo normalizado aplica-se a sistemas de controlo descritos por equaes semelhantes


t

t t

( = cte.) f (t) tf

13

25


Teoremas da Transformada de Laplace

Teorema da diferenciao real

LLLLd f (t ) s F(s ) f ( )dt

=

0 f (0) = f (t) para t = 0

Generalizando

LLLLn ( n- )

n n- n-

n

d f (t ) s F(s ) s f ( ) s f ( ) ... f ( )dt

=

11 20 0 0

Transformada de Laplace da derivada de uma funo f(t)

f(0) = f(t) para t = 0LLLL

=

d f (t ) s F(s ) s f ( ) f ( )dt

22

2 0 0

26



Teorema do valor final

t slim f (t ) lim[ s F(s )]+

= 0

Se f(t) e forem transformveis por LaplaceSe F(s) for a Transformada de Laplace de f(t)

d f (t )dt

tlim f (t )+

Se existir

Teorema do valor inicial

sf ( ) lim [ s F(s )]

++ = 0

Se f(t) e forem transformveis por LaplaceSe F(s) for a Transformada de Laplace de f(t)

d f (t )dt

slim s F(s )+

Se existir

Estes teoremas permitem prever o comportamento (no domnio do tempo) de sistemas de controlo sem necessidade de transformar funes de s em funes de t (atravs da Transformada Inversa de Laplace)

14

27



Transformada de Laplace de LLLLt

f ( t ) dt F(s )s

=

0

1

t

f ( t )dt0

=

nn n

n

dt f ( t ) ( ) F(s )ds

1LLLL

Teorema da integrao real

Se f(t) for de ordem exponencial

Integrao no domnio do tempo Diviso no domnio de s

Teorema da diferenciao complexa

Se f(t) for transformvel por Laplace (excepto nos plos de F(s))

28


Propriedades da Transformada de Laplace

Teorema da diferenciao real

Teorema da diferenciao complexa

Teorema da integrao real

Propriedades bsicas da Transformada de Laplace

15

29


Tabelas da Transformada de Laplace

30



Transformadas Inversas de Laplace

Tabelas de Transformadas de Laplace

Aconselhvel

Integral de inverso

Complexo

Expandir F(s) em fraces parciais

Soluo

Funes simples de s

Tabelas de pares de transformadas

16

31



Anlise de sistemas de controlo

Expanso em fraces parciais

B(s )F(s )A(s )=

Transformadas Inversas de Laplace

A(s) e B(s) so polinmios em sGrau de A(s) > grau de B(s)Grau de A(s) < B(s) dividir B(s) por A(s)Factorizar polinmio A(s)

Se F(s) = F1(s) + F2(s) + ... + Fn(s)Se as Transformadas Inversas de Laplace existirem

L L L L -1 [F(s)] = L L L L -1 [F1(s)] + L L L L -1 [F2(s)] + ... + LLLL -1 [Fn(s)]

f(t) Transformada Inversa de Laplace de F(s)

L L L L -1 [F(s)] = f1(t) + f2(t) + ... + fn(t)

32



F(s) contm plos reais

m

n

B(s ) K (s z ) (s z ) ... (s z )F(s ) m nA(s ) (s p ) (s p ) ... (s p )

+ + += = >

=

+

DG (s ) D(s ) G (s ) D(s ) D(s )C (s )

G (s ) G (s ) H(s ) G (s ) G (s ) H(s ) G (s ) H(s )

1 1 >>G (s ) H(s )

1 2 1 2

1 2 1 21

1=

=

+ RG (s ) G (s ) R(s ) G (s ) G (s ) R(s ) R(s )C (s ) R(s )

G (s ) G (s ) H(s ) G (s ) G (s ) H(s ) H(s )

Efeito do sinal de perturbao D(s) anuladoRealimentao unitria H(s) = 1Comportamento de regulaoFuno de transferncia de malha fecha no afectada

Sistema linear em anel fechado com perturbao

Diagramas de blocos

28

55

Escrever as equaes diferenciais lineares representativas da dinmicade cada componenteAplicar a Transformada de Laplace e obter as equaes algbricas em sa partir das equaes diferenciais lineares (para condies iniciais nulas)Representar sob a forma de blocos as equaes algbricas em sReunir todos os blocos individuais num diagrama de blocos completoLigar em srie os vrios blocos se a sada de um bloco for no afectada

pelo bloco seguinteCombinar efeitos de carregamento (caso existam) entre componentes num

nico blocoSubstituir blocos em srie representativos de componentes individuais

sem efeitos de carregamento (uns sobre os outros) por um s bloco equivalente(funo de transferncia igual ao produto das funes de transferncia individuais)

Construo de diagramas de blocos

Diagramas de blocos

56

Novas funes de transferncia mais complexas (novos plos e zeros)

lgebra de blocos

Simplificar diagramas de blocos com vrios anis de realimentao

Ramo directo Ao longo de um anel

Simplificao de diagramas de blocos

Diagramas de blocos

Produto das funes de transferncia Permanecer inalterado

29

57

lgebra de blocos

Diagramas de blocos

Caso 4

Caso 5

Caso 9

Caso 7

Caso 6

58

lgebra de blocos

Diagramas de blocos

30

59

Funo de transferncia do ramo directo

Funo de transferncia em anel aberto

R entrada (referncia)C sada (varivel controlada)B realimentaoE = (R B) erro

Funo de transferncia em anel fechado

Funo de transferncia do erroCaso 13

Tabela da lgebra de blocos

Obter a funo de transferncia

Exerccio de lgebra de blocos

Diagramas de blocos

60

Funo de transferncia do ramo directo (D= 0)

Funo de transferncia em anel aberto (D = 0)

R entrada (referncia)C sada (varivel controlada)B realimentaoE = (R B) erroD perturbaoM varivel manipuladaGc funo de transferncia do controladorGp funo de transferncia do processo

Considerando a entrada nula, ou seja, R = 0

Caso 4

Caso 13



Diagramas de blocos

31

61

Considerando a perturbao nula, ou seja, D = 0

O resultado final

Caso 13

Caso 4


Diagramas de blocos

62

Caso 9

Caso 6

Caso 5

Caso 5

Caso 13



Diagramas de blocos

Caso 1

32

63

Caso 13 Caso 4

Caso 13



Diagramas de blocos

64


Dinmicas dos sistemas de controlo (mecnico, trmico, elctrico)descritas por vrias equaes diferenciais baseadasnas leis que regem esses sistemas (leis de Newton, Kirchhoff, etc.)

Conjunto de equaes representando sistemas fsicos com preciso aceitvel

Sistemas de controlo

Representados por modelos matemticos

Construo de modelos capazes de reproduzir sistemas reais

Obteno de um modelo matemtico

Compromisso entre a simplicidade do modelo e preciso dos resultados decorrentes da anlise

33

65

Sistema real vs. Modelo do sistema real


Sistema real

Conversor de energia das ondas

Modelo

Sistema massa-mola-amortecedor

2 lei de Newton

fip (t ) fep (t ) wf fn (t ) fv (t ) fm (t ) flg (t ) fwd (t ) = (mwt + mf ) (t )

Mola

Amortecedor

Massa

..

Modelo matemtico da dinmica do flutuador

ftot (t ) = m (t )..

66

Sistema real vs. Modelo do sistema real

Sistema real Modelo

Leis de

Kirchhoff

Circuito elctricoProcesso fsico-qumico

Equaes matemticas


34

67

Invariantes no tempo Variantes no tempo

Sistemas de controlo

LinearesNo lineares


68

Sistemas de controlo lineares invariantes no tempo (LIT)

Resposta total a diferentes sinais de entrada obtida pela adio dos vriossinais de sada (respostas) resultantes de sinais de entrada independentes

Obteno de solues complexas para equaes diferenciais lineares apartir de equaes mais simples

Sistemas dinmicos constitudos por componentes lineares de parmetrosconcentrados (modelo que recorre a equaes diferenciais ordinrias) e invariantes no tempo

Descritos por equaes diferenciais lineares invariantes no tempo (coeficientesconstantes)

Princpio da sobreposio Resposta obtida pela aplicao de sinaisde entrada independentes igual somados sinais de sada (respostas) individuais


35

69

Anlise Resposta no domnio do tempo

Sistemas de controlo LIT com uma entrada e uma sada (SISO)

Representao matemtica mais adequada

Funo de transferncia

Resposta em frequncia

Sistemas de controlo lineares invariantes no tempo (LIT)


70

Sistemas dinmicos modelados/representados por equaes diferenciaiscom coeficientes funo da varivel independente (ex.: tempo)

Considerados lineares numa gama estreita de operao

Sistema de controlo de uma nave espacial

Massa diminui devido ao consumo de combustvel

Sistema de controlo linear variante no tempo

Sistemas de controlo lineares variantes no tempo


36

71

No possvel aplicar o princpio da sobreposio

No possvel calcular a resposta total tratando os sinais de entrada deforma independente e adicionando as respostas parciais

Fora de amortecimento quadrado da velocidade

(no-lineraridade do tipo lei quadrtica)

Amortecedor linear a baixa velocidade e no linear a alta velocidade

Amortecedor

b

=

lim

b

lim

dxb.v(t ) b. , v vdt

F (t )dxb.v(t ) b. , v vdt

22

Sistemas de controlo no lineares


72

Anlise de sistemas de controlo no lineares

Sinais pequena magnitude

Modelo matemtico linearizado invariante no tempo

Aproximar sistemas de controlo no lineares

Sistema de controlo no linearFunciona junto ao ponto de equilbrio

Processo complexo

Sistemas lineares equivalentes (vlidos numa faixa estreita de operao)

Linearizao de sistemas de controlo no lineares


37

73

Sistema de controlo mecnico

Considerar o seguinte sistema massa-mola-amortecedor colocado sobreum carrinho com massa desprezvelObter a funo de transferncia do sistema de controlo

Amortecedor permite um amortecimento (atrito viscoso), absorve energia dissipada sob a forma de calor e no armazena energia

m

k

b

y(t)

u(t)

carrinhosem massa

Entrada do sistema Deslocamento do carrinho u(t)Sada do sistema Deslocamento da massa m y(t)t < 0 Carrinho permanece parado u(t) = 0t = 0 Carrinho com velocidade constante Fora da mola proporcional a [y(t) - u(t)]Fora de atrito do amortecedor proporcional a

m massa

b coeficiente linear de atrito viscosok constante da mola

te.u(t) = c u(t) = 0

[y(t) - u(t)]


74


2 Lei de Newton F = m [y(t) u(t)]

=

+ + = +

m y(t) b [y(t) u(t)] k [y(t) u(t)]m y(t) b y(t) k y(t) b u(t) k u(t)

Modelo matemtico do sistema massa-mola-amortecedor

Aplicar Transformadas de Laplace aos termos da equao diferencial anterior

+ + = + [m y(t)] [b y(t)] [k y(t)] [b u(t)] [k u(t)]LLLL LLLL LLLL LLLL LLLL

+ + = + m [y(t)] b [y(t)] k [y(t)] b [u(t)] k [u(t)]LLLL LLLL LLLL LLLL LLLL


38

75


Aplicar Teorema da diferenciao real

+ +

= +

2 m [s Y(s) s y(0) y(0)] b [s Y(s) y(0)] k Y(s)

b [s U(s) u(0)] k U(s)

Considerar condies iniciais nulas

+ + = + 2m s Y(s) b s Y(s) k Y(s) b s U(s) k U(s)


+= =

+ +2Y(s) b s kG(s)U(s) m s b s k

Atravs da funo de transferncia possvel representar matematicamente sistemas lineares e invariantes no tempo

U(s) + + +2

b s km s b s k

Y(s)

Diagrama de blocos


76

Sistema de controlo de nvel de lquido

Regime laminar equaes diferenciais linearesRegime turbulento equaes diferenciais no lineares

Dinmica de sistemas de controlo de nvel de lquido

Resistncia escoamento

Capacitncia de um reservatrio

Resistncia

Capacitncia

32variaao no volume de lquido armazenado [m ] V

C = = [m ]variaao unitria de nvel de lquido [m] h

Variao na diferena de nvel de lquido responsvel pelavariao unitria de caudal

Variao no volume de lquido armazenado responsvelpela variao unitria de nvel de lquido

-23

variaao na diferena de nvel de lquido [m] h R = = [m s]

variaao unitria de caudal [m /s] q


39

77


Considerar um sistema de nvel de lquidoRegime laminar devido restrio imposta pela vlvula de carga

[ ]

3

3in

3out

Q m /s caudal em regime permanente (estacionrio)q m /s pequeno desvio do caudal de entrada relativamente a Qq m /s pequeno desvio do caudal de sada relativamente a QH m altura do nvel

[ ] de lquido em regime permanente

h m pequeno desvio na altura do nvel de lquido relativamente a H


Resistncia R

Capacitncia C

Vlvula de carga

Vlvula de controlo

out Q + q

in Q + q

H + h

78


Regime laminar

Diferena entre caudais de entrada qin e sada qout durante um pequeno intervalo de tempo dt igual variao do volume armazenado no tanque

Equao diferencial linear Sistema de controlo linear

= = = 3 23 3

in out in out in out[s] [s] [m][m ] [m ][m / s] [m / s]

dh(q q ) dt dV (q q ) dt C dh (q q ) Cdt

Obter relao entre h e qout pela definio de resistncia

= =

out3out

variaao na diferena de nvel de lquido [m] h 0 hR = R qvariaao unitria no caudal [m /s] q R

= + = + = in in inh dh dh(q ) C R C h R q R C h(t) h(t) R q (t)R dt dt

Substituir na equao diferencial linear anterior

RC [s] a constante de tempo do sistema (R = cte.)


40

79


+ = in R C [h(t)] [h(t)] R [q (t)]LLLL LLLL LLLL

Aplicar Teorema da diferenciao real (admitir condies iniciais nulas) + = + = in inR C [s H(s) h(0)] H(s) R Q (s) (1 R C s) H(s) R Q (s)

Admitir qin como grandeza de entrada e h como grandeza de sada

=

+ in

H(s) RQ (s) 1 R C s

Admitir qin como grandeza de entrada e qout como grandeza de sada

=

+ out

in

Q (s) 1Q (s) 1 R C s

Aplicar Transformadas de Laplace equao diferencial anterior




=outH(s)Q (s)

R

80

Qin(s) +

Qout(s)

+

H(s)

1R C s R

Qin(s)

Diagramas de blocos


1R C s



Admitir qin como grandeza de entrada e h como grandeza de sada

H(s)

R1+R C s

Qin(s)

Qout(s)

11+R C s

Qin(s)

41

81


Considerar um sistema de nvel de lquido com interaco entre 2 tanquesRegime laminar devido s restries impostas pelas vlvulas de carga

[ ]

3

3in

32

1

Q m /s caudal em regime permanente (estacionrio)q m /s pequeno desvio do caudal de entrada relativamente a Qq m /s pequeno desvio do caudal de sada relativamente a QH m altura do nvel

[ ][ ][ ]

2

1 1

2

de lquido do tanque 1 em regime permanenteH m altura do nvel de lquido do tanque 2 em regime permanenteh m pequeno desvio na altura do nvel de lquido do tanque 1 relativamente a Hh m pequeno des

2vio na altura do nvel de lquido do tanque 2 relativamente a H


Vlvula de carga 1

Vlvula de controlo

Vlvula de carga 2

Capacitncia C1 Capacitncia C2 Resistncia R2Resistncia R1

in Q + q

2 Q + q

1 Q + q

82


Aplicar definio de resistncia = =1 2 1 21 11 1

h h h h R q

q R

Regime laminar

Diferena entre caudais de entrada qin e sada q1 durante um pequenointervalo de tempo dt igual ao volume adicional armazenado no tanque 1

Equao diferencial linear Sistema de controlo linear

= = 1in 1 1 1 in 1 1dh(q q ) dt C dh (q q ) Cdt

Aplicar definio de resistncia = =2 22 22 2

h 0 h R q

q R

Diferena entre caudais de entrada q1 e sada q2 durante um pequenointervalo de tempo dt igual ao volume adicional armazenado no tanque 2

= = 21 2 2 2 1 2 2dh(q q ) dt C dh (q q ) Cdt


Tanque

Tanque

42

83


in 1in 1 1 1 1

1

1 21 1 1 1 2 2

1

1 21 2 2 2 2

2

22 2 2 2

2

Q (s) Q (s)Q (s) Q (s) C s H (s) H (s)C s

H (s) H (s)Q (s) H (s) Q (s) R Q (s) RR

Q (s) Q (s)Q (s) Q (s) C s H (s) H (s)C s

H (s)Q (s) H (s) Q (s) RR

= =

= = +

= =

= =

Aplicar Transformadas de Laplace s equaes diferenciais anterioresAplicar Teorema da diferenciao real (admitir condies iniciais nulas)


84


[ ]

in 11 1 2 2

1

1 22 2 1 2 2 2

2

Q (s) Q (s)Q (s) R Q (s) RC s

Q (s) Q (s)Q (s) R Q (s) Q (s) R C s 1C s

+ =

= = +

=

+ + + + 2

2in 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1

Q (s) 1Q (s) 1 R R C C s [R C R C R C ] s

Admitir qin como grandeza de entrada e q2 como grandeza de sada

R2C1 [s] corresponde interaco entre os dois reservatrios



Substituir em e em

43

85

Sistema de controlo trmico

Transferncia de calor(radiao desprezvel)Conduo Conveco

q = K

Transferncia de calor por conduo ou conveco

q [kcal/s] potencia calorifica [C] diferena de temperatura

K = HA [kcal/sC] coeficiente para transferencia de calor por convecaokA

K = [kcal/sC] coeficiente para transferencia de calor x

2

2

por conduao

H [kcal/m sC] coeficiente de convecaoA [m ] rea normal ao fluxo de calork [kcal/msC] condutividade termicax [m] espessura do condutor


86


variaao na diferena de temperatura [C]R = = [Cs/kcal]variaao unitria da potencia calorifica [kcal/s] q

variaao no calor armazenado [kcal] UC = = [kcal/C]variaao unitria da temperatura [C]

Resistncia trmica Capacitncia trmica

Resistncia trmica Variao na diferena de temperatura responsvelpela variao unitria da potncia calorfica

Capacitncia trmica Variao no calor armazenado responsvel pelavariao unitria da temperatura

Dinmica de sistemas de controlo trmico


44

87


Aquecedor

Lquido quente

Lquido frio

Misturador

Considerar um sistema trmico sem armazenar calor no isolamento nemperdas de calor para o meio ambiente (reservatrio termicamente isolado)Temperatura constante (do lquido que entra) e uniforme (temperatura interior do lquido igual

temperatura do lquido que sai)

in

out

[C] temperatura em regime permanente do lquido que entra [C] temperatura em regime permanente do lquido que sai

Q [kcal/s] potencia calorifica em regime permanente [C] pequeno desvio na

in

out

temperatura do lquido que saiq [kcal/s] pequeno desvio na potencia calorifica de entradaq [kcal/s] pequeno desvio na potencia calorifica de sada

R [Cs/kcal] resistencia trmicaC [kcal/C] capa

citancia trmica


88

in in ind d(q ) C R C R q R C (t) (t) R q (t)

R dt dt

= + = + =


Potncia calorfica de entrada varia subitamente desde at + qinPotncia calorfica de sada variar gradualmente desde at + qoutTemperatura do lquido que sai variar desde at

Q

out +

QQ

out

Diferena entre potncias de entrada qin e sada qout durante um pequeno intervalo de tempo dt igual variao do calor armazenado no reservatrio

= = = in out in out in out

d(q q ) dt dU (q q ) dt C d (q q ) Cdt

Obter relao entre e qout pela definio de resistncia trmica


RC [s] a constante de tempo do sistema (R = cte.)

= =

out

variaao na diferena de temperatura [C] 0R = R Rvariaao na potencia calorifica [kcal/s] q q


Q

45

89


Aplicar Transformadas de Laplace equao diferencial anterior

in R C [ (t)] [ (t)] R [q (t)] + = LLLL LLLL LLLL

Aplicar Teorema da diferenciao real e admitir condies iniciais nulas

in inR C [s (s) (0)] (s) R Q (s) (R C s 1) (s) R Q (s) + = + =

Admitir qin como grandeza de entrada e como grandeza de sada

in

(s) RQ (s) R C s 1

=

+


=

+out

in

Q (s) 1Q (s) R C s 1




=out(s)Q (s)R

90

Qin(s) +

Qout(s)

+

(s)

1R C s R

Qin(s)

Diagramas de blocos


1R C s


Admitir qin como grandeza de entrada e como grandeza de sada

(s)

R1+R C s

Qin(s)

Qout(s)

11+R C s

Qin(s)


46

91

Temperatura do lquido que entra varia subitamente desde atPotncia calorfica de entrada Q permanece constantePotncia calorfica de sada variar gradualmente desde at + qoutTemperatura do lquido que sai variar desde at


in in in +

QQout out +

in out in outd(q q ) dt C d (q q ) Cdt

= = Equao diferencial linear

Obter relao entre e qout pela definio de resistncia trmica

outout

R qq R

= =

Obter relao entre in e qin pela definio de resistncia trmica

in inin

in

R qq R

= =


92


No possvel apresentar esta imagem de momento.


in R C [ (t)] [ (t)] [ (t)] + = LLLL LLLL LLLLAplicar Transformadas de Laplace equao diferencial anterior

Aplicar Teorema da diferenciao real e supor condies iniciais nulas

in inR C [s (s) (0)] (s) (s) (R C s 1) (s) (s) + = + =

Admitir in como grandeza de entrada e como grandeza de sada

in

(s) 1(s) R C s 1

=

+Funo de transferncia


47

93


in

(s) 2(s) R C s 1

=

+Funo de transferncia +


in

(s) RQ (s) R C s 1

=

+

in

(s) 1(s) R C s 1

=

+

in in in in(s) R Q (s) (s) (s)(s) (s)R C s 1 R C s 1 R C s 1 R C s 1

= + = + + + + +

=

inin

(s)Q (s)R

+

=

Funo de transferncia Funo de transferncia

94


in(s) +

(s)

+

(s)

1R C s R

Qin(s)

+

(s)

1R C s R

Qin(s) +in(s)

O ltimo diagrama de blocos consiste na conjugao dos dois anterioresFuno de transferncia do ltimo sistema (sujeito a uma perturbao in) advm da soma das funes de transferncia dos anteriores

Diagramas de blocos

in

(s) 1(s) R C s 1

=

+

=

+in

(s) RQ (s) R C s 1

in

(s) 2(s) R C s 1

=

+

+

=

+

= = in in in

in

(s)R R Q (s) (s)Q (s)


1R C s

48

95


Comparar desempenhos de sistemas de controlo

Comparar respostas dos sistemas com sinais de entrada

Sinais de entrada

Sinais de teste

impulso(variao instantnea)

degrau(variao brusca) rampa

(variao gradual)

sinusideetc.exponencial

Sinais de teste

Sinais de entradaSistema de controlo

Sinais de sada

Valores instantneos (no podem expressar-se analiticamente)

Aleatrios

96


Relao entre resposta a sinal de entrada de teste e capacidade de resposta a sinais de entrada reais

Sinais de teste

Escolha dos sinais de entrada de teste mais adequados depende de solicitaes a que os sistemas so submetidos

Analisar caractersticas de sistemas de controlo

Sistemas submetidos a sinais de entrada que variamgradualmente com o tempo

Funo impulso

Funo degrau

Funo rampa

Sistemas submetidos a sinais de entrada instantneos

Sistemas submetidos a sinais de entrada que variamsubitamente com o tempo

49

97


Resposta transitria: resposta temporal de sistemas submetidos a sinaisde entrada (desde o estado inicial t = 0 at ao estado final t = tfinal)

Resposta estacionria: resposta temporal de sistemas quando t

Estabilidade absoluta: caracterstica relativa ao comportamento dinmicode sistemas de controlo LIT (sistema estvel / instvel)

Sistema em equilbrio: sistema permanece no mesmo estado na ausnciade sinais de entrada ou perturbaes

Sistema estvel: sistema submetido a condies iniciais sinal de sadaretorna ao equilbrio

Sistema criticamente estvel: sistema submetido a condies iniciais sinal de sada com oscilaes infinitas

Sistema instvel: sistema submetido a condies iniciais sinal de sadadiverge relativamente ao equilbrio

Erro em estado estacionrio: resposta de um sistema em estadoestacionrio no coincide com sinal de entrada (avalia inexactido do sistema)

98


Sistema estvel

Sistema criticamente estvel

Sistema instvel

50

99


Sistema de 1 Ordem

Resposta a sinal de entrada em impulso unitrio

Transformada de Laplace do impulso unitrio R(s) = 1

Substituir na funo de transferncia

Transformada Inversa de Laplace = tT1c(t) e , t 0

T

= = = + + +

C(s) 1 1 1 1C(s) 1 C(s) 1R(s) T s 1 T s 1 T sT

R(s)+

C(s)

1 T s

R(s) C(s)

1

T s + 1

r(t) = (t) (t)

0 t

1

condies iniciais nulas

100


=1t 0 c(t)T

Sinal de errotT1e(t) r(t) c(t) (t) e , t 0

T

= =

t = + c(t) = 0

= tT1c(t) e , t 0

T

c(t)r(t)

tT

tT1c(t) e

T

=

r(t) = (t)

2T 3T 4T0

1

T

Sistema de 1 Ordem

tTQuando t e 0 e( ) (t)

51

101


Sistema de 1 Ordem

=

1R(s)s

Expandir em fraces parciais

= = = + + +

1 T 1 1 T 1 1C(s) 1 1s T s 1 s T ss sT T

= = + +

C(s) 1 1 1C(s)R(s) T s 1 T s 1 s

Resposta a sinal de entrada em degrau unitrio

Transformada de Laplace do degrau unitrio

r(t) = 1(t) r(t)

0 t

1


Transformada Inversa de Laplace = tTc(t) 1 e , t 0

102


Sistema de 1 Ordem

t = 0 c(t) = 0t = T c(t) = 0,632t = 2T c(t) = 0,865t = 3T c(t) = 0,95t = 4T c(t) = 0,982t = + c(t) = 1

= tTc(t) 1 e , t 0

Estimativa razovel para tempo de resposta tempo que a curva de resposta demora a atingir 2% do valor final (matematicamente oestado estacionrio atinge-se para t = )Constante de tempo T do sistema 0 resposta mais rpida do sistema

Sinal de errot tT Te(t) r(t) c(t) 1 (1 e ) e , t 0 = = =

tTQuando t e 0 e( ) 0

0,950

c(t)r(t)

t

0,632

T

=

tTc(t) 1 e

r(t) = 1

2T 3T0

0,865

4T

0,982

63,2% 8

6,5% 9

5,0%

98,2%

52

103


Sistema de 1 Ordem

2

1R(s)s

=


= + = + = + + + +

2

2 2 21 T T 1 T T T 1 T TC(s) 1 1s s T s 1 s s T s ss s

T T

2

C(s) 1 1 1C(s)R(s) T s 1 T s 1 s= = + +

Resposta a sinal de entrada em rampa unitria

Transformada de Laplace da rampa unitria

r(t) = t r(t)

0 t


Transformada Inversa de LaplacetTc(t) t T T e , t 0= +

1

1

104


Sistema de 1 Ordem

t = 0 c(t) = 0

t = + c(t) = +

c(t)r(t)

t

3T

2T

T

tTc(t) t T T e= +

r(t) = t

2T 3T0

tTc(t) t T T e , t 0= +

Sinal de errot tT Te(t) r(t) c(t) t t T T e T (1 e ) , t 0 = = + =

tTQuando t e 0 e( ) T

constante de tempo T do sistema erro em estado estacionrio

T( )e

53

105

+ 2K

J s B s R(s)

+

C(s) R(s) C(s) + +2

KJ s B s K


Sistema de 2 Ordem

2

C(s) KR(s) J s B s K= + +

2 2

KC(s) JR(s) B B K B B K

s s2 J 2 J J 2 J 2 J J

=

+ + +

2

2

B - 4 K J 0 Plos complexosB - 4 K J 0 Plos reais

<


106


Sistema de 2 Ordem

2n

KJ

= nB

2 J =

Anlise da resposta transitria

Frequncia natural no amortecida

Sistema massa-mola

Frequncia de vibrao livre

n

km

=

Resulta de foras inerciais (massa)e elsticas (mola) de um sistema

= =

amortercimento real BCoeficiente de amortecimentoamortecimento crtico 2 J K

54

107


Sistema de 2 Ordem

Representar sistemas de 2 ordem por diagramas de blocos

R(s) C(s)2n2 2

n ns + 2 s +

R(s)

+

C(s)2n

2ns + 2 s

Parmetros n e

Dinmica de sistemas de controlo de 2 ordem

Frequncia natural no-amortecida n

Coeficiente de amortecimento

108


Sistema de 2 Ordem

Sistema no amortecido = 0


= = = =

+ + + + 2 2 20n n n

2 2 2 2n n n n n

C(s)R(s) s 2 s s (s j )(s j )

Plos plos imaginrios puros conjugados p1,p2 = jnPlos situados sobre o eixo imagirio do plano complexo sSistema oscila infinitamente em torno da posio de equilbrio

55

109


Sistema de 2 Ordem

= 0 resposta no-amortecida oscilaes infinitas = 0 n = d

nc(t) 1 cos( t)=

Sinal de erro e(t) = r(t) c(t)

Sistema no amortecido = 0


Transformada de Laplace do degrau unitrio 1R(s)s

=

ne(t) cos( t)=

2n

2 2n

1C(s) s s

=

+


2

d n1 = Frequncia natural amortecida

110

Plos complexos conjugados p1,p2 = n j dPlos distintos situados no semi-plano esquerdo do plano complexo sSistema oscila em torno da posio de equilbrio (amplitude decrescente)


Sistema de 2 Ordem

Sistema subamortecido 0 < < 1


2 2n n

2 2n n n d n d

C(s)R(s) s 2 s (s j )(s j )

= =

+ + + + +

56

111


Sistema de 2 Ordem

2 2n n

2 2 2 2 2 2 2n n d n d

1 1C(s) s 2 s j s (s ) s

= =

+ + + +



n n n2 2 2 2 2 2

n d n d n d

s 2 s1 1C(s)s (s ) s (s ) (s )

+ + = = +

+ + + + + +

Transformada Inversa de Laplace n nt t

d d 2c(t) 1 e cos( t) e sin( t)

1

= +


=


112


Sistema de 2 Ordem

n td d 2

e(t) e cos( t) sin( t)1

= +

Estado estacionrio (t = +) e(t) = 0


Sinal de erro Funo sinusoidal amortecida

Sinal de erro


57

113


Sistema de 2 Ordem

Sistema criticamente amortecido =1


2n

2 2n n

C(s)R(s) s 2 s

=

+ +

Plos reais p1,p2 = nPlos iguais situados no semi-plano esquerdo do plano complexo sSistema tende rapidamente para a posio de equilbrio

114


Sistema de 2 Ordem

2 2n n

2 2 2n n n

1 1C(s) s 2 s s (s ) s

= =

+ + +



n2

n n

1 1C(s)s (s ) s

=

+ +


n tnc(t) 1 e (1 t) = +


=


58

115


Sistema de 2 Ordem

n tne(t) e ( t 1) = +



116


Sistema de 2 Ordem

Sistema sobreamortecido > 1


2 2n n

2 2 2 2n n n n n n

C(s)R(s) s 2 s (s 1)(s 1)

= =

+ + + + +

Plos reais negativos p1,p2 =Plos distintos situados no semi-plano esquerdo do plano complexo sSistema tende assimptoticamente para a posio de equilbrio

2n( 1)

59

117


Sistema de 2 Ordem


2n

2 2n n n n

1C(s) s(s 1)(s 1)

=

+ + +


Transformada Inversa de Laplace 1 2s t s t

n

21 2

2 21 1 n 2 2 n

e ec(t) 1

s s2 1

s p ( 1) s p ( 1)

= +

= = + = =


=

2 termos de exponencial decrescente

118


Sistema de 2 Ordem



1 2s t s tn

21 2

2 21 1 n 2 2 n

e ee(t)

s s2 1

s p ( 1) s p ( 1)

=

= = + = =

60

119


Sistema de 2 Ordem

Exponencial contendo p1 (cte. de tempo > 1Sistema sobreamortecido >>1

Efeito de p1 em c(t) >1

61

121


Sistema de 2 Ordem


2n2 ( 1) ts te(t) e e = =

Sistema sobreamortecido >>1

122


Sistema de 2 Ordem

Curvas tpicas de resposta ao degrau unitrio (n = 1) de acordo com , e

Subamortecido

Subamortecido

Amortecimento crtico

Sobreamortecido

= =1R(s) r(t) 1s

=

+ + 2n

2 2n n

C(s)R(s) s 2 s

Sistemas subamortecidos (0 < < 1) tm respostas mais rpidas relativamentea sistemas com amortecimento crtico ( = 1) ou sobreamortecidos ( > 1)Sistemas com amortecimento crtico ( = 1) tm respostas mais rpidas

relativamente a sistemas que respondam sem oscilaes (sobreamortecidos)Sistemas sobreamortecidos ( > 1) tm respostas mais lentas a quaisquer

sinais de entrada

62

123


Sistema de 2 Ordem

Caractersticas da resposta transitria

Desempenho de sistemas de controlo caracterizam-se geralmente pelaresposta transitria a um sinal de entrada de teste em degrau unitrio (sinalgerado facilmente; corresponde a uma solicitao suficientemente severa)

Resposta transitria de sistemas de controlo a um sinal de entrada emdegrau unitrio depende de condies iniciais (condies iniciais nulas sistema em repouso)

Conhecendo a resposta de sistemas de controlo a um sinal de entradaem degrau unitrio matematicamente possvel obter a resposta paraqualquer outro tipo de sinal

Resposta transitria de sistemas de controlo apresenta frequentementeoscilaes amortecidas antes de alcanar o estado estacionrio

124


Sistema de 2 Ordem

c(t)

t0

1

Caractersticas da resposta transitria de sistemas de controlo ao sinal de entrada em degrau unitrio

Tempo de atraso td curva de resposta atinge pela 1 vez 50% do valor final

0,5

td

63

125


Sistema de 2 Ordem

curva de resposta passa de 0% para 100% (subamortecidos)ou de 10% para 90% (sobreamortecidos) do valor final


c(t)

ttr0

1

Tempo de subida tr

126


Sistema de 2 Ordem


Tempo de acomodao ts curva de resposta atinge e permanece numafaixa de vizinhana (2% a 5%) do valor final

c(t)

t0

1

ts

tolernciaaceitvel

2% 5%

64

127


Sistema de 2 Ordem

curva de resposta ultrapassa o 1 pico de ultrapassagem(overshoot)


Instante de pico tp

c(t)

t0

1

tp

128


Sistema de 2 Ordem


Valor mximo de ultrapassagem Mp pico da curva de resposta medido apartir da unidade (indica estabilidade relativa do sistema)

c(t)

t0

1

pc(t ) c( )

100%c( )

+=

+Mp

65

129


Sistema de 2 Ordem

c(t)

t

0,5

td tr tp0

1

ts

tolernciaaceitvel

Mp

2% 5%


130


Forma pela qual um controlador produz o sinal de controlo

Aco de controlo

Controlador

Compara os valores de sinais de sada e entrada

Produz sinal de controloCalcula o erro existente

Controlador ON-OFFControlador Proporcional (P)Controlador Integral (I)Controlador Proporcional Integral (PI)Controlador Proporcional Derivativo (PD)Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)

Classificao dos controladores de acordo com a aco de controlo

processo a controlar;preciso;fiabilidade;operao;segurana;economia;peso;dimenso

66

131


e(t) > 0 u(t) = U1 (valor mximo)e(t) < 0 u(t) = U2 (valor mnimo)(U1 e U2 so constantes, U2 normalmente 0 ou U1)

Controlo ON-OFF

u(t) sinal de sada do controlador ON-OFFe(t) sinal de erro actuante

t correspondente variao de e(t) antes de U1 U2u(t) mantm o seu valor at e(t) variar para alm de 0

RC

inq

h

24V h(t)

t0

Intervalo diferencial

Intervalo diferencial

outq

+

U(s)U1U2

E(s)

intervalo diferencial

132


Controlo Proporcional (P)

u(t) sinal de sada do controlador proporcionale(t) sinal de erro actuante

u(t) varia proporcionalmente a e(t) pu(t) K e(t)=

Aplicar Transformadas de Laplace

+

U(s)Kp

E(s)

Ganho proporcional do controlador Kp (cte. ajustvel)Controlador proporcional amplificador (ganho ajustvel)

pU(s) KE(s) =

e(t)

t

1

0

degrau unitrio

u(t)

t0

Kp Pe(t) = 1

67

133


Controlo Integral (I)

u(t) sinal de sada do controlador integrale(t) sinal de erro actuante

[ ] it

i0

du(t) K e(t)

dt

u(t) K e(t)dt

=

=


Ganho integral do controlador Ki (cte. ajustvel)Duplicar e(t) u(t) variar 2 mais rpidoe(t) = 0 u(t) permanece estacionrio

iKU(s)E(s) s=

U(s)+

E(s)iK

s

taxa de variao de u(t) proporcional a e(t)

Teorema da integrao real LLLL =

1

0

tf ( t ) dt F(s )

s

134

u(t) varia proporcionalmente a e(t)taxa de variao de u(t) proporcional a e(t)


Controlo Proporcional Integral (PI)



Tempo integral do controlador Ti (cte. ajustvel)Ganho proporcional do controlador Kp (cte. ajustvel)

pip p

i

KKU(s) K KE(s) s T s= + = +

t

p i0

tp

p0i

u(t) K e(t) K e(t)dt

Ku(t) K e(t) e(t)dt

T

= +

= +

+

U(s)E(s) ip

KKs

+U(s)E(s)

+

ppi

KK

T s+

68

135( )i

t te( t ) 1p p

p p0 0i i

t 0pp p0

i

t Tp pi p p i p0

i i

K Ku(t) K e(t) e(t)dt K 1 1dt

T TK

u(0) K 1 t KT

K Ku(T ) K t K T 0 2 K

T T

=

=

=

= + = +

= + =

= + = + =


e(t)

t

1

0

degrau unitrio

u(t)

t

2Kp

0

Kp

Ti

PI

P

Controlo Proporcional Integral (PI)

e(t) = 1

Tempo integral Ti corresponde ao perodo de tempo necessrio para quea contribuio da aco integral iguale a da acoproporcional

136


Controlo Proporcional Derivativo (PD)



Tempo derivativo do controlador Td (cte. ajustvel)Ganho proporcional do controlador Kp (cte. ajustvel)

p d p p dU(s) K K s K K T sE(s) = + = +

u(t) varia proporcionalmente a e(t)u(t) proporcional taxa de variao de e(t) [ ]

[ ]p d

p p d

du(t) K e(t) K e(t)

dtd

u(t) K e(t) K T e(t)dt

= +

= +

+

U(s)E(s)p dK K s+

U(s)E(s)+

p p dK K T s+

Controlador D no usado sozinho pois s eficaz em regimes transitrios

69

137

u(t)

t0

Td

PDP

Tempo derivativo Td


e(t)

t0

rampaunitria

e(t) = t

Controlo Proporcional Derivativo (PD)

[ ] e(t) tp p d p p dp p d p d

d p d p d p d

du(t) K e(t) K T e(t) K t K T 1

dtu(0) K 0 K T K Tu(T ) K T K T 2 K T

=

= + = +

= + =

= + =

corresponde ao perodo de tempo antecipado pelaaco derivativa relativamente aco proporcional

Kp Td

Td

2 Kp Td

138

u(t) varia proporcionalmente a e(t)taxa de variao de u(t) proporcional a e(t)u(t) proporcional taxa de variao de e(t)



Ganho proporcional do controlador Kp (cte. ajustvel)Tempo integral do controlador Ti (cte. ajustvel)Tempo derivativo do controlador Td (cte. ajustvel)

Controlo Proporcional Integral Derivativo (PID)

[ ]

[ ]

t

p i d0

tp

p p d0i

du(t) K e(t) K e(t)dt K e(t)

dtK d

u(t) K e(t) e(t)dt K T e(t)T dt

= + +

= + +

70

139



ip d

pp p d

i

KU(s) K K sE(s) s

KU(s) K K T sE(s) T s

= + +

= + +


E(s)

U(s)+

E(s)i

p dKK K ss

+ + U(s)

+

pp p d

i

KK K T s

T s+ +

u(t)

t0

PDP

PIDe(t)

t0

rampaunitria

e(t) = t Kp Td

Td

Td

140



Diagrama de blocos de um controlador PID

71

141



Resposta em estado estacionrio difere do sinal de entrada

Desempenho de um sistema de controlo estvel

Sistemas de controlo apresentam erro em estado estacionrio na respostaa determinados tipos de sinais de entrada

Erro em estado estacionrio depende da estrutura das funes detransferncia em anel aberto

Sistemas de controlo podem apresentar um erro em estado estacionrionulo quando submetidos a sinais de entrada em degrau

Sistemas de controlo podem apresentar um erro em estado estacionriono nulo quando submetidos a sinais de entrada em rampa

Eliminar erros em estado estacionrio alterar os sistemas de controlo

142


= = = +

E(s) R(s) C(s) E(s) G(s)E(s) R(s) C(s) 1 1R(s) R(s) R(s) R(s) 1 G(s)

=

+

C(s) G(s)R(s) 1 G(s)

G(s)R(s) E(s)+

C(s)Sistema de controlo em anel fechado


Sinal de erro E(s) = diferena entre os sinais de entrada R(s) e sada C(s)

Teorema do valor final

= = = =

+ss t s 0 s 0

1e e( ) lim e(t) lims E(s) lims R(s)

1 G(s)

Calcular o erro em estado estacionrio

= = + +

E(s) 1 1E(s) R(s)R(s) 1 G(s) 1 G(s)

72

143


Ganho Kp do controlador calibrado para =p1KK

Comparao entre erros em estado estacionrio

Sistema de controlo em anel aberto

= = = =

+ + +p

c

K KC(s) 1 K 1G (s)R(s) T s 1 K T s 1 T s 1Funo de transferncia

[ ]= = = c cE(s)E(s) R(s) C(s) 1 G (s) E(s) 1 G (s) R(s)R(s)

Sinal de erro E(s)

[ ]

= = = = = = +ss ct s 0 s 0

1 1e e( ) lime(t) lims E(s) lims 1 G (s) 1 0

s T 0 1

Erro em estado estacionrio para entrada em degrau unitrio

C(s)R(s)Kp

+

KT s 1

E(s)

144


Variao na funo de transferncia do processo a controlar (ex: evoluo temporal, desgaste de componentes)

[ ]( ) ( )

= = =

+ + = = = =

+ +

ss c cs 0 s 0

ss p

1e lims E(s) lims 1 G (s) 1 G (0)

s

K K K K1 K Ke 1 K 1 1 0.1

T 0 1 K T 0 1 K K

Erro em estado estacionrio para sinal de entrada em degrau unitrio


Erro em estado estacionrio inicial ess = 0Com o evoluir do tempo o ganho Gc(0) aumenta ess 0Proceder a recalibrao do sistema de controlo ess = 0

= = = =p

K 1K 10; K 1; 0.1; KK K

F.T. inicial var iaao F.T.

K KT s 1 T s 1

+

+ +

73

145


Sistema de controlo em anel fechado


R(s) C(s)E(s)+

Kp +

KT s 1

Ganho Kp do controlador calibrado para >>p1KK

= =

+ + p

c

p

K KC(s)G (s)R(s) T s 1 K KFuno de transferncia

[ ]= = = c cE(s)E(s) R(s) C(s) 1 1 G (s) E(s) 1 G (s) R(s)R(s)

Sinal de erro E(s)

[ ]

= = = =

+ + + p

ss cs 0 s 0p p

K K1 1e lims E(s) lim s 1 G (s) 1

s T 0 1 K K 1 K K

Erro em estado estacionrio para entrada em degrau unitrio

146



[ ] ( )( )( )

( )

+ = = = =

+ + +

+ + = = = =

+ + + +

pss c cs 0 s 0

p

ss

K K K1e lims E(s) lims 1 G (s) 1 G (0) 1

s T 0 1 K K K100 K K 100 100 0.1 110Ke 1 1 1 0.009100 1 100 100 0.1 1111 K K

K

Variao na funo de transferncia do processo a controlar (ex: evoluo temporal, desgaste de componentes)

F.T. inicial var iaao F.T.

K KT s 1 T s 1

+

+ +

Erro em estado estacionrio para sinal de entrada em degrau unitrio

Erro em estado estacionrio inicial ess 0Com o evoluir do tempo ess 0

= = = =p

K 100K 10; K 1; 0.1; KK K

74

147


Localizao dos plos em malha fechada no plano complexo s

Estabilidade de sistemas de controlo lineares

Sistema de controlo estvel

Plos no semi-plano esquerdo do plano s

Resposta transitria oscila com amplitude decrescente

Sistema atinge o equilbrio

Sistema de controlo instvel

Plos no semi-plano direito do plano s

Resposta transitria oscila com amplitude crescente

Sistema afasta-se do equilbrio

148


Resposta de sistema de controlo no pode aumentar indefinidamente

Semi-plano direito do plano complexo s

Localizao de plos em malha fechada

Inaceitvel

Localizao de plos complexos conjugados dominantes em malha fechada

Perto do eixo imaginrio do plano complexo s

Resposta transitria pode no apresentar caractersticas satisfatrias (oscilaes e/ou lentido excessivas)

75

149


Localizao de todos os plos em malha fechada

Semi-plano esquerdo do plano complexo s

Garantir caractersticas satisfatrias da resposta transitria(rapidez de resposta e bom amortecimento)

Condio necessria mas no suficiente

Localizao de todos os plos em malha fechada

Regies particulares do plano complexo s

150


Verificar a existncia de razes instveis na equao polinomial sem resolver a equao

Critrio de estabilidade de Routh

Verificar a existncia de plos em malha fechada no semi-plano direito do plano s

Funes de transferncia em malha fechada de sistemas de controlo

+ + + += =

+ + + +

m m-10 1 m-1 m

n n-10 1 n-1 n

b s b s ... b s bC(s) B(s)R(s) a s a s ... a s a A(s)

ai e bi so constantes e m n

A(s) = 0

Polinmio caracterstico

76

151


1. Escrever o polinmio caractersticoA(s) na forma

+ + + + i nn n 1 (a R e a 0)0 1 n 1 na s a s ... a s a

2. Todos os coeficientes ai > 0(se todos os ai < 0,multiplicam-se ambos os membros da equao polinomial A(s) = 0 por 1 tornando-os positivos)


Condio necessria mas no suficiente para estabilidade do sistema

Todos os coeficientes da equao polinomial A(s) = 0 existem e so > 0(ou todos negativos)

Se qualquer um dos coeficientes 0 e pelo menos um coeficiente ai > 0

Sistema no estvel

Existem razes imaginrias (perto do eixo Im) ou com partes reais > 0

Verificar estabilidade absoluta no preciso prosseguir

152


3. Coeficientes ai > 0 (ou negativos) distribuem-se em linhas e colunas

Multiplicao / diviso de uma linha inteira por um n positivo (simplificar clculos de linhas seguintes) no altera a estabilidade / instabilidade do sistema

= = =

= = =

= = =

1 2 0 3 1 4 0 5 1 6 0 71 2 3

1 1 1

1 3 1 2 1 5 1 3 1 7 1 41 2 3

1 1 1

1 3 1 31 2 1 2 1 4 1 41 2 3

1 1 1

a a a a a a a a a a a ab ;b ;ba a a

b a a b b a a b b a a bc ;c ;c

b b bc b b cc b b c c b b cd ;d ;d

c c c

.....

N de mudanas de sinal de coeficientes da 1coluna = n de razes com partes reais positivas

n0 2 4 6

n-11 3 5 7

n-21 2 3 4

n-31 2 3 4

n-41 2 3 4

2

s a a a a ....

s a a a a ....

s b b b b ....s c c c c ....

s d d d d ..... . .

. . .

. . .

s ... 1

0

...

s ... ...

s ... ...

Clculo dos coeficientes bi, ci e di


77

153


Estabilidade de um sistema de controlo linearrazes da equao polinomial no semi-plano esquerdo do plano s

Condio necessria e suficiente

Todos os coeficientes aiexistam e sejam positivos

Todos os coeficientes da 1 coluna sejam positivos


154



Casos especiais

Razes complexas conjugadas

+

+

+

3

2

1

0

s 1 1s 2 2s

s

0 2

Sinal do coeficiente acima (linha s2)do coeficiente nulo (linha s1)

Sinal do coeficiente abaixo (linha s0)do coeficiente nulo (linha s1)Igual

Coeficiente da 1 coluna nulo e restantes no nulos ou inexistentes

Substituir coeficiente nulo por nmero positivo muito pequeno ()

coeficiente nulo

+ + + =3 2s 2 s s 2 0

78

155



Casos especiais

Razes com partes reais positivas(n mudanas de sinal = n razes c/ partes reais positivas)

+

+

3

2

1

0

s 1 -1s -2 2s

s

0 2

Sinal do coeficiente acima (linha s2)do coeficiente nulo (linha s1)

Sinal do coeficiente abaixo (linha s0)do coeficiente nulo (linha s1)Oposto

mudana de sinal

Coeficiente da 1 coluna nulo e restantes no nulos ou inexistentes

Substituir coeficiente nulo por nmero positivo muito pequeno ()

coeficiente nulo

+ =3 2s 2 s s 2 0

156



Casos especiais

Coeficientes de uma linha

Nulos

Razes reais (mdulo igual e sinal oposto)

Razes complexas conjugadas

5

4

3

s 1 24 - 25s 2 48 - 50s 0 0coeficientes nulos

5 4 3 2s 2 s 24 s 48 s 25 s 50 0+ + + =

Coeficientes da linha s3 nulosPolinmio auxiliar P(s) formado com coeficientes da linha anterior

79

157


Polinmio auxiliar P(s) formado com coeficientes da linha s4

4 2P(s) 2 s 48 s 50= +

Derivada do polinmio auxiliar P(s) 3d[P(s)] 8 s 96 sds

= +


Casos especiais

5

4

3

s 1 24 -25s 2 48 -50s 0 0

polinmio auxiliar P(s)

Coeficientes da derivada de P(s) substituem linha de coeficientes nulos

coeficientes nulos

Razes com parte real positiva e/ou complexas conjugadas

158

5

4

3

2

1

0

s 1 24 -25s 2 48 -50s 8 96s 24 -50s 112,7 0s -50

+

+

+

+



Casos especiais

coeficientes de d[P(s)]dsmudana de sinal

4 2P(s) 0 2 s 48 s 50 0= + =s = 1 s = 5 j

Raiz com parte real positiva

80

159


Raiz com parte real positiva (s = 1)


Casos especiais

Mudana de sinal num coeficiente da 1 coluna

Coeficientes da linha s3 nulos

Duas razes reais de mdulo igual e sinal oposto (s = 1)

Duas razes complexas conjugadas (s = 5 j)

160

Pedro BeiroInstituto Superior de Engenharia de Coimbra

Departamento de Engenharia MecnicaRua Pedro Nunes, 3030 - 199 Coimbra, Portugal

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Instrumentao e ControloMdulo de Controlo de Sistemas

11. acetatos controlo

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