10856 тригонометричні рівняння
TRANSCRIPT
Розв'язування тригонометричних
рівнянь
cxbxa cossin
Мета уроку:
Створення умов для засвоєння знань і умінь розв'язувати тригонометричні рівняння виду
a sinx + b cosx = c.Формування новичок самоконтролю і
взаємоконтролю, алгоритмічної культури учнів.
Развиток усної математичної мови . Удосконалювати уміння старшокласників: порівнювати,аналізувати, развивати навички обробки інформації.
Развивати комунікативні уміння ділового спілкування однолітків. Виховання культури записів.
Перевірка домашнього
завдання
sin7x – sin x =cos4x
Розв'язання .
sin7x – sin x =cos4x,2sin3x cos4x - cos4x =0,сos4x ( 2sin3x – 1 )=0,сos4x=0 или 2cos3x -1 =0сos4x=04x =П/2+Пn, n € Z; cos3x =1/2,X=П/8 +Пn/4, n € Z, 3x =±аrccos1/2 +2Пn, n 3x =±П/3 +2Пn, n € Z, X =±П/9 + 2/3Пn, n € Z.Відповідь: X=П/8 +Пn/4, X =±П/9 = 2/3Пn, n € Z
Розв'язати рівняння
sin²x - cos²x = cos4x
Розв'язання .sin²x-cos²x =cos4x , - (cos² - sin²x )=cos4x ,-cos2x = cos²2x - sin²2x,-cos2x = cos²2x – ( 1 - cos²2x), -cos2x - cos²2x +1 - cos²2x = 0,-2cos²2x – cos2x +1 = 0,2cos²2x + cos2x -1 = 0.Заміним сos2x на У , де |У|1 Тоді 2 у² +у -1 = 0,D =1 - 4•2•(-1) =9,У =1/ 2, у = -1.Виконаємо обернену заміну
Cos2x =1/ 2 , cos2x = -1, 2x = П+2Пn, n € Z, 2x =±arccos1/2 =2Пn , n € Z, x=П/2+Пn, n € Z. 2x ±П/3 +2Пn. n € Z, X =±П/6+Пn, n € Z.
Відповідь : X =±П/6+Пn, x=П/2+Пn, n € Z.
Розв'язати рівняння з підручника
№2 (1)
№2 (8)
COS X = a, де|a|1
x = x = arccos a + 2 arccos a + 2n,n, nnZZ
arccos (– a) = - arccos a
sin X = a, де|a|1
x=(–1)narcsin a + n, n Z
arcsin (– a) = – arcsin a
tg x = a, де a R
x = arctg a + n, n Z
arctg (– a) = – arctg a
cos x = 0
x = +n, nZ2
cos x = 1
x = +2n, nZ
cos x = -1
x = +2n, nZ
sin x=0
x = n, nZ
sin x=1
x = +2n, nZ2
sin x = -1
x = - +2n, nZ2
Розв'язати рівняння
4sin²x – 4sinx – 3 = 0
2cos²x – sinx – 1 = 0
Відповіді.
4sin²x - 4 sinx – 3 = 0
( -1)n+1 П/6 +Пn, n Z.
2 сos²x – sin x – 1 = 0
±П/6 +Пn; -П/2+2Пn, n Z.
Рівняння:
;3
1sin 2 x
.4
1cos2 x
Рівняння:Рівняння:
0cos3sin2 xx
Рівняння .0cos3sin2 xx
Рівняння .
Поділивши рівняння на , одержимо , ,
При розвязанні цієї задачі обидві частини рівняння були поділені на .
Нагадаємо, що при ділені рівняння на вираз, який містить невідоме, можуть бути втрачені корені. Тому необхідно перевірити,чи неявляються корені рівняння коренями даного рівняння . Якщо , то із рівняння слідуєт, що . Але і
не можуть одночасно дорівнювать нулю, так як вони зв'язані
рівністю . Отже , при діленні
рівняння де , , на (або ) одержуємо рівняння , рівносильне даному.
0cos3sin2 xx
032 tgxxcos23tgx
.,2
3 nnarctgx
0cos3sin2 xxxcos
0cos x
0cos x0sin x xsinxcos
1cossin 22 xx0cossin xbxa 0a 0b xcos xsin
Рівняння .2cossin2 xxВикористовуючи формули sin x = 2 sin cos , cos x = cos2 - sin2 і
записуючи праву частину рівняння в вигляді,
одержуємо
Поділивши це рівняння на ,
Одержуємо рівносильне рівняння
Позначимо , одержуєм , звідки .
1)
2)
Відповідь:
)2
cos2
(sin2122 22 xx
,2
cos22
sin22
sin2
cos2
cos2
sin4 2222 xxxxxx
2cos2 x
.012
42
3 2 xtg
xtg
yx
tg 2
0143 2 yy31
,1 21 yy
,12
xtg ,42
nx ;,2
2 nnx
,31
2xtg ,
31
2narctg
x .,231
2 nnarctgx
;,22
nnx .,2
31
2 nnarctgx
.02
cos2
cos2
sin42
sin3 22 xxxx
2
x
2
x
2
x
2
x
Дане рівняння являється рівняннми виду , (1)
де , , , яке можна розв'язати другим способом. Поділим обидві частини цього рівняння на : . (2)Введем допоміжний аргумент , такий, що
.Таке число існує, так як
.
Таким чином, рівняння можна записати в вигляді
.
Посліднє рівняння являється простішим тригонометриченим рівнянням.
cxbxa cossin
0a 0b 0c
222222cossin
ba
cx
ba
ax
ba
a
22 ba
,cos
22 ba
a
22sin
ba
b
12
22
2
22
ba
b
ba
a
,sincoscossin22 ba
cxx
22)sin(
ba
cx
2cossin2 xx
Розв'язати рівняння
.5cos3sin4 xx
Розв'язати рівняння
Тут
Поділимо обидві частини рівняння на 5:
Введем допоміжний аргумент , такий, що , . Початкове рівняння можна записати в вигляді
,
,
звідки
Відповідь:
.5cos3sin4 xx
.1cos53
sin54 xx
54
cos 53
sin
1sincoscossin xx1)sin( x
.,254
arccos2
nnx
5,5,3,4 22 bacba
Znnxäånx ,25
4arccos
2,
5
4arccos,2
2