SEMINARIO DE FISICA

3: ONDAS MECNICAS3.1 INTRODUCCIN

Las ondas son perturbaciones de algn estado de equilibrio que se propagan en el espacio y el tiempo, transportando energa y cantidad de movimiento. Las ondas en una cuerda y el sonido de la radio son dos ejemplos familiares de ondas mecnicas. Las ondas mecnicas son aquellas que necesitan de un medio material continuo y elstico para propagarse. Existe otro tipo de ondas denominadas electromagnticas, las cuales se propagan incluso en vaco.

Al propagarse las ondas mecnicas las molculas del medio efectan un movimiento vibratorio, es decir, no hay un arrastre neto de las partculas del medio, As por ejemplo, las molculas de la cuerda no se desplazan a lo largo de ella mientras la onda se propaga por la cuerda, no hay corrientes de masas de aire asociadas a la propagacin del sonido. Sin embargo, mientras la onda se propaga, sta transporta energa y cantidad de movimiento que se transmiten de partcula a partcula en el medio.

Las aplicaciones de las ondas en la tecnologa, se aprecia en las comunicaciones (ondas electromagnticas) telefona, radio, televisin, en otros campos como la industria de la pesca, que hacen usos de las ondas de sonido en un dispositivo denominado sonar, para detectar la presencia de cardmenes, en sismologa, etc.En sta sesin trataremos las caractersticas y propiedades de las ondas mecnicas en general y estudiaremos brevemente las ondas transversales en una cuerda.3.2 ONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALES Las ondas en una cuerda pertenecen a un tipo de ondas denominadas transversales, en el cual las partculas del medio vibran perpendicularmente a la direccin de propagacin, ver fig. 3.1, mientras que las ondas que se muestran en la fig. 3.2 y las ondas de sonido son ondas longitudinales, donde las partculas del medio oscilan en la misma direccin de propagacin de la onda.

3.3 DESCRIPCIN MATEMTICA PARA LA PROPAGACIN DE UNA ONDAConsideremos una funcin y =f(x), si reemplazamos x por x-a, obtenemos la funcin y =f(x-a). La forma de la curva no cambia, los mismos valores de y se obtienen para valores de x aumentados en a. Si a es una cantidad positiva, la curva se traslada sin cambiar de forma hacia la derecha desde el origen a la posicin a. Del mismo modo y =f(x +a) corresponde a un desplazamiento de la funcin hacia la izquierda, en la cantidad a, ver fig. 3.3.

Consideremos ahora la propagacin de un pulso en una cuerda a lo largo del eje X, ver fig. 3.4. La cuerda est tensada y extendida a lo largo del eje X.

En sta la figura pueden apreciarse dos posiciones del pulso en la cuerda, en dos instantes diferentes (en to = 0 y en otro instante t), cuando el pulso se propaga de izquierda a derecha con velocidad v. Si y = f(x) es la funcin que representa el pulso en el instante to = 0, la funcin que describe el desplazamiento del pulso sin distorsin, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v, es y = f(x-vt), donde a = vt,

Anlogamente, si el pulso se mueve hacia la izquierda con velocidad v, la funcin ser de la forma y(x, t) = f (x + vt). La funcin y(x, t) se le denomina funcin de onda y sirve para describir una onda. Las funciones de onda que vamos a estudiar son armnicas; y(x, t) = yo SenK(x vt) o y(x, t) = yo CosK(x vt).3.4 CARACTERSTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

Consideremos una cuerda de masa m, longitud L, bajo tensin T, y fija en el punto P, ver fig.3.5. En el otro extremo, con la mano se perturba la cuerda con un movimiento rpido hacia arriba y hacia abajo, de modo que un pulso de onda se transmite a lo largo de la cuerda. .Supongamos que el movimiento de la mano es continuo, peridico y de amplitud constante, es decir, la fuente vibra con un M.A.S. Si es as, las ondas presentan una forma armnica (seno o coseno) que viajan continuamente alejndose de la fuente. Se observar que, mientras las ondas se propagan, las partculas de la cuerda ejecutan un M.A.S. en la direccin perpendicular a la direccin de propagacin.

El movimiento ondulatorio armnico puede ser descrito mediante la ecuacin de onda siguiente:

Donde,

y, es la amplitud de la onda, a una distancia x de la fuente y en un instante t, ver fig.3.6. Note que, la fuente vibratoria se encuentra en el punto O. Adems, definimos:AMPLITUD MXIMA, yo, es la altura de un pico o cresta.LONGITUD DE ONDA, (, es la distancia que viaja la onda antes de volver a repetirse, tambin se puede decir que es la distancia entre dos picos o dos valles.

PERIODO, P, es el tiempo que transcurre antes de que la onda vuelva a repetirse. Consideremos un bote anclado en una baha ubicado en un punto fijo A (x = constante). A medida que pasan las olas el bote oscila con M.A.S., luego, el tiempo para que pasen dos picos (o dos crestas) consecutivas de las olas es un periodo, ver fig.3.7.

La ecuacin de onda (3.1) tambin puede escribirse de la siguiente forma:

, (3.2)

e involucra las siguientes magnitudes:NUMERO DE ONDA, se define por la relacin k = 2(/( , y se expresa en rad/m.FRECUENCIA ANGULAR, se define por la relacin ( = 2(/P = 2(f, se expresa en rad/s.

FRECUENCIA NATURAL, representa el nmero de ondas que pasan por un punto en un determinado tiempo: f = N / t = 1/P, y se expresa en Hertz (Hz).

VELOCIDAD DE PROPAGACIN, v, es la velocidad con la cual avanza la onda y se expresa en m/s.

Para todo movimiento ondulatorio:

v = x / t = ( / P = ( f = ( / k (3.3)

FASE DE LA ONDA, (, es el argumento de la funcin seno (o coseno), en la ecuacin de onda, esto es,

( = kx - (t (3.4)

Note qu, k y ( son constantes, t y x son variables, luego la fase de la onda vara a medida que sta se propaga.

Teniendo en cuenta stas definiciones, la forma general de la ecuacin de onda viajera es,

Donde o, es la fase inicial, es decir, el valor de la fase en x = 0 y t = 0.3.5 PROPIEDADES DE LAS ONDAS MECANICAS

REFLEXIN

Cuando una onda encuentra un obstculo o una barrera de dimensiones mayores a su longitud de onda, cambia su direccin y sentido de propagacin de modo que contina movindose en el mismo medio

REFRACCIN

Una onda experimenta refraccin cuando, al pasar oblicuamente de un medio a otro de diferente naturaleza, cambian sus caractersticas: amplitud, longitud de onda, velocidad de propagacin, direccin de propagacin, fase, pero no cambia su frecuencia.

INTERFERENCIA

Cuando dos o ms ondas independientes (por ejemplo, provenientes de fuentes diferentes) se encuentran en una misma regin del espacio se superponen y dan origen a una onda resultante. sta onda resultante, de acuerdo al principio de superposicin, es la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas individuales.

DIFRACCIN

Si la onda al propagarse encuentra obstculos muy agudos o de dimensiones comparables con su longitud de onda, los bordes del obstculo se comportan como una fuente secundaria de ondas. El resultado es que las ondas parecen rodear los obstculos que se les presentan.

3.6 INTERFERENCIA DE ONDAS

En general, cuando dos ondas se encuentran, stas se superponen (se dice que interfieren) y la amplitud de la onda resultante depende de la diferencia de fase entre ellas.La amplitud de la onda resultante, cuando stas interfieren, ver fig.3.8, es:

Consideremos un caso especial: Dos ondas generadas simultneamente, de igual frecuencia, (, y cuyas correspondientes ecuaciones de onda son:

En estas condiciones, la diferencia de fase entre ellas solo depende de la distancia recorrida, esto es:

(( = k(x2 x1) (3.7)

INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA

En el caso muy particular de ondas de igual amplitud (yo1 = yo2 = yo) y la diferencia de fase entre ellas, cuando se encuentran, es:

(( = 2(n ; n = 0, 1, 2, 3, ..... (3.8)La amplitud de la onda resultante es, y = 2yo y se dice que la interferencia es constructiva, ver fig.3.9-a.INTERFERENCIA DESTRUCTIVA

Si las ondas son de igual amplitud y la diferencia de fase es:

(( = 2((n + ) ; n = 0,1, 2, 3,... (3.9)

La amplitud de la onda resultante es cero y se dice que la interferencia es destructiva, ver fig.3.9-b.

3.7 ONDAS ARMNICAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA

Consideremos nuevamente las ondas en una cuerda. Si La mano ejecuta un M.A.S., las ondas presentan una forma armnica que viajan a lo largo de la cuerda, ver fig. 3.10, descritas por la ecuacin:

,

Si asumimos que, la cuerda es perfectamente flexible y homognea, la tensin es constante y mucho mayor que la fuerza de gravedad, tal que, en condiciones de equilibrio, la cuerda est sometida a una tensin T y se encuentra en posicin horizontal. Al desplazar la cuerda perpendicularmente a su longitud una pequea cantidad como se muestra en la fig. 3.11, la porcin AB de la cuerda de longitud dx se desplaza de su posicin de equilibrio una distancia y. En cada extremo del segmento acta una fuerza tangencial T. Debido a la curvatura de la cuerda, estas fuerzas no son directamente opuestas.La fuerza resultante segn el eje Y sobre el segmento AB de la cuerda es

Fy = T (Sen - Sen)

Si la curvatura de la cuerda no es muy grande y son pequeos y sus senos pueden reemplazarse por sus tangentes, de modo que la fuerza resultante en la direccin vertical es

Como Tan es la pendiente de la curva formada por la cuerda, esto es, Tan = y/x, obtenemos,

Considerando dm = dx; siendo , la densidad lineal de masa de la cuerda, y

Haciendo uso de la Segunda Ley de Newton,

Obtenemos:

Esta es la ecuacin diferencial para el movimiento ondulatorio en una cuerda.

En general, la ecuacin diferencial de una onda mecnica que se propaga en la direccin X con rapidez v es:

Donde , es la desviacin de las molculas del medio a partir de sus posiciones de equilibrio.

Luego, para la onda en una cuerda, obtenemos,

(3.12)

Donde, (, es la densidad lineal de masa o masa por unidad de longitud de la cuerda.

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

Un caso interesante se presenta cuando, por ejemplo, una onda que viaja a la derecha, se refleja e invierte su sentido de propagacin. En este caso la ecuacin de la onda resultante la podemos obtener as:

(3.13)La ec. (3.13) se conoce como la ecuacin de la onda estacionaria. Note que la onda estacionaria tiene doble amplitud que las ondas que le dieron origen.

Cuando se hace vibrar una cuerda tensada y fija por ambos extremos, solo un conjunto de ondas estacionarias, con frecuencias bien definidas llamadas armnicas o de resonancia, pueden permanecer sobre la cuerda, con puntos donde la interferencia es constructiva (antinodos) o destructiva (nodos), ver fig.3.12.

Las diferentes frecuencias de resonancia de las ondas estacionarias en una cuerda se determinan as: f = v/(nLa relacin entre la longitud de las ondas estacionarias y la longitud de la cuerda, en concordancia con la fig.3.13, es:

(n = 2L /n ; n = 1, 2, 3 (3.14)

As:

(3.15)

Haciendo uso de la ec.(3.14) en la ec.(3.15), obtenemos:

(3.16)

El conjunto de frecuencias de la ec. (3.16) se conoce como armnicos. El armnico fundamental corresponde a n = 1 y los siguientes se les denomina sobretonos, por tanto, n = 2, es el primer sobretono.3.8 ENERGA TRANSMITIDA POR ONDAS ARMONICASA medida que las ondas se propagan a travs de un medio, transportan energa. Consideremos la propagacin de ondas armnicas donde el desplazamiento de las partculas del medio desde la posicin de equilibrio es

Recordando el resultado de la energa total de un oscilador y utilizando la densidad en lugar de la masa total tendremos que la energa por unidad de volumen o densidad de energa u asociada al movimiento ondulatorio viene dada por la ecuacin

EMBED Equation.3 El transporte de energa por una onda se describe habitualmente en funcin de la intensidad de la onda I definida como la energa que fluye por unidad de tiempo a travs de un rea unitaria perpendicular a la direccin de propagacinI= u vDonde v es la velocidad de propagacin de la onda. La intensidad de la onda se expresa en Js-1m-2=W m-2, es decir equivalente a potencia por unidad de rea. Para una onda armnica y utilizando (3.17) se tiene

Es decir, la potencia por unidad de rea transmitida por cualquier onda armonica es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud.As, vemos que una onda que viaja por un medio corresponde a un transporte de energa a travs del medio, sin transferencia neta de materia. Una fuente oscilante proporciona la energa y produce una perturbacin en el medio. La perturbacin puede propagarse a travs del medio como resultado de la interaccin entre partculas adyacentes.

3.9 PROBLEMAS PROPUESTOS

1.En el instante t = 0, se muestra el perfil de una onda viajera que se propaga en la direccin +X, con una rapidez de 0,5 m/s. Determinar la fase inicial, o, de la onda y la ecuacin de la onda viajera.

2.Cuando se perturba a una cuerda tirante se produce una funcin de onda descrita por , donde x, y estn en metros y t en segundos. Cul ser la velocidad de propagacin de la onda, en m/s?

3. En el instante t = T/4 el punto origen de una onda transversal, de periodo T y de 1 m de longitud de onda, alcanza su amplitud mxima. Calcular, en m, a que distancia del origen se encontrar una partcula cuya amplitud en dicho instante es igual a la mitad de la amplitud mxima.

4. La ecuacin de una onda transversal que viaja por una cuerda larga homognea, esta dada por: y = 5 Sen(0,04( x 12( t), donde x, y estn en cm y t en s. Cuntas crestas de onda se habrn formado en 2m de la cuerda de vibracin?5. En una cuerda horizontal de longitud indefinida se produce una onda sinusoidal transversal en x = 0; el movimiento de la misma se produce dos veces cada segundo. Si la densidad lineal de la cuerda es de 0,25 kg/m y est sometida a una tensin de 10 N, y la amplitud del movimiento es 0,5 m. calcular la velocidad de propagacin del movimiento ondulatorio en la cuerda.

6. Dos ondas armnicas en una cuerda se definen mediante las funciones: y1 = 2 Sen (20x 30t) e y2 = 2 Sen (25x 40t), donde y y x se miden en cm y t en segundos Cul es la diferencia de fase, en rad, entre estas dos ondas en el punto x = 5 cm en t = 2s?

7. Una onda sinusoidal tiene un periodo de 2,5 x 10-3 s y una velocidad de 320 m/s Qu separacin hay entre dos puntos que mantienen un desfase de /4 rad?8.Para la onda descrita por la relacin y = 0,08 Sen(0,24x-30t), donde x y y estn en m y t en s, determine la velocidad de propagacin de la onda y la velocidad mxima de las partculas del medio.9.Para una onda transversal que viaja por un alambre tenso, con una amplitud de 0,2 m, una frecuencia de 500 Hz y una velocidad de 250 m/s, la ecuacin de onda es:10. En el problema anterior, si la masa por unidad de longitud de este alambre es 4,0 g/m, la tensin en el alambre es:

11.Dos ondas de ecuaciones: y1 = 6 Sen (1,500 t 250 x) y2 = 6 Sen (1.500 t + 250 x) en unidades SI, interfieren. Calcular la ecuacin de las ondas estacionarias resultantes. 12.Con los datos del problema anterior, calcular la amplitud de los nodos y la distancia entre dos vientres consecutivos.

13. Un alambre de acero de 5m de longitud tiene una masa de 0,06 Kg. Calcular la velocidad de las ondas en el alambre si se estira entre dos puntos y se mantiene bajo una tensin de 30 N.

14.Se mantiene tensa una cuerda flexible de 30 metros y 10 Kg entre dos postes con una tensin de 2 700 N. Si se golpea transversalmente la cuerda en uno de sus extremos, hallar el tiempo en segundos que tardar la onda transversal producida en alcanzar el otro extremo.

15.Un cable de acero de 100 cm de largo tiene una masa de 50 g y est sometido a una tensin de 40 N. Encuentre las frecuencias de los dos primeros modos de vibracin.

16.Una cuerda ( = 0,2 g/cm) es tensada por un peso de 20 N, ver figura. Si cuando con el diapasn se generan armnicos en la seccin horizontal, se observa que la diferencia en longitudes de onda del 1 armnico y 7 armnico es de 24 cm, la frecuencia, aproximada del 5 armnico es:

.

17. En la figura la seccin horizontal de la cuerda ( = 0,4 Kg/m) tiene una longitud de 4 m entre los nodos ubicados en sus extremos. Si la frecuencia de excitacin del diapasn es de 80 Hz, el peso del bloque que debe colocarse para que se formen 10 antinodos es:

18.Se muestra una cuerda homognea de 100 g y 2 m de longitud. Si en un extremo se suspende un bloque de 10 kg, determine el tiempo que tarda un pulso dado en A para llegar a B.

19.En el siguiente grfico, una onda viajera demora 2s en ir del punto A al punto B. Si la longitud de la cuerda es de 10 m y su masa de 2 kg, determine el valor de la masa M que tensa la cuerda.

20.En el siguiente grfico, determine la velocidad con que se propaga un pulso de A(B, si la cuerda mide 8m y tiene una masa de 2 kg.

21. Una cuerda de 2 m tiene una masa de 300 g y vibra con una frecuencia de 20 Hz y una amplitud de 50 mm. Si la tensin en la cuerda es de 48 N, cunta potencia se debe entregar a la cuerda?Movimiento de onda

Movimiento de partculas

Fig. 3.1 Ondas transversales en una cuerda-

O

Movimiento de partculas

Movimiento de onda

O

Fig. 3.2 Ondas longitudinales en un medio elstico

y = f(x)

O

Y

X

Y

x = +a

y = f(x-a)

O

Y

X

x = -a

O

X

y = f(x+a)

Fig. 3.3 Desplazamiento de una funcin a lo largo del eje X.

Fig. 3.4 Desplazamiento de un pulso a lo largo del eje X, con velocidad v.

y = f(x)

O

Y

X

Tiempo to = 0

x = +vt

y = f(x-vt)

O

Y

X

Tiempo t

O

Propagacin

Fig.3.5. Movimiento de un pulso de onda en una cuerda

Pulso

x

Fuente vibratoria

P

y(m)

x(m)

O

(

yo

v

Pico

Valle

Fig.3.6 Relacin entre la amplitud y de la onda y la distancia

que se propaga, x, a partir de la fuente O.

x

y

y(m)

t(s)

A

P

yo

v

Pico

Valle

Fig.3.7 Relacin entre la amplitud y de la onda, cuando pasa

por el punto fijo A, y el tiempo transcurrido t.

t

y

((

y2

y1

((

y2 y1

y(m)

((rad)

Fig.3.8 Diferencia de fase,((, entre dos ondas

y2

Fig.3.9. Interferencia constructiva y destructiva de ondas de igual amplitud

+yo

-yo

y1

y2

y

(

yo

yR=2yo

y2 = y1

y

(

yR = 0

a)

b)

Fig.3.10. Onda viajera en una cuerda

Propagacin

onda

Fuente con M.A.S.

O

B

A

y

Ty

x

dx

T

'

T

Tx

Ty

X

Y

Tx

Fig. 3.11 Diagrama de fuerzas sobre una porcin de cuerda desplazada perpendicularmente a su longitud.

(/4

(/2

Nodo

Nodo

Nodo

Nodo

Anti Nodo

Anti Nodo

Anti Nodo

Fig.3.12 Ondas estacionarias en una cuerda.

L = 2(2 / 2 Segundo Armnico

L = 3(3 / 2 Tercer Armnico

n = 1

n = 2

n = 3

Fig.3.13 Los tres primeros armnicos en una cuerda vibrante

L = (1 / 2 Primer Armnico

0,8

1,3

x(m)

-3

-5

+5

y(m)

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