PARTE I

ONDAS § 1. Movimiento Ondulatorio. • Descripción matemática. • Ondas transversales en una cuerda tensa. • Energía mecánica de una onda armónica. • Ondas en dos y tres dimensiones.

Material utilizado de • Wikipedia • Presentación PPT de AJ Barbero, M. Hernandez, A. Calera, P. Muñiz, JA de Toro y P. Normile. UCLM • Physics I course, MIT, USA. • Ejemplos Tipler, Serway, Resnick/Halliday. Física I & II. Animaciones JAVA del excelente sitio Paul Falstad's WEBPAGE http://www.falstad.com

Oscilaciones vs. ondas. Un oscilador es un sistema capaz de crear perturbaciones o cambios periódicos o cuasiperiódicos en un medio, ya sea un medio material (sonido) o un campo electromagnético (ondas de radio, microondas, infrarrojo, luz visible,rayos X, rayos gamma, rayos cósmicos).

En física, una onda consiste en la propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, a través de dicho medio. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal e, incluso, inmaterial como el vacío. La magnitud física cuya perturbación se propaga en el medio se expresa como una función tanto de la posición como del tiempo Ψ(𝑟, 𝑡). Implica un transporte de energía sin transporte de materia. WIKIPEDIA

Oscilaciones vs. ondas.

The wave equation 𝜕2Φ 𝑟, 𝑡

𝜕𝑡2= 𝑐2 𝛻2Φ 𝑟, 𝑡

governs so many physical phenomena in nature and technology, its properties are basic to the understanding of wave propagation. MIT Physics I course.

Definicion: Una función es una onda si verifica la ecuación de ondas:

𝛻2Ψ 𝑟, 𝑡 =1 v2

𝜕2Ψ 𝑟, 𝑡

𝜕𝑡2

donde v es la velocidad de propagación de la onda.

O tambien…

Una ecuación similar, mas sencilla, que conocemos es

𝑑2𝑥𝑑𝑡2

= −𝑘𝑥

𝑑𝑑𝑡

2x(t)=-kx(t)

O bien

Cuya solución es

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝐴𝐴(𝜔𝑡 + 𝛿)

�̈� + 𝑘𝑥 = 0

𝑑2𝑥𝑑𝑡2

+ 𝑘𝑥 = 0

Ondas transversales y longitudinales En las ondas transversales la perturbación es en una dirección perpendicular al desplazamiento de la onda. En el caso de las ondas longitudinales, la perturbación es en la misma dirección. Teniendo en cuenta el medio en el que se propagan:

TIPOS DE ONDAS I : (SEGÚN EL TIPO DE PERTURBACION)

Section 15-1: Simple Wave Motion

Transverse and Longitudinal Waves

A transverse wave

The oscillation of a transverse wave is perpendicular to the wave motion.

Teniendo en cuenta el medio en el que se propagan: Ondas mecánicas, que se propagan en un medio en el que la substancia que constituye el medio es la que se deforma. La deformación tiende a corregirse mediante fuerzas restauradoras que aparecen como consecuencia de la deformación. Ondas en una cuerda Ondas de sonido, que se propagan en un fluido, generalmente aire Olas, tsunamis Ondas electromagnéticas: Un tipo de ondas pueden viajar en el espacio vacío, y se denomina radiación electromagnética, luz visible, radiación infrarroja, radiación ultravioleta, rayos gamma, rayos X, microondas, ondas de radio y TV. Este tipo de ondas consiste en campos eléctricos y magnéticos oscilando en la dirección perpendicular al movimiento.

TIPOS DE ONDAS II:

Ondas transversales y longitudinales En las ondas transversales la perturbación es en una direción perpendicular al desplazamiento de la onda. En el caso de las ondas longitudinales, la perturbación es en la misma dirección.

Pulsos

Velocidad de las ondas

La forma del pulso se representa por f(x). El pulso viaja a lo largo de la cuerda

)()(

vtxfyvtxfy

+=−=

Descripción matemática del pulso que viaja: la función de onda

y: la deformación del medio desde la posición de equilibrio v: velocidad de propagación de la onda

Las funciones de onda son soluciones de una ecuación diferencial llamada la ecuación de ondas, que puede ser derivada de las Leyes de Newton 2

2

22

2 1ty

vxy

∂∂

=∂∂

Función de ondas ( )( )221

2txtxseny

+++

=

donde x, y están en metros, t en segundos

Gráfica del pulso a diferentes

instante

Pulsos que viajan. Un ejemplo

x (m)

y (m) t = 0

t = 2 t = 4

Escribimos la función de la onda de tal forma que aparezca explícitamente el grupo x+v·t.

2

241

22sen

++

+

=tx

txy

El pulso se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 0.5 m/s. Notar que v⋅t = t/2.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Velocidad de las ondas

)/( mkgmasadelinealdensidadcuerdalaentensionF

Fv

T

T

µ

µ=

Una propiedad general de las ondas es que su velocidad relativa al medio permanece constante, pero es independiente del movimiento de la fuente de ondas.

Velocidad de una onda en una cuerda

Una cuerda de 25 m de larga y masa de 0,5 kg se mantiene tensa por un objeto de masa 10 kg que cuelga de ella como se muestra en la figura. ¿Cuál es la velocidad de un pulso en esta cuerda. Si la masa de 10 kg se reemplaza por una de 20kg, ¿Cuál es ahora la velocidad del pulso?

Ondas transversales viajan a 150 m/s en un cable de longitud 1 m, que está bajo la tensión de 550 N. ¿Cuál es la masa del cable?

Una cuerda de piano de acero de 0,7 m de longitus posee una masa de 5 g. Si se estira con una tensión de 500N. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?

Velocidad de las ondas mecánicas

Sonido (en un material elástico) ρ

β=v

β modulo de compresión uniforme ρ densidad V

VP

∆∆

−=β

MTRv γ

=Sonido (en aire)

γ coeficiente adiabático, para aire 1,4 R Constante universal de los gases 8.314 J/(mol.K) M: Masa molar del gas, aire 28.96x10-3 kg/mol T: Temperatura absoluta

Para las ondas de sonido en el aire,los cambios de presión ocurren tan rápidamente, al menos para las frecuencias audibles, que el proceso de compresión y expansión se puede considerar adiabático.

Calcular la velocidad del sonido (a) 0ºC y (b) 20ºC

El módulo de compresión uniforme para el agua es 2.0x109 N/m2. Encontrar la velocidad del sonido en el agua (b) La velocidad del sonido en mercurio es 1410 m/s ¿Cuál es el valor del módulo de compresión uniforme? (ρ = 13.6 x 103 Kg/m3 )

ρYv =

LLAFY

//

ndeformacióesfuerzo

∆==

Ondas en sólidos ρ → densidad del sólido (kg/m3)

Y Módulo de Young

Las ondas mecánicas requieren de un medio para propagarse. La velocidad depende de las características del medio

The derivation of v for waves on a string

�𝐹𝑟 = 2𝐹 sin𝜃2

≈ 2𝐹𝜃2

= 𝐹𝜃

𝜇 =𝑚∆𝐴

𝜃 =∆𝐴𝑅

𝐹𝜃 = 𝜇𝑅𝜃𝑣2

𝑅

𝑣 =𝐹𝜇

The Wave Equation

ð2y/ðx2 = (1/v2) ð2y/ðt2

Here y represents the vertical displacement of the string. It is called the wave function

The Wave Equation

�𝐹 = 𝐹𝐴𝐹𝐹𝜃2 − 𝐹𝐴𝐹𝐹𝜃1 𝐴𝐹𝐹𝜃 ≈ 𝑡𝑡𝜃

�𝐹 = 𝐹 𝐴𝐹𝐹𝜃2 − 𝐴𝐹𝐹𝜃1 ≈ 𝐹 𝑡𝑡𝜃2 − 𝑡𝑡𝜃1

La tangente del angulo entre la cuerda y la horizontal es la

pendiende de la curva formada por la cuerda. La pendiente S

es la derivada primera de y(x, t) respecto de x para t constante.

The Wave Equation

𝑆 = 𝑡𝑡𝐹𝜃 =𝜕𝜕𝜕𝑥

𝐴𝐹𝐹𝜃 ≈ 𝑡𝑡𝜃

�𝐹 = 𝐹 𝑆2 − 𝑆1 = 𝐹∆𝑆

La derivada de una funcion de 2 variables respecto de una de las

variables (manteniendo la otra constante) se llama derivada parcial.

La derivada parcial de y respecto de x se escribe ∂y/∂x. Ergo,

The Wave Equation

𝐹∆𝑆 = 𝜇∆𝑥 𝜕2𝑦𝜕𝑡2

�𝐹 = 𝑚𝑡 COMO SIEMPRE: 𝜇 =

𝑚∆𝑥

𝐹 ∆𝑆∆𝑥

= 𝜇 𝜕2𝑦𝜕𝑡2

lim∆𝑥→0

∆𝑆∆𝑥

=𝜕𝑆𝜕𝑥

=𝜕𝜕𝑥

𝜕𝜕𝜕𝑥

=𝜕2𝜕𝜕𝑥2

𝜕2𝑦𝜕𝑥2

= 1𝑣2

𝜕2𝑦𝜕𝑡2

ONDAS PERIÓDICAS

Ondas Armónicas

Las ondas armónicas son el tipo de ondas más básico. Sin embargo, todas las ondas, periódicas o no, pueden ser construidas como combinación de ondas armónicas.

Un ejemplo de onda armónica es la que se genera en una cuerda cuando en su extremo se aplica un movimiento armónico simple; en este caso una onda sinusoidal recorre la cuerda, y cada punto de la cuerda vibra con un movimiento armónico simple.

http://www.falstad.com/fourier

Section 15-2: Harmonic Waves

Harmonic waves on a string have a wave function of the form y=Asin(kx-ωt+φ).

ONDAS PERIÓDICAS

Ondas Armónicas

Llamamos onda armónica a aquella en la que la perturbación que se propaga es un movimiento armónico simple

ONDAS PERIÓDICAS

Ondas Armónicas

Ondas armónicas: La función armónica

λ, longitud de onda: la mínima distancia en que la onda se repite (por ejemplo, la distancia entre crestas consecutivas)

cresta

fT

v λλ==

Relación básica entre la longitud de onda λ , velocidad v, período, T, y frecuencia, f

)2sin( δλ

π +=xAy

La forma de la perturbación sinusoidal se describe como

Para una onda viajera en la dirección positiva de x, con velocidad v, se obtiene reemplazando x, por x –vt, y si consideramos δ = 0

)sin(

)(2sin

)2sin(

tkxAy

ftxAy

vtxAy

ωλ

π

λπ

−=

=−=

=−

=

λπ2

=kk: número de ondas

Ondas Armónicas: Transferencia de energía en una cuerda La energía de un punto que vibra con un MAS es

222

21

21 ωAmAkKUEtotal ==+=

En la cuerda donde una onda armónica se ha generado, la energía de una partícula de masa dm es

2222

21

21 ωω dxA

lmAdmE

dxlmdm

total ==

=

La energía se transfiere desde el punto que vibra a toda la cuerda, de tal forma que cuando la onda alcanza una porción de la cuerda esta comienza a vibrar y gana energía. La energía transferida por unidad de tiempo a través de un punto es la potencia

2222sin

21

21 ωω vA

lmA

dtdx

lm

dtE

Potencia gpas ===

Transferencia de Energía

The Energy of Waves on a String

Consider a wave that has just reached some point P1 at time t1. The string to the left of P1 has energy due to the simple harmonic motion of its elements, whereas the string to the right of P1 has no energy .

In the time interval Δt, the wave travels an additional distance v Δt (Figure ). The average energy transmitted past point P1 during this time is the average energy in Δx = v Δt, which is

ΔE = ½ μω2 A2 vΔt

2222sin

21

21 ωω vA

lmA

dtdx

lm

dtE

Potencia gpas ===

Harmonic Sound Waves

Sound waves have a wave

function of the form:

s=s0sin(kx-ωt) where s

represents the horizontal

displacement of the wave.

The Energy of Sound Waves

Ondas armónicas: Energía de las ondas sonoras

Ondas armónicas: Energía de las ondas sonoras La función de ondas del sonido es aquella que obtenemos considerando en vez del desplazamiento transversal y(x,t), el desplazamiento longitudinal s(x,t), en la forma

En el caso del sonido, la masa vibrando en un punto será la que corresponda a un volumen de aire dV, esto es dm = ρ dV. Así pues:

Energy transfer

)sin(),( tkxstxs o ω−=

A los desplazamientos corresponden variaciones de presión, dadas por

oo

o

svp

tkxptxp

ωρ

πω

=

−−= )2

sin(),(

22

2222

21

21

21

ωρ

ωρω

ototal

ototal

sdV

dE

sdVAdmdE

=

==

Energía por unidad de volumen

Electromagnetic Waves: These will be studied in Phy 2049

Section 15-3: Waves in Three Dimensions

Circular wavefronts

Ondas en Tres Dimensiones

Frentes de onda Rayos

Fuente

At a great distance from the source, spherical wavefronts look like parallel planes called plane waves

A two dimensional analog to plane waves

Wave Intensity

Wave intensity is the radiated power per unit area of the wavefront.

Ondas 3D

Intensidad de una Onda. Para una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye uniformemente en una superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía por unidad de tiempo y unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación

24 rP

API avav

π==

VE avav ∆=∆ η

vA

PI avav η== Esta relación es válida para CUALQUIER tipo de onda: la

intensidad de una onda es el producto de la velocidad de la onda por la densidad promedio de energía.

Definimos

Avt

EP avav

av η=∆∆

=

Aplicación al caso de ondas sonoras

Para una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye uniformemente en una superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía por unidad de tiempo y unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación

vpvsv

dVdE

API

AvdVdE

dtdrA

dVdE

AdrdtdV

dEdVdtdVdE

dtdEP

rP

API

oo ρωρ

π

222

2

21

21

4

====

==

===

==

Para el caso de una onda sonora

El diafragma de un altavoz de 30 cm de diámetro vibra a 1 kHz, con una amplitud de 0.020 mm. Suponemos que las moléculas de aire vibran con esa amplitud, (a) encontrar la amplitud de la presión (b) la intensidad de la onda sonora enfrente del diafragma © la potencia acústica radiada (d) si el sonido se irradia uniformemente en el hemisferio, calcular cual es la intensidad a 5 m del diafragma

Aplicación al caso de ondas sonoras

El diafragma de un altavoz de 30 cm de diámetro vibra a 1 kHz, con una amplitud de 0.020 mm. Suponemos que las moléculas de aire vibran con esa amplitud, (a) encontrar la amplitud de la presión (b) la intensidad de la onda sonora enfrente del diafragma c) la potencia acústica radiada (d) si el sonido se irradia uniformemente en el hemisferio, calcular cual es la intensidad a 5 m del diafragma

a) p0 = ρωνs0 = (1.29 kg/m3)2π(103 Hz)(340 m/s)(2 × 10−5 m) = 55.1 N/m2

22

21 ωρ osvI =b) = (0.5)(1.29 kg/m3 )[2 π(1000 Hz)] (2 × 10−5 m) (340 m/s)

= 3.46 W/m2

c) P = IA = (3.46 W/m2)π (0.15 m)2 = 0.245 W

2322 /1056.1

)5(2245.0

2) mWx

mW

rP

APId avav −====

ππ

Intensity Level and Loudness: This would be equivalent to brightness in a light wave. The psychological sensation of loudness varies approximately logarithmically rather than directly with intensity. We therefore use a logarithmic scale to describe the intensity level of a sound wave β, which is measured in decibels (dB) and defined by

β = 10 log (I/I0) in decibels (dB). I0 is the threshold of hearing= 1x10-12 watts/m2

Intensity Level and Loudness: This would be equivalent to brightness in a light wave.

β = 10 log (I/I0) in decibels (dB). I0 is the threshold of hearing= 1x10-12 watts/m2

oII

10log10=β decibels (dB).

Respuesta del oido humano: Intensidad umbral de la onda sonora 10-12 W/m2 Sensación dolorosa 1 W/m2

INTENSIDAD Y VOLUMEN SONORO. EL OIDO HUMANO

La percepción del oído humano no es proporcional a la intensidad de la onda. Es por ello por lo que se usa una escala logarítmica para describir la intensidad para el oído humano, la cual se mide en decibelios, y se define por:

oII

10log10=β

10/10β×= oII

O mejor:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/earsens.html

A sound absorber attenuates the sound level by 30 dB. By what factor is the intensity decreased?

From Table 15-1, we can see that for every 10-dB drop in the intensity level, the intensity decreases by a factor of 10.

Thus, if the sound level drops 30 dB then the intensity drops by a factor of 103 = 1000.

A barking dog delivers about 1.0 mW of acoustic power.

a) If this power is uniformly distributed in all directions, what is the sound level at a distance of 5.0 m from the dog? (referenced to the threshold of hearing I0 = 1.0×1010−12 W/m2 ) b) What would be the intensity level of two dogs barking at the same time if each delivered 1 mW of power?

Picture the Problem The intensity level is found from the intensity, which is

found from I = P/(4πr2). For two dogs, the intensities add.

Remark We can see from this example that whenever the intensity is doubled, the intensity level increases by 3 dB.