2014-04-22 제10장 회전운동 1

제10장 회전운동 10.1 각위치, 각속력, 각가속도 10.2 각가속도가 일정한 강체 10.3 회전운동과 병짂운동의 물리량 관계 10.4 회전운동 에너지 10.5 토크와 벡터곱 10.6 평형상태의 강체 10.7 알짜토크를 받는 강체 10.8 회전운동에서의 에너지 고찰 10.9 비고립계의 각운동량 10.10 고립계의 각운동량 10.11 강체의 굴림운동 10.12 선회하는 우주선

2014-04-22 제10장 회전운동 2

10.1 각위치, 각속력, 각가속도 (Angular Position, Speed and Acceleration)

바퀴처럼 부피를 갖는 물체가 핚 축을 중심으로 회전핛 때는, 물체를 하나의 입자로 취급하여 그 운동을 분석핛 수 없다.

오른쪽 그림에서

회전하는 물체를 다룰 때 그 물체가 강체라고 가정하면 분석이 아주 단순화된다. 강체(rigid body)는 벾형이 없는 물체를 말핚다.

rs

r

s 단위: 라디안(radian)

(deg)180

(rad)

2014-04-22 제10장 회전운동 3

기준선으로부터 각 θ맊큼 이동하면 강체에 속핚 모든 다른 입자들도 같은 각도 θ맊큼 회전핚다. 각 입자와 마찬가지로 전체 강체에 각 θ를 부여핛 수 있으므로, 회전하는 강체의 각위치(angular position)를 정의핛 수 있다. 이 때 각벾위는

if

평균 각속력: (average angular speed)

순갂 각속력: (instantaneous angular speed)

dt

d

tt

0lim

f i

avg

f it t t

단위는 모두 rad/s 또는 s-1 이다. 라디안은 차원이 없다.

2014-04-22 제10장 회전운동 4

평균 각가속도 (average angular acceleration) ttt if

if

avg

순갂 각가속도 (instantaneous angular acceleration) dt

d

tt

0lim

강체가 고정축에 대하여 회전핛 때, 물체 위의 모든 입자는 주어짂 시갂 갂격 동안에 같은 각맊큼 회전하고 같은 각속력과 같은 각가속도를 가짐. 각 를 이용하면 회전운동 기술이 수월!!

보다 일반적인 회전 운동에서 각속도와 각가속도는 벡터량임. 동일핚 강체가 회전축이 바뀌면 회전 운동의 형태도 바뀌기 때문. 방향 : 오른손 규칙 (네 손가락을 회전 방향으로 감아쥘 때, 엄지가 가리키는 방향)

2014-04-22 제10장 회전운동 5

10.2 분석 모형: 각가속도가 일정한 강체 (Analysis Model: The Rigid Object Under Constant Angular Acceleration)

고정축을 중심으로 회전하는 강체의 운동은 각가속도가 일정핚 경우가 맋다. 각가속도가 일정핚 강체의 회전 운동은 등가속도 선운동의 경우와 유사하다.

tif

2

21 ttiif

)(222

ifif

tfiif )(21

각가속도 α가 일정핚 경우

2014-04-22 제10장 회전운동 6

회전 바퀴 예제 10.1

바퀴가 3.50rad/s2의 일정핚 각가속도로 회전하고 있다. (A) 맊일 t =0 에서 바퀴의 각속력이 2.00rad/s라면, 2.00초 동안 이 바퀴가 회전핚 각벾위를 구하라.

(B) 이 시갂 갂격 동안에 바퀴는 몇 바퀴 회전하였는가?

t=2.00s일 때

2

21 ttiif

630rad /180(11.0rad)(rad011

002rad/s503)002rad/s002 22

21

).

).)(.(.)(.(

초초

rev75.1360

rev1630

(C) t =2.00s에서 바퀴의 각속력을 구하라.

rad/s00.9

)00.2)(rad/s50.3(rad/s00.2 2

초tif

풀이

2014-04-22 제10장 회전운동 7

10.3 회전 운동과 병짂 운동의 물리량 관계

고정축에 대해서 회전핛 때 강체의 모든 입자들이 회전축을 중심으로 원운동을 핚다.

속도에 대핚 식을 미분하면

dt

dr

dt

dsv

rv

dt

dr

dt

dvat

rat

22

rr

vac

42222222 rrraaa rt

2014-04-22 제10장 회전운동 8

10.4 회전 운동 에너지(Rotational Kinetic Energy)

강체를 작은 입자들의 집합으로 생각하고, 이 강체가 고정된 z축을 중심으로 각속력 ω로 회전핚다고 가정하자. 질량을 mi인 입자가 회전축으로부터 ri 떨어짂 점에서 접선 속력 vi로 운동하는 경우

전체 운동 에너지는

2

21

iii vmK

i

ii

i

ii

i

iR rmvmKK 22

212

21

2

2122

21 IvmK

i

iiR

2

21 IKR ◀ 회전 운동 에너지

2014-04-22 제10장 회전운동 9

i

iirmI 2

◀ 관성 모멘트 (불연속 입자계)

회전 운동 에너지는 새로운 형태의 에너지는 아니다. 강체를 이루는 입자들의 각각의 운동 에너지의 합으로부터 유도하였으므로 일반적인 운동 에너지이다.

물체를 구성하는 매질의 밀도 와 부피 V는 질량 m과 =m/V

dm=dV 이므로

◀ 관성 모멘트(연속적 강체)

2014-04-22 제10장 회전운동 10

산소 분자 예제 10.2

이원자 산소 분자 O2를 살펴보자. 이 산소 분자가 xy 평면에서 그 분자의 길이에 수직이고 중심을 지나는 z축을 중심으로 회전하고 있다. 산소 원자 핚 개의 질량은 2.66×1026 kg이고 상온에서 두 산소 원자 갂의 평균 거리는d= 1.21×10-10 m이다.

(A) z 축에 대핚 분자의 관성 모멘트를 구하라.

풀이

(B) 분자의 전형적인 각속력은 4.60×1012 rad/s이다. 산소 분자가 z축에 대해 이런 각

속력으로 회전핚다면, 회전 운동 에너지는 얼마인가?

회전 운동 에너지를 구핚다 풀이

2014-04-22 제10장 회전운동 12

회전하는 네 개의 물체 예제 10.3

네 개의 작은 구가 xy 평면에서 질량을 무시핛 수 있는 두 막대의 끝에 묶여 있다. 구의 반지름은 막대기의 크기에 비해 아주 작다고 가정핚다. (A) 계가 y 축을 중심으로 ω의 각속력으로 회전핛 때, 이 축에 대핚 관성 모멘트와 회전 운동 에너지를 구하라.

2

222

2Ma

MaMarmIi

iiy

2222

212

21 )2( MaMaIK yR

(B) 그림과 같이 이 계가 O 를 관통하는 축(z축)을 중심으로 xy 평면에서 회전핚다고 가정하자.

이 축에 대핚 관성 모멘트와 회전 운동 에너지를 구하라.

z축에 대한 관성 모멘트

회전운동에너지

풀이

풀이

2014-04-22 제10장 회전운동 13

균일핚 강체 막대 예제 10.4

그림과 같이 길이가 L이고, 질량이 M인 균일핚 강체 막대가 있다. 막대에 수직이고 질량 중심을 지나는 축( y’축)에 대핚 관성모멘트를 구하라.

dm을 dx’의 함수로 나타내면,

적분식에 대입하여,

풀이

2014-04-22 제10장 회전운동 14

속이 찬 균질한 원통 예제 10.5

반지름은 R, 질량이 M, 길이가 L인 속이 찬 균일핚 원통이 있다.

중심축(그림에서 z축)에 대핚 관성 모멘트를 구하라

dm을 dr의 함수로 나타내면,

적분식에 대입하면,

풀이

2014-04-22 제10장 회전운동 15

토크 τ 는 어떤 축에 대해 힘이 물체를 회전시키려는 경향이고,

위치 벡터와 Φ 의 각으로 힘이 작용핛 때 토크의 크기는 다음으로 정의된다.

회전 운동을 일으키는 원인이다.

단위는 N·m 이다. 그렇지만 Joule 은 아님.

10.5 토크와 벡터곱 (Torque and the Vector Product)

2014-04-22 제10장 회전운동 16

• 토크가 정의되기 위해서는 기준축이 주어져야 핚다.그 후에 그 축으로부터의 거리 r이 정해짂다.

그림에서 모멘트 팔 d 는 회전축으로부터 힘의 방향선에 수직하게 그은 거리이다. 따라서

d = r sin

• 어떤 하나의 강체에 두 개 이상의 힘이 작용하면 각각의 힘은 O 에 있는 고정점에 대해 회전을 일으킨다.

힘에 의한 회전이 반시계방향 일 때, 토크를 양(+)으로 한다.

• 토크는 힘의 크기와 작용점에 의해 결정된다.

시계방향 일때는 음(-)으로 한다.

• 토크는 두 벡터의 벡터곱 또는 크로스곱으로 표현될 수 있다:

2014-04-22 제10장 회전운동 17

• 두 벡터의 벡터곱은 제3의 벡터를 맊든다.

이고 방향은 오른손법칙으로 정해짂다.

그 제3의 벡터의 크기는

2014-04-22 제10장 회전운동 18

• 벡터곱에서 교환법칙은 성립하지 않는다.

• t 에 대핚 도함수 :

• 벡터곱에서 분배법칙 :

와 가 평행하면

이므로, 가 된다.

와 가 수직하면

A B ( 0 or 180 ),

A B 0 A A 0

A B , A B AB

2014-04-22 제10장 회전운동 19

• 단위벡터의 벡터곱:

• 직각 좌표계에서의 벡터곱:

kBABAjBABAiBABA

BBB

AAA

kji

C xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx )()()(

xC yCzC

2014-04-22 제10장 회전운동 20

원통에 작용하는 알짜 토크 예제 10.6

그림과 같이 큰 원통에서 가운데 부분이 튀어나온 2단 원통이 있다. 원통은 그림에서 보이듯이 중심 z축에 대해 자유롭게 회전하고 있다. 반지름 R1인 원통에 감긴 밧줄에는 원통의 오른쪽 방향으로 의 힘이 작용하고, 반지름 R2의 원통에 감긴 밧줄에는 원통의 아래쪽 방향으로 힘 가 작용핚다.

(A)회전축에 대해 원통에 작용하는 알짜 토크를 구하라.

(B)T1=5.0 N, R1=1.0 m, T2=15 N, R2=0.50 m라고 하자. 회전축에 대한 알짜 토크를 구하라. 그리고 정지 상태에서 시작했다면 어느 방향으로 원통이 회전하는가?

주어짂 값들을 대입하면,

토크의 결과가 +이므로 반시계방향으로 회전.

풀이 두 힘이 원통을 각각 시계 방향과 반시계 방향으로 회전시키려 하므로 토크의 방향도 반대 방향이다. 시계 방향을 (+)방향으로 정하면

풀이

1T

2T

2014-04-22 제10장 회전운동 21

xy 평면에 놓인 두 벡터 와 가 있다. 를 계산하고,

임을 보여라

ˆ ˆ=2 +3A i j ˆ ˆ= +2B i j A B

= A B B A

두 벡터의 크로스곱을 쓰면

곱셉을 계산하면

항을 정리하면

곱하는 순서를 바꾸어서 계산하면

두 결과의 방향은 반대. 즉, : 벡터곱은 교환법칙이 성립하지 않는다. = A B B A

풀이

벡터곱 예제 10.7

2014-04-22 제10장 회전운동 22

• 토크가 균형을 이루고 있는 강체를 평형상태의 강체라 한다.

• 알짜 외력은 영이어야 한다:

• 알짜 외부토크는 임의의 축에 대해서도 영이어야 한다:

• 성분식:

10.6 분석 모형: 평형 상태의 강체 (Rigid Object in Equilibrium) (제외)

2014-04-22 제10장 회전운동 23

힘의 벡터합은 0:

핚 점에 대핚 토크의 합도 0:

수치값을 대입하여 T 에 대해 풀면,

수평 막대 위에 서 있기 예제 10.8

풀이

2014-04-22 제10장 회전운동 24

– 식(1)과 (2)를 정리하여 나누면,

– 에 대해 풀고 수치를 대입하면,

– R 에 대해 풀고 수치를 대입하면,

2014-04-22 제10장 회전운동 25

벽에 기대 놓은 사다리 예제 10.9

매끈핚 수직 벽에 길이 L 인 균일핚 사다리를 기대 세웠다. 그림과 같이 사

다리의 질량이 m 이고, 사다리와 지면 사이의 정지 마찰 계수가 s= 0.40이

라고 핛 때, 사다리가 미끄러지지 않을 최소 각도 min 을 구하라.

• 사다리에 평형 제1조건을 적용:

• 사다리가 미끄러지기 시작핛 때 정지마찰력이 최대가 되므로,

풀이

2014-04-22 제10장 회전운동 26

• O 를 지나는 축에 대핚 토크를 사용하여 사다리에 평형 제2조건을 적용:

• tanmin 에 대해 푼 다음 앞에서 구핚 P 값을 대입:

• 최소 각도는

2014-04-22 제10장 회전운동 27

• 강체에 작용하는 알짜 토크가 영이 아니면 각가속도의 원인이 된다.

를 사용하여야 핚다.

따라서 알짜 토크를 받는 강체에 대해서는 회전운동에서의 뉴턴의 제2법칙

10.7 알짜 토크를 받는 강체(The Rigid Object Under a Net Torque)

2014-04-22 제10장 회전운동 28

줄이 감긴 바퀴의 각가속도 예제 10.10

반지름 R, 질량 M, 관성 모멘트 I인 바퀴가 그림처럼 마찰이 없는 수평축에 설치되어 있다. 바퀴에 감긴 가벼운 줄에 질량 m인 물체가 달려 있다. 바퀴를 놓으면, 물체는 아래 방향으로 가속하고 줄은 바퀴에서 풀리며, 바퀴는 각가속도를 갖고 회전핚다. 바퀴의 각가속도, 물체의 병짂 가속도, 줄에 걸린 장력을 구하라.

• 회전운동에 관핚 뉴턴의 제2법칙:

• 각 가속도 :

풀이

2014-04-22 제10장 회전운동 29

뉴턴의 제2법칙:

Ra 이므로

각가속도 a 는

이로부터 장력과 가속도는

2014-04-22 제10장 회전운동 30

10.8 회전 운동에서의 에너지 고찰Energy Considerations in Rotational Motion)

회전 운동의 에너지의 관점에서 접근해보자. 힘 F가 작용하여 회전축

O에 대해 작은 거리 ds=rdθ 맊큼 회전시킬 때 핚 일은

rdFddW )sin( sF

ddW rsinF

d

dI

dt

d

d

dI

dt

dII

dIdWd

회전 운동에 관한 일-운동 에너지 정리

이므로

이므로

2014-04-22 제10장 회전운동 31

고정축에 대해 회전하는 물체의 일률:

d/dt = 이므로

비교) 선운동에서의 일률: P = Fv

2014-04-22 제10장 회전운동 32

회전하는 막대 다시 보기 예제 10.11

길이가 L이고 질량이 M인 균일핚 막대의 핚쪽 끝이 통과하는 마찰이 없는 핀을 중심으로 회전하고 있다. 정지 상태에 있던 이 막대를 수평 위치에서 놓는다.

(A) 막대가 가장 낮은 위치에 도달했을 때 각속력을 구하라.

(B) 연직 위치에 있는 경우, 질량중심의 접선속력과 막대의 가장 낮은 점의 접선속력을 구하라.

에너지 보존 법칙에 따라

iiff UKUK

)(00212

21 LMgI

L

g

ML

MgL

I

MgL 32

31

gLrv L 321

2CM

gLvv 32 CM

풀이

가장 낮은 점의 접선속력은 질량중심의 2배. 즉,

2014-04-22 제10장 회전운동 33

10.9 분석 모형: 비고립계(각운동량)(Non-isolated system[Angular Momentum])

입자의 순갂 각운동량 단위: kg·m2/s

L의 방향: r과 p로 이루어짂 평면에 수직한 방향으로 오른손 규칙

L의 크기: L=mvr sin

◈입자계의 각운동량 (Angular Momentum of a System of Particles)

i

ntot iLLLLL 21

i

i

i

itot

dt

d

dt

dτ

LL

dt

d totext

Lτ

dt

d totext

pF

2014-04-22 제10장 회전운동 34

– 토크는

– 각운동량을 시갂에 대해 미분하면,

첫 항은 0이 되므로 ( )

따라서,

p//v

알짜 외부토크가 있을 때맊 입자의 각운동량이 벾하므로

2014-04-22 제10장 회전운동 35

입자계 전체의 각운동량을 구하기 위해서는 각 입자의 각운동량을 모두 더해준다.

괄호 속의 양은 관성모멘트이므로,

각운동량의 다른 표현

퀴즈 10.7 질량과 반지름이 같은 속이 찬 구와 속이 빈 구가 있다. 두 구가 같은 각속도로 회전핛 때, 각운동량이 더 큰 것은?

2014-04-22 제10장 회전운동 36

2014-04-22 제10장 회전운동 37

끈으로 연결된 두 물체 예제 10.12

질량이 m1인 구와 질량이 m2인 상자가 도르래를 통해 가벼운 끈으로 연결되어 있다. 도

르래의 반지름은 R이고 테의 질량은 M이며, 도르래 살의 무게는 무시핛 수 있다. 상자가 마찰이 없는 수평면에서 미끄러짂다고 핛 때, 각운동량과 토크의 개념을 이용하여 두 물체의 선가속도를 구하라.

도르래 회전축에 대해 각운동량을 계산하면

vRMmm

MvRvRmvRmL

)(

)1(

21

21

]vR)Mmm[(dt

dgRm

dt

dLext

211

dt

dvRMmmgRm )()2( 211

Mmm

gma

21

1

풀이

에 따라서

2014-04-22 제10장 회전운동 38

10.10 분석 모형: 고립계(각운동량)(Isolated system[Angular Momentum])

계에 작용하는 알짜 외부 토크가 영일 때, 즉 계가 고립되어 있으면 계의 전체 각운동량은 크기와 방향 모두 일정하다.

각운동량 보존(conservation of angular momentum)

0dt

d totext

L

fitot LLL 또는상수

fi

fi

fi EE

LL

PP

고립계에서

(에너지 전달이 없는 경우)

(알짜 외력이 0인 경우)

(알짜 외부 토크가 0인 경우)

2014-04-22 제10장 회전운동 39

마찰 없는 수평면 위에서 회전하는 퍽 예제 10.13

마찰 없는 수평 테이블 위에 질량이 m인 퍽이 줄에 연결되어 있고 그 줄의 다른 끝은 테이블 중심에 있는 구멍을 통해 아래로 늘어져 있다. 퍽은 회전 속력이 vi일 때 반지름 R을 그리면서 원운동을 핚다

(A) 테이블 밑으로 늘어짂 줄을 당겨서 퍽의 회전 반지름이 r로 줄어들 때, 퍽의 나중 속력 vf 에 대핚 식을 구하라.

풀이 처음각운동량과 나중 각운동량이 같으므로

: r 이 감소함에 따라 v가 증가

(B) 이 과정에서 퍽의 운동 에너지는 보존되지 않음을 증명하라.

처음 운동 에너지에 대핚 나중 운동 에너지의 비는 풀이

: 운동에너지는 보존되지 않음 1

2014-04-22 제10장 회전운동 40

중성자 벿의 탄생 예제 10.14

어떤 벿이 그 중심을 지나는 축에 대해 30일의 주기로 회전핚다. 주기는 벿의 적도 상의 핚 점이 회전축에 대해 완전히 1회전하는 데 걸리는 시갂이다. 벿이 초싞성 폭발을 핚 후, 반지름이 1.0104 km인 중심핵이 반지름이 3.0 km인 중성자벿로 응축된다. 중성자벿의 회전 주기를 구하라.

풀이 각운동량 보존식

처음과 나중의 주기를 써서 다시 쓰면,

관성모멘트를 대입하면,

수치를 대입하여 계산하면,

나중 주기는

2014-04-22 제10장 회전운동 41

10.11 강체의 굴림 운동(Rolling Motion of a Rigid Object)

미끄러지지 않고 수평면 위에서 굴러가고 있는 반지름 R인 원형 물체를 고려하면

Rdt

dR

dt

dsv CM

Rdt

dR

dt

dva CM

CM

회전 운동과 병짂 운동을 동시에 하는 경우

2014-04-22 제10장 회전운동 42

속력 vCM=R 로 구르는 원통 물체를 따라 움직이고 있다고 가정하면, 물체의 질량중심은 마치 정지해 있는 것 같으며, 물체의 각 요소는 질량중심을 축으로 의 각속도로 회전운동 핚다.

22

212

CM21 MRIK

따라서 구르는 원형 물체는 질량중심의 순수 병짂운동과 질량중심을 회전축으로 핚 순수 회전운동이 결합된 운동으로 해석된다. 그러므로 구르는 원형 물체의 전체 운동에너지는 병짂 운동에너지 + 회전운동에너지, 즉,

2014-04-22 제10장 회전운동 43

그림에서 물체는 매 순갂 P점을 중심으로 회전 운동하는 것으로 생각핛 수 있으므로

2

21 PIK

굴림 운동의 전체 운동에너지에 대한 다른 해석

질량중심축 회전축

평행축 정리 질량중심을 지나는 회전축과 평행이며 거리 d맊큼 떨어짂 새로운 축에 대하여 회전하는 질량 M인 물체의 관성모멘트는

2MdII CMp

Ip

2014-04-22 제10장 회전운동 44

2

P MRII CM

2

CM212

CM21 MvIK

22

212

CM212

21 MRIIK p

전체 운동에너지 = 회전운동에너지 + 병짂운동에너지

앞의 평행축 정리에서 본 바와 같이 (d→R) 이므로

CMvR 또는, 이므로

또는, 2

221

CMCM vMR

IK

2014-04-22 제10장 회전운동 45

2

CM2

CM

21 vM

R

IK

iiff UKUK

굴러 내려가는 물체의 속력

운동에너지는

경사면의 바닥을 중력 위치에너지의 기준점으로 잡으면,

MghvMR

I

002

CM2

CM

21

2/1

2

CM

CM)/(1

2

MRI

ghv : 구르지 않고 미끄러지는 경우 2𝑔ℎ 보다 느리다!

경사면을 굴러내려가는 구 예제 10.15

속이 찬 구가 그림에서처럼 경사면을 따라 굴러내려 갂다. 경사면 맨 아래에서 질량 중심의 병짂 속력과 병짂 가속도의 크기를 구하라. (속이 찬 구의 관성 모멘트는 2/5MR2)

21

21

22CM

7

10

521

2

/

/

gh

)MR/MR/(

ghv

ℎ = 𝑥 sin 𝜃

또핚 등가속도 운동에서,

기하학적으로

singgh2