Spis treści

1. Wartośćbezwzględnaliczby ....................................................................................................................1

2. Potęgiipierwiastki ...................................................................................................................................1

3. Logarytmy ................................................................................................................................................2

4. Silnia.Współczynnikdwumianowy .........................................................................................................2

5. WzórdwumianowyNewtona ...................................................................................................................2

6. Wzoryskróconegomnożenia ...................................................................................................................3

7. Ciągi .........................................................................................................................................................3

8. Funkcjakwadratowa ................................................................................................................................4

9. Geometriaanalityczna ..............................................................................................................................4

10. Planimetria ...............................................................................................................................................6

11. Stereometria ...........................................................................................................................................12

12. Trygonometria ........................................................................................................................................14

13. Kombinatoryka .......................................................................................................................................16

14. Rachunekprawdopodobieństwa .............................................................................................................17

15. Parametrydanychstatystycznych ..........................................................................................................18

16. Granicaciągu ..........................................................................................................................................18

17. Pochodnafunkcji ....................................................................................................................................19

18. Tablicawartościfunkcjitrygonometrycznych .......................................................................................20

PublikacjawspółinansowanaprzezUnięEuropejskąwramachEuropejskiegoFunduszuSpołecznego.Publikacjajestdystrybuowanabezpłatnie.

Warszawa2015

1

1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY

Wartośćbezwzględnąliczbyrzeczywistejxdeiniujemywzorem:

Liczba x jesttoodległośćnaosiliczbowejpunktuxodpunktu0.Dladowolnejliczbyxmamy:

x x x x= −0 0 0 wtedy i tylko wtedy, gdy == x

Dladowolnychliczbx,ymamy:

Ponadto,jeśliy ≠ 0,to

= .

Dladowolnychliczbaoraz mamy:

2. POTĘGI I PIERWIASTKI

Niechnbędzieliczbącałkowitądodatnią.Dladowolnejliczbyadeiniujemyjejn-tąpotęgę:

a a an

n

= ⋅ ⋅...

Pierwiastkiemarytmetycznym an stopnianzliczbya nazywamyliczbęb taką,żeb an = .

Wszczególności,dladowolnejliczbyazachodzirówność: a a2 = .

Jeżeli a < 0 orazliczbanjestnieparzysta,to an oznaczaliczbęb < 0 taką,żeb an = .

Pierwiastkistopniparzystychzliczbujemnychnieistnieją.

Niechm,nbędąliczbamicałkowitymidodatnimi.Deiniujemy:

1m

n

n ma

a

−=

Niechr,sbędądowolnymiliczbamirzeczywistymi.Jeślia > 0 ib > 0,tozachodząrówności:

⋅ = + ⋅=a a a a a

a b

r s r s rs

r s

r

( )

⋅( )

== ⋅a br r

r r

r

a a

b b

=

rr s

s

aa

a

−=

Jeżeliwykładnikir,ssąliczbamicałkowitymi,topowyższewzoryobowiązujądlawszystkichliczba ≠ 0ib ≠ 0.

2

3. LOGARYTMY

Logarytmem log a c dodatniejliczbycprzydodatniejiróżnejod1podstawieanazywamywykładnikbpotęgi,doktórejnależypodnieśća,abyotrzymaćc:

log wtedy i tylko wtedy, gdy a

bc b a c= =

Równoważnie:

a caclog =

Dladowolnychliczbx > 0,y > 0orazrzachodząwzory:

log log log log log loga a a a

r

ax y x y x r x⋅( ) = + = ⋅

aa a a

x

yx y= −log log

Wzórnazamianępodstawylogarytmu:jeżeli a > 0 ,a ≠ 1,b > 0,b ≠ 1orazc > 0,to

log

log

logb

a

a

b=

Logarytm log10 x możnateżzapisaćjakologx lublgx.

4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY

Silniąliczbycałkowitejdodatniejnnazywamyiloczynkolejnychliczbcałkowitychod1donwłącznie:

n n! ...= ⋅ ⋅ ⋅1 2

Ponadtoprzyjmujemyumowę,że0!=1.Dladowolnejliczbycałkowitej zachodzizwiązek:

= ⋅ +( )n +( )1 1! n! n

Dlaliczbcałkowitychn,kspełniającychwarunki deiniujemywspółczynnikdwumianowy nk

(symbolNewtona):

n

k

n

k n k

= −( )

!! !

Zachodząrówności:

n

k

n

n k

=

−

n n

n01

=

=1

( )( ) ( )1 2 ... 1

!

n n n n kn

k k

− − ⋅ ⋅ − + =

5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA

Dladowolnejliczbycałkowitejdodatniejnorazdladowolnychliczba,bmamy:

a b

na

na b

n

ka b

n

n

n n n n k k+( ) =

+

+ +

+ +

−− −

0 1

1 ... ...11

1

+

−abn

nbn n

3

6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

Dladowolnychliczba,b:

a b a ab b a b a a b ab b+( ) = + + +( ) = + + +2 2 2 3 3 2 2

2 3 3 33

2 2 2 3 3 2 22 3 3a b a ab b a b a a b ab−( ) = − + −( ) = − + −−b3

Dladowolnejliczbycałkowitejdodatniejnorazdowolnychliczba,bzachodziwzór:

a b a b a a b a b ab bn n n n n k k n n− = −( ) + + + + + +( )− − − − − −1 2 1 2 1

... ...

Wszczególności:

a b a b a b a a

a b

2 2 2

3 3

1 1 1− = −( ) +( ) − = −( ) +( )−

a

== −( ) + +( ) − = −( ) + +( )+ = +( )

a b a ab b a a a

a b a b a

2 2 3 2

3 3

1 1 1 a

22 2 3 21 1 1− +( ) + = +( ) − +( )ab b a a a a

an n na a a− = −( ) + +− −1 1 1 2....+ +( )a 1

7. CIĄGI

• CiągarytmetycznyWzórnan-tywyrazciąguarytmetycznego a

n( ) opierwszymwyraziea1iróżnicyr:

a a n rn= + −( )1 1

Wzórnasumę S a a an n= + + +

1 2... początkowychnwyrazówciąguarytmetycznego:

Sa a

na n r

nn

n=+

⋅ =+ −( )

⋅1 1

2

2 1

2

Międzysąsiednimiwyrazamiciąguarytmetycznegozachodzizwiązek:

aa a

nnn n=+− +1 1

22dla

• CiąggeometrycznyWzórnan-tywyrazciągugeometrycznego a

n( ) opierwszymwyraziea1iilorazieq:

a a q nn

n= ⋅ −

1

1 2 dla

Wzórnasumę S a a an n= + + +

1 2... początkowychnwyrazówciągugeometrycznego:

Międzysąsiednimiwyrazamiciągugeometrycznegozachodzizwiązek:a a a nn n n

2

1 1 2= ⋅− + dla

• Procentskładany

JeżelikapitałpoczątkowyKzłożymynanlatwbanku,wktórymoprocentowanielokatwynosip%wskalirocznejikapitalizacjaodseteknastępujepoupływiekażdegorokutrwanialokaty,tokapitałkońcowyK

n

wyrażasięwzorem:

K Kp

n

n

= ⋅ +

1

100

4

8. FUNKCJA KWADRATOWA

Postaćogólnafunkcjikwadratowej: f x ax bx c a x R( ) = + + ≠ ∈2 0 .Wzórkażdejfunkcjikwadratowejmożnadoprowadzićdopostacikanonicznej:

2

bp

a= −

4q

a

∆= −

Wykresemfunkcjikwadratowejjestparabolaowierzchołkuwpunkcieowspółrzędnych(p,q).Ramionaparaboliskierowanesądogóry,gdy a > 0 ;dodołu,gdy a < 0.

Liczbamiejsczerowychfunkcjikwadratowej f x ax bx c( ) = + +2

(liczbapierwiastkówtrójmianukwadratowego,liczbarzeczywistychrozwiązańrównania ax bx c

2 0+ + = ),zależyodwyróżnika∆ = −b a2

4 :

– jeżeli∆ < 0,tofunkcjakwadratowaniemamiejsczerowych(trójmiankwadratowyniemapierwiastkówrzeczywistych,równaniekwadratoweniemarozwiązańrzeczywistych),

– jeżeli∆ = 0,tofunkcjakwadratowamadokładniejednomiejscezerowe(trójmiankwadratowymajeden

pierwiastekpodwójny,równaniekwadratowemadokładniejednorozwiązanierzeczywiste):x x

b

a1 2

2= = −

– jeżeli∆ > 0,tofunkcjakwadratowamadwamiejscazerowe(trójmiankwadratowymadwaróżnepierwiastkirzeczywiste,równaniekwadratowemadwarozwiązaniarzeczywiste):

xb

ax

b

a1 2

2 2=− −

=− +∆ ∆

Jeśli 0,towzórfunkcjikwadratowejmożnadoprowadzićdopostaciiloczynowej:

f x a x x x x( ) = −( ) −( )1 2

• WzoryViéte’a

Jeżeli 0,to

x xb

ax x

c

a1 2 1 2+ =

−⋅ =

9. GEOMETRIA ANALITYCZNA

• OdcinekDługośćodcinkaokońcachwpunktachA x y B x yA A=( ) = ( ), , ,B B

jestdanawzorem:

AB x x y yB A B A

= −( ) + −( )2 2

WspółrzędneśrodkaodcinkaAB:

x x A B A B+ +

2 2,

M = (x, y)

x

y

O

A=(xA , y

A)

B=(xB

, yB)

5

• Wektory

Współrzędnewektora AB

:

AB x x y yB A B A

= − −[ ],

Jeżeli u u u v v v = [ ] = [ ]1 2 1 2

sąwektorami,zaśajestliczbą,to

u v u v u v a u a u a u + = + +[ ] ⋅ = ⋅ ⋅[1 1 2 2 1 2

]]

• ProstaRównanieogólneprostej:

Ax By C+ + = 0,

gdzie A B2 2 0+ ≠ (tj.współczynnikiA,Bniesąrównocześnierówne0).

JeżeliA = 0,toprostajestrównoległadoosiOx;jeżeliB = 0,toprostajestrównoległadoosiOy;jeżeliC = 0,toprostaprzechodziprzezpoczątekukładuwspółrzędnych.

JeżeliprostaniejestrównoległadoosiOy,tomaonarównaniekierunkowe:

y ax b= +

Liczbaatowspółczynnikkierunkowyprostej:a tg= α

WspółczynnikbwyznaczanaosiOypunkt,wktórymdanaprostająprzecina.

Równaniekierunkoweprostejowspółczynnikukierunkowyma,któraprzechodziprzezpunktP x y= ( )0 0, :

y a x x y= −( )+0 0

Równanieprostej,któraprzechodziprzezdwadanepunkty :

( )( )y y x x y y x xA B A B A A− − − −( ) −( )= 0

• Prostaipunkt

OdległośćpunktuP x y= ( )0 0, odprostejorównaniuAx By C+ + = 0 jestdanawzorem:

Ax By C

A B

0 0

2 2

+ +

+

• ParaprostychDwieprosteorównaniachkierunkowych:

y a x b y a x b= + = +1 1 2 2

spełniająjedenznastępującychwarunków:

– sąrównoległe,gdy a a1 2=

– sąprostopadłe,gdy a a1 2

1= −

– tworząkątostry φ i tg =−

+a a

a a

1 2

1 21φ

x

y

O

b

y = ax + b

α

6

Dwieprosteorównaniachogólnych:

A x B y C A x B y C1 1 1 2 2 2

0 0+ + = + + =

– sąrównoległe,gdy A B A B1 2 2 1

0− =

– sąprostopadłe,gdy A A B B1 2 1 2

0+ =

– tworząkątostry φ itg =

−+

AB A B

A A B B

1 2 2 1

1 2 1 2

φ

• Trójkąt

PoletrójkątaABCowierzchołkach A x x y C x yA A B B C C

= ( ) = ( ) = ( ), , , , , ,jestdanewzorem:

P x x y y y= − y x xABC B A C A B A C A∆ ( ) −( )− −( ) −( )

1

2

ŚrodekciężkościtrójkątaABC,czylipunktprzecięciajegośrodkowych,mawspółrzędne:

x x x y y yA B C A B C+ + + +

3 3,

• Przekształceniageometryczne

– przesunięcieowektor u a b

= [ ], przekształcapunkt A x = ( ), napunkt A x a y b' ,= + +( )

– symetriawzględemosiOxprzekształcapunkt A x = ( ), napunkt A x ' ,= −( ) – symetriawzględemosiOyprzekształcapunkt A x = ( ), napunkt A x ' ,= −( )– symetriawzględempunktu a b,( ) przekształcapunkt A x = ( ), napunkt A a x b y' ,= − −( )2 2

– jednokładnośćośrodkuwpunkcieOiskalis ≠ 0 przekształcapunkt Anapunkt A x' ,taki,żeOA s OA'

= ⋅ ,awięc,jeśliO x y= ( )0 0, ,tojednokładnośćtaprzekształcapunkt A x = ( ), napunkt

A sx s x sy s y' ,= + −( ) + −( )( )1 10 0

• RównanieokręguRównanieokręguośrodkuwpunkcie S a b= ( ), ipromieniur>0:

x a y b r−( ) + −( ) =2 2 2

lub

10. PLANIMETRIA

• Cechyprzystawaniatrójkątów

A B

C

D E

F

7

To,żedwatrójkątyABCiDEFsąprzystające ∆ ≡ ∆( )ABC DEF ,możemystwierdzićnapodstawiekażdejznastępującychcech przystawania trójkątów:

– cechaprzystawania„bok–bok–bok”:odpowiadającesobiebokiobutrójkątówmajątesamedługości: AB DE AC DF BC EF= = =, ,

– cechaprzystawania„bok–kąt–bok”:dwabokijednegotrójkątasąrówneodpowiadającymimbokomdrugiegotrójkątaorazkątzawartymiędzytymibokamijednegotrójkątamatakąsamąmiaręjakodpowiadającymukątdrugiegotrójkąta,np. AB DE AC DF BAC EDF= = =, ,

– cechaprzystawania„kąt–bok–kąt”:jedenbokjednegotrójkątamatęsamądługość,coodpowiadającymubokdrugiegotrójkątaorazmiaryodpowiadającychsobiekątówobutrójkątów,przyległychdoboku,sąrówne,np. AB DE BAC EDF ABC DEF= = =, ,

• Cechypodobieństwatrójkątów

To,żedwatrójkątyABCiDEFsąpodobne ∆ ∆( )ABC DEF ,możemystwierdzićnapodstawiekażdejznastępującychcech podobieństwa trójkątów:

– cechapodobieństwa„bok–bok–bok”:długościbokówjednegotrójkątasąproporcjonalnedoodpowiednichdługościbokówdrugiegotrójkąta,

np.

AB

DE

AC

DF

BC

EF= =

– cechapodobieństwa„bok–kąt–bok”:długościdwóchbokówjednegotrójkątasąproporcjonalnedoodpowiednichdługościdwóchboków

drugiegotrójkątaikątymiędzytymiparamibokówsąprzystające,np.

– cechapodobieństwa„kąt–kąt–kąt”:dwakątyjednegotrójkątasąprzystającedoodpowiednichdwóchkątówdrugiegotrójkąta(więcteżitrzeciekątyobutrójkątówsąprzystające): BAC EDF ABC DEF ACB DFE= = =, ,

A B

C

D E

F

8

PrzyjmujemyoznaczeniawtrójkącieABC:

a,b,c –długościboków,leżącychodpowiednionaprzeciwkowierzchołkówA,B,C

2p=a+b+c –obwódtrójkątaα,β,γ –miarykątówprzywierzchołkachA,B,Ch

a,h

b,h

c –wysokościopuszczonezwierzchołków

A,B,CR,r –promienieokręgówopisanego

iwpisanego

• Twierdzeniesinusów

α β γ

A

C

B

a b

c

γ

βα

A

C

D c

a b

hc

B

α β

γ

• Twierdzeniecosinusów

a b c bc

b a c ac

c a b ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

= + −

= + −

= + −

cos

cos

cos γ

β

α

• Wzorynapoletrójkąta

⋅ ⋅P R

P a h b h c h

P a b a c

ABC a b c

ABC

∆

∆

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1sin sin

2

1

2

1

2

1

2

2 2 2

b c

P a b cABC

⋅ ⋅

=⋅

=⋅

=

sin

sin sin

sin

sin sin

sin

si∆

nn sin

sin

sin sin

⋅

= = ⋅Pabc

RABC ABC∆ ∆

42 2 ssin

P rp P p p a p b p cABC ABC∆ ∆= = −( ) −( ) −( )

α

α

α γ α

γ

β

β

β γ

γα β

γ β

• TwierdzeniePitagorasa(wrazztwierdzeniemodwrotnymdoniego)WtrójkącieABCkątγjestprostywtedyitylkowtedy,gdya2 +b2 = c2.

• Związkimiarowewtrójkącieprostokątnym

Załóżmy,żekątγ jestprosty.Wówczas:

h AD DB

hab

c

a c c

a b b

R c r

c

c

2

1

1

2

= ⋅

=

= ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅

= =

sin cos

tgtg

aa b c

p c+ −

= −2

α β

αβ

9

• Trójkątrównobocznya–długośćbokuh–wysokośćtrójkąta

ha

R h

Pa

r h

= =

= =

3

2

2

3

3

4

1

3

2

∆

• TwierdzenieTalesa(wrazztwierdzeniemodwrotnymdoniego)RóżneprosteACiBDprzecinająsięwpunkcieP,przyczymspełnionyjestjedenzwarunków:– punktAleżywewnątrzodcinkaPCorazpunktBleżywewnątrzodcinkaPD

lub– punktAleżynazewnątrzodcinkaPCorazpunktBleżynazewnątrzodcinkaPD.WówczasprosteABiCDsąrównoległewtedyitylkowtedy,gdy

PA

AC

PB

BD=

• Czworokąty

Trapez

Czworokąt,którymaconajmniejjednąparębokówrównoległych.Wzórnapoletrapezu:

Pa b

h=+

⋅2

Równoległobok Czworokąt,którymadwieparybokówrównoległych.Wzorynapolerównoległoboku:

P ah a b AC BD= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅sin sin

1

2φα

C

B A a

h a a

B

A

C

D P

D

B

C P

A

A B

C D b

a

h

h

a

D C

B A

b

φ

α

10

Romb

Czworokąt,którymawszystkiebokijednakowejdługości.Wzorynapolerombu:

P ah a AC BD= = ⋅ = ⋅ ⋅2 1

2sinα

DeltoidCzworokątwypukły,którymaośsymetriizawierającąjednązprzekątnych.Wzórnapoledeltoidu:

P AC BD= ⋅ ⋅1

2

• KołoWzórnapolekołaopromieniur:

P r= π 2

Obwódkołaopromieniur:L r= 2π

• WycinekkołaWzórnapolewycinkakołaopromieniurikącieśrodkowymαwyrażonymwstopniach:

P r= ⋅°

π 2

360

α

DługośćłukuABwycinkakołaopromieniurikącieśrodkowymα wyrażonymwstopniach:

l r= ⋅°

2360

π α

• KątywokręguMiarakątawpisanegowokrągjestrównapołowiemiarykątaśrodkowego,opartegonatymsamymłuku.

Miarykątówwpisanychwokrąg,opartychnatymsamymłuku,sąrówne.

Miarykątówwpisanychwokrąg,opartychnałukachrównych,sąrówne.

r

O

B

A

A C

D

B

r

O

A

C

B

D

α

a

h a

A

B

O

2

α

α

α

α

α

11

• Twierdzenieokąciemiędzystycznąicięciwą

A C

B

O

A C

B

O

DanyjestokrągośrodkuwpunkcieOijegocięciwaAB.ProstaACjeststycznadotegookręguwpunkcieA.Wtedy AOB CAB= ⋅2 ,przyczymwybieramytenzkątówśrodkowychAOB,któryjestopartynałukuznajdującymsięwewnątrzkątaCAB.

• TwierdzenieoodcinkachstycznychJeżelistycznedookręguwpunktachAiBprzecinająsięwpunkcieP,to

PA PB=

A

B

P

• TwierdzenieoodcinkachsiecznejistycznejDanesą:prostaprzecinającaokrągwpunktachAiBorazprostastycznadotegookręguwpunkcieC.JeżeliprosteteprzecinająsięwpunkcieP,to

PA PB PC⋅ =2

C

B

P

A

12

• Okrągopisanynaczworokącie

C

D

A

B

α

δ

γβ

• Okrągwpisanywczworokąt

A

D

a

C

B

b

c

d

r

11. STEREOMETRIA

• Twierdzenieotrzechprostychprostopadłych

P m

l

k

ProstakprzebijapłaszczyznęwpunkcieP.Prostaljestrzutemprostokątnymprostejknatępłaszczyznę.ProstamleżynatejpłaszczyźnieiprzechodziprzezpunktP.Wówczasprostamjestprostopadładoprostejkwtedyitylkowtedy,gdyjestprostopadładoprostejl.

Naczworokąciemożnaopisaćokrągwtedyitylkowtedy,gdysumymiarjegoprzeciwległychkątówwewnętrznychsąrówne180°:

+ = + =180α γ β δ

Wczworokątwypukłymożnawpisaćokrągwtedyitylkowtedy,gdysumydługościjegoprzeciwległychbokówsąrówne:

a c b d+ = +

13

Przyjmujemyoznaczenia:P –polepowierzchnicałkowitejP

p–polepodstawy

Pb–polepowierzchnibocznej

V –objętość

• Prostopadłościan

P ab bc ac

V abc

= + +( )

=

2

gdziea,b,csądługościamikrawędziprostopadłościanu

• Graniastosłupprosty

P p h

V P h

b

p

= ⋅

= ⋅

2

gdzie2pjestobwodempodstawygraniastosłupa

• Ostrosłup

V P hp= ⋅1

3

gdziehjestwysokościąostrosłupa

b

E

B

F

C

G

D

A

H

a

c

A B

C

D

E

F G

H

I J

h

B A

E D

S

C O

h

14

• Walec

P rh

P r r h

V r h

b=

= +( )

=

2

2

2

π

π

π

gdzierjestpromieniempodstawy,h–wysokościąwalca

• Stożek

P rl

P r r l

V r h

b=

= +( )

=

π

π

π1

32

gdzierjestpromieniempodstawy,h–wysokością,l–długościątworzącejstożka

• Kula

P r

V r

=

=

4

4

3

2

3

π

π

gdzierjestpromieniemkuli

12. TRYGONOMETRIA

• Deinicjefunkcjitrygonometrycznychkątaostregowtrójkącieprostokątnym

n s

s c= =

= =si in

co os

=

ac

b

c

b

c

a

c

a

btg tg =

b

a

α

α

α

β

β

β

h

r

O

l

r

h

O

S

r

O

C A

B

a

b

c

α

β

15

• Deinicjefunkcjitrygonometrycznych

si

gdzie jest

n

cos

,

=

=

= ≠

y

r

x

r

y

xxtg gdy

promieniem wodzącym pu

0

nktu M

2 2 0r x y= + >

α

α

α

• Wykresyfunkcjitrygonometrycznych

2π

x

y

1

1−

0 π

32π

2π−

π− 2π

x

y

1

1−

0 2π

π

32π

2π−

π− 2π

x

y

1

1−

0 2π

π

32π

2π−

π− 2π

2−

3−

4−

2

3

4

y = sin x

y = cos x y = tg x

• Związkimiędzyfunkcjamitegosamegokąta

= ≠

sin cos

sin

cos,

2 2 1

2

ππ

+ =

+tg dla k k całkowite−

α α

αα

αα

•Niektórewartościfunkcjitrygonometrycznych

α0° 30° 45° 60° 90°

0π

6

π

4

π

3

π

2

sinα 0 1

2

2

2

3

21

cosα 13

2

2

2

1

20

tgα 0 3

31 3

nieistnieje

M = (x, y)

x x

y

O

r

y

α

16

• FunkcjesumyiróżnicykątówDladowolnychkątówα,βzachodząrówności:

sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin

cos

+( )= + −( ) = −

+(( ) = − − = +cos cos sin sin cos cos cos sin sin

α

α

α

αβ

β

ββ

β α

α

β

β

α

α

β

β

α α

α α β

ββ

( )

Ponadtomamyrówności:

tgtg tg

tg tgtg

tg tg

tg tg+( ) =

+

− ⋅−( ) =

−

+ ⋅1 1βα

α

ααβ

β β

β

α

α β

którezachodzązawsze,gdysąokreśloneimianownikprawejstronyniejestzerem.

• Funkcjepodwojonegokątasin sin cos

cos cos sin cos sin

2 2

2 2 1 1 2

2

2 2 2 2

=

= − = − = −

=2

tgtg

1 2− tg

α α α

αα αα α

αα

α

• Sumy,różniceiiloczynyfunkcjitrygonometrycznych

sin sin sin cos sin sin cos( ) cos( )

si

( )+ =+ −

= − + − −22 2

1

2

nn sin cos sin cos cos cos( ) cos( )

cos

( )− =+ −

= + + −22 2

1

2

++ =+ −

= + + −

−

cos cos cos sin cos sin( ) sin( )

cos c

( )22 2

1

2

oos sin sin= −+ −

22 2

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

• Wybranewzoryredukcyjne

α α

α α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

• Okresowośćfunkcjitrygonometrycznych

sin sin cos cos+ ⋅ °( ) = + ⋅ °( ) = + ⋅k k k360 360 180 tg °°( ) = tg – całkowite, kα α α α α α

13. KOMBINATORYKA• WariacjezpowtórzeniamiLiczbasposobów,naktóreznróżnychelementówmożnautworzyćciąg,składającysięzkniekoniecznieróżnychwyrazów,jestrównank.

• WariacjebezpowtórzeńLiczbasposobów,naktóreznróżnychelementówmożnautworzyćciąg,składającysięz różnychwyrazów,jestrówna

n n n k

n

n k⋅ −( ) ⋅ ⋅ − +( ) =

−( )1 1...

!

!

17

• PermutacjeLiczbasposobów,naktóren(n 1)różnychelementówmożnaustawićwciąg,jestrównan!.

• KombinacjeLiczbasposobów,naktórespośródnróżnychelementówmożnawybrać 0 elementów,jestrówna

nk

.

14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

• Własnościprawdopodobieństwa

• Twierdzenie:KlasycznadeinicjaprawdopodobieństwaNiechΩbędzieskończonymzbioremwszystkichzdarzeńelementarnych.Jeżeliwszystkiezdarzeniajednoelementowesąjednakowoprawdopodobne,toprawdopodobieństwozdarzenia A⊂ Ω jestrówne

P AA

( ) =Ω

gdzie A oznaczaliczbęelementówzbioruA,zaśΩ –liczbęelementówzbioruΩ.

• Prawdopodobieństwowarunkowe

NiechA, BbędązdarzeniamilosowymizawartymiwΩ,przyczym P B( ) > 0 .PrawdopodobieństwemwarunkowymP A B|( )nazywamyliczbę

P A BP A B

P B|( ) =

∩( )

( )

• Twierdzenieoprawdopodobieństwiecałkowitym

Jeżelizdarzenialosowe B B Bn1 2

, , , zawartewΩspełniająwarunki:

1. B B Bn1 2

, , , sąparamirozłączne,tzn. B Bi j∩ =∅ dla

2. B B Bn1 2

∪ ∪ ∪ = Ω ,

3. P B i ni( ) > 0 1 dla ,

todlakażdegozdarzenialosowegoAzawartegowΩzachodzirówność

P A P A B P B P A B P B P A B P Bn n( ) = ( ) ⋅ ( )+ ( ) ⋅ ( )+ + ( ) ⋅ ( )| | |1 1 2 2

18

15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH

• ŚredniaarytmetycznaŚredniaarytmetycznanliczba

1,a

2,...,a

njestrówna:

aa a a

n

n=+ + +

1 2...

• ŚredniaważonaŚredniaważonanliczba

1,a

2,...,a

n,którymprzypisanododatniewagi–odpowiednio:w

1,w

2,...,w

njest

równa:

w a w a w a

w w w

n n

n

1 1 2 2

1 2

⋅ + ⋅ + + ⋅

+ + +

...

...

• ŚredniageometrycznaŚredniageometrycznannieujemnychliczba

1,a

2,...,a

njestrówna:

a a an

n

1 2⋅ ⋅ ⋅...

• MedianaMedianąuporządkowanegowkolejnościniemalejącejzbiorundanychliczbowycha a a an1 2 3 ... jest:

– dlannieparzystych: an+12

(środkowywyrazciągu)

– dlanparzystych:1

2 2 21

a an n+( )+(średniaarytmetycznaśrodkowychwyrazówciągu)

• WariancjaiodchyleniestandardoweWariancjąndanychliczbowycha

1,a

2,...,a

nośredniejarytmetycznej a jestliczba:

σ 2 1

2

2

2 2

1

2

2

2 22

=−( ) + −( ) + + −( )

=+ + +

− ( )a a a a a a

n

a a a

na

n n... ...

Odchyleniestandardoweσjestpierwiastkiemkwadratowymzwariancji.

16. GRANICA CIĄGU

• Granicasumy,różnicy,iloczynuiilorazuciągówDanesąciągi a b

n n( ) ( ) i ,określonedlan 1.

Jeżelilimn

na a

→∞= orazlim

nnb b

→∞= ,to

lim lim limn

n nn

n nn

a b a b a b a b→∞ →∞

+( ) = + −( ) = − →→∞

⋅( ) = ⋅a b a bn n

Jeżeliponadtobn ≠ 0 dlan 1orazb ≠ 0,to

limn

n

n

a

ba

b→∞=

19

• SumawyrazównieskończonegociągugeometrycznegoDanyjestnieskończonyciąggeometryczny a b

n n( ) i ,określonydlan 1,oilorazieq.

Niech Sn( )oznaczaciągsumpoczątkowychwyrazówciągu a b

n n( ) i,toznaczyciągokreślonywzorem

S a a an n= + + +

1 2... dlan 1.Jeżeli q <1,tociąg S

n( )magranicę

S Sa

qnn= =

−→∞

lim1

1

Tęgranicęnazywamysumąwszystkichwyrazówciągu a bn n

( ) i.

17. POCHODNA FUNKCJI

• Pochodnasumy,różnicy,iloczynuiilorazufunkcji

c f x c f x c R

f x g x f x g x

f x

⋅ ( ) ′ = ⋅ ′( ) ∈

( )+ ( ) ′ = ′( )+ ′( )

( )−

dla

gg x f x g x

f x g x f x g x f x g x

( ) ′ = ′( )− ′( )

( ) ⋅ ( ) ′ = ′( ) ⋅ ( )+ ( ) ⋅ ′( )

ff x

g x

f x g x f x g x

g xg x

( )

( )

′=

′( ) ⋅ ( )− ( ) ⋅ ′( )

( )

(2, gdy )) ≠ 0

• PochodneniektórychfunkcjiNiecha,b,cbędądowolnymiliczbamirzeczywistymi,ndowolnąliczbącałkowitą.

funkcja pochodnafunkcji

f x c( ) = ′( ) =f x 0

f x ax b( ) = + ′( ) =f x a

f x ax bx c( ) = + +2 ′( ) = +f x ax b2

f xa

x( ) = , x ≠ 0 ′( ) = −

f xa

x2

f x xn( ) = ′( ) = −f x nxn 1

• RównaniestycznejJeżelifunkcjafmapochodnąwpunkciex0,torównaniestycznejdowykresufunkcjifwpunkcie x f x

0 0, ( )( )

danejestwzorem

y ax b= + ,

gdziewspółczynnikkierunkowystycznejjestrównywartościpochodnejfunkcjifwpunkciex0,toznaczya f x= ′( )0 ,natomiast b f x f x x= ( )− ′( ) ⋅0 0 0 .Równaniestycznejmożemyzapisaćwpostaci

y f x x x f x= ′( ) ⋅ −( )+ ( )0 0 0

20

α sin

cos

α

βtg α

β

0 0,0000 0,0000 90

1 0,0175 0,0175 89

2 0,0349 0,0349 88

3 0,0523 0,0524 87

4 0,0698 0,0699 86

5 0,0872 0,0875 85

6 0,1045 0,1051 84

7 0,1219 0,1228 83

8 0,1392 0,1405 82

9 0,1564 0,1584 81

10 0,1736 0,1763 80

11 0,1908 0,1944 79

12 0,2079 0,2126 78

13 0,2250 0,2309 77

14 0,2419 0,2493 76

15 0,2588 0,2679 75

16 0,2756 0,2867 74

17 0,2924 0,3057 73

18 0,3090 0,3249 72

19 0,3256 0,3443 71

20 0,3420 0,3640 70

21 0,3584 0,3839 69

22 0,3746 0,4040 68

23 0,3907 0,4245 67

24 0,4067 0,4452 66

25 0,4226 0,4663 65

26 0,4384 0,4877 64

27 0,4540 0,5095 63

28 0,4695 0,5317 62

29 0,4848 0,5543 61

30 0,5000 0,5774 60

31 0,5150 0,6009 59

32 0,5299 0,6249 58

33 0,5446 0,6494 57

34 0,5592 0,6745 56

35 0,5736 0,7002 55

36 0,5878 0,7265 54

37 0,6018 0,7536 53

38 0,6157 0,7813 52

39 0,6293 0,8098 51

40 0,6428 0,8391 50

41 0,6561 0,8693 49

42 0,6691 0,9004 48

43 0,6820 0,9325 47

44 0,6947 0,9657 46

45 0,7071 1,0000 45

α sin

cos

α

βtg α

β

46 0,7193 1,0355 44

47 0,7314 1,0724 43

48 0,7431 1,1106 42

49 0,7547 1,1504 41

50 0,7660 1,1918 40

51 0,7771 1,2349 39

52 0,7880 1,2799 38

53 0,7986 1,3270 37

54 0,8090 1,3764 36

55 0,8192 1,4281 35

56 0,8290 1,4826 34

57 0,8387 1,5399 33

58 0,8480 1,6003 32

59 0,8572 1,6643 31

60 0,8660 1,7321 30

61 0,8746 1,8040 29

62 0,8829 1,8807 28

63 0,8910 1,9626 27

64 0,8988 2,0503 26

65 0,9063 2,1445 25

66 0,9135 2,2460 24

67 0,9205 2,3559 23

68 0,9272 2,4751 22

69 0,9336 2,6051 21

70 0,9397 2,7475 20

71 0,9455 2,9042 19

72 0,9511 3,0777 18

73 0,9563 3,2709 17

74 0,9613 3,4874 16

75 0,9659 3,7321 15

76 0,9703 4,0108 14

77 0,9744 4,3315 13

78 0,9781 4,7046 12

79 0,9816 5,1446 11

80 0,9848 5,6713 10

81 0,9877 6,3138 9

82 0,9903 7,1154 8

83 0,9925 8,1443 7

84 0,9945 9,5144 6

85 0,9962 11,4301 5

86 0,9976 14,3007 4

87 0,9986 19,0811 3

88 0,9994 28,6363 2

89 0,9998 57,2900 1

90 1,0000 – 0

18. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

PublikacjawspółinansowanaprzezUnięEuropejskąwramachEuropejskiegoFunduszuSpołecznego.Publikacjajestdystrybuowanabezpłatnie.

ISBN978-83-940902-1-0

OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawGdańskuul.NaStoku49,80-874Gdańsktel.(58)32-05-590,fax(58)32-05-591www.oke.gda.pl,e-mail:komisja@oke.gda.pl

OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawŁodziul.Praussa4,94-203Łódźtel.(42)63-49-133,fax(42)63-49-154www.oke.lodz.pl,e-mail:komisja@komisja.pl

OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawJaworznieul.AdamaMickiewicza4,43-600Jaworznotel.(32)78-41-615,fax(32)78-41-608www.oke.jaw.pl,e-mail:oke@oke.jaw.pl

OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawPoznaniuul.Gronowa22,61-655Poznańtel.(61)85-40-160,fax(61)85-21-441www.oke.poznan.pl,e-mail:sekretariat@oke.poznan.pl

OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawKrakowieos.Szkolne37,31-978Krakówtel.(12)68-32-101,fax(12)68-32-100www.oke.krakow.pl,e-mail:oke@oke.krakow.pl

OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawWarszawiePlacEuropejski3,00-844Warszawatel.(22)45-70-335,fax(22)45-70-345www.oke.waw.pl,e-mail:info@oke.waw.pl

OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnawŁomżyAl.Legionów9,18-400Łomżatel.(86)47-37-120,fax(86)47-36-817www.oke.lomza.pl,e-mail:sekretariat@oke.lomza.pl

OkręgowaKomisjaEgzaminacyjnaweWrocławiuul.Zielińskiego57,53-533Wrocławtel.(71)78-51-894,fax(71)78-51-866www.oke.wroc.pl,e-mail:sekretariat@oke.wroc.pl

CentralnaKomisjaEgzaminacyjnaul.JózefaLewartowskiego6,00-190Warszawa

tel.(22)53-66-500,fax(22)53-66-504www.cke.edu.pl,e-mail:ckesekr@cke.edu.pl