wartość bezwzględna

5/28/2018 Warto bezwzgl dna

1/18

NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI

WARTOSC BEZWZGL EDNA

DefinicjaWartosci a bezwzgledn aliczbyanazywamy liczbe

|a|=

a jezelia 0a jezelia < 0.

Dla osb, ktre te definicje widz a pierwszy raz wyjasnijmy,ze branie wartosci bezwzglednejma polegac na odrzuceniu znajduj acego sie przed liczb a znaku minus. Jezeli tego znakuminus nie ma, to branie wartosci bezwzglednej nic nie zmienia.

Dokadnie taki jest sens powyzszego wzoru: jezeli liczba ajest nieujemna (czyli nie maz przodu minusa), to|a| = a; jezeli natomiast liczba ajest ujemna, to|a| =a(ta operacjausuwa minus, bo dwa minusy daj a plus).

Licznie wartosci bezwzglednej sprowadza sie do ustalenia, czy liczba, z ktrej li-czymy wartosc bezwzgledn a jest ujemna, czy tez nie, np.

|2|=2| 2|=2|0|=0|1 2|= 2 1| log 1

23|= log 1

23

| sin350|=sin350| x2|= x2.

Os liczbowa

O wartosci bezwzglednej liczbyawarto jest myslec w sposb geometryczny:

Liczba |a|jest rwna odlegosci liczbyaod punktux =0 na osi liczbowej.

Odlegosc liczby 4 od pocz atku osi rwna sie | 4|=4. Dokadnie taka sama jestodlegosc od pocz atku osi liczby 4.

W pierwszej chwili powyzsza uwaga moze wydawac sie dosc banalna, ale ma ona niezwy-kle uzyteczne konsekwencje:

Materia pobrany z serwisu 1
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/


2/18


|x|= a (x= alubx =a)|x| < a a < x < a|x| a a x a

|x| > a (x > alubx< a)|x| a (x alubx a),

o ilea > 0.Powyzsze rwnowaznosci s a uzyteczne, gdyz pozwalaj a (w prostych sytuacjach) pozbyc

sie wartosci bezwzglednej. Zanim jednak przejdziemy do przykadw, wyjasnijmy sk ad onesie wziey.

Rwnosc|x| = aspeniaj a liczby x, ktre s a odlege od 0 o a. Na osi liczbowej s a dwieliczby o tej wasnosci:x = aix =a(rysunek powyzej).

Nierwnosc

|x

| < aspeniaj a liczby, ktrych odlegosc od 0 jest mniejsza niz a. Jest to

dokadnie przedzia(a, a), czyli zbir opisany nierwnosci a a < x < a.

Podobnie myslimy o sabej nierwnosci |x| a.Nierwnosc|x| > a speniaj a liczby, ktrych odlegosc od 0 jest wieksza od a. S a to

dokadnie te liczby, ktre znajduj a sie na prawo oda (czylix > a) lub na lewo od

a(czylix < a). Analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku sabej nierwnosci.

Rozwi azmy rwnanie |2x 3|=5.Mamy

|2x 3|=5 (2x 3=5 2x 3=5)Z pierwszej rwnosci otrzymujemyx =4, a z drugiejx =1.

Rozwi azmy rwnanie |2 |3 x|| =1.Mamy

|2 |3 x|| =1 (2 |3 x|=1 2 |3 x|=1).Z pierwszego rwnania mamy

|3 x|=1 (3 x=1 3 x=1),czylix =2 lubx = 4. Druga rwnosc daje

|3 x|=3 (3 x=3 3 x=3),

czylix =0 lubx = 6.



3/18


Rozwi azmy nierwnosc |3x 5| < 2.Mamy

2 < 3x 5 < 2 /+53 < 3x < 7 / : 3

1 < x < 73

.

Rozwi azaniem jest wiec przedzia(1,73 ).

Rozwi azmy nierwnosc |2 2x| 5.Liczymy

2 2x 5 2 2x 53 2x 7 2x

3

2 x 7

2 x.Rozwi azaniem jest wiec zbir(, 32 72 , +).

Odlegosc na osi

Widzielismy przed chwil a,ze myslenie o liczbie |x| w sposb geometryczny (jako odlegoscina osi) pozwala w prosty sposb rozwi azac nawet dosc skomplikowane zadania.

Id ac za ciosem, sprbujmy jeszcze odrobine wytezyc nasz a wyobraznie i ustalmy, jakajest interpretacja geometryczna liczby |a b|? Odpowiedz jest niezwykle elegancka

Liczba |a b|jest rwna odlegosci na osi liczbaib.Za uzasadnienie powyzszego stwierdzenia niech suzy ponizszy rysunek.

Rwnanie|x 3| = 5 jest spenione przez liczby x, ktre s a odlege od liczby 3 o5 jednostek. Gdy naszkicujemy os liczbow a, robi sie jasne, ze s a dwie takie liczbyx=3 5=2 orazx =3+5=8.

Rozwi azaniem nierwnosci|x 2|


4/18


Rozwi azaniem nierwnosci |x+4| 5 jest zbir liczb, ktrych odlegosc od -4 jestrwna co najmniej 5.

Jezeli wykonamy obrazek, to widac,ze jest to zbir(, 4 5 4+5, +) = (, 9 1, +).

Rozwi azmy rwnanie |x+2| + |x 3|=5.Mysl ac geometrycznie, powyzsze rwnanie oznacza: szukamy liczb x, ktrych su-ma odlegosci od -2 i od 3 jest rwna 5. Rysujemy os liczbow a i widzimy,ze s a dwiemozliwosci.

Jezelix 2, 3 to suma odlegoscixod -2 i 3 jest rwna dokadnie dugosci prze-dziau 2, 3, czyli jest rwna 5.

Jezeli natomiastx 2, 3, to odlegosc xod jednego z koncw tego przedziau

jest wieksza niz 5, wiec suma odlegosci bedzie jeszcze wieksza.Rozwi azaniem rwnania jest wiec zbir 2, 3.

Definicja i przypadki

W przypadku bardziej skomplikowanych wyrazen z wartosci a bezwzgledn a, jedynym spo-sobem na pozbycie sie jej, jest skorzystanie z definicji

|a|=

a jezelia 0

a jezelia < 0.

Schemat jest nastepuj acy: dla kazdego wyrazenia postaci|w|rozwazamy dwa przypadki,gdyw 0 (wtedy zastepujemy |w| przezw), oraz gdyw < 0 (wtedy zastepujemy |w| przezw).



5/18


Rozwi azmy rwnanie |x 2|=2x+3.Rozwazamy dwa przypadki.

Jezelix 2 to mamy rwnanie

x 2=2x+3 5= x .Rozwi azanie to nie spenia zaozeniax 2, wiec je odrzucamy.

Jezeli natomiastx < 2 to rwnanie przybiera postac

(x 2) =2x+3 1=3x x=13

.

Rozwi azanie to spenia warunekx 3 to mamy nierwnosc

x 2 (3 x) < 3 2x < 8 x < 4.W po aczeniu z warunkiemx > 3 mamy w tym przypadku rozwi azanie:(3, 4).

Jezeli 3 x 2 to mamy nierwnosc

x

2+3

x < 3

1 < 3.

W tym przypadku nierwnosc jest wiec speniona tozsamosciowo.Jezelix < 2 to mamy

(x 2) +3 x < 3 2 < 2x 1 < x.Zatem w tym przypadku mamy rozwi azanie:(1, 2).Zbieraj ac razem rozwi azania ze wszystkich przypadkw, rozwi azaniem jest zbir(1, 4).

Funkcjay =|x|W wielu przykadach wygodnie jest myslec o wartosci bezwzglednej jako ofunkcjiy =|x|.Korzystaj ace ze wzoru

y=|x|=

x jezelix 0x jezelix < 0.

bez trudu rysujemywykrestej funkcji

http://www.zadania.info/23721http://www.zadania.info/29100http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/29100http://www.zadania.info/23721http://www.zadania.info/


6/18


W podobny sposb rysujemy wykresy funkcji, w ktrych wartosc bezwzgledna wyste-puje w bardziej skomplikowanych wyrazeniach.

Sprawdzmy dla jakiej wartosci parametrumrwnanie

|x| +3= mma dwa rozwi azania.atwo narysowac wykres lewej strony: jest to wykres y =|x|przesuniety o 3 jed-nostki do gry.

Z wykresu widac,ze rwnanie ma dwa rozwi azania dlam > 3.



7/18


Raz jeszcze rozwi azmy nierwnosc |x 2| + |3 x| < 3. Tym razem posuzymy siejednak wykresem lewej strony. Rysujemy wykres funkcji

y=|x 2| + |3 x|= x

2

(3

x) =2x

5 dlax > 3

x 2+3 x=1 dla 3 x 2(x 2) +3 x=2x+5 dlax < 2.

Z wykresu nie jest trudno odczytac, ze rozwi azaniem nierwnosci jest przedzia(1, 4).

TIPS& TRICKS

1Uwazny czytelnik z pewnosci a zauwazy,ze w definicji wartosci bezwzglednej

|a|=

a jezelia 0a jezelia < 0

napisalismy sab a nierwnosc w pierwszej linijce, a ostr a w drugiej. Tak naprawde jest tylkoi wy acznie kwestia umowy i rwnie dobrze moglismy zrobic na odwrt. Saba nierwnosc

jest po to,zeby uwzglednic w tym wzorze przypadeka =0, a dlaa =0 oba wzory zwracaj ate sam a wartosc.

Powyzsza uwaga jest czesto zrdem konsternacji dla uczniw, ktrzy rozwazaj ac przy-padki w zadaniach z wartosci a bezwzgledn a nie s a pewni, w ktrym przypadku napisacsab a nierwnosc, a w ktrym ostr a. Konkluzja jest taka,ze nie ma to znaczenia.



8/18


Opuszczaj ac wartosc bezwzgledn a w wyrazeniu|1 3x|mozemy rozwazac przy-padki x > 13 i x

13 , ale rwnie dobrze mozemy wybrac inne przypadki:x

13 i

x < 13 .Jedyne o czym musimy pamietac, to ze jeden z przypadkw musi uwzgledniac

x= 13(czyli jedna z nierwnosci musi byc saba).

2

W wielu zadaniach wygodna jest (dosc oczywista) rwnowaznosc

|x|=|y| (x= y x=y).

Rozwi azmy rwnanie |x+3|=|2 2x|.Liczymy

x+3=2 2x x+3=(2 2x)3x=1 5= xx=1

3 x= 5.

3

Wzr

|a|= a jezelia 0a jezelia < 0.jest bardzo uniwersalny, bo pozwala cakowicie pousuwac wartosci bezwzgledne z kazdegowyrazenia. Obarczone jest to jednak kosztem rozwazania przypadkw.

Rozwi azmy rwnanie x|x|+sinx|x|

2 =0.Jezelix > 0 to mamy rwnanie

x

x+sinx

x

2 =01+0=0,

ktre jest sprzeczne. Jezeli natomiastx < 0 to mamy

x

x+sinx+x

2 =0

sin x=1 x= 2

+2k, kC.



9/18


4

Rozbijanie na przypadki jest uniwersaln a metod a na pozbycie sie wartosci bezwzglednych,jednak na og traktujemy j a jako ostatecznosc, bo jest uci azliwa rachunkowo. Wasnie z

tego powodu ten poradnik jest dosc dugi warto nauczyc sie roznych metod na ominieciepotrzeby rozbijania na przypadki.

Gdybysmy chcieli rozwi azac rwnanie|||x 1| 2| 3| = 4 rozbijaj ac na przy-padki, musielibysmy sie bardzo napracowac. Tymczasem rwnanie to mozna roz-wi azac dosc szybko:

||x 1| 2| 3=4 ||x 1| 2| 3=4||x 1| 2|=1 ||x 1| 2|=7.

Pierwsza rwnosc jest oczywiscie sprzeczna, wiec zostaje

|x 1| 2=7 |x 1| 2=7|x 1|=5 |x 1|=9.

Jak poprzednio, pierwsza rwnosc jest sprzeczna, wiec

x 1=9 x 1=9.Zatemx =8 lubx =10.

5Rozwazaj ac przypadki (przy opuszczaniu wartosci bezwzglednej) pamietajmy,ze otrzyma-ny wynik musimy zawsze skonfrontowac z warunkiem pod jakim znalezlismy sie w tymprzypadku.

Rozwi azmy nierwnosc |2x| x 1.Jezelix 0 to mamy

2x x 1 x 1.Otrzymana nierwnosc jest sprzeczna z warunkiemx 0, wiec nie otrzymujemy

w tym przypadku rozwi azania. Jezelix < 0 to mamy nierwnosc

2x x 1 1 3x 13 x.

Tak jak poprzednio, otrzymany warunek jest sprzeczny z zaozeniem, co oznacza,ze nierwnosc jest sprzeczna (nie spenia jej zadna liczba).

6

Pamietajmy,ze wartosc bezwzgledna jest zawsze nieujemna.



10/18


Rozwi azmy rwnanie 3|x3 5x2 +8x 4| +5|x2 4|=0.Oba skadniki z lewej strony s a nieujemne, wiec ich suma moze byc rwna 0 tylkowtedy, gdy oba s a rwne 0. Zatem musi byc

x2 4=0 x=2.

atwo sprawdzic, ze pierwszy skadnik jest niezerowy dla x =2, oraz zeruje siedlax =2. Jedynym rozwi azaniem jest wiecx = 2.

7

Wartosc bezwzgledna ma niezwykle uzyteczn a wasnosc:

|ab

|=

|a

||b

|(czyli wartosc bezwzgledna iloczynu to iloczyn wartosci bezwzglednych). W szczeglnosci

jezeliwjest dowolnym wyrazeniem, to

|aw|= a|w|, jezelia 0| w|=|w||w|2 =|w| |w|=|w2|= w2.

Drugi wzr wynika z rwnosci

| w|=|(1)w|=| 1||w|=|w|i najczesciej stosujemy go do zmiany kolejnosci skadnikw pod wartosci a bezwzgledn a:

|a b|=|b a|.

Rozwi azmy nierwnosc |2 x| |x 2| + |4x 8| < 8.Liczymy

| (

x 2)| |x 2|

+|4

(x 2

)| 0 to otrzymujemy dwa rwnania w(x) =miw(x) =m.Rozwi azmy rwnanie z parametrem: |2x+1|=3m 2.

Jezeli 3m 2 < 0 to rwnanie jest sprzeczne. Jezeli 3m 2 = 0 to rwnanie majedno rozwi azanie

2x+1=0 x=12

.

Pozostaje zatem przypadek 3m 2 > 0 (czylim > 23 ). Mamy wtedy

2x+1=3m 2 2x+1=3m+2x=

3m 3

2 x=

3m+1

2

.

http://www.zadania.info/29155http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/29155http://www.zadania.info/


15/18


13

Ciekawostka, ktra w rznych formach przewija sie w zadaniach szkolnych: punkty(x,y)paszczyzny, ktrych wsprzedne speniaj a rwnosc |x| + |y|= k, gdziek> 0 tworz a brzegkwadratu o wierzchokach(k, 0)i(0, k).

Sprawdzmy to. Jezeliy 0 to mamy rwnosc

|x| +y= k y=|x| +k.W tym przypadku szukane punkty lez a wiec na fragmencie wykresu funkcji y =

|x|

+k, ktry znajduje sie powyzej osi Ox (bo ma byc y 0). Gdy naszkicujemy te sytuacje,otrzymamy grn a powke interesuj acego nas kwadratu.

Jezeli natomiasty < 0 to mamy rwnosc

|x| y= k y=|x| k.Tym razem mamy fragment wykresu funkcjiy =|x| k, ktry znajduje sie ponizej osiOx.atwo sie przekonac,ze jest to brakuj aca, dolna powka kwadratu.

14

Czasem w zadaniach nainterpretacje geometryczn amusimy naszkicowac zbiory opisanerwnaniem w stylu x =|y|. Problem polega oczywiscie na zamienionej roli literek xi y.

Jest na to prosta metoda: myslimy owykresiefunkcji x = f(y), czyli patrzymy na ukadwsprzednych z boku (tak jakby osOxwskazywaa gre).

http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/29100http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/29100http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/


16/18


Naszkicujmy wykresyx =|y|,x =|y| +1 ix =|y+1|.

Rozwi azmy ukad rwnan

|y| x= 1(x+1)2 +y2 =8.

Drugie rwnanie opisuje okr ag o

srodku w punkcie(1, 0)i promieniu 8=222, 8. Pierwsze natomiast moze-my zapisac w postacix =|y| 1 i widzimy,ze jest to wykresx =|y| przesuniety o1 jednostke w d osiOx(czyli w lewo).

Jezeli naszkicujemy w miare dokadny obrazek, to mozna zauwazyc,ze otrzymanekrzywe przecinaj a sie w okolicach punktw(1, 2)oraz(1, 2). atwo to sprawdzic

wstawiaj ac te wsprzedne do ukadu rwnan.

15

W wiekszosci kalkulatorw oraz programw do rysowania wykresw uzywa sie funkcyj-nego zapisu wartosci bezwzglednej, tzn. zamiast |x| piszemy abs(x)(od ang.absolute value).

|x+ |x 3| 2|2x+5|| =abs(x+abs(x 3) 2abs(2x+5)).



17/18


16

Funkcja y =|x|jest najprostszym przykadem funkcji, ktra jest ci aga, ale ktra nie jestrzniczkowalna.

Dokadniej, jezeli o pochodnej w punkcie myslimy jak o wspczynniku kierunkowymstycznej do wykresu w tym punkcie, to patrz ac na wykresy =|x| widzimy,ze jest problemze zdefiniowaniem pochodnej w punkciex =0. W tym punkcie wykres ma kant i przez tonie specjalnie jest sens mwic o stycznej do wykresu. Dokadnie taki jest sens stwierdzenia,ze funkcjay =|x| nie ma pochodnej w punkciex =0.

17Niezwykle waznym uoglnieniem wartosci bezwzglednej jestmoduliczby zespolonejz =a+bizdefiniowany wzorem

|z|=

a2 +b2

Uzywamy tego samego oznaczenia, jak dla wartosci bezwzglednej, bo jezeliz= ajest liczb arzeczywist a (czylib =0) to mamy

|z|= a2 =|a|(formalnie z lewej jest modu, a z prawej wartosc bezwzgledna, ale prbujemy wasnie uza-sadnic,ze takie rozrznienie jest niepotrzebne).

Modu liczby zespolonej ma szereg wasnosci analogicznych do wasnosci wartosci bez-wzglednej, np.

|zw|=|z||w||z|2 =z2

|z|

+|w

|

|z+w

|.



18/18


18

W jednym z przykadw udowodnilismy nierwnosc |x| + |y| |x+y|. Jezeli podstawimyw tej nierwnoscix = a biy = b cto otrzymamy tzw. nierwnosc trjk ata

|a b| + |b c| |a c|.

Dlaczego nazywamy te nierwnosc nierwnosci a trjk ata? Mwilismyjuz,zeoliczbie |a b|wygodnie jest myslec jak o odlegosci (na osi) miedzy liczbamiaib. W takim razie powyzsz anierwnosc mozna przeczytac nastepuj aco: odlegosc odadobplus odlegosc odbdocjestnie mniejsza niz odlegosc odadoc. Mwi ac jeszcze inaczej, id ac zadocprzezbpokonamyco najmniej tak a droge jak id ac zadocbezposrednio.

Fajnie, a gdzie tu trjk at? Tak naprawde go nie ma (bo jestesmy na osi liczbowej). Zebyby, musimy przejsc do liczb zespolonych i wtedy liczby zaczynaj a byc punktami na pasz-

czyznie.

W takiej sytuacji mamy prawdziw a nierwnosc trjk ata: suma dwch bokw jest niemniejsza od trzeciego (nierwnosc jest saba,zeby uwzglednic przypadek, gdy punktblezy

na odcinku miedzyaic).


wartość bezwzględna

Documents