Tilastomatematiikka 1, KESÄ2010/TIMO&AIMO 2010

Tehtäväkokoelma

1.Komponentit k1,...,kn muodostavat rinnan kytketyn systeemin, jos systeemi toimii aina,kun yksikin komponentti toimii. Komponentit muodostavat sarjaan kytketyn systeemin,jos systeemi toimii vain, kun kaikki komponentit toimivat. Olkoot tiettyyn aikaväliin liit-tyvät tapahtumat

Ai =”komponentti ki toimii”.

Lause seuraavat tapahtumat tapahtumien Ai avulla:a) Rinnan kytketty systeemi toimii.b) Rinnan kytketty systeemi ei toimi.c) Sarjaan kytketty systeemi toimii.d) Sarjaan kytketty systeemi ei toimi.

2.Lehdenjakajalla on kolme epäluotettavaa herätyskelloa. Paras kello toimii keskimäärin9 kertaa 10:stä, seuraava kello 2 kertaa 3:sta ja huonoin kello vain joka toinen kerta.Henkilö yrittää parantaa tilannetta virittämällä kaikki kolme.a) Kuvaa tämän satunnaiskokeen otosavaruus.b) Laske alkeistapahtumien todennäköisyydet.c) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi kelloista soi?d) Millä todennäköisyydellä täsmälleen kaksi kelloa soi?

Vastaus:

c) 5960 ≈ 0.98

d) 2960

3.Tilastollisen tutkimuksen yhteydessä käytetään usein satunnaislukuja. Eräs tapa generoi-da satunnaislukuja on vetää umpimähkään kortti sekoitetusta 100 kortin pakasta, jonkakortit on numeroitu 1,2,. . . ,100.a) Mikä on todennäköisyys, että saatu luku on parillinen?b) Mikä on todennäköisyys, että saatu luku on kokonaisluvun neliö?c) Generoidaan samalla tavalla kymmenen satunnaislukua väliltä 1,2 . . . ,100. Millä to-dennäköisyydellä kaikki ovat parillisia?

Vastaus:

≈ 0,001

4.Geometrinen todennäköisyys: Jos n-ulotteisesta joukosta Ω⊂R valitaan piste X umpimähkääneli siten, että kaikilla pisteillä on sama valintamahdollisuus (poimintatodennäköisyys), jaA on jokin Ω osajoukko, niin

P(X ∈ A) =m(A)m(Ω

missä m on joukon n-ulotteinen mitta (pituus, pinta-ala, tilavuus jne). Määrittely perustuutodennäköisyyden frekvenssitulkintaan.

Esimerkki: Ystävättäret Leila ja Annukka ovat sopineet, että he saapuvat lounasaikaantietyn ravintolan eteen ja lounastavat yhdessä, jos tapaavat toisensa. Tapaamisehdot ovatseuraavat: Kumpikin valitsee saapumisajankohdan täysin sattumanvaraisesti klo 12.00 ja13.00 väliltä. Ensiksi saapuva odottaa ravintolan edessä tasan 10 minuuttia, jos toinen eiole paikalla. Kuinka suurella todennäköisyydellä ystävättäret tapaavat toisensa?

Vastaus:

1136

5.Voimalan generaattoreiden pyörittämiseen käytetään häiriön sattuessa kolmea diesel-moottoria 1, 2, ja 3, joiden tulisi olla vian ilmaantuessa käynnissä automaattisesti. Tyyp-piä 1 olevien moottorien käynnistymistodennäköisyys on 99%, kun taas moottorien 2 ja3 käynnistymistodennäköisyys on vain 90%.

a) Kun tarkastellaan kaikkien kolmen moottorin käynnistymistä, mikä on kyseisen satun-naiskokeen otosavaruus?

b) Laske alkeistapahtumien todennäköisyydet.

c) Laske tapahtumienA = moottori 1 käynnistyyB = moottori 2 tai 3 käynnistyyC = ainakin yksi moottori käynnistyyD = kaikki kolme käynnistyvättodennäköisyydet alkeistapahtumien todennäköisyyksien avulla.d) Lausu sanallisesti seuraavat tapahtumat ja laske niiden todennäköisyydet:C, A∪B, A∩B, A∩D.e) Tapahtumat A ja B ovat riippumattomat silloin ja vain silloin, kunP(A∪B) = P(A)P(B)Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomia? Entä A ja D?

Vastaus:

c)P(C) = 0,9999

e)

A ja B ovat riippumattomatA ja D eivät ole riippumattomia

6.Arvotaan kaksi reaalilukua x ja y väliltä [0,1] esim. laskimen satunnaislukugeneraattoril-la. Oletetaan, että jokaisella joukon S = (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 alkiolla on samamahdollisuus tulla valituksi (ei huomioida laskimen äärellistä tarkkuutta). Millä toden-näköisyydellä pisteen (x,y) etäisyys origosta on pienempi kuin 0,5?

Vastaus:

P(A)≈ 0,20

7.Olkoot A, B ja C tapahtumia otosavaruudessa S. Määritä joukko-opilliset lausekkeettapahtumillea) tarkalleen yksi tapahtumista A, B tai C tapahtuub) ainakin kaksi tapahtuuc) yksikään ei tapahdud) A tai B tapahtuu, C ei tapahdu.

8.Osoita todennäkoisyysaksioomien avulla oikeaksi laskusäännöt

P(A−B) = P(A)−P(A∩B)P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).

9.Jos heitetään kahta noppaa, mikä on todennäköisyys sille, että saadaan ainakin yksi kuu-tonen?

Vastaus:

Todennäköisyys on 1136

10.Jos valitaan toisistaan riippumattomasti n joukko ihmisiä, kuinka suuri tulee n:n ollaennen kuin on suurempi kuin 50 % todennäköisyys sille, että kahdella heistä on samasyntymäpäivä (ei välttämättä sama vuosi)?

Vastaus:

n = 23

11.Olkoot A ja B saman otosavaruuden tapahtumia. Laske P(A), P(B) ja P(A-B) = P(A∩B),kun tiedetään todennäköisyydet P(A∩B) = 1/4, P(A∪B) = 7/8 ja P(A) = 5/8.

Vastaus:

P(A) = 3/8P(B) = 3/4P(A−B) = 1/8

12.Tuotteessa voi olla materiaalivika (tapahtuma A) tai käsittelyvika (tapahtuma B). Esitäjoukkojen A ja B avulla tapahtumat "ainakin yksi vika", "molemmat viat"ja "tarkalleenyksi vika"ja määritä niiden todennäköisyydet, kun tiedetään, että 10%:ssa tuotteista onmateriaalivika, 20%:ssa käsittelyvika ja 75%:ssa ei ole kumpaakaan vikaa.

Vastaus:

”Ainakin yksi vika” = 0,25”Molemmat viat” = 0,05”Tarkalleen yksi vika” = 0,2

13.Erään suurfirman työntekijöistä 90%:lla on auto, 97%:lla kännykkä ja 2% ei omistakumpaakaan. Valitaan haastateltavaksi satunnainen työntekijä.a) Millä todennäköisyydellä tämä omistaa sekä auton että kännykän?b) Millä todennäköisyydellä tämä omistaa auton, mutta ei kännykkää?

Vastaus:

a) 0,89b) 0,01

14.Generoitaessa satunnaisesti 4-bittinen binääriluku (esim. heitetään kolikkoa 4 kertaa jaasetetaan vastaava bitti 0:ksi, jos saadaan kruuna ja 1:ksi, jos saadaan klaava). Kaikkinäin saadut binääriluvut ovat silloin yhtä todennäköisiä. Olkoot tapahtumat:A = ”luvussa parillinen määrä ykkösiä”.B = ”luvun kaksi viimeistä bittiä ykkösiä”.Laske todennäköisyydet P(A), P(B), P(A∪B), P(A∩B) ja P(A-B).

Vastaus:

P(A) = 1/2P(B) = 1/4P(A∩B) = 1/8P(A∪B) = 5/8P(A−B) = 3/8

15.Valimo toimittaa eräitä moottorin osia 20 kappaleen erissä. Erä tarkastetaan testaamal-la kolme satunnaisesti valittua osaa. Tarkastellaan sellaista 20 kappaleen erää, jossa 4viallista ja 16 kunnollista osaa. Olkoon satunnaismuuttuja X viallisten osien määrä testat-tavien kolmen osan joukossa.a) Mikä on satunnaismuuttujan X jakauma (eli sen pistetodennäköisyysfunktio)?b) Millä todennäköisyydellä testaukseen valittujen joukossa on korkeintaan yksi vialli-nen?

Vastaus:

b) P(X ≤ 1)≈ 0,91

16.Rahanväärentäjä sekoittaa 16 väärennettyä seteliä 35 oikean samanarvoisen setelin kanssaja lähtee vaihtamaan rahaa katukaupassa. Ensimmäinen asiakas vaihtaa 6 seteliä. Millätodennäköisyydellä hän saa kolme väärää seteliä?

Vastaus:

P(3 väärennettyä) = 0.2035

17.Tilastomatematiikan luennoitsijalla on varatossa 25 tenttikysymystä, joista hän päättäävalita 5 kysymystä seuraavaan tenttiin täysin satunnaisesti.

a) Kuinka monta erilaista tenttiä näin voidaan saada aikaan?b) Opettaja on päättänyt helpottaa opiskelijoiden tenttiinvalmistautumista jakamalla näillekyseisen 25 kysymyksen sarjan ratkaisuineen. Opiskelija, joka ei halua vaivata terävääpäätään pänttäämällä teoriaa, päättää selviytyä tentistä opettelemalla ulkoa 10 tärppiä.Millä todennäköisyydellä opiskelija saa tentissa k tehtävää oikein?c) Millä todennaköisyydellä hän pääsee tentistä läpi, jos läpipääsyrajana on 3 oikein?

Vastaus:

a) 55130c) 0.3012 eli noin 30%:n mahdollisuus.

18.Vuoristoalueella on eräänä päivänä annettu lumimyrskyn todennäköisyydeksi 30%.Eräästä vuoristokylästä lähtee kaksi tietä. Tie 1 suljetaan lumimyrskyn sattuessa 60%:nvarmuudella, tie 2 suljetaan 45%:n varmuudella. Millä todennäköisyydellä ainakin toinenkylästä lähtevistä teistä on auki? Oletetaan, että kummankin tien auki pitäminen riippuuvain lumimyrskystä, ei siitä onko toinen tie auki vai ei.

Vastaus:

0.919

19.Joku heittää noppaa ja peittää sen ja kertoo sinulle, että näkyvissä oleva luku on pienempikuin neljä. Kuinka todennäköisyyttä muuttaa se, että luku on parillinen?

Vastaus:

Todennäköisyys on 13

20.Todennäköisyys sille, että säännöllisesti liikennöivä lento lähtee ajallaan on P(D) = 0.83,todennäköisyys sille, että se saapuu ajallaan on P(A) = 0.92, ja todennäköisyys sille, ettäse sekä lähtee, että saapuu ajallaan on P(A∩D) = 0,78 Millä todennäköisyydellä kone

a.) saapuu ajallaan, kun se on lähtenyt ajallaan

b.) ei lähtenyt ajallaan kun se ei saapunut ajallaan

Vastaus:

a.) 0.94b.) 0.375

21.Kumpi on todennäköisempää: saada vähintään yksi kuutonen neljässä nopan heitossa vaisaada vähintään yksi kuutospari heitettäessä kahta noppaa 24 kertaa?

Vastaus:

kuutonen: 0,518kuutospari 0,491

22.Mainontafirman suorittamassa tutkimuksessa selvitettiin erään pikkukaupungin mak-sullisen paikallislehden ja ilmaisjakelulehden lukijakuntaa. Havaittiin, että väestöstä 60%luki molempia, 10% ainoastaan maksullista lehteä ja 25% ainoastaan ilmaislehteä.

Valitaan satunnainen kaupunkilainen. Olkoon tapahtumatA = "henkilö lukee maksullista lehteä"B = "henkilö lukee ilmaislehteä"

a) Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomat?b) Jos poimitaan satunnainen henkilö maksullisen lehden tilaajista, millä todennaköisyy-dellä hän lukee myos ilmaislehteä?

Vastaus:

a) 0.595≈ P(A∩B)

b) 6/7

23.Professorilla on kolme hajamielistä assistenttia Jokinen, Nieminen ja Virtanen, jotka hänon kutsunut palaveriin. Jokinen ja Nieminen unohtavat kokoukset keskimäärin joka kol-mas kerta, Virtanen noin joka toinen kerta (toisistaan riippumatta).a) Määrittele alkeistapaukset kun tarkastellaan kokoukseen osallistuvien assistenttienjoukkoa ja laske alkeistapausten todennäköisyydet.b) Millä todennäköisyydellä vähintään yksi assistentti saapuu paikalle?c) Millä todennäköisyydellä täsmälleen kaksi saapuu paikalle?

Vastaus:

b) 1718

c) 49

24.Erään elektroniikkalaitteen takuukorjaustilastojen mukaan 14 prosentissa tapauksista onkytkinvika ja 21 prosentissa on vioittunut kondensaattori. Tapauksia, joissa on molemmatviat, on 3a) Millä todennäköisyydellä korkattavassa laitteessa on kytkinvika tai vioittunut konden-saattori?b) Millä todennäköisyydellä laitteessa on vioittunut kondensaattori mutta ehjä kytkin?

c) Millä todennäköisyydellä laitteessa ei ole kumpaakaan näistä vioista?d) Jos laitteessa havaitaan kytkinvika, millä todennäköisyydellä siinä on myös vioittunutkondensaattori?e) Ovatko viat riippumattomia toisistaan?

Vastaus:

a) 0.32

b) 0.18

c) 0.68

d) 0.2143

e) Koska P(A) · P(B) = 0.14 · 0.21 = 0.0294 6= P(A ∩ B), viat eivät ole (tarkkaan ot-taen) riippumattomat.

25.Tarkastettaessa elintarvikkeita sallitaan erään tuotteen kohdalla tietty lyijy- ja kadmiumpi-toisuus erikseen, mutta tuote hylätään, jos elintarvikkeessa on sekä lyijyä että kadmiumia.Tiedetään, että satunnaisesti valitussa tuotteessa on kadmiumin esiintymistodennäköisyys0,1% ja lyijyn 0,07%, sekä molempien yhtäaikainen esiintymistodennäköisyys 0,002%.a) Ovatko kadmiumin ja lyijyn esiintyminen toisistaan riippumattomia tapahtumia?b) Oletetaan, että tarkastukseen valitussa tuotteessa havaitaan lyijyä. Millä toden-näköisyydellä tuote hyväksytään?

Vastaus:

a) 0,0000007 6= P(Cd∩Pb). Tapahtumat eivät riippumattomia.b) = 0,971 = 97,1%

26.Automaattisessa laaduntarkastuksessa robotti hyväksyy 99% tuotteista ja hylkää loput.Robotin hyväksymistä tuotteista on todellisuudessa viallisia 0,1%:a ja vastaavasti robotinhylkäämistä tuotteista on todellisuudessa ehjiä 0,5%. Millä todennäköisyydellä viallinentuote läpäisee tarkastuksen?

Vastaus:

n. 9% todennäköisyydellä

27.Väestöstä 0.1 % on erään viruksen kantajia. Laboratoriotesti viruksen toteamiseksi antaaoikean (positiivisen) tuloksen todennäköisyydellä 0.99, jos henkilö on viruksen kantaja.Jos henkilö on terve, testi antaa oikean (negatiivisen) tuloksen todennäköisyydellä 0.95.Jos satunnaisesti valittu henkilö testataan ja tulos on positiivinen, millä todennäköisyy-dellä kyseinen henkilö on todella viruksen kantaja?

Vastaus:

0.02

28.Lamppuvarastossa on sekaisin kolmea eri laatuluokkaa L1, L2 ja L3 olevia lamppuja

suhteessa 2:1:1. Todennäköisyydet sille, että lamppu kestää 3000 tuntia, ovat eri luokissavastaavasti 0.4, 0.2 ja 0.1.a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu lamppu kestää 3000 tuntia?b) Huomattiin, että lamppu ei kestänyt 3000 tuntia. Millä todennäköisyydellä se kuuluulaatuluokkaan L1?

Vastaus:

a) 0.275

b) 0.414

29.Kuolemaantuomitulle vangille annetaan seuraava mahdollisuus pelastua: Hän saa kaksisamanlaista laatikkoa sekä 10 palloa, joista on 5 mustaa ja 5 valkoista. Pallot vanki saasijoittaa laatikoihin haluamallaan tavalla (kumpikaan laatikoista ei saa olla tyhjä). Tämänjälkeen oikeudenpalvelija valitsee täysin satunnaisesti toisen laatikoista ja ottaa valitse-mastaan laatikosta pallon umpimähkään. Jos pallo on valkoinen, vanki vapautetaan; jospallo on musta, vanki teloitetaan. Kuinka pallot kannattaa sijoittaa laatikoihin?

Vastaus:

todennäköisyys vapautumiselle optimaalisella kombinaatiolla on 1318

30.Lisätehtävä (syksyn -85 yo-tehtävä, demoissa tai kotona mietittäväksi):Laatikossa on 150 korttia, joista 40 on kokonaan mustia, 60 kokonaan valkoisia ja 50toiselta puolelta mustia, toiselta puolelta valkoisia. Laatikosta umpimähkään otetun kortintoinen puoli on musta. Mikä on todennäköisyys, että toinenkin puoli on musta?

Vastaus:

Kysytty todennäköisyys on 813

31.Synteettistä kangasta tuotetaan vakiolevyisinä pakkoina. Olkoon satunnaismuuttuja Xkankaan kudontavirheiden määrä 10 metriä kohden. Kokemuksen perusteella X noudat-taa seuraavaa jakaumaa

k 0 1 2 3 4 5P(X = k) 0,33 0,37 0,20 0,07 0,02 0,01

a) Olkoon f(x) jakauman kertymäfunktio. Laske F(2), F(2,5), F(3), F(7).b) Millä todennäköisyydellä 10 metrin palassa on 2:sta 4:ään virhettä?c) Laske virheiden määrän odotusarvo.

Vastaus:

10 metrin palasessa on 2-4 virhettä todennäköisyydellä 0,29.Virheiden määrän odotusarvo on 1,11.

32.Ikiteekkari Brian Kottarainen on jälleen kerran ilmoittautunut tilastomatematiikankurssille. Brian ei kuitenkaan aio osallistua opetukseen, vaan aikoo tenttiä kurssin van-hasta muistista. Voidaan olettaa Brianin tentinläpäisytodennäköisyyden säilyvän vakionatenttikerrasta toiseen, olkoon se 15 %. Laske todennäköisyys sille, että Brian pääsee läpivasta joko neljännellä tai viidennellä yrittämällä. Mikä on Brianin odotettavissa olevaläpäisykerta?(vastaus löytyy esim. Beta-kirjasta ao. jakauman kohdalta, ei tarvitse laskea määritelmääkäyttäen)

Vastaus:

todennäköisyys 0,1704odotusarvo: ≈ 6,7

33.Heitetään noppaa niin kauan, että saadaan ensimmäinen kuutonen. Olkoon satunnais-muuttuja X tarvittavien heittojen lukumäärä. Johda X:n jakauma.

Vastaus:

X:n jakauma yleisesti on: P(X = k) = p(1− p)k−1 = 16(

56)

k−1, k = 1,2,3 . . .

34.Oletetaan, että erään pariston vikatiheys on:

f (x) =2

(x+1)3 kun x≥ 0

eli jos X=”pariston toiminta-aika ennen vikaa”, f(x) on sen tiheysfunktio. Laske jakaumankertymäfunktio. Millä todennäköisyydellä paristo kestää vioittumatta yli 5h?

Vastaus:

Kertymäfunktio:

F(x) =∫ x

−∞

f (t)dt

P(X > 5)≈ 0,028

35.Oletetaan, että erään pariston vikatiheys on:

f (x) =2

(x+1)3 kun x≥ 0

eli jos X=”pariston toiminta-aika ennen vikaa”, f(x) on sen tiheysfunktio. Laske paristonkeskimääräinen kesto eli keston odotusarvo.

Vastaus:

Keskimääräinen kesto: 1h

36.Itä-länsi suuntaisen tien eteläpuolella 12 metrin päässä tiestä kasvaa 15 metriä korkea puu.Eräänä myrskyisenä yönä tuulen suunta X noudattaa tiheysfunktion

f (x) =

1/π−|x|/π2 ,−π < x < π

0 ,muulloin

määrittelemää jakaumaa, odotusarvona suunta etelästä pohjoiseen. Kun puu kaatuu ju-uri siihen suuntaan mihin kaatumishetkellä tuulee, niin millä todennäköisyydellä osakaatuneen puun rungosta on tiellä? Määritä a siten että P(|X |< a) = 0.99.

Vastaus:

a = 0.9π

37.Itä-länsi suuntaisen tien eteläpuolella 12 metrin päässä tiestä kasvaa 15 metriä korkeapuu. Millä todennäköisyydellä puu kaatuu tielle kun kaatumissuunta on täysin sattuman-varainen (tasaisesti jakautunut satunnaismuuttuja)?

38.Satunnaismuuttujan X varianssi määritellään X :n ja X :n odotusarvon erotuksen neliönodotusarvona, eli kaavalla D2(X) = E((X − u)2). Johda varianssille vaihtoehtoinenlaskentakaava D2(X) = E(X2)− (E(X))2. (Voit olettaa X :n jatkuvaksi sat. muuttujaksi).

39.Olkoon X tasajakautunut sat. muuttuja välillä (0,1) eli tiheysfunktio

f (x) =

1 ,0 < x < 10 ,muulloin

ja Y = Xn. Laske odotusarvot ja varianssit X :lle ja Y :lle, sekä selitä näiden perusteellasanallisesti miten Y :n jakauma muuttuu kun parametrin n arvo kasvaa.

40.a) Olkoon a ∈R vakio ja X satunnaismuuttuja. Perustele sanallisesti tai osoita matemaat-tisesti miksi D2(X−a) = D2(X).

b) Olkoon X1,X2, . . . ,Xn riippumattomia satunnaismuuttujia joille D2(X1) = D2(X2) =· · · = D2(Xn). Miten vektori (b1, . . . ,bn) ∈ Rn täytyisi valita jotta satunnaismuuttujalleY = b1X1 +b2X2 + · · ·+bnXn pätisi D2(Y ) = D2(X1) = · · ·= D2(Xn)?

41.Mikrotietokoneiden maahantuoja on ilmoittanut, että erään suositun merkin viimeisessävalmistuserässä n. 20%:ssa koneista on tietty valmistusvika ja vialliset koneet ovat jakau-tuneet ostajille täysin sattumanvaraisesti. TITE:n mikroluokkaan on tulossa 12kpl ky-seisiä koneita.a) Olkoon satunnaismuuttujua X viallisten koneiden lukumäärä tuilattujen 12:n joukossa.Mikä on X:n jakauma?b) Mikä on viallisten määrän odotusarvo ja hajonta?c) Millä todennäköisyydellä viallisia koneita on korkeintaan puolet?

Vastaus:

a) X:n Jakauma = X∼Bin(12, 0.2)b) Odotusarvo EX = 2.4Hajonta DX = 1.4c) P(X ≤ 6) = 0.9961

42.Oletetaan, että USA:n erään presidenttiehdokkaan kannattajia olisi todellisuudessa 45%.a) Jos valitaan satunnaisesti 100 haastateltavaa, niin millä todennäköisyydellä vähintäänpuolet heistä on kyseisen ehdokkaan kannattajia? Laske vastaus käyttäen normaalijakauma-approksimaatiota ja jatkuvuuskorjausta. (Tarkalla binomi-jakaumalla tulokseksi saadaannoin 0.1827.)b) Jos valitaan satunnaisesti 1000 haastateltavaa, niin millä todennäköisyydellä vähintäänpuolet heistä on kyseisen ehdokkaan kannattajia? Laske vastaus käyttäen normaalijakauma-approksimaatiota ja jatkuvuuskorjausta.

Vastaus:

a) 0.1841b) 0.00082

43.Jalokivikauppiaalla on neljä samanlaista arvokasta timanttia. Hänellä on 7 asiakasta,joista kunkin arvellaan haluavan ostaa timantin 30% todennäköisyydellä. Kaupaksi men-neestä timantista kauppias saa 1000 euron myyntivoiton.

a)Millä todennäköisyydellä korkeintaan kaksi asiakkaista haluaa ostaa timantin?

b)Millä todennäköisyydellä kaikki timantit menevät kaupaksi?

c)Laske kauppiaan saaman myyntivoiton odotusarvo. Huom. myytyjen timanttien jakau-ma ei ole sama kuin ostohalukkaiden jakauma.

Vastaus:

A. 0,6471B. 0,126C. 2067,2 euroa

44.Kuljetettaessa erästä tavaraa keskimäärin 2% tavaroista rikkoutuu. Laske, millä toden-näköisyydellä 80 kappaleesta korkeintaan kaksi rikkoutuu kuljetuksessa, käyttäen

A. binomijakaumaa. Ilmoita tulos neljän desimaalin tarkkuudella.B. Poisson-jakauma-approksimaatiota.

Vastaus:

0,7844

45.Lomaosakkeita välittävä firma on lähettänyt 1000 talouteen kutsun esittelyyn, jossa ontarjolla 30 lomaosaketta. Vanhan kokemuksen perusteella tiedetään, että keskimäärin 2%kutsun saaneista tulee ostamaan lomaosakkeen. Millä todennäköisyydellä kaikki osakkeetmenevät kaupaksi?

Vastaus:

P = 0.0119

46.Ensiapuasemalla on havaittu, että tiettyä kipulääkettä tarvitaan keskimäärin 1,6 annostapäivässä.

a) Kuinka suuri varasto lääkettä tulisi olla, jotta se riittäisi 99%:n varmuudella yhdeksipäiväksi?

b) Kuinka suuri varasto lääkettä tulisi olla, jotta se riittäisi 99%:n varmuudella kolmeksipäiväksi?

c) Millä todennäköisyydellä 5 päivässä kuluu yli 6 annosta?

Vastaus:

a) v≥ 5 b) v≥ 11 c) 0,687

47.Ydinvoimalassa sattuu havaittavissa oleva radioaktiivinen päästö keskimäärin kaksi ker-taa kuussa. Päästöjen lukumäärän aikayksikössä voidaan katsoa noudattavan Poisson-jakaumaa.

a) Millä todennäköisyydellä kuukauden aikana sattuu vähintään neljä päästöä?b) Millä todennäköisyydellä ensimmäinen päästö havaitaan aikaisintaan kolmen kuukau-den kuluttua?c) Johda ensimmäiseen päästöhavaintoon kuluvan ajan jakauma.d) Kuinka kauan ensimmäistä havaintoa saadaan keskimäärin odottaa?

Vastaus:

a) P(X ≥ 4) = 0.143b) P(X3 = 0) = 0.0025c) T ∼ Exp(2)d) ET = 1/2kk

48.Eräällä alueella sattuu tietyn suuruusluokan maanjäristys keskimäärin kerran vuodessa.Vuodenajalla ei ole vaikutusta. Alueen turistikausi kestää neljä kuukautta, kesäkuustasyyskuuhun. Laske todennäköisyys, että turistikaudella sattuu vähintään yksi tällainenmaanjäristys. Kuinka todennäköistä on, että kyseisellä kaudella sattuisi vähintään kolmemaanjäristystä?

Vastaus:

0,0048

49.Puutaloelementtejä valmistavassa verstaassa syntyvien laudanpätkien eli hukkapalojenpituus noudattaa likimain jakaumaa, jonka tiheysfunktio onf (x) = 3

8(x−2)2, kun 0≤ x≤ 2 (metriä).a) Laske pituuden odotusarvo.b) Määrää jakauman kertymäfunktio. Kuinka suuri osuus paloista on yli metrin mittaisia?

Vastaus:

a) Odotusarvo on 0,5 mb) Paloista on yli metrin mittiaisia 12,5 %.

50.Suuren yrityksen puhelinkeskukseen saapuu keskimäärin 0,4 puhelua minuutissa.a) Millä todennäköisyydellä 3 minuutissa saapuu korkeintaan 5 puhelua.b) Puhelinkeskusta hoitaa yksi henkilö. Kuinka pitkäksi aikaa hän voi poistua, jotta to-dennäköisyys sille, että hänen poissaollessaan ei tule puheluita, olisi vähintään 0,5?Ohje: käytä satunnaismuuttujaa Xt = saapuvien puheluiden lukumäärä t minuutissa.

Vastaus:

a) 3 minuutissa saapuu korkeintaan 5 puhelua todennäköisyydellä 0,9985b) keskuksen hoitaja voi poistua 1 minuutiksi ja 44 sekunniksi.

51.Oletetaan, että asiakkaan palveluaika pankin tiskillä on eksponentiaalijakautunut, keskimääräisenäkestona 6 minuuttia.a) Kuinka suuri osa asiakkaista selviytyy palvelusta alle 2 minuutissa?b) Odotat vuoroasi ja olet havainnut edelläsi olevan asiakkaan viettäneen tiskillä jo 8minuuttia.Kuinka suurella todennäköisyydellä tämän asiakkaan palvelu päättyy kahden minuutinkuluessa?

Vastaus:

a) palvelusta selviää alle 2 minuutissa 28,3 % asiakkaista.b) 28,3 % todennäköisyydellä.

52.

Tiedetään, että keskimäärin 0.003 % vakuutetuista miehistä kuolee joka vuosi tietynlaises-sa onnettomuudessa. Mikä on todennäköisyys, että vakuutusyhtiö joutuu suorittamaankorvauksen kolmesta tai useammasta ko. onnettomuudessa vuoden aikana kuolleestamiehestä, jos vakuutettuja on 20 000?

Vastaus:

P = 0.023

53.Tiedonsiirtolinjalla on havaittu lähetetyn merkin vaihtuvan matkalla todennäköisyydellä0.005.a) Millä todennäköisyydellä 50 merkkiä sisältävä jono siirtyy virheettömästi?b) Millä todennäköisyydellä 1000 merkin siirrossa on 5-10 virhettä?

Vastaus:

a) 50 merkkiä sisältävä jono siirtyy virheettömästi todennäköisyydellä 0.778b) 1000 merkin siirrossa on 5-10 virhettä todennäköisyydellä 0,546

54.Osoita, että jos X ∼ Exp(λ), niin P(X > t +h | X ≥ t) = P(X > h).

55.Valokuvausliike lupaa kuvat ilmaiseksi, elleivät ne ole valmiit 24 tunissa. Keskimääräinenvalmistusaika (eli valmistusajan odotusarvo) on 15 h ja sen hajonta 3 h 20 min. Kuinkamonta prosenttia tilauksista liike joutuu antamaan ilmaiseksi, kun valmistusajan jakaumaon normaali?

Vastaus:

0.35%

56.Valmistaja ilmoittaa, että loistelampun palamisaika on 1500h. Oletetaan, että palamisaikaon exponentiaalijakautunut.

a) Kuinka suuri osa lampuista palaa vähintään 2000 h?

b) Jos lamppu on palanut jo 2000 h, millä todennäköisyydellä se palaa vielä 1000h?

Vastaus:

0,513

57.Automaattivaa’an mittausvirheen odotusarvo on −1.8 g ja keskihajonta 2.6 g. Mit-tausvirhe noudattaa normaalijakaumaa. Millä todennäköisyydellä mittaustulos poikkeaa

todellisesta arvosta yli 5 g?

Vastaus:

0.11

58.Arvioidaan, että altaassa kasvatettujen kirjolohien paino X noudattaa normaalijakaumaaparametrein µ = 1.4 kg ja σ = 0.3 kg. Myyntiin viedään kirjolohet, joiden paino on vähin-tään m kg. Mikä on painoraja m jos tiedetään, että 9% kirjolohista ei kelpaa myyntiin?

Vastaus:

1.0 kg

59.Tehdas valmistaa sähkövastuksia kytkemällä sarjaan kaksi osavastusta. Toinen ote-taan valmiste-erästä, jonka jakauma on N(150, 32) ja toinen erästä, jonka jakauma onN(200, 42), yksikkönä Ω. Tuote katsotaan kelvolliseksi, jos sen kokonaisvastus on välillä[340,360] Ω, muulloin vialliseksi. Montako viallista tuotetta on odotettavissa 200 kap-paleen näyte-erässä?

Vastaus:

9 kpl

60.Eräs yritysjohtaja on lähdössä lomailemaan saareen mukanaan matkapuhelin ja 30akkua. Akun keskimääräinen toiminta-aika on 6 tuntia ja keskihajonta 4 tuntia. LAskenormaalijakauma-approksimaation avulla todennäköisyys, että akut riittävät vähintään160 tunniksi.

Vastaus:

0.82

61.Erään sähkölampun kestoaika noudattaa normaalijakaumaa. Keskimääräinen kestoaikaon 1000 tuntia ja keskihajonta 200 tuntia. Olohuoneen uuteen kattovalaisimeen asen-netaan neljä tälläistä lamppua. Jos lamput palavat keskimäärin 5 tuntia vuorokaudessa,millä todennäköisyydellä puoleen vuoteen (=180 vrk) ei tarvitse vaihtaa yhtään lamppua?

Vastaus:

≈ 0.23

62.

Oletetaan että erään huoltoaseman päivittäinen myynti X (1000$) noudattaa Gamma -jakaumaa parametrein k = 5 jaλ = 0,9. Jakauman odotusarvo on k/λ ja varianssi k/λ2.Millä todennäköisyydellä yhden vuoden (365 vrk) yhteenlaskettu myynti on alle 2,1miljoonaa $, jos päivittäiset myynnit ovat toisistaan riippumattomia. (Ohje: keskeinenraja-arvolause -> normaalijakauma-approksimaatio)

Vastaus:

0,9357

63.Pakkauskone pakkaa karamelleja rasioihin. Rasian paino on normaalijakautunut satun-naismuuttuja, jonka odotusarvo on 25,5 g ja hajonta 0,4 g. Rasian (=kuoren) paino onmyös normaalijakautunut, odotusarvona 4,0 g ja 0,2 g. Rasiat pakataan lisäksi 10 kpllaatikoihin, joiden paino on normaalijakautunut odotusarvona 30 g ja hajontana 0,5 g.Kuinka suuri osa täytetyistä laatikoista painaa enemmän kuin 327 g?

Vastaus:

9,2% painaa yli 327 g

64.Hehkulamppujen kestoikä noudattaa normaalijakaumaa, odotusarvona µ= 2500h.Keskihajonnanσ suuruuteen (=lamppujen tasalaatuisuuteen) voidaan vaikuttaa valmistusprosessiasäätämällä. Koska σ : n pienentäminen aiheuttaa kustannuksia, valitaan σ siten, ettäsillä on suurin mahdollinen asetetut vaatimukset täyttävä arvo. Mikä on suurin arvo, kunlaatuvaatimus on että vähintään 90% lampuista kestää yli 2200 tuntia?

Vastaus:

234 h

65.Kopiokoneiden huoltomiehen kirjanpidon mukaan 10 prosentissa laitteista joudutaanuusimaan yksi laakeri, 4 prosentissa tapauksia 2 laakeria ja 1 prosentissa 3 laakeria. En-nustettu huolto-ohjelma ensi vuodelle on 500 konetta.

a)Millä todennäköisyydellä laakereita kuluu vähintään 80 kappaletta?

b)Minkä rajan alle tarve jää todennäköisyydellä 0,99?

Vastaus:

134 kpl

66.Tehdas valmistaa elektronisi lämpömittareita, joiden pariston kestoikä on normaalijakau-tunut siten, että odotusarvo on 700 vuorokautta ja hajonta 160 vuorokautta. Tehdasvaihtaa paristot, jotka kestävät alle vuoden (365 vrk). Kuinka monta prosenttia paristoistajoudutaan vaihtamaan?

Vastaus:

Paristoista joudutaan vaihtamaan 1.83%

67.Oletetaan, että mittausvirhe X on normaalijakautunut, X ∼ N(0,22).Kuinka suurella todennäköisyydellä mittausvirhe on itseisarvoltaan yli 2,5?

Vastaus:

0,2112

68.Estimoidaan normaalijakautuneen satunnaismuuttujan X odotusarvoa µ tilanteessa, jos-sa hajonta σ tunnetaan. Kuinka suuri otos tarvittaisiin, jotta odotusarvon 99%:n luotta-musvälin pituus olisi alle a) σ, b) 0,1σ?

Vastaus:

a) 27 b) 2654

69.Olkoon X ∼ N(µ,4). Kuinka suuri otoskoon on vähintään oltava, jotta otoskeskiarvopoikkeaisi odotusarvosta korkeintaan 0.1 yksikköä 99%:n varmuudella?

Vastaus:

Otoskoko vähintään n = 2654

70.Kuinka suuri otoksen on oltava, jotta normaalijakautuneen satunnaismuuttujan odotusar-von µ 99% :n luottamusvälin pituus olisiA. alle σ, kun hajonta on tunnettu ja käytetään normaalijakaumaa?B. alle s, kun hajonta on tuntematon ja käytetään t-jakaumaa

Vastaus:

Otoskoon oltava ≥ 107

71.Aineen sulamispisteen määrittämiseksi on tehty 10 mittausta:115.8 121.0 118.2 117.7 115.4116.1 117.4 119.5 119.1 116.3

a) Määrää sulamispisteen odotusarvon ja mittauksen varianssin piste-estimaatit.

b) Aikaisempien mittaussarjojen perusteella tiedetään mittauksen hajonnan olevanσ = 2.0.Muodosta sulamispisteen 95%:n luottamusväli.

c) Päätät kerätä lisää havaintoja. Suoritettuasi 50 määritystä saat keskiarvoksi x = 117.37.Mikä on nyt 95%:n luottamusväli?

d) Miten b-kohdan tulos muuttuisi, jos hajonta σ olisi tuntematon?

72.Mediatutkimuksessa poimittiin suomalaisista 150 hengen otos ja kysyttiin mm. kuinkamoni katsoi säännöllisesti erästä uutta televisiosarjaa. 57 henkeä ilmoitti katsovansa ky-seistä sarjaa. Laske tämän perusteella 95%:n luottamusväli katsojien suhteelliselle osu-udelle koko väestössä.

Vastaus:

38±8%

73.Valuraudan hiilipitoisuudeksi saatiin 6 näytteessä seuraavat arvot (%)3,4 3,6 3,4 4,0 3,7 4,2Oletetaan hiilipitoisuuden määritystulos normaalijakautuneeksi. A. laske hiilipitoisuudenotoskeskiarvo, -mediaani ja -varianssi. B. määritä valuraudan keskimäärisen hiilipitoisu-uden (ts. odotusarvon) 95%:n luottamusväli

Vastaus:

µ = 3,72±0,34

74.Olkoon X = sahatun laudan pituus (m), joka noudattaa jakaumaa N(µ,σ2), missä hajontaon 0.02 m. Testataan hypoteeseja

H0 : µ = 2.0H1 : µ > 2.0

Oletetaan, että otoskeskiarvoksi saadaan x = 2.015a) Laske tuloksen P-arvo, jos otoskoko on n=10.b) Laske tuloksen P-arvo, jos otoskoko on n=20.c) Tarkastellaan tilannetta otoskoon ollessa n=20. Kuinka tuloksen x = 2.015 P-arvomuuttuu, jos pituuden hajonta pienenee? Perustele.

75.Valmistetaan laakerikuulia, joiden halkaisijan tulisi olla mahdollisimman tarkkaan 5mm. Halkaisija X on normaalijakautunut odotusarvona säätöarvo µ ja keskihajontanaσ = 0,2mm. Säätöarvo tarkastetaan mittaamalla n=20 satunnaisesti valitun laakerikuulanhalkaisija ja testaamalla riskitasolla α = 0,01 hypoteeseja.

H0 : µ = 5H1 : µ 6= 5

Suorita testaus sekä taulukkoarvoon vertaamalla että P-arvoa käyttäen, kun tarkaste-tun otoksen keskiarvoksi saatiin A. x = 5,06B. x = 4,87

Kuinka kerrot testin tuloksen, jos kiinteää riskitasoa ei ole annettu?Onko tässä tilanteessa perusteltua käyttää kiinteää riskitasoa?

Vastaus:

eli Säätöarvo poikkeaa 5 mm:stä merkitsevyystasolla P = 0,0036

76.Kemiallisen prosessin vavonnassa tarvitaan liuoksen pH:n mittaamista. Prosessin toimin-nan kannalta oikea pH-arvo on 7,90. Liian suuret poikkeamat kumpaankin suuntaan ovathaitallisia. Onko pH pysynyt halutussa arvossa, jos kahdeksasta mittauksesta saadaankeskiarvoksi 7,85 ja keskihajonnaksi 0,04? Testaa hypoteeseja H0:µ = 7,90 H1:µ 6= 7,90Käyttäen riskitasoa α = 0,05

Vastaus:

Ei ole.

77.Tietyn tyyppisen sementin puristuslujuuden tulisi olla 5000 kg/cm2. Puristuslujuuden ha-jonnan tiedetään olevan σ = 120kg/m2. Testataan hypoteeseja H0 : µ = 5000 H1 : 6= 5000Mitataan puristuslujuus 50:stä näytteestä ja H0 päätetään hylätä, jos otoskeskiarvo x <4970.

a) Mikä on kyseisen testin riskitaso?

b) Mikä on hyväksymisvirheen todennäköisyys β ja testin voimakkuus, jos todellinenodotusarvo µ = 4960

Vastaus:

a) 0,0348 b) 0,2776

78.Vedenpuhdistuslaitteen suodatin joudutaan vaihtamaan määrävälein epäpuhtauksien ai-heuttaman tukkeutumisen vuoksi. Seuraavassa on pieni otos kalkkipitoisuuden x ja toim-intaiän y arvoista:

x(%) y(h)0.5 23.01.0 25.01.2 15.01.5 20.01.8 10.01.9 15.0

a) Laske regressiomallin Y = β0+β1x+ε parametrit, myös jäännösvarianssin, estimaatit.Laske kertoimien b0 ja b1 hajontaestimaatit.b) Testaa riskitasolla α = 0.05 hypoteesitH0 : β1 = 0 (eli kalkkipitoisuudella ei vaikutusta)H1 : β1 < 0 (eli kalkkipitoisuus lyhentää toimintaikää)(Testisuureen arvo on −2.28)

Vastaus:

a)SST = 160SSD = 90.35294120SSE = 69.64705880

σ2 = s2 ≈ 17.41

s(b1)≈ 3.54s(b0)≈ 4.96

b) Johtopäätös: H0 hylätään, joten kalkkipitoisuus lyhentää toimintaikää.

79.Mikä on mallin antama ennuste suodattimen toimintaiälle, jos kalkkipitoisuus on 2%?Laske ennusteen 95%:n varmuusrajat. Laske myös keskimääräisen toimintaiän (odotusar-von) 95%:n varmuusrajat.

Vastaus:

y = 12.49±14.20µ = 12.49±8.22

80.Pikasuutari teki tilastoa asiakkaan palvelemiseen kuluvasta ajasta. 80 asiakkaan otokses-sa ajat jakautuivat seuraavasti:

min: 0-2 2-4 4-6 6-8 ≥ 8lkm: 35 23 13 5 4

Tutki χ2-yhteensopivuustestin avulla voidaanko palveluajan katsoa noudattavan ekspo-nentiaalijakaumaa. Jakauman parametriksi on estimoitu λ = 1/

√x = 1/3. Luokkatoden-

näköisyydet eksponentiaalijakaumalle voidaan laskea kaavalla P(a ≤ X ≤ b) = F(b)−F(a) = e−λa - e−λb.

Vastaus:

Testisuure χ2 = 2.03Palveluajan voidaan katsoa noudattavan eksponentiaalijakaumaa.

81.Metsäalueesta satunnaisesti valitulla lohkolla kasvoi 56 koivua, 70 kuusta ja 75 mäntyä.Onko aineisto sopusoinnussa sen hypoteesin kanssa, että metsäalueella kasvaa mainittujapuulajeja kaikkia yhtä paljon? (Testisuureen arvo 2.9)

82.Neljä eri konetta valmistavat samaa tuotetta. Kunkin koneen tuotannosta otettiin 200kappaleen näyte ja saatiin viallisten lukumääriksi 2, 9, 10 ja 3. Testaa 5%:n merkitsevyys-tasolla, poikkeavatko koneiden tuottamien virhekappaleiden osuudet toisistaan.

Vastaus:

On eroja, eli poikkeavat.

83.Satunnaisesti valittuja henkilöitä pyydettiin maistamaan kolmea margariinia A, B ja Cja kertomaan, mitä he pitivät parhaana. Kolmessa eri ikäryhmässä valinnat jakautuivatseuraavasti (taulukossa henkilöiden lukumäärät):

A B Calle 25-vuotiaat 21 9 1125-50-vuotiaat 12 8 8yli 50-vuotiaat 7 9 15

Poikkeavatko eri ryhmien mieltymykset toisistaan?

Vastaus:

Mieltymyksissä EI merkitseviä eroja