1 röntgenographische eigenspannungsanalyse definition der normalspannung ( ), der scherspannung ( ...
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Röntgenographische Eigenspannungsanalyse
Definition der Normalspannung (), der Scherspannung () und des Dehnungsellipsoids mit den Hauptdehnungen 1, 2, 3
2
Röntgenographische Eigenspannungsanalyse
Mit Hilfe von Beugungsmethoden können nur elastische Eigenspannungen gemessen werden.
dd
3
Spannung und Dehnung in WerkstoffenVerallgemeinertes Hookesches Gesetz:
xyzxyzzyxyx
xyzxyzzyxzx
xyzxyzzyxyz
xyzxyzzyxz
xyzxyzzyxy
xyzxyzzyxx
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
165646362616
165545352515
164544342414
163534332313
162524232212
161514131211
665646362616
565545352515
464544342414
363534332313
262524232212
161514131211
cccccccccccccccccccccccccccccccccccc
C
C
�
�
xyzxyzzyxyx
xyzxyzzyxzx
xyzxyzzyxyz
xyzxyzzyxz
xyzxyzzyxy
xyzxyzzyxx
ssssss
ssssss
ssssss
ssssss
ssssss
ssssss
165646362616
165545352515
164544342414
163534332313
162524232212
161514131211
665646362616
565545352515
464544342414
363534332313
262524232212
161514131211
ssssssssssssssssssssssssssssssssssss
S
S
�
�
4
Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie
1211
1211
1211
111212
121112
121211
200000020000002000000000000
ssss
sssssssssss
S�
Zwei unabhängige elastische Konstanten: s11, s12 oder E, Isotrope Werkstoffe („ohne Kristallsymmetrie“)
Gss
GE
Ess
Gsss
Ess
Es
211
2
1;12
;1
1211
1211121144
111211
665646362616
565545352515
464544342414
363534332313
262524232212
161514131211
ssssssssssssssssssssssssssssssssssss
S�Triklines Kristallsystem, alle Laue Klassen
21 Konstanten1:;1: 21 SC
5
Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie
66362616
5545
4544
36332313
26232212
16131211
0000000000
000000
ssssssss
ssssssssssss
S�Monoklines Kristallsystem, alle Laue Klassen
13 Konstanten
66
55
44
332313
232212
131211
000000000000000000000000
ss
ssssssssss
S�
Orthorhombisches Kristallsystem, alle Laue Klassen 9 Konstanten
mCCmC hs 2:;2:;: 22
mmmDDmmC hv :;222:;2: 222
6
Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie
12111425
14442525
25441414
331313
2514131112
2514131211
222000200200
00000
ssssssssssss
sssssssssssss
S�
Trigonale Lauegruppen 3 und -3 7 Konstanten
3:;3: 33 iCC
121114
1444
441414
331313
14131112
14131211
22000020000
0000000000
sssss
ssssss
ssssssss
S�
Trigonale Kristallsysteme mit 3 und m bzw. 2 6 Konstanten
mDDmC dv 3:;32:;3: 333
7
Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie
1211
44
44
331313
131112
131211
2000000000000000000000000
sss
ssssssssss
S�
Hexagonale Kristallsysteme 5 Konstanten
mmmDDmmCmCCmDC
hv
hhh
6:;622:;6:;6:;6:;26:;6:
666
6633
8
Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie
661616
44
44
331313
16131112
16131211
0000000000000000
0000
ssss
ssss
ssssssss
S�
Tetragonale Kristallsysteme mit niedriger Symmetrie 7 Konstanten
mCSC h 4:;4:;4: 444
66
44
44
331313
131112
131211
000000000000000000000000
ss
ssssssssss
S�
Tetragonale Kristallsysteme mit hoher Symmetrie 6 Konstanten
mmmDDmDmmC
h
dv
4:;422:;24:;4:
44
24
9
Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie
44
44
44
111212
121112
121211
000000000000000000000000
ss
ssssssssss
S�
Kubische Kristallsysteme 3 Konstanten
mmOOmTmTT
h
dh
3:;432:;34:;3:;23:
10
Spannung und Dehnung in isotropen Werkstoffen
zyxz
zyxy
zyxx
sss
sss
sss
111212
121112
121211
22222 cossinsinsincos zyx
2
121122
121122
1211 cossinsinsincos yxzzxyzyx ssssss
Biaxiale Eigenspannung (z=0):
2
1222
121122
1211 cossinsinsincos yxxyyx sssss
Isotrope „in-plane“ Eigenspannung (x=y=):
12
21211
212
21211
212
221211
221211
2sinsin12sin
cos2sinsinsincos
ssssss
sssss
11
Spannung und Dehnung in isotropen Werkstoffen
2sin1
2sin1
2sin
2
0
0
2
0
0
122
12110
0
Eddd
EEddd
sssddd
Spezielle Richtung 0 (d = d0):
12sin
2sin10
02
02
0
00Ed
dd
sin2
= (d-d0)/d0
Zugspannung
Druckspannung
2/(+1)
0
Die sin2-Methode
12
Spannung und Dehnung in kubischen isotropen Werkstoffen
12sin1
2sin1
20
2
0
0
0
0
222
Eaa
Eaaa
dddkhda
sin2
aZugspannung
Druckspannung
2/(+1)
a0
spannungsfreier Gitterparameter
E isotrope Eigenspannung erster Art
Die sin2-Methode
13
Isotrope Werkstoffe mit Scherspannung
2sinsin2sincos
cossinsinsin2sinsincos
2313
233
2222
212
2211
0
0
ddd
33
2322
131211
000
ij
2sinsincos11
sinsin2sincos1
231333221133
233
22212
211
0
0
EEE
Eddd
z
y
x
33
22
11
yz
xz
xy
23
13
12
14
Die sin2-MethodeZweiachsige Eigenspannung
Isotrope Eigenspannung in der Fläche der Probe (kubisches Material)
22212
211
22112
0
0
332313
sin2sincos
sin1
0
EEddd
sin2
0 1
a
Eaa
Eaa
aEE
aa
11;21
2sin10;
0||0
02
0
122211
a
a ||
a0
2
ns
15
Senkrechte Komponenten der Eigenspannung
2sinsincos11
sinsin2sincos1
231333221133
233
22212
211
0
0
EEE
Eddd
2sinsincos12313
0
0
Eddd
Abweichung von der linearen Abhängigkeit d bzw. a vs. sin2
Ursachen:
Scherspannungen 13 oder 23
Gradient der Eigenspannung (11, 22 oder 33)
16
Einkristalle
Kubische Einkristalle (3 elastische Konstanten):
1211
12
32
32
22
22
12
4421
121144
12
32
32
22
22
12
4421
121111
2
coscoscoscoscoscos41
coscoscoscoscoscos21
ssS
ssssG
ssssE
E … Young-Modul; G … Schubmodul; S … lineare Kompression
Hexagonale Einkristalle (5 elastische Konstanten):
1312331132
131211
32
32
4413331132
4421
121144
32
32
441334
332
32
11
cos
cos1cos22cos11
cos1cos2coscos11
sssssssS
ssssssssG
ssssE
3
1
2
Kubisch: 1, 2, 3
Hexagonal: 3 Rotationssymmetrie (6-Achse)
17
Polykristalline WerkstoffeGleiche Kristallgitterverzerrung in allen Kristalliten (unterschiedliche
Eigenspannungen)
Voigt-Modell
Gleiche Eigenspannung in allen Kristalliten (unterschiedliche Kristallgitterverzerrungen)
Reuß-Modell
4421
12110
440
44121122
1
440
4412121101
5651
56522
ssss
sssss
Es
sssssss
Es
Keine Abhängigkeit von der kristallographischen Richtung (hkl)
2222
222222
01211221
0121
31
kh
hkkh
sssE
s
ssE
s
Lineare Abhängigkeit der röntgenographischen Elastizitätskonstanten von dem kristallographischen Parameter
18
Eigenspannungen 1.Art in polykristallinen Werkstoffen
Elastizitätskonstanten von -Fe: Kohlenstoffgehalt unter 0,2%
Strukturmodelle: Voigt – Kröner – Reuß – Vook & Witt
19
Anisotropie der mechanischen Eigenschaften in polykristallinen Werkstoffen
Anisotropie der Verzerrung des kubischen Kristallgitters
Reuss, Kröner
A. Reuss, Z. angew. Math. Mech. 9 (1929) 49.E. Kröner, Z. Physik, 151 (1958) 504.
Vook und WittR.W. Vook and F. Witt, J. Appl. Phys. 36 (1965) 2169.
2222
222222
1;
khhkkh
dcE
baE hkhk
20
Kristallanisotropie in kubischen WerkstoffenAnisotropie der Gitterverzerrung
21
Mathematische Beschreibung der Kristallanisotropie der Gitterverzerrung
2222
222222
1;
khhkkh
dcE
baE hkhk
12sin1
12sin1
20
20
EEaa
Eaa