1 probabilitas - · pdf filebahan ajar statistika matematika i 1 1 probabilitas pengertian...

Bahan Ajar Statistika Matematika I 1

1 PROBABILITAS

Pengertian Pada awal perkuliahan, sebelum menjelaskan probabilitas, dibahas sepintas

sebagai pengantar tentang eksperimen, titik sampel, ruang sampel, dan

peristiwa, serta variabel random secara umum. Dasar semua ini, perlu pula

diingat kembali teori himpunan. Selanjutnya, dijelaskan materi probabilitas.

Definisi 1.1: Jika A suatu peristiwa yang bersesuain dengan suatu eksperimen X

dan ruang sample berhingga S yang setiap titik sampelnya berpeluang sama

terjadi, maka probabilitas peristiwa A, ditulis P(A), didefinisikan:

P(A) = )()(

SnAn

Contoh 1.1: Pada pelantunan sebuah dadu, tentukan probabilitas dari peristiwa

A : memuat semua titik sampel gasal

B : memuat semua titik sampel prima

C : memuat semua titik sampel yang tak kurang dari 3.

Jawab: P(A) = ½, P(B) = 2/3, dan P(C) = ½.

Apabila X suatu variabel random yang bersesuaian dengan suatu eskperimen X

dan ruang sample S, sedangkan peristiwa A berkaitan dengan suatu harga tertentu

dari X, yaitu xi, maka P(A) = P(X = xi). Dengan demikian, dapat diperoleh untuk

peristiwa-peristiwa lain, sebagai P(B) = P(X £ xi) atau P(C) = P(X ³ xi) atau

P(D) = P(xi £ X £ xj), dan seterusnya.

Contoh 1.2: Pada pelantunan tiga buah mata uang logam, ditentukan variabel

random X : banyaknya ²G² yang nampak. Tentukan:


(a) P(X = 0) (c) P(X = 2) (e) P(X £ 3) (g) P(X > 1)

(b) P(X = 1) (d) P(X = 3) (f) P(X £ 1) (h) P(X > 3)

Jawab: dibiarkan sebagai latihan!

Sifat dan Teorema Dasar Probabilitas

Definisi probabilitas (probabilitas a priori) di atas mempunyai beberapa

kelemahan, yaitu

(a) Tidak berlaku untuk ruang sampel takhingga;

(b) Persyaratan: ²Setiap titik sampel berpeluang sama untuk muncul² tidak selalu

dipenuhi oleh setiap eksperimen.

Sehingga untuk mengembangkan teori probabilitas lebih kanjut, disusunlah

beberapa sifat berikut:

1. P(A) adalah bilangan real yang non-negatif untuk setiap peristiwa A dalam S,

P(A) ³ 0

2. P(S) = 1

3. Jika A1, A2, … merupakan peristiwa-peristiwa yang saling asing di S, Ai Ç Aj =

Æ untuk i ¹ j = 1, 2, 3, …, maka P(A1 È A2 È …) = P(A1) + P(A2) + …

Dari sifat-sifat di atas dapat diturunkan beberapa teorema berikut:

Teorema 1.2: P(Ac) = 1 – P(A)

Bukti: Karena A Ç Ac = Æ dan A È Ac = S,

maka P(A È Ac)= P(A) + P(Ac) = P(S) = 1.

Jadi P(Ac) = 1 – P(A).

Teorema 1.3: 0 £ P(A) £ 1


Bukti: P(A) ³ 0 jelas. Akan dibuktikan P(A) £ 1, sebagai berikut:

P(Ac) = 1 – P(A) atau P(Ac) = P(A) = 1 – P(Ac)

Karena P(Ac) ³ 0 dan P(A) ³ 0, maka jelas P(A) £ 1.

Teorema 1.4: P(Æ) = 0

Bukti: Karena A È Æ = A dan A Ç Æ = Æ, sehingga

P(A È Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A).

Jadi P(Æ) = 0.

Teorema 1.5: Untuk peristiwa-peristiwa A dan B sebarang, berlaku:

P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

Bukti: Dari teori himpunan, diketahui bahwa A È B = A È (Ac Ç B), dan

A Ç (Ac Ç B) = Æ. Maka P(A È B) = P(A) + P(Ac Ç B) … (*)

Di lain pihak B = S Ç B = (A È Ac) Ç B = (A Ç B) È (Ac Ç B).

Karena (A Ç B) Ç (Ac Ç B) = Æ, maka P(B) = P(A Ç B) + P(Ac Ç B). (**)

Dari (*) dan (**), diperoleh P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B).

Teorema 1.6: Untuk setiap peristiwa A, B, dan C berlaku

P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AÇB)–P(AÇC)– P(BÇC)+P(AÇBÇC)

Bukti: P(A È B È C) = P((AÈB) È C)

= P(AÈB) + P(C) - P((AÈB) Ç C)

= P(A) + P(B) – P(A Ç B ) + P(C) – P((A Ç C) È (B Ç C))

= P(A) + P(B) + P(C) – P(A Ç B ) – [P(A Ç C) + P(B Ç C)

- P((A Ç B Ç C)]


Teorema 1.7: Jika A Í B, maka P(A) £ P(B)

Bukti: Karena A Í B berarti A È (B – A) = B.

Sehingga P(B) = P(A È (B – A)) = P(A) + P(B – A) – P(A Ç (B – A))

= P(A) + P(B – A) – P(A Ç (B – A))

= P(A) + P(B – A) – P(A Ç B Ç Ac)

= P(A) + P(B – A) – P(A Ç Ac Ç B) ³ P(A)

Peristiwa-peristiwa Saling Lepas dan Saling Bebas

Definisi 1.8: Dua peristiwa A dan B disebut saling lepas, apabila A Ç B = Æ.

Definisi 1.9: Dua peristiwa A dan B disebut saling bebas jika dan hanya jika

P(AÇB) = P(A)P(B).

Definisi 1.10: Tiga peristiwa A, B, dan C disebut saling bebas, jika dan hanya jika

keempat syarat berikut dipenuhi:

P(A Ç B) = P(A)P(B)

P(A Ç C) = P(A)P(C)

P(B Ç C) = P(B)P(C)

P(A Ç B Ç C) = P(A)P(B)P(C)

Contoh 1.3: Pada pelantunan dua dadu, ditentukan peristiwa-peristiwa berikut:

A = {(x, y) | x = 5}, B = {(x, y) | y = 4}, C = {(x, y) | x > y}

(a) Tentukan peristiwa-peristiwa yang lepas

(b) Tentukan dua peristiwa yang bebas.

Teorema 1.11: Jika A dan B bebas, maka Ac dan Bc bebas, A dan Bc bebas, serta

Ac dan B bebas.


Probabilitas Bersyarat

Definisi 1.12: Jika dan A dan B merupakan dua peristiwa di dalam satu ruang

sampel S dan P(A) ¹ 0, maka probabilitas bersyarat dari B jika A diketahui, ditulis

P(B | A), didefinisikan sebagai P(B | A) = )(

)(AP

BAP Ç

Teorema 1.13: Jika A dan B merupakan dua peristiwa di dalam ruang sampel S

dan P(A) ¹ 0, maka berlaku P(A Ç B) = P(A)P(B | A)

Teorema 1.14: Jika A,B, dan C merupakan tiga peristiwa di dalam ruang sampel S

sedemikian hingga P(A) ¹ 0 dan P(A Ç B) ¹ 0, maka

P(A Ç B Ç C) = P(A)P(B | A)P(C | A Ç B)

Teorema 1.15: Jika A dan B dua peristiwa saling bebas, maka P(B|A) = P(B)

Bukti: Untuk Teorema 1.13, 1.14, dan 1.15 dibiarkan sebagai latihan

Contoh 1.4: Suatu industri suku cadang pesawat terbang mengetahui dari

pengalaman sebelumnya bahwa probabilitas suatu pesanan siap dikapalkan pada

waktunya adalah 0.80, dan probabilitas pesanan akan siap dikapalkan dan juga

diantarkan pada saatnya adalah 0.72. Carilah probabilitas, bahwa pesanan tersebut

akan diantarkan pada saatnya jika diketahui telah dikapalkan pada saatnya.

Jawab: Probabilitas yang dicari adalah 0.90.


2 Fungsi Distribusi

Variabel Random Diskrit Definisi 2.1: Jika X suatu variabel random, dan jika banyak harga-harga yang

mungkin dari X adalah berhingga (finite) atau takhingga terhitung (countable

infinite, denumerable), maka X disebut suatu variabel random diskrit. Jadi harga-

harga X tersebut dapat disusun sebagai x1, x2, …, xn, …

Definisi 2.2: Jika X suatu variabel random diskrit dengan harga-harga x1, x2, …,

maka suatu fungsi f(x) = P(X = x) disebut suatu fungsi probabilitas atau fungsi

densitas probabilitas (probability density function), disingkat pdf, dari X, apabila

memenuhi syarat-syarat:

(i) f(x) ³ 0 untuk semua x (ii) å=

n

iixf

1)( = 1

Contoh 2.1: Jika X variabel random diskrit dengan harga-harga 0, 1, 2, …, sedang

P(X = k) = knkkn qp -C , dengan k, p, dan q non-negatif dan p+q=1, maka P(k)

memenuhi syarat untuk fungsi probabilitas dari X.

Variabel Random Kontinu Definisi 2.3: X disebut suatu variabel random kontinu, jik aterdapat suatu fungsi f,

yang disebut fungsi densitas probabilitas (pdf) dari X, memenuhi syarat sebagai

berikut:

(i) f(x) ³ 0, untuk semua x

(ii) dxxfò¥

¥-)( = 1

(iii) Untuk suatu a, b dengan -¥ < a < b < ¥ diperoleh P(a £ X £ b) =

dxxfb

aò )(


Contoh 2.2: Tunjukkan bahwa f(x) yang didefinisikan sebagai

f(x) = ïî

ïíì <<

lainyangxuntuk,0

10,1 x

merupakan pdf dari variabel random kontinu X.

Jawab: (i) f(x) ³ 0 jelas dari fungsi di atas;

(ii) dxxfò¥

¥-)( = dxò ¥-

00 + dxò

1

01 + dxò

¥

10 = 1

Jadi, terbukti f(x) merupakan pdf dari X.

Contoh 2.3: Jika diketahui X variabel random kontinu dengan pdf

f(x) = ïî

ïíì ££

lainyangxuntuk,0

20, xcx

Carilah: (a) harga konstanta c (c) P(X > 1)

(b) P(1/2 < X < 3/2) (d) Grafik f(x)

Jawab: (a) c = ½ (b) P(1/2 < X < 3/2) = ½ (c) P(X > 1) = ¾

Fungsi Distribusi Definisi 2.4: Jika X suatu variable random, diskrit atau kontinu, maka fungsi

distribusi kumulatif (cummulative distribution function, CDF), ditulis F(x),

didefinisikan sebagai F(x) = P(X £ x).

Fungsi distribusi kumulatif seringkali disebut fungsi distribusi.

Teorema 2.5:

(a) Jika X suatu variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas f(x), maka:

F(x) = å=

n

iixf

1)( di mana xi £ x

(b) Jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas f(x), maka:

F(x) = ò ¥-

xdttf )(


Contoh 2.4: Jika suatu variabel random X mempunyai harga 0, 1, dan 2 dengan

probabilitas berturut-turut 1/3, 1/6, dan ½, maka fungsi kumulatifnya adalah

F(x) =

ïï

î

ïï

í

ì

³

<£

<£

<

2jika,1

21jika,2/1

10jika,3/1

0jika,0

x

x

x

x

Grafik fungsinya adalah:

F(x)

0 1 2 3 X

Contoh 2.5: Jika X suatu variabel kontinu dengan fungsi densitas

f(x) = ïî

ïíì <<

lainyanguntuk,0

10untuk,2

x

xx

maka fungsi kumulatifnya adalah

F(x) =

ïïî

ïïí

ì

³

<<

£

1jika,1

10jika,

0jika,02

x

xx

x

Grafiknya dapat dibuat sebagai latihan.

Contoh 2.6: Sasaran tembak pada suatu latihan menembak, membentuk lingkaran

dengan jari-jari R dan berpusat di titik O(0,0). Fungsi distribusi F(x) untuk

variabel random X dapat dicari sebagai latihan.


3 Distribusi Multivariat

Distribusi Bivariat dan Trivariat

Definisi 3.1 : J ika X 1 dan X 2 variabel-variabel random diskrit, maka fu ngsi

f(x1, x2) = P(X1 = x1, X2 = x2) untuk setiap (x1, x2) dalam X1 dan X2, disebut

fungsi probabilitas bersama atau distribusi probabilitas bersama (joint

distribution) dari X1 dan X2.

Teorema 3.2: Suatu fungsi bivariat dapat merupakan distribusi probabilitas

bersama dari sepasang variabel random diskrit X1 dan X2 jika dan hanya jika

f(x1, x2) memenuhi syarat berikut:

(i) f(x1, x2) ³ 0 untuk setiap (x1, x2) dalam domainnya;

(ii) åå1 2

),( 21x x

xxf = 1, di mana ;jumlah dobel berlaku untuk semua

pasangan (x1, x2) yang mungkin dalam doimainnya.

Contoh 3.1: Tentukan harga c sedemikian hingga fungsi f(x1, x2) = cx1x2 untuk x1,

x2 = 1, 2, 3 merupakan distribusi probabilitas bersama.

Jawab: Diselesaikan sendiri, sehingga memperoleh c = 1/36.

Definisi 3.3: Jika X1 dan X2 merupakan variabel random diskrit, maka fungsi:

F(x1, x2) = P(X1 £ x1, X £ x2) = åå£ £1 2

),(xs xt

tsf untuk -¥ < x1 £ ¥, -¥ < x2 £ ¥;

di mana, f(s, t) harga-harga dari distribusi probabilitas bersama dari X1 dan X2

pada (s, t); disebut fungsi distribusi bersama, atau distribusi kumulatif bersama

dari X1 dan X2.

Contoh 3.2: Apabila F(x1, x2) distribusi bersama dari variabel random diskrit X1

dan X2 tersebut dalam Contoh 3.1, maka diperoleh F(2, 3) = P(X1 £ 2, X2 £ 3) = ½.


Definisi 3.4: Suatu fungsi bivariat dengan harga-harga f(x1, x2) yang didefinasikan

pada x1x2 disebut fungsi densitas probabilitas bersama (joint pdf) dari variabel

random kontinu X1 dan X2 jika dan hanya jika

P[(X1, X2) Î A] = òòA

dxdxxxf 2121 ),( untuk setiap region A pada bidang x1x2.

Teorema 3.5: Suatu fungai bivariat merupakan suatu fungsi densitas probabilitas

bersama dari sepasang variabel random kontinu X1 dan X2, jika harga-harganya

f(x1, x2) memenuhi syarat

(i) f(x1, x2) ³ 0 untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥

(ii) ò ò¥

¥-

¥

¥- 1221 ),( dxdxxxf = 1

Fungsi densitas probabilitas bersama sering disebut densitas bersama (joint

density)

Contoh 3.3: Jika densitas bersama X1 dan X2 adalah sebagai berikut:

f(x1, x2) = ïî

ïíì <<+

lainyanguntuk,0

10untuk, 121

x

xxx

maka dengan menyelesaikannya, diperoleh fungsi distribusi bersama adalah

F(x1, x2) =

ïïï

î

ïïï

í

ì

>>

><<+

<<>+

<<<<+

<<

1,1untuk,1

1,10untuk),1(

10,1untuk),1(

10,10untuk),(

0,0untuk,0

21

211121

212221

21212121

21

xx

xxxx

xxxx

xxxxxx

xx


Distribusi Marginal Definisi 3.6: Jika X1 dan X2 merupakan variabel random diskrit dan f(x1, x2)

adalah harga dari distribusi probabilitas bersama di (x1, x2), maka fungsi yang

diberikan oleh

g(x1) = å2

),( 21x

xxf

untuk setiap x1 di dalam range dari X1 disebut densitas marginal dari X1.

Demikian pula, fungsi yang dtberikan oleh

h(x2) = å1

),( 21x

xxf

untuk setiap x2 di dalam range dari X2 disebut densitas marginal dari X2.

Definisi 3.7: Jika X1 dan X2 merupakan variabel random kontinu dan f(x1, x2)

adalah harga dari distribusi probabilitas bersama di (x1, x2), maka fungsi yang

diberikan oleh

g(x1) = ò¥

¥- 221 ),( dxxxf untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥

disebut densitas marginal dari X1.

Demikian pula, fungsi yang dtberikan oleh

h(x2) = ò¥

¥- 121 ),( dxxxf untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥

disebut densitas marginal dari X2.

Contoh 3.4: Jika densitas bersama

f(x1, x2) =

ïïî

ïïí

ì <<<<+

lainyang,untuk,0

10,10untuk),2(32

21

2121

xx

xxxx

maka densitas marginal dari X1 adalah g(x1) = 2/3(x1 + 1), untuk 0 < x1 < 1, dan

densitas marginal dari X2 adalah h(x2) = 1/3(1 + 4x2), untuk 0 < x1 < 1.


Seperti halnya pada distribusi univariat, di sini didefinisikan pula fungsi

distribusi marginal dan fungsi distribusi marginal bersama berikut.

Definisi 3.8: Jika F(x1, x2) adalah harga dari fungsi distribusi bersama dari

variabel random X1 dan X2 di titik (x1, x2), maka fungsi G dengan

G(x1) = P(X1 £ x1, X2 = 1) untuk -¥ < x1 < ¥

disebut fungsi distribusi marginal dari X1. Demikian pula fungsi H dengan

H(x2) = P(X1 = 1, X2 £ x2) untuk -¥ < x2 < ¥

disebut fungsi distribusi Marginal dari X2.

Definisi 3.9: Jika F(x1, x2, x3) merupakan harga dari fungsi distribusi bersama

variabel random X1 , X2, dan X3 di titik (x1, x2, x3), maka fungsi G dengan

G(x1, x2) = P(X1 £ x1, X2 £ x2, X3 = 1), untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥.

disebut fungsi distribusi marginal bersama dari X1 dan X2.

Contoh 3.5: Jika diketahui densitas dari variabel random X1, X2, dan X3 berikut

f(x1, x2, x3) = ïî

ïíì ><<<<+ -

lainyang;0

0,10,10;)( 321213

x

xxxexx x

maka fungsi distribusi marginal bersama dari X1 dan X3 dengan

F(x1, x2, x3) =

ïïî

ïïí

ì ><<<<-+ -

lainyang,,;0

0,10,10);1)((21

321

32121213

xxx

xxxexxxx x

adalah

G(x1, x3)

ïï

î

ïï

í

ì

>³-

><<-+

£

-

-

0,1;1

0,10);1)((21

0;,0

31

312121

1

3

3

xxe

xxexxxx

x

x

x

dan fungsi distribusi marginal dari X1 adalah

H(x1) =

ïï

î

ïï

í

ì

³

<<+

£

1;1

10);1(21

0;,0

1

111

1

x

xxx

x


Distribusi Bersyarat

Definisi 3.10: Jika f(x1, x2) adalah harga dari distribusi variabel random diskrit X1

dan X2 di (x1, x2) dan h(x2) adalah harga dari distribusi marginal X2 di x2, maka

fungsi f(x1| x2) = )(

),(

2

21

xhxxf , h(x2) ¹ 0 untuk setiap range dari X1 (untuk kasus

variabel random kontinu, -¥ < x1 < ¥), disebut distribusi bersyarat dari X1 jika

diketahui X2 = x2. Demikian pula fungsi W(x2| x1) = )(

),(

1

21

xgxxf , g(x1) ¹ 0, untuk

setiap range dari X2 (untuk kasus variabel random kontinu, -¥ < x1 < ¥), disebut

distribusi bersyarat dari X2 jika diketahui X1 = x1, dan g(x1) adalah harga dari

distribusi marginal X1 di x1.

Contoh 3.6: Jika diketahui fungsi densitas variabel random X1 dan X2

f(x1, x2) = ïî

ïíì <<<<

lainyang,;0

10,10;4

21

2121

xx

xxxx

maka densitas bersyat dari X2 jika X1 = x1 adalah

f(x2 | x1) = ïî

ïíì <<

lainyang;0

10;2

2

22

x

xx

1 probabilitas - · pdf filebahan ajar statistika matematika i 1 1 probabilitas pengertian...

Documents