1. Einleitung

− Numerische Simulationen als wichtiges Werkzeug heutiger Ingenieurtätigkeit zur Vorhersage des Material- und Bauteilverhaltens mechanisch (Deformation, Versagen, Schwingungen, …) thermisch elektrostatisch und –dynamisch → Optimierung → Numerische Simulationen oft preisgünstiger als Experimente

− Numerisches Verfahren: Näherungsweise (oder exakte) Lösung eines mathematischen Problems in einer endlichen Anzahl von Schritten, typischerweise zur Ausführung auf einem Computer. − Bsp: Heron-Verfahren für Quadratwurzeln, gewöhnliches

Iterationsverfahren − Nötig: mathematisches Modell (eigentliche Physik !!!)

Ziel dieser Vorlesung: Überblick über numerische Verfahren

2

1.1 Motivation

Klassifizierung mechanischer Probleme

Klasse Beispiel Anmerkungen

Randwertproblem (RWP) lineare Stabtheorie ()′ := d()dx

(ÊA(x)u′(x))′ + n(x) = 0 DGL

u(0) = 0 Beispiel für vollständigen SatzEAu′(L) = F von RBD (Randbedingungen)

Euler-Bernoulli-Balken

(ÊI(x)w′′(x))′′ − q(x) = 0 DGL

w(0) = 0, w(L) = 0, Beispiel für vollständigen Satzw′(0) = 0, EIw′′(L) = 0 von RBD

Kirchhoffsche Plattentheorie ∆() := ∂2()

∂x21+ ∂

2()∂x22

∆∆w(x1, x2) =p(x1,x2)k(x1,x2)

DGL

RBD

Anfangswertproblem(AWP)

erzwungene Schwingung einerPunktmasse

(̇) := d()dt

ẍ(t) + cmx(t) = F (t) DGL

x(t0) = x0 Beispiel für vollständigen Satzẋ(t0) = v0 von AB (Anfangsbedingungen)

Eigenwertproblem KnickenEIwIV(x) + Fw′′(x) = 0 DGL

RBD

AnfangsrandwertproblemARWP

Stab, linear elastisch unter dyn.Belastung

c2 = E/ρ

u′′(x, t) = 1c2ü(x, t) DGL

RBD + AB

1

FEM beim Stab: Konvergenz mit steigender

Elementanzahl

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x/l

EA

u/(n

0l2 )

Elemente: 1Elemente: 2Elemente: 4exakt

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x/l

P/(

n 0l)

Elemente: 1Elemente: 2Elemente: 4exakt

1

FEM-Programm

Hauptprogramm

• verwaltet Knoten-Elementzuordnung Ae

(”Netztopologie“)

• Berechnung:

1. Aufruf der Elementroutine für jedes Element e

⇒ liefert Ke, p̂

e

2. Zusammenbau von K und p̂ mittels Ae

3. Einbau der Randbedingungen

– natürliche RB: Einsetzen in F̂ an entsprechender Stelle

– wesentliche RB: Streichen von entsprechenden Zeilen und Spalten in K,

p̂ und F̂ (siehe 2.5.1)

4. Lösen d. globalen GLS: u = K−1 ·(p̂+ F̂

)5. ggf. nachträgliche Verarbeitung (

”Post-processing“) in Elementroutine mit

Lösung ue = Ae · u

Elementroutine

• enthält die schwache Formulierung des RWP (eigentliche”Physik“ !!!)

• enthält Ansatzfunktionen N und Ableitungen B

• führt entsprechende Integrale aus∫ξ

(·) dξ = . . .

• ggf. nachträgliche Berechnung, z.B. Dehnung ε = u′ = B ·ue, Längskraft P = EAε

Vorteile der FEM

• getrennte Verarbeitung in Hauptprogramm und Elementroutine

⇒ Formulierung d. RWP im Hauptprogramm nicht benötigt

⇒ Kopplung bereichsweise verschiedener RWP durch verschiedene Elementroutinen– verschiedenes Materialverhalten (elastisch, elastisch-plastisch, viskos, . . . )

– verschiedene DGLs (rein mechanisch, mechanisch-thermisch, akustisch, . . . )

⇒ große Flexibilität der FEM

1

2xF�

1x

3x

t

d

Ω∂

Ω

MotivationKlassifizierungStabFEM_KonvergenzFEM_programmESZEVZ