1. 了解直接证明的两种基本方法——分析法和

综

　　　　　　　 合法；了解分析法和综合法的思考过程、特

点 .

2. 了解间接证明的一种基本方法——反证法，了

　　　　　　　　　　 解反证法的思考过程、特点 .

1. 直接证明(1) 综合法 ① 定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 　　　　　 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的 　　　　　 结论 ，这种证明方法叫做综合法 .

② 框图表示： ( 其中 P 表示条件， Q 表示要证结论 ).

推理论证

成立

(2) 分析法

① 定义：从 出发，逐步寻求使它成立的 直

　　　　　　 至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的

　　　　　　　 条件 ( 已知条件、定理、定义、公理等 ) 为止，这种证

明

　　　　　　　 方法叫做分析法 .

② 框图表示：

结论 充分条件

2. 间接证明

反证法：假设原命题 ，经过正确的推理，最

　　　　 后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原

命

　　　　 题成立，这样的证明方法叫做反证法 .

不成立

矛盾

提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件 . 综合法是由因导果 . 因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程 .

[ 思考探究 ]

　　综合法和分析法有什么区别和联系？

1. 设 a ＝ lg2 ＋ lg5 ， b ＝ ex(x<0) ，则 a 与 b 大小关系为 ( 　　 )

A.a>b 　　　　　　　　 B.a<b

C.a ＝ b D.a≤b解析： a ＝ lg2 ＋ lg5 ＝ 1 ，∵ x<0 ，∴ b ＝ ex<1 ，∴ a>b.

答案： A

2. 用反证法证明命题：“ a ， b∈N ， ab 可被 5 整除，那

么 a 、

b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为 ( 　

　 )

A.a 、 b 都能被 5 整除　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.a 、 b 都不能被 5

整除

C.a 、 b 不都能被 5 整除　　　　　　　　　　　　　　 D.a 不能被 5 整除

解析：用反证法证明命题应先否定结论 .

答案： B

3. 设 a ， b∈R ，已知 p ： a ＝ b ； q ： ( )2≤ ，

则 p 是

q 成立的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　　 )

A. 必要不充分条件　　　　　　　　　　　　　 B. 充分不必要条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D. 既不充分也不必要条

件

解析： p ： a ＝ b 是 q ： ( )2≤ 等号成立的充分

条件 .答案： B

4. 已知 a ， b 是不相等的正数， x ＝ ， y ＝

，

　　　　则 x ， y 的大小关系是　　　　　 .解析：∵ y2 ＝ ( )2 ＝ a ＋ b ＝

＝ x2.

∴ x<y.答案： x<y

5. 若 a ＞ b ＞ c ，则 的最小值是　　　　 .

解析：由 a ＞ b ＞ c ，知 a － b ＞ 0 ， b － c ＞

0 ， a － c ＞ 0 ，

则

＝ 2 ＋ ≥ 2 ＋ 2 ＝ 4.

当且仅当 b － c ＝ a － b ，即 a ＋ c ＝ 2b 时，等号成

立 .

答案： 4

综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着

推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真

实性 . 用综合法证明题的逻辑关系是： A⇒B1⇒B2⇒…

⇒Bn⇒B(A 为已知条件或数学定义、定理、公理， B 为

要证结论 ) ，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒” .

已知 x ＋ y ＋ z ＝ 1 ，求证： x2 ＋ y2 ＋z2≥ .

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] 　∵ x2 ＋ y2≥2xy ， y2 ＋ z2≥2yz ，

z2 ＋ x2≥2zx ，

∴ (x2 ＋ y2) ＋ (y2 ＋ z2) ＋ (z2 ＋ x2)≥2xy ＋ 2yz ＋ 2zx ，

∴ 3(x2 ＋ y2 ＋ z2)≥x2 ＋ y2 ＋ z2 ＋ 2xy ＋ 2yz ＋ 2zx ，

即 3(x2 ＋ y2 ＋ z2)≥(x ＋ y ＋ z)2 ＝ 1 ，

x2 ＋ y2 ＋ z2≥ 成立 .

1. 分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分 　　　 析，逐渐地靠近已知 .

2. 用分析法证“若 P 则 Q” 这个命题的模式是：

为了证明命题 Q 为真，这只需证明命题 P1 为真，从而

有 ……

这只需证明命题 P2 为真，从而有……

…

这只需证明命题 P 为真 .

而已知 P 为真，故 Q 必为真 .

[ 特别警示 ] 　用分析法证题时，一定要严格按格式书写，

否则极易出错 .

已知 a>0 ，求证： － ≥ a ＋ －2.

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] 　要证 － ≥ a ＋ － 2 ，只要证

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ 2≥a ＋ ＋ .

∵ a>0 ，故只要证 ，

即 a2 ＋ ＋ 4 ＋ 4≥a2 ＋ 2 ＋ ＋ 2 (a ＋ )

＋ 2 ，

从而只要证

2 ≥ (a ＋ ) ，

只要证 4(a2 ＋ )≥2(a2 ＋ 2 ＋ ) ，

即 a2 ＋ ≥ 2 ，而上述不等式显然成立，故原不等式成

立 .

1. 适宜用反证法证明的数学命题有：(1) 结论本身以否定形式出现的一类命题；(2) 关于唯一性、存在性的命题；(3) 结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(4) 结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题；(5) 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推 出结论的线索不够清晰 .

2. 用反证法证明问题的一般步骤为：(1) 反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面 ( 否 　　　　　 定命题 ) 成立； ( 否定结论 )

(2) 归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理， 　　　　　 导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理 　　　　　 及明显的事实矛盾或自相矛盾； ( 推导矛盾 )

(3) 结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”　　

　　　　　　 的谬误 . 既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立 .

( 结论成立 )

[ 特别警示 ] 　用反证法证明问题时要注意以下二点：

(1) 必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面

呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种

可能，反证都是不完全的；

(2) 反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面

作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定

结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法 .

已知 a>0 ， b>0 ，且 a ＋ b>2 ，求证： 中至少有一个小于 2.

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] 　假设 都不小于 2 ，

则 ≥ 2 ， ≥ 2 ，

∵ a>0 ， b>0 ，

∴ 1 ＋ b≥2a,1 ＋ a≥2b ，

∴ 1 ＋ 1 ＋ a ＋ b≥2(a ＋ b) ，即 2≥a ＋ b.

这与已知 a ＋ b>2 矛盾，故假设不成立 .

即 中至少有一个小于 2.

以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程等为载体，考查综合法、分析法、反证法的应用是高考对本节内容的常规考法 .09年辽宁高考以立体几何为载体，以解答题的形式考查了反证法的应用，是一个新的考查方向 .

[ 考题印证 ]

(2009·辽宁高考 )(12 分 )如图，已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， M ， N 分别为 AB ，DF 的中点 .

(1) 若 CD ＝ 2 ，平面 ABCD⊥平面 DCEF ，求 MN 的长； (2) 用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线 .

【解】　 (1) 取 CD 的中点 G ，连结 MG ， NG.

因为 ABCD ， DCEF 为正方形，且边长为 2 ，所以 MG⊥CD ， MG ＝ 2 ， NG ＝ .┄┄┄┄┄┄┄(4

分 )

因为平面 ABCD⊥平面 DCEF ，所以 MG⊥平面 DCEF.

可得 MG⊥NG.

所以 MN ＝ .┄┄┄┄┄┄┄┄(6 分 )

(2) 证明：假设直线 ME 与 BN共面，

则 AB⊂平面 MBEN ，且平面 MBEN 与平面 DCEF交于

EN.

由已知，两正方形不共面，故 AB⊄平面 DCEF.┄ (8 分 )

又 AB∥ CD ，所以 AB∥平面 DCEF. 而 EN 为平面 MBEN

与平面 DCEF 的交线，所以 AB∥ EN.┄┄┄(10 分 )

又 AB∥ CD∥ EF ，所以 EN∥ EF ，这与 EN∩EF ＝ E 矛盾，

故假设不成立 .

所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线 .┄┄┄(12 分 )

　 [ 自主体验 ]

已知数列 {an} 和 {bn}满足： a1 ＝ λ ， an ＋ 1 ＝ an

＋ n － 4 ， bn ＝ ( － 1)n(an － 3n ＋ 21) ，其中 λ 为实数，

n 为正整数 .

(1) 证明：对任意实数 λ ，数列 {an} 不是等比数列；

(2) 证明：当 λ≠ － 18 时，数列 {bn} 是等比数列；

(3) 设 Sn 为数列 {bn} 的前 n项和 . 是否存在实数 λ ，使

得对任意正整数 n ，都是 Sn> － 12 ？若存在，求 λ 的取

值范围；若不存在，说明理由 .

解： (1) 证明：假设存在一个实数 λ ，使 {an} 是等比数列，则

有

＝ a1a3 ，即 ( λ － 3)2 ＝ λ( λ － 4) ⇔ λ2 － 4λ ＋ 9

＝

λ2 － 4λ⇔ 9 ＝ 0 ，矛盾，∴ {an} 不是等比数列 .

(2) 证明：∵ bn ＋ 1 ＝ ( － 1)n ＋ 1[an ＋ 1 － 3(n ＋ 1) ＋ 21] ＝

( － 1)n ＋ 1

( an － 2n ＋ 14) ＝－ ( － 1)n·(an － 3n ＋ 21) ＝ －

bn. 又 λ≠ － 18∴ b1 ＝－ (λ ＋ 18)≠0. 由上式知 bn≠0 ，∴ ＝

－ (n∈N*). 故当 λ≠ － 18 时，数列 {bn} 是以－ (λ ＋ 18) 为

首项，－

为公比的等比数列 .

(3) 当 λ≠ － 18 时，由 (2) 得 bn ＝－ (λ ＋ 18)·( － )n － 1 ，

于是 Sn ＝－ (λ ＋ 18)·[1 － ( － )n].

当 λ ＝－ 18 时， bn ＝ 0 ，从而 Sn ＝ 0 ， Sn> － 12恒成

立 .

当 λ≠ － 18 时，要使对任意正整数 n ，都有 Sn> － 12 ，

即－ (λ ＋ 18)·[1 － ( － )n]> － 12

⇔ λ< － 18.

令 f(n) ＝ 1 － ( － )n ，则

当 n 为正奇数时， 1<f(n)≤ ；当 n 为正偶数时， ≤ f(n)<1.

∴ f(n) 的最大值为 f(1) ＝ .

于是可得 λ<20× － 18 ＝－ 6.

综上所述，存在实数 λ ，使得对任意正整数 n ，都有

Sn> － 12 ， λ 的取值范围为 ( －∞，－ 6).

1.a ， b ， c 为互不相等的正数，且 a2 ＋ c2 ＝ 2bc ，则下列关 　　　 系中可能成立的是 ( 　　 )

A.a>b>c 　　　　　　　　　 B.b>c>a

C.b>a>c D.a>c>b

解析：由 a2 ＋ c2>2ac⇒ 2bc>2ac⇒ b>a ，可排除 A 、 D ，

令 a ＝ 2 ， c ＝ 1 ，可得 b ＝ ，可知 C 可能成立 .

答案： C

2. 用反证法证明“如果 a>b ，那么 ”假设内容应

是

( 　　 )

A. B.

C. 且 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D. 或 <

解析： 的否定形式为 .

答案： D

3. 要使 成立，则 a ， b 应满足 ( 　　 )

A.ab ＜ 0 且 a ＞ b

B.ab ＞ 0 且 a ＞ b

C.ab ＜ 0 且 a ＜ b

D.ab ＞ 0 且 a ＞ b 或 ab ＜ 0 且 a ＜ b

解析：要使 成立，

只要 成立，

即 a － b － 3 ＋ 3 ＜ a － b 成立，

只要 成立，

只要 ab2 ＜ a2b 成立，

即要 ab(b － a) ＜ 0 成立，

只要 ab ＞ 0 且 a ＞ b 或 ab ＜ 0 且 a ＜ b 成立 .答案： D

4. 设 x ， y ， z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在 　　　平面内，下列条件中能保证“若 x⊥z ，且 y⊥z ，则 x

∥ y”

　　　 为真命题的是　　　　 (填所有正确条件的代号 ).

①x 为直线， y ， z 为平面；② x ， y ， z 为平面；③ x ，

y 为 　　　 直线， z 为平面；④ x ， y 为平面， z 为直线；⑤ x ， y ， z

为直线 .

解析：由空间位置关系的判定及性质可知①③④正确 .

答案：①③④

5. 方程 f(x) ＝ x 的根称为 f(x) 的不动点，若函数 f(x) ＝

　　　　 有唯一 不动点，且 x1 ＝ 1000 ， xn ＋ 1 ＝

(n∈N*) ，

　　　　则 x2010 ＝　 .

解析：由 ＝ x 得 ax2 ＋ (2a － 1)x ＝ 0. 因为 f(x) 有

唯一不动点，

所以 2a － 1 ＝ 0 ，即 a ＝ .

所以 f(x) ＝ ，所以 xn ＋ 1 ＝ ＝ xn ＋

　 .

所以 x2010 ＝ x1 ＋ ×2009 ＝ 1000 ＋ ＝ .

答案：

6. 若 a 、 b 、 c 是不全相等的正数，

求证： lg ＋ lg ＋ lg >lga ＋ lgb ＋ lgc.

证明：要证 lg ＋ lg ＋ lg >lga ＋ lgb ＋ lgc 成

立，

即证 lg( ) ＞ lg(abc) 成立，

只需证 ＞ abc 成立，

∴ ≥abc ＞ 0(*) 成立 .

又∵ a 、 b 、 c 是不全相等的正数，

∴ (*) 式等号不成立，

∴ 原不等式成立 .