1２次元フーリエ変換

講義内容講義内容

空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換

2

フーリエ変換と逆変換

u

v

F.T.

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−+−= dxdyvyuxjyxfvuF )}(2exp{),(),( π連続系連続系

離散系離散系∑∑−

=

−

=

+−=1

0

1

0

}/)(2exp{),(1),(N

x

N

y

NvyuxjyxfN

vuF π

x

y

),( yxf

),( vuF

I. F.T.

),( vuF

ただし，ここでは絶対値をとって画像化

∑∑−

=

−

=

+=1

0

1

0

}/)(2exp{),(1),(N

x

N

y

NvyuxjvuFN

yxf π

順変換順変換

逆変換逆変換

3

２次元フーリエ変換の具体的なイメージ

∑∑−

=

−

=

+−=1

0

1

0

}/)(2exp{),(1),(N

i

N

j

NvyuxjyxfN

vuF π

}/)(2exp{ Nvyuxj +− π),( yxf

対応する画素ごとに積をとって最後に総和をとる．

対応する画素ごとに積をとって最後に総和をとる．

はどんなパターンか？それでは }/)(2exp{ Nvyuxj +− π

離散系での説明

4

２次元フーリエ変換の具体的なイメージ

)(2sin)(2cos)}(2exp{ vyuxjvyuxvyuxj +−+=+− πππに注目して考える．のうち，実部 )(2cos vyux +π

を与える．この直線は

なる．の直線は以下のように

12cos

,...,...,2,1,0

=

=+

n

nvyux

π

x

y

u/1

v/1

v/2

v/3 れる．『空間周波数』と呼ば

を与える．は空間的な波の周波数

⇒

),( vu

方向の周波数成分

方向の周波数成分

yvxu

::

「間隔が大きい」が小さい」「

となる．で

軸上に注目すると），（すなわち

とおくとにおいて，

⇔=

=⇔=

==+

uux

uuxuxxy

nvyux

1)cos(,.../2,/1,0...2,1,0

0,...,...,2,1,0

u/2

5

空間周波数の例

)(2cos vyux +π

,...2 , ,0,...2,1,00/ DDxyDxvyux =⇔=+=+

x

y例１）

D2

)0,/1(),( Dvu =

D

x

y

D

)0,/2(),( Dvu =

例２）

,...2/3, ,2/ ,0,...2,1,00/2 DDDxyDxvyux =⇔=+=+

D2

6

演習

)(2cos vyux +π

x

y

u

v

D/1

D A

B

例題２上図A,B,Cの位置に対応する空間周波

数のパターン（余弦波）をスケッチしなさい．

例題１下の図に対応する余弦関数を式で書きなさい．ただし黒い線は１の値をもち，余弦関数の最大値を描いているものとする．

5/DD/1

D/2 C

7

フーリエ変換演算のまとめ

One-comonent Image

x

y

u

v

x

y

0 1 2 3

0

1

2

3

uv x

y

x

y

x

y

∑∑−

=

−

=

+−=1

0

1

0

}/)(2exp{),(1),(N

i

N

j

NvyuxjyxfN

vuF π

8

フーリエの合成のデモ

順次，高周波数成分を追加していく．

Manhattan distanceでDm=3のスペクトル

u

v

u

v

F.T.),( vuF

9

フーリエの合成のデモ（つづき）

Dm=3まで

Dm=10までDm=6まで

u

v

u

v

u

v

u

v

10２次元フーリエ変換

講義内容講義内容

空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換

11

代表的な２次元フーリエ変換対(1)

1),(),(),( =⇔= vuFyxyxf δ

x u

),(),( yxyxf δ=1),( =vuF

０の関数．で無限大になり，他で0,0:),( == yxyxδ

２変数のデルタ関数：

０の関数．で無限大になり，他でbyaxbyax ==−− ,:),(δ

y v

12

代表的な２次元フーリエ変換対(2)

)(sinc)(sinc),()(rect)(rect),( vuvuFyxyxf =⇔=

xu

y v

xu

0u0u−

0

0v

0v−

vy

u/1 u/2v/1v/2v/3v/4

)},(),({21),()](2cos[),( 000000 vvuuvvuuvuFyvxuyxf −++−−=⇔+= δδπ

13

代表的な２次元フーリエ変換対(３)

22 )(),( yxrdrcircyxf +==

u

v

J1: ベッセル関数

xy

d

x u

)](exp[]exp[),(

22

2

yxryxf

+−=−=ππ

y v

2212 ,)(),( vuddJdvuF +== ρρπρππ

)](exp[]exp[),(

22

2

vuvuF

+−=−=ππρGauss関数

14

２次元フーリエ変換の計算例－矩形1－

)(sinc)(sinc),()(rect)(rect),( bvauvuFby

axyxf =⇔=

6,12 == ba

15

２次元フーリエ変換の計算例－矩形1－

)(sinc)(sinc),()(rect)(rect),( bvauvuFby

axyxf =⇔=

24,6 == ba

24,6 == ba

64,6 == ba64,6 == ba

16

２次元フーリエ変換の計算例－円形1－

22 )(),( yxrdrcircyxf +== 2212 ,)(),( vu

ddJdvuF +== ρρπρππ

17２次元フーリエ変換

講義内容講義内容

空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換

18

一般に，赤枠のように，原点が中央になるように配列し直して表示する方がわかりやすい．

x

y

uu

２次元フーリエ変換および振幅（絶対値）の対数変換表示

v

v

2DＦＦＴの結果は図のように原

点を端として切り出されたスペクトルと解釈できる．

２次元離散フーリエ変換

19

２次元離散フーリエ変換のデータの並び

N-1

0 N-10

N/2Nyquist freq.

N/2

u

v

20

境界部分での不連続によるスペクトル