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12次元フーリエ変換
講義内容講義内容
空間周波数の概念2次元フーリエ変換代表的な2次元フーリエ変換対2次元離散フーリエ変換
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2
フーリエ変換と逆変換
u
v
F.T.
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−+−= dxdyvyuxjyxfvuF )}(2exp{),(),( π連続系連続系
離散系離散系∑∑−
=
−
=
+−=1
0
1
0
}/)(2exp{),(1),(N
x
N
y
NvyuxjyxfN
vuF π
x
y
),( yxf
),( vuF
I. F.T.
),( vuF
ただし,ここでは絶対値をとって画像化
∑∑−
=
−
=
+=1
0
1
0
}/)(2exp{),(1),(N
x
N
y
NvyuxjvuFN
yxf π
順変換順変換
逆変換逆変換
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3
2次元フーリエ変換の具体的なイメージ
∑∑−
=
−
=
+−=1
0
1
0
}/)(2exp{),(1),(N
i
N
j
NvyuxjyxfN
vuF π
}/)(2exp{ Nvyuxj +− π),( yxf
対応する画素ごとに積をとって最後に総和をとる.
対応する画素ごとに積をとって最後に総和をとる.
はどんなパターンか?それでは }/)(2exp{ Nvyuxj +− π
離散系での説明
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4
2次元フーリエ変換の具体的なイメージ
)(2sin)(2cos)}(2exp{ vyuxjvyuxvyuxj +−+=+− πππに注目して考える.のうち,実部 )(2cos vyux +π
を与える.この直線は
なる.の直線は以下のように
12cos
,...,...,2,1,0
=
=+
n
nvyux
π
x
y
u/1
v/1
v/2
v/3 れる.『空間周波数』と呼ば
を与える.は空間的な波の周波数
⇒
),( vu
方向の周波数成分
方向の周波数成分
yvxu
::
「間隔が大きい」が小さい」「
となる.で
軸上に注目すると),(すなわち
とおくとにおいて,
⇔=
=⇔=
==+
uux
uuxuxxy
nvyux
1)cos(,.../2,/1,0...2,1,0
0,...,...,2,1,0
u/2
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5
空間周波数の例
)(2cos vyux +π
,...2 , ,0,...2,1,00/ DDxyDxvyux =⇔=+=+
x
y例1)
D2
)0,/1(),( Dvu =
D
x
y
D
)0,/2(),( Dvu =
例2)
,...2/3, ,2/ ,0,...2,1,00/2 DDDxyDxvyux =⇔=+=+
D2
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6
演習
)(2cos vyux +π
x
y
u
v
D/1
D A
B
例題2上図A,B,Cの位置に対応する空間周波
数のパターン(余弦波)をスケッチしなさい.
例題1下の図に対応する余弦関数を式で書きなさい.ただし黒い線は1の値をもち,余弦関数の最大値を描いているものとする.
5/DD/1
D/2 C
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7
フーリエ変換演算のまとめ
One-comonent Image
x
y
u
v
x
y
0 1 2 3
0
1
2
3
uv x
y
x
y
x
y
∑∑−
=
−
=
+−=1
0
1
0
}/)(2exp{),(1),(N
i
N
j
NvyuxjyxfN
vuF π
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8
フーリエの合成のデモ
順次,高周波数成分を追加していく.
Manhattan distanceでDm=3のスペクトル
u
v
u
v
F.T.),( vuF
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9
フーリエの合成のデモ(つづき)
Dm=3まで
Dm=10までDm=6まで
u
v
u
v
u
v
u
v
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102次元フーリエ変換
講義内容講義内容
空間周波数の概念2次元フーリエ変換代表的な2次元フーリエ変換対2次元離散フーリエ変換
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11
代表的な2次元フーリエ変換対(1)
1),(),(),( =⇔= vuFyxyxf δ
x u
),(),( yxyxf δ=1),( =vuF
0の関数.で無限大になり,他で0,0:),( == yxyxδ
2変数のデルタ関数:
0の関数.で無限大になり,他でbyaxbyax ==−− ,:),(δ
y v
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12
代表的な2次元フーリエ変換対(2)
)(sinc)(sinc),()(rect)(rect),( vuvuFyxyxf =⇔=
xu
y v
xu
0u0u−
0
0v
0v−
vy
u/1 u/2v/1v/2v/3v/4
)},(),({21),()](2cos[),( 000000 vvuuvvuuvuFyvxuyxf −++−−=⇔+= δδπ
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13
代表的な2次元フーリエ変換対(3)
22 )(),( yxrdrcircyxf +==
u
v
J1: ベッセル関数
xy
d
x u
)](exp[]exp[),(
22
2
yxryxf
+−=−=ππ
y v
2212 ,)(),( vuddJdvuF +== ρρπρππ
)](exp[]exp[),(
22
2
vuvuF
+−=−=ππρGauss関数
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14
2次元フーリエ変換の計算例-矩形1-
)(sinc)(sinc),()(rect)(rect),( bvauvuFby
axyxf =⇔=
6,12 == ba
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15
2次元フーリエ変換の計算例-矩形1-
)(sinc)(sinc),()(rect)(rect),( bvauvuFby
axyxf =⇔=
24,6 == ba
24,6 == ba
64,6 == ba64,6 == ba
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16
2次元フーリエ変換の計算例-円形1-
22 )(),( yxrdrcircyxf +== 2212 ,)(),( vu
ddJdvuF +== ρρπρππ
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172次元フーリエ変換
講義内容講義内容
空間周波数の概念2次元フーリエ変換代表的な2次元フーリエ変換対2次元離散フーリエ変換
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18
一般に,赤枠のように,原点が中央になるように配列し直して表示する方がわかりやすい.
x
y
uu
2次元フーリエ変換および振幅(絶対値)の対数変換表示
v
v
2DFFTの結果は図のように原
点を端として切り出されたスペクトルと解釈できる.
2次元離散フーリエ変換
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19
2次元離散フーリエ変換のデータの並び
N-1
0 N-10
N/2Nyquist freq.
N/2
u
v
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20
境界部分での不連続によるスペクトル