matematika III yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga.

Matematika adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu

mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk

memecahkan persamaan serta aplikasinya. Matematika memiliki aplikasi yang

luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan

berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Matematika memiliki dua cabang utama, Matematika diferensial dan

Matematika integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar

Matematika. Pelajaran Matematika adalah pintu gerbang menuju pelajaran

matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit,

yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Daftar isi 1 Sejarah

o 1.1 Perkembangan

o 1.2 Pengaruh penting

2 Prinsip-prinsip dasar

o 2.1 Limit dan kecil tak terhingga

o 2.2 Turunan

2.2.1 Notasi pendiferensialan

o 2.3 Integral

2.3.1 Integral tertentu

2.3.2 Integral tak tentu

o 2.4 Teorema dasar

3 Aplikasi

4 Referensi

o 4.1 Sumber

o 4.2 Daftar Pustaka 1

5 Sumber lain

o 5.1 Bacaan lebih lanjut

o 5.2 Pustaka daring

o 5.3 Halaman web

Sejarah

Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor Matematika yang

terkenal.

Perkembangan

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Sejarah Matematika

Sejarah perkembangan Matematika bisa ditilik pada beberapa periode zaman,

yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman

kuno, beberapa pemikiran tentang Matematika integral telah muncul, tetapi tidak

dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang

merupakan fungsi utama dari Matematika integral bisa ditelusuri kembali pada

Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah

mampu menghitung volume piramida terpancung.[1] Archimedes mengembangkan

2

pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai Matematika

integral.[2]

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep

kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi

dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[3] Persamaan ini kemudian mengantar

Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang

mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal

dari "Teorema Rolle".[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham

(Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil

jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia

mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil

pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan Matematika

integral.[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan

turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam Matematika

diferensial. [6] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-

astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus

khusus dari deret Taylor [7] , yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[8][9][10]

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di

Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa

matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan

dalam Matematika. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari

teorema dasar Matematika pada tahun 1668.

3

Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir

Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai

kontributor Matematika yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah

kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu

Matematika secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton

mengaplikasikan Matematika secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz

mengembangkan notasi-notasi Matematika yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali,

timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas

untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil

kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya.

Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak

dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari

Royal Society.

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara

terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan.

Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam

mengembangkan Matematika secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan

4

nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai Matematika, sedangkan Newton

menamakannya "The science of fluxions".

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap

pengembangan lebih lanjut dari Matematika.

Matematika menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman

modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap

perkembangan Matematika.[11]

Pengaruh penting

Walau beberapa konsep Matematika telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir,

Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan Matematika

modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried

Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar Matematika. Hasil kerja mereka

kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi Matematika diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan,

kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari Matematika integral

meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan

tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Matematika juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci

mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan

dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan

dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno

memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Matematika

memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang

kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

Prinsip-prinsip dasar

Limit dan kecil tak terhingga

5

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Limit

Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L

apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian

rupanya:

Matematika pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah

kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka,

adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih

besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½,

⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga

(infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga

tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, Matematika adalah

sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.

Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup

cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu

fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut

pandang ini, Matematika adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit

tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

6

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali

mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x

mendekati p adalah L, dan menuliskan:

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden

dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

Turunan

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Turunan

Grafik fungsi turunan.

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi

tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi

disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.

Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya

pada titik x adalah:

,

7

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan

bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap

titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Apabila z = x + h, h = z - x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x,

maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah

kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Perhatikan bahwa ekspresi pada definisi turunan di atas

merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x))

pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan

mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada

titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis

sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari

fungsi tersebut.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi pada titik

(3,9):

8

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau

kemiringan dari sebuah grafik disebut Matematika diferensial

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu

titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik

tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan

garis sekan.

Notasi pendiferensialan

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan

untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi

Newton, dan notasi Euler.

9

Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu

notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan

antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas

dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:

  ataupun  Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan

notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis

sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.

Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi

untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka mewakili turunan y terhadap

t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan

terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang

matematika yang berhubungan dengan fisika.

Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ

untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel

terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan

keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

  atau   .

Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial

linear.

Notasi

Leibniz

Notasi

Lagrange

Notasi

Newton

Notasi

Euler

Turunan ƒ(x)

terhadap xƒ′(x) dengan y =

ƒ(x)

10

Integral

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Integral

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x),

antara dua titik a dan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai

luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral

suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi

menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika

yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang

memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

Integral tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis

real, integral tertentu:

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi

oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

11

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang

menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi

terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar

subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas

daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling

umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman

didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak

mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b].

Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak

subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik

{x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

Himpunan tersebut kita sebut sebagai

partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval

. Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita

nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai

Δxi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan

pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap

subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan

tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada kurva.

Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)·

12

Δxi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan

dapatkan:

Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval

[a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil

penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita

inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati nol,

maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann

adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita

katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan

bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann apabila kondisi

berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ >

0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi

di sepanjang [a,b] dengan dan pilihan ti

apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan

Secara matematis dapat kita tuliskan:

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka

lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:13

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval

yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu ,

yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka

perhitungan integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan

Riemannnya adalah

Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang

sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi

P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b -

0)/n = b/n dan titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi

yang kita dapatkan adalah:

dan , sehingga:

14

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati 0,

maka didapatkan:

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai

integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema

dasar Matematika (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam

mencari nilai integral tertentu.

Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan

dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi

interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar Matematika

(lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu

dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif

fungsi tersebut.

15

Apabila

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah

integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara

matematis sebagai:

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta

sembarang.

Misalkan terdapat sebuah fungsi , maka integral tak tentu ataupun

antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral

tertentu dalam bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak

tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta

sembarang C.

Teorema dasar

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Teorema dasar Matematika

Teorema dasar Matematika menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua

operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai

dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung

sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar

Matematika memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.

16

Teorema dasar Matematika menyatakan:

Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi

yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral ,

daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan

Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar Matematika

dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari fungsi

adalah . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar

Matematika, nilai dari integral tertentu adalah:

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval

[0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar

Matematika ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan

17

definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema

dasar Matematika sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.

Aplikasi

Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk

menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan

Matematika.

Matematika digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik,

teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya.

Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui Matematika. Massa

dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari

suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan

menggunakan Matematika.

Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, Matematika dapat digunakan untuk

mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya

adalah penggunaan Matematika di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju

perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah

benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut

dengan arah yang sama.

Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,

menggunakan perumusan Matematika diferensial karena percepatan bisa

18

dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan

teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan Matematika diferensial.

Referensi

Sumber

1. ̂ Helmer Aslaksen. Why Calculus? National University of Singapore.

2. ̂ Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7

3. ̂ Aryabhata the Elder

4. ̂ Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.

5. ̂ Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), pp. 163-174.

6. ̂ J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), pp. 304-309.

7. ̂ "Madhava". Biography of Madhava. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Diakses 2006-09-13.

8. ̂ "An overview of Indian mathematics". Indian Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Diakses 2006-07-07.

9. ̂ "Science and technology in free India". Government of Kerala — Kerala Call, September 2004. Prof.C.G.Ramachandran Nair. Diakses 2006-07-09.

10. ̂ Charles Whish (1835). Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland.

11. ̂ UNESCO-World Data on Education isapi.dll?clientID=137079235&infobase=iwde.nfo&softpage=PL frame

Daftar Pustaka

Donald A. McQuarrie (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5

James Stewart (2002). Calculus: Early Transcendentals, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39321-2

19

Sumber lain

Bacaan lebih lanjut

Robert A. Adams. (1999) ISBN 978-0-201-39607-2 Calculus: A complete course.

Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7,

John L. Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5.

Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1-46.

Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004

Cliff Pickover. (2003) ISBN 978-0-471-26987-8 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.

Michael Spivak. (Sept 1994) ISBN 978-0-914098-89-8 Calculus. Publish or Perish publishing.

Silvanus P. Thompson dan Martin Gardner. (1998) ISBN 978-0-312-18548-0 Calculus Made Easy.

Mathematical Association of America. (1988) Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.

Thomas/Finney. (1996) ISBN 978-0-201-53174-9 Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.

Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." dari MathWorld--A Wolfram Web Resource.

Pustaka daring

Crowell, B., (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton. Retrieved 6th May 2007 from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf

Garrett, P., (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota. Retrieved 6th May 2007 from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf

20

Faraz, H., (2006). "Understanding Calculus" Retrieved Retrieved 6th May 2007 from Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only)

Keisler, H. J., (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals" Retrieved 6th May 2007 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc1.pdf

Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" California Institute of Technology. Retrieved 6th May 2007 from http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf

Sloughter, Dan., (2000) "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus". Retrieved 6th May 2007 from http://math.furman.edu/~dcs/book/

Stroyan, K.D., (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa. Retrieved 6th May 2007 from http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (HTML only)

Strang, G. (1991) "Calculus" Massachusetts Institute of Technology. Retrieved 6th May 2007 from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm.

Halaman web

Calculus.org: The Calculus page di Universitas California, Davis COW: Calculus on the Web di Universitas Temple

Online Integrator (WebMathematica) dari Wolfram Research

The Role of Calculus in College Mathematics dari ERICDigests.org

OpenCourseWare Calculus dari Institut Teknologi Massachusetts

Infinitesimal Calculus Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel ed. .

21