materi ke- 2 deret taylor - wordpress.com...perkirakan turunan pertama (kemiringan kurva) dan...
TRANSCRIPT
-
DERET TAYLOR
Materi Ke- 2
❯❯❯❯❯
Cancel OK
Semoga selalu di garis depan
dalam berkarya nyata B.J. Habibie
-
Kriteria Capaian
Mahasiswa dapat :
1. Menggunakan persamaan deret Taylor
2. Mengubah persamaan diferensial parsiil (kontinyu) ke dalam bentuk diferensial numerik (diskret)
-
DERET TAYLOR
n
n
i
n
iiiii Rn
xxf
xxf
xxf
xxfxfxf
!)(......
!3)(
!2)(
!1)()()(
3'''
2'''
1
Dimana:
f(xi) : fungsi di titik xi f(xi+1) : fungsi di titik xi+1 f’, f’’, ..., fn : turunan pertama, kedua, ..., ke n dari fungsi
∆x : langkah ruang, yaitu jarak antara xi dan xi+1 Rn : kesalahan pemotongan
! : operator faktorial, misalkan bentuk 3! = 1x2x3
............)!1(
)()!1(
)(2
21
1
n
xxf
n
xxfR
n
i
nn
i
n
n
Kesalahan pemotongan (Rn) diberikan oleh bentuk berikut ini:
-
DERET TAYLOR
i i + 1
f(xi)
f(xi+1)
Order 0
x
y f(x)
Order 2
R0
R1 R2
)()( 1 ii xfxf
!1)()()( '1
xxfxfxf iii
!2)(
!1)()()(
2''
'
1
xxf
xxfxfxf
i
iii
Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku tersebut dan biasanya
hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.
Order 1
-
Contoh Soal :
Diketahui suatu fungsi f(x) = 0,25x3 + 0,5x2 + 0,25x + 0,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua, tiga; perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 1, berdasar fungsi pada titik xi = 0. Titik xi+1 = 1 berada pada jarak ∆x = 1 dari titik xi = 0.
Order Hasil Ee ɛe
0 0,5 1,0 66,67%
1 0,75 0,75 50,00%
2 1,25 0,25 16,67%
3 1,5 0,0 0,00%
Penyelesaian :
-
DIFERENSIAL NUMERIK
i - 1 i + 1
f(xi-1)
f(xi+1)
x
y f(x)
Digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk
diskret. Diferensial numerik ini banyak digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial.
i
Garis singgung di i
A
C
B f(xi)
Diferensial maju )(!1)()()( 2'1 xO
xxfxfxf iii
)()()(
)( 21' xOx
xfxfxf
x
f iii
x
xfxfxf
x
f iii
)()()( 1'
Deret Taylor Order 1 :
Diferensial Turunan Pertama:
-
DIFERENSIAL NUMERIK
i - 1 i + 1
f(xi-1)
f(xi+1)
x
y f(x)
Digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk
diskret. Diferensial numerik ini banyak digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial.
i
Garis singgung di i
A
C
B f(xi)
Diferensial mundur
Deret Taylor Order 1 :
Diferensial Turunan Pertama:
)()()(
)( 21' xOx
xfxfxf
x
f iii
)(!1
)()()( 2'1 xOx
xfxfxf iii
x
xfxfxf
x
f iii
)()()( 1'
-
DIFERENSIAL NUMERIK
i - 1 i + 1
f(xi-1)
f(xi+1)
x
y f(x)
Digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk
diskret. Diferensial numerik ini banyak digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial.
i
Garis singgung di i
A
C
B f(xi)
Diferensial terpusat
Deret Taylor Order 1 :
Jika pers. (1) dikurangi pers. (2) maka:
)(!1
)()()( 2'1 xOx
xfxfxf iii
)(!1
)()()( 2'1 xOx
xfxfxf iii
)(!1
)(2)()( 2'11 xOx
xfxfxf iii
)(2
)()()( 211' xO
x
xfxfxf
x
f iii
x
xfxfxf
x
f iii
2
)()()( 11'
-
DIFERENSIAL NUMERIK
Turunan kedua dari suatu fungsi dapat diperoleh dengan menjumlahkan
pers. (1) dengan persamaan (2) :
.......!4
)(2!2
)(2)(2)()(4
'''2
''
11
x
xfx
xfxfxfxf iiiii
)()()(2)(
)( 22
11''
2
2
xOx
xfxfxfxf
x
f iiii
2
11''
2
2 )()(2)()(
x
xfxfxfxf
x
f iiii
atau
atau dapat ditulis juga:
Jika besarnya kesalahan pemotongan diabaikan, maka:
.......12
)()()(2)(
)(2
''''
2
11''
2
2
xxfx
xfxfxfxf
x
fi
iiii
-
DIFERENSIAL NUMERIK
Dengan cara serupa, dapat diturunkan diferensial turunan yang lebih tinggi
seperti diberikan berikut ini.
1. Diferensial turunan ketiga:
2. Diferensial turunan keempat:
3
2112'''
3
3
2
)()(2)(2)()(
x
xfxfxfxfxf
x
f iiiii
4
2112''''
4
4 )()(4)(6)(4)()(
x
xfxfxfxfxfxf
x
f iiiiii
-
DIFERENSIAL NUMERIK
Apabila fungsi mengandung lebih dari satu variabel bebas, seperti f(x,y),
maka bentuk deret Taylor menjadi:
Dengan cara yang sama dapat ditentukan turunan pertama terhadap
variabel x dan y (misal: diferensial maju) :
Silahkan mencoba !
Bagaimana dengan diferensial mundur dan diferensial terpusat serta
bagaimana pula turunan kedua terhadap variabel x dan y ?
x
yxfyxf
x
f jiji
),(),( 1
y
yxfyxf
y
f jiji
),(),( 1
......!2!2!1!1
),(),(2
2
22
2
2
11
y
y
fx
x
fy
y
fx
x
fyxfyxf jiji
-
DIFERENSIAL NUMERIK
Untuk menyederhanakan penulisan, selanjutnya bentuk f(xi, yj) ditulis
menjadi fi,j dengan subskrip i dan j menunjukkan komponen dalam arah
sumbu x dan sumbu y.
Diferensial Turunan Pertama:
Diferensial terpusat Diferensial maju Diferensial mundur
Diferensial Turunan Kedua:
x
ff
x
f jiji
,,1
x
ff
x
f jiji
,1,
x
ff
x
f jiji
2
,1,1
y
ff
y
f jiji
,1,
y
ff
y
f jiji
1,,
y
ff
y
f jiji
2
1,1,
x
y
j+1
j
j-1
i - 1 i i +1
(i,j)
(i,j+1)
(i+1,j) (i-1,j)
(i,j-1)
2
,1,,1
2
2 2
x
fff
x
f jijiji
2
1,,1,
2
2 2
y
fff
y
f jijiji
∆x ∆x
∆y
∆y
-
DIFERENSIAL NUMERIK
Untuk menyederhanakan penulisan, selanjutnya bentuk f(xi, tn) ditulis
menjadi fin dengan subskrip i dan n menunjukkan komponen dalam arah
sumbu x dan sumbu t.
Diferensial Turunan Pertama:
Diferensial terpusat Diferensial maju Diferensial mundur
Diferensial Turunan Kedua:
x
t
n+1
n
n-1
i - 1 i i +1
(i,n)
(i,n+1)
(i+1,n) (i-1,n)
(i,n-1)
? ?
?
Silahkan mencoba ! Silahkan mencoba !
Silahkan mencoba !
t
ff
t
f nin
i
1
x
ff
x
f nin
i
1
∆x ∆x
∆t
∆t
-
Contoh Soal :
Diketahui suatu fungsi f(x) = 0,25x3 + 0,5x2 + 0,25x + 0,5. Perkirakan turunan pertama (kemiringan kurva) dan turunan kedua dari persamaan tersebut di titik x=0,5 dengan menggunakan langkah ruang ∆x=0,5.
Turunan ke-
Jenis Hasil Eksak
Hasil Perkiraan
Ee ɛe
1 Maju 0,9375 1,4375 -0,5000 -53,3%
Mundur 0,9375 0,5625 0,3750 40%
Terpusat 0,9375 1,0000 -0,0625 -6,7%
2 - 1,75 1,7500 0,0000 0,00%
Penyelesaian :
-
Contoh Soal :
Tulis bentuk persamaan diferensial parsiil berikut, yang merupakan persamaan konveksi – difusi dalam bentuk persamaan diferensial numerik.
Penyelesaian :
022
020
018
016
014
012
009
006
004
001
000
gajah w ong Plan: Legend
WS
Ground
Bank Sta
2
2
x
CK
x
CU
t
C
Sumber limbah, konsentrasi (C)
Berapa konsentrasi limbah pada pias-pias di hilir ?
? Silahkan mencoba !
-
Tugas 1
Tulis bentuk persamaan diferensial parsiil berikut ke dalam bentuk persamaan diferensial numerik :
2
2
x
CK
x
CU
t
C
A.
B.
C.
D.
02
2
2
2
yx
Pers. Konveksi-Difusi
Pers. Laplace
2
2
2
21
y
y
x
u
x
p
y
uv
x
uu
Pers. Kontinuitas
D
q
y
z
yx
z
x
z
4
4
22
4
4
4
2 Pers. Defleksi Plat
Selamat mengerjakan...