ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ · ТЕМА 2 (Урок № 19 – Урок № 49)...
TRANSCRIPT
ТЕМА 2
(Урок № 19 – Урок № 49)
ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ
В ТАЗИ ТЕМА СЕ ВЪВЕЖДАТ ПОНЯТИЯТА:• обикновена дроб, числител, знаменател;• правилна дроб, неправилна дроб,
смесено число;• съкратима и несъкратима дроб;• реципрочно число, числов лъч.
УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:• да събират и изваждат обикновени дроби;• да умножават и делят обикновени дроби;• да използват свойствата на действията с
обикновени дроби за рационално смятане;• да намират неизвестна компонента при
действията;• да намират част от число и решават основни
задачи.
44
ДРОБНИ ЧИСЛА
Нека един шоколад съдържа 10 еднакви блокчета.
Делим този За едната частшоколад на: четем: пишем:
• 2 равни части половинка 1 : 2 (една втора) от шоколада
• 5 равни части петинка 1 : 5 (една пета) от шоколада
• 10 равни части десетинка 1 : 10, (една десета) от шоколада.Означаваме: (половинка), (петинка), (десетинка).
Забелязваме,чезнакътзаделение(:)езамененсчертичка.
В закусвалня се продава пица, разделена на 6 равни части. При покупка на едно парче продавачът ни дава една от шестте части.
За да изядем четвърт ябълка, разделяме цялата ябълка на четири равни части и вземаме едната от тях.
Една пица, една ябълка, един шоколад, ... се раз-глеждат като едно цяло (числото 1).
На чертежа кръгчето е разделено на равни части.
Оцветенатачаст откръгчето е: Четем: еднавтора едначетвъртеднаосмаеднатретаеднашеста
На рождения ден на Ваня дошли 11 деца. На колко равни части Ваня е разделила тортата и каква част от тортата е получило всяко дете?Решение: Ваня е разделила тортата на 12 равни части, защо-
то децата са били общо 12 (11 гостенчета и Ваня). Всяко дете е получило от тортата.
1
.
ЗАДАЧА 1
19.
45
Петя и Иван участвали във викторина и получили награда по 1 шоколад с по 8 еднакви блокчета. Петя изяла три блокчета, а Иван – 7 блокчета. Каква част от шоколада си е изяла Петя? Каква част от шоколада си е изял Иван?Решение:Един шоколад е един шоколад три части пет частиразделен на 8 равни части. Тогава 1 част Петя →е от шоколада.
Петя е изяла триосми отшоколадаси.
един шоколад седем части eдна част Иван →
Иван е изял седемосми отшоколадаси.
→
Забелязваме, че:
• числото показва, че шоколадът е раз делен на 8 равни части и са взети 3 от тях;
• числото показва, че шоколадът е разделен на 8 равни части и са взети 7 от тях.
→
ЗАДАЧА 2
Дробни числаС 1
2 , 13 , 1
5 , 110, 5
12, 38 , 7
8 , ... се означават нов вид числа, които изразяват част от цяло. Те се наричат дробни числа или дроби.• Дробното число 1
5 означава, че цялото (например един шоколад) сме разделили на пет равни части и сме взели една от тях.• Дробното число 5
12 означава, че цялото (например една торта) сме разделили на дванадесет равни части и сме взели пет от тях.
ЗАДАЧИ 1 Запишете с дробно число: а) четвъртинка; б) седминка; в) деветинка; г) осминка.
2 Запишете с дробно число: а) една двадесета; б) три пети; в) пет седми; г) шест осми.
3 Запишете с думи дробните числа
4 Какво означава дробното число: а) ; б) ; в) ; г) ?
5 В тетрадките си запишете с дробно число каква част от фигурата е оц-ветена:
а) б)
в) г)
!
46
ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ
(Диктовка) Запишете с дробно числоедна пета, четвъртинка, десетинка, една осма,една десета, половинка, две седми, три четвърти.
Решение:
Ако едно цяло сме разделили:на 2 равни части на 3 равни части на 4 равни частии вземем и двете части и вземем и трите части и вземем и четирите части...,
товаозначава,чесмевзелицялото,т.е.1.
Едно дете изяло 1 шоколад и част от втори шоколад, т.е.
четири третинки шоколад
Купени са две еднакви торти, всяка от които е разделена на 10 равни парчета. 17 деца изяждат по едно парче торта.
10 парчета торта + 7 парчета торта = 17 парчета тортаКазваме, че са изядени 17 десетинки. Пишем 1710 . Четем седемнадесетдесети.Това означава, че децата са изяли 1 цяла торта и от втората торта.
Прочетете дробните числа: а) ; б) .Решение:a) една втора, две втори, три вториб) една четвърт, три четвърти, пет четвърти
Пишем 43 . Четемчетиритрети.
от втория шоколад .
Четем: “Тритретинкииеднатретинкасачетиритретинки.”
един шоколад
ЗАДАЧА 1
ПРИМЕР 1
ПРИМЕР 2
=
ПРИМЕР 3
Дробното число 1710 се записва като сбор 1 + 7
10 и означава, че сме взе
ли 1 (= 1010) цяло (едната тор та) и 7
10 от второ то цяло ( 710 от втората торта).
ЗАДАЧА 2
!
20.
47
За числото :• 8 означава, че цялото е разделено на
8 части. 8 се нарича знаменател.• 5 означава, че са взети пет от тези
части. 5 се нарича числител.• Знакът “−−” се нарича дробначерта.
Напишете обикновена дроб със:а) числител 7 и знаменател 20; б) числител 9 и знаменател 5;в) числител 12 и знаменател 37; г) числител 17 и знаменател 24.
Решение: a) б) в) 1237 г) 17
24
Ако едно цяло сме разделили:на 2 равни части на 3 равни части на 4 равни частии вземем и двете части и вземем и трите части и вземем и четирите части...,
товаозначава,чесмевзелицялото,т.е.1.
Обикновени дробиДробните числа, записани във вида 1
2 , 57 , 3
8 , 1115, 3
3 , 2013, ... ,
се наричат обикновени дроби.
Всяка обикновена дроб има числител и знаменател: • Знаменателят показва на колко равни части е разделено
цялото и се записва под дробната черта. Знаменателятечисло,скоетоседелиинеможедабъденула. • Числителят показва колко такива части са взети и се записва над дробната черта.
ЗАДАЧИ 1 В тетрадките си запишете с дробно число:
а) каква част от фигурата е оцветена;
б) колко оцветени четвъртинки съдър жа фигурата, която се състои от два квадрата.
1 2 3
4 5 6
1 2
3 4
2 Запишете като обикновена дроб: а) пет девети; в) девет осми; б) четири седми; г) седем пети.3 Прочетете обикновените дроби: а) ; б) ; в) ; г) .
4 Напишете обикновена дроб със: а) числител 4 и знаменател 5; б) числител 7 и знаменател 6; в) числител 9 и знаменател 13; г) числител 7 и знаменател 9.5 Напишете пет дроби със: а) числител 7; б) знаменател 8.6 Напишете пет дробни числа със
знаме нател 10 и: а) числител, по-малък от знамена-
теля; б) числител, по-голям от знаменате-
ля.
ЗАДАЧА 3
!
58
числителзнаменател
дробна черта
48
ПРАВИЛНИ И НЕПРАВИЛНИ ДРОБИ
Дробните числа, записани във вида: (1) (2) ,
се наричат обикновени дроби.Обикновенитедробисезаписватвъввида:
В примерите (1) числителите са по-малки от знаменателите. Такива дроби се наричат правилни (а < b).
В примерите (2) числителите са равни или по-големи от знаменателите. Такива дроби се наричат неправилни (а > b или а = b).
Неправилната дроб означава, че сме взели 5 пъти по , т.е.
4 пъти по (= 1 цяло) и още (от още едно цяло). Например, за
да вземем парчета торта, трябва да имаме 2 еднакви торти, всяка
от които да е разделена на 4 равни части, и да вземем една цяла торта
и едно парче от втората торта.
където a е естествено число или 0, b е естествено число.
Правилната дроб означава, че цялото (например една торта) е разделено на 4 равни части и са взети 3 от тях.Всякаправилнадроб е част от едно цяло (от 1), т.е. епо-малкаот1.Правилните дроби от вида са равни на числото 0, т.е.
и т.н.
Всяка неправилна дроб съдържа едно или повече цели, т.е. тя е по-голяма от 1 или равна на 1.Например:
14
14
14
14
34
Правилна дроб Обикновена дроб, на която числителят е помалък от знаменателя, се нарича правилна дроб.
Неправилна дроб Обикновена дроб, на която числителят е равен или поголям от знаменателя, се нарича неправилна дроб.
!
!
21.
ab
числителзнаменател
дробначерта(знакзаделение→ ab = а:b),
49
Отделете правилните и неправилните от следните обикновени дроби:
Решение:
Правилни дроби са
Неправилни дроби са
Дадени са обикновените дроби Разменете местата на
числителя и знамена теля на всяка от тях и прочетете получените дроби.
Решение: (седем пети), (три осми),
(пет първи), (една седма)
Всяко цяло число може да се запише като неправилна дроб със знаменател 1. и т.н.Неправилна дроб, на която числителят е равен на знаменателя, е равна на 1. и т.н.
Напишете реципрочните числа на 711
, 1320
, 115
, 171
, 21, 09
.Решение: 7
11 → 11
7, 13
20 → 20
13, 11
5 → 5
11, 17
1 → 1
17 ,
21 → 121
, 09
→ няма реципрочно число.
ЗАДАЧА 1
ЗАДАЧА 2
Реципрочно число Дадена е обикновената дроб a
b (а ≠ 0). Ако разменим местата на a и b, получаваме дробта b
a , която се нарича реципрочна (обратна) на ab .
ЗАДАЧА 3
ЗАДАЧИ 1 В тетрадките си запишете с обикно-вена дроб каква част от фигурите е оцвете на:
a) б) в) г)
2 Дадени са дробите
Запишете: а) правилните дроби; б) неправилните дроби.
3 Запишете всички правилни дроби, които имат знаменател 13 и числител просто число.
4 Запишете всички неправилни дроби, които имат числител 13 и знаменател четно число.
5 Дадени са дробите
Напишете и прочетете реципрочни-те им числа.
!
50
ОСНОВНО СВОЙСТВО НА ДРОБИТЕ. РАЗШИРЯВАНЕ НА ДРОБИ
Правоъгълниците на чертежа имат изме ре ния 12 и 8 деления и са разделени на 4, 8, 12 и 16 еднакви право ъгълника. Сравнете лицата на оцветените ленти!
Лицата на оцвете ните ленти са равни на от лицето на пра во-ъгълника и образу ват правоъгълник с едно и също лице:
14
18
18
112
112
112
116
116
116
116
Равенството показва, че:• при умножаване на числителя и знамена теля на с 2 или• при деление на числителя и знаме нателя на с 2се получава дроб, равна на дадената.
1428312416
Основно свойство на дробитеАко числителят и знаменателят на една дроб се умножат (разделят) с число, различно от 0, получава се дроб, равна на дадената:
Îñíîâíî ñâîéñòâî íà äðîáèòå
Ако числото n = 1 (m = 1), дробта не се променя.
!
22.
ab = a , n
b . n , (n ≠ 0); ab = a : m
b : m , m ≠ 0.
51
Пример: Казваме, че сме разширилидробта с 3. .
Разширете с числото 2 дробите: а) 56 ; б) 11
15; в) 2017.
Решение:
а) б) в)
Разширете дробите: а) с числото 2 ; б) с числото 12; в) с числото 6.
Решение: а) б) в)
Намерете допълнителните множители на дробта , ако:
а) б) в)
Решение: а) б) в)
ЗАДАЧА 1
Разширяване на дробиУмножаването на числителя и знаменателя на една дроб с едно и също естествено число (различно от 1) се нарича разширяване на дробта.Числото, с което разширяваме дробта, се нарича допълнителен множител.
ЗАДАЧА 2
Допълнителният множител се записва обикновено над дробта.При разширяване на дробите в Задача 2 получихме дроби с равни знаменатели.
ЗАДАЧА 3
ЗАДАЧИ 1 Разширете дробите :
а) с 2; б) с 3; в) с 5; г) със 7.
2 Разширете дробта: а) 1
3 с 10; б) 25 с 19; в) 6
7 с 22.
3 Открийте липсващите числа: а) ; б) ;
в) ; г) .
4 Разширете с числото 2 дробите: а) 1
327
, ; б) 59
1113
, ;
в) 1117
1319
, ; г) 512
311
, .
5 Разширете дробите до равни знаме-натели:
а) б)
в) г)
Ако числото n = 1 (m = 1), дробта не се променя.
!
52
ОСНОВНО СВОЙСТВО НА ДРОБИТЕ. СЪКРАЩАВАНЕ НА ДРОБИ
Съкратете дробите Решение:
Казваме,чесмесъкратилиеднадробтогава,когатояпревърнемвнесъкратимадроб(виж Задачи 1 и 2):
Съкратете дробта .Решение:І начин: Пишем : .
ІІ начин: Търсим HOD на числителя 24 и знаменателя 42:
.
Приразширяване на дробите използвахме основното свойство:
Присъкращаванена дробите използваме основното свойство: ,където m е делител на a и m е делител на b.
Съкращаване на дробиДелението на числителя и знаменателя на една дроб с едно и също естествено число (различно от 1) се нарича съкращаване на дробта.
ЗАДАЧА 1
При съкращаване на дроби (Задача 1) търсим общ делител на числителя и знаменателя, като използваме признаците за делимост на 2, 3, 5, 10.
ЗАДАЧА 2
Дробта е съкратимадроб (може да се съкрати).
Дробта е несъкратимадроб (не може да се съкрати).
!
23.
53
Съкратете дробите Решение:
Като разложите предварително числителя и знаменателя на прости множители, съкратете дробта .Решение:
Съкратете дробите: а) ; б) ; в) .Решение:
а) б) в)
ЗАДАЧА 3
ЗАДАЧА 4
ЗАДАЧА 5
ЗАДАЧИ 1 Съкратете дробите:
а) б)
в) г)
2 Открийте липсващите числа:
а) ; б) ;
в) ; г) .
3 След като разложите числителя и знаме на теля на прости множите-ли, съкратете дробите:
а) б) в)
4 Намерете HOD на числителя и знаме нателя на всяка дроб и я съ-кратете:
а) б) в) г)
5 Съкратете дробите:
а) ; б) ; в) .
В Задача 5, когато съкращаваме:а) ако съобразим, че 25 . 25 = 625, можем веднага да запишем 1
25;б) ако съобразим, че 26 = 2 . 13, порационално е да съкратим на 13, а след това на 2;в) съобразяваме, че първо можем да съкратим на 1 000.
54
ПРИВЕЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ КЪМ ОБЩ ЗНАМЕНАТЕЛ
Приведете към общ знаменател дробите
Решение:
Числата 5 и 8 имат много общи кратни: 40, 80, 120, 160 ... Когато привеждаме дроби към общ знаменател, е прието да се търси най-малкото общо кратно (HOK ) на знаменателите им.
Приведете към най-малък общ знаменател дробите , и .
Решение:
Допълнителните множители 40, 24 и 15 разширяват дробите , и до дроби със зна ме нател 120, т.е.
3 . 40 = 120, 5 . 24 = 120, 8 . 15 = 120.Тогава 40 = 120 : 3, 24 = 120 : 5, 15 = 120 : 8.
Разширете дробите 12 , 2
3 , 56 , 7
9 така, че знаменателите им да са равни на 18.
Решение: 12 = 9
18, 83 = 48
18, 56 = 15
18, 79 = 14
18.9 6 3 2
Замяната на дроби с равни на тях, които имат еднакви знаменатели, се нарича привеждане на дроби към общ знаменател.
ЗАДАЧА 1
Общ знаменател на дробиОбщото кратно на знаменателите на две или повече дроби се нарича общ знаменател на тези дроби.
ЗАДАЧА 2
Под “най-малък общ знаменател” на дроби ще разбираме наймалкото общо кратно (HOK) на знаменателите на тези дроби.
ЗАДАЧА 3
Правило за намиране на допълнителните множителиКогато привеждаме дроби към общ знаменател, допълнителните множители получаваме, като разделим общия знаменател със знаменателя на всяка дроб.
!
!
!
24.
55
Приведете към общ знаменател дробите: a) ; б) .
Решение: a) HOK (3; 9) = 9 б) HOK (2; 3; 6) = 6
Когато се поставя въпросът за намиране на общ знаменател на дроби, се търси рационално решение и се намира HOK на знаменателите на тези дроби.
Приведете към общ знаменател дробите .
Решение:
HOK = 2 . 2 . 3 = 12
12 : 4 = 312 : 3 = 4 12 : 6 = 2
допълнителни
множители
Съкратете дробите и ги приведете към най-малък общ знаменател.
а) 721 и 8
32; б) 1215, 20
24 и 2445.
Решение: а) 7
21 = 13 , 8
32 = 14 ,
13 и 1
4 412 и 3
12.
12
4 3
4430
6 5 2
ЗАДАЧА 4
В Задача 4 а) 9 е кратно на 3, HOK (3; 9) = 9; б) 6 е кратно и на 2, и на 3, HOK (2; 3; 6) = 6.
ЗАДАЧА 5
Правило за привеждане на дроби към най-малък общ знаменател• Намираме НОК на всички знаменатели.• Намираме допълнителните множители на всяка дроб.• Разширяваме дробите със съответния допълнителен мно жител.
ЗАДАЧА 6
б) 1215 = 4
5 , 2024 = 5
6 , 2445 = 8
15
45 , 5
6 и 815 24
30, 2530, и 16
30.
ЗАДАЧИ Приведете към общ знаменател дробите:
1 а) б) ;
в) г) .
2 а) б)
в) г) .
3 а) б) .
4 Съкратете дробите и ги приведете към най-малък общ знаменател.
а) 820 и 22
33; б) 615 и 9
24;
в) 1827, 35
45 и 5060; г) 10
35, 1421 и 33
63.
!
56
СРАВНЯВАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ
Забелязваме, че дробите 23 и 3
5 сравнихме, като ги разширихме
до дроби с равни знаменатели 1015 и 9
15. Казваме, че ги привеждамекъмединисъщзнаменател.
Сравнете дробите
Решение:120 → 1 квадратче320 → 3 квадратчета 720 → 7 квадратчета
320
↓120
→
720
→
Иван разделил шоколада на 3 ленти от по 5 блокчета и изял две от тези ленти, т.е. изял е 2
3 от шоколада, или 10 блокчета, които са 10
15 от шоко-лада.
Петя разделила шоколада на 5 ленти от по 3 блокчета и изяла три от тези ленти, т.е. изяла е 3
5 от шоколада,
или 9 блокчета, които са 915 от шоколада.
23 → 10 блокчета, които са 1015 от шо-
колада.
35 → 9 блокчета, които са 9
15 от шо-колада.
От 10 > 9 следва, че , т.е. 23 > 3
5 . Иван е изял повече шоколад.
От 1 < 3 < 7 следва, че
Иван и Петя си купили два еднакви шоколада. Всеки шоколад съдържа 15 равни
блокчета. Иван изял 23 от еди ния, а Петя – 3
5 от другия. Кой е изял повече шоколад?Решение:
СРАВНЯВАНЕ НА ДРОБИ С РАВНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ
ЗАДАЧА 1
Ако дроби имат равни знаменатели, това означава, че всяка от тях съдържа толкова равни части (квадратчета), колкото е числителят й.
Сравняване на дроби с равни знаменателиДроби с равни знаменатели сравняваме, като сравним числителите.Помалка е тази дроб, която има помалък числител.
СРАВНЯВАНЕ НА ДРОБИ С РАЗЛИЧНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ
ЗАДАЧА 2
!
25.
57
Сравнете дробите: а) 23 и 8
6 ; б) .
Решение:
а) , , т.е. . б) , т.е. 712 > 3
8 .
Подредете по големина дро бите 12 , 1
3 , 14 , 1
5 , 16 .
Решение:
Забелязваме, че 16 < 1
5 < 14 < 1
3 < 12 .
Сравнете дробите: а) 511 и 9
11 ; б) 179 и 13
9 .
Решение:
а) От 5 < 9 следва, че . б) От 17 > 13 следва, че .
Сравняване на дроби с различни знаменателиДроби с различни знаменатели сравняваме, като първо ги приведем към дроби с равни знаменатели и сравняваме получените дроби.
ЗАДАЧА 3
ЗАДАЧА 4
ЗАДАЧА 5
ЗАДАЧИ Сравнете дробите:
1 а) б) в) .
2 а) б) в) .
3 а) б) в) .
4 а) б) в) .
5 а) б)
в) г)
6 Подредете по големина дробите:
а) б)
в) г)
7 Сравнете дробите: а) б) в)
8 Като започнете от най-малката, наре дете по големина дробите:
а) б)
От две дроби с равни числители и различни знаменатели помалка е тази, която има поголям знаменател.
!
58
ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ ВЪРХУ ЧИСЛОВ ЛЪЧ
На чертежа върху числов лъч са изобразени дро бите 46 и 2
3 . Защо тези дроби са равни?
На чертежа са изобразени дробите Подредете дробите по големина.Решение:
Изобразете върху числов лъч числата Решение:Избираме 1 м. ед. така, че да е съставена от 5 равни части. Дробите са изобразени върху числовия лъч.
Решение:Точката A е образ на 4
6 , защото 1 м. ед. е разделена на 6 равни части и са взети 4 от тях.Точката B е образ на 2
3 , защото 1 м. ед. е разделена на 3 равни части и са взети 2 от тях.
На чертежа е избрана 1 м. ед. = 12 деления.Отсечка с дължина:
има 1 деление;
има 2 деления;
има 3 деления;
има 4 деления;
има 6 деления.
Тогава .
112
161413
12
На 46 → ОА = 4 деления
от квадратната мрежа.На 2
3 → ОВ = 4 деления
От ОА = ОВ следва, че 46 = 2
3
44
ЗАДАЧА 1
ЗАДАЧА 2
ЗАДАЧА 3
26.
59
Изобразете върху числов лъч числата 74 .
Решение:Избираме 1 м. ед. така, че да е съставена от 8 равни части, защото НОK (2; 4; 8) = 8.
, , , , 74
Дробите са изобразени върху числовия лъч.
Подредете върху числов лъч числата Решение: НОK (2; 3; 5; 8) = 120 →
Oт 60 < 72 < 75 < 80 следва, че ,
т.е. . Дробите са подредени върху числовия лъч.
741
88
ЗАДАЧА 4
ЗАДАЧА 5
Върху числов лъч правилните дроби се изобразяват преди числото 1, а неправилните дроби – след числото 1.
В Задача 5 НОK = 120 е голямо число и 1 мерна единица трудно се предста вя като 120 деления. Дроби, на които знаменателите са големи числа, трудно могат да се изобразяват върху числов лъч. Тогава в условието на задачата се изисква те да се подредят (не да се изобразят) върху числов лъч по големина така, че да се спази правилото всяко помалко число да е отляво на поголямото от него число.
ЗАДАЧИ Изобразете върху числов лъч числата:
1
2
3
4
5
6
7 Подредете върху числов лъч числата:
8
9
10
!
60
СЪБИРАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ С РАВНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ
На квадратната мрежа правоъгълникът е съставен от 5 квадратчета. Намерете каква част от правоъгълника е:а) оцветена в жълто;б) оцветена в синьо;в) оцветена.Решение:
а) Частта, оцветена в жълто, е .
б) Частта, оцветена в синьо, е .
в) Оцветената част е .
Сборът от оцветените в жълто и в синьо части е равен на оцветената част на правоъгълника:
, т.е. .
Съберете дробите: а) б) в) Решение:
а) б) в)
Забелязваме, че:a + b = b + a ,(a + b) + c = a + (b + c) = а + b + c .
Проверете вярно ли е попълнена таблицата:
Отговор: Таблицата е попълнена вярно.
a b c a + b b + a b + c (a + b) + c a + (b + c) a + b + c17
27
37
37
37
57
67
67
67
19
29
59
39
39
79
89
89
89
ЗАДАЧА 1
Правило за събиране на дроби с равни знаменатели
, n – естествено число
ЗАДАЧА 2
ЗАДАЧА 3
!
27.
an + b
n = a + bn
61
Съберете дробите и представете резултата като несъкратима дроб:
а) 59
19
+ ; б) 514
314
+ ; в) 78
58
+ .Решение:
а) 59
19
5 19
69
23
+ = + = = б) 514
314
5 314
814
47
+ = + = = в) 78
58
7 58
128
32
+ = + = =
ЗАДАЧА 4
Сравнете: а) 59
29
+ и 89 ; б) 7
134
13+ и 10
13 ; в) 1319
619
+ и 1919 .
Решение:
а) 59
29
5 29
79
79
89
59
29
89
+ = + =
<
+ <
б) 713
413
1113
1113
1013
713
413
1013
+ =
>
+ >
в) 1319
619
1919
1919
1919
1319
619
1919
+ =
=
+ =
ЗАДАЧА 5
Съберете дробите и представете резултата като несъкратима дроб:
а) 121
521
821
+ + б) 588
1588
1388
+ + .Решение:
а) 121
521
821
1 5 821
1421
23
+ + = + + = = б) 588
1588
1388
5 15 1388
3388
38
+ + = + + = =
ЗАДАЧА 6
Сравнете:
а) 57
17
+ и 1; б) 711
911
+ и 1.Решение:
а) 57
17
5 17
67
1+ = + = < б) 711
911
7 911
1611
1+ = + = >
ЗАДАЧА 7
ЗАДАЧИ Извършете събирането:1 а) б)
в) г)
2 а) б)
в) г)
3 а) б)
в) г)
4 а) б)
в) г)
Сравнете:5 а) 2
137
13+ и 8
13 ; б) 517
617
+ и 1017 ;
в) 521
1321
+ и 1721 ; г) 9
291129
+ и 1829 .
6 а) 58
38
+ и 1; б) 713
813
+ и 1;
в) 919
519
+ и 1; г) 1723
623
+ и 1.
7 Напишете четири числа, първото от които е 5
19 , а всяко следващо е с 2
19 по-голямо от предходното. Намерете сбора на:
а) първото и четвъртото число; б) второто и третото число.
62
ИЗВАЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИС РАВНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ
На квадратната мрежа правоъгълникът е съставен от 5 квадратчета. Намерете:а) каква част от правоъгълника е оцветена в жълто;б) каква част от правоъгълника е оцветена в червено;в) коя от оцветените части е по-голяма и с колко?
Решение:
а) Частта, оцветена в жълто, е .
б) Частта, оцветена в червено, е .
в) От следва, че червената част е по-голяма от жълтата.
1 квадратче е част от правоъгълника. Тогава
• червената част е части, а
• жълтата е части, т.е. червената част е с по-голяма от жълтата.
е разликата на и → , т.е. .
Извадете дробите: а) б) в) Решение:а) б) в)
Извършете изваждането: а) 15
11 – 911 ; б) в)
Решение:
а) 1511 – 9
11 = 611 б) в)
ЗАДАЧА 1
Правило за изваждане на дроби с равни знаменатели
, a > b или a = b, n – естествено число
ЗАДАЧА 2
ЗАДАЧА 3
!
28.
an – b
n = a – bn
63
ЗАДАЧА 4 Извършете изваждането и направете проверка: а) 5
112
11− ; б) 13
959
− . Решение: а) 5
112
115 211
311
− = − = б) 139
59
13 59
89
− = − =
Проверка: 311
211
3 211
511
+ = + = 89
59
8 59
139
+ = + =
ЗАДАЧИ Извършете изваждането:
1 а) б)
в) ; г) .
2 а) б)
в) ; г) .
3 Извършете изваждането и напра-вете проверка:
а) 817
317
− ; б) 1519
1219
− ;
в) 3231
1731
− г) 2729
1729
− .
ЗАДАЧА 5 Извършете изваждането и представете резултата като несъкратима дроб: а) 5
818
− ; б) 138
38
− .Решение: а) 5
818
5 18
48
12
− = − = = б) 138
38
13 38
108
54
− = − = =
ЗАДАЧА 7 Сравнете: а) 79
29
− и 49 ; б) 11
757
− и 87 ; в) 15
131113
− и 413 .
Решение:а) 7
929
7 29
59
59
49
79
29
49
− = − =
>
− >
б) 117
57
11 57
67
67
87
117
57
87
− = − =
<
− <
в) 1513
1113
15 1113
413
413
413
1513
1113
413
− = − =
=
− =
4 Сравнете: а) 5
113
11− и 2
11 ; б) 1823
1423
− и 323 ;
в) 4037
2537
− и 1837 ; г) 18
411341
− и 541 .
Пресметнете:5 а) 8
959
19
− −( ) ; б) 1113
713
513
− −( ) ;
в) 1931
2031
1531
− −( ) ; г) 917
1517
1017
− −( ) .6 а) 13
175
173
17− +( ) ; б) 19
33733
833
− +( ) ;
в) 2519
419
719
− +( ) ; г) 4153
5053
4153
− +( ) .
ЗАДАЧА 6 Пресметнете: а) 97
17
47
− +( ) ; б) 1013
713
513
− −( ) ; в) 1723
2023
1523
− −( ) .
Решение:
а) 97
17
47
97
57
47
− +( ) == − =
б) 1013
713
513
1013
213
813
− −( ) == − =
в) 1723
2023
1523
1723
523
1223
− − =
= − =
( )
64
29. СМЕСЕНИ ЧИСЛА. ПРЕМИНАВАНЕ ОТ СМЕСЕНО ЧИСЛО В НЕПРАВИЛНА ДРОБ И ОБРАТНО
Неправилната дрoб може да се запише:
Неправилната дроб е сборът . Този сбор се записва и
се нарича смесено число с цяла част 1 и дробна част
Примери: 2 17 (две цяло и една седма); 100 3
5 (сто цяло и три пети).
Какдапревърнемнеправилнатадроб всмесеночисло?
Превърнете в смесени числа неправилните дроби: а) ; б) .
Решение: а)
б)
Дробнатачастнасмесеноточислоеправилнадроб.
І начин: ІІ начин:
ЗАДАЧА 1
Смесено число Смесеното число е запис на неправилна дроб: 4
3 = 1 + 13 = 1 1
3 .
неправилна дроб смесено число
При решаване на Задача 1- а) 24 е найголямото число, което се дели на 6 и е помалко от 29. По същия начин разсъждаваме при решаване на условие б).
!
Неправилнадробпревръщамевсмесеночисло,каторазделимчислителяназнаменателя.
65
Какдапревърнемнеправилнатадроб всмесеночисло?
Когато превръщаме неправилна дроб в смесено число, казваме, че “изключвамецялото”.
Какдапревърнемсмесеноточисло внеправилнадроб?
→ е неправилна дроб, където x е числото, което разделено на 4, дава частно 2 и остатък 3, т.е.
от x = 2 . 4 + 3 = 11 получихме .
Превърнете в неправилни дроби смесе ните числа: а) ; б) .Решение:
а) б)
Дадени са дробите .а) Превърнете неправилната дроб в смесено число.б) Превърнете смесеното число в неправилна дроб.
Решение: а) 176 = 17 : 6 = 2 + 5
6 = 2 56 б)
Превърнете в смесени числа неправилните дроби: а) ; б) .Решение:а) б)
ЗАДАЧА 2
Правило за превръщане на смесено число в неправилна дроб
ЗАДАЧА 3
ЗАДАЧА 4
ЗАДАЧИ Превърнете в смесени числа непра-вил ните дроби:1 а) 3
2 ; б) 76 ; в) 8
5 ; г) 97 .
2 а) 112 ; б) 13
3 ; в) 154 ; г) 21
5 .
3 а) 2913; б) 83
11 ; в) 9712; г) 100
3 .
4 а) 3017 ; б) 50
13 ; в) 7911 ; г) 55
18 .
Превърнете в неправилни дроби смесе-ните числа:5 а) 1 1
3 ; б) 1 25 ; в) 1 3
7 ; г) 1 511 .
6 а) 2 23 ; б) 5 1
3 ; в) 7 14 ; г) 8 3
5 .
7 а) 13 13 ; б) 17 2
5 ; в) 21 35 ; г) 101 7
8 .8 Намерете реципрочните числа на:
а) 8 13 ; б) 4 2
5 ; в) 5 38 ; г) 7 2
9 .
!2 3
4 = 2 . 4 + 34 = 11
4
66
Съберете дробите: а) б) .Решение:
а)
б)
СЪБИРАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ С РАЗЛИЧНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ
HOK = 60
Правило за събиране на обикновени дроби с различни знаменателиДроби с различни знаменатели събираме, като първо ги приведем към дроби с един и същ знаменатели ги съберем като дроби с равни знаменатели.
ЗАДАЧА 1
Намерете стойностите на А, В, С, D.
+ 13
14
15 А B16 C D
ЗАДАЧА 2Решение: A = 1
513
315
515
3 515
815
+ = + = =+
B = 15
14
420
520
4 520
920
+ = + = =+
C = 16
13
16
26
36
12
+ = + = =
D = 16
14
212
312
512
+ = + =
ЗАДАЧА 3 Пресметнете и сравнете:а) 1
315
+ и 715 ; б) 1
425
+ и 1720 ; в) 1
934
+ и 3136 .
Решение:
а) 13
15
5 315
815
+ = =+ б) 14
25
5 820
1320
+ = =+ ; в) 19
34
4 2736
3136
+ = =+
815
715
> 1320
1720
< 3136
3136
=
13
15
715
+ > 14
25
1720
+ < 19
34
3136
+ =
ЗАДАЧА 4 Пресметнете и сравнете: а) 13
12
+ и 112
34
+ ; б) 27
14
+ и 1128
17
+ .Решение:
а) 13
12
26
36
56
+ = + = 112
34
112
912
1012
56
+ = + = = ⇒ + = +13
12
112
34
30.
!
67
б) 27
14
828
728
1528
+ = + = 1128
17
1128
428
1528
+ = + = ⇒ + = +27
14
1128
17
Съберете дробите: а) б) Решение:
а)
б) HOK = 36
ЗАДАЧА 5
ЗАДАЧА 6 В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на сбора. Срещу нея в дясната колона запишете номера на разликата със същата стойност.
(А) 19
16
+ (1) 2930
730
−
(2) 4760
160
−
(Б) 35
16
+(3) 23
361336
−
Решение: (А) 19
16
218
318
518
+ = + = (1) 2930
730
2230
1115
− = =
(Б) 35
16
1830
530
2330
+ = + = (2) 4760
160
4660
2330
− = =
(3) 2336
1336
1036
518
− = =А 3Б 2
ЗАДАЧИ Извършете събирането:1 а) б)
в) г)
2 а) б)
в) г)
3 а) б)
в) г)
4 а) б)
в) г)
5 а) б)
в) г)
6 Попълнете таблицата:
+ 12
25
17
13 ? ? ?14 ? ? ?16 ? ? ?
68
ИЗВАЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ С РАЗЛИЧНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ
Извадете дробите: а) б) в) .Решение:
а)
б)
в)
HOK = 36
Правило за изваждане на дроби с различни знаменателиДроби с различни знаменатели изваждаме, като първо ги приведем към дроби с един и същ знаменатели ги извадим като дроби с равни знаменатели.
ЗАДАЧА 1
В Задача 1 - в) извадихме дроб от цяло число, като цялото число записахме като дроб със знаменател 1.
ЗАДАЧА 2 Извършете изваждането и представете резултата като несъкратима дроб: а) 32
358
15− ; б) 13
18730
− .Решение:
а) 3235
815
96105
56105
96 56105
40105
821
3 7
105
� �
��� ��− = − = = =−
HOK = 105
б) 1318
730
6590
2190
65 2190
4490
2245
5 3
90
� �
��� ��− = − = = =−
HOK = 90
35 1535 57 11
357
,
18 309 153 51 5
1
2335
,
ЗАДАЧА 3 Извършете изваждането и направете проверка: а) 1315
56
− ; б) 1114
821
− .Решение: Проверка:
а) 1315
56
2630
2530
26 2530
130
2 5
30
� �
���− = − = =− 1
3056
130
2530
1 2530
2630
1315
+ = + = = =+
31.
!
69
Пресметнете: а) б) Решение:
а)
б)
Проверка:
б) 1114
821
3342
1642
33 1642
1742
3 2
42
� �
��� ��− = − = =− 17
42821
1742
1642
17 1642
3342
1114
+ = + = = =+
ЗАДАЧА 4 Пресметнете и сравнете:а) 2
358
− и 524 ; б) 5
714
− и 1128 ; в) 7
912
− и 518 .
Решение:а) 2
358
16 1524
124
− = =− б) 5714
20 728
1328
− = =− ; в) 79
12
14 918
518
− = =−
124
524
< 1328
1128
> 518
518
=
23
58
524
− < 57
14
1128
− > 79
12
518
− =
ЗАДАЧА 5
ЗАДАЧИ Извършете изваждането:
1 а) б)
в) ; г)
2 а) б)
в) ; г)
3 а) б)
в) ; г)
4 а) б)
в) ; г)
ЗАДАЧА 6 В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на разликата. Срещу нея в дясната колона запишете номера на сбора със същата стойност.
(А) 57
25
− (1) 735
335
+
(2) 1370
970
+
(Б) 712
38
−(3) 9
48148
+
Решение: (А) 57
25
2535
1435
1135
− = − = (1) 735
335
1035
27
+ = =
(Б) 712
38
1424
924
524
− = − = (2) 1370
970
2270
1135
+ = =
(3) 948
148
1048
524
+ = =А 2Б 3
70
РАЗМЕСТИТЕЛНО И СЪДРУЖИТЕЛНО СВОЙСТВО НА ДЕЙСТВИЕТО СЪБИРАНЕ
Проверете разместителното свойство на действие събиране, ако: а) а = 2
15 и b = 715 ; б) а = 5
8 и b = 27 .
Решение:
а) a + b = 215 + 7
15 = 2 + 715 = 9
15 = 35
b + a = 715 + 2
15 = 7 + 215 = 9
15 = 35
б) a + b = 58 + 2
7 = 3556 + 16
56 = 35 + 1656 = 51
56
b + a = 27 + 5
8 = 1656 + 35
56 = 16 + 3556 = 51
56
⇒ 215 + 7
15 = 715 + 2
15⇒ a + b = b + a
44
7 8
8 7 ⇒ 58 + 2
7 = 27 + 5
8⇒ a + b = b + a
44
Проверете съдружителното свойство на действие събиране, ако: а) а = 2
15 , b = 415 и с = 7
15 ; б) а = 15 , b = 1
4 и с = 13 .
Решение:
а) (a + b) + с = ( 215 + 4
15 ) + 715 = 6
15 + 715 = 13
15
а + (b + с) = 215 + ( 4
15 + 715 ) = 2
15 + 1115 = 13
15
б) (a + b) + с = ( 15 + 1
4 ) + 13 =
= ( 420 + 5
20 ) + 13 =
= 920 + 1
3 = 2760 + 20
60 = 4760
а + (b + с) = 15 + ( 1
4 + 13 ) =
= 15 + ( 3
12 + 412 ) =
= 15 + 7
12 = 1260 + 35
60 = 4760
⇒( 15 + 1
4 ) + 13 = 1
5 + ( 14 + 1
3 ) (a + b) + с = а + (b + c)
444444444444
Извод: Разместителното свойство на действието събиране a + b = b + a е изпълнено и при събирането на обикновени дроби.
( 215 + 4
15 ) + 715 =
= 215 + ( 4
15 + 715 )
(a + b) + с = а + (b + c)
44
⇒
Извод: Съдружителното свойство на действието събиране (a + b) + с = а + (b + с) е изпълнено и при събирането на обикновени дроби. При събирането на три и повече дроби можем да не пишем скоби.
(a + b) + с = а + (b + c) = а + b + c
ЗАДАЧА 1
ЗАДАЧА 2
32.
71
⇒( 15 + 1
4 ) + 13 = 1
5 + ( 14 + 1
3 ) (a + b) + с = а + (b + c)
Пресметнете: а) 1
9 + 29 + 4
9 ; б) 12 + 1
3 + 16 .
Решение:
а) 19 + 2
9 + 49 =
= 1 + 2 + 49 = 7
9
б) 12 + 1
3 + 16 =
= 36 + 2
6 + 16 =
= 3 + 2 + 16 = 6
6 = 1
3 2 1
Пресметнете рационално. а) 5
36 + 724 + 7
36 ; б) 59 + 5
8 + 49 + 1
4 .Решение:
а) 536 + 7
24 + 736 =
= 536 + 7
36 + 724 =
= 1236 + 7
24 =
= 13 + 7
24 = 8 + 724 =
= 1524 = 5
8
8
б) 59 + 5
8 + 49 + 1
4 =
= 59 + 4
9 + 58 + 1
4 =
= 99 + 5
8 + 28 =
= 1 + 78 = 1 7
8
Намерете числото, което е с 539 по-голямо от сбора на числата 5
6 и 839 .
Решение: ( 5
6 + 839 ) + 5
39 =
= 56 + 8
39 + 539 = 5
6 + 1339 = 5
6 + 13 =
= 56 + 2
6 = 76 = 1 1
6
ЗАДАЧА 3
ЗАДАЧА 4
ЗАДАЧА 5
ЗАДАЧИ Пресметнете:
1 а) 14 + 1
6 + 29 ;
б) 512 + 1
15 + 320 ;
в) 13 + 5
24 + 730 ;
г) 29 + 11
16 + 548 .
2 а) 14 + 1
6 + 29 + 5
12
б) 14 + 11
20 + 725 + 13
50
в) 310 + 11
12 + 415 + 7
20
г) 38 + 2
15 + 512 + 1
24Пресметнете рационал но:
3 а) 517 + 3
8 + 1217 ;
б) 316 + 5
12 + 1316 ;
в) 913 + 7
18 + 1118 ;
г) 1320 + 8
35 + 720 .
72
СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА СМЕСЕНИ ЧИСЛА
ЗАДАЧА 1 Съберете смесените числа 2 15 и 4 2
5 .Решение:І начин: 2 4 61
525
115
225
335
35
+ = + = = .
ІI начин: 2 4 2 4 2 4 6 615
25
15
25
15
25
35
35
+ = + + + = + + + + =( ) ( ) = .
Записваме: 2 4 615
25
35
+ =
Правило за събиране на смесени числаI начин:1. смесените числа превръщаме
в неправилни дроби;2. събираме неправилните дроби;3. получения сбор (неправилна
дроб) превръщаме в смесено число.
ІІ начин:1. събираме целите части;2. събираме дробните части;3. събираме получените сборове
и резултата записваме като смесено число.
ЗАДАЧА 2 Пресметнете: а) 5 4 712
+ ; б) 13 519
719
+ .
Решение: а) 5 4 9712
712
+ = ; б) 13 13519
719
1219
+ = .
Всяко естествено число е смесено число с дробна част нула.Всякa правилна дроб е смесено число с цяла част нула.
ЗАДАЧА 3 Пресметнете: а) 4 3711
511
+ ; б) 2 358
712
+ .
Решение: а) 4 3 7 7 1 8711
511
1211
111
111
+ = + = + =
Записваме: 4 3 7 8711
511
1211
111
+ = = .
Записът 71211 не е смесено число, защото 12
11 не е правилна дроб. Той се използва за рационално пресмятане.
33.
!
73
б) 2 3 2 3 538
712
924
1424
2324
3 2
24
� �
��� ��+ = + =
Ако дробните части на смесените числа са с различни знаменатели, предварително ги привеждаме към дроби с равни знаменатели.
ЗАДАЧА 4 Извадете смесените числа 5 35 и 31
5 .Решение:І начин: 5 3 23
515
285
165
125
25
− = − = = .
ІI начин: 5 3 235
15
25
− =
Правило за изваждане на смесени числаI начин:1. смесените числа превръщаме
в неправилни дроби;2. изваждаме неправилните
дроби;3. ако полученият резултат е
неправилна дроб, превръщаме я в смесено число.
ІІ начин: 1. изваждаме дробните части;2. изваждаме целите части;3. резултата записваме като
смесено число.
ЗАДАЧА 5 Извадете: а) 17 13 – 5 2
3 ; б) 18 311 – 5 7
11 . Решение:
а) 17 13 – 5 2
3 = ? От неможемдаизвадим !
Тогаваот17“вземаме1цяло”,записвамегокато игоприбавямекъмдробнатачаст.
Записваме 17 13 – 5 2
3 = 16 43 – 5 2
3 = 11 23 .
б) 18 311 – 5 7
11 = 171411 – 5 7
11 = 12 711
ЗАДАЧИ Пресметнете по два начина:
1 а) 3 527
17
+ ; б) 5 7811
311
+ ;
в) 5 413
12
+ ; г) 3 527
16
+ .
2 а) 7 2513
213
− ; б) 8 5 711
− ;
в) 8 313
15
− ; г) 9 427
57
− .
!
(17 13 = 16 + 1 + 1
3 = 16 + 33 + 1
3 = 16 + 43 = 16 4
3 )
74
СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ. НАМИРАНЕ НА НЕИЗВЕСТНО СЪБИРАЕМО, УМАЛЯЕМО И УМАЛИТЕЛ
Намерете неизвестното число x:
а) ; б) в)
; ; .
Решение:
х + 27 = 3
4 х – 313 = 1
258 – х = 1
6
х + 27 = 3
4
х = 34 – 2
7
х = 2128 – 8
28
х = 1328
х – 313 = 1
2
х = 12 + 3
13
х = 1326 + 6
26
х = 1926
58 – х = 1
6
х = 58 – 1
6
х = 1524 – 4
24
х = 1124
х + 811 = 10
11
ЗАДАЧА 1
Неизвестно събираемо намираме, като от сбора извадим даденото събираемо.
б) – 3 = 2 = 2 + 3
в) 5 – = 3 = 5 – 3
Неизвестно умаляемо намираме, като съберем разликата с умалителя.
Неизвестен умалител намираме, като от умаляемото извадим разликата.
а) + 3 = 5 = 5 – 3
34.
!
!
!
75
Попълнете празните квадратчета така, че квадратът да стане магически:Решение: Сборът на числата по редове, стълбове и диагонали трябва да бъде равен на
1. Търсим число x от квадратчето 1 . 2. Търсим число x от квадратчето 3 .
3. Търсим число x от квадратчето 2 . 4. Търсим число x от квадратчето 4 .
5. Търсим число x от квадратчето 5 . Магическият квадрат е
? ? ?
15
13
715
? ? 25
1
15
х = 415
15
25 4
1535
215
15
13
715
815
115
25
ЗАДАЧА 2
,
ЗАДАЧИУмаляемо 8
9 ? 59 ?
Умалител ? 817 ? 25 3
22
Разлика 19
317
14 13 5
22
Събираемо 217 ? 3
8 ?
Събираемо ? 13 ? 15 5
32
Сбор 717
1112
56 37 7
32
1 2
2 3
4 5