1

規矩術の数学 2001 年 6 月 1 日 改訂 2011 年 2 月 5 日 補充 2011 年 4 月 23 日 訂正 2011 年 11 月 1 日（ページ２に詳述） 改訂 2014 年 6 月 1 日 安部 康明

2

はじめに 規矩術で使われる中勾、長玄、短玄などの種々勾配を、定義に従って三角関数で表現してみまし

た（ページ３）。

一方、解析幾何学の理論を使って、四方ころび構造における種々の接合角度を、三角関数で表現

する数式を導出しました。

４枚の板からなる漏斗型四方ころびについては、相接する２枚の板の傾き角が等しくない一般的

な場合（振れ隅の構造）についての式を求めました（ページ４，５）。

柱の四方ころびについても、東西と南北の傾き角が等しくない一般的な場合（振れ隅の構造）に

ついての式を求めました（ページ６、７）。

どちらの場合も、二つの傾き角を等しくした場合には、規矩術で言われている規則と同じ結果が

得られます。「四方とめの上端とめ角は長玄の勾配のころび」、「四方ころび柱の垂直断面の隅の角

は加弓の勾配」、などなど。

これらの接合角度の値は、実際にはＣＡＤで（Google の SketchUp でも可）得られますが、本資

料の数式でも、三角関数を扱えるポケット電卓が有れば、傾き角から計算できます（ふたつの傾

き角が等しくない場合も）。

ページ８以下の補足は、数式の具体的な導出過程です。

具体的な応用例として「異方性四方転び（振れ隅）胴付きの墨付けと加工」（じょうご形）と「 柱

建て四方転び（振れ隅構造）の墨付けと加工；工房用」を別資料（下記ホームページ）にしまし

た。

安部 康明

http://www.mokkou-atorie-y.com

2011 年 11 月 1日の訂正

①page 3 の加弓の勾配の定義で三角関数の式を、旧式の分子／分母を逆転したものへ訂正。

②それに従い、page 7 の 4 行目の四方転び柱断面の式は、「α＝βの時は加弓の勾配のころびに

なる。」へ訂正。（三角関数の式は正しい。記述による表現のみの訂正：規矩術での規則に合致。）

3

規矩術における種々勾配の定義と三角関数による表現 2011.11.1

転び勾配、または返し勾配＝余角の勾配＝定義の分子と分母を逆転する。

延びかね法＝上式で殳の代わりに玄を取ること＝a を l に変えること。

例：平勾配（ h/ a）の延び＝h/l＝sinα＝中勾の勾配

つまり、規矩術で”平勾配の延びは中勾の勾配に等しい”と言われていること

殳＝a勾＝h玄=l中勾＝h1長玄＝l1短玄＝l2小中勾＝h2加弓＝h4

中勾の勾配において

h4

hh1

a

l1

ll2

h2

hh1

a

α

規矩術で用いられる種々勾配と その定義（下式下線部に上図の各長さ

を入れる。） 墨付けも上図に従って差し金でする。

左の各勾配を三角関数で表現すると下式の左辺になり、 さらに平勾配 atan を用いて書き直すと右辺になる。 （各勾配の値を平勾配の値から右辺で算出し、これに 殳の長さを掛けたものを勾として墨付けする。）

平勾配 h/a atan

ころび勾配 返し勾配

a/h

aa

tan1cot =

中勾の勾配

hllhah 21 /// == a

aa2tan1

tansin+

=

長玄の勾配

hhlaal 11 /// == a

a2tan1

1cos+

=

短玄の勾配 )//(/ a)(hhlal 1122 = aaaa 22 tan1tantansin +=

小中勾の勾配

ah2 / ( )323 tan1tansin aaa +=

加弓の勾配

ah4 / aa 22 21 tantan +

半勾配

ah /21

倍勾配

ahah /22/2 =

裏の目勾配 ah /2

4

じょうご形四方ころび x 軸の周りにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反時計方向）回転した板と y 軸の周りにβ（軸に沿って見て時計方向）回転した板との組み

灰色部分は 2枚の板の

交差部 ａ．四方胴付き 上端胴付き角

baq tansin/tan 11 ±=

（α＝βでは aa tansin/1 となり

これは前ページ表より短玄の勾配の転び）

向う胴付き角

baq tancos/tan 13 ±= （α＝βでは asin/1 となり

これは前出表より中勾の勾配の転び）

胴付き面の隅の角

baabq 22 sincossincostan ±=

（α＝βでは a31 sin/ となり これは前出表より小中勾の勾配の転び）

baq costan/1tan 4 =

（ ）内の結果は規矩術での規則と一致。

y

x

β

α y

x

β

α

5

ｂ．四方とめ（構造的に baba coswcoswsintsint baba == 、 の関係が生じる） 上端とめ角 abq sin/tantan ±=1 （α＝βでは 1/cosα

これは前出表より長玄の勾配のころび） ） baq sin/tantan ±=2 向うとめ角

baq tancos/tan 13 ±= （α＝βでは aa tancos/1 これは前出表より中勾の勾配のころび）

baq costan/tan 14 ±=

（ ）内の結果は規矩術での規則と一致。

θ１ θ2

θ４

θ３

ｔa

ｔb

wa

wb

6

柱建て四方ころび 高さ h の角柱の上面を、矩形の形状と高さ h を保ったまま、x 軸に平行にｒ、y 軸に平行に

－ｓ、xy 面に平行に移動した場合に出来る角柱。 矩形断面の角柱を倒すのではなく、百人一首を積み重ねた柱で、各札がずれて、上下面を平

行に保ったまま傾いて出来るような柱。接地面と天井は矩形であるが、柱の軸に垂直な断面

は矩形ではなくなる。 z 軸に平行な 4 本の稜は x 軸のまわりにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反

時計方向）、y 軸のまわりにβ（y 軸に沿って見て時計方向）だけ回転する。柱の軸方向に垂

直な断面は矩形から外れる。

h/rtanh/stan

==

ba

となる。

y

x

z

r-s

h

βα

y

x

z

r-s

h

βα

7

・柱の長さ＝ ba 22 tantan1hl ++=

・稜に垂直な柱断面の形（接地面を矩形にする＝癖をとるために必要な形）の隅角度

　babaJ tantan/tantantan 1221 ++-=

（α＝βでは aa 22 tantan21+- ：これは前出表より加弓の勾配のころび（の補角））

・柱側面の隅の角

baaJ cossin/costan 2 -=

（α＝βでは 1/sinα：これは前出表より中勾の勾配のころび）

babJ sincos/costan 3 -=

・ｙ方向のぬきの上下面と柱側面の交線が、柱の稜となす角

bbaaJ cossintan/tan1tan 224 +=

（α＝βでは a3sin/1 ： 小中勾の勾配のころび）

・ｙ方向のぬきの胴付き角

baJ sintan/1tan 5 =

（α＝βでは 1/ atan sinα：短玄の勾配のころび） （ ）内の結果は規矩術での規則と一致。

x 方向のぬきにつ

いては、左式のα

とβを入れ替え

る。

y

x

z

r-s

h

βα

h/rtanh/stan

==

ba

y

x

z

r-s

h

βα

y

x

z

r-s

h

βα

h/rtanh/stan

==

ba

θ1

θ4

θ2θ3

lθ５

8

［以下 補足］

じょうご形四方ころびの式の導出

x 軸の周りにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反時計方向）回転した板と y 軸の周りにβ（軸に沿って見て時計方向）回転した板との組み

面Aout

y

x

8a

12

3

4

面Ain

板A

板B面Bin

面Bout

5a

6a

7a

8b

5b6b

7b

wb

wa

tb ta

2'

3'

4'=4

5'

6'7'

8'9'

10'

1

2"= 2

3"4"

5"6"

7"8"

11

β

α

板B面Bin

面Bout面Aout

面Ain板A

y

x底部拡大

直交状態 灰色部：板材 A、B の交差部分 面 Ain、面 Bin：組の内側となる面 ：傾斜した右図では上を向く面 面 Aout、面 Bout：組の外側となる面 ：傾斜した右図では下を向く面 点 1～4：交差部分の底面の四隅の点 点 5a～8a：交差部分の板 A の上端矩形の四隅の点 点 5b～8b：上方に延長した交差部分と板 B の上端

が交差する矩形の四隅の点 wa、ta、wb、tb：板材 A、B の幅と厚み

四方ころびの状態 ①板 A がｘ軸の周りに時計方向に αだけ回転 ②板 B が y 軸の周りに時計方向に βだけ回転 灰色部：上記のそれぞれの回転にともなって傾いた 左図の灰色の交差部分 点 2'～8'：左図の点 2～4、5a～8aが上記の回転①に ともなって移動した点 点 2"～8"：左図の点 2～4、5b～8bが上記の回転②に ともなって移動した点 点 9' ：点 5'、8'を通る直線と面 Binとの交点 点 9" ：点 5"、8"を通る直線と上方に伸長した面

Ainとの交点 （図では省略） 点 10' ：点 6'、7'を通る直線と面 Boutとの交点 点 10" ：点 7"、8"を通る直線と上方に伸長した面

Aoutとの交点（図では省略） 点 11 ：点 6'、7'を通る直線と面 Binとの交点

9

●点の座標

x 軸の周りにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反時計方向）回転した場合

式

により

y 軸の周りにβ（軸に沿って見て時計方向）回転した場合、

式

により

座標（x,y,z）は（x',y',z'）、（x",y",z"）に変る。下表のように各点の座標が求まる。

回転前 板Ａの回転後 板Ｂの回転後

x

y

z

1

0 0 0

x

y

z

2

0 -ta

0

2'

0 -ta cosα - ta sinα

x

y

z

3

tb

-ta

0

3'

tb

-ta cosα - ta sinα

3"

tb cosβ -ta -tb sinβ

x

y

z

4

tb

0 0

4"

tb cosβ 0

-tb sinβ x

y

z

5

0 0 wa

5'

0 -wa sinα wa cosα

5"

wb sinβ 0 wb cosβ

x

y

z

6

0 -ta

wa

6'

0 -ta cosα-wa sinα - ta sinα+wa cosα

6"

wb sinβ -ta wb cosβ

x

y

z

7

tb -ta

wa

7'

tb

-ta cosα-wa sinα - ta sinα+ wa cosα

7"

tb cosβ+ wb sinβ -ta -tb sinβ+ wb cosβ

x

y

z

8

tb

0 wa

8'

tb

-wa sinα wa cosα

8"

tb cosβ+ wb sinβ 0 -tb sinβ+ wb cosβ

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é-=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

zyx

cossin0sincos0001

'z'y'x

aaaa

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

-=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

zyx

cos0sin010

sin0cos

"z"y"x

bb

bb

10

点 9'、9"、10'、10"、11 の座標は後述の面と直線との交点を求める式による。まず面 Ain、Aout、

Bin、Boutの式を求める。

●３点（xu yu, zu）、（xv, yv, zv）、（xw, yw, zw）を通る平面の式

Px + Qy + Rz = D

D

面 Aout（2'-3'-7'） 面 Ain（1-4-8'）

P

Q

R

aba

aabab2

a

aabab2

a

aa

a

a

aa

a

a

b

b

wtt)coswsint(costtsincost)t(

)sinwcost(sinttsincost)t(

coswsintsintsint

sinwcostcostcost

tt0

=+-+-

++=

+---

----

aaaaa

aaaaa

aaaa

aaaa

0111

coswsintsintsint

sinwcostcostcost

aa

a

a

aa

a

a

=+-

--

----

aaaa

aaaa

aaaaaa

aaaa

coswtsintt)coswsint(tsinttsintt

111

tt0

coswsintsintsint

abba

aabbaba

b

b

aa

a

a

-=++----=

+---

aaaaaa

aaaa

sinwtcosttcostt)sinwcost(tcostt

111

sinwcostcostcost

tt0

abbaba

aabba

aa

a

a

b

b

-=++

--+-=

----

0cosw00

sinw00

tt0

aab

b =- aa

aa

sinwt111

sinw00

tt0

ab

ab

b -=-

0111

cosw00

sinw00

aa

=- aa

aa

coswt111

tt0

cosw00

ab

b

b

a

-=

w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

ww

vv

uu

zzz

yyy

xxx

D,111

yyy

xxx

R,111

xxx

zzz

Q,1zy1zy1zy

P ==== 　　　　

11

D

面 Bou（3"-4"-8"） 面 Bin（1-2-6"）

P

Q

R

bbabbba

bbba

bb

b

ba

bb

b

b

wtt)coswsint(sintt)sinwcost(sintt

coswsintsintsint

00t

sinwcostcostcost

=+-+

+=

+----

+

bbbbbb

bbbb

bbbb

0cosw00

tt

0

sinw00

ba

a

b

=--

bb

bbbb

bbbb

coswt)coswsint(tsintt111

coswsintsintsint

00t

babbaba

bb

b

ba

=+-+=

+----

0111

sinwcostcostcost

coswsintsintsint

bb

b

b

bb

b

b

=++-

--

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

sinwtcostt)sinwcost(t111

00t

sinwcostcostcost

bababba

a

bb

b

b

-=++-=

-

+

bb

coswt111

cosw00

tt

0

ba

ba

a -=--

0111

sinw00

cosw00

bb

=bb

bb

sinwt111

tt

0

sinw00

ba

a

a

b

=--

12

●点 9'、9"、10'、10"、11 の座標 ２点（xu, yu, zu）、（xv, yv, zv）を通る直線と平面 Px+Qy+Rz=D の交点の座標 （xc, yc, zc）は次式で与えられる。 点 9'＝

直線 5'-8'と 面Binの交点

点 9"＝ 直線 5"-6"と 面 Ain の交点

点 10'＝ 直線 6'-7'と 面 Boutの交点

点 10"＝ 直線 8"-7"と 面 Aout の交点

点 11＝ 直線 6'-7'と 面 Bin の交点

上

式

へ

の

入

力

デ

∣

タ

D 0 0 tatbwb tatbwa 0 P - tawbcosβ 0 tawbcosβ 0 -tawbcosβ Q 0 - tbwacosα 0 - tbwacosα 0 R tawbsinβ - tbwasinα -tawbsinβ - tbwasinα tawbsinβ

Δx - tb 0 tb 0 tb Δy 0 - ta 0 ta 0 Δz 0 0 0 0 0 xu 0 wbsinβ 0 tbcosβ+ wbsinβ 0

yu - wasinα 0 -tacosα- wasinα - ta -tacosα

- wasinα zu wacosα wbcosβ -tasinα

+ wacosα -tbsinβ

+wbcosβ -tasinα

+ wacosα 計

算

結

果

xc wacosα･

tanβ wbsinβ tb/cosβ

- tanβ(tasinα

-wacosα)

tbcosβ

+ wbsinβ - tanβ･

(tasinα

- wacosα) yc - wasinα - wbtanα

cosβ

-tacosα

- wasinα -ta/cosα

+ tanα(tbsinβ

-wbcosβ)

-tacosα

- wasinα

zc wacosα wbcosβ -tasinα

+ wacosα -tbsinβ

+ wbcosβ -tasinα

+ wacosα

uvuvuv

uuuc

uuuc

uuuc

zzzyyyxxxzRyQxP

z)yQxR(z)QyPxD(z

zRyQxPy)xPzR(y)PxRzD(y

zRyQxPx)zRyQ(x)RzQyD(x

-=D-=D-=DD+D+D

D+D+D--=

D+D+DD+D+D--

=

D+D+DD+D+D--

=

　，，　　　

13

●所要角度の式の導出 2 点（xu, yu, zu）と（xv, yv, zv）を通る直線と、2 点（xw, yw, zw）と（xv, yv, zv）を通る直線の 点（xv, yv ,zv）における交差角θは次式で与えられる。

wvvwwvvwwvvw

uvvuuvvuuvvu

vwvuvwvuvwvu

2vuvwvwvu

2vuvwvwvu

2vuvwvwvu

zzzyyyxxxzzzyyyxxx

zzyyxx)xzxz()zyzy()yxyx(

tan

-=-=D-=D-=D-=D-=D

DD+DD+DDDD-DD+DD-DD+DD-DD

=

，，　　　　

，，　　　　

J

四方胴付き 上端胴付き角 6'-11-9' 向う胴付き角 5'-9'-1 向う胴付き角 5"-9"-1 直線 11-9' 11-6' 9'-1 9'-5 9"-1 9"-5" Δx -tasinα･tanβ - tanβ･

(tasinα

- wacosα)

wacosα･

tanβ wacosα･

tanβ

wbsinβ 0

Δy -tacosα 0 - wasinα 0 - wbtanα

cosβ - wbtanα

cosβ

Δz - tasinα 0 wacosα 0 wbcosβ 0

tanθ 1/ sinαtanβ 1/cosαtanβ 1/ tanαcosβ

同様に 角 11-9’-1 baab 2sincossincos=

四方とめ 留めの場合は点 9'と 9"、10'と 10"が一致する構造であるので、先に求めた点の座標をそれぞれ等

しいと置くことにより、 baba coswcoswsintsint baba == 、 の関係が生じる。 上端とめ角 9'-10'-6' 上端とめ角 9"-10"-8" 直線 10'-9' 10'-6' 10"-9" 10"-8" Δx tb/cosβ

- tasinαtanβ

tb/cosβ

- tanβ(tasinα

-wacosα)

tbcosβ

0

Δy -tacosα 0 -ta/cosα

+ tb tanαsinβ

-ta/cosα

+ tanα(tbsinβ

-wbcosβ) Δz -tasinα 0 -tbsinβ

0

tanθ tanβ/sinα tanα/sinβ なお、向う留め角の導出は、上の胴付きの場合と同じになる。

θ

xv , yv, zv

xw, yw, zw

xu, yu, zu

θ

xv , yv, zv

xw, yw, zw

xu, yu, zu

14

y

x

z

r-s

hh

βα 5

67

8

6'

5'

7'

8'

ab

1

2

3

4

柱建て四方ころびの式の導出 高さ h の角柱を、上面の矩形と高さ h を保ったまま、x 軸に平行にｒ、y 軸に平行に－ｓ、

xy 面に平行に移動した形の角柱。 z 軸に平行な 4 本の稜は x 軸のまわりにα（x 軸に沿って見て時計方向：反対方向から見て反

時計方向）、y 軸のまわりにβ（y 軸に沿って見て時計方向）だけ回転する。柱断面は矩形か

ら外れる。 但し

h/rtanh/stan

==

ba

となる。

1

2'3'

4'

l

zβ

x

y5'

7'

8'

6'

ab

1

2

3

4

m

n

ぬきの垂直断面

hl

点 2' ：直線 2-6'と面 S との交点 点 3' ：直線 3-7'と面 S との交点 点 4' ：直線 4-8'と面 S との交点 ただし、面 S は点 1 を通り、 直線 1-5‘に垂直な面

15

●各点の座標 点 1 が原点（x=0, y=0, z=0） x

y

z

2

0

-b

0

2'

-b tanαtanβ/(1+tan2α+tan2β)

-b (1+ tan2β) /(1+tan2α+tan2β)

-b tanα/(1+tan2α+tan2β)

x

y

z

3

a

-b

0

3'

{a (1+ tan2α)－b tanαtanβ}/(1+tan2α+tan2β)

{a tanαtanβ－b(1+ tan2β) }/(1+tan2α+tan2β)

-(b tanα+a tanβ)/(1+tan2α+tan2β)

x

y

z

4

a

0

0

4'

a (1+tan2α)/(1+tan2α+tan2β)

a tanαtanβ/(1+tan2α+tan2β)

-a tanβ/(1+tan2α+tan2β)

x

y

z

5

0

0

h

5'

h tanβ

-h tanα

h

x

y

z

6

0

-b

h

6'

h tanβ

-b－h tanα

h

x

y

z

7

a

-b

h

7'

a+h tanβ

-b－h tanα

h

x

y

z

8

a

0

h

8' a+h tanβ

-h tanα

h

x

y

z

m

(hl +a cosβsinβ)tanβ

－ (hl+a cosβsinβ)tanα

hl+a cosβsinβ

x

y

z

n

a+hl tanβ

- hl tanα

hl

ｐ

a+hl tanβ

- hl tanα-p

hl

点 2', 3', 4'の座標は、直線 i-j'に垂直で原点を通る面と直線 i-j'との交点の座標を与える次式により

求めた。

)zz(z)yy(y)xx(xXX/)}yzzy(y)zxxz(x{zX/)}xyyx(x)yzzy(z{yX/)}zxxz(z)xyyx(y{x

i'j'5i'j'5i'j'5

'ji'ji'5'ji'ji'5'i

'ji'ji'5'ji'ji'5'i

'ji'ji'5'ji'ji'5'i

-+-+-=

---=

---=

---=

　　

16

●所要角度の式の導出 2 点（xu,yu,zu）と（xv,yv,zv）を通る直線と、2 点（xw,yw,zw）と（xv,yv,zv）を通る直線の 点（xv,yv,zv）における交差角θは次式で与えられる。

wvvwwvvwwvvw

uvvuuvvuuvvu

vwvuvwvuvwvu

2vuvwvwvu

2vuvwvwvu

2vuvwvwvu

zzzyyyxxxzzzyyyxxx

zzyyxx)xzxz()zyzy()yxyx(

tan

-=-=D-=D-=D-=D-=D

DD+DD+DDDD-DD+DD-DD+DD-DD

=

，，　　　　

，，　　　　

J

柱断面の角 角 2'－1－4'

柱側面の隅の角 角 1－2－6'

柱側面の隅の角 角 2－3－7'

柱側面でぬきの下端が 稜となす角 角 m－n－7'

Δxvu b tanαtanβ

/(1+tan2α+tan2β)

0 a a cos2β

Δyvu b (1+ tan2β)

/(1+tan2α+tan2β)

-b 0 a tanαsinβcosβ

Δzvu b tanα

/(1+tan2α+tan2β)

0 0 -a sinβcosβ

Δxvw -a (1+tan2α)

/(1+tan2α+tan2β)

-h tanβ -h tanβ -(h－hl)tanβ

Δyvw -a tanαtanβ

/(1+tan2α+tan2β)

h tanα h tanα (h－hl)tanα

Δzvw a tanβ

/(1+tan2α+tan2β)

-h -h -(h－hl)

分子 ab

/(1+tan2α+tan2β)

bh/cosβ ah/cosα )tan1()hh(a 22l

2 a+-

分母 -ab tanαtanβ

/(1+tan2α+tan2β)

-bh tanα -ah tanβ bba cossintan)hh(a 2l-

tanθ ba

batantan

tantan1 22 ++-

-1/tanαcosβ

-1/ cosαtanβ bba

acossintan

tan12

2+

角 m－n－ｐ =ba sintan

1)()( 22

=DD

DD+D

npnm

npmnmn

yyyzx

完

θ

xv , yv, zv

xw, yw, zw

xu, yu, zu

θ

xv , yv, zv

xw, yw, zw

xu, yu, zu