КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕfiles.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/4/u_lab.pdf ·...

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Сибирский Федеральный Университет

Лабораторные работы

Лабораторная работа 1. Тема: Вычисление машинной погрешности

Задание. (Задание общее на всю группу. Выполнение и реализация – индивидуальны.) 1. Составить программу для вычисления машиной погрешности. 2. Использовать вычисленное значение машинной погрешности в практических результатах определения: остаточных членов ряда, итрегралов, условных цик-лах, операторах условного перехода и пр. Требования к оформлению. Отчет по лабораторной работе должен содержать:

– постановку задачи; – описание математической модели; – описание метода исследования модели; – текст программного кода; – описание тестирования программы; – результаты расчетов задания; – анализ полученных результатов.

Лабораторная работа 2. Тема: Математическая обработка результатов экспериментальных данных моделирования. Интерполяция функции с разрывом произ-водной

Задание. Задание общее на всю группу. Индивидуальными являются задаваемые функ-ции, которые должны содержать локальный разрыв своей производной: на ин-тервале [–2; 2] с шагом 0.2 задана исходная функция с разрывом производной.

Пример. Задана функция

0 при 2 1,( ) при 1 1,

0 при 1 2.

xy f x x

x

− < < −⎧⎪= − < <⎨⎪ < <⎩

Требуется построить ее интерпояцию на интервале [–2; 2] с шагом 0.02.

При этом в решении не должно быть осцилляций и фунция должна оставаться положительной.

В ходе выполнения работы требуется построить тестовое решение на гладкой функции для обычного сплайна и для моноторизирующих сплайнов, опубликованных: Волков, Ю.С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов // ЖВМиМФ. Ю.С. Волков. 2004. Т. 44, № 2. С. 231-241. Пинчуков, В.И. Монотонный нелокальный кубический сплайн // ЖВМиМФ. В.И. Пинчуков. 2001. Т. 41, № 2 С. 200-206. Требования к оформлению. Отчет по лабораторной работе должен содержать:


Варианты заданий: Вариант f(x)

1 21 x− 2 41 x− 3 21 x− 4 ( ) ( )2 20.5 1 / 1x x− +

5 ( )( )sin 0.5 1 xπ + 6 ( )221 x−

7 ( )( )1 exp 1 | |x− − − 8 ( )( )2sin 0.5 1 xπ −

9 1 | |x−

10 ( )( )21 exp 1 x− − −

11 ( )( )2sin 0.5 1 xπ + 12 ( )1/ 21 | |x− 13 ( )( )1/ 21 exp 1 | |x− − −

14 ( )( )2 2sin 0.5 1 xπ −

15 ( )21 | |x− 16 ( )( )1/ 221 exp 1 x− − −

Лабораторная работа 3. Тема: Моделирование движения тел с учетом сил сопротивления

Задание:

(Задание общее на всю группу. Индивидуальными являются постановки задач.)

- описать математическую модель; - составить дифференциальные уравнения движения; - привести дифференциальные уравнения движения к безразмерному ви-ду;

- подготовить, отладить, протестировать на точном решении численный метод интегрирования дифференциальных уравнений;

- выполнить расчетное задание, построить характерные графики, провести анализ полученных результатов, определить и подобрать характерные значения размерных параметров.

Требования к оформлению. Отчет по лабораторной работе должен содержать:


Варианты заданий:

Вариант 1. Повести моделирование взлета двухступенчатой ракеты, ко-торая должна достигнуть первой космической скорости (7,9 км/с) на конечном этапе. Параметры задачи:

Пm – масса полезной нагрузки;

1 2,Т Tm m – масса топлива 1 и 2 ступени;

1 2,К Кm m – масса корпуса 1 и 2 ступени;

1 2,α α – расход топлива 1 и 2 ступени;

1 2,F F – тяга 1 и 2 ступени; c – коэффициент лобового сопротивления; S – площадь поперечного сечения. Анализ результатов провести на графиках скорости ( )v t , высоты ( )h t , пе-

регрузки ( )a t g . Получить программу угла тангажа ( )tϕ . Вариант 2. Повести моделирование взлета трехступенчатой ракеты, кото-

рая должна достигнуть второй космической скорости (11,2 км/с) на конечном этапе. Параметры задачи:

Пm – масса полезной нагрузки;

1 2 3, ,Т T Tm m m – масса топлива 1, 2 и 3 ступени;

1 2 3, ,К К Tm m m – масса корпуса 1, 2 и 3 ступени;

1 2 3, ,α α α – расход топлива 1, 2 и 3 ступени;

1 2 3, ,F F F – тяга 1, 2 и 3 ступени; c – коэффициент лобового сопротивления; S – площадь поперечного сечения Анализ результатов провести на графиках скорости ( )v t , высоты ( )h t , пе-

регрузки ( )a t g . Получить программу угла тангажа ( )tϕ . Вариант 3. Провести моделирование движения тела, брошенного под уг-

лом α к горизонту. Параметры задачи: 0v – начальная скорость; α – угол наклона вектора скорости к горизонтальной оси;

1 2,k k – коэффициенты сил сопротивления 21 1 2 2,C CF k v F k v= = .

Провести анализ результатов по графикам скорости ( )v t , траектории ( )y x , высоты ( )y t .

Взаимодействие тела с поверхностью 0y = при падении тела считать аб-солютно упругим, т. е. падения отраженияv v= .

Вариант 4. Провести моделирование движения торпеды, выпущенной с подводной лодки. Параметры задачи:

Тm – масса торпеды;

ТОПm – масса топлива на торпеде; α – расход топлива;

TF – сила тяги; V – объем торпеды; S – площадь поперечного сечения торпеды; c – коэффициент лобового сопротивления. Выбрать угол ϕ наклона силы тяги F таким, чтобы торпеда всплыла на

расстоянии R от мишени. После всплытия торпеды 0ϕ ≡ . L – расстояние между подводной лодкой и мишенью; H – глубина подводной лодки. Подводную лодку считать неподвижной. Учесть силу Архимеда 0AF gV= ρ , где 0ρ – плотность воды. Вариант 5. Провести моделирование движения тела, брошенного под уг-

лом 45 o к горизонту. Параметры задачи: 1m = кг – масса тела;

10v = м/с – начальная скорость тела; 0.01S = м2 – площадь поперечного сечения тела; 0.001V = м3 – объем тела.

Построить траектории и найти временные зависимости горизонтальной и вертикальной скорости при движении тела: 1) в воде; 2) в воздухе.

При движении в воде учесть силу Архимеда 0AF gV= ρ , где 0ρ – плот-ность воды. Исследовать влияние формы тела (сферической, полусферической, каплевидной) на его движение. Сравнить полученные результаты с теми, что получились бы без учета сопротивления среды.

Вариант 6. Провести моделирование движения ракеты, стартующей под углом ϕ к горизонту. В высшей части траектории от ракеты отделяется голов-ная часть и совершает свободное падение. Параметры задачи:

Гm – масса головной части;

Тm – масса топлива;

Кm – масса корпуса;

α – расход топлива; F – тяга; c – коэффициент лобового сопротивления; S – площадь поперечного сечения. Анализ результатов провести на графиках скорости ( )v t , траектории ( )y x ,

где указать место остановки двигателя, разделения ракеты с головной частью. Вариант 7. Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не откры-

вая парашюта. На какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость (не боль-шую 10 м/с)? Изучить, как связана высота прыжка с площадью поперечного се-чения парашюта, чтобы скорость приземления была безопасной?

Вариант 8. Промоделировать падения тела с заданными характеристика-ми (масса, форма) в различных вязких средах. Изучить влияние вязкости среды на характер движения. Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать.

Вариант 9. Промоделировать падения тела с заданными характеристика-ми (масса, форма) в различных плотных средах. Изучить влияние плотности среды на характер движения. Скорость движения должна быть достаточно ве-лика, чтобы линейной составляющей силы сопротивления можно было пренеб-регать (на большей части пути).

Вариант 10. Промоделировать движение исследовательского зонда, «вы-стреленного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается в точку старта. Рас-смотреть различные способы задания силы сопротивления движению.

Вариант 11. Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Ис-следовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой кор-пуса (сферической, полусферической, каплевидной и т. д.).

Вариант 12. Провести моделирование взлета ракеты при значениях пара-метров m0 = 2 . 107 кг, mкон = 2 . 105 кг, α = 2 . 105 кг/c, Fтяги = 4. 108 н. Ответить на вопрос: достигнет ли ракета при этих значениях параметров первой космиче-ской скорости 7,8 км/с?

Вариант 13. Провести исследование соотношения входных параметров m0

и Fтяги, при которых ракета достигнет первой космической скорости (и в соот-ветствующий момент исчерпает горючее). Остальные входные параметры фик-сировать произвольно. Построить соответствующую фазовую диаграмму в пе-ременных (m0, Fтяги).

Вариант 14. Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстреленного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории двигатель вы-ключается, над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается в точку старта.

Вариант 15. Построить траектории и найти временные зависимости гори-зонтальной и вертикальной составляющих скорости и перемещения для тела массой 1 кг, брошенного под углом 45о к горизонту с начальной скоростью 10 м/с ,

1) в воздухе; 2) в воде. Сравнить результаты с теми, которые получились бы без учета сопротив-

ления среды (последние можно получить либо численно из той же модели, либо аналитически).

Вариант 16. Найти вид зависимости горизонтальной длины полета тела и максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры. Представить эту зависимость гра-фически и подобрать подходящую аналитическую формулу, определив ее пара-метры методом наименьших квадратов.

Вариант 17. Разработать модель подводной охоты. На расстоянии r под углом α подводный охотник видит неподвижную акулу. На сколько метров вы-ше ее надо целиться, чтобы гарпун попал в цель?

Вариант 18. Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевид-ной и т. д.).

Вариант 19. Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигате-лем, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения за-данной глубины, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т. д.).

Вариант 20. Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с лежащей на дне подводной лодки на поражение движущегося надводного ко-рабля. Пуск торпеды производится в момент прохождения корабля над лодкой. Исследовать связь между глубиной залегания лодки, временем поражения цели и расстоянием, которое корабль успеет пройти по горизонтали.

Лабораторная работа 4. Тема: Моделирование колебательных процессов

Задание: (Задание общее на всю группу. Индивидуальными являются постановки задач.)

- описать математическую модель; - составить дифференциальные уравнения движения; - привести дифференциальные уравнения движения к безразмерному ви-ду;

- подготовить, отладить, протестировать на точном решении численный метод интегрирования дифференциальных уравнений;

- выполнить расчетное задание, построить характерные графики, провести анализ полученных результатов, определить и подобрать характерные значения размерных параметров;

- построить фазовые траектории решения скорость-координата, выпол-нить Фурье-анализ для незатухающих колебаний.




Вариант 1. Повести моделирование колебаний маятника с учетом влия-ния силы трения. При фиксированной длине маятника l определить критическое значение коэффициента трения k∗ , при котором движение перестает быть коле-бательным и становится затухающим.

Вариант 2. Повести моделирование колебаний маятника с учетом влия-ния силы трения. Исследовать влияние начальной амплитуды на переход коле-баний маятника из режима затухающих колебаний в режим затухания без коле-баний.

Вариант 3. Провести моделирование колебаний маятника без трения с учетом влияния внешней периодической силы. Построить зависимость ампли-туды колебаний от частоты вынуждающей силы λ при приближении ее к часто-те собственных колебаний ω0.

Вариант 4. Провести моделирование колебаний маятника с учетом сил трения и влиянием внешней периодической силы. Исследовать, как возрастание коэффициента трения влияет на процесс колебаний в системе с близкими значе-ниями частот вынуждающей силы λ и собственных колебаний ω0.

Вариант 5. Провести моделирование колебаний маятника с периодически меняющейся длиной рычага подвеса l. Определить на фазовой плоскости (λ/ω0, α) области нескольких зон параметрического резонанса (без учета сил трения).

Вариант 6. Провести моделирование колебаний пружинного маятника, лежащего на горизонтальной поверхности, под действием пружины, создающей упругую силу Fупр= –ax – bx3, где х – смещение из положения равновесия. Тре-

ние не учитывать. Исследовать зависимость колебаний маятника от параметра b (при фиксированных значениях других параметров).

Вариант 7. Повести моделирование колебаний маятника с учетом влия-ния силы трения. Построить диаграммы для потенциальной и кинетической энергии системы для различных значений величины коэффициента трения.

Вариант 8. Повести моделирование колебаний маятника с учетом влия-ния силы трения. Определить зависимость периода колебаний маятника от ко-эффициента жесткости пружины и его массы.

Вариант 9. Провести моделирование колебаний маятника без трения с учетом влияния внешней периодической силы. Построить зависимость периода колебаний от начального отклонения при приближении частоты вынуждающей силы λ к частоте собственных колебаний ω0.

Вариант 10. Провести моделирование колебаний маятника с учетом сил трения и влиянием внешней периодической силы. Исследовать диаграммы по-тенциальной и кинетической энергии в системе с близкими значениями частот вынуждающей силы λ и собственных колебаний ω0.

Вариант 11. Провести моделирование колебаний маятника с периодиче-ски меняющейся длиной рычага подвеса l. Из анализа результатов на фазовой плоскости (λ/ω0, α) определить области нескольких зон параметрического резо-нанса (без учета сил трения).

Вариант 12. Провести моделирование колебаний пружинного маятника, лежащего на горизонтальной поверхности, под действием пружины, создающей упругую силу Fупр= – ax², где х – смещение из положения равновесия. Трение не учитывать. Исследовать зависимость колебаний маятника от параметра b (при фиксированных значениях других параметров).

Вариант 13. Повести моделирование колебаний маятника с учетом влия-ния силы трения. Оценить амплитуду колебаний маятника, начиная с которой его колебания перестают быть изохронными (т. е. период колебаний начинает зависеть от амплитуды).

Вариант 14. Повести моделирование колебаний маятника с учетом влия-ния силы трения. На основе моделирования определить зависимость периода от начального отклонения.

Вариант 15. Провести моделирование колебаний маятника без трения с учетом влияния внешней периодической силы. Найти зависимость периода ко-лебаний от начального смещения и начальной скорости для различных значений частоты вынуждающей силы λ при приближении ее к частоте собственных ко-лебаний ω0.

Вариант 16. Провести моделирование колебаний маятника с учетом сил трения и влиянием внешней периодической силы. Построить зависимости x(t),

( ),x t& ( )x x& для системы с близкими значениями частот вынуждающей силы λ и

собственных колебаний ω0. Вариант 17. Провести моделирование колебаний маятника с периодиче-

ски меняющейся длиной рычага подвеса l. Построить диаграммы потенциаль-ной и кинетической энергии при различных значениях длины рычага. Прове-рить выполнение закона сохранения энергии.

Вариант 18. Провести моделирование колебаний пружинного маятника, лежащего на горизонтальной поверхности, под действием пружины, создающей упругую силу Fупр= – ax – bx3, где х – смещение из положения равновесия. Тре-ние не учитывать. Определить зависимость частоты колебаний маятника от ам-плитуды для различных значений параметра a.

Вариант 19. Провести моделирование колебаний маятника с учетом сил трения и влиянием внешней периодической силы. Получить различные режимы переходных колебаний – с монотонным ростом амплитуды и с ее осцилляция-ми. Коэффициент в силе трения должен быть не слишком велик, чтобы свобод-ные колебания затухали в течение многих периодов.

Вариант 20. Выполнить моделирование колебаний маятника с учетом сил трения и влиянием внешней периодической силы. Получить зависимости ам-плитуды колебаний маятника от частоты внешней силы для случая малых коле-баний, а также для вариантов, когда наблюдаются пульсации амплитуды.

Лабораторная работа 5. Тема: Моделирование распространения тепла в стержне

Задание:

(Задание общее на всю группу. Индивидуальными являются постановки задач.)

- описать математическую модель; - составить дифференциальные уравнения; - привести дифференциальные уравнения к безразмерному виду; - подготовить, отладить, протестировать на точном решении численный метод интегрирования дифференциальных уравнений;

- выполнить расчетное задание, построить характерные графики, провести анализ полученных результатов, определить и подобрать характерные значения размерных параметров;

- оценить скорость распространения тепла. Требования к оформлению. Отчет по лабораторной работе должен содержать:



Вариант 1. Повести моделирование распространения температуры в стержне длины L. В начальный момент времени стержень имеет температуру

0T . Граничные условия: 0 1xT T= = , 2x LT T= = ( 2 1 0T T T> > ).Исследовать процесс выхода температуры на стационар в случае, когда коэффициент теплопроводно-сти 0

nk k T= (0 5n≤ ≤ ). Оценить скорость распространения температуры при различных n.


0T . Граничные условия: поток тепла 10x xT W= = , 2x LT T= = ( 2 0T T< ). Исследовать

процесс выхода температуры на стационар в случае, когда коэффициент тепло-проводности 0

nk k T= (0 5n≤ ≤ ). Оценить скорость распространения темпера-туры при различных n.


0T . Граничные условия: поток тепла 2x x LT W= = , 0 1xT T= = ( 1 0T T> ). Коэффициент

температуропроводности принять равным α. Исследовать процесс выхода тем-пературы на стационар в случае, когда в стержне имеется внутренний источник тепла 2( ) exp( ( ) )f cf x T s x x= − ( / 2cx L= ). Оценить скорость распространения

температуры при различных fT , s.


0T . Граничные условия: поток тепла 0x x LT = = , 0 cos( )xT A t= = ω . Коэффициент

температуропроводности принять равным α. Исследовать процесс распростра-нения температуры в стержне в зависимости от частоты колебаний ω.


0T . Граничные условия: поток тепла 0x LT = = , 0 cos( )x xT A t= = ω . Коэффициент

температуропроводности принять равным α. Исследовать процесс распростра-нения температуры в стержне в зависимости от частоты колебаний ω.

Вариант 6. Повести моделирование распространения температуры в стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-пределение температуры 0 ( ) ( 1)T x x x= ⋅ − . Граничные условия: 0 1xT T= = ,

2x LT T= = ( 2 1 0T T T> > ). Исследовать процесс выхода температуры на стационар в

случае, когда коэффициент теплопроводности 0nk k T= (0 5n≤ ≤ ). Оценить

скорость распространения температуры при различных значениях k. Вариант 7. Повести моделирование распространения температуры в

стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-

пределение температуры 3 20 ( ) 1T x x x= + − . Граничные условия: поток тепла

10x xT W= = , 2x LT T= = ( 2 0T T< ). Исследовать процесс выхода температуры на ста-

ционар в случае, когда коэффициент теплопроводности 0nk k T= (0 5n≤ ≤ ).

Оценить скорость распространения температуры при различных n. Вариант 8. Повести моделирование распространения температуры в

стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-пределение температуры 2

0 ( ) (1 )T x x x= ⋅ − . Граничные условия: поток тепла

2x x LT W= = , 0 1xT T= = ( 1 0T T> ). Коэффициент температуропроводности принять

равным α . Исследовать процесс выхода температуры на стационар в случае, когда в стержне имеется внутренний источник тепла 2( ) exp( ( ) )f cf x T s x x= −

( / 2cx L= ). Оценить скорость распространения температуры при различных

fT , s.

Вариант 9. Повести моделирование распространения температуры в стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-пределение температуры 4

0 ( ) 1T x x= − . Граничные условия: поток тепла 0x x LT = = , 0 cos( )xT A tω= = . Коэффициент температуропроводности принять

равным α . Исследовать процесс распространения температуры в стержне в за-висимости от частоты колебаний ω .

Вариант 10. Повести моделирование распространения температуры в стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-пределение температуры 0 ( ) sin(2 )T x x x= ⋅ π . Граничные условия: поток тепла

0x LT = = , поток тепла 0 cos( )x xT A t= = ω . Коэффициент температуропроводности

принять равным α. Исследовать процесс распространения температуры в стерж-не в зависимости от частоты колебаний ω.


0 ( ) 4 ( 1)T x x x= ⋅ − . Граничные условия: 0 1xT T= = ,



скорость распространения температуры при различных значениях n.


0 ( ) ( 1) sinT x x x= − ⋅ . Граничные условия: поток тепла

10x xT W= = , 2x LT T= = ( 2 0T T< ). Исследовать процесс выхода температуры на ста-

ционар в случае, когда коэффициент теплопроводности 0nk k T= (0 5n≤ ≤ ).


стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-пределение температуры 3

0 ( ) 10 ( 1)T x x x= ⋅ − . Граничные условия: поток тепла

2x x LT W= = , 0 1xT T= = ( 1 0T T> ). Коэффициент температуропроводности принять

равным α . Исследовать процесс выхода температуры на стационар в случае, когда в стержне имеется внутренний источник тепла 2( ) exp( ( ) )f cf x T s x x= −


fT , s.


0 ( ) ( 0.5) cos(2 )T x x x= + ⋅ π . Граничные условия: поток тепла 0x x LT = = , 0 cos( )xT A t= = ω . Коэффициент температуропроводности при-

нять равным α. Исследовать процесс распространения температуры в стержне в зависимости от частоты колебаний ω.

Вариант 15. Повести моделирование распространения температуры в стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-пределение температуры 0 ( ) sin( ) cos( )T x x x= π ⋅ . Граничные условия: поток теп-ла 0x LT = = , поток тепла 0 cos( )x xT A t= = ω . Коэффициент температуропроводно-

сти принять равным α. Исследовать процесс распространения температуры в стержне в зависимости от частоты колебаний ω.

Вариант 16. Повести моделирование распространения температуры в стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-пределение температуры 0 ( ) sin(2( 1))T x x x= − . Граничные условия: 0 1xT T= = ,



скорость распространения температуры при различных значениях n. Вариант 17. Повести моделирование распространения температуры в

стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-пределение температуры 0 ( ) ln(0.5 )( 1)T x x x= + − . Граничные условия: поток те-пла 10x xT W= = , 2x LT T= = ( 2 0T T< ). Исследовать процесс выхода температуры на

стационар в случае, когда коэффициент теплопроводности 0nk k T= (0 5n≤ ≤ ).


стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-пределение температуры 0 ( ) sin(4( 1))T x x x x= − − . Граничные условия: поток тепла 2x x LT W= = , 0 0xT = = . Коэффициент температуропроводности принять рав-

ным α . Исследовать процесс выхода температуры на стационар в случае, когда в стержне имеется внутренний источник тепла 2( ) exp( ( ) )f cf x T s x x= −


fT , s.

Вариант 19. Повести моделирование распространения температуры в стержне длины L, 0 1L≤ ≤ . В начальный момент времени стержень имеет рас-пределение температуры 0 ( ) cos(2 )T x x x= π . Граничные условия: поток тепла

0x x LT = = , 0 cos( )xT A t= = ω . Коэффициент температуропроводности принять

равным α. Исследовать процесс распространения температуры в стержне в зави-симости от частоты колебаний ω.


0 ( ) exp( )( 2)T x x x x= ⋅ − − . Граничные условия: поток тепла 0x LT = = , поток тепла 0 cos( )x xT A t= = ω . Коэффициент температуропро-

водности принять равным α. Исследовать процесс распространения температу-ры в стержне в зависимости от частоты колебаний ω.

Лабораторная работа 6.

Тема: Моделирование экологических систем Задание: (Задание общее на всю группу. Индивидуальными являются постановки задач.)

- описать математическую модель; - составить дифференциальные уравнения; - привести дифференциальные уравнения к безразмерному виду; - подготовить, отладить, протестировать на точном решении численный метод интегрирования дифференциальных уравнений;

- выполнить расчетное задание, построить характерные графики, провести анализ полученных результатов, определить и подобрать характерные значения размерных параметров.




Вариант 1. Изучить динамику эволюции популяции модели внутривидо-вой конкуренции с дискретным размножением при значениях параметров 1b = ,

1R = , 0 100N = в зависимости от значения параметра a в диапазоне

0.1 10a≤ ≤ . Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.

Вариант 2. Изучить динамику эволюции популяции модели внутривидо-вой конкуренции с дискретным размножением. В фазовой плоскости ( , )b R най-ти границы зон, разделяющих режимы монотонного, колебательного установ-ления стационарной численности популяции, а также режимы устойчивых пре-дельных циклов. Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.

Вариант 3. Изучить динамику эволюции популяций в модели межвидо-вой конкуренции при значениях параметров 1 2r = , 2 2r = , 1 200K = , 2 200K = ,

01 100N = , 0

2 100N = . Исследовать зависимость динамики популяций от соотно-шения коэффициентов конкуренции α12 и α21. Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.

Вариант 4. Изучить динамику эволюции популяций в модели межвидо-вой конкуренции. В фазовой плоскости 0 0

1 2( , )N N построить границы зон, разде-ляющих два произвольных режима эволюции конкурирующих популяций. При этом следует учесть, что режим устойчивого сосуществования популяции мо-жет быть реализован только при 112 21α ⋅ α < . Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.

Вариант 5. Изучить динамику эволюции популяций в модели «хищник-жертва» при значениях параметров 0.1a = , 2f = , 2q = , 0 100N = , 0 6C = в за-висимости от значения параметра r в диапазоне 0.1 2r≤ ≤ . Выявить качествен-ные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.

Вариант 6. Изучить динамику эволюции популяций в модели «хищник-жертва» в режиме сопряженных колебаний численности жертв и хищников. Ис-следовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищни-ков от амплитуд колебаний численности жертв при различных соотношениях начальных численностей популяций 0N и 0C . Выявить качественные различия в характере эволюций и дать их интерпретацию.


3R = , 0 10N = в зависимости от значения параметра a в диапазоне 0.1 10a≤ ≤ . Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпрета-цию.

Вариант 8. Изучить динамику эволюции популяции модели внутривидо-вой конкуренции с дискретным размножением. В фазовой плоскости ( , )b R най-ти границы зон, разделяющих режимы монотонного, колебательного установ-ления стационарной численности популяции. Определить влияние скорости воспроизводства популяции. Выявить качественные различия в характере эво-люции и дать их интерпретацию.


01 100N = , 0

2 100N = . Исследовать зависимость динамики популяций от скорости роста популяции в отсутствие конкуренции. Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.


1 2( , )N N построить границы зон, разде-ляющих два произвольных режима эволюции конкурирующих популяций. Ис-следовать влияние параметров интенсивности межвидовой конкуренции. Вы-явить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.

Вариант 11. Изучить динамику эволюции популяций в модели «хищник-жертва» при значениях параметров 0.3a = , 1f = , 1q = , 0 10N = , 0 3C = в зави-симости от значения параметра скорости роста r в диапазоне 0.1 2r≤ ≤ . Вы-явить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.

Вариант 12. Определить характерные параметры для моделирования ди-намики эволюции популяций в модели «хищник-жертва» в режиме колебаний численности жертв и хищников. Для режима сопряженных колебаний исследо-вать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв при различных соотношениях началь-ных численностей популяций 0N и 0C . Выявить качественные различия в ха-рактере эволюций и дать их интерпретацию.


1R = , 0 100N = в зависимости от значения параметра a в диапазоне 0.1 10a≤ ≤ . Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.

Вариант 14. Изучить динамику эволюции популяции модели внутривидо-вой конкуренции с дискретным размножением. Определить параметры режимов монотонного, колебательного установления стационарной численности популя-ции, а также режимы устойчивых предельных циклов. Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.


01 10N = , 0

2 100N = . Исследовать зависимость динамики популяций от соотно-шения коэффициентов конкуренции α12 и α21. Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.


1 2( , )N N построить границы зон, разде-ляющих два произвольных режима эволюции конкурирующих популяций. Оп-ределить условия существования таких режимов, подобрать определяющие па-раметры. Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их ин-терпретацию.

Вариант 17. Изучить динамику эволюции популяций в модели «хищник-жертва» при значениях параметров 1r = , 3f = , 2q = , 0 100N = , 0 6C = в зави-симости от значения параметра a в диапазоне 0.1 2a≤ ≤ . Выявить качествен-ные различия в характере эволюции и дать их интерпретацию.

Вариант 18. Изучить динамику эволюции популяций в модели «хищник-жертва» в режиме сопряженных колебаний численности жертв и хищников. Ис-следовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищни-ков от соотношения начальной численности популяций. Выявить качественные различия в характере эволюций и дать их интерпретацию.

Вариант 19. Изучить динамику эволюции популяции модели внутривидо-вой конкуренции с дискретным размножением при значениях параметров 7a = ,

1R = , 0 10N = в зависимости от значения параметра b в диапазоне 0.1 10b≤ ≤ .

Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпрета-цию.

Вариант 20. Изучить динамику эволюции популяции модели внутривидо-вой конкуренции с дискретным размножением. Построить решение на фазовой плоскости ( , )b R , где определить границы зон для колебательного установления стационарной численности популяции и режимы устойчивых предельных цик-лов. Выявить качественные различия в характере эволюции и дать их интерпре-тацию.

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕfiles.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/4/u_lab.pdf ·...

Documents