Вестник Брестского государственного ...36,7%, а среднее...

Вестник Брестского государственного технического университета. 2013. №5

Физика, математика, информатика 1

ФИЗИКА, МАТЕМАТИКА,ИНФОРМАТИКА

Брестского государственного технического университетаВЕСТНИК

Научно-теоретический журналИздается с января г 2000 .Периодичность раз в год - 6 .

СОДЕРЖАНИЕ

ГОЛОВКО В.А., ХАЦКЕВИЧ М.В., БРИЧ А.Л. Метод прогнозирования временных рядов на основе многослойного персептрона ................ 2 ИВАНЮК Д.С., ГОЛОВКО В.А. Нейро-ПИД-контроллер пастеризаци-онной установки ................................................................................. 6 ЧИЧУРИН А.В., ШВЫЧКИНА Е.Н. Компьютерное моделирование двух моделей хемостата для одного питательного ресурса ............. 9 КАМЛАЧ П.В. Применение ультразвука для лабораторной диагно-стики параметров гемостаза ........................................................... 14 ХУАНЬ ЛЮ Классификация качества коммерческих сайтов на основе адаптивной нейронной системы с нечетким выводом ................... 18 ЧЕРКАССКИЙ Н.В., ТКАЧУК Т.И. Параметрическая оптимизация устройства БПФ .............................................................................. 22 ВОЛОКИТА А.Н., ВУ ДЫК ТХИНЬ, ЩЕРБИНА А.В., АНДРЕСЮК Б.Е., БОЙКИВ Т.В., ПАЛАМАРЧУК В.В. Модель многоканального безо-пасного обслуживания в Private Сloud системе .............................. 26 РУСАКОВ К.И., РАКОВИЧ Ю.П., ГЛАДЫЩУК А.А., МЕЛЬНИКОВ Д.Г., САВАТЕЕВА Д.И., РУСАКОВА З.В., ЧУГУНОВ С.В. Оптические про-цессы в микрорезонаторах с J-агрегатами ..................................... 29 ГЛАДКОВСКИЙ В.И., ПИНЧУК А.И. Лекционная демонстрация мо-лекулярно-кинетической природы радиометрического эффекта ... 33 АНТОНОВ С.Г., СОВПЕЛЬ И.В. К задаче разработки лингвистиче-ских процессоров ............................................................................ 36

САВИЦКИЙ Ю.В., ДАВИДЮК Ю.И. Некоторые аспекты применения нейросетевых моделей в задаче анализа сигналов ЭЭГ и ЭКГ ..... 38 ДУНЕЦЬ Р.Б., ГРИГА В.М. Исследование матричных методов пред-ставления поточных графов алгоритмов........................................ 41 ИГНАТЮК В.И., АЛЕКСЕЕВ Т.Ю. Учебная компьютерная программа расчета статически неопределимых рам методом сил .................. 47 ЮХИМУК М.М., ЮХИМУК Т.Ю. Задача о скачке для бесконечно связных областей ........................................................................... 50 МАХНИСТ Л.П., КАРИМОВА Т.И., ГЛАДКИЙ И.И., РУБАНОВ В.С. Моменты распределения вероятностей и некоторые целочисленные последовательности ....................................................................... 54 ЖЕЛТКОВИЧ А.Е., МАХНИСТ Л.П., ГОРБАЧЕВСКИЙ В.М., ВИННИК Н.С., ЛАВРИНЮК Е.Ю. Моделирование падения матери-альной точки в гравитационном поле земли .................................. 57 БУТОВ А.А. Усовершенствованный метод нахождения булевой фор-мулы многоугольника в дизъюнктивной нормальной форме ......... 60 ЯРОШЕВИЧ А.В. Моделирование фазового детектора для регулято-ра реактивной мощности ................................................................ 63 ДЁМИН В.В., КАБЫШ А.С., ГОЛОВКО В.А., STETTER R. Алгоритмы подкрепляющего обучения для энергоэффективного управления многоколесными производственными роботами ........................... 67



УДК 004.89

Головко В.А., Хацкевич М.В., Брич А.Л.

МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ МНОГОСЛОЙНОГО ПЕРСЕПТРОНА

Введение. Прогнозирование временных рядов является важной

задачей, решение которой позволяет предсказать эволюцию дина-мической системы на упреждающий промежуток времени. Особенно актуальным является прогнозирование экономических и финансовых временных рядов. В настоящее время существует большое количе-ство подходов к прогнозированию временных рядов. Традиционный подход к прогнозированию временных рядов состоит в использова-нии статистических методов, например, ARIMA. Однако в последнее время все большую популярность приобретают нейросетевые мето-ды, которые обладают большей гибкостью и легко позволяют учиты-вать нелинейную природу временных рядов. В последнее десятиле-тие появилось более 2000 статей, посвященных применению ней-ронных сетей для прогнозирования временных рядов [1]. Для того чтобы адекватно производить сравнение различных нейросетевых моделей, проводятся различного рода соревнования в области про-гнозирования временных рядов [2]. Существуют различные нейросе-тевые подходы к прогнозированию временных рядов. Это много-слойные персептроны, рекуррентные нейронные сети, RBF сети, обобщенные регрессионные нейронные сети (GRNN) и т.д. [3–8]. Как правило, в настоящее время прогнозирующие системы объединяют различные типы нейронных сетей с целью эффективного прогнози-рования.

В данной статье предлагается метод прогнозирования времен-ных рядов на основе многослойного персептрона, который включает как специальный способ представления входных данных, так и спо-соб обучения нейронной сети для прогнозирования. Представлен-ный здесь метод является частью системы прогнозирования вре-менных рядов.

1. Стандартный подход к прогнозированию. Цель предсказа-

ния временного ряда может быть описана следующим образом: для данной последовательности ( ) ( ) ( )1 2 Kx ,x x l необходимо най-

ти её продолжение ( ) ( )1 2+ + Kx l ,x l . Нелинейная модель для предсказания может быть представлена как

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2= − − −Kx t Fx t ,x t , ,x t k , где 1 1= +t k ,N ,

F – нелинейная функция, построенная с помощью искусственной нейронной сети, и k–размер скользящего окна, который равен числу входных нейронов сети. В качестве базовой архитектуры для про-гнозирования временных процессов в работе использован много-слойный персептрон (Multialyer Perceptron, MLP). Доказано, что дан-ная нейронная сеть способна аппроксимировать любую непрерыв-ную функцию со сколь угодно высокой точностью. Другим важным свойством MLP является способность к обобщению информации, представленной в множестве обучения. Следовательно, MLP явля-ется мощным инструментом для построения прогнозирующих систем (рисунок 1).

Рис. 1. Многослойный персептрон

Как следует из представленного выше, стандартный подход к

прогнозированию учитывает только предыдущие значения времен-ного ряда для предсказания следующих значений.

Прогнозирование будем проводить на образах, отличных от тех, которые подавались в обучающей выборке. Для того, чтобы нейрон-ная сеть функционировала корректно, необходимо нормализовать входные данные. Вариантов нормализации довольно много, однако наилучшие результаты достигаются при проецировании области определения входного множества на отрезок [0; 1].

2. Модифицированный подход к прогнозированию. Данный

подход заключается как в специальном способе представления входных данных, так и в способе обучения нейронной сети для про-гнозирования. На первом этапе временной ряд преобразуется сле-дующим образом: 1. Во временном ряде выделяются только экстремальные значе-

ния (минимумы и максимумы), которые будут использоваться для прогнозирования.

2. Составляются пары значений (значение в экстремуме и проме-жуток времени от предыдущего экстремума), которые являются входными данными для прогнозирующей нейронной сети (рису-нок 2).

Рис. 2. Алгоритм составления пар «значение-время»

Головко Владимир Адамович, д.т.н., профессор, зав. кафедрой интеллектуальных информационных технологий Брестского государ-ственного технического университета. Хацкевич М.В., ст. преподаватель кафедры интеллектуальных информационных технологий Брестского государственного техниче-ского университета. Брич А.Л., ассистент кафедры интеллектуальных информационных технологий Брестского государственного технического универси-тета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.



Таким образом, входными данными для нейронной сети являют-ся значения временного ряда в точках экстремума и соответствую-щие им временные значения, которые формируются по методу скользящего окна. В результате на вход сети подается n пар значе-ний временного ряда. Каждая пара состоит из значения в экстрему-ме и промежутка времени до предыдущего экстремума. Выходной слой многослойного персептрона содержит два значения: значение последующего экстремума и промежуток времени, через который данный экстремум будет достигнут. В результате выходные значе-ния персептрона определяются следующим образом:

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2+ = Kx n F x ,x , ,x n ,

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2+ = Kt n F t ,t , ,t n . Архитектура сети представлена на рисунке 3. Рассмотрим мо-

дификацию алгоритма обучения нейронной сети. Модификация ал-горитма обучения заключается в том, что сначала проводится клас-сическое обучение нейронной сети на эталонной обучающей выбор-ке, а затем осуществляется обучение на прогнозируемых данных. В результате минимизируется значение ошибки, полученной путем подачи на входы нейронной сети спрогнозированных ранее данных (итеративная ошибка). Таким образом, нейронная сеть сначала обу-чается на эталонных значениях, и, как только ошибка достигнет при-емлемого уровня, начинается обучение сети на прогнозируемых данных. В результате ошибка прогнозирования должна уменьшиться и сеть должна с большей точностью проводить итеративное прогно-зирование.

Рис. 3. Архитектура сети

3. Экспериментальные результаты на синтетических дан-

ных. Рассмотрим применение разработанного подхода для прогно-зирования хаотических временных рядов на базе многослойного персептрона. В качестве исследуемых хаотических систем будем использовать аттрактор Энона. Процесс Энона описывается сле-дующими уравнениями:

21

1

1+

+

= − α +

= β

n n n

n n

x x yy x ,

где 1 4α = , и 0 3β = , для хаотического поведения системы. На рисунке 4. изображен временной ряд Энона (координата x). В качестве входных данных будем использовать координату (х)

последовательности Энона. Для обучения возьмем 400 первых зна-чений ряда и 300 значений для прогнозирования. Обучение будем проводить по методу скользящего окна. Прогнозирование осуществ-ляется на образах, отличных от тех, которые подавались в обучаю-щей выборке. Будем использовать многошаговый и одношаговый прогноз. Одношаговым прогнозированием называют краткосрочный прогноз (на один шаг), при этом для получения прогнозированной величины используют только фактические (эталонные) данные. При данном методе прогнозирования на входы нейронной сети подаются эталонные значения (значения из выборки для прогнозирования) (рисунок 5).

Рис. 5. Одношаговый прогноз

Многошаговым (итеративным) прогнозом называют долгосроч-

ный прогноз, на основе данных, полученных с предыдущего этапа прогнозирования (рисунок 6).

Рис. 6. Многошаговый прогноз

Оценку качества прогнозирования будем производить, исполь-

зуя ошибку MAPE (Mean absolute percentage error) и суммарную

- 1 , 5

- 1

- 0 , 5

0

0 , 5

1

1 , 5

1 4 1 8 1 1 2 1 1 6 1 t

X ( t )

Рис. 4. Последовательность Энона (первые 200 элементов ряда)



среднеквадратичную ошибку MSE. MAPE – средняя абсолютная ошибка в процентах, используется для оценки точности построения прогнозов временных рядов в статистике. Раcсчитывается MAPE по следующей формуле:

1

1=

−= ∑

nt t

t t

A FMAPE ,n A

где At – реальное значение, Ft – спрогнозированное значение. Cреднеквадратичная ошибка MSE рассчитывается по следую-

щему выражению:

( ) 2

1

12 =

= −∑n

t tt

MSE A F . Рассмотрим применение обычного многослойного персептрона

для прогнозирования ряда Энона. Наилучшие результаты сеть пока-зала при архитектуре 28-13-1. Для прогнозирования на шаг вперед (рисунок 7) среднее значение MAPE составило 38,3%, а среднее значение MSE – 0,034.

Рис. 7. Результат прогнозирования на шаг вперед для многослойно-

го персептрона (первые 20 значений) Для итеративного прогноза (рисунок 8) среднее значение МАРЕ

составило 237,3%, а среднее значение MSE – 0,950. Таким образом, для проведения долгосрочных прогнозов классическая архитектура многослойного персептрона неприменима, поскольку уже на пятом шаге ошибка достаточно велика (126,1%).

Рис. 8. Результат итеративного прогнозирования для многослойного

персептрона (первые 20 значений) Рассмотрим предложенный подход к прогнозированию. Возьмем

архитектуру сети 30-13-2 с сигмоидной функцией нелинейного пре-образования в скрытом и выходном слоях. Рассмотрим прогнозиро-вание на шаг вперед (рисунок 9). Среднее значение МАРЕ составило 36,7%, а среднее значение MSE – 0,085.

Рис. 9. Результаты прогнозирования на шаг вперед (первые 20

значений) Среднее значение критерия МАРЕ и рисунок 9 свидетельствуют

о достаточно высокой точности прогнозирования. Исходя из значе-ния МАРЕ, предложенная сеть прогнозирует точнее, чем классиче-ский многослойный персептрон (МАРЕ: 38,2%). Однако основной целью модифицированного обучения является минимизация итера-тивной ошибки. Для итеративного прогнозирования (рисунок 10), среднее значение МАРЕ составило 47,8%, а среднее значение MSE – 1,158.

Рис. 10. Итеративное прогнозирование с помощью Value-Time сети и

комбинированного обучения (первые 20 значений) Судя по графику, точность прогноза не слишком велика. Однако

это только первых 20 значений ряда (рисунок 10). Согласно ожида-ниям, при модифицированном методе обучения ошибка не будет накапливаться (увеличиваться) в процессе прогнозирования. Для того, чтобы убедиться в этом приведем прогнозные и эталонные значения для 100–120 итераций, т.е. оценим ошибку прогнозирова-ния на 120 значений вперед. Результат представлен на рисунке 11.

Рис. 11. Итеративное прогнозирование (100–120 значения)



Судя по графику, представленному на рисунке 11, можно сде-лать вывод о весьма высоком качестве итеративного обучения. Об этом также свидетельствует среднее значение МАРЕ, равное 47,8%. Таким образом, модифицированный подход показывает значительно лучшие результаты при итеративном прогнозировании, чем класси-ческий многослойный персептрон. Результаты проведенных испыта-ний сведены в таблицы 1 и 2. В таблице 1 сведены значения крите-рия МАРЕ, а в таблицу 2 – значения критерия MSE. Таблица 1. Значения критерия МАРЕ (%) для проведенных испытаний

Способ прогнозирования

На шаг вперед Итеративно

Алгоритм 1 - Многослойный персептрон 38,3 237,3 Алгоритм 2 – Модифицированный подход 36,7 47,8

Таблица 2. Значения критерия МSЕ для проведенных испытаний Способ

прогнозирования На шаг

вперед Итеративно

Алгоритм 1 - Многослойный персептрон 0,034 0,95 Алгоритм 2 - Модифицированный подход 0,085 1,158

4. Экспериментальные результаты на реальных данных Тестирование системы производилось также на реальных зна-

чениях биржевого индекса. Рассмотрим персептрон с архитектурой 28-13-1 с сигмоидной функцией активации нейронов в скрытом и выходном слоях. В качестве данных для обучения используются первые 400 элементов ряда (60% всех элементов). Для оценки каче-ства прогнозирования используются оставшиеся 40% значений ряда. При прогнозировании на шаг вперед (рисунок 12) среднее значение МАРЕ составило 63,7%, а среднее значение MSE – 298.917. Сред-нее значение МАРЕ и форма графика на рисунке 12 свидетельству-ют о том, что данная архитектура неприменима к подобного рода прогнозам ввиду значительного уровня ошибки уже на первом шаге. Рассмотрим применение модифицированного подхода к прогнозиро-ванию на шаг вперед. Будем использовать архитектуру сети 30-13-2. Среднее значение МАРЕ составило 31,4%, а среднее значение MSE – 71,890.

Рис. 12. Результаты прогнозирования на шаг вперед при помощи

многослойного персептрона (первые 20 значений) При данном алгоритме обучения, результаты прогнозирования

на реальных данных получаются лучше. Об этом свидетельствует низкое значение индекса МАРЕ в сочетании с результатами, пред-ставленными на рисунке 13. Таким образом, данная архитектура может использоваться для краткосрочного прогнозирования времен-ных рядов.

Рис. 13. Результаты прогнозирования на шаг вперед при помощи

модифицированного подхода (первые 20 значений) Рассмотрим итеративное прогнозирование (рисунок 14). Сред-

нее значение МАРЕ составило 27,4%, а среднее значение MSE – 33,969, в то время как для обычного персептрона значение MAPE составило 67,754%, а среднее значение MSE – 330,219.

Рис. 14. Результаты итеративного прогнозирования при помощи

Value-Time сети с комбинированным обучением (первые 20 значений)

Таким образом, полученные результаты наглядно демонстриру-

ют преимущество предложенного подхода к прогнозированию. Заключение. В данной статье предложен метод прогнозирования

временных рядов на основе многослойного персептрона, который включает в себя как специальный способ представления входных данных, так и способ обучения нейронной сети для прогнозирования. Представленный метод является частью системы прогнозирования временных рядов. Полученные результаты наглядно демонстрируют преимущество предложенного подхода к прогнозированию.

СПИСОК ЦИТИРОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Crone, S. An Evaluation Framework for Publications on Artificial Neural Networks in Sales Forecasting / S. Crone, P. Grafeille // H. Arabnia; R. Joshua; Y . Mun (eds.): proceedings of the International Conference on Artificial Intelligence, IC-AI’04. – Las Vegas: CSREA Press: Athens. – Vol. 1. – Р. 221–227.

2. Makridakis, S. The M3-competition: results, conclusions, and implica-tions / S. Makridakis, M. Hibon // International Journal of Forecasting, 2000. – Vol. 16. – Р. 451– 476.

3. Lim, C.P. The Application of an Ensemble of Boosted Elman Net-works to Time Series Prediction: A Benchmark Study / C.P . Lim, W.Y . Goh // International Journal of Computational Intelligence, 2006. – Vol. 3. – No. 2. – Р. 119–126.

4. Sorjamaaa, A. Methodology for long-term prediction of time series / A. Sorjamaaa, H. Jin, N. Reyhania, Y . Jia, A. Lendasse // Neurocom-puting, 2007. – Vol. 70. – Issues 16–18. – P. 2861–2869.



5. Tripathi, M.M. Short-Term Load Forecasting Using Generalized Re-gression and Probabilistic Neural Networks in the Electricity Market / M.M. Tripathi, K.G. Upadhyay, S.N. Singh // The Electricity Journal, 2008. – Vol. 21. – Issue 9. – Р. 24–34.

6. Tsai, C.L. Federal Funds Rate Prediction Using Robust Radial Basis Function Neural Networks / C.L. Tsai, C.C. Lee, Y.C. Chiang // The 2nd International Conference on Innovative Computing, Information and Control (ICICIC’07), Aug. 12–17, 2007. – Р. 696–699.

Материал поступил в редакцию 19.11.13

GOLOVKO V.A., KHATSKEVICH M.V., BRICH A.L. A forecasting approach of time series basis on multilayer perceptron

The forecasting approach, basea on multilayer perceptron is presentea. In consist of special technique for input data presentation and training ap-proach for time series predition. УДК 004.89

Иванюк Д.С., Головко В.А.

НЕЙРО-ПИД-КОНТРОЛЛЕР ПАСТЕРИЗАЦИОННОЙ УСТАНОВКИ Введение. Нечеткая логика, нейроуправление и оптимальное

управление в настоящее время являются глубоко проработанными и успешно применяемыми подходами для эффективного решения многих реальных производственных задач управления [1]–[2]. Рост исследований в области нейроуправления произошел после 1987 года, когда в Сан-Диего была проведена первая IEEE конференция по нейронным сетям. На данном мероприятии было предложено большое количество нейросетевых систем управления [10].

Однако нейросетевые подходы имеют целый ряд серьезных не-достатков. Физический смысл полученной нейронной сети, которая осуществляет управление, не является четким для понимания (осо-бенно для инженеров по автоматизации). Также возникают вопросы об устойчивости такой системы управления. Поэтому в настоящее время, даже несмотря на их недостатки ПИД-контроллеры наиболее широко распространены. Они требуют экспертной настройки при запуске системы, более того во время работы из-за изменяющихся внешних условий их также необходимо подстраивать для получения наилучшего результата. ПИД-контроллеры плохо подходят для управления нелинейными системами, для условий быстро меняю-щихся параметров объекта управления и очень требовательных к точности управления систем. Например, для процесса пастеризации очень важен точный температурный диапазон нагрева молока, так как это напрямую влияет на качество полученного продукта (даже кратковременный перегрев может быть опасен).

ПИД-контроллер может быть подстроен во время работы за счет изменения его коэффициентов. Существует большое количество схем таких самонастраивающихся ПИД-контроллеров. В данной работе мы использовали для настройки коэффициентов нейронную сеть (НС).

Такие нейро-ПИД-контроллеры в настоящее время используют-ся для построения различных систем управления. Рис. 1 поясняет базовые идеи данного подхода.

Рис. 1. Общая схема нейро-ПИД контроллера

Общая схема выглядит так – две многослойные нейронные сети

(МНС), идентификатор системы (НС1) и настройщик коэффициентов ПИД (НС2) используются для «тонкой» подстройки ПИД [3, 6, 14]. Также используются рекуррентные или RBF нейронные сети [12]. Интересный подход используется в работе Ниша Джха [7] – весовые коэффициенты выходного слоя многослойного персептрона соот-ветствуют коэффициентам ПИД.

Для обучения НС обычно используется алгоритм обратного рас-пространения ошибки (BPalgorithm) [3] или его модификации. Для поиска начальных значений порогов и весовых коэффициентов Си-геру Омату [3] предложил использовать генетические алгоритмы (GA). Для симуляции систем управления широко применяется паке-ты MATLAB и Simulink, в некоторых работах можно встретить реали-зацию в качестве программного модуля для персонального компью-тера (PC) [7].

Нейро-ПИД-контроллер. Общая структура самонастраивающе-

гося нейро-ПИД-контроллера показана на рис. 2, где выходы ней-ронной сети – пропорциональный (KP), интегральный (KI) и диффе-ренциальный (KD) коэффициенты. Вход же определяются в зависи-мости от конкретной задачи управления.

Рис. 2. Схема ПИД с самонастройкой коэффициентов

Для построения модели нейро-ПИД-контроллера опишем алго-

ритм функционирования нейронной сети. Вход нейрона j определя-ется как netj и равен

1=

=+ θ∑

nnet j ij i j

iw o ,

где θ j – пороговое значение. Выход нейрона j определяется по следующей формуле

( ) ( ) 11 −= =

+j xf netjo , f x .

e

Для обучения будем использовать алгоритм BP . ПИД-контроллер в дискретном времени описывается следую-

щим выражением: ( ) ( )1 1 1 22− − − −= + − + + − +n n P n n I n D n n nu u K e e K e K e e e ,

где KP, KI и KD – пропорциональный, интегральный и дифферен-циальный коэффициенты соответственно, un определяет вход объ-екта управления в момент tnT и en – ошибка между желаемым значением выхода rn и реальным, то есть

.= −nn ne r y

Tо пределяет единичный интервал времени.

Иванюк Дмитрий Сергеевич, старший преподаватель кафедры интеллектуальных информационных технологий Брестского государ-ственного технического университета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.



Для настройки KP, KI и KD во время работы мы будем исполь-зовать трехслойный персептрон. Каждый слой состоит из N1, N2 и N3 нейронов соответственно. Количество нейронов выбирается исходя из экспертного опыта и сложности объекта управления, N3 равняется трем – количество коэффициентов ПИД. Для использова-ния алгоритма BP мы должны выбрать функцию E, значение кото-рой должно быть минимизировано. В качестве такой функции будет выступать ошибка управления в момент времени (n+l)T – en+1

21

1 .2 += nE e

В качестве данной ошибки будем использовать сохраненные ра-нее данные – En-p…En-2, En-1, En.

Рис. 3. Нейро-ПИД-контроллер, TD означает оператор задержки

Финальная конфигурация системы управления показана на рис. 3. Описание пастеризационной установки. Для тестирования

работы разработанного нейро-ПИД-контроллера предполагается использовать проект «Пастеризационная установка № 2» SCADA-

системы «EasyServer»на предприятии ОАО “Савушкин продукт”. Данный проект управляет процессом пастеризации молока (рис. 4).

Установка в режиме пастеризации работает следующим обра-зом: молоко из бачка насосом N101 подается в пластинчатый тепло-обменник P1, где оно подогревается, далее идет на гомогенизатор, затем пастеризуется в трубчатом теплообменнике T1. Управление заключается в поддержании температур TE100 (температура гомо-генизации) и TE101 (температура пастеризации) в заданных преде-лах путем открытия управляемых паровых клапанов VC100 (величи-на открытия клапана подогрева Р1) и VC101 (величина открытия клапана подогрева Т1). Диапазон работы управляемых паровых клапанов от 0% – полностью закрыт, до 100% – полностью открыт. Температура TE100 должна поддерживаться в пределах 75±2 ºС, TE101 – 95±2 ºС.

Для компьютерного моделирования была использована сле-дующая нелинейная модель процесса пастеризации

21 1 10.002 0.9u 0.1sin(u ),+ − −= − + +n n n nny ky y

где коэффициент k может изменяться в диапазоне 0.2..1.1. Рисунок 5 показывает результаты моделирования для следую-

щих значений параметров k=0.9, KP=1, KI=2 и KD=0.01, тре-буемое задание 90.

Нейро-ПИД-контроллер пастеризационной установки. В ка-

честве настройщик ПИД мы выбрали многослойный персептрон (MLP) со следующей структурой: 20 входных, 10 скрытых и 3 выход-ных нейронных элемента; функция активации скрытого и выходного слоев – сигмоидная (рис. 6).

Рис. 4. Схема и общий вид пастеризационной установки

Рис. 5. Результаты моделирования процесса пастеризации



TE101(t)

TE101(t-1)

TE101(t-9)

.

.

.

.

.

.

1

2

10

11

12

1

2

10

.

.

.VC101(t)

VC101(t-1)

VC101(t-9) 20

KD

PIDControlsignal

Inputsignal

KI

KP

TD

TD

TD

TD

Рис. 6. Настройщик ПИДNN1

Для предварительного обучения использовались сохраненные

данные работы объекта управления – 50 первых точек, размер окна – 10, точность обучения 0.00005. Во время работы происходило обучение нейронной сети если в течение 10-ти тактов времени ошибка управления превышала 10. Точность обучения 0.0001, огра-ничение на количество итераций – 10.

Результаты моделирования показывает рис. 7. Коэффициент k изменялся для симулирования возмущающих воздействий.

Заключение. Задача повышения качества управления процес-

сом пастеризации является актуальной в настоящее время. Исполь-зование нейро-ПИД-контроллера предложено как альтернатива дру-гим самонастраивающимся схемам ПИД. Была разработана структу-ра и алгоритм работы нейро-ПИД-контроллера. Тестирование пока-зало эффективность данной схемы.


1. White, D.A. Ed.: Handbook of Intelligent Control / D.A. White, D.A. Sofge // Neural, Fuzzy, and Adaptive Approaches, Van Nostrand Reinhold, 1992.

2. Sigeru Omatu, Marzuki B. Khalid: Neuro-Control And Its Applications, 1996.

3. Sigeru Omatu, Michifumi Yoshioka: Self-Tuning Neuro-PID Control and Applications, Department of Computer and Systems Sciences, College of' Engineering, Osaka Prefecture University, Sakai, Osaka, Japan.

4. Michiyo Suzuki, Toru Yamamoto, Kazuo Kawada, Hiroyuki Sogo: A Design of Neural-Net Based Self-Tuning PID Controllers, Lecture Notes in Computer Science. – Vol. 2130, 2001.

5. Azadeh Mansouri Mansourabad, Mohammad Taghi Hamidi Beheshti, Mohsen Simab: A Hybrid PSO_Fuzzy_PID Controller for Gas Tur-bine Speed // International Journal of Control and Automation. – Vol. 6. – No. 1. – February, 2013.

6. Ming-Chung Fang, Young-ZoungZhuo, Zi-Yi Lee: The application of the self-tuning neural network PID controller on the ship roll reduction in random waves, Ocean Engineering. – Vol. 37. – Issue 7. – May 2010. – Р. 529–538.

7. Nisha Jha, Udaibir Singh, T.K.Saxena & Avinashi Kapoor: Online Adaptive Control for Non Linear Processes Under Influence of Exter-nal // International Journal of Artificial Intelligence and Expert System (IJAE). – Vol. 2. – Issue 2, 2011.

8. Liu, Van-Tsai: Self-Tuning Neuro-PID Controller for Piezoelectric Actuator,Advanced Science Letters. – Vol. 14. – Number 1. – July 2012. – Р. 141–145.

9. Woo-yong Han, Jin-wook Han, Chang-goo Lee: Development of a Self-tuning PID Controller based on Neural Network for Nonlinear Systems, Proceedings of the 7th Mediterranean Conference on Con-trol and Automation (MED99) Haifa. Israel. – June 28–30, 1999.

10. Sigeru Omatu, Michifumi Yoshioka, ToshihisaKosaka, HidekazuYa-nagimoto: Neuro-PID Control of Speed and Torque of Electric Ve-hicle, International Journal on Advances in Systems and Measure-ments. – Vol. 3. – No 1, 2010.

11. Hossein Rouhani, Arash Sadeghzadeh, Caro Lucas, Babak Nadjar Araabi: Emotional learning based intelligent speed and position con-trol applied to neurofuzzy model of switched reluctance motor, Con-trol and Cybernetics. – Vol. 36, 2007. – No. 1.

12. Teo Lian Seng, Marzuki Khalid, RubiyahYusof, Sigeru Omatu: Adap-tive Neuro-fuzzy Control System by RBF and GRNN Neural Net-works // Journal of Intelligent and Robotic Systems, 1998. – Vol. 23. – Issue 2–4. – Р. 267–289.

13. Reza Jafari, RachedDhaouadi :Adaptive PID Control of a Nonlinear Servomechanism Using Recurrent Neural Networks, Advances in Reinforcement Learning, 2011. – Р. 275–296.

14. Corneliu Lazar, SorinCarari, DragunaVrabie, MariusKloetzer: Neuro-predictive control based self-tuning of PID controllers, ESANN'2004 proceedings - European Symposium on Artificial Neural Networks, Bruges (Belgium), 28–30 April 2004. – Р. 391–396.

15. Ahmed Tahour, HamzaAbid, Abdel GhaniAissaoui: Adaptive Neuro-Fuzzy Controller of Switched Reluctance Motor, Serbian journal of electrical engineering. – Vol. 4. – No. 1. – June 2007. – Р. 23–34.

16. Abdel BadieSharkawy: Genetic fuzzy self-tuning PID controllers for antilock braking systems, Engineering Applications of Artificial Intelli-gence. – Vol. 23. – Issue 7. – October, 2010. – Р. 1041–1052.

17. Takao Sato, Akira Inoue: Improvement of tracking performance in self-tuning PID controller based on generalized predictive control, In-ternational Journal of Innovative Computing, Information and Control. – Vol. 2. – № 3. – June 2006. – Р. 491–503.

18. S. Joe Qin, Thomas A. Badgwell: A survey of industrial model predic-tive control technology, Control Engineering Practice 11. – 2003. – Р. 733–764.

19. Головко, В.А. Нейроинтеллект: теория и применение. – Книга 1. Организация и обучение нейронных сетей с прямыми и обрат-ными связями. – Брест: БПИ, 1999.

20. Головко, В.А. Нейроинтеллект: теория и применение. – Книга 2. Самоорганизация, отказоустойчивость и применение нейронных сетей. – Брест: БПИ, 1999.

21. Головко, В.А. Нейрокомпьютеры и их применение. – Книга 4. Нейронные сети: обучение, организация и применение. – М.: Ра-диотехника, 2001.


Рис. 7. Результатымоделирования



IVANYUK D.S., GOLOVKO V.V. The neuro-PID controller pasterizatsionny installation The neuro-PID controller for the pasteurizer was developed. It consists of two parts: the conventional PID (proportional plus integral plus derivative

controller) and the neural network, which are based on the multilayer perceptron structure. The outputs of the neural network are proportional (P), integral (I), and derivative (D) gains. The simulation and experimental results show the effectiveness of the proposed approach. УДК 519.688:004.021

Чичурин А.В., Швычкина Е.Н.

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХ МОДЕЛЕЙ ХЕМОСТАТА ДЛЯ ОДНОГО ПИТАТЕЛЬНОГО РЕСУРСА

Введение. В работе рассматриваются динамические модели

хемостата Михаэлиса-Ментена, описывающие процесс непрерывно-го культивирования бактерий с одним органическим субстратом и двумя видами микроорганизмов в случае, когда константы Михаэли-са-Ментена для обеих конкурирующих популяций микроорганизмов равны. Для такой системы ищутся решения с конечными начальны-ми условиями, принимающие только положительные значения. По-ставленная задача сводится к решению нелинейного дифференци-ального уравнения первого порядка.

Построены программные модули, использующие численные про-цедуры, которые позволяют осуществить моделирование процессов хемостатного культивирования при изменяющихся параметрах систе-мы, а также визуализировать динамику процесса развития для каждого микроорганизма. Проведен сравнительный анализ некоторых числен-ных методов, которые использовались для интегрирования результи-рующего нелинейного дифференциального уравнения.

Описание модели, постановка задачи. Математическое моде-

лирование динамики развития двух видов микроорганизмов, потреб-ляющих один субстрат, является актуальной задачей, часто возни-кающей при производстве в медицинской и пищевой промышленно-сти, микробиологической промышленности, экологии, а также при производстве генетически модифицированных продуктов. Модели-рование конкурирующих популяций микроорганизмов является од-ной из наиболее сложных задач в математической биологии.

Основополагающий принцип количественного выражения всех проявлений жизни клетки приведен, например, в книге Перта [1], где свойства и поведение клеток описываются математическими моде-лями. Для изучения скорости роста популяций микроорганизмов можно использовать следующую гипотезу Ж. Моно [1]: зависимости скоростей реакций являются функциями от концентрации субстрата. Эта гипотеза была использована в построении модели Михаэлиса-Ментена. Данная модель описывает процессы, происходящие в хемостате, специальном лабораторном или промышленном приборе для выращивания полезной биомассы микроорганизмов (бактерий). Целью управления хемостатом является обеспечение режима рабо-ты, соответствующего максимальной производительности и макси-мальному выходу полезной биомассы микроорганизмов. Под хемо-статом часто понимают также математическую модель, описываю-щую биологический процесс для непрерывного культивирования бактерий, обеспечивающий оптимальные температурные условия и постоянное поступление свежей питательной среды при одновре-менном удалении части бактериальной культуры [2]. В данной рабо-те мы будем придерживаться такого определения. В простейших моделях хемостата [2] рассматривается конкуренция нескольких видов микроорганизмов, которые питаются одним ограниченным питательным веществом, называемым субстратом. Если конкурен-ция двух или более популяций происходит «эксплуататорским обра-зом» при одном лимитируемом субстрате, то выживает только одна из популяций, а остальные – вымирают. Такая ситуация возникает

при большинстве заданных постоянных значений параметров – ско-рости вымывания и входной концентрации питательного субстрата. Исследование таких процессов приведено в работах [1, 2]; там же было доказано, что теоретически возможно краткосрочное сосуще-ствование двух или более популяций, питающихся одним ограни-ченным субстратом. В природе существуют примеры, которые де-монстрируют сосуществование нескольких популяций, причем до-вольно длительное время.

В реальных условиях параметры, которые описывают хемостат, не являются постоянными величинами. Наличие природных сезон-ных изменений приводит к необходимости уточнения модели просто-го хемостата, а именно, рассмотрения модели с периодически изме-няющимися коэффициентами. Существует два основных способа описания такой модели: первый – сделать периодической скорость подачи входной концентрации питательного субстрата, второй – рассмотреть периодическую скорость смыва субстрата. Первая из этих модификаций была изучена в работе [3]. Такой подход является естественным с точки зрения экологии, так как можно ожидать, что уровни питательных веществ во многих экосистемах находятся в зависимости от дня и ночи или имеют более длительную сезонную зависимость. Система дифференциальных уравнений, описываю-щая такую модель, будет иметь вид:

( ) ( )( )( )( )( )

1 1 2 2

1 1 1

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) 1 ( ),

( ) ( ) 1 ( ),

= − − − = −

= −

&

&

&

s t f t s t x t s t x t s t

x t s t x t

x t s t x t

µ µ

µ

µ

(1)

где ( ) ( )( ) ( 1,2)

( )= =

+i

ii

m s ts t i

a s tµ , ( )s t обозначает плотность пи-

тательного субстрата, 1 2( ), ( )x t x t – плотности микроорганизмов в момент времени t, остальные параметры m1, a1, m2, a2 модели (1) являются заданными положительными числами, периодическая функция ( )f t определяет скорость подачи питательного субстрата в хемостат. Данная модель хемостата предложена немецкими учёны-ми Л. Михаэлисом и М. Ментеном в 1913 г. [2].

Вторая модификация была изучена в работах [4, 5], и соответст-вующий эксперимент представляет собой управление скоростью насоса, что изменяет скорость вымывания (модель станции очистки сточных вод). Система дифференциальных уравнений, описываю-щая данную модификацию, имеет вид:

( ) ( ) ( )( )( )( )( )

1 1 2 2

1 1 1

2 2 2

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ),

= − − − = −

= −

&

&

&

s t s t D t x t s t x t s t

x t s t D t x t

x t s t D t x t

µ µ

µ

µ

(2)

где ( )D t − положительная периодическая функция, определяющая

Чичурин Александр Вячеславович, д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры математического анализа и дифференциальных уравненийБрестского государственного университета имени А.С. Пушкина. Беларусь, г. Брест, БрГУ, 224600, бульвар Космонавтов, 21. Швычкина Елена Николаевна, старший преподаватель кафедры высшей математики Брестского государственного технического уни-верситета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.



скорость вымывания субстрата. Для обеих рассмотренных моделей результаты схожи и приводят к выводу, что длительное сосущество-вание популяций возможно. Системы вида (1) и (2) были исследова-ны с помощью численных, асимптотических и топологических мето-дов, на основе которых были сделаны выводы об эффективности периодических режимов управления хемостатом, позволяющих обеспечить уровни концентраций полезной биомассы, недостижи-мые при постоянных управляющих воздействиях [4−6].

В данной работе ищутся решения системы (1), удовлетворяю-щие начальным условиям 0 0

0 1 1 2 2(0) 0, (0) 0, (0) 0= ≥ = ≥ = ≥s s x x x x (3) на достаточно больших промежутках времени (в том числе возможен бесконечно большой временной интервал). Начальные концентра-ции искомых функций, определяемые из условий (3), неотрицатель-ны в силу биологического характера задачи. Поэтому решения зада-чи Коши (1), (3) для любой ограниченной неотрицательной управ-ляющей функции ( )f t (кусочно-непрерывной или измеримой по переменной t), должны являться неотрицательными функциями времени, т.е. 1 2( ) 0, ( ) 0, ( ) 0,≥ ≥ ≥s t x t x t [0, )∈ + ∞t .

Определим соотношения

( 1,2)1

ω = =−i

ii

ai

m,

называемыми безубыточными концентрациями [2]. Исследование асимптотического поведения решений системы

уравнений вида (1) при → +∞t содержится в работах [2, 3, 6] и состоит в следующем:

1. При постоянном внешнем воздействии, то есть, при 0( ) ≡ =f t f const с течением времени в хемостате, описывае-

мом системой (1), устанавливается одно из устойчивых состояний [2], при котором происходит либо вымирание одновременно двух микроорганизмов, либо выживание только одного из них, имеющего наименьшее значение параметра ( 1,2).ω =i i

2. При периодическом внешнем воздействии, то есть когда, на-пример, периодическая функция времени ( )( ) sin= + ωf t b a t [3] описывает подачу питательного вещества в процессе хемостата при

→ + ∞t , устанавливается один из следующих колебательных режимов: • оба микроорганизма, участвующие в хемостатном культивиро-

вании, погибают; • выживает только один из двух микроорганизмов; • имеет место сосуществование двух микроорганизмов в течение

неограниченно долгого промежутка времени. В отличие от случая, когда скорость подачи питательного веще-

ства постоянная ( 0( ) ≡f t f ), при периодической подаче вещества, возможно достигнуть сосуществования обоих микроорганизмов. Более того, изменяя амплитуду и периодичность внешнего воздей-ствия, удается достигнуть выживания или вымирания определенного заранее микроорганизма. Строго говоря, такие результаты справед-ливы лишь для малых значений амплитуд входных воздействий а, поскольку при анализе колебательных процессов [3] используется приближенный метод, при котором решения 1 2( ), ( ), ( )s t x t x t системы (1) ищутся в форме асимптотических разложений по степе-

ням величины а, играющей роль малого параметра. Компьютерное исследование модели хемостата с равными

параметрами Михаэлиса-Ментена. Рассмотрим случай для систе-мы (1), когда коэффициенты Михаэлиса-Ментена удовлетворяют условию 1 2=a a . Без ограничения общности можно принять, что

2 1= ρm m , где ρ – действительное положительное число, отлич-ное от единицы [7, 8]. При данных коэффициентных условиях систе-ма (1) примет вид

1 1 1 2

1 1

11 1

1

12 2

1

( ) ( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( ) ,

( ) ( )

( )'( ) 1 ( ),

( )

( )'( ) 1 ( ).

( )

ρ= − − −

+ +

= −

+ ρ

= − +

m x t s t m x t s ts t f t s t

a s t a s t

m s tx t x t

a s t

m s tx t x t

a s t

(4)

Для системы (4) будем искать решения, принимающие положи-тельные значения и удовлетворяющие начальным условиям (3). Сведем решение поставленной задачи к решению одного диффе-ренциального уравнения первого порядка относительно функции

1( )x t . Для этого складываем все три уравнения системы (4). В результате получим неполное дифференциальное уравнение перво-го порядка относительно функции 1 2( ) ( ) ( ) ( )∆ = + +t s t x t x t вида

'( ) ( ) ( ).∆ = − ∆t f t t Интегрируя это уравнение, находим его общее

решение ( )1

0

( ) ( ) ,τ− − ∆ = τ τ + ∫t

t tt e f d с e где 1с – произвольная

постоянная. Тогда

( )1 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( ).τ− − = τ τ + − − ∫t

t ts t e f d с e x t x t (5)

Исключим из второго и третьего уравнений системы (4) функцию ( )s t и получим уравнение

2 1 1 1 2 2( )( ( ) '( )) ( )( ( ) '( ))ρ + = +x t x t x t x t x t x t , которое (в силу положительности решений) можно переписать в виде

1 2

1 2

'( ) '( )1 0.

( ) ( )ρ − + − =

x t x tx t x t

Проинтегрируем это уравнение. После преобразований запишем функцию 2( )x t в виде

( 1)2 2 1( ) ( ),ρ− ρ= tx t с e x t (6)

где 2с – произвольная постоянная. Используя найденные функциональные соотношения (5) и (6)

между функциями 1 2( ), ( ), ( )s t x t x t , перепишем первое урав-нение системы (4) в виде

( )1 1 1 1 1 2 1

01

( )1 1 1 2 1

0

( )( ( 1)( ( ) ( ) ( ) ))

'( ) .

( ) ( ) ( )

ρ ρ τ−

τ− ρ ρ

+ − + + − τ τ

=

− τ τ − + +

∫

∫

tt t t t

tt t t t

x t a e m с e x t с e x t e f d

x t

с e f d e a e x t с e x t

(7)

Таблица 1. Сравнение численных методов решения уравнения (7)



Имеет место следующая теорема [7]. Теорема 1. Решение системы (4) сводится к решению уравнения

(7). Более точно, решение системы (4), удовлетворяющее условиям (3), имеет вид (5), (6), (7), где 1 1, , ρa m – положительные числа,

1 1, 1≠ ρ ≠m , где 1 2,с с – произвольные постоянные. Дифференциальное уравнение (7) является нелинейным урав-

нением первого порядка не разрешаемым в квадратурах, поэтому для его интегрирования будем использовать численные методы. Для численного интегрирования дифференциальных уравнений в систе-ме Mathematica используется функция NDSolve [9], которая пред-ставляет частное решение в виде интерполяционной функции (InterpolatingFunction). Использование дополнительных опций в ко-манде NDSolve дает возможность осуществлять контроль над про-цессом итераций, выбирать последовательность шагов независимой переменной z и определить их оптимальный размер. Выбор под-ходящего метода для конкретной системы может быть достаточно трудным из-за собственных настроек, которые могут значительно повлиять на эффективность и точность построения решения. Систе-ма Mathematica выбирает наилучший метод численного интегриро-вания среди имеющихся численных методов [10, 11].

В качестве примера рассмотрим численное решение уравнения (7) при значениях параметров 1 1 1 28, 0,3, 0,4, 1, 1,= = ρ = = =m a с с (8) начальном условии 1 (0) 0,0001=x и постоянной входной скорости подачи субстрата ( ) 1≡f t . Приведем сравнение шести решений уравнения (7) при заданных значениях параметров (8), найденных при помощи следующих численных методов: 1) численный метод, выбранный автоматически системой Mathematica; 2) неявный метод Рунге-Кутта восьмого порядка точности; 3) неявный метод Рунге-Кутта третьего порядка точности; 4) неявный метод обратного дифференцирования (BDF); 5) неявный метод Эйлера при условии, что метод-контролер «Doub-leStep» адаптирует размер шага по методу «двойного шага»; 6) явный метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором порядка точности, для которого метод-контролер «StiffnessSwitching» выпол-няет переход от явного метода к неявному, если обнаружена жест-кость решаемого дифференциального уравнения.

При определении опции Method в команде NDSolve возможно использования методов-контролеров вычислений, которые и вклю-чены в описанные методы 5-го и 6-го пунктов.

Сравнительный анализ численных методов приведем в таблице 1, где показано время вычислений, число итераций и оценка точно-сти (суммарная ошибка на конечном интервале).

Анализируя данные таблицы 1, можно сделать вывод об эффек-тивности рассматриваемых численных методов, используемых для интегрирования уравнения (7) по времени и точности расчетов. Наи-более оптимальными являются четвертый (неявный метод обратно-го дифференцирования) и шестой (явный метод Рунге-Кутта с при-менением метода-контролера) методы. Оценим теперь погрешности вычислений. Для этого определим функцию

0,4 0,4

1 1 11 0,4 0,4

1 1

( )(0,3 7(1 ( ) ( )))( ) '( ) ,

1 1,3 ( ) ( )+ − + +

= −− + +

t t t t

t t tx t e e e x t e x t

r t x te e x t e x t

при помощи которой оценим погрешности найденных численных решений. В силу того, что погрешности зачастую достаточно малы, их удобнее оценить, используя логарифмическую шкалу. Построим в одной системе координат графики функций 10log ( )r t для сравне-ния решений, найденных при помощи трех методов: метода, подоб-ранного автоматически системой Mathematica, неявного метода Рунге-Кутта третьего порядка точности и метода обратного дифференциро-вания. Из рисунка 1 можно сделать вывод, что наименьшие погрешно-сти дает неявный метод Рунге-Кутта третьего порядка (ImplicitRunge-Kutta–3). Погрешности решения уравнения (7), с помощью автомати-чески подобранного метода (Automatic, на рисунке 1 серая сплошная

линия), не имеют ярко выраженных скачков и заключены в конечных пределах. Погрешности метода обратного дифференцирования (BDF) изображены на рисунке 1 пунктирной линией. Для этого метода можно отметить, что в начале отрезка интегрирования [0, 75] погрешности достаточно малы, однако при незначительном дальнейшем возраста-нии переменной, а именно в окрестности значения 80≈t , функция погрешностей ( )r t начинает изменяется скачками.

Рис. 1. Сравнение оценок погрешностей, для решений уравнения (7),

найденных различными численными методами На рисунке 2 показаны графики входящих в систему (4) трех не-

известных функций, а в правом нижнем углу построена фазовая кривая на плоскости ( )1 2, .x x Для значений параметров 1 2=m ,

01 10,01, 0,1, 0,95a x= = ρ = показано, что популяция 1( )x t

осциллируя численно увеличивается, а популяция 2( )x t наоборот, осциллируя численно уменьшается (при 65≈t практически обра-щаясь в нуль). Исходя из вида рисунка на фазовой плоскости, можно сделать вывод о колебании фазовой траектории в окрестности на-чала координат.

Для того, чтобы использовать вышеприведенный модуль для визуализации и нахождения численных значений концентраций трех функций ( )s t , 1( )x t , 2( )x t при другой выбранной функции пода-чи субстрата ( )f t , поступим следующим образом. Пусть, например,

( ) 1=f t . Тогда в модуле после инструкции NDSolve заменим диф-ференциальное уравнение на уравнение (7), где ( ) 1=f t . Явный вид этого уравнения приведен в работе [7]. Следует также в модуле в командах xMaxs и Column[< >] записать соответствующую функцию

( )s t из формулы (5). Для рассматриваемого случая ( ) 1=f t получим следующую визуализацию (рис. 3).

На рисунке 3 показаны графики входящих в систему (4) трех не-известных функций, а в правом нижнем углу построена фазовая кривая на плоскости ( )1 2, .x x Для значений параметров 1 2=m ,

01 10,01, 0,001, 0,85= = ρ =a x показано, что две популяции

увеличивают свою численность до определенного момента времени (приблизительно 8=t ), после которого популяция 2( )x t погиба-ет. При этом выполняется главный теоретический результат, сфор-мулированный в работах [1, 4], о том, что при постоянной входной скорости подачи субстрата ( ) 1≡f t выживает только один микроор-ганизм с меньшей безубыточной концентрацией (в нашем случае

1( )x t , поскольку 1 20,01, 0,014ω = ω = ). Этот же вывод следует из вида кривой, изображенной на фазовой плоскости.

Замечание. У системы (2) существуют решения в аналитиче-ской форме. Действительно, пусть 1 2=a a и 1( ) 2= =D t m . То-гда система (2) примет вид

1 2 2 1

1

1 1 21 2 2

1 1

2 ( ( ) 1) ( )( ( ) 2( ( ) ( ) 1))'( ) ,( )

2 ( ) ( )'( ) , '( ) 2 ( ),( ) ( )

− + + − −= −

+

= − = −

+ +

a s t s t m x t s t x ts ta s t

a x t m s tx t x t x ta s t a s t



Проведем численное исследование решений дифференциальной системы (4). При помощи нижеследующего программного модуля, смо-делируем возможные состояния динамической системы (4) для различных значений входящих в нее параметров. opt=Appearance→"Labeled"; im=ImageSize→Small; th=Thickness[0.006]; dr=Directive[Black, 12]; lt={Arrowheads[{0.05}],th, Directive[Black, 12]}; fl=Flatten;lt1={13, Bold, Black}//fl;

а ее решение запишется в форме

22 2( 2)1 2 2 1 1( ) 1 ( ) ( ), ( ) ( ),−= − − = mm ts t x t x t x t с e x t

( )( )2

12

1

1 1 21 1 1 12

1 12

21

2 22 1 2 1 2

12

4 2 2exp ln ( ) 2 ( ) ln ( )

2( 2)

2( 2)( ( )) ( ) ,

2

−+

−

−− + − + − −

− − − − =

ma

ma

a a ma x t t x t x t

c am

mm x t E x t c

a



Рис. 2. Численное решение системы (4) при периодической входной скорости подачи субстрата ( )( ) sin= + ωf t b a t

где 1 2,c c – произвольные постоянные, 2

1

22

−ma

E обозначает экс-

поненциальный интеграл функции 1

( ) / ∞

−= ∫ zt nnE z e t dt

2

1

22

−=

mn

a.

Заключение. Данная работа посвящена применению инстру-ментария компьютерного моделирования для решения численно-аналитическими методами задач хемостата, описываемых динами-ческой моделью Михаэлиса-Ментена. Отметим, что одной из целей настоящей работы является иллюстрация теоретической возможно-сти появления сложных режимов колебаний численности микроорга-низмов. Таким образом, не все моделируемые популяционные структуры, которые могут быть созданы при различных значениях параметров, обязательно должны иметь реальный прототип.


1. Перт, Д.С. Основы культивирования микроорганизмов и клеток / Д.С. Перт; под ред. проф. И.Л. Работновой. − М.: Издательство «Мир», 1978. − 331 с.

2. Smith, H.L. The theory of chemostat: dynamics of microbial competi-tion / H.L. Smith, P . Waltman. − Cambridge University Press, 1995. − 313 p.

3. Hsu, S.B. A competition model for a seasonally fluctuating nutrient / S. B. Hsu // J. Math. Biology. − 1980. − Vol. 9. − P . 115−132.

4. Pilyugin, S.S. Competition in the unstirred chemostat with periodic input and washout / P . Waltman // SIAM J. Appl. Math. − 1999. − Vol. 59, № 4. − P . 1157−1177.

5. Butler, G.J. A mathematical model of the chemostat with periodic washout rate / G.J. Butler, S.B. Hsu, P . Waltman // SIAM J. Appl. Math. − 1985. − Vol. 45, № 3. − P. 435−449.

6. Sun, K. Universal modelling and qualitative analysis of an impulsive bioprocess / K. Sun, Y . Tian, L. Chen, A. Kasperski // J. Computers & Chemical Engineering. − 2011. − Vol. 35, № 3. − P . 492−501.

7. Чичурин, А.В. Построение решений модели хемостата для одно-го питательного ресурса / А.В. Чичурин, Е.Н. Швычкина // Меж-дународная научно-практическоя конференция «Фундаменталь-ные и прикладные проблемы механики деформируемого твердо-го тела, математического моделирования и информационных технологий»: сб. статей по мат. межд. науч.- практ. конф., Чебок-сары, 12−15 августа 2013 г.: в 2 ч. / ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. − Чебоксары, 2013. − Ч. 2. Математическое моделирование и ин-формационные технологии. − С. 67−74.



Рис. 3. Численное решение системы (4) при постоянной входной скорости подачи субстрата ( ) 1≡f t

8. Чичурин, А.В. Компьютерное исследование решений систем,

описывающих модели хемостата / А.В. Чичурин, Е.Н. Швычкина // XI Белорусская математическая конференция : тез. докладов межд. науч. конф., Минск, 4−9 ноября 2012 г. / Институт матема-тики НАН Беларуси. − Минск, 2012. − Ч.3. – С. 54−55.

9. Wolfram Web Resources [Electronic resource] / Ed. S. Wolfram. − Champaign, 2013. − Mode of access: www.wolfram.com − Date of access: 30.08.2013.

10. Trott, M. The Mathematica GuideBook for program ming / M. Trott. − New York: SpringerVerlag, 2006. − 1028 p.

11. Wagon, S. Mathematica in action: problem solving through visualiza-tion and computation / S. Wagon. − 3rd ed. − New York: Springer, 2010. − 578 p.


CHICHURIN A.V., SHVYCHKINA A.N. Computer simulation of two models of the chemostat nutrient resource

Two dynamic models which are called the Michaelis-Menten chemostat for the case equals of the Michaelis-Menten constants are considered. Software in the form of modules that use numerical procedures and allow simulate and visualize the process of chemostat for different values parameters are build. We compare the some numerical methods, that are used for integration of the nonlinear differential equation of the first order. УДК 534.29

Камлач П.В.

ПРИМЕНЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ ДИАГНОСТИКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕМОСТАЗА

Введение. Исследование физических характеристик биологиче-

ских жидкостей является актуальной задачей, имеющей как само-стоятельное научное (т.к. организм создает уникальные по своим свойствам жидкости и структуры), так и прикладное значение в об-

ласти медицины и биологии. В настоящее время известен целый ряд физических методов, с помощью которых можно получать разнооб-разную информацию о биологических жидкостях, представляющих водные растворы и суспензии, содержащих малые молекулы (орга-

Камлач П.В., Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники. Беларусь, 220013, г. Минск, ул. П. Бровки, 6.

http://www.wolfram.com



нические и неорганические), макромолекулы (биополимеры: белки, полипептиды, нуклеиновые кислоты), клеточные и субклеточные элементы, которые имеют биологическое происхождение. Примера-ми жизненно важных биологических жидкостей являются кровь, лимфа, желудочный сок [1].

Практически каждое обращение к врачу начинается с диагности-ки параметров крови. В точной и оперативной информации о состоя-нии гемокоагуляции нуждаются реаниматологи, кардиологи, хирурги, акушеры-гинекологи, нейрофизиологи и другие специалисты. Посто-янно растущая потребность в доступной информации о свертывае-мости крови предполагает повышение требований к точности и со-кращению времени гематологических исследований.

Протромбиновое время Квика, активированное парциальное тромбопластиновое время и содержание фибриногена в плазме крови исследователи относят к глобальным коагуляционным тестам, наиболее полно отражающим внутренний, внешний и общий пути коагуляционных превращений крови [2]. Для коагуляционных тестов применяют фотометрические и турбодиметрические методы, осно-ванные на изучении закономерностей взаимодействия различных природных сред с электромагнитным излучением. Недостатком дан-ных методов является использование дополнительной аппаратуры для подготовки препарата крови к исследованию.

Предложено с помощью зондирования пробы крови ультразву-ком (УЗ) определять параметры гемостаза. Для распространения ультразвуковых колебаний не требуется оптически прозрачной сре-ды и сложной схематической реализации. Однако при диагностике коагуляционных параметров необходимо оптимизировать парамет-ры УЗ, чтобы устранить или свести к минимуму влияние на резуль-таты измерений.

Экспериментальная часть. Моделирование влияния УЗ на

препараты крови позволяет существенно сократить трудоемкость и одновременно повысить информативность результатов исследова-ний, а также получить визуальное представление о процессах, изу-чить которые практически невозможно даже с помощью уникальных приборов.

Наибольшее влияние на процессы свертывания крови оказыва-ют тромбин, фактор XI и протеин C. Поэтому для моделирования гемостаза использованы три дифференциальных уравнения, описы-вающие основные механизмы свертывания крови [3].

В уравнениях переменные x2, x11 и x12 соответствуют тромби-ну, фактору XI и протеину C, соответственно:

( ) ( )( )

2 222 1 2 11 2 2

3 12

11

1+ ⋅∂

= ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ⋅ − −∂ + ⋅

K xxD x K x x x x

t K x; (1)

1111 2 4 11

∂= ⋅ ∆ + − ⋅

∂x

D x x K xt

; (2)

21212 5 2 6 12

∂= ⋅ ∆ + ⋅ − ⋅

∂x

D x K x K xt

, (3)

где D – коэффициент диффузии, К1…К6 – константы, зависящие от граничных условий моделирования.

Воздействие ультразвука в большей степени приводит к измене-нию значения коэффициента диффузии [4]:

−

⋅= ⋅E

R TOD D e ; (4)

2 2 22= π ρE f A , (5) где D0 – начальный коэффициент диффузии, E – энергия активации диффузии, R – газовая постоянная, Т – температура, ρ – плот-ность крови, f – частота колебаний, А – амплитуда УЗ колебаний.

Преобразив формулы (1–5) получили:

( ) ( )( )

2 2 222

0 2

2 21 2 11 2 2

3 12

11 ;

1

π ⋅ρ⋅ ⋅−

⋅∂= ⋅ ⋅ ∆ +

∂+ ⋅

+ ⋅ ⋅ − −+ ⋅

f AR Tx

D e xt

K xK x x x x

K x

(6)

2 2 22

110 11 2 4 11;

π ⋅ρ⋅ ⋅−

⋅∂= ⋅ ⋅ ∆ + − ⋅

∂

f AR Tx

D e x x K xt

(7)

2 2 22

2120 12 5 2 6 12

π ⋅ρ⋅ ⋅−

⋅∂= ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ −

∂

f AR Tx

D e x K x K xt

. (8)

Система уравнений (6–8) решалась методом Рунге-Кутта в сре-де MATLAB 7.0. Значение коэффициента диффузии D определя-лось на основании молекулярной массы крови и равно D0=0,026. Постоянные К1=6,85, К2=14, К3=2,36, К4=0,87, К5=17, К6=0,06 [3], зависящие от состава крови.

При воздействии УЗ на препараты крови существенно изменяет-ся коэффициент диффузии. Поскольку энергия УЗ зависит от часто-ты f и амплитуды А, то по уравнениям (4, 5) определено влияние частоты УЗ на коэффициент диффузии при фиксированной частоте 880 кГц (терапевтическая частота УЗ).

С ростом амплитуды УЗ коэффициент диффузии уменьшается по экспоненциальному закону. При амплитуде свыше 1 мкм наблю-дается значительное изменение коэффициента диффузии. При фик-сированной амплитуде УЗ 0,5 мкм увеличение частоты приводит к аналогичному изменению коэффициента диффузии

При амплитуде УЗ свыше 2,0 мкм наблюдается резкое уменьше-ние коэффициента диффузии, который при амплитуде 2,5 мкм дос-тигает значения 8,4×10-9.

По уравнениям (6–8) выявлены зависимости изменения пара-метров свертывания крови от времени при изменении параметров УЗ (рисунок 1).

Анализ результатов показал, что воздействие УЗ с частотой до 880 кГц при амплитуде до 0,5 мкм не оказывает существенного влияния на концентрации тромбина, фактора XI и протеина C. При увеличении частоты или амплитуды УЗ изменяется концентрация тромбина, фактора XI и протеина C.

При увеличении частоты ультразвука до 1760 кГц или амплиту-ды до 1 мкм наблюдается изменение концентрации тромбина и кон-центрации фактора XI при свертывании крови. Увеличение концен-трации тромбина и фактора XI на начальном этапе процесса свер-тывания крови можно объяснить ускоренным обменом веществ в зоне образования сгустка со всем объемом пробы за счет возникно-вения микро- и макропотоков при воздействия УЗ колебаний.

При увеличении частоты ультразвука до 1320 кГц или амплиту-ды до 1 мкм наблюдается увеличение концентрации протеина С в процессе свертывании крови. Выявленные зависимости показывают только качественное изменение параметров свертывания при воз-действии УЗ на пробу крови.

Таким образом, установлено, что воздействие УЗ даже незначи-тельной интенсивности весьма существенно влияет на коэффициент диффузии. Это необходимо учитывать при проектировании ультра-звуковых коагулометров и других УЗ приборов, систем и изделий медицинского назначения.

В результате моделирования проведена оценка влияния УЗ на параметры гемостаза. Рассчитаны параметры УЗ, не оказывающие значимого влияния на концентрацию тромбина, фактора XI и про-теина C в крови при проведении исследования времени свертыва-ния крови – частота до 880 кГц при амплитуде до 0,5 мкм.

Разработан лабораторный макет для контроля протромбинового (ПТВ) и активированного частичного тромбопластинового (АЧТВ) времен (рисунок 2), включающий генератор Г4-102, двухлучевой осциллограф С1-75, ультразвуковые излучатель (1) и датчик (5), которые размещались на одной оси с противоположных сторон кю-веты (2, 4) с исследуемой средой (плазмой) (3). В качестве УЗ датчи-ка и излучателя использовался пьезокерамический излучатель-приемник прямоугольной формы (2x3 мм) производства НВРУП «Эл-керм», рассчитанный на резонансную частоту 1 МГц.

Исследования проводились по двум разработанным методикам для определения АЧТВ и ПТВ, приведенным ниже.



а) б)

в)

Рис. 1. Концентрация тромбина (а), фактора XI (б), протеина C (в) в норме (1) и при воздействии УЗ (2) частотой 880 кГц и амплитудой 1 мкм

1 – ультразвуковой излучатель; 2, 4 – стенки кюветы; 3 – исследуе-мая среда; 5 – ультразвуковой датчик; ЭММ – электромеханическая мешалка; ТСКО – термостатируемое кюветное отделение Рис. 2. Схема измерения затухания амплитуды ультразвука при

исследовании параметров гемостаза. Методика оценки протромбинового времени. Для измерения

ПТВ использовался набор для определения протромбинового вре-мени К-251 (PZ Сormay S.A. (Польша)).

Одноэтапный анализ ПТВ заключается в измерении времени свертывания плазмы после добавления тканевого фактора (тромбо-пластина) с кальцием. Рекальцификация плазмы в присутствии тка-невого фактора порождает активированный Фактор Xa (F.Xa). F.Xa в свою очередь активизирует протромбин в тромбин, который пре-вращает фибриноген в нерастворимый фибриновый сгусток.

Перед непосредственным анализом производилась растворение Тромбопластина PT-S дистиллированной водой в объеме, указанном на флаконе (4 или 10 мл). Легко помешали и оставили флакон на 15 минут при комнатной температуре. Легко смешивали перед каждым использованием.

После подготовки реагента подогревали Тромбопластин PT-S до 37ОС. Добавили 0,1 мл тестовой плазмы в кювету и подогрели до 37ОС и сразу добавили 0,2 мл подогретого Тромбопластина PT-S к тестовой плазме и включили генератор. Фиксировали амплитуду на осцилло-графе и при изменении амплитуды определяли время свертывания.

Методика оценки активированного частичного тромбопла-

стинового времени. Для измерения АЧТВ использовался набор для определения АЧТВ К-350 (PZ Сormay S.A. (Польша)) и Calcium Chlo-ride 0,025 М (HemosIL).

АЧТВ анализ измеряет время свертывания анализируемой плазмы после добавления АЧТВ реагента, инкубации в течение «пе-риода активации», по истечении которого добавляется хлорид каль-ция. 40%-й и ниже дефицит факторов VIII, IX, XI и XII вызывает уве-личение АЧТВ. Гепарин в присутствии адекватного количества AT-III также удлиняет время свертывания в данной методике.

Для проведения анализа подогревали хлорид кальция 0,025 М до 370С и осторожно перемешали. Поместили 0,1 мл исследуемой плазмы в кювету и подогрели до 370С, добавили 0,1 мл реагента АЧТВ в исследуемую плазму, перемешали и включили таймер. Ин-кубировали смесь плазма-реагент 5 минут (время активации) при 370С. Энергично добавили 0,1 мл подогретого хлорида кальция 0,025



М и включили генератор. Фиксировали амплитуду на осциллографе, при изменении амплитуды определяли время свертывания крови.

Результаты и обсуждение. Начальные параметры зондирующе-

го УЗ сигнала задавались исходя из анализа разработанной матема-тической модели – частота 880 кГц и амплитуда 0,5 мкм. Для оценки влияния ультразвука на параметры гемостаза были проведены иссле-дования АЧТВ и ПТВ на разных частотах и разных амплитудах. В таб-лице 1 приведены значения ПТВ и АЧТВ на разных частотах при ам-плитуде ультразвука 1 мкм, в таблице 2 приведены значения ПТВ и АЧТВ при разных амплитудах на частоте ультразвука 880 кГц. Таблица 1. Исследование параметров гемостаза на разных частотах УЗ

Частота, кГц ПТВ, с АЧТВ, с 360 13±0,5 42±0,5 400 12,5±0,5 41,5±0,5 440 13±0,5 41,5±0,5 500 12±0,5 38±0,5 600 10,5±0,5 35±0,5 700 10±0,5 33±0,5

Таблица 2. Исследование параметров гемостаза при разных ампли-

тудах УЗ Амплитуда, мкм ПТВ, с АЧТВ, с 0,5 12,5±0,5 41,5±0,5 1 12±0,5 41,5±0,5 1,5 11±0,5 36±0,5 2 10±0,5 33±0,5

При увеличении частоты или амплитуды УЗ время свертывания

крови (АЧТВ и ПТВ) уменьшается. Результаты проведенных иссле-дований подтверждают математическую модель воздействия ульт-развука на параметры гемостаза.

Для лабораторной диагностики параметров гемостаза разрабо-тан ультразвуковой коагулометр (УЗК) (рисунок 3).

УЗК спроектирован на базе микроконтроллера C8051F040, в со-став которого входят следующие функциональные блоки: УЗ генера-

тор, таймер реального времени, схема сравнения, запоминающее устройство (ЗУ), блок управления работой всего устройства (БУ). В состав УЗК входит блок индикации, входной и выходной каскад, из-лучатель, приёмник, схема термостабилизации. Принцип работы УЗК основан на прохождении сквозь жидкую среду УЗ колебаний и сравнения параметров излучённого и принятого сигнала.

С выхода УЗ генератора сигнал заданной частоты поступает на выходной каскад, который увеличивает амплитуду сигнала до за-данной величины. Излучатель преобразует электрический сигнал в УЗ механический. Изменения УЗ сигнала после прохождения через исследуемую среду улавливается приемником и поступает на АЦП, с дискретизацией, которую задает БУ. Одновременно запускается таймер. Значение, записанное в ЗУ, сравнивается с последующими измеренными значениями. При изменении состояния исследуемой среды это отразится на ее акустической плотности, и амплитуда принятого сигнала начнет изменяться. Как только амплитуда сигнала изменится на определенное значение, таймер фиксирует время. Это время и является временем свертывания крови, которое отобража-ется на индикаторе.

Объединение схем УЗ генератора, АЦП, таймера, схемы срав-нения, блока управления в одном микроконтроллере позволяет зна-чительно упростить реализацию устройства и уменьшить конструк-ционную сложность и стоимость всего прибора.

Предложенный УЗ коагулометр позволяет измерять протромби-новое (ПТВ), тромбиновое (ТВ), активированное частичное тромбо-пластиновое времена АЧТВ. УЗК имеет широкий диапазон измеряе-мых параметров (таблица 3).

Таблица 3. Диапазоны измеряемых значений

Показатели Время, с Точность, с ПТВ 0…200 ±0,5 ТВ 0…200 ±0,5 АЧТВ 0…200 ±0,5

Заключение. В результате моделирования воздействия УЗ на

процессы образования сгустка в крови и исследований установлено, время её свертываемости уменьшается. Это можно объяснить уве-

Рис. 3. Структурная схема ультразвукового коагулометра



личением коэффициента диффузии, дополнительной циркуляции пробы крови микро- и макропотоками, что приводит к ускоренному распространению в объеме активирующих факторов. При воздейст-вии УЗ время свертывания сокращается также за счет локального повышения температуры, которая является катализатором в систе-ме свертывания крови.

УЗК может применяться в составе автоматизированных ком-плексов биохимической лабораторной диагностики для измерения протромбинового, тромбинового, активированного парциального тромбопластинового времен и определения концентрации фибрино-генов в крови.

Результаты моделирования так же могут быть использованы при разработке средств контроля медико-биологических параметров, медицинской техники, в частности, приборов оценки параметров гемостаза, а также при проведении биохимических анализов с при-менением УЗ. Ультразвуковой контроль параметров гемостаза, не

требующий подготовки препарата крови к исследованию, может использоваться в медицинских тестах.

СПИСОК ЦИТИРОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Попечителев, Е.Ф. Аналитические исследования в медицине,

биологии и экологии / Е.Ф. Попечителев. – М.: Высш. шк., 2003. - 279 с.

2. Mann, K.G. Biochemistry and physiology of blood coagulation // Thromb. Haemost. 1999. – V. 82. – No. 2. – P. 165–174.

3. Математическое моделирование пространственно-временной динамики свертывания крови / М.А. Пантелеев [и др.] // PACO’2001. Труды Международной конференции «Параллель-ные вычисления и задачи управления». – М., 2001. – С. 54–78.

4. Physical Principles of Medical Ultrasonics. 2nd Edition / Edit. by C.H. Hill, J.C. Bamber, C.R. ter Haar. – New York: Wiley, 2004.

Материал поступил в редакцию 01.03.12 KAMLACH P.V. Application of ultrasound for the laboratory diagnostics of parameters of hemostasis

The mathematical model of the influence of ultrasound on the parameters of hemostasis. Calculated parameters of blood in time, evaluated the in-fluence of ultrasound on the parameters of hemostasis. Developed original experimental equipment for carrying out research, including the generator, oscilloscope, input and output acoustoelectronic converters, термостатируемое cuvette section, mechanical agitator. Developed methodology of eval-uation of prothrombin time, activated partial тромбопластинового time with the help of ultrasonic oscillations, based on standard methodologies. On the methods elaborated studies and comparative analysis with simulation results. УДК: 004.032.26

Хуань Лю

КЛАССИФИКАЦИЯ КАЧЕСТВА КОММЕРЧЕСКИХ САЙТОВ НА ОСНОВЕ АДАПТИВНОЙ НЕЙРОННОЙ СИСТЕМЫ С НЕЧЕТКИМ ВЫВОДОМ

Введение. В условиях бурного развития глобальных сетей ши-

рокую популярность получили коммерческие предприятия с элек-тронным ведением бизнеса (так называемая “электронная коммер-ция”, или Е-коммерция). Этот термин объединяет широкий спектр деятельности современных предприятий. Он включает в себя весь Интернет-процесс по разработке, маркетингу, продаже, доставке, обслуживанию, оплате товаров и услуг.

Ключевыми для компаний электронной коммерции являются про-блемы понимания запросов покупателей и разработки инструментария по реализации обратной связи. Компании, сайты которых являются сложными для взаимодействия, как правило, плохо представлены в Интернете. Это существенно ослабляет позиции самой компании в целом. Поэтому очень важно, чтобы предприятия имели возможность оценивать качество своих коммерческих предложений и понимать, как воспринимают их клиенты в контексте данной отрасли [1].

Таким образом, важную роль для успешного функционирования компаний электронной коммерции играет проблема оценки их сай-тов. Оценки являются своеобразным механизмом обратной связи, который позволяет совершенствовать стратегию и способы управ-ления. Однако получение самих оценок является далеко не триви-альной задачей. Сайт является программным продуктом, который можно рассматривать как систему с достаточно сложной структурой и функциональностью. Его значимость как базового элемента элек-тронной коммерции невозможно оценить с позиции лишь одного критерия. Поэтому проблема оценки сайтов относится к классу задач многокритериальной (векторной) оптимизации, в которой в качестве исходных данных, как правило, используется субъективная эксперт-ная информация [2, 3].

В настоящее время известны два основных подхода для реше-ния задачи оценки сайтов электронной коммерции: количественный, когда строится некоторая числовая оценка, и качественный, когда получаемая оценка описывается некоторым лингвистическим выра-

жением вида "насколько это хорошо (или плохо)". В силу слабой формализуемости задачи все алгоритмы, разработанные в рамках данных подходов, являются эвристическими. Они базируются на знаниях и опыте исследователя и представляют собой набор неко-торым образом систематизированных шагов без учета взаимоотно-шения факторов, влияющих на окончательное решение [4, 5].

В работе предлагается комбинированный подход к решению про-блемы оценивания качества сайтов электронной коммерции, в рамках которого эффективно используются экспертная информация и строгие математические методы. В качестве базового инструмента предлага-ется использовать возможности адаптивной нейронной системы с нечетким выводом, которая принадлежит к классу гибридных интел-лектуальных систем. Построена модель адаптивной нейронной сети и на ее основе в программной среде Matlab реализована интеллекту-альная система с нечетким выводом. Показано, что система является удобным средством и мощным инструментом для моделирования процессов по оценке сайтов, а используемые для вывода правила типа Если-То легко поддаются пониманию и интерпретации.

1. Метод классификации на основе адаптивной нейронной

сети с нечетким выводом. Анализ существующей литературы [6–9] показывает, что адап-

тивные нейронные сети с нечетким выводом (АНСНВ) обладают хорошими возможностями для обучения, прогнозирования и класси-фикации. Архитектура таких сетей позволяет адаптивно, на основе числовых данных или экспертных знаний, создать базу знаний (в виде совокупности нечетких правил) для системы вывода.

АНСНВ представляет собой многослойную однонаправленную нейронную сеть, для обучения которой используются нечеткие рассу-ждения. На рисунке 1 представлена типовая архитектура АНСНВ с двумя входами, четырьмя правилами и одним выходом. Каждому вхо-ду сети поставлены в соответствие две функции принадлежности.

Хуань Лю, аспирант Белорусского государственного университета. Беларусь, 220013, г. Минск, пр. Независимости, 4.



Рис. 1. Архитектура АННСВ с двумя входами и с четырьмя правилами

В данной модели первого порядка используются правила типа

Если-То, которые могут, например, задаваться следующими выра-жениями:

Rule 1: If x is 1A and y is 1B then f11 = p11x +q11y + r11 Rule 2: If x is 1A and y is 2B then f12 = p12x +q12y + r12

Rule 3: If x is 2A and y is 1B then f11 = p21x +q21y + r21 Rule 4: If x is 2A and y is 2B then f12 = p22x +q22y + r22

здесь 1A , 2A , 1B и 2B – функции принадлежности входов x и y, соответственно, pij, qij и rij (i, j = 1,2) – выходные параметры.

Приведенная архитектура сети состоит из пяти слоев. Для того, чтобы в дальнейшем использовать данный тип архитектуры, опишем каждый слой более подробно.

Слой 1: входные узлы. Все узлы слоя являются адаптивными. Они генерируют классы принадлежности входов, которые задаются следующими формулами:

1 ( ) = 1 , 2 ,= µi iA AO x i

1 ( ) = 1 , 2 ,= µj jB BO y j

где x и y четкие входы, iA и jB – нечеткие множества, которые определяют соответствующие функции принадлежности. Функции могут быть различными. В данном случае будем использовать обобщенные колоколообразные функции принадлежности, пред-ставленные в виде:

21( ) , = 1 , 2 ,

1

µ = −

+

i iA b

i

i

x ix c

a

21( ) , = 1 , 2 ,

1

µ = −

+

j jB b

j

j

y jy c

a

здесь {ai, bi, ci} и {aj, bj, cj} – параметры, регулирующие вид функций. Параметры этого уровня называются предполагаемыми или исходными.

Слой 2: узлы правил. Элементы этого слоя являются фиксиро-ванными узлами. Маркировка буквой Π указывает на то, что данные узлы выступают в качестве простого множителя. Выходы задаются выражениями

2 ( ) ( ), , = 1 , 2 ,= = µ µi jij ij A BO W x y i j

которые определяют уровень мощности каждого правила. Слой 3: средние узлы. Элементы слоя также являются фикси-

рованными узлами. Маркировка N означает, что узлы выполняют функцию нормализации сети. Выходы слоя задаются выражениями

3

1 1 12 21 22, , = 1 , 2 ,= =

+ + +ij

ijij

WO W i j

W W W W

которые называют нормализованным уровнем мощности правила. Слой 4: последующие узлы. Каждый элемент слоя является

адаптивным узлом. Выходами узлов является простое произведение значений нормализованных уровней мощности правил и коэффици-ентов полинома первого порядка. Таким образом, выходы задаются выражением:

( )4 , , = 1 , 2 ,= = + +ij ijij ij ij ij ijO W f W p x q y r i j

Параметры этого уровня называют результирующими. Слой 5: выходные узлы. Данный слой содержит единственный

фиксированный узел. Маркировка узла указывает на то, что в нем производится суммирование всех входных сигналов. Выражение

( )2 2 2 2

51

1 1 1 1

2 2

1 1

( ) ( ) ( )

ij ij

ij ij ij

ij ij ij iji j i j

ij ij iji j

z O W f W p x q y r

W x p W y q W r

= = = =

= =

= = = + + =

= + +

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

представляет собой линейную комбинацию результирующих пара-метров при фиксированном значении исходных параметров.

Таким образом, описанная архитектура АНСНВ имеет два адап-тивных слоя. Слой 1 содержит переменные (относительно входных функций принадлежности) параметры {ai, bi, ci} и {aj, bj, cj}. Слой 4 – переменные параметры {pij, qij, rij}, которые относятся к поли-ному первого порядка. Процесс обучения модели АНСНВ заключа-ется в определении таких значений переменных параметров, при которых выход сети в наибольшей степени соответствовал бы дан-ным обучения. Процедура вычисления параметров является двух-этапным процессом, который известен как гибридный алгоритм обу-чения. В результате первого (прямого) этапа, проводят изменение исходных параметров. Вычисление параметров производится по методу наименьших квадратов. Новые значения в виде выходов узлов слоя передаются в направлении 4-го слоя. На втором (обрат-ном) этапе результирующие параметры фиксируются, ошибочные сигналы распространяются в обратном направлении, и исходные параметры обновляются методом градиентного спуска [9].

2. Оценка коммерческих сайтов с использованием АНСНВ. В данном разделе исследуется возможность применения АНСНВ к задаче оценки сайтов электронной коммерции.

2.1. Описание исходных данных. Для построения АНСНВ ис-пользовалась информация, полученная из базы данных Хэйлунц-зянского института информатики. В качестве исходных данных были отобраны 507 вариантов оценки сайтов электронной коммерции, которые достаточно равномерно покрывали все уровни качества. Все данные выборки случайным образом были разделены на два подмножества: обучающая выборка содержала 390 объектов и кон-трольная выборка – 117.

Входами в АНСНВ (на первом слое) были выбраны переменные, которые соответствовали данным, получаемым от экспертов при их оценке сайтов по трем заданным критериям: удобство (U), надеж-ность (R) и дизайн (D). В качестве значений переменных использо-вались баллы в диапазоне от 0 до 4. При этом 0 соответствовал значению оценки “очень плохо”, 1 – “плохо”, 2 – “нормально”, 3 – “хорошо” и 4 – “очень хорошо”. На выходе АНСНВ вычислялись ком-плексные значения оценок сайтов в диапазоне от 0 до100. Получен-ные на выходе сети значения можно интерпретировать как уровень оценки качества сайта в процентах.

На рисунке 2 приведены данные, полученные при оценке объек-тов заданной выборки, значения которых варьируют в диапазоне от 5 до 99.

2.2. Построение модели АНСНВ. Для каждого из трех входов сети были выбраны по две обобщенные колоколообразные функции принадлежности. С использованием обучающей выборки были по-строены 27 правил вида Если-То, содержащие 104 параметра, зна-чения которых требовалось уточнить в процессе обучения. Выбор числа функций принадлежности (по две на каждый вход) обусловлен объемом обучающей выборки. Увеличение их числа привело бы к изменению количества параметров, которое превысило бы в этом случае число объектов обучения [10].

На рисунке 3 приведен общий вид архитектуры АНСНВ, которая была построена для решения задачи по оценке сайтов электронной коммерции. Модель сети (с использованием инструмента нечеткой логики) была реализована в среде программного пакета MATLAB.



Рис. 2. Баллы веб-сайтов электронных коммерческих 506 проектов по оценке

Рис. 3. Структура модели АНСНВ для оценки электронных коммер-

ческих сайтов 2.3. Анализ АНСНВ модели при оценке качества коммерческих

сайтов. Эксперименты производились на стандартном ПК с опера-ционной системой Windows 7 в программной среде Matlab 7. Про-цесс обучения АНСНВ на 390 объектах занял около трех минут, и для проверки системы на 117 объектах контрольной выборки потре-бовалось еще около двух минут.

На рисунке 4 и 5 приведены соответственно начальный и конеч-ный вид функций принадлежности, полученный в процессе обуче-ния. (В данном случае процесс обучения состоял из 500 шагов). Из рисунков видно, что в результате обучения произошло значительное изменение начального вида функции принадлежности.

Точность работы АНСНВ, построенной в результате обучения, проверялась на объектах контрольной выборки.

Рис. 4. Функции принадлежности до обучения

На рисунке 6 показаны ошибки, полученные на объектах обу-

чающей выборки (объекты с номерами 1-390). Для удобства, здесь также приведены ошибки на объектах контрольной выборки (по-следние 117 объектов). Можно заметить, что за исключением трех сайтов, все остальные 504 объекта классифицировались точно. Для сайтов с номерами 178, 407 и 446, которые в качестве исходных оценок имели 56, 77 и 77 баллов соответственно, в результате ис-пытаний были получены значения 44, 83 и 83. Относительная по-грешность для этих объектов получилась 21,43 %, 7,79 % и 7,79 % соответственно.

Рис. 5. Функции принадлежности после обучения



Рис. 6. Результаты экспериментальных исследований АНСНВ

Рис. 7. Результаты экспериментальных исследований моделей с треугольными функциями принадлежности

Рис. 8. Результаты экспериментальных исследований моделей с трапециевидными функциями принадлежности

Трудно ожидать, что АНСНВ абсолютно точно работает на всех

объектах обучающей и контрольной выборок. Очевидно, что в вы-борках могут встречаться и противоречивые данные. Например, объекты с номерами 170 и 178 имеют одинаковые экспертные оцен-ки: 2, 2, 3 для выбранных критериев U, R, D, соответственно, но по-лучили различные баллы 44 и 56. Эти два объекта, очевидно, нахо-дятся в конфликте друг с другом. Кроме того, было также обнаруже-но, что объекты с номерами 177 и 178 имеют различные экспертные оценки: (2, 3, 1) и (2, 1, 1), но имеют одинаковый балл – 56. Эти два объекта также конфликтуют друг с другом. Можно предположить, что балльная оценка объекта с номером 178 вероятней всего является своеобразным “выбросом”. Удаление объекта из рассмотрения улучшает результат. Это хорошо видно на рисунке 6.

2.4. Выбор функции принадлежности. Рассмотренная выше

АНСНВ была построена с использованием обобщенных колоколооб-разных функций принадлежности. Результаты проведенных экспе-риментов подтвердили эффективность данной модели. Однако воз-никает естественный вопрос о роли функции принадлежности в ней-ронной сети в целом. В этом разделе исследуются модели АНСНВ с другими типами функций принадлежности (треугольными, трапецие-видными и Гауссовыми) и проводится их сравнение с результатами, полученными на моделях с обобщенными колоколообразными функциями.

Указанные функции в порядке их перечисления определяются следующим формулами [11]:

( ) ( ),( ) ( ) ( ), ,

0,

− − ≤ ≤µ = − − ≤ ≤

A

x a b a a x bx c x c b b x c

otherw ise

,

1,( ) ,

,

0,

− ≤ ≤ −≤ ≤µ = − ≤ ≤

−

A

x a a x bb a

b x cx

d x c x dd c

otherw ise

( )21( ) .

1 ( )µ =

+ −A x

x c a

На рисунке 7–9 приведены результаты экспериментов моделей нейронных сетей с указанными типами функций принадлежности. Все эксперименты проводились в равных условиях на той же обу-чающей и контрольной выборках.

Сравнивая результаты экспериментальных исследований, не-трудно заметить, что модели с обобщенными колоколообразными функциями принадлежности показали и лучшие результаты по срав-нению с моделями, в которых использовались другие типы функций принадлежности.

Заключение. Оценка коммерческих сайтов является актуальной

проблемой для большинства предприятий электронного бизнеса. Опи-санная в работе адаптивная нейронная система с нечетким выводом принадлежит к классу гибридных интеллектуальных систем. Показано, что она является удобным средством и мощным инструментом для



Рис. 9. Результаты экспериментальных исследований моделей с функциями принадлежности Гаусса

моделирования процессов по оценке сайтов. В рамках системы эф-фективно используются экспертная информация и строгие математи-ческие методы, правила типа Если-То легко поддаются пониманию и интерпретации.

Таким образом, использование математических моделей и ме-тодов в значительной степени сокращает количество средств и вре-мени, необходимых для получения результатов при решении нетри-виальной задачи по оценке сайтов.


1. Lee, S. The effects of usability and web design attributes on user preference for e-commerce web sites / S. Lee, R.J. Koubek //Computers in Industry. – 2010. –Vol. 61(4). – P. 329–341.

2. Liu Huan. Fuzzy analytic hierarchy process approach for E-Commerce websites evaluation / Huan Liu, V. Krasnoproshin, Shuang Zhang //World Scientific Proceedings Series on Computer Engineering and Information Science. – Spain: World Scientific, 2012. – Vol. 6. – P . 276–285.

3. Liu Huan. Algorithms for Evaluation and Selection E-Commerce Web-sites / Huan Liu, V. Krasnoproshin, Shuang Zhang //Journal of Computational Optimization in Economics and Finance. – New York: USA, 2012. – Vol. 4. – № 2–3. – P. 135–148.

4. Liu Huan. Combined Method for E-Commerce Website Evaluation Based on Fuzzy Neural Network / Huan Liu, V. Krasnoproshin,

Shuang Zhang //Applied Mechanics and Materials. – 2013. – Vol. 380. – P . 2135–2138.

5. Law R. Progress in tourism management: A review of website evalu-ation in tourism research / R. Law, S. Qi, D. Buhalis //Tourism Man-agement. – 2010 – Vol. 31(3) – P . 297-313.

6. Hung W. Developing an evaluation instrument for e-commerce web sites from the first-time buyer's viewpoint / W. Hung, R. J. McQueen //Electron. J. Inform. Syst. Eval. – 2004. –Vol. 7(1) – P. 31–42.

7. Azamathulla H. M. ANFIS-based approach for predicting sediment transport in clean sewer / H. M. Azamathulla, A. Ab Ghani, S. Y. Fei //Applied Soft Computing. – 2012. –Vol. 12(3) – P . 1227–1230.

8. Dwivedi A.A Business Intelligence Technique for Forecasting the Automobile Sales using Adaptive Intelligent Systems (ANFIS and ANN) / A. Dwivedi, M. Niranjan, K. Sahu //International Journal of Computer Applications. – 2013. – Vol. 74(9) – P . 7–13.

9. Jang J. S. R. ANFIS: Adaptive-network-based fuzzy inference sys-tems / J. S. R. Jang //IEEE Transactions on Systems Man and Cy-bernetics. – 1993. – Vol. 23. – P. 665–685.

10. Petković D. Adaptive neuro-fuzzy estimation of conductive silicone rubber mechanical properties / D. Petković, M. Issa, N.D. Pavlović, et al. //Expert Systems with Applications. – 2012. –Vol. 39(10) – P . 9477–9482.

11. Singh R. Estimation of elastic constant of rocks using an ANFIS ap-proach / R. Singh, A. Kainthola, T.N. Singh //Applied Soft Computing. – 2012. – Vol. 12(1) – P. 40–45.


LIU HUAN Quality classification of commercial sites based on adaptive neural fuzzy inference system

This paper describes a combined approach to the quality classification problem of E-commerce sites, based on the use of the methodology of adaptive neural networks with fuzzy inference. A model of a neural network was proposed, in the frame of which expert fuzzy reasoning and rigorous mathematical methods were jointly used. The intelligent system with fuzzy inference was realized based on the model in Matlab software environment. It shows that the system is an effective tool for the quality analysis process modelling of the given type of sites.



Рис. 9. Результаты экспериментальных исследований моделей с функциями принадлежности Гаусса

моделирования процессов по оценке сайтов. В рамках системы эф-фективно используются экспертная информация и строгие математи-ческие методы, правила типа Если-То легко поддаются пониманию и интерпретации.

Таким образом, использование математических моделей и ме-тодов в значительной степени сокращает количество средств и вре-мени, необходимых для получения результатов при решении нетри-виальной задачи по оценке сайтов.


1. Lee, S. The effects of usability and web design attributes on user preference for e-commerce web sites / S. Lee, R.J. Koubek //Computers in Industry. – 2010. –Vol. 61(4). – P. 329–341.

2. Liu Huan. Fuzzy analytic hierarchy process approach for E-Commerce websites evaluation / Huan Liu, V. Krasnoproshin, Shuang Zhang //World Scientific Proceedings Series on Computer Engineering and Information Science. – Spain: World Scientific, 2012. – Vol. 6. – P . 276–285.

3. Liu Huan. Algorithms for Evaluation and Selection E-Commerce Web-sites / Huan Liu, V. Krasnoproshin, Shuang Zhang //Journal of Computational Optimization in Economics and Finance. – New York: USA, 2012. – Vol. 4. – № 2–3. – P. 135–148.

4. Liu Huan. Combined Method for E-Commerce Website Evaluation Based on Fuzzy Neural Network / Huan Liu, V. Krasnoproshin,

Shuang Zhang //Applied Mechanics and Materials. – 2013. – Vol. 380. – P . 2135–2138.

5. Law R. Progress in tourism management: A review of website evalu-ation in tourism research / R. Law, S. Qi, D. Buhalis //Tourism Man-agement. – 2010 – Vol. 31(3) – P . 297–313.

6. Hung W. Developing an evaluation instrument for e-commerce web sites from the first-time buyer's viewpoint / W. Hung, R. J. McQueen //Electron. J. Inform. Syst. Eval. – 2004. –Vol. 7(1) – P. 31–42.

7. Azamathulla H. M. ANFIS-based approach for predicting sediment transport in clean sewer / H. M. Azamathulla, A. Ab Ghani, S. Y. Fei //Applied Soft Computing. – 2012. – Vol. 12(3) – P . 1227–1230.

8. Dwivedi A.A Business Intelligence Technique for Forecasting the Automobile Sales using Adaptive Intelligent Systems (ANFIS and ANN) / A. Dwivedi, M. Niranjan, K. Sahu //International Journal of Computer Applications. – 2013. – Vol. 74(9). – P. 7–13.

9. Jang J. S. R. ANFIS: Adaptive-network-based fuzzy inference sys-tems / J. S. R. Jang //IEEE Transactions on Systems Man and Cy-bernetics. – 1993. – Vol. 23. – P. 665–685.

10. Petković D. Adaptive neuro-fuzzy estimation of conductive silicone rubber mechanical properties / D. Petković, M. Issa, N.D. Pavlović, et al. //Expert Systems with Applications. – 2012. –Vol. 39(10) – P . 9477–9482.

11. Singh R. Estimation of elastic constant of rocks using an ANFIS ap-proach / R. Singh, A. Kainthola, T.N. Singh //Applied Soft Computing. – 2012. – Vol. 12(1) – P. 40–45.


LIU HUAN Quality classification of commercial sites based on adaptive neural fuzzy inference system

This paper describes a combined approach to the quality classification problem of E-commerce sites, based on the use of the methodology of adaptive neural networks with fuzzy inference. A model of a neural network was proposed, in the frame of which expert fuzzy reasoning and rigorous mathematical methods were jointly used. The intelligent system with fuzzy inference was realized based on the model in Matlab software environment. It shows that the system is an effective tool for the quality analysis process modelling of the given type of sites. УДК 004.31:004.312.44

Черкасский Н.В., Ткачук Т.И.

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ УСТРОЙСТВА БПФ Введение. Задачей работы является анализ устройства БПФ на

4х умножителях и проведения его параметрической оптимизации за характеристиками сложности, для построения эффективного конвейе-ра. Примем за основу проектирования спецпроцессора Н-модель ал-горитма [1] и характеристики сложности компьютерных алгоритмов.

Н-модель алгоритма. Н-модель алгоритма (H – Hardware)

предназначена для синтеза, анализа и оптимизации комбинацион-ных вычислительных средств. Возможность ее построения не проти-воречащей первой аксиоме компьютерных алгоритмов: алгоритм может быть реализован аппаратными средствами.

H – модель алгоритма – это пятерка: H: <A, Q, q0, qf, G>; где А – конечное множество символов внешнего алфавита;

Q – конечное множество состояний H-модели; q0 і qf – начальное и конечное состояния (q0, qf ϵ Q); G – конфигурация аппаратных средств модели: G = (X, U),

где X – множество элементарных преобразователей; U – множество соединений.

Структурный синтез бабочки БПФ. Ведущим алгоритмом сис-

тем обработки сигналов является «Быстрое Преобразование Фу-рье». Существует большое количество литературных источников, посвященных его совершенствованию. Главным направлением со-вершенствования является повышение производительности, кото-рая достигается тремя способами: конвейеризацией, аппаратным выполнением алгоритма и использованием параллелизма.

Черкасский Николай Вячеславович, д.т.н., профессор кафедры СКС Национального университета “Львовская политехника”,e-mail: [email protected]. Ткачук Тарас Игоревич, ассистент кафедры СКС Национального университета “Львовская политехника”, e-mail: [email protected].

mailto:[email protected]




Рассмотрим пример проведения синтеза устройства БПФ. Для структурного синтеза Н-модели начальной точкой является алго-ритм. Рассмотрим алгоритм БПФ, одним из вариантов которого яв-ляется разбиение массива входных данных на подмассивы. Вычис-ление для четных и нечетных отсчетов имеет следующий вид: ( ) ( ) ( )0 1

kNX k =X k +W X k ; (1)

( ) ( )0 12 +

kN

NX k =X k +W X k , (2)

где 2

−=

jN

NW eπ

.

Рис. 1. «Бабочка» алгоритма БПФ

Графическое представление об алгоритме дает бабочка БПФ

(рис. 1). Введем следующие обозначения переменных формулы БПФ:

= +

= −

A' A WC,C' A WC.

(3)

Соответственно, в комплексной форме: A=a+jb ; C=c+jd ; W=w+jv .

( ) ( )

( ) ( )( )= + − + + +

= − + + − +

A' a cw dv j b vc dw ,

A' a cw dv j b vc dw . (4)

Проведем структурный синтез устройства БПФ по приведенным формулам. Для вычисления бабочки БПФ, нужно определить 4 пе-ременные [2]: a’ = a+cw-dv; b’ = b+vc+dw; c’ = a-(cw-dv); d’ = b-(vc+dw).

Алгоритм БПФ предполагает выполнение двух основных опера-ций – умножения и суммирования. Им в соответствие ставятся два устройства, устройство умножения и устройство суммирования. Ка-ждый входной операнд используется при вычислениях дважды.

Исходя из теории SH-модели алгоритмов, в процессе структур-ного синтеза следует соблюдать следующие требования: • минимизировать программную сложность, что позволяет уменьшить

площадь кристалла, которую занимает устройство управления; • использовать каноническую форму представления алгоритма,

позволяет получить максимальную удельную производитель-ность и минимальную структурную сложность. Схема, которая удовлетворяет этим требованиям, изображена

на рис. 2.

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

Рис. 2. Схема устройства, которое реализует бабочку БПФ

Анализируя схему можно отметить, что организация загрузки входных данных в регистры достаточно проста, что не вызывает осложнения программной сложности. Устройством, который облада-ет наибольшей задержкой в этой схеме, является устройство умно-жения. Вычисление бабочки БПФ на данном устройстве выполняет-ся за одно параллельное умножение.

Для определения возможности оптимизации рассматриваемой схе-мы нужно провести анализ ее характеристик сложности. На рис. 3 изо-бражена временная диаграмма рассматриваемого устройства БПФ.

Рис. 3. Временная диаграмма устройства БПФ

Анализируя временную диаграмму, видим, что программная

сложность здесь обусловлена только синхронизацией подачи дан-ных, а потому равна нулю.

Схеме присущ естественный параллелизм. Здесь есть два па-раллельных блока выполнения вычислений, каждый из которых состоит из двух умножителей, трех сумматоров и регистров, для получения входных данных и сохранения результатов вычислений.

Структурная сложность устройства. Для проведения анализа

структурной сложности построим блок-схему рассматриваемого устрой-ства БПФ, объединив однородные части схемы в блоки (рис. 4а).

а)

б) Рис. 4. а) блок схема б) граф-устройства БПФ с четырьмя устройст-

вами умножения Согласно Блок-схеме устройства строим граф работы устройства

(рис. 4 б), где блоки схемы соответствуют узлам графа, в данном слу-чае X1 и X2, а шины связей схемы – связями между узлами графа. В приведенном графе дополнительно изображен узел X0, отвечающий памяти устройства, то есть элемент, где хранятся исходные данные и передается результат работы устройства. Для вычислений структур-ной сложности построим матрицу инциденций графа (таблица 1).

Проведя необходимые расчеты, вычисляем структурную сложность [3] для рассматриваемого устройства БПФ. S = -28 log2 28/42 ≈ 16.8.

Параметрическая оптимизация. При проектировании таких ап-

паратно реализованных устройств отправным пунктом является тре-бование: задержка шага конвейера не должна превышать задержки многоразрядного сумматора. Для выполнения такого требования вос-пользуемся устройством умножения с диагональным распространени-ем переноса [3]. В таком устройстве умножения методом разделения известной схемы на две части и добавления конвейерных регистров, было получено быстродействие работы конвейера эквивалентно бы-стродействию работы многоразрядного сумматора.



Таблица 1. Матрица инциденций графа (рис. 4б)

u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 u14

X0 1 1 1 1 1 1 - - - -

X1 - - - 1 1 - - 1 1

X2 - - - - - 1 1 1 1

∑ ∑ ∑∑

∑ ∑ ∑ ∑

Рис. 5. Конвейерное устройство БПФ с разделением на 4 параллельных блока

На рисунке 5 показан оптимизированный вариант конвейерного

устройства, выполняющего алгоритм бабочки БПФ. Управление операциями на сумматорах, сложение или вычитание выполняется с помощью сигналов управления, подаваемых на каждый сумматор.

Предыдущая схема, для удобства топологии проектирования, была разделена на 4 параллельные ветки выполнения алгоритма. Структурная сложность такого устройства будет другой, за счет не-значительного увеличения аппаратной сложности и внешней струк-туры устройства мы достигли уменьшения структурной сложности внутри блоков. Такой вариант будет удобнее при создании прошивки ПЛИС. Нужно создать проект одного такого блока и просто продуб-лировать его, правильно организовав соединение между блоками. На рис.6 изображена временная диаграмма оптимизированного устройства БПФ.

Рис. 6. Временная диаграмма оптимизированного устройства БПФ

Программная сложность здесь, как и в предыдущем случае, обу-

словлена только синхронизацией подачи входных данных, а потому остается нулевой.

Схема одного блока изображена на рис. 7а. Такой блок значи-тельно проще проектировать, по сравнению с первой схемой (рис. 2). Вариант разбиения схемы на 4 параллельных блока позволяет раз-местить ее на 4-х различных устройствах, если бы такая схема не уместилась по объему оборудования на один кристалл ПЛИС. На

рис. 7б изображена блок-схема одного блока, которая была смоде-лирована в программе Quartus фирмы Altera.

а)

∑

∑



б) Рис. 7. а) схема устройства б) смоделированная схема – одного

блока конвейерного устройства БПФ Теперь схема состоит из четырех одинаковых параллельных

блоков, объединенных внешними связями (рис. 8). Анализ структурной сложности проводится на двух уровнях ие-

рархии: одного блока (рис. 7а) и общей схемы устройства из четырех ветвей (рис. 8) S≈52,8. При проектировании на ПЛИС моделируемая схема будет иметь следующее представление (рис. 9).

Рис. 8. Блок-схема устройства БПФ, разделенного на 4 блока Заключение

1. Использование канонического выражения БПФ позволяет полу-чить наибольшую удельную производительность по сравнению с другими устройствами БПФ.

2. Структурная сложность представленного алгоритма БПФ с че-тырьмя устройствами умножения имеет минимальное значение.

3. Представление схемы устройства БПФ на четырех умножителях в виде четырех блоков однородной структуры позволяет суще-ственно упростить дальнейшие операции топологического про-ектирования схемы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Cherkaskyy Mykola, Murad Hussein Khalil, “H-Model of the Algo-

rithm”, Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science. Proceedings of the International Conference TCSET”2006. February 28 – March 4, 2006, Lviv – Slavsko, Ukraine. – Lviv, Publishing House of Lviv Polytechnic, 2006. – Р. 44–45.

2. Черкаський, М.В. Порівняння двох швидкодіючих структур / М.В. Черкаський, Т.І. Ткачук // Збірник матеріалів IV міжвузівської нау-ково-технічної конференції науково-педагогічних працівників “Проблеми та перспективи розвитку економіки і підприємництва та комп’ютерних технологій в Україні”. (Львів, 30 березня – 10 квітня 2009р). – Львів: Видавничий відділ Інституту підприємництва та перспективних технологій, 2009. – C. 230–231.

3. Черкаський, М.В. Характеристики складності пристроїв множення / М.В. Черкаський, Т.І. Ткачук // Науково-технічний журнал «РАДІОЕЛЕКТРОННІ І КОМП’ЮТЕРНІ СИСТЕМИ» Національного аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського, «Харківський авіаційний інститут». – 2012. – №5(57). – С. 142–147.

Рис. 9. Смоделированная схема устройства, БПФ разделенного на 4 блока


CHERKASKYY N.V., TKACHUK T.I. Parametrical optimization of the BPF device

Considered the use of H-model for the synthesis of specialized functions, the advantages of pipelining and parallel structure of the canonical FFT algorithm are shown, was analyzed the complexity characteristics of the device.



УДК 004.056

Волокита А.Н., Ву Дык Тхинь, Щербина А.В., Андресюк Б.Е., Бойкив Т.В., Паламарчук В.В.

МОДЕЛЬ МНОГОКАНАЛЬНОГО БЕЗОПАСНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В PRIVATE CLOUD СИСТЕМЕ

Введение. Запуск задач с требованиями реального времени в

Cloud системах накладывает определенный набор требований к уровню обслуживания задач, при этом использование стандартных алгоритмов планирования и обеспечения безопасности не позволяет удовлетворить данные требования.

В соответствии с последними докладами "Cloud Computing Synopisand Recommendations" Национального института стандартов и технологий США NIST, частное облако – это облачная инфраструк-тура, которая эксплуатируется исключительно организацией, может находиться под управлением организации или третьей стороны, и быть собственностью организации или третьей стороны [1].

При использовании собственного частного облака нет необхо-димости полагаться на внешние неподконтрольные сети и проще обеспечить внутреннюю безопасность. Но для создания и поддержки инфраструктуры требуются большие средства, чем при использова-нии сторонних сервисов. Кроме того, при внезапно нарастающей вычислительной нагрузке доступно меньшее количество ресурсов для расширения облака.

При использовании стороннего частного облака появляется гиб-кость в предоставлении дополнительных ресурсов в короткие сроки. Данная инфраструктура будет зависеть от внешних сетей, что по-требует дополнительных усилий для обеспечения безопасности [2].

В частном облаке все ресурсы объединены в пулы, что позволя-ет достичь высокой эффективности и масштабируемости, за счет динамического изменения объема ресурсов, выделяемых под кон-кретную задачу. Распределяя ресурсы из общего пула между не-сколькими задачами и пользователями, можно повысить эффектив-ную загрузку имеющихся в наличии ресурсов, фактически это позво-ляет быстро масштабировать сервисы в соответствии с требова-ниями клиентов.

При запросе, настройке и управлении поставщики услуг и потре-бители используют интерактивный портал или систему, предназна-ченную для автоматического предоставления ресурсов [3].

Модель многоканального обслуживания в Private Cloud. Для

удовлетворения требований реального времени в Cloud системах предложена модель системы реального времени (СРВ), в которой применяется программный модуль на основе SSA (secret sharing algorithm) для разделения и сборки данных при многоканальной (N каналов) передаче.

Клиенты разделяются на группы по уровню безопасности и при-оритету пользователя. Для клиентов, которым требуется уровень безопасности выше минимального, предлагается использовать не-сколько каналов связи с облаком, для передачи частей задачи по

разным линиям. Клиентам с более высоким уровнем приоритета гарантируется

большая вероятность безотказной работы. Для клиентов с уровнем безопасности выше минимального за-

дача разделяется по алгоритму SSA на N частей и по разным кана-лам доставляется во входную очередь, где происходит сборка. Если пользователь выбирает минимальный уровень безопасности, то задача доставляется по одному каналу связи.

Во входной очереди накапливаются задачи на выполнение. Ка-ждая задача имеет следующие параметры: приоритет, уровень безопасности, требования к оборудованию (объем памяти, частота процессора), время выполнения на требуемом оборудовании, время, за которое должен быть получен результат. Через заданный в сис-теме администратором промежуток времени или после накопления определенного количества задач во входной очереди выполняется планирование распределения задач по ресурсам.

Каждый ресурс системы имеет следующий набор параметров: объ-ем памяти, количество ядер, частота процессора и уровень безопасно-сти, который определяется степенью защиты виртуальных машин.

После планирования задачи доставляются на каналы обслужи-вания, где происходит собственно выполнение заданий, затем обра-ботанные результаты доставляются в выходную очередь. Результа-ты задач с минимальным уровнем безопасности из выходной очере-ди непосредственно доставляются клиентам, а остальные результа-ты разбиваются на части по алгоритму SSA и доставляются клиен-там по нескольким каналам связи.

Модифицированный алгоритм планирования A* для Cloud

системы реального времени. A*(А звездочка) – алгоритм поиска по первому наилучшему совпадению на графе, для поиска маршрута с наименьшей стоимостью от одной вершины (начальной) к другой (целевой, конечной) [4].

Порядок обхода вершин определяется эвристической функцией «расстояние + стоимость» (обычно обозначаемой как f(x)). Эта функция – сумма двух других: функции g(x) стоимости достижения рассматри-ваемой вершины (x) из начальной и эвристической оценки h(x) рас-стояния от рассматриваемой к конечной вершине. Поиск продолжается до тех пор, пока не будет выбран узел с полным назначением.

Для тестирования модели Private Cloud системы выбран данный алгоритм, так как обеспечивает высокое качество планирования и позволяет гибко учитывать требования задач к реальному времени.

Для работы в условиях реального времени алгоритм модифици-рован.

***

Клиент

Клиент

Cloud ***

Клиент

Клиент

Cloud

А В Рис. 1. А – Собственное частное облако, В – стороннее частное облако

Волокита Артем Николаевич, к.т.н., доцент кафедры вычислительной техники Национального технического университета Украины "Киевский политехнический институт". Ву Дык Тхинь, аспирант кафедры вычислительной техники Национального технического университета Украины "Киевский политехни-ческий институт". Щербина А.В., Андресюк Б.Е., Бойкив Т.В., Паламарчук В.В., студенты Национального технического университета Украины "Киевский политехнический институт". Украина, г. Киев, пр. Победы, 37, e-mail: [email protected].




Группа клиентов

Уровень безопасности >1

SSA SSAКлиент

SSA SSAКлиент

Группа клиентов

Уровень безопасности 1

Клиент

Клиент

Cloud система реального времени

Входная

очередь

Планировщ

ик

Канал обслуживания

Канал обслуживания

Выходная

очередь

SSA SSA

*** ***

N

N

Рис. 2. Модель Private Cloud системы

Каждый ресурс имеет коэффициент загрузки kload в диапазоне

[0, 1] – процент занятого процессорного времени. При загрузке зада-чи на ресурс, рассчитывается, какой процент k’load процессорного времени требует задача. Данный коэффициент вводится для того, чтобы избежать возможной перегрузки узла, поскольку при перегруз-ке не гарантируется заданное время отклика системы.

Если kload+k’load>1, то ресурс будет перегружен и не сможет соответствовать требованиям реального времени, поэтому выпол-нение данной задачи на этом ресурсе невозможно. При этом значе-ние функции стоимости для данного узла устанавливается равным бесконечности.

Иначе коэффициент загрузки ресурса, после погружения задачи на этот ресурс, будет вычисляться следующим образом: kload:=kload+k’load.

Также учитываются уровни безопасности задачи и соответст-вующего ресурса. Если уровень безопасности ресурса выше или равен уровню безопасности задачи, то выполнение задачи на ресур-се возможно, иначе ресурс для задачи не подходит и значение функции стоимости устанавливается в бесконечность. Обеспечива-ется требуемый уровень безопасности задачи во время выполнения.

Таким образом, модификация алгоритма планирования позво-ляет избежать перегрузки системы и обеспечивает требуемый уро-вень безопасности при выполнении задач.

Разделение данных на основе алгоритма Шамира для безо-

пасной многоканальной передачи. Для безопасной передачи дан-ных по открытым каналам связи будем использовать разделение данных на части. Для восстановления исходного сообщения, разде-ленного на n частей, необходимо собрать k частей, причем k≤n. Таким образом, безопасность передачи существенно повышается.

В алгоритме разделения секрета Блекли [5] задается размер-ность пространства, равная n, и по каждому из n каналов передает-ся одна гиперплоскость, которая проходит через секретную точку M. Тогда любые k из n гиперплоскостей будут однозначно пересекать-ся в секретной точке. В данном алгоритме используются простые числа: выбирается простое число p, большее M. Затем выбираются числа меньше p: d1,d2,…,dn, для которых значения di упорядоче-ны по возрастанию; каждое di взаимно-простое с другими di.

Для пороговой схемы (n; k) требуется выполнение неравенства: d1*d2*…*dk>p*dn-k+2*dn-k+3*…*dn.

Чтобы распределить части, сначала выбирается случайное чис-ло r и вычисляется M’=M+rp. Тенями ki являются ki=M’ mod di, где тени – это проекции точки на гиперплоскость.

Объединив любые k частей, можно восстановить M, используя теорему об остатках, однако это невозможно сделать, используя лишь k-1 частей.

В алгоритме Karnin-Greene-Hellman используется матричное ум-ножение. Выбирается n+1 k-мерных векторов V0,V1,…,Vn так, что ранг любой матрицы размером k*k, образованный из этих век-торов равен k. Вектор U это вектор размерности k+1. Секрет M – это матричное произведение U*V0. Частями секрета являются произведения U*Vi, где i меняется от 1 до k. Любые k частей мож-но использовать для решения системы линейных уравнений раз-мерности k*k, в которой неизвестными являются коэффициенты U. Таким образом, секрет U*V0 можно вычислить, только зная вектор U. Если известно только k-1 часть, то решить систему уравнений и раскрыть секрет невозможно.

Идея алгоритма Shamir [6] заключается в том, что двух точек достаточно для задания прямой, трех точек – для задания парабо-лы, четырёх точек – для кубической параболы, и так далее. Чтобы задать многочлен степени k требуется k+1 точек.

Для разделения секрета, чтобы восстановление было возможно только при наличии не меньше чем k частей, данные трансформи-руются в многочлен, который можно восстановить по точкам.

Алгоритм Шамира более эффективен, чем приведенные выше ал-горитмы, за счет того, что часть сообщения для каждого из каналов такого же размера как и секрет, а в алгоритме Блекли каждая часть в k раз больше секрета. Поэтому в роботе применяется алгоритм разде-ления секрета Шамира, рассмотренный ниже более детально.

Выберем некоторое простое число p>M. Это число открыто со-общается всем участникам и задаёт конечное поле размера р. Над этим полем строится многочлен степени k-1, то есть случайно вы-бираются все коэффициенты многочлена, кроме М:

( ) ( )1 21 2 1

− −− −= + + + +k k

k kF x a x a x ... a x M mod p, где М – это разделяемый секрет, а коэффициенты 1 2 1− −k ka ,a ,...,a – некоторые случайные числа, которые уничтожаются после того, как процедура разделения секрета будет завершена.

Затем вычисляются координаты различных точек:



( ) ( )1 21 2 1

− −− −= = + + + +k k

i k kk F i a i a i ... a i M mod p . При этом номера секретов должны быть различны по модулю p. После этого части секрета вместе с их номерами, числом и сте-

пенью многочлена передаются по разным каналам. Теперь любые участники, зная координаты k различных точек многочлена, смогут восстановить многочлен и все его коэффициенты, включая послед-ний из них – разделённый секрет.

Прямолинейное восстановление коэффициентов многочлена через решение системы уравнений подменяется вычислением ин-терполяционного многочлена Лагранжа. Формула многочлена вы-глядит следующим образом:

( ) ( )

( )

i ii

ji

i ji j

F x l x y mod p;

x xl x mod p,

x x≠

=

−=

−

∑

∏

где xi, xj – координаты точек многочлена, и все операции выполня-ются в конечном поле размера р.

Для обеспечения безопасности доставки задач в Cloud систему и доставки результатов клиенту использован алгоритм разделения секрета Шамира. Для этого на клиенте устанавливаются программ-ные средства для разделения и отправки задач по n каналам связи во входную очередь Cloud системы, где выполняется восстановле-ние из фрагментов.

Моделирование private cloud системы реального времени.

Основной целью проводимого вычислительного эксперимента было исследование влияния многоканальности на работу облачной сис-темы реального времени. Ограниченный набор воздействий и ис-следуемых характеристик создает предпосылки для упрощения ис-пользуемой модели и соответственно уменьшения ресурсов необхо-димых для моделирования. При этом точность определяемых пара-метров ухудшается незначительно.

Разработано программное обеспечение для моделирования мно-гоканального безопасного обслуживания в private cloud системе ре-ального времени. Данное ПО функционирует в облаке, что позволяет гибко настраивать вычислительные мощности для моделирования.

Моделирование входного потока заявок ограничено100 потоками Эрланга, каждый из которых моделирует поведения одного пользо-вателя, что связано с ограничением вычислительных ресурсов.

На основе распределения Эрланга генерировалось поступление задач во входную очередь и параметры этих задач. Модель PrivateCloud системы состоит из 20 ресурсов, каждый из которых содержит от 1 до 4 процессоров.

Измерялись такие характеристики системы: • зависимость времени ожидания завершения выполнения задачи

от длины входной очереди; • зависимость загрузки системы от длины входной очереди; • зависимость количества отброшенных задач от длины входной

очереди; • зависимость вероятности отказа задачи от размера входной

очереди; • зависимость времени ожидания задачи от уровня приоритета

задачи.

Рис. 3. Зависимость времени ожидания завершения задачи от дли-

ны входной очереди

Как видно из рис. 3, время ожидания задачи растет вместе с длиной входной очереди, что объясняется увеличением времени простоя задачи в очереди и большей степенью загрузки узлов. При достижении полной загрузки, отбрасываются новые входящие зада-чи, поскольку при приеме большего количества задач система не сможет удовлетворять требованиям реального времени. При этом минимальное время ожидания завершения равно времени выполне-ния задачи.

Рис. 4. Зависимость загрузки системы от длины входной очереди

Из рис. 4 видно, что при увеличении количества задач во входной

очереди, загрузка системы растет, и при полной загрузке задачи начи-нают отбрасываться. За счет отказа в облуживании при достижении пиковой нагрузки обеспечиваются требования реального времени.

Нелинейность роста загрузки системы объясняется тем, что ско-рость обработки меньше скорости поступления задачи из-за про-должительного времени их выполнения.

Рис. 5. Зависимость количества отброшенных задач от длины вход-

ной очереди Как видно из рис. 5, при количестве задач во входной очереди

Nвход пороговое~50, система обрабатывает все задания. После пре-вышения Nвход пороговое количество отбрасываемых задач возрас-тает линейно и равно Nвход-Nвход пороговое, где Nвход – количество задач во входной очереди. Это объясняется тем, что при количестве задач во входной очереди, достигающем Nвход пороговое, наступает 100% загрузка системы. Количество задач для полной загрузки сис-темы можно определить из рис. 4.

Рис. 6. Зависимость вероятности отброса задачи от размера вход-

ной очереди



Вероятность отказа p рассчитывается по формуле

=+Kp

M K, где K – количество отброшенных задач, M – количе-

ство выполненных задач. Как показано выше, при количестве задач во входной очереди меньше Nвходпороговое, вероятность отброса задачи равна 0, затем график вероятности растет линейно с ростом количества задач во входной очереди.

Рис. 7. Зависимость времени ожидания задачи от уровня приоритета

задачи Как видно из рис. 7, задачи с более высоким уровнем приорите-

та находятся в режиме ожидания меньше, чем задачи с низким при-оритетом. Чем выше загрузка системы, тем выше время ожидания для низкоприоритетных задач.

Созданная модель PrivateCloud системы реального времени доступна по адресу https://github.com/sansherbina/RealTimeScheduling SystemModel. Моделирование проводилось в облачной инфраструк-туре, что позволило справляться с высокими требованиями к вычис-лительным ресурсам и динамической нагрузкой.

Результаты моделирования показали, что Cloud система в нор-мальном режиме (с уровнем загрузки меньше 100%) удовлетворяет

требованиям реального времени. Как видно из рис. 6, вероятность отброса задачи приблизительно равна 0 до достижением системой пика загрузки. Также разработанная система приоритетов позволяет эффективно дифференцировать пользователей по уровню обслужи-вания. Как видно из рисунка 7, задачи с уровнем 1 (наиболее при-оритетный уровень) имеет наиболее низкое время ожидания.

Заключение. В данной статье модифицирован для работы в

Cloud системе реального времени алгоритм планирования выполне-ния задач A*. Программный модуль выполняет функции распреде-ления задач и балансировки нагрузки в частном облаке. При этом дополнительно возможно выбирать уровень безопасности, что по-зволяет защитить данные в момент выполнения задачи.

Для обеспечения необходимого уровня безопасности при пере-даче задач от пользователя в систему и результатов обратно ис-пользован алгоритм разделения секрета SSA. Задача и данные раз-деляются на части по алгоритму Shamir и передаются в Cloud сис-тему по отдельным каналам, что позволяет повысить уровень безо-пасности при передаче.


1. National Institute of Standards and Technology. [Электронный ре-сурс]. – Режим доступа: http://www.nist.gov/index.html. – Дата дос-тупа: 10.04.2013.

2. Smart Computing in Real Time. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.real-timecloud.com. – Дата доступа: 20.03.2013.

3. Cloud Computing Journal. [Электронный ресурс]. – Режим досту-па: http://cloudcomputing.sys-con.com. – Дата доступа: 30.03.2013.

4. Muhammad Kafil and Ishfaq Ahmad // Optimal Task Assignment in Heterogeneous Distributed Computing Systems. The Hong Kong University of Science and Technology. 2011.

5. Bruce Schneier. Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C. – М.: Триумф, 2002. – С. 589–816.

6. Shamir, Adi. How to share a secret // Communications of the ACM, 1979.

Материал поступил в редакцию 19.11.13 VOLOKITA A.N., VU DUK THIN, SHCHERBYNA A.V., ANDRESYUK B.E., BOYKIV T.V., PALAMARCHUK V.V. Model of multichannel secure service in Private Cloud

In this paper proposed an improvement of the scheduling algorithm A* for using in Private Cloud real-time systems. Algorithm in conjunction with the algorithm of Shamir secret sharing allows static scheduling with the high level of security and the required response time for tasks. Ensured safety delivering tasks to the Cloud system, and the results back to the user. УДК 535.337

Русаков К.И., Ракович Ю.П., Гладыщук А.А., Мельников Д.Г., Саватеева Д.И., Русакова З.В., Чугунов С.В.

ОПТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В МИКРОРЕЗОНАТОРАХ С J-АГРЕГАТАМИ Введение. Одним из основных направлений в оптике микрорезо-

наторов является создание эффективной связи электронных перехо-дов в органических и неорганических наноструктурах с фотонными модами резонаторов. Диэлектрические микросферы являются трех-мерными микрорезонаторами с большой добротностью и малым объ-емом мод, что приводит к возникновению в них сильной оптической обратной связи с резонатором [1]. Оптические резонансы этих резона-торов, называемые модами шепчущей галереи, возникают вследствие полного внутреннего отражения света от внутренней поверхности

сферы. Резонаторы мод шепчущей галереи (МШГ) представляют ин-терес как для изучения взаимодействия света с веществом [2], так и для разного рода практических применений, как низкопороговые лазе-ры [3], устройства динамического фильтрования в волоконной оптике [4] и оптические сенсоры [5]. Использование сферических микрорезо-наторов может быть расширено за счет различных нелинейных опти-ческих эффектов при малых интенсивностях накачки. Ранее были исследованы МШГ в стеклянных и полимерных микросферах, интег-рированных с неорганическими люминесцирующими материалами [2].

Русаков Константин Иванович, профессор кафедры физики Брестского государственного технического университета. Гладыщук Анатолий Антонович, заведующий кафедрой физики Брестского государственного технического университета. Русакова Зоя Витальевна, старший преподаватель кафедры физики Брестского государственного технического университета. Чугунов Сергей Владимирович, старший преподаватель кафедры физики Брестского государственного технического университета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267. Ракович Юрий Петрович, профессор-исследователь Центра физики материалов, Сан-Себастьян, Испания. Мельников Дмитрий Георгиевич, научный сотрудник Центра физики материалов, Сан-Себастьян, Испания. Саватеева Диана Игоревна, научный сотрудник Центра физики материалов, Сан-Себастьян, Испания.

https://github.com/sansherbina/RealTimeScheduling

http://www.nist.gov/index.html

http://www.real-timecloud.com

http://cloudcomputing.sys-con.com



Рис. 1. Изображения МФ микросферы с гибридной цианиновой оболочкой с наночастицами серебра, полученные методом сканирующей

электронной микроскопии (увеличение 23200 и 200000 соответственно)

Рис. 2. МФ микросфера с оболочкой J-агрегатов: a) изображение СЭМ (увеличение 21400); b), с) изображения, полученные конфокальным

сканирующим микроскопом; d) гистограммы времени жизни ФЛ

Однако органические вещества гораздо более удобны с точки зрения технологии нанесения на поверхность микросфер и при созда-нии растворов разной концентрации.

В статье представлены результаты исследований оптических свойств резонатора мод шепчущей галереи – диэлектрической мик-росферы и оболочки из J-агрегатов органического красителя псев-доизоцианина. Вследствие высокой степени упорядоченности моно-меров люминесцентных ассоциатов цианиновых красителей (J-агрегатов) при поглощении фотона электронное возбуждение оказы-вается делокализованным на десятки мономеров, в результате чего образуются молекулярные экситоны. Электромагнитное межмолеку-лярное взаимодействие в агрегате связывает оптические переходы различных молекул, а сила связи зависит от величин дипольных моментов молекул, их ориентации и расстояния между молекулами.

Использование цианиновых J-агрегатов обусловлено величина-ми коэффициентов оптической нелинейности третьего порядка, достаточно большими для органических соединений [4]. Кроме того, высокая оптическая прозрачность, термическая и механическая стабильность меламина формальдегида позволяют в перспективе создавать новые оптических системы за счет комбинирования ука-занных факторов [5, 6].

Методика эксперимента. Для формирования J-агрегатов ис-

пользовался псевдоцианин производства Sigma-Aldrich. Кроме того, полиэлектролиты были также производства Sigma-Aldrich. Для всех растворов применялась дважды очищенная деионизированная вода. Вместо обычного химического соединения молекул красителя с мик-росферами или осаждения допированного красителем золь-гелевой пленки на поверхность микросфер из меламин-формальдегидного



латекса диаметром 11,93 нм производства Microparticles GmbH ме-тодом послойного осаждения были помещены молекулы псевдоизо-цианина. Данный метод послойного осаждения ультратонких пленок позволяет лучше управлять толщиной и качеством тонкой пленки, что очень ценно для оптоэлектронной техники. При данной процеду-ре вначале микросферы имеют небольшой положительный заряд на поверхности, который притягивает отрицательно заряженный моно-слой полиэлектролита полиэтиленимина (PEI). После этого моно-слой красителя осаждается на поверхность слоя полиэлектролита. В наших экспериментах на микросферы наносился только один слой J-агрегатов. Между каждым этапом приготовления частицы промыва-лись три раза в воде с целью удаления остатков полиэлектролита или молекул красителя.

Все подготовительные процедуры и измерения проводились при комнатной температуре. Чтобы предотвратить отбеливание J-агрегатов красителя из-за дополнительного окисления, все спектро-скопические эксперименты были выполнены на образцах в водных растворах.

Коллоидные нанокристаллы серебра размером 30 нм были по-лучены синтезом из AgNO3 в водном растворе после добавления NaBH4.

Спектры поглощения и фотолюминесценции снимались установ-ками Cary 50 (Varian) и FP6600 (Jasco) соответственно. Спектры микрофотолюминесценции регистрировались в геометрии обратного рассеяния установкой для конфокальной рамановской микроскопии Alpha 300 фирмы WITec (длина волны возбуждения 532 нм).

Спектры разрешенной по времени фотолюминесценции регистри-ровались с помощью установки PicoQuant Microtime 200 с микроскопом Olympus IX71. Образцы возбуждались пикосекундными импульсами лазерной головки PicoQuant LDH 485, управляемой драйвером Sepia II. Временное разрешение системы составляло примерно 100 пс. Карти-ны двумерного распределения среднего времени затухания фотолю-минесценции вычислялись для каждого пикселя. Сканирующая элек-тронная микроскопия была проведена с помощью установки Helios NanoLab Dual Beam и микроскопа Quanta 250 FEG.

Результаты и обсуждение. Использованные методы подготовки

образцов позволяют эффективно управлять толщиной и качеством осаждаемой тонкой пленки псевдоизоцианина. Изображения (рис.1) микросферы, покрытой наночастицами серебра и J-агрегатами, полу-ченные методом сканирующей электронной микроскопии, демонстри-руют присутствие фракталоподобных металлических кластеров, так называемых "горячих точек", что является следствием возбуждения плазмонов и взаимодействия между наночастицами. Эти точки - про-странственные области наноразмерного масштаба высокоинтенсив-ных оптических полей, которые обеспечивают существенное усиление комбинационного рассеяния и фотолюминесценции.

Наблюдавшееся резкое усиление свечения можно объяснить совместным действием двух факторов: увеличением интенсивности электромагнитного поля за счет резонанса поверхностных плазмо-нов, и ограничением света в микрорезонаторе.

В наших экспериментах мы проверили возможность увеличения интенсивности излучения J-агрегатами, закрепленными на поверх-ности сферического микрорезонатора. Для этого было использовано взаимодействие экситонов в J-агрегатах с локальными полями, об-разованными кластерами металлических наночастиц. Результат формирования кластеров наночастиц серебра на поверхности МФ сферы проиллюстрирован на рис. 2 (a).

При формировании «горячих точек» мы использовали дополни-тельную процедуру, которая позволила нам изменить свойства про-слойки из полиэлектролита. Перед тем, как микросферы с оболочками из полиэлектролита покрывались слоем наночастиц серебра, мы вы-держивали их в течение 1–2 дней в растворе NaCl (0,2 моль). Эта об-работка незначительно снижает прочность слоя полиэлектролита, что приводит к образованию более структурированной оболочки.

В отличие от микросфер с монослоем из J-агрегатов, конфо-кальное изображение микросфер, покрытых слоем из наночастиц серебра, и J-агрегатов, показывает наличие очень ярких пятен на поверхности микросфер (рис. 2,b), которые мы связываем с повы-шенной (до 50 раз) фотолюминесценцией J-агрегатов, адсорбиро-ванных на кластерах серебра.

Кроме того, время жизни фотолюминесценции J-агрегатов в комбинации с кластерами серебра в 2,5 раза меньше, чем в случае, когда на поверхность микросфер нанесен слой, состоящий только из

J-агрегатов. Сокращение времени жизни ФЛ (наряду с увеличением интенсивности ФЛ) характерно для усиления поверхностной люми-несценции, которое происходит, когда молекулы адсорбируются на металлических наночастицах. Таким образом, мы считаем, что яркие участки возникают в силу возрастания поверхностной ФЛ.

Наблюдаемое повышение скорости рекомбинации в значитель-ной степени связано с эффективным взаимодействием экситонов в J-агрегатах с поверхностными плазмонами в кластерах из наноча-стиц серебра. Большая плотность оптических мод в системе экси-тон-плазмон обеспечивает более интенсивное излучение. Кроме того, наличие кластеров серебра вызывает серьезные изменения в спектрах ФЛ J-агрегатов, прикрепленных к поверхности микросфер.

Рис. 3. Спектр микро-ФЛ от МФ микросферы, покрытой J-агрегатами

и наночастицами серебра (1), и микросферы, покрытой толь-ко J-агрегатами (2). На вставке: спектры комбинационного рассеяния МФ микросферы, покрытой наночастицами сереб-ра и J-агрегатами (3), и стеклянной микросферы идентичного размера с такой же оболочкой (4)

Существенное увеличение интенсивности ФЛ от микросферы,

покрытой оболочкой J-агрегатов и адсорбированными наночастица-ми серебра, представлено на рис.3. В области длин волн, больших 590 нм, спектр ФЛ (рис. 3, кривая 1) демонстрирует структуру пиков, аналогичных модам шепчущей галереи в случае, если на поверхно-сти микросферы отсутствуют наночастицы серебра. Между тем на-блюдается уширение пиков ФЛ, что может быть связано с возбужде-нием поверхностных плазмонов в наночастицах серебра и ослабле-нием рассеяния. В результате добротность снижается в 6-7 раз по сравнению с микросферами без наночастиц.

На кривой 1 (рис. 3), помимо вышеупомянутых мод шепчущей галереи, также наблюдается ряд дополнительных спектральных структур: четыре пика расположены между 546,6 нм и 549,9 нм (группа пиков А) и три четко выраженных пика на 569,4 нм, 573,8 нм и 582,6 нм (группа B). Стоит отметить, что в случае сферы без нано-частиц Ag эти спектральные линии не были обнаружены (рис. 3, кривая 2), причем условия возбуждения и регистрации не изменя-лись. Для подтверждения того, что эти пики являются хорошо из-вестными линиями комбинационного рассеяния J-агрегатов псевдо-изоцианина, были проведены измерения спектров комбинационного рассеяния высокого разрешения (рис. 3, кривая 3 на вставке) для стеклянной микросферы того же размера с оболочкой из наночастиц серебра и J-агрегатов, в которой не поддерживаются моды шепчу-щей галереи (рис. 3, кривая 4). Обе кривые 3 и 4 имеют такие же наборы пиков, что и кривая 1.

Кроме того, из-за лучшего спектрального разрешения спектров комбинационного рассеяния, кривые 3 и 4 демонстрируют тонкую структуру пиков при 569,4 и 573,9 нм, которая не наблюдается на кри-вой 1. Важным моментом является то, что расположение всех пиков в спектрах 3 и 4 точно совпадает с положением пиков комбинационного рассеяния J-агрегатов псевдоизоцианина. Три линии, образующие группу B в этих спектрах, обусловлены симметрией в плоскостях де-формации отдельных фенил- и пиридил- колец, которые являются составными частями молекул псевдоизоцианина. Эти деформации дают основной вклад в оптический спектр комбинационного рассеяния J-агрегатов псевдоизоцианина, и, следовательно, эти моды наиболее



ярко выражены. Четыре линии, которые образуют группу А, связаны с различными деформациями фенил- и пиридил-колец.

Спектры, представленные на рис. 3, ясно показывают, что одно-временно происходят два процесса. Во-первых, ФЛ микросфер усили-вается наночастицами Ag. Это можно увидеть, сравнивая интенсивно-сти ФЛ в спектрах мод шепчущей галереи (кривая 1) сфер с наноча-стицами Ag и без них. Во-вторых, усиление поля наночастицами Ag выявляет линии комбинационного рассеяния J-агрегатов (кривая 1), которые не видны на кривой 2. Очевидно, что возрастание КР сильнее, чем увеличение ФЛ, что может быть объяснено тем фактом, что ин-тенсивность комбинационного рассеяния в четыре раза больше ин-тенсивности локального поля. Поэтому линии комбинационного рас-сеяния появляются на верхней части спектра ФЛ (кривая 1).

Рис. 3 ясно показывает, что дополнительные пики на кривой 1 (группы А и В) являются линиями комбинационного рассеяния J-агрегатов, адсорбированных на наночастицах Ag. Кроме того, интен-сивность этих линий в спектре 3 выше интенсивности линий комбина-ционного рассеяния стеклянной микросферы (кривая 4). Из чего можно заключить, что МШГ могут дополнительно усилить сигнал КР.

Данное предположение подтверждается тем фактом, что пики группы B в спектре ФЛ (569,4 нм, 573,8 нм и 582,6 нм) полностью соответствуют спектральным положениям ТМ1031, ТМ1021, ТМ1011 мод. Это соответствие имеет определяющее значение для усиления ФЛ и КР в результате эффекта локального расширения электрического поля из-за МШГ резонансов и локализованных плазмонов.

Таким образом, наш анализ спектров фотолюминесценции по-зволяет объяснить наблюдавшиеся оптические особенности взаи-модействием плазмонов металлических наночастиц и экситонных состояний J-агрегатов с локальным полем микрорезонатора, что может быть использовано для управления плотностью и добротно-стью мод, а также другими параметрами излучения в связанной гиб-ридной системе, состоящей из МФ микрорезонатора с оболочкой из J-агрегатов цианиновых красителей и наночастиц серебра.

Помимо резонансных процессов, в микросферах наблюдаются и нерезонансные, например формирование узкого пучка, когда микро-сфера используется в качестве линзы. Мы получили фотонный пу-чок от такой же микросферы, помещенной в воду, и провели числен-ное моделирование этого явления методом конечных элементов. Результаты эксперимента и моделирования практически совпадают, что свидетельствует о возможности компьютерного моделирования устройств с фотонными пучками (рис. 4 и рис. 5). В качестве исход-ных данных для моделирования были выбраны микросферы радиу-сом 12 мкм с показателем преломления 1,68, помещенные в воду, поскольку ранее были получены экспериментальные данные в виде фотографий фотонных пучков, создаваемых микросферами при освещении их сфокусированным лазерным пучком.

Рис. 4. Микрофотография меламин-формальдегидной сферы в во-

де, слева на нее сфокусирован лазерный пучок с длиной волны 532 нм

Рис. 5. Результат моделирования микролинзового эффекта методом

конечных элементов для сферы диаметром 12 мкм (фотон-ный пучок выделен прямоугольной рамкой)

Рис. 6. Структура фотонного пучка, сформированного диэлектриче-

ской микросферой диаметром 12 мкм (n=1,68), помещенной в водную среду

С точки зрения практического применения фотонных нанопучков

наиболее важными характеристиками являются интенсивность и длина пучка. Меняя размерный параметр x=2πRn/λ, мы одновремен-но фактически изменяем длину волны или относительный показа-тель преломления.

Численное моделирование выявило две различные тенденции в поведении интенсивности и длины фотонного пучка: интенсивность повышается с ростом размерного параметра примерно до 35 по сравнению с интенсивностью падающей плоской волны, а затем опять снижается. Длина пучка возрастает и достигает 13 мкм при x~35 (рис.6), а затем уменьшается и превращается в точку при больших значениях размерного параметра. Следовательно, при моделировании необходимо находить такую величину размерного параметра, чтобы длина пучка и интенсивность удовлетворяли тре-бованиям конкретной задачи.

В результате численного моделирования продемонстрировано, что распределение рассеянного излучения существенно изменяется с изменением возбуждающей длины волны или относительного показа-теля преломления, хотя фотонные нанопучки не являются результа-том резонансного эффекта. Выявленные зависимости позволяют по-добрать такие диаметры преломляющих цилиндров или сфер, при которых происходит усиление интенсивности центрального дифракци-онного максимума и уменьшение интенсивности других дифракцион-ных максимумов, а также уменьшение ширины фотонного пучка.



Заключение. Проведено исследование микрорезонатора мод

шепчущей галереи с тонкой оболочкой J-агрегатов молекул псевои-зоцианина и нанокристаллами серебра. Экспериментальные резуль-таты подтверждают сильную оптическую связь J-агрегатов с модами резонатора и плазмонами металлических наночастиц. Подтвержде-на возможность управления оптическими характеристиками подоб-ных гибридных систем в сочетании с применением фотонных пучков. Показана возможность создания новых устройств, использующих как резонансные, так и нерезонансные процессы в системах из оптиче-ски связанных микросфер.


1. Joannopoulos, J. D. Photonic crystals: putting a new twist on light / J.D. Joannopoulos, P .R. Villeneuve, S. Fan // Nature. – 1997. – Vol. 386. – No 6621. – P. 143–149.

2. Vahala, K.J. Optical microcavities / K.J. Vahala // Nature. – 2003. – No 6950. – Vol. 424. – P . 839–846.

3. Matsko, A.B. Optical hyperparametric oscillations in a whispering-gallery-mode resonator: Threshold and phase diffusion / A.B. Mats-ko, A.A. Savchenkov, D. Strekalov, V.S. Ilchenko, L. Maleki. // Phys. Rev. A. – 2005. – Vol. 71. – No 3. – P. 033804-1/10.

4. Spano, F.C. Nonlinear susceptibilities of molecular aggregates: En-hancement of χ(3) by size / F. C. Spano, S. Mukamel // Phys. Rev. A. – 1989. – Vol. 40. – No 5783. – P. 5783–5801.

5. Rakovich, Y.P. Whispering Gallery Mode Emission from a Composite System of CdTe Nanocrystals and a Spherical Microcavity / Y.P. Ra-kovich, L. Yang, E.M. McCabe, J.F. Donegan, T. Perova, A. Moore, N. Gaponik, A. Rogach // Sem. Sci. Techn. – 2003. – Vol. 18. – No 11. – P . 914–918.

6. Melnikau, D. Whispering gallery mode resonators with J-aggregates / D. Melnikau, D. Savateeva, A. Chuvilin, R. Hillenbrand, Y .P . Rako-vich // Opt Express. – 2011. – Oct 24. – Vol. 19. – No 22. – P . 22280–22291.

Материал поступил в редакцию 03.03.14 RUSAKOV K.I., RAKOVICH Y.P., GLADYSHCHUK A.A., MELNIKAU D.G., SAVATEEVA D.I., RUSAKOVA Z.V., CHUGUNOV S.V. Optical proper-ties of microcavities with shell of J-aggregates

We report on development of active whispering-gallery microcavities integrated with shell of organic dye TTBC molecules in a J-aggregate state and Ag nanocrystals. We demonstrate that the emission intensity can be further enhanced by depositing a hybrid layer of J-aggregates and Ag nano-particles onto the spherical microcavity. Owing to the concerted action of WGMs and plasmonic hot spots in the Ag aggregates, we observe an en-hanced Raman signal from the J-aggregates. Microcavities covered by J-aggregates and plasmonic nanoparticles could be thus useful for a variety of photonic applications in basic science and technology. УДК 536 (075.8)

Гладковский В.И., Пинчук А.И.

ЛЕКЦИОННАЯ ДЕМОНСТРАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ РАДИОМЕТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

Введение. Как известно, радиометрическим эффектом называ-

ют явление спонтанного движения твердых тел, находящихся в ат-мосфере разреженных газов и имеющих разную температуру по-верхностей. Джеймс Клерк Максвелл, проводя анализ радиометри-ческого эффекта, обнаруженного в 1874 году английским физиком и химиком Вильямом Круксом [1], выдвинул гипотезу, заключающуюся в том, что одной из возможных причин этого эффекта могут быть температурные напряжения [2].

Радиометрический эффект имеет место в том случае, когда од-на сторона твердого тела имеет более высокую температуру, чем другая. Неравенство температур обеих сторон одного и того же твердого тела достигается, как правило, путем нанесения на него светлого и темного покрытия. В результате, темная сторона облада-ет большей поглощательной способностью, чем светлая. Таким об-разом, темная сторона лопасти крыльчатки радиометра Крукса име-ет более высокую температуру по сравнению со светлой стороной.

Природа радиометрического эффекта. Радиометрический

эффект имеет чисто молекулярно-кинетическую природу. Молекулы разреженного газа, отскакивающие от более нагретой поверхности твердого тела, получают при этом больший импульс, чем молекулы, отражающиеся от менее нагретой стороны. Поэтому, в соответствии с законом сохранения импульса, твердое тело движется в противо-положном направлении. Действительно, при воздействии электро-магнитного излучения на крыльчатку оно поглощается обеими сто-ронами. Но так цвет у разных сторон разный, то эти стороны, обла-дающие разной поглощательной способностью, нагреваются раз-личным образом. При этом темная сторона нагревается сильнее

светлой. Так как температура темной стороны крыльчатки больше температуры светлой стороны, то темная сторона передает молеку-лам окружающего воздуха больший суммарный импульс, чем свет-лая. В результате действия закона сохранения импульса сама крыльчатка при этом получает больший импульс, направленный в противоположную сторону. В результате возникает закручивающий момент приблизительно в 1000 раз больше закручивающего момен-та, обусловленного световым давлением (что не было вначале учте-но Максвеллом).

Еще одной причиной, вызывающей возникновение радиометри-ческих сил, является движение приповерхностного слоя газа в на-правлении к более нагретой поверхности. Вязкость газа способству-ет распространению этого движения в отдаленные слои газа. В со-ответствии с законом сохранения импульса, твердое тело также движется в противоположном направлении [3]. В качестве подтвер-ждающей иллюстрации этого явления можно упомянуть ситуацию, когда пыль собирается на более холодных сторонах отопительных систем. Но в случае разреженного газа этим явлением можно пре-небречь. В случае же устройств, в которых присутствует темпера-турный градиент, данным эффектом пренебрегать нельзя [4].

Если поместить пластину с различными температурами в атмо-сферу разреженного газа, то на нее действует сила F, равная

( )

α−+α−

α−+α=

G

GECE

G

GEE

TTT

TT)(TpAF 11

2H ,

где р − давление газа, HT и CT − температуры горячей и холод-

Гладковский В.И., доцент кафедры физики Брестского государственного технического университета. Пинчук А.И., доцент кафедры физики Брестского государственного технического университета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.



ной стороны соответственно, GT − температура газа, A − площадь

лопасти и Eα − коэффициент поглощения энергии [5]. Силы, за-ставляющие пластины двигаться, называются радиометрическими. Следует отметить, что средняя длина свободного пробега молекул газа должна быть больше, чем толщина пластины.

Радиометр Крукса обычно изготавливают в виде стеклянной колбы, из которой предварительно удаляется большая часть возду-ха (т.е. создается частичный вакуум). Внутри колбы на специальном шпинделе, обеспечивающем небольшое значение силы трения, установлено несколько (как правило, четыре) вертикально располо-женных лопастей из сплава легких металлов, размещенных на рав-ном расстоянии от оси их вращения. Лопасти с одной стороны обыч-но либо полируют, либо красят светлой краской, с другой — их обычно зачерняют. Если на радиометр воздействует солнечный свет, освещение от электрической лампочки или инфракрасное из-лучение (причем в некоторых случаях может быть достаточно даже тепла от рук), то лопасти начинают вращаться без видимой движу-щей силы. Весьма характерным и значимым в данном случае явля-ется то обстоятельство, что затемненные лопасти удаляются от источника излучения, а светлые, наоборот, − приближаются.

Более того, если радиометр охлаждают, то это приводит к вра-щению лопастей в обратном направлении. Подобный эффект начи-нает проявляться после откачки воздуха при невысоком вакууме (несколько сотен паскалей) и становится максимальным при значе-ниях давления близких к 1 Па. Радиометрический эффект исчезает совсем, когда вакуум достигает значения 10−4 Па.

Интересно также происхождение названия эффекта, которое происходит от латинского слова “radius”, что в переводе означает «луч». В данном случае этот эффект связан с электромагнитным излучением. Следовательно, с помощью радиометра Крукса можно измерять интенсивность электромагнитного излучения в инфракрас-ном диапазоне. Для этого достаточно провести измерение скорости вращения лопастей, например, с помощью стробоскопа.

При попадании теплового излучения на лопасти радиометра Крукса, он превращается в тепловой двигатель. Действительно, работа любого теплового двигателя связана с существованием раз-ницы температур между нагревателем и холодильником. При этом полученная теплота трансформируется в механическое перемеще-ние, т.е. тепловой двигатель может совершать работу. В данном случае лопасти с темной стороны нагревается сильнее светлой, в силу того, что черный цвет сильнее поглощает тепловую энергию по сравнению с отполированной или более светлой стороной. При со-прикосновении молекул воздуха с чёрной стороной лопасти, их тем-пература, а, значит, и их кинетическая энергия, при этом увеличива-ются. Далее, поскольку нагревшиеся стороны лопасти отдают свою тепловую энергию молекулам воздуха, то температура разреженного воздуха внутри колбы увеличивается. В свою очередь, сами молеку-лы воздуха также отдают полученную ими энергию молекулам стек-лянных стенок сосуда. Температура стенок колбы совпадает с тем-пературой окружающей среды.

Постоянный отток энергии изнутри через стенки сосуда создает такой тепловой режим, что разные стороны одной и той же лопасти оказываются нагретыми по-разному. При этом светлая сторона ло-пасти всегда холоднее темной за счет большей теплоотдачи. В то же время температура светлой стороны лопасти оказывается немного выше температуры воздуха, находящегося внутри стеклянного сосу-да. Для усиления эффекта разные стороны лопастей желательно теплоизолировать друг от друга так, чтобы предотвратить самопро-извольное выравнивание температур. Если же лопасти сделаны из металла, тогда изолирующим материалом может служить сама крас-ка (неважно черная или светлая). Более высокое внешнее давление воздуха помогает эффективнее отводить тепло от стенок сосуда.

Работа радиометра Крукса при различных режимах освеще-

ния (рис. 1−3).

Кроме того, величина воздушного давления внутри сосуда должна находиться в определенных пределах. При давлении мень-ше 1 Па внутри колбы будет недостаточно молекул воздуха для того, чтобы создавать воздушные потоки, способные вращать лопасти крыльчатки и передавать тепловую энергию наружу так, чтобы раз-ные стороны лопастей не могли достигнуть состояния теплового равновесия за счет эффекта теплопроводности непосредственно через материал самих лопастей. При повышении давления свыше 400 Па разницы температур между разными сторонами лопастей будет не достаточно для создания вращающего момента по причине соответствующего увеличения сопротивления воздуха.

Нами разработана лекционная демонстрация, предназначенная для показа преобразования тепловой энергии в механическую. Ос-новой созданной установки для изучения радиометрического эффек-та является радиометр Крукса. Этот радиометр, известный как "све-товая мельница", впервые был сконструирован Круксом в 1873 году. Радиометр Крукса состоит из крыльчатки с четырьмя лопастями, сбалансированной на тонкой игле внутри стеклянной колбы с не-большим отрицательным (пониженным по сравнению с атмосфер-ным) давлением.

К радиометру Крукса в нашей установке прилагаются различные источники электромагнитного излучения, работающие в следующих диапазонах длин волн электромагнитного диапазона: 1) оптический и инфракрасный диапазон; 2) только оптический диапазон; 3) только инфракрасный диапазон.

Из рисунков 1−3 видно, что радиометрический эффект имеет место, когда на крыльчатку падает излучение от лампы накаливания и теплового нагревателя. Когда крыльчатка освещается компактной люминесцентной лампой, то крыльчатка не вращается.

Заключение. Причина наблюдаемого явления заключается в

том, что электромагнитные волны инфракрасного диапазона нагре-вают черную поверхность лопастей лучше, чем электромагнитные волны в оптическом диапазоне.

Учебно-методический эффект от использования данной лекци-онной демонстрации состоит в том, что он позволяет: • избежать подмены внешне похожих эффектов, имеющих прин-

ципиально различную физическую природу; • отвечать принципу научности демонстрационных опытов, сде-

лать демонстрации выразительными; • преодолеть научно-педагогическую трудность, заключающуюся в

большой трудности демонстрации в условиях образовательного учреждения установки Лебедева, регистрирующей давление света. Лекционная демонстрация молекулярно-кинетической природы

радиометрического эффекта внедрена в учебный процесс по кафед-ре физики БрГТУ в разделе "Молекулярная физика" курса "Физика".


1. Patent, U.S. Crookes, William // Improvement In Apparatus For Indi-cating The Intensity Of Radiation. – Рublished 10 August 1876. – Is-sued 12 September 1876.

2. Maxwell, J.C. On stresses in rarified gases arising from inequalities of temperature // Phil. Trans. R. Soc. of London. – 1879. – № 170 – Р. 231–256.

3. Einstein, A. Zur Theorie der Radiometrerkrafte // Zeitschrift fur Phy-sik. – 1924. – № 27. – Р. 1–5.

4. Scandurra, M. Gas kinetic forces on thin plates in the presence of thermal gradients / M. Scandurra, F. Iacopetti, P . Colona // Physical Review. – 2007. – V. E75. – Р. 026308.

5. Gimelshein, S. Analysis and Applications of Radiometric Forces in Rarefied Gas Flows / S. Gimelshein, N. Gimelshein, A. Ketsdever, N. Selden // 27th International Symposium on Gas Dynamics, Monterey, CA. – 2010, July 10-15.



Режим освещения Работа радиометра

Рис. 1. Оптический и инфракрасный диапа-зон (лампа накаливания)

Крыльчатка вращается

Рис. 2. Только оптический диапазон (ком-пактная люминесцентная лампа)

Крыльчатка не вращается

Рис. 3. Только инфракрасный диапазон (те-пловой нагреватель)

Крыльчатка вращается

Материал поступил в редакцию 08.01.14 GlADKOVSKY V.I., PINCHUK A.I. A lecture demonstration to study molecular nature of the radiometric effect

We have developed a lecture demonstration to show the direct conversion of heat energy into mechanical energy. The main unit of the proposed facility to study the radiometric effect is the Crookes radiometer. The facility is supplied with the sources of electromagnetic radiation working in the different bands. The use of this facility during classes allow students to avoid misunderstanding of the wherefore for similar effects which have principally different physical nature.



УДК 002:004+81’32

Антонов С.Г., Совпель И.В.

К ЗАДАЧЕ РАЗРАБОТКИ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОРОВ Введение. Поскольку естественный язык (ЕЯ) является универ-

сальным средством описания действительности и коммуникации с вычислительной системой, то актуальность его автоматической обра-ботки в составе современных информационных технологий, безуслов-но, очень высока. Данное направление, называемое иначе NLP (natu-ral language processing), связано, чаще всего, с моделированием и обработкой ЕЯ в целях автоматизации его понимания. Учитывая, что ЕЯ «проявляется» как в виде текста, так и в виде речи, мы будем го-ворить в дальнейшем только о тексте (в самом широком смысле этого слова). Суть понимания текста состоит в представлении его содержа-ния в терминах и отношениях некоторой заданной системы знаний, определяемой целевой задачей. Например, это может быть множест-во ключевых слов с указанием для них синонимических и иерархиче-ских отношений, множество объектов с указанием для них атрибутив-ных и функциональных отношений. В любом случае автоматизация понимания текста требует разработки процедур его лингвистического анализа (ЛА). И, таким образом, об этих процедурах, характерных для большинства важнейших приложений NLP (автоматизации инженерии знаний, информационного потока, машинного перевода, автоматиче-ского реферирования и др.), можно в совокупности говорить как о ба-зовом лингвистическом процессоре (БЛП) [1].

Как показывают проведенные исследования и опыт разработки

многих NLP-приложений, функциональность БЛП должна включать: форматирование текста, его лексический, лексико-грамматический, синтаксический и семантический анализ. Необходимость первого, вспомогательного, этапа ЛА обусловлена существованием различ-ных форматов документов, и поэтому для упрощения процесса их обработки производится преобразование этих документов в некото-рый единый формат, максимально сохраняющий стилистическую и структурную разметку документов. Кроме того, на данном этапе осуществляется разбиение текста на параграфы, выделение заго-ловков, подзаголовков и разделов текста, а также производится фильтрация вспомогательного текста (в случае обработки Интернет-документов к вспомогательному тексту можно отнести, например, тексты кнопок, меню и т.д.).

На этапе лексического анализа текста прежде всего распознают-ся границы его слов и предложений. Здесь же частично или полно-стью решаются задачи распознавания имен собственных, аббревиа-тур, электронных адресов, цифровых и других знаковых комплексов. Этот вид ЛА иначе называют сегментацией текста.

Задачей лексико-грамматического анализа текста является опреде-ление лексико-грамматической категории каждого его слова с учетом контекста. Множество всех лексико-грамматических категорий ЕЯ обыч-но задается заранее разработанным классификатором его лексико-грамматических свойств, основанным на разделении слов на части речи.

На этапе синтаксического анализа текста осуществляется распозна-вание в каждом его предложении синтаксических отношений и пред-ставление их, как правило, в виде функционального или синтаксического дерева, в котором словам предложения указывается их грамматическая функция и определяется тип синтаксической связи между ними.

Что касается семантического анализа текста, то, принимая во внимание, что текст является самым надежным и эффективным источником знаний как о предметной области/внешнем мире, так и о самом языке, есть смысл рассматривать его в контексте известных положений искусственного интеллекта, согласно которым основными типами знаний являются объекты/классы объектов, факты и прави-ла, отображающие закономерности предметной области/внешнего

мира. Поэтому упор должен быть сделан прежде всего на автомати-ческое распознавание в тексте семантических компонентов типа «концепт», что соответствует объекту/классу объектов, семантиче-ских отношений между ними типа «субъект-акция-объект» (САО), что соответствует факту, и «причина-следствие», что соответствует правилу, с имеющими место атрибутами и с учетом синонимических и иерархических отношений [2]. Например, предложение английского языка «Today the user can download 10,000 papers from the Web by typing the word screen» содержит: Концепты: • user • 10,000 papers • Web • word screen САО1: • Субъект: user • Акция: download • Объект: 10,000 papers • Атрибут-предлог: from • Непрямой объект: Web • Атрибут-прилагательное: - • Атрибут-наречие: -

САО2: • Субъект: user • Акция: type • Объект: word ‘screen’ • Атрибут-предлог: - • Непрямой объект: - • Атрибут-прилагательное: - • Атрибут-наречие: -

Причина-следствие: САО-причина (САО2): user – type – word screen САО-следствие (САО1): use – download -10,000 papers – from Web

Эти семантические компоненты и отношения являются универ-сальными, не зависящими от предметной области и конкретного языка, охватывают практически все информативные словоупотреб-ления каждого предложения анализируемого текста, обеспечивают максимально возможное обобщение в виде паттернов лингвистиче-ских правил распознавания других, требуемых конкретным приложе-нием, семантических компонентов и отношений, например, таких как время, параметр, месторасположение, состав, часть-целое и др., и в конечном счете обеспечивают распознавание не только тематиче-ского, но и логического содержания текста.

Таким образом, функциональность БЛП в направлении увеличе-ния глубины анализа ЕЯ должна заканчиваться построением некото-рой структуры, включающей в себя синтаксические деревья и соответ-ствующие им множества объектов, фактов и правил и допускающей проектирование ее последующей обработки для конкретных приложе-ний в режиме открытой архитектуры, обеспечивающей эффективное использование указанного выше основного ресурса решения задачи семантического анализа текста в виде совокупности эвристических алгоритмов. При этом особое внимание должно быть уделено дости-жению высоких показателей эффективности работы ЛП, что в свою очередь требует построения качественной технологии тестирования ЛП на всех указанных этапах лингвистического анализа текста.

Отметим, что указанные компоненты знаний могут и не фикси-роваться в выходной структуре в явном виде. В этом случае, как, например, в [3], фиксируются только отношения SimpleNounPhrase, VerbPhrase, NounPhrase_additional, ComplexSentence, предопреде-ляющие знания основных типов. Результаты всех указанных этапов обработки текста образуют его лингвистический индекс (LI), который формально может быть представлен в виде:

LI = <W, POS, SYN, REL>, где W – множество слов текста; POS, SYN и REL – отображения слов в множества их соответственно лексико-грамматических и синтакси-

Антонов Сергей Георгиевич, д.т.н., научный консультант ООО «Крос2000», г. Москва. Совпель Игорь Васильевич, д.т.н., профессор кафедры информационных систем управления УО «Белорусский государственный универ-ситет». Беларусь, БГУ, 220050, г. Минск, пр. Независимости, 4. Беларусь,



ческих классов (меток), а также меток семантико-синтаксических отношений, предопределяющих знания основных типов.

Такая модель обладает одним очень важным свойством – она до-пускает естественное включение в себя новых компонентов в соответ-ствии с разрабатываемым приложением БЛП. Так, например, при решении задачи автоматизации инженерии знаний (если текст рас-сматривать как их основной источник) могут быть добавлены компо-ненты, соответствующие отображениям слов в множества типов ос-новных и атрибутивных знаний [4]. В этом случае происходит естест-венный переход от LI текста к его семантическому индексу, рассмат-риваемому в качестве эффективной модели представления автомати-чески распознаваемых в тексте знаний, которая, во-первых, в отличие от известных моделей, не ориентирована на конкретные механизмы вывода, но может быть при необходимости трансформирована в лю-бую из этих моделей, и, во-вторых, обеспечивает пользователю ЕЯ-доступ к распознаваемым в тексте знаниям.

Отмеченная ранее функциональность базового ЛП обеспечива-ется лингвистической базой знаний (ЛБЗ), которая, прежде всего, включает в себя базовый аннотированный словарь ЕЯ, базовый аннотированный корпус текстов и множество лингвистических пра-вил (паттернов) анализа текста на различных уровнях глубины ЕЯ. Такие паттерны, получаемые лингвистами-экспертами, являются основой разработки машинных алгоритмов для большинства этапов автоматического ЛА текста. С целью повышения эффективности этих алгоритмов разработан специальный язык расширенных регу-лярных выражений WRE [3] для формального описания самих лин-гвистических правил. Он максимально соотнесен с требованием его доступности для использования экспертами, возможностью обобще-ния разрабатываемых правил путем оперирования не только симво-лами алфавита, морфемами, отдельными словами и их совокупно-стями, но и лексико-грамматическими, синтаксическими и семанти-ческими классами лексических единиц. Ниже приводится пример описания на языке WRE правила распознавания именной группы:

AT|ATI|DT|DTI|DTS ? (RB * JJ|VBN)* NN|NNS + Правило задает опциональный артикль или детерминатив, за

которым следует произвольное количество наречий и прилагатель-ных, за которыми в свою очередь следуют существительные. Задан-ному правилу в предложении на английском языке

Transmission_NN for_IN electrically_RB driven_VBN tool_NN соответствуют последовательности слов Transmission_NN, electrical-ly_RB driven_VBN tool_NN, driven_VBN tool_NN и tool_NN. Если из всех возможных соответствий выбирать «самый левый самый длин-ный», то найденные последовательности слов и будут соответство-вать именным группам в предложении, т.е. в нашем примере Trans-mission_NN и electrically_RB driven_VBN tool_NN.

Еще одним важным достоинством WRE оказалось то, что он по-зволил, используя теорию конечных автоматов, значительно опти-мизировать алгоритмическое обеспечение базового ЛП, основу ко-торого составляет очень трудоемкая процедура сопоставления входной цепочки обрабатываемого текста с множеством описанных в ЛБЗ на языке WRE лингвистических правил. Это, в частности, по-зволило значительно превзойти по скорости обработки текста даже такого известного производителя промышленных лингвистических ресурсов, как Connexor [5].

Учитывая, что множество паттернов является одним из основ-ных лингвистических ресурсов ЛБЗ, должна быть разработана эф-фективная технология построения паттернов, которая в нашем слу-чае включает следующие основные этапы: 1. Задание лексических единиц, которые заведомо являются носи-

телями объекта или отношения, для распознавания которого строится паттерн (например, для отношения типа «isA» в анг-лийском языке это может быть пара Asian country и Japan).

2. Поиск в корпусе текстов предложений, в которых одновременно встречаются все заданные на этапе 1 лексические единицы (с учетом их словоизменения и синонимии).

3. Экспертный анализ множества найденных на этапе 2 предложе-ний и формулирование паттерна.

4. Тестирование сформулированного паттерна на эталонном кор-пусе текстов (предложений) с целью определения его качест-венных характеристик (точности и полноты), определяющих возможность включения паттерна в состав ЛБЗ. Относительно перечисленных процедур отметим следующее. Же-

лательно, чтобы те лексические единицы, о которых идет речь на этапе 1, имели высокую частотность, обеспечивающую, очевидно, получение на этапе 2 максимально возможного числа предложений, в которых планируемый к распознаванию лингвистический объект или отношение будут выражены разными лексическими и грамматически-ми средствами языка, что очень важно для построения паттерна в целом и его обобщения в частности. На этапе 2 и 3 мы говорим о предложениях только для простоты изложения. Понятно, что на входе могут быть заданы объект или отношение, носителями которых явля-ются два и более предложений. Что касается собственно процедуры формулирования паттерна (этап 3), то она осуществляется исходя из определения этого понятия как формальной спецификации свойства набора примеров, определенной в терминах некоторого формального языка [6], а также с учетом функциональности используемого ЛП. Так, например, обобщение паттерна до уровня синтаксических отношений имеет смысл только в том случае, если используемый в дальнейшем при решении задачи ЛП на этапе анализа текста сможет довести его до этого уровня. То есть, обобщение паттерна есть смысл доводить до максимально возможного уровня глубины языка (от лексического до семантического), но не выше того, до которого сможет доводить ана-лиз текста, используемый для обработки этого паттерна ЛП. Ранее нами был приведен пример паттерна для распознавания именной группы, в котором лексические единицы (артикли, прилагательные, существительные и др.) обобщены до уровня лексико-грамматических классов слов. Ниже приводится еще один пример паттерна для анг-лийского языка, предназначенного для распознавания в тексте при-чинно-следственных отношений.

Если в предложении текста присутствует семантическое отно-шение Субъект-Акция-Объект, причем все три компонента этого отношения не пусты, а Акция имеет семантический класс CAUSE (CAUSE ׃׃ = cause|result in|create|activate|generate… (более 40 кон-кретных акций)), то в данном предложении присутствует причинно-следственное отношение, в котором Причина выражена Субъектом, а Эффект – Объектом.

Описанная ситуация имеет, например, место в предложении: The vacuum knife causes a shearing air flow

Здесь действительно имеется причинно-следственное отноше-ние, в котором Причиной является Субъект «vacuum knife», а Эф-фектом - Объект «shearing air flow».

Что касается тестирования паттерна (этап 4), то оно осуществ-ляется экспертом с использованием эталонного корпуса текстов K, заранее аннотированного лексико-грамматическими, синтаксически-ми и другими классами, в том числе и метками того лингвистического объекта или отношения, для распознавания которого сформулиро-ван данный паттерн. В качестве показателей эффективности пат-терна предлагается использовать широко применяемые в теории информационных систем понятия точности P и полноты R [7]. Адап-тация к нашей задаче позволяет дать следующее их определение. Обозначим: Pi(K) – множество лингвистических объектов или отношений данно-го типа, полученных ЛП на основе паттерна Pi при обработке эта-лонного корпуса K; Pi

t(K) – подмножество тех элементов из Pi(K), которые, по оцен-кам эксперта, распознаны ЛП корректно; E(K) – множество лингвистических объектов или отношений данно-го типа, имеющих место, по оценкам эксперта, в K.

Тогда: )K(Pi

)K(PtiP = ;

)K(E

)K(PtiR = .

Заметим, что попытка оценить здесь полноту R по классической схеме привела бы к решению задачи об объективной оценке количе-



ства элементов данного типа в корпусе K в соответствии с субъек-тивным паттерном Pi, постановку которой нельзя считать коррект-ной. Поэтому в данном случае полнота R паттерна Pi оценивается по отношению к количеству всех элементов данного типа в K, неза-висимо от тестируемого паттерна. Поскольку решение задачи в об-щем требует разработки целого множества паттернов (например, в силу такой особенности ЕЯ как неоднородность его правил [8]), то очевидно, что на начальном этапе показатель полноты первых фор-мулируемых паттернов будет, как правило, невысоким, что означает необходимость, с одной стороны, возможной их корректировки, а с другой – разработки в дополнение к сформулированным новых пат-тернов. Это, собственно, и характеризует процесс разработки систе-мы паттернов как итерационный процесс.

Заключение. Изложенные аспекты решения задачи разработки

эффективных лингвистических процессоров, в том числе и базовых, позволяют переходить к построению инструментальных программ-ных средств интеллектуализации информационных систем, прежде всего, ЕЯ-интерфейса пользователя, семантического поиска, авто-матизации инженерии знаний, а это путь к построению компьютер-ной системы знаний, как компонента кратко- и долговременной па-мяти искусственного интеллекта.


1. Совпель, И.В. Базовые лингвистические процессоры: назначе-ние, принципы построения, функциональность, состав, приложе-

ния / И.В. Совпель, А.В. Чеусов // Актуальные проблемы теоре-тической и прикладной лингвистики: материалы международной конференции, Минск, 15-16 июня 2010 г.; в 2 т.; редкол.: А.В. Зу-бов [и др.]. – Минск: МГЛУ, 2010. – Т. 2. – С. 122–126.

2. Совпель, И.В. Система автоматического извлечения знаний из текста и ее приложения // Искусственный интеллект. – 2004. – № 3. – С. 668–677.

3. Чеусов, А.В. Разработка алгоритмов и технологии построения многоязычного базового лингвистического процессора: диссер-тация на соискание ученой степени к-та технических наук: 05.13.17. – Минск, 2013. – 116 с.

4. Постаногов, Д.Ю. Автоматическая обработка естественного язы-ка в задаче инженерии знаний и доступа к ним: диссертация на соискание ученой степени к-та технических наук: 05.13.17. – Минск, 2012. – 134 с.

5. Режим доступа: http://connexor.com. 6. Городецкий, В.И. Современное состояние технологии извлече-

ния знаний из баз и хранилищ данных (часть I) // Новости искус-ственного интеллекта. – 2002. – № 3. – С. 3–12.

7. Солтон, Д. Динамические библиотечно-информационные систе-мы. – М.: Мир, 1979. – 557 с.

8. Апресян, Ю.Д. Лингвистические процессоры для машинного фонда русского языка / Ю.Д. Апресян, О.С. Кулагина // Доклады второй всесоюзной конференции по созданию Машинного фонда русского языка / Институт русского языка АН СССР; ред.: Ю.Н. Караулов. – М., 1987. – С. 27–40.


ANTONOV S.G., SOVPEL I.V. To a problem of development of linguistic processors

The definition, functionality and linguistic knowledge base components of basic linguistic processor are presented. The model of results of linguistic text analysis in view of linguistic index and technology of linguistic patterns development are described. УДК 004.8

Савицкий Ю.В., Давидюк Ю.И.

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ НЕЙРОСЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧЕ АНАЛИЗА СИГНАЛОВ ЭЭГ И ЭКГ

Нейросетевые методы анализа хаотических сигналов находят все

большее применение в различных областях благодаря ряду преиму-ществ по сравнению с традиционными методами: возможностью ис-следования систем, математическая модель которых неизвестна (не-известны математические соотношения, характеризующие поведение динамической системы); использованием для исследований выборки данных ограниченного объёма [1]. Высокая актуальность данного на-правления объясняется всё возрастающей потребностью в наличии эффективных средств для решения сложных нетривиальных задач в плохо формализуемых областях обработки информации.

Хаос в динамике означает чувствительность динамической эво-люции к изменениям начальных условий. Старший показатель Ляпу-нова характеризует степень экспоненциального расхождения близ-ких траекторий. Наличие у системы положительной экспоненты Ля-пунова свидетельствует о том, что любые две близкие траектории быстро расходятся с течением времени, то есть имеет место чувст-вительность к значениям начальных условий.

В результате экспериментов установлено, что наиболее приемле-мой для цели данного исследования является модель гетерогенной многослойной нейронной сети (НС) с нейронами сигмоидального типа в скрытом слое и линейными нейронами выходного слоя сети [2].

Для обучения НС применяется алгоритм обратного распростра-нения ошибки (и его более быстродействующие модификации), ис-пользующий метод градиентного спуска для минимизации функции среднеквадратичной погрешности [2, 3]. Благодаря высокой точности

алгоритм позволяет достигать малой погрешности обучения, что является крайне важным фактором для решения большинства прак-тических задач в нейросетевом базисе.

В общем виде алгоритм обработки хаотических сигналов состоит из следующих этапов: 1) нормализация исходного временного ряда, состоящего из N точек, выбранных с учетом задержки τ; 2) сегмента-ция исходного временного ряда методом фиксированных отрезков; 3) обучение нейронной сети прогнозированию по методу скользяще-го окна; 4) расчет старшего показателя Ляпунова на базе сформиро-ванной нейросетевой прогнозной модели по методу отклонений тра-екторий прогнозов [5].

Существует проблема в выборе метода сегментации исходной выборки [4]. Для решения подобных задач применяются: метод фик-сированных отрезков; метод наложения отрезков друг на друга; адаптивный метод сегментации при помощи НС.

Наиболее приемлемым для решения поставленной в работе за-дачи авторы определили метод фиксированных отрезков.

Были проведены 2 группы вычислительных экспериментов на базе вышеописанной архитектуры НС, результаты которых пред-ставлены ниже.

1. Исследование наборов сигналов электроэнцефалограмм (ЭЭГ) человека (A,D,E) [6]. Каждый набор содержит в себе 100 сиг-налов определенной группы в зависимости от эпилептической ак-тивности. Результаты анализа сведены в таблицу 1.

Савицкий Юрий Викторович, к.т.н., доцент кафедры интеллектуальных информационных технологий факультета электронных информационных систем Брестского государственного технического университета. Давидюк Юлия Ивановна, магистр технических наук, ассистент кафедры интеллектуальных информационных технологий факультета электронных информационных систем Брестского государственного технического университета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.

http://connexor.com



-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Рис. 1. Расчет Lmax сигнала группы D

0

0,5

1

1,5

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Рис. 2. Расчет Lmax сигнала группы A

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Рис. 3. Расчет Lmax сигнала группы E

В ходе анализа было выявлено, что группы сигналов D (рис. 1) и

E (рис. 3) являются ЭЭГ с эпилептической активностью, группа сиг-налов A (рис. 2) является ЭЭГ здорового человека. Секторы эпилеп-тической активности на ЭЭГ выделены на рис. 1– рис. 3 прямоуголь-ными областями.

Таблица 1. Результаты расчета показателя Ляпунова (L) для сигна-

лов ЭЭГ Набор

сигналов Значение показателя Ляпунова Lmax Lmin Lcp

A 1,67012 0,015406 1,072971 D 0,655647 -1,1907 -0,03615 E 1,84311 -1,08277 0,703402

Следует отметить, что результаты вычислительных эксперимен-

тов с группами сигналов A, D, E в достаточной степени коррелируют с полученными ранее результатами, опубликованными другими ав-торами [6].

Следующие два сигнала были выданы медицинским учреждени-ем. Опубликованных данных по ним не имеется. Результаты расчета старшего показателя Ляпунова для обоих сигналов приведены на рис. 4 и рис. 5 соответственно.

Таким образом, применение разработанного алгоритма и соответ-ствующих программных средств показало потенциальные возможно-сти эффективного распознавания эпилептической активности мозга.

2. Исследование наборов сигналов электрокардиограмм (ЭКГ). ЭКГ – это графическое представление разности потенциалов, возни-кающей во время работы сердца на поверхности тела, регистрируе-мой аппаратом под названием электрокардиограф [7].

Измерение электрических импульсов сердца по ЭКГ является основным методом для выявления нарушений сердечной деятель-ности [7]. Получение более глубокого представления о динамике поведения сердцебиения будет иметь значимое применение в кар-диологии, особенно если аномальное сердцебиение может быть охарактеризована как хаотическое или детерминированное.

Сигнал ЭКГ имеет некоторую периодичность; если же каждый цикл сердцебиения последовательно наложить, то можно удостове-риться в том, что сигнал ЭКГ имеет псевдопериодичный характер [8].

Использование данных ЭКГ в качестве временных рядов дает возможность применить в анализе сигнала сердечной активности методы теории хаоса. Ранние исследования показали то, что нор-мальное и аномальное поведение сигнала имеет соответственно детерминированный и хаотический характер (в качестве примера можно привести ЭКГ, отображающие активность сердца при желу-дочковой тахикардии).

Для проведения эксперимента были взяты данные ЭКГ из PhysioBank [9]. Данный источник представляет собой большой архив цифровых записей физиологических сигналов. Записи из PhysioBank находятся в свободном доступе. Было использовано 2 сигнала: ЭКГ здорового человека (общий вид сигнала приведен на рис. 6) и ЭКГ человека с сердечной недостаточностью (рис. 7) [10].



-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

количество отсчетов

ЭЭГLmax

Рис. 4. Расчет показателя Ляпунова: аномалий на ЭЭГ не выявлено

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

количество отсчетов

ЭЭГLmax

Рис. 5. Расчет показателя Ляпунова: имеются аномалии на ЭЭГ

Рис. 6. ЭКГ здорового человека

Рис. 7. ЭКГ человека с сердечной недостаточностью

Результаты исследования данных ЭКГ приведены в таблице 2.

Таблица 2. Результаты расчета показателя Ляпунова (L) для сигна-лов ЭКГ

Вид сигнала Старший показатель Ляпунова Lmin Lmax Lср

Нормальный сигнал -0.2879 0.3358 0.1271 Аномальный сигнал 0.0230 0.8121 0.1429

Если рассматривать ЭКГ, в которой зарегистрированы признаки

аномального поведения сигнала, то при расчете старшего показателя Ляпунова были получены сегменты с положительным его значением, что и является признаком аномальности именно для ЭКГ сигнала.

Заключение. Исследуемый в работе подход к анализу хаотиче-ских сигналов дает возможность адаптивно, в процессе обучения, формировать отображения для динамических систем с неизвестной математической моделью и, таким образом, является перспектив-ным в задачах анализа и прогнозирования временных процессов в различных практических областях (медицина, финансовые рынки, метеорология, техника и др.). Проведенные исследования на базе реальных данных ЭЭГ и ЭКГ продемонстрировали потенциальные возможности нейросетевого алгоритма к решению данного класса задач, а также достаточное соответствие авторских результатов уже опубликованным экспериментальным данным.

Вместе с тем нейросетевые модели обладают: повышенной временной сложностью процесса обучения; высокой зависимостью результата от начальной инициализации весовых коэффициентов



нейронов; высокими требованиями к репрезентативности обучающе-го множества. Все это обусловливает необходимость наличия спе-циальных навыков в использовании нейронных сетей при решении практических задач подобного класса.


1. Golovko, V. Neural Networks for Signal Processing in Measurement Analysis and Industrial Applications: the Case of Chaotic Signal Processing / V. Golovko, Y . Savitsky, N. Maniakov // Chapter of NATO book “Neural networks for instrumentation, measurement and related industrial applications”. – Amsterdam: IOS Press, 2003. – Р. 119–143.

2. Осовский, С. Нейронные сети для обработки информации / Пер. с польского И.Д. Рудинского. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 334 с.

3. Golovko, V. Technique of Learning Rate Estimation for Efficient Training of MLP / V. Golovko, Yu. Savitsky, Th. Laopoulos, A. Sa-chenko, L. Grandinetti // Proc. of Int. Joint Conf. on Neural Networks IJCNN’2000, Como, Italy. – Vol. 1. – 2000. – Р. 323–329.

4. Bezobrazova, S. Neural-network segmentation of electroencephalo-gram signal for epileptiform activity detection / S. Bezobrazova, V. Golovko // Computing. – 2008. – Vol 7, Issue 3 – P. 30–37.

5. Головко, В.А. Нейросетевые методы определения спектра Ляпу-нова хаотических процессов / В.А. Головко, Н.Ю. Чумерин // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. – 2004. – № 1.

6. Временные сигналы ЭЭГ. Режим доступа: http://www.meb.uni-bonn.de/epileptologie/science/physik/eegdata.html. – Дата доступа 15.10.2011.

7. Циммерман, Ф. Клиническая электрокардиография // Бином. – 2008.

8. Юрьева, О.Д. Исследование помехоустойчивости методов изме-рения длительности RR-интервала // Известия СПбГЭТУ «ЛЭ-ТИ», Серия «Биотехнические системы в медицине и экологии». – СПб.: Изд-во СПбГЭТУ, 2007. – Вып. 1. – C. 9–19.

9. PhysioBank. – Mode of accesss: http://www.physionet.org/ physio-bank/. – Date of access: 15.05.2012.

10. PhysioBank ATM, AHA Database [sample excluded record] (ahadb). – Mode of access: http://www.physionet.org/cgi-bin/atm/ATM. Dateo-faccess: 15.05.2012.

Материал поступил в редакцию 13.11.13 SAVITSKY Y.V., DAVIDYUK J.I. Some Aspectsof Applicationsof Neural Network Modelsfor EEG and ECG Signals Analysis

Problems of applications of neural network technique for EEG and ECG signals analysis are considered. The solution of the task is based on origi-nal algorithm for Lyapunov exponent calculation. The analysis of experiments results on identification of abnormal zones in real EEG and ECG signals is made. The problem questionsof this approach to biomedical signals processing are characterized. УДК 004.272

Дунець Р.Б., Грига В.М.

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ МЕТОДОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОТОЧНЫХ ГРАФОВ АЛГОРИТМОВ

Введение. Различают следующие способы представления алго-

ритмов: вербально-дедуктивные, графические, матричные (таблич-ные) и аналитические [1, 2].

Однако наиболее распространенными в вычислительной технике являются графические способы задания алгоритмов, которые широко используются для проектирования универсальных и специализиро-ванных вычислителей [3–6]. Преимуществами графических способов являются высокая наглядность непосредственного отражения структу-ры связей между элементами системы и широко описанные в теории графов методы их обработки. К основным недостаткам можно отнести трудности автоматической обработки графов в компьютерах и слож-ность отображения графов с большим количеством вершин [2].

Широкое применение теории поточных графов алгоритмов (ПГА) для проектирования специализированных вычислителей, в которой вершинам графов отвечают вычислительные операции (функцио-нальные операторы), а дугам – линии передачи данных для обработ-ки, позволяет проектировать, как правило, однотактовые алгоритмиче-ские операционные устройства (ОАОП), имеющие высокие показатели быстродействия и значительные затраты оборудования [3–6]. Для достижения максимального быстродействия выполнения алгоритма ОАОП нужно конвееризировать, что предполагает разбиение всего процесса вычисления на несколько уровней, но за счет добавления конвейерных регистров значительно возрастают аппаратные затраты.

К недостаткам поточных графов необходимо отнести бинарность всех операций, а также неразличение входов и выходов отдельных дуг (линий), которые поступают до одной вершины, не разрешая создавать иерархические вершины со многими входами и выходами. В вычислительной математике это имеет фундаментальное значе-

ние, поскольку a b b a− ≠ − . Поэтому для перехода от ПГА, кото-рые разрешают строить однотактовые алгоритмические операцион-ные устройства к пространственно-временным графам алгоритмов [7, 8], которые дают возможность строить многотактовые алгоритми-ческие операционные устройства, необходимо предложить фор-мальный подход, который бы позволял сохранять структуру ПГА в удобной для обработки форме и осуществлять переход к ее моди-фицированным вариантам [8], с целью исследования технических характеристик различных типов многотактовых структур устройств. Для сохранения в компьютере структуры графа алгоритма и его обработки широко используются матрицы [2, 9, 10].

Матричные методы представления алгоритма в отличие от гра-фических разрешают удобно представлять, обрабатывать и хранить в компьютере структуру алгоритма с произвольным количеством элементов. Существенным недостатком матричных методов задания структуры алгоритма является низкая наглядность [2].

Поскольку матричное представление ПГА значительно упрощает его хранение и обработку, а известные матричные методы не позво-ляют описывать вершины графа с входными и выходными портами, то в данной статье предложен матричный метод преобразования поточных графов, которые разрешают проектировать специализиро-ванные устройства для класса алгоритмов, чья структура не зависит от входных данных (алгоритмы без ветвлений или инвариантные к сдвигу алгоритмы [4, 6, 10]) с целью дальнейшего матричного пере-хода к основным вариантам структур пространственно-временных графов, позволяющих проектировать различные типы многотакто-вых специализированных устройств.

Дунець Роман Богданович, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой специализированных компьютерных систем Национального универ-ситета «Львовская политехника», г. Львов, Украина, e-mail: [email protected]. Грига Володимир Михайлович, аспирант кафедры специализированных компьютерных систем Национального университета «Львовс-кая политехника», г. Львов, Украина, e-mail: [email protected].

http://www.meb.uni

http://www.physionet.org/

http://www.physionet.org/cgi-bin/atm/ATM





В основной части статьи предложен метод записи поточного графа алгоритма в форме матрицы связности портов и дуг, которая сохраняет структуру алгоритма в удобной для обработки форме и имеет линейную зависимость увеличения элементов матрицы от количества входных данных, а также рассмотрены особенности за-дания ПГА матрицами инциденций, матрицами смежности и струк-турной матрицей.

Предложенный метод записи ПГА в форме матрицы связности портов и дуг предусматривает выполнение следующих шагов: • обозначения входных и выходных портов на ПГА; • обозначения дуг, соединяющих вершины с помощью входных и

выходных портов; • процедуры записи информации.

На этапе обозначения входных и выходных портов ПГА осуще-ствляют нумерацию входных и выходных портов для каждой верши-ны графа алгоритма слева направо числами от 1 до N, где N – множество натуральных чисел.

На этапе обозначения дуг, соединяющих вершины с помощью входных и выходных портов обозначают дуги записью i

j

NNl , где iN

– номер вершины, из исходного порта которой выходит дуга l , jN – номер вершины, на входной порт которой входит дуга l .

На этапе записи ПГА осуществляют по правилу: в элемент мат-рицы с индексами out i

in j

P NP N( , )p l записывают единицу, если выходной

порт outP вершины iN соединен с входным портом inP вершины

jN , если соединений нет, записывается нуль. Данная матрица связности портов и дуг имеет следующий вид:

l

l

j

p p pl

i

z z ... zz z ... z... ... ... ...Z ... ... z ...... ... ... ...z z ... z

=

11 12 1

21 22 2

1 2

,

где { }z ,ij∀ ∈ 0 1 , i ,p= 1 , j ,l= 1 , p – количество пар входных и

выходных портов, l – количество промежуточных дуг ПГА, соеди-няющих вершины с помощью пар входных и выходных портов.

Матрица связности портов и дуг сохраняет следующуе множест-во параметров Z(P ,C,F ), где

{ }P pi= – множество пар входных и выходных портов, i ,p= 1 – номер пары входных и выходных портов, p – общее количество пар входных и выходных портов;

{ }jC l= – множество промежуточных дуг ПГА, j ,l= 1 – номер промежуточной дуги ПГА, которая соединяет пары входных и выход-ных портов, l – количество промежуточных дуг ПГА, соединяющих соответствующие вершины с помощью пар входных и выходных портов;

{ } { }ij zF z ,F ...k= = 0 – множество вершин ПГА, k N∈ ( N –

множество натуральных чисел), ij – номер вершины ПГА,

i ,p= 1 , j ,l= 1 , zF – общее количество вершин ПГА. Информацию о выполняемых операциях каждым функциональ-

ным оператором (ФО) можно хранить в таблице операций, в которой каждому номеру ФО ставится в соответствие операция, выполняе-мая данным функциональным оператором.

На рис. 1 изображен произвольный ПГА с нумерацией входных и выходных портов и обозначением промежуточных дуг, который выпо-лняет 8 однотопних операцій, а также показан переход к матрице связ-ности портов и дуг ( ПГАZ ) данного поточного графа алгоритма.

Общее количество элементов матрицы связности портов и дуг ( МЗS ) равно произведению пар входных и выходных портов ( p ) на количество дуг, которые их соединяют ( d ), поточного графа алгоритма: МЗS p d= × . (1)

Размер образованной матрицы на рис. 1 составляет 30 элементов. Матрица связности портов и дуг резрешает получить множество

пространственно-временных параметров ПГА, что дает возможность исследовать различные варианты преобразования ПГА путем сжа-тия его вершин и дуг, применяя пространственно-временные графы, и автоматизировать данный процесс.

Матрица смежности – это квадратная матрица порядка N, где N – количество вершин графа [2, 9]. Заполнение матрицы смежности осуществляют по правилу: в элемент матрицы с индексами (i, j)

( i ,N=1 , j ,N=1 ) записывают количество дуг a ( a ,n=1 ,

=ПГАZ011

6l

24l

14l

25l

35l

46l

47l 5

7l

68l

78l

11p21p12p

16l

14l

24l

25l

35l

46l

47l

57l

68l 7

8l1 0 0 0 0 0 0 0

0110 0 0 0 00

0 110 0 0 0

1

1 1 1

Рис. 1. Матричное преобразование ПГА с помощью матрицы связности портов и дуг



=R

12

1

34

2 3 4 5 6 70 0 0 0 0 00 00 0 0 0

8

00 0 0 00

0 0 00 0 0

5678

11 0 00 0 0 00 1 0 01 0 0 01 0 0 0 0 0 01

110 0

000

0000000

1a 2a 3a

4a 5a

6a 7a

8a

1x 2x 3x4x 5x

6x

1y

11

Рис. 2. Матричное преобразование ПГА с помощью матрицы смежности

=S

1234

1− 1− 0 0 110 00 0 0 000 0 00

00 0

5678

0 00 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0

0 000

00

000000

1a 2a 3a

4a 5a

6a 7a

8a

1x 2x 3x4x 5x

6x

1y

1l 2l 3l 4l 5l 6l

7l 8l 9l 10l 11l

12l13l 14l

15l 16l

17l

0 0 0 0 000 00

0 0 0 00 0 0

0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0

000

00

000000

0 01l 2l 3l 4l 5l 6l 7l 8l 9l 10l 11l 12l 13l 14l 15l 16l 17l

0000000

1 11− 1−1− 1− 1

00 1− 1− 1 10 0 1− 1− 1

0 00

0

01− 1− 11− 1− 1

1− 1− 1

Рис. 3. Матричное преобразование ПГА с помощью матрицы инцидентности

где n – количество входящих дуг графа), соединяющих вершины i и j, которые являются смежными, и вершина і является началом для данных дуг и нуль в других случаях.

На рис. 2 показан переход от ПГА к матрице смежности (R ). Общее количество элементов матрицы смежности ( МСS ) равно

квадрату количества вершин (N ) поточного графа алгоритма: 2

МСS N= . (2) Размер образованной матрицы на рис. 2 составляет 64 элемента. Недостатком данного метода является то, что для представле-

ния графа алгоритма с помощью матрицы смежности общее количе-ство вершин нужно знать заранее. Если граф должен создаваться и (или) изменяться, то для каждого добавления или уменьшения вер-

шины необходимо строить новую матрицу. Кроме того, если граф содержит небольшое количество дуг и матрица смежности состоит, в основном, из нулей, память должна быть выделена для всех воз-можных дуг, независимо от их существования.

Матрица инцидентности – это матрица размера N M× , где N – количество вершин ПГА, M – количество дуг ПГА [2, 9]. Заполне-ние матрицы инцидентности осуществляют по правилу: в элемент матрицы с индексами (j, i) ( )j ,M, i ,N= =1 1 записывают едини-

цу, если вершина инцидентна дуге и является ее началом, в элемент (j, i) – минус единицу, если вершина инцидентна дуге и является ее концом, и нуль, если вершина и дуга не являются инцидентны.

На рис. 3 показан переход от ПГА к матрице инцидентности ( S ).



=F

12

1

34

2 3 4 5 6

00

00

0 00 0

1a 2a 3a

4a 5a

6a 7a

8a

1x 2x 3x4x 5x

6x

1y

1 1 2 2 3 34 4 5 5

6 6 7 78 8

1 2

1

1

1

3 4 5 6

2 3 4 5

2

2

3 4

Рис. 4. Матричное преобразование ПГА с помощью структурной матрицы

Общее количество элементов матрицы инцидентности ( МІS ) равно произведению количества вершин ( N ) на количество дуг ( M ) поточного графа алгоритма. МІS N M= × . (3)

Размер образованной матрицы на рис. 3 составляет 136 эле-ментов.

Недостатком данного метода является то, что он требует боль-шого объема для хранения матрицы (размер пропорционален коли-честву вершин и дуг ПГА) и поэтому неудобен для хранения. Кроме того, матрица инцидентности довольно редко используется, по-скольку для графов с большим количеством ребер она имеет очень большое количество столбцов.

Представление ПГА структурной матрицей [11, 12] заключается в нумерации вершин и дуг ПГА по правилу: 1) в самом широком яру-се присвоить каждой дуге ПГА число j , j ,n=1 , где n – количество входных дуг ПГА; 2) выполнить нумерацию дуг всех остальных яру-сов по правилу: номера входных и выходных дуг для любой верши-ны ПГА одинаковы и совпадают; и в записи информации о ПГА структурной матрицей, количество столбцов которой равно количе-ству дуг в самом широком ярусе ПГА, а количество строк – общему количеству ярусов ПГА. Элементами такой матрицы являются номе-ра ФО, которые записывают в элемент ij СМ, где i – номер яруса, а j – номер дуги, которая поступает в данный ФО.

На рис. 4 показан переход от ПГА к структурной матрице (F ). Число элементов структурной матрицы ( СМS ) равно произве-

дению количества ярусов ( l ) на количество дуг самого широкого яруса ( n ) поточного графа алгоритма. СМS l n= × . (4)

Размер образованной матрицы на рис. 4 составляет 24 элемента. Использование структурной матрицы позволяет сохранить рас-

пределение ФО по ярусами ПГА и связи между ними в удобном для обработки компьютером матричном виде, что дает возможность авто-матизировать процесс сохранения, исследования и анализа ПГА.

Результаты исследования. Результаты исследования матрич-

ных способов преобразования поточных графов алгоритма матри-

цами инцидентности, матрицами смежности, структурной матрицей и матрицей связности портов и дуг для алгоритмов сортировки по методам Бетчера, модифицированным методом "пузырька", мето-дом четно-нечетной перестановки и алгоритмов матричного умноже-ния двоичных чисел с горизонтальным и диагональным распростра-нением переноса приведены в таблице 1.

В таблице 1 в колонках представлены значения необходимых параметров для поточных графов выбранных алгоритмов (количест-во входных данных, количество вершин, количество дуг, количество ярусов, количество пар входных и выходных портов и количество дуг, соединяющих пары входных и выходных портов) и сделано рас-чет общего количества элементов исследуемых матриц по соответс-твующим формулам.

Для алгоритма сортировки модифицированным методом "пузырь-ка" для n входных значений (данных) количество вершин (операций) составляет ( )n n /−1 2 , количество дуг – N n+2 , где N – коли-

чество вершин (операций), количество ярусов – n −2 3 , количество дуг соединяющих пары входных и выходных портов – N n−2 .

Для алгоритма сортировки методом четно - нечетной перестано-вки для n входных значений (данных) количество вершин (опера-ций) составляет ( )n n /−1 2 , количество дуг – N n+2 , где N – количество вершин (операций), количество ярусов – n , количество дуг, соединяющих пары входных и выходных портов – N n−2 .

Для алгоритма сортировки методом Бетчера для n входных значений (данных) количество вершин (операций) составляет

, n ln n20 48 , количество дуг – N n+2 , где N – количество ве-

ршин (операций ), количество ярусов – ( )log n log n

+1 12 22,

количество дуг соединяющих пары входных и выходных портов – N n−2 . Для алгоритма матричного умножения двоичных чисел с горизо-

нтальным распространением переноса для n входных значений (данных) количество вершин (операций) составляет n n−2 , коли-чество дуг – ( )N n+ −22 1 , где N – количество вершин (опера-

ций ), количество ярусов – n −3 3 , количество дуг, соединяющих пары входных и выходных портов – ( )N n− −2 2 1 .



Таблица 1. Размеры матриц исследуемых поточных графов алгоритмов Параметры ПГА Общее количество элементов матрицы

К-во вх. данных, n

К-во вершин, N

К-во дуг, M

К-во ярус., l

К-во пар вх/вых. портов, p

К-во дуг, что соедин. пары вх/вых. портов, d

Інцидентности, N x M

Смежности, N x N

Структурная матрица , l x n

Матрица связности портов и дуг, p x d

сортировка модифицированным методом "пузырька" 4 6 16 5 3 8 96 36 20 24 8 28 64 13 3 48 1792 784 104 144 16 120 256 29 3 224 30720 14400 464 672 32 496 1024 61 3 960 507904 246016 1952 2880 64 2016 4096 125 3 3968 8257536 4064256 8000 11904 128 8128 16384 253 3 16128 133169152 66064384 32384 48384 256 32640 65536 509 3 65024 2139095040 1065369600 130304 195072 512 130816 262144 1021 3 261120 34292629504 17112825856 522752 783360 1024 523776 1048576 2045 3 1046528 549218942976 274341298176 2094080 3139584

сортировка методом четно-нечетной перестановки 4 6 16 4 4 8 96 36 16 32 8 28 64 8 4 48 1792 784 64 192 16 120 256 16 4 224 30720 14400 256 896 32 496 1024 32 4 960 507904 246016 1024 3840 64 2016 4096 64 4 3968 8257536 4064256 4096 15872 128 8128 16384 128 4 16128 133169152 66064384 16384 64512 256 32640 65536 256 4 65024 2139095040 1065369600 65536 260096 512 130816 262144 512 4 261120 34292629504 17112825856 262144 1044480 1024 523776 1048576 1024 4 1046528 549218942976 274341298176 1048576 4186112

сортировка методом Бетчера 4 9 22 3 4 14 198 81 12 56 8 19 46 6 4 30 874 361 48 120 16 63 142 10 4 110 8946 3969 160 440 32 195 422 15 4 358 82290 38025 480 1432 64 543 1150 21 4 1022 624450 294849 1344 4088 128 1467 3062 28 4 2806 4491954 2152089 3584 11224 256 3839 7934 36 4 7422 30458626 14737921 9216 29688 512 9634 19780 45 4 19268 190560520 92813956 23040 77072 1024 24063 49150 55 4 47102 1182696450 579027969 56320 188408

матричное умножения двоичных чисел с горизонтальным распространением переноса 4 12 31 9 3 17 468 144 36 51 8 56 175 21 3 97 9800 3136 168 291 16 240 735 45 3 449 176400 57600 720 1347 32 992 3007 93 3 1921 2983936 984064 2976 5763 64 4032 12159 189 3 7937 49025088 16257024 12096 23811 128 16256 48895 381 3 32257 794837120 264257536 48768 96771 256 65280 196095 765 3 130049 12801081600 4261478400 195840 390147 512 261632 785407 1533 3 522241 205487604224 68451303424 784896 1566723 1024 1047552 3143679 3069 3 2094081 3293167223808 1097365192704 3142656 6282243

матричное умножения двоичных чисел с диагональным распространением переноса 4 12 31 8 3 17 468 144 32 51 8 56 175 16 3 97 9800 3136 128 291 16 240 735 32 3 449 176400 57600 512 1347 32 992 3007 64 3 1921 2983936 984064 2048 5763 64 4032 12159 128 3 7937 49025088 16257024 8192 23811 128 16256 48895 256 3 32257 794837120 264257536 32768 96771 256 65280 196095 512 3 130049 12801081600 4261478400 131072 390147 512 261632 785407 1024 3 522241 205487604224 68451303424 524288 1566723 1024 1047552 3143679 2048 3 2094081 3293167223808 1097365192704 2097152 6282243

Для алгоритма матричного умножения двоичных чисел с диаго-

нальным распространением переноса для n входных значений (данных) количество вершин (операций) составляет n n−2 , коли-чество дуг – ( )N n+ −22 1 , где N – количество вершин (опера-

ций), количество ярусов – n2 , количество дуг, соединяющих пары входных и выходных портов – ( )N n− −2 2 1 .

В таблице 1 видим, что с увеличением количества входных дан-ных соответственно возрастает и общее количество элементов мат-



риц, которые являются наибольшей для матриц инцидентности и матриц смежности и значительно меньше для структурной матрицы и матрицы связности портов и дуг, а также наблюдается постоянное значение количества пар входных и выходных портов матрицы связ-ности портов и дуг для каждого алгоритма, которое не зависит от количества входных данных.

На рис. 5 представлены графики зависимостей количества эле-ментов исследуемых матриц от количества входных данных для алгоритмов сортировки модифицированным методом "пузырька" и матричного умножения двоичных чисел с диагональным распро-странением переноса.

а)

б) Рис. 5. Сравнение размеров матриц ПГА: а) для алгоритма сортиро-

вки модифицированным методом "пузырька"; б) для алгори-тма матричного умножения двоичных чисел с диагональным распространением переноса

На графике можно видеть, что при увеличении количества входных

данных ПГА количество элементов матриц инцидентности и смежности экспоненциально возрастает, а количество элементов структурной мат-рицы и матрицы связности портов и дуг возрастает линейно.

Необходимо отметить, что для сохранения в памяти компьютера соответствующей матрицы необходимо учитывать размер ячейки памяти для записи одного элемента матрицы. Для матрицы смежно-сти и матрицы связности портов и дуг размер ячейки составляет один бит, поскольку нужно выполнить запись 0 или 1, для матрицы инцидентности необходимо два бита, поскольку необходимо запи-сать множество значений { }, −0 1 1 , и для структурной матрицы раз-мер ячейки равен количеству битов, необходимых для записи значе-ния, которое равное сумме вершин ПГА.

Заключение. Исследование матричных способов задания ПГА дает

возможность оценить их преимущества и недостатки по таким основным

параметрам, как объем памяти необходим для сохранения соответст-вующей матрицы в памяти компьютера, размер ячейки памяти для запи-си одного элемента соответствующей матрицы и возможности автома-тизировать процесс сохранения, исследования и анализа ПГА.

Матрицы инцидентности и смежности успешно применять для описания ПГА при небольших количествах вершин и дуг. Структурная матрица за счет записи упорядоченного распределения вершин по ярусами и связей между ними хранит информацию о ПГА и уменьшает объем памяти, необходимый для сохранения ПГА, поскольку размер СМ зависит от количества ярусов, по которым эти вершины закрепле-ны, и от количества дуг самого широкого яруса. Матрица связности портов и дуг за счет постоянного значения количества пар входных и выходных портов которые не зависят от количества входных данных, занимает значительно меньший объем памяти по отношению к матри-цам инцидентности и смежности и сравнительно со структурной мат-рицей требует меньшего размера ячейки памяти для записи одного элемента за счет бинарного множества своих значений.

Результаты исследований показали, что с увеличением количе-ства входных данных алгоритма количество ячеек памяти для со-хранения поточных графов исследуемых алгоритмов с помощью матриц инциденций и смежности экспоненциально увеличиваются, в то время как количество ячеек памяти для сохранения структурной матрицы и матрицы связности портов и дуг увеличивается линейно.


1. Ахо, А. Построение и анализ вычислительных алгоритмов / А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Жд. Ульман. – М.: Мир, 1979. – 536 с.

2. Дунець, Р.Б. Аналіз та синтез топологій комп’ютерних видавничо-поліграфічних систем: монографія – Львів: НВФ “Українські тех-нології”, 2003. – 145 с.

3. Глушков, В.М. Синтез цифровых автоматов / В.М. Глушков – М.: Физматгиз, 1962 – 476 с.

4. Мельник, А.О. Спеціалізовані комп’ютерні системи реального часу – Львів: ДУ “ЛП”, 2002. – 60 с.

5. Вишенчук, И.М. Алгоритмические устройства и супер ЭВМ / И.М. Вишенчук, Н.В. Черкаский – К.: Техника, 1991. – 197 с.

6. Мельник, А.О. Архітектура комп’ютера. Наукове видання. – Луцьк: Волинська обласна друкарня, 2008. – 470 с.

7. Ерметов, Ю.О. Проектування обчислювальних структур на основі просторово-часових графів. // Вісн. Хмельницького національного університету. – Хмельницький, 2006. – № 4. – С. 172–177.

8. Дунець, Р.Б. Застосування просторово-часових графів для син-тезу спеціалізованих перемножувачів / Р.Б. Дунець, В.М. Грига // Науково-технічний журнал “Радіоелектронні і комп’ютерні систе-ми” – Харків: Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”, 2008. – № 7(34) – С. 113–118.

9. Кормен, Т.Х. Алгоритмы: построение и аналіз / Т.Х. Кормен, Ч.И. Лейзерсон, Р.Л. Ривест, К. Штайн – М.: Вильямс, 2005. – 1296 с.

10. Кун, С. Матричные процессоры на СБИС. – М.: Мир, 1991. – 754 с. 11. Мельник, А.О. Подання потокового графа алгоритму структурною

матрицею / А.О. Мельник, І.Д. Яковлєва // Науковий журнал “Технічні науки” – Хмельницький: Хмельницький національний університет, 2008. – № 4 – С. 124–129.

12. Мельник, А.О., Яковлєва І.Д. Порівняльний аналіз способів мат-ричного подання графа алгоритму / А.О. Мельник, І.Д. Яковлєва // Вісник “Комп’ютерні системи та мережі”. – Львів: Національний університет “Львівська політехніка”, 2009. – № 658. – С. 37–45.

Материал поступил в редакцию 10.10.13 DUNEETS R.B., GRIEGA V.M. Research of matrix methods of representation of line counts of algorithms

The matrix conversion method flow graph structure algorithm using a matrix of connectivity ports and arcs. This approach allows using matrix trans-formations move from flow graph structure to the basic structures of space-time graph algorithms that are used to design multitact specialized device. A comparative analysis of the known matrix methods default flow graph of the algorithm with the proposed matrix method in this paper. The result shows that the matrix of connectivity ports and arcs takes much less memory than incidence matrix and adjacency and is commensurate with the structural matrix.



УДК 624.04

Игнатюк В.И., Алексеев Т.Ю.

УЧЕБНАЯ КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРОГРАММА РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ

Введение. В современных условиях решение расчетных задач

требует применения современных компьютеров и компьютерных программ, облегчающих математические вычисления и избавляю-щих студента от больших объемов однородных вычислений.

При этом учебные компьютерные программы должны строиться на принципах, отличных от тех, которые используются в программах расчетного и проектно-конструкторского назначения, в которых по-сле ввода исходных данных выполняется расчет и в том или ином виде получаются результаты решения задачи. Такие программы не обладают обучающими свойствами и не ориентированы на познание методов расчета.

В любом из методов расчета сооружений можно выделить две его стороны, одна из которых представляет суть и физические осно-вы работы сооружения и метода расчета, а вторая связана с мате-матической реализацией метода и большими (в той или иной степе-ни) объемами вычислений.

О принципах создания учебных компьютерных программ.

Учебные компьютерные программы должны уменьшать объем руч-ных вычислений, облегчать трудоемкие вычислительные процессы, сохраняя при этом сущность и принципы методов расчета, должны способствовать изучению методов расчета, их физической сути и физических основ работы сооружений, а также должны представ-лять возможности для исследования поведения и работы сооруже-ний при изменении их характеристик и параметров, то есть должны представлять собой обучающе-исследовательские системы [2].

Главная сложность при разработке таких программ – найти то со-отношение двух сторон в задаче, в методе расчета, которое позволяло бы, с одной стороны, максимально облегчить математические вычис-ления, уменьшить объем ручного счета, а с другой стороны, сохранить сущностно-физическую сторону задач и методов расчета. Решение этой проблемы требует глубокого анализа методов расчета, которые при их реализации в учебных программах следует разделить на две части. Одна из них, менее трудоемкая с вычислительной точки зрения, но несущая в себе суть и физические основы метода и способствую-щая его изучению и познанию, должна выполняться вручную. Вторая, менее информативная, но более трудоемкая и объемная по вычисле-ниям, должна передаваться компьютеру. Это разделение в разных методах расчета может быть совершенно разным, что зависит от про-цедур методов, при этом в одном методе расчета на разных его этапах эти части могут взаимно переплетаться друг с другом.

Здесь делается попытка реализации изложенных подходов при составлении учебной компьютерной программы расчета статически неопределимых рам методом сил.

Алгоритм расчета. Метод сил включает в себя целый ряд про-

цедур и этапов расчета, часть из которых в большей степени напол-нены физической сутью и физическими основами метода расчета и работы сооружения и содержат менее сложные вычисления, другая же часть больше связана с математической реализацией метода расчета, с большими (в той или иной степени) объемами вычисле-ний, которые достаточно сложно выполнять без привлечения компь-ютерной техники и специальных вычислительных программ.

Кратко процедура расчета методом сил статически неопредели-мых рам состоит [1] из следующих этапов:

1. Определяется степень статической неопределимости (число «лишних» связей) рамы Л.

2. Выбирается основная система метода сил (О.С.), то есть ста-тически определимая, геометрически неизменяемая система, полу-чаемая из заданной статически неопределимой рамы путем отбра-

сывания лишних связей и замены их неизвестными усилиями Х1, Х2, … ХЛ, которые являются основными неизвестными метода расчета.

Для любой статически неопределимой рамы существует очень большое число основных систем метода сил. Для расчета из них принимается одна О.С., называемая расчетной, в качестве которой выбирают самую рациональную О.С., в которой построение эпюр усилий было бы как можно более простым, а также эпюры были бы как можно более простыми по форме, что в дальнейшем может су-щественно упростить и облегчить расчет.

3. В расчетной О.С. метода сил строятся единичные эпюры уси-лий ЛM M M1 2, , K от действия единичных значений неизвест-ных метода сил ЛX X X1 2, , K и грузовая эпюра изгибающих моментов МР от действия внешней нагрузки.

4. Вычисляются значения единичных коэффициентов и свобод-ных членов канонических уравнений метода сил, которые по своей сути являются перемещениями, по формулам Мора:

ln

ii

M dx

EJiδ = ∑ ∫

2

01;

ln

ik

M M dx

EJi kδ = ∑ ∫1

0

;

l

n PM M dxiP EJ

i=∆ ∑ ∫01

, (1)

где i kM M, – зависимости изменения изгибающих моментов (их

эпюр) в О.С. от действия сил Хi = 1 и Xk = 1; МР – зависимость изменения изгибающего момента (эпюры) в О.С. от действия внеш-них нагрузок; EJ – жесткость стержня (участка) при изгибе, n – чис-ло участков интегрирования, l – длины участков интегрирования.

Вычисление интегралов Мора в формулах (1) выполняется по формулам Симпсона и трапеций.

Заметим, что если построить суммарную единичную эпюру: 1 2S ЛM M M M= + + +K , (2) то можно вычислить сумму всех единичных перемещений

2

1 1 1

Л Л ns

ss i ki k i

M d xEJ= = =

δ = =δ∑∑ ∑ (3)

и сумму всех грузовых перемещений

1 1

.Л n

s PsP iP

i i

M M d xEJ= =

= =∆ ∆∑ ∑ (4)

5. Решается система канонических уравнений метода сил, имеющая вид:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

0;0;0;

........................................ ..............................

..................................

Л Л Р

Л Л Р

Л Л Р

X X X XX X X XX X X X

δ + δ + δ + + δ + ∆ =δ + δ + δ + + δ + ∆ =δ + δ + δ + + δ + ∆ =

KKK

1 1 2 2 3 3

....................................0.Л Л Л ЛЛ Л ЛРX X X X

δ + δ + δ + + δ + ∆ = K

(5)

где ikδ и iP∆ – единичное и грузовое перемещения по направле-нию силы iX от действия соответственно силы kX единичной величины и внешней нагрузки.

Система канонических уравнений метода сил (5) является неод-

Игнатюк Валерий Иванович, к.т.н., зав. кафедрой строительной механики Брестского государственного технического университета. Алексеев Тарас Юрьевич, студент строительного факультета Брестского государственного технического университета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.



нородной системой линейных алгебраических уравнений и может быть решена, например, способом Гаусса.

6. После определения неизвестных метода сил iX (i = 1 … Л) расчет и построение окончательных эпюр изгибающих моментов в системе выполняется на основе принципа независимости действия сил по формуле: 1 1 2 2 ... Л Л РM M X M Х M Х M= + + + + . (6)

7. По эпюре М строим окончательную эпюру поперечных сил Q. 8. По эпюре Q способом вырезания узлов с учетом действую-

щих в узлах внешних нагрузок строится эпюра продольных сил N. Алгоритм программы. В рассматриваемой здесь компьютерной

программе выполняется следующее разделение указанных проце-дур метода сил на две части.

Вручную предлагается выполнить этапы 1–3, 7 и 8, которые не-сут в себе в большей степени физическую суть метода, позволяют более глубоко понять и изучить метод и основные его принципы. Этапы 1–3 позволяют закрепить навыки определения числа лишних связей, выбора рациональных расчетных О.С. метода сил, навыки кинематического анализа систем, построения эпюр внутренних сил в статически определимых системах (О.С.), показать и закрепить уме-ние вычисления перемещений по формулам Мора (1) различными способами, для чего вручную необходимо вычислить коэффициенты

ssδ (3) и sP∆ (4), являющиеся как проверочными в расчете, так и контрольными в программе.

Программа проверяет правильность вычисления величин ssδ и

sP∆ (с учетом допускаемых погрешностей) и при их верном вычис-лении выполняет расчет наиболее трудоемких этапов метода сил 4, 5, 6, то есть вычисляет все коэффициенты и свободные члены (единич-ные и грузовые перемещения (1)) системы уравнений, производит решение системы канонических уравнений метода сил (5) с определе-нием неизвестных метода сил Х1, Х2, … ХЛ, выполняет расчет и построение окончательной эпюры изгибающих моментов М (6).

Эпюры поперечных и продольных сил Q и N (этапы расчета 7 и 8) студент должен в конце рассчитать и построить опять же само-стоятельно (вручную), а также выполнить статическую проверку равновесия рамы.

При неверном вычислении коэффициентов ssδ или sP∆ про-грамма выдает соответствующее сообщение, и требуется произве-сти их расчет (или одного из них) заново с последующим новым их вводом в программу для контроля.

Описание программы. Программа MetSil составлена в среде

программирования C# [3], работает под управлением системы Win-dows, исходный текст программы имеет объем 5 Мб, исполняемый файл MetSil.exe –180 Кб.

Ввод исходных данных осуществляется в основном окне про-граммы, представленном на рисунке 3, в котором показан ввод эпю-ры МР для рамы, представленной на рисунке 1, расчетная основная система метода сил для которой (Л=5) изображена на рисунке 2.

кН2 мq=

5м

3EJ

2EJ

2EJ

EJ

EJ

EJ

3X

2X

4X

5X1X

2X

1X5X

О.С.

Рис. 1. Расчетная схема рамы

кН2 мq=

5м

3EJ

2EJ

2EJ

EJ

EJ

EJ

3X

2X

4X

5X1X

2X

1X5X

О.С.

Рис. 2. Основная система метода сил

Стандартный для Windows удобный и эстетичный графический

интерфейс и достаточно развитый сервис делают работу в програм-ме простой и понятной.

После ввода исходной информации, включающей координаты узлов, привязку стержней и их жесткостные характеристики, ордина-ты единичных ( 1 2, , ЛM M MK ) и грузовой (МР) эпюр изгибаю-щих моментов, программу можно запустить на расчет.

В результате появляется окно, представленное на рисунке 4, в котором необходимо ввести проверочные для расчета значения суммарных единичного ssδ и грузового sP∆ перемещений. Эти перемещения необходимо вычислить предварительно.

Если контрольные значения вычислены неверно, то программа выдает соответствующее сообщение.

Рис. 4. Окно ввода контрольных величин

Если контрольные значения вычислены верно, то программа

выполняет полный расчет рамы – вычисляются все единичные ко-эффициенты ( ikδ ) и свободные члены ( iP∆ ) системы канониче-ских уравнений метода сил, решается система канонических уравне-ний (5), определяются неизвестные метода сил iX , выполняется расчет всех ординат (6) и графическое построение окончательной эпюры изгибающих моментов М.

Сервис программы включает в себя следующие возможности: • диалоговый режим ввода исходной информации, обработки и

анализа промежуточных и окончательных результатов решения задачи;

• сохранение в файл как исходных данных, так и результатов расчета;

• печать исходных данных и результатов расчета в численном (табличном) и в графическом видах;

• масштабирование изображений рам и ординат эпюр усилий в окнах графики;

• перемещение графических объектов (схем рам, эпюр усилий) с помощью мыши;

• возможность задавать число знаков после запятой на эпюрах усилий в окне графики;

• наличие разветвленной системы Помощи, которая содержит следующие разделы: метод расчета, работа с программой, ввод исходных данных, система меню программы, полезные советы, расчет рамы, правила записи ординат эпюр.



Рис. 3. Основное окно программы «MetSil»

Рис. 5. Окончательная эпюра изгибающих моментов



Результаты расчета в программе представляются как в таблич-ном, так и в графическом виде – изображается окончательная эпюра изгибающих моментов М. Для рассматриваемой рамы (рисунок 2), окно результатов расчета и окончательная эпюра М показаны на рисунке 5.

При успешно выполненном расчете программа позволяет вы-полнять анализ характера зависимостей эпюр изгибающих моментов М и поперечных сил Q в раме и исследовать влияние величин же-сткостей стержней на значения усилий в раме при одной и той же нагрузке, что делается уже без контроля.

Заключение. Разработанная учебная компьютерная программа MetSil позволяет производить расчет статически неопределимых рам методом сил с выполнением ряда этапов расчета, определяю-щих суть и физический смысл задачи (включая вычисление суммар-ных единичного и грузового перемещений, являющихся контроль-ными в программе), вручную и с вычислением наиболее объемной части численных расчетов компьютером.

Программа используется при выполнении расчетно-проектировочных заданий и может применяться в самостоятельной работе при изучении соответствующего раздела дисциплины «Строительная механика». После выполнения основного расчета программа позволяет выполнить расчет рассматриваемой рамы уже без контроля при изменении жесткостных характеристик участков стержней, что позволяет производить исследование влияния жест-костных характеристик стержней на величины усилий в системе.


1. Борисевич, А.А. Строительная механика: учебное пособие / А.А. Борисевич, Е.М. Сидорович, В.И. Игнатюк. – Минск: БНТУ, 2009. – 756 с.

2. Игнатюк, В.И. Создание учебных компьютерных программ для курса строительной механики // Вышэйшая школа. – 2001. – № 6. – С. 35–38.

3. С# 4.0: Полное руководство: пер. с англ. – М.: ООО «Вильямс», 2011. – 1056 с.


IHNATSIUK V.I., ALEKSEEV T.U. Tutorial computer program for calculation hyperstatic frames by force

Here is described the development of tutorial computer programs for calculation hyperstatic frames by force method as the training research sys-tem as well as the principles of working out of such programs. УДК 517.544

Юхимук М.М., Юхимук Т.Ю.

ЗАДАЧА О СКАЧКЕ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНО СВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ Введение. Впервые краевая задача для бесконечно связных

областей была рассмотрена в работе [1]. В дальнейшем к этой тема-тике обращались неоднократно [2–4]. Исследование краевых задач для бесконечно связных областей близко по своему содержанию к исследованию краевых задач с бесконечным индексом, основы тео-рии которых были созданы Н.В. Говоровым [5]. Он установил опре-делённую связь между разрешимостью таких задач, распределени-ем нулей и асимптотическим поведением специальных классов це-лых функций. Анализ такого рода задач является важным в силу их практической направленности (например, они хорошо моделируют композиционные материалы с богатой микроструктурой [6]). В на-стоящей работе в замкнутой форме даётся общее решение краевой задачи о скачке для бесконечно связных областей и мероморфных правых частей. Базой для исследования служат некоторые конст-рукции, предлагаемые в [7] для решения задачи о скачке в случае конечносвязных областей и рациональных правых частей.

1. Показатель сходимости комплексной последовательно-сти. Пусть последовательность ( )

1j j

∞

=α ⊂ £ такова, что

1 20 | | | | ... | | ...n< α ≤ α ≤ ≤ α ≤ и lim | |jj →∞α = +∞ . Показате-

лем сходимости последовательности ( )1j j

∞

=α называется число

1

1inf| |j j

∞

λλ=

τ = λ ∈ < +∞ α

∑¡ . При этом при λ > τ ряд

1

1| |j j

∞

λ= α∑ сходится, а при λ < τ – расходится. При λ = τ ряд

может как сходиться, так и расходиться. Если ряд расходится для всех λ ∈ ¡ , то полагают τ = +∞ .

Утверждение 1: Пусть для некоторой последовательности

( )1j j

∞

=α точек комплексной плоскости lim jj →∞

α = ∞ , причём

1 20 | | | | ... | | ...j< α ≤ α ≤ ≤ α ≤ Пусть также inf | | 0j kj kd

≠α −α = > .

В этом случае последовательность ( )1j j

∞

=α обладает показателем

сходимости, не превышающим двух.

Доказательство: Построим последовательность ( )1j j

∞

=β ⊂ £ ,

члены которой заведомо мажорируются модулями соответствующих

членов последовательности ( )1j j

∞

=α , то есть ( )| | | |j jj∀ ∈ β ≤ α¥ .

Для этого, очевидно, нужно максимально «плотно» заполнить £

касающимися внешним образом окружностями радиуса 2d с цен-

трами в точках ( )j jβ ∈ ¥ . Все возможные разбиения плоскости правильными многоугольниками исчерпываются тремя случаями – разбиением правильными треугольниками, квадратами и шести-угольниками. Если вписать в каждый из этих многоугольников окруж-ность, то окажется, что отношение площади круга к площади опи-санного около него многоугольника будет наибольшим именно для шестиугольника. Поэтому внутри окружности достаточно большого

радиуса наибольшее число окружностей радиуса 2d будет при сле-

дующем «шестиугольном» размещении их центров: 1 0β = ;

2 dβ = ; 33

2 2d d iβ = + ; 4

32 2d d iβ = − + ; 5 dβ = − ;

63

2 2d d iβ = − − ; 7

32 2d d iβ = − ; 8

3 32 2d d iβ = − ;

Юхимук Михаил Михайлович, старший преподаватель кафедры высшей математики Брестского государственного технического уни-верситета. Юхимук Татьяна Юрьевна, ассистент кафедры высшей математики Брестского государственного технического университета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.



9 2dβ = и т.д. Введём более удобную для использования двойную

индексацию членов последовательности ( )1j j

∞

=β :

( )(1) 3nk d n k iβ = + , (2) 1 132 2nk d n k i

β = + + +

( ),n k ∈ ¢ . Найдём показатель сходимости последовательности

( )1j j

∞

=β :

( , ) (0,0)

(1) (2), ,

1 1infn kn k n k

nk nk≠

λ λλ∈ ∈

τ = λ + < +∞ =

β β ∑ ∑

¢ ¢

( )( , ) (0,0)

2 22 2

, ,

1 1inf 3 32 2

n knk n k

d n k d n k≠

−λ−λ

λ∈ ∈

= λ + + + + + <+∞ ∑ ∑

¢ ¢

(фигурирующие здесь ряды являются абсолютно сходящимися, по-этому порядок следования членов подпоследовательностей ( )(1)

,nk n k∈β

¢ и ( )(2)

,nk n k∈β

¢ не указывается). Последовательность

( )(2)

,nk n k∈β

¢ получается из последовательности ( )(1)

,nk n k∈β

¢ парал-

лельным переносом на вектор 3;2 2d d

. Учитывая это, а также

очевидную симметрию в расположении членов последовательности

( )(1)

,β

∈nk n k ¢ на плоскости, можно утверждать, что показатель

сходимости последовательности ( ) 1β

∞

=j j равен

( )2 2

,inf 3

λ

λτ λ

−

∈

= + < +∞

∑n k

n k¥

. Известно [8], что

двойной ряд ( )2 2

,

2µ−

∈

+ +∑n k

an bnk ck¥

сходится, если

20,a b ac> < и 1µ > . Поэтому ряд

( ) ( )2 2 2 2 2

, ,

3 3n k n k

n k n kλ−λ −

∈ ∈

+ = +∑ ∑¥ ¥

сходится при

12λ

> , т.е. при 2λ > . Таким образом, показатель сходимости τ

последовательности ( )1j j

∞

=β равен двум. Занумеруем члены по-

следовательностей ( )(1)

,nk n k∈β

¢ и ( )(2)

,nk n k∈β

¢ в порядке неубыва-

ния их модулей: 1 20 | | | | ... | | ...j= β ≤ β ≤ ≤ β ≤ Тогда для лю-

бой последовательности ( )1j j

∞

=α ⊂ £ , такой, что

inf j kj kd

≠α − α = , и для любого j ∈ ¥ будет выполняться нера-

венство j jα ≥β , откуда 1 12j j

λ λ

∀λ> ≤ α β

и 2 2

1 1j j

j j

∞ ∞

λ λ= =

≤ <+∞α β

∑ ∑ .

Поэтому показатель сходимости последовательности ( )1j j

∞

=α не

превышает двух, что и требовалось доказать. Из доказательства также вытекает, что наименьшее целое χ , при котором заведомо

2

1j

j

∞

χ=

< +∞α

∑ , равно трём.

Применим аналогичный метод для оценки показателя сходимо-сти последовательности, все члены которой расположены внутри некоторой полосы.

Утверждение 2: Пусть для некоторой последовательности

( )1j j

∞

=α точек комплексной плоскости Im j Aα ≤ , где А – дос-

таточно большое, но конечное число. Пусть также lim jj →∞α = ∞ ,

1 20 | | | | ... | | ...j< α ≤ α ≤ ≤ α ≤ и inf | | 0j kj kd

≠α − α = > .

Тогда показатель сходимости последовательности ( )1j j

∞

=α не пре-

вышает единицы.

Доказательство: Построим последовательность ( )1j j

∞

=β ⊂ £

так же, как в доказательстве предыдущего утверждения, и аналогич-ным образом выделим из неё подпоследовательности

( )(1) 3nk d n k iβ = + , , ;3 3

A An kd d

∈ = −

¢ ;

(2) 1 132 2nk d n k i

β = + + +

; 1 1, , ;2 23 3

A Ank kd d

∈ =− + −

¢ ,

члены которых лежат в полосе Im j Aα ≤ . Вычислим показатель сходимости построенной последовательности:

( )

1 1; ;2 23 3 3 3

(1) (2)

32 2

3

1 1inf

inf 3

A A A Ak kd d d d

n nnk nk

Ad

nAkd

d n k

=− =− + −

λ λλ∈ ∈

+∞ −λ

λ=−∞

=−

τ = λ + < +∞ =

β β

= λ + +

∑ ∑

∑ ∑

¢ ¢

12 223

123

1 13 12 2

Ad

nAkd

d n k

−λ− +∞

=−∞ =− +

+ + + + < +∞ =

∑ ∑ .

Занумеровав члены последовательностей ( )(1)

,nk n k∈β

¢ и

( )(2)

,nk n k∈β

¢ в порядке неубывания их модулей, получим:

( ) ( )1

2 2

Im inf 1

1 1

j j j kj j k

j jj j

A d∞

= ≠

∞ ∞

λ λ= =

∀ α α ≤ ∧ α − α = ∀λ >

≤ < +∞ α β ∑ ∑

.

Поэтому показатель сходимости последовательности ( )1j j

∞

=α

не превышает единицы, что и требовалось доказать.

Следствие: Пусть все члены последовательности ( )1j j

∞

=α ле-

жат в некоторой полосе комплексной плоскости, причём lim jj→∞α =∞,

1 20 | | | | ... | | ...j< α ≤ α ≤ ≤ α ≤ и inf | | 0j kj kd

≠α −α = > . Тогда по-

казатель сходимости последовательности ( )1j j

∞

=α не превышает

единицы.



Доказательство: Путём умножения каждого члена последова-

тельности ( )1j j

∞

=α на множитель вида eiθ можно «развернуть»

полосу так, чтобы она стала параллельна действительной оси. Мо-дули членов последовательности, а вместе с ними и показатель сходимости последовательности при этом, очевидно, не изменятся. Полученная полоса может быть заключена в более широкую, сим-метричную относительно действительной оси. Таким образом, для

членов последовательности ( )1j j

∞

=α выполняются все условия

утверждения 2, поэтому показатель её сходимости не превышает единицы.

2. Задача о скачке для мероморфных правых частей. Пусть { }kL k ∈ – счётное семейство простых гладких замкнутых попарно непересекающихся контуров, ограничивающих непересе-кающиеся области kD+ , причём min | |

kkt L

t →∞∈→ ∞ . Обозначим

1

\ kk

D D∞

− +

=

=

U . Требуется найти кусочно-аналитическую в

бесконечно связной области 1

kk

D D∞

− +

=

U U функцию ( )zΦ ,

предельные значения которой непрерывны вплоть до кривых kL и удовлетворяют на них краевым условиям: ( ) ( ) ( ), , 1,k k kt t f t t L k+ −Φ − Φ = ∈ = ∞ , (1) где ( )kf z – заданные мероморфные функции, причём каждая из функций kf непрерывна на соответствующем контуре kL .

Каждую из правых частей задачи (1) можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ( )k k k kf z g z r z r z= + + % , (2) где ( )kg z – целая функция, ( )kr z – рациональная функция, все

полюсы которой лежат в области kD+ , ( )kr z% – мероморфная

функция, все полюсы которой лежат в области \ kD+ (очевидно, такое представление не является единственным).

Утверждение 3: Задача (1) имеет бесконечное множество реше-ний вида

{ }

{ } { }1

1,

( ) ( ) ( ) , ;( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,

l ll

k k k l l kll k

h z r z Q z z Dz

h z g z Q z r z r z Q z z D

∞−

=

+

= ∞≠

− − ∈

Φ = + + + − − ∈

∑

∑%(3)

где ( )h z – произвольная целая функция, а ( )kQ z – некоторые многочлены ( )k ∈ . При этом разность между любыми двумя решениями является целой функцией и определяется одним и тем же аналитическим выражением и в области D− , и в каждой из об-ластей kD+ .

Доказательство: Формально решение задачи (1) может быть за-писано в виде:

1

1,

( ) ( ), ;( )

( ) ( ) ( ) ( ), ,

ll

k k l kll k

h z r z z Dz

h z g z r z r z z D

∞−

=

+

= ∞≠

− ∈

Φ = + + − ∈

∑

∑% (4)

где ( )h z – произвольная целая функция. Формальность этого ре-шения состоит в том, что ряды, членами которых являются рацио-нальные функции, не являются заведомо сходящимися. Потребуем, чтобы функция ( )kr z являлась правильной рациональной дробью.

В этом случае она может быть однозначно представлена в виде:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2

( )( ) ( )1 2

( ) ( ) ( )1 2

( )( ) ( )( ) ... k

k k knk

k

kk kn

kk k k

n

P zP z P zr z

z z zγ γ γ

= + + +− α − α − α

,

где ( )kj kD+α ∈ – полюсы кратностей ( )k

jγ ∈ соответственно, а ( )( )kjP z – многочлены степеней не выше ( ) 1k

jγ − ( )1, kj n= .

Перенумеруем все полюсы функций ( )kr z ( )k ∈ в порядке неубывания их модулей (в случае равенства модулей больший ин-декс сопоставим полюсу с большим аргументом). Так как по условию min | |

kkt L

t →∞∈→ ∞ , то получим сходящуюся к бесконечности

последовательность чисел 1

j kk

D∞

+

=

α ∈U . По теореме Миттаг-

Леффлера существует мероморфная функция ( )f z , имеющая по-люсы в точках jα и только в этих точках, и такая, что главные части

функции f в точках jα совпадают с соответствующими этим точ-

кам дробями ( )

( )j

j

j

P z

zγ

− α. Данная функция может быть записана в

виде ряда: ( )1

( )( ) ( )

j

jj

jj

P zf z Q z

z

∞

γ=

= −

− α ∑ , или, в силу абсо-

лютной сходимости ряда, в «старых» обозначениях,

( )( )

( )( )

( )1 1

( )( ) ( )

k

kj

knj k

jkk jj

P zf z Q z

z

∞

γ= =

= − − α

∑∑ . Здесь ( )( )kjQ z – мно-

гочлены, «обеспечивающие» сходимость ряда. Запишем равенство (2) в виде:

( )( )

( )( ) ( )

( )1 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k

kj

kn njk k

k k j j kkj j

j

P zf z g z Q z Q z r z

z= =

= + + − + −

∑ ∑ %γ

α.(5)

Так же, как и в равенстве (2), 1-е слагаемое в (5) является целой функцией, 2-е – рациональной функцией с полюсами в области kD+ , 3-е – мероморфной функцией, все полюсы которой лежат в области

\ kD+ . В этом случае равенство (4) примет вид:

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )1 1

( )

1

( )( )

( )11,

( )( ) ( ) , ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) , .

l

lj

k

l

lj

lnj l

jll jj

nk

k j kj

lnj l

j kljljl k

P zh z Q z z D

z

z h z g z Q z r z

P zQ z z D

z

∞−

γ= =

=

+

γ== ∞

≠

− − ∈

− α Φ = + + + −

− − ∈ − α

∑∑

∑

∑ ∑

% .(6)

При этом ряды, фигурирующие в (6), являются абсолютно и равно-мерно сходящимися в любом круге | |z R≤ , если исключить из них конечное число членов, имеющих полюсы в этом круге. Обозначая

многочлен ( )

1( )

knk

jj

Q z=

∑ через ( )kQ z , мы и получим формулу (3).



Докажем вторую часть утверждения. Выбор многочленов ( )( )kjQ z в (5) не является определённым. Поэтому мы можем по-

лучить решение вида

{ }{ }

{ }

11

1 1

1,

( ) ( ) ( ) , ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) , ,

lll

kk k

ll kll k

h z r z Q z z D

z h z g z Q z r z

r z Q z z D

∞−

=

+

= ∞≠

− − ∈

Φ = + + + −− − ∈

∑

∑

% (7)

отличное от решения вида (3). Найдём разность решений (3) и (7): { }

{ } { }

{ }

{ } { }

1

1, 1,

1

1

1, 1,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) , ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) , .

kk

ll l ll ll k l k

kk

ll l l kl ll k l k

h z h z Q z Q z

r z Q z r z Q z z D

z zh z h z Q z Q z

r z Q z r z Q z z D

−

= ∞ = ∞≠ ≠

+

= ∞ = ∞≠ ≠

− + − − − − − − ∈ Φ − Φ =

− + − − − − − − ∈

∑ ∑

∑ ∑

Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой разность двух мероморфных функций, имеющих одинаковые полю-сы и одинаковые главные части в этих полюсах, т.е. является целой функцией. Поэтому и разность 1( ) ( )z zΦ − Φ является целой функцией, причём определяется одним и тем же аналитическим выражением и в области D− , и в каждой из областей kD+

( )k ∈ . Пример 1: Пусть правые части задачи имеют вид

( ) ( ) ( ), ,kk k k k

k

Af t g t r t t L k

t= + + ∈ ∈

− α% , где ( )kg z –

целая функция, ( )kr z% – мероморфная, не имеющая полюсов в

kD+ , а k kD+α ∈ . Пусть также выполняются следующие условия:

а) ,

inf | | 0j j k k

j kt L t Lj k

t t∈ ∈

≠

− > ; б) последовательность ( ) 1k kA ∞

= – огра-

ничена в . Первого условия достаточно, чтобы для полюсов kα из

kk N

D D+

∈

= U выполнялось строгое неравенство

inf | | 0j kj k≠α − α > . Но тогда, в силу утверждения 1, последова-

тельность ( ) 1k k

∞

=α обладает показателем сходимости, не превы-

шающим двух. Это означает, что ряд 31

1k k

∞

= α∑ заведомо сходится.

В этом случае, очевидно, в каждой из областей ( )\ kD k+ ∈ будет сходиться ряд:

2

2 21, 1, ( )

l l l l

l ll l l l ll k l k

A A A z A zz z= ∞ = ∞

≠ ≠

+ + = − α α α α − α ∑ ∑ . Записав «скачки»

в виде:

2 2( ) ( ) ( )k k k k kk k k

k k kk k

A A t A A A tf t g t r tt

= − − + + + + α − α αα α % ,

получим общее решение задачи:

22

1

2

22

1,

( ) , ;( )

( ) ( ) ( ) ( )

, .( )

l

l l l

k kk k

k k

lk

l l ll k

Ah z z z D

z

A A zz h z g z r z

Az z D

z

∞−

=

+

= ∞≠

− ∈ α − α

Φ = + − − + − α α − ∈

α − α

∑

∑

%

Пример 2: Пусть при условиях примера 1 все контуры kL пол-ностью лежат внутри некоторой полосы. Тогда, в силу следствия из утверждения 2, последовательность ( ) 1k k

∞

=α обладает показате-

лем сходимости, не превышающим единицу, и общее решение зада-чи запишется в более простом виде:

1

1,

( ) , ;( )

( )( ) ( ) ( ) , .

( )

l

l l l

k lk k k

lk l ll k

Ah z z z D

zz A A

h z g z r z z z Dz

∞−

=

+

= ∞≠

− ∈ α −α

Φ = + − + − ∈ α α − α

∑

∑%

Заключение. В работе получена оценка показателя сходимости

комплексной последовательности в случаях расположения её чле-нов на всей плоскости и в пределах некоторой полосы. В общем виде найдено решение задачи о скачке для бесконечно связных областей и мероморфных правых частей. Полученные результаты, в частности, могут быть использованы при исследовании задач про-водимости композиционных материалов.


1. Ахиезер, Н.И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов / Н.И. Ахиезер // Изв. АН СССР, сер. матем. – 1945. – Т. 9. – С. 275–290.

2. Пааташвили, В.А. О линейной задаче сопряжения в случае счёт-ного множества замкнутых контуров / В.А. Пааташвили // Сообщ. АН Груз. ССР. – 1965. – Т. 37, № 1. – С. 31–36.

3. Толочко, М.Э. О разрешимости однородной краевой задачи Ри-мана для бесконечно связной области / М.Э. Толочко // Доклады АН БССР. – 1974. –Т. 18, № 5. – С. 398–401.

4. Чибрикова, Л.И. Основные краевые задачи для аналитических функций / Л.И. Чибрикова. – Казань, 1977. – 303 с.

5. Говоров, Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом / Н.В. Говоров. – М.: Наука, 1986. – 240 с.

6. Mityushev, V.V. Analytical Methods for Heat Conduction in Compo-sites and Porous Media / V.V. Mityushev, E.V. Pesetskaya, S.V. Ro-gosin // Cellular and Porous Materials: Thermal Properties Simulation and Prediction ; A.Öchsner, G. Murch, and M. de Lemos eds. – Ams-terdam: Wiley-VCH, 2007. – P. 124–167.

7. Юхимук, М.М. Задача о скачке для многосвязных и бесконечно связных областей / М.М. Юхимук // Веснiк Брэсцкага унiверсiтэта. – 2006. – № 1(25). – С. 17–24.

8. Титчмарш, Е. Теория функций: пер. с англ. – 2-е изд., перераб. / Е. Титчмарш. – М.: Наука, 1980. – 464 с.


YUKHIMUK M.M., YUKHIMUK T.Yu. Jump problem for infinitely connected domains This work represents the estimation of the exponent of convergence of a complex sequence in case its terms are located on the whole plane and

within a strip. A closed-form solution for a jump problem for infinitely connected domains and meromorphic right-hand members has been obtained.



УДК 519.213.2:004.02

Махнист Л.П., Каримова Т.И., Гладкий И.И., Рубанов В.С.

МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И НЕКОТОРЫЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Введение. Каждая случайная величина полностью определяет-

ся своей функцией распределения. В то же время при решении практических задач возникает необходимость знать числовые пара-метры, которые позволяют представить основные особенности слу-чайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся начальные и центральные моменты.

В настоящей работе рассматриваются связи между начальными, центральными и факториальными моментами случайных величин, способы вычисления одних моментов, используя другие, и вычисле-ние моментов случайных величин, используя числа Стирлинга пер-вого и второго рода.

О моментах случайных величин. Моментом n -го порядка ( 0,1,2,n K ) [1] случайной величины X относительно числа

a называется математическое ожидание nM X a .

Начальным моментом n -го порядка ( 0,1,2,n K ) [1] случайной величины X (относительно числа 0a ) называется

nn M X . Заметим, что 0 1 , 1 ( )M X .

Центральным моментом n -го порядка случайной величины X (относительно центра распределения, т.е. числа

a M X ) [1] называется nn M X M X .

Очевидно, что 0 1 , 1 0 , 2 D X . Факториальным моментом n -го порядка ( 0,1,2,n K )

[2] случайной величины X относительно числа a называется математическое ожидание 1 1M X a X a X a nK .

Начальным факториальным моментом n -го порядка ( 0,1,2,n K ) [2] случайной величины X (относительно чис-

ла 0a ) называется 1 ...n

n M X M X X

1X n . Заметим, что 0 1 , 1 ( )M X .

Центральным факториальным моментом n -го порядка ( 0,1,2,n K ) [2] случайной величины X (относительно цен-

тра распределения, т.е. числа a M X ) называется

1 1 .

nn M X M X M X M X

X M X X M X nK

Заметим, что 0 1 , 1 0 , 2 D X .

Центральные моменты n-го порядка случайной величины X связаны с ее начальными моментами соотношением

1( ) n nn M X M X M X

10

( 1)n

m m n m mn

mM C X

10

10

( 1)

( 1) .

nm m n m m

nm

nm m m

n n mm

M C X

C

.

Так, например, 2

2 2 2 10

0 0 1 1 2 2 22 2 1 2 1 1 2 0 1 2 1

( 1)

,

m m mm

mC

C C C

30 0

3 3 3 1 3 3 10

1 1 2 2 3 3 33 2 1 3 1 1 3 0 1 3 2 1 1

( 1)

3 2 .

m m mm

mC C

C C C

Начальные моменты n-го порядка случайной величины X свя-заны с ее центральными моментами соотношением

1

10

10

( )

( )

( )

nnn

nn mm m

nm

n n mm mn

m

M X M X M X

M C X M X

M C X M X

1 10 0

( ) .n n

n mm m m mn n n m

m mC M X M X C

Так, например, 2

0 0 1 12 2 2 1 2 2 1 2 1 1

02 2 22 0 1 2 1 ,

m mm

mC C C

C

30 0 1 1

3 3 3 1 3 3 1 3 2 10

2 2 3 3 33 1 1 3 0 1 3 2 1 13 .

m mm

mC C C

C C

Для установления связи между факториальными моментами и моментами случайной величины рассмотрим следующие определе-ния и соотношения.

Выражение

( ) ( ) 1 ( ) ( )1 1

1

1 1n

nn n n n n n m

n mnm

k k k k n

S k S k S k S k

K

K

Махнист Леонид Петрович, к.т.н., доцент, заведующий кафедрой высшей математики Брестского государственного технического университета. Каримова Татьяна Ивановна, к.ф-м.н., доцент, доцент кафедры высшей математики Брестского государственного технического уни-верситета. Гладкий Иван Иванович, доцент кафедры высшей математики Брестского государственного технического университета. Рубанов Владимир Степанович, к.ф-м.н., доцент, проректор по научной работе Брестского государственного технического универси-тета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.



называется факториальным многочленом степени n. Коэффици-енты ( )n

iS называются числами Стирлинга первого рода и могут быть получены с помощью рекуррентной формулы

( ) ( 1) ( 1)1 1n n n

i i iS S n S .

Действительно, 1 (1)1k S k и (1)

1 1S ; 2 2 (2) 2 (2)

2 11k k k k k S k S k и (2)2 1S ,

(2)1 1S ; 3 3 21 2 3 2k k k k k k k

(3 ) 3 (3 ) 2 (3 )3 2 1S k S k S k и (3 )

3 1S , (3 )2 3S ,

(3 )1 2S . Докажем рекуррентную формулу для чисел Стирлинга первого

рода.

11 ( 1)

11 1

( 1) 1 ( 1)

1 1

1 2 1

1 1

1 .

n

nn n m

mm

n nn m n m

m mm m

k k k k n k n

k k n S k k n

S k n S k

K

В первой сумме полученной формулы введем замену 1m m , тогда формула примет вид:

1

( 1) ( 1)1

2 11

n nn m n m

mmm m

S k n S k

1 1( 1) ( 1) ( 1)

1 12 2

( 1) 1 ( 1)1 1

1

1

n nn n n m n m

mn mm m

n n nn

S k S k n S k

n S k S k

1

( 1) ( 1) ( 1) 11 1

21 1

nn n m n

mmm

S n S k n S k

.

Т.к. ( )

1

nn n m

mm

k S k

, то имеют место формулы:

( ) ( 1)1

n nn nS S

, ( ) ( 1) ( 1)11n n n

m m mS S n S ,

( ) ( 1)1 11n nS n S . Итак, получена следующая рекуррентная формула:

( ) ( 1) ( 1)1 1n n n

i i iS S n S , полагая ( ) 0n

iS , если

1i или i n . Так, например, если 3n , то (3 ) (2 ) (2 )

1 2i i iS S S и:

(3 ) (2 ) (2 )1 0 12 0 2 1 2S S S , (3 ) (2 ) (2 )2 1 22 1 2 1 3S S S , (3 ) (2 ) (2 )3 2 32 1 2 0 1S S S .

Следовательно, факториальный многочлен степени 3n равен 3 (3 ) 3 (3 ) 2 (3 )

3 2 13 2

1 2

3 2 .

k k k k S k S k S k

k k k

Некоторые значения ( )niS внесем в таблицу 1.

Начальные факториальные моменты n-го порядка случайной величины X связаны с ее начальными моментами соотношением

( ) ( )

1 1

1 1

,

nn

n nn m n

m m mm m

M X M X X X n

M S X S

K

где ( )niS − числа Стирлинга первого рода.

Центральные факториальные моменты n-го порядка случайной величины X связаны с ее центральными моментами соотношени-ем, которое легко получить из соответствующего соотношения для начальных моментов, полагая X X M X

( ) ( ) ( )

111 2

( )

2,

n nn n n

m m m mnm m

nn

m mm

S S S

S

где ( )niS − числа Стирлинга первого рода, так как 1 0 .

Так, например, 22 ; 3 23 3 ;

4 3 24 6 1 1 .

Для установления связи между моментами и факториальными мо-ментами случайной величины рассмотрим следующие соотношения.

Заметим, что имеет место соотношение

1 1( ) ( ) ( )1 1

1( ) ( )

01 1

...

( ).

n nn n n nn n

n n mmn n

m mjm m

k a k a k a k

a k a k j

Коэффициенты ( )nia называются числами Стирлинга второго

рода. Очевидно, что

11 (1)1k a k k и (1)

1 1a ; 2 12 (2 ) (2 )

2 1 1k a k a k k k k и (2 )2 1a ,

(2 )1 1a .

Докажем рекуррентную формулу для чисел ( )nia .

1 1

1 ( 1) ( 1)

1 1( )

n nm mn n n n

m mm m

k k k k a k a k k m m

Таблица 1 n ( )

1nS ( )

2nS ( )

3nS ( )

4nS ( )

5nS ( )

6nS L

1 1 2 –1 1 3 2 –3 1 4 –6 11 –6 1 5 24 –50 35 –10 1 6 –120 274 –225 85 –15 1

L L L L L L L L



1 1( 1) ( 1)

1 11 1

1( 1) ( 1)

1 1

( )

.

n nm mn n

m mm mn n

m mn nm m

m m

a k k m ma k

a k ma k

В первой сумме полученной формулы введем замену 1m m , тогда формула примет вид:

1

( 1) ( 1)1

2 1

n nm mn n

mmm m

a k ma k

1 1

1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 12

2 2

n nn m mn n n n

mn mm m

a k a k ma k a k

1

1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 1

2,

nn mn n n n

mn mm

a k a ma k a k

т.к. ( )

1

nmn n

mm

k a k

, то справедливы формулы:

( ) ( 1)1

n nn na a

, ( ) ( 1) ( 1)1

n n nm mma a ma

, ( ) ( 1)1 1n na a .

Таким образом, для чисел Стирлинга второго рода получена ре-куррентная формула:

( ) ( 1) ( 1)1

n n ni i ia a ia

,

полагая ( ) 0nia , если 1i или i n .

Так, например, если 3n , то (3 ) (2 ) (2 )1i i ia a ia и

(3 ) (2 ) (2 )1 0 1 0 1 1a a a ; (3 ) (2 ) (2 )2 1 22 1 2 3a a a ; (3 ) (2 ) (2 )3 2 33 1a a a . Следовательно, имеет место соотношение:

33 2 13 (3 ) (3 ) (3 ) (3 )

3 2 11

1 2 3 1 .

mm

mk a k a k a k a k

k k k k k k

Некоторые значения ( )nia внесем в таблицу 2.

Начальные моменты n-го порядка случайной величины X свя-заны с ее начальными факториальными моментами соотношением

1 1( ) ( ) ( ) ( )0 1 1

1,

nn

nn nn n n n

mn mm

M X

M a X a X a X aK

где коэффициенты ( )nia – числа Стирлинга второго рода.

С учетом последней формулы, начальные моменты n-го поряд-ка случайной величины X можно найти так:

( )

1 !

nnm

n mm

Tm

,

где коэффициенты ( )nmT – последовательность A019538 в OEIS

(англ. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, Энциклопедия це-лочисленных последовательностей). ( )n

mT могут быть получены с

помощью рекуррентной формулы ( ) ( 1) ( 1)1

n n nm mmT m T T

,

полагая ( ) 0nmT , если 1m или m n .

Центральные моменты n-го порядка случайной величины Х связаны с ее центральными факториальными моментами соотноше-нием

( ) ( ) ( ) ( )

1 11 2 2

,n n n

n n n nn m m mm m m

m m ma a a a

где коэффициенты ( )nia – числа Стирлинга второго рода.

Это соотношение легко получить из соответствующего соотно-шения для начальных моментов, полагая X X M X и

учитывая, что 1 0 .

Так, например,

2 2 , 3 3 23 , 4 4 3 26 7 .

Заключение. В работе представлен общий подход к вычисле-нию моментов распределений случайных величин. Полученные ре-зультаты могут быть использованы при вычислении моментов зако-нов распределений.

Так, например, в [3] получены соответствующие формулы для вычисления начальных и центральных моментов биномиального, геометрического распределения и распределения Пуассона и уста-новлена их взаимосвязь с некоторыми целочисленными последова-тельностями.


1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М.: Выс-шая школа, 1999. – 576 с.

2. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн – М.: Наука, 1977. – 831 с.

3. Махнист, Л.П. О моментах некоторых дискретных распределений / Л.П. Махнист, Т.И. Каримова, В.С. Рубанов, И.И. Гладкий // Вы-числительные методы, модели и образовательные технологии: сб. материалов региональной науч.-практ. конф., Брест, 22–23 октября 2013 г. / Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина; под общ. ред. О.В. Матысика. − Брест: БрГУ, 2013. – С. 93–95.

Таблица 2

n ( )1

na ( )2na ( )

3na ( )

4na ( )

5na ( )

6na L

1 1 2 1 1 3 1 3 1 4 1 7 6 1 5 1 15 25 10 1 6 1 31 90 65 15 1

L L L L L L L L

Материал поступил в редакцию 30.12.13 MAKHNIST L.P., KARIMOVA T.I., HLADKI I.I., RUBANOV V.S. Moments of probability distribution and some integer sequences

A common approach to calculating numerical characteristics of discrete random quantities is being examined. Formulae of connection of some nu-merical characteristics with others are offered and proven. Formulae allowing to calculate numerical characteristics of random quantities with the help of some integer sequences are proven.



УДК 004.94:531.52

Желткович А.Е., Махнист Л.П., Горбачевский В.М., Винник Н.С., Лавринюк Е.Ю.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАДЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

Введение. В работе получены уравнения движения материальной

точки в поле притяжения Земли, в зависимости от влияния на относи-тельное движение точки углового вращения Земли. На основе решения систем из трех взаимозависимых линейных неоднородных дифферен-циальных уравнений второго и третьего порядков получены точные решения, описывающие изменение траектории и скорости точки.

Задача определения величины отклонения при падении от вер-тикальной прямой материальной точки находящейся в северном полушарии Земли, падающей с высоты 500 метров, когда точка на-ходится на некоторой параллели, была сформулирована в [1]. Неко-торые подходы к ее решению сформулированы в работе [2].

В [2] при решении задачи о свободном падении материальной точки пренебрегают двумя проекциями относительной скорости на оси y и x (см. рис. 1) и влиянием, соответственно, на относительное движение точки в этих направлениях углового вращения Земли, что, на наш взгляд, достоверно отражает ситуацию, если изучать движе-ние материальной точки при сбрасывании ее с нулевой начальной скоростью и с небольшой высоты h.

Когда же речь идет о падении точки с начальной скоростью от-личной от нуля, принятое допущение не дает достаточную для прак-тики точность.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

. .

. .

cos cos ,

sin sin ,

.

отнz

отнz

отн отнx y

кор перx ц бV

кор перy ц бV

кор корz V V

ma P Ф Ф

ma Ф Ф

ma Ф Ф

= − ⋅ ϕ − ⋅ ϕ

= − ⋅ ϕ − ⋅ ϕ = +

(1)

В данной работе рассматривается точное решение полученных дифференциальных уравнений, где m − масса точки; g − ускоре-ние свободного падения; ϕ − угол, обозначающий данную парал-лель северного полушария; xa , ya , za − проекции относительных

ускорений на оси координат x, y, z; ( )отнz

корV

Ф − Кориолиса сила

инерции от скорости отнzV (

отнzV − проекция относительной скоро-

сти на ось z); ( )отнx

корV

Ф − Кориолиса сила инерции от скорости отнxV

( отнxV − проекция относительной скорости на ось x); ( )отн

y

корV

Ф −

Кориолиса сила инерции от скорости отнyV

( отн

yV − проекция отно-

сительной скорости на ось y); . .перц бФ − переносная центробежная

сила; П − плоскость, параллельная экваториальной.

Рис. 1. Падение материальной точки M с высоты h

Желткович Андрей Евгеньевич, к.т.н., старший преподаватель кафедры сопротивления материалов и теоретической механики Бре-стского государственного технического университета. Горбачевский Виталий Владимирович, магистр технических наук, ассистент кафедры сопротивления материалов и теоретической механики Брестского государственного технического университета. Винник Наталья Семеновна, зав. кафедрой начертательной геометрии и инженерной графики Брестского государственного техниче-ского университета. Лавринюк Евгений Юрьевич, студент машиностроительного факультета Брестского государственного технического университета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.



О решении системы дифференциальных уравнений. Рас-смотрим систему линейных дифференциальных уравнений вида:

x x z x

y y z y

z z x z y

V VV V

V V V

′ = α + β ′ = α + β ′ = α + β

(2)

с начальными условиями ( ) 00x xV v= , ( ) 00y yV v= ,

( ) 00z zV v= .

Продифференцируем по t третье уравнение системы: z z x z yV V V′′ ′ ′= α + β . Учитывая первое и второе уравнения системы, получим линей-

ное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

( ) ( )( )

z z x z y z x z x z y z y

x z y z z z x y z

V V V V V

V

′′ ′ ′= α + β = α α + β + β α + β =

= α α + α β + α β + β β

или уравнение ( )z x z y z z z x y zV V′′ − α α + α β = α β + β β .

Введем обозначения: ( )2x z y zp = − α α + α β , так как

0x z y zα α + α β < и z x y zq = α β + β β .

Тогда получим уравнение 2z zV p V q′′ + = . Найдем решение

соответствующего однородного уравнения 2 0z zV p V′′ + = .

Решая характеристическое уравнение 2 2 0pλ + = , получим

i pλ = ± , где ( )x z y zp = − α α + α β .

Тогда ( ) ( )01 2sin coszV c pt c pt= + − решение однородно-

го уравнения второго порядка 2 0z zV p V′′ + = . Частное решение дифференциального уравнения

2z zV p V q′′ + = будем отыскивать в виде 1

zV A= , так как корни

характеристического уравнения i pλ = ± отличны от 0.

Подставляя 1zV A= , ( )1 0zV ′′ = ( ( )1 0zV ′ = ) в уравнение

2z zV p V q′′ + = , получим 2p A q= .

Откуда 2qAp

= . Следовательно, 12z

qVp

= − частное реше-

ние неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 2

z zV p V q′′ + = . Поэтому

( ) ( )0 11 2 2sin cosz z z

qV V V c pt c ptp

= + = + + − общее ре-

шение неоднородного дифференциального уравнения второго по-рядка с постоянными коэффициентами 2

z zV p V q′′ + = .

Подставляя ( ) ( )1 2 2sin coszqV c pt c ptp

= + + в первое и

второе уравнения системы (2), получим, что

( ) ( )1 2 2sin cosx x xqV c pt c ptp

′ = α + + + β

и

( ) ( )1 2 2sin cosy y yqV c pt c ptp

′ = α + + + β

.

Проинтегрировав эти уравнения, получим, что

( ) ( )1 232cos sinx x

x x xc c qV pt pt t c

p p p α α

= − + + α + β +

и

( ) ( )1 242cos siny y

y y yc c qV pt pt t c

p p p

α α = − + + α + β +

.

Учитывая третье уравнение системы, получим, что

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2

1 232

142

2

32

cos sin

cos sin

cos

sin

x xz z x z y z

y yx x z

y y x z y z

x z y z

x z y z z x y z z

c cV V V pt pt

p p

c cq t c pt ptp pp

cq t c ptpp

cpt

p

q t cp

α α′ = α + β = α − + +

α α + α + β + + β − + =

+ α + β + = − α α + α β ⋅ +

+ α α + α β ⋅ +

+ α α + α β + α β + β β + α +

4.zcβ

Так как ( )2x z y zp = − α α + α β и z x y zq = α β + β β , получим

( ) ( )

( ) ( )

2 2 21 22

3 4 1 2 3 4

cos sin

cos sin .

z

z z z z

c c qV p pt p pt p q tp p p

c c c p pt c p pt c c

′ = ⋅ − ⋅ + − ⋅ + +

+α + β = − + α + β

С другой стороны ( ) ( )1 2cos sinzV c p pt c p pt′ = − ,

так как ( ) ( )1 2 2sin coszqV c pt c ptp

= + + .

Тогда выполняется условие 3 4 0z zc cα +β = . Откуда

4 3z

zc cα

= −β

, учитывая, что 0zβ ≠ .

Следовательно,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 232

1 232

1 2 2

cos sin

cos sin

sin cos

x xx x x

y y zy y y

z

z

c c qV pt pt t cp p pc c qV pt pt t c

p p pqV c pt c ptp

α α= − + + α + β +

α α α = − + + α +β − β = + +

− общее решение системы линейных дифференциальных уравне-ний (2).

Учитывая начальные условия ( ) 00x xV v= , ( ) 00y yV v= ,

( ) 00z zV v= , получим

013(0) x

x xcV c v

pα

= − + = ; 1 03(0) y z

y yz

cV c v

pα α

= − − =β

;

02 2(0)z z

qV c vp

= + = .

Откуда 02 2z

qc vp

= − . Тогда

013

1 03

xx

y zy

z

cc v

pc

c vp

α− + = α α− − = β

.



Откуда 0 0

1z x z yv v

cp

α + β= ,

0 0

1z x z yv v

cp

α + β= ,

0 0

3 2y x x y

zv v

cp

α − α= −β ⋅ .

Следовательно,

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

0 00

2 2

0 0

2 2

0 00

2 2

0 0

2 2

0 00

2

cos sin

,

cos sin

,

sin

x z x z y xx z

z y x x yx x

y z x z y yy z

z y x x yy y

z x z yz z

v v qV pt v ptpp p

v vq tp p

v v qV pt v ptpp p

v vq tp p

v v qV pt vp p

α α + β α= − + ⋅ − +

β α − α + α + β −

α α + β α = − + ⋅ − +

α α − α α + β +

α + β = + −

( ) 2cos qpt

p

+

− решение системы линейных дифференциальных уравнений (2) с начальными условиями ( ) 00x xV v= , ( ) 00y yV v= ,

( ) 00z zV v= , где ( )x z y zp = − α α + α β и

z x y zq = α β + β β .

В частном случае, если ( )0 0xV = , ( )0 0yV = ,

( )0 0zV = , получаем решение

( )

( )

( )

3 2

3 2

2 2

sin

sin

cos

xx x x

yy y y

z

q qV pt tp p

q qV pt tp pq qV ptp p

α= − + α + β

α = − + α + β

= − +

.

Интегрируя уравнения системы, получим

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

24 2

24 2

3 2

cos2

cos2

sin

z x y y xxx x

z x y y xyy y

z z

qx t V t dt pt t C

p p

qy t V t dt pt t C

p pq qz t V t dt pt t Cp p

β α β − α βα = = + +

α α β − α βα= = − +

= = − + +

∫

∫

∫

.

Учитывая начальные условия ( )0 0x = , ( )0 0y = ,

( )0 0z = , получим

4y

y

qc

pα

= − , 4x

x

qc

pα

= − , 0zc = .

Таким образом, окончательно перемещения материальной точки запишутся следующим образом:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

24 2 4

24 2 4

3 2

cos2

cos2

sin

z x y y xx x

z x y y xy y

q qx t pt t

p p p

q qy t pt t

p p pq qz t pt tp p

β α β − α βα α = + −

α α β − α βα α= − −

= − +

Рис. 2. Траектория падения материальной точки

Как видно из рисунка 2, при сбрасывании тела (имеющего массу

во много раз меньше земной) с 500 метровой высоты (с нулевой начальной относительной скоростью) материальная точка будет отклоняться от прямолинейной «отвесной» траектории на юг (к эква-тору) на 1,5 м и на восток (по широте) на 12 см, за счет центробеж-ной силы инерции (стремящейся отклонить точку к экватору) и силы инерции Кориолиса.

Данное решение может быть адаптировано и для любых других начальных условий. Например, если точно установлено, что на под-летной траектории проникновение тела в атмосферу Земли произой-дет под заданным углом атаки при известной начальной скорости.

Заключение. Область применения данного решения может

быть распространена на решение прикладных задач, связанных с расчетом точной скорости, траектории и места падения сводимых с орбиты космических объектов, отработавших свой срок (спутники различного назначения, мусор, оставшийся от пилотируемых стан-ций, ступени разгонных блоков ракет), представляющих в настоящий момент серьезную проблему для орбитальной навигации, не только существующих автоматических спутников, международной космиче-ской станции, но и других планируемых и осуществляемых миссий.


1. Мещерский, И.В. Задачи по теоретической механике: учебное пособие. 49-е изд., стер. / Под ред. В.А. Пальмова, Д.Р. Меркина. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 448.: ил.

2. Теоретическая механика. Динамика. Практикум: учеб. пособие: в 2 ч. / В.А. Акимов [и др.]; под общ. ред. проф. А.В. Чигарева и доц. Н.И. Горбача. – Минск: Новое знание. – М.: ЦУПЛ. – Ч. 1. Динамика материальной точки. – 2010. – 528 с.: ил.




ZHELTKOVICH A.E., MAKHNIST L.P ., GORBACHEVSKI V.M., LAVRINYUK E.Yu. Modeling of the fall of a material point in the gravitational field of the Earth

This work provides the obtained equations of the motion of a material point in the gravitational field of the Earth depending on the influence on the relative motion of a point of the angular rotation of the Earth.

Exact solutions describing the change of the path and the speed of a particle were obtained based on the solution of the systems of three interde-pendent linear nonhomogeneous second- and third-order differential equations.

The field of use of the given solution can be extended to solving applied problems related to the calculation of the accurate speed, path and place of fall of the deorbited extraterrestrial objects which have completed their service life. УДК 004.5;621.38

Бутов А.А.

УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ БУЛЕВОЙ ФОРМУЛЫ МНОГОУГОЛЬНИКА В ДИЗЪЮНКТИВНОЙ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Введение. Для описания геометрических объектов (например, в

системах автоматизированного проектирования топологии инте-гральных схем [1, 2]) обычно используются методы аналитической геометрии, векторной алгебры, теории матриц [1–5].

Альтернативные способы описания, появившиеся в последнее время, основаны на использовании булевых формул в скобочной [6] и в дизъюнктивной нормальной [7–9] формах. В частности, метод, предлагаемый в работе [9], хотя и удобен с точки зрения практиче-ской реализации, однако имеет недостаток, связанный с существо-ванием класса задач, для которых решение находится лишь при-ближенно. Усовершенствованный метод, описываемый в данной работе, всегда позволяет находить точное решение. Это означает, что для любой задачи элементы решения, интерпретируемые как выпуклые компоненты, будут покрывать в совокупности всю область плоскости, занимаемую многоугольником.

1 Основные определения, постановка задачи Многоугольник на плоскости задается своей границей – замкну-

той не пересекающейся ломаной линией, состоящей из отрезков прямых или сторон многоугольника. Эту границу можно определить последовательностью угловых точек или вершин многоугольника p1, p2, …, pn, получаемых при последовательном обходе его вдоль границы (рис. 1, где n = 11).

Так как каждая пара соседних угловых точек ограничивает соот-ветствующую сторону многоугольника, то его границу можно задать также последовательностью сторон многоугольника: s1, s2, …, sn, где s1 = (p1, p2), s2 = (p2, p3), …, sn = (pn, p1).

Рис. 1. Вершины и стороны многоугольника

Вершина p1, которая служит начальной угловой точкой для по-следовательного обозначения отрезков, образующих границу много-угольника, называется начальной. В качестве начальной будем вы-бирать вершину, наиболее удаленную от начала координат.

Каждой стороне si многоугольника поставим в соответствие ориентированную прямую vi, содержащую точки pi и pi+1. Будем считать, что она ориентирована от pi к pi+1.

Рассмотрим некоторую произвольную точку плоскости p, задан-ную парой декартовых координат (x, y). Будем считать, что точка p расположена слева от прямой vi, если она принадлежит полуплос-кости, расположенной слева от ориентированной прямой vi, или лежит на прямой vi. Все возможные варианты левостороннего рас-положения точки p относительно ориентированной прямой vi пред-ставлены на рисунке 2 (последние два варианта соответствуют слу-чаю, когда прямая vi параллельна координатной оси X).

Как и в работе [6], будем обозначать отрезки ломаной буквами a, b, c, …, границу многоугольника как abc…, а полуплоскости, расположенные слева от соответствующих ориентированных пря-мых, – буквами A, B, C, … (считая, что каждая из этих полуплоско-стей включает в себя еще и все точки порождающей ее ориентиро-ванной прямой). Введем также предикаты a, b, c, … для описания положения некоторой точки p на плоскости, полагая, что a(p) = 1, если и только если p ∈ A.

Основываясь на таких предикатных переменных, в работе [6] опи-сан метод построения скобочной булевой формулы F, представляю-щей многоугольник и обладающей следующим свойством: если выпол-нить подстановку предикатных координат произвольной точки плоско-сти, то формула F примет значение 1 в случае, когда точка принадле-жит данному многоугольнику, и значение 0 – в противном случае.

Аналогичная задача решается и в работах [7–9], однако булева формула F там строится в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ).

Целью настоящей работы является доработка метода нахожде-ния булевой формулы многоугольника в ДНФ, изложенного в работе [9]. Усовершенствованный метод позволяет устранить недостаток, связанный с невозможностью всегда находить точное решение рас-сматриваемой задачи.

2. Выпуклые и вогнутые углы многоугольника. Рассмотрим

пару соседних сторон, задающую некоторый угол многоугольника.

Рис. 2. Варианты левостороннего расположения точки относительно ориентированной прямой

Бутов А.А., к.т.н., доцент кафедры экономической кибернетики Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники. Беларусь, БГУИР, 220013, г. Минск, ул. П. Бровки, 6.



Если этот угол меньше 180 градусов, будем называть его выпуклым, иначе – вогнутым. Например, на рисунке 1 угол, образованный сто-ронами s1 и s2, будет вогнутым, а сторонами s5 и s6, – выпуклым.

Пара ориентированных прямых, соответствующая соседним сто-ронам a и b многоугольника, ограничивает участок плоскости, который можно представить формулой A∩B, если стороны образуют выпук-лый угол, и формулой A∪B – если они образуют вогнутый угол.

Если все углы многоугольника будут выпуклыми, то такой много-угольник называется выпуклым. Например, выпуклый многоугольник с границей abcde будет занимать участок плоскости: A∩B∩C∩D∩E, а его булева формула будет иметь вид: F = abcde.

Каждой стороне многоугольника припишем ранг, равный числу тех смежных с ней углов, которые являются вогнутыми.

3. Базовый метод нахождения элементов покрытия много-угольника. Будем говорить, что многоугольник M* является эле-ментом покрытия многоугольника M, если все точки плоскости, которые принадлежат многоугольнику M*, принадлежат также и многоугольнику M.

Кроме того, будем говорить, что многоугольник M поглощает любой свой элемент покрытия M*.

В работах [6, 7] показано, что булеву формулу любого много-угольника можно представить в ДНФ, которая соответствует покры-тию многоугольника его выпуклыми компонентами.

Приемлемый на практике способ нахождения элементов покры-тия многоугольника M, основанный на последовательном анализе его сторон, описан в работе [9]. Будем называть этот способ базо-вым. Его суть заключается в том, что каждая из сторон используется для обхода границы многоугольника M в прямом направлении с учетом следующих правил. Если при обходе встречается выпуклый угол, то выполняется переход по этому углу на очередную сторону многоугольника. Если же встречается вогнутый угол, то текущая сторона продлевается дальше до первого пересечения с другой стороной многоугольника, после чего выполняется переход на эту сторону и движение по ней в прямом направлении. Такой процесс обхода продолжается до тех пор, пока мы не окажемся на стороне (или на линии, являющейся продолжением стороны) многоугольни-ка, которая уже была пройдена раньше. В результате граница обхо-да будет представлять собой контур или будет включать в себя кон-тур. Так как направление движения изменялось только выпуклыми углами, то фигура, ограниченная найденным контуром, будет пред-ставлять собой выпуклый многоугольник и являться элементом по-крытия многоугольника M. Такой обход границы при поиске элемен-тов покрытия нужно вести не только в прямом, но и в обратном на-правлении аналогичным образом. После этого из полученного мно-жества элементов покрытия многоугольника M удаляются все те элементы, которые поглощаются какими-либо другими элементами того же множества.

4. Усовершенствованный метод нахождения булевой фор-

мулы многоугольника. Как уже было сказано, базовый метод на-хождения элементов покрытия не всегда приводит к получению точ-ного решения для рассматриваемой задачи. Применив его, напри-мер, к многоугольнику, показанному на рисунке 1, мы получим точ-ное решение. Однако, чуть видоизменив этот многоугольник путем увеличения длины стороны s2 (рис. 3), мы получим уже приближен-ное решение (непокрытый выпуклыми компонентами остаток пока-зан на рисунке 3 серым цветом).

Рис. 3. Многоугольник с непокрытым остатком

Эмпирически было установлено, что базовый метод нахождения

элементов покрытия многоугольника всегда позволяет получить точ-ное решение, если граница многоугольника не содержит сторон с ран-гом 2 (т.е. сторон, у которых оба смежных угла являются вогнутыми).

Этот факт позволяет усовершенствовать базовый метод нахож-дения элементов покрытия так, что для любого многоугольника бу-дет найдено точное решение. Усовершенствованный метод включа-ет в себя следующие действия.

1. К многоугольнику M применяется базовый метод нахождения элементов покрытия, т.е. последовательно перебираются все стороны s1, s2, …, sn многоугольника, в результате чего находятся все порож-даемые ими элементы покрытия, которые после удаления поглощае-мых элементов образуют множество C. При этом можно сократить перебор, если учесть тот факт, что стороны с нулевым рангом не дают никаких новых элементов покрытия в сравнении с элементами покры-тия, которые порождаются сторонами с рангом 1 и рангом 2.

Если многоугольник M не содержит сторон с рангом 2, то вы-полняется переход к пункту 6.

2. Многоугольник M заменяется двумя смежными (имеющими общий отрезок внутри своих границ) компонентами M1 и M2, полу-чаемыми путем разбиения M на две части. Для этого сторону с ран-гом 2 достаточно продлить в прямом или обратном направлении до первого пересечения с другой стороной многоугольника.

Если сторон с рангом 2 несколько, например m, то из 2×m вари-антов продления выбирается тот вариант, который позволяет преоб-разовать большее число сторон с рангом 2 в стороны с рангом 1.

Каждый из вновь полученных многоугольников M1 и M2 подвер-гается анализу на наличие в нем сторон с рангом 2. Если такой мно-гоугольник имеется, то он заменяется парой смежных компонент тем же способом, что описан в этом пункте выше. Такой процесс анализа и преобразования порождаемых компонент-многоугольников про-должается до тех пор, пока каждый из них не будет содержать толь-ко стороны с рангом 0 и 1. В итоге будут найдены многоугольники, которые обозначим: Mi, Mj, …, Mk.

3. К каждому многоугольнику Mi, Mj, …, Mk последовательно применяется базовый метод нахождения элементов покрытия. В результате будут найдены множества Ci, Cj, …, Ck, содержащие элементы покрытия многоугольников Mi, Mj, …, Mk соответственно.

4. Последовательно перебираются элементы, входящие в мно-жества Ci, Cj, …, Ck, и для каждого из них проверяется, поглощает-ся ли этот элемент каким-либо элементом множества C. Если по-глощение отсутствует, то такой элемент добавляется во вспомога-тельное множество C*, первоначально пустое.

5. Если C* ≠ ∅, то элементы множества C* добавляются в множество C.

6. Все элементы множества C заменяются представляющими их конъюнкциями соответствующих предикатных переменных. Тогда дизъюнкция этих конъюнкций и будет представлять собой искомую булеву формулу многоугольника в ДНФ.



Изложенный метод проиллюстрируем на примере многоугольника M, изображенного на рисунке 3. Упростим этот рисунок, убрав метки вершин многоугольника и дав новые обозначения его сторонам (рис. 4).

Применив к многоугольнику M базовый метод, находим множе-ство C = {с1, с2, …, с5} его элементов покрытия с границами a+g-hi+k-, b±e-f+k-, c+def-, j+ka+, b+k-j+e- соответственно. Здесь, как и в работе [9], индексами «+» и «-» помечены соответственно удлиненные и укороченные стороны; индексом «±» помечены сторо-ны, которые продлены с одной и укорочены с другой стороны; ин-дексом «~» помечен отрезок прямой, лежащий на линии, являющей-ся продолжением стороны.

Рис. 4. Упрощенный вид многоугольника M

Т.к. многоугольник M содержит всего одну сторону с рангом 2, то

имеется только два варианта его замены смежными компонентами M1 и M2. Эти варианты равноценны, т.к. оба позволяют получить компо-ненты M1 и M2, не содержащие сторон с рангом 2 (рис. 5).

Рассмотрим, например, вариант 2. К многоугольникам M1 и M2 последовательно применим базовый метод построения булевой формулы и найдем множества C1 и C2, содержащие элементы покрытия многоугольников M1 и M2 соответственно.

Последовательно перебираем элементы, входящие в множества C1 и C2, и для каждого из них проверяем, поглощается ли этот эле-мент каким-либо элементом множества C. В результате оказывает-ся, что только один элемент покрытия, имеющий границу g+hi+b±, не поглощается ни одним элементом множества C и, поэтому, будет помещен во вспомогательное множество C*, а затем – и в множест-во C. В итоге искомая булева формула многоугольника M в ДНФ будет иметь следующий вид:

aghik befk cdef jka bF kje ghib∨ ∨ ∨ ∨ ∨= . Заключение. Данная работа представляет собой доработку ме-

тода нахождения булевой формулы многоугольника в ДНФ, изло-женного в работе [9]. Усовершенствованный метод устраняет недос-таток, связанный с существованием класса задач, для которых ре-шение находится лишь приближенно.

Предлагаемый метод всегда позволяет находить точное реше-ние. Это означает, что для любой задачи элементы решения, интер-претируемые как выпуклые компоненты, будут покрывать в совокуп-ности всю область плоскости, занимаемую многоугольником.

Необходимо отметить, что направление исследований, связан-ное с представлением многоугольников булевыми формулами, от-крывает новые возможности для решения широкого круга оптимиза-ционных задач, например в области топологического проектирова-ния интегральных схем, путем использования развитого аппарата булевой алгебры.


1. Шестаков, Е.А. Автоматизированная система подготовки инфор-мации для формирования фотошаблонов / Е.А. Шестаков, А.А. Бутов, Т.Л. Орлова, А.А. Воронов // Искусственный интел-лект. – Донецк. – 2008. – № 4. – С. 200–207.

2. Фейнберг, В.З. Геометрические задачи машинной графики больших интегральных схем. – М.: Радио и связь, 1987. – 178 с.

3. Ласло, М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на C++ / Пер. с англ. – М.: БИНОМ, 1997. – 304 с.

4. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия: введение / Ф. Препа-рата, М. Шеймос // Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 478 с.

5. Никулин, Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики – СПб.: БКХ-Петербург, 2005. – 576 с.

6. Закревский, А.Д. Канонические булевы формулы многоугольни-ков // Информатика. – 2009. – № 2. – С. 93–101.

7. Поттосин, Ю.В. Использование булевых функций для представле-ния многоугольников / Ю.В. Поттосин, Е.А. Шестаков // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычисли-тельная техника и информатика. – 2008. – № 2(3). – С. 106–115.

8. Бутов, А.А. Простой метод нахождения булевой формулы много-угольника в дизъюнктивной нормальной форме // Вестник Брест-ского государственного технического университета. – 2011. – № 5: Физика, математика, информатика – С. 35–38.

9. Бутов, А.А. Метод нахождения булевой формулы многоугольни-ка в дизъюнктивной нормальной форме без использования до-полнительных предикатных переменных // Вестник Брестского государственного технического университета. – 2012 – № 5: Фи-зика, математика, информатика. – С. 48–51.

Рис. 5. Два варианта замены многоугольника M компонентами M1 и M2

Материал поступил в редакцию 28.06.13 BUTOV A.A. An improved method of finding a polygon Boolean formula in disjunctive normal form

The work focused on finalizing the method of finding a polygon Boolean formulas in disjunctive normal form, as set out in the preceding paper. An improved method eliminates the drawback associated with the existence of a class of problems for which the solution is only approximate.

The proposed method always allows to find an exact solution. This means that for every problem solving elements that are interpreted as convex components are combined to cover the entire region of the plane occupied by the polygon.

The method can be used, in particular, in the systems computer-aided design of integrated circuits topology.



УДК 004.94 - 621.317.373

Ярошевич А.В.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВОГО ДЕТЕКТОРА ДЛЯ РЕГУЛЯТОРА РЕАКТИВНОЙ МОЩНОСТИ

Проблема. Потери в сетях электроснабжения анализируются

давно, обстоятельно и системно. В полной мере это относится и к потерям из-за реактивных нагрузок [1]. Однако ситуация в бытовом потреблении электроэнерии анализируется в самом общем виде. Требования к компенсаторам реактивной мощности (КРМ) для бытовых нагрузок не сформулированы. Учитывая значительную долю бытового потребления электроэнергии, составляющую 20% от общего [2], задача разработки КРМ маломощных нагрузок является актуальной. Способ решения этой задачи и некоторые требования к устройствам предложены в [3] путём применения аналоговой схемы вычислителя для КРМ.

Устройства ступенчатого регулирования реактивной мощности построены с применением микропроцессорного контроллера [4] и являются сложными и дорогими для массового использования в квартирных и других электрических сетях до 0,4 кВ с нагрузками до 50 кВт.

Задача. Исходя из таких предпосылок, можно сформулировать основные требования к вычислителю КРМ для бытовых нагрузок. Для обеспечения экономической целесообразности применения решающим параметром должна быть стоимость устройства. Стои-мость определяется построением электрических схем из простых и надёжных элементов, количество которых в схеме невелико. Такой подход позволит обеспечить и другое важнейшее требование – не-большие габариты, позволяющие встраивать КРМ в квартирные щиты энергоснабжения.

Принцип работы. Первым этапом вычисления ёмкости компен-сирующих конденсаторов является определение разности фаз на-пряжения и тока потребляемой электроэнергии.

Задача измерения разности фаз может быть решена многими способами: методом компенсации фазы, методом преобразования интервала времени в напряжение, цифровым методом подсчета количества импульсов, методом измерения фазы с преобразовани-ем частоты, квадратурным методом измерения фазового сдвига,

синхронным детектированием, методом преобразования Фурье с последующим извлечением фазовой составляющей , использовани-ем связи между амплитудо-частотной и фазо-частотной характери-стиками для минимально – фазовых цепей.

Обоснование метода. Наиболее простые схемы реализуют ме-тод, основанный на преобразовании интервала времени в напряже-ние [5]. Принцип работы такого фазометра иллюстрируется рис. 1.

В таком фазометре оба входных сигнала V1 и V2 с помощью компараторов преобразуются в прямоугольные колебания, обозна-ченные на рис.1 как V1

/ и V2/. Временной интервал Δt между двумя

положительными фронтами этих сигналов измеряется с помощью фазового детектора, в котором формируются импульсы с известной амплитудой Vр и той же длительностью Δt.

На выходе фильтра нижних частот фазового детектора получим среднее значение этих импульсов Vavg. Если Т – период входных

сигналов, то напряжение на выходе фильтра Vavg = Vр t

T∆

. Тогда

фазовый угол 2 tT∆

∆ϕ = π составляет 2 avg

p

VV

∆ϕ = π .

Источники погрешности. Погрешности, присущие этому мето-ду, обусловлены следующими характеристиками схем, реализующих фазометр. Частотный диапазон метода со стороны низких частот ограничен фильтром низких частот. Ограничение со стороны высо-ких частот определяется быстродействием логических микросхем. Точность измерения зависит от точности задания напряжения Vр, разности задержек во входных блоках фазового детектора и по-грешности, с которой компараторы реагируют на пересечение вход-ными сигналами нуля. Эта погрешность является результатом раз-личия напряжений смещения у компараторов. Момент срабатывания компаратора зависит от скорости изменения входного сигнала.

Рис. 1. Блок–схема фазометра с преобразованием временного интервала в напряжени

Ярошевич А.В., доцент кафедры автоматизации технологических процессов и производств Брестского государственноготехнического университета. Беларусь, БрГТУ, 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.



Рис. 2. Фазовый детектор на ограничителях

Рис. 3. Модель фазового детектора на ограничителях

В рассмотренном методе фактически измеряется время между

моментами пересечения входными сигналами нуля. Форма входного сигнала не будет оказывать существенного влияния на результат измерения.

Схемы практической реализации. Предложено несколько схем реализации фазового детектора с компараторами входных сигналов [5, 6]. Рассмотрим детекторы с наиболее простой схемной реализа-цией. Самой простой схемой представлен детектор на ограничите-лях [7], приведённый на рис. 2.

Характеристику выходного напряжения этой схемы получим с помощью модели, построенной с пакетом Electronics Workbench (EWB). Специфика пакета требует замены элементов схемы их за-рубежными аналогами. Модель детектора представлена на рис. 3.

Моделирование производилось при различных значениях вход-ного напряжения в диапазоне Δφ от 0 до 100 угловых градусов. Результаты моделирования представлены в таблице 1 (uвых3) и на графике в рис. 8 (ряд 3).

Анализ результатов позволяет отметить два основных недостат-ка этой схемы. Первый – чувствительность невысокая, составляет около 5м В/град.

Второй – на углах до 30 градусов схема фактически не реагирует на разность фаз, это конструктивный недостаток схемы, не позво-ляющий применять её в вычислителе КРМ.

Небольшим по количеству элементов является фазометр [8] на компараторах с транзисторными ключами, представленный на рис. 4.

Функции компараторов выполняют операционные усилители К140УД1, ключи – согласователи уровней VT1, VT2 на транзисторах КТ315Б доводят амплитуды прямоугольных импульсов до уровня ТТЛ. В качестве микросхемы DD1 с функцией 4 – 2И-НЕ использует-ся К155ЛА3, в качестве диодов VD1 – VD4 используются КД521А.

Модель фазового детектора с заменой элементов зарубежными аналогами представлена на рис. 5.

Результаты моделирования представлены в таблице 1 (uвых2) и на графике в рис. 8 (ряд 2). По сравнению с предыдущей схемой чувствительность прибора значительно выше и составляет около 25м В/град. График представляет прямо пропорциональную практи-чески линейную зависимость.

Несколько меньшее число элементов требуется для реализации схемы фазометра [8] на компараторах с D – триггером (рис. 6).

Функции компараторов выполняют операционные усилители К544СА3.



Рис. 4. Фазометр на компараторах с транзисторными ключами

Рис. 5. Модель фазового детектора с транзисторными ключами

В качестве микросхемы DD2 с функцией 3 – 3И-НЕ используется

К155ЛА4, D – триггер DD1 представлен микросхемой К155ТМ2, в качестве диодов VD1 – VD4 используются КД202Д.

Модель фазового детектора с заменой элементов зарубежными аналогами представлена на рис. 7.

Результаты моделирования представлены в таблице 1(uвых1) и на графике в рис. 8 (ряд 1). По сравнению с предыдущей схемой чувствительность прибора ниже и составляет около 15м В/град. График представляет обратно пропорциональную практически ли-нейную зависимость.



Рис. 6. Фазометр на компараторах с D – триггером

Рис. 7. Модель фазометра на компараторах с D – триггером

Таблица 1. Результаты моделирования фазовых детекторов Δφ, град

uвых1, В

uвых2, В

uвых3, В

0 0 0 -1,89 1 -0,012 0,02 -1,9 2 -0,02 0,04 -1,9 5 -0,06 0,14 -1,92 8 -0,1 0,22 -1,94 10 -0,12 0,25 -1,95 20 -0,2 0,52 -1,98 40 -0,52 1,1 -1,94 60 -0,83 1,6 -1,71 80 -1,1 2,25 -1,55 90 -1,25 2,5 -1,45

100 -1,4 2,63 -1,33

Рис. 8. Графики зависимости напряжения на выходе от разности

фаз входных сигналов по результатам моделирования фа-зовых детекторов



Заключение. Анализ результатов моделирования позволяет выделить схему фазометра на компараторах с транзисторными клю-чами. Эта схема имеет максимальную чувствительность и линейную прямо пропорциональную зависимость выходного напряжения от разности фаз входных сигналов. Такой сигнал на выходе схемы может использоваться для управления ключами коммутации конден-саторных батарей с минимальной корректировкой.


1. Железко, Ю.С. Компенсация реактивной мощности в сложных электрических системах. – М.: Энергоиздат, 1981. – 200 с.

2. Сульжиц, А. Тарифные системы на электрическую энергию для населения / А. Сульжиц, А. Сульжиц // Энергетика и ТЭК. – № 12(69). – 2008. – Режим доступа: http://www.energetika.by/arch.

3. Ярошевич, А.В. Схема компенсации реактивной мощности в квартирных электрических сетях // Вестник Брестского государ-ственного технического университета – № 5(71): Физика, мате-матика, информатика. – Брест: БрГТУ, 2011. – С. 66–67.

4. Режим доступа: www.ensytech.com. 5. Клаассен, К.Б. Основы измерений. Электронные методы и при-

боры в измерительной технике. – Москва: Постмаркет, 2000. – 352 с.

6. Бутев, В. Электронный фазометр // Радио – 1990. – № 5. – С. 56. 7. Горошков, Б.И. Радиоэлектронные устройства: справочник. – М.:

Радио и связь, 1984. – 400 с. 8. Гончаренко, А. Фазометр на микросхемах // Радио. – 1984. –

№ 12 – С. 29.

Материал поступил в редакцию 28.06.13 YARASHEVICH A.V. Modeling of phase detector for reactive power regulator

The task of developing a compensator of reactive power for residential consumers of electricity is solved by application of the analog circuit of the transmitter. The first stage of calculation capacity balancing capacitors is to determine the phase difference of voltage and current consumption. Circuit implementation phase detector most simple method based on transforming an interval of time in voltage. Consider three schemes of detectors: - phase detector on limiters; - phase meter on comparators with transistor keys; - phase meter on comparators with D – trigger.

Circuit simulation with service Electronics Workbench was made at various values of input voltage in the range Δφ from 0 to 100 angular degrees. Analysis of results of modeling allowed us to highlight the scheme of phase meter on comparators with transistor keys. This scheme has a maximum sensitivity and linear directly proportionate the dependence of the output voltage from the phase difference of the input signals. УДК 004.853

Дёмин В.В., Кабыш А.С., Головко В.А., Stetter R.

АЛГОРИТМЫ ПОДКРЕПЛЯЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ ДЛЯ ЭНЕРГОЭФФЕКТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ МНОГОКОЛЕСНЫМИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ РОБОТАМИ

Введение. Эффективное управление мобильным роботом на

производстве позволяет экономить множество ресурсов: время ав-тономной работы, возможность перевозки более тяжелых грузов на более длинные расстояния, маневренность при перевозке габарит-ных грузов в ограниченном пространстве, прокладывание оптималь-ной траектории. Важными задачами являются оптимизация энер-гопотребления и оптимальное планирование траектории. Задача энергосбережения в общем случае должна обеспечиваться подсис-темами управления. Например, проблема энергопотребления мото-ров решается при их проектировании [1]. Подсистема управления не сможет влиять на КПД моторов, но должна обладать стратегией эффективного управления (оптимальная скорость мотора, опти-мальный разгон, плавная функция торможения).

Оптимальное планирование траектории, как правило, реализу-ется на уровне подсистемы планирования [2]. Такая подсистема строит траекторию до цели и разбивает ее на части, которые могут быть представлены в виде кривых определенного радиуса и прямо-линейных промежутков. Система управления роботом позволяет передвигаться (по возможности без остановок) по этой траектории, затрачивая как можно меньше энергии батарей.

Ключевым вкладом этой статьи является предложенная модель координации колесных модулей на основе виртуального лидера и обучения с подкреплением для эффективного управления многоко-лесным роботом. По сравнению с аналогичными подходами кругово-го движения [3], предложенный позволяет повысить эффективность потребления энергии роботом. Представленная модель решает проблему кругового движения платформы относительно центра разворота, даже если он динамически меняет свое положение. Под-ход требует лишь информации о положении агентов относительно центра платформы.

Многоколесная производственная платформа. Задача пере-

возки тяжелых грузов до сих пор остается актуальной на современ-ных производствах. Для перевозки больших грузов все чаще приме-

няются автономные мобильные грузовые платформы. Одна из таких платформ – производственный грузовой робот, разработанный в лаборатории университета Равенсбург-Вайнгартена [4]. Фотография робота представлена на рис. 1а. Основные характеристики плат-формы: размер платформы 1200 см на 800 см, максимальная грузо-подъемность 500 кг при комплектации 4-мя модулями, ёмкость акку-муляторов 52Аh, минимальная скорость 1 м/с, независимое управ-ление каждым модулем.

а)

б) Рис. 1. а) производственная грузовая мобильная платформа;

б) инновационный модуль Платформа построена на базе инновационных модулей [4]. Та-

кой модуль (рис. 1б) состоит из двух колес, приводимых в движение двумя независимыми моторами, и имеет дифференциальную схему управления. К платформе такие модули подсоединены подшипником (рис. 2), что позволяет им поворачиваться относительно платформы на любой угол.

http://www.energetika.by/arch

http://www.ensytech.com



Рис. 2. Маневренность моторного модуля Представленная платформа использует четыре модуля, но так

же возможно собрать платформу и с большим количеством модулей. Проблема управления многоколесным роботом. Классиче-

ским подходом для управления колесными платформами является решение обратной кинематической задачи. Такой подход хорошо работает для распространённых схем управления роботом: диффе-ренциальная схема, автомобильная схема, велосипедная схема. Но в представленной производственной платформе все четыре модуля управляются независимо, что требует обобщения всех схем управ-ления. В реальности же схема управления рассчитана только для симметричного управления [4]. Другой проблемой является необхо-димость повторных расчетов при изменении положения или количе-ства модулей платформы.

Исходя из вышеизложенного, отметим недостатки существую-щей системы управления: • ограниченное управление, и как следствие, уменьшение манев-

ренности платформы; • необходимость перерасчета схемы управления при реконфигу-

рации модулей платформы. Для решения задачи планирования подсистема управления

должна быть способна повторить траектории, сгенерированные в рамках этой задачи. Для построения траектории платформы плани-ровщик разбивает кратчайший путь на отрезки кривых с разным радиусом и прямых. На рисунке 3 изображен пример разбиения тра-ектории на 4 отрезка: 1. Радиус разворота R1, центр разворота (x1, y1). 2. Прямолинейный отрезок. 3. Радиус разворота R2, центр разворота (x2, y2). 4. Прямолинейный отрезок.

Рис. 3. Пример разбиения траектории на отрезки В рамках данной задачи будем называть центр разворота робо-

та маяком, представляющим точку в пространстве с двумерными координатами. Движение робота заключается в движении вокруг заданного маяка. Прямолинейный отрезок можно представить в виде маяка с радиусом ∞.

Декомпозиция робота на колесные модули-агенты. Исполь-зуя утверждение о том, что каждый модуль платформы управляется независимо, произведем декомпозицию платформы на модули-агенты, где каждый модуль платформы будет представлен агентом управления. Агенты располагаются в двумерной среде с привязкой к маяку, как показано на рис. 4. Местоположение маяка определяется координатами (xb, yb). Радиус разворота ρ – это расстояние от цен-тра модуля до маяка. Ошибка угла поворота вычисляется как раз-ность между направлением робота и желаемым направлением.

В модели окружающая среда предоставляет всю необходимую информацию об агенте и соответствующего ему центре разворота. В реальной платформе подсистема навигации для определения ори-ентации модуля использует данные с одометров и датчика угла по-ворота модуля.

Рис. 4. Состояние агента по отношению к маяку

Состояние модуля-агента представлено в табл. 1.

Таблица 1. Состояние модуля-агента № Состояние Значение 1 Положение робота по X, x Координата, м 2 Положение робота по Y , y Координата, м 3 Центр маяка по X, xb Координата, м 4 Центр маяка по Y , yb Координата, м 5 Ориентация робота, ϕrobot Радианы, -π < ϕrobot ≤ π 6 Расположение маяка, ϕcenter Радианы, -π < ϕcenter ≤ π 7 Радиус разворота, ρ Вещественное число, м

Множества действий агента-модуля A={Aω, Av} связаны с

управлением угловой Aω = {ω+, ω-, ∅ } и линейной скоростью Av = {v+, v-, ∅ }. Значения действий приведены в табл. 2.

Таблица 2. Действия модуля-агента

№ Действия робота Value 1 Увеличить линейную скорость, v+ +0,1 м/с 2 Уменьшить линейную скорость, v- -0,1 м/с 3 Увеличить скорость поворота, ω+ +0,1 рад/с 4 Уменьшить скорость поворота, ω- -0,1 рад/с 5 Ничего не делать, ∅ +0 м/с, +0 рад/с Многоагентная система колесных модулей-агентов. Т.к. мо-

дули идентичны между собой и способ крепления к платформе оди-наков, то после декомпозиции можно считать таких агентов голо-номными. Голономные агенты это агенты, у которых действия и состояния совпадают. Агенты с таким свойством обладают двумя важными особенностями: 1. Знания одного агента можно полностью передать второму аген-

ту, при этом второй агент становится точной копией первого. 2. Множество голономных агентов можно обучать взаимодействию

одновременно, используя общую базу знаний. Для получения эффекта от второго свойства будем использо-

вать архитектуру многоагентной системы с использованием вирту-



ального лидера [5]. Это позволит накапливать базу знаний только у одного агента.

Основная идея – определить виртуального лидера, который рас-положен в центре формации относительно всей группы, и, соответст-венно, его виртуальные координаты. Состояние каждого агента бу-дет определяться относительно виртуального лидера или виртуально-го центра координат. После того, как определена динамика виртуаль-ного лидера, агенты начинают свое движение. Таким образом, задача планирования пути и построения траекторий может быть реализована только для виртуального агента. Тогда как для модулей-агентов будет решаться задача удержания формации во время движения. Будем называть N колесных модулей-агентов с виртуальным лидером, кото-рые образуют многоагентную систему, платформой.

На рис. 5 изображен пример такой структуры, состоящей из че-тырех модулей, где (xb, yb) – это координаты маяка, C представляет собой координаты виртуального лидера (xc, yc), φc – угол ориента-ции лидера относительно маяка, и ρc – центр разворота. Ошибка di

err определяет отклонение i-го модуля от правильного положения в платформе и вычисляется как разница между желаемым положе-нием агента и текущим.

Положение виртуального центра определяется как центроид площади платформы. Виртуальному агенту-лидеру задана инфор-мация об оптимальной линейной скорости νopt ∈ [νopt

min, νoptmax], где νopt

min и νoptmax являются соответ-

ственно минимальным и максимальным значением оптимальной скорости. Для реального робота учитывается функция энергопо-требления, построенная на основе технических данных из докумен-тации моторов.

Рис. 5. Структура платформы с четырьмя модулями и виртуальным

лидером Обучение модулей-агентов. Процесс обучения агентов движе-

нию вокруг маяка состоит из двух этапов: (a) обучение агента пово-роту на заданный угол ориентации и (б) обучение всех агентов платформы движению по кругу за виртуальным лидером. Обучение одиночного агента повороту на угол нужной ориентации проводилось с использованием стандартного Q-learning алгоритма без следов преемственности [6].

При обучении состояние агента характеризуется парой значений st = [φerr

t, ωt]. Множество действий Aω = {Ø, ω+, ω-}, где дей-ствие агента at∈Aω – это изменение угловой скорости Δωt для момента времени t.

Система обучения сообщает положительное подкрепление, если ориентация робота ближе к целевой (φerr

t → 0) используя опти-мальную скорость ωt → ωopt, и штраф, если ориентация агента отклоняется от целевой или выбранное действие не оптимально для текущего положения (агент не начал во время тормозить).

Значение награды определяется как: 1 1( , )t t t

errr R − −= ϕ ω , (1)

где R – функция награды, которая представлена деревом принятия решений, изображенным на рис. 6. Оптимальная скорость wopt пред-ставляет собой константное значение скорости и используется для того, чтобы показать, что функция ценности способна находить эф-фективную скорость. Для реального робота используется функция энергопотребления моторов, рассчитанная по их документации.

Структура взаимодействия агентов на основе обучения с под-креплением для решения задачи кооперативного движения изобра-жена на рис. 7.

Рис. 6. Функция награды в виде дерева решений

Модуль i, находясь в состоянии si

t, выбирает действие αit, ис-

пользуя текущую стратегию выбора действий, и переходит в сле-дующее состояние si

t+1. Виртуальный лидер получает данные об изменениях после выполнения действия, вычисляет и присваивает награду ri

t+1 каждому агенту, которая корректность его действий с точки зрения всей платформы.

Рис. 7. Архитектура многоагентной системы колесных модулей на

основе виртуального лидера и обучения с подкреплением Для обновления стратегии модулей используется аналог много-

агентного Q-learning алгоритма [7], в котором виртуальный лидер на-числяет награду каждому агенту как оценку состояния в платформе:

1

1 1

( )( , ) [ max ( , ) ( , )]

ti

t t t t t ti i i i i i i i i

a A sQ s a r Q s a Q s a

+

+ +

∈∆ = α + γ − . (2)

Результаты экспериментов с производственным роботом.

Для скоростей колеса свыше 0,5 м/с, как и для низких скоростей, необходимо точное позиционирование модуля относительно маяка. Для минимизации погрешности агент обучается управлению скоро-стями. Первоначально агент обучается разгоняться до заданной системой управления скорости и поддерживать ее. Вторым этапом



агент обучается уменьшать скорость вплоть до остановки, чтобы угловая ошибка была максимально приближена к нулю. Топология Q-функции, которая обучалась в течение 1400 эпох, показана на рисунке 8. Обучение происходило на реальном роботе.

Рис. 8. Топология Q-функции после онлайн-обучения одного модуля

с управлением скорости Результат управления поворотом обученных модулей с центром

разворота впереди-справа на рисунке 9. На рисунке 10 показано, что при передвижении платформы ра-

диусы модулей не изменяются и модули платформы находятся в стабильном положении относительно платформы.

Заключение. Экспериментальная часть демонстрирует успеш-

ное применение многоагентного подхода на основе виртуального лидера с использованием обучения с подкреплением для задачи эффективного управления реальной многоколесной роботизирован-ной платформой. Предлагаемый подход включает множество Q-learning агентов, которые определяют оптимальное управление

модулями относительно виртуального лидера. Достоинства разрабо-танного подхода: • Декомпозиция обозначает, что вместо построения глобальной

Q-функции мы строим множество локальных. • Адаптивность – платформа адаптирует свое поведение для

динамически изменяемого маяка и перенастраивает свою траек-торию.

• Масштабируемость и обобщающая способность – один метод обучения используется для множества агентов, для любой пози-ции маяка и для любой позиции агента на платформе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННЫХ ИСТОНИКОВ 1. Walters, D.G. The Whole Life Efficiency of Electric Motors // Energy

Efficiency Improvements in Electric Motors and Drives. Springer. – 1997. – P. 81–94.

2. Mei, Y . Energy-Efficient Motion Planning for Mobile Robots / Y. Mei, Y .-H. Lu, Y.C. Hu, G. Lee // Robotics and Automation. Proceedings of IEEE International conference on ICRA’04. IEEE. – 2004. – Vol. 5. – P . 4344–4349.

3. Benedettelli, D. Experimental validation of collective circular motion for nonholonomic multi-vehicle systems / D. Benedettelli, A. Garulli, and A. Giannitrapani // Robotics and Autonomous Systems. 2010. – No 58. – P . 1028–1036.

4. Stetter, R. Realization and Control of a Mobile Robot / R. Stetter, P. Ziemniak, A. Pachinski // Research and Education in Robotics-EUROBOT 2010, Communication in Computer and Information Science. Springer. – 2011. – Vol. 156. – P. 130–140.

5. Ren, W. Distributed coordination architecture for multi-robot formation control / W. Ren, N. Sorensen // Robotics and Autonomous Systems. – 2008. – Vol. 56. – № 4. – P . 324–333.

6. Richard, S. // Reinforcement Learning: An Introduction. MIT Press / S. Richard, А. Sutton, G. Barto. – 1998.

7. Kabysh, A. Influence model and reinforcement learning for multi agent coordination // A. Kabysh, V. Golovko, K. Madani / Journal of Qafqaz University, Mathematics and Computer Science. – 2012. – № 33. – P . 58–64.


Рис. 9. Эксперимент поворота модулей к центру разворота впереди-справа

Рис. 10. Эксперимент подтверждения сохранности радиусов во время движения



DZIOMIN U., KABYSH A., GOLOVKO V., STETTER R. Reinforcement learning algorithm for power efficient control of multi-wheeled mobile robot

This paper presents an application of the multi-agent reinforcement learning approach for the efficient control of a real production mobile robot. This approach is based on a multi-agent decomposition applied to multi-wheel control. System efficiency achieved through proper compilation of the value function. Experiments shows that developed system provide stable robust control for complex kinematics.



РЕФЕРАТЫ СТАТЕЙ, ОПУБЛИКОВАННЫХ В ЖУРНАЛЕ УДК 004.89 ГОЛОВКО, В.А. Метод прогнозирования временных рядов на основе многослойного персептрона / В.А. ГОЛОВКО, М.В. ХАЦ-КЕВИЧ, А.Л. БРИЧ // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 2–6.

Предлагается специальный способ обучения многослойного персептрона и представления входных данных, применяемый для обучения нейронной сети прогнозированию временных рядов. При-водится результаты тестирования предложенного модифицирован-ного подхода на синтетических и реальных данных. Ил. 14. Табл. 2. Библ. 6 назв. УДК 004.89 ИВАНЮК, Д.С. Нейро-ПИД-контроллер пастеризационной уста-новки / Д.С. ИВАНЮК, В.А. ГОЛОВКО // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 6–9.

Был разработан нейро-ПИД-контроллер пастеризационной уста-новки. Он состоит из двух частей – традиционного ПИД-контроллера (пропорционально-интегрально-дифференциальный контроллер) и нейронной сети, основанной на многослойном персептроне. ПИД непосредственно управляет пастеризацией, его коэффициенты (KP, KI и KD) во время работы подстраиваются нейронной сетью. Тесто-вый программный модуль показал работоспособность предложенно-го подхода. Ил. 7. Библ. 21 назв. УДК 519.688:004.021 ЧИЧУРИН, А.В. Компьютерное моделирование двух моделей хемостата для одного питательного ресурса / А.В. ЧИЧУРИН, Е.Н. ШВЫЧКИНА // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, ма-тематика, информатика. – С. 9–14.

Рассматриваются динамические модели хемостата Михаэлиса-Ментена, когда константы Михаэлиса–Ментена для обеих конкури-рующих популяций микроорганизмов равны. Построены программ-ные модули, использующие численные процедуры, которые позво-ляют осуществить моделирование процессов хемостатного культи-вирования при изменяющихся параметрах системы, а также визуа-лизировать динамику процесса развития для каждого из микроорга-низмов. Проведен сравнительный анализ некоторых численных методов, которые использовались для интегрирования результи-рующего нелинейного дифференциального уравнения первого по-рядка. Табл. 1. Ил. 3. Библ. 11 назв. УДК 534.29 КАМЛАЧ, П.В. Применение ультразвука для лабораторной диаг-ностики параметров гемостаза / П.В. КАМЛАЧ // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 14–18.

Разработана математическая модель влияния ультразвука на па-раметры гемостаза. Рассчитаны параметры крови во времени, прове-дена оценка влияния УЗ на параметры гемостаза. Разработано ориги-нальное экспериментальное оснащение для проведения исследова-ний, включающий генератор, двухлучевой осциллограф, входной и выходной акустоэлектронные преобразователи, термостатируемое кюветное отделение, электромеханическую мешалку. Разработаны методики оценки протромбинового времени и активированного час-тичного тромбопластинового времени с помощью ультразвуковых колебаний, основанных на стандартных методиках. По разработанным методикам проведены исследования и сравнительный анализ с ре-зультатами моделирования. Ил. 3. Табл. 3. Библ. 4 назв. УДК 004.032.26 ХУАНЬ, ЛЮ Классификация качества коммерческих сайтов на основе адаптивной нейронной системы с нечетким выводом / ЛЮ ХУАНЬ // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математи-ка, информатика. – С. 18–22.

В статье описан комбинированный подход к проблеме класси-фикации качества сайтов электронной коммерции, основанный на использовании методологии адаптивных нейронных сетей с нечет-ким выводом. Предложена модель нейронной сети, в рамках которой совместно используются нечеткие экспертные рассуждения и стро-гие математические методы. На основе модели в программной сре-де Matlab реализована интеллектуальная система с нечетким выво-

дом. Показано, что система является эффективным инструментом для моделирования процессов анализа качества данного типа сай-тов. Ил. 9. Библ. 11 назв. УДК 004.31:004.312.44 ЧЕРКАССКИЙ, Н.В. Параметрическая оптимизация устройства БПФ / Н.В. ЧЕРКАССКИЙ, Т.И. ТКАЧУК // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 22–28.

Рассмотрено использование H-модели для синтеза специализи-рованных функций, показаны преимущества конвейерной параллель-ной структуры канонического алгоритма БПФ, проанализированы ха-рактеристики сложности устройства. Ил. 9. Табл. 1. Библ. 3 назв. УДК 004.056 ВОЛОКИТА, А.Н. Модель многоканального безопасного обслу-живания в Private Cloud системе / А.Н. ВОЛОКИТА, ВУ ДЫК ТХИНЬ, А.В. ЩЕРБИНА, Б.Е. АНДРЕСЮК, Т.В. БОЙКИВ, В.В. ПА-ЛАМАРЧУК // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математи-ка, информатика. – С. 26–29.

В работе предложено улучшение алгоритма планирования А* для использования в Private Cloud системах. Алгоритм в связке с алгоритмом разделения секрета Shamir позволяет обеспечить ста-тическое планирование с учетом уровня безопасности и требуемого времени отклика для задач. Обеспечивается безопасность доставки задач в Cloud систему и результатов обратно к пользователю. Ил. 7. Библ. 6 назв. УДК 535.337 РУСАКОВ, К.И. Оптические процессы в микрорезонаторах с J-агрегатами / К.И. РУСАКОВ, Ю.П. РАКОВИЧ, А.А. ГЛАДЫЩУК, Д.Г. МЕЛЬНИКОВ, Д.И. САВАТЕЕВА, З.В. РУСАКОВА, С.В. ЧУГУ-НОВ // Вестник БрГТУ. – 2013 – № 5(83): Физика, математика, ин-форматика. – С. 29–33.

Исследованы моды шепчущей галереи в диэлектрических мик-рорезонаторах, покрытых тонкой оболочкой J-агрегатов цианинового красителя ТТВС и нанокристаллами серебра. Показана возможность управления плотностью и добротностью мод в результате взаимо-действия плазмонов металлических наночастиц и экситонных со-стояний J-агрегатов с локальным полем микрорезонатора. Микроре-зонаторы, покрытые тонкой оболочкой J-агрегатов цианиновых кра-сителей и плазмонными наночастицами, могут быть использованы в фотонике для создания новых устройств и технологий переключения и преобразования оптического сигнала. Ил. 6. Библ. 6 назв. УДК 536 (075.8) ГЛАДКОВСКИЙ, В.И. Лекционная демонстрация молекулярно-кинетической природы радиометрического эффекта / В.И. ГЛАДКОВСКИЙ, А.И. ПИНЧУК // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 33–35.

В работе описана разработанная специальная лекционная де-монстрация с целью показа прямого преобразования тепловой энер-гии в механическую. Основой созданной установки для изучения радиометрического эффекта является радиометр Крукса. К радио-метру прилагаются источники электромагнитного излучения, рабо-тающие в различных диапазонах длин волн. Учебно-методический эффект от использования данного лабораторного макета состоит, в первую очередь, в том, он позволяет избежать подмены внешне похожих эффектов, имеющих принципиально различную физическую природу. Ил. 1. Библ. 5 назв. УДК 002:004+81’32 АНТОНОВ, С.Г. К задаче разработки лингвистических процессо-ров / С.Г. АНТОНОВ, И.В. СОВПЕЛЬ // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 36–38.

Дано определение и приведены функциональность базового лингвистического процессора и состав его лингвистической базы знаний. Описана модель представления результатов лингвистиче-ского анализа текста в виде его лингвистического индекса, а также технология построения лингвистических паттернов. Библ. 8 назв.



УДК 004.8 САВИЦКИЙ, Ю.В. Некоторые аспекты применения нейросете-вых моделей в задаче анализа сигналов ЭЭГ и ЭКГ / Ю.В. СА-ВИЦКИЙ, Ю.И. ДАВИДЮК // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Фи-зика, математика, информатика. – С. 38–41.

Рассматриваются проблемы применения нейросетевых моделей в задаче анализа сигналов ЭЭГ и ЭКГ. Постановка задачи исследо-ваний базируется на оригинальном алгоритме расчета старшего показателя Ляпунова. Выполнен анализ результатов экспериментов по идентификации аномальных зон реальных сигналов ЭЭГ и ЭКГ. Охарактеризованы проблемные вопросы применения данного под-хода к задачам обработки биомедицинских сигналов. Ил. 7. Табл. 2. Библ. 10 назв. УДК 004.272 ДУНЕЦЬ, Р.Б. Исследование матричных методов представления поточных графов алгоритмов / Р.Б. ДУНЕЦЬ, В.М. ГРИГА // Вест-ник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 41–46.

Предложен матричный метод преобразования структуры поточ-ного графа алгоритма с помощью матрицы связности портов и дуг. Данный подход позволяет с помощью матричных преобразований переходить от структуры поточного графа алгоритма до основных структур пространственно-временных графов алгоритмов, использу-емых для проектирования многотактовых специализированных вы-числителей. Проведен сравнительный анализ известных матричных методов задания поточных графов алгоритмов с предложенным матричным методом в данной работе. В результате показано, что матрица связности портов и дуг занимает значительно меньший объем памяти, чем матрицы инцидентности и смежности, и является соразмерной со структурной матрицей. Ил. 5. Табл. 1. Библ. 12 назв. УДК 624.04 ИГНАТЮК, В.И. Учебная компьютерная программа расчета ста-тически неопределимых рам методом сил / В.И. ИГНАТЮК, Т.Ю. АЛЕКСЕЕВ // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 47–50.

Рассмотрено создание учебной компьютерной программы рас-чета статически неопределимых рам методом сил как обучающее-исследовательской системы; обсуждаются принципы разработки таких программ. Ил. 5. Библ. 3 назв. УДК 517.544 ЮХИМУК, М.М. Задача о скачке для бесконечно связных облас-тей / М.М ЮХИМУК., Т.Ю. ЮХИМУК // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 50–53.

В работе получена оценка показателя сходимости комплексной последовательности в случаях расположения её членов на всей плоскости и в пределах некоторой полосы. В замкнутой форме полу-чено решение задачи о скачке для бесконечно связных областей и мероморфных правых частей. Библ. 8 назв. УДК 519.213.2:004.02 МАХНИСТ, Л.П. Моменты распределения вероятностей и неко-торые целочисленные последовательности / Л.П. МАХНИСТ, Т.И. КАРИМОВА, И.И. ГЛАДКИЙ, В.С. РУБАНОВ // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 54–56.

Рассматривается общий подход к вычислению числовых харак-теристик дискретных случайных величин. Предлагаются и доказаны формулы связи одних числовых характеристик с другими. Доказаны формулы, позволяющие вычислять числовые характеристики слу-чайных величин с помощью некоторых целочисленных последова-тельностей. Табл. 2. Библ. 3 назв. УДК 004.94:531.52 ЖЕЛТКОВИЧ, А.Е. Моделирование падения материальной точки в гравитационном поле Земли / А.Е. ЖЕЛТКОВИЧ, Л.П. МАХ-НИСТ, В.М. ГОРБАЧЕВСКИЙ, Е.Ю. ЛАВРИНЮК // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 57–60.

В работе получены уравнения движения материальной точки в поле притяжения Земли, в зависимости от влияния на относитель-ное движение точки углового вращения Земли.

На основе решения систем из трех взаимозависимых линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков получены точные решения, описывающие изменение тра-ектории и скорости точки.

Область применения данного решения может быть распростра-нена на решение прикладных задач, связанных с расчетом точной скорости, траектории и места падения сводимых с орбиты космиче-ских объектов, отработавших свой срок. Ил. 2. Библ. 2 назв. УДК 004.5;621.38 БУТОВ, А.А. Усовершенствованный метод нахождения булевой формулы многоугольника в дизъюнктивной нормальной форме / А.А. БУТОВ // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, матема-тика, информатика. – С. 60–62.

Работа посвящена доработке метода нахождения булевой фор-мулы многоугольника в дизъюнктивной нормальной форме, изло-женного в предыдущей работе автора. Усовершенствованный метод устраняет недостаток, связанный с существованием класса задач, для которых решение находится лишь приближенно.

Предлагаемый метод всегда позволяет находить точное реше-ние. Это означает, что для любой задачи элементы решения, интер-претируемые как выпуклые компоненты, будут покрывать в совокуп-ности всю область плоскости, занимаемую многоугольником.

Метод может быть использован, в частности, в системах авто-матизированного проектирования топологии интегральных схем. Ил. 5. Библ. 9 назв. УДК 004.94 - 621.317.373 ЯРОШЕВИЧ, А.В. Моделирование фазового детектора для регу-лятора реактивной мощности / А.В. ЯРОШЕВИЧ // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 63–67.

Задача разработки компенсаторов реактивной мощности для квартирных потребителей решается путём применения аналоговой схемы вычислителя. Первым этапом вычисления ёмкости компенси-рующих конденсаторов является определение разности фаз напря-жения и тока потребляемой электроэнергии. Схемная реализация фазового детектора наиболее проста для метода, основанного на преобразовании интервала времени в напряжение. Рассмотрено три схемы детекторов: • фазовый детектор на ограничителях; • фазометр на компараторах с транзисторными ключами; • фазометр на компараторах с D – триггером.

Моделирование схем с пакетом Electronics Workbench производи-лось при различных значениях входного напряжения в диапазоне Δφ от 0 до 100 угловых градусов. Анализ результатов моделирования позволил выделить схему фазометра на компараторах с транзи-сторными ключами. Эта схема имеет максимальную чувствительность и линейную прямо пропорциональную зависимость выходного напря-жения от разности фаз входных сигналов. Ил. 8. Табл. 1. Библ. 8 назв. УДК 004.853 ДЁМИН, В.В. Алгоритмы подкрепляющего обучения для энерго-эффективного управления многоколесными производственны-ми роботами / В.В. ДЁМИН, А.С. КАБЫШ, В.А. ГОЛОВКО, R. STETTER // Вестник БрГТУ. – 2013. – № 5(83): Физика, математика, информатика. – С. 67–71.

Рассматривается система эффективного управления мобиль-ным роботом с множеством движущих модулей, которые управляют-ся независимо. В основе системы управления лежат алгоритмы обучения с подкреплением для поиска оптимальных политик управ-ления каждого модуля. В рамках предлагаемого подхода модули рассматриваются как многоагентная система, в которой координация поведений агентов осуществляется виртуальным лидером. Предло-жена модифицированная модель обучения с подкреплением для адаптивной координации индивидуальных стратегий. Модифициро-ванный Q-learning алгоритм проводит обучение агентов эффектив-ному управлению каждым колесом, в контексте группы, что позволя-ет агентам подстраиваться друг под друга.

Разработанная система управления позволяет стабильно управлять роботом со сложной кинематической схемой и перемен-ным количеством модулей. Эксперименты с разработанной систе-мой были поставлены на реальном производственном роботе уни-верситета Равенсбург-Вайнгартен. Успешность моделирования и экспериментальной части показывает применимость подхода для реальных систем. Ил. 10. Табл. 2. Библ. 7 назв.

Вестник Брестского государственного ...36,7%, а среднее...

Documents