例： 求图示电路中例： 求图示电路中 aa 、、 bb 两点间的两点间的等效电阻等效电阻 RRabab 。。

电阻的星形连接与三角形连接的等效变换电阻的星形连接与三角形连接的等效变换

I1 1I12

R 12

I23

2

I2

R 31

I3

I31

R23

(a )

I33

R3

3 2

R 2

R1

1

I1

(b )

I2

312312

23313

312312

12232

312312

31121

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

2

1313

2

13322131

1

3232

1

13322123

3

2121

3

13322112

R

RRRR

R

RRRRRRR

R

RRRR

R

RRRRRRR

R

RRRR

R

RRRRRRR

2.6 2.6 基尔霍夫定律基尔霍夫定律

上一页 下一页 返 回

基尔霍夫定律包括电流定律和电压定律。基尔霍夫定律包括电流定律和电压定律。

支路支路 : : 一段没有分岔的电路称为一条支路。一段没有分岔的电路称为一条支路。

节点节点 : : 三条或三条以上支路相联接的点称为节点。三条或三条以上支路相联接的点称为节点。

回路回路 : : 电路中任何一闭合路径称为回路。电路中任何一闭合路径称为回路。

网孔网孔 : : 没有其他支路穿过的回路称为网孔。没有其他支路穿过的回路称为网孔。

2.6.1 2.6.1 基尔霍夫电流定律（基尔霍夫电流定律（ KCLKCL ））在任何时刻在任何时刻 , , 流出（或流入）任一节点的所有流出（或流入）任一节点的所有

支路电流的代数和恒等于零。 支路电流的代数和恒等于零。 对上图 中的节点对上图 中的节点 aa, , 应用应用 KCLKCL 则有则有

写出一般式子写出一般式子 , , 为为 ∑∑ i=0i=0

把上式改写成下式把上式改写成下式 , , 即即 ii33==ii11++ii22

0321 iii

在任何时刻 , 流入一个节点电流之和等于流出该节点电流之和。

65

7 8

9

2

1

3

4

g

i3 i4b

i5c

i2

f

d

e

i6

S

a

i1

图 电路实例

KCLKCL 不仅适用于节点不仅适用于节点 , , 也可以把它推广运用于也可以把它推广运用于电路的任一假设的电路的任一假设的封闭面封闭面。例如上图所示封闭面。例如上图所示封闭面 SS 所所包围的电路。包围的电路。

126 iii

2.6.2 2.6.2 基尔霍夫电压定律（基尔霍夫电压定律（ KVLKVL ））

在任何时刻在任何时刻 , , 沿任一回路的所有支路或元件的沿任一回路的所有支路或元件的电压的代数和等于零。电压的代数和等于零。

01

m

kku

注意：注意：在用上式时在用上式时 , , 先要任意规定回路绕行的方向先要任意规定回路绕行的方向 , , 凡支路电压的参考方向凡支路电压的参考方向与回路绕行方向一致者与回路绕行方向一致者 , , 此电压前面取“此电压前面取“ +”+” 号号 , , 支路电压的参考方向与回支路电压的参考方向与回路绕行方向相反者路绕行方向相反者 , , 则电压前面取“则电压前面取“ -”-” 号。号。

对回路对回路 abcga abcga 应用应用 KVL, KVL,

有有

如果一个闭合节点序列不如果一个闭合节点序列不构成回路构成回路 , , 如图中的节如图中的节点序列点序列 acgaacga,, 在节点在节点 acac

之间没有支路之间没有支路 , , 但节点但节点 aa

cc 之间有开路电压之间有开路电压 uuacac, ,

KVLKVL 同样适用于这样同样适用于这样的闭合节点序列的闭合节点序列 , , 即有即有

0 gacgbcab uuuu

0 gacgac uuu

65

7 8

9

2

1

3

4

g

i3 i4b

i5c

i2

f

d

e

i6

S

a

i1

电路中任意两点间的电压是与计算路径无关电路中任意两点间的电压是与计算路径无关的的 , , 是单值的。所以是单值的。所以 , , 基尔霍夫电压定律实质是两基尔霍夫电压定律实质是两点间电压与计算路径无关这一性质的具体表现。 点间电压与计算路径无关这一性质的具体表现。

不论元件是不论元件是线性线性的还是的还是非线性非线性的的 , , 电流、电电流、电压是直流的还是交流的压是直流的还是交流的 , KCL, KCL 和和 KVLKVL 总是成立的。总是成立的。

gcaggacgac uuuuu

0 gacgac uuu

[[ 例例 1] 1] 图图 2.322.32 所示的闭合面包围的是一个三角形所示的闭合面包围的是一个三角形电路，它有三个节点。求流入闭合面的电流电路，它有三个节点。求流入闭合面的电流 IIAA 、、IIBB 、、 IICC 之和是多少？之和是多少？

图 2.32 基尔霍夫电流定律应用于闭合面

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解：解：应用基尔霍夫电流定律可列出应用基尔霍夫电流定律可列出 IIAA=I=IABAB-I-ICACA

IIBB=I=IBCBC-I-IABAB

IICC=I=ICACA-I-IBCBC

上列三式相加可得上列三式相加可得 IIAA+I+IBB+I+ICC=0=0

或 或 I=0 I=0

可见，在任一瞬时，通过任一闭合面的电流的代可见，在任一瞬时，通过任一闭合面的电流的代数和也恒等于零。数和也恒等于零。

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[[ 例例 2] 2] 一个晶体三极管有三个电极，各极电流的一个晶体三极管有三个电极，各极电流的方向如图方向如图 2.332.33 所示。各极电流关系如何？所示。各极电流关系如何？

图 2.33 晶体管电流流向图

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解：解：晶体管可看成一个闭合面，则：晶体管可看成一个闭合面，则： IIEE=I=IBB+I+ICC

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[[ 例例 3] 3] 两个电气系统若用两根导线联接，如图两个电气系统若用两根导线联接，如图 2.34 (a)2.34 (a) 所所示，电流示，电流 II11 和和 II22 的关系如何？若用一根导线联接，如的关系如何？若用一根导线联接，如图图 2.34 (b)2.34 (b) 所示，电流所示，电流 II 是否为零？是否为零？

图 2.34 两个电气系统联接图

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解：解：将将 AA 电气系统视为一个广义节点，对图电气系统视为一个广义节点，对图 2.342.34

(a)(a) ：： II11=I=I22 ，对图，对图 2.34(b)2.34(b) ：： I=0I=0 。。

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右图所示的回路右图所示的回路 adbcaadbca 为例，图中电为例，图中电源电动势、电流和各段电压的正方向均已标出。源电动势、电流和各段电压的正方向均已标出。按照虚线所示方向循行一周，根据电压的正方向按照虚线所示方向循行一周，根据电压的正方向可列出：可列出：

UU11+U+U44=U=U22+U+U33

或将上式改写为：或将上式改写为： UU11-U-U22-U-U33+U+U44=0=0

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图图 2.352.35 所示的所示的 adbcaadbca 回路是由电源回路是由电源

电动势和电阻构成的，上式可改写为：电动势和电阻构成的，上式可改写为：

EE11-E-E22-I-I11RR11+I+I22RR22=0=0

或 或 EE11-E-E22=I=I11RR11-I-I22RR22

即 即 E=E=(IR) (IR)

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图 2.36 基尔霍夫电压定律的推广应用

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例例 44 在下图所示电路中，已知在下图所示电路中，已知 UU11=10V=10V ，， EE11=4=4

VV ，， EE22=2V=2V ，， RR11=4=4 ， ， RR22=2=2 ，， RR33=5=5 ，， 11 、、

22 两点间处于开路状态，试计算开路电压两点间处于开路状态，试计算开路电压 UU22 。。

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解：对左回路应用基尔霍夫电压定律列出：解：对左回路应用基尔霍夫电压定律列出： EE11=I(R=I(R11+R+R22)+U)+U11

得 得

再对右回路列出： 再对右回路列出： EE11=E=E22+IR+IR11+U+U22

得 得 UU22=E=E11-E-E22-IR-IR11=4-2-(-1)×4=6V=4-2-(-1)×4=6V

A124

104

RR

UEI

21

11

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例例 55 在下图所示电路中，已知在下图所示电路中，已知 UUss=9V=9V ，， RR11=2=2

， ， RR22=4=4 ，， RR33=3=3 ，试求电路中电流，试求电路中电流 II 和电和电

压压 UUABAB 。。

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A

B

U1

+ -

R1

U2

+

-R2

U3

- +

R3

US

+ -

I

例例 66 在下图所示电路中的未知量。在下图所示电路中的未知量。

上一页 下一页 返 回

A+ - B

5V

- +I 10Ω

A+ - B

10V

- +-2A 5Ω

U

10V

2.7 2.7 电路中电位的计算电路中电位的计算[[ 例例 7] 7] 在图在图 2.382.38 所示的所示的电路中，已知电路中，已知 CC 点接点接地，地， RR11=R=R22=R=R33=1Ω=1Ω ，，EE11=E=E33=2V=2V ，， II11=-1A=-1A ，，II33=3A=3A ，求，求 VVAA 、、 VVBB

的值。的值。

图 2.38 例 7 的电路图 上一页 下一页 返 回

解：解： II22=I=I33-I-I11=3-=3- （（ -1-1 ）） =4A=4A

VVAA=-I=-I22RR22+E+E11+I+I11RR11=-4×1+2+(-1)×1=-3V=-4×1+2+(-1)×1=-3V

VVBB=-E=-E33+I+I33RR33+E+E11+I+I11RR11=-2+3×1+2+(-1)×1=2V=-2+3×1+2+(-1)×1=2V

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例例 88 ：进行电工实验时：进行电工实验时 , , 常用滑线变阻器常用滑线变阻器接成分压器电路来调节负载电阻上电压的接成分压器电路来调节负载电阻上电压的高低。图 中高低。图 中 RR11 和和 RR22 是滑线变阻器是滑线变阻器 , , RRLL 是是负载电阻。已知滑线变阻器额定值是负载电阻。已知滑线变阻器额定值是 100Ω100Ω 、、3A, 3A, 端钮端钮 aa 、 、 bb 上输入电压上输入电压 UU11=220V, =220V, RRLL=5=50Ω0Ω 。试问。试问 : : （（ 11 ）当）当 RR22=50Ω=50Ω 时时 , , 输出电压输出电压 UU22 是多少？是多少？（（ 22 ）当）当 RR22=75Ω=75Ω 时时 , , 输出电压输出电压 UU22 是多少？是多少？滑线变阻器能否安全工作？滑线变阻器能否安全工作？

解 解 （（ 11 ） 当） 当 RR22=50Ω=50Ω 时时 , , RRabab 为为 RR22 和和 RRLL 并联后与并联后与 RR11 串联而成串联而成 , , 故故端钮端钮 aa 、、 bb 的等效电阻的等效电阻

755050

505050

2

21

L

Lab RR

RRRR

滑线变阻器 R1 段流过的电流

AR

UI

ab

93.275

22011

负载电阻流过的电流可由电流分配公式（ 2.5 ）求得， 即

VIRU

AIRR

RI

L

L

5.7347.150

47.193.25050

50

22

12

22

(2) (2) 当当 RR22=75Ω=75Ω 时，计算方法同上时，计算方法同上 , , 可得可得

VU

AI

AI

Rab

1204.250

4.245075

75

455

220

555075

507525

2

2

1

因 I1=4A, 大于滑线变阻器额定电流 3A, R1 段电阻有被烧坏的危险。

例例 99 ：：图示电路中图示电路中 , , 已知已知 UUss=225V, =225V, RR00=1Ω, =1Ω, RR11

=40Ω, =40Ω, RR22=36Ω, =36Ω, RR33=50Ω, =50Ω, RR44=55Ω, =55Ω, RR55=10Ω, =10Ω, 试试求各电阻的电流。求各电阻的电流。

解解 将△形连接的 将△形连接的 RR11, , RR33, , RR55 等效变换为等效变换为 YY 形连接形连接的的 RRaa,, R Rcc 、、 RRdd, , 如图 如图 ((b)b) 所示所示 , , 求得求得

5405010

5010

4405010

1040

20405010

4050

135

35

135

51

135

13

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

d

c

a

246040

60400bR

Ra 与 Rob 串联 , a 、 b 间的等效电阻

442420abR桥式电阻的端口电流

ARR

UI

ab

s 5441

225

0

RR22 、、 RR44 的电流各为的电流各为

AIRR

RI

AIRR

RI

dc

c

dc

d

156040

40

356040

60

42

24

42

42

为了求得 R1 、 R3 、 R5 的电流 , 从图 2.10(b)求得

VIRIRU caac 112345202

AR

UI ac 8.2

40

112

11

并由 KCL 得

AIII

AIII

2.022.2

2.28.25

435

13

作业：作业：P26P26 ：： 2222 、、 2424 、、 26 26

2.8 2.8 电源的等效变换电源的等效变换

2.8.1 2.8.1 两种实际电源模型的等效变两种实际电源模型的等效变换换

图 电压源和电阻串联组合其外特性方程为 IRUU s 0

/0R

UII s 其外特性为

图 电流源和电阻并联组合

00 R

UIIRU SSSS 或

电压源和电流源等效变换的条件电压源和电流源等效变换的条件

伏安关系完全相同伏安关系完全相同

等效条件：等效条件：

00 RR

电源等效变换电源等效变换注意事项：注意事项：

电压源电压的方向和电流源电流的方向电压源电压的方向和电流源电流的方向相反相反；；

电压源与电流源的等效变换只对电压源与电流源的等效变换只对外电路外电路等效，对内等效，对内

不等效；不等效；

理想理想电压源和电压源和理想理想电流源之间不能进行等效变换；电流源之间不能进行等效变换；

任何一个电压源与电阻的串联组合和电流源与电阻任何一个电压源与电阻的串联组合和电流源与电阻

的并联组合均能等效互换。的并联组合均能等效互换。

2.8.2 2.8.2 电压源、电流源的串联和并联电压源、电流源的串联和并联

电压源电压源顺顺串联 电压源串联 电压源反反串联串联

+

-

a

b

US1+US2

US1

US2

+

-

+

-

a

b

+

-

a

b

US1-US2

+

-

-

+

a

b

US1

US2

电压源电压源顺顺串联目的：提高电源电压；串联目的：提高电源电压；电压源电压源反反串联目的（电子电路中）相互抵消。串联目的（电子电路中）相互抵消。

2.8.2 2.8.2 电压源、电流源的串联和并联电压源、电流源的串联和并联

电压源并联电压源并联

+

-

a

b

US1=US2

电压源电压源并联条件：并联条件：各个电压源大小相等，方向相同；各个电压源大小相等，方向相同；电压源电压源并联并联目的：提高电源功率。目的：提高电源功率。

US1US2

+

-

+

-

a

b

2.8.2 2.8.2 电压源、电流源的串联和并联电压源、电流源的串联和并联

电流源串联电流源串联

电流源电流源串联条件：串联条件：各个电流源大小相等，方向相同；各个电流源大小相等，方向相同；电流源电流源串联串联目的：提高电源功率。目的：提高电源功率。

IS1

IS2

a

b

a

b

IS1=IS2

2.8.2 2.8.2 电压源、电流源的串联和并联电压源、电流源的串联和并联

电流源并联电流源并联

IS1 IS2

a

b

a

b

IS1+IS2

IS1 IS2

a

b

a

b

IS1-IS2

2.8.2 2.8.2 电压源、电流源的串联和并联电压源、电流源的串联和并联

电压源并联电压源并联

+

-

a

b

US1

与电压源与电压源并联的电路并联的电路 AA 对对外电路外电路来说是不起作用的。来说是不起作用的。

US1

+

-

a

b

A

2.8.2 2.8.2 电压源、电流源的串联和并联电压源、电流源的串联和并联

电流源串联电流源串联

与电流源与电流源串联的电路串联的电路 AA 对对外电路外电路来说是不起作用的。来说是不起作用的。

a

b

IS1IS1

a

b

A

例：化简下图所示的一段有源支路例：化简下图所示的一段有源支路

10A

10V

a

b

+

-

5Ω

15Ω

4Ω

例：求下图所示各含源单口网络的例：求下图所示各含源单口网络的等效支路等效支路

40A25V

a

b

+

-

4Ω

a

b

10A

50V +

-

24Ω

+

-

万用表的原理万用表的原理

万用表的基本原理是利用一只灵敏的万用表的基本原理是利用一只灵敏的磁电式磁电式

直流电流表直流电流表（微安表）做（微安表）做表头表头。当微小电。当微小电

流通过表头，就会有流通过表头，就会有电流指示电流指示。但表头不。但表头不能通过大电流，所以，必须在表头上并联能通过大电流，所以，必须在表头上并联与串联一些电阻进行分流或降压，从而测与串联一些电阻进行分流或降压，从而测出电路中的电流、电压和电阻。 出电路中的电流、电压和电阻。

指针式万用表最基本的工作原理指针式万用表最基本的工作原理

二极管作用：整流 二极管作用：整流 R3 R3 、、 R2R2 作用：限流作用：限流

测直流电流原理。测直流电流原理。

如图如图 1a1a 所示，在表头上所示，在表头上

并联一个适当的电阻并联一个适当的电阻

（叫分流电阻）进行分（叫分流电阻）进行分

流，就可以扩展电流量流，就可以扩展电流量

程。改变分流电阻的阻程。改变分流电阻的阻

值，就能改变电流测量值，就能改变电流测量

范围。范围。

测直流电压原理。测直流电压原理。

如图如图 1b1b 所示，在表所示，在表头上串联一个适当头上串联一个适当的电阻（叫倍增电的电阻（叫倍增电阻）进行降压，就阻）进行降压，就可以扩展电压量程。可以扩展电压量程。改变倍增电阻的阻改变倍增电阻的阻值，就能改变电压值，就能改变电压的测量范围。的测量范围。

测交流电压原理。测交流电压原理。如图如图 1c1c 所示，因为表头所示，因为表头是直流表，所以测量交是直流表，所以测量交流时，需加装一个并、流时，需加装一个并、串式半波整流电路，将串式半波整流电路，将交流进行整流变成直流交流进行整流变成直流后再通过表头，这样就后再通过表头，这样就可以根据直流电的大小可以根据直流电的大小来测量交流电压。扩展来测量交流电压。扩展交流电压量程的方法与交流电压量程的方法与直流电压量程相似。直流电压量程相似。

测电阻原理。测电阻原理。

如图如图 1d1d 所示，在表头上并联所示，在表头上并联和串联适当的电阻，同时和串联适当的电阻，同时串接一节电池，使电流通串接一节电池，使电流通过被测电阻，根据电流的过被测电阻，根据电流的大小，就可测量出电阻值。大小，就可测量出电阻值。改变分流电阻的阻值，就改变分流电阻的阻值，就能改变电阻的量程。 能改变电阻的量程。