第四章 非线性电阻电路
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第四章 非线性电阻电路. 4.1 非线性电阻元件的特性 4.2 非线性电阻电路的方程 4.3 图解分析法 4.4 小信号分析法 4.5 分段线性分析法 4.6 数值分析法 4.7 应用实例:温度测量与控制电路. u. +. -. i. 非线性电阻的电路符号. 本章介绍非线性电阻电路方程的建立方法,分析非线性电阻电路的一些常用方法,如图解分析法、小信号分析法、分段线性化方法、数值分析法等。. 4.1 非线性电阻元件的特性. 一、非线性电阻元件. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
“ 十一五”规划教材—电路基础
第四章 非线性电阻电路 4.1 非线性电阻元件的特性 4.2 非线性电阻电路的方程 4.3 图解分析法 4.4 小信号分析法 4.5 分段线性分析法 4.6 数值分析法 4.7 应用实例:温度测量与控制电路
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4.1 非线性电阻元件的特性非线性电阻元件的特性
本章介绍非线性电阻电路方程的建立方法,分析非线性电阻电路的一些常用方法,如图解分析法、小信号分析法、分段线性化方法、数值分析法等。
一、非线性电阻元件一、非线性电阻元件定义:在 ui 平面或 iu 平面上的伏安特性曲线不是通过原点的直线。
非线性电阻的电路符号
+ -u
i
非线性电阻不满足欧姆定律
u=f(i) 或 i=g(u)1. 伏安关系
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3. 既非压控又非流控电阻
可看出方程既无法把 u 表达成 i 的单值函数,也无法把 i 表达成 u 的单值函数。 注意:与线性电阻不同,非线性电阻一般不是双向电阻。例如 PN结二极管,就必须明确地用标记将其两个端钮区别开来,在使用时必须按标记正确接到电路中。
其电压电流关系不能表达为一个变量的单值函数
0 0( , )
0 0
i uf u i
u i
对所有
对所有
如:理想二极管 i
uO
u
i
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4.2 非线性电阻电路的方程 从列写电路方程的两个基本依据来看:
2.不同的是元件本身的特性。由于非线性电阻元件的电压电流关系不是线性的,所以得到的方程将是非线性的。
1. 基尔霍夫电流定律( KCL)、基尔霍夫电压定律( KVL)只与电路的结构有关,而与元件的性质无关。因此就列写 KCL和 KVL本身方程,非线性电阻电路与线性电阻电路无区别。
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1
53 350u i
例 4.2.1 图示为一非线性电阻电路,其中 R1 、 R2 为线性电阻, R3 为非线性电阻,其电压电流关系为
试列出其电路方程求出相应的变量
1 2 1 2 3
2 1 2 3 3
( ) SR R i R i u
R i R i u
解:方法 1 :网孔法
1
53 350u i
消去 i1 、 u3 ,可得 1
1 2 53 3
1 1 2
50Su R Ri i
R R R
①
2R
1R
Su3R 3u3i
1i
3i1i
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1
53 350u i
例 4.2.1 图示为一非线性电阻电路,其中 R1 、 R2 为线性电阻, R3 为非线性电阻,其电压电流关系为
试列出其电路方程求出相应的变量
解:方法 2 :节点电压法
3 31 2 1
1 1( ) Suu iR R R
53
3 550
ui
532 1 2
3 51 2 1 2 50S
uR R Ru u
R R R R
消去 i3 ,可得
①
2R
1R
Su3R 3u3i
1i
3i1i
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由上面的分析可知,建立非线性电阻电路方程时,非线性电阻的处理与受控电源的处理类似,只是非线性电阻的控制量是电阻本身所在支路上的变量(电压或电流)而已。
2. 对电压控制型非线性电阻,采用节点法或割集法进行分析比较简单,因为用电压变量(节点电压或割集电压)容易表示电压控制型非线性电阻上的电流。
1. 对电流控制型非线性电阻,采用网孔法或回路法进行分析比较简单,因为用电流变量(网孔电流或回路电流)容易表示电流控制型非线性电阻上的电压。
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4.3 图解分析法
图解分析法的原理 一、图解法的基本原理:将非线性电路拆分为两个一端口电路 N1 和 N2 ,如图所示。拆分的方式可以是任意的,为了列写电路方程的方便,一般拆分成线性电路部分和非线性电路部分,也可以拆分成两个非线性电路部分。设 N1 和 N2 的电压电流关系为:
图解分析方法的思路:因为每个方程代表一条特性曲线,图解分析方法就是用作图的方法找到这些曲线的交点,即静态工作点 (quiescent operating point) 。
2u
2i
1N1u 2N
1i
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图解分析法的原理 1 1 1
2 2 2
( , ) 0
( , ) 0
f u i
f u i
1 2
1 2
u u
i i
根据 KVL和 KCL,有
2u
2i
1N1u 2N
1i
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或
1 1 1
2 1 1
( , ) 0
( , ) 0
f u i
f u i
1 2 2
2 2 2
( , ) 0
( , ) 0
f u i
f u i
由上两式,可得
(4.3.3a)
(4.3.3b)
用图解法在同一坐标系中画出式 (4.3.3a)或式(4.3.3b)中两个方程的特性曲线,其交点为电路方程的解。
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例 4.3.1 如图 4.3.2(a)所示,设非线性电阻 R 的电压电流关系为, 其中 u 为非线性电阻两端的电压 (单位为 V)。试求非线性电阻 R 的静态工作点。
6 4010 ( 1)Aui e
(a)
解:将非线性电阻 R 左边的线性电路部分用戴维南电路等效,如图 (b)所示,其中
0.52 1V
0.5 0.5OCu 0
0.5 0.50.75 1
0.5 0.5R
i0.750.5
0.52V R u
(b)
uui
i0R
OCu
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则线性电路部分的电压电流关系为:1i u
非线性电路部分的电压电流关系为 6 4010 ( 1)Aui e
在同一坐标系中作出两部分电路的伏安特性曲线,如图(c) 所示,其交点为 Q ,即为非线性电阻 R 的静态工作点,对应的坐标为
0.34V 0.66Au i , Q
O
1i u
0.2 u
i
0.4
0.8
0.4
6 4010 ( 1)ui e
( C )
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4.4 小信号分析法 上节图解法是在直流激励下,确定静态工作点,如果在此基础上再加入幅度很小的随时间变化的信号(小信号),如何处理呢?
小信号分析法的基本思路:是在静态工作点确定的基础上,将非线性电阻电路的方程线性化,得到相应的小信号等效电路或增量等效电路(线性电阻电路)。利用分析线性电路的方法进行分析计算。
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4.4 小信号分析法0R i
u( )i f u0U
( )Su t R
任意时刻 t 都有 )(0 tuU s
图示电路中,直流电压源为U0 ,电阻 R0 为线性电阻,非线性电阻 R 是电压控制型的,其伏安特性i=f(u) ,其伏安特性曲线如图 4.4.1 (b)所示
图4.4.1 ( a)
O u
i
( )i f u
图4.4.1 ( b)
小信号时变电压为 uS(t)
1. 首先按照 KVL列出电路方程 分析方法:
0( )S SU u t R i u (4.4.1)
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Q
O 0U u
i
A ( )i f u
B
QU
QI
0
0
U
R
2. 当 uS(t)0 时
0S Q QU R I U
( )Q QI f U
Q(UQ , IQ) ,即静态工作点
3. 当 uS(t) 加入时
u1 、 i1 是由于小信号 uS(t) 的作用而引起的偏差在
(4.4.2)
(4.4.3)
1
1
Q
Q
u U u
i I i
(4.4.4)
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在任何时刻 t , u1 、 i1 相对 (UQ , IQ) 都是很小的量。
)(0 tuU s 的条件下,
由 if(u) 可得:
1 1[ ]Q QI i f U u (4.4.5 )
1 1( )Q
Q QU
dfI i f U u
du
又由于 u1 很小,可以将上式右边在 UQ 点附近用泰勒级数展开,取级数前面两项而略去一次项以上的高次项,上式可写为
(4.4.6)
1 1
QU
dfi u
du
由式 (4.4.3) ,可得 (4.4.7)
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1
1
1
Q
dU d
i dfG
u du R
因此有 (4.4.8)
Gd 为非线性电阻在工作点 (UQ , IQ) 处的动态电导(dynamic conductance), Rd 为相应的动态电阻(dynamic resistance) 。 由于 Gd 1/Rd 在工作点 (UQ , IQ) 处是一个常量,所以从上式可以看出,小信号电压 uS(t) 产生的电压 u1 和电流 i1 之间的关系是线性的。
0 1 1( ) [ ]S S Q QU u t R I i U u (4.4.10)所以
0 1 1( )S du t R i R i (4.4.11)
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由此可以作出给定非线性电阻在工作点 (UQ , IQ) 处的小信号等效电路,如图 4.4.2 所示。
( )Su t
0R 1( )i t
1( )u tdR
图 4.4.2 小信号模型
0 1 1( )S du t R i R i
由小信号电路可得
10
10
( )
( )
S
d
d S
d
u ti
R R
R u tu
R R
(4.4.12)
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例 4.4.1 在如图 4.4.3(a) 所示非线性电阻电路中,非线性电阻的伏安特性为, 现已知当 uS(t)0 时,回路中的电流 i 为 1A 。如果 uS(t)costV 时,试用小信号分析法求回路中的电流 i 。
32u i i
2 i
uSu
5V
解 由题意可知,此电路中的静态工作点在 I0=1A处,工作点处的动态电阻为
0
2
12 3 5d i
i I
duR i
di
作出小信号等效电路
2 1i
1uSu dR
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1
1cos A
2 5 7Sui t
1(1 cos )A
7i t
故总电流为
可得:2 1i
1uSu dR
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4.5 分段线性分析法 分段线性分析法 (piecewise linearization analysis)是一种实用的近似方法,即用一条折线来分段逼近特性曲线,所以有时也称之为折线法 (polygon method) 。
思路:就是用若干段斜率不同的折线近似代替非线性电阻的实际特性曲线,从而将非线性电阻电路转化为几个线性电路求解,每个线性电路对应一个相应的区间。
“ 十一五”规划教材—电路基础4.5 分段线性分析法
O 2U u
i
B
3U
1
32
A
C
3I
2I
图 4.5.1 所示为流控型非线性电阻的特性曲线,可以将非线性电阻的特性分作三段,分别用 OA 、 AB、和BC三段直线来逼近它。直线方程如果用电流为自变量,其一般表达式为
k dku U R i
图 4.5.1 分段线性逼近
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其中 Uk 是第 k 段直线与 u 轴交点的坐标。显然,图 4.5.1 中的 U1=0 , U20 , U30 。 Rdk 为动态电阻,等于第 k 段直线的斜率,即
dkk
duR
di
k dku U R i
O 2U u
i
B
3U
1
32
A
C
3I
2I图中三条线段上,有三个动态电阻OA段是通过原点的直线
Rd1=RD1>0
AB段是下降的直线段 Rd20 RD2<0 Rd2 RD2
BC段是上升的直线段 Rd3>0 RD3>0 Rd3 RD3
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由上式可知,第 k 段非线性电阻 Rk 的特性可以用电压源串联线性电阻来等效,如图 (b)所示,称为分段戴维南电路。或电流源并联电导来等效如图 (c)所示,称为分段诺顿电路。
k dku U R i
k dki I G u 或
kIdkG
dkR
kU
i
udkR
i
u
i
u
图 4.5.2 非线性电阻及其线性化等效电路 (a) (b) (c)
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例 4.5.1 试用分段线性分析法求解图 4.5.3(a)所示电路,其中非线性电阻的伏安特性曲线如图 (b)所示。
i5
12V u
O 3
(A)i
Q B
1
2
A
(V)u41 2 5 6 7 8 9 10
8V
1V
0.8A
0.2A
(a) (b)图 4.5.3
0 1.5Vu 1.5Vu
解现在按电压分为两段,分别用OA ( )、 AB ( )两条直线分段逼近。取 u 为自变量,直线方程是
k dki I G u
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O 3
(A)i
Q B
1
2
A
(V)u41 2 5 6 7 8 9 10
8V
1V
0.8A
0.2A对 OA段,可测得Ik=0A , Gdk
=0.8S ,
对 AB段,可测得 Ik=1.0A , Gdk =0.025S
显然,这是一个虚假解,应该舍弃。
2.4 2.4 02.4V 1.5V
0.2 0.2 0.8k
dk
Iu
G
2.4 2.4 16.22V
0.2 0.2 0.025k
dk
Iu
G
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O 3
(A)i
Q B
1
2
A
(V)u41 2 5 6 7 8 9 10
8V
1V
0.8A
0.2A
此时正好在 AB段的范围内,代入直线方程得到
1 0.025 6.22 1.16Ak dki I G u
注意:对每个线性电路计算后,要根据电压和电流的等效范围进行校验,仅当工作点在其有关段的等效范围时,其解才是正确的。否则便是虚假工作点,应予以舍弃。
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4.6 数值分析法 数值分析法 (numerical analysis)一般采用逼近的方法,使用迭代的点序列逐步逼近非线性方程的解。逼近的方法有牛顿法、共轭梯度法等。本节主要介绍牛顿法。 含有一个非线性电阻电路的方程,最终可归结为一个一元非线性方程,假设电路方程的形式为
( ) 0f x (4.6.1)
式中 x 为待求的电路变量,一般为电压或电流。
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牛顿法:是基于围绕某一近似解 对函数 进行泰勒展开给出的,即
( )kx ( )f x
( ) ( )
2( ) ( ) ( ) 2
2
1( ) ( ) ( ) ( )
2k k
k k k
x x x x
df d ff x f x x x x x
dx dx
如果 很小,则可取一阶近似,得到( )kx x
( )
( ) ( )( ) 0 ( ) ( )k
k k
x x
dff x f x x x
dx
这是一个线性方程,记其解为 ,则有 ( 1)kx
( )
( 1) ( ) ( )( )k
k k k
x x
dfx x f x
dx
(4.6.3)
(4.6.2)
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O
( )f x
*x
y
x
kP
( 1)kx
( )kx
牛顿法的几何意义 图 4.6.1
f(x)=0 的解 x 可解释为曲线y=f(x) 与 x 轴的交点的横坐标,见图 4.6.1 。设 x(k) 是 x 的某个近似值,过曲线 y=f(x) 上横坐标为 x(k) 的点 Pk 作切线,并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x(k+1) 作为 x 的新的近似值。注意到切线方程为
( )
( ) ( )( ) ( )k
k k
x x
dfy f x x x
dx
由于这种几何含义,牛顿法也称为切线法
(4.6.4)
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例 4.6.1 用牛顿法求解图 4.6.2 所示电路的电压 和电流 ,其中 iS=0.673A ,二极管的电压电流关系为
2u
2i2
2400.1( )A1ui e
解 由电路可得 KCL方程
1 2Si i i 1 2
1
0.4i u 2
2400.1( 1)ui e 2u将 和 代入上式并整理,得到以
为变量的非线性电路方程
22 2
40 1( ) 0.1( 1) 0.673 0
0.4uf u e u
图 4.6.2
对 f(u2) 求导,得
22
2
40( )4 2.5udf ue
du
2u1i 2iSi
0.4
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2 0.047Vu
将 u2 的数值代入 式,可得22
400.1( 1)Aui e
2 0.555Ai
因此,牛顿法的迭代公式为( )2
( )2
( )( 1) ( ) 2
2 2
40
40
0.1 2.5 0.773
4 2.5
k
k
kk k
u
u
e uu u
e
其中上标表示迭代次数。取初始值 u2=0 时的迭代结果为
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对于含有多个非线性电阻电路的方程,最终可归结为一个多元非线性方程组,将一元牛顿法进行推广,可以得到求解多元非线性方程组的牛顿迭代法。假设电路方程的形式为
1
2
( ) 0
( ) 0
( ) 0n
f
f
f
x
x
x
(4.6.5)
与求解一元非线性方程类似,设 是第 k 次迭代值,将式(4.6.5)在近似解处进行泰勒展开,并只取一阶近似,得到
T1 2[ , , , ]nx x x x式中 为待求的电路变量,一般为电压或电流。
( ) ( ) ( ) ( ) T1 2[ , , , ]k k k k
nx x x x
( )kx
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这是一个线性方程组,写出矩阵形式有
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )1 1 2 2
1 2
( )
( ) 0 ( ) ( ) ( )
( ) ( 1, 2, , )
k k
k
k k ki ii i
kin n
n
f ff f x x x x
x x
fx x i n
x
x x x x
x x
x x
(4.6.6)
( )
1 1 1
1 2 ( )1
2 2 2 ( )( 1) ( ) 2
1 2
( )
1 2
( )
( )( )
( )
k
n k
kk k
n
kn
n n n
n
f f f
x x xf
f f ff
x x x
ff f f
x x x
x x
x
xx x
x
(4.6.7a)
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( ) ( 1) ( ) ( )'( )( ) ( )k k k k f x x x f x
简写成
其中系数矩阵 称为雅可比矩阵 (Jacobian matrix) , 为非线性方程组在 处的函数值向量。如果雅可比矩阵 是非奇异的,由式 (4.6.7b)解出 得
( )'( )kf x
( )( )kf x( )kx
( )'( )kf x
( 1)kx
( 1) ( ) ( ) 1 ( )[ '( )] ( )k k k k x x f x f x
上式可看成牛顿法的迭代公式 (4.6.2)的直接推广。(4.6.8)
(4.6.7b)
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例 4.6.2 用牛顿法求解图 4.6.3 所示电路各支路电流。电路中各非线性电阻的电压电流关系分别为 , 3
1 1i u 22 2i u
3/ 23 3i u
1i 2i
2u
1u 1l
①
3u4A12A
②
3i
图 4.6.3
解 : 列节点①、②的KCL方程得
1 2
2 3
12
4
i i
i i
3 21 2
2 3/ 22 3
12
4
u u
u u
代入非线性电阻的电压电流关系,得到
“ 十一五”规划教材—电路基础
将上式代入前面两式中,得到3 21 1 3
3/ 2 23 1 3
( ) 12
4 ( )
u u u
u u u
2 1 3u u u 列出回路 l1 的 KVL方程得
1i 2i
2u
1u 1l
①
3u4A12A
②
3i
由上式得到关于 u1 , u3 的非线性电路方程组3 2
1 1 3 1 1 3
2 3/ 22 1 3 1 3 3
( , ) ( ) 12 0
( , ) ( ) 4 0
f u u u u u
f u u u u u
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得到雅可比矩阵为
1 1 21 1 3 1 3
1 3
1/ 22 2 1 3 1 3 3
1 3
3 2( ) 2( )'( ) 3
2( ) 2( )2
f fu u u u uu u
f f u u u u uu x
f x
由式 (4.6.8) 得到迭代公式为
( )1( )3
( )1( )3
12( 1) ( ) 1 1 3 1 31 1
1/ 2( 1) ( )1 3 1 3 33 3
3 21 1 3
2 3/ 21 3 3
3 2( ) 2( )
32( ) 2( )
2
( ) 12
( ) 4
k
k
k
k
k k
k k
uu
uu
u u u u uu u
u u u u uu u
u u u
u u u
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对非线性方程组,可能会出现许多组解的情况,必须取不同的初始值进行迭代试运算。通过不同初始值的迭代运算,得到两组结果
1
3
2.0000
4.0000
u
u
1
3
2.2850
2.5490
u
u
和
经过验算,它们都是电路方程的解。
3 2 3/ 21 1 2 2 3 38A 4A 8Ai u i u i u , ,
3 2 3/ 21 1 2 2 3 311.9303A 0.0697A 4.0697Ai u i u i u , ,
由第二组解,得到 u2=u1u3= 0.2641V ,从而各支路电流为
由第一组解,得到 u2=u1u3 = 2V ,从而各支路电流为
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4.7 应用实例:温度测量与控制电路
1.1k
5V
1k
1k
1k 100k
5V
5V1u
Lu
Hu
tR
REFHu
REFLu
HR
LR
tu
1k
1k
tu
1N
2N
3N
图 4.7.1 温度测量与控制电路
(100 0.39 )tR T
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例 对图 4.7.1 所示电路,设计电阻 RL 、 RH ,使温度稳定在 85 ~ 100℃。解 如图 4.7.1 所示,注意到理想运算放大器的“虚断”特性(同相输入端电流为零), N1 的同相端输入电压为
应用叠加定理,同时注意到理想运算放大器的“虚断”特性(反相输入端电流为零),可求出 N1 的反相端电压 ut–
1000 5 50005 V
1000 1100 2100t t
tt t
R Ru
R R
1
1 15
1 1 1 100tu u
“ 十一五”规划教材—电路基础
由理想运算放大器的“虚短”特性,得到 于是得到
t t tu u u
1 101( 2.5)tu u
将电阻 Rt 的电阻值随温度 T (℃)变化的关系代入上式,得出 u1 随温度 T 变化的关系式为
1
5(100 0.39 ) 5000101 ( 2.5)
0.39 2200
Tu
T
1 3.75Vu 当 T=85℃ 时,算得 ,该电压值应该等于电压下限值 uREFL ,于是有
得出L 3kR
L
L
5 3.751
R
R
“ 十一五”规划教材—电路基础
当 T=100℃时,算得 ,该电压值应该等于电压上限值 uREFH ,
1 4.40Vu
H
15 4.4
1 R
H 136R 得出
于是有