ةّيعيبترلا ة ّلادلا :ةسداسلا ةدحولا...97 ˜˚˛˝˛˙ˆˇ ˚ˇ˘ ˇ˘...

97 الوحدة السادسة: الدالة الرتبيعية

الرتبيعية الدالة السادسة: الوحدة الدرس األول: التامثل

قص التالميذ، من ورقة مطوية، شباكا مربع الشكل بطرق مختلفة.

قص جامل مثلثا قص أسعد مربعا. قص أيوب مستطيال طول أحد أضالعه

ضعفي طول الضلع الثاين. قائم الزاوية ومتساوي الساقني.

خطالطي

خطالطي

خطالطي

خمنوا: ما هو شكل "الشباك" الذي حصل عليه كل واحد منهم عندما فتح الطي؟

نتعلم عن أشكال متامثلة وعن التامثل يف هيئة املحاور.

أشكال متامثلة

3 ورقات. اطووا .1قصوا "شباكا" كام قص كل واحد من التالميذ يف مهمة االفتتاحية.

اذكروا شكل الشباك الناتج.

من منهم قص شباكا شكله مربع؟

افحصوا، يف كل بند، هل ميكن طي الشكل إىل اثنني، بحيث يغطي قسم واحد القسم اآلخر. .2إذا كانت اإلجابة نعم، فارسموا خط الطي. إذا كان هنالك أكرث من خط طي واحد، فاذكروا ذلك.

أ.

ب.

ت.

ث.

الوحدة السادسة: الدالة الرتبيعية98

هنالك أشكال ميكن طيها إىل اثنني، بحيث يغطي قسم واحد القسم اآلخر.

نسمي هذه األشكال "أشكال متامثلة".

نسمي خط الطي "محور التامثل".

4 محاور متاثل. مثال: املربع هو شكل متامثل، ويوجد له

أو الخط املنصف )حسب ما قص أيوب(

أو القطر )حسب ما قص جامل(

ر ب ... نفك

متاثل يف هيئة املحاور .3 x لكل واحدة منها أ. سجلوا خمس نقاط، بحيث يكون اإلحدايث .3

عينوها يف هيئة املحاور، وارسموا مستقيام عربها. أي معادلة، من بني املعادالت التالية، هي التمثيل الجربي للمستقيم

x + y = 3 y = 3 x = 3 الذي رسمتموه؟

.x = –2 ب. ارسموا املستقيم

،0 x لكل واحدة منها نقاط، بحيث يكون اإلحدايث ت. سجلوا خمس

وعينوها يف هيئة املحاور. أين تقع هذه النقاط؟

الجربي للمحور التمثيل التالية، هي من بني املعادالت أي معادلة،

y؟x + y = 0 y = 0 x = 0

.4 I هو x لجميع النقاط التي تقع عىل املستقيم اإلحدايث

.x = 4 لذا؛ التمثيل الجربي لهذا املستقيم هو

.)–3) II هو x لجميع النقاط التي تقع عىل املستقيم اإلحدايث

.x = –3 لذا؛ التمثيل الجربي لهذا املستقيم هو

.0 y هو x لجميع النقاط التي تقع عىل محور اإلحدايث

.x = 0 y هو لذا؛ التمثيل الجربي ملحور

y

x2–2 4–4 0

2

–2

–4

4

x

y

0 2 4 6−4 −2

−2

2

4

6 III


ر ب ... نفك

حددوا، يف كل بند، هل هنالك متاثل بني زوج النقاط نسبة للمستقيم املرسوم؟ عللوا. .4

ت.ب.أ.

x = 2 هو محور متاثل. املستقيم املرسوم .5عينوا، يف كل بند، النقطة املعطاة يف هيئة املحاور.

املرسوم، للمستقيم نسبة املعطاة النقطة متاثل التي النقطة عينوا

إحداثييها. وسجلوا

C(–2, –2) ت. A(4, 3) أ. D(2, 5) ث. B(–3, 4) ب.

عدد = x هو محور متاثل، فإن: إذا كان معطى أن املستقيم

y نفسه، وتقعان عىل البعد نفسه عن املستقيم املعطى، هام نقطتان متامثلتان النقطتان اللتان لهام اإلحدايث

الواحدة لألخرى نسبة لهذا املستقيم.

.x = 2 (3 ,4) متامثلتان الواحدة لألخرى نسبة للمستقيم (3 ,0) و 5 النقطتان مثال: يف املهمة

جميع النقاط التي تقع عىل محور التامثل، هي متامثلة الواحدة لألخرى )بعدها عن محور التامثل هو صفر(.

(5 ,2) تقع عىل محور التامثل؛ لذا هي متامثلة لذاتها. 5 النقطة مثال: يف املهمة

متاثل خطوط بيانيةارسموا، يف كل بند، محور التامثل للخط البياين ولونوه. سجلوا التمثيل الجربي ملحور التامثل. .6

–2

–2

4

2

2

2

4

4

6

6

–2

–2

–2–4

–4

–4–6

0

0

0

2

4

2

2

y y y

x

x

x

ت.ب.أ.

x

y

0 2 4 6−4 −2

−2

2

4

6

x = 2


y محور التامثل للخط البياين. ارشحوا. أكملوا، يف كل بند، الرسمة بحيث يكون محور .7

–2–2

4

2

2

22

4

4

4

8

6

6

–2

–2

–4

–4

–4–4

–62 4–2–4 0

0

0

2

4

yyy

x

xx

ت.ب.أ.

مجموعة مهام

هل األشكال التالية متامثلة؟ إذا كانت اإلجابة نعم، فارسموا محور التامثل. .1إذا كان يف الشكل أكرث من خط متاثل واحد، فارسموا جميع خطوط التامثل.

إذا كنتم غري متأكدين يف اإلجابة، فارسموا وافحصوا ما إذا كان ميكن طي الشكل إىل قسمني، بحيث يغطي القسم

الواحد اآلخر.

IIIIVVII

IIVIII IVVI

x = 2 هو محور متاثل. املستقيم املرسوم .2عينوا، يف كل بند، النقطة املعطاة يف هيئة املحاور.

املرسوم، للمستقيم نسبة املعطاة النقطة متاثل التي النقطة عينوا

إحداثييها. وسجلوا A(5, 4) C(–2, 0)أ. ت.

B(0, 2) D(2, –2)ب. ث.

x = 2

x

y

0 2 4 6−4 −2

−2

2

4

6


عينوا، يف كل بند، النقطة املعطاة يف هيئة املحاور. .3وسجلوا ،y ملحور نسبة املعطاة النقطة متاثل التي النقطة عينوا

إحداثييها.

.y اذكروا النقاط املامثلة لذاتها نسبة ملحور

E(–2, 0)ج.C(3, –1)ت.A(0, 5)أ.

F(0, 2)ح.D(0, –2)ث.B(2, 4)ب.

أ. عينوا النقاط التالية يف هيئة املحاور. .4(3, 4) (–1, 4) (–3, 1) (1, –3) (5, 1)

صلوا بينها حسب الرتتيب، وصلوا بني النقطة األوىل واألخرية.

ب. ارسموا خط التامثل للشكل الذي حصلتم عليه.

ما هو التمثيل الجربي ملحور التامثل؟

ارسموا، يف كل بند، محور التامثل، وسجلوا متثيله الجربي. .5

2 4 6–2–2

–4

–4

0

2

4

y

x2 4 6 2 4 6 8

6

–2 –2

–2

–4

–2

–4

0 0

2

4

6

2

4

y y

x x

ت.ب.أ.

y محور التامثل للخط البياين. ارشحوا. أكملوا، يف كل بند، الرسمة بحيث يكون محور .6

2

2

4

4

–2–4

–2

0

y

x

4

4

6

–2

–2

–4 0 2

2

y

x–2

4

2–2–4 0

2

4

y

x

ت.ب.أ.

y

x2–2 4 6–4 0

2

–2

–4

4

y

x2–2 4 6–4 0

2

–2

–4

4


أمامكم رسمة الخط البياين لدالة. .7أ. ما هو محور التامثل؟

البياين، الخط عىل املعينة النقاط متاثل التي النقاط عينوا ب.

إحداثياتها. وسجلوا

اطووا ورقة، وقصوا منها "شباكا" شكله مثلث قائم الزاوية، بحيث تنتج األشكال التالية بعد فتحها. .8

ب.أ.

معطاة دالة خطها البياين متامثل يف كل مجال. .9.(2, 3) (3 ,8) و مير الخط البياين للدالة عرب زوج من النقاط املتامثلة:

أ. ما هو التمثيل الجربي ملحور التامثل؟

(1 ,3) تقع عىل الخط البياين للدالة. ب. معلوم أن النقطة سجلوا إحداثيي النقطة املامثلة لها.

1 2 3 4 5 6–2–3–4–5–6 –1 0–1

123456789

1011

y

x

(3,11)

(1,3)

(–2,6)


الدرس الثاين: ما هو القطع املكافئ؟

.y = x2 معطاة الدالة خمنوا: أي خط بياين، من بني الخطوط البيانية التالية، هو الخط

البياين املناسب للدالة املعطاة؟

IIIIIIIV

–2

–2

2

2

4

4

x

y

02

4

2 4 x

y

0–2–4 –2

2

4

x

y

0 2

2

4

4

x

y

0–2

–2

–4

y = x2 ، ونتعلم عن صفات الدالة. نتعرف عىل الخط البياين للدالة

.y = x2 أ. أكملوا الجدول للدالة .1

3210–1–2–3 x

y = x2

ب. عينوا النقاط يف هيئة املحاور، وصلوا بينها حسب الرتتيب.

1 2 3 4 5 6–2–3–4–5–6 –1 0–1

123456789

1011

y

x

ت. انسخوا الرسمة املرفقة عىل ورقة شفافة.

ضعوا الرسمة عىل النقاط التي عينتموها.

هل تقع جميع النقاط عىل الرسمة؟

y = x2 ؟ ث. هل يوجد محور متاثل للخط البياين الذي رسمتموه للدالة

إذا كانت اإلجابة نعم، فلونوه وسجلوا متثيله الجربي.

انتبهوا! احتفظوا "بالقطع املكافئ الشفاف" الذي رسمتموه يف بند ت. نستعني به يف الدروس القادمة.


نسمي الدالة y = x2 دالة تربيعية.

نسمي الخط البياين للدالة الرتبيعية القطع املكافئ.

يوجد محور متاثل للقطع املكافئ.

نسمي نقطة التقاء الخط البياين مع محور التامثل رأس القطع املكافئ.

.y = x2 مثال: أمامكم قطع مكافئ، وهو الخط البياين للدالة .y محور التامثل للقطع املكافئ هو محور .x = 0 التمثيل الجربي ملحور التامثل هو

.(0, 0) إحداثيا رأس القطع املكافئ

مالحظة: نتعرف يف الدروس القادمة عىل قطوع مكافئة إضافية.

رأس

محورالتماثل

x

y

0 2–2

2

4

6

ر ب ... نفك

.y = x2 y عىل الخط البياين للدالة أمامكم أزواج من النقاط املتامثلة نسبة ملحور .2أكملوا، يف كل بند، اإلحداثيات املناسبة.

)أ. , 16) )ت.(16 ,4) , ) )ج.(9 ,3) , ) (0, 0)

( , 2)ب. ( , 1–)ث.(4 ,2–) )ح.( ,1) , 25) ( , 25)

.y = x2 أمامكم الخط البياين للدالة .3x؟ أ. ما هام إحداثيا نقطة تقاطع الخط البياين للدالة مع محور

y؟ ب. ما هام إحداثيا نقطة تقاطع الخط البياين للدالة مع محور

ت. لونوا باألخرض قسم الخط البياين الذي تكون فيه الدالة تصاعدية، ولونوا

.x املجال املناسب عىل محور

.x أكملوا: الدالة تصاعدية يف املجال عىل محور

ث. لونوا باألحمر قسم الخط البياين الذي تكون فيه الدالة تنازلية، ولونوا

.x املجال املناسب عىل محور

.x أكملوا: الدالة تنازلية يف املجال عىل محور

1 2 3 4–2–3–4 –1 0–1

123456789y

x


للتذكري

ميكن أن نفحص أن الدالة تصاعدية أو تنازلية بطريقتني:

بواسطة "التقدم" من اليسار إىل اليمني عىل الخط البياين للدالة.

إذا كان "التقدم" عىل الخط البياين باتجاه الصعود، فإن الدالة تصاعدية.

إذا كان "التقدم" عىل الخط البياين باتجاه النزول، فإن الدالة تنازلية.

x من اليسار إىل اليمني. بواسطة "التقدم" عىل محور

x يف املجال: إذا تقدمنا لكل

ت، فإن الدالة تصاعدية. y كبر x وإحداثيات ال عىل محور

رت، فإن الدالة تنازلية. y صغر x وإحداثيات ال عىل محور

.y = x2 )3، الخط البياين هو للدالة )القطع املكافئ مثال: يف املهمة 0 فام فوق. الدالة تصاعدية من

.x > 0 نكتب: الدالة تصاعدية يف املجال الدالة تنازلية حتى 0.

.x < 0 نكتب: الدالة تنازلية يف املجال

يف كل بند: .4

.x لونوا باألخرض قسم الخط البياين الذي تكون فيه الدالة تصاعدية، ولونوا املجال املناسب عىل محور

.x لونوا باألحمر قسم الخط البياين الذي تكون فيه الدالة تنازلية، ولونوا املجال املناسب عىل محور

2

2

4

x

y

0–2–2

2

2

4 2 4

4

x

y

0–2–2

–4

–2–4

2

4

6

x

y

0

x–2

–2

2

4y

0

ث.ت.ب.أ.

شكل املسار لجسم يطلق بزاوية نسبة إىل األرض )مثال: نقذف كرة باتجاه السلة، مياه تتدفق من

نافورة مياه، أو مفرقعات تطلق من منصة مفرقعات( هو قطع مكافئ )تقريبا( وذلك نتيجة لقوة

الجاذبية التي تؤثر عىل الجسم )وزنه(.

إذا أهملنا مقاومة الهواء فنحصل عىل مسار قطع مكافئ دقيق.

1 2 3–2–3 –1 0–1

12345y

xمجال النزولمجال الصعود




لونوا باألخرض قسم الخط البياين الذي تكون فيه الدالة تصاعدية،

لونوا باألحمر قسم الخط البياين الذي تكون فيه الدالة تنازلية.

x الدالة تنازلية. x الدالة تصاعدية، ويف أي قيم يف أي قيم

أ.

2 4–2

–2

0

2

y

x

ت.

2–2

–2

0

2y

x

. الدالة 1 حتى

. الدالة 1 وهلم جرا من

. الدالة x لكل

ب.

2 4–2

–2

0

2y

x

ث.

2 4–2

–2

0

2

x

y

الدالة تصاعدية. حتى

تنازلية. الدالة وهلم جرا من

. الدالة 2 حتى

. الدالة 2 وهلم جرا من


لونوا باألخرض قسم الخط البياين الذي تكون فيه الدالة تصاعدية،

لونوا باألحمر قسم الخط البياين الذي تكون فيه الدالة تنازلية.

x الدالة تنازلية. x الدالة تصاعدية، ويف أي قيم يف أي قيم

0 2 4

2

4

x

y

0 2 4

–2

–4

x

y

00 –2 2 4

–2

2

x

y

–2 2–2

2

x

y ث.ت.ب.أ.


.y = x2 وية" للدالة أكملوا "بطاقة هر .3وية الدالة هي مجموعة الصفات التي متيز الدالة وتساعد يف متييزها. للتذكري: بطاقة هر

y = x2 التمثيل الجربي للدالة

الرسمة 2

4

2 x

y

0–2

محور التامثل

إحداثيا نقطة الرأس

)y = 0 ،نقطة الصفر( xإحداثيا نقطة التقاطع مع محور

(x = 0) yإحداثيا نقطة التقاطع مع محور

من 0 وهلم جرا x > 0 مجال تصاعد الدالة

مجال نزول الدالة

هل ميكن أن نضع " القطع املكافئ الشفاف" يف هيئة املحاور، بحيث تكون جميع قيمه موجبة؟ .4إذا كانت اإلجابة نعم، فام هام إحداثيا نقطة الرأس؟

إذا كانت اإلجابة ال، فارشحوا.

1 2 3 4 5 6–2–3–4–5–6 –1 0–1

123456789

1011

y

x


المئوا كل خط بياين ملجال الصعود ومجال النزول. .5

1 2-2-3 -1 0

1

2y

x

حتى1 الدالة تنازلية

من 1 وهلم جرا الدالة تصاعدية

1 2-2-3 -1 0-1

-2

1

x

y

لكل x الدالة تصاعدية

1 2 3-1 0-1

1

2

x

y

حتى 1 الدالة تصاعدية

من 1 وهلم جرا الدالة تنازلية

1 2 3-1 0

-1

1

x

y

لكل x الدالة تنازلية

ارسموا، يف كل بند، الخط البياين للدالة التي تحقق الرشوط املسجلة: .6حتى 2 الدالة تنازليةأ.

من 2 وهلم جرا الدالة تصاعدية.

الدالة متر عرب النقطة (0 ,2–)

.x الدالة تصاعدية لكلy

x2–2 4–4 0

2

–2

–4

4

y

x2–2 4–4 0

2

–2

–4

4


الدرس الثالث: القطع املكافئ واملستقيم

.y = x2 أمامكم الخط البياين للقطع املكافئ

خمنوا: هل هنالك نقاط مشرتكة للقطع املكافئ y = x2 واملستقيم y = 4 ؟

نحل معادالت بطريقة بيانية وبطريقة جبية.

نتطرق يف املهمتني 1 و 2 إىل املعطيات التي وردت يف مهمة االفتتاحية.

.y = 4 واملستقيم y = x2 رسم يوسف الخط البياين للدالة .1وجد يوسف أن هنالك نقطتان مشرتكتان للقطع املكافئ واملستقيم.

ما هي إحداثيات هاتان النقطتان؟

قال ماجد: إليجاد إحداثيات النقاط املشرتكة للقطع املكافئ .2 .x2 = 4 قمت بحل املعادلة y = 4 واملستقيم y = x2

أ. هل قول ماجد صحيح؟ ارشحوا.

ب. حلوا معادلة ماجد.

كم حالا حصلتم؟ ما هي؟

ما هي إحداثيات النقاط املشرتكة )نقاط التقاطع( حسب هذا الحل؟

ميكن إيجاد إحداثيات نقاط التقاطع بني القطع املكافئ واملستقيم بطريقتني:

بطريقة بيانية: نرسم الخطوط البيانية، ونبحث عن نقاط تقاطع بني القطع املكافئ واملستقيم.

مثال: حل يوسف، يف املهمة 1، املسألة التي وردت يف مهمة االفتتاحية بطريقة بيانية. رسم يوسف الخطني البيانيني للدالتني، وقرأ من الرسمة إحداثيات نقاط التقاطع.

هذا يعني أن نقطتا التقاطع هام: (4 ,2) و (4 ,2–).

بطريقة جبية: نسجل معادلة فيها قيم متساوية للدالتني ونحلها.

مثال: حل ماجد، يف املهمة 2، املسألة التي وردت يف مهمة االفتتاحية بطريقة جربية..x = –2 أو x = 2 :وحصل عىل حلني x2 = 4 سجل املعادلة

لذا؛ إحداثيات نقاط التقاطع هي: (4 ,2) و (4 ,2–).

y = x2

y = 4

2–2 0

12345y

x

1 2 3–2–3 –1 0–1

12345y

x

y = x2

y = 4

1 2 3–2–3 –1 0–1

12345y

x


ر ب ... نفك

أ. هل هنالك نقاط مشرتكة للقطع املكافئ y = x2 واملستقيم y = –1؟ ارشحوا. .3ب. هل يوجد حل للمعادلة x2 = –1؟ ارشحوا.

ت. اقرتحوا مستقيامت إضافية ال يوجد لها نقاط مشرتكة مع القطع املكافئ.

، فارشحوا. حلوا املعادالت بالطريقة التي ترغبونها. إذا مل تجدوا حالا .4x2 = 100ج.x2 = –4ث.x2 = 0ت.x2 = 9ب.x2 = 25أ.

، فاذكروا ذلك(. كم حالا يوجد للمعادلة؟ ارشحوا. )إذا مل تجدوا حالا .5x2 = 0ج.x2 = –9ث.x2 = 5ت.x2 = 36ب.x2 = 16أ.

ر ب ... نفك

.x2 = معطاة املعادلة .6أ. أي أعداد نسجلها يف املكان الفارغ، بحيث تنتج معادلة لها حالن؟

ب. أي أعداد نسجلها يف املكان الفارغ، بحيث تنتج معادلة لها حل واحد فقط؟

ت. أي أعداد نسجلها يف املكان الفارغ، بحيث تنتج معادلة ال يوجد لها حل؟

x2 = معطاة املعادلة

إذا سجلنا عددا موجبا يف املكان الفارغ،

فاملعادلة لها حالن )العدد املوجب له جذران تربيعيان مختلفان(.

يف الرسم البياين: املستقيم البنفسجي والقطع املكافئ لهام حالن مشرتكان.

إذا سجلنا، يف املكان الفارغ، 0،

فاملعادلة لها حل واحد )العدد 0 له جذر تربيعي واحد(.

يف الرسم البياين: املستقيم البنفسجي والقطع املكافئ لهام نقطة مشرتكة واحدة

).x (0 ,0). )يف هذه الحالة، يتحد املستقيم البنفسجي مع محور

إذا سجلنا عددا سالبا يف املكان الفارغ،

فال يوجد حل للمعادلة )العدد السالب ال يوجد له جذر تربيعي(.

يف الرسم البياين: املستقيم البنفسجي والقطع املكافئ ال يوجد لهام نقطة مشرتكة.

y

xx = 0

y = x2

y = 0

1 2 3–2–3 –1 0–1–2

1234

y

x

y

x

y = x2

y =

y

x

y = x2

y =



.y = x2 أمامكم القطع املكافئ للدالة .1معطى، يف كل بند، متثيل جربي للمستقيم.

سجلوا إحداثيات النقاط املشرتكة للمستقيم والقطع املكافئ.

)ميكنكم االستعانة برسمة مستقيم مناسب(. إذا مل تجدوا نقاطا مشرتكة، فاذكروا ذلك.

y = 0ت.y = 9أ.

y = –4ث.y = 25ب.

معطى، يف كل بند، متثيل جربي للمستقيم. .2حددوا: كم نقطة مشرتكة يوجد للمستقيم والقطع املكافئ y = x2؟

y = –5ث.y = 5ت.y = 0ب.y = 16أ.

، فارشحوا. حلوا املعادالت. إذا مل تجدوا حالا .3x2 = 64ج.x2 = 0ث.x2 = –9ت.x2 = 9ب.x2 = 1أ.

، فارشحوا. حلوا املعادالت. إذا مل تجدوا حالا .4x2 = 144ج.x2 = 81ث.x2 = –25ت.x2 = 25ب.x2 = 49أ.

حددوا، يف كل بند، عدد حلول املعادلة. ارشحوا. )إذا مل تجدوا حالا فاذكروا ذلك(. .5x2 = 0ج.x2 = –16ث.x2 = 30ت.x2 = 8ب.x2 = 4أ.

أ. سجلوا عددا يف املكان الفارغ = x2 ، بحيث تنتج معادلة لها حالن. .6ب. سجلوا عددا يف املكان الفارغ = x2، بحيث تنتج معادلة لها حل واحد فقط.

ت. سجلوا عددا يف املكان الفارغ = x2 ، بحيث تنتج معادلة ال يوجد لها حل.

1 2 3–2–3 –1 0–1–2–3

12345y

x


y الدرس الرابع: إزاحة عىل طول محور

معطى ثالثة قطوع مكافئة وثالثة متثيالت جربية.

y = x2 – 2 y = x2 + 2 y = x2 :المئوا كل قطع مكافئ للتمثيل الجربي املناسب

IIIIII

x

y

x

y

x

y

نتعلم كيفية إزاحة القطع املكافئ y = x2 ، ونبحث صفات الدالة بعد اإلزاحة.

ضعوا "القطع املكافئ الشفاف" عىل الخط البياين للدالة y = x2 املرسومة. .1أ. أزيحوا "القطع املكافئ الشفاف" 3 وحدات إىل أعىل، بحيث يكون رأسه يف النقطة (3 ,0).

ب. أي متثيل، من بني التمثيالت التالية، هو التمثيل الجربي للقطع

املكافئ الذي متت إزاحته؟ ارشحوا.

y = x2 + 3 y = x2

y = (x + 3)2 y = x2 – 3

ت. هل يتقاطع الخط البياين الناتج بعد اإلزاحة مع محور x؟ ارشحوا.

ث. ما هام إحداثيا نقطة رأس الدالة التي متت إزاحتها؟

ج. ما هو املجال الذي تكون فيه الدالة، التي أزحيت، تصاعدية؟

ح. ما هو املجال الذي تكون فيه الدالة، التي أزحيت، تنازلية؟

.y > 0 الدالة موجبة يف مجال معني إذا كانت قيم الدالة موجبة يف املجال نفسه، هذا يعني أن •.x يف التمثيل البياين: النقاط املناسبة للقيم املوجبة للدالة هي نقاط الخط البياين للدالة التي تقع فوق محور

.y < 0 الدالة سالبة يف مجال معني إذا كانت قيم الدالة سالبة يف املجال نفسه، هذا يعني أن •.x يف التمثيل البياين: النقاط املناسبة للقيم السالبة للدالة هي نقاط الخط البياين للدالة التي تقع تحت محور

مثال: قيم الدالة، يف الرسمة، موجبة بني (1–) إىل 4. قيم الدالة سالبة عىل يسار العدد (1–) وعىل ميني العدد 4.

1 2 3 4 5 6–2–3–4–5–6 –1 0–1

123456789

1011

y

x

1 2 3 4 5–2–3 –1 0–1–2

12y

xاجملال السالب للدالةاجملال السالب للدالة اجملال املوجب للدالة


ر ب ... نفك

نتطرق إىل الدالة التي متت إزاحتها يف املهمة 1. .2أ. يف أي مجال الدالة موجبة؟

ب. هل هنالك مجال فيه الدالة سالبة؟

ضعوا "القطع املكافئ الشفاف" عىل الخط البياين للدالة y = x2 املرسومة. .34 وحدات إىل أسفل عىل طول أ. أزيحوا "القطع املكافئ الشفاف"

.y محور

ب. سجلوا تعبريا جربياا للدالة التي متت إزاحتها؟

ت. سجلوا إحداثيي نقطة الرأس.

ث. حددوا: هل تتقاطع الدالة التي أزحيت مع محور x؟

إذا كانت اإلجابة نعم، فسجلوا إحداثيات نقاط التقاطع.

ج. ما هي املجاالت التي تكون فيه الدالة، التي أزحيت، موجبة؟

ح. ما هو املجال الذي تكون فيه الدالة، التي أزحيت، سالبة؟

خ. ما هو املجال الذي تكون فيه الدالة، التي أزحيت، تصاعدية؟

د. ما هو املجال الذي تكون فيه الدالة، التي أزحيت، تنازلية؟

الخط البياين للدالة y = x2 + c هو القطع املكافئ الناتج من األزاحة العمودية للدالة y = x2 مبقدار c وحدات

.)y محور( x = 0 عىل طول محور التامثل

.(0, c) إحداثيا نقطة الرأس للدالة التي أزحيت هام

أمثلةy = x2 عندما نحرك y = x2 + 1 ينتج القطع املكافئ •

وحدة واحدة إىل أعىل عىل طول محور التامثل.

إحداثيا نقطة الرأس (1, 0).

.x ال توجد نقاط تقاطع للقطع املكافئ مع محور

ينتج القطع املكافئ y = x2 – 4 عندما نحرك y = x2 مبقدار4 وحدات إىل أسفل •عىل طول محور التامثل.

إحداثيا نقطة الرأس(4– ,0).

x هنالك نقطتا تقاطع للقطع املكافئ مع محور

وهام (0 ,2) و (0 ,2–).

1 2 3–2–3 –1 0–1

1234y

x

1 2 3–2–3 –1 0–1–2–3–4

123y

x

1 2 3 4 5 6–2

–2

–3

–3

–4

–4–5

–5–6

–6

–1 0–1

1234567y

x


أ. أزيحوا الخط البياين للدالة y = x2 ، بحيث يكون الرأس يف النقطة (4 ,0). .4 اكتبوا التمثيل الجربي للدالة الناتجة.

حددوا هل يوجد أو ال يوجد للدالة نقطة تقاطع مع محور x؟

ب. أزيحوا الخط البياين للدالة y = x2 ، بحيث يكون الرأس يف النقطة (1– ,0).

اكتبوا التمثيل الجربي للدالة الناتجة. حددوا هل يوجد أو ال يوجد للدالة نقطة تقاطع مع محور x؟

أكملوا. .5التمثيل

محور التامثلالجربي للدالةإحداثيا

نقطة الرأسيوجد أو ال يوجد

x نقطة تقاطع مع محور

y = x2 – 3أ.

y = x2 + 2ب.

y = x2 + 5ت.

y = x2 – 6ث.

y = x2 + 4 y = x2 – 4 :وية" الدالتني أكملوا "بطاقة هر .6

y = x2 – 4 y = x2 + 4 التمثيل الجربي للدالة

الرسمة 1 2 3–2–3 –1 0

–1–2–3–4

1y

x

1 2 3–2–3 –1 0–1

123456

y

x





مجال تصاعد الدالة


(y > 0) املجال املوجب للدالة

(y < 0) املجال السالب للدالة



.y = x2 + 2 أمامكم رسمة الخط البياين للدالة .1أ. ما هو محور التامثل؟

ب. ما هام إحداثيا نقطة الرأس؟

سجلوا، يف كل بند، التمثيل الجربي ملحور التامثل وإحداثيا نقطة الرأس للدالة. .2

y = x2 – 40ت.y = x2 + 40ب.y = x2 + 18أ.

أكملوا )ميكنكم االستعانة بإزاحة الخط البياين الشفاف(. .3التمثيل

محور التامثلالجربي للدالةإحداثيا


x نقطة تقاطع مع محور

y = x2 – 3أ.

y = x2 + 3ب.

y = x2 – 9ت.

أ. أكملوا )ميكنكم، يف قسم من الحاالت، االستعانة بإزاحة الخط البياين الشفاف(. .4التمثيل

الجربي للدالةإحداثيا


x نقطة تقاطع مع محور y = x2 – 2

y = x2 + 5

y = x2 + 150

y = x2 – 100

أمامكم صفات، أي منها تحفظ لكل الدوال يف بند أ؟ أشريوا إليها.

.x = 0 محور التامثل -

الدالة تنازلية حتى 0 وتصاعدية من 0 وهلم جرا. -

رأس القطع املكافئ هو (0 ,0). -

.y يقع رأس القطع املكافئ عىل محور -

الدالة موجبة يف كل مجال. -

1 2 3 4 5 6–2–3–4–5–6 –1 0–1

1234567y

x


اكتبوا لكل متثيل جربي للدالة الحرف املسجل إىل جانب الخط البياين للدالة املناسب للتمثيل الجربي. ماذا حصلتم؟ .5

الحرفالتمثيل الجبي للدالة

y = x2

y = x2 – 2

y = x2 + 2

اكتبوا لكل متثيل جربي للدالة الحرف املسجل إىل جانب الخط البياين للدالة املناسب للتمثيل الجربي. ماذا حصلتم؟ .6

الحرفالتمثيل الجبي للدالة

y = x2 + 3

y = x2 – 1

y = x2

y = x2 + 5

y = x2 – 3

y = x2 + 2

x

y

י

פ

ה

1 2

–2

–2 0–1

–1

1

2

3

4

x

y

0 2

2

4

6

8

–2

–2


y = x2 + 1 y = x2 – 1 :وية" الدالتني أكملوا "بطاقة هر .7


الرسمة 1 2 3–2–3 –1 0

–1

123y

x1 2 3–2–3 –1 0

–1

123

y

x









سجلوا تعبريا جربياا مناسبا لكل قطع مكافئ. .8

x

y

x

y

x

y

x

y

23

–2

–3

ث.ت.ب.أ.

سجلوا، يف كل بند، عددا مناسبا يف املكان الفارغ. .9.x ال يوجد لها نقاط تقاطع مع محور y = x2 + أ. الدالة التي صورتها

.x يوجد لها نقطة تقاطع مع محور y = x2 + ب. الدالة التي صورتها

.x يوجد لها نقطتا تقاطع مع محور y = x2 + ت. الدالة التي صورتها


الدرس الخامس: النقاط الصفرية

.y = x2 – 9 أمامكم رسمة الخط البياين للدالة

ما هي إحداثيات النقاط الصفرية للدالة؟

نجد النقاط الصفرية للقطوع املكافئة بطريقة بيانية وبطريقة جبية.

2 4 6–2

–2

–4

–4

–6

–6

–8

–10

0

2y

x

.x2 – 9 = 0 أ. حلوا املعادلة .1ب. ما هي العالقة بني حلول املعادلة، يف بند أ، والنقاط الصفرية للدالة يف مهمة االفتتاحية؟

للتذكري

نقاط تقاطع الخط البياين للدالة مع محور x هي النقاط الصفرية للدالة.

.( قيمة الدالة يف هذه النقاط هي 0 وصورتها (0 ,

ميكن إيجاد إحداثيات هذه النقاط بطريقتني:

.x بطريقة بيانية: نبحث عن نقاط فيها الخط البياين للدالة يتقاطع مع محور • .y = x2 – 4 مثال: يف رسمة الخط البياين للدالة

.x الخط البياين للدالة له نقطتان تقاطع مع محور هذا يعني أن إحداثيات النقاط الصفرية هي: (0 ,2) و (0 ,2–).

بطريقة جبية: نسجل معادلة فيها قيمة الدالة 0. •.x ونجد القيم املناسبة ل ، y = 0 هذا يعني أن نحل املعادلة

.x = –2 أو x = 2 :ونحصل عىل حلني x2 – 4 = 0 مثال: نحل املعادلة لذا؛ إحداثيات النقاط الصفرية )نقاط التقاطع مع محور x( هي: (0 ,2) و (0 ,2–).

1 2 3–2

–2

–3

–3–4

–1 0–1

12y

xنقطة صفرية

صفريةنقطة


.)x جدوا، يف كل بند، النقاط الصفرية للدالة )نقاط التقاطع مع محور .2عينوا األعداد يف األماكن املناسبة يف الرسمة التقريبية املناسبة.

الرسمة التقريبية هي رسمة بالتقريب للخط البياين عىل هيئة محاور غري مقسمة إىل تربيعات ودون إشارات تقسيم.

التعيني يف الرسمة التقريبية: y = x2 – 36 الدالة مثال: x2 – 36 = 0 :نحل املعادلة

x2 = 36 x = –6 أو x = 6

النقاط الصفرية هي: (0 , 6–) (0 , 6)

6–6 x

y

y = x2 – 16ب.y = x2 – 25أ.

ر ب ... نفك

حددوا، يف كل بند، عدد النقاط الصفرية للدالة. ارشحوا. .3ميكنكم االستعانة برسمة تقريبية مناسبة.

y = x2 + 8ث.y = x2 – 8ت.y = x2 + 5ب.y = x2 – 5أ.

أ. عينوا النقاط الصفرية يف كل خط بياين إن وجدت. إذا مل تجدوا فاذكروا ذلك. .4

x

y I

x

y II

x

y III

x

y IV

ب. التمثيالت الجربية للقطوع املكافئة، يف بند أ، هي:

y = x2y = x2 – 9y = x2 + 4y = x2 – 4

المئوا كل متثيل جربي للخط البياين املناسب. ارشحوا كيف متت املالءمة؟

حلوا املعادالت التالية. إذا مل تجدوا حالا فارشحوا. .5

x2 + 4 = 0ج.x2 = 0ت.x2 – 4 = 0أ.

x2 + 9 = 0ح.x2 – 100 = 0ث.x2 – 81 = 0ب.

x

y x

y


جدوا، يف كل بند، النقاط الصفرية للدالة )إن وجدت(، وارسموا رسمة تقريبية مناسبة. .6

أمثلةy = x2 – 25 الدالة:

x2 – 25 = 0x2 = 25

x = –5 أو x = 5يوجد للقطع املكافئ نقطتان صفريتان وهام:

(–5, 0) (5, 0)

y = x2 + 9 الدالة:

x2 + 9 = 0x2 = –9ال يوجدحل للمعادلة،

xوال توجد نقاط صفرية للقطع املكافئ.

y

x5–5

y

y = x2 – 0.25ث.y = x2 – 100ت.y = x2 + 1ب.y = x2 – 1أ.


.y = x2 – 4 معطى القطع املكافئ .1أ. ما هام إحداثيا نقطة الرأس للقطع املكافئ؟

ب. هل توجد نقطة صفرية للقطع املكافئ؟ إذا كانت اإلجابة نعم، فسجلوا إحداثييها. إذا كانت اإلجابة ال فارشحوا.

أمامكم قطعان مكافئان مناسبان للدالتني: .2 y = x2 – 2 y = x2 + 2

أ. المئوا كل خط بياين للدالة املناسبة. ارشحوا.

ب. ما هام إحداثيا نقطة الرأس لكل قطع مكافئ؟

.y = x2 + 5 ت. أضيفوا، إىل الرسمة التقريبية، الخط البياين للدالة

أمامكم قطوع مكافئة مناسبة للدوال: .3

y = x2 y = x2 – 4 y = x2 + 3

أ. المئوا كل خط بياين للدالة املناسبة. ارشحوا.

.y = x2 – 2 ب. أضيفوا، إىل الرسمة التقريبية، الخط البياين للدالة

ت. أمامكم صفات، أي منها تحفظ لكل الدوال يف بند أ؟ أشريوا إليها.

.x = 0 محور التامثل -

- الدالة تنازلية حتى 0 وتصاعدية من 0 وهلم جرا.

- رأس القطع املكافئ هو (0 ,0).

.y يقع رأس القطع املكافئ عىل محور -

- الدالة موجبة يف كل مجال.

III

x

y

x

y

II

III

I


.y = x2 + 1 معطاة الدالة .4أ. أكملوا جدول الدالة.

3210–1–2–3 x

y = x2 + 1

ب. عينوا النقاط يف هيئة املحاور، وصلوا بينها للحصول عىل القطع املكافئ.

ت. ما هو محور التامثل للدالة؟

ث. ما هام إحداثيا نقطة الرأس؟

ج. يف أي قيم x تكون الدالة تصاعدية؟

يف أي قيم x تكون الدالة تنازلية؟

ح. هل توجد نقاط صفرية للدالة؟

.)x جدوا، يف كل بند، النقاط الصفرية للدالة )نقاط التقاطع مع محور .5سجلوا األعداد، يف األماكن املناسبة، عىل املحور.

y = x2 – 100ت.y = x2 – 64ب.y = x2 – 1أ.

x

y

x

yx

y

حلوا املعادالت. إذا مل تجدوا حالا فارشحوا. .6

x2 + 25 = 0ث.x2 – 81 = 0ت.x2 – 25 = 0ب.x2 – 16 = 0أ.

حلوا املعادالت. إذا مل تجدوا حالا فارشحوا. .7

xب.x2 – 49 = 0أ. – 41 02 x2 – 225 = 0ث.x2 + 64 = 0ت.=

2 4–2–4 0

–2

2

4

6

8

10y

x


ارسموا، يف كل بند، رسمة تقريبية مناسبة، وجدوا إحداثيات النقاط الصفرية للدالة )إن وجدت(. .8

y = x2 + 4ث.y = x2 – 4ت.y = x2ب.y = x2 – 16أ.

y = x2 + 9 y = x2 – 9 وية" الدالة: أكملوا "بطاقة هر .9


الرسمة التقريبية









ارسموا، يف كل بند، القطع املكافئ املناسب، وسجلوا التمثيل الجربي للدالة املناسب للخط البياين. .10أ. القطع املكافئ أ تنازيل عىل يسار ال 0، تصاعدي عىل ميني ال 0 وتوجد له نقطة صفرية واحدة.

ب. القطع املكافئ ب تنازيل عىل يسار ال 0، تصاعدي عىل ميني ال 0 وتوجد له نقطتان صفريتان.

ت. القطع املكافئ ت تنازيل عىل يسار ال 0، تصاعدي عىل ميني ال 0 وال توجد له نقاط صفرية.


نحافظ على لياقة رياضية

الدوال

ميتلئ حوض ماء بواسطة حنفيتني. .1أغلقت إحدى الحنفيتني بعد مرور زمن معني. وأغلقت الحنفية الثانية فيام بعد أيضا.

ات يف ارتفاع املاء يف الحوض كدالة للزمن. يصف الخط البياين الذي يظهر يف الرسمة التغرير

أجيبوا من الرسم البياين:

أ. بعد مرور كم من الوقت أغلقت الحنفية األوىل؟

ب. كم كان ارتفاع املاء يف الحوض عندما أغلقت الحنفية األوىل؟

ت. بعد مرور كم من الوقت أغلقت الحنفية األوىل؟

ث. كم كان ارتفاع املاء عندما كانت الحنفيتني مغلقتني؟

أشريوا إىل جميع الدوال التي خطها البياين مير عرب النقطة (5 , 3). .2

y = x2 – 4ج.y = 5(x – 3)ت.y = 2x – 1أ.

y = 14 – x2ح.y = 5(x – 2)ث.y = 3x + 5 ب.

.y = · (x – 2) معطاة الدالة .3.x = 4 عندما يكون معطى أن y = 12 أكملوا عددا يف املكان الفارغ، بحيث نحصل عىل

أكملوا، لكل دالة، اإلحدايث y للنقطة ( , 3)، وسجلوه يف الرتبيعة املناسبة. .4

y = x2 – 1 خ.y = 2x – 5ث.y = 9 – x أ.

yد.y = 2x – 1ج.y = 2x + 1ب.3x2=

y ت.xyذ.y = x2ح.=6

x12=

ت.ب.أ.

ح.ج.ث.

ذ.د.خ.

احسبوا مجموع كل سطر، كل عمود وكل قطر. عىل ماذا حصلتم؟

x0

y

35

20

8 30الزمن (بالدقائق)

ارتفاع املاء(بالسم)

ةّيعيبترلا ة ّلادلا :ةسداسلا ةدحولا...97 ˜˚˛˝˛˙ˆˇ ˚ˇ˘ ˇ˘...

Documents