Математика в приложениях. Всероссийская конференция,...

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУКСИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С.Л. СОБОЛЕВА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИКА В ПРИЛОЖЕНИЯХ

Всероссийская конференция,приуроченная к 80-летию академикаСергея Константиновича Годунова

20–24 июля 2009 г.

Тезисы докладов

НОВОСИБИРСК2009

УДК 519.6:517.9:532:533:539.3ББК B192+B161.6+В253+В251

М34

Математика в приложениях. Всероссийская конференция, приуро-ченная к 80-летию академика С.К. Годунова (Новосибирск, 20–24 июля2009 г.): Тез. докладов / Ин-т математики СО РАН. Новосибирск, 2009.334 с.

ISBN 978-5-86134-158-5.

М1602070100−03Я82(03)−09

Без объявл.

ISBN 978-5-86134-158-5

c© Институт математикиим. С.Л. Соболева СО РАН,2009

Организаторы

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАННовосибирский государственный университет

Программный комитет

Ю.Л. Ершов — председатель, В.Н. Белых — заместитель предсе-дателя, В.Л. Мирошниченко — ответственный секретарь, Э.Л. Аким,В.С. Белоносов, В.И. Бердышев, К.В. Брушлинский, В.Л. Васкевич,Ю.С. Волков, А.М. Ильин, В.П. Карликов, А.Н. Коновалов, В.И. Ко-стин, А. Г. Куликовский, А.Н. Малышев, М.В. Масленников, Б. Г. Ми-хайленко, П.И. Плотников, Е.И. Роменский, B.C. Рябенький, И.А. Тай-манов, В.М. Фомин

Organizers

Sobolev Institute of Mathematics SB RASNovosibirsk State University

Program Committee

Yu. L. Ershov, Chairman, V.N. Belykh, Vice-chairman, V. L. Miroshni-chenko, Secretary, E. L. Akim, V. S. Belonosov, V. I. Berdyshev, K.V. Bru-shlinskii, V. L. Vaskevich, Yu. S. Volkov, A.M. Il’in, V. P. Karlikov, A.N. Ko-novalov, V. I. Kostin, A.G. Kulikovskii, A.N. Malyshev, M.V. Maslen-nikov, B.G. Mikhailenko, P. I. Plotnikov, E. I. Romenskii, V. S. Ryaben’kii,I. A. Taimanov, V.M. Fomin

Спонсоры

Российский фонд фундаментальных исследований

Механико-математический факультетНовосибирского государственного университета

Корпорация Intel

Sponsors

Russian Foundation for Basic Research

Department of Mechanics and Mathematics,Novosibirsk State University

Intel Corporation

Всероссийская конференция, приуроченная к 80-летию академика С.К. Годунова

О научной и педагогическойдеятельности С.К. Годунова

В 2009 году исполняется 80 лет одному из выдающихся представи-телей отечественной науки, лидеру современной вычислительной мате-матики академику Сергею Константиновичу Годунову.

С.К. Годунов родился 17 июля 1929 г. в Москве. В 1946 г., окон-чив 1-ю Московскую спецшколу ВВС, поступил в Московский госу-дарственный университет на механико-математический факультет. В1951 г. он, будучи со второго курса Сталинским стипендиатом, закон-чил МГУ, получив диплом с отличием по специальности “вычислитель-ная математика”. Еще студентом второго курса он решил серьезнуюпроблему из теории непрерывных дробей. Этот его результат в 1948 г.был представлен академиком И.М. Виноградовым к опубликованию вДокладах Академии Наук СССР. В 1954 году С.К. Годунов завершилобучение в аспирантуре Математического института им. В.А. Стек-лова и в том же году ему была присвоена ученая степень кандидатафизико-математических наук по специальности “вычислительная ма-тематика” (тема диссертации закрыта). В научных школах Московско-го университета С.К. Годунов воспитывался под руководством члена-корреспондента АН СССР Б.Н. Делоне, академиков И.М. Гельфандаи И. Г. Петровского.

В 1966 г. С.К. Годунов получает ученое звание доцента по кафед-ре дифференциальных уравнений, в том же году ему была присвое-на степень доктора физико-математических наук по совокупности ра-бот. В 1968 г. С.К. Годунов получает ученое звание профессора по ка-федре дифференциальных уравнений. В 1976 г. он становится членом-корреспондентом АН СССР по Отделению математики, а с 1994 г. —действительным членом Российской академии наук.

Трудовую деятельность С.К. Годунов начал в 1951 г. в Матема-тическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР сначала в должно-сти младшего научного сотрудника, затем — научного сотрудника. С1953 г. по 1966 г. он работает младшим научным сотрудником, науч-ным сотрудником и старшим научным сотрудником Отделения при-кладной математики Математического института им. В.А. Стеклова.С 1966 г. по 1969 г. С.К. Годунов заведует отделом Института при-кладной математики им. М.В. Келдыша, с 1952 г. по 1969 г. работает

5

Математика в приложениях

по совместительству в Московском государственном университете (ас-систентом, доцентом, профессором).

В 1969 г. С.К. Годунов по приглашению академика М.А. Лаврен-тьева переехал в Новосибирск, где заведовал лабораторией в Вычисли-тельном центре Сибирского отделения АН СССР. С 1980 г. С.К. Году-нов трудится в Институте математики СО АН СССР (ныне Институтматематики им. С.Л. Соболева СО РАН) в должностях заведующе-го отделом, заместителя директора, и.о. директора (1981 – 1986 гг.),советника РАН.

Более полувека Сергей Константинович Годунов ведёт большуюпедагогическую работу сначала в Московском, а затем в Новосибир-ском государственных университетах. В НГУ С.К. Годунов работал посовместительству с 1969 г. профессором кафедры дифференциальныхуравнений, а с 1977 г. много лет — заведующим той же кафедрой. Намеханико-математическом и физическом факультетах НГУ С.К. Году-нов читал лекции по основным курсам: “Механика сплошной среды”,“Уравнения математической физики”, “Методы приближенных вычис-лений”, “Дифференциальные уравнения”, “Численные методы линей-ной алгебры”, “Современные аспекты линейной алгебры”, а также поспецкурсам “Теория гиперболических систем”, “Уравнения нелинейнойтеории упругости”.

? ? ?

В нынешний век узкой научной специализации академик С.К. Го-дунов служит ярким примером учёного, с одинаковым успехом рабо-тающего как в области создания научных теорий, так и в области ихприложений. Теория непрерывных дробей, теория дифференциальныхуравнений, разностные схемы, линейная алгебра, газовая динамика имеханика сплошных сред — вот далеко не полный перечень тех направ-лений, в которых его труды составляют весомую долю. Труды С.К. Го-дунова отличаются необычайной глубиной и сыграли ключевую рольв реформировании и эволюции таких отраслей прикладной науки, как

• теория корректности краевых задач для дифференциальных урав-нений,

• механика сплошных сред,

• теория разностных схем и численные методы линейной алгебры,

6


• разработка алгоритмов решения задач газовой динамики и рас-чета вязкоупругих деформаций металлов,

• гарантированная точность компьютерных вычислений.

Прикладными задачами С.К. Годунов начал заниматься с пяти-десятых годов прошлого века. В 1954 г. он предложил схему расче-та нестационарных задач газовой динамики, основанную на использо-вании решений задачи Римана о распаде разрыва. Созданная им наэтой основе разностная схема для расчёта разрывных решений уравне-ний газовой динамики методом “сквозного счёта” с адекватным “раз-мазыванием” ударных волн приобрела всемирную известность как схе-ма Годунова. На начальном этапе возможность её использования длярасчета сложных задач механики стала настоящим сюрпризом как длячистых, так и для прикладных математиков. В последующем схема Го-дунова оказала глубокое влияние на развитие современных численныхметодов, став в настоящее время стандартным инструментом численно-го исследования проблем механики сплошных сред. Под руководствомС.К. Годунова изобретенная им схема была модифицирована для ис-пользования в подвижных (двумерных) сетках. В 1961 г. по предло-жению академика И. Г. Петровского по схеме Годунова был впервыепроизведен расчёт стационарного трансзвукового обтекания с исполь-зованием процесса установления нестационарного потока. Этот при-ём — метод установления — получил в наше время всеобщее признаниеи нашёл широкое применение как в России, так и за рубежом. МетодГодунова расчета разрывных решений задач стал неотъемлемой ча-стью математической культуры, а его использование в расчетах — этосвоеобразный знак качества получаемого числового ответа.

В пятидесятые – шестидесятые годы прошлого века С.К. Годуновзаложил основы современной теории численных методов в нелинейныхуравнениях типа гиперболических систем. Он ввел классы особо хоро-шо функционирующих систем дифференциальных уравнений, которыетеперь называются корректно поставленными, а также провёл глубо-кое исследование вопросов их численной дискретизации. С.К. Годуновзамечательным образом связал свойство гиперболичности задачи меха-ники сплошных сред с понятием корректности её постановки (эта связьсовершенно необходима для конструирования качественно функциони-рующего вычислительного процесса). Исследования С.К. Годунова по-ложили начало систематическому изучению гиперболических краевых

7


задач механики сплошных сред. При изучении квазилинейных гипер-болических уравнений С.К. Годунов обнаружил, в частности, новыйэффект резкой зависимости решений от вводимых в гиперболическуюсистему малых диссипативных членов: различные малые “вязкости”могут накладывать разные запреты на разрывные решения гипербо-лических квазилинейных систем. Ему же принадлежат оригинальныеисследования единственности решения системы квазилинейных гипер-болических уравнений.

Много сил и времени Сергей Константинович Годунов посвятилустановлению связи между термодинамикой и корректностью задачматематической физики, а также выяснению вопроса о месте уравне-ний механики сплошных сред в теории гиперболических уравнений вконсервативной форме. Он выделил важный класс термодинамическисогласованных (дважды дивергентных) систем, содержащих в себе си-стему уравнений газовой динамики. Он же обобщил понятие энтропиии закон её возрастания, а также нашел новые термодинамические со-отношения, называемые теперь расширенной термодинамикой.

Параллельно с этим С.К. Годунов работал над построением матема-тических моделей в теории упруго-пластического расчёта вязкоупругихдеформаций металлов в промежуточной зоне между областями при-менимости чисто упругого и газодинамического подходов. Он — авторнелинейной релаксационной модели упруго-пластических деформаций.

С.К. Годунов активно участвовал в создании математической тео-рии процессов, сопровождающих деформацию металлов при сваркевзрывом. Проведенные под его руководством исследования позволи-ли предсказать новый эффект — образование затопленной струи. Этотэффект затем был экспериментально подтвержден. Созданная при уча-стии С.К. Годунова теория позволила разработать метод измерениявязкости металлов при высокоскоростных деформациях и установитьновый критерий кумулятивного струеобразования.

На вычислительную линейную алгебру С.К. Годунов обратил вни-мание в связи с использованием ее методов в компьютерных вычисле-ниях, обнаружив вычислительные парадоксы в классических постанов-ках задач линейной алгебры. Это наблюдение привело его к переосмыс-лению самого понятия точности решения в задачах линейной алгебрыс последующим введением в практику вычислений нового понятия —гарантированной точности компьютерных вычислений. Подобное раз-витие событий привело к созданию нового математического аппаратаи развитию новых программно-алгоритмических средств в виде спе-

8


циализированных библиотек прикладных программ для решения за-дач линейной алгебры, учитывающих требования, предъявляемые тех-нологиями компьютерных реализаций. Благодаря сформулированнойС.К. Годуновым концепции гарантированной точности в вычислитель-ную математику вошли такие новые фундаментальные понятия какспектральный портрет матрицы, критерий качества дихотомии, рас-слоение спектра, обобщенное уравнение А.М. Ляпунова и др.

С.К. Годунов изобрел и обосновал метод ортогональной прогонки,который успешно применяется, например, для расчёта критических па-раметров ядерных реакторов.

Важный вклад С.К. Годунов внес в развитие общей теории разност-ных схем. До сих пор широкой популярностью пользуется написаннаяим совместно с В.С. Рябеньким монография “Введение в теорию раз-ностных схем”, изданная в 1962 году.

Благодаря разработанным школой С.К. Годунова интеллектуаль-но насыщенным вычислительным методам, а также новому научномуязыку и необычной точке зрения на процесс компьютерных вычисле-ний, существенный прогресс был достигнут в организации и технологиивычислений на современных многопроцессорных системах.

Труды С.К. Годунова не только изменили наши взгляды на подходык решению широкого класса прикладных задач, но и указали практи-ческие алгоритмы их компьютерной реализации. Его труд первопро-ходца в науке в значительной степени определил современный обликчисленного анализа, задав наиболее перспективные направления раз-вития этой важнейшей области прикладной математики.

В свой юбилейный год, работая в Институте математики им. С.Л. Со-болева СО РАН, академик Сергей Константинович Годунов руководитработой активно действующих и широко известных в России и за рубе-жом научных семинаров “Математика в приложениях” и “Постановкизадач, допускающих распараллеливание на многопроцессорных вычис-лительных системах”. Он — председатель междисциплинарного диссер-тационного совета по подготовке научных кадров высшей квалифика-ции по специальностям, определяющим современный облик приклад-ной математики. С.К. Годунов входит в редколлегии многих зарубеж-ных и отечественных научных журналов.

Годунов–ученый всегда впереди остальных. Его уникальный науч-ный стиль характеризуется удивительной цельностью и глубоким по-ниманием как значения фундаментальной математики, так и её опре-

9


деляющей роли в формировании правильных представлений о мирев прикладной науке. Все это — в сочетании с выдающейся способно-стью находить в математике объединяющие концепты и с повышеннойконцентрацией внимания на самых трудных и глубоких научных про-блемах.

? ? ?

Широта и многогранность исследований Сергея Константиновича,его увлеченность, прекрасное владение арсеналом всех математическихсредств, работоспособность, последовательность в отстаивании своихидей и взглядов способствовали привлечению к научным исследовани-ям талантливой молодежи. С.К. Годунов широко известен как велико-лепный педагог. При всей глубине содержания его лекции всегда от-личают необыкновенная четкость и доступность изложения. При осве-щении почти всех вопросов, и даже следуя каким-либо известным об-разцам, Сергей Константинович Годунов всегда вносит в свои лекциисущественные усовершенствования, проясняющие излагаемый матери-ал в максимально возможной степени. Годунов был и остается неуто-мимым реформатором преподавания математики, а его труды в обла-сти дифференциальных уравнений, механики сплошных сред и линей-ной алгебры вот уже несколько десятилетий составляют неотъемлемуючасть учебных университетских курсов по математике в МГУ и НГУ.

Глубокое влияние на развитие науки академик С.К. Годунов ока-зал не только своими научными изысканиями, но и своей многогран-ной педагогической деятельностью, приверженностью идее качествен-но нового обучения идущих на смену поколений молодых математиков,идейной щедростью по отношению к студенческой молодежи.

В 1975 г. на кафедре дифференциальных уравнений НГУ начал ре-гулярно работать научный семинар по гиперболическим уравнениям,ставший базой научно-педагогической школы С.К. Годунова. Вокругнего образовался цельный коллектив преподавателей, студентов, ас-пирантов, активно занимающихся проблемами математической физи-ки и составивших ядро школы С.К. Годунова. Одновременно с изу-чением гиперболических уравнений в этом коллективе активно рас-сматривались вопросы линейной алгебры, инициированные парадок-сальными явлениями в численных расчетах. Эти разработки послужи-ли основой для выработки совершенно новых постановок задач и длясоздания новых вычислительных алгоритмов. В 2000 г. на механико-

10


математическом факультете НГУ С.К. Годунов прочитал обязатель-ный лекционный курс для магистрантов “Лекции по современным ас-пектам линейной алгебры”. Этот курс отличает высочайшая степеньноваторства в выборе материала и ярко выраженный авторский под-ход. В дальнейшем этот курс читался другими лекторами.

Преподавая в университетах, С.К. Годунов был научным руково-дителем большого числа студентов, аспирантов, стажеров. Многие изего учеников успешно защитили кандидатские и докторские диссер-тации. Их работы получили заслуженное признание научного сообще-ства, были отмечены золотыми медалями АН СССР для молодых уче-ных, именными премиями Академии наук. Созданная С.К. Годуновымнаучная школа не ограничивается только лишь сотрудниками его от-дела в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН. Его уче-ников, среди которых есть и члены Российской академии наук, можновстретить в университетах и научных центрах Москвы, Новосибирска,других российских городов, а также за рубежом.

? ? ?

За выполнение специальных заданий Правительства и решение важ-ных задач новой оборонной техники С.К. Годунов удостоен званияЛауреата Ленинской премии (1959), награжден орденами “ТрудовогоКрасного знамени” (1956, 1957) и “Знак Почёта” (1954, 1981), юбилей-ной медалью “За доблестный труд в ознаменование 100-летия со днярождения В.И. Ленина” (1970), медалью “Ветеран труда” (1996).

За работы в области исследования эффектов, сопутствующих свар-ке взрывом, С.К. Годунову присуждена премия АН СССР им. А.Н. Кры-лова (1972), за книгу “Элементы механики сплошных сред” — премияРАН им. М.А. Лаврентьева (1993).

Сергей Константинович Годунов имеет звание почетного доктораМичиганского университета, США (1997), удостоен знака отличия “Зазаслуги перед Новосибирской областью” (2004), ему присуждена пре-мия фонда имени академика М.А. Лаврентьева “За выдающийся вкладв фундаментальную математику и её приложения” (2005 г.).

Свидетельством мирового признания выдающихся заслуг академи-ка С.К. Годунова явилось проведение сразу двух Международных кон-ференций, посвященных его методам. Одна из них прошла в США подназванием “Godunov’s Method for Dynamics: Current Applications andFuture Developments” (Ann-Arbor, 1–3 May 1997), другая — в Велико-

11


британии под названием “Godunov’s Methods: Theory and Applications”(Oxford, 12–22 October 1999).

? ? ?

Сергей Константинович Годунов — автор более 300 научных работ,в том числе 16-ти монографий.

Основные публикации.Введение в теорию разностных схем. Москва: Физматгиз, 1962. 340 с.

(соавтор Рябенький В.С.)Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1971. 416 с.Численное решение многомерных задач газовой динамики. Москва:

Наука, 1976. 400 с. (соавторы: Забродин А.В., Иванов М.Я., Край-ко А.Н., Прокопов Г.П.)

Элементы механики сплошной среды. Москва: Наука, 1978. 304 с.;Гарантированная точность решения систем линейных уравнений.

Новосибирск: Наука, 1992. 360 с. (соавторы: Антонов А. Г., Кири-люк О.П., Костин В.И.)

Guaranteed Accuracy in Numerical Linear Algebra. Dodrecht: Kluwer,1993. 535 p. (Math. and cts. Appl. 252) (with Antonov A., Kirilyuk O.,Kostin V.)

Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэф-фициентами. Учебное пособие. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1994. Т. 1.Краевые задачи. 264 с.

Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Наука, 1997.390 с.

Modern Aspects of Linear Algebra – Providence: AMS, 1997. 284 p.(Transl. Math. Monogr. Vol. 175).

Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients. – Providen-ce: FMS, 1997. 284 p. (Trans. Math. Monogr.; Vol. 169).

Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новосибирск:Научная книга, 2002. 204 с. (по конспектам обязательного курса длямагистрантов НГУ).

Elements of continuum Mechanics and Conservation Laws. KluwerAcad/Plenum Publishers, 2003. 367 p. (with Romenskii E.)

В.Н. Белых

12


Индекс однородной самосопряженной краевойзадачи для систем обыкновенныхдифференциальных уравнений

The index of a homogeneous self–adjoint boundaryproblem for systems of ordinary differential equations

Абрамов А.А.1, Ульянова В.И.1, Юхно Л.Ф.2

1Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва,Россия; [email protected]

2Институт математического моделирования РАН, Москва, Россия;[email protected]

Для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных урав-нений вводится понятие индекса однородной самосопряженной краевойзадачи, имеющей нетривиальное решение. Устанавливается связь меж-ду номером собственного значения нелинейной спектральной задачии индексом возникающей однородной задачи. Выясняются некоторыесвойства индекса задачи и соответствующего собственного значения.В случае общей нелинейной самосопряженной спектральной задачи длясистем обыкновенных дифференциальных уравнений предлагается ме-тод сведения ее к задаче для гамильтоновой системы. Рассматриваетсяперенесение на исходную систему некоторых результатов для гамиль-тоновой системы, полученных ранее авторами. В частности, при неко-торых предположениях о монотонной зависимости исходных данныхот спектрального параметра дается эффективный метод вычисленияколичества собственных значений задачи с учетом их кратности, ле-жащих на заданном интервале изменения спектрального параметра,без вычисления самих собственных значений.

В докладе кратко излагаются некоторые результаты работ [1–3].Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект 08-01-00139).

ЛИТЕРАТУРА1. Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. Об индексе краевой зада-

чи для однородной гамильтоновой системы дифференциальных уравне-ний //Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, 3. С. 490–497.

13


2. Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. Об общей нелинейной само-сопряженной спектральной задаче для систем обыкновенных дифферен-циальных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009.Т. 49, 4. С. 624–627.

3. Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. О некоторых свойствах нели-нейной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенныхдифференциальных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат.физики. 2007. Т. 47, 4. С. 638–645.

14


Математическое моделирование ударных теченийвязкого теплопроводного газа на основе

асимптотической моделиMathematical modelling of shock flows of viscous

heat–conducting gas based on the asymptotic model

Адрианов А.Л.

Сибирский государственный аэрокосмический университетим. М.Ф. Решетнева, Сибирский федеральный университет,

Красноярск, Россия; [email protected]

Моделируется процесс взаимодействия скачка уплотнения (СУ) сосдвиговым слоем в вязкой и невязкой постановках задачи. СУ схемати-зируется поверхностью сильного газодинамического разрыва [1], на ко-торой выполняются обобщенные асимптотические соотношения 0-го и1-го порядков, учитывающие фактор вязкости-теплопроводности [2].Газодинамический процесс предполагается стационарным, газ — совер-шенным; режим течения — сверхзвуковым ламинарным при большихчислах Рейнольдса; реальный краевой эффект за СУ заменяется, по-средством дополнительной дифференциальной связи, модельным [3];невозмущенное течение в слое перед СУ рассматривается как источ-ник с гладким распределением параметров [4]. При этих допущенияхрешаемую краевую задачу удается свести к задаче Коши для систе-мы обыкновенных дифференциальных уравнений, так что возмущен-ное решение ищется только за фронтом СУ и в малой его окрестно-сти. Данная система интегрируется без приведения ее к нормальномувиду, что позволяет легко осуществлять предельный переход (для воз-мущенной задачи) в невязкий нетеплопроводный газ с целью сравне-ния соответствующих вязких и невязких решений. Расчетному этапупредшествует аналитический этап получения системы “рабочих урав-нений” из дифференциальных законов сохранения на СУ и в его глад-кой окрестности, проводимый с учетом асимптотических преобразова-ний. Эта сложная разовая процедура выполняется с помощью системыаналитических преобразований на ЭВМ типа REDUCE для фиксиро-ванных значений ряда газодинамических констант, после чего, полу-ченная система “рабочих уравнений” и якобиан к ней компилируютсяв FORTRAN-среде. Существенно, что при интегрировании данной си-

15


стемы, соотношения 0-го порядка на СУ (в частности, обычные соот-ношения на косом скачке) в любой его расчетной точке выполняютсяавтоматически (!).

Аналитическая (в расширенном смысле) модель позволяет сложноедействие фактора вязкости-теплопроводности расщепить и исследо-вать раздельно (на всех уровнях модели), что невозможно при реше-нии рассматриваемой краевой задачи, например, с помощью однород-ных конечно-разностных алгоритмов на основе полных нестационар-ных уравнений вязкого теплопроводного газа.

Показано, что при определенных параметрах течения, не учет илиучет в явном виде фактора вязкости-теплопроводности при расчетевозмущенного течения в слое приводит к двум значительно различаю-щимся математическим решениям задачи, первое из которых соответ-ствует газодинамическому приближению, второе — вязкому диффузи-онному, когда роль указанного фактора велика [4]. Рассмотрен способискусственной генерации дополнительных периодических возмущенийв течении непосредственно перед скачком, чем достигается снижениеего интенсивности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Адрианов А.Л., Старых А.Л., Усков В.Н. Интерференция стационарныхгазодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995.

2. Адрианов А.Л. Дифференциальные соотношения на скачке уплотненияв вязком газе при больших числах Рейнольдса // Тр. семинара “Матема-тическое моделирование в механике”. Красноярск: ВЦК СО РАН, 1996.18 c. Деп. в ВИНИТИ 01.04.96. 1052. В–96.

3. Адрианов А.Л. О модельной кривизне скачка уплотнения в неравномер-ном потоке // Вычисл. технологии. 2000. Т. 5, 6. С. 6–10.

4. Адрианов А.Л. Другой подход к математическому моделированию тече-ний вязкого теплопроводного газа с ударными волнами // Наука и тех-нологии: Тр. XXVI Российской школы. Т. 1. М.: РАН, 2006. С. 108–122.

16


К вопросу о построении расчетных сетокв двумерных областях с помощью отображений

On grid construction problem in 2D domainsby means of mappings

Азаренок Б.Н.

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва,Россия; [email protected]

Рассматривается задача построения структурированных разност-ных сеток в двумерных областях с помощью отображения F :P→Ω, па-раметрической области P с заданной невырожденной (квадратной) сет-кой на физическую область Ω, где необходимо построить сетку. С этойцелью сначала используется гармоническое отображение, для которогосправедлива следующая

Теорема (Радо [1]). Пусть Ω1, Ω2 — односвязные ограниченные об-ласти в R2 с жордановой границей, Ω2 – выпуклая, f : ∂Ω1→∂Ω2 являет-ся гомеоморфизмом. Тогда гармоническое продолжение отображенияF : Ω1→Ω2 является диффеоморфизмом.

Поскольку, как правило, физическая область Ω имеет сложную фор-му, то рассматривают гармоническое отображение Φ : Ω→P. Уравне-ния Лапласа обращаются и решается задача Дирихле для нахожденияфункций, осуществляющих обратное гармоническое отображение [2].

Несмотря на диффеоморфизм гармонического отображения, в невы-пуклых областях с сильно изогнутыми границами его дискретная ре-ализация может порождать вырожденные сетки. Приводится примерподковообразной области, для которой при не слишком большом коли-честве узлов сетка вырождена, а сильно измельченные сетки являютсяневырожденными, но с очень вытянутыми четырехугольными ячейка-ми около изогнутой границы области. Показывается, что вырождениеячеек сетки происходит из-за ошибок аппроксимации, возникающихпри дискретизации обращенных уравнений Лапласа.

С целью управления координатными линиями сетки используетсядополнительное отображение и решается задача Дирихле для эллип-тических дифференциальных уравнений [3]. Эти уравнения являютсяуравнениями Эйлера — Лагранжа для универсального функционала,

17


предложенного в [4]. Идея использования дополнительного преобразо-вания координат была предложена в [5]. Использование дополнитель-ного отображения позволяет получать не только невырожденную сеткус небольшим числом узлов в невыпуклых областях, но и сетку с ячей-ками заданной формы.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун-даментальных исследований (проект 09-01-00173) и Отделения математи-ческих наук РАН (программа 2).


1. Rado T. Aufgabe 41 // Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 1926. V. 35. P. 49.2. Winslow A.M. Numerical solution of the quasi-linear Poisson equation in a

nonuniform triangle mesh // J. Comput. Phys. 1966. V. 1. P. 149–172.3. Азаренок Б.Н. О построении структурированных сеток в двумерных

невыпуклых областях с помощью отображений // Журн. вычисл. ма-тематики и мат. физики. 2009. Т. 48, 5. С. 1–13.

4. Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сеток //Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2000. Т. 40, 1. С. 1662–1684.

5. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и по-строении разностных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики.1967. Т. 7, 5. С. 1031–1059.

18


Итерационный метод вычисления оптимальногопо расходу ресурсов управления линейными

системамиIterative method of computing optimal resource

consumption control of linear systems

Александров В.М.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск,Россия; [email protected]

Пусть управляемая система описывается линейным дифференциаль-ным уравнением

x = A(t)x + B(t)u, x(t0) = x0, x0 ∈ V, (1)

где x — n-мерный вектор фазового состояния; A(t) и B(t) — непрерыв-ные матрицы размеров n×n и n×m соответственно; u — m-мерный век-тор управления, компоненты которого принадлежат классу кусочно-непрерывных функций и подчинены ограничениям

|uj | 6 Mj , Mj > 0, j = 1,m. (2)

Предполагается, что система (1) полностью управляема, т. е.

rank

tk∫

t0

Φ(tk , τ)B(τ)B∗(τ)Φ∗(tk , τ)dτ

= n, (3)

и переводима в начало координат ограниченным управлением (2), т. е.x0 принадлежит области управляемости V . Здесь Φ(t , t0) — фундамен-тальная матрица решений уравнения (1); ∗ — знак транспонирования.

Задача. Найти допустимое управление u0(t), переводящее систе-му (1) из начального состояния x(t0) = x0 в нулевое конечное состояниеx(tk) = 0 за фиксированное время T = tk − t0 (T > T0) и минимизи-рующее функционал

J(u) =

tk∫

t0

m∑

j=1

|uj(τ)|dτ. (4)

19


Здесь T0 — время оптимального по быстродействию перевода системы.Предлагается новый численный метод решения задачи. Метод осно-

ван на оригинальном способе формирования финитного управления изначальных условий управляемой системы. Финитное управление пред-ставляет собой чередующуюся последовательность разнополярных воз-действий, величины которых пропорциональны начальным условиям,взятыми с некоторыми весовыми коэффициентами. Финитное управ-ление переводит линейную систему за фиксированное время из любо-го начального состояния в требуемое конечное состояние и дает при-ближенное решение задачи минимизации расхода ресурсов. Показано,что структура финитного управления позволяет определить структу-ру оптимального по расходу ресурсов управления. Дан способ заданияначального приближения и предложен итерационный алгоритм вычис-ления оптимального по расходу ресурсов управления. Получена систе-ма линейных алгебраических уравнений, связывающая отклонения на-чальных условий сопряженной системы с отклонениями фазовых ко-ординат в конечный момент времени от заданного конечного состоя-ния. Найдена зависимость между отклонениями моментов переключе-ний и отклонениями начальных условий сопряженной системы. При-веден вычислительный алгоритм. Итерационный процесс вычисленияоптимального управления сводится к последовательности решений си-стем линейных алгебраических уравнений и интегрированию матрич-ного уравнения на интервалах перемещения моментов переключений.Найден радиус и установлена квадратичная скорость локальной схо-димости. Доказана сходимость вычислительного процесса и последо-вательности управлений к оптимальному по расходу ресурсов управ-лению.

Работа выполнена при поддержке СО РАН (проект 85).


1. Александров В.М. Приближенное решение линейной задачи на минимумрасхода ресурсов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1999.Т. 39, 3. С. 418–430.

2. Александров В.М. Численный метод решения задачи линейного быстро-действия // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1998. Т. 38, 6.С. 918–931.

20


Численный анализ задач граничного управлениядля нестационарных уравнений тепловой конвекции

Numerical analisys of boundary control problemsfor nonstationary equations of heat convection

Алексеев Г.В.1, Терешко Д.А.2

Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток,Россия; [email protected], [email protected]

В ограниченной области Ω с границей Γ, состоящей из двух частейΓD и ΓN , рассматривается начально-краевая задача

ut + (u · ∇)u− ν∆u +∇p = −βTG в Q, div u = 0 в Q, (1)

u|t=0 = u0 в Ω, u = g на Σ, (2)

Tt + u · ∇T − λ∆T = f в Q, T |t=0 = T0 в Ω, (3)

T = ψ на ΣD, λ∂T

∂n= χ на ΣN , (4)

описывающая процесс распространения тепла. Здесь u, p и T — векторскорости, давление и температура жидкости, ν=const>0 — коэффици-ент кинематической вязкости, β — объемный коэффициент тепловогорасширения, G — вектор ускорения свободного падения, λ=const>0 —коэффициент температуропроводности, f — объемная плотность ис-точников тепла, g, ψ и χ — некоторые функции, Γ = ΓD ∪ ΓN ,ΓD ∩ ΓN = ∅, Q = Ω× (0, tmax), Σ = Γ× (0, tmax), ΣD = ΓD × (0, tmax),ΣN = ΓN × (0, tmax).

Для данной модели ставятся задачи граничного управления, кото-рые формулируются в виде задач условной минимизации функциона-лов качества, зависящих как от слабых решений исходной начально-краевой задачи, так и управлений. Роль последних играют неизвестныезначения вектора скорости и потока тепла на определенных участкахграницы области течения. На основе методов работ [1, 2] выводится си-стема оптимальности, описывающая необходимые условия минимума.

Система оптимальности состоит из трех частей. Первая ее частьпредставляет собой начально-краевую задачу (1)–(4) для вектора ско-рости u, давления p и температуры T . Роль второй части играет сопря-женная задача для сопряженной скорости q, сопряженного давления σ

21


и сопряженной температуры θ. Третьей частью является равенство,связывающее между собой управления, входящие в первую часть, исопряженное состояние из второй части системы оптимальности. Ес-ли, например, в качестве единственного управления выступает потоктепла χ ∈ L2(ΣN ), то для задачи минимизации функционала

(1/2)‖u− ud‖2Q + (µ/2)‖χ‖2ΣN

вторая и третья части системы оптимальности имеют следующий вид:

−qt − (u · ∇)q + (∇u)tq− ν∆q +∇σ = −(u− ud)− θ∇T в Q,

div q = 0 в Q, q|t=tmax= 0 в Ω, q = 0 на Σ,

−θt − u · ∇θ − λ∆θ = −βG · q в Q, θ|t=tmax = 0 в Ω,

θ = 0 на ΣD,∂θ

∂n= 0 на ΣN , χ = θ/µ на ΣN .

На основе развитой теории разрабатываются эффективные числен-ные алгоритмы решения рассматриваемых задач. Указанные алгорит-мы основаны на методе конечных элементов дискретизации краевыхзадач и методе Ньютона численного решения нелинейных уравнений.Обсуждаются результаты вычислительных экспериментов по решениюконкретных экстремальных задач. Исследуется зависимость решенийот основных параметров: числа Рейнольдса, числа Рэлея, а также пара-метра регуляризации, входящего в выражение минимизируемого функ-ционала качества.

Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ(проект НШ-2810.2008.1), Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 09-01-98518-р-восток-а) и ДВО РАН (проекты 09-I-П29-01,09-II-СУ03-003 и 09-III-A-03-07).


1. Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных урав-нений тепловой конвекции // Вестн. НГУ. Сер. Мат., мех., информат.2006. Т. 6, 2. С. 6–32.

2. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамикевязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008.

22


Сингулярные граничные интегральные уравнениякраевых задач динамики упругих сред

при движущихся нагрузках

Singular boundary integral equations in boundaryvalue problems of the elastic medium dynamics

under moving loads

Алексеева Л.А.1, Кайшибаева Г.К.2

Институт математики МОН РК, Алматы, Казахстан;[email protected], [email protected]

Явления с движущимися нагрузками широко распространены напрактике. К ним относятся разнообразные процессы, связанные с пере-движением транспорта в различных средах, либо перемещением транс-портируемых грузов в тоннелях и трубопроводах различного назна-чения. К данному классу задач можно отнести и задачи дифракциисейсмических волн на протяженных подземных сооружениях. При ма-тематическом моделировании таких процессов приходится строить ре-шения краевых задач в классе “бегущих” функций, параметрическихи автомодельных по ряду переменных. Параметр задачи — скоростьдвижения источника возмущений в среде — существенно влияет на типуравнений движения, который зависит от скоростей распространенияволн в средах, так называемых звуковых скоростей. Их может бытьнесколько в зависимости от вида волн. В изотропной упругой средеих две: одна определяет скорость распространения волн объемной де-формации, а вторая — сдвиговой. В многокомпонентных средах звуко-вых скоростей становится больше. Тип дифференциальных уравнений,описывающих движение среды, меняется в зависимости от отношенияскорости источника возмущений к звуковым скоростям (чисел Маха).При этом приходится решать краевые задачи эллиптического, гипер-болического и смешанного типов.

Здесь подобный класс краевых задач рассмотрен для изотропныхупругих сред, движение которых описывается системой уравнений Ла-ме. Для их решения разработан метод обобщенных функций [1, 2].Здесь этот метод излагается для построения решений стационарныхкраевых задач для уравнений Ламе при сверхзвуковых скоростях дви-жения бегущих нагрузок по поверхности цилиндрической полости в

23


упругом пространстве. В этом случае тип уравнений в подвижной си-стеме координат гиперболический и стандартные методы построенияграничных интегральных уравнений, характерных для эллиптическихзадач, становятся непригодными из-за особенностей фундаментальныхрешений на волновых фронтах.

С использованием аппарата теории обобщенных функций постро-ен тензор Грина и другие фундаментальные решения уравнений Ла-ме в классе бегущих вектор-функций, а так же динамические аналогиформул Грина и Гаусса в пространстве обобщенных вектор-функцийи их регулярные интегральные представления. Получены сингулярныеграничные интегральные уравнения, определяющие решение первой ивторой краевой задачи динамики упругой среды при действии бегущихнагрузок.

Разработан алгоритм численной реализации решения первой крае-вой задачи. Приводятся результаты расчета динамики среды при раз-ных типах и скоростях бегущих нагрузок [3].


1. Alekseyeva L.A. Boundary element method of boundary value problems ofelastodynamics by stationary running loads // Int. J. Eng. Anal. Bound.Elem. 1998. N 11. P. 37–44.

2. Алексеева Л.А. Обобщенные решения краевых задач для одного классабегущих решений волнового уравнения // Мат. журн. 2006. Т. 8, 2(28).С. 5–24.

3. Кайшибаева Г.К. Напряженно-деформированное состояние упругой сре-ды при действии сосредоточенных сверхзвуковых нагрузок // Мат. журн.2006. Т. 6, 4(22). С. 57–65.

24


Задача типа Cтефана для сингулярногоинтегрального уравнения первого рода

Stephan problem for the singular integral equationof the first kind

Аниконов Д.С.


В ограниченной области рассматривается нелинейное сингулярноеинтегральное уравнение первого рода. Подынтегральная функция попеременной интегрирования может иметь разрывы первого рода нанекоторых гиперповерхностях внутри области интегрирования. Осо-бенностью ситуации является тот факт, что неизвестная подынтеграль-ная функция зависит от большего числа переменных, чем сам инте-грал, который считается известным. В таких условиях ставится за-дача определения указанных гиперповерхностей и доказывается тео-рема единственности, при условии выполнения некоторого неравен-ства. Метод исследования основан на изучении характера особенностисингулярного интеграла вблизи поверхности разрыва подынтегральнойфункции. Эта предварительная часть работы выполнена при довольнообщих ограничениях. Затем при более жестких предположениях дока-зывается сама теорема единственности. Прослежена связь исследован-ной задачи с задачами интегральной геометрии, играющими важнуюроль в теории обратных задач для уравнений математической физики.Кроме того, указано и на самостоятельную теоретическую ценностьуказанного подхода, как одного из возможных направлений исследова-ния интегральных уравнений.

25


Численное решение задачи Коши для уравненийидеальной пластичности с условием текучести,

зависящим от среднего напряжения

Numerical solution of the Cauchy problemfor equations of ideal plasticity with yield condition

depending on the mean stress

Аннин Б.Д., Алёхин В.В.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; [email protected]

Квазистатические уравнения идеальной пластичности для опреде-ления напряжений и скоростей перемещений в случае полной пластич-ности имеют вид:

σij,j = 0, (1)max(|σ1 − σ2|, |σ2 − σ3|, |σ1 − σ3|) = 2(ks −mσ), (2)

σ < ks/m, σ2 = σ3, (3)e11 + e22 + e33 = 0, (4)

e11 e12 e13

e21 e22 e23

e31 e32 e33

·

n1

n2

n3

= λ

n1

n2

n3

, 2eij = ui,j + uj,i. (5)

Здесь σij — компоненты симметричного тензора напряжений в де-картовой системе координат x1, x2, x3; σ = (σ11+σ22+σ33)/3 — среднеенапряжение; по повторяющимся индексам производится суммированиеот 1 до 3; запятая перед индексом означает частную производную посоответствующей пространственной координате; σ1, σ2, σ3 — главныенапряжения; ks > 0, m > 0 — постоянные; eij — компоненты тензораскоростей деформации; ui — компоненты вектора скоростей перемеще-ний; ni — компоненты единичного собственного вектора тензора напря-жений, соответствующего некратному собственному значению (главно-му напряжению) σ1.

Равенство (2) означает линейную зависимость максимального ка-сательного напряжения от среднего давления [1] (такая зависимостьхарактерна для некоторых грунтов). Равенство (3) — условие полной

26


пластичности Хаара — Кармана [1]. Равенство (4) — условие несжима-емости. Соотношение (5) — условие изотропии [2].

Система (1)–(5) является гиперболической. Для этой системы рас-сматривается задача о распространении зон пластического состоянияв безграничной среде от границы выпуклой осесимметричной полости,на которой действуют нормальное давление, касательные усилия и за-данные скорости перемещений. В [3] для системы (1)–(5) при m = 0предложен численный метод решения задачи Коши в ортогональнойкриволинейной системе координат. Этот метод может быть примененк решению задачи Коши для системы (1)–(5) при m 6= 0.

Предложенный алгоритм проиллюстрирован на решении тестовыхзадач.

Работа выполнена при финансовой поддержке междисциплинарного ин-теграционного проекта фундаментальных исследований СО РАН 40.


1. Теория пластичности: Сб. статей / Под ред. Работнова Ю.Н. М.: Гос.изд-во иностр. лит., 1948.

2. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности.М.: Физматлит, 2001.

3. Аннин Б.Д., Алёхин В.В., Остапенко В.В. Алгоритм численного реше-ния задачи Коши для уравнений пластичности Треска // Вычисл. мех.сплош. сред. 2008. Т. 1, 1. С. 5–13.

27


Алгоритм построения ротационных сетокбез вырождений

Algorithm for construction of rotational gridswithout singularities

Артемова Н.А.

Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург,Россия; [email protected]

В данной работе рассматриваются вопросы, связанные с конструи-рованием блочно-структурированных криволинейных сеток в осесим-метричных трехмерных односвязных и многосвязных областях про-стых и сложных топологий, когда угол ϕ поворота образующей во-круг оси равен 2π. Алгоритм построения криволинейной сетки в за-данной трехмерной осесимметричной области осуществляется ротаци-онным методом и основан на вращении двумерного радиального сече-ния области, расположенного в плоскости xz, вокруг оси z [1].

Сечение может быть односвязным или многосвязным с однознач-ным и неоднозначным отображением в плоскость криволинейных коор-динат. При этом в сечении генерируется двумерная структурированнаяили блочно-структурированная оптимальная сетка с использованиемалгоритма МОПС-2Aw [2–3].

Критерием оптимальности является близость сеток к равномерными ортогональным при заданной расстановке узлов на границе.

Если ось вращения находится вне расчетной области, то сетка по-строится без особенностей. Если радиальное сечение примыкает к осивращения, то на ней образуются особенности сеток типа O, H и C. В ре-зультате исследования возникающих особенностей выделены три видаблоков радиального сечения, приводящие к ним. Это блоки, одна изсторон которых примыкает к оси симметрии полностью (первый вид),частично (второй вид) или одной точкой — вершиной (третий вид).

Блоки второго вида можно свести к совокупности блоков двух дру-гих видов.

В блоках первого вида возникает особенность, свойственная цилин-дрической системе координат внутри всего блока вдоль оси вращения.На оси вращения шестигранные ячейки вырождаются в призмы с тре-угольным основанием [4]. Для исключения такой особенности часть

28


блока, примыкающая к оси вращения, “вырезается”. В вырезанном бло-ке специальным алгоритмом, основанным на геометрическом подходе,строится сетка без особенностей. Для построения невырожденной сеткииспользуется алгоритм линейной интерполяции.

В блоках третьего вида особенность возникает в точке примыканияк оси вращения. В данной точке шестигранные ячейки также вырож-даются в призмы с треугольным основанием. Предлагаемый алгоритмустранения особенностей в блоках данного вида основан на геометри-ческом подходе.

На начальном этапе алгоритмы разрабатывались совместно сО.Б. Хайруллиной.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 09-01-00173).


1. Артемова Н.А., Хайруллина О.Б. Конструирование трехмерных блочно-структурированных сеток, основанных на вращении двумерных много-связных сечений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008.Т. 48, 11. C. 2058–2066.

2. Khairullina O.B. Method of constructing block regular optimal grids in two-dimensional multiply connected domains of complicated geometries // Russ.J. Numer. Anal. Math. Model. 1996. V. 11, N 4. P. 343–358.

3. Хайруллин А.Ф., Хайруллина О.Б. Автоматическое построение началь-ного приближения блочно-структурированной криволинейной сетки //Вычисл. технологии. 2002. Т. 7, 5. С. 96–107.

4. Ушакова О.В. Классификация шестигранных ячеек // Журн. вычисл.математики и мат. физики. 2008. Т. 48, 8. C. 1406–1428.

29


О решениях начально–краевой задачи одномерногодвижения теплопроводной двухфазной смеси

On solutions to the initial–boundary problemfor the one–dimensional heat–conducting motion

of a two–phase mixture

Ахмерова И. Г.1, Папин А.А.2

Алтайский государственный университет, Барнаул, Россия;[email protected], [email protected]

Рассматривается одномерное движение между непроницаемыми теп-лоизолированными стенками двухфазной смеси, состоящей из твердыхчастиц и газа. В основу математической модели положены уравнениясохранения массы и импульса для каждой из фаз и уравнение энергиидля среды [1, 2]:

∂(ρ01s)

∂t+

∂(ρ01sv1)∂x

= 0,∂(ρ0

2(1− s))∂t

+∂(ρ0

2(1− s)v2)∂x

= 0,

ρ01s

(∂v1

∂t+ v1

∂v1

∂x

)= −∂(sp1)

∂x+

∂

∂x

(µ(s)

∂v1

∂x

)+ F + ρ0

1sg,

ρ02(1−s)

(∂v2

∂t+ v2

∂v2

∂x

)=−∂((1− s)p2)

∂x+

∂

∂x

(µ2(s)

∂v2

∂x

)−F+ρ0

2(1−s)g,

F = B(s)(v2 − v1) + p2∂s

∂x, p1 − p2 = pc(s), p2 = Rρ0

2θ,

c1ρ01s

(∂θ

∂t+ v1

∂θ

∂x

)+ c2ρ

02(1− s)

(∂θ

∂t+ v2

∂θ

∂x

)=

∂

∂x(χ(s)

∂θ

∂x).

Здесь x, t — переменные Эйлера; ρ0i , vi — соответственно истинная плот-

ность и скорость i-ой фазы (i = 1 — твердые частицы, i = 2 — газ), s —объемная концентрация твердых частиц, θ — абсолютная температурасмеси, p1 — эффективное давление твердых частиц, p2 — внутреннеедавление газа, g — плотность массовых сил, ci = const > 0 — теп-лоемкость при постоянном объеме, R = const > 0 — универсальнаягазовая постоянная; кроме того, µi(s) — вязкости фаз, B(s) — коэф-фициент взаимодействия фаз, χ(s) — коэффициент теплопроводности

30


смеси, pc(s) — разность давлений (заданные функции). Истинная плот-ность твердых частиц ρ0

1 принимается постоянной. Искомыми являютсявеличины s, θ, ρ0

2, vi, pi, i = 1, 2.В докладе излагаются результаты о разрешимости начально-крае-

вой задачи для сформулированной системы уравнений.Работа выполнена в рамках программы “Развитие научного потенциала

высшей школы (2009–2010)” (проект 2.2.2.4/4278).


1. Gard S.K., Pritchett J.W. Dynamics of gas-fluidized beds // J. Appl. Phys.1975. V. 46, 10, P. 4493–4500.

2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.3. Папин А.А. О локальной разрешимости краевой задачи тепловой двух-

фазной фильтрации // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, 1(37). С. 114–126.

31


История и анализ развития компьютернойархитектуры

The history and analysis of computerarchitecture development

Бабаян Б.А.

Intel R©Corporation, Москва, Россия; [email protected]

1. Введение. За долгую историю развития компьютеров компью-терная архитектура претерпела многие изменения и улучшения. Имеяза плечами более 50 лет опыта работы в проектировании компьюте-ров, автор проводит анализ развития архитектуры с самого началаэры компьютеров. Особое внимание уделяется важному вкладу, кото-рый внесли советские и российские ученые в проектирование и постро-ение микропроцессоров и компьютерных систем. Обзор эволюции ком-пьютерных архитектур начинается с периода ранних последовательныхмашин и, после обсуждения различных инноваций параллельных ма-шин, завершается анализом суперскалярных компьютерных архитек-тур. Автор делится знаниями, пониманием и наблюдениями в областиразработки нескольких поколений компьютеров Эльбрус, которые при-менялись в важнейших сферах деятельности как в бывшем СССР, таки в нынешней России. Сегодня развитие компьютерной архитектурыдостигло уровня, когда приходится учитывать и обходить ограничениясуперскалярной архитектуры. Проводится анализ и дается оценка воз-можностей и ограничений современной суперскалярной архитектуры.Обсуждается критическая ситуация в области компьютерных архитек-тур, возникшая, в связи с ограничением роста производительности су-перскаляра, а также пути решения этой проблемы.

2. Анализ эволюции компьютерной архитектуры. Произво-дительность первых последовательных компьютеров зависела от про-изводительности арифметических устройств. Для улучшения скоростии надежности этих устройств использовались базовые архитектурныерешения, включая метод двухрядовых кодов (двоичное умножение, де-ление, вычисление квадратного корня из числа), сегодня известныйкак “carry-safe” устойчивость к отказам и так далее. Эти решения бы-ли воплощены в машинах M-40, 5Э92б. В начале 50-ых годов одной изосновных проблем в исследованиях и проектировании была проблема

32


разработки и реализации параллельных вычислений. В России первыешаги в области параллелизма были сделаны Сергеем Лебедевым, кото-рый создал БЭСМ — предшественницу российских параллельных вы-числений. С увеличением числа арифметических устройств перед про-ектировщиками встала задача, как заставить их работать параллель-но. Появились первые суперскаляры. В России — Эльбрус-1, в Intel —PentiumPro. Эльбрус-1 был спроектирован в 1978 году и имел усовер-шенствованную суперскалярную процессорную архитектуру со стеко-вой организацией, мультипроцессорной поддержкой, с использованиемтегов для обеспечения высокой надежности и другими характеристи-ками, которые соответствовали современному техническому уровню.Одной из наиболее важных технологий, реализованных в Эльбрусе-1,была технология защищенных вычислений или типовая защита (type-safety). До 80-ых годов многие университеты и компании активно за-нимались исследованиями в этой области, они создавали эксперимен-тальные и опытные образцы систем, нацеленных на решение защитыэтих систем от пагубных последствий ошибок в программах, вирусов ивнешних атак злоумышленников. В начале 80-ых годов Intel создал си-стему iAPX 432. Эта разработка включала типовую защиту, однако еереализация не была успешной, так как Intel не стал вводить теги и вме-сто этого использовал традиционный подход. Подход к типовой защитев Эльбрусе основан на контроле данных на всех уровнях системы: в ап-паратуре, в языке и в операционной системе. Преимущества такой без-шовной интеграции аппаратуры и программного обеспечения состоятв исключении возможности распространения вируса, значительном по-вышении эффективности отладки и качества разработанных программ.Это решение было в последствие улучшено и внедрено в новые поко-ления компьютеров Эльбрус.

Технологии Эльбрус получили свое развитие в серии еще более про-двинутых разработок. Эльбрус-2 — 10-процессорный суперкомпьютербыл выпущен в 1984 году, он использовался для решения важных стра-тегических задач государства, включая Российскую противоракетнуюсистему. В 1985 году, за 15 лет до того, как Intel и HP начали рас-сматривать архитектуру, основывающуюся на явном параллелизме науровне операций (EPIC), началась разработка новой линии суперком-пьютеров Эльбрус-3, ориентированных на архитектуру с широким ко-мандным словом (VLIW). Инновационные конструкторские концепциии особенности этого компьютера до сих пор опережают подобные запад-ные разработки. Ключевая технология — Very Long Instruction Word

33


(VLIW)/Explicitly Parallel Instruction Computing (EPIC). Эта техноло-гия позднее использовалась в семействе процессоров Intel R ItaniumR,выпущенном в 2000 году. Микропроцессоры Crusoe и Efficeon были раз-работаны корпорацией Transmeta также на основе VLIW/EPIC с ис-пользованием двоичной трансляции (code morphing) в качестве основ-ной технологии.

В связи с быстрым развитием технологий компьютеры становятсявсе более сложными. Высокая сложность суперскаляров не позволяетговорить о дальнейшем росте производительности. Распараллеливаниепоследовательных операций должно осуществляться прямо во времяисполнения, “на лету”. Суперскаляр должен определять информаци-онные зависимости, он должен знать, какие команды должны выпол-няться с перестановкой, он должен выполнять переименование реги-стров. Техническое решение, использовавшееся в Эльбрусе-3, позволя-ло компилятору и аппаратуре совместно отвечать за сложность вы-полнения вычислительных задач. Реализация Эльбруса 3, основанногона VLIW/EPIC, опиралась на мощные компиляторы и явный паралле-лизм, чтобы обеспечить высокий уровень производительности. Нарядус VLIW/EPIC в Эльбрусе-3 велась разработка технологии двоичнойтрансляции. Эта технология решает проблему совместимости старых иновых архитектур. Микропроцессор Эльбрус-3М, выпущенный в 2007году, в котором были реализованы многие усовершенствованные тех-нологии предыдущих поколений компьютеров Эльбрус, продемонстри-ровал значительные преимущества такого подхода.

Сегодня много говорят о технологии двоичной трансляции. Многиекомпьютерные умы работают над этой идеей, потому что суперскалярдостиг своего предела и больше не может обеспечивать существенногороста производительности. Эффективная двоичная трансляция, под-держанная архитектурно, может открыть новые пути проектированияпроцессоров. Она обладает потенциалом, способным изменить компью-терный мир и спасти его от застоя.

34


Совершенствование проточной части гидротурбиныметодами математического моделирования

Improvement hydroturbine flow passage shape usingmathematical modeling methods

Банников Д.В.1, Черный С. Г.2, Чирков Д.В.2,Скороспелов В.А.3, Турук П.А.3

1Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия2Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск,

Россия; [email protected]Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,

Новосибирск, Россия

Постоянно повышающиеся требования к коэффициенту полезногодействия, кавитационным и прочностным характеристикам гидротур-бины делают актуальной разработку новых подходов численного ана-лиза их энергетических характеристик. Актуальной также остаётсяпроблема развития и совершенствования методов оптимального про-ектирования форм проточных частей гидротурбин.

В [1] авторы предложили систему автоматического оптимизацион-ного проектирования рабочего колеса, одного из основных элементовгидротурбины. Система основана на последовательности расчетов те-чений невязкой, несжимаемой жидкости для нескольких тысяч вариа-ций геометрии и поиске формы, которая обеспечит минимум ряда за-данных целевых функционалов одновременно. Использование уравне-ний Эйлера для моделирования пространственного потока позволилосущественно сократить время оптимизационных расчетов.

Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию предложен-ных авторами методов. Разработана экономичная параметризация спи-ральной камеры, статора и отсасывающей трубы, позволяющая эффек-тивно варьировать их геометрии изменением небольшого числа пара-метров.

Использование невязкой модели жидкости не позволяет непосред-ственно рассчитывать вязкие потери энергии в проточном тракте, азначит оценивать коэффициент полезного действия гидротурбины —основной характеристики турбомашины. Расчёт КПД с использовани-ем вязких турбулентных моделей требует больших временных затрат

35


и трудно применим в задачах глобальной оптимизации. Поэтому акту-альными остаются подходы, сочетающие сложные и упрощенные моде-ли. Авторами предложена комбинированная методика, позволяющаяоценивать потери энергии в проточной части на основе кинематикипространственного невязкого потока и эмпирических зависимостей, по-лученным обобщением экспериментальных данных. Такой подход поз-воляет за короткое время определять КПД всей гидротурбины.

Проведена серия численных расчетов по максимизации КПД турби-ны Сангтудинской ГЭС (Таджикистан). В докладе представлен анализполученных решений.



1. Черный С. Г., Чирков Д.В., Лапин В.Н., Скороспелов В.А., Ша-ров С.В. Численное моделирование течений в турбомашинах. Новоси-бирск: Наука, 2006.

36


Численное решение нелинейного уравненияГельмгольца

Numerical solution of the nonlinear Helmholtzequation

Барух Г.1, Фибих Г.2, Цынков С.3

1Тель-Авивский университет, Тель-Авив, Израиль;[email protected]

2Тель-Авивский университет, Тель-Авив, Израиль;[email protected]

3Университет штата Северная Каролина, Ралейх, СевернаяКаролина, США; [email protected]

Нелинейное уравнение Гельмгольца описывает распространение ин-тенсивных пучков лазерного излучения в (прозрачных) диэлектрикахтипа Керра, когда основным явлением, представляющим интерес с точ-ки зрения физики, является самофокусировка. В докладе описываетсяразностный метод высокого порядка точности для решения этого урав-нения, позволяющий проводить расчеты в том числе и для сред с раз-рывными оптическими характеристиками. Метод использует компакт-ные разности четвертого порядка, включая односторонние компактныеразности для аппроксимации условий на поверхностях разрыва. Клю-чевыми элементами метода являются высокоточные нелокальные ис-кусственные краевые условия, обеспечивающие прозрачность внешнихграниц для всех исходящих волн и одновременно задающие входящиелазерные пучки, а также способ решения получающейся системы раз-ностных уравнений, основанный на линеаризации по Ньютону и требу-ющий специального подхода из-за того, что нелинейность типа Керранедифференцируема для комплекснозначных решений.

Предлагаемый метод эффективен для исследования важного и дол-го остававшегося нерешенным вопроса в нелинейной оптике, а именновопроса о возникновении особенности решения в случае, когда рассея-ние света в среде предполагается направленным преимущественно впе-ред (так называемое параксиальное приближение). Впервые удалосьполучить решения без особенности для тех режимов, для которых ре-шение в параксиальном приближении, которое описывается нелиней-ным уравнением Шредингера, перестает существовать уже на конеч-

37


ных длинах распространения пучка. Кроме того, были рассчитаны ре-шения в виде ‘узких’ (порядка одной длины волны) непараксиальныхсолитонов, а также промоделированы взаимодействия (‘столкновения’)между такими солитонами.

На рисунке представлено решение нелинейного уравнения Гельмгольца(плотность потока энергии электромагнитного поля) с двумя цикламифокусировки-дефокусировки, полученное для случая, когда энергияпадающего лазерного пучка на 28% превосходит критическое значение,при котором в решении нелинейного уравнения Шредингера образует-ся особенность.

Работа третьего автора выполнялась при поддержке Национального на-учного фонда США (гранты DMS-0509695 и DMS-0810963) и Бюро научныхисследований ВВС США (грант FA9550-07-1-0170).

ЛИТЕРАТУРА1. Baruch G., Fibich G., and Tsynkov S. High-order numerical method for the

nonlinear Helmholtz equation with material discontinuities in one space di-mension // J. Comput. Phys. 2007. V. 227. C. 820–850.

2. Baruch G., Fibich G., and Tsynkov S. Simulations of the NonlinearHelmholtz equation: arrest of beam collapse, nonparaxial solitons, andcounter-propagating beams // Optics Express. 2008. V. 16, N 17. C. 13323–13329.

3. Baruch G., Fibich G., and Tsynkov S. A high-order numerical method forthe nonlinear Helmholtz equation in multidimensional layered media // J.Comput. Phys. (To appear).

38


Метод усреднения в теории нелинейныхпочти периодических колебаний

Averaging method in the theory of nonlinearalmost periodic oscillations

Белоносов В.С.


В банаховом пространстве B рассматривается дифференциальноеуравнение в нормальной в смысле Н.Н. Боголюбова форме

ut = εf(t, u). (1)

Здесь u(t) — неизвестная функция, отображение f непрерывно по (t, u)и почти периодично по t, ε — малый параметр. К таким уравнениямсводятся многие задачи теории возмущений многочастотных колебанийв распределенных системах. Возьмем, например, абстрактное гипербо-лическое уравнение в гильбертовом пространстве H

vtt = −A2v + εg(t, v), (2)

где A — линейный самосопряженный положительный оператор с ком-пактной резольвентой, g — непрерывная оператор-функция, периоди-ческая или почти периодическая по t. Заменой переменных

v = A−1(eiAtx + e−iAty), vt = ieiAtx− ie−iAty

уравнение (2) сводится к системе типа (1) относительно вектора u =(x, y) в пространстве B = H ⊗H.

Каждой почти периодической функции F (t) соответствует ее фор-мальный ряд Фурье

∑∞m=1 cmeiλmt (см. [1]). Однако в отличие от слу-

чая периодических функций этот ряд, вообще говоря, нельзя интегри-ровать почленно, так как показатели λm могут сколь угодно быстростремиться к нулю. Во многих задачах данное обстоятельство приво-дит к сложным вопросам, известным под общим названием “проблемымалых знаменателей”. В частности, эта проблема возникает при попыт-ке применить к уравнению (1) классический метод усреднения Крыло-ва — Боголюбова [2, 3].

39


Мы предлагаем так модифицировать метод усреднения, чтобы из-бежать проблемы малых знаменателей. Пусть 0 < α < 1, а функ-ция f имеет непрерывные и ограниченные производные Dk

uf порядковk 6 n + 1. Тогда существует замена переменных

u = v + εαϕ1(t, v, ε) + . . . + εnαϕn(t, v, ε),

приводящая исходное уравнение к виду

vt = εf1(t, v, ε) + ε1+αf2(t, v, ε) + . . . + ε1+nαfn+1(t, v, ε).

Функции ϕk и fk почти периодичны по t, непрерывны и ограниченывместе с производными первого порядка по v, а их ряды Фурье приk 6 n таковы, что

fk ∼∑m

fkmeiµkmt, |µkm| < 2ε1−α, ϕk ∼∑m

ϕkmeiνkmt, |νkm| > ε1−α.

Укороченное уравнение

vt = εf1(t, v, ε) + ε1+αf2(t, v, ε) + . . . + ε1+(n−1)αfn(t, v, ε)

приближенно описывает медленный ¿дрейфÀ искомого решения, накоторый накладываются быстрые осцилляции, определяемые отобра-жением

u = v + εαϕ1(t, v, ε) + . . . + ε(n−1)αϕn−1(t, v, ε).

Для всякого T > 0 погрешность приближенного решения u при условииu(0) = u(0) удовлетворяет неравенству

‖u(t)− u(t)‖ 6 C(T )εnα, 0 6 εt 6 T,

где ‖ · ‖ — норма в пространстве B.Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект 09-01-00221), Президиума РАН (Программа фундамен-тальных исследований 2), АВЦП Рособразования (проект 2.1.1.4918).


1. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М.: Гостехиздат, 1953.2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в тео-

рии нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958.3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: На-

ука, 1974.

40


К проблеме численного решенияэллиптических задач

On the problem of the numerical solutionto the elliptic problems

Белых В.Н.


При конструировании алгоритмов численного решения краевых за-дач речь всегда идет об аппроксимации континуальных объектов ко-нечномерными и о построении аналогов последних, отправляясь отпонятий, допускающих финитную формализацию. При этом качестводискретизаций оценивается сравнением ее характеристик (точности иобъема) с асимптотиками двух числовых параметров αn(X) и Hε(X),характеризующих аппроксимационные возможности компакта X реше-ний задачи [1]. Точнее, с асимптотиками александровского n-попереч-ника αn(X) при n →∞ и колмогоровской ε-энтропии Hε(X) при ε → 0.Напомним, что поперечник αn(X) характеризует способность компак-та X “хорошо” приближаться компактами топологической размерно-сти ≤ n, а энтропия Hε(X), определяемая двоичным логарифмом отминимального числа элементов в наиболее экономном 2ε-покрытии X,задает минимальный объем информации в битах, требуемый для раз-личения элементов компакта X с точностью ε > 0.

Величины асимптотик αn(X) и Hε(X) определяются гладкостьюсоставляющих компакт X элементов, поэтому грань, отличающая ка-чественную дискретизацию от всех прочих, характеризуется наследо-ванием дифференциальных свойств решений. Иначе говоря, практи-ческая эффективность численного метода зависит от того, насколь-ко полно конечномерные задачи, получаемые дискретизацией исходнойкраевой, наследуют дифференциальные свойства решений последней.Именно по этой причине уникальные аппроксимационные возможностикомпактов решений эллиптических задач (характеризующиеся наличи-ем шаудеровских оценок) находятся в конфликте с точностью, которуюспособны обеспечивать численные методы с главным членом погреш-ности (квадратур, конечных разностей, конечных элементов и т. п.).

В докладе указан принципиально новый — ненасыщаемый (см. [1, 2])— метод численного решения осесимметричных краевых задач для

41


уравнения Лапласа в случае гладких тел вращения достаточно про-извольной формы. Специфическая его особенность — отсутствие глав-ного члена погрешности и, как результат — способность автоматическиподстраиваться к любым естественным для задач классам корректно-сти. В результате экстраординарные запасы гладкости отыскиваемыхрешений задач, к примеру, бесконечная дифференцируемость и ана-литичность, прежде находившиеся на периферии насущных интересовреальных вычислений, становятся их активным персонажем.

Полученный результат имеет принципиальный интерес, посколькув случае C∞-гладких решений построенный численный метод с точно-стью до медленно растущего множителя O(ln2n) реализует абсолютнонеулучшаемую экспоненциальную оценку погрешности O(e−n%), % =const, n — число свободных параметров у функций, из которых кон-струируется приближение. Неулучшаемость оценки обусловлена асимп-тотикой αn(X) компакта X аналитических функций, содержащего точ-ное решение задачи. Эта асимптотика также имеет вид O(e−n%).

В качестве примера с высокой точностью численно решена задачавнешнего безотрывного обтекания потенциальным потоком идеальнойнесжимаемой жидкости эллипсоида вращения с удлинением, равным1000 (см. [2]). Отметим, что эллипсоид вращения, с удлинением, рав-ным 25, становится уже непреодолимым препятствием для методов сглавным членом погрешности — насыщаемых , т. е. таких, как методыконечных разностей, конечных элементов, квадратур и подобные им.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-01-00207-a), Совета по грантам Президента РФ(проект НШ-4292.2008.1) и междисциплинарного интеграционного проектафундаментальных исследований СО РАН 40.


1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: РХД, 2002.2. Белых В.Н. Внешняя осесимметричная задача Неймана для уравнения

Лапласа: ненасыщаемые методы численного решения // Докл. АН. 2007.Т. 417, 4. С. 442–445.

42


Относительная видимость объектав задаче навигации

Relative visibility of an object in navigation problem

Бердышев В.И.


Пусть наблюдаемый объект t движется в R3, задано замкнутое мно-жество G ⊂ R3, препятствующее видимости, f — наблюдатель, место-положение которого задано с погрешностью h = h(f) > 0, т. е. известнолишь, что наблюдатель находится в шаре Vh(f) = v ∈ R3 : |v−f | ≤ h,где | · | — евклидова норма. Для наблюдателя предпочтительна ситуа-ция, когда из точек шара Vh(f) видны все точки шара Vr(t) при неко-тором r > 0, точнее, когда Kr,h(t, f) ∩ G = ∅, где Kr,h = Kr,h(t, f) =

conv(Vr(t)∪ Vh(f)

)\ Vh(f), Vh(f) =

v : |v− f | ≤ h

, conv — выпуклая

оболочка множества. Функция

rh(t) = r(t, f, h,G) = minr : Kr,h(t, f) ∩G 6= ∅характеризует видимость объекта t для наблюдателя f, а функция

A(t, f, h) = rh(t) / |t− f |— относительную видимость. Пусть выбрано направление t, |t| = 1,движения точки t. Естественно предположить, что, когда наблюда-емый объект окажется в точке tλ = t + λ t (λ ≥ 0), наблюдатель,стремясь сохранить tλ в зоне видимости, переместится в точку fλ =f + c(λ) (tλ− f) / |tλ− f |, при этом погрешность в определении положе-ния наблюдателя может измениться: hλ = h(fλ). Пусть функции hλ иcλ = c(λ) дифференцируемы, c(0) = 0, h(0) = h.

При выборе маршрута движения объекта t важно знать величинупроизводной по направлению

∂A

∂t= lim

λ→+0

A(tλ, fλ, hλ)−A(t, f, h)λ

.

Пусть g ∈ V|t−f |(t) \ convVh(f) ∪ t,R = R(t, f, h, g) = minr : g ∈ Kr,h.

43


Граница bd Kr,h множества Kr,h есть объединение трех поверхностей:конической kr,h и двух сферических sr(t) ⊂ Sr(t), sh(f) ⊂ Sh(f), гдеSr(t) = v : |t−v| = r. В случае g ∈ kR,h обозначим: Lg — образующаяповерхности kR,h (g ∈ Lg), p(g) = SR(t) ∩ Lg, tg ∈ [t, f ] — точка, длякоторой отрезок [tg, g] ортогонален прямой Lg.

Теорема 1. В случаях: 1) g ∈ sR(t), 2) g ∈ kR,h справедливыформулы

1)∂R

∂t= cos ξ, 2)

∂R

∂t= cos ξ +

|t− f | − |tg − f ||tg − f |

d

dλ

(cλ − hλ

)λ=0

, (1)

где ξ — угол между векторами t − g, t в случае 1) и угол между век-торами t− p(g), t в случае 2).

С использованием этой теоремы и теоремы В.Ф. Демьянова о диффе-ренцировании функции максимума устанавливается

Теорема 2. Функция r = r(t, f, h,G) дифференцируема по любомунаправлению t, |t| = 1, и

∂r

∂t= min

∂R(t, f, h, g)

∂t: g ∈ G(t)

,

гдеG(t) =

g ∈ G : R(t, f, h, g) = r(t, f, h, G)

и производная ∂R / ∂t вычисляется по формулам (1).Теорема 3. Имеет место равенство

∂A(t, f, h)∂t

=1

|t− f |∂r(t, f, h, G)

∂t+

r(t, f, h, G)|t− f |2

(dc(0)dλ

+ cos γ

),

где γ — угол между векторами f − t, t.Работа выполнена по программе фундаментальных исследований Прези-

диума РАН 29 и при финансовой поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проект 08-01-00325).

44


Моделирование артериальной системы человекана основе 1D модели гемодинамики

Modelling of human arterial system on the basisof 1D hemodynamics model

Бибердорф Э.А.1, Колпаков Ф.А.2, Леонова Т.И.3

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

[email protected]Новосибирский государственный университет,

Конструкторско-технологический институт вычислительнойтехники СО РАН, Новосибирск, Россия;

[email protected]Конструкторско-технологический институт вычислительнойтехники СО РАН, Новосибирский государственный университет,

Новосибирск, Россия; [email protected]

Моделирование регуляции артериального давления у человека яв-ляется актуальной задачей математической биологии. В данной работерассматривается одномерная гемодинамическая модель, состоящая из55 артерий, описывающая физические процессы, протекающие в арте-риальной системе человека.

Для численного решения построенной модели использовались ме-тод прямых и ортогональной прогонки. Создана программа на языкеMATLAB и программный модуль на языке Java для системы BioUML(http://www.biouml.org), позволяющий представлять модель в виде ре-дактируемого графа. Проведены вычислительные эксперименты с со-зданной моделью, в ходе которых рассматривались различные состоя-ния сердечно-сосудистой системы: нормальное функционирование в по-кое, при физической нагрузке и в случае патологии — тахикардии. Длявсех 55 артерий человека получены графики зависимости давления вних от времени, и подтверждено их соответствие диапазону реальныхфизиологических значений параметров живого организма.

Численная модель верифицирована путем сравнения результатовприменения различных методов интегрирования, тестированием на за-даче с известным точным решением, а также посредством сравнениярезультатов вычислений с различными параметрами дискретизации иинтегрирования.

45


Для валидации модели исследована зависимость пульсовой волныот жесткости стенок кровеносных сосудов. Результаты сопоставлены сизвестной формулой Юнга.

С целью создания замкнутой модели системы кровообращении, напримере простого графа проведено моделирование фильтрации кровив тканях. Блок фильтрации включен в модель артериальной системы.

Работа выполнена при поддержке программы “Развитие научного потен-циала высшей школы (2009–2010)” (проект 2.1.1/4591; подраздел 2.1.1,раздел 2.1, мероприятие 2), Совета по грантам Президента РФ (проект НШ-4299.2008.1) и Президиума СО РАН (интеграционный проект 91-2009).


1. Блохин А.М., Бибердорф Э.А., Колпаков Ф.А, Леонова Т.И. и др. Си-стема кровообращения и артериальная гипертония: биофизические игенетико-физиологические механизмы, математическое и компьютерноемоделирование. Новосибирск: Наука СО РАН, 2008.

2. Lamponi D.N. One dimensional and multiscale models for blood flow circu-lation. Universita di Bologna, Italie, 2004.

3. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейныхобыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1961.Т. 16, 3. С. 171–175.

46


Алгебры Клиффорда и краевые задачианизотропной теории упругости

Clifford algebras and boundary value problemsin anisotropic theory of elasticity

Боган Ю.А.


В двумерных краевых задачах теории упругости хорошо известени давно используется метод интегралов типа Коши при решении крае-вых задач. Он очень удобен для приведения краевой задачи к системеинтегральных уравнений, исследования ее дифференциальных свойстви численного решения. В трехмерном случае аналогом алгебры ком-плексных чисел является ассоциативная алгебра кватернионов. Алгеб-ра кватернионов — это частный случай общей многомерной алгебрыКлиффорда. Известно, что при помощи алгебры Клиффорда можнопостроить многомерный аналог интеграла типа Коши на плоскости.Его свойства достаточно хорошо изучены в настоящее время [1]. В на-стоящем докладе сделана первая (насколько известно автору) попыткаприменить трехмерный аналог интеграла типа Коши к решению трех-мерных задач анизотропной теории упругости. Показано, что нали-чие анизотропии материала существенно упрощает исследование. Рабо-та метода проиллюстрирована на примере трансверсально-изотропнойсреды. Этим методом построено решение первой краевой задачи длятрансверсально-изотропного полупространства (на границе задан век-тор перемещений). Построена система интегральных уравнений для ре-шения первой краевой задачи в ограниченной области с ляпуновскойграницей.


1. Blaya A.R., Pena P.D., Reyes B. J. Clifford Cauchy type integrals on Ahlfors–David regular surfaces in Rm+1 // Adv. Appl. Clifford Algebr. 2003. V. 13,N 1. P. 133–156.

47


Кубическая сплайн–интерполяция, наследующаякусочную монотонность

Cubic spline interpolation inheriting piecewisemonotonicity

Богданов В.В.


Пусть в узлах сетки ∆ : a = x0 < x1 < . . . < xn = b известнызначения некоторой функции f(x): fi = f(xi), i = 0, . . . , n. Кусочномонотонной интерполяцией называем построение функции S(x), такойчто 1) S(xi) = fi, i = 0, . . . , n; 2) число перемен знака производнойS′(x) на [a, b], совпадает с числом перемен знаков в наборе разделённыхразностей f [xi, xi+1].

Известно, что для локальных эрмитовых сплайнов задача сохране-ния монотонного неубывания данных не всегда разрешима (F.N. Fritch,R. E. Carlson, 1980). Для того, чтобы интерполяционный кубическийсплайн был монотонным на каждом отрезке [xi, xi+1] необходимо идостаточно, чтобы первые производные mi = S′(xi) удовлетворялиусловию (mi, mi+1) ∈ Gi ⊆ R2, mk = mk/f [xi, xi+1], k = i, i + 1,(mi = mi+1 = 0, если f [xi, xi+1] = 0) для всех i, причём область Gi

является выпуклой и ограничена частью дуги эллипса в положитель-ной четверти.

Некоторые достаточные условия можно записать совсем просто: эр-митов кубический сплайн сохраняет свойство монотонности данных,если все mi ≤ 3. Отметим, что если первые производные в узлах не за-даются, а выбираются, то монотонная интерполяция всегда разрешима.Легко заметить, что задача кусочно монотонной интерполяции такимисплайнами решается с теми же ограничениями, а на промежутках, гдезаданные производные разных знаков, вообще без ограничений.

В случае нелокальной монотонной интерполяции кубическимисплайнами класса C2 В.Л. Мирошниченко разработал технику, осно-ванную на получении достаточных условий положительности решениятрёхдиагональных систем линейных уравнений с диагональным преоб-ладанием по строке. В дальнейшем эта техника была распространена

48


на более широкий класс матриц, что позволяет установить достаточ-ные условия сохранения классическим кубическим сплайном кусочноймонотонности исходных данных.

Рассмотрим кубический сплайн, построенный по разложению егопроизводной в базисе из параболических B-сплайнов.

S′(x) =∑

k

βkBk(x).

В силу положительности базисных функций неотрицательность всехβk гарантирует монотонность S(x). Внутренние уравнения системы от-носительно коэффициентов βk имеют вид (Ю.С. Волков, 2002)

λi−1βi−1 + (1 + µi−1 + λi)βi + µiβi−1 = 3f [xi−1, xi], i = 1, . . . , n− 1,

где λi = hi/(hi−1 + hi), µi = 1−λi, hi = xi+1− xi; система замыкаетсяуравнениями из краевых условий. В конечном итоге построение сплай-на сводится к нахождению набора β параметров сплайна из системылинейных уравнений Aβ = d c правой частью, составленной из разде-лённых разностей. Оказывается, применить преобразование В.Л. Ми-рошниченко GAβ = Gd (где G — зависящая от A трёхдиагональнаяматрица) можно и в этом случае (при отсутствии традиционного диа-гонального преобладания). При этом система с матрицей GA моно-тонного вида дает возможность установить требуемые ограничения наданные. Таким образом, сплайн является монотонным, если выполненолегко проверяемое условие Gd ≥ 0. В частности, на равномерной сеткедостаточным условием монотонности является ограниченность отноше-ний соседних разделённых разностей 1/2 ≤ f [xi, xi+1]/f [xi−1, xi] ≤ 2.

В докладе предлагается дальнейшее обобщение результатов на слу-чай большого класса систем без диагонального преобладания в задачекусочно монотонной интерполяции. Приводятся достаточные условияна данные, при которых задача разрешима. В качестве примера приво-дятся условия для случая одной смены характера монотонности дан-ных. Установлено, что ограничения на участках монотонности, оста-ются теми же, а на четырёх соседних промежутках сетки, примыкаю-щих к узлу смены знака в последовательности разделённых разностей,становятся жёстче. В частности, на равномерной сетке на этих участ-ках недостаточно, чтобы отношение соседних разделённых разностейне превосходило 2.

Работа выполнена при поддержке Отделения математических наук РАН(проект 2009-3.8), интеграционного проекта СО РАН 2009-81 и совмест-ного интеграционного проекта СО РАН и УрО РАН 2009-14.

49


О скорости сходимости некоторых итерационныхметодов для уравнений Навье — Стокса

On the rate of convergence of certain iterativemethods for the Navier–Stokes equations

Боговский М.Е.

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия;[email protected]

В цилиндре QT = Ω × (0, T ), основание которого Ω ⊂ R3 явля-ется ограниченной областью с границей ∂Ω ∈ C2, рассматриваетсяначально-краевая задача для нелинейной системы Навье — Стокса

vt + (v,∇)v − ν∆v +∇p = f, div v = 0,

v|t=0 = a, v|∂Ω = 0, div a = 0, a|∂Ω = 0,(1)

с постоянным коэффициентом кинематической вязкости ν > 0. Призаданных f ∈ L2(QT ) и a ∈ W 1

2 (Ω) cильное решение задачи (1) опреде-ляется как упорядоченная пара v,∇p с полем скоростей v : QT → R3

из анизотропного пространства Соболева W 2,12,x,t(QT ) и с давлением

p : QT → R1 класса p ∈ W 1,02,x,t(QT ). Подпространство соленоидальных

векторных полей v ∈ W 2,12,x,t(QT ) удобно рассматривать как гильберто-

во пространство HT с индуцированной нормой.В предположении существования сильного решения задачи (1) ите-

рационная последовательность сильных решений vn,∇pn линейныхначально-краевых задач

vn

t + (vn−1,∇)vn − ν∆vn +∇pn = f, div vn = 0,

vn|t=0 = a, vn|∂Ω = 0, div a = 0, a|∂Ω = 0, n > 1,(2)

сходится к сильному решению задачи (1) со скоростью

‖v − vn‖HT+ ‖∇p−∇pn‖L2(QT ) 6 C(λ)λ−n, ∀λ ∈ (0, 1), (3)

где постоянная C(λ), зависит только от числа λ при условии, что f , aи начальное приближение v0,∇p0 фиксированы. В качестве началь-ного приближения удобно принять v0 = 0 и p0 = 0.

50


Оценка (3) означает сходимость последовательных приближенийvn,∇pn со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель ко-торой λ сколь угодно близок к нулю, без каких-либо условий малостии с одним лишь предположением, что при заданных ν, T и f, a силь-ное решение задачи (1) существует. Оценка (3) устанавливается с по-мощью функционально-аналитических разложений сильных решенийзадачи (2), построенных в работе [1]. При этом для каждого n > 2решение задачи (2) может быть получено как предел итерационной по-следовательности сильных решений vn,m,∇pn,m задач Стокса

vn,m

t − ν∆vn,m +∇pn,m = f − (vn−1,∇)vn,m−1, div vn,m = 0,

vn,m|t=0 = a, vn,m|∂Ω = 0, div a = 0, a|∂Ω = 0, m > 1,

где vn,0 = 0 и pn,0 = 0. Устанавливается, что последовательные при-ближения vn,m,∇pn,m, являясь частичными суммами построенныхв [1] рядов, сходятся при каждом значении n > 2 к сильному решениюvn,∇pn задачи (2) также со скоростью геометрической прогрессиисо сколь угодно малым знаменателем.

С практической точки зрения важно, что при построении итера-ционной последовательности vn,m,∇pn,m используется только разре-шающий оператор линейной задачи Стокса без конвективных членов.Таким же важным свойством обладает и итерационная последователь-ность сильных решений un,∇qn задач Стокса

un

t − ν∆un +∇qn = g − (v,∇)un−1 − (un−1,∇)v, div un = 0,

un|t=0 = b, un|∂Ω = 0, div b = 0, b|∂Ω = 0, n > 1,

где u0 = 0 и q0 = 0. Для заданного v ∈ HT последовательные при-ближения un,∇qn сходятся со скоростью геометрической прогрессиисо сколь угодно малым знаменателем к сильному решению начально-краевой задачи, которая обращает на заданном v ∈ HT производнуюФреше нелинейного отображения, соответствующего (1). Таким обра-зом, практическую реализацию метода Ньютона для задачи (1) можносвести к решению линейных задач Стокса без конвективных членов.


ЛИТЕРАТУРА1. Боговский М.Е. О некоторых аспектах применения метода Ньютона к

уравнениям Навье — Стокса // Докл. АН. 2009. Т. 426, 3. С. 295–299.

51


Об одной численной схеме решения трехмернойзадачи динамики упругих тел

On numerical method for three–dimensional dynamicelasticity problems

Богульский И.О.1, Волчков Ю.М.2

1Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск,Россия; [email protected].гu

2Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; [email protected]

В работе предложен численный алгоритм решения трехмерной ди-намической задачи теории упругости. Метод основан на локальной ап-проксимации решения линейными полиномами и последующем расщеп-лении исходной трехмерной задачи на одномерные.

Предположим, что расчетная область представляет собой объеди-нение параллелепипедов. В каждом из них неизвестные функции иих производные аппроксимируются линейными полиномами. Толькоуравнения движения и закон Гука не позволяют получить замкнутуюсистему уравнений для определения коэффициентов этих полиномов.Для замыкания системы необходимо сформулировать дополнительныеуравнения. Они строятся на основе энергетического тождества. Полу-чается явная форма искусственной диссипации энергии, с использова-нием которой формулируются дополнительные уравнения. При этомрешение задачи расщепляется на ряд одномерных задач.

Если алгоритм реализовать на этом этапе, то построенная явнаясхема будет иметь достаточно жесткое ограничение на шаг по времени.Это, в свою очередь, приведет к сильному размазыванию фронтов волнпри расчете задач ударного взаимодействия.

В двумерном случае была предложена и исследована итерацион-ная (как правило, двухэтапная) процедура решения одномерных за-дач, обеспечивающая и качество решения и минимально возможноедля устойчивости ограничение на шаг по времени [1].

В трехмерном случае так же удалось построить такой алгоритм.Однако в отличие от плоской задачи здесь возникла неоднозначностьв выборе варианта расщепления. Наиболее удачный из вариантов ипредлагается в работе.

52


Таким образом, в работе построена явная симметричная разност-ная схема, удовлетворяющая требованиям устойчивости и сходимостии обладающая рядом положительных качеств, а именно:

— у численного решения задачи о распространении ударных волнотсутствуют нефизические (паразитические) осцилляции;

— необходимое для устойчивости ограничение на шаг по времениточно такое же, как и в одномерных задачах, на которые расщепляетсятрехмерная;

— при определенном выборе шагов по времени и по пространствен-ным координатам приближенное решение точно описывает разрыв.

Предложенный алгоритм проиллюстрирован на решении тестовыхзадач.



1. Иванов Г.В., Волчков Ю.М., Богульский И.О., Анисимов С.А., Кургу-зов В.Д. Численное решение динамических задач упругопластическогодеформирования твердых тел. Новосибирск: Сибирское университетскоеиздательство, 2002.

53


Алгоритм построения начальных трехмерныхструктурированных сеток для областей вращения

An algorithm of constructing initial three–dimensionalstructured grids for domains of revolution

Бронина Т.Н.


В данной работе изложен алгоритм построения начальных трехмер-ных структурированных сеток в областях вращения. Предлагаемый ал-горитм не сводится к “ротационному алгоритму”, который, как прави-ло, применяется при построении сеток в областях вращения, что приво-дит к появлению около оси вращения вырожденных (не шестигранных)ячеек и ячеек малого объема. Предлагаемый алгоритм позволяет из-бежать указанных недостатков. Алгоритм основан на геометрическомподходе к построению сеток.

В декартовой системе координат x1, x2, x3 в плоскости (x1x3),x1 ≥ 0 задана односвязная область U с границей ∂U , определяемой

как множество ∂U =I⋃

i=1

ei, ti, где ei — элемент (дуга окружности или

эллипса, отрезок прямой и т. п.), ti — конечная точка элемента. Кри-вую ∂U будем называть образующей. Преобразование x1 = x1 cos α,x2 = x1 sinα, x3 = x3, 0 < α ≤ ϕ ≤ π, либо ϕ = 2π, где (x1, x3) ∈ U ,определяет область вращения G; ось координат x3 — ось вращения.

Задача состоит в построении в области G структурированной 3D-сетки TNML, не имеющей особенностей на оси вращения и самопересе-кающихся параметрических поверхностей. Под ячейкой сетки в даннойработе понимается двенадцатигранник с плоскими треугольными гра-нями.

В зависимости от особенностей образующей и заданного угла раз-ворота ϕ все рассматриваемые области вращения предлагается отнестик одному из трех типов Gq, q = 1, 2, 3. Для построения регулярной сет-ки TNML определяется отображение Ξr определенной последовательно-сти восьми точек (вершин шестигранника), часть из которых — точкиti ∈ ∂U , часть расположена симметрично относительно оси вращения,

54


на вершины параметрического куба. Предлагается три способа отобра-жения Ξr, r = 1, 2, 3. Выбрав для области Gq желаемый способ отобра-жения Ξr, определим тем самым структуру сетки. Комбинацию типаобласти Gq и отображения Ξr назовем конфигурацией сетки.

В основе алгоритма лежит идея [1] представления трехмерной сеткикак набора L пространственных двумерных сеток, узлы которых лежатна некоторых поверхностях вращения и координаты узла сетки на по-верхностях вращения рассчитываются как x1

nmk1= x1

mk1cos αnm(Gq, Ξr),

x2nmk1

= x1mk1

sin αnm(Gq, Ξr), x3nmk1

= x3mk1

, где ximk1

∈ S, S – дву-мерная сетка в области U . Значение угла αnm(Gq, Ξr) зависит как отномера точки в двумерной сетке S, так и от выбранной конфигура-ции (Gq,Ξr). Таким образом, для одной и той же области G выборомкомбинации (Gq, Ξr) можно построить различные сетки.

Предлагаемый алгоритм имеет следующую структуру:— задание конфигурации (Gq, Ξr) области G;— построение двухмерной S (двухмерных) сетки в области U , с

границами, определяемыми выбранной конфигурацией; оптимизациясетки S и получение сетки с заданными свойствами (равномерность,квазиортогональность и т. п.)

— построение и оптимизация двухмерных сеток на поверхностяхвращения, образующими для которых выбираются параметрическиелинии lmk1 ⊂ S;

— оптимизация трехмерной сетки.Алгоритм использовался для расчетов сеток во многих областях

сложной конфигурации. К достоинствам алгоритма можно отнести сле-дующие моменты: отсутствие неоднозначности и вырожденных ячеекна оси вращения; получаемая 3D сетка сохраняет конструктивные осо-бенности исходной области (симметрия, изломы границы, соответству-ющие точкам ti ⊆ ∂U); алгоритм сохраняет свойства двумерной S сет-ки на параметрических поверхностях трехмерной сетки; позволяет рас-считывать многослойные (блочные) конструкции.



1. Бронина Т.Н. Алгоритм построения начальных трехмерных структури-рованных сеток для областей вращения // Тр. Инст. математики и меха-ники УрО РАН. 2008. Т. 14, 1. С. 3–10.

55


Численные модели ускорения плазмыв магнитном поле

Computational models of plasma accelerationin the magnetic field

Брушлинский К.В., Жданова Н.С.

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН,Москва, Россия; [email protected]

Успешный опыт математического моделирования и численных ис-следований течений плазмы в каналах плазменных ускорителей сталчастью разработки этого вида новой техники. Одновременно постав-лены и решены ряд общих вопросов вычислительной плазмодинами-ки — фундаментальной области современной науки с широкими пер-спективами приложений. Схема ускорителя, предложена А.И. Моро-зовым [1]. В канале, образованном двумя коаксиальными электродами,взаимодействие электрического тока радиального направления с ази-мутальным магнитным полем ускоряет плазму силой Ампера в осевомнаправлении. Если канал профилирован в виде сопла, то в нем устанав-ливается трансзвуковое течение с рекордными параметрами скорости иэнергии, намного превосходящими параметры, например, жидкостно-реактивных двигателей, так как ускорение здесь обязано не только теп-ловой, но и электромагнитной энергии.

Эффективность и количественные характеристики ускорения опре-деляются свойствами стационарных течений плазмы в каналах. Их рас-четы выполнены в основном в осесимметричной МГД-модели. Рассмот-рение отдельных деталей потребовало дополнительно учесть в ней эф-фект Холла и процесс ионизации. Результаты подробных исследованийвносят вклад в теорию двумерных течений плазмы в поперечном маг-нитном поле, приложения которой не ограничиваются плазменнымиускорителями.

Доклад посвящен работам последних лет, в которых авторы уде-лили внимание течениям плазмы в каналах, в присутствии также ипродольного магнитного поля, создаваемого внешними проводникамис током. Математические и вычислительные вопросы при этом услож-няются. В исследовании механизма ускорения получены качественноновые результаты. Некоторые закономерности стационарных течений в

56


соплах рассмотрены в квазиодномерном (гидравлическом) приближе-нии. Дана классификация типов течения с весьма различными свой-ствами в зависимости от отношения скорости потока к каждой из трехскоростей магнитного звука: быстрой, медленной и продольной альф-веновской. В двумерной МГД-модели стационарные режимы полученыв расчетах установлением. Рассмотрены сверх- и доальфвеновские те-чения, а также комбинированные, тип которых может быть разным вразных частях канала. Принципиальное отличие доальфвеновских те-чений от сверхальфвеновских и от течений только в поперечном полепроявляется в первую очередь в переходах трех видов энергии — кине-тической, тепловой и магнитной друг в друга [2].

Некоторые результаты о влиянии продольного поля и эффекта Хол-ла на ускорение плазмы в каналах получены А.Н. Козловым [3]. Моде-ли ускорения плазмы в каналах изложены в [4], где имеется подробнаябиблиография на обсуждаемую тему.



1. Морозов А.И. Введение в плазмодинамику. М.: Физматлит, 2006.2. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. МГД-течения в каналах плазменных

ускорителей с продольным магнитным полем // Физика плазмы. 2008.Т. 34, 12. С. 1120–1128.

3. Козлов А.Н. Динамика вращающихся потоков плазмы в канале плаз-менного ускорителя с продольным магнитным полем // Физика плазмы.2006. Т. 32, 5. С. 413–422.

4. Брушлинский К.В. Математические и вычислительные задачи магнит-ной газодинамики. М.: Бином, Лаборатория знаний, 2009. (В печати).

57


Гарантированная точность вычислениямногомерных приближенных формул

The guaranteed computing accuracyof multidimensional approximate formulas

Васкевич В.Л.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

[email protected]

Сфера приложений приближенных формул при моделировании са-мых разных природных процессов расширяется бурно и лавинообразно.Объектами приближения служат при этом как решения краевых задачдля уравнений и систем уравнений с частными производными, принад-лежащие известным функциональным компактам, так и обобщенныефункции — когда речь идет о кубатурных формулах. В любом слу-чае использование квалифицированных приближенных формул связа-но с обширными компьютерными вычислениями и в этой связи важнознать, в какой степени гарантирована близость получаемого числен-ного результата к искомому теоретическому. Ответ на этот вопрос за-висит от многих факторов, среди которых особо выделяется один: ве-личина N числа узлов приближенной формулы. Под числом узлов Nприближенной формулы понимается число базисных функций, исполь-зуемых в типичной приближающей сумме с ненулевыми весами:

ϕ(x) ≈N∑

k=1

ckϕk(x) ∀x ∈ Ω;∫

Ω

ϕ(x) ≈N∑

k=1

ckϕ(xk).

Здесь Ω — ограниченная область в Rn, в рамках которой производят-ся численные измерения, а ϕ(x) — функция, подверженная этим из-мерениям. Еще один важный для получения гарантированных оценокфактор — это априорная информация о принадлежности функции ϕ(x)компакту нормированного функционального пространства X, т. е. ин-формация о верхней оценке энергии физической системы, описываемойнаблюдаемой функцией ϕ.

В теории приближений погрешность формулы с N узлами на ба-наховом пространстве X функций n переменных принято характери-зовать с помощью нормы соответствующего оператора (функционала)

58


погрешности lN [1]. Малые возмущения весов c = (c1, c2, . . . , cN ) фор-мулы, возникающие при ее компьютерной реализации в силу ошибококругления, приводят к рассмотрению вместо lN возмущенного опера-тора (функционала) погрешности lN с весами c = (c1, c2, . . . , cN ). Приэтом |ck − ck| ≤ ε1|ck| + ε0, k = 1, 2, . . . , N , где ε1 и ε0 — заданныемашинные константы, 0 < ε0 ¿ ε1. Уклонение нормы ‖lN | X∗‖ отневозмущенной характеризуется неравенством вида

∣∣∣‖lN | X∗‖ − ‖lN | X∗‖∣∣∣ ≤ pN (X,n) · ε1.

С увеличением N норма ‖lN | X∗‖ стремится к нулю (чем быстрее,тем лучше). В то же время величина pN (X, n) с ростом N неограни-ченно возрастает. Чтобы возмущенная норма ‖lN | X∗‖ не слишкомотличалась от принятого теоретического значения ‖lN | X∗‖, требует-ся подчинять число узлов N условию вида pN (X, n) · ε1 ≤ 1

2‖lN | X∗‖.Этому неравенству соответствует, вообще говоря, нелинейное относи-тельно N уравнение. Корень N0 = N0(X, n) этого уравнения имеет топрактическое значение, что явно указывает порог, до которого имеетсмысл увеличивать число узлов формулы с сохранением ее приемлемойи гарантированной точности. При N > N0(X, n) формула с N узламине может гарантировать приемлемой точности на всем классе и в этомслучае оценки погрешности имеют вероятностный характер.

В докладе проблематика вычислений с гарантированной точностьюрассматривается в применении к конкретным функциональным про-странствам X (типа пространств Соболева). При этом существенно ис-пользуется информация о константах вложения пространств X в про-странство непрерывных функций [2].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проекты 08-01-00207, 07-01-00585).


1. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.

2. Васкевич В.Л. Константы вложения периодических пространств Соболе-ва дробного порядка // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, 5. С. 1019–1027.

59


Оценки скорости сходимостиметода Галеркина для квазилинейного

дифференциально–операторного уравнения

Convergence estimates of Galerkin methodfor quasilinear operator–differential equation

Виногpадова П.В.

Дальневосточный государственный университет путей сообщения,Хабаровск, Россия; [email protected]

Пусть H1 — сепарабельное гильбертово пространство, плотно и ком-пактно вложенное в сепарабельное гильбертово пространство H с нор-мой ‖ · ‖. Рассмотрим задачу Коши

u′(t) + A(t)u(t) + F (u(t)) = h(t), u(0) = 0. (1)

Операторы A(t), F (·) и функции u(t), h(t) определены на [0, T ], T < ∞.Через L2(0, T ;H) обозначим гильбертово пространство всех сильно из-меримых на [0, T ] функций, для которых конечна норма ‖u(t)‖0,2 =(

T∫0

‖u(t)‖2dt

)1/2

. Рассмотрим функции u(t) (0 ≤ t ≤ T ) со значени-

ями в H1. Пусть u(t) имеет непрерывную производную u′(t) в про-странстве H. В множестве таких функций определим норму ‖u(t)‖1,2 =(

T∫0

(‖u′(t)‖2 + ‖A(0)u(t)‖2)dt

)1/2

. Пополнение данного множества по

этой норме дает гильбертово пространство W 12 (H,H1).

Решением задачи (1) назовем функцию u(t) ∈ W 12 (H, H1), которая

почти при всех t удовлетворяет уравнению и начальному условию (1).Операторы A(t) и F (·) обладают следующими свойствами.1) A(t) (0 ≤ t ≤ T ) — самосопряженный, положительно-определен-

ный оператор в H с областью определения D(A(t)) = H1.2) Оператор A(t) сильно непрерывно дифференцируем по t.3) Существует число β ≥ 0 такое, что для любого v ∈ H1 выполня-

ется неравенство (A′(t)v, v)H ≤ β(A(0)v, v)H .4) Нелинейный оператор F (·) удовлетворяет неравенству ‖F (v)‖ ≤

‖A(t)v‖τϕ(‖v‖2), ∀v ∈ H1, ∀t ∈ [0, T ], 0 ≤ τ < 1, где ϕ(ξ) — непрерыв-ная положительная функция на [0,∞). Оператор F (·) вполне непреры-вен.

60


5) Оператор B — сходный с оператором A(0). Для любого элементаv ∈ H1 существует положительная постоянная m, независящая от t иv, такая, что (A(t)v,Bv)H ≥ m‖A(0)v‖‖Bv‖.

Пусть e1, . . . , en, . . . — полная ортонормированная система соб-ственных элементов оператора B; λ1, . . . , λn, . . . — соответствующиесобственные числа, такие, что 0 < λ1 ≤ . . . ≤ λn ≤ . . .; λn → +∞ приn → ∞, Pn — ортопроектор в H на линейную оболочку Hn элементовe1, . . . , en. Проекционная задача для (1) имеет вид

u′n(t) + PnA(t)un(t) + PnF (un(t)) = Pnh(t), un(0) = 0. (2)

Множество решений задачи (1) обозначим через M, а множестворешений задачи (2) — через Mn.

Положим S(0, R) = z(t) ∈ W 12 (H, H1); ‖z(t)‖1,2 ≤ R.

Теорема. Пусть h(t) ∈ L2(0, T ; H), выполнены условия 1)–5) и для∀z(t) ∈ S(0, R), ∀v ∈ H1 справедливо неравенство

‖F ′(z(t))v‖ ≤ γ(R)‖A(0)v‖α‖v‖1−α, 0 ≤ α < 1,

где γ(ξ) — положительная непрерывная функция при ξ ∈ [0;∞) иF ′ — производная Фреше. Пусть существует число 0 ≤ µ < 1, такое,что для любой последовательности un(t) ∈ Mn, сходящейся к u(t) впространстве W 1

2 (H, H1), имеет место равенство

lim‖un(t)−u(t)‖1,2→0

‖ω(u(t), un(t)− u(t))‖0,2

‖Bµ(un(t)− u(t))‖1/(1−µ)0,2

= 0,

где ω(u, h) — остаток дифференциала Фреше.Тогда существует число n1 > 0, такое, что для всех n > n1 верны

оценкиsup

0≤t≤T‖un(t)− u(t)‖ ≤ Cλ

(α−1)/2n+1 ,

‖As(t)(un(t)− u(t))‖0,2 ≤ Cλ(α−1)(1−s)/2n+1 , 0 < s < 1.

Приведены приложения разработанного метода к решению начально-краевых задач для параболических уравнений.

61


Применение графических ускорителейдля выявления вырожденных олигонуклеотидныхмотивов в регуляторных районах генов эукариотApplication of the graphics accelerators for detectionof degenerate oligonucleotide motifs in the regulatory

regions of eukaryotic genes

Вишневский О.В.1, Лаврентьев М.М.2, Романенко А.А.3

1Институт цитологии и генетики СО РАН, Новосибирскийгосударственный университет, Новосибирск, Россия;

[email protected]Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,

Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;[email protected]

3Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;[email protected]

Сборка базального транскрипционного комплекса, ткане- и стадие-специфические особенности транскрипции эукариотических генов за-висят от контекстной и структурной организации корового промотораи присутствия в 5’-регуляторном районе гена сайтов связывания транс-крипционных факторов. Сайты связывания представляют собой корот-кие (8–12 пар оснований) участки ДНК, распознаваемые белками —транскрипционными факторами. Связывание транскрипционных фак-торов с соответствующими сайтами является обязательным условиемформирования преинициационного комплекса и инициации транскрип-ции. Обнаружение сайтов связывания в регуляторных районах геновнеобходимо как для понимания механизмов регуляции экспрессии ге-нетической информации и выявления структурно-функциональной ор-ганизации регуляторных районов, так и для разработки методов рас-познавания регуляторных районов генов в геномных последовательно-стях. Решение этой задачи осложняется тем, что каждый транскрип-ционный фактор может связываться с участками ДНК, существенноразличающимися по нуклеотидному контексту.

Нами предложен метод выявления вырожденных район-специфич-ных олигонуклеотидных мотивов — коротких слов фиксированной дли-ны, записанных в 15-буквенном IUPAC коде (A,T,G,C, R=G/A, Y=T/C,

62


M=A/C, K=G/T, W=A/T, S=G/C, B=T/G/C, V=A/G/C, H=A/T/C,D=A/T/G, N=A/T/G/C), значимых для структурно-функциональнойорганизации регуляторных районов генов и играющих важную роль врегуляции экспрессии генов [1]. Функционально значимыми считают-ся мотивы, характеризующиеся высокой частотой присутствия в ре-гуляторных районах генов, по сравнению со случайными последова-тельностями и высокой статистической значимостью, оцениваемой сиспользованием биномиального критерия. Получаемые таким образоммотивы могут соответствовать как сайтам связывания транскрипцион-ных факторов, так и некоторым структурным и физико-химическимособенностям регуляторных районов.

Одним из наиболее ресурсно-затратных этапов предложенного на-ми алгоритма является оценка представленности каждого из вырож-денных мотивов в выборке анализируемых регуляторных районов ивыборке негативных последовательностей. Так, оценка свойств всех мо-тивов длины 8 требует рассмотрения 158 ∼ 2, 5∗109 вариантов мотивов.Для решения этой задачи мы использовали высокопроизводительныеграфические устройства nVidia, позволяющие проводить параллельныевычисления в многопотоковом режиме, используя технологию CUDA.В таблице 1 приведены результаты оценки времени расчета представ-ленности всех мотивов длины 8 в выборке из 1000 последовательно-стей длины 50 пар оснований на различных устройствах. Полученныерезультаты демонстрируют высокую эффективность применения гра-фических ускорителей для решения задачи поиска вырожденных сиг-налов в геномных последовательностях.

Платформа Затраченное времяGeForce 8800 GTX 9,5 часов

Tesla C1060 5,7 часовIntel Pentium Dual CPU 1.73GHz 14 днейТаблица 1. Временные затраты при оценке представленно-сти всех возможных вырожденных мотивов длины 8 в выбор-ке из 1000 последовательностей длины 50 пар оснований наразличных платформах

ЛИТЕРАТУРА1. Vishnevsky O.V., Kolchanov N.A. ARGO: a web system for the detection

of degenerate motifs and large-scale recognition of eukaryotic promoters //Nucleic Acids Res. 2005. V. 33. P. 417–422.

63


Численные методы для расчета неустановившихсятечений воды в системах открытых русел иводотоков на основе неявной схемы Годунова

Numerical methods for calculation of unsteady flowsin systems of open channels and water passages

by the implicit Godunov scheme

Воеводин А.Ф., Никифоровская В.С.


Для исследования волновых процессов в системах открытых ру-сел и водотоков разработаны математические модели, численные мето-ды и комплексы программ на ЭВМ. Математические модели основанына базе одномерных, осредненных по поперечному сечению уравненийгидродинамики (уравнения Сен-Венана) и двумерных, осредненных поширине русла или водотока (продольно-вертикальная модель) [1, 2].Одномерные модели используются для исследования волновых процес-сов в системах речных русел или каналов, а двумерные в системах глу-боких слабопроточных водоемов и водотоков. С математической точкизрения решение рассматриваемых задач сводится к решению начально-краевых задач для эволюционных квазилинейных уравнений в обла-стях сложной структуры, топологическая структура которых описы-вается графом [1, 2].

Использование элементов теории систем и системного анализа поз-волило создать эффективные алгоритмы расчета волновых процессовпри неустановившихся течениях как для разветвленных (граф типа“дерево”), так и для сложно разветвленных (граф с циклами) системоткрытых водотоков и водоемов, в устьевых областях рек [3].

Численные методы для решения подобных задач разработаны наоснове неявных абсолютно устойчивых разностных схем [4] и методоврасщепления по физическим процессам. При этом предложенные ори-гинальные алгоритмы для решения систем разностных уравнений эф-фективно учитывают структуру матрицы системы, что обеспечиваетэкономичность методов в случае задач большой размерности.

Разработанные математические модели, численные методы и алго-ритмы могут быть успешно использованы для решения широкого круга

64


научно-исследовательских и практических задач по гидрологическомуобоснованию водохозяйственных проектов, оценки возможных отрица-тельных воздействий их на окружающую среду, разработки эффектив-ных защитных мероприятий при катастрофических явлениях на вод-ных объектах.

В качестве примеров использования рассматриваемых численныхмоделей, разработанных методов расчета, алгоритмов и комплекса про-грамм, приводятся результаты решения следующих задач [2, 5]:

а) распространение волн весеннего половодья в эстуарии р. Енисей;б) исследование возможности образования на реке Томи противото-

ка в экстремальных условиях, обусловленных антропогенными в соче-тании с природными факторами;

в) распространение волны излива при разрушении каскада плотинв Усть-Манычской водохозяйственной системе (Краснодарский край);

г) гидротермического режима в слабопроточном вытянутой формыглубоком стратифицированном водоеме.

Анализ результатов расчетов, их сравнение с данными натурных на-блюдений показывают эффективность разработанных математическихмоделей, экономичность численных методов, алгоритмов и программдля использования их при решении широкого круга прикладных задачинженерной гидромеханики.

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундамен-тальных исследований Президиума РАН (проект 16.7), Совета по грантамПрезидента РФ (проект НШ-2260.2008.1) и Российского фонда фундамен-тальных исследований (проект 09-01-98001-Р-Сибирь а).


1. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюцион-ных систем. Новосибирск: Наука, 1993.

2. Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф., Никифоровская В.С. Численное моде-лирование температурно-стратифицированных течений в системах глу-боких водоемов // Вычисл. технологии. 2005. Т. 10, 5. C. 29–38.

3. Воеводин А.Ф., Никифоровская В.С., Овчарова А.С. Численные методырешения задачи о неустановившемся движении воды на устьевых участ-ках рек // Тр. Аркт. и Антаркт. науч.-исслед. ин-та. 1983. Т. 378. C. 23–34.

4. Алалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева И.Л., Плинер Л.А. Решение од-номерных задач газовой динамики в подвижных сетках. М.: Наука, 1970.

5. Никифоровская В.С. Использование математического моделированиядля оценки влияния антропогенных факторов на водный режим р. То-ми // Метеорология и гидрология. 2009. (В печати).

65


Оценки элементов и норм обратных циклическихленточных матриц

The estimates for entries and norms of matricesinverse to the cyclic band matrices

Волков Ю.С.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

[email protected]

Как обычно, норма вектора x есть ‖x‖q = ∑ |xi|q1/q, 1 6 q < ∞ ,‖x‖∞ = maxi |xi|. Норма матрицы ‖A‖q = sup‖Ax‖q : ‖x‖q = 1соответствует рассматриваемой норме вектора.

Во многих задачах теории приближения (и не только) возникаетнеобходимость вычисления или оценки нормы обратной матрицы. До-вольно простой путь известен для матриц с диагональным преобла-данием. Однако большой класс задач в этом случае остаётся не охва-ченным. В задачах полиномиальной сплайн-интерполяции, например,отмеченный путь применим только в простейших случаях кубическихи параболических сплайнов. А уже для сплайнов выше пятой степе-ни диагональное преобладание пропадает даже на равномерной сетке.Но поскольку матрицы, возникающие в задачах сплайн-интерполяции,обычно являются ленточными, то оценку нормы обратной позволяетустановить свойство экспоненциального убывания элементов обратныхленточных матриц при удалении их от главной диагонали [1].

Тем не менее проблемы остаются в задачах периодической сплайн-интерполяции, так как в этом случае матрицы оказываются цикли-ческими ленточными, и мы уже не можем утверждать, что элементыобратной, удаляясь от главной диагонали, экспоненциально убывают.

В работе [2] были установлены оценки погрешности интерполяциидля периодических сплайнов нечётной степени 2n− 1 через нормы об-ратных матриц к некоторым циклическим ленточным. В частности,было предложено решение проблемы К. де Бора [3] о безусловной схо-димости (n− 1)-й производной, опирающееся на не доказываемую тамвозможность оценки ‖(AT )−1‖∞ через ‖A−1‖∞.

В настоящей работе для доказательства опущенного в [2] факта мыустанавливаем, что для элементов матриц, обратных к циклическим

66


ленточным, экспоненциальное затухание при удалении от главной диа-гонали сменяется на их экспоненциальный рост, т. е. наблюдается эф-фект цикличности. Оценки элементов и нормы обратной матрицы мыполучаем путём развития идеи работы [1]. Эти оценки дают возмож-ность одновременного оценивания норм матрицы и её транспонирован-ной. Ранее подобные оценки для циклических ленточных матриц былиполучены в случае диагонального преобладания [4].

Теорема. Пусть для циклической m-ленточной N × N матрицыA = (aij) выполнены условия ‖A‖q 6 1 и ‖A−1‖q 6 R, 1 6 q 6 ∞.

Тогда для элементов обратной матрицы A−1 = (a′ij) существуютλ ∈ (0, 1) и K, зависящие только от R и m, такие, что

|a′ij | 6

Kλ|i−j| , при |i− j| 6 N/2 ,KλN−|i−j| , при |i− j| > N/2 .

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы, тогда справедли-вы неравенства

‖A−1‖q 6 K1 + λ

1− λ, q = 1, 2,∞.

Константы λ ∈ (0, 1) и K зависят только от R и m, но не от N .Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Отделения ма-

тематических наук РАН (проект 2009-3.8), интеграционного проекта СО РАН 2009-81 и совместного интеграционного проекта СО РАН и УрО РАН 2009-14.


1. Demko S. Inverses of band matrices and local convergence of spline projec-tions // SIAM J. Numer. Anal. 1977. V. 14, N 4. P. 616–619.

2. Волков Ю.С. Безусловная сходимость ещё одной средней производнойдля интерполяционных сплайнов нечётной степени // Докл. АН. 2005.Т. 401, 5. С. 592–594.

3. de Boor C. On bounding spline interpolation // J. Approx. Theory. 1975.V. 14, N 3. P. 191–203.

4. Волков Ю.С. Об оценке элементов матрицы, обратной к циклическойленточной матрице // Сиб. журн. вычисл. математики. 2003. Т. 6, 3.C. 263–267.

67


Взаимодействие зоны турбулентного смешения илокального возмущения поля плотности

в пикноклинеThe interaction of turbulent spot and local density

perturbation in pycnocline

Воропаева О.Ф.1, Черных Г. Г.2

Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск,Россия; [email protected], [email protected]

Динамика локальных возмущений поля плотности и турбулентныхобразований (зон турбулентного смешения, пятен турбулентности) ока-зывает существенное влияние на формирование тонкой микрострукту-ры гидрофизических полей в устойчиво стратифицированной жидко-сти [1]. Численное моделирование подобных течений начато в СО РАНв 70-е годы [2]. В настоящее время экспериментальное, теоретическоеи численное исследование эволюции одиночных локальных турбулент-ных и ламинарных образований в пикноклине — жидкости с модель-ным устойчивым распределением поля плотности по глубине, являю-щимся непрерывным аналогом двухслойной жидкости — проводитсявесьма активно (в [3] можно найти обзор работ). Развитие локальныхвозмущений в пикноклине с достаточно узкой высокоградиентной про-слойкой характеризуется генерацией внутренних волн солитонного ти-па, приводящих к хорошо выраженному осредненному движению [3].

В настоящей работе представлена численная модель и исследованоплоское течение, возникающее при взаимодействии зоны турбулентныхвозмущений и локального ламинарного возмущения поля плотности впикноклине. Задача рассмотрена с привлечением осредненных по Рей-нольдсу уравнений гидродинамики в приближении Обербека — Бусси-неска, замкнутых на основе модифицированной (e − ε) модели турбу-лентности. Численное интегрирование уравнений основано на исполь-зовании метода расщепления по пространственным переменным [3].

В начальный момент времени в высокоградиентной прослойке пик-ноклина задаются два возмущения — турбулентное пятно и локальноевозмущение поля плотности. Локальное возмущение поля плотностигенерирует две уединенные внутренние волны, одна из которых встре-чается с эволюционирующим турбулентным пятном и порождаемыми

68


им внутренними волнами. Расчеты показывают, что, если энергия ло-кального возмущения поля плотности достаточно велика, то генериру-емое им осредненное движение может поддерживать турбулентность взоне турбулентного смешения и “продлевать жизнь” последней.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун-даментальных исследований (проект 07-01-00363a).


1. Монин А.С., Озмидов Р.В. Океанская турбулентность. Л.: Гидрометео-издат, 1981.

2. Васильев О.Ф., Кузнецов Б. Г., Лыткин Ю.М., Черных Г. Г. Развитиеобласти турбулизованной жидкости в стратифицированной среде // Изв.АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1974. 3. С. 45–52.

3. Chashechkin Yu.D., Chernykh G.G., Voropayeva O. F. The propagation ofa passive admixture from a local instantaneous source in a turbulent mixingzone // Int. J. Comput. Fluid Dyn. 2005. V. 19, N 7. P. 517–529.

69


Исследование погрешностей методачастиц–в–ячейках

An analysis of particle–in–cell method error

Вшивков В.А., Месяц Е.А.

Институт вычислительной математики и математическойгеофизики СО РАН, Новосибирск, Россия; [email protected]

Для развития многих современных технологий очень важным яв-ляется детальный анализ различных физических процессов, описыва-емых сложными математическими моделями. Изучение этих процес-сов невозможно без использования методов численного моделирования.В настоящее время мощности компьютеров позволяют решать трех-мерные нестационарные задачи физики плазмы и астрофизики. Из-вестно, что плазма является одной из наиболее сложных для иссле-дования природных сред. К процессам, в которых существенно прояв-ляются плазменные эффекты, относятся управляемый термоядерныйсинтез, плазменные технологии, взрывы Сверхновых звезд, процессына Солнце, взаимодействие солнечного ветра с магнитосферами планети искусственными объектами, активные эксперименты в космосе. Труд-ность, а иногда и невозможность, получения достоверной информациив наблюдениях и экспериментах привела к необходимости численногомоделирования. Плазма является средой, в которой могут одновремен-но существовать различные временные и пространственные масштабы.Обычным явлением в плазме являются неустойчивости, приводящиек ее турбулизации. Из-за этого гидродинамическое приближение дляописания динамики плазмы применимо в ограниченном числе случаев.Считается, что хорошим приближением для описания плазмы являетсясистема уравнений Власова для каждой компоненты плазмы и системауравнений Максвелла для электромагнитных полей. Задачи, возникаю-щие в физике плазмы, обычно имеют двумерный и трехмерный харак-тер, и следовательно функции распределения ионов и электронов зави-сят от большого числа переменных: времени, двух или трех координат итрех компонент скорости. В связи с этим обычные конечно-разностныеметоды для решения кинетических уравнений не применимы. К зада-чам физики плазмы тесно примыкают некоторые задачи астрофизи-ки. Галактики, пылевая компонента протопланетного диска также мо-гут быть описаны кинетическим уравнением Власова. Это уравнение

70


дополняется уравнением Пуассона для гравитационного потенциала.Здесь одной из принципиальных трудностей является гравитационнаянеустойчивость, не позволяющая прямо использовать разработанныедля других задач методы. Поэтому проблема создания эффективныхчисленных алгоритмов для решения нестационарных многомерных за-дач физики плазмы и астрофизики является очень актуальной. Прирешении кинетического уравнения Власова широко применяется методчастиц-в-ячейках. Идея метода частиц-в-ячейках заключается в приме-нении схемы расщепления с последующим разделением решения на дваэтапа: лагранжев, на котором по известному значению сил отыскивают-ся новые положения модельных частиц (узлов лагранжевой сетки) изуравнения движения частиц, и эйлеров, на котором по новым коорди-натам частиц определяются значения полей на неподвижной эйлеровойсетке. Важным моментом здесь является переход с лагранжевой сет-ки на эйлерову и обратно, который осуществляется при помощи ядрачастицы (функции, которая задает размер модельной частицы и рас-пределение плотности заряда внутри нее). Основным недостатком ме-тода частиц-в-ячейках является наличие в решении нефизических эф-фектов (так называемых шумов), которые ограничивают применениеметода при решении практических задач. Использование точечных мо-дельных частиц ведет к сильным флуктуациям плотности. Увеличениеколичества модельных частиц не может полностью устранить недостат-ки метода. Поэтому в методе частиц используются частицы конечныхразмеров, которые могут свободно проходить друг через друга. Намиисследованы различные причины возникновения численных шумов вметоде частиц в ячейках и предлагаются различные методы умень-шения численных погрешностей: 1) Усовершенствование алгоритма,минимизирующего “самодействие” частиц, для решения двумерных итрехмерных задач. Для этого предлагаются новые ядра метода частиц.2) Создание алгоритма, уменьшающего стохастичность распределениямодельных частиц при небольшом их количестве.

Работа выполнена при поддержке СО РАН (интеграционный проект 113)и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 08-01-00615).

71


О точных решениях уравнений ветрового движениястратифицированной жидкости (двумерный случай)

On the exact solutions of the stratified fluid windmotion equations (two–dimensional case)

Гаврилова Л.В.1, Компаниец Л.А.2

1Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;[email protected]

2Институт вычислительного моделирования СО РАН,Красноярск, Россия; [email protected]

Аналитические решения для стационарных ветровых движений од-нородной жидкости (модели типа Экмана) хорошо изучены и широкоприменяются для анализа течений как в трехмерном, так и в двумер-ном случае (движение в вертикальной плоскости), для замкнутых ипроточных водоемов. Первое решение, параметрически зависящее отградиентов свободной поверхности, для бассейна бесконечной глубиныполучено Экманом еще в 1905 г., и в некоторых модификациях ста-ло основой для анализа течений при различных параметрах (глубинабассейна, условия на дне и т. д.) [1].

Некоторые сложности возникают в трехмерном случае при расчетеградиентов свободной поверхности, для нахождения которых прихо-дится решать уравнение эллиптического типа в области, ограниченнойбереговой линией. Аналитическое решение при этом удается выписатьтолько в исключительных случаях, а чаще всего это уравнение реша-ется численно. Таких проблем не возникает в двумерном случае — этотпараметр легко исключается и решение получено для произвольно за-данного коэффициента вертикального турбулентного обмена [1, 2].

Для двумерного движения неоднородной жидкости также удалосьполучить точное решение, при этом функция распределения темпера-туры подбирается таким образом, чтобы можно было, с одной стороны,моделировать область ее резких изменений, что характерно для боль-шинства замкнутых водоемов в летний период, а с другой — чтобыможно было получить аналитическое решение. Коэффициент турбу-лентного обмена при этом — постоянный или кусочно-постоянный поглубине.

72



1. Компаниец Л.А., Якубайлик Т.В., Гаврилова Л.В., Гуревич К.Ю. Мо-дели экмановского типа в задачах гидродинамики. Новосибирск: Наука,2007.

2. Зырянов В.Н., Фролов А.П. Природные компенсационные противотече-ния в водохранилищах равнинного типа // Водные ресурсы. 2006. Т. 1, 1. С. 5–13.

73


Существование и устойчивость обобщенногорешения системы уравнений каталитического

процесса в кипящем слое

Existence and stability of the generalized solutionto the system of equations for a fluidized–bed

catalytic process

Гаевой В.П.


Математические модели, учитывающие влияние реакционной средына нестационарное состояния активной поверхности катализатора, ши-роко используются для описания каталитических процессов в кипящемслое. В данной работе рассматривается циркуляционная модель слоя,в которой движение частиц катализатора представляется в виде двухвзаимопроникающих потоков: восходящего потока, доля частиц кото-рого равна a, 0 < a < 1 и нисходящего потока с долей частиц b = 1− a.Для двухстадийной каталитической реакции первого порядка по про-межуточному веществу математическая модель процесса в слое сво-дится к смешанной задаче в полуполосе Π = (x, t) : x ∈ [0, h], t ≥ 0

cx = −p f(c) (1− a u− b v) , c(0, t) = c0 ,

a ut + ux = q (v − u)− a (1 + f(c))u + a f(c) ,

b vt − vx = q (u− v)− b (1 + f(c)) v + b f(c) , (1)

u(ξ, t) = v(ξ, t), ξ = 0, h, t > 0 ,

u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), x ∈ [0, h],

где c(x, t), u(x, t), v(x, t) — концентрации вещества в газовой фазе, ввосходящем и нисходящем потоках частиц катализатора соответствен-но, a > 0, b > 0, a + b = 1, p > 0, q ≥ 0, c0 ≥ 0 — константы.

В соответствии с реальными представлениями о каталитическихпроцессах предполагается, что f(c) = 0 при c ≤ 0 и f(c) > 0 при c > 0.Физический смысл имеют только решения удовлетворяющие неравен-ствам 0 ≤ c(x, t) ≤ c0, 0 ≤ u(x, t) ≤ 1, 0 ≤ v(x, t) ≤ 1. Существование и

74


устойчивость непрерывного обобщенного решения задачи (1) рассмот-рены в работе [1]. В приложениях u0(x) и v0(x) могут быть разрывнымифункциями.

Обозначим через S0 множество векторных функций U0(x) = (u0(x),v0(x)), где u0(x) и v0(x) суммируемы на отрезке [0, h] и удовлетворя-ют неравенствам 0 ≤ u0(x), v0(x) ≤ 1. Через M(Π) обозначим мно-жество векторных функций V (x, t) = (c(x, t), u(x, t), v(x, t)) таких, чтоc(x, t) ∈ C(Π), u(x, t), v(x, t) ∈ L2(Π) ограничены и суммируемы повсем характеристикам системы (1).

Векторную функцию V (x, t) ∈ M(Π) будем называть суммируемымобобщенным решением задачи (1), если V (x, t) всюду в Π удовлетворяетсистеме интегральных уравнений, полученных путем интегрированияпо характеристикам уравнений (1).

При f(c) ∈ C[0, c0] и U0(x) ∈ S0 доказывается существование обоб-щенного решения V (x, t) ∈ M(Π) задачи (1) и стабилизация при t →∞физически значимых функционалов от решения c(h, t), и

∫ h

1(au(ξ, t) +

bu(ξ, t))dξ , а в случае непрерывности f(c) по Липшицу — единствен-ность решения.

В предположении, что f(c) ∈ H1[0, c0] и ph max f(c)‖f(c)‖H1[o,c0] ≤ 1и при условии, что исходные и возмущенные начальные данные при-надлежат множеству S0 доказывается экспоненциальная устойчивостьобобщенного решения в банаховых пространствах с нормами

‖V (x)‖H∗1/2[0,h] = max‖c(x)‖H1/2[0,h], ‖u(x)‖L2(0,h), ‖v(x)‖L2(0,h),

‖V (x)‖H∗1 [0,h] = max‖c(x)‖H1[0,h], sup

x|u(x)|, sup

x|v(x)|,

где H1/2[0, h] и H1[0, h] — пространства Гёльдера.


1. Гаевой В.П. Существование и устойчивость непрерывного обобщенногорешения нестационарной модели каталитического процесса в кипящемслое // Сиб. журн. индустр. математики. 2007. Т. 10, 4(32). С. 10–20.

75


Одна модель генной сети, исправляющейповреждение ДНК

DNA–reparation gene network model

Гайдов Ю.А.1, Голубятников В.П.2

1Новосибирский государственный педагогический университет,Новосибирск, Россия; [email protected]

2Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск,Россия; [email protected]

Мы изучаем топологические свойства фазового портрета нелиней-ной динамической системы

x = α0z +α1x

n

k1 + xn− γ1xy − γ2x; y = α2 +

α3x4

k2 + x4− α2

βy; (1)

z =α1sz(B − z)k1s + B − z

− α2sz

(k0d + D)(k2s + z); D = −αdDxz,

моделирующей генную сеть, которая исправляет некоторые поврежде-ния ДНК. Биохимическая интерпретация этой системы подробно опи-сана в [1]. Аналогичные механизмы такого исправления обсуждаютсяв [2]. Переменные x = [p53], y = [Mdm2], z = [AtmP ] обозначают кон-центрации соответствующих веществ, участвующих в реакциях. Функ-ция D(t) — это объём повреждения в ДНК; постоянная B = [Atm] + zпоявляется из закона сохранения.

Мы строим область Q = [0, C1] × [β, C2] × [a,B] ⊂ R3+, размеры ко-

торой определяются параметрами системы (1). Здесь a, β > 0 и R3+ —

положительный октант в R3(x, y, z) ⊂ R4(x, y, z, D). Показано, что прималых t сумма индексов особых точек векторного поля скоростей(x, y, z) в Q равна −1, а при t >> 0 эта сумма равна нулю (см. [3]).

При малых z(0) и больших начальных повреждениях D(0) проекциитраекторий системы (1) на R3

+ попадают в область Q через “нижнюю”грань z = a и осциллируют там до тех пор, пока D(t) не станет до-статочно малым. D(t) → 0, x → 0, y → β, z → 0 при t → ∞. Этипредельные значения концентраций x, y, z, по видимому, соответству-ют “здоровому” состоянию генной сети в рамках изучаемой модели.Проекции траекторий, начинающихся в точках x(0) = 0, y(0) = β,

76


z(0) ≈ 0, D(0) >> 0, на R3+ почти замыкаются в петлю. В наших чис-

ленных экспериментах величины параметров αm, γj и др. были близкик значениям, указанным в [1].

При изучении стационарных точек, замкнутых траекторий, бифур-каций и других динамических характеристик таких генных сетей гео-метрические свойства графиков правых частей рассматриваемых урав-нений играют более важную роль, чем их конкретные аналитическиепредставления.

Прямая связь суммарного индекса особых точек динамической си-стемы (1) с наличием повреждения в ДНК демонстрирует полезныйподход к описанию качественных свойств генных сетей с помощью де-композиции фазового пространства на блоки, подобные области Q. Воснове этого подхода лежит сравнение свойств (в частности, сложно-сти) непрерывных моделей генных сетей с соответствующими дискрет-ными моделями (см. [4, 5]). В стационарном случае, когда векторныеполя скоростей моделируемых процессов не зависят от времени, такиедекомпозиции использовались в теории индекса Конли (см., например,[6, 7]).

Авторы выражают искреннюю благодарность Э. Мьелснессу за полезныеобсуждения. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проект 09-01-00070), СО РАН (междисципли-нарный интеграционный проект 119) и программы “Развитие научногопотенциала высшей школы (2009–2010)” (проект 2.1.1/3707).

ЛИТЕРАТУРА1. Chikarmane V., Ray A., Sauro H.M., Nadim A. A model for p53 triggered

by DNA damage // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2007. V. 6, N 1. P. 61–76.2. Zhang T., Brazhnik P., Tyson J. J. Exploring mechanisms of the DNA-damage

response // Cell Cycle. 2007. V. 6, N 1. P. 85–94.3. Golubyatnikov V.P., Mjolsness E., Gaidov Yu.A. Topological index of the

p53-Mdm2 circuit // Информ. вестн. ВОГиС. 2009. Т. 13, 1. С. 160–162.4. Гайдов Ю.А., Голубятников В.П. О некоторых нелинейных динамиче-

ских системах, моделирующих несимметричные генные сети // Вестн.НГУ. Сер. Мат., мех., информат. 2007. Т. 7, 2. С. 23–32.

5. Лихошвай В.А., Голубятников В.П., Демиденко Г.В., Фадеев С.И., Евдо-кимов А.А. Теория генных сетей // Системная компьютерная биология.Новосибирск: СО РАН, 2008. С. 395–480.

6. Conley C. Isolated invariant sets and the Morse index. Providence, RI: AMS,1978. (Reg. Conf. Ser. Math.; 38).

7. Franzosa R., Mischaikow K. Algebraic transition matrices in the Conley indextheory // Trans. Am. Math. Soc. 1998. V. 350, N 3. P. 889–912.

77


Способ расчета непотенциальных смешанныхтечений газа

A method for calculation of non potentialmixed gas flow

Галкин В.М.

Томский политехнический университет, Томск, Россия; [email protected]

При численном решении стационарных уравнений Эйлера наиболь-шие трудности возникают при изменении типа уравнений в расчетнойобласти. Классическим примером является расчет осесимметричноготечения идеального газа в сопле Лаваля с переходом через скоростьзвука.

В [1] предложено исходную систему уравнений разделять на двеподсистемы, одна из которых гиперболического, а вторая — смешанно-го типа. Этот прием получил свое дальнейшее развитие в [2] с исполь-зованием в качестве системы координат функции тока ψ и ее ортого-нального дополнения ϕ. В этом случае выделялась подсистема двухуравнений первого порядка гиперболического типа относительно H —энтропийной и S — энтальпийной функций с граничными условиямина входе в сопло и подсистема смешанного типа, которая содержаладва уравнения второго порядка относительно θ — угла наклона векто-ра скорости и z — квадрата числа Маха (M). Граничные условия дляэтой подсистемы задавались на входе, оси и стенке. Левая граница на-ходилась в сверхзвуковой области, поэтому граничное условие на нейне требовалось. Первая подсистема интегрировалась вдоль линий то-ка вниз по течению. Для решения каждого из уравнений смешанноготипа второй подсистемы использовался метод приближенной фактори-зации. Это позволило ускорить время расчета по сравнению с методомустановления более чем на порядок.

В некоторых, интересных для практики случаях, известно, чтовдоль каждой линии тока число Маха M монотонно возрастает и име-ется только одна точка, в которой M = 1. Это позволяет во второйподсистеме оставить только одно уравнение смешанного типа второгопорядка относительно θ и перенести в первую подсистему уравнениепервого порядка для q — газодинамической функции плотности пото-ка массы. Последнее уравнение интегрируется вдоль линий тока вверх

78


и вниз по течению от звуковой линии, которая является внутреннимграничным условием для этого уравнения. Используемые уравненияимеют вид:

∂

∂ψ

(K

∂θ

∂ψ

)+

∂

∂ϕ

((1− z)L

∂θ

∂ϕ

)+ N = 0,

(θ, ψ)|M=1 = arg(

Byρ

cψ

∂θ

∂ψ+

sin θ

ycw+ A = 0

),

∂H

∂ϕ= F1,

∂S

∂ϕ= F2,

∂ ln q

∂ϕ= −Byρ

cψ

∂θ

∂ψ− sin θ

ycw−A.

Здесь H = Pρ

γγ−1 + w2

2 ; S = Pργ ; q = M

(γ+1

2+(γ−1)M2

) γ+12(γ−1)

; y — орди-ната; ρ — плотность; w — модуль вектора скорости; P — давление; γ —показатель адиабаты; A, K, L, N , F1, F2, c, B являются аналогично [2]функциями независимых и зависимых переменных, а также правых ча-стей исходных уравнений. Правые части отражают непотенциальныепроцессы.

Таким образом, предлагается следующий алгоритм:1) задается начальное приближение;2) во всей области решается уравнение второго порядка;3) находится положение звуковой линии;4) уравнение для q интегрируется от звуковой линии вверх и вниз потечению вдоль линий тока, из q находится число Маха;5) от входа в сопло, вдоль линий тока интегрируются H и S;6) возврат на пункт 2 при необходимости продолжения итераций.

Расчеты показывают, что предложенный метод по точности совпа-дает с методом [2], но поскольку решается только одно уравнение вто-рого порядка, то трудоемкость предложенного подхода по сравнениюс [2] в два раза меньше.


1. Гуров Б. Г., Яненко Н.Н, Яушев И.К. Численный расчет непотенциаль-ных течений идеальной жидкости в плоских каналах // Числ. методымеханики сплош. среды. 1970. Т. 2, 1. С. 3–16.

2. Бутов В. Г., Халимов С.Б. Расчет непотенциальных течений идеальногогаза в осесимметричных соплах методом приближенной факторизации //Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1987. Т. 27, 12. С. 1861–1867.

79


Наилучшие в среднем квазиконформныеотображения

The best in average quasiconformal maps

Гарипов Р.М.


При численном решении дифференциальных уравнений разностны-ми методами возникает задача: по заданному граничному значениюu|∂Ω найти непрерывно дифференцируемый гомеоморфизм u : Ω → G,максимально близкий к конформному. Здесь Ω, G — заданные областив евклидовом пространстве Rn. Такой гомеоморфизм u отображает ку-бическую сетку в стандартной области Ω в разностную сетку в обла-сти G, ячейки которой наиболее близки к кубам. Даже на плоскости(n = 2) эта задача не имеет конформного решения. Поэтому решениенадо искать в классе квазиконформных отображений.

В теории квазиконформных отображений в качестве меры искаже-ния конформности K = K(x) в точке x = (x1, . . . , xn) берётся отноше-ние длины наибольшей полуоси к длине наименьшей полуоси эллип-соида, в который отображается бесконечно малый шар с центром x.Отображение называется квазиконформным, если функция K(x) огра-ничена в области Ω. Указанное отношение равно K =

√λ1/

√λn ≥ 1,

где λ1 ≥ · · · ≥ λn > 0 — собственные числа матрицы u′(x)T u′(x),u′(x) = (∂ui/∂xj) — матрица Якоби, det u′ 6= 0, знак T обозначаеттранспонирование. Величина

k = (λ1 + · · ·+ λn)1/2(λ−11 + · · ·+ λ−1

n )1/2

удовлетворяет неравенствам maxK,n ≤ k ≤ nK, поэтому сама можетбыть взята за меру искажения конформности вместо K. С другой сто-роны, k2 рационально выражается через матрицу Якоби: k = |u′||u′−1|(через |A|2 обозначается сумма квадратов элементов матрицы A). Да-лее величину k будем называть искажением конформности. Можноопределить интегральное искажение конформности

Ss(u) =∫

Ω

ks| detu′|1/2dx,

80


где параметр s > 0 введён для общности. Искомое отображение y =u(x) найдём из условия минимума функционала Ss(u). Благодаря весу| detu′|1/2 обратное отображение x = v(y) является экстремалью тогоже самого функционала.

Плотность F = ks|det u′|1/2 функционала Ss(u) невыпукла, и по-этому известное достаточное условие существования экстремали не вы-полняется. Но при s ≥ n/2 для функции F справедлива оценка снизу,которая обеспечивает корректность граничного условия в смысле тео-рем вложения Соболева.

В данной работе получены необходимые и достаточные условия эл-липтичности по И. Г. Петровскому [1] системы уравнений Эйлера наэкстремаль функционала Ss(u): det u′ 6= 0, s > 1/2 при n = 2; искаже-ние конформности k < k2

∼= 24.84 при n = 3, s = 2. Линеаризованнаяна решении с искажением конформности k < k2 система уравненийэкстремали тоже будет эллиптической по И. Г. Петровскому. Доказа-на однозначная разрешимость в малом граничных задач для системыуравнений экстремали в случае n = 2, s = 1. В случае произвольныхn ≥ 2 и s > (1/16)n2/(n − 1) установлена однозначная разрешимостьграничных задач для линеаризованных в окрестности тождественногоотображения уравнений Эйлера.

В ряде работ рассматриваются экстремальные задачи для функ-ционалов, обеспечивающих квазиконформность отображения в сред-нем [2]. Строго говоря, экстремаль функционала Ss(u) не являетсяквазиконформным в среднем отображением в смысле [2] из-за веса| detu′|1/2 в плотности функционала. В работе [3] изучаются билипши-цевы отображения, которые используются для построения оптималь-ных разностных сеток.


1. Петровский И. Г. О системах дифференциальных уравнений, все решениякоторых аналитичны // Докл. АН СССР. 1937. Т. 17. С. 339–342.

2. Стругов Ю.Ф., Сычев А.В. Различные классы пространственных отоб-ражений, квазиконформных в среднем // Межвузовский сб. “Алгебра иматематический анализ”. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990. С. 104–125.

3. Гаранжа В.А. Управление метрическими свойствами пространственныхотображений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т. 43, 6. С. 818–829.

81


О задачах электродинамики, моделируемыхпсевдопараболическими уравнениями

в нецилиндрических областях

On problems of electrodynamics modelledby pseudoparabolic equations in noncylindrical

domains

Глазатов С.Н.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирск, Россия; [email protected]

Рассмотрим в области Q ⊂ Rt ×R3x (в общем случае нецилиндриче-

ской) следующее уравнение

A1u ≡ ut −∆xut − div(|∇xu|2∇xu) + λ|u|qu = f(x, t), (1)

где параметры λ ∈ R, q ≥ 0 характеризуют свойства среды. Это урав-нение выведено в [1, гл. 3, п. 2.2] и описывает квазистационарные про-цессы в кристаллических полупроводниках.

Функция f(x, t) играет роль внешних источников, а u(x, t) — потен-циал электрического поля, создаваемого связанными электронами кри-сталлического полупроводника, который может изменять свою формус течением времени.

Будем считать, что λ 6= 0.Область Q ограничена участками гиперплоскостей t = 0 и t = T

и некоторой гладкой поверхностью Γ. Подробное описание Q имеетсяв [2]. Обозначим через Dt пересечение Q и гиперплоскости τ = t.

Присоединим к (1) начально-краевые условия

u(x, 0) = u0(x), x ∈ D0, (2)

u∣∣Γ

= 0, (3)

Начально-краевая задача. Найти в области Q решение уравне-ния (1), удовлетворяющее начально-краевым условиям (2), (3).

Определение. Назовем функцию u(x, t) ∈ L∞(0, T ;

W 14(Dt)) та-

кую, что ut ∈ L2(0, T ; W 12 (Dt)), обобщенным решением начально-краевой

82


задачи (1)–(3), если она удовлетворяет начальному условию (2) и, еслидля любой функции v(x, t) ∈ L∞(0, T ;

W 1

4(Dt)) выполняется равенство

T∫

0

∫

Dt

utvdxdt +

T∫

0

∫

Dt

∇xut∇xvdxdt +3∑

i=1

T∫

0

∫

Dt

|∇xu|2uxivxi

dxdt

+λ

T∫

0

∫

Dt

|u|quvdxdt =

T∫

0

∫

Dt

fvdxdt.

Теорема. Пусть выполнены все требуемые условия на область Q.Пусть q ∈ [0,∞) при λ > 0 и q ∈ [0, 2) при λ < 0. Тогда для любойфункции f(x, t) ∈ L2(Q) и для любой функции u0(x) ∈

W 14(D0) су-

ществует единственное обобщенное решение начально-краевой задачи(1)–(3).

Далее рассматриваются различные задачи, связанные с уравнением

A2u ≡ ut − uxxt − u3 = f(x, t). (4)

Уравнение (4), возникающее в описании процессов в полупроводни-ках, также выведено в [1, гл. 7, п. 4.1] . Оно рассматривается в областиQ (в общем случае нецилиндрической) на плоскости переменных (x, t).Эта область ограничена отрезками прямых t = 0 и t = T и двумякривыми γ1 и γ2. Ее подробное описание имеется в работе [2].

Здесь сначала доказывается существование и единственность ре-шения вариационного неравенства с ограничением на решение, затемна основе этого результата при некоторых дополнительных условияхна начальную функцию доказывается существование локального обоб-щенного решения, а при очень жестких условиях на начальную функ-цию и на область Q — существование глобального обобщенного реше-ния начально-краевой задачи, аналогичной задаче (1)–(3).


1. Свешников А. Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., ПлетнерЮ.Д. Линейныеи нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.

2. Глазатов С.Н. О некоторых задачах для нелинейных псевдопараболиче-ских уравнений в нецилиндрических областях // Сиб. мат. журн. 2007.Т. 48, 2. С. 272–289.

83


Вычислительное моделирование сплошной средыпри помощи ячеистых дискретных структур

Computational modelling of continuous mediumusing discrete structures

Годунов С.К.1, Куликов И.M.2, Пешков И.M.1


2Новосибирский государственный технический университет,Новосибирск, Россия; [email protected]

В докладе рассматриваются некоторые варианты моделированиягазовой динамики и нелинейных упруго-пластических сред ячеисты-ми дискретными структурами, в которых взаимодействие между ячей-ками осуществляется с помощью одномерных линеаризованных задачРимана. Обращается внимание на ряд вопросов, требующих экспери-ментального и теоретического исследования.

В частности, приводится математическая модель нелинейной упру-го-пластической изотропной среды, нацеленной на описание большихдеформаций. Модель формулируется в лагранжевых координатах втерминах несимметричных тензоров напряжений Пиола — Кирхгофаи градиентов деформаций. Исходная модель переформулируется в бо-лее удобной (как для численного, так и для теоретического исследова-ния) форме законов сохранения, предложенной в 1961 г. С.К. Годуно-вым [1] и основанной на теории термодинамических потенциалов, кото-рые обычно предполагаются выпуклыми функциями. Замечательнымследствием такой формы является другая — симметрическая гипербо-лическая по Фридрихсу форма записи уравнений, которая по сути ислужит обоснованием гиперболичности (корректности задачи Коши)исследуемой системы уравнений. Стоит отметить, что к форме Году-нова на настоящий момент сводятся многие уравнения классическойматематической физики: уравнения газовой и гидродинамики, магнит-ной и релятивисткой гидродинамики, теории упругости и упруго-пла-стичности, система уравнений Максвелла и т. д.

Так же в работе исследуются условия обеспечивающие симметри-ческую гиперболичность уравнений нелинейной теории упругости. Приэтом оказывается, что в одномерном случае уравнения удовлетворяют

84


полученным в работе условиям, в то время как в многомерном (2Dи 3D) это не так. Для обеспечения гиперболичности в многомерномслучае приходится вводить некоторые принципиальные изменения впостановку задачи [2].

На основе упомянутой формы записи законов сохранения и другоговажного понятия из теории численных методов решения гиперболи-ческих систем — схемы Годунова, строится вычислительный алгоритмдля нахождения решения исследуемой нелинейной системы уравненийупруго-пластической среды. Интересно отметить, что решение много-мерной задачи строится при помощи процедуры расщепления из одно-мерных задач по координатным направлениям, корректность которыхкак раз обеспечена полученными условиями гиперболичности.

В заключении приводятся результаты расчетов нескольких задачо высокоскоростном деформировании металлов в одномерной и дву-мерной постановке. В частности, рассматриваются задачи о столкнове-нии металлических пластин под разными углами. Результаты расчетовсравниваются с данными натурных экспериментов.

Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ(проект НШ-9019.2009.1) и междисциплинарного интеграционного проектафундаментальных исследований СО РАН 40.


1. Годунов С.К. Интересный класс квазилинейных систем // Докл. АНСССР. 1961. Т. 139, 3. С. 520–523.

3. Годунов С.К., Пешков И.М. Симметрические гиперболические уравне-ния нелинейной теории упругости // Журн. вычисл. математики и мат.физики. 2008. Т. 48. 6. С. 1034–1055.

85


Параллельный алгоритм метода встречныхциклических прогонок с циклическим разбиениемA parallel algorithm in the cyclic counter–sweep

method with cicle decompozition

Головашкин Д.Л.1, Логанова Л.В.2

Самарский государственный аэрокосмический университет, Самара,Россия; [email protected], [email protected]

Моделирование физических процессов часто сводится к необходи-мости решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)с ленточной матрицей. Например, задачи дифракционной оптики приисследовании периодических оптических элементов [1] приводят к мат-рицам, содержащим, кроме ленты на центральных диагоналях, ненуле-вые элементы в верхнем правом и левом нижнем углах. Экономичностьметода встречных прогонок и тот факт, что ограничение на масшта-бируемость может быть снято в случае многомерной сеточной обла-сти, определили выбор авторов в пользу его применения для решенияСЛАУ с матрицей ленточного вида.

Произведя функциональную декомпозицию вслед за авторами [2, 4],предпишем всем процессорам выполнять вычисления прогоночных ко-эффициентов, значений промежуточных сеточных функций, искомыхсеточных функций для своих участков различных СЛАУ, составля-ющих двумерную сеточную область w2. В случае распараллеливанияалгоритма метода встречных циклических прогонок [3] для двумернойсеточной области на P задач, где P=2q и q ∈ N , каждая задача произ-водит вычисления для P/4 подобластей w2 и соседствует с log2P други-ми задачами. При этом никакие две подобласти, принадлежащие однойзадаче, не содержат одну и ту же строку или столбец сеточной обла-сти. Для данного алгоритма характерна топология коммуникаций —гиперкуб. Время пересылок составляет 3 ∗ (1 − 2

P ) ∗ (N + M) ∗ τk, гдеN ×M — размер сеточной области, τk — длительность одной коммуни-кации между задачами алгоритма в рамках пакетной модели.

В [5] приведен параллельный алгоритм данного метода с линейнымразбиением. Из теоретических соображений очевидно, что на прямо-угольных областях, где M À N предпочтение следует отдавать алго-ритму из [5], характеризующемуся меньшим объемом пересылок. Для

86


квадратных областей следует выбирать алгоритм с циклическим раз-биением. Что и подтверждают результаты вычислительных экспери-ментов, представленные на рисунке 1.

Рис. 1. Зависимость ускорения вычислительного процесса,порожденного 4-х задачным алгоритмом, от размерности се-точной области. Графики I — с линейным разбиением, II —с циклическим разбиением для различных М. Графики III —с линейным разбиением, IV — с циклическим разбиением наквадратной сеточной области

Исследование ускорения алгоритма, основанного на методе встреч-ных циклических прогонок, с циклическим разбиением сеточной об-ласти показали эффективность его применения, начиная с линейногоразмера M>4000. Полученный алгоритм является масштабируемым.


1. Сойфер В.А. Методы компьютерной оптики. Изд. 2-е, испр. М.: Физмат-лит, 2003.

2. Миренков Н.Н. Параллельные алгоритмы для решения задач на одно-родных вычислительных системах // Вычисл. системы. 1973. Вып. 57.С. 3–32.

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.4. Головашкин Д.Л. Параллельные алгоритмы решения сеточных уравне-

ний трёхдиагонального вида, основанного на методе встречных прого-нок // Мат. моделирование. 2005. Т. 17, 11. С. 118–128.

5. Логанова Л.В. Параллельный алгоритм метода встречных циклическихпрогонок // Вестн. СГАУ. 2008. 2(15). С. 167–174.

87


О концентрации кинетической энергиипри фазовых переходах

On concentration of kinetic energy at phase transitions

Голубятников А.Н.

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,Москва, Россия; [email protected]

1. Хорошо известна постановка задачи о точечном взрыве, предло-женная в свое время Л.И. Седовым [1], о последующем распростране-нии вначале сосредоточенной энергии. Можно также поставить вопрос:возможна ли концентрация в точке конечной энергии в результате неко-торых механических или физико-химических процессов?

По-видимому, впервые наблюдение “отделения энергии от массы”было получено в теории образования космических лучей, связанной сразгоном частиц ударной волной, движущейся по фону со степеннымпадением плотности. В рамках ньютоновской механики автомодельнаязадача была решена еще Л.И. Седовым [1], но хотя скорость и темпера-тура за ударной волной стремились к бесконечности, такого отделенияне было. Однако уже при численном решении задачи в рамках теорииотносительности этот эффект был обнаружен в работе [2]. Затем былопостроено точное неавтомодельное решение релятивистской задачи опоршне, обладающее таким эффектом [3]. Кроме того, была обнаруже-на концентрация энергии в задаче Г. Герца о распространении волныупругих столкновений в бесконечной дискретной системе частиц с ко-нечной полной массой [3]. Настоящая работа посвящена исследованиюэффекта концентрации кинетической энергии при прохождении вол-ны фазового перехода или другого физико-химического превращенияв локально несжимаемой среде при наличии сферической симметрии.

2. Пусть по покоящейся среде к центру идет фронт r = R(t) изме-нения плотности ρ0 на ρ1. Снаружи распределение скорости имеет видv = Q(t)/r2. Из условия сохранения потока массы на разрыве имеемR2R = Q/δ < 0, δ = 1− ρ0/ρ1.

Сохранение потока количества движения вместе с уравнениями дви-жения определяет только распределение давления. Остается условиесохранение потока энергии. Здесь надо рассматривать два случая: пе-реход с выделением энергии (горение) и с поглощением (плавление).

88


В случае выделения энергии можно пренебречь теплопроводностью,считая процесс локально адиабатическим. В результате, интегрируяуравнение энергии, а также пренебрегая скачком внутренней энергиии работой давления на бесконечности (обычно малыми) получаем

Q = −sign δ

(2ρ0

3ρ1λR(R3

0 −R3))1/2

, E =ρ1Q

2

8π R→ λM0.

Здесь λ > 0 — удельная теплота фазового перехода; R0, M0 — началь-ные радиус и масса частицы. Отметим, что при R = 0 скорость v почтивсюду равна нулю, но кинетическая энергия жидкости E остается ко-нечной. Таким образом, мы приходим к постановке задачи о точечномвзрыве в несжимаемой жидкости [1]. В результате образуется вакуум-ный пузырек.

При поглощении энергии λ < 0 и надо дополнительно решать урав-нение теплопроводности, задавая кроме краевых условий T0, T∞ на-чальное распределение температуры, от которого зависит ответ. Огра-ничимся качественной оценкой концентрации энергии при малом Q,полагая температуру T = T∞ − (T∞ − T0)R(t)/r. Тогда интеграль-ное уравнение энергии сводится к дифференциальному уравнению дляфункции E = E(R) с параметром

ε =|δ|æ(T∞ − T0)

ρ0R0|λ|3/2

√3ρ1

2ρ0,

где æ — коэффициент теплопроводности. Исследуя дифференциальноеуравнение при малом ε, имеем E → (4/49) |λ|M0 ε2.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун-даментальных исследований (проекты 08-01-00026, 08-01-00401) и Совета погрантам Президента РФ (проект НШ-610.2008.1).


1. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981.2. Shapiro P. L. Relativistic blast waves in two dimensions. I. The adiabatic

case // Astrophys. J. 1979. V. 233, N 3, Part 1. P. 831–850.3. Голубятников А.Н. О механизме отделения энергии-импульса от мас-

сы покоя // Механика. Современные проблемы. М.: Изд-во МГУ, 1987.С. 152–157.

89


Применение кватернионов в теорииволнового уравнения

Application of quaternions to the theoryof the wave equation

Гордиенко В.М.

Институт математики им. С.Л. Соболева РАН, Новосибирск,Россия; [email protected]

Пусть функция u = u(x0, x1, x2, x3), вещественная или комплексно-значная, удовлетворяет волновому уравнению

∂2u

∂x20

− ∂2u

∂x21

− ∂2u

∂x22

− ∂2u

∂x23

= f.

Опишем симметрические x0-гиперболические по Фридрихсу системы,к которым может быть сведено волновое уравнение.

Пусть−→k = (k0, k1, k2, k3)> и

−→β = (β0, β1, β2, β3)> два вещественных

четырёхмерных вектора. Образуем из их компонент эрмитовы матрицы

A0 =

k0 k1 k2 k3

k1 k0 −iβ3 iβ2

k2 iβ3 k0 −iβ1

k3 −iβ2 iβ1 k0

, A1 =

k1 k0 −iβ3 iβ2

k0 k1 k2 k3

iβ3 k2 −k1 iβ0

−iβ2 k3 −iβ0 −k1

,

A2 =

k2 iβ3 k0 −iβ1

−iβ3 −k2 k1 −iβ0

k0 k1 k2 k3

iβ1 iβ0 k3 −k2

, A3 =

k3 −iβ2 iβ1 k0

iβ2 −k3 iβ0 k1

−iβ1 −iβ0 −k3 k2

k0 k1 k2 k3

.

Утверждается, что вектор-функция U = (ux0 ,−ux1 ,−ux2 ,−ux3)>,

образованная первыми производными функции u, удовлетворяет сис-теме (

A0∂

∂x0+ A1

∂

∂x1+ A2

∂

∂x2+ A3

∂

∂x3

)U = f

−→k . (1)

Утверждается, что системы вида (1) это все системы первого поряд-ка с эрмитовыми матрицами, к которым может быть сведено волновоеуравнение.

90


k

β

β

β

k

Система (1) является симметрической x0-гиперболической по Фри-

дрихсу (то есть A0 > 0), если вектор−→k расположен внутри прямого

кругового конуса (рис. 1), а трёхмерный вектор (β1, β2, β3)> с концом вточке M расположен внутри эллипсоида, полученного вращением эл-липса с фокусами F1(k1, k2, k3), F2(−k1, −k2, −k3) и большой полу-осью k0, то есть | F1M | + | F2M |< 2k0 (рис. 2).

Чтобы скорости распространения возмущений у системы (1) и уволнового уравнения совпадали, вектор

−→k по-прежнему должен быть

расположен внутри конуса, а четырёхмерный вектор−→β при этом дол-

жен располагаться внутри фигуры, образованной пересечением двухпол конусов — нижней, выпущенной из точки (k0, k1, k2, k3), и верх-ней, выпущенной из точки (−k0,−k1,−k2,−k3). Причём допускаетсярасположение вектора

−→β и на границе описанной фигуры, но не на

ребре (рис. 3).Пусть координаты (x0, x1, x2, x3)> преобразованы с помощью пре-

образования Лоренца W . Тогда, как известно, вектор U преобразуетсятем же преобразованием W . Оказывается, преобразованный вектор U

удовлетворяет системе вида (1), построенной по векторам−→k и

−→β , пре-

образованным с помощью преобразования Лоренца W−>.Уравнение конуса характеристических нормалей системы (1) имеет

видdet[ξ0A0 + ξ1A1 + ξ2A2 + ξ3A3] ≡

≡ (ξ20 − ξ2

1 − ξ22 − ξ2

3)[(k0β0 − k1β1 − k2β2 − k3β3)2(ξ2

0 − ξ21 − ξ2

2 − ξ23)−

−2(k0β0−k1β1−k2β2−k3β3)(k0ξ0−k1ξ1−k2ξ2−k3ξ3)(β0ξ0−β1ξ1−β2ξ2−β3ξ3)+

+(k20 − k2

1 − k22 − k2

3 + β20 − β2

1 − β22 − β2

3)(k0ξ0 − k1ξ1 − k2ξ2 − k3ξ3)2] = 0 .

Обоснование сформулированных утверждений основано на исполь-зовании кватернионов и инвариантов преобразования Лоренца.

91


Численное моделирование плазмохимическоготравления кремния

Numerical modeling of plasma–chemical silicon etching

Григорьев Ю.Н.1, Горобчук А. Г.2

Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск,Россия; [email protected], [email protected]

На основе численного моделирования исследуются особенности теп-ломассобмена в плазмохимическом реакторе травления с неоднород-ным ВЧ-разрядом. Расчеты выполнены с использованием двумернойматематической модели неизотермического реактора, в которой движе-ние газовой смеси описывалось уравнениями многокомпонентной гид-родинамики с учетом конвективно-диффузионного переноса отдельныхкомпонент смеси [1]. Для определения внутренних характеристик низ-котемпературной плазмы в диапазоне рабочих давлений 0.1–1.0 торриспользовалась гидродинамическая модель аксиально-симметричногоВЧ-разряда в трехмоментном приближении. Модель включает уравне-ния непрерывности для электронов и положительных ионов, уравнениебаланса энергии электронов и уравнение Пуассона для электрическо-го потенциала. Для численного решения системы уравнений кинетикиВЧ-разряда были разработаны экономичные конечно-разностные мето-ды на основе модифицированной схемы Шарфетера — Гуммеля, обес-печивающие положительность средней энергии и концентраций компо-нент плазмы.

Исследовано влияние ВЧ-разряда на скорость и однородность трав-ления кремниевых образцов в смеси тетрафторметана CF4 с кислоро-дом. Найдено, что однородность травления образцов существенно зави-сит от изменения электронной плотности в радиальном направлении,которым часто пренебрегают, рассчитывая разряд в одномерной по-становке. Показано, что присадка кислорода к CF4 понижает среднююплотность электронов и эффективность диссоциации молекул исходнойгазовой смеси CF4/O2. Понижение средней плотности энергетичныхэлектронов в реакторе, вызванное добавкой кислорода, может снизитьскорость травления в пределах до 30%.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проекты 07-01-00315, 08-01-00116) и Совета по грантамПрезидента РФ (проект НШ-931.2008.9).

92



1. Григорьев Ю.Н., Горобчук А. Г. Особенности интенсификации травлениякремния в CF4/O2 // Микроэлектроника. 2007. Т. 36, 4. С. 283–294.

93


Об устойчивости струйныхмагнитогидродинамических течений

On a stability of jet MGD flows

Губарев Ю.Г.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

[email protected]

Струйные течения жидкости как объект теоретических исследова-ний вызывают к себе интерес со стороны ученых уже без малого тристолетия, что объясняется той важной ролью, которую они играют дляширокого круга явлений природы и практических приложений.

При этом едва ли не главное место в данных исследованиях зани-мает проблема устойчивости струйных течений жидкости. Настоящийдоклад посвящен такому существенному аспекту этой проблемы, какмагнитогидродинамическая (МГД) устойчивость и токовое разрушениежидких проводящих струй. Работы по данному направлению интенсив-но публикуются, начиная с 60-х годов прошлого века, когда струйныеМГД течения стали активно применяться в целом ряде значимых раз-делов науки и отраслей промышленности (например, в физике плазмы,порошковой металлургии, электрофизике, машиностроении и т. д.).

К сегодняшнему дню в области изучения МГД устойчивости и ме-ханизмов токового разрушения жидких проводящих струй достигнутвпечатляющий прогресс. Действительно, аналитически и/или численнорассмотрено внушительное количество задач устойчивости струйныхМГД течений, в процессе решения которых в той либо иной степениучитывались разного рода физические свойства вещества струй, раз-личные виды возмущений, а также разные типы окружающих струисред. Итоги этих теоретических исследований во многих случаях со-поставлялись с накопленным богатым экспериментальным материа-лом, причем нередко между ними обнаруживалось вполне приемлемоесоответствие, правда, скорее в качественном, нежели количественномплане.

Вместе с тем, нельзя не отметить очевидную ограниченность анали-тических результатов изучения устойчивости осесимметричных струй-ных МГД течений жидкости. Дело в том, что они, как правило, уста-новлены для простейших стационарных течений (постоянная осевая

94


скорость, линейное по радиусу распределение азимутального магнит-ного поля и т. п.), а также малых (в форме нормальных мод) или слабонелинейных осесимметричных возмущений.

В представляемом докладе развивается новый, более общий подходк рассмотрению МГД устойчивости и токового разрушения жидкихпроводящих струй на примере исследования линейной задачи устой-чивости установившихся осесимметричных сдвиговых течений одно-родной по плотности идеальной несжимаемой жидкости с бесконечнойпроводимостью и свободной границей во “вмороженном” полоидаль-ном магнитном поле по отношению к малым длинноволновым возму-щениям той же симметрии. Суть данного подхода заключается в по-строении на регулярной основе функционалов Ляпунова, обладающихспособностью нарастать со временем в силу тех либо других начально-краевых задач, решения которых описывают эволюцию малых возму-щений изучаемых стационарных течений жидкости. Посредством это-го алгоритма конструирования растущих во времени функционаловЛяпунова удается получать достаточные условия и теоретической (наполубесконечных интервалах времени), и практической (на конечныхвременных промежутках) линейной неустойчивости, строить априор-ные экспоненциальные нижние оценки и доказывать существование на-чальных данных для нарастающих со временем малых возмущений.

В предлагаемой работе, сначала из энергетических соображений,установлены достаточные условия теоретической устойчивости стацио-нарных осесимметричных сдвиговых течений однородной по плотностиневязкой идеально проводящей несжимаемой жидкости со свободнойповерхностью и “вмороженным” полоидальным магнитным полем отно-сительно малых длинноволновых возмущений того же типа симметрии.После этого, уже при помощи упомянутой выше методики конструи-рования растущих во времени функционалов Ляпунова, произведеночастичное обращение данных условий устойчивости, получены доста-точные условия практической неустойчивости, и построена априорнаяэкспоненциальная оценка снизу роста рассматриваемых малых возму-щений. В завершение, сконструирован иллюстративный аналитическийпример исследуемых установившихся течений и наложенных на них ма-лых осесимметричных длинноволновых возмущений, которые нараста-ют во времени согласно построенной оценке.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 07-01-00585) и Федерального агентства по образо-ванию Министерства образования и науки РФ (проект 2.1.1/4591).

95


Пороговое поведение поля напряженийв неевклидовой модели сплошной среды

Threshold behaviour of stress fieldin non–euclidean model of continuum

Гузев М.А.

Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток,Россия; [email protected]

С.К. Годуновым [1] исследовалось влияние термомеханического со-стояния материала при деформировании на его внутреннюю геомет-рическую структуру. В наиболее четкой форме им было указано, чтоотождествление изменений внутренней метрики материала, определя-ющей изменение его внутренней энергии, и соответствующее измене-ние формы тела в евклидовой метрике внешнего наблюдателя, явля-ется дополнительной гипотезой, постулируемой в классической теорииупругости. Он предложил ввести эффективный метрический тензор,вычисляемый с помощью реологических соотношений через тензор на-пряжений и температуру среды. Для этого тензора не выполняютсяусловия совместности в общем случае, поэтому его можно рассмат-ривать в качестве неевклидовой геометрической характеристики ма-териала, а соответствующее обобщение классической теории означаетпереход к неевклидовой модели сплошной среды.

С точки зрения физики включение неевклидовых геометрическиххарактеристик в качестве внутренних переменных модели сплошнойсреды позволяет описать дефекты различных типов в среде [2–4]. На-личие дефектов следует учитывать при рассмотрении микроскопиче-ских механизмов упруго-пластического деформирования материалов.Последние, как известно из экспериментальных исследований, обла-дают свойством порогового поведения их макроскопических физико-механических характеристик при внешнем воздействии, что проявля-ется, например, в переходе материала из упругого состояния в пласти-ческое, если интенсивность напряжений достигает предела текучести.

В данной работе на основе неевклидовой модели ставится задачаописания порогового поведения микроструктуры материала при меха-ническом воздействии. Рассматривается бесконечный цилиндр, содер-жащий дефекты структуры и находящийся в условиях равномерного

96


бокового сжатия. Предполагается, что дефекты имеют континуальноераспределение, описание которых дается в терминах тензора круче-ния, который определяет тензор Бюргерса. Модельные соотношениявключают уравнение равновесия среды и стационарное уравнение длятензора кручения. Конкретизация уравнения состояния рассматривае-мой системы определяется заданием структуры внутренней энергии иисточника диссипации. Энергия равна сумме слагаемых, характеризу-ющих упругую энергию среды, энергию дефектной структуры и энер-гию взаимодействия упругого поля с дефектной структурой. Источникдиссипации представляет выражение в виде суммы первого инвариантаупругого поля и потокового слагаемого.

В рамках предложенной модели в линейном приближении по по-лю дефектов получено решение для распределения компонент напря-жений. Дополнительное слагаемое к классическому полю напряженийопределяется дефектами в материале и имеет неевклидову геометриче-скую природу. Из полученного решения следует, что при достижениивнешней нагрузкой некоторой величины изменяется поведение компо-нент напряжений и происходит переход от монотонного поведения к ос-циллирующему. Установлена связь порогового значения этой нагрузкис феноменологическими параметрами модели.



1. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978.2. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни

пластической деформации и разрушения. Новосибирск: Наука, 1990.3. Гузев М.А., Мясников В.П. Термомеханическая модель упругопластиче-

ского материала с дефектами // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. 1998. 4.С. 156–172.

4. Мясников В.П. Гузев М.А. Неевклидова модель деформирования мате-риалов на различных структурных уровнях // Физ. мезомеханика. 2000.Т. 3, 1. С. 5–16.

97


Перемежаемость спектра матрицы, имеющейблочную структуру

Intermittency of spectrum of matrix with blockstructure

Гузев М.А.1, Дмитриев А.А.2

Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток,Россия; [email protected], [email protected]

Хорошо известно свойство перемежаемости спектра симметричнойматрицы Dn и матрицы Dn+1, полученной из Dn добавлением строки истолбца [1]. Необходимость исследования поведения неоднородных си-стем методом молекулярной динамики приводит к постановке задачиспектрального анализа моделей, содержащей трёхдиагональные мат-рицы, составленные из блоков.

Рассмотрим симметричную трёхдиагональную матрицу Dn, элемен-ты k-ой строки обозначим через ak, ck, bk. Выделим в матрице Dn

трёхдиагональную квадратную подматрицу Dl,m (1 6 l 6 m 6 n) раз-мерности m−l+1, для которой первой строкой является l-я строка мат-рицы Dn, а последней — её m-я строка. Известное [2] рекуррентное со-отношение для детерминантов трёхдиагональной матрицы для блоковможно записать в виде

Dm+n = D1,mDm+1,m+n − am+1bmD1,m−1Dm+2,m+n, (Dl+1,l = 1).

Используя это соотношение, можно указать расположение корней по-линома Dm+n(λ), если известны корни полиномов D1,m(λ), D1,m−1(λ),Dm+1,m+n(λ) и Dm+2,m+n(λ). Справедливо следующее утверждение.

Пусть N=m+n и λ(k)m , λ

(k)m−1, λ

(k)n , λ

(k)n−1 — корни полиномов D1,m(λ),

D1,m−1(λ), Dm+1,N (λ) и Dm+2,N (λ) соответственно, λ(k)+ — упорядочен-

ное по возрастанию объединение корней λ(k)m−1 и λ

(k)n , а λ

(k)− — упорядо-

ченное по возрастанию объединение корней λ(k)m и λ

(k)n−1 (k=1, ..., N−1).

Если полиномы D1,m, Dm+2,N и D1,m−1, Dm+1,N не имеют общихкорней, то корни DN (λ) удовлетворяют неравенствам

λ(1)N < minλ(1)

− , λ(1)+ < . . . 6maxλ(k)

− , λ(k)+ <λ

(k)N < minλ(k+1)

− , λ(k+1)+ 6

. . . < λ(N−1)N < minλ(N−1)

− , λ(N−1)+ 6 maxλ(N−1)

− , λ(N−1)+ < λ

(N)N . (1)

98


Если λ(k)m является общим корнем полиномов D1,m, Dm+2,N или λ

(k)n

общий корень полиномов D1,m−1, Dm+1,N , то он является корнем по-линома DN (λ), а для остальных корней выполнено неравенство (1), вкотором значение N уменьшается на число общих корней.

В качестве примера рассматривается система из двух последова-тельно соединенных цепочек гармонических осцилляторов, имеющихразные массы и коэффициенты жесткости. С точки зрения механикитакая модель представляет собой молекулярную модель стержня, со-ставленного из двух разных материалов. Соответствующая трёхдиаго-нальная матрица модели является якобиевой, т. е. диагонально подобнасимметричной, и характеристическое уравнение имеет вид:

[Un(ν)−

(γ

β

α− 1

)Un−1(ν)

]Um(ξ)− γ

β

αUn−1(ν)Um−1(ξ) = 0,

где Un(x) — полином Чебышева второго рода, α, β — квадраты частоткаждой из подсистем, γ — отношение масс частиц, ν=−1−λ/(2α) иξ=−1−λ/(2β). Поскольку корни полиномов Un−1(ν) и Um(ξ) известны,то легко найти систему границ корней λ

(k)+ :

λ(k)n−1=−4α cos2

kπ

2n, k=1, . . . , n−1; λ(k)

m =−4β cos2kπ

2(m+1), k=1, . . . , m.

Для корней λ(k)− получим, что λ

(k)m−1=−4β cos2

kπ

2m, k=1, . . . ,m−1, а

относительно корней Un(ν)+(γ

β

α−1

)Un−1(ν) известно, что они рас-

положены в интервалах −4α(cos2

kπ

2(n+1), cos2

(k + 1)π2(n+1)

), k=1, . . . , n и

требуют численных расчетов. Отметим, что λ(k)n =−4α cos2

kπ

2n+1в слу-

чае γβ/α=2.Оставшиеся два корня допускают аналитические оценки в зависи-

мости от параметров.Работа выполнена при поддержке ДВО РАН (проекты 09-II-СУ-03-002,

09-III-А-01-002).

ЛИТЕРАТУРА1. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: На-

учная книга, 1997.2. Ильин В.П., Кузнецов В.И. Трехдиагональные матрицы и их приложе-

ния. М.: Наука, 1985.

99


Применение графических ускорителей для решениязадачи раскладки графа

Graph layout using graphic accelerators

Деменков П.С.1, Иванисенко В.А.2

Институт цитологии и генетики СО РАН, Новосибирск, Россия;[email protected], [email protected]

Количество публикаций в области биологии, медицины и биотех-нологии растет столь быстро, что имеющуюся информацию принци-пиально невозможно проанализировать для исследовательских и при-кладных целей без автоматической обработки с использованием ком-пьютерных средств. Нами была разработана информационная системаAssociative Network Discovery (AND) [1]. Система позволяет пользовате-лю быстро получать и анализировать большие объемы данных в формеграфически визуализированных сетей молекулярно-генетических вза-имодействий и их ассоциаций с заболеваниями. Для визуализации вудобном для пользователя виде была разработана модель, позволяю-щая определять оптимальное расположение вершин графа. Модель ис-пользует принципы взаимодействия заряженных частиц и описываетсясистемой уравнений, которые решаются методом простой релаксации.Графы, строящиеся в системе AND, являются двудольными. Все вер-шины в графе разделены на 2 множества — множество объектов V имножество взаимодействий I. Пусть все вершины в графе пронумеро-ваны от 1 до N , IV — множество индексов вершин из V , II — множе-ство индексов вершин из I, а Ik — множество индексов вершин, инци-дентных вершине с индексом k. Силы действующие между вершинамиопределены формулами:

Fq(~x1, ~x2) =K

‖~x2 − ~x1‖2~x2 − ~x1

‖~x2 − ~x1‖ , где K ≥ 0,

Fp(~x1, ~x2) = P

(‖~x2 − ~x1‖+

1‖~x2 − ~x1‖ − 1

)~x2 − ~x1

‖~x2 − ~x1‖ , где P ≤ 0,

Fi(~x1, ~x2) =L

‖~x2 − ~x1‖~x2 − ~x1

‖~x2 − ~x1‖ , где L ≥ 0,

Fr(~x) = M tan(

π‖~x‖2R

)~x

‖~x‖ , где M ≤ 0.

100


Система уравнений, описывающая взаимодействие вершин графа, вы-глядит следующим образом:

F (X) =

∑

k 6=mk∈IV

Fq(~xk, ~xm) +∑

k 6=m

Fi(~xk, ~xm) +

+∑

k∈Im

Fp(~xk, ~xm) + Fr(~xm) = 0,

∀m ∈ IV

∑

k 6=m

Fi(~xk, ~xm) +∑

k∈Im

Fp(~xk, ~xm)+

+Fr(~xm) = 0.

∀m ∈ II

Решение систем нелинейных уравнений методом релаксаций можетбыть ускорено, благодаря распараллеливанию алгоритма. В каждомпотоке рассчитывается сила действующая на одну из вершин. Такаясхема параллельных вычислений полностью соответствует идеологиирасчётов, проводимых на видеоускорителях. Была сделана реализациямногопоточных вычислений на CPU, а также на графических ускори-телях, поддерживающих ShaderModel 3.0 или CUDA.

В таблице приведено время расчётов, требуемое для раскладки гра-фа, состоящего из 10000 вершин.

Тип Время, сек Описание вычислительного модуля

1 CPU 7475,961 Intel Core 2 Duo 2,66 ГГц

2 CPU 3731,191 Intel Core 2 Duo E6750

GPU 78,484 Nvidia Geforce 8800GTSРабота выполнена при частичной поддержке Совета по грантам Прези-

дента РФ (проект НШ-335.2008.1) и СО РАН (междисциплинарный интегра-ционный проект 111).


1. Деменков П.С., Аман Е.Э., Иванисенко В.А. Associative network discove-ry (AND) — компьютерная система для автоматической реконструкциисетей ассоциативных знаний о молекулярно-генетических взаимодействи-ях // Вычисл. технологии. 2008. Т. 13, 2. С. 15–19.

101


Исследование предельных переходов в моделяхматричного синтеза линейных полимеров

A study of limiting transitions in modelsof matrix synthesis of linear polymers

Демиденко Г.В.1,3, Лихошвай В.А.2,3,Фадеев С.И.1,3, Штокало Д.Н.3

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирск, Россия; [email protected], [email protected],

2Институт цитологии и генетики СО РАН,Новосибирск, Россия; [email protected]

3Новосибирский государственный университет,Новосибирск, Россия; [email protected]

В работе рассматриваются математические результаты, полученныев области теории моделирования фундаментальных процессов синтезаДНК, РНК и белков — основных типов биологических макромолекул,из которых состоят живые системы [1–4]. Исходя из матричности ибиохимической природы элементарных стадий присоединения нуклео-тидов или аминокислотных остатков к растущим полимерам молекулДНК, РНК и белков, строятся модели, описывающие данные процес-сы в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений. Моде-ли содержат цепочки сотен и тысяч структурно подобных уравнений.В зависимости от уровня детализации описания процессов элонгацииразмерность системы и ее правая часть может видоизменяться. Напри-мер, если уровень детализации ограничить стадией присоединения мо-номера к растущей цепи, то количество уравнений в модели примерноравно количеству мономеров в полимере. Если же стадию присоедине-ния мономера рассматривать как сложную и разделить ее на несколькоподстадий (например, стадию присоединения аминокислотного остат-ка к растущему полипептиду можно разделить на три подстадии: ста-дию размещения изоакцепторной аминоацил-тРНК в А-сайте рибосо-мы, стадии транспептидации и транслокации), то размерность моделивозрастет примерно в три раза. Дробление можно продолжать и далее.При этом размерность соответствующих систем возрастает. В резуль-тате появляется ряд моделей, предназначенных для описания одногои того же процесса, но с разным уровнем детализации. Возникает во-прос об условиях подобия моделей друг другу. Сложность проблемы в

102


общем виде определяется также тем, что на определенном уровне де-тализации рассматриваемые подстадии становятся обратимыми, болеетого, само их количество становится неопределенным.

На основе указанных биологических предпосылок и численных экс-периментов формулируются ряд теорем, которые устанавливают до-статочные условия равномерной сходимости бесконечных рядов из ре-шений кинетических уравнений, описывающих временную динамикусинтеза полимеров, типа ДНК, РНК и белков, к решению уравнения сзапаздывающим аргументом

dy(t)dt

= G(y(t− τ))− θy(t).

Тем самым предельные теоремы устанавливают ранее неизвестныевзаимосвязи систем обыкновенных дифференциальных уравнений иуравнений с запаздывающими аргументами, свидетельствующие о том,что системы уравнений с запаздывающими аргументами могут рас-сматриваться как предельный случай соответствующих систем обык-новенных дифференциальных уравнений при неограниченном увели-чении размерности.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проект 08-04-01008), Программы РАН по мо-лекулярной и клеточной биологии (проект 10.7), Программ ПрезидиумаРАН (проект 22.8) и СО РАН (проекты 85, 21.26 и междисциплинар-ные проекты 26, 107, 119), Совета по грантам президента РФ (проект НШ-2447.2008.4).


1. Лихошвай В.А., Фадеев С.И., Демиденко Г.В., Матушкин Ю.Г. Моде-лирование многостадийного синтеза вещества без ветвления уравнениемс запаздывающим аргументом // Сиб. журн. индустр. математики. 2004.Т. 7, 1. С. 73–94.

2. Демиденко Г.В., Колчанов Н.А., Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Фа-деев С.И. Математическое моделирование регулярных контуров генныхсетей // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, 12.С. 2276–2295.

3. Демиденко Г.В., Лихошвай В.А. О дифференциальных уравнениях с за-паздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, 3. С. 538–552.

4. Fadeev S. I., Likhoshvai V.A., Shtokalo D.N. Study of a model of linearbiomolecular synthesis with reversible processes // J. Appl. Ind. Math. 2007.V. 1. P. 178–189.

103


О роли времени релаксации в формированииструктуры ударных волн в нелинейной

максвелловской среде. Численный анализ

To the influence of relaxation time on the formationof shock waves structure in nonlinear Maxwell

medium. Numerical analysis

Демидов В.Н.

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН,Томск, Россия; [email protected]

Рассматривается задача о распространении плоских ударных волнумеренной интенсивности в нелинейной вязкоупругой среде максвел-ловского типа [1]. Ударные волны инициируются внезапно приложен-ной нагрузкой, равномерно распределенной по границе однородного по-лупространства. Качественное поведение решения этой задачи извест-но: при выполнении определенных условий, исходный разрыв, распро-страняясь вглубь полупространства, расщепляется, и возникает двух-волновая структура, состоящая из упругого предвестника и следующейза ним пластической волны. Упругий предвестник (на стационарнойстадии движения) представляет собой скачок (разрыв) малой ампли-туды, а пластическая волна может быть как разрывом, так и областьюс непрерывным изменением функций, характеризующих движение сре-ды.

Основным физическим параметром, определяющим длительностьпереходного процесса и стационарную структуру волнового решения,является время релаксации касательных напряжений (или максвеллов-ская вязкость). При феноменологическом подходе функция, описыва-ющая зависимость времени релаксации от внутренних параметров со-стояния среды, может быть выбрана различными способами. Основнаяцель данной работы состоит в исследовании вопроса о том, как влияетвыбор той или иной зависимости для времени релаксации на структуруволн напряжений. При этом, как и в [1], предполагается, что время ре-лаксации является изотропной (скалярной) функцией и не зависит отструктурных свойств материала, которые могут меняться в процесседеформирования.

104


Задача решалась численно с использованием разностной схемыС.К. Годунова, которая была реализована в четырех различных ва-риантах: для упругой, вязкоупругой, упругопластической и гидроди-намической моделей сред. Задача Римана (о распаде произвольногоразрыва) решалась для гидродинамической модели в полной нелиней-ной постановке, для остальных трех моделей — в упрощенной линеа-ризованной постановке. Вопрос о корректной постановке и численнойреализации граничных условий рассматривался в рамках “граничнойзадачи Римана”.

Подробно анализируются численные результаты при трех способахзадания времени релаксации касательных напряжений:

1) время релаксации — константа, сохраняющая постоянное значе-ние независимо от напряженно-деформированного состояния среды;

2) время релаксации — кусочно-постоянная функция, изменяющая-ся скачком в зависимости от интенсивности касательных напряжений;

3) время релаксации — зависит от текущего напряженно-деформи-рованного состояния, причем вид интерполяционной формулы опреде-ляется из анализа дислокационной кинетики пластического деформи-рования.

Независимо от формы задания времени релаксации в решении мож-но выделить (начальную) нестационарную и стационарную стадии вструктуре волнового решения. На нестационарной стадии всегда на-блюдается структура “упругий скачок — релаксационная зона”. В упру-гом скачке происходит одноосное сжатие среды; за упругим скачком,вследствие релаксации касательных напряжений, среда переходит кизотропному напряженно-деформированному состоянию. Амплитудаупругого скачка непрерывно уменьшается либо до нулевого значения(в случае 1), либо до величины упругого предела Гюгонио (в случаях2, 3). Релаксационная зона с течением времени либо превращается вразрыв, либо остается областью непрерывного изменения параметровтечения. В предельных ситуациях, когда время релаксации обращаетсяв нуль, или в бесконечность, волна вырождается в чисто гидродинами-ческий или чисто упругий скачок, скорость распространения которыхзависит от интенсивности волны и определяется соответствующими со-отношениями на разрывах. В иных ситуациях максвелловская средаведет себя подобно упругопластической среде Прандтля — Рейса.


1. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М: Наука, 1978.

105


Расчет крупномасштабных электрических полейв атмосфере Земли

Calculation of the large scale electric fieldsin the Earth’s atmosphere

Денисенко В.В., Помозов Е.В.

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск,Россия; [email protected]

Основная часть электрического поля, наблюдаемого вблизи поверх-ности Земли, обусловлена разностью потенциалов между Землей иионосферой. При моделировании крупносмасштабного поля атмосферарассматривается как проводник с заданным на основе эксперименталь-ных данных пространственным распределением проводимости. Поверх-ность Земли считается идеальным проводником. На верхней границыатмосферы задается распределение потенциала, имеющееся в ионосфе-ре.

Получающаяся трехмерная задача Дирихле для уравнения элек-тропроводности решается численно. При численном решении задачиобласть разрезается на криволинейные подобласти, в каждой из ко-торых узлы сетки нумеруются как в параллелепипеде. В ячейке сет-ки, имеющей восемь вершин, строятся вспомогательные узлы в центрекаждой из шести граней и в центре ячейки, после чего ячейка есте-ственным образом разбиваются на 24 тетраэдра, и строятся кусочно-линейные аппроксимирующие функции. Уравнения для узловых зна-чений потенциалов получаются как условия минимума функционалаэнергии. Уравнения такой вариационно-разностной схемы в частномслучае прямоугольной сетки близки к уравнениям, получающимся притрилинейных аппроксимирующих функциях. Построенная система ли-нейных алгебраических уравнений решается многосеточным методом.Симметрия и положительная определенность матриц для укрупнен-ных сеток сохраняется за счет использования при построении правыхчастей и уравнений операторов, сопряженных к операторам интерпо-ляции. Сохраняется также сопряженно-факторизованный вид матриц.

Хотя горизонтальные масштабы на два порядка превышают верти-кальный размер атмосферы, расчеты приходится вести с шагами сетки,

106


примерно одинаковыми во всех трех направлениях. При сильно вытя-нутых ячейках сетки в используемой вариационно-разностной схеме по-являются отрицательные коэффициенты, и как следствие, замедляет-ся сходимость итераций, и для решения перестает быть справедливымпринцип максимума. Такой недостаток есть и при использовании пря-моугольных сеток и трилинейных аппроксимирующих функций. Еслиограничиться моделью шарового слоя, предпочтительно использоватьне вариационно-разностную схему, а классическую разностную схемув сферических координатах, которая свободна от указанного недостат-ка при произвольном соотношении шагов по радиусу и по сфериче-ским углам. Тот факт, что атмосфера является тонким слоем, позво-ляет вести расчеты в сравнительно небольших областях, задавая на ихдополнительных вертикальных границах приближенное распределениепотенциала, вычисленное в рамках одномерной модели. Таким путемреализуется метод декомпозиции с налеганием подобластей, причем до-полнительные итерации не требуются.

Рассчитаны типичные пространственные распределения электриче-ских полей и токов в атмосфере Земли. Используемый численный ме-тод решения задачи электропроводности позволяет учесть неоднород-ности проводимости и рельеф поверхности Земли, однако в проведен-ных расчетах атмосфера рассматривалась как шаровой слой. Проводи-мость полагалась экпоненциально возрастающей с высотой. Рассмот-рено также влияние существенного уменьшения проводимости в при-земном слое. В ионосфере задавалcя постоянный электрического по-тенциал относительно Земли, а также распределения потенциала, ха-рактерные для спокойных геомагнитных условий и для суббурь.

При выбранной модели проводимости и равном 300 кВ потенциалеионосферы электрическое поле вблизи поверхности Земли вертикальнои достигает 110 В/м. При разности значений потенциала 60 кВ в поляр-ной шапке ионосферы в атмосфере получаются возмущения электри-ческого поля с вертикальной компонентой до 13 В/м, максимальныевблизи поверхности Земли.

При горизонтальных масштабах ионосферного поля более ста ки-лометров вертикальную компоненту электрического поля вблизи по-верхности Земли можно вычислять в рамках одномерной модели. Рас-пределения полей и токов в верхней атмосфере могут быть полученытолько из трехмерной модели.

107


Моделирование влияния условий нагруженияна режимы распространения твердофазной

химической реакцииModelling of loading conditions influence on behavior

of solid–phase chemical reaction propagation

Евстигнеев Н.К.1, Князева А. Г.2

1Томский государственный университет, Томск, Россия;[email protected]

2Институт физики прочности и материаловедения СО РАН,Томск, Россия; [email protected]

Реакции с участием твердых тел широко распространены в при-роде и технике. Они представляют чрезвычайную важность в химиии технологии многих материалов, в металлургии. Для их осуществле-ния требуются особые условия, которые способствуют инициированиюи ускорению превращений. Для поиска путей управления реакциямив твердой фазе анализируют различные обратные связи между раз-личными физическими явлениями. Например, возникающие в твердыхтелах в ходе превращений механические напряжения могут влиять наскорость химических реакции как прямо, так и косвенно [1]. Это при-вело к появлению такого научного направления как синтез материаловв условиях нагружения.

В целом, в литературе имеются отдельные публикации, посвящен-ные моделированию реакций в твердой фазе в условиях квазистати-ческого нагружения [2, 3]. Но целенаправленного теоретического ис-следования влияния условий нагружения на режимы твердофазныхпревращений не проводилось.

В настоящей работе представлена связанная модель “термо-массо-вязкоупругости”, учитывающая взаимовлияние полей температуры, на-пряжений, деформаций и концентраций, меняющихся в ходе химиче-ской реакции. Выписаны основные уравнения баланса и определяющиесоотношения. В качестве примера исследуется модель распространениятвердофазного химического превращения в пластине в условиях растя-жения в направлении, перпендикулярном фронту, в условиях сжатияи в условиях сдвига. В модели учтено, что механические напряжениямогут влиять на скорость химической реакции по разным каналам.

108


В свою очередь, кроме внешней нагрузки, в системе возникают внут-ренние напряжения, которые также оказывают влияние на химическоепревращение. Прикладная сторона таких задач заключается в изуче-нии влияния эффекта связанности и величины внешней нагрузки нарежимы превращения.

Полагая, что характер распределения температуры и концентрацийв каждый момент времени известны, задачу о механическом равнове-сии нагружаемой пластины в некоторых простых случаях можем иссле-довать отдельно. Решение связывает компоненты тензоров напряженийи деформаций, отличные от нуля, с температурой, степенью превраще-ния и величиной приложенной нагрузки.

Далее с помощью специально составленной программы и разрабо-танного численного алгоритма проводится исследование системы урав-нений баланса тепла и химической кинетики, в которых учтено реше-ние задачи о механическом равновесии.

Результаты расчетов показали, что возникающие в ходе превраще-ния напряжения и деформации играют существенную роль в динамикепроцесса.


1. Болдырев В.В., Чупахин А.П., Сидельников А.А. Влияние возникаю-щих при твердофазных превращениях механических напряжений на ихкинетику. I. Общий подход // Изв. СО АН СССР. Сер. хим. наук. 1985.Т. 17, вып. 6. С. 31–38.

2. Ковалев О.Б., Петров А.П., Фомин В.М. Горение смесевого твердоготоплива в условиях статических механических растягивающих напряже-ний // Физика горения и взрыва. 1993. 4. С. 20–28.

3. Ковалев О.Б., Петров А.П., Фомин В.М. О влиянии напряженно-деформированного состояния на скорость горения гетерогенных конден-сированных систем // Докл. АН. 1993. Т. 328, 6. С. 709–712.

109


Об одной задаче аппроксимациидинамических процессов

On one approximation problemof the dynamical processes

Егоршин А.О.


1. Изучается следующая обратная задача математического модели-рования [1]: кусочно-линейно-стационарная аппроксимация и иденти-фикация [2] динамических (наблюдаемых, желаемых и т. д.) процессовна равномерной решётке в конечных интервалах (скользящих или по-следовательно сопрягаемых). В связи с этим рассматривается следую-щая вариационная задача аппроксимации финитной последовательно-сти отсчётов y = yiN+n

0 ∈ l2[0, N +n] некоторой функции y ∈ H2[0, T ]решениями y = yiN+n

0 обыкновенного, линейного, с постоянными ко-эффициентами (для простоты однородного и скалярного) разностногоуравнения: минимизировать по α = αin

0 и по y величинуJ = ‖y − y‖2l2 , если pα(s)yk =

∑n0 yk+iαi = 0, αn 6= 0, (∗)

где s — оператор сдвига: syk = yk+1, k = 0, . . . , N .Отсюда следует, что таким образом решаются также задачи моде-

лирования и идентификации обыкновенных дифференциальных урав-нений (ДУ), а также их соответствующей дискретизации: ДУ→РУ.

Нетрудно видеть, что сформулированная вариационная задача естьзадача проецирования исходной реализации y (отсчётов решения ДУ)на множество решений различных РУ с произвольными неизвестнымикоэффициентами α из некоторого допустимого их множества.

Автором предложен эффективный метод минимизации этого функ-ционала [2, 3]. Он допускает учёт априорных линейных ограниченийна коэффициенты РУ (принадлежность их некоторой гиперплоскости).Особенностью вычислительного метода является также то, что вычис-ления, связанные с прогонкой и проецированием осуществляются наоснове уравнений встречных процессов ортогонализации [1, 3, 4].

2. Пусть X = XN+n = xiN+n0 = U ix0N+n

0 — однородная си-стема векторов в H2 c изометрическим оператором U , Πk = Πk(X) =

110


Π0,k(X) = I − Pk — ортопроектор на ортогональное дополнениеM = S(X)ª S(Xk). Пусть Π−1 = Πk+1,k = I, f0 = f0 = x0.

Положим: fk+1 = Πkxk+1, fk+1 = Π1,k+1x0, k = −1, N − 1 — ортого-нализующие векторы k+1–го шага двух встречных процессов ортогона-лизации Грама — Шмидта. Заметим: Πk+1(·) = Πk − fk+1ak+1( · , fk+1),Πk+1(·) = Π1,k+1−fk+1ak+1( · , fk+1), где ak = (fk, fk)−1, ak = (fk, fk)−1

и a0 = a0 = (x0, x0)−1.Теорема 1. Справедливы следующие уравнения рекуррентного вы-

числения векторов fk, fk, k = 0, N − 1 и проекторов Π системы X:fk+1 = Ufk − fkθk+1, fk+1 = fk − Ufkθk+1

где θk+1 = akµk+1, θk+1 = akµ∗k+1, µk+1 = (fk, Ufk),причём ak+1 = (I − θk+1θk+1)−1ak, ak+1 = (I − θk+1θk+1)−1ak.

Теорема 2. Пусть x0 = py0 =∑n

0 yiγi =∑n

0 U iy0γi. Тогда XN =pYN , M = S ªXN и встречные процессы ортогонализации однородной(изометрической) системы X удовлетворяют уравнениям теоремы 1, апоследовательность координат ϕi любого элемента ϕ из M (и толькоиз M) удовлетворяет уравнению

∑n0 ϕk+iγ

∗i = 0, k = 0, N .

3. Коэффициенты γ∗i могут быть комплексными и m× l-матричны-ми. Если m > 1, то РУ в теореме 2 есть система m уравнений. Еслиl > m, — она неоднородна. Тогда γ∗i = |α∗i , β∗i |∗, α ∈ (m×m), detαn 6= 0(см. (∗)), β ∈ (m × (l −m)). Задача усложняется из-за некоммутатив-ности этих матриц и требует специальных приёмов [2]. При итерацияхпо γ возможно использование линейных ограничений на этот вектор.

Если m = 1, т. е. αi и βi — скаляры, то θ = θ∗, a = a, — скаляры иak+1 = ak/(1−|θ|2). Дано и решение задачи дедискретизации: РУ→ДУ.

Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН (проект 85).


1. Yegorshin A.O. On one projection problem in Hardy space // Int. Conf. hon-oring Acad. Sergei K. Godunov “Mathematics in Applications”, Novosibirsk,Aug., 25–28, 1999. Abstracts. Novosibirsk: IM SB RAS. 1999. P. 159–161.

2. Егоршин А.О. Идентификация стационарных моделей в унитарном про-странстве // Автоматика и телемеханика. 2004. Т. 65, 12. С. 29–48.

3. Егоршин А.О. Об одном способе оценки коэффициентов моделирующихуравнений для последовательностей // Сиб. журн. индустр. математики.2000. Т. III, 2(6). С. 78–96.

4. Yegorshin A.O. Orthogonalization, factorization, and identification as to thetheory of recursive equations in linear algebra // Sib. Electron. Math. Rep.2007. V. 4. P. 482–503. http://semr.math.nsc.ru/v4/p482-503.pdf

111


Об одной разностной схеме подгонкидля сингулярно возмущенной задачи

On a finite difference fitting schemefor singulary perturbed problem

Емельянов К.В.


В сообщении рассматривается задача

εu′′ + x2a(x)u′ − b(x)u = f(x), u(0) = u(1) = 0, (6)

где x ∈ [0, 1], ε ∈ (0, 1], a(x) ≥ α > 0, b(x) ≥ β > 0. Предполагается, чтофункции a(x), b(x), f(x) достаточно гладкие на отрезке [0, 1]. Решениезадачи (1) обладает особенностью типа пограничного слоя экспоненци-ального вида порядка O(ε1/2) в окрестности точки x = 0.

Для приближенного решения задачи (1) предлагается разностнаясхема экспоненциальной подгонки на равномерной сетке ωh = xi :xi = ih, i = 0, N с шагом h = 1/N . Схема имеет вид

Λuh ≡ γi

uhi−1 − 2uh

i + uhi+1

h2+ a(xi)x2

i

uhi+1 − uh

i

h− b(xi)uh

i = f(xi), (7)

i = 1, N − 1, uh0 = uh

N = 0.

Выбор коэффициента

γi =B2

i h2

4 sh2(Bih/2ε), Bi =

√b(xi),

как и в схемах из работ [1, 2], определяется экспоненциальным видомпограничного слоя, которым обладает решение uε задачи (1). Легко ви-деть, что при заданных предположениях относительно коэффициентовзадачи (1), разностный оператор Λ обладает свойством монотонности.Используя это свойство оператора Λ, а также асимптотическое по εприближение решения задачи (1) показано, что uh при h → 0 стремит-ся к uε в точках сетки ωh равномерно относительно ε.

112


Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проекты 09-01-00173-a и 08-01-00260).


1. Ильин А.М. Разностная схема для дифференциального уравнения с ма-лым параметром при старшей производной // Мат. заметки. 1969. Т. 6,вып. 2. С. 237–248.

2. Шишкин Г.И., Титов В.А. Разностная схема для дифференциальногоуравнения с двумя малыми параметрами при производных // Числ. ме-тоды механики сплош. среды. 1976. Т. 7, 2. С. 145–155.

113


Возникновение конвекции в двухслойной системес деформируемыми поверхностями раздела

Formation of convection in two–layer systemwith deformable interfaces

Ефимова М.В.


Рассматривается система двух несмешивающихся несжимаемых теп-лопроводных смесей с общей поверхностью раздела y = 0, ограничен-ная твердой стенкой y = −l и свободной поверхностью y = l. Счита-ется, что сила тяжести отсутствует, на свободной поверхности влияниеПАВ не учитывается, на поверхностях раздела жидкость — жидкостьи жидкость — воздух действует поверхностное натяжение, линейно за-висящее от температуры и концентрации: σ0 − æ1(θ − θ0)− æ2(c− c0),где σ0, æ1, æ2 известные постоянные. Найдено состояние термодиф-фузионного равновесия этой системы.

Для изучения устойчивости равновесного состояния двух слоев жид-костей при условии деформации свободной границы выписаны уравне-ния малых возмущений стационарных течений. Решение полученнойзадачи ищем в виде нормальных волн

(U, V, P, T,K, R,R1) = (U(η), V (η), P (η), T (η),K(η), R, R1)exp(iαξ−iCτ).

Получена спектральная задача относительно декремента C, кото-рая решена численно методом ортогонализации С.К. Годунова, специ-ально адаптированным для решения задач с граничными условиямина твердой стенке и двух поверхностях раздела жидкость-жидкость ижидкость-газ. Для устойчивости равновесия по отношению к малымвозмущениям необходимо и достаточно, чтобы у всех собственных зна-чений C мнимая часть Ci была отрицательной. Определены областидлинноволновой устойчивости для некоторой системы бинарных сме-сей. Показано изменение области устойчивости при варьировании чис-ла Вебера и числа Марангони на поверхности раздела жидкость-жид-кость.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун-даментальных исследований (проект 08-01-00762) и СО РАН (интеграци-онный проект116).

114



1. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапилярная неустой-чивость. Новосибирск: Наука, 2000.

2. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейныхобыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1961.Т. 16, вып. 3. С. 171–173.

115


Программа расчета газодинамики H3TH3T code for gas dynamics simulation

Жуков В.Т.1, Феодоритова О.Б.2

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН,Москва, Россия; [email protected], [email protected]

В Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН ра-ботает многофункциональный программный комплекс H3T (в дальней-шем — программа) для решения нестационарных двумерных уравненийгазовой динамики на подвижных криволинейных сетках [1]. Областиприложения данной программы:— аэродинамические расчеты обтекания летательных аппаратов;— расчеты мишеней термоядерного синтеза в трехтемпературном при-ближении с учетом нейтронно-ядерных и термоядерных реакций;— моделирование эволюции протопланетного диска в рамках осесим-метричного течения газовой среды в гравитационном поле;— моделирование явлений волнообразования и сварки взрывом при вы-сокоскоростном соударении металлических пластин;— изучение процессов взрывного компактирования порошков.

Исследования по двум последним из вышеупомянутых приложенийпроведены под руководством С.К. Годунова.

Первая версия двумерной программы появилась в конце 1950-х го-дов [2]. Инициатором создания программы, во многом определившимнаправления ее развития, является С.К. Годунов. Программа работалана различных компьютерных и языковых платформах, а сейчас функ-ционирует на многопроцессорной системе и на персональных компью-терах. Первый параллельный код был создан в 1992 году для 100 - про-цессорной ЭВМ.

В программе реализована разностная схема для решения начально-краевых задач для системы нестационарных уравнений газовой дина-мики в переменных Эйлера. Схема предназначена для расчета плос-ких и oсесимметричных течений и ее главными принципами являютсявыполнение интегральных законов сохранения, адаптируемость к осо-бенностям течений, сохранение групповых свойств дифференциальнойзадачи, включая инвариантность схемы относительно группы враще-ний. Отметим, что неинвариантность схемы может приводить к замет-ному искажению физической картины. Примеры таких эффектов дают

116


задачи сжатия сферических термоядерных мишеней в условиях разви-тия гидродинамической неустойчивости, а также задачи моделирова-нии эволюции газопылевого протопланетного диска.

Для адаптации схемы к решению используются подвижные сетки,связанные с выделенными границами. Сетка строится на каждом шагепо времени либо интерполяцией, либо минимизацией вариационногофункционала.

Существенными этапами в развитии программы были реализацииоднотемпературной модели среды (1980-ые годы), трехтемпературноймодели (2000-ые годы). Недавние улучшения касаются алгоритмов рас-чета выделенных разрывов. Первоначально модификация относиласьк расчету ударных волн и заключалась во введении контролируемойискусственной вязкости в формулы расчета движения фронта волны(предложение С.К. Годунова). Этот новый метод успешно прошел про-верку на задаче обтекания сферы с отошедшей ударной волной, затембыл применен для расчета контактных границ при обжатии цилин-дрической мишени, где показал высокую эффективность (результатыН.М. Гиззаткулова).

В докладе отражен вклад авторов в развитие программы H3T, кото-рый включает разработку методов решения уравнения теплопроводно-сти [3]. Обсуждается также проблема построения блочно-структурныхквазиизометрических сеток [4]. Приводятся примеры расчетов.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 08-01-00144) и Советапо грантам Президента РФ (проект НШ-4292.2008.1)

ЛИТЕРАТУРА1. Методика численного моделирования двумерных нестационарных тече-

ний теплопроводного газа в трехтемпературном приближении в обла-стях сложной формы с подвижными границами (H3T). М.: ИПМ им.М.В. Келдыша РАН, 2008.

2. Годунов С.К., Забродин А.В., Прокопов Г.П. Разностная схема для дву-мерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания сотошедшей ударной волной // Журн. вычисл. математики и мат. физи-ки. 1961. Т. 1, 6. C. 1020–1050.

3. Жуков В.Т., Забродин А.В., Феодоритова О.Б. Метод решения нестаци-онарных двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностьюв областях сложной формы // Журн. вычисл. математики и мат. физи-ки.1993. Т. 33, 8. С. 1240–1250.

4. Godunov S.K., Feodoritova O.B., Zhukov V.T. On one class of quasi-isometric grids // Advances in Grid Generation, Ed. by O.V. Ushakova. NewYork: Nova Science Publishers, Inc., 2005. P. 53–68.

117


Двухсеточный метод решения эллиптическогосингулярно возмущенного уравнения

Two–grid method for an elliptic singularperturbed equation

Задорин А.И.

Омский филиал Института математики им. С.Л. СоболеваСО РАН, Омск, Россия; [email protected]

Известно, что при решении краевых задач двухсеточным методомможно сэкономить в числе арифметических действий, так как частьвычислений осуществляется на редкой сетке. В данной работе такойподход исследуется в случае сингулярно возмущенного эллиптическо-го уравнения. При использовании двухсеточного метода необходимо се-точное решение, найденное на редкой сетке, проинтерполировать в уз-лы исходной сетки. В случае функций с большими градиентами форму-лы, основанные на полиномиальной сплайн-интерполяции, могут при-вести к существенным погрешностям, поэтому сначала исследуем во-прос сплайн-интерполяции функций с погранслойной составляющей.

Пусть функция u(x, y) имеет представление:

u(x, y) = p(x, y) + γΦ(x) + θΨ(y), (x, y) ∈ D = [0, 1]2, (1)

где Φ(x),Ψ(y) — известные быстро растущие функции, p(x, y) — регу-лярная составляющая функции u(x, y), имеет равномерно ограничен-ные первые производные по x и y. Постоянные γ, θ не заданы. Представ-ление (1) характерно для решения двумерной задачи с пограничнымислоями. Пусть Ωh — равномерная сетка в области D:

Ωh = (xi, yj), 0 ≤ i ≤ N1, 0 ≤ j ≤ N2, h1 = xi − xi−1, h2 = yj − yj−1.Построим сплайн-интерполяционную формулу для функции u(x, y), за-данной в узлах сетки Ωh, точную на составляющих Φ(x), Ψ(y). Вы-полняя условия интерполяции для каждой ячейки Ji,j = [xi−1, xi] ×[yj−1, yj ], построим интерполянт uφ,ψ(x, y).

Лемма. Пусть функции Φ(x), Ψ(y) строго монотонны на каждомсеточном интервале. Тогда для каждой ячейки Ji,j

|uφ,ψ(x, y)− u(x, y)| ≤ 2max |p′x(s, r)|h1 + 2max |p′y(s, r)|h2, (s, r) ∈ Ji,j .

118


Рассмотрим краевую задачу:

εuxx + εuyy + a(x)ux + b(y)uy − c(x, y)u = f(x, y), (x, y) ∈ D, (2)

u(x, y) = φ(x, y), (x, y) ∈ Γ, Γ = D \D. (3)

Предполагаем, что функции a, b, c, f достаточно гладкие, причёмa(x) ≥ α1 > 0, b(y) ≥ α2 > 0, c(x, y) ≥ 0, ε ∈ (0, 1]. Известно, чтопри малых значениях ε решение задачи (2), (3) содержит пограничныеслои у границ x = 0, y = 0 и представимо в виде (1) при заданииΦ(x) = exp(−a(0)ε−1x),Ψ(y) = exp(−b(0)ε−1y).

Для численного решения задачи (2), (3) по каждой переменной мож-но использовать известную разностную схему А.М.Ильина на сетке Ωh.Пусть для краткости h1 = h2 = h. Запишем схему в операторном виде:

Lhuh = fh. (4)

Тогда для некоторой постоянной C1, не зависящей от ε,

maxi,j

∣∣∣uhi,j − u(xi, yj)

∣∣∣ ≤ C1h. (5)

Один из подходов к решению системы (4) — метод итераций, напри-мер, Зейделя или переменных направлений. Число итераций можно су-щественно сократить, если применить такую же разностную схему нагрубой сетке ΩH с шагом H. Выполняем итерации на сетке ΩH до вы-полнения неравенства maxi,j |u(m+1)

i,j −u(m)i,j | ≤ βH, β ≤ 1 — выбранная

постоянная. Далее, используя построенную сплайн-интерполяционнуюформулу, интерполируем найденное на грубой сетке решение в узлы ис-ходной сетки Ωh. На основании леммы 1 и оценки (5) заключаем, что врезультате сплайн-интерполяции мы находим начальное приближениедля решения задачи (4) с точностью O(H). Далее осуществляем ите-рации на исходной сетке, чтобы найти решение задачи (4) с точностьюO(h). Отметим, что в [1] изложенный метод рассмотрен для случаяобыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.


ЛИТЕРАТУРА1. Vulkov L.G., Zadorin A. I. Two-grid interpolation algorithms for difference

schemes of exponential type for semilinear diffusion convection-dominatedequations // Amer. Inst. Phys., Conf. Proc. 2008. V. 1067. P. 284–292.

119


О законах сохранения и термодинамике рабочегопроцесса высокотемпературных ГТД

On laws of conservation and thermodynamicsof high–temperature gas turbine engine working

process

Иванов М.Я.

Центральный институт авиационного моторостроенияим. П.И. Баранова, Москва, Россия; [email protected]

Начало изучению термодинамически согласованных законов сохра-нения механики сплошной среды было положено работами С.К. Году-нова на рубеже 60-х гг. прошедшего столетия [1]. Сходная проблема со-гласованности законов сохранения газовой динамики и термодинамикитеплового процесса остро встает при разработке современных высоко-температурных газотурбинных двигателей (ГТД). Практика их созда-ния наглядно демонстрирует тот факт, что теоретически рассчитанныена этапе проектирования параметры узлов и в целом всего двигателясущественно отличаются от экспериментально регистрируемых своихзначений на первых опытных образцах.

В настоящем докладе анализируются особенности согласования уз-лов горячей части двигателя в плане более аккуратного учета выпол-нения законов сохранения и термодинамики при подводе тепла к газо-вому потоку и при охлаждении горячих элементов двигателя. В первойчасти доклада кратко рассматривается важный вопрос о термодинами-чески согласованных законах сохранения без подвода тепла к газовомупотоку и охлаждения, во второй его части тот же вопрос рассматрива-ется при наличии интенсивного подвода тепла и охлаждения элементовгорячей части двигателя.

Полная система законов сохранения газовой динамики, состоящаяиз законов сохранения массы, импульса и энергии, позволяет получатьобобщенные решения, включающие наряду с классическими (гладки-ми) решениями также и соотношения на сильных разрывах. Для клас-сических (без разрывов) решений автоматически удовлетворяется до-полнительный закон сохранения — закон сохранения энтропии. Приналичии разрывного решения энтропия возрастает и указанный допол-нительный закон не выполняется. В этом случае происходит “рассея-

120


ние механической энергии” [2, 3] — часть кинетической энергии пе-реходит в тепло. Наличие универсального интегрирующего множите-ля 1/T позволяет количественно рассчитать (в силу первого и вто-рого начал термодинамики) приращение энтропии. Интересной и на-глядной иллюстрацией подобного рассеяния механической энергии слу-жит явление сонолюминесценции [4]. Тщательными исследованиямибыло продемонстрировано, что энергия сходящейся сферической удар-ной волны в газовом схлопывающемся пузырьке переходит в тепло ивызывает рассеивание энергии путем излучения (вспышка света в цен-тре схлопывающегося пузырька). Без учета эффекта рассеяния меха-нической энергии и ее излучения в виде вспышки света при рассмотре-нии схлопывающейся сферической ударной волны получаем решения сбесконечными значениями давления и температуры [5].

Во второй части доклада рассматривается вопрос термодинамиче-ски согласованных законов сохранения при наличии подвода тепла иохлаждения горячих частей двигателя. В докладе на конкретных при-мерах проектирования современных ГТД демонстрируется, каким об-разом следует согласовывать термодинамику теплового процесса с за-конами сохранения, описывающими движение рабочего тела по трактудвигателя.


1. Годунов С.К. Термодинамика газов и дифференциальные уравнения //Успехи мат. наук. 1959. Т. XIV, 5(89). C. 97–116.

2. Томсон В. О проявляющейся в природе общей тенденции к рассеяниюмеханической энергии // Второе начало термодинамики. М.-Л.: ГТТИ,1934. C. 180–182.

3. Клаузиус Р. Механическая теория тепла // Второе начало термодинами-ки / Под ред. А.К. Тимирязева. Изд. 2-е. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. C. 73–157.

4. Маргулис М.А. Сонолюминесценция // Успехи физ. наук. 2000. Т. 170, 3. C. 263–287

5. Крайко А.Н. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное силь-ное сжатие идеального газа // Прикл. математика и механика. 2007.Т. 71, 5. C. 744–760.

121


О разрывных решениях уравнений мелкой водына вращающейся притягивающей сфере

On discontinuous solutions of shallow water equationson the roating attractive sphere

Иванова А.В.1, Остапенко В.В.1, Черевко А.А.1,2,Чупахин А.П.1,2

1Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева, Новосибирск,Россия; [email protected]


Гидродинамика атмосферы, вследствие наличия двух дополнитель-ных факторов — вращения и притяжения — обнаруживает большуюсложность и богатство эффектов по сравнению с классической. Взаи-модействие этих двух сил удерживает сплошную среду на поверхностипланеты в состоянии равновесия в целом. Вместе с тем на фоне этогоравновесия происходят движения различных масштабов.

Модель мелкой воды, широко применяемая в физике атмосферыпредставляет собой гиперболическую систему дифференциальных урав-нений. Эта система рассматривается на компактном многообразии —вращающей притягивающей сфере. На важность изучения решений ги-перболических уравнений на таких многообразиях обращал вниманиеЛ.В. Овсянников (1976).

А.А. Черевко и А.П. Чупахин (2005) вывели уравнения мелкой во-ды на вращающейся притягивающей сфере из задачи со свободной гра-ницей для уравнений Эйлера подобно “плоской” модели мелкой воды.Основными предположениями в этом выводе являются малость вер-тикального масштаба (глубины H) по сравнению с радиусом сферы r(H << r) и пренебрежение вертикальным перемещением среды. По-следнее предположение эквивалентно рассмотрению в модели усред-ненной по глубине скорости, имеющей лишь касательную к сфере ком-поненту.

Данная система (подобно классической системе уравнений мелкойводы на плоскости) является гиперболической и поэтому допускает раз-рывные решения, для корректного описания которых, в соответствии

122


с общей теорией гиперболических систем, её необходимо сформулиро-вать как полную систему законов сохранения с выпуклым расширени-ем.

В работе уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающейсфере выводятся из интегральных законов сохранения массы и полногоимпульса, для которых закон сохранения полной энергии является вы-пуклым расширением. Он может быть использован для отбора устой-чивых прерывных волн как таких разрывных решений, на которых врамках теории мелкой воды происходит потеря энергии.

Выписаны условия Гюгонио на разрывах. Показано, что в клас-се простых стационарных волн реализуются, наряду с непрерывными,разрывные решения типа ударных волн, соответствующие повышениюпрофиля глубины в виде ступеньки — бора. Приводится схема постро-ения и примеры таких решений, соответствующие установившимся те-чениям на сфере со ступенчатым профилем глубины.

В рамках модели мелкой воды на вращающейся сфере решаетсязадача о разрушении плотины. Движение жидкости определено в сфе-рическом поясе, границами которого являются твердые стенки вдольпараллелей в северном и южном полушариях. Между этими граница-ми также вдоль параллели расположена “плотина”, по разные стороныот которой жидкость имеет различную глубину.

Начальное состояние равновесия жидкости на вращающейся сферезадается формулой h = h0 + r0

8f0sin2 θ, где r0 и f0 связаны с числами

Россби и Фруда, h – глубина жидкости, θ – дополнение до широты.После разрушения плотины наблюдается образование волн, кото-

рые движутся до твердой границы сферического пояса, отражаютсяот нее и движутся в обратном направлении до противоположной стен-ки, и так далее. Одним из этапов этого процесса служит появлениедвух волн, движущихся в противоположные стороны и сталкивающих-ся в районе экватора. После этого они расходятся к границам пояса изатем вновь сталкиваются до тех пор пока не затухнут. Процесс закан-чивается выполаживанием профиля глубины.

Эту задачу можно интерпретировать как последствия мгновенноготаяния ледников на одном или на обоих полюсах планеты.

Для численных расчетов используется разностная схема первого по-рядка.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ(проект 2.1.1/3543), СО РАН (интеграционный проект 40) и Российскогофонда фундаментальных исследований (проект 08-01-00047).

123


Бисингулярная начальная задача для системыобыкновенных дифференциальных уравнений

Bisingular initial problem for the systemof the ordinary differential equations

Ильин А.М.

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия;[email protected]

Доклад посвящён асимптотике решения начальной задачи

εdU

dt= f(t, U, V ),

dV

dt= g(t, U, V ),

U(0) = A, V (0) = 0,

где ε > 0 — малый параметр, U(t) = (U1(t), U2(t)) двумерная вектор-функция. Функция f(t, U, V ) достаточно гладкая. При t > 0 существуетрешение предельной системы уравнения U0(t), V0(t)

f(t, U0(t), V0(t)) ≡ 0,

dV0

dt= g(t, U0(t), V0(t)),

V (0) = 0,

которое устойчиво.Эта задача давно и достаточно хорошо изучена в том случае, ко-

гда условие устойчивости выполнено всюду при t > 0 [1]. Значительносложнее обстоит дело в ситуации, когда условие устойчивости нару-шается при t = 0. Именно этот случай рассматривается в докладе.Заметим, что даже для одного уравнения

εdU

dt= f(t, U)

124


в предположении нарушения условия устойчивости при t = 0 асимп-тотика решения весьма непростая. Она давно исследована в [2, гл. II,§ 3]. Для рассматриваемой здесь системы уравнений асимптотика зна-чительно усложняется. В частности, даже вдали от начальной точкиправильное асимптотическое разложение — это не ряд по степеням ма-лого параметра ε.

В окрестности начальной точки асимптотика решения имеет до-вольно сложную структуру. Рассматриваются внешнее асимптотиче-ское разложение решения и два пограничных разложения вблизи на-чальной точки, которые имеют разные масштабы. Только согласовани-ем этих рядов можно получить правильный вид асимптотики внешне-го разложения. Построено и обосновано равномерное асимптотическоеприближение решения с точностью до любой степени малого парамет-ра.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проекты 08-01-00260-а, 09-01-00530-а) и Совета по гран-там Президента РФ (проект НШ-2215.2008.1).


1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингу-лярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

2. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений крае-вых задач. М.: Наука, 1989.

125


Метод A–ортогонализации Арнольди иего применения

The Arnoldi A–orthogonalization method andits applications

Ильин В.П.


Метод ортогонализации Арнольди является средством построениябазисов подпространств Крылова при поиске собственных значенийили решении системы линейных алгебраических уравнений с несим-метричными разреженными матрицами высоких порядков. В даннойработе для решения рассматриваемых задач предлагается построениеитерационных процессов типа Арнольди на основе модифицирован-ной А-ортогонализации Грама — Шмидта и использование принципаГалеркина. Исследуются вопросы корректности различных вариантовалгоритма, приемы повышения устойчивости на основе апостериорнойинформации, а также оценки вычислительной сложности. Рассматри-ваются предобусловленные версии итерационных методов, технологииих распараллеливания и повышения производительности программ-ных реализаций на многопроцессорных вычислительных системах. Эф-фективность предложенных алгоритмов иллюстрируется результатамичисленных экспериментов на представительной серии методических за-дач.

126


О возможностях метода коллокаций инаименьших квадратов

On the collocations and least squaresmethod capabilities

Исаев В.И.1, Шапеев В.П.2


2Институт теоретической и прикладной механикиим. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, Россия;

[email protected]

Метод коллокаций и наименьших квадратов (КНК) — это проекци-онный метод численного решения уравнений математической физики.В нём расчётная область покрывается сеткой, а решение в каждой еёячейке представляется в виде линейной комбинации базисных функ-ций. Коэффициенты разложения решения по базису находятся из пере-определенной системы линейных алгебраических уравнений (вспомога-тельной СЛАУ), состоящей из коллокаций уравнений исходной задачи,условий согласования и граничных условий. Применение переопреде-ленных систем в методе КНК дает зачастую вспомогательную СЛАУ,обусловленную лучше, чем при использовании метода коллокаций безнаименьших квадратов. При этом в нём не применяются такие прие-мы, как внесение в уравнения исходной задачи искусственной вязкости,искусственной сжимаемости и другие.

В данной работе созданы новые варианты метода КНК для урав-нений Навье — Стокса. Компоненты скорости и давления аппроксими-руются в них полиномами второго порядка. Базисные функции выби-рались таким образом, чтобы для них в каждой ячейке тождествен-но удовлетворялось уравнение неразрывности. Для демонстрации воз-можностей новых вариантов здесь используется задача о течении вяз-кой несжимаемой жидкости в каверне с движущейся верхней крышкой.Наличие большого количества результатов различных исследователей,опубликованных в виде таблиц, сделало её эталонным тестом для мето-дов решения уравнений Навье — Стокса. Возможности метода расши-рялись здесь за счет применения ортогональных алгоритмов линейнойалгебры и выбора параметров метода (КНК), основанного на резуль-татах исследования их влияния на обусловленность вспомогательной

127


СЛАУ и другие его свойства. Для ускорения сходимости итераций ре-шения вспомогательной СЛАУ в данной работе применялся алгоритм,в котором в ходе итерационного процесса к текущему приближениюдобавлялась поправка из подпространства Крылова [1, 2]. Показано,что он является обобщением известного δ2-процесса Эйткена.

Реализованные здесь улучшения метода КНК позволили проводитьрасчеты на однопроцессорных ПЭВМ на сетках с числом ячеек до1280 × 1280 включительно (число неизвестных метода на такой сетке∼ 25 · 106). За счет исключения главных членов асимптотик особенно-стей решения в верхних углах области удалось добиться дополнитель-ного существенного повышения точности расчета течения в каверне.Полученные здесь результаты для этой эталонной задачи совпадаютс найденными высокоточными методами [3–5] с точностью выше, чем10−6 при Re=100 и Re=1000. Применение мелких сеток позволило вы-явить подробные детали вихревой структуры течения. Так, например,в расчете течения при Re=7500 впервые обнаружен слабый угловойвихрь BR4 (согласно обозначениям, принятым в [6]).

Всё это свидетельствует о хороших возможностях метода КНК длячисленного моделирования течений вязкой жидкости и его использо-вания для решения сложных прикладных задач.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-08-00249-а) и СО РАН (интеграционный проект 26).


1. Слепцов А.Г. Об ускорении сходимости линейных итераций // Модели-рование в механике. Новосибирск, 1989. Т. 3(20), 3. С. 132–147.

2. Saad Y. Numerical methods for large eigenvalue problems. Manchester Uni-versity Press, 1991.

3. Botella O., Peyret R. Benchmark spectral results on the lid-driven cavityflow // Comput. Fluids. 1998. V. 27, N 4. P. 421–433.

4. Гаранжа В.А., Коньшин В.Н. Численные алгоритмы для течений вязкойжидкости, основанные на консервативных компактных схемах высокогопорядка // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1999. Т. 39, 8.С. 1378–1392.

5. Shapeev A., Lin P. An asymptotic fitting finite element method with expo-nential mesh refinement for accurate computation of corner eddies in viscousflow // SIAM J. Sci. Comput. 2009. V. 31, N 3. P. 1874–1900

.

6. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T. High-Re solutions for incompressible flowusing the Navier–Stokes equations and a multigrid method // J. Comput.Phys. 1982. N 48. P. 387–411.

128


Обобщенная задача Коши для квазилинейнойсистемы и некоторые ее приложения в механике

сплошных сред

Generalized Cauchy problem and some its applicationsin continuum mechanics

Казаков А.Л.

Институт динамики систем и теории управления СО РАН,Иркутск, Россия; [email protected]

Исследование начально-краевых задач для нелинейных систем диф-ференциальных уравнений с частными производными является акту-альной и содержательной задачей, как с точки зрения “чистой” ма-тематики, так и в связи с их содержательными приложениями (см.,например, [1]).

Рассматривается начально-краевая задача специального вида дляквазилинейных дифференциальных уравнений с частными производ-ными, которую мы, следуя Н.А. Ледневу [2], называем обобщеннойзадачей Коши (ОЗК). Отличие ОЗК от задачи Коши в традиционнойпостановке состоит в том, что начальные (граничные) условия для раз-ных функций ставятся не на одной, а на двух или более поверхностях.От смешанной задачи ОЗК отличается тем, что для каждой искомойфункции ставится единственное условие. Ранее ОЗК с данными на двухповерхностях рассматривалась, в работах С.Л. Соболева [3, 4] и некото-рых других авторов. Некоторые приложения ОЗК в механике сплош-ных сред (в газовой динамике) рассмотрены В.М. Тешуковым (см.,например, [5]).

В данном исследовании для ОЗК с данными на двух и на трех по-верхностях, в том числе с особенностями, доказаны новые, не попада-ющие под действие доказанных ранее [2–5], теоремы существования иединственности решения в классе аналитических функций. Некоторыеиз доказанных теорем применяются для построения течений идеаль-ного политропного газа с ударными волнами, в том числе вблизи оси(центра) симметрии, где система уравнений газовой динамики имеетособенность вида 1/r.

ЛИТЕРАТУРА1. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М: Изд-во МГУ, 1966.

129


2. Леднев Н.А. Новый метод решения дифференциальных уравнений счастными производными // Мат. сб. 1948. Т. 22(64), вып. 2. С. 205–266.

3. Соболев С.Л. Об аналитических решениях систем уравнений в частныхпроизводных с двумя независимыми переменными // Мат. сб. 1931. Т. 38,вып. 1–2. C. 107–147.

4. Соболев С.Л. К вопросу об аналитических решениях систем уравнений вчастных производных с двумя независимыми переменными // Тр. Физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1934. Т. 5. C. 265–282.

5. Тешуков В.М. О регулярном отражении ударной волны от жесткой стен-ки // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46, вып. 2. C. 225–234.

130


Сингулярное разложение оператора продольноголучевого преобразования векторных полей в шареSingular value decomposition of the longitudinal x-ray

transform of vector fields in the ball

Казанцев С. Г.


Обозначим единичный шар и единичную сферу в R3 через B3 и S2,соответственно. Пусть векторное поле a(x) = (a1, a2, a3)T есть вектор-функция, определенная в B3. Продольным лучевым преобразованиемвекторного поля a(x) называется функция g(ξ, θ), определенная напрямом произведении S2 × S2 по формуле (см. [1])

g(ξ, θ) =

0∫

−2ξ·θ

θ · a(ξ + pθ) dp,

где · обозначает скалярное произведение, а интегрирование ведетсяпо прямой, которая проходит через некоторую точку сферы ξ ∈ S2 снаправляющим вектором θ.

Данное преобразование будем рассматривать как линейный опера-тор

D : a(x) → g(ξ, θ),

действующий в гильбертовых пространствах L2(B3) и L2(S2 × S2).Задача векторной томографии состоит в построении обратного опе-

ратора D−1 (псевдообратного D†), т. е. в определении (восстановле-нии) векторного поля a(x), если его продольное лучевое преобразо-вание g(ξ,θ) известно. Так как оператор D− компактный, то задачаDa = g относится к классу некорректных задач. Другая особенностьоператора D состоит в том, что потенциальные векторные поля образу-ет ядро этого оператора. Поэтому по лучевому продольному преобра-зованию можно восстановить только соленоидальную часть векторногополя, см. [1].

Одним из естественных методов исследования задачи Da = g скомпактным линейным оператором является метод сингулярного раз-ложения (SVD). В данной работе построено сингулярное разложение

131


для оператора D — продольного лучевого преобразования векторныхполей, заданных в шаре. Для построения SVD-разложения были ис-пользованы базисные элементы B(n)

n+1−2k,l, k = 0, 1, ...[n/2], |l| ≤ n +

1 − 2k; C(n)n−2k′,l′ , k′ = 0, 1, ...[n − 1/2], |l′| ≤ n − 2k′ — ортогональ-

ные полиномиальные соленоидальные векторные поля в шаре, полу-ченные в работе [2]. Вычисление оператора D на базисных элементахB(n)

n+1−2k,l и C(n)n−2k′,l′ проводилось с использованием биполярных сфе-

рических гармоник, см [3]. Получены точные формулы для соответ-ствующих сингулярных чисел σ(B(n)

n+1−2k,l); σ(C(n)n−2k′,l′), а также вы-

числена их асимптотика (скорость убывания при n →∞). Построенноесингулярное разложение оператора D позволяет получить псевдообрат-ный оператор D† и метод регуляризации задачи Da = g, основанныйна операторах ортогонального проектирования.

В работе [4] сингулярное разложение было получено для операторалучевого преобразования скалярной функции. В работах [4, 5] предло-жены другие подходы к решению задачи векторной томографии.



1. Sharafutdinov V.A. Integral geometry of tensor fields. Utrecht: VSP, 1994.2. Derevtsov E.Yu., Kazantsev S. G., Schuster Th. Polynomial bases for sub-

spaces of vector fields in the unit ball. Method of ridge functions // J. Inv.Ill-Posed Probl. 2007. V. 15, N 1. P. 19–55.

3. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теорияуглового момента. Л.: Наука, 1975.

4. Maass P. The x-ray transform: singular value decomposition and resolution //Inv. Probl. 1987. N 3. P. 729–741.

5. Balandin A. L., Ono Y. The method of series expansion for 3-D vector tomog-raphy reconstruction // J. Comput. Phys. 2005. V. 202. P. 52–64.

6. Denisjuk A. Inversion of the x-ray transform for 3D symmetric tensor fieldswith sources on a curve // Inv. Probl. 2006. V. 22, N 2. P. 399–411.

132


Параллельная реализация метода решеточногоуравнения Больцмана для задач гидродинамики

Parallel realization of a lattice Boltzmann methodfor problems of hydrodynamics

Каменщиков Л.П.

Институт вычислительного моделирования СО РАН,Красноярск, Россия; [email protected]

Метод решеточного уравнения Больцмана или Lattice BoltzmannMethod (LB-метод) [1, 2] является сравнительно новым численным ме-тодом решения задач механики жидкости и газа для существенно до-звуковых (как правило) течений. Первые работы появились за рубе-жом 15–20 лет назад, и тех пор число ежегодных публикаций тольконарастает. Популярности метода способствует ряд причин: (1) простойвид исходных дифференциальных уравнений: присутствуют производ-ные только первого порядка, причем искомая функция входит в нихлинейно, а нелинейность имеется только в источнике алгебраическоговида; (2) в силу “локальности” расчетов метод легко реализуется на па-раллельных ЭВМ; (3) LB-метод находит широкую сферу практическихприложений: рассматриваются течения со сложной формой границ, втом числе, в пористых средах и микроструктурах, многокомпонентныеи многофазные потоки, для течений типа мелкой воды, при изучениитурбулентности, электрогидродинамики, течения при наличии тепло-обмена, химических реакций и др.

Если в традиционных численных методах решаются уравнения На-вье-Стокса относительно скорости, плотности и т. п., то в LB-методевводится ряд так называемых “заселенностей” fm ≡ fm(~r, t), являю-щихся функциями распределения числа частиц, движущихся со скоро-стью ~ξm. Решетка векторов ~ξm, m = 1, . . . ,M предварительно фик-сируется. В эту решетку обязательно включается и нулевой вектор.Считается, что частицы могут перелетать из одного узла простран-ственной сетки в соседний узел, а также сталкиваться между собой вузлах. Эволюцию заселенностей можно записать, например, в такомвиде:

fm(~r + ~ξmδt, t + δt) = fm(~r, t) +δt

τ(f (0)

m − fm), m = 1, . . . , M,

133


где ~r — координата по пространству, δt — шаг по времени, τ — времярелаксации (задано), f

(0)m = f

(0)m (ρ(~r, t), ~u(~r, t)) — равновесная функция

распределения. Плотность и скорость течения находятся суммирова-нием по решетке: ρ(~r, t) =

∑Mm=1 fm(~r, t), ρ~u(~r, t) =

∑Mm=1

~ξmfm(~r, t).Распараллеливание позволяет проводить расчеты на больших по

количеству узлов сетках. В докладе приводятся ряд тестовых приме-ров. Так, для трехмерного течения вязкой несжимаемой жидкости впрямом канале квадратного сечения на сетке 8192 × 256 × 256 и прииспользовании 1024 процессоров для выполнения тысячи шагов по вре-мени потребовалось около 15-ти минут машинного времени. При этомкаждый процессор обрабатывал свой небольшой параллелепипед ви-да 128× 64× 64, периодически обмениваясь информацией с соседнимипроцессорами. Решетка состояла из M = 19 векторов.

Отдельную самостоятельную задачу составляет обработка и визуа-лизация результатов многопроцессорных расчетов на больших сетках.Для рисунков, касающихся всей области, приходится интерполироватьданные с большой частой сетки на грубую. Либо же в большой сеткевыделять маленький кусок, чтобы только в нем нарисовать “тонкуюструктуру” потока, крутые градиенты каких-то функций и т. п.

Для распараллеливания вычислений использовали язык Fortran-DVM, разработанный в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН [3]. Расчетыпроводились на кластере МВС-100К (МСЦ РАН), у которого более 9тысяч процессоров.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований(проект 08-01-00621), а также Программами фундаментальных исследова-ний СО РАН.


1. Succi S. The lattice Boltzmann equation for fluid dynamics and beyond. NewYork: Oxford University Press, 2001.

2. Sukop M.C., Thorne D.T., Jr. Lattice Boltzmann modeling: an introductionfor geoscientists and engineers. Berlin: Springer, 2007.

3. Коновалов Н.А., Крюков В.А., Михайлов С.Н., Погребцов А.А. Fortran-DVM — язык для разработки мобильных параллельных программ //Программирование. 1995. 1. С. 49–54.

134


Образующие левых идеалов кольцадифференциальных операторов и преобразованиерешений уравнений с частными производными

Left ideal generators of differentiation operator ringand transformation of solutions of partial differential

equations

Капцов О.В.


В данной работе рассматривается кольцо F [∂1, ∂2] линейных диф-ференциальных операторов с коэффициентами из некоторого поля F ,порожденное двумя дифференцированиями ∂1, ∂2 и единицей поля F .Множество операторов, аннулирующих элементы u1, . . . , up ∈ F , обра-зует левый идеал Ann(u1, . . . , up). Доказано, что если два оператораL,M (порядков n и m соответственно) аннулируют k = nm элементовu1, . . . , uk, то они являются образующими левого идеала Ann(u1, . . . , uk).При этом дополнительно требуется, чтобы характеристические много-члены операторов L, M не имели общих множителей. Показано, что дваоператора порядков n и m, характеристические многочлены которых неимеют общих множителей, не могут одновременно аннулировать болееnm элементов поля F . Если задано уравнение второго порядка Lu = 0,имеющее 2n решений u1, . . . , u2n, то можно построить оператор M по-рядка n, аннулирующий те же элементы u1, . . . , u2n. При выполненииуказанных выше условий оператор M переводит решения уравненияLu = 0 в решения другого уравнения второго порядка.

Приведенная конструкция используется для построения решенийгиперболических и параболических уравнений с переменными коэф-фициентами, описывающих линейные волны в неоднородной среде.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 07-01-00489) и СО РАН (интеграционный проект 103).

135


Исследование эффективности параллельныхреализаций МКЭ для краевой задачи

для уравнений мелкой воды

A study of efficiency of parallel realization of FEMfor boundary problem of shallow water equations

Карепова Е.Д.1, Шайдуров В.В.2

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск,Россия; [email protected], [email protected]

Модели мелкой воды хорошо описывают большой круг природныхявлений, таких как крупномасштабные поверхностные волны, возника-ющие в морях и океанах, цунами, приливные течения, поверхностныйи русловой сток, гравитационные колебания поверхности океанов [1, 2].В работах [2–4] рассмотрено численное моделирование поверхностныхволн в больших акваториях с учетом сферичности Земли и ускоре-ния Кориолиса на основе уравнений мелкой воды. В [2] для дифферен-циальной постановки задачи выведены полезные априорные оценки,обеспечивающие устойчивость решения и однозначную разрешимостьзадачи. В [3, 4] для этой же задачи построен метод конечных элемен-тов, для которого получены необходимые априорные оценки. Там жеприведены результаты численных экспериментов на модельных сетках,для акваторий Охотского моря и Мирового океана.

В настоящей работе описано исследование эффективности парал-лельных реализаций алгоритма численного решения краевой задачидля уравнений мелкой воды, выполненных с помощью библиотеки MPIдля языка Cи. Первый подход основан на декомпозиции расчетной об-ласти без перекрытия подобластей, второй — на декомпозиции с тене-выми гранями. Даны теоретические оценки ускорения параллельныхалгоритмов.

Представлены результаты численных экспериментов на модельнойсетке и неструктурированной сетке для акватории Охотского моря.Приведены сравнительные результаты ускорения вычислений в зави-симости от количества процессов, способа реализации коммуникаций,способа декомпозиции вычислительной области.

Исследования проведены на высокопроизводительных системахдвух архитектур — гетерогенного кластера МВС-100 собственной сбор-ки Института вычислительного моделирования СО РАН и кластера

136


Томского государственного университета Cyberia семейства СКИФ. По-казана зависимость эффективности распараллеливания от конфигура-ции вычислительной системы.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун-даментальных исследований (проект 08-01-00621-а) и Совета по грантамПрезидента РФ (проект НШ-3431.2008.9).


1. Марчук Г.И. Динамика океанских приливов. Л.: Гидрометиздат, 1983.2. Agoshkov V. I. Inverse problems of the mathematical theory of tides:

boundary-function problem // Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 2005.V. 20, N 1. P. 1–18.

3. Kamenshchikov L. P., Karepova E.D., Shaidurov V.V. Simulation of surfacewaves in basins by the finite element method // Anal. Math. Model. 2006.V. 21, N 4. P. 305–320.

4. Kamenshchikov L. P., Karepova E.D., Shaidurov V.V. Numerical solutionof the boundary problem for shallow water equations for modelling surfacewaves in world ocean by finite elements methods // Finite Difference Methods:Theory and Applications. Proc. of Fourth Int. Conf. FDM:T&A’06. Bulgaria:Rousse, 2007. P. 227–233.

137


Эффект волнообразования на поперечныхперегородках при компактировании микропорошка

скользящей детонационной волнойEffect of wave formation on the transverse partitionsin the compaction micropowders by the sliding shock

wave

Киселев С.П.1, Киселев В.П.1, Мали В.И.2


[email protected]Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,

Новосибирск, Россия; [email protected]

В докладе представлены результаты эксперимента и математиче-ского моделирования процесса волнообразования на поперечных пере-городках при компактировании металлического микропорошка сколь-зящей детонационной волной. В работе [1] был обнаружен эффект вол-нообразования на поперечных перегородках из трансформаторной ста-ли при динамическом компактировании металлических микропорош-ков. Отмечено, что если перегородки изготовлены из других матери-алов (медь, алюминий и другие марки сталей), то волнообразованияне происходит. В работе [2] было проведено численное моделированиекомпактирования микропорошка скользящей детонационной волной споперечной перегородкой. Было показано [2], что при наличии началь-ных возмущений в перегородке происходит потеря устойчивости при еесжатии. При затекании пор в микропорошке происходит потеря проч-ности, поэтому начальные возмущения развиваются, что приводит кволнообразованию на перегородках.

В данной работе было проведено экспериментальное исследованиемикроструктуры материалов, использованных для изготовления пере-городок. Показано, что размер структурного микрозерна в трансфор-маторной стали на один-два порядка превосходит размеры микрозернав других материалах, упомянутых выше. Известно, что потеря устой-чивости при заданной сжимающей нагрузке происходит, если длинаволны начальных возмущений больше некоторого критического значе-ния. Поэтому возникло предположение, что волнообразование в пере-

138


городках из трансформаторной стали связано с большой длиной вол-ны начальных возмущений, пропорциональных размеру микрозерна.Для проверки этой гипотезы было проведено численное моделирова-ние компактирования микропорошка с перегородкой, в которых воз-мущения создавались начальным неоднородным распределением дис-локаций, моделирующим микрозерна.

Решение задачи разбивалась на два этапа. На первом этапе рас-считывались напряжения и деформации в перегородке, которые созда-вались неоднородным распределением дислокаций. Характерная дли-на волны в распределении дислокаций была порядка размера зернав трансформаторной стали. На втором этапе рассчитывалось ударно-волновое нагружение микропорошка с перегородкой, в которой име-лись микронапряжения и деформации, рассчитанные на первом этапе.Микропорошок моделировался в рамках модели пористого упругопла-стического тела, описанной в работе [2]. Расчеты показали, что в этомслучае происходит развитие начальных возмущений, которое приводитк образованию волн на перегородке. Если длина волны в начальномраспределении дислокаций уменьшалась в несколько раз, то волнооб-разования перегородки не происходило.

Таким образом показано, что причиной волнообразования перегоро-док из трансформаторной стали является наличие начальных возму-щений с длиной волны порядка нескольких сот микрометров. В резуль-тате сжатия перегородки в ударной волне и потери прочности в окру-жающем микропорошке при его компактировании, происходит потеряустойчивости, рост возмущений и волнообразование в перегородке. По-сле затекания пор прочность компакта восстанавливается и волнообра-зование в перегородке прекращается.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проект 08-01-00108) и СО РАН (интеграцион-ный проект 40).


1. Мали В.И., Калинин А.Н., Сергеев С.А. Исследование теплопроводностивзрывных компактов медь-молибден // Физика горения и взрыва. 2003.Т. 39, 1 С. 123–127.

2. Киселев С.П., Киселев В.П. Об эффекте волнообразования при ударно-волновом компактировании порошков // Прикл. механика и техн. физи-ка. 2006. Т. 47, 1. С. 119–130.

139


Термодинамически согласованные моделиоднофазной фильтрации

Thermodynamically coordinated modelsof single–phase filtration

Князева А. Г.

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН,Томск, Россия; [email protected]

Моделирование течений жидкостей и газов в пористых средах име-ет многочисленные технические приложения и возможно как на осно-ве осредненных моделей, так и с помощью моделей более сложных —двухтемпературных, неравновесных и др. Авторы большинства извест-ных работ, в том числе, использующих для обоснования термодинами-ку, пренебрегают явлениями теплового и концентрационного расшире-ния, химической и объемной вязкости. Существование названных яв-лений показывается в неравновесной термодинамике и может быть яв-но включено в модели фильтрации, если определяющие соотношениястроятся на ее основе.

Так, в рамках термодинамики необратимых процессов имеются двегруппы определяющих соотношений: обобщенные неравновесные урав-нения состояния, следующие непосредственно из уравнения Гиббса дляизучаемой среды, и уравнения для обобщенных термодинамических по-токов (потоков тепла, массы, скоростей химических реакций и вязкогодавления и др.), следующих из условия неотрицательности производ-ства энтропии и теории Онзагера (или ее обобщений на неравновесныеусловия).

Например, известно, что сжимаемость газов принципиальна по срав-нению с несжимаемостью твердого каркаса, а сжимаемостью жидко-стей можно пренебречь. Это имеет следствием два типа моделей од-нофазной фильтрации — модели фильтрации несжимаемой жидкостии модели фильтрации идеального газа, в рамках которых построенымногочисленные аналитические решения. Известно также, что учет вэтих моделях зависимостей проницаемости и вязкости от пористостии от давления приводит к моделям неидеальной фильтрации. Исполь-зование термодинамического уравнения состояния в дифференциаль-ной форме позволяет явно включить в модель фильтрации коэффици-

140


ент сжимаемости. Построенная таким образом модель включает в себяклассические модели.

В свою очередь, для слабо и сильно сжимаемых сред объемная вяз-кость проявляется по-разному. Имеются качественные различия в рас-пределении скорости и давления и в том случае, если коэффициентобъемной вязкости и коэффициент вязкости, входящий в закон Дарси(коэффициент трения), близки.

Явление концентрационного расширения есть следствие различиямольных объемов веществ, входящих в состав фильтрующейся сме-си. Противоположный этому явлению эффект бародиффузии связанс появлением дополнительной движущей силы для компонентов сме-си, вызванной наличием градиента давления и различной для разныхкомпонентов. Этот эффект не тождественен явлению различной ско-рости фильтрации различных фаз (которые могут быть и многокомпо-нентными) и имеет иную физическую природу. В этом случае имеют-ся два уравнения состояния — для давления (или удельного объема)и для химических потенциалов компонентов. Последние используют-ся для построения явной формы уравнения диффузии. В результатемодель фильтрации однофазной двухкомпонентной смеси оказываетсясущественно нелинейной и связанной и даже в самых простых случаяхможет быть проанализирована только численно (приемлемых анали-тических решений пока не найдено). Объемная вязкость вносит допол-нительные особенности.

В химии широко известно, что скорость реакции существенно зави-сит от подвижности среды. Тем не менее, не найдено ни одной работы,где бы это явление тщательно анализировалось. С другой стороны, влитературе имеются и указания на появление особенностей в теченияхсред с химическими реакциями, которые называют “химической вяз-костью”. Ни одной попытки измерить соответствующий коэффициент(явно присутствующий в термодинамических определяющих соотно-шениях) не обнаружено. Учитывая оба названных явления, приходимк моделям, ограничения на коэффициенты которых непосредственноследуют из термодинамической теории.

Следует отметить, что построенные таким способом модели не яв-ляются гиперболическими. Чаще всего это системы уравнений, тип ко-торых зависит от области изменения физических параметров.

141


Численное моделирование задачаэрогидродинамики на основе метода расщепленияNumerical simulation of aerodynamical problems

based on splitting method

Ковеня В.М., Базовкин А.В., Слюняев А.Ю.

Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск,Россия; [email protected]

Уравнения Навье — Стокса сжимаемого теплопроводного газа и вяз-кой и несжимаемой жидкости являются базовыми при решении различ-ных задач аэро и гидродинамики. Их решения могут содержать зоныбольших градиентов и другие особенностей, такие как пограничныеслои и висячие скачки, отрывные зоны и т. д., что накладывает жест-кие требования на применяемые численные алгоритмы. Они должныобладать достаточной точностью, удовлетворять свойствам консерва-тивности, экономичности и возможностью их адаптации на различныеархитектуры ЭВМ. В докладе предлагается единый подход построе-ния численных алгоритмов решения уравнений для сжимаемого газа инесжимаемой жидкости.

Для численного решения стационарных и нестационарных задачаэродинамики в приближении уравнений Эйлера и Навье — Стоксасжимаемого теплопроводного газа построен класс разностных схем при-ближенной факторизации и схем типа предиктор-корректор, основан-ный на оптимальном расщеплении исходных операторов. Расщеплениеоператоров выбирается таким образом, чтобы обеспечить устойчивостьразностных схем, их скалярную разрешимость на дробных шагах иминимизировать влияние дополнительных членов, возникающих привведении расщепления. Дано обобщение предложенных алгоритмов науравнения в преобразованных криволинейных координатах [1].

Для уравнений Навье — Стокса вязкой несжимаемой жидкости, неявляющимися уравнениями типа Коши — Ковалевской, в переменныхскорость-давление предложена специальная форма расщепления опе-раторов, позволяющая в рамках единого подхода рассматривать раз-личные классы экономичных разностных схем приближенной факто-ризации. На основе введенного расщепления решение задачи сводит-ся к решению нестационарных уравнений движения и уравнения типа

142


Пуассона для невязки давления. Его решение может быть найдено илиитерационным методом или методом установления. Предложенный ал-горитм позволяет обеспечить тождественное удовлетворение разност-ного уравнения неразрывности. Исследованы свойства рассмотренныхсхем, получены оценки их устойчивости.

Предложенные алгоритмы апробированы на решении различныхклассов задач. В рамках уравнений Навье — Стокса сжимаемого газачисленно исследовано течение около элементов летательного аппаратапри его сверхзвуковом обтекании в широком диапазоне чисел Маха иРейнольдса. Исследованы регулярные и нерегулярные режимы тече-ния, получены основные закономерности таких режимов. В приближе-нии уравнений вязкой несжимаемой жидкости изучены отрывные тече-ния за плоскими и осесимметричными телами при различных числахРейнольдса, рассмотрено течения в расширяющихся каналах. В рам-ках приближения Буссинеска исследованы пространственные теченияв кубе с подогревом одной из граней.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проект 08-01-00264а) и СО РАН (интеграцион-ные проекты 26, 103).


1. Базовкин А.В., Вавилова О.М., Ковеня В.М. Метод расщепления длячисленного решения уравнений вязкой несжимаемой жидкости // Вы-числ. технологии. 2009. Т. 14, 2. С. 13–31.

2. Ковеня В.М., Слюняев А.Ю. Алгоритмы расщепления при решенииуравнений Навье — Стокса // Журн. вычисл. математики и мат. физики.2009. Т. 49, 4. (В печати).

143


О слабой сходимости разностных схемпри сквозном расчёте разрывных решений

On weak convergence of shock capturingdifference schemes

Ковыркина О.А.1, Остапенко В.В.2

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; [email protected], [email protected]

Для гиперболических систем законов сохранения [1] рассмотреныявные двухслойные по времени консервативные разностные схемы по-вышенного порядка классической аппроксимации на гладких решени-ях. Путём численного эксперимента показано, что разностные схемыповышенного порядка классической аппроксимации, имеющие доста-точно гладкие функции численных потоков (в отличие от своих TVDмодификаций), сохраняют повышенный порядок слабой сходимости [2]при сквозном расчёте нестационарных ударных волн.

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Прези-дента РФ (проект НШ 2260.2008.1), Президиума РАН (проект 16.7), СО РАН(интеграционные проекты 23, 40) и Российского фонда фундаменталь-ных исследований (проекты 09-01-00569, 09-01-98001).


1. Куликовский А. Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические во-просы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физ-матлит, 2001.

2. Годунов С.К. Воспоминания о разностных схемах. Новосибирск: Научнаякнига, 1997.

144


О разрешимости нелокальных краевых задачс общим граничным условием А.А. СамарскогоOn solvability of nonlocal boundary value problemswith the general boundary Samarsky condition

Кожанов А.И.


Доклад посвящен изложению результатов о разрешимости начально-краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности и одно-мерного волнового уравнения с общими нелокальными граничнымиусловиями А.А.Самарского. Пусть αi(t), βi(t), i = 1, 4 — заданные приt ∈ [0, T ] гладкие функции такие, что векторы (α1(t), α2(t), α3(t), α4(t))и (β1(t), β2(t), β3(t), β4(t)) линейно независимы при всех t. Предполага-ется, что граничные условия имеют следующий вид:

α1(t)u(0, t) + α2(t)u(1, t) + α3(t)ux(0, t) + α4(t)ux(1, t) = 0,

β1(t)u(0, t) + β2(t)u(1, t) + β3(t)ux(0, t) + β4(t)ux(1, t) = 0.

Для рассматриваемых задач указываются условия их корректности.Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект 09-01-00422а) и программы “Развитие научного по-тенциала высшей школы (2009–2010)” (проект АХ-23/11 пр. от 12.12.2008).

145


Применение векторного потенциала в расчетахМГД–течений плазмы

Application of the vector potential in calculationsof the MHD plasma flows

Козлов А.Н.


Существуют различные подходы для обеспечения соленоидально-сти магнитного поля в расчетах МГД-задач. Один из перспективныхметодов [1] основан на использовании расширенной МГД-системы, до-полненной законом сохранения div H. Возможно применение вектор по-тенциала — особенно при наличии азимутальной симметрии течения.

Численные модели процессов в квазистационарных плазменных ус-корителях (КСПУ) [2] лежат в основе разработок новых систем, пред-назначенных для космических, термоядерных и технологических при-ложений. Работы последних лет [3–9] показали, что негативное воз-действие эффекта Холла в коаксиальных плазменных ускорителях сазимутальным магнитным полем Hϕ можно ослабить с помощью до-полнительного продольного магнитного поля (Hr << Hz << Hϕ).

В настоящее время разработаны основы теории КСПУ при наличиипродольного поля [6] и выявлены фундаментальные свойства потоковплазмы в трехкомпонентном магнитном поле. Аналитическая модельдвумерных осесимметричных стационарных течений идеально прово-дящей плазмы [3] дала первичное представление о процессах при нали-чии продольного поля и возникающего вращения. Первые численныемодели вращающихся потоков плазмы [4, 5], использующие вектор по-тенциал магнитного поля, верифицированы с помощью аналитическоймодели. Одножидкостная МГД-модель [5] построена с учетом конечнойпроводимости среды, что обеспечивает корректную постановку зада-чи на границе плазма-проводник. Выявлена принципиальная возмож-ность реализовывать трансзвуковые течения и управлять приэлектрод-ными процессами с помощью слабого продольного поля. С ростом про-дольного поля доля энергии, связанная с вращением, увеличивается,и сильное продольное поле не представляет практического интереса.При этом наблюдается формирование токовых слоев в потоке плаз-мы. В двухжидкостной МГД-модели [4] учитывается эффект Холла и

146


тензор проводимости. Модификация этой модели и результаты иссле-дований в режиме ионного токопереноса представлены в [8]. В иссле-дованиях компрессионных потоков плазмы [7] обнаружена генерациясильного магнитного поля на конической ударной волне, формирую-щейся на выходе из ускорителя. На основе теоретических и численныхисследований создана новая установка КСПУ с продольным полем [9].

Интерес к данному направлению исследований проявился в другихработах. В частности, случай сильного продольного поля стал предме-том отдельного изучения [10] в рамках одножидкостной МГД-моделиидеально проводящей плазмы без учета соленоидальности поля.

Работы выполнены при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 06-02-16707) и Президиума РАН (программа 2).

ЛИТЕРАТУРА1. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и за-

коны сохранения. Университ. сер. Т. 4. Новосибирск: Науч. книга, 1998.2. Морозов А.И. Введение в плазмодинамику. 2-е изд. М.: Физматлит, 2008.3. Козлов А.Н. Влияние продольного магнитного поля на эффект Холла

в плазменном ускорителе // Изв. РАН. Мех. жидк. и газа. 2003. 4.С. 165–175.

4. Kozlov A.N. Modeling of rotating flows in the plasma accelerator channelwith longitudinal magnetic field // Probl. Atomic Sci. Technol., Ser. PlasmaPhys. 2005. N 1. P. 104–106.

5. Козлов А.Н. Динамика вращающихся потоков в канале плазменногоускорителя с продольным магнитным полем // Физика плазмы. 2006.Т. 32, 5. С. 413–422.

6. Kozlov A.N. Basis of the quasi-steady plasma accelerator theory in the pres-ence of a longitudinal magnetic field // J. Plasma Phys. 2008. V. 74, N 2.P. 261–286.

7. Kozlov A.N. Generation of the magnetic field in the compressible plasmastreams // Probl. Atomic Sci. Technol., Ser. Plasma Phys. 2008. N 6. P. 101–103.

8. Козлов А.Н. Двухжидкостная МГД модель течений плазмы в квазиста-ционарном ускорителе с продольным магнитным полем // Прикл. меха-ника и техн. физика. 2009. Т. 50, 3. (В печати).

9. Kozlov A.N., Drukarenko S. P., Klimov N. S., Moskacheva A.A., Podkovy-rov V. L. The experimental research of the electric characteristics of dischargein the quasi-steady plasma accelerator with the longitudinal magnetic field //Probl. Atomic Sci. Technol., Ser. Plasma. Phys. 2009. N 1. P. 92–94.

10. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. МГД-течения в каналах плазменныхускорителей с продольным магнитным полем // Физика плазмы. 2008.Т. 34, 12. С. 1120–1128.

147


Физические аспекты неустойчивости дозвуковыхструйных течений

Physical aspects of subsonic jet flow instability

Козлов В.В., Грек Г.Р., Козлов Г.В., Литвиненко Ю.А.

Институт теоретической и прикладной механикиим. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, Россия;

[email protected]

Обсуждаются результаты экспериментальных исследований по вли-янию изменений начальных условий (распределений средней и пульса-ционной составляющих скорости) на срезе сопла на неустойчивость,структуру и характеристики развития круглой и плоской струи прималых числах Рейнольдса [1–4].

Термоанемометрические измерения и дымовая визуализация тече-ний с использованием стробоскопической лазерной подсветки струи начастотах акустического воздействия на нее позволили получить новыеданные о механизме развития струй, когерентных вихревых структу-рах, возникающих при этом, их взаимодействии и возможности влия-ния на протекающие процессы с помощью изменения начальных усло-вий и акустического воздействия. Обсуждаются также определенныеаспекты развития пристенной плоской струи, круглой струи, форми-руемой на выходе струи из криволинейного канала с наличием в немвихрей Дина и плоской струи, формируемой на срезе сопла микрока-нала.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-01-00027), Совета по грантам Президента РФ(проекты НШ-454.2008.1, МК-420.2008.1) и Министерством образования инауки РФ (проект РНП. 2.1.2.541).


1. Литвиненко М.В., Козлов В.В., Козлов Г.В., Грек Г.Р. Влияние про-дольных полосчатых структур на процесс турбулизации круглой струи //Прикл. механика и техн. физика. 2004. Т. 45, 3, С. 50–60.

2.. Козлов Г.В., Грек Г.Р., Сорокин А.М., Литвиненко Ю.А. Влияние на-чальных условий на срезе сопла на структуру круглой струи // Тепло-физика и аэромеханика. 2008. Т. 15, 1. С. 59–73.

148


3.. Грек Г.Р., Козлов В.В., Козлов Г.В., Литвиненко Ю.А. Моделированиенеустойчивости ламинарной круглой струи с параболическим профилемскорости // Вестн. НГУ. Сер. Физика. 2009. Т. 4, вып. 1. С. 14–24.

4.. Козлов Г.В., Грек Г.Р., Сорокин А.М., Литвиненко Ю.А. Влияние на-чальных условий на срезе сопла на структуру течения и устойчивостьплоской струи // Вестн. НГУ. Сер. Физика. 2008. Т. 3, вып. 3. С. 25–37.

149


Математическое моделирование в задачахмолекулярной биологии: структуризация

макромолекул, генетический код, большие геномы

Mathematical simulation in molecular biology:macromolecules structurisation, genetic code,

large genomes

Козлов Н.Н., Кугушев Е.И., Энеев Т.М.


Изучение методами математического моделирования процессовструктурообразования биологических макромолекул, белков, рибону-клеиновых (РНК) и дезоксирибо-нуклеиновых (ДНК) кислот являетсяв настоящее время интенсивно развивающейся областью молекулярнойбиологии. Фундаментальность проблемы структурообразования опре-деляется тем, что основные процессы функционирования живой клет-ки определяются в первую очередь пространственной формой (струк-турой) этих макромолекул. Многолетний опыт математического моде-лирования сложных космологических систем (звездные системы, про-топланетные облака) позволил организовать исследования процессовструктурообразования макромолекул рибонуклеиновых кислот. Прин-ципиально новым в нашем подходе является моделирование не толькоструктурообразования как отдельного явления, но процесса рождениямакромолекулы в целом. Это включает в себя и моделирование меха-низма возникновения и роста молекулярной цепи во взаимодействиис механизмами структурообразования. Усложнение модели позволяетполучать более точное описание поведения молекулярного комплекса,но требует достаточно большого объема вычислений.

Нами была разработана специальная программа, позволяющая про-водить исследования процессов образования вторичной структурыРНК на многопроцессорном комплексе. Распараллеливание процессамоделирования происходит на уровне расчета энергий возможных меж-структурных переходов. Количество таких переходов для молекул дли-ной до 100 нуклеотидов имеет порядок нескольких тысяч. Для молекулдо 500 нуклеотидов — несколько десятков тысяч. А для длины 1000–2000 — порядка сотен тысяч–миллиона. Это делает эффективным ис-

150


пользование многопроцессорного комплекса. Были исследованы про-цессы структурообразования для интересных классов молекул: РНК-транспортных (тРНК), рибосомальных (5S РНК), а также недавно от-крытых молекул-ферментов — рибонуклеаза P-РНК. Длина этих мо-лекул составляет 300–400 нуклеотидов. Это позволяет высказать гипо-тезу о том, что процесс транскрипции происходит прерывистым, скач-кообразным образом. Причем на каждом скачке РНК полимераза сме-щается на целое число витков ДНК — от 2-х до 6 витков [1].

На основе изучения генов были установлены новые свойства гене-тического кода и вычислены две группы важнейших его интеграль-ных характеристик. Первая относится к характеристикам для областейДНК, где гены попарно перекрываются; здесь были исследованы все5 случаев перекрытий, разрешенных структурой ДНК. Вторая группаотносится к наиболее протяженным областям ДНК, в которых нет гене-тических перекрытий. Установлена взаимосвязь интегральных харак-теристик в названных группах. С учетом проведенных исследованийанализировался известный к настоящему времени набор, содержащийболее 200 000 генов для 12 больших геномов, в том числе 25 613 геновчеловеческого генома. В результате были обнаружены ряд неизвестныхранее эффектов. Был также проведен сравнительный анализ всех ге-нов из одной клетки, но записанных различными природными кодами.Удалось установить две функции, в которых участвуют все переосмыс-ленные кодоны в митохондриальных генетических кодах (человека идругих организмов), а также существенное различие в интегральныххарактеристиках таких кодов по сравнению со стандартным кодом [2].

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундамен-тальных исследований Президиума РАН “Интеллектуальные информацион-ные технологии, математическое моделирование, системный анализ и авто-матизация”, Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00241, 08-01-00042) и Совета по грантам Президента РФ (проектНШ-1123.2008.1).


1. Козлов Н.Н., Кугушев Е.И., Энеев Т.М. Параллельные вычисления прирешении некоторых задач астрофизики и молекулярной биологии // Мат.моделирование. 2000. Т. 12, 7. С. 65–70.

2. Козлов Н.Н.Множества, порождаемые генетическим кодом // Докл. АН.2008. Т. 423, 3. С. 295–299.

151


Емкость системы близких телCapacity of a system of closely placed bodies

Колпаков А. Г.

Сибирский государственный университет телекоммуникации иинформатики, Новосибирск, Россия;

Университет Кассино, Кассино, Италия; [email protected]

Рассмотрим область P = [−1, 1]n ⊂ Rn (n=2, 3), содержащую систе-му непересекающихся выпуклых тел Di, i = 1, . . . , N. В “перфориро-

ванной” области Q = P \N⋃

i=1

Di рассмотрим краевую задачу

∆ϕ = 0 в Q;

ϕ(x) = ti на Di, i = 1, . . . , N ;∫

∂Di

vndx = 0, i = 1, . . . , N ; (1)

∂ϕ

∂n(x) = 0 на ∂Qlat;

ϕ(x) = −1 на ∂D−, ϕ(x) = 1 на ∂D+,

где ∂D− и ∂D+ — верхняя и нижняя грани P , ∂Qlat = ∂P\(∂D−⋃∂D+)

— боковая поверхность P .Неизвестными в (1) являются функция ϕ(x) в области Q и числа

ti, i = 1, . . . , N — потенциалы тел Di, i = 1, . . . , N .Вопрос ставится о вычислении емкости системы тел (или интеграла

Дирихле, соответствующего задаче (1)). История задачи восходит ктрудам Максвелла и Рэлея. В 1960–2000 гг. интенсивно изучалась аси-мптотика задачи (1) при условии, что тела являются цилиндрами илисферами, образуют периодический массив и характерное расстояние δмежду телами мало (см., например, [1]).

При рассмотрении тел произвольной структуры и расположениявыяснилось, что асимптотика емкости системы тел при δ → 0 определя-ется парными емкостями тел в Rn и выражается через решение конечно-мерной задачи вида

152


N∑

i=1

∑

j∈Ni

C(2)ij (ti − tj) = 0, (2)

ti = ±1, i ∈ S±,

в которую парные емкости C(2)ij входят как коэффициенты [2–4].

В задаче (2) (называемой сетевой моделью или сетевой аппроксима-цией для задачи (1) S± — индексы тел, касающихся границ ∂D±, Ni —индексы тел — соседей i-го тела (понятие соседа вводится через разбие-ние Вороного — Делоне).

В силу (2) асимптотика емкости системы тел при δ → 0 определя-ется только парными емкостями соседних тел.

Данное утверждение справедливо при выполнении условия

C(2)ij →∞ при δ → 0,

на роль которого, как необходимого и достаточного условия аппрокси-мации задачи (1) задачей (2), было указано в [2, 3].

Работа выполнена при поддержке European Community’s Seventh Frame-work Programme (проект PIIF-GA-2008-219690).


1. Keller J. B. Conductivity of a medium containing a dense array of ideal con-ducting bodies or cylinders or nonconducting cylinders // J. Appl. Phys. 1963.V. 34, N 4. P. 991–993.

2. Колпаков А.А., Колпаков А. Г. Асимптотика проводящих свойств высо-коконтрастных сред // Прикл. механика и техн. физика. 2005. Т. 46, 3.128-140.

3. Колпаков А.А., Колпаков А. Г. Асимптотика емкости системы близкихтел. Эффект экранирования И.Е. Тамма и сетевые модели // Докл. АН.2007. Т. 415, 2. 188-192.

4. Kolpakov A.A., Kolpakov A.G. Capacity and transport in contrast struc-tures: Asymptotic analysis and applications. Boca Raton, FL, CRC, 2010.(To appear).

153


Анализ ветровых течений в замкнутом водоемена основе новых аналитических решений

для уравнений вязкой несжимаемой жидкости

The analysis of the liquid wind induced motionin the closed basin based on the new analytical

solutions of the viscous incompressible liquid equations

Компаниец Л.А., Якубайлик Т.В., Питальская О.C.


При расчете движения однородной жидкости в бассейне произволь-ной формы под действием ветра достаточно важным является вопросо возможности применения упрощенных моделей, например, возмож-ность применения двумерных моделей (когда движение происходит ввертикальной плоскости) вместо трехмерных. Считается, что если бас-сейн “мелкий”, то трехмерное течение для модели Экмана хорошо ап-проксимируется двумерным в вертикальной плоскости [1, 2].

В данной работе проанализирована правомочность такого упроще-ния на основе новых аналитических решений для уравнений вязкойнесжимаемой и модели Экмана, когда членами с горизонтальной вяз-костью можно пренебречь. Доказывается,что при некоторых условияхво втором случае движение является плоско-параллельным, если ветерпостоянен вдоль всей акватории водоема и параметр Кориолиса равеннулю.

На примере бассейна прямоугольной формы для этих двух моде-лей оценивается отличие решения в трехмерном случае от двумерного,если в решении учитываются и дрейфовая, и геострофическая состав-ляющие, а не только дрейфовая, как это делалось ранее.


1. Кочергин В.П. Теория и методы расчета океанических течений. М: Нау-ка, 1978.

2. Филатов Н.Н. Динамика озер. Л.: Гидрометеоиздат, 1983.

154


Экономичные сеточные реализации динамическихзадач линейной теории упругости

Efficient difference formulations for dynamicalproblems of linear elasticity

Коновалов А.Н.

Институт вычислительной математики и математическогомоделирования СО РАН, Новосибирск, Россия; [email protected]

Рассматривается предложенная С.К. Годуновым постановка дина-мической задачи теории упругости в скоростях-напряжениях, для ко-торой строятся экономичные сеточные реализации. Получены равно-мерные оценки устойчивости в энергетических нормах.

155


Устойчивость и неоднозначное представлениеударноволнового разрыва в средах

с произвольными термодинамическими свойствами

Stability and ambiguous representation of shock wavediscontinuity in media with arbitrary

thermodynamic properties

Конюхов А.В.1, Лихачев А.П.1, Фортов В. Е.1,Анисимов С.И.2, Опарин А.М. 3

1Объединенный институт высоких температур РАН, Москва,Россия; [email protected]

2Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН,Черноголовка, Россия; [email protected]

3Институт автоматизации проектирования РАН, Москва, Россия

В работах [1, 2] и ряде последовавших за ними публикаций быларазвита линейная теория устойчивости плоской ударной волны (УВ).В рамках этой теории были получены условия неустойчивости и ней-тральной устойчивости УВ в средах с произвольным уравнением со-стояния. Позже было обнаружено, что фрагменты ударной адиабаты(УА), на которых выполняются условия неустойчивости УВ, перекры-ваются участками с неоднозначным представлением УВ разрыва (см.обзор в [3]), в связи с чем, реализуемость неустойчивых УВ вызываетсерьезные сомнения. Столь же проблематично и прогнозируемое ли-нейной теорией спонтанное излучение звуковых волн фронтом УВ привыполнении условия нейтральной устойчивости. Кроме того, до сихпор отсутствует экспериментальное подтверждение существования УВв неустойчивом или нейтрально устойчивом состоянии (по крайней ме-ре, в предсказываемом в [1, 2] виде). Очевидно, что решение вопроса офактическом поведении УВ при выполнении соответствующих условийвыходит за рамки линейного анализа и требует проведения нелинейныхисследований.

В данной работе этот вопрос исследуется численно. Расчеты про-водились в постановках различной размерности, базирующихся на мо-делях невязкого (уравнения Эйлера) и вязкого теплопроводящего га-за. Конвективные потоки через границы ячеек определялись на осно-ве [4, 5]. При аппроксимации вязких членов использовались симмет-

156


ричные разности второго порядка точности. При проведении анализаприменялись уравнения состояния реальных (дейтерий, газ Ван-дер-Ваальса, магний) и модельных сред.

Проведено детальное исследование эволюции нейтрально устойчи-вой УВ в различных средах. Во всех рассмотренных случаях излучениезвука ударной волной являлось вынужденным, а спонтанная генерацияакустических волн не наблюдалась. Показано, что амплитуда возмуще-ний нейтрально устойчивой УВ, в отличие от предсказаний линейнойтеории, уменьшается со временем, хотя этот процесс происходит замет-но медленнее, чем у абсолютно устойчивых УВ.

Параметрическое исследование поведения УВ в областях ее неод-нозначного представления показало, что в рамках используемых мо-делей неустойчивая УВ всегда распадается с необратимым переходомв одну из допустимых волновых конфигураций. При выходе за преде-лы участка УА, на котором выполняется условие неустойчивости, новнутри области неоднозначности, УВ может как распадаться, так иостаться в исходном состоянии. В многомерных расчетах впервые об-наружено, что в области неоднозначного представления УВ разрыва,перекрывающей участок неустойчивости L > 1 + 2M [1], вместо од-ной из полученных в одномерных решениях волновых конфигурацийреализуются незатухающие пространственные колебания фронта УВс образованием ячеистой структуры. Амплитуда колебаний локальныхпараметров УВ перекрывает участок УА, на котором выполняется ука-занное условие неустойчивости УВ.


1. Дьяков С.П. Об устойчивости ударных волн // Журн. эксперим. и теор.физики. 1954. Т. 27, 3. С. 288–295.

2. Конторович В.М. К вопросу об устойчивости ударных волн // Журн.эксперим. и теор. физики. 1957. Т. 33, 6. С. 1525–1526.

3. Кузнецов Н.М. Устойчивость ударных волн // Успехи физ. наук. 1989.Т. 159, 3. С. 493–527.

4. Roe P. L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and differenceschemes // J. Comput. Phys. 1981. V. 43, N 2. P. 357–372.

5. Glaister P. An approximate linearized Riemann solver for the Euler equationsfor real gases // J. Comput. Phys. 1988. V. 74, N 2. P. 382–408.

157


Автомодельные решения уравнений пограничногослоя: анализ и численное решение сингулярных

нелинейных задачSelf–similar solutions to the boundary layer equations:

analysis and numerical simulation of the singularnonlinear problems

Конюхова Н.Б.1, Суков А.И.2, Соловьев М.Б.3


2Московский государственный технологический университет“СТАНКИН”, Москва, Россия; [email protected]


Дается краткое представление о содержании работ [1, 2], где резуль-таты по сингулярным задачам Коши, гладким устойчивым многообра-зиям решений и экспоненциальным параметрическим рядам Ляпуно-ва применяются к правильной математической постановке и анализусингулярной “начально-краевой” задачи для нелинейного обыкновенно-го дифференциального уравнения третьего порядка, заданного на всейдействительной оси. Задача возникает в механике вязкой несжимаемойжидкости и описывает автомодельные решения уравнения погранично-го слоя для функции тока с нулевым градиентом давления (плоскопа-раллельное ламинарное течение в слое смешения). В [3, 4] эта задача,зависящая от параметра автомодельности m, приведена в виде:

Φ′′′ + ΦΦ′′ − [(m− 1)/m](Φ′)2 = 0, −∞ < τ < ∞, (1)

limτ→−∞

Φ′(τ) = 0, (2)

Φ(0) = 0, (3)

limτ→∞

Φ(τ)/τm = b, 0 < b — фиксировано. (4)

При этом она неточно трактуется как трехточечная краевая задача,так как условие (2) не эквивалентно одному условию в конечной точке.

Условие (2) следует заменить более точным предельным условием

limτ→−∞

exp(−ετ)Φ(τ) + a,Φ′(τ), Φ′′(τ) = 0, 0, 0 ∀ε : 0 < ε < a, (5)

158


отвечающим стремлению решения к стационарной точке (−a, 0, 0), ко-торая при каждом фиксированном a > 0 является в фазовом простран-стве уравнения (1) псевдогиперболическим седлом с одномерной устой-чивой сепаратрисой. Условие (5) для решений (1) эквивалентно двумнелинейным соотношениям в конечной точке, задающим устойчивуюсепаратрису седла. Тем самым при −∞ < τ ≤ 0 определена двухточеч-ная краевая задача (1), (5), (3) с параметром a > 0, который долженбыть определен из условия (4) при фиксированном b > 0, если этовозможно.

Подход [1, 2], отличный от достаточно сложных методов [3, 4], поз-волил не только уточнить математическую постановку сингулярнойнелинейной задачи, но и дать ее более полный и строгий математи-ческий анализ, а также предложить простой численный метод ее ре-шения. Формулируются ограничения на параметр m (1/2 < m < ∞),при которых решение задачи (1), (5), (3), (4) при каждом фиксирован-ном b > 0 существует и единственно, где a = a(b); даются двусторонниеоценки решения и изучаются его свойства, а также свойства других (ре-гулярных и сингулярных) решений уравнения (1) для разных значенийпараметра m; приводятся результаты расчетов.



1. Дышко А.Л., Конюхова Н.Б., Суков А.И. О сингулярной задаче длянелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего по-рядка, возникающего в гидродинамике // Журн. вычисл. математики имат. физики. 2007. Т. 47, 7. C. 1158–1178.

2. Konyukhova N.B., Sukov A. I., Soloviev M.B. Singular nonlinear problemsfor self-similar solutions to the boundary layer equations with a zero pressuregradient // Int. Sci. J. Spectral Evol. Probl. 2009. V. 19. (Submitted).

3. Диесперов В.Н. Исследование автомодельных решений, описывающихтечения в слоях смешения // Прикл. математика и механика. 1986. Т. 50, 3. С. 403–414.

4. Диесперов В.Н. Поведение автомодельных решений уравнения погранич-ного слоя с нулевым градиентом давления // Сообщения по прикладнойматематике. М.: ВЦ АН СССР, 1986.

159


Моделирование самогравитирующего газовогооблака на СуперЭВМ

Supercomputer simulation of self–gravitating gas cloud

Куликов И.М.

Новосибирский государственный технический университет,Новосибирск, Россия; [email protected]

Моделирование в астрофизике является основной методикой изу-чения нелинейных процессов эволюции космических структур и про-верки теорий возникновения Вселенной. В первую очередь возникаетнеобходимость введения газового компонента, связанного с темной ма-терией через влияние сил гравитации. На современном этапе наиболееактуально численное моделирование нестационарной и пространствен-но трехмерной динамики гравитирующего газа.

Трехмерность модели и нестационарность задачи выдвигают стро-гие требования к экономичности используемых методов решения, как вплане использования ресурсов вычислительной системы, так и в планенекритичного ограничения на отношение шага по времени и простран-ству. В последнее время бурное развитие вычислительной техники поз-волило производить ресурсоемкие расчеты и получать физически оп-равданные результаты для трехмерных программ. Использование су-перкомпьютеров позволяет использовать большие объемы данных, напорядки повышать производительность вычислений, а как следствие,и точность [1].

Рассмотрена параллельная реализация численного сеточного мето-да FLIC для трёхмерного моделирования в декартовых координатахастрофизических объектов в газодинамическом приближении. Приве-дены основные характеристики параллельной реализации FLIC мето-да.

Модель основана на решении системы уравнений газовой динамики,дополненной уравнением для внутренней энергии и уравнением Пуас-сона для гравитационного потенциала. Звездный компонент моделиру-ется центральным телом, дающим вклад в общее значение потенциала.Задача решалась на СуперЭВМ с учетом самосогласованного гравита-ционного поля, центрального тела сложной геометрии, охлаждения, втрехмерной постановке в декартовых координатах.

160


Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-01-00615) и СО РАН (междисциплинарный инте-грационный проект 26, интеграционный проект 103).


1. Вшивков В.А., Лазарева Г. Г., Киреев С.Е., Куликов И.М. Параллельнаяреализация модели газовой компоненты самогравитирующего протопла-нетного диска на суперЭВМ // Вычисл. технологии. 2007. Т. 12, 3.С. 38–52.

161


Вынужденные околорезонансные колебанияслоя упругой среды

Forced oscillations of elastic layer close to resonance

Куликовский А. Г.1, Свешникова Е.И.2

1Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва,Россия; [email protected]

2Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,Москва, Россия; [email protected]

Рассматриваются плоские одномерные волны малой амплитуды,распространяющиеся поперек слоя несжимаемой упругой среды, от-ражаясь поочередно от его границ. Колебания вызваны малым перио-дическим (или близким к периодическому) внешним воздействием наодной из границ слоя, когда период внешнего воздействия близок кпериоду собственных колебаний слоя. Одна из границ упругого слоянеподвижна, а другая совершает малое заданное двумерное движениев своей плоскости. В такой околорезонансной ситуации проявляютсянелинейные эффекты, которые могут накапливаться с течением време-ни. Получена система уравнений, описывающая медленное изменениефункций, которые характеризуют колебания среды, на каждом пери-оде внешнего воздействия. Считается, что все величины зависят какот реального времени, изменение которого при рассматриваемом под-ходе ограничивается одним периодом, так и от “медленного” времени,для которого малой величиной служит один период реального време-ни. Предполагается, что эволюция решения на периоде происходит приизменении медленного времени, а роль реального времени аналогич-на роли пространственной переменной. Упомянутая система уравненийот неизвестных функций содержит производные по реальному и мед-ленному временам. В ее коэффициенты входят осредненные по перио-ду реального времени значения функций, характеризующих решение.Уравнения имеют гиперболический тип и их решения могут быть какнепрерывными, так и содержать слабые и сильные разрывы.

Построена модель процесса в виде интегральных законов сохра-нения, определяющих изменение функций, описывающих колебанияслоя, с ростом “медленного” времени, для которого бесконечно малойвеличиной служит один период реального времени. Из этих уравнений

162


для непрерывных движений следует упомянутая система гиперболиче-ских дифференциальных уравнений, а для разрывных решений из ука-занных законов сохранения получаются условия на разрыве. Установ-лена аналогия между разрывами в решениях осредненных уравненийи разрывами, распространяющимися по некоторой безграничной одно-родной упругой среде, упругий потенциал которой находится в резуль-тате осреднения. Эта аналогия помогает выделить разрывы, которыемогут физически реализоваться. Обсуждается задача о стационарныхколебаниях упругого слоя и возникновении разрывов при эволюции ре-шений.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проекты 08-01-00612, 08-01-00401).

163


Численные процедуры решения геометрическинелинейных задач механики деформируемого

твердого телаThe numerical solution of geometrically nonlinear

problems of solid mechanics

Кургузов В.Д.


На основе метода продолжения решения по параметру разработаналгоритм численного решения геометрически нелинейных задач де-формирования стержневых конструкций (большие смещения и пово-роты) при жестком нагружении, т. е. когда внешнее воздействие ха-рактеризуется заданными смещениями узлов конструкции. Этот ме-тод может быть использован для проверки правильности решения за-дач о квазистатическом деформировании стержневой конструкции примягком нагружении, если вместо силового воздействия использоватьконтролируемое перемещение. Эффективность предложенных методикпроиллюстрирована решением задачи о статическом деформированииплоской механической системы, состоящей из двух линейно-упругихстержней, испытывающих деформации растяжения-сжатия. Несмотряна то, что работа данного механизма представляется элементарной, ма-тематическая формулировка таковой не является. Система уравненийравновесия конструкции является нелинейной, и ее решение в данномслучае необходимо строить с применением численных процедур. Пред-ложенным методом найдено всё множество равновесных состояний си-стемы, как устойчивых, так и неустойчивых, включая и все предельныеточки. Достоверность решения данной задачи подтверждается совпаде-нием результатов, полученных двумя различными способами силовоговоздействия на конструкцию (мягкое и жесткое нагружения), а такжеаналитическим анализом уравнений равновесия.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проект 07-01-00163), программы ПрезидиумаРАН 11.16 и СО РАН (интеграционный проект 115).

164


О параметрическом резонансе при аэроупругихколебаниях гидродинамических решеток

в неравномерном потокеOn a parametric resonance under aerolastic vibrations

of hydrodynamic lattices in nonuniform flow

Курзин В.Б.1, Рябченко В.П.1, Юдин В.А.2

1Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; [email protected]

2Новосибирский государственный архитектурно-строительныйуниверситет, Новосибирск, Россия

При обтекании решеток турбомашин периодическим по временинеравномерным потоком возникают аэродинамические силы, возбуж-дающие вынужденные колебания лопастей. Коэффициенты этих силимеют составляющие, периодически зависящие от времени. Поэтомув неравномерном потоке существует вероятность возникновения па-раметрического резонанса при колебаниях лопастей. Исследование жеусловий, при которых возможно возникновение этого явления, прове-дено недостаточно полно.

В данной работе рассмотрена задача об аэроупругих колебанияхосевых решеток лопастей, обусловленных окружной неравномерностьюнабегающего потока. Величина неравномерности скорости набегающе-го потока по отношению к её среднему значению предполагается ма-лой. В окрестности решетки скорость течения жидкости представленав виде суммы четырёх составляющих: 1) заданная скорость набегаю-щего потока; 2) стационарная составляющая возмущения скорости ре-шеткой; 3) нестационарная составляющая возмущения, обусловленноговзаимодействием с неподвижными лопастями; 4) возмущённая состав-ляющая, обусловленная колебаниями лопастей по заданному закону.В рамках модели идеальной несжимаемой жидкости с помощью доста-точно развитых методов теории решеток аэродинамическое взаимодей-ствие решетки с потоком определяется в линейном приближении длякаждой из этих составляющих по отдельности.

В результате построена система дифференциальных уравнений, опи-сывающая колебания решеток лопастей, с учётом их аэродинамическо-го взаимодействия в неравномерном потоке, коэффициенты которой за-висят от времени. Норма матрицы коэффициентов аэродинамических

165


сил с переменными коэффициентами в этой системе мала по отноше-нию к норме матрицы, определяющей присоединённые массы жидко-сти и силы аэродинамического демпфирования. Поэтому был проведёнанализ возможности возникновения параметрического резонанса. Бы-ло выдвинуто предположение о том, что это явление может иметь местов окрестности критической скорости классического флаттера, где аэро-динамическое демпфирование достаточно мало. Проведённый расчётподтвердил указанное предположение. Было установлено, что в этомслучае следствием неравномерности набегающего потока может бытьсущественное снижение критической скорости флаттера решетки.

Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН (междисципли-нарный интеграционный проект 40).

166


Численное решение трехмерных задачвзаимодействия галактик

Numerical solution of 3D problemsof galaxy interaction

Лазарева Г. Г.

Институт вычислительной математики и математическойгеофизики СO РАН, Новосибирск, Россия; [email protected]

Движение галактик в плотных скоплениях превращает столкнове-ния между ними в важный эволюционный фактор, поскольку за хаб-бловское время рядовая галактика может испытать до десятка столк-новений с другими галактиками своего скопления. Наблюдательное итеоретическое изучение взаимодействующих галактик — незаменимыйметод исследования их свойств и эволюции. Результатом столкновенияможет быть разрушение этих галактик, их слияние, сохранение звезд-ных компонент и разрушение газовых, сохранение звездных компонентпри образовании новой галактики из их газовых компонент. Изученостолкновение газовых компонент галактик для демонстрации их пове-дения при различных условиях столкновения.

В докладе представлена новая численная модель столкновения га-лактик в газодинамическом приближении. Модель основана на реше-нии системы уравнений газовой динамики, дополненной уравнениемдля внутренней энергии и уравнением Пуассона для гравитационногопотенциала. Исходная система газодинамических уравнений решаетсяметодом крупных частиц с коррекцией баланса энергий. Задача реша-лась с учетом самосогласованного гравитационного поля, центрально-го тела сложной геометрии, с учетом температуры газа, в трехмернойпостановке в декартовых координатах. Выполнено расширение разра-ботанного алгоритма для моделирования различных сценариев столк-новения галактик путем введения процессов охлаждения. Проведеныисследования диапазона применимости численной модели для различ-ных скоростей столкновения и соотношения масс газовой и звезднойсоставляющих.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-01-00615) и СО РАН (интеграционный проект 103).

167


Механика конвективного теченияслабонеоднородной жидкости

Mechanics of the convection flow of weaklynonhomogeneous fluid

Ларченко В.В.

Донской государственный технический университет,Ростов-на-Дону, Россия; [email protected]

Для анализа бифуркации решения и влияния на неё “флуктуаций”,обусловленных физической неоднородностью вязкой жидкости, сфор-мулирована задача о её течении в Ω⊂R 3. В предлагаемой постановкесвязные уравнения Навье — Стокса и теплопроводности заменяютсяпри (x, y, z) ∈ Ω, t ∈ (t0,∞) системой 4n + 1, 1 ≤ n < ∞, уравнений от-носительно температуры T , давления p = (p1, p2, ..., pn) и поля скоростиv = (v1, v2, ..., vn), vi = (vi

x, viy, vi

z) :

ρi[∂tvi +

n∑

j=1

pij(vj ,5)vi] =−5p i + µi 4 vi +5(σi div vi) + f iz,

∂tρi + div(ρivi) = 0, i ∈ N, N = 1, 2, ..., n, (1)

<c> ∂tT +n∑

j=1

cj(vj ,5)T + Q(x, y, z) =<χ> 4T − T

n∑

j=1

cj div vj ,

c = ρ c, f iz = −ρi | g | βiTez,

n∑

j=1

pij = 1, pij ≥ 0.

Здесь f iz — сила Архимеда, действующая на элемент ρidΩ в направ-

лении противоположному орту ez; < c >, < χ > — осреднённые в R 3

теплоёмкость и коэффициент теплопроводности; c, ρ — удельная те-плоёмкость и плотность жидкости в однородном приближении; | g | —ускорение свободного падения; µi, σi и βi — локальные коэффициен-ты вязкости и объёмного расширения; pij — вероятность, с которойреализуется значение случайной величины (vj ,∇)vi, Q — плотностьисточников тепла.

Определение. Жидкость называется локально слабонеоднородной,если ρ, β, c могут принимать n > 1 значений, т. е. представимы в виде

ρ, β, c ∈ R n, ‖ρ‖Ad =<ρ>, ‖c‖Ad =<c>,

168


‖α‖Ad = |α1|+ . . . + |αn|, ∀α ∈ R n, α ≡ (α1, ..., αn),

|βi− <β> | = o(1), ρi = consti, ci = Consti ≥ 0, i ∈ N,

где < · > — некоторое среднее для соответствующей величины, котороесовпадает с её значением для однородного континуума.

Система (1) описывает движение слабонеоднородной жидкости.В отличие от постановки Навье — Стокса проекция скорости на каж-дую ось в R3 имеет n компонент. Их можно доосреднить после инте-грирования уравнений. Таким образом, построение модели включаетлишь частичное осреднение искомых величин на малых элементах сре-ды, вообще говоря, меньших, чем это допускает точка зрения Навье —Стокса.

Для стационарного течения локально-неоднородной несжимаемойжидкости реализована теория бифуркаций для вертикальной полосыс изотермическими стенками, нагретыми до температур ±θ. Исследо-ваны рекуррентные свойства разложений Пуанкаре — Ляпунова [1].Сформулированы условия рождения вторичного течения при n ≥ 1 [2].

Для n = 4, λ = 5.4, β1 = β2 = 0.95, β3 = β4 = 1.05 проведеноинтегрирование соответствующих краевых задач прогонкой в формеС.К. Годунова. Исследованы закономерности для отклонения ∆θ∗ =minkθk − minkθk при изменении вероятностей pij и теплоёмкостиc ∈ R 4. Здесь θk, θk — точки ветвления в однородном и неоднородномприближениях. Оказалось, что, например, на последовательности зна-чений c1 = c2 = 0.05 + 0.1(m− 1), c3 = c4 = 0.45− 0.1(m− 1), m = 1, 5,отклонение ∆θ∗ достигает нескольких десятков единиц. К принципи-альным особенностям такого анализа относится то, что средние <c>,< χ >, < ρ >, < β > однозначно не определяют течение. При фиксиро-ванных µiρ

−1i , σiρ

−1i свойства решений зависят от вероятностей

pijni,j=1 и коэффициентов c1, c2, ..., cn, β1, β2,..., βn.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-01-00207-а).


1. Ларченко В.В. Алгоритмизация вычислений на симплектическом бази-се // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, 3. C. 411–422.

2. Абуев Ф.Л., Ларченко В.В. Бифуркационная неопределённость и её соб-ственная граница // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2002.Т. 42, 1. С. 33–46.

169


Оценка глобальной погрешности численногоинтегрирования на периодических решениях–утках

An estimation of the global error of numericalintegration of the canard periodic orbits

Лашина Е.А.1, Чумакова Н.А.1, Чумаков Г.А.2

1Институт катализа им. Г.К. Борескова СО РАН, Новосибирск,Россия; [email protected]

2Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирск, Россия

В системах обыкновенных дифференциальных уравнений, описыва-ющих быстро-медленные движения, переход от гармонических колеба-ний малой амплитуды к релаксационным колебаниям большой ампли-туды может происходить при малом изменении параметра. При про-межуточных значениях параметра в системе существуют периодиче-ские решения-утки, обладающие чрезвычайно высокой параметриче-ской чувствительностью. Впервые решения-утки были обнаружены вуравнении Ван дер Поля и исследованы методами нестандартного ана-лиза [1].

В данной работе рассматривается кинетическая модель гетероген-ной каталитической реакции окисления водорода на никеле, описыва-ющая изменение безразмерных концентраций адсорбированных водо-рода x и кислорода y, а также кислорода, растворенного в приповерх-ностном слое катализатора z [2]:

x = k1(1− x− y)2 − k−1x2 − 2k30e

−µ3yx2y,y = k2(1− x− y)2 − k40e

−µ4y+µ5zy − k30e−µ3yx2y,

z = ε(y(1− z)− αz(1− x− y)).

Параметры k±1, k2, k30, k40, µ3, µ4, µ5 и α положительны, 0 < ε ¿ 1 ипеременная z является медленной.

Получено, что в случае, когда переменные x и y являются, соответ-ственно, быстрой и умеренной, однопараметрическое семейство подси-стем относительно переменных x и y с параметром z имеет семействаустойчивых и неустойчивых периодических решений-уток. На верхнейгранице этого семейства (при z = zmax) происходит бифуркация слия-ния неустойчивого и устойчивого предельного циклов в полуустойчи-вый.

170


Для анализа точности построения траекторий в работе использу-ется метод оценки глобальной погрешности численного решения зада-чи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений,который основан на подходе, предложенном академиком С.К. Годуно-вым, когда численное решение рассматривается как точное решениевозмущенной задачи.

В качестве оценки глобальной погрешности дискретизации мы рас-смотрели главный член µv(t) ее асимптотического разложения по ма-лому параметру µ, определяемому средней величиной шага сетки. Приинтегрировании системы на большом интервале времени показано, чтовблизи устойчивых периодических решений максимальное и минималь-ное значения нормы v(t) на интервале, равном периоду, имеют линей-ный рост с увеличением числа периодов. В окрестности неустойчивыхпериодических решений этот рост является степенным. Кроме того,при численном интегрировании на интервале времени, равном одномупериоду, значения функции v(t) существенно возрастают при прибли-жении значений z к z = zmax.

Таким образом, при построении периодических решений, обладаю-щих высокой параметрической чувствительностью к начальным дан-ным, особенно если интегрирование проводится на интервале, равномнескольким периодам, точность приближенного решения может ока-заться низкой. В этом случае оценка глобальной погрешности интегри-рования на полученных решениях позволяет обосновать выбор доста-точно мелкого шага интегрирования.

Работа выполнена при поддержке СО РАН (междисциплинарный инте-грационный проект 107).


1. Звонкин А.К., Шубин. М. А. Нестандартный анализ и сингулярные воз-мущения обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат.наук. 1984. Т. 39, 2. C. 77–124.

2. Chumakov G.A., Chumakova N.A. Relaxaton oscillations in a kinetic modelof catalytic hydrogen oxidation involving a chase on canards // Chem. Eng. J.,Chem. React. Eng. 2003. V. 91. P. 151–158.

171


Алгоритм SVD–разложения и задача сжатияизображений

SVD algorithm and image compression

Лежнев В. Г.

Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия;[email protected]

Для цифровых изображений некоторых классов, например, изоб-ражений фото-анфас, их сингулярные числа, расположенные по убы-ванию, характеризуются тем, что первые 10–20% составляют 95–98%эвклидовой нормы этих матриц-изображений. Если восстановить изоб-ражение только по этим сингулярным числам и соответствующим имстолбцам и строкам ортогональных матриц SVD-разложения, то полу-чится изображение почти не отличающееся от изображения-оригинала.При использовании 20% столбцов и строк получаем сжатие в 2.5 ра-за; чем больше разрешимость изображения и порядок матрицы, темэто сжатие больше. Использование этого подхода совместно с jpeg-технологией позволяет существенно увеличить коэффициент сжатия.

Однако традиционный алгоритм SVD-разложения является однимиз самых затратных алгоритмов линейной алгебры по количеству вы-числений и объему памяти [1]. Определенную компенсацию этих недо-статков дает предлагаемый нами метод максимизации столбцов длярешения частичной SVD-проблемы. В этом итерационном методе вы-числяются сначала старшие сингулярные числа и соответствующие имстолбцы и строки ортогональных матриц разложения. Зная эвклидовунорму матрицы-изображения A1 порядка n, можно решить, например,двадцатипроцентную частичную SVD-задачу, априорно гарантируя ка-чество сжатия изображений данного класса.

Первый этап алгоритма состоит в формировании последовательно-сти Ak+1 = AkUp(ϕp), k = 1, 2, . . . , где p = p(k) изменяется циклическиот 2 до n при k → ∞, Up = (uij) — ортогональная матрица с элемен-тами u11 = upp = cos ϕ, −u1p = up1 = sin ϕ, а остальные диагональныеэлементы равны единице, внедиагональные — нулю [2, 3]. Обозначимam

k — k-ый столбец матрицы Am; (·, ·), ‖ · ‖ — скалярное произведениеи эвклидова норма соответственно.

Угол ϕ = ϕp определяется правилом: если (ak1 , ak

p) = 0, то ϕp = 0;если ‖a1‖2 − ‖ap‖2 = 0, то ϕp = π

4 sgn(ak1 , ak

p); если ‖a1‖2 − ‖ap‖2 6= 0, то

172


ϕp определяется равенством

tg 2ϕp =2(ak

1 , akp)

‖a1‖2 − ‖ap‖2 .

Последовательность ak1 монотонно не убывает, при этом (am+1

1 , am+1p ) =

0. После стабилизации нормы первый столбец ортогонален остальным,его норма равна старшему сингулярному числу. Второй этап состоитв аналогичной процедуре со вторым столбцом полученной матрицы.Продолжая таким образом получим последовательно сингулярные чис-ла и их векторы.

Численные эксперимент по решению полной SVD-задачи дает всеточные (кроме последнего) десятичные знаки сингулярных чисел (напримерах из сборника [4]).

Работа выполнена при поддержке программы “Развитие научного потен-циала высшей школы (2009–2010)” (проект 2.1.1/3828).


1. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.2. Лежнев В. Г. Метод решения алгебраической спектральной задачи //

Численные методы анализа. М.: Изд-во МГУ, 1997. С. 16–22.3. Лежнев В. Г. Метод максимизации столбцов матрицы // Фундамент. и

прикл. математика. 2008. Т. 14, 2. С. 113–119.4. Фаддеева В.Н., Колотилина Л.Ю. Вычислительные методы линейной ал-

гебры. Набор матриц для тестирования. Л.: ЛОМИ, 1982.

173


Постановки задач и численные методыдля моделирования пространственных

нестационарных течений в гидротурбинах

Problem statements and numerical methods for 3Dsimulation of unsteady flows in hydraulic turbines

Лобарева И.Ф.1, Черный С. Г.1, Чирков Д.В.1,Скороспелов В.А.2, Турук П.А.2, Банников Д.В.3

1Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск,Россия; [email protected]

2Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирск, Россия

3Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия

В работе предлагается усовершенствование инструментария вычис-лительного эксперимента в гидродинамике турбомашин [1], направлен-ное на детальное изучение нестационарных процессов. К ним относятсяпроцессы, связанные с переходом от одного режима работы к другому,формирование, эволюция и распад вихревых жгутов за рабочим коле-сом гидротурбины, взаимодействие ротора и статора и т. д. Изучениеэтих явлений актуально в связи с повышающимися требованиями кнадежности и устойчивости работы проектируемых гидротурбин.

В [1] авторами предложен численный алгоритм, хорошо зарекомен-довавший себя для расчета невязких и турбулентных стационарныхтечений. Он основан на методе искусственной сжимаемости и неявнойсхеме 3-го порядка аппроксимации по пространству и 2-го — по време-ни. Экономично реализованная неявная схема позволяет за приемлемоевремя находить стационарное решение методом установления. Однаков применении к нестационарным задачам предложенные в [1] подходыоказываются не столь эффективными.

В стационарных режимах работы расход жидкости не меняется и,как правило, известен. Поэтому для моделирования таких режимов ши-роко применяется постановка краевых условий, состоящая в заданииво входном сечении распределения вектора скорости, а в выходном —условия для давления. Однако в ряде стационарных и в большинственестационарных задач расход неизвестен и должен быть найден в ходе

174


решения задачи. Это относится, в частности, к задачам прогнозирова-ния кавитационного срыва и моделирования переходных режимов ра-боты. Для адекватного описания этих явлений в работе предлагаетсяальтернативная постановка краевых условий, не требующая фиксациирасхода и более полно соответствующая физической природе задачи.На входной границе задаётся усредненная по расходу полная энергия инаправление потока. В выходном сечении также задается полная энер-гия и характер профиля давления. Величины полных энергий могутменяться во времени. Это важно, поскольку переходные процессы вгидротурбине характеризуются гидравлическим ударом, приводящимк изменению во времени полной энергии в любом сечении расчетнойобласти. Таким образом, новая постановка краевых условий обеспе-чивает моделирование течений с переменным по времени расходом ираспространяющимся по области гидравлическим ударом.

Особое внимание уделяется проблеме сокращения времени счетанестационарных задач. Время такого расчета определяется скоростьюсходимости итераций на каждом временном шаге. На каждой итерациидля нахождения очередного приближения приходится решать системылинейных уравнений Ax = b, где разреженная матрица A и вектор bполучаются в результате линеаризации неявной разностной схемы. В [1]для этой цели использовался метод приближенной LU-факторизации,дающий решение модифицированной системы A1A2x = b. Одно из на-правлений ускорения сходимости связано с повышением точности ре-шения исходной нефакторизованной системы Ax = b. В связи с этимв работе для решения системы применены другие известные методы,такие как метод релаксаций Гаусса — Зейделя и обобщенный методминимальных невязок GMRES. Проведен сравнительный анализ этихподходов на стационарных и нестационарных задачах гидродинамикитурбомашин, сделаны рекомендации по их использованию.

Представлены результаты расчетов ряда нестационарных процес-сов, возникающих при работе гидротурбины. Среди них — прецессиру-ющий вихревой жгут за рабочим колесом, ротор-статор взаимодействиев насос-турбине, течение в разгонном режиме работы.


ЛИТЕРАТУРА1. Черный С. Г., Чирков Д.В., Лапин В.Н., Скороспелов В.А., Ша-

ров С.В. Численное моделирование течений в турбомашинах. Новоси-бирск: Наука, 2006.

175


Применение FPGA для решения задачбиоинформатики и исследования генома

Application of FPGA for bioinformatics problems andgenome study

Лысаков К.Ф.1, Рудаков А.В.2, Шадрин М.Ю.3

Институт автоматики и электрометрии СО РАН, Новосибирск,Россия; [email protected], [email protected],

[email protected]

В последние годы в молекулярной биологии происходит интенсив-ное накопление информации о первичных нуклеотидных последова-тельностях ДНК. Быстро растущее число секвенированных нуклеотид-ных последовательностей требует их эффективного анализа и анноти-рования. При этом большое внимание исследователей привлекают про-моторы и прочие регуляторные элементы, управляющие работой генов.

Регуляторные районы содержат в своем составе сайты связыванияопределенных транскрипционных факторов (ССТФ), встречаемость ирасположение которых определяют особенности экспрессии генов. Об-наружение ССТФ затруднено большой длиной и разнообразием строе-ния промоторных районов генов эукариот. Важным инструментом по-иска ССТФ является интеллектуальный анализ (data mining) промо-торных областей ДНК, основанный на изучении статистических осо-бенностей организации нуклеотидных последовательностей. Так одиниз методов исследования организации промоторов — поиск неслучай-ных олигонуклеотидных слов.

Базовым элементом такого рода систем является поиск олигонук-леотидного мотива (сигнала) в изучаемой последовательности, что, посути, является задачей поиска подстроки в строке. Однако следует за-метить, что выполняющие схожую регуляторную функцию сигналымогут быть представлены слегка разными наборами нуклеотидов. Учи-тывая этот факт, удобно работать с вырожденными мотивами, т. е. смотивами, в отдельных позициях которых могут стоять не чётко опре-делённые нуклеотиды (A, T, G или C), а любые нуклеотиды из неко-торого конкретного набора (подмножества A, T, G, C). Такие мотивыпринято записывать в 15-ти символьном нуклеотидном коде IUPAC.

176


Из чего следует, что операция поиска производится над строкой, запи-санной в 4-х символьном алфавите, и подстрокой, записанной в 15-тисимвольном алфавите, с известными правилами отображения.

На первый взгляд, описанная процедура поиска может быть реа-лизована различными вычислительными средствами. Однако решениереальных статистических задач биоинформатики, вследствие большо-го числа операций поиска, является вычислительно сложным. Так напостроение статистики для всех возможных 8-ми символьных мотивов(158 ≈ 2, 6 × 109 различных мотивов) над выборкой из 1000 64-х сим-вольных последовательностей требуется около 2-х недель расчётов насовременном персональном компьютере и порядка 10 часов расчётовс использованием вычислительных мощностей графических ускорите-лей NVIDIA. Причина низкой эффективности решения этой задачи набазе универсальных процессоров не только в большом количестве ак-тов исполнения процедуры поиска, но и в ограниченной пропускнойспособности подсистемы оперативной памяти.

Для ускорения решения обозначенной задачи разработана архитек-тура вычислительного конвейера, пригодная для реализации на базеFPGA (Field-Programmable Gate Array). Базовым элементом предло-женной архитектуры является однотактный компаратор, производя-щий сравнение символа последовательности в 4-х буквенном коде ссимволом мотива в 15-ти буквенном коде. Модуль из 8-и таких ком-параторов, выходы которых объединены логическим И, производитсравнение мотива с некоторой подстрокой последовательности. Мас-сив из 57-и описанных модулей, смещённых друг относительно другана один символ последовательности, анализирует последовательностьполностью за 1 такт!

Учитывая, что архитектура FPGA позволяет хранить выборку из1000 последовательностей целиком во внутренних RAM-блоках FPGA,а мотивы, ввиду их полного перебора, возможно генерировать сред-ствами FPGA, снимаются ограничения производительности, порожда-емые латентностью памяти. При этом ёмкости современных кристал-лов FPGA фирмы Xilinx семейства Virtex5 достаточно для построениянескольких параллельных блоков поиска (от 10 до 200 в зависимостиот конкретного представителя семейства). При рабочей частоте в 550МГц время решения задачи сокращается до 1 минуты!

Высокая производительность достигается благодаря архитектуреFPGA, позволяющей широко распараллеливать и эффективно конвей-еризовать пригодные для этого алгоритмы.

177


О неустойчивости гиперболических системна плоскости с малым периодическим возмущением

On instability of hyperbolic systems on the planewith small periodic perturbation

Люлько Н.А.


В полуполосе Π=(x, t): 0<x< 1, t > 0 рассматривается смешаннаязадача для строго гиперболической линейной системы первого порядка

Ut = AU + εB(ωt)U, (x, t) ∈ Π, U(x, 0) = U0(x). (1)

Здесь U(x, t) — n-мерный вектор неизвестных функций, B(τ) — 2π-периодическая функция со значениями в множестве линейных огра-ниченных операторов, действующих в пространстве L2(0, 1), ω > 0 —частота возмущения, ε > 0 — малый вещественный параметр.A— неса-мосопряженный замкнутый оператор, действующий в L2(0, 1) и порож-денный дифференциальным выражением

AU = −K(x)dU

dx+ A(x)U

с областью определения D(A)=U∈ W 12 (0, 1) : I0U(0) + I1U(1)=0,

где A(x) — вещественная матрица, а у диагональной матрицы K(x) ∈C1[0, 1] все элементы различны между собой, причем первые p из нихположительны, а остальные n− p отрицательны; n = 2p и n ≥ 2.

Граничные условия для системы (1) являются распадающимися,т. е. матрицы I0 и I1 имеют вид

I0 =(

Ep,p Ap,n−p

On−p,p On−p,n−p

), I1 =

(Op,p Op,n−p

Bn−p,p En−p,n−p

),

где Am,n = (αij) и Bm,n = (βij) постоянные вещественные m×n матри-цы, Om,n — нулевая m×n матрица , Em,m — единичная m×m матрица.В дальнейшем положим det(αi,j)i,j=1,...,p 6= 0, det(βi,j)i,j=p+1,...,n 6= 0,что гарантирует обратимость задачи (1). Из результатов работ [1, 2]следует, что в этом случае система собственных функций оператора

178


A полна в D(A). Предположим также, что между коэффициентамивыражения A и граничных матриц I0, I1 выполнены соотношения

A(x)+12

∂K(x)∂x

= 0 и (K(x)U,U)∣∣∣1

0= 0— в силу граничных условий,

обеспечивающие справедливость для любого решения U(x, t) задачи (1)при ε = 0 равенства

||U(x, t)||L2(0,1) = ||U0(x)||L2(0,1), t ≥ 0,

которое означает, что при ε = 0 рассматриваемая задача (1) являетсяустойчивой в L2(0, 1).

В настоящей работе обоснован метод нахождения критических ча-стот ω, для которых в возмущенной задаче (1) при сколь угодно малыхε 6= 0 появляются неограниченные решения, т.е. возникает параметри-ческий резонанс. С помощью замены U=eAtV (t), где eAt — унитарнаягруппа операторов класса C0 в пространстве L2(0, 1), инфинитезималь-ным оператором которой является оператор A, задача (1) сводится кзадаче

Vt = εG(t, ω)V, V (x, 0) = U0(x) (2)

с ограниченным в L2(0, 1) оператором G(t, ω). Затем используется ме-тод усреднения, рассмотренный в [3] для задач вида (2) в банаховомпространстве.

Метод нахождения критических частот для задачи (1) проиллю-стрирован на системе из двух уравнений, т. е. U = (u, v)T ,

AU = (−du

dx,dv

dx)T , D(A) = U ∈ W 1

2 (0, 1) : u(i) = v(i), i = 0, 1,

в случае различных операторных возмущений B(τ).Работа поддержана проектом АВЦП Рособразования 2.1.1.4918.


1. Брушлинский К.В. О росте решения смешанной задачи в случае неполно-ты собственных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23. C. 893–912.

2. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.3. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных

уравнений. М.: Физматлит, 1970.

179


Плотностные течения и интрузиив стратифицированной жидкости: теория и

экспериментDensity currents and intrusions in stratified fluids.

Theory and experiment

Ляпидевский В.Ю., Гаврилов Н.В.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия [email protected]

Интрузии, распространяющиеся в стратифицированной по плотно-сти жидкости в виде уединенных волн являются объектом интенсив-ного изучения экспериментальными и теоретическими методами [1–3]в связи с многочисленными приложениями как к течениям в атмосфереи океане, так и индустриальным течениям различного масштаба. Этиволны легко воспроизводятся в лабораторных и натурных условиях иобладают уникальной способностью переносить массу вдоль высоко-градиентных прослоек. В работе проведено теоретическое и экспери-ментальное исследование нелинейных внутренних волн 2-ой моды натонкой границе раздела между однородными слоями смешивающих-ся жидкостей различной плотности. Предложена математическая мо-дель, описывающая генерацию, взаимодействие и затухание уединен-ных внутренних волн, возникающих при интрузии жидкости промежу-точной плотности в прослойку. Построено точное решение, задающееформу симметричных относительно невозмущенной границы разделауединенных волн и обоснован предельный переход для волн конечнойамплитуды при стремлении толщины прослойки к нулю. Эксперимен-тально исследована тонкая структура течения в окрестности уединен-ной волны и ее влияние на горизонтальный перенос массы при рас-пространении коротких интрузий. Показано, что учет трения на гра-ницах раздела в математической модели позволяет адекватно описатьизменение фазовых и амплитудных характеристик двух движущихсянавстречу друг другу уединенных волн до и после их взаимодействия.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун-даментальных исследований (проект 09-01-00427) и программы 17 Пре-зидиума РАН (проект 4).

180



1. Maxworthy T. On the formation of nonlinear internal waves from the grav-itational collapse of mixing regions in two and three dimensions // J. FluidMech. 1980. V. 96. P. 47–64.

2. Honji H., Matsunaga N., Sugihara Y., Sakai K. Experimental observation ofinternal symmetric solitary waves in a two-layer fluid // Fluid Dyn. Res. 1995.V. 15. P. 89–102.

3. Stamp A.P., Jacka M. Deep-water internal solitary waves // J. Fluid Mech.1995. V. 305. P. 347–371.

4. Ахметов Д. Г. Вихревые кольца. Новосибирск: Изд-во “Гео”, 2007.

181


Новый вариант блочной циклической редукцииA new variant of the block cyclic reduction

Малышев А.Н.


Метод блочной циклической редукции (BCR) [1, 2] предназначендля быстрого решения системы линейных уравнений Tx = f с блочнойтрехдиагональной теплицевой матрицей

T =

T0 T1

T−1 T0 T1

T−1 T0 T1

· · ·· · T1

T−1 T0

.

Существующие варианты BCR рекурсивно сводят систему Tx = f квдвое меньшей системе T (1)x(1) = f (1) с блочной трехдиагональнойтеплицевой (или квазитеплицевой) матрицей T (1). Эти варианты устой-чивы к ошибкам округления только для очень специальных матриц T .

В докладе представлен совершенно новый вариант BCR, основан-ный на представлении матрицы T в виде блочной двухдиагональнойквазитеплицевой матрицы

T =

BL

A BA B

· ·A B

BR

, (1)

где BL = [T0 T1], BR = [T−1 T0],

A =(

T−1 T0

T−1

), B =

(T1

T0 T1

).

Разобьем векторы x и f на блоки, отвечающие структуре (1):

x = (xT0 , xT

1 , . . . , xT2p)T , f = (fT

L , fT1 , . . . , fT

2p , fTR )T .

182


Покажем как исключить блоки x2i−1 с нечетными номерами 2i− 1, тоесть редуцировать систему Tx = f к вдвое меньшей системе относи-тельно компонент x2i с четными номерами 2i. Для этого рассмотримодновременно 2p/2 подсистем из смежных блочных строк:

(A B 00 A B

)

x2i−2

x2i−1

x2i

=

(f2i−1

f2i

).

Подберем ортогональную матрицу Q, так чтобы Q

(BA

)=

(R0

),

где R - верхняя треугольная матрица. Тогда

Q

(A B 00 A B

)=

(C R DA1 0 B1

), Q

(f2i−1

f2i

)=

(g(1)i

f(1)i

).

Тем самым, каждая из 2p/2 подсистем редуцируется в подсистему

[A1 B1](

x2i−2

x2i

)=

(f

(1)i

),

аx2i−1 = R−1

[g(1)i − Cx2i−2 −Dx2i

].

Рекурсивное применение такой ортогональной редукции p раз даетневырожденную систему

BL 0Ap Bp

0 BR

(x0

x2p

)=

fL

f(p)1

fR

.

Представленный вариант BCR обратно устойчив к ошибкам округ-ления, так как, в сущности, является решением системы линейныхуравнений с помощью QR разложения матрицы T .


1. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.2. Bini D.A., Meini B. Effective methods for solving banded Toeplitz systems //

SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1999. V. 20, N 3. P. 700–719.

183


Некоторые дифференциальные тождества игидродинамические уравнения ЭйлераSome differential identities and Euler’s

hydrodynamical equations

Меграбов А. Г.


Получен ряд формул векторного анализа в виде дифференциаль-ных тождеств, которые, с одной стороны, связывают модуль |~v| и на-правление ~τ (|~τ | = 1) произвольного гладкого векторного поля ~v = |~v|~τ ,в трехмерном (~v = ~v(x, y, z)) и двумерном (~v = ~v(x, y)) случае. На-правление ~τ вектора ~v = v1

~i + v2~j + v3

~k (~i, ~j, ~k — орты по осям x,y, z) выражается в двумерном случае через угол α, определяемый поarctg (v2/v1): ~τ = cos α~i + sin α~j, а в трехмерном — через два угла α

и θ = arccos (v3/|~v|): ~τ = ~τ(α, θ) = cos α sin θ~i + sin α sin θ~j + cos θ~k.С другой стороны, найденные формулы в определенном смысле раз-

деляют модуль |~v| и направление ~τ векторного поля ~v. Именно, длялюбого гладкого векторного поля ~v = ~v(x, y, z) c модулем |~v| 6= 0 инаправлением ~τ основное тождество имеет вид

~Q = ~Q(~v) def=~v div~v + ~v × rot~v

|~v|2 = ~P (|~v|) + ~S(~τ),

где поле ~P = ~P (|~v|) def= grad ln |~v| = grad |~v|2/(2|~v|2) определяется толь-ко модулем |~v| поля ~v и является потенциальным как в двумерном,так и в трехмерном случае, а поле ~S = ~S(~τ) def= ~τ div ~τ + ~τ × rot~τ =~Q − ~P = ~S(α, θ) определяется только направлением ~τ поля ~v и в дву-мерном случае является соленоидальным: ~S = ~S(α) = rot (α~k), а втрехмерном ~S = ~S(α, θ) = rot (α~k)− cos2 θ rot (α~k− tg θ ~νxy) = rot α~k +cos θ ~f(α, θ) − 2 cos θ rot ~f(α, θ), где ~νxy = − sin α~i + cos α~j, ~f(α, θ) =− sin θ ~νxy +α cos θ~k. Имеем div ~S = −2 sin θ (~τ · (gradα×grad θ)). В дву-мерном случае θ ≡ π/2 ⇒ ~S = rot (α~k), div ~S = 0 ⇒ ∆ln |~v| = div ~Q,∆α = −(rot ~Q · ~k) ⇒ ∆Ln |~v|e±iα = div ~Q ∓ i(rot ~Q · ~k) (i — мнимаяединица).

184


Символы ( · ) и (×) обозначают скалярное и векторное произведениевекторов, ∇ — оператор Гамильтона (“набла”), ∆u — оператор Лапла-са. С помощью найденных тождеств получены следующие результаты(часть из них опубликована в [1]).

1. Из гидродинамических уравнений Эйлера, записанных в виде

~Gdef=

1v2

∂~v

∂t+ ~v div~v +

1ρ

grad p− ~F

= ~S(~τ) = ~Q(~v)− ~P (|~v|)

(~v = v~τ — скорость, v = |~v|, p — давление, ρ — плотность, ~F — мас-совая сила), вытекают следующие дифференциальные тождества: длялюбого движения идеальной жидкости div ~G = −2v−1 sin θ (~v · (grad α×grad θ)) = div ~S; для безвихревого движения (при ~v = grad u(x, y, z))

div ~G =2v

div u rot (α grad cos θ) = −2 sin θ

v

∂ (u, α, θ)∂ (x, y, z)

,

div (v2 ~G) = −2(u2xy + u2

xz + u2yz − uxxuyy − uxxuzz − uyyuzz).

2. Уравнения Эйлера для плоского движения идеальной жидкостипредставимы в виде ~G = rot α(x, y, t)~k ⇒ div ~G = 0, rot ~G = −∆α~k.При стационарном плоском движении несжимаемой жидкости и отсут-ствии массовых сил справедливы тождества

grad p

ρv2= rot (α~k) ⇒ div

grad p

ρv2= 0, rot

grad p

ρv2= −∆α~k.

3. Уравнение Монжа — Ампера u2xy − uxxuyy = F и уравнение для

функции тока плоского движения идеальной несжимаемой жидкости−uy(∆u)x − ux(∆u)y = (∆u)t + (rot ~F ∗ · ~k), где ~F ∗ = ~F − ρ−1 grad p,связаны между собой следующим образом: их левая часть выражаетсясоответственно через дивергенцию и ротор одного и того же векторногополя ~V : div ~V = 2(u2

xy − uxxuyy), rot ~V = −uy(∆u)x − ux(∆u)y~k, где~V

def= grad (u2x+u2

y)/2−∆u gradu = (uyuxy−uxuyy)~i+(uxuxy−uyuxx)~j =(grad u×∇)× grad u (~V = −|~v|2~S = −|~v|2 rot (α~k) при ~v = grad u(x, y, t)и ~v = rot u(x, y, t)~k = uy

~i− ux~j ). Упомянутая функция тока u(x, y, t)

удовлетворяет обоим этим уравнениям при F = (1/2) div ~F ∗.

ЛИТЕРАТУРА1. Меграбов А. Г. Дифференциальные тождества, связывающие лапласиан

скалярной функции, модуль ее градиента и угол его направления // Докл.АН. 2009. Т. 424, 5. С. 599–603.

185


Численный метод решения задач газовой динамикив пористых средах

Numerical method for solving problems of gas flowin porous medium

Меньшов И.С.


В настоящей работе представляется численный метод для расчетатечения газа в среде переменной пористости. Материал пористой средыпредставляет собой абсолютно жесткую недеформируемую структуру,называемую в дальнейшем скелетон. Рассматривается простейшая мо-дель скелетона, которая характеризуется двумя параметрами: пористо-стью α и характерным линейным размером элемента скелетона ds.

Распределение пористости в общем случае неоднородно. В частно-сти, значение пористости может скачком меняться на некоторой по-верхности. Например, когда скелетон занимает только часть рассмат-риваемой области, и решается сопряженная задача течения газа как всвободном пространстве, так и внутри скелетона. Наша цель — разрабо-тать численную методику, которая позволяла бы рассчитывать течениесжимаемого газа в пористой среде с произвольным распределением по-ристости, покрывающим весь диапазон изменения α от 0 (твердое тело)до 1 (свободное течение).

Задачи течения газа в пористой среде возникают в ряде приложе-ний. Вот далеко не полный их перечень: задачи внутренней баллистики,твердотопливные двигатели, геофизические задачи (вытеснение газа),задачи металлургической и химической промышленности, аэродинами-ка (управление потоком, снижение сопротивления, увеличение подъем-ной силы и многое другое посредством перераспределения потока че-рез вставки пористого материала). Технология композитных пористыхматериалов в настоящее время проходит этап бурного развития, и са-ми материалы находят все более широкое применение. Поэтому задачивзаимодействия газа и пористой среды становятся весьма актуальны-ми.

Математическая модель, описывающая стесненное скелетоном те-чение газа, включает в себя фундаментальные уравнения сохранения

186


массы, импульса и энергии. Мгновенное состояние газа определяетсяплотностью ρ, вектором скорости ~u и давлением p. Газ считается иде-альным; диссипативные эффекты, связанные с вязкостью и теплопро-водностью газа, учитываются лишь при описании межфазного взаимо-действия газовой фазы и скелетона.

Численный подход для решения системы определяющих уравненийстроится на основе метода С.К. Годунова [1]. Ключевым элементомэтого метода является решение задачи Римана — задачи о распадепроизвольного разрыва в газе. При наличии скелетона формулировказадачи Римана в общем случае пополняется условием разрыва пори-стости: слева и справа от начального разрыва не только параметрыгаза различны, но также и значения пористости.

Если значение пористости на разрыве непрерывно, решение задачиРимана сводится к стандартному решению уравнений газодинамики [2].Оно используется соответственным образом для вычисления потока наребре счетной ячейки с непрерывной пористостью.

Разрыв пористости приводит к дополнительному стационарномуразрыву, и решение нелинейной задачи в общем случае получить неудается. В этом случае мы предлагаем использовать решение линеа-ризованной по методу [3] задачи.Для этого основная система уравне-ний расширяется добавлением уравнением ∂α/∂t = 0. Полученная си-стема 4-х уравнений записывается в квазилинейной форме. Матрицаэтой системы имеет 4 различных собственных числа — 3 стандартных(λ = u − a, u, u + a) и одно λ = 0. Соответствующие им 4 правыхсобственных вектора образуют базис. Тогда решение линейной задачиможет быть выписано в виде разложение по этому базису в явном ви-де. Это решение используется для вычисления потока на ребре счетнойячейки с разрывом пористости.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проекты 08-08-00356-a, 08-08-12096-офи).


1. Годунов C.K. Разностный метод численного расчета разрывных решенийуравнений гидродинамики // Мат. сб. 1959. Т. 47, 3. С. 271–306.

2. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Проко-пов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука, 1976.

3. Roe P. L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and differenceschemes // J. Comput. Phys. 1981. V. 43. P. 357–372.

187


Об алгоритмах построения интерполяционных исглаживающих сплайнов многих переменных

по хаотическим данным

On algorithms for construction multivariateinterpolating and smoothing splines

under the chaotic data

Мирошниченко В.Л.


При решении задач, связанных с обработкой экспериментальной ин-формации, известной в нерегулярно (хаотически) расположенных наплоскости или в пространстве точках, широко используются интер-поляционные и сглаживающие Dm-сплайны, мультиквадрики Хардии разнообразные их варианты и обобщения [1, 2]. Построение такогоаппроксиманта (далее все они называются сплайнами) сводится, в ко-нечном итоге, к решению системы линейных уравнений относительновектора коэффициентов сплайна Λ

AΛ = f, (1)

с симметрической матрицей A следующего вида

A =(

B CCT 0

),

где B — симметрическая плотная N × N матрица, C — матрица раз-мерности N × p, 0 — нулевая p × p матрица; N — количество точек,в которых заданы исходные данные; p — размерность пространстваполиномов, из которого выбирается полиномиальная часть сплайна.

К сожалению, матрица A не является положительно определённойи это не позволяет применять для решения системы (1) эффективныйметод Холецкого. Кроме того, матрица A может быть плохо обуслов-ленной, а это требует при решении системы (1) обязательного контро-ля числа её обусловленности, с выдачей соответствующей диагности-ческой информации, что фактически эквивалентно проверке условийсуществования и единственности сплайна.

188


В докладе не обсуждаются алгоритмы построения сплайна, осно-ванные на предварительном преобразовании системы (1) к системе сположительно определенной матрицей [2]. Рассматриваются следую-щие прямые методы решения системы (1):

• метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице,

• метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу,

• метод Гаусса без обратного хода с выбором главного элемента построке,

• метод Аазена [3].

Даётся сравнительная характеристика этих методов по количествуарифметических операций и объёму оперативной памяти. Приводятсярезультаты численных экспериментов. Практический опыт показыва-ет, что среди перечисленных методов наиболее эффективным являетсяметод Аазена, дополненный средствами оценки числа обусловленностирешаемой системы. Этот метод по быстродействию примерно в три ра-за превосходит метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцуи одновременно требует в два раза меньше оперативной памяти. Заме-тим, что быстродействие алгоритма построения сплайна приобретаетрешающее значение в задачах, связанных с оптимизацией выбора па-раметров сплайна, например, параметра сглаживания.

Работа выполнена при финансовой поддержке интеграционного проектаСО РАН 2009-81 и совместного интеграционного проекта СО РАН и УрОРАН 2009-14.


1. Аниконов Ю.Е., Богданов В.В., Деревцов Е.Ю., Мирошниченко В.Л.,Сапожникова Н.А. Численное решение обратной кинематической задачисейсмики // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. IX, 4(28). С. 3–26.

2. Роженко А.И. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксима-ции. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2005.

3. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

189


Математические модели и численно–аналитическиеметоды в геофизике

Mathematical model and numerical analyticalmethods in geophysics

Михайленко Б. Г.


В докладе рассматриваются численно-аналитические методы реше-ния широкого класса задач, связанные с теорией распространения сей-смических волн в неоднородных средах. Алгоритм основан на расщеп-лении 3-х мерных задач на одномерные с помощью конечных инте-гральных преобразований по одной либо двум пространственным ко-ординатам и решением одномерных задач по одной пространственнойкоординате и времени с помощью конечно-разностных методов. Об-суждается также эффективность применения преобразования Лагеррапо времени в сравнении с преобразованием Фурье для широкого клас-са нестационарных задач геофизики. Приводятся примеры численногомоделирования распространения волн в упругих, анизотропных, тре-щиноватых средах. Приводятся результаты математического модели-рования распространения волн в неоднородных средах.

190


Разностные схемы повышенной точностидля решения задач механики сплошной среды

методом Годунова с антидиффузией

High–order difference schemes for solving continuummechanics problems with the Godunov method

with antidiffusion

Моисеев Н.Я.

Государственная корпорация по атомной энергии “Росатом”,Российский федеральный ядерный центр, ВНИИ технической

физики, Снежинск, Россия; [email protected]

В докладе рассмотрены новые подходы к повышению точности вразностных схемах для решения задач механики сплошной среды ме-тодом Годунова [1]. Подходы отличаются от известных подходов, есте-ственным образом вписываются в созданные методики, эффективны,экономичны и базируются на следующих идеях: в введении антидиф-фузионных членов [2] для корректировки больших величин, найденныхиз решения задачи о распаде произвольного разрыва; в построении раз-ностных схем предиктор-корректор повышенной точности, которые эк-вивалентны симметричным схемам покомпонентного расщепления [3];в разработке нового алгоритма решения задачи о распаде произвольно-го разрыва в средах со сложными уравнениями состояния [4]. В пред-лагаемых подходах к повышению точности метода Годунова коррек-тировке на этапе предиктора подвергаются большие величины, а неначальные данные для решения этой задачи. Выражения для антидиф-фузионных членов выписываются из разложения в ряд Тейлора боль-ших величин в момент времени tn + 0.5τ в окрестности границ с уче-том дифференциальных приближений схем [5]. Показано, что можнопостроить модифицированные схемы Годунова с антидиффузией, ко-торые аппроксимируют исходные дифференциальные уравнения пере-носа и акустики с одной пространственной переменной и постояннымикоэффициентами с произвольным порядком по времени и по простран-ству. Показано, что, если числа Куранта равны единице, то условиесдвига в построенных схемах предиктор-корректор для решения мно-гомерных задач выполняется, а в классических схемах — не выполня-ется. Новый алгоритм решения задачи о распаде произвольного разры-ва является обобщением алгоритмов, предложенных Забродиным А.В.

191


и Прокоповым Г.П., для приближенного решения этой задачи [6, 7].Результаты расчетов модельных задач показывают целесообразностьвведения предложенных подходов к повышению точности численныхрешений методом Годунова с антидиффузией.


1. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решенийуравнений гидродинамики // Мат. сб. 1959. Т. 47(89), 3. С. 271–306.

2. Моисеев Н.Я., Силантьева И.Ю. Разностные схемы повышенной точно-сти для решения одномерных уравнений газовой динамики методом Го-дунова с антидиффузией // Журн. вычисл. математики и мат. физики.2009. Т. 49, 5. С. 1–16.

3. Макотра О.А., Моисеев Н.Я., Силантьева И.Ю., Топчий Т.В., Фроло-ва Н.Л. Повышение точности решений многомерных задач газовой дина-мики в схемах Годунова. Снежинск, 2008. (Препринт / РФЯЦ-ВНИИТФ; 235).

4. Моисеев Н.Я., Мухамадиева Т.А. Метод Ньютона для решения задачиРимана о распаде произвольного разрыва в средах с уравнениями состо-яния общего вида // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008.Т. 48, 6. С. 1202–1110.

5. Шокин Н.И.Метод дифференциального приближения. Новосибирск: На-ука, 1979.

6. Прокопов Г.П. Расчет распада разрыва для пористых сред и сплошныхсред с двучленными уравнениями состояния // Вопр. атомн. науки итехники. Сер. Методики и программы числ. решения задач мат. физики.1982. 2(10). С. 32–40.


192


Регулярно структурированные псевдоспектры иинтегральные критерии качества дихотомии

The regulary structured pseudospectra and integralperformance criteria for dichotomy

Нечепуренко Ю.М.

Институт вычислительной математики РАН, Москва, Россия;[email protected]

Доклад посвящен оценке чувствительности спектральных характе-ристик матриц к возмущениям их элементов на основе псевдоспектрови интегральных критериев качества дихотомии [1]. Обсуждаются оцен-ки из [2] и приведенные ниже оценки из [3, 4], основанные на структури-рованных псевдоспектрах и соответствующих интегральных критерияхкачества дихотомии, существенно более точные для матриц конечно-мерных аппроксимаций дифференциальных операторов по сравнениюс оценками, основанными на обычных псевдоспектрах и интегральныхкритериях качества дихотомии.

Структурированным псевдоспектром матрицы A ∈ Cn×n называют

Λε(A;B, C) =⋃

‖S‖2≤ε

λ(A + BSC), S ∈ Cn×n,

где B, C ∈ Cn×n — фиксированные матрицы, а λ(·) означает спектрматрицы. В частности, Λε(A; I, I) — это обычный псевдоспектр матри-цы A. Структурированный псевдоспектр с невырожденными структу-рирующими матрицами B и C называют регулярно структурирован-ным. Он обладает всеми известными свойствами обычного псевдоспект-ра и для него справедливы следующие равенства:

Λε(A; B, C) =⋃

‖B−1∆C−1‖2≤ε

λ(A + ∆) = z : ‖C(zI −A)−1B‖2 ≥ 1/ε.

Выбирая для заданного типа возмущений ∆ подходящие матрицыB и C, можно получать значительно более точные оценки возмущенияминимальных по модулю собственных значений, чем на основе обыч-ного псевдоспектра.

193


Анализ разложения функции f от матрицы A в ряд по ее инвариант-ным подпространствам сводится к анализу матриц вида

Pγ(f,A) =1

2πi

∫

γ

f(z)(zI −A)−1dz,

где γ некоторая достаточно гладкая кривая, не пересекающаяся с λ(A).Примем обозначение ‖g‖γ,p для лебеговской p-нормы функции g :

γ → Cm и введем в рассмотрение величины

κγ,p(A; B, C) = νB,C max||v||2=1

‖C(zI −A)−1Bv‖γ,p,

где νB,C = ‖B−1‖2‖C−1‖2/(2π), которые называют интегральнымикритериями качества дихотомии спектра матрицы A кривой γ.

Теорема. Если кривая γ не имеет общих точек с Λε(A; B, C), то

‖Pγ(f,A)‖2 ≤ ‖f‖γ,p/(p−1) κγ,p(A; B,C)

при всех p ≥ 1 и для любой матрицы ∆ ∈ Cn×n такой, что‖B−1∆C−1‖2 ≤ ε, справедливы следующие неравенства:

‖Pγ(f, A)− Pγ(f,A + ∆)‖2 ≤ ‖f‖γ,p/(p−1) κγ,p(A;B, C)ω/(1− ω),

|κγ,p(A; B, C)− κγ,p(A + ∆; B,C)| ≤ κγ,p(A; B,C) ω/(1− ω),

где ω = ‖B−1∆C−1‖2 κγ,∞(A; B, C)/νB,C < 1.Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект 07-01-00658) и Российской академии наук (проект“Оптимизация вычислительных алгоритмов решения задач математическойфизики”).


1. Годунов С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Но-восибирск: Научная книга, 2002.

2. Нечепуренко Ю.М. Оценка нормы матрицы Грина через интегральныйкритерий качества дихотомии и границы хаусдорфова множества // Мат.заметки. 2002. Т. 71, 2. С. 232–238.

3. Nechepurenko Yu.M. The regularly structed pseudospectrum // Russ. J. Nu-mer. Anal. Math. Model. 2004. V. 18, N 3. P. 265–268.

4. Нечепуренко Ю.М. Интегральные критерии качества дихотомиии спек-тра матрицы замкнутым контуром // Мат. заметки. 2005. Т. 78, 5.С. 718–726.

194


Адаптивный алгоритм интегрированияжестких задач

The adaptive algorithm for integrating stiff problems

Новиков Е.А.


При моделировании кинетики химических реакций, расчете элек-тронных схем и других важных приложениях возникает проблема чис-ленного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных диф-ференциальных уравнений. Основные тенденции при построении чис-ленных методов связаны с расширением их возможностей для реше-ния задач все более высокой размерности. Математические постановкипрактических задач постоянно уточняются, что приводит как к ростуразмерности, так и к усложнению правой части системы дифференци-альных уравнений. Во многих случаях расчеты требуется проводитьс так называемой инженерной точностью — порядка 1% и ниже. Этосвязано с тем, что измерение констант, входящих в правую часть систе-мы дифференциальных уравнений, часто проводится достаточно грубо.Иногда такая точность расчетов является удовлетворительной с точ-ки зрения поставленной цели. Известно (см., например, [1]), что по-рядок аппроксимации численной схемы следует сочетать с требуемойточностью расчетов. Поэтому ниже рассмотрены численные формулыне выше второго порядка точности.

Современные методы решения жестких задач, как правило, исполь-зуют вычисление и обращение матрицы Якоби системы дифференци-альных уравнений. В случае достаточно большой размерности систе-мы эффективность численных методов фактически полностью опре-деляется временем декомпозиции этой матрицы. Для повышения эф-фективности расчетов в ряде алгоритмов используется замораживаниематрицы Якоби, то есть применение одной матрицы на нескольких ша-гах интегрирования. В алгоритмах интегрирования на основе извест-ных безытерационных методов, к которым относятся методы типа Ро-зенброка и их различные модификации [1], матрица Якоби влияет напорядок точности численной схемы, и поэтому возникают трудностис ее замораживанием. Доказано, что максимальный порядок точности

195


методов типа Розенброка равен двум, если он применяется с замора-живанием матрицы [2]. Там же построен алгоритм с замораживаниемматрицы Якоби на основе L-устойчивой численной формулы второгопорядка точности и приведены результаты расчетов, подтверждающиеего высокую эффективность. Если вопрос об использовании одной мат-рицы на нескольких шагах интегрирования оставить нерешенным, тозаведомо нужно ограничиться задачами небольшой размерности.

Некоторым аналогом замораживания матрицы Якоби является при-менение в расчетах алгоритмов интегрирования на основе явных иL-устойчивых методов с автоматическим выбором численной схемы.В этом случае эффективность алгоритма может быть повышена засчет расчета переходного участка, соответствующего максимальномусобственному числу матрицы Якоби, явным методом. В качестве кри-терия выбора эффективной численной формулы естественно приме-нять неравенство для контроля устойчивости [3]. Следует отметить, чтоприменение таких комбинированных алгоритмов полностью не снимаетпроблему замораживания матрицы Якоби, потому что явным методомможно просчитать, вообще говоря, только погранслойное решение, со-ответствующее максимальному собственному числу матрицы Якоби.

В докладе рассмотрены явная двухстадийная схема типа Рунге —Кутты и L-устойчивый (2,1)-метод второго порядка точности. На осно-ве стадий явного метода построена численная формула первого поряд-ка с расширенным до 8 интервалом устойчивости. Разработан алгоритминтегрирования переменного порядка и шага, в котором выбор наибо-лее эффективной численной схемы осуществляется на каждом шаге сприменением неравенства для контроля устойчивости. Приведены ре-зультаты расчетов, подтверждающие эффективность построенного ал-горитма.


1. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных урав-нений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир,1999.

2. Новиков Е.А., Новиков В.А., Юматова Л.А. Замораживание матрицыЯкоби в методе типа Розенброка второго порядка точности // Журн.вычисл. математики и мат. физики. 1987. Т. 27, 3. C.385–390.

3. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука,1997.

196


Канонические модули и общее решениеуравнений двумерной статической задачи

анизотропной упругости

Canonical moduli and the general solutionfor equations of two–dimensional static problem

of anisotropic elasticity

Остросаблин Н.И.


С использованием ортогонального и аффинного преобразований ко-ординат и механических величин [1] уравнения двумерной статическойзадачи анизотропной упругости с шестью модулями приведены к про-стейшему виду с двумя модулями

[∂11 + ∂22 (1 + A21)∂12

(1 + A21)∂12 ∂11 + A22∂22

] [u1

u2

]+

[F1

F2

]= 0, (1)

где A21, A22 — канонические модули упругости; uj — вектор смещения;Fi — вектор объёмных сил; ∂k — производная по координате xk.

Из условия A221 < A22 следует положительная определённость мат-

рицы A операторов в (1), при этом определитель

|A| = d = ∂1111 + (A22 −A221 − 2A21)∂1122 + A22∂2222 > 0 (2)

при любых действительных значениях символов ∂i, ∂11 +∂22 6= 0. В за-висимости от соотношений между каноническими модулями A21, A22

определитель (2) представляется по-разному в виде квадратичных мно-жителей, также не имеющих действительных нулей.

При выполнении неравенств A21 + 2 <√

A22, −√

A22 < A21 <√

A22

определитель (2) принимает вид

d = (∂11 + a1∂22)(∂11 + a2∂22), (3)

2a1,2 = A22 + 1− (A21 + 1)2 ±√

(A22 −A221)[A22 − (A21 + 2)2] > 0.

Если выполняется равенство A21 + 2 =√

A22, то из (3) получаем

d = (∂11 +√

A22∂22)2. (4)

197


Если выполняется неравенство√

A22 < A21 + 2, то определитель (2)разлагается на множители вида

d = (∂11 + 2a12∂12 +√

A22∂22)(∂11 − 2a12∂12 +√

A22∂22), (5)

2a12 =√

(√

A22 + A21)(2 + A21 −√

A22).

Квадратичные формы в (5) положительно определённые, так как вы-полняется неравенство a2

12 <√

A22.Пусть D = diag(D1, D2) диагональная матрица, где D1, D2 мно-

жители в выражениях (3)–(5), т. е. d = D1D2. Для каждого варианта(3)–(5) существуют матрицы

C =[

α111∂1 + α121∂2 α112∂1 + α122∂2

α211∂1 + α221∂2 α212∂1 + α222∂2

], (6)

B =[

β111∂1 + β121∂2 β112∂1 + β122∂2

β211∂1 + β221∂2 β212∂1 + β222∂2

]

такие, что выполняется соотношение AC = BD, где A — матрица опе-раторов в (1). Так как |A||C| = |B||D| и |A| = |D| = d = D1D2, тоотсюда следует |C| = |B|. Общее решение однородных уравнений (1)Au = 0 представляется в виде u = Cϕ, Dϕ = f , Bf = 0. Формулыu = Cϕ, ϕ = B′u, Au = 0 переводят решения уравнений Au = 0, Dϕ = 0друг в друга (штрих означает транспонирование матрицы). При этомu = CB′u — формула производства новых решений, т. е. Q = CB′ —оператор симметрии [2].

При построении матриц (6) некоторые их коэффициенты остаютсясвободными и за счёт этого можно получать различные формы пред-ставления смещений через квазигармонические функции ϕ1, ϕ2.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-01-00749) и Совета по грантам Президента РФ(проект НШ-3066.2008.1).


1. Остросаблин Н.И. Об аффинных преобразованиях уравнений линейнойтеории упругости // Прикл. механика и техн. физика. 2006. Т. 47, 4.С. 124–134.

2. Остросаблин Н.И. Операторы симметрии и общие решения уравненийлинейной теории упругости // Прикл. механика и техн. физика. 1995.Т. 36, 5. С. 98–104.

198


Линейный и нелинейный анализ численного методарасчета двумерной конвекции

The linear and non–linear analysis of a numericalmethod for computation of two–dimensional

convection

Палымский И.Б.

Современная гуманитарная академия, Новосибирский филиал,Новосибирск, Россия; [email protected]

Рассматривается двумерная и нестационарная конвекция жидко-сти в плоском слое при подогреве снизу; обе горизонтальные грани-цы считаются плоскими и свободными от касательных напряжений.Система уравнений конвекции записана для несжимаемой жидкостив приближении Буссинеска. Предложенным в работе [1] специальнымспектрально-разностным численным методом была рассчитана турбу-лентная конвекция до r ≤ 3.4 · 104 при Pr = 10 [2]. Здесь и далееr = Ra/Racr — надкритичность, Ra — число Рэлея, Racr = 657.5 — кри-тическое число Рэлея, Pr — число Прандтля. Полученные результатысопоставляются с данными лабораторных экспериментов по изучениютурбулентной конвекции. В [3] этим методом исследовались простран-ственные спектры двумерных и трехмерных течений турбулентной кон-векции.

Согласно идеи расщепления, переход от слоя n к слою n + 1 повремени производится в два шага. На первом дробном шаге расщеп-ления учитывается линейное развитие возмущений, которое рассчиты-вается в спектральном пространстве по аналитическим формулам, по-добным формулам линейной теории устойчивости [1]. Взаимодействиегармоник на первом этапе расщепления не учитывается. На второмэтапе учитывается нелинейный конвективный перенос, то есть взаи-модействие гармоник. Расчет взаимодействия гармоник производитсяв физическом пространстве по конечно-разностной схеме переменныхнаправлений.

Использование аналитических формул на первом этапе расщепле-ния, подобных формулам линейной теории устойчивости, обусловлива-ет хорошее соответствие в линейном приближении спектральных ха-рактеристик исходной дифференциальной задачи и численного мето-да [1]. Это гарантирует правильное воспроизведение бесконечно малых

199


возмущений равновесного решения. И более того, использование ана-литических формул позволяет значительно увеличивать шаг дискре-тизации по времени.

К сожалению, при линейном анализе все нелинейные члены отбра-сываются, поэтому линейный анализ не дает возможность анализиро-вать способы аппроксимации нелинейных членов. На модельной нели-нейной системе уравнений проведен нелинейный анализ численного ме-тода. Модельная нелинейная система имеет точное нестационарное ре-шение, аналогичное решение для численного метода выписывается ввиде степенного ряда по шагам по времени и пространству. Эти ре-шения сравниваются и исследуются различные аппроксимации по вре-мени нелинейных членов. Показано, что используемая схема первогопорядка точности по времени приводит лишь к незначительному пони-жению точности вычислений, по сравнению со схемами второго поряд-ка точности.


1. Палымский И.Б. Метод численного моделирования конвективных тече-ний // Вычисл. технологии. 2000. Т. 5, 6. С. 53–61.

2. Палымский И.Б. Численное моделирование двумерной конвекции, рольграничных условий // Изв. РАН. Мех. жидк. и газа. 2007. 4. С. 61–71.

3. Палымский И.Б. Численное исследование спектров турбулентной кон-векции Рэлея — Бенара // Нелин. динамика. 2008. Т. 4, 2. С. 145–156.

200


Об одном итерационном методе с расщеплениемграничных условий решения 1–ой начально–краевой

задачи для нестационарной системы Cтокса иего численных реализациях

On an iterative method with boundary conditionsplitting for first initial–boundary value problemfor nonstationary Stokes system and its numerical

realizations

Пальцев Б.В.1, Соловьев М.Б.2

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва,Россия; [email protected], [email protected]

Предложен и исследован на дифференциальном уровне принципи-ально новый итерационный метод решения 1-ой начально-краевой за-дачи для нестационарной системы Стокса. Итерация метода заключа-ется в последовательном решении двух существенно более простых, чемисходная, задач: зависящей от времени как от параметра задачи Ней-мана для давления, и затем специальной векторной параболическойначально-краевой задачи для скорости, такой, что ее решения автома-тически являются соленоидальными вектор-функциями. Завершаетсяитерация очень простой формулой пересчета, в которую входит неко-торый параболический оператор на пространственно-временной частиграницы [1].

Сходимость этого итерационного метода доказана в анизотропныхпространствах Соболева W s,2s

π;2;t,x((0, T )×Ω) (для скорости), по крайнеймере в случае, когда область — слой в Rn, а задача периодическая понаправлениям вдоль слоя (здесь Ω - ячейка периодичности, s — нату-ральное). Установлено, что итерационный процесс уменьшает ошибкуза 1 итерацию, грубо говоря, в 7 раз. При этом получены условия назаданную граничную функцию, и дано эффективное описание усло-вий согласования граничного и начального данных (s − 1 из них припоказателе гладкости s ≥ 2 являются нелокальными), которые в сово-купности являются необходимыми и достаточными для существованиярешения из указанного соболевского пространства. При s ≥ 2 найденытакже условия на начальное приближение, необходимые и достаточныедля сходимости итерационного процесса в таком пространстве.

201


То, что на итерациях метода происходит расщепление на значитель-но более простые и устойчиво численно аппроксимируемые краевые за-дачи позволяет построить эффективные численные реализации этогометода. Такие численные реализации построены на основе билинейныхконечных элементов по пространству и конечных разностей по временидля случая полосы в R2 при условии периодичности вдоль нее, а так-же для случая зазора между двумя коаксиальными цилиндрами приусловиях осесимметричности задачи и ее периодичности вдоль оси ци-линдров [2]. При численной аппроксимации параболической задачи дляскорости используется неявная трехслойная разностная схема 2-го по-рядка точности по времени [3], обеспечивающая, в отличие от схемыКранка — Николсона, быстрое затухание высокочастотных возмуще-ний.

Численными экспериментами установлено, что построенный чис-ленный метод обеспечивает второй порядок точности численных ре-шений в норме максимума модуля как по пространственным, так и повременным шагам, причем и для скорости и для давления.

Обнаружилось, что использование непосредственной численной ап-проксимации формулы пересчета на границе приводит к значительно-му падению скоростей сходимости итераций на высоких гармониках.Это весьма нежелательное явление удалось полностью устранить бла-годаря модифицированию формулы пересчета, базирующемуся на од-ном алгоритме, предложенном в [4] для близких методов с расщепле-нием граничных условий для стационарной системы типа Стокса.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 08-01-00661).

ЛИТЕРАТУРА1. Пальцев Б.В. Об одном итерационном методе с расщеплением гранич-

ных условий решения 1-ой начально-краевой задачи для нестационарнойсистемы Стокса // Тез. докладов Междунар. конф., посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева. Новосибирск. 2008. С. 540.

2. Пальцев Б.В., Соловьев М.Б. О численных реализациях нового ите-рационного метода с расщеплением граничных условий решения 1-ойначально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса // Мате-риалы междунар. конф., посвященной 70-летию В.А. Садовничего. М.:Университетская книга. 2009. С. 332.

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.4. Лозинский А.С. Об ускорении конечно-элементных реализаций итераци-

онных процессов с расщеплением граничных условий для системы Сток-са // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2000. Т. 40, 9. С. 1339–1363.

202


Решение обратной коэффициентной задачитеплопроводности с применениемдискретно–аналитических схем

Solution of a coefficient inverse heat conductionproblem by discrete–analytical schemes

Пененко A.В.


Рассматривается задача о поиске коэффициента k(x) в начально-краевой задаче для уравнения теплопроводности:

ut(x, t)− (k(x)ux(x, t))x = 0, (x, t) ∈ [0, 1]× [0, T ],

k(0)ux(0, t) = α(t), k(1)ux(1, t) = 0, t ∈ [0, T ],

u(x, 0) = 0, x ∈ [0, 1],

по известной функции α(t) и дополнительной информации о реше-нии f(t):

u(0, t) = f(t), t ∈ [0, T ].

Исследование свойств обратной задачи посредством теории сопряжен-ных уравнений [1, 2] показало, что она может быть переформулирова-на в виде операторного уравнения, для решения которого можно при-менить модификацию подхода, разработанного в [3] для нелинейныхнекорректных операторных уравнений с достаточно гладкими опера-торами. С его помощью доказана локальная сходимость итерационногометода проекции градиента на заданное конечномерное подпростран-ство L2(0, 1).

Используемые в алгоритме конечномерные операторы и градиентыфункционалов представляют собой аппроксимации соответствующихобъектов, выделенных в процессе анализа обратной задачи. Чтобы точ-но учесть граничные условия по пространству был использован методпостроения дискретно-аналитических численных схем с привлечени-ем локально-сопряженных задач, разработанный в [4]. Теми же сред-ствами удалось обеспечить согласованность всех элементов алгоритмаи показать разрешимость начально-краевой задачи в классах гладкихфункций.

203


Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследо-ваний Президиума РАН (проект 16), Отделения математических наук РАН(проект 3) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-05-00673).


1. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.Л.: Гидрометеоиздат, 1974.

2. Пененко В.В. Вычислительные аспекты моделирования динамики атмо-сферных процессов и оценки влияния различных факторов на динамикуатмосферы // Некоторые проблемы вычислительной и прикладной ма-тематики. Новосибирск: Наука, 1975. С. 61–76.

3. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю., Козлов А.И. Стабилизирующиесяметоды градиентного типа для решения нерегулярных нелинейных опе-раторных уравнений. М.: ЛКИ, 2007.

4. Penenko V., Tsvetova E. Discrete-analytical methods for the implementationof variational principles in environmental applications // J. Comput. Appl.Math. 2009. V. 226. P. 319–330.

204


Оптимизационные модели и методыдля природоохранного прогнозирования и оценок

экологических рисковOptimization models and methods for environmental

forecasting and ecological risk assessment

Пененко В.В.


В докладе излагаются концепция и результаты работ по развитиютеоретических основ, математических моделей и методов для решениязадач природоохранного прогнозирования. Основное внимание уделя-ется методам оценок экологических рисков и масштабов последствийантропогенных воздействий на атмосферу, выявлению климатическихпредпосылок возникновения областей повышенного риска/уязвимостипо отношению к этим воздействиям [1].

Для исследований разработан многофункциональный комплекс ма-тематических моделей, включающий прямые и сопряженные задачидля моделей гидротермодинамики атмосферы различных масштабов имоделей переноса и трансформации загрязняющих примесей в газовоми аэрозольном состояниях (модели конвекции-диффузии-реакции).

Методика решения задач базируется на применении вариационныхпринципов для построения численных моделей и алгоритмов их реали-зации на ЭВМ, а также для организации методов прямого и обратно-го моделирования и методов теории чувствительности функционаловобобщенной оценки поведения климатической системы и ее частей квариациям параметров источников антропогенных воздействий и вход-ных параметров математических моделей. Для этих целей предложенновый класс монотонных численных схем дискретно-аналитическоготипа [2]. Оптимальность прогнозирования понимается как бистацио-нарность оценок целевых функционалов к вариациям функций состоя-ния исследуемых процессов и соответствующих им сопряженных функ-ций. Задачи решаются в рамках разработанной нами методики совмест-ного использования моделей и данных наблюдений.

Следуя предлагаемой нами концепции прогноза, экологические рис-ки рассчитываются с помощью комбинации методов прямого и обрат-ного моделирования через функции чувствительности функционалов

205


состояния и методов факторного анализа с пространственно-времен-ными информативными базисами. Причем базисы строятся с помощьюортогональной декомпозиции многомерных многокомпонентных полей,полученных как по фактической информации, так и по результатаммоделирования функций состояния и функций чувствительности [3].

Проблема риска антропогенных воздействий для каждого объектарассматривается в двух аспектах. В одном из них объект выступаеткак источник возмущений, а в другом — как рецептор (получатель)“чужих” воздействий. В первом случае основной вопрос состоит в по-иске “областей-источников”, представляющих повышенную опасностьдля окружающих территорий, а во втором – в выявлении “областей-рецепторов”, имеющих повышенную уязвимость из-за климатическихусловий. Для формирования прогнозов регионального масштаба с уче-том влияния глобальных процессов предложен новый тип моделей с на-правляющими фазовыми пространствами, которые, в свою очередь,строятся по информативным базисам глобального масштаба. Взаимо-действие региональной модели с направляющими пространствами осу-ществляется с помощью методов вариационного усвоения данных [3].

Разработана методика обнаружения источников специфических ан-тропогенных воздействий с помощью совместного использования моде-лей и данных мониторинга.

Демонстрируются результаты применения методики к решению за-дач по оценке экологической перспективы и рисков для конкретныхрегионов и объектов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 07-05-00673), Президиума РАН (программа 16) иОМН РАН (программа 3).


1. Пененко В.В., Цветова Е.А. Оптимальное прогнозирование природныхпроцессов с оценкой неопределенности // Прикл. механика и техн. физи-ка. 2009. 2. C. 156–166.


3. Penenko V., Tsvetova E. Orthogonal decomposition methods for inclusion ofclimatic data into environmental studies // Ecol. model. 2008. V. 217. P. 279–291.

206


Минимизация сопротивления тела обтекаемогопотоком вязкого газа

Shape optimization problem for compressibleviscous flow

Плотников П.И.


Рассматривается стационарная пространственная задача об обте-кании тела конечных размеров потоком вязкого баротропного газа.В предположении, что числа Маха и Рейнольдса достаточно малы до-казываются локальные теоремы существования и единственности ре-шения этой задачи. Также исследуется корректность сопутствующихкраевых задач для транспортного уравнения в дробных пространствахСоболева. Проводится исследование зависимости решения задачи об-текания от формы тела. Доказывается дифференцируемость функци-онала сопротивления по форме обтекаемого тела. Дается вывод усло-вий оптимальности в терминах сопряженного состояния. Доказывает-ся корректность основных краевых задач для уравнений сопряженногосостояния. В качестве приложений рассматривается задача о миними-зации сопротивления обтекаемого тела при заданной подъемной силеи объеме.


1. Plotnikov P. I., Sokolowski J. Inhomogeneous boundary value problems forcompressible Navier–Stokes equations, well-posedness and sensitivity analy-sis // SIAM J. Math. Anal. 2008. V. 40. P. 1152–1200.

207


Экономичная реализация метода Годунова на основеприближенного решения задач о распаде разрыва

An efficient implementation of Godunov’s methodby approximate solution of the Riemann problem

Прокопов Г.П.1, Северин А.В.2

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН,Москва, Россия; [email protected], [email protected]

Известный метод Годунова [1, 2] для численного решения газоди-намических задач пользуется широкой популярностью, в том числе, идля других уравнений математической физики (см., например, [3]). Еговажнейшим структурным элементом является массовое решение задачо распаде разрыва (называемых также задачами Римана). Если такаяэлементарная, но достаточно громоздкая задача решается точно (за-метим, что это необходимо далеко не всегда), требуются значительныевычислительные затраты. Ситуация еще ухудшается, если речь идетоб уравнениях состояния, более сложных, чем идеальный газ или дву-членный УРС (см., например, [4]).

В связи с этим появились и продолжают появляться работы, пред-лагающие алгоритмы приближенного решения задач Римана (некото-рые из них представлены в [3]). Одной из таких работ, содержащейописание экономичного алгоритма, является [5]. В ней представлены ирезультаты его апробирования, близкие к получаемым по методу Году-нова с точным расчетом распадов разрывов, но при существенно мень-ших вычислительных затратах.

Тем не менее обоснованность алгоритма [5] и его приемлемость длярасчета произвольных газодинамических задач вызвала определенныесомнения с точки зрения возможного поведения энтропии, изложен-ные в [6, 7]. Позже появилась работа [8], посвященная исследованиюповедения энтропии в алгоритме, предложенном в [5].

Аналогично методу Годунова произвольный разрыв моделируетсяраспадом на три разрыва: левый, контактный и правый. Некоторы-ми формулами задаются две массовые скорости: для левого и правогоразрывов. После этого на основе соотношений на разрывах по простымявным формулам вычисляются скорости разрывов и значения парамет-ров в секторах, описывающих распад. Результатом алгоритма является

208


выбор соответствующего сектора для назначения величин (P,U,R,E)∗давления, скорости, плотности и внутренней энергии. Они и использу-ются для вычисления потоков через границы ячеек сетки.

Особенностью алгоритма является то, что получаемые вспомога-тельные параметры, как правило, не удовлетворяют уравнению со-стояния. Это порождает, в частности, проблему неопределенности эн-тропии. Ее можно снять, если дополнить предлагаемый в [5] алго-ритм операцией пересчета величины давления по уравнению состоя-ния: P ∗ = p(R∗, E∗). После этого величины потоков вычисляются повеличинам (P ∗, U∗, R∗, E∗). Естественно, что тогда реализуется другоеприближенное решение, так как P ∗ и P∗ могут существенно различать-ся.

С точки зрения практики расчетов представляется целесообразнымне противопоставление приближенных решений (какое “лучше”?), а па-раллельное проведение двух расчетов с использованием P ∗ и P∗. Срав-нение их результатов может позволить делать выводы либо о приемле-мой точности определения нужных характеристик процесса или кон-струкции, либо, напротив, о необходимости их уточнения.

В последнем случае напрашивается локализация “сомнительных”участков задачи, выделение их в отдельные счетные области и при-менение технологий типа многосеточных методов. В условиях суще-ственно возросших возможностей вычислительной техники и развитияпараллельных технологий вычислений существенно упрощается и ав-томатизация таких расчетов.

Достоинством приближенного алгоритма является то, что он не ис-пользует описание структуры волны разрежения на основе римановыхинвариантов и адиабаты Пуассона. Это позволяет существенно расши-рить круг сложных уравнений состояния. В качестве примера можнопривести УРС Грюнайзена, для реализации которого в [4] потребова-лась весьма затратная технология. В [5] упоминается об успешном при-менении приближенного алгоритма для сред с переменными теплофи-зическими свойствами.


1. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решенийуравнений гидродинамики // Мат. сб. 1959. Т. 47, вып. 3. С. 271–306.

2. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Проко-пов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука, 1976.

209



4. Моисеев Н.Я., Мухамадиева Т.А. Метод Ньютона для решения задачи ораспаде произвольного разрыва в средах с уравнениями состояния общеговида // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008. Т. 48, 6.С. 1102–1110.

5. Сафронов А.В. Разностный метод решения нестационарных уравненийгазовой динамики на основе соотношений на разрывах // Космонавтикаи ракетостроение. 2006. Вып. 2(43). С. 152–158.

6. Прокопов Г.П. Необходимость контроля энтропии в газодинамическихрасчетах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, 9.С. 1591–1601.

7. Прокопов Г.П. О приближенных реализациях метода Годунова. М., 2007.(Препринт / ИПМ им. М.В. Келдыша РАН; 15).

8. Сафронов А.В. Кинетические схемы для уравнений газодинамики // Вы-числ. методы и программирование. 2009. Т. 10, 1. С. 62–74.

210


Гомеоморфизмы клеточных разбиенийHomeomorphisms of regular cell complexes

Прохорова М.Ф.


При разработке алгоритмов построения сеток для численных рас-четов в областях сложной конфигурации нужное отображение частостроится локально для каждой ячейки сетки по отдельности, а затемтребуется определить, является ли склеенное из отдельных кусочковотображение глобальным гомеоморфизмом. В [1] был сформулировани доказан ряд общих критериев гомеоморфности для непрерывныхотображений топологических пространств, топологических и триангу-лированных многообразий, а также критерии диффеоморфности длягладких отображений гладких многообразий. Здесь мы приводим дваудобных для конкретного использования следствия теоремы 14 из [1].

Непрерывное отображение f : A → B будем называть погружением,если у любой точки a ∈ A существует окрестность U такая, что f |Uзадает гомеоморфизм между U и f(U).

Хаусдорфово топологическое пространство X со счетной базой на-зывается n-мерным топологическим многообразием, если для любойточки x ∈ X некоторая ее окрестность гомеоморфна пространству Rn

либо полупространству Rn+ = (x1, . . . , xn) : xi ∈ R, x1 ≥ 0. Точки

x ∈ X, имеющие окрестность, гомеоморфную Rn, называются внутрен-ними. Подпространство X, состоящее из точек, не являющихся внут-ренними, называется краем ∂X многообразия X.

Пусть X, Y — связные топологические n-мерные ориентированныемногообразия. Пусть задано разбиение X = ∪N

i=1Xi такое, что1. для каждого Xi (называемого клеткой) задан гомеоморфизм ϕi

из ni-мерного замкнутого диска Dni на Xi,2. для любой клетки Xi её край ∂Xi = ϕi (∂Dni) является объеди-

нением клеток меньшей размерности,3. относительные внутренности клеток Xi = ϕi (intDni) не пересе-

каются (и, следовательно, образуют дизъюнктное разбиение X),4. край ∂X многообразия X является клеточным подпространством

данного разбиения, т. е. ∂X = ∪i∈IXi для некоторого подмноже-ства I ⊂ 1, ..., N.

211


В сеточном контексте Xi является ячейкой сетки при ni = n и граньюячейки при ni < n. Обозначим Xk = ∪Xi : ni ≤ k k-мерный остов X.

Теорема 1. Пусть f : X → Y – непрерывное отображение. Тогдаследующие два условия эквивалентны:

1. f является сохраняющим ориентацию гомеоморфизмом.2. f(∂X) ⊂ ∂Y ; ограничение f на каждую открытую клетку Xi —

погружение, причем если клетка n-мерна, то это погружение со-храняет ориентацию; и для некоторой точки x0 ∈ (X\Xn−1) ∪(∂X\Xn−2) выполняется f−1 (f (x0)) = x0.

Теорема 2. Пусть X = ∪Ni=1Xi удовлетворяет перечисленным вы-

ше условиям; Y — связное ориентируемое n-мерное гладкое много-образие; f : X → Y — непрерывное отображение, f(∂X) ⊂ ∂Y ; длявсех i непрерывное отображение fi = f ϕi : Dni → Y непрерывнодифференцируемо на внутренности intDni , причём его дифференци-ал невырожден (т. е. rang(dfi) = ni) и сохраняет ориентацию приni = n; и для некоторой точки x0 ∈ (X\Xn−1) ∪ (∂X\Xn−2) выполня-ется f−1 (f (x0)) = x0. Тогда f является сохраняющим ориентациюгомеоморфизмом.

В отличие от теорем 7 и 9 работы [2], здесь ячейки могут бытьпроизвольной формы (не налагается никаких требований выпуклости,плоских граней и т. п.); накладывается условие (“невырожденность”)лишь на поведение f внутри ячеек и граней, а не в их замыканиях;не требуется инъективности ограничения f на границы ячеек; доста-точно наличия хотя бы одной точки с одноэлементным прообразом (нетребуется, чтобы f гомеоморфно отображало ∂X на ∂Y ); отображениеопределено на произвольном топологическом многообразии (а не назамкнутой области в Rn) и действует в произвольное топологическоемногообразие (а не в исходную или гомеоморфную исходной область).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проекты 09-01-00173-а и 09-01-00139-а), а также Програм-мы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН.

ЛИТЕРАТУРА1. Прохорова М.Ф. Проблемы гомеоморфизма, возникающие в теории по-

строения сеток // Тр. Инст. математики и механики УрО РАН. 2008.Т. 14, 1. С. 112–129.

2. Бобылев Н.А., Иваненко С.А., Казунин А.В. О кусочно-гладких гомео-морфных отображениях ограниченных областей и их приложениях к тео-рии сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т. 43, 6.С. 808–817.

212


Intel R©MKL PARDISO* — многофункциональныйпрямой решатель разреженных систем линейных

уравненийIntel R©MKL PARDISO* — multifunctional paralleldirect solver for sparse systems of linear equations

Пудов С. Г.1, Соловьев С.А.2

ЗАО Интел А/О, Новосибирск, Россия;[email protected], [email protected]

Intel R©Math Kernel Library PARDISO* — это широко известный па-раллельный прямой решатель из библиотеки Intel R©MKL, который поз-воляет эффективно решать разреженные системы линейных алгебраи-ческих уравнений (СЛАУ) на многоядерных системах с использовани-ем современных математических алгоритмов, а также архитектурныхособенностей процессоров Интел. Процесс решения СЛАУ с помощьюPARDISO* состоит из трех этапов: переупорядочивание матрицы A,факторизация (LU -разложение измененной матрицы A′) и решение по-лученной системы LUx = y. На первом этапе столбцы и строки ис-ходной матрицы переставляются таким образом, чтобы максимальнораспараллелить этап факторизации, а также оптимизировать исполь-зование оперативной памяти для хранения LU факторов.

Наряду с прямым решателем, Intel R©MKL PARDISO* включает всебя несколько дополнительных функциональных возможностей, ко-торые позволяют улучшить надежность и повысить производитель-ность решения СЛАУ. Первая из них позволяет одновременно решатьнесколько разреженных СЛАУ, матрицы которых имеют одну и ту жеструктуру. При этом, во-первых, уменьшается время решения задач,поскольку первый этап выполняется только один раз; во-вторых, су-щественно уменьшается объем потребляемой памяти, поскольку струк-тура LU разложения общая для всех матриц и хранится в отдельноммассиве. Вторая — поддержка итерационных (CG или CGS) алгорит-мов решения СЛАУ. Такая функциональность актуальна для решениянестационарных задач, в которых необходимо получить набор решенийпоследовательности систем уравнений, незначительно отличающихсядруг от друга. Для решения каждой такой системы используется ите-рационный (CG или CGS) алгоритм, а в качестве предобуславлива-

213


теля используется LU разложение одной из предыдущих матриц. Ес-ли не удается найти решение за определенное количество шагов, товходная матрица решается с помощью прямого алгоритма, а LU раз-ложение сохраняется для предобуславливания последующих систем.Третья, немаловажная функциональность Intel R©MKL PARDISO* —это решение плохообусловленных СЛАУ. Для этих целей пользователюпредлагается использовать несколько вспомогательных опций. Напри-мер, выбор ведущего элемента в процессе LU -разложения; группировкабольших элементов исходной матрицы A около главной диагонали пу-тем дополнительной перестановки столбцов и строк; нормировка исход-ной матрицы A. В процессе этих изменений создаются векторы переста-новок и масштабируемости, которые используются на этапе решениясистемы LUx = b. Если же в процессе факторизация, на главной диа-гонали встречается нулевой элемент (меньше заданного ε-критерия), тоон заменяется δ-значением. Такое возможно благодаря использованиюопции усиления главной диагонали. В результате получаем L∗U∗ разло-жение измененной матрицы A∗ 6= A. Такое разложение не даст точногорешения исходной системы Ax = b, но является хорошим предобуслав-ливателем для итерационных методов. Используя это свойство, длярешения исходной системы Ax = b применяется итерационное уточ-нение. В качестве начального приближения задается решение системыL∗U∗x0 = b, а матричные умножения на каждом итерационном шагепроизводятся с двойной точностью. Помимо этого, в последних версияхIntel R©MKL PARDISO* добавлена возможность ускорения процесса ре-шения СЛАУ путем понижения точности арифметических вычисленийдо одинарной (Intel R©MKL 10.2), а также возможность решения оченьбольших СЛАУ, LU факторы которых уже не помещаются в оператив-ную память — “Out-Of-Core” (Intel R©MKL 10.0). Такой широкий наборфункциональности ставит Intel R©MKL PARDISO* на один уровень сего основными конкурентами, такими как TAUCS и MUMPS, в то вре-мя как по производительности и масштабируемости он в большинствеслучаев показывает лучшие результаты.

214


Вязкие течения в областях с многосвязной границей

Viscous flow in domains with multiplyconnected boundary

Пухначев В.В.


Рассматривается стационарная задача для системы уравненийНавье — Стокса

v · ∇v = −∇p + ν4v, ∇ · v = 0 (1)

в ограниченной области Ω ∈ Rn (n = 2, 3) с границей Σ, состоящей изнескольких связных компонент Σ1, . . . , Σm. Вектор скорости v удовле-творяет краевому условию

v = ai(x), x ∈ Σi, i = 1, . . . , m, (2)

где ai — заданные функции. Следствием уравнения неразрывности яв-ляется соотношение

∫

Σ1

a1 · n1 dΣ1 + . . . +∫

Σm

am · nm dΣm = 0, (3)

где ni — единичный вектор внешней нормали к поверхности Σi. Есливместо (3) выполнено более сильное условие

qi ≡∫

Σi

ai · ni dΣi = 0, i = 1, . . . , m, (4)

то при надлежащих условиях гладкости и согласования для задачи(1), (2) имеет место теорема существования решения. Впервые такаятеорема была доказана Ж. Лерэ (1933) на основе того факта, что длялюбых решений задачи величина интеграла Дирихле

I =∫

Ω

∇v : ∇vdx

конечна. Последнее утверждение было установлено Лерэ рассуждениемот противного. Э. Хопф (1941) получил априорную оценку величины I

215


при выполнении условия (4). Если m = 1, условия (3) и (4) совпада-ют. Вопрос о разрешимости задачи (1), (2) в случае m > 1 остаетсяоткрытым.

Начиная с работы Р. Финна (1961), были получены теоремы су-ществования для задачи (1), (2) в предположении малости величин qi

(Х. Моримото, Х. Фуджита, С. Укай, В. Борхерс, К. Пилецкас). Первыйнелокальный результат принадлежит Ч. Эмику (1984), который рас-смотрел плоскую задачу в криволинейном кольце при следующих усло-виях симметрии: область Ω симметрична относительно оси x1; функ-ции v1 и p являются четными по переменной x2, а функция v2 нечетнапо этой переменной. Результат Эмика не содержал априорной оцен-ки интеграла Дирихле. Такая оценка и вытекающая из нее теоремасуществования при сформулированных условиях симметрии были по-лучены Х. Фуджита (1997) с помощью предложенной им конструкциивиртуальной дрены.

В докладе формулируется теорема существования решения осесим-метричной задачи (1), (2). Выделен класс плоских областей, для ко-торых оценка интеграла Дирихле может быть получена без предполо-жения о симметрии течения. Рассмотрен предельный случай плоскойзадачи, когда Ω есть односвязная область с выколотой точкой, а вели-чина |q1|ν−1 достаточно мала. Здесь получена теорема существованиярешения задачи (1), (2) с бесконечным интегралом Дирихле векторногополя v.

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Прези-дента РФ (проект НШ-2260.2008.1).

216


О некоторых обратных задачахдля эллиптических уравнений и систем

On some inverse problems for ellipticequations and systems

Пятков С. Г.

Югорский государственный университет, Ханты-Мансийск, Россия;[email protected]

Рассматривается задача об определении вместе с решением правойчасти специального вида для системы уравнений

Lu =n∑

i,j=1

∂xiAij(x)uxj

+n∑

i=1

Ai(x)uxi +A0(x)u = f(x)·q(xn)+f0(x), (1)

где x′ = (x1, . . . , xn−1), (x′, xn) ∈ Q = G × (0, T ), G — ограниченнаяобласть в Rn−1, Aij — симметрические матрицы размерности m × m,f(x) = (f1, f2, . . . , fm), f0(x) = (f0

1 , f02 , . . . , f0

m), q = (q1, q2, . . . , qm) иf(x) · q(xn) — вектор (f1q1, f2q2, . . . , fmqm). Уравнение (1) дополняетсякраевыми условиями:

u|S = ϕ(x), S = ∂Q. (2)

Пусть αi ∈ [0, T ] (i = 0, 1, . . . , s) — некоторый набор точек, α0 = 0 <α1 < . . . < αs = T . Будем искать решение задачи (1), (2) в классефункций u, удовлетворяющих краевому условию Дирихле (2) и таких,что

[u]αk= 0, [

n∑

j=1

Anjuxj + σu]αk= 0, k = 1, 2, . . . , s− 1, (3)

где как обычно [v(x′, xn)]αk= v(x′, αk + 0) − v(x′, αk − 0) — скачок

функции при переходе через точку αk. В частности, в класс систем (1)входит система уравнений Ламэ и ряд других систем теории упруго-сти, где n = m = 3. Условие (3) служит аналогом условия непрерывно-сти поля смещений и напряжений в горизонтально-слоистой среде, гдепри переходе из одного слоя во второй модули непрерывности (элемен-ты матриц Aij) могут иметь разрывы первого рода. Краевые условия(2), (3) дополняются условиями переопределения. Мы рассмотрим два

217


типа условий переопределения: одно интегральное и второе локальное,т. е. значение решения задается в некоторой точке области G. Усло-вия такого типа являются стандартными. Система (1) предполагаетсяравномерно эллиптической, т. е. существует постоянная δ > 0 :

n∑

i,j=1

(Aij(x)ξj , ξi) ≥ δ(n∑

i=1

|ξi|2) ∀x ∈ Q, ∀ξi ∈ Rm. (4)

Условие Дирихле (2) также может быть заменено на условие второйили третьей краевой задачи. В общем случае, в теории упругости пред-полагается симметричность матриц Aij + Aji и слабая эллиптичностьсистемы. Мы требуем выполнения более сильного условия (4), кото-рое выполнено для многих систем теории упругости, в частности длясистемы Ламэ.

218


Исследование дихотомии линейных почтипериодических систем прямым методом ЛяпуноваA study of dichotomy of linear almost periodical

systems by the direct Lyapunov method

Романовский Р.К., Бельгарт Л.В.

Омский государственный технический университет, Омск, Россия;[email protected]

1. Взаимным наклоном подпространств E1, E2 пространства E =CN будем называть [1] число Sn(E1, E2) = inf |x1−x2|, xk ∈ Ek, |xk| = 1.Здесь и далее | · | — эрмитова норма в E. Будем говорить, что длясистемы

x = A(t)x, x : R→ CN , (1)

с непрерывной на оси матрицей A(t) и матрицей Коши U(t) имеет ме-сто свойство экспоненциальной дихотомии (э-дихотомии), если фазовоепространство E распадается в прямую сумму подпространств E1, E2

так, что при некоторых µ, ν > 0 выполняются оценки

1) x ∈ E1 ⇒ |U(t)x| 6 µe−ν(t−τ)|U(τ)x| (t > τ),2) x ∈ E1 ⇒ |U(t)x| 6 µe−ν(τ−t)|U(τ)x| (t 6 τ),

и при этом Sn(E1t, E2t) > const > 0.2. Обозначим J класс эрмитовых индефинитных гладких ограни-

ченных на оси матриц G : R→ Mat(N,C) с отделённым от нуля | detG|.Рассмотрим эрмитову форму v(x, t) =< G(t)x, x >, G ∈ J . Производ-ная формы v вдоль траекторий системы (1)

v(x, t) =< F (t)x, x >, F = G + GA + A∗G. (2)

Известно [2]: для того, чтобы система (1) с непрерывной ограничен-ной на оси матрицей A(t) была э-дихотомична, необходимо и достаточ-но существование матрицы G ∈ J такой, что выполняется неравенствоF 6 −mI, m > 0. Этот результат повторён в [3]. В классе почти пери-одических (п. п.) систем (1) имеет место следующее усиление [4].

Теорема 1. I. Если для системы (1) с п. п. матрицей A(t) существуетматрица G ∈ J такая, что 1) G, G п. п., 2) F 6 0 (t ∈ R), 3) форма (2)

219


отлична от тождественного нуля на каждом решении x(t) 6= 0 системы(1) : v(x(t), t) 6≡ 0, то система (1) э-дихотомична.

II. Если система (1) с п. п. матрицей A(t) э-дихотомична, то суще-ствует матрица G ∈ J со свойствами 1–3.

В основе доказательства лежат свойства некоторых функций накомпакте H × S, где H — оболочка п. п. матрицы A; S — единичнаясфера в E.

3. Рассмотрим векторное уравнение второго порядка

u + p(t)u + q(t)u = 0, u : R→ CN = E (3)

с п. п. матрицами p, q. Будем говорить, что уравнение (3) э-дихотомич-но, если этим свойством обладает эквивалентная система (1), где

x =[uu

], A =

(0 I−q −p

).

Теорема 2. Пусть для уравнения (3) с п. п. матрицами p, q выпол-няются условия

q∗ = q, q 6 −mI (m > 0), h = q + pq + qp∗ > 0, det h 6≡ 0.

Тогда уравнение (3) э-дихотомично.Рассматриваемая в доказательстве матрица F вырождена и не удо-

влетворяет требованию F 6 −mI (см. п. 2).


1. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальныхуравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

2. Майзель А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальныхуравнений // Тр. УрПИ. Сер. мат. 1954. Т. 6, 51. С. 20–50.

3. Кулик В.Л. Квадратичные формы и дихотомия решений систем линей-ных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. 1982. Т. 34, 1.С. 43–49.

4. Романовский Р.К., Бельгарт Л.В. Об экспоненциальной дихотомии ли-нейных систем с почти периодической матрицей // Сиб. мат. журн. 2009.Т. 50, 1, С. 190–198.

220


Термодинамически согласованные законысохранения моделей многофазных сплошных сред

Thermodynamically compatible conservation lawsfor models of multiphase media

Роменский Е.И.


В настоящее время широко применяются модели сжимаемых двух-фазных течений разработанные на основе традиционного рассмотрениятечения как смеси двух фаз, каждая из которых подчиняется своим за-конам баланса массы, импульса и энергии. При этом взаимодействиефаз в вышеуказанных уравнениях баланса учитывается правыми ча-стями, как алгебраическими, так и дифференциальными. Определяю-щие уравнения такого типа моделей являются гиперболическими, ноне все уравнения могут быть записаны в дивергентном виде.

Использование формализма термодинамически согласованных си-стем [1] позволяет сформулировать гиперболическую систему опреде-ляющих уравнений многофазных сред в дивергентной форме. При этомсреда рассматривается как континуум с параметрами состояния харак-теризующими многофазность. Применение данного подхода проиллю-стрировано примерами некоторых моделей двухфазных сред. Приве-дены также результаты расчетов тестовых задач, которые показываютхорошее совпадение с известными аналитическими и численными ре-шениями других авторов а также с экспериментальными данными.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 09-01-00221), Программы Президиума РАН (проект 2) и Совета по грантам Президента РФ (проект НШ-4292.2008.1)


1. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных среди законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998.

221


Об одном методе получения уравненияповерхности ударной волны

On one method of deducing the equationfor a shock wave surface

Рубина Л.И.1, Ульянов О.Н.2

Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург,Россия; [email protected], [email protected]

Для нелинейных уравнений в частных производных вида

L(xi, u, u(1)i , u

(2)ij , . . . , u

(m)i1...im

) = 0, (1)

где xi, i = 1, . . . , n — исходные независимые переменные уравнения,u — неизвестная функция (решение уравнения), u(k)

i1i2...ik— частные про-

изводные функции u (верхний индекс указывает порядок производной,нижние индексы — номера независимых переменных, по которым бе-рется производная), m — порядок уравнения (1 ≤ k ≤ m); вводятсятакие независимые переменные ψ, αj , j = 1, . . . , n− 1, при переходе ккоторым решение уравнения зависит только от ψ.

Тогда ψ(x1, . . . , xn) = const является поверхностью уровня функ-ции, представляющей решение уравнения [1].

В новых переменных уравнения (1) можно записать в виде

N∑

k=1

Ak(u, u′, u′′, . . . , u

m︷︸︸︷′′ . . . ′)Bk(xi, ψi, ψij , . . . , ψi1i2...im) = 0, (2)

гдеAk = hk(ψ), k = 1, . . . , N,

Bk(xi, ψi, ψij , . . . , ψi1i2...im) = gk(ψ, α1, α2, . . . , αn−1).

Здесь и далее штрих (′) означает дифференцирование по ψ.Доказано, что уравнение (2) выполняется тождественно по незави-

симым переменным в некоторой области изменения ψ, αj ⊂ X, тогдаи только тогда, когда выполняются соотношения

h1 +N∑

k=2

hkfk−1(ψ, αo1, α

o2, . . . , α

on−1) = 0, fk−1 =

gk

g1, ψ, αo

j ⊂ X,

222


n∑

i=1

∂ψ

∂xi

∂xi

∂ψ= 1,

n∑

i=1

∂ψ

∂xi

∂xi

∂αj= 0, j = 1, . . . , n− 1 .

Описанный подход использовался для решения ряда задач длянелинейных уравнений в частных производных [2].

В докладе предполагается детально остановиться на решении однойиз таких задач — задаче о примыкании плоского нестационарного те-чения политропного газа к области покоя или постоянного движениячерез поверхность ударной волны.

Для уравнения потенциала получены уравнение вида (2) и формулыперехода к новым независимым переменным. Выписаны уравнения по-верхностей ударных волн, отделяющих рассматриваемое потенциаль-ного течения от областей покоя и постоянного движения [3].

Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы сов-местных проектов фундаментальных научных исследований, выполняемыхв УрО РАН, СО РАН и ДВО РАН.


1. Рубина Л.И. Метод построения линий уровня для получения точных ре-шений нелинейных уравнений в частных производных // Актуальныепроблемы прикладной математики и механики: Тез. докл. конф. Абрау-Дюрсо, 2004. С. 89–90.

2. Рубина Л.И., Ульянов О.Н. О применении метода поверхностей уровнядля построения решений нелинейных уравнений // Актуальные пробле-мы прикладной математики и механики: Тез. докл. конф. Абрау-Дюрсо,2008. С. 53–54.

3. Рубина Л.И., Ульянов О.Н. О решении уравнения потенциала // Тр.Инст. математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, 1. C. 130–145.

223


Метод разностных потенциаловThe method of difference potentials

Рябенький В.С.


В докладе будут описаны идея, возможности и примеры реализо-ванных приложений метода разностных потенциалов к дискретномумоделированию и численному решению ряда актуальных задач мате-матической физики.


1. Рябенький В.С. Метод разностных потенциалов и его приложения. М.:Физматлит, 2002.

224


О некоторых задачах классическойэлектродинамики

On some problems of the classical electrodynamics

Садовой Г.С.


При исследовании мощных электронных приборов (см., напри-мер, [1]) возникают задачи расчёта движения электронов в самосогла-сованных электромагнитных полях, изменяющихся в течение временипролета электронов. Известно также [2], что даже при движении то-чечного заряда в однородном электрическом поле физические процес-сы оказываются весьма сложными и для их интерпретации надо ис-пользовать законы электродинамики. Если же при расчете необходимоучитывать собственный пространственный заряд электронов, то ана-литически решить соответствующую самосогласованную задачу ужепри самой простой геометрии поля невозможно, поэтому приходитсяиспользовать численные методы.

В докладе рассматриваются задачи о взаимодействии нереляти-вистских электронов, движущихся в вакууме, с нестационарными элек-тромагнитными полями. В рамках классической электродинамики приобщей постановке такие задачи можно решать, объединив уравненияМаксвелла и уравнения механики.

В докладе рассмотрены 4 задачи математической физики для этогослучая.

Задача I.Движение тонкого слоя электронов между двумя плоски-ми электродами (образующими вакуумный зазор), подключенными кэлектрической цепи. Из плоскости одного электрода вылетает дискрет-ный тонкий слой электронов, имеющих одинаковые начальные скоро-сти. Начальные условия для токов и напряжений в цепи в момент вы-лета известны. Необходимо рассчитать переходной процесс в этой цепиза интервал времени, пока электроны находятся в промежутке междуэлектродами. При решении надо учитывать ток, наводимый электро-нами во внешней цепи. За основу приняты уравнения теории цепей иуравнение движения электронов в нестационарном поле. Задача сведе-на к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

225


Показано, что в зависимости от значений безразмерных парамет-ров их величин характер процессов качественно разный. В частности,возможно возникновение механических колебаний слоя.

Задача II. Задача аналогична задаче I за исключением того, чтоиз одного электрода в течение определённого интервала времени выле-тают электроны,образующие импульс конвекционного тока. Функциятока и функция начальных скоростей электронов заданы. За основуприняты уравнения Максвелла и уравнения движения электронов сучетом влияния пространственного заряда электронов. Эти уравнениясведены к функциональным уравнениям c разрывными правыми ча-стями. Решение полученной системы рассматривается как обобщенноерешение уравнений по аналогии с классом задач, исследованных в [3].

Задача III. Постановка задачи отличается от предыдущих тем, чтоиз одного электрода происходит электронная эмиссия при выполнениинекоторого условия на поверхности этого электрода.

Задача IV. Рассматривается движение электронов в устройстве,состоящем из трёх зазоров.

Во всех перечисленных задачах области определения искомыхфункций ограничены. Решения надо искать в течение некоторого вре-менного интервала, определяемого решением задачи. Справедливы ин-тегральные соотношения, которые используются при построении реше-ний. В задачах II–IV физические процессы периодически повторяют-ся. Предложен численный метод решения функциональных уравнений.Приведены результаты моделирования.

В докладе использованы некоторые результаты, опубликованные вмонографии [4].


1. Месяц Г.А. Импульсная энергетика и электроника. М.: Наука, 2004.2. Гайдуков Г.Н., Абрамов А.А. Об интерпретации закона сохранения энер-

гии при движении точечного заряда в однородном электрическом поле //Успехи физ. наук. 2008. Т. 178, 2. С. 171–174.

3. Соболев С.Л.Избранные труды. Т. I. Уравнения математической физики.Вычислительная математика и кубатурные формулы. Новосибирск: Ин-тматематики, 2003. С. 448-463.

4. Садовой Г.С. Моделирование систем с переменным запаздыванием. Но-восибирск: НГТУ, 1994.

226


О резонансных свойствах моментной упругой среды

On resonance properties of the couple–stresselastic medium

Садовская О.В.1, Садовский В.М.2

1Институт вычислительного моделирования СО РАН,Красноярск, Россия; [email protected]

2Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;[email protected]

Математическая модель моментного упругого континуума Коссера,учитывающая вращательное движение частиц микростуктуры, сводит-ся к линейной симметрической t–гиперболической системе

A U = B1U,1 + B2U,2 + B3U,3 + QU + G,

в которой U — вектор-функция, составленная из компонент векторовскорости и угловой скорости, несимметричных тензоров напряженийи моментных напряжений. В пространственном случае она включаетв себя 24 уравнения относительно 24-х неизвестных функций. Анализразрывных решений показывает, что кроме продольных и поперечныхволн эта модель описывает еще два типа ударных волн — крутильныеволны и волны вращательного движения.

Оказывается, в отличие от классической теории упругости, момент-ная теория предсказывает появление собственных колебаний враща-тельного движения частиц микроструктуры материала на фронтахволн нагружения с частотой, зависящей от момента инерции частици от феноменологического параметра континуума Коссера, характери-зующего несимметрию тензора напряжений. В случае крутильных волнэто следует из анализа общего решения телеграфного уравнения, опи-сывающего процесс распространения волн в изотропной упругой среде.Для поперечных волн аналогичный эффект исследован численно. Вы-полнены расчеты возбуждения резонансов на частоте собственных ко-лебаний вращательного движения частиц в плоском слое из вязкоупру-гого материала с моментными свойствами при помощи спектрально–разностного метода. Для идеально упругого материала получены точ-ные зависимости амплитуды угловой скорости от толщины слоя.

227


Разработан вычислительный алгоритм для решения трехмерныхдинамических задач моментной теории упругости [1, 2]. Чтобы полу-чать корректные численные решения, расчеты необходимо выполнятьна сетках, размер ячеек которых значительно меньше характерногоразмера частиц микроструктуры. Поэтому алгоритм реализован в ви-де комплекса параллельных программ для многопроцессорных вычис-лительных систем. Алгоритм основан на методе расщепления по про-странственным переменным и времени. Одномерные системы уравне-ний решаются с помощью монотонной ENO-схемы. Используется биб-лиотека передачи сообщений MPI и технология SPMD. Тестированиекомплекса программ выполнено путем сопоставления результатов рас-четов с точным решением двумерной задачи о распространении поверх-ностных волн Рэлея в среде Коссера и с точными решениями, описы-вающими одномерные движения с плоскими волнами.

Проведены расчеты трехмерной задачи Лэмба о действии сосредо-точенной нагрузки под углом к поверхности однородного упругого по-лупространства, а также задачи о действии сосредоточенной импульс-ной нагрузки, периодической по времени. Сформулированы условиясимметрии, позволяющие многократно снизить объем вычислений. Насейсмограммах, построенных по результатам расчетов, идентифициро-ваны четыре типа волн, характерные для моментной среды — продоль-ные, поперечные, крутильные и вращательные волны; обнаружены соб-ственные колебания вращательного движения частиц.

Результаты анализа колебательных процессов в пространственныхзадачах показывают, что в моментной упругой среде существует не за-висящая от размеров исследуемой области собственная частота акусти-ческого резонанса материала, которая проявляется при определенныхусловиях возмущения.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-01-00148), комплексной программы фундамен-тальных исследований Президиума РАН 2 и СО РАН (междисциплинар-ный интеграционный проект 40).


1. Садовская О.В., Садовский В.М. Математическое моделирование в за-дачах механики сыпучих сред. М.: Физматлит, 2008.

2. Садовская О.В. Численное решение пространственных динамических за-дач моментной теории упругости с граничными условиями симметрии //Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, 2. С. 313–322.

228


О моделировании эффекта трансформациичастот упругих волн

Modelling of the phenomenon of transformationof the frequency of elastic waves

Садыков А.Д.1, Роменский Е.И.2



В докладе обсуждается проблема моделирования так называемогоэффекта трансформации частот акустических волн. Данное явлениенаблюдается, например, при низкочастотном (∼ 10 гц) виброакусти-ческом воздействии на поверхность земли вблизи нефтесодержащегопласта, в результате которого в пласте порождаются волны килогер-цового диапазона.

В основу моделирования данного явления положена гипотеза о том,что трансформация частот происходит в результате взаимодействияволновых полей с неоднородностями среды (включениями, трещинамии т. д.), которые мы будем называть дефектами. Множество распре-деленных дефектов в континуальном приближении будем описыватьполем плотности дефектов и полем потока их взаимодействия. Приэтом принимается во внимание, что внутри элемента сплошной сре-ды волны напряжений воздействуют на поле дефектов, вызывая потокполевого взаимодействия дефектов между собой. Этот поток, в своюочередь, порождает упругие волны, генерируя напряжения в элемен-те среды. При этом происходит обмен энергией между полем упругихнапряжений и полем дефектов.

Модель такой среды [1] строится на основе формализма термодина-мически согласованных систем [2]. Возникающие дифференциальныеуравнения записываются в виде системы уравнений нелинейной теорииупругости, дополненной уравнениями баланса полей плотности дефек-тов и потока их взаимодействия. Эти две системы полевых уравненийзамыкаются правыми частями описывающими взаимодействие полей идиссипацию. При этом полная система уравнений удовлетворяют пер-вому и второму законам термодинамики (закону сохранения энергии и

229


возрастания энтропии соответственно). Кроме этого, уравнения могутбыть приведены к симметрической гиперболической форме, что обес-печивает локальную по времени разрешимость задачи Коши.

Для изучения возможности описания эффекта трансформации ча-стот акустических колебаний рассмотрен одномерный вариант линеа-ризованных уравнений:

ρ∂u

∂t− ∂σ

∂x= 0,

1K

∂σ

∂t− ∂u

∂x= −βq,

∂θ

∂t+

∂q

∂x= 0,

1R

∂q

∂t+ r

∂θ

∂x= βσ − χq,

где u, σ — скорость и напряжение вдоль оси x; θ, q — плотность дефек-тов и поток их взаимодействия; ρ,K, R, r, β — константы материала,χ — нелинейная функция параметров состояния.

Была проведена серия численных экспериментов для некоторых ви-дов нелинейной функции χ, которые показали, что модель может бытьиспользована для описания эффекта трансформации частот.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 09-01-00221), Программы Президиума РАН (проект 2), Программы АВЦП Рособразования (проект 2.1.1.4918), Совета погрантам Президента РФ (проект НШ-4292.2008.1)


1. Romenski E. I. Thermodynamics and balance laws for processes of inelasticdeformations // Proc. WASCOM 2001, 11th Conf. on Waves and Stability inContinuous Media, Porto Ercole, Italy, 3–9 June 2001. World Scientific, 2002.P. 484–495.

2. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и за-коны сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998.

230


Решение общей смешанной задачи для уравненияЛаврентьева — Бицадзе с оператором Бесселя

методом интегральных уравнений

Solution of general mixed problemfor the Lavrentiev–Bitsadze equation with the Bessel

operator by integral equations method

Сафина Р.М.

Татарский государственный гуманитарно-педагогическийуниверситет, Казань, Россия; [email protected]

Рассмотрим уравнение Лаврентьева — Бицадзе с оператором Бес-селя

EB(u) ≡ Bxu + signy∂2u

∂y2= 0, (1)

где Bx = x−k ∂∂x

(xk ∂

∂x

)— оператор Бесселя, k > 0 — постоянная.

Пусть Γ — спрямляемая жорданова кривая с концами в точкахA (0, 1) и B (1, 0), лежащая в первой четверти координатной плоско-сти. Обозначим через D область, ограниченную кривой Γ, осью Oy ихарактеристикой x− y = 1 с концами в точках B (1, 0) и D (0,−1).

Части области D, в которых y > 0 и y < 0, обозначим соответствен-но через D+ и D−. С помощью характеристики OC: y = −x, 1

2 ≤ x ≤ 1,область D− разбиваем на две области D−

1 и D−2 , где D−

1 — область,ограниченная отрезками Γ0 = OB, OC и BC = Γ2; D−

2 = D− \D−1 .

В данной работе изучается общая смешанная задача об отысканиичетной по x функции u(x, y), удовлетворяющей условиям:

u ∈ C2(D+ ∪D−1 ∪D−

2 ) ∩ C1(D+ ∪D−1 ∪ Γ0) ∩ C(D); (2)

EB(u) = 0, (x, y) ∈ D+ ∪D−1 ∪D−

2 ; (3)

u|Γ = ϕ(ξ, η), u|Γ2 = u|y=x−1 = 0. (4)

Из условия (2) следует, что функция u(x, y) удовлетворяет условиямсклеивания:

u(x, 0− 0) = u(x, 0 + 0) = τ(x), uy(x, 0− 0) = uy(x, 0 + 0) = ν(x). (5)

231


Теорема. Общая смешанная задача не может иметь более одногорешения.

При решении общей смешанной задачи нужно отдельно решить за-дачу N для уравнения (1) в области D+ и задачу Коши для уравне-ния (1) в области D−, считая как бы известными функции τ(x) и ν(x).

Решение задачи N при граничных условиях

u|Γ = ϕ(ξ, η), uy|y=0 = ν(x)

может быть представлено в виде

u(x, y) = −1∫

0

G(ξ, 0;x, y)ν(ξ)ξkdξ −∫

Γ

ϕ(ξ, η)∂G(ξ, η;x, y)

∂npξkdΓ, (6)

где G(ξ, η;x, y) — функция Грина задачи Дирихле для области D∗,ограниченной кривой Γ, ее зеркальным отражением в прямой y = 0 ичастью Γ∗1 прямой y = 0.

А решение задачи Коши при начальных условиях

u|y=0 = τ(x), uy|y=0 = ν(x)

— в виде

u(x, y) = ak

k|y|

1∫

0

τ(η)T xη (y2 − η2)−

k+22 ηkdη+

+

1∫

0

ν(η)T xη (y2 − η2)−

k2 ηkdη

. (7)

Полагая y = 0 в решении (6) задачи N и y = x − 1 в решениизадачи Коши (7), с учетом условий (4) и (5), получаем функциональныеуравнения относительно τ(x) и ν(x). В результате исключения ν(x) изэтих функциональных уравнений имеем

τ(x) = λ

1∫

0

τ(ξ)K(ξ, x)ξkdξ + F (x). (8)

Уравнение (8) является интегральным уравнением со слабой особенно-стью. Существование единственного решения уравнения (8) следует изединственности решения общей смешанной задачи для уравнения (1).

232


О построении разностных схем высокого порядкааппроксимации, имеющих аналоги законов

сохраненияOn construction of high–order difference schemesadmitting discrete analogues of conservation laws

Сказка В.В.


Пусть имеется система гиперболических уравнений первого поряд-ка, у которой (при выполнении соответствующих краевых условий)имеется интегральный закон сохранения. Одним из путей численно-го решения такого рода задачи является построение разностной схемыпо пространственным переменным и решения получившейся системыобыкновенных дифференциальных уравнений. При этом для устойчи-вости решения системы желательно, чтобы у вновь получившейся си-стемы обыкновенных дифференциальных условий был первый инте-грал, являющийся аналогом закона сохранения для исходной задачи.

С математической точки зрения формулой, лежащей в основанииполучения интегральных законов сохранения, является известная фор-мула интегрирования по частям. Следовательно, если мы хотим постро-ить разностную схему, для которой выполнен аналог интегральногозакона сохранения, нам необходимо уметь строить разностные аналогипроизводных, для которых выполняется формула, аналогичная фор-муле интегрирования по частям.

Предлагается способ нахождения формул вычисления разностныхпроизводных четвертого порядка аппроксимации, для которых спра-ведлив аналог формулы интегрирования по частям. Разобьем отрезок[0, 1] на N − 1 частей равномерной сеткой, т. е. в качестве узлов выбе-рем точки xi = (i − 1)/(N − 1), i = 1, . . . , N . Обозначим un = u(xn),vn = v(xn). В качестве аналога интеграла будем использовать следую-щее скалярное произведение: (u, v)D = h

∑Nn=1 Dnunvn, где Dn > 0 —

некоторые константы, подлежащие также определению, h = 1/(N − 1).Строится аналог разностных производных uh, обладающий следующи-ми свойствами. Первое — это аналог формулы интегрирования по ча-стям.

(uh, v)D + (u, vh)D = uNvN − u0v0.

233


Другое свойство — это аппроксимация четвертого порядка первой про-изводной.

Аппроксимация четвертого порядка была выбрана нами, помимообычных соображений точности, еще и по следующей причине. Прииспользовании разностных схем второго порядка аппроксимации в дву-мерных задачах возникает следующая проблема [2]. У разностного опе-ратора, аппроксимирующего дифференциальный оператор, возникают“паразитические собственные векторы”. Т. е. там, где у дифференци-ального оператора было однократное собственное число, у приближен-ного разностного оператора может возникать, например, четырехкрат-ное собственное число, причем собственные векторы, взятые по отдель-ности, не представляют из себя ничего похожего на значения, взятыеиз гладких функций. Вид их “пилообразный”. При использовании раз-ностных операторов четвертого порядка, этой проблемы замечено небыло.

Построенные таким образом коэффициенты применялись для рас-чета задачи теории упругости в цилиндрически симметричной поста-новке “скорости-напряжения” [3]. Если рассматривается среда, содер-жащая точку r = 0, то идеология построения разностной схемы, остава-ясь в целом похожей, имеет некоторые отличия. За недостатком местамы не останавливаемся на этом вопросе.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 09-01-00221), Программы фундаментальных иссле-дований Президиума РАН ( 2), СО РАН (проекты 19, 22) и проекта АВЦПРособразования 2.1.1.4918.


1. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.2. Годунов С.К., Жуков В.Т., Федоритова О.Б. Метод расчета инвариант-

ных подпространств для симметрических гиперболических уравнений//Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т 46, 6. С. 1041–1053

3. Коновалов А.Н. Динамическая задача теории упругости в постанов-ке “скорости-напряжения” // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, 2.С.238–248.

234


Численное моделирование аномальнойтеплопроводности в высокотемпературной плазмеNumerical simulation of anomalous heat conductivity

in high–temperature plasma

Снытников А.В.

Институт вычислительной математики и математическойгеофизики СО РАН, Новосибирск, Россия; snytav@[email protected]

Динамика высокотемпературной плазмы описывается бесстолкно-вительным кинетическим уравнением Власова. Существуют два под-хода к численному решению этого уравнения: гидродинамический икинетический. Для того, чтобы моделировать теплопроводность плаз-мы в гидродинамическом приближении, необходимо сделать предполо-жение что функция распределения входящая в уравнение Власова, яв-ляется равновесной. Кинетический подход в меньшей степени зависитот начальных предположений, кроме того, известно, что в реальныхэкспериментах, в которых наблюдается эффект аномальной теплопро-водности, плазма не является равновесной. В рамках кинетическогоподхода уравнение Власова решается с помощью метода частиц.

В методе частиц каждая частица становится носителем некоторогонабора характеристик среды, таких как заряд, масса, импульс, кинети-ческая энергия и т. д. Для того, чтобы аналогичным образом связать скаждой модельной частицей определенную температуру, или для того,чтобы моделировать теплопроводность плазмы в гидродинамическомприближении, необходимо сделать некоторое предположение относи-тельно вида функции распределения в этой точке пространства (на-пример, как это делается в методе SPH). Другой вариант — вычисле-ние температуры по ансамблю частиц, но при этом возникает пробле-ма отделения температуры от нефизических эффектов (шумов), воз-никающих в методе частиц. Основной источник нефизических шумовв методе частиц-в-ячейках — наличие сетки, на которой вычисляютсяраспределения плотности, скорости, тока.

На сегодняшний день нет единого подхода к решению проблемынефизических шумов, нет даже общепринятого количественного опре-деления, что такое нефизический шум в методе частиц. Для уменьше-ния уровня нефизических шумов чаще всего либо увеличивают коли-чество частиц, что не всегда возможно в силу ограниченности ресурсов

235


ЭВМ, либо модифицируют форму частицы. Трудность заключается втом, что при этом меняется и значение модельной температуры.

Актуальность настоящей работы связана с тем, что в экспериментахна многопробочной магнитной ловушке ГОЛ-3 (ИЯФ СО РАН) наблю-дается понижение электронной теплопроводности на 2–3 порядка посравнению с классическим значением. Использование метода частиц вячейках в данной работе обусловлено тем, что этот метод позволяет вы-числить неравновесную функцию распределения электронов плазмы.Однако для метода частиц в ячейках не известны критерии, позволя-ющие понять, насколько правильным является полученное в расчетахраспределение температуры, и таким образом, корректность модели-рования теплопроводности также оказывается под вопросом. В даннойработе предлагается методика расчета температуры в методе частиц вячейках с обоснованием корректности.

Проведены расчеты по моделированию температуры в плазме с при-менением предложенной методики. Показано, что поведение темпера-туры одно и то же при различных сочетаниях физических парамет-ров, что количество модельных частиц не меняет принципиально зна-чения температуры, а также что стохастические перемещения модель-ных частиц не оказывают определяющего влияния на распределениетемпературы. Таким образом, поведение температуры в расчетах но-сит физический характер. Расчеты проводились на суперкомпьютереМВС-100000.

Обнаружен эффект понижения классической теплопроводности приинжекции в плазму мощного электронного пучка. Показано, что ре-лаксация пучка приводит к увеличению инкремента плазменных волни возникновению модуляций плотности плазмы. Это соответствует ре-альным экспериментам: предполагается, что именно за счет рассеянияэлектронов на модуляциях плотности понижается электронная тепло-проводность.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проекты 08-01-00615, 08-01-00622) и СО РАН (интегра-ционные проекты 103, 113).

236


Математическое моделированиена суперкомпьютерах физико–химическойэволюции вещества при планетообразовании

Supercomputer modelling of physico–chemicalevolution of matter on the stage of planet formation

Снытников В.Н.1,2, Кукшева Э.А.1, Маркелова Т.В.1,2,Мищенко Т.И.1, Снытников Н.В.3, Стадниченко О.А.1,2,

Стояновская О.П.1,2, Черных И. Г.3

1Институт катализа им. Г.К. Борескова СО РАН, Новосибирск,Россия; [email protected]

2Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;3Институт вычислительной математики и математической

геофизики СО РАН, Новосибирск, Россия;

Современные естественнонаучные данные указывают, что при обра-зовании планет в околозвездных дисках могли быть обеспечены необ-ходимые условия для синтеза предбиологических соединений, ставшихосновой для земной биосферы. Такие условия могли создаваться наэтапах оседания пыли к экваториальной плоскости протопланетногодиска, формирования пылевого субдиска и образования сгустков из га-за и первичных тел при развитии гравитационных неустойчивостей.

Для изучения быстрых, на масштабе нескольких лет, измененийусловий в протопланетном диске созданы и развиваются нестационар-ные численные модели, которые реализуются на суперкомпьютерах.Численное моделирование динамики околозвездных дисков проведенос использованием кинетического уравнения для описания подсистемытвердых первичных тел, газодинамических уравнений для газовой ком-поненты, уравнения Пуассона для самосогласованного гравитационно-го поля и уравнений химической кинетики. Уравнение для функциираспределения тел по скоростям решается методом частиц-в-ячейках.Газодинамические уравнения интегрируются методом крупных частици в другом варианте бессеточным SPH-методом. Для уравнения Пуас-сона, которое необходимо решать на каждом временном шаге эволюци-онной задачи, используется быстрое преобразование Фурье как само-стоятельно, так и в комбинации с другими численными алгоритмами

237


для достижения эффективности на декартовой и цилиндрической сет-ках. Верификация кодов в решении нестационарных задач осуществ-ляется путем сравнения результатов, получаемых при использованиипрограмм, реализующих численные алгоритмы с принципиально раз-ными свойствами. Среди представленных программ наибольшее разви-тие получили коды, в которых не учитывается динамика среды вдольоси вращения околозвездного диска. Основные созданные коды экс-плуатируются на параллельных вычислительных комплексах Москвыи Новосибирска с удаленным доступом.

В докладе представлены результаты изучения процессов развитиягравитационных неустойчивостей в околозвездных дисках, которыепроисходят в двухфазной среде газ — первичные тела с химическимиреакциями, а также при росте твердых тел при их слипании.

В вычислительных экспериментах на суперкомпьютерах изученыпревращения водорода и других газовых компонент в каталитическихреакциях в околозвездных дисках для условий астрокатализа [1]. Ис-следованы условия гравитационной устойчивости околозвездных дис-ков в гравитационном поле диска и протозвезды, формирования и эво-люции нелинейных структур в дисках. Продолжено изучение сгусткови обнаруженных ранее одиночных волн плотности. Эти волны и сгуст-ки рассматриваются как каталитические реактора синтеза предбиоло-гических соединений.

В создаваемых кинетических моделях газофазных реакций легкихалканов используются экспериментальные данные по синтезу этиле-на, ацетилена и других непредельных углеводородов. Эти соединениянаблюдаются в современной атмосфере Титана. Они могут играть важ-ную роль в процессе укрупнения частиц в околозвездных дисках.

Работа выполнена при поддержке программ Президиума РАН “Проис-хождение и эволюция биосферы” и “Происхождение, строение и эволюцияобъектов Вселенной”, а также СО РАН (интеграционный проект 26).


1. Снытников В.Н. Абиогенный допланетный синтез пребиотического ве-щества для биосферы Земли // Вестн. РАН. 2007. 3. C. 218–226.

238


Квадратурная формула для дробного интегралаВейля от периодических функций

Quadrature formula for Weyl’s fractional integralof periodic functions

Сунгатуллина З.Ю.

Казанский государственный энергетический университет, Казань,Россия; [email protected]

Квадратурные формулы широко применяются при решении раз-нообразных задач прикладного характера. Рассмотрим приближен-ные методы вычисления дробных интегралов Вейля от периодическихфункций вида

I(α)± ϕ(x) =

12π

2π∫

0

ϕ(x− t)Ψ(α)± (t)dt, α > 0,

где

Ψ(α)+ (t) =

∞∑

k=−∞

eikt

(ik)α= 2

∞∑

k=1

cos(kt− απ

2

)

kα,

Ψ(α)− (t) =

∞∑

k=−∞

eikt

(−ik)α= 2

∞∑

k=1

cos(kt + απ

2

)

kα.

В данной работе получены следующие квадратурные формулы длядробных интегралов I

(α)− и I

(α)+ , 0 < α < 1:

I(α)+ ϕ(x) =

12π

2π∫

0

ϕ(x− t)Ψ(α)+ (t)dt ≈ 1

2π + 1

2n∑

j=0

Ajϕ(x− tj) , (1)

где

Aj = 2n∑

k=1

k−α cos(ktj − απ

2

);

I(α)− ϕ(x) =

12π

2π∫

0

ϕ(x− t)Ψ(α)− (t)dt ≈ 1

2π + 1

2n∑

j=0

A∗jϕ(x− tj) , (2)

239


где

A∗j =n∑

k=1

k−α cos(ktj +

απ

2

).

Обозначим через Rn(ϕ; t) остаточный член квадратурных формул(1) и (2). Тогда

|Rn(ϕ; t)| 6 12π

2π∫

0

εc |t|α−1dt =

12π

(2π)α

αε =

(2π)α−1

αε → 0 при ε → 0.


1. Волков Е.А. Численные методы. СПб: Лань , 2004.2. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их

приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

240


Рассеяние поверхностных волн на плавающейупругой пластине при периодической

топографии днаThe scattering of surface waves on an elastic floating

plate over undulating topography

Ткачева Л.А.


Гидроупругое поведение тонких пластин, плавающих на поверх-ности жидкости, представляет значительный интерес для ряда прак-тических приложений: ледовые поля, плавучие платформы различ-ного назначения, волноломы, понтонные мосты. Эти объекты имеюточень большие горизонтальные размеры, достигающие нескольких ки-лометров, и относительно малую изгибную жесткость. При математи-ческом моделировании такие объекты часто рассматриваются как тон-кие упругие пластины.

Гидроупругое поведение однородных плавающих пластин в жидко-сти постоянной глубины изучено достаточно хорошо. Однако рельефдна может оказывать существенное влияние на поведение пластины,особенно при малой глубине жидкости. В данной работе в линейнойпостановке изучается влияние периодической неровности дна под пла-стиной на рассеяние набегающих поверхностных волн и на амплитудыколебаний пластины.

Пластина предполагается тонкой однородной. Жидкость идеальнаянесжимаемая, глубина жидкости мала по сравнению с горизонталь-ными размерами: длиной пластины, длиной поверхностных и изгибно-гравитационных волн, длиной периода топографии. Используется при-ближение мелкой воды. Учитывается осадка пластины в воду.

Для решения задачи используется метод нормальных мод. Прогибпластины ищется в виде разложения по собственным функциям в пу-стоте. Потенциал скорости жидкости определяется с помощью разбие-ния области течения на подобласти и метода сшивания [1]. Для опре-деления неизвестных коэффициентов разложения, коэффициентов от-ражения и прохождения получена система линейных алгебраическихуравнений, которая решается методом редукции. Определяются также

241


собственные частоты совместных гидроупругих колебаний пластины ижидкости, которые являются комплексными.

Проведенные расчеты показали, что система периодических пре-пятствий на дне может существенно изменить собственные частотыгидроупругих колебаний. В некоторых случаях происходит попарноесближение собственных частот, что приводит к существенному увели-чению коэффициента отражения в широком диапазоне частот набега-ющих волн.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 07-08-00145) и Совета по грантам Президента РФ(прект НШ-2260.2008.1)


1. Стурова И.В. Нестационарное поведение неоднородной упругой балки,плавающей на мелководье // Прикл. математика и механика. 2008. Т. 72,вып. 6. С. 971–984.

2. Meylan M.H. Computation of resonances for a floating one dimensional thinplate on shallow water // Hydroelasticity in Marine Technology. Proc. of the3rd Int. Conf. on Hydroelasticity in Marine Technology. Oxford, UK, 15–17Sept. 2003. Oxford: University of Oxford, 2003. P. 251–257.

242


Компьютерная квантовая инженерияв нанофизике и образовании

Computer quantum engineeringin nanophysics & education

Ткаченко О.А.1,2, Ткаченко В.А.1,Коткин Г.Л.2, Квон З.Д.1, Асеев А.Л.1

1Институт физики полупроводников СО РАН, Новосибирск, Россия;[email protected]


Введение. Компьютерная квантовая инженерия является гибри-дом на стыке новых вычислительных технологий, квантовой физики инанотехнологий. Ее смысл в том, что исследователи и учащиеся кон-струируют с помощью некоторых программ-конструкторов нагляднуювиртуальную квантовую реальность, развивая воображение, ассоциа-тивное мышление и лучше понимая изучаемую действительность. Вотуже 20 лет как этот метод внедрен в преподавание квантовой механи-ки. Им уже пользовались тысячи студентов, сотни физматшкольников,десятки преподавателей, группы экспериментаторов и технологов изИФП СО РАН, General Motors Research Labs (USA), National ResearchInstitute for Metals (Japan), Cavendish Laboratory (United Kingdom),Grenoble High Magnetic Field Laboratory (France), NTT Basic ResearchLaboratories (Japan) и Института физики металлов УрО РАН.

Образовательные применения. Квантовая механика трудна дляначинающих, и, чтобы помочь ее изучению, был создан комплекс про-грамм и задач “Квант”. Речь идет о задачах, сводимых к решению ста-ционарного уравнения Шредингера с одномерными кусочно-постоян-ными потенциалами. Квантовые микроструктуры прекрасно подходятдля реализации таких потенциалов, но ими же моделируются есте-ственные объекты (ядра, атомы, малые металлические частицы, ко-лебания и вращения двухатомных молекул, рассеяние на центре), ана качественном уровне — линейные, замкнутые молекулы и кристал-лы. Из простых задач известен алгоритм решения данного уравнения(сшивка функций в местах разрыва потенциала) и студенты работа-ют с программой, как с отлаженной экспериментальной установкой,открывая для себя новые факты и эффекты.

243


Научные применения. В 80-х годах появилась новая область фи-зического эксперимента и нанотехнологий, которая имеет дело с кван-товыми структурами разных типов. Самыми известными являютсяквантовые ямы и сверхрешетки с резкими границами между плоски-ми слоями разного состава. Более сложная ситуация возникает, когдананолитографией создаются и при низких температурах исследуютсяодиночные субмикронные квантовые структуры. Для моделированияудерживающего потенциала и электронного транспорта в таких объек-тах необходимо было реализовать и испытать алгоритмы численногорешения некоторых разновидностей уравнений Шредингера и Пуас-сона. Например, для моделирования когерентного сцепления многока-нального рассеяния с вынужденными квантовыми переходами в нано-структурах необходимо ввести добавку к одномерному потенциалу, ко-торая гармонически зависит от времени. Другие разновидности много-канального рассеяния подразумевают двумерность потенциала и вклю-чение в гамильтониан вектор-потенциала для моделирования действиявнешнего магнитного поля. Вместо произвольного задания потенциалав уравнении Шредингера интересен его расчет из решения полной за-дачи трехмерной электростатики, включающей структурную информа-цию (толщины и состав слоев, двумерные распределения глубины трав-ления, трехмерные конструкции управляющих электродов-затворов),а также самосогласованное с трехмерным потенциалом распределе-ние заряда подвижных электронов, легирующих примесей и локали-зованных поверхностных состояний. В итоге реализации алгоритмовна многих примерах было показано, что расчеты на основе программ-конструкторов помогают предсказывать новые эффекты, эксперимен-тально изучать и создавать квантовые микро-, наноструктуры.

Суперкомпьютерные расчеты. Иногда вместо интерактивногомоделирования необходимо провести много однотипных расчетов присистематическом изменении управляющих параметров. Например, де-тальное моделирование малого кольцевого интерферометра, изготов-ленного атомно-силовым микроскопом, требовало нескольких месяцевсчета на настольном компьютере, поскольку это сотни тысяч реше-ний двумерного уравнения Шредингера. Оказалось, что суперЭВМ,используя 64 процессора, справляется с этой задачей за 6 часов. Супер-компьютерные расчеты помогли также выявить неожиданный эффектэлектрон-электронного взаимодействия во многомодовом баллистиче-ском микроконтакте.

244


Высокопроизводительные вычисления в задачахмоделирования радиационного переноса

High–performance computations in problemsof modelling radiation transfer

Ульянов О.Н.1, Леликова Е.Ф.2, Рубина Л.И.3,Чащин М.А.4

Институт математики и механики УрО РАН,Екатеринбург, Россия;

[email protected], [email protected], [email protected],[email protected]

Авторами на протяжении ряда лет разрабатывается методика чис-ленного моделирования на многопроцессорных вычислительных систе-мах взаимодействия излучения с плоским слоем вещества [1, 2].

Рассматривается задача переноса излучения в неоднородном (по со-ставу, температуре, плотности) плоском слое конечной толщины, состо-ящем из смеси нескольких веществ. Требуется определить состояниесмеси (населенности уровней веществ) и излучение, возникающее в ре-зультате взаимодействия смеси с излучением, падающим на границуслоя. Вещества в смеси связаны через излучение, интенсивность кото-рого удовлетворяет уравнению переноса. Населенности удовлетворяютсистеме уравнений кинетики, элементы матрицы которой зависят отнекоторых средних — интегралов по угловой и энергетической пере-менным от интенсивности излучения с весовыми функциями различ-ных видов. Учитывается до нескольких десятков резонансных линийкаждого вещества.

В докладе излагаются особенности разработанной методики и при-менения высокопроизводительных вычислений на многопроцессорныхсистемах для вышеописанных задач радиационного переноса в смесяхвеществ с доплеровскими или фойгтовскими профилями излучения ипоглощения.

Методика включает параллельные алгоритмы и программы, осно-ванные на двух разных подходах к решению уравнения переноса излу-чения. Алгоритмы МАПИ базируются на явном представлении реше-ния уравнения. В методе МПЛЧ для решения уравнения используютсяинтерполяционные полиномы Лагранжа с чебышевскими узлами.

245


Алгоритмы МАПИ разработаны в двух модификациях, отличаю-щихся способом вычисления средних интенсивностей излучения: с ис-пользованием различных интерполяционных полиномов; с применени-ем метода Лобатто с гарантированной точностью.

Разработанные параллельные алгоритмы хорошо масштабируемы;программы, использующие MPI и DVM технологии параллельного про-граммирования, достаточно мобильны и позволяют для ряда задач эф-фективно использовать более 2000 процессоров МВС-50К.

Программы МАПИ, обеспечивая заданную точность, для расчетасложных вариантов требуют довольно большого времени (до часа наитерацию) и количества процессоров (сотни и тысячи). ПрограммыМПЛЧ используют меньшее число процессоров (до 151) и время (однаитерация — от 0.5 сек. до 90 сек.), но требуют настройки — выборастепени полиномов и длин отрезков интегрирования.

Для предложенных алгоритмов использование параллельных тех-нологий и развитие многопроцессорных вычислительных систем поз-волили в десятки раз сократить время расчета, достичь приемлемыхвремен для содержательных задач, проводить численное моделирова-ние, постоянно усложняя рассматриваемые задачи.

Расчеты проводятся на МВС 1000/17ЕК в ИММ УрО РАН (г. Ека-теринбург) и МВС-50K в МСЦ РАН (г. Москва).

Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы сов-местных проектов фундаментальных научных исследований, выполняемыхв УрО РАН, СО РАН и ДВО РАН.


1. Леликова Е.Ф., Рубина Л.И., Ульянов О.Н., Чащин М.А. Параллельныевычислительные технологии в задаче о переносе радиационного излуче-ния // Вопр. атомн. науки и техники. Сер. Мат. моделирование физ.процессов. 2002. Вып. 3. С. 3–13.

2. Леликова Е.Ф., Рубина Л.И., Ульянов О.Н., Чащин М.А. Параллельныевычисления в задачах, возникающих при математическом моделированиипереноса излучения // Автоматика и телемеханика. 2007. 5. С. 124–140.

246


Метод декомпозиции для пристеночныхтурбулентных течений

Domain decomposition for near–wall turbulent flows

Утюжников С.В.

Университет Манчестера, Манчестер, Великобритания;[email protected]

Моделирование пристеночных турбулентных течений при большихчислах Рейнольдса требует больших затрат вычислительных ресурсов.Это связано с наличием тонкого пристеночного ламинарного подслоя.Неверное его разрешение может приводить к большим ошибками в ре-шении. В тоже время, моделирование ламинарного подслоя занимаетдо 90% всего расчетного времени. В результате при промышленныхрасчетах часто задают граничные условия вне ламинарного подслоя ввиде, так называемых, пристеночных функций. Оригинальные присте-ночные функции основывались на гипотезе перемежаемости Прандтляи аналитическом решении для бесконечно тонкой пластины. В случаетечений связанных, например, со сложной геометрией или большимиградиентами давления такие пристеночные функции приводят к зна-чительной ошибке. В литературе, модификации данного подхода, глав-ным образом, основаны на введении специальных подгоночных коэф-фициентов, которые заранее неизвестны.

В [1, 2] предложено переносить граничные условия со стенки наудаленную границу. Уравнения Рейнольдса предварительно линеари-зуются с помощью аппроксимации профиля эффективной вязкости инелинейных конвективных членов. Применение этого подхода в локаль-но-одномерном случае приводит к граничному условию 3-го рода длявнешней области. Тестовые расчеты турбулентной струи набегающейна стенку, проведенные на основе k − ε модели, показали относитель-но хорошую точность при значительной экономии машинного времени.Показано, что решение не сильно зависит от выбора пристеночной про-межуточной границы. Важно заметить, что такой подход не основан наиспользовании каких-либо подгоночных коэффициентов. Полученныепристеночные функции (промежуточные граничные условия) очевидноне зависят от расчетной сетки, в отличие от многих других подходов.

На многомерный случай предложенный подход обобщается с помо-щью теории потенциалов [3], что приводит к декомпозиции расчетной

247


области на пристеночную и внешнюю. В этом случае для внешней об-ласти граничное условие формулируется с помощью псевдо-дифферен-циального уравнения. Эффективность алгоритма показана на примеремодельного двумерного уравнения. Предложенный подход без принци-пиальных трудностей обобщается на трехмерный случай.


2. Utyuzhnikov S.V. The method of boundary condition transfer in applicationto modeling near-wall turbulent flows // Comput. Fluids. 2006. V. 35, N 10.P. 1193–1204.

3. Utyuzhnikov S.V. Robin-type wall functions and their numerical implemen-tation // Appl. Numer. Math. 2008. V. 58, N 10. P. 1521–1533.

4. Utyuzhnikov S.V. Generalized Calderon–Ryaben’kii’s potentials // IMA J.Appl. Math. 2009. V. 74, N 1. P. 128–148.

248


Алгоритмы построения структурированных сетокв многоблочных областях вращения

Algorithms for structured grid generationin multiblock revolution domains

Ушакова О.В.


Описываются алгоритмы построения трехмерных структурирован-ных сеток, предназначенные для моделирования задач многокомпо-нентной гидродинамики [1] в областях, полученных вращением об-разующей, заданной в плоскости x, z, относительно оси z на уголϕ (0 < ϕ0 ≤ ϕ ≤ π) для случая много-блочных конструкций. Обра-зующая кривая может состоять из отрезков прямых, дуг окружностейи эллипсов. В [2, 3] были предложены алгоритмы для расчета трех-мерных структурированных сеток в областях вращения для случаяодно-блочных конструкций. Алгоритмы из [2, 3] не сводятся к враще-нию двумерных сеток вокруг оси и являются развитием вариационно-го подхода [4]. Они предназначены для построения структурированныхоптимальных в смысле [4] сеток (невырожденных, близких к равномер-ным ортогональным) и основаны на минимизации специальных дис-кретных функционалов оптимальности, отвечающих за близость сетокк указанным видам качеств. Алгоритмы допускают различные спосо-бы [5, 6] расчета узлов на границе областей вращения. Они позволя-ют рассматривать свободными или оставлять фиксированными узлына границе областей вращения, рассматривать условия ортогонально-сти координатных линий границам области и др. Предложенные ал-горитмы являются дальнейшим развитием алгоритмов [2, 3]. Новыеалгоритмы позволяют “держать” в процессе построения сетки отдель-ные точки образующей кривой на границах областей вращения. Этавозможность реализуется фиксированием узлов сетки, формирующихлинии вращения изломов образующей или отдельных точек на ней, впроцессе расчетов. Алгоритмы позволяют также осуществлять расче-ты блочных сеток или сеток со вставками для конструкций, состоящихиз различных материалов. В данных алгоритмах узлы фиксируютсяна выделенных поверхностях вращения, образуемых границам блоков,

249


задаваемых в плоскости образующей кривой. Алгоритмы построенияначальных сеток для предлагаемых алгоритмов описаны в [7]. Демон-стрируются примеры расчетов сеток. Тестирование сеток на невырож-денность осуществляется согласно критериям [8]. Приводится краткоеописание данных критериев.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 09-01-00173) и целевой программы фундаменталь-ных научных исследований, выполняемых в УрО РАН совместно с СО РАНи ДВО РАН.


1. Anuchina N.N., Volkov V. I., Gordeychuk V.A., Es’kov N. S., Ilyutina O. S.,and Kozyrev O.M. Numerical simulation of 3D multi-component vortex flowsby MAH-3 code // Advances in Grid Generation. Ed. Ushakova O.V. Nova-science Publishers. 2007. P. 215–240.

2. Бронина Т.Н., Гасилова И.А., Ушакова О.В. Алгоритмы построениятрехмерных структурированных сеток // Журн. вычисл. математики имат. физики. 2003. T. 43, 6. С. 875–883.

3. Bronina T.N., Ushakova O.V. Application of optimal grid generation algo-rithms to the volumes of revolution // Advances in Grid Generation. Ed.Ushakova O.V. Novascience Publishers. 2007. P. 283–320.

4. Khairullina O.B., Sidorov A. F., and Ushakova O.V. Variational methods ofconstruction of optimal grids // Handbook of Grid Generation. ThompsonJ. F., Soni B.K., and Weatherill N. P., eds. Boca Raton, London, New York,Washington, D.C.: CRC Press, 1999. P. 36-1–36-25.

5. Бронина Т.Н., Ушакова О.В. Расчеты трехмерных структурированныхсеток в конфигурациях с особенностями // Численная геометрия, по-строение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления: Тр.всеросс. конф. М.: Выч. центр РАН. 2006. C. 190–199.

6. Ушакова О.В. Алгоритмы оптимизации трехмерных сеток для областейвращения // Тр. Инст. математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, 1. С. 150–180.

7. Бронина Т.Н. Алгоритмы построения начальных трехмерных структу-рированных сеток для областей вращения // Тр. Инст. математики имеханики УрО РАН. 2008. Т. 14, 1. С. 3–10.

8. Ушакова О.В. Классификация шестигранных ячеек // Журн. вычисл.математики и мат. физики. 2008. Т. 48, 8. С. 1426–1428.

250


Резонанс и развитие вихревых структурво вращающейся идеальной жидкости

Resonance and evolution of vortex structuresin a rotating ideal fluid

Фокин М.В.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск,Россия [email protected]

В докладе рассматривается задача о возбуждении гармоническихколебаний в идеальной вращающейся жидкости, исходным состояниемкоторой является твердотельное вращение. В качестве математическоймодели этого процесса исследуются линеаризованные уравнения Эйле-ра (система уравнений Пуанкаре — Соболева) с дополнительно введен-ной внешней силой, меняющейся по гармоническому закону с частотойω0. Жидкость заполняет бесконечный цилиндр с образующей, перпен-дикулярной оси вращения. Рассматриваются решения, удовлетворяю-щие условию непротекания на границе цилиндра и инвариантные от-носительно сдвигов вдоль образующей. В случае свободных колебанийэволюция поля скоростей описываются уравнением вида U ′ = iAU , гдеA — самосопряженный оператор в некотором гильбертовом простран-стве. Известно, что спектральные свойства оператора A существеннозависят от геометрических свойств области, лежащей в сечении ци-линдра. Его спектр может быть точечным, абсолютно непрерывными сингулярно непрерывным. Появление участков непрерывного спек-тра связано с возможностью построения для области однопараметри-ческих семейств обобщенных решений линеаризованных уравнений Эй-лера, которые могут быть истолкованы с физической точки зрения какосциллирующие с некоторой заданной частотой тонкие слои жидкости.

Характеристика резонансных явлений существенно зависит от того,в какой части спектра окажется возбуждающая частота ω0. В случае,когда ω0 является собственным числом оператора, наблюдается объ-емный резонанс, т. е. неограниченный рост компонент поля скоростейна множестве положительной меры. Если ω0 принадлежит интервалунепрерывного спектра, то резонансный рост поля скоростей происхо-дит только в точках некоторого конечного множества плоскостей, па-раллельных образующей цилиндра. Отметим, что в [1] изучалось воз-

251


буждение гармонических колебаний во вращающемся сосуде с жидко-стью малой вязкости. Обнаруженные эффекты характеризуются как“появление тонких интенсивно колеблющихся слоев, отражающихся отстенок сосуда”. Такое описание близко к полученному в случае непре-рывного спектра задачи.

При изучении вихрей в жидкости основную роль играет гамильто-нова подсистема, состоящая из двух компонент поля скоростей. С еепомощью определяются вихревые структуры, связанные с точками ло-кальных экстремумов по пространственным переменным гамильтониа-на, и описывается их эволюция. Для различных случаев резонансноговозбуждения колебаний жидкости в докладе дается описание поведе-ния вихревых структур, в частности, эффектов прохождения их черезрезонансные плоскости на непрерывном спектре оператора. В случае,когда частота ω0 является собственным числом оператора, образует-ся конечное число осциллирующих вихрей, оси вращения которых яв-ляются неподвижными. Если ω0 принадлежит интервалу непрерывно-го спектра, то в этом случае наблюдается неограниченный рост числавихревых структур и уменьшение их масштаба при t → ∞. При этомцилиндр разбивается на некоторые подобласти, в части которых воз-никают вихревые пульсации: в течение периода воздействия вынуж-дающей силы есть промежутки времени, когда множество вихревыхструктур становится пустым, но в остальное время они присутствуюти их общее число увеличивается с ростом времени t. В оставшейся частиподобластей пульсации отсутствуют: подвижные вихревые структурысуществуют для всех моментов времени, общее их число неограниченновозрастает.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун-даментальных исследований (проект 09-01-00221), Министерства образо-вания и науки РФ (проект 2.1.1/3543) и Программы междисциплинарныхинтеграционных исследований СО РАН (проект 65).


1. Oser H. Experimentelle Untersuchung uber harmonische Schwingungen inrotierenden Flussigkeiten // Z. Angew. Math. Mech. 1958. Bd. 38. S. 386–391.

252


Метод молекулярной динамики и его применениек решению задач механики сплошных сред

Molecular dynamics simulation and its applicationto continuum mechanics problems

Фомин В.М.1, Головнев И.Ф.2

Институт теоретической и прикладной механикиим. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, Россия;

[email protected], [email protected]

Механика сплошных сред является феноменологической теорией,так как для замыкания основных уравнений она должна использоватьряд дополнительных замыкающих условий, которые невозможно най-ти в рамках этой теории. Например, всегда требуются калорическое итермическое уравнения состояния среды. Кроме того, для газов необхо-дима зависимость объемного и сдвигового коэффициентов вязкости оттемпературы и давления, а для твердых тел — связь компонент тензоранапряжения и тензора деформации и условия разрушения. Задача ещеболее усложняется, если эти связи необходимы в широком интервалетемператур и давлений.

До настоящего времени все эти характеристики находились в оченьсложных и дорогостоящих экспериментах. Причем сама обработка экс-периментальных данных и определение искомых связей требовала ря-да упрощений и, опять же привлечения феноменологических моделей.Лишь для достаточно разреженных газов удалось использовать теоре-тические методы статистической физики и теории Больцмана.

Все это обусловило повышенный интерес современной науки к мето-ду молекулярной динамики, который базируется на первых принципах,т. е. только на знании потенциалов межатомного взаимодействия веще-ства, рассчитываемых в рамках квантовой теории, и предположения оприменимости классической механики к описанию движения атомов.Этот метод позволяет рассчитать траекторию системы большого ко-личества атомов в фазовом пространстве, а затем, путем осредненияпо мезообъемам, найти все необходимые характеристики этой наноси-стемы. С другой стороны как экспериментально, так и теоретическидоказано, что с определенных размеров наноструктуры ее свойства сов-падают со свойствами макротел. Это позволяет, увеличивая размеры

253


исследуемой системы, рассчитать любые характеристики, необходимыев механике сплошных сред.

В настоящей работе показано, каким образом моделируются началь-ные данные и граничные условия механики сплошных сред на микро-уровне, приводится иллюстрация этих положений для изучения про-цессов в твердых телах при интенсивных динамических нагрузках напримере расчета механических характеристик деформации и разруше-ния структур. Впервые предложен способ расчета уравнения состояниянаноструктур с помощью метода молекулярной динамики, основанногона первых принципах. Это позволило рассчитать термодинамическиесвойства нанообъектов. Показана возможность его применения к рас-чету термодинамических свойств макроструктур, необходимых в меха-нике сплошных сред.

254


Минимизация сопротивления тела,движущегося в жидкости

Drag minimization for a body moving in fluid

Фурсиков А.В.

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,Москва, Россия; [email protected]

Рассматриваются две задачи оптимального управления для уравне-ний Навье — Стокса. Первая — это задача для трехмерной нестационар-ной системы Навье — Стокса во внешности ограниченной области Ω.Цель управления — минимизировать функционал работы по преодо-лению сопротивления тела, а в качестве управления берется скоростьжидкости на границе ∂Ω. Доказано существование решения задачиоптимального управления и для него выведена система оптимально-сти [1].

Эти результаты основаны на теории краевых задач для уравненийНавье — Стокса с краевыми данными Дирихле из нестандартных функ-циональных пространств, а также на теореме о гладкости решений длясопряженной задачи Озеена с гладкими начальными данными без усло-вий согласования.

Вторая задача связана с оптимизацией для двумерных стационар-ных уравнений Навье — Стокса в специальной ограниченной области Ωс управлением u на части Γ границы ∂Ω, “сопряженным” условию Ди-рихле: u = (∂nv − pn)|Γ, где v — скорость течения жидкости, p — дав-ление и n — нормаль к Γ.

Это управление естественнее управления Дирихле с точки зренияприложений, тем более, что оно задано лишь на части границы, котораясоприкасается с остальной ее частью, где задано условие прилипания.Последнее обстоятельство приводит к ряду математических осложне-ний, которые обсуждаются в докладе.

Доказано существование решения указанной задачи, и выведенасоответствующая система оптимальности [2].

ЛИТЕРАТУРА1. Fursikov А.V., Gunzburger M., Hou S. Optimal boundary control for the

evolutionary Navier–Stokes system: the three-dimensional case // SIAM J.Control Optim. 2005. V. 43, N 6. P. 2191–2232.

255


2. Fursikov A.V., Rannacher R. Optimal Neumann control for the 2D steady-state Navier–Stokes equations. Boston: Birkhauser, 2009. (Adv. Math. FluidMech.; to appear).

256


Расчет сильного сжатия несферическогокавитационного пузырька

Computation of strong compression of nonsphericalcavitation bubble

Халитова Т.Ф., Хисматуллина Н.А.

Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань,Россия; [email protected]

Интерес к сильному сжатию парогазового пузырька обусловлен экс-тремально высокими значениями температуры и плотности содержи-мого пузырька и жидкости в его окрестности. Так, при сонолюминес-ценции [1] возникает свечение пузырька, которое связано со значени-ями температуры газа, превышающими 105 K. Кроме того, появляют-ся сообщения о возможности инициирования термоядерных реакций вполости пузырька при его коллапсе [2]. В связи с малостью размеровпузырька особую роль в изучении его сильного сжатия приобретаетматематическое моделирование. Так, с помощью численных методовпоказано, что при коллапсе сферического пузырька в его полости фор-мируется сферическая ударная волна, сходящаяся к центру, которая иприводит к экстремальным значениям параметров газа. При этом оче-видно, что несферичность пузырька может вызывать значительное от-клонение ударной волны от сферической формы, а значит, и снижениезначений температуры и плотности газа в центре пузырька. В связи сэтим моделирование сильного сжатия несферического кавитационногопузырька является весьма актуальным.

Существующие в настоящее время методы численного решения за-дач динамики пузырька при его сильном сжатии позволяют изучатьлишь движение газа в его полости в случае сферической симметриизадачи. Они, как правило, основаны на схемах Годунова или Лакса —Фридрихса. Как известно, схема Годунова за счет точного решения за-дачи о распаде произвольного разрыва обладает меньшей численнойвязкостью и лучше описывает разрывные решения, чем схема Лакса —Фридрихса. Моделирование динамики газа внутри несферического ка-витационного пузырька в финальной высокоскоростной стадии сжатиядо настоящего времени не проводилось.

257


В данной работе приводятся результаты расчета сильного сжатиянесферического (осесимметричного) кавитационного пузырька. Приме-няется метод расщепления по физическим процессам, в котором дву-мерные уравнения газовой динамики решаются по явной UNO-модифи-цированной (UNO — Uniformly NonOscillatory, равномерно неосцилли-рующая) схеме Годунова [3], а уравнение теплопроводности — неявнымметодом переменных направлений. При этом учитываются процессыиспарения и конденсации, применяются реалистичные уравнения со-стояния. UNO-модификация позволяет повысить точность схемы Го-дунова до второго порядка по пространству и времени всюду в обла-сти гладких решений. Для этого вводится предположение о кусочно-линейном законе распределения плотности, компонент вектора плотно-сти импульса и плотности полной энергии, а при определении простран-ственных производных используется ограничитель. UNO-ограничительвключает в себя анализ аппроксимаций не только первых производных(как в TVD-схемах), но и производных второго порядка.

Численные эксперименты позволили выявить возможные сценарииразвития несферичности ударной волны в кавитационном пузырьке вфинальной высокоскоростной стадии сжатия. В частности, показано,что положение областей экстремально высокого давления и темпера-туры в несферическом и сферическом случаях оказывается различным.

Работа выполнена в рамках программы РАН и при поддержке Россий-ского фонда фундаментальных исследований (проекты 08-01-00215, 08-01-97029-р_поволжье_а).


1. Gaitan D. F., Crum L.A. Observation of sonoluminescence from a single,stable cavitation bubble in a water/glycerine mixture // 12th Int. Symp. onNonl. Acoustics. New York: Elsevier, 1990. P. 459–463.

2. Taleyarkhan R.Р. et al. Evidence for nuclear emissions during acoustic cavi-tation // Science. 2002. V. 295. P. 1868–1873.

3. Harten A., Engquist B., Osher S., Chakravarthy S.R. Uniformly high or-der accurate essentially non-oscillatory schemes. III // J. Comp. Phys. 1987.V. 71. P. 231–303.

258


Об одном обобщении уравнений Навье — СтоксаOn one generalization of the Navier–Stokes equations

Ханхасаев В.Н.

Восточно-Сибирский государственный технологическийуниверситет, Улан-Удэ, Россия; [email protected]

В работах Рагаллера динамика дугового разряда моделироваласьсистемой Навье — Стокса:

∂ρ

∂t+

∂

∂z(ρvz) +

1r

∂

∂r(rρvr) = 0, (1)

ρ(∂vz

∂t+ vz

∂vz

∂z+ vr

∂vz

∂r) = −∂p

∂z+

1r

∂

∂r(rη

∂vz

∂r), (2)

ρcp(∂T

∂t+ vz

∂T

∂z+ vr

∂T

∂r) = vz

∂p

∂z+

1r

∂

∂r(rλ

∂T

∂r) + Q(T ). (3)

Эта система описывает эволюцию во времени поля температуры Tи поля радиальной vr и аксиальной vz скорости газа. Система выведенас рядом допущений: импульс p предполагается не зависящим от ради-уса; аксиальные теплопроводность и вязкость не учитываются; эффек-ты турбулентного переноса включаются в коэффициенты радиальныхтеплопроводности и вязкости.

В данной постановке исследуется случай свободного остывания приинтенсивном обдуве столба дуги в области перехода тока через ноль.Тогда, если пренебречь остаточным током и излучательным переносомэнергии, то джоулево тепло Q(T ) = σE2 = 0 и хорошей аппроксима-цией для импульса p(z) служит известное аксиальное распределениедавления газа в зависимости от различной геометрии сопла.

В работах автора, посвященных математическому моделированиюпроцесса электрической дуги в спутном потоке газа, численно и ана-литически решались различные краевые задачи для гиперболическогоуравнения теплопроводности, получаемого обобщением гипотезы Фу-рье.

Продолжая это исследование, модифицируем систему Рагаллера,заменяя параболическое уравнение энергии (3) обобщением гипотезыФурье и уравнением теплового баланса:

q = −λ∂T

∂r− α

∂q

∂t, (4)

259


ρcp(∂T

∂t+ vz

∂T

∂z+ vr

∂T

∂r) = vz

∂p

∂z− 1

r

∂

∂r(rq) + Q(T ). (5)

Для полученной системы ставятся соответствующие начальные икраевые условия; составлены и отлажены программы на языке Фор-тран, дающие хорошие результаты, согласующиеся с проведеннымиэкспериментами при соответствующем выборе коэффициента тепловойрелаксации α.

Система Рагаллера (1)–(3) является частным случаем системыуравнений (1), (2), (4), (5) при α = 0. Это один из этапов обобще-ния уравнений Навье — Стокса на пути к более общим уравнениямБернетта, вытекающих из кинетической теории газов.

Работа выполнена в рамках программы “Развитие научного потенциалавысшей школы (2009–2010)” (проект РНП 2.1.1./1533).

260


Вычислительные аспекты реализации моделигидродинамики озера Байкал

Numerical aspects of a hydrodynamics modelfor the Baikal lake

Цветова Е.А.


Основные проблемы при моделировании природных процессов воз-никают из-за существенной разницы в их горизонтальных и вертикаль-ных масштабах. Так, например, при моделировании общей циркуляцииозера Байкал приходится учитывать тот факт, что масштабы различа-ются примерно в 600 раз. Поэтому большое значение имеют согласо-ванное описание горизонтальных и вертикальных операторов в моде-лях и обеспечение достаточной точности вычислений. Особое вниманиетребуется расчетам вертикальной компоненты вектора скорости, кото-рая на несколько порядков величины отличается от горизонтальныхсоставляющих вектора скорости.

В докладе представлены численные модели гидродинамики и про-цессов переноса примесей в озере Байкал и методы реализации основ-ных типов разработанных для этих целей алгоритмов в рамках схемрасщепления по физическим процессам. Основной аппарат для постро-ения численных схем — вариационный принцип и метод конечных объ-емов.

Модель гидродинамики несжимаемой жидкости в негидростатиче-ском приближении представлена уравнениями движения, неразрывно-сти и энергии. Нелинейное уравнение состояния учитывает изменениеплотности в зависимости от температуры и давления. В качестве при-месей рассматриваются твердые, растворенные и газовые субстанции.

В задачах конвекции-диффузии требуется обеспечить сохранениебаланса массы, импульса, количества тепла и примесей. Численные схе-мы, кроме выполнения соотношений баланса, должны обладать свой-ствами монотонности, транспортивности, устойчивости. Этими свой-ствами обладают схемы, построенные с помощью вариационного прин-ципа и метода конечных объемов при использовании фундаментальныханалитических решений специальным образом определённых локаль-ных сопряженных задач [1].

261


Алгоритм для учета силы Кориолиса, которая представлена в трехуравнениях движения негидростатической модели, основан на неста-ционарных аппроксимациях экспоненциального типа с антисимметрич-ным матричным оператором в каждой точке пространственно-времен-ной сеточной области. Использование аналитического решения приво-дит к численным схемам с ортогональными операторами, обладающи-ми свойствами сохранения энергии.

Для обеспечения точности вычислений при расчетах производных иинтегралов используются аппроксимации сглаживающими сплайнамичетвертого порядка точности, построенные с использованием вариаци-онной оптимизации со слабыми ограничениями.

В качестве иллюстрации рассматривается задача об обновленииглубинных вод озера. Специфика процессов перемешивания в глубо-ком пресноводном водоеме проявляется в том, что естественная кон-векция, имеющая место при переходе температуры поверхности водычерез температуру максимальной плотности, затрагивает водную тол-щу лишь частично, до определенной глубины. Это происходит из-затого, что температура максимальной плотности из-за влияния давле-ния практически линейно уменьшается от 4C на поверхности на 0.21Cкаждые 100 м глубины. В то же время существуют другие механизмы,которые при определенных условиях запускают глубокую конвекцию,что обеспечивает частичное обновление глубинных вод. Приводятся ре-зультаты тестовых и сценарных расчетов, демонстрирующих специфи-ку изучаемых процессов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 07-05-00673), Президиума РАН (программа 17) иОтделения математических наук РАН (программа 3).



262


Численное моделирование ретроспективной задачиестественной тепловой конвекции

Numerical modelling of retrospective problemof natural thermal convection

Цепелев И.А.1, Короткий А.И.1, Попов В.Н.2

1Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург,Россия; [email protected]; [email protected]


[email protected]

Рассматривается задача о численном моделировании ретроспектив-ной задачи естественной тепловой конвекции высоковязкой неоднород-ной несжимаемой жидкости. Математическая модель трехмерных тер-моконвективных течений упомянутой жидкости включает в себя неста-ционарную начально-краевую задачу для определения температуры,уравнение несжимаемости и квазистационарную краевую задачу дляопределения скорости и давления [1]. Модель рассматривается в при-ближении Буссинеска. Для решения задачи требуется найти (аналити-чески или численно) решение соответствующей краевой задачи для си-стемы дифференциальных уравнений с частными производными, опи-сывающей эволюцию состояний жидкости в обратном направлении вре-мени. Известно, что подобные задачи являются, как правило, некор-ректными и требуют для численного решения разработки специальныхметодов регуляризации [2].

Модели динамики высоковязкой жидкости получили широкое рас-пространение в геофизике при моделировании различных процессовв недрах Земли. Подобные модели используются, например, при изу-чении процессов эволюции осадочных бассейнов и соляных диапиров вземной коре, тепловой конвекции в мантии Земли, движения континен-тов под действием мантийных течений и ряда других задач геофизики[3, 4]. Большой интерес вызывают также задачи моделирования эволю-ции различных геологических структур в прошлом. Внимание к такимзадачам возрастает в связи с увеличивающейся производительностьюсовременных ЭВМ и расширяющимся кругом приложений.

В данной работе рассматриваются процедуры численного модели-рования ретроспективной задачи, основанные на итерационном методе

263


уточнения начального условия [3–6]. Для построения численных ап-проксимаций комбинируется метод конечных элементов со специаль-ным базисом из кубических сплайнов для определения поля скоростейи конечноразностный метод для определения температуры. Учитываябольшую размерность дискретных задач, численные алгоритмы ориен-тированы на применение современных ЭВМ параллельного действия.В численной реализации учитываются условия соблюдения основныхфизических законов, закона сохранения импульса, закона сохраненияобъема и монотонность построенных аппроксимаций [7]. Обсуждаютсятакже проблемы выбора параметров в итерационном процессе и раз-личные способы построения предобуславливателей, основанные на ана-лизе доступной априорной информации о решении задачи [8].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-01-00029) и гранта совместных фундаментальныхнаучных исследований УрО РАН, СО РАН и ДВО РАН.


1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.:

Наука, 1979.3. Ismail-Zadeh A.T., Schubert G., Tsepelev I. A., Korotkii A. I. Inverse problem

of thermal convection: numerical approach and application to mantle plumerestoration // Phys. Earth Planet. Interiors. 2004. V. 145. P. 99–114.

4. Ismail-Zadeh A., Schubert G., Tsepelev I., Korotkii A. Three-dimensionalforward and backward numerical modeling of mantle plume evolution: Ef-fects of thermal diffusion // J. Geophys. Res. 2006. V. 111, N B6 (B06401,doi:10.1029/2005JB003782).

5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратныхзадач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004.

6. Korotkii A. I., Tsepelev I. A. Solution of a retrospective inverse problem forone nonlinear evolutionary model // Proc. Steklov Inst. Math. 2003. Suppl. 2.P. 80–94.

7. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

264


Фундаментальные модели теченийнеоднородных жидкостей

The fundamental models of inhomogeneousliquid’s flow

Чашечкин Ю.Д.

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН,Москва, Россия; [email protected]

Устойчивая стратификация атмосферы и океана, обеспечивающаясуществование внутренних волн, обычно обладает “тонкой структурой”,природа образования которой изучается теоретически и эксперимен-тально. В развиваемом подходе для описания динамики природныхсистем используется система фундаментальных уравнений механикинеоднородных жидкостей, включающая уравнения состояния, нераз-рывности, переноса импульса, температуры и вещества. К основнымподмоделям относятся редуцированные системы, при выводе которыхпренебрегается влиянием части термодинамических переменных, и вы-рожденные системы (в силу симметрии геометрии задачи или прене-брежения влиянием изменения плотности). Все системы являются син-гулярно возмущенными.

Свойства общих решений систем фундаментальных уравнений в ли-нейном и слабо нелинейном приближениях изучаются методами теориивозмущений и интегральных представлений. Анализируются все ком-поненты решений, как регулярно возмущенные, описывающие волныи вихри, так и сингулярно возмущенные, которые характеризуют по-граничные слои на контактных поверхностях и их аналоги в толщежидкости, включающие протяженные высокоградиентные прослойки.При редукции или упрощении задачи, когда понижается порядок систе-мы, сохраняются (с некоторой модификацией) регулярно возмущенныекомпоненты, число сингулярно возмущенных компонент сокращается.В вырожденных системах происходит слияние разнородных сингуляр-но возмущенных компонент общего решения. В полной постановке всекомпоненты течений непосредственно взаимодействуют между собой,несмотря на различия в характерных масштабах, и порождают новыеволны или вихри, дополненные собственными тонкоструктурными ком-понентами.

265


В качестве примеров рассмотрены задачи генерации периодическихи присоединенных внутренних волн. Формулируются требования к ме-тодике эксперимента, обеспечивающей регистрацию всех компоненттечений. Кратко характеризуются оригинальные экспериментальныеустановки. Приводятся результаты опытов, позволяющие оценить усло-вия применимости подхода, степень согласия расчетов и наблюдений ипроследить эволюцию структуры течений в более широких областяхзначений параметров. В частности, прослежена динамика формирова-ния вихревых систем в областях конвергенции сингулярных оболочекпучков внутренних волн и процессов переноса примеси в компактныхвихрях. Обсуждаются условия экстраполяции результатов расчетов илабораторных опытов на природные системы.

266


О движениях газа типа автомодельноговихря Овсянникова

Selfsimilar Ovsyannikov’s vortex gas motions

Черевко А.А.1, Чупахин А.П.2

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

[email protected], [email protected]

В классических работах по газовой динамике [1–3] рассматриваласьзадача о сферически-симметричном автомодельном разлете или фоку-сировке газа.

Исследование исходной сферически-симметричной задачи сводит-ся к построению решений двумерной автономной системы обыкновен-ных дифференциальных уравнений. Каждому решению этой системысоответствует свой режим течения газа. Так течению со слабым раз-рывом соответствует интегральная кривая системы проходящая черезособую точку. Эта особая точка должна лежать на одной из двух пря-мых, вдоль которых система вырождается. Такие прямые соответству-ют инвариантным звуковым характеристикам системы уравнений га-зовой динамики на данном решении.

Л.В. Овсянниковым в [4] было открыто частично инвариантное ре-шение, являющееся обобщением сферически-симметричных движенийсплошной среды, названное впоследствии вихрем Овсянникова. В та-ких движениях инвариантными относительно вращений в R3 являют-ся все термодинамические переменные, а также модули касательной инормальной к сферам компонент вектора скорости среды. При этомсам вектор скорости инвариантным не предполагается.

Автомодельные решения для модели вихря Овсянникова в газовойдинамике являются обобщением решений, рассмотренных в [1–3]. Бу-дем называть такие решения автомодельным вихрем Овсянникова.

Для газа с уравнением состояния p = f(S)ρ3 исследование инва-риантных функций в автомодельном вихре Овсянникова сводится канализу решений четырехмерной системы обыкновенных дифферен-циальных уравнений:

2(α− w)w = −2H2 + hH(v − w)− v(2 + v) + w(4 + 3w),

267


2(α− v)v = −2H2 + hH(w − v)− w(2 + w) + v(4 + 3v),(v + w − 2α)H = −2H(1 + v + w), (1)(v + w − 2α)h = 2(1 + h2)H.

Здесь точкой обозначено дифференцирование по автомодельной пере-менной l = ln

(r/tα+1

), α ∈ R — параметр автомодельности (α 6= −1).

Скорость звука c, нормальная un и модуль касательной uτ к сферамr = const компоненты скорости выражаются через решения системы.

В случае H ≡ 0 система (1) сводится к системе, описывающей клас-сические сферически-симметричные движения газа.

Доказано, что при H 6= 0 все особые точки системы (1) в фазо-вом пространстве R4(w, v, H, h) лежат на трехмерных гиперплоскостяхv = α и w = α. При этом, аналогично сферически-симметричному слу-чаю, интегральная кривая системы (1), соответствующая течению газасо слабым разрывом пересекает гиперплоскость v = α (или w = α)в особой точке. Но в отличие от классического случая, когда на каж-дой прямой v = α и w = α лежит не более трех особых точек (считаяи их точку пересечения), в автомодельном вихре Овсянникова особыеточки полностью заполняют некомпактную двумерную поверхность втрехмерной гиперплоскости. В гиперплоскости v = α данная поверх-ность Σ задается уравнением α(4+3α)−2w−w2−2H2+(w−α)Hh = 0.На Σ имеются особые точки различных типов, кроме того и сама по-верхность и распределение на ней особых точек по типам зависят отпараметра автомодельности α.

Более сложное поведение интегральных кривых системы (1) приво-дит к более сложным и разнообразным движениям газа.

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Пре-зидента РФ (проект НШ-2826.2008.1), Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-01-00047а) и Министерства образования и наукиРФ (проект 2.1.1/3543).

ЛИТЕРАТУРА1. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977.2. Брушлинский К.В., Каждан Я.М. Об автомодельных решениях неко-

торых задач газовой динамики // Успехи мат. наук. 1963. Т. XVIII,вып. 2(110). С. 3–23.

3. Годунов С.К., Киреева И.Л. О некоторых автомодельных движенияхидеального газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1968. Т. 8, 2. С. 374–392.

4. Овсянников Л.В. Особый вихрь // Прикл. механика и техн. физика. 1995.Т. 36, 3. С. 45–52.

268


Законы сохранения для уравненийгазовой динамики

Conservation laws for gas dynamics equations

Чиркунов Ю.А.


Движение газа описывается уравнениями

ut + (u · ∇)u +1ρ∇p = 0, ρt + (u · ∇) ρ + ρ div u = 0, (1)

pt + (u · ∇) p + ρ c2(p, ρ) div u = 0,

где t — время; u = u (t, x) — вектор скорости; ρ = ρ (t, x) — плотность;p = p (t, x) — давление; x ∈ Rn (n > 1) ; c = c (p, ρ) > 0 — скорость звука.

Безвихревое движение газа описывается уравнениями (1) и уравне-ниями

∇ρ ∧∇p = 0, ∇∧ u = 0. (2)

Второе уравнение в (2) можно проинтегрировать u = ∇ϕ введениемпотенциала ϕ = ϕ (t, x).

В газовой динамике физический смысл закона сохранения [1] A =(A0, A1, A2, . . . , An

)определяется компонентой A0 – плотностью закона

сохранения и вектором потока B = A1−A0u, где A1 =(A1, A2, . . . , An

).

Теорема 1. Если c (p, ρ) — произвольная функция, то при n = 1множество законов сохранения нулевого порядка для системы (1) ис-черпывается классическими законами сохранения. Расширение этогомножества имеет место только в двух случаях:

1) для политропного газа с показателем адиабаты, равным 3, когдадобавляются законы сохранения, полученные в [1];

2) для обобщенного газа Чаплыгина с уравнением состояния c2 =1/

(ρ2w′′(p)

)(w (p) — любая заданная функция), когда добавляется бес-

конечное множество законов сохранения A0 = ρHu, B = Hp/w′′(p), гдеH = H (u, p) — любое решение уравнения Huu = [Hp/w′′(p)]p .

При n > 1 новые законы сохранения для уравнений газовой дина-мики добавляются только в случае безвихревого движения газа.

269


Теорема 2. Множество законов сохранения нулевого порядка длясистемы (1), (2), описывающей безвихревое движение газа, при произ-вольной функции c2 (p, ρ) состоит из классических законов сохранения.Расширение этого множества происходит только в двух случаях:

1) для политропного уравнения состояния газа с показателем адиа-баты, равным n+2

n , когда добавляются законы сохранения, полученныев [1];

2) для обобщенного газа Чаплыгина, когда добавляются три допол-нительных закона сохранения:

— дополнительный обобщенный закон сохранения импульса

A0 = ρw′ (p) u · λ, B =

[w (p)− |u|2

2

]λ + (u · λ) u;

— дополнительный обобщенный закон сохранения момента импуль-са

A0 = ρ w′ (p)Ω 〈x〉 · u, B =

[w (p)− |u|2

2

]Ω 〈x〉+ (Ω 〈x〉 · u)u;

— закон сохранения, определяющий дополнительный обобщенныйзакон движения центра масс

A0 = ρw′ (p) (tu− x) · µ, B =

[t

(w (p)− |u|2

2

)− x · u

n− 1

]µ+

+ [(tu− x) · µ] u +u · µn− 1

x,

где λ, µ — произвольные постоянные единичные векторы; Ω — произ-вольный антисимметричный тензор ранга 2 в Rn.

Теорема 3. Система (1) имеет нелокальные законы сохранения ви-да A = A (t, x, u, p, ρ, ϕ, ϕt) только при n = 1 и только для обобщенногогаза Чаплыгина. При этом каждый такой закон сохранения эквивален-тен закону сохранения

A0 = ρw′ (p) (tu− x) , B = t

[w (p) +

u2

2

]− xu + ϕ.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун-даментальных исследований (проект 07-01-00489).

ЛИТЕРАТУРА1. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.:

Наука, 1983.

270


Численное моделирование лазерной сварки тонкихметаллических пластин

Numerical modelling of laser weldingof thin metal plates

Шапеев В.П.1, Исаев В.И.2, Черепанов А.Н.1


[email protected], [email protected]Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

[email protected]

Рассматривается установившийся процесс лазерной сварки тонкихметаллических пластин. Последние являются прямоугольными парал-лелепипедами, состыкованными между собой узкими боковыми граня-ми. Ось луча лазера лежит в плоскости стыка пластин и направленаперпендикулярно к их поверхности. Лазер движется параллельно пла-стинам вдоль стыка. В данной работе предложена трехмерная квази-стационарная математическая модель процесса лазерной сварки. В нейпредполагается, что скорость сварки (скорость перемещения лазера)постоянная, поле температур и положения фазовых границ в свароч-ной ванне квазистационарные. Для описания теплопереноса использу-ется уравнение теплопроводности с конвективными членами. Тепло-обмен с окружающей средой и между областями с металлом в твер-дой и жидкой фазах моделируется нелинейными краевыми условиямии условием Стефана на поверхности фазового перехода соответствен-но. Для описания течения в сварочной ванне используются уравненияНавье — Стокса. В модели также учитывается образование паровогоканала в окрестности луча лазера.

На основе предложенной модели созданы два численных алгорит-ма ее реализации. В первом алгоритме предполагается, что скоростьжидкого металла в сварочной ванне постоянна и равна скорости свар-ки. Для приближенного решения трехмерного уравнения теплопровод-ности используется консервативная разностная схема приближеннойфакторизации. Во втором алгоритме течение в сварочной ванне рас-считывается на основе решения краевой задачи для уравнений Навье —

271


Стокса в криволинейной области. Ввиду существенной сложности трех-мерной модели во втором алгоритме пока реализован только двумер-ный ее вариант. Приближенное решение задачи строится в нем при по-мощи итерационного процесса, в котором на каждой итерации по зна-чениям компонент скорости с предыдущего шага рассчитывается полетемператур и новое приближение для межфазных границ. По изотермеликвидуса определяется граница сварочной ванны. По новому прибли-жению для области расплава рассчитываются распределения скоростейи давления. Для построения поверхности парогазового канала в обоихалгоритмах был использован подход, предложенный в работе [1].

Для приближенного решения краевой задачи для уравнения теп-лопереноса в области с криволинейной границей здесь используетсяконсервативный вариант метода коллокаций и наименьших квадратов(КНК) [2]. В нем в качестве уравнений коллокаций используются тре-бования выполнения интегрального уравнения баланса тепла в каж-дой ячейке сетки. Условиями согласования решения являются требо-вания непрерывности тепловых потоков на границе соседних ячеек инепрерывности температуры. Для приближенного решения уравненийНавье — Стокса применялся вариант метода КНК с аппроксимациейкомпонент скорости и давления полиномами второго порядка [3]. По-следний хорошо зарекомендовал себя при решении эталонной задачидля уравнений Навье — Стокса — задачи о течении вязкой несжимае-мой жидкости в каверне с движущейся верхней крышкой [3].

Проведены численные эксперименты, в которых показано влияниеконвекции на распределение температуры в сварочной ванне и на ееразмеры.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 08-08-00249-а) и СО РАН (интеграционный проект 26).


1. Шапеев В.П., Черепанов А.Н. Конечно-разностный алгоритм для чис-ленного моделирования процессов лазерной сварки металлических пла-стин // Вычисл. технологии. 2006. Т. 11, 4. C. 102–117.

2. Исаев В.И. Консервативный вариант метода коллокаций и наименьшихквадратов // Тр. 40-й всероссийской конф. “Проблемы теоретической иприкладной математики”. Екатеринбург, 2009.

3. Isaev V.I., Shapeev V.P. Development of the collocations and least squaresmethod // Proc. Steklov Inst. Math. 2008. Suppl. 1. P. S87–S106.

272


Итеративный метод решения задачибыстродействия для нелинейных

стационарных системIterative method of solving time optimal control

problem for nonlinear stationary systems

Шевченко Г.В.


Для задач оптимального быстродействия с нелинейными система-ми со стационарной правой частью предлагается итерационный методрешения, который является обобщением метода решения нелинейныхзадач оптимального быстродействия для систем, разделённых по фа-зовым состояниям и управлениям [2]. Метод основан на построении ко-нечных последовательностей смежных симплексов с вершинами на гра-ницах областей достижимости. При предположении об управляемостисистемы доказано, что за конечное число итераций минимизирующаяпоследовательность сходится к ε-оптимальному решению. Следуя [1],пару T, u, где T 6 Topt, Topt — время оптимального по быстродей-ствию перевода системы из начального состояния в ε-окрестность на-чала координат, u — допустимое управление, под действием которогосистема переходит в ε-окрестность начала координат за время T , назо-вём ε-оптимальным решением.

Пусть управляемый объект описывается системой нелинейныхобыкновенных дифференциальных уравнений вида

x = f(x, u), (1)

где x — n-мерный вектор фазового состояния объекта; x(0) = x0 — на-чальное состояние; f(x, u) — непрерывная по x и u и непрерывно диф-ференцируемая по x вектор-функция, f(x, u)

∣∣x 6=0,u 6=0

6= 0, f(0, 0) = 0и f(0, u)

∣∣u 6=0

6= 0; u — s-мерный вектор управляющих воздействий,компоненты которого являются измеримыми функциями и стесненыограничением

u(t) ∈ U, (2)

U — компактное выпуклое тело из Rs, причём 0 является внутреннейточкой множества U .

273


Предполагается, что система (1) полностью управляема.Задача. Найти допустимое управление u0(t), переводящее систе-

му (1) из начального состояния x(t0) = x0 в начало координат за ми-нимально возможное время T = Topt.

Предлагаемый метод решения задачи оптимального быстродей-ствия состоит из двух этапов. На первом этапе строятся монотонно воз-растающая последовательность времён Tk и последовательность сим-плексов σk с вершинами на границе области достижимости R(Tk).Построение заканчивается, когда очередной построенный симплекс по-глотит начало координат. Следует отметить, что построение ведётсятак, что если Tk = Tk+1, то симплексы σk и σk+1 являются смежны-ми и ρ(σk) > ρ(σk+1), где ρ(σ) — расстояние от начала координат досимплекса σ = [z1, . . . , zn+1], т. е.

ρ(σ) = minn+1∑i=1

ζi=1, ζi>0

∥∥∥∥n+1∑

i=1

ζizi

∥∥∥∥2

.

На втором этапе для уточнения оптимального времени использу-ются процедуры проверки принадлежности начала координат множе-ству Rσk или области достижимости R(Tk). Множество Rσk представ-ляет из себя концы траекторий системы (1) с началом в x(0) = x0 приуправлениях, которые являются линейными выпуклыми комбинация-ми управлений, соответствующих вершинам симплекса σk. Показано,что эти процедуры конечны.

Доказана сходимость предлагаемого итеративного метода.Работа выполнена при поддержке СО РАН (проект 85).


1. Шевченко Г.В. Численный алгоритм решения линейной задачи опти-мального быстродействия // Журн. вычисл. математики и мат. физики.2002. Т. 42, 8. С. 1184–1196.

2. Шевченко Г.В. Метод численного решения нелинейной задачи оптималь-ного быстродействия с аддитивным управлением // Журн. вычисл. ма-тематики и мат. физики. 2007. Т. 47, 11. С. 1843–1853.

274


Определение коэффициентовв обратной задаче акустики

Determining unknown coefficientsin inverse acoustic problem

Шишленин М.А.


Обратная задача акустики сформулирована в виде обратной зада-чи для симметрической t-гиперболической системы уравнений первогопорядка. Требуется по данным на части границы восстановить коэф-фициенты, входящие в систему уравнений.

Метод квазирешения В.К. Иванова обычно рассматривается длялинейных уравнений и на компактных множествах. Этот метод былприменен для решения обратной задачи акустики, причем множествомкорректности был выбран не компакт, а шар в гильбертовом простран-стве. Удалось показать, что использование в алгоритме в качествеаприорной информации радиуса шара позволяет на несколько поряд-ков сократить количество итераций метода простой итерации (Ландве-бера).

Построен оптимизационный метод решения обратной задачи. Про-веден сравнительный анализ численных методов решения [1, 2].



1. Kabanikhin S. I., Satybaev A.D., and Shishlenin M.A. Direct methods ofsolving multidimensional inverse hyperbolic problems. The Netherlands: VSP,2005.

2. Kabanikhin S. I., Shishlenin M.A. Quasi-solution in inverse coefficient prob-lems // J. Inv. Ill-Posed Probl. 2008. V. 16, N 7. P. 707–715.

275


Анализ вычислительных схем решения трехмерноговекторного уравнения Гельмгольца

Analysis of numerical schemesfor the three–dimensional vector Helmholtz equation

Шурина Э.П.1, Нечаев О.В.2

1Новосибирский государственный технический университет,Новосибирск, Россия; [email protected]Институт нефтегазовой геологии и геофизики

им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, Россия; [email protected]

В частотной области моделирование электромагнитного поля можетбыть приведено к процедуре решения уравнения Гельмгольца относи-тельно комплекснозначной векторной функции напряженности элек-трического поля в трехмерной области с липшиц-непрерывной грани-цей. Особенности решения такого класса задач связаны с ядром ротор-ного оператора, условиями непрерывности тангенциальных компонентэлектрического поля, максимально точным выполнением условия сов-местности системы линейных алгебраических уравнений, полученныхпосле дискретизации сформулированной задачи, условием сохранениязаряда в областях с разрывными коэффициентами. Последнее условиесвязано с аппроксимацией скачка нормальной компоненты электриче-ского поля на межфрагментарных границах, разделяющих расчетнуюобласть на подобласти с достаточно высокой контрастностью коэффи-циентов уравнения.

Конечноэлементная аппроксимация краевой задачи выполняется вдискретном подпространстве пространства векторных функций, квад-рат ротора которых интегрируем по расчетной области, на тетраэд-ральном (либо гексаэдральном) разбиении расчетной области. В рабо-тах R. Hiptmayer, D.N. Arnold, P. Monk, D. White, J. R. Webb рассмат-риваются вычислительные схемы, построенные на edge-элементах (ба-зис низкого порядка), либо предлагаются алгоритмы построения иерар-хических базисов высоких порядков.

Только в последнее время появились работы (Y. Saad, 2006; C. Vuik,2008), в которых анализируются двухуровневые и многоуровневыепредобусловленные методы на подпространствах Крылова. В работе

276


(O.V. Nechaev, E. P. Shurina, M.A. Botchev, 2008) рассматривается но-вая итерационная схема для эффективного решения трехмерного урав-нения Гельмгольца в областях со скачками коэффициента электропро-водности в подобластях.

В данной работе рассматривается аппроксимация векторного урав-нения Гельмгольца, тангенциальные векторные иерархические базис-ные функции полного (базис второго типа) второго, третьего порядков,удовлетворяющие условиям включения (диаграмма Де Рама), и мето-ды решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), ассо-циированных с этими аппроксимациями. При моделировании электри-ческого поля в составных областях при соизмеримых токах проводимо-сти и смещения, и высоких контрастах в физических характеристикахподобластей наиболее эффективными являются многоуровневые алго-ритмы, реализованные на полных иерархических базисах второго ти-па, порядок которых не менее двух. Так расчет электрического поля вскважине со смещенным зондом в диэлектрическом корпусе (частота14 МГц, удельное сопротивление бурового раствора 1 Омм; зоны про-никновения буровой жидкости, тонкие пласты, удельное сопротивление2 Омм; вмещающая среда, удельное сопротивление 10 Омм; относи-тельная норма невязки СЛАУ не более 10−7) выполняется в течение 15минут. При этом размерность СЛАУ более 2000000. В качестве решате-ля использовался многоуровневый метод, разработанный для решенияСЛАУ — дискретных аналогов векторных вариационных формулиро-вок для уравнения Гельмгольца.

Сравнительный анализ вычислительных схем для расчета высоко-частотных полей (частоты выше 1 ГГц) в средах с проводимостью рав-ной нулю и достаточно высоким коэффициентом диэлектрической про-ницаемости диэлектрика (волноводы, оптоволоконная техника) пока-зал наибольшую эффективность решателей, ориентированных на ап-проксимации векторными базисными функциями высоких порядковпервого типа (неполный базис).

277


Моделирование отклика глобального океанана охлаждение поверхностных вод с временным

масштабом ледникового периода

Simulation the global ocean response to coolingthe surface waters with time scale of the ice age

Щербаков А.В.1, Малахова В.В.2

1Югорский НИИ информационных технологий, Ханты-Мансийск,Россия; [email protected]

2Институт вычислительной математики и математическойгеофизики СО РАН, Новосибирск, Россия; [email protected]

На основе данных об изменении климата на протяжении последних420 тысяч лет, которые были получены при изучении ледяных керновиз Антарктиды и Гренландии [1], установлены четыре долговременныхклиматических цикла состоящих из чередования периодов оледененияи потепления, которые происходили с периодичностью в 90–120 тыс.лет. Для всех четырех циклов характерным является быстрое потепле-ние, когда средняя температура атмосферы за 10 тыс. лет увеличивает-ся на величину порядка 10 градусов и за время порядка 70–100 тыс. летуменьшается на эту же величину. Используемая квазигеострофическаячисленная модель климата Мирового океана [2] основана на решениитрехмерных уравнений переноса тепла и соли на равномерной пяти-градусной широтно-долготной сетке и неравномерной, сгущающейся кповерхности, сетке по вертикали с 24 расчетными уровнями. Компо-ненты вектора скорости определяются из линейных уравнений движе-ния через интегральную функцию тока и найденные температуру исоленость. На поверхности океана заданы сезонно изменяющиеся тем-пература, соленость и напряжение трения ветра. На боковых границахи дне океана заданы нулевые потоки тепла и соли и условия сколь-жения. Исследованы свойства численной модели глобального климатав зависимости от вертикального и временного разрешения. Экспери-мент начинается с климатического состояния, которое было полученов результате интегрирования глобальной геострофической модели [2]под действием заданных на поверхности океана сезонно изменяющих-ся значений температуры, солености и напряжений трения ветра.

Предполагая, что изменения температуры поверхностных вод оке-ана следуют за изменениями температуры атмосферы всюду, кроме

278


покрытых льдом полярных областей, исследуется реакция океанскогоклимата на эти изменения с характерным временным масштабом лед-никового периода 120 тыс. лет. В граничных условиях на поверхностиокеана задается медленное длительное похолодание, в результате ко-торого заданные зимние и летние значения температуры поверхностиокеана из атласа Левитуса в каждой точке расчетной сетки уменьша-ются на величину порядка 8 градусов за 90 тыс. лет. Далее задаетсяотносительно быстрое за 10 тыс. лет потепление на ту же величину.Анализ полученных результатов показал, что верхняя часть главноготермоклина синхронно следует за изменением поверхностной темпе-ратуры. Но, начиная с глубин порядка 800 м, изменение температу-ры происходит в противофазе к поверхностным изменениям. Причеммаксимальное повышение температуры испытывают придонные водымежду 30 и 90 тыс. лет. После относительно быстрого потепления по-верхностных вод между 90 и 100 тыс. лет глобальный климат вернулсяв исходное состояние.

Существующие в настоящее время данные по реконструкции темпе-ратуры поверхности Мирового океана в период последнего ледниково-го максимума показывают, что похолодание поверхности океана носитсущественно неоднородный — преимущественно зональный характер.При этом температура поверхности океана в тропиках уменьшаетсявсего на 2–3, тогда как в высоких, как правило, зимних широтах, онауменьшается на 7–10. Поэтому если проделать численные экспери-менты такой же продолжительности в 120 тыс. лет, когда температураповерхности океана в период максимума оледенения в тропических ши-ротах меньше сегодняшней на 2–3или на 5–6, а в высоких широтахпо прежнему на 7–10, то такой глобальной перестройки всей термоха-линной структуры Мирового океана уже не получается. Имеет местоплавный переход от описанного экстремального случая к более умерен-ным изменениям.


1. Котляков В.М. Скважина на станции Восток рассказывает о прошломклимате Земли // ГНТП “Глобальные изменения природной среды и кли-мата”. Избр. научн. тр. под ред. Лаверова Н.П. М., 1997. С. 281–291.

2. Щербаков А.В., Малахова В. В. Численное моделирование глобальногоклимата океана. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2008. 159 с.

279


Двумерные фильтрационные течениясо свободными границами: новые подходы

к моделированию и анализуTwo dimensional filtrational flows with free

boundaries: new approaches to modelling and analysis

Эмих В.Н.


Выход в свет книги [1] положил начало математическому моделиро-ванию фильтрационных течений на базе краевых задач теории анали-тических функций. Гидродинамическая теория фильтрации стала цен-тральным разделом подземной гидродинамики.

В середине прошлого столетия исследователи обратились к много-параметрическим краевым задачам фильтрации со свободными гра-ницами. Единственной основой полноценного анализа таких теченийявляется прямая постановка. На пути её осуществления возникает про-блема нахождения неизвестных параметров конформных отображенийиз систем трансцендентных уравнений, связывающих эти параметрыс определяющими физическими параметрами задачи. При имевшихсяв то время вычислительных ресурсах эта трудоёмкая процедура былаподчас невыполнимой, что привело к замедлению развития гидродина-мической теории.

Другая, обозначившаяся в ходе исследований проблема состоит втом, что моделируемые течения со свободными границами реализуют-ся в описывающих эти течения многопараметрических краевых зада-чах при определённых ограничениях на параметры отображения, а вконечном итоге — на входные физические параметры. В задачах филь-трации к горизонтальным дренам и скважинам выявление указанныхограничений означает установление технологии эксплуатации такихустройств, исключающей поступление в них воздуха или содержащихсяв пласте жидкостей с иными физическими свойствами. В связи с этимна первом этапе моделирования расчёту подлежат критические режи-мы, возникающие на грани дестабилизации подвижных границ пото-ков. За этой гранью краевые задачи описывают иные схемы течения,также являющиеся критическими, гидродинамически неустойчивыми

280


и в силу этого — физически нереализуемыми. Принципиально новыхподходов потребовали задачи фильтрации пресных вод над солёнымис дренажём, воздействию которого подвержены как свободная поверх-ность потока, так и поверхность раздела между пресными и соленымиводами. Ключевую роль при математическом моделировании таких те-чений играет специфический для них двойной критический режим [2].Он состоит в том, что при интенсификации дренажа, заложенного наопределённой глубине, на грани дестабилизации оказываются одновре-менно обе подвижные границы. В других случаях критический режимвозникает на одной из границ в зависимости от соотношения междуфактической глубиной дрен и их глубиной в двойном критическом ре-жиме. Именно он и подлежит, следовательно, первоочередному расчё-ту. Вычисляемая в этом режиме глубина дренажа является в некоторомсмысле оптимальной, позволяя достичь максимально возможной про-дуктивности дрен. Таким образом, сугубо предельная ситуация приоб-ретает самостоятельную значимость при исследовании течений к гори-зонтальным водозаборам или нефтедобывающим скважинам. Приме-нительно к проблемам гидромелиорации подобные оптимизационныерасчёты также можно выполнить в рамках критических режимов.

На такой основе создан обширный комплекс математических мо-делей фильтрации с дренажём. При их построении наряду с класси-ческими методами теоретического анализа существенную роль игра-ют численные расчёты, осуществляемые по специальным компьютер-ным программам как на стадии обоснования разрешимости уравненийотносительно параметров отображений, так и на завершающем этапевычисления фильтрационных характеристик моделируемых течений ивыявления их закономерностей.


1. Павловский Н.Н. Теория движения грунтовых вод под гидротехнически-ми сооружениями и её основные приложения. Собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 3–352

2. Эмих В.Н. Краевая задача о дренируемой кайме пресных вод и её прило-жения // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60, вып. 3. С. 494–503.

281


Design of very high order schemesfor compressible fluid dynamics

Abgrall R.

University of Bordeaux I, Institut National de Recherche en Informatiqueet Automatique, Talence, France; [email protected]

We are interested in the numerical simulation of the compressible Eulerequations on unstructured meshes by mean of a high order method. In thispaper, we develop an systematic extension of the Residual Distributionmethod of [Abgrall, JCP 2006] for getting arbitrary order. If the method isgeneral, particular emphasis is given on the third order case. After havingdeveloped the method, it is tested and validated against several classicalbench mark problems. In particular, we demonstrate that we an both havea non oscillatory behavior, even for very strong shocks and complex flowpatterns, but also the expected accuracy on smooth problems.

This paper summarizes and extend a series of conference papers (ICCFD2008 and ECCOMAS 2008 in Venice).

282


The history and analysis of computerarchitecture development

Babayan B.A.

Intel R©Corporation, Moscow, Russia; [email protected]

1. Introduction. During the long history of computing, computer ar-chitecture has gone through a good deal of changes and improvements.Having over 50 years experience in computer design, the author providesanalysis of the computer architecture development from the start of compu-ter age. Particular emphasis is placed on the significant contributions thatthe Soviet and Russian scientists have made in designing and building mi-croprocessor and computer systems. The evolution of computer archite-ctures is reviewed starting from early sequential computers and goingthrough various innovations of parallel machines up to superscalar archite-cture computer. The author shares his knowledge, insights and observationsof developing a few generations of high-performance Elbrus computers usedfor the most critical applications in the former Soviet Union and Russia.Today the computer architecture development reached the level, when ithas to consider and manage the limits of superscalar architecture. Capabil-ities and limitations of today’s superscalar architecture are analyzed andassessed. A critical situation in computer architectures caused by limita-tions of superscalar performance growth and ways of coping with it arediscussed.

2. Analysis of computer architecture evolution. The performanceof the first sequential computers depended on the performance of arithmeticunits. Basic architectural solutions, including carry-safe arithmetic, fail-safe capability, etc., were used to improve their speed and reliability. Thesesolutions were embodied in M-40, 5E92b machines. Back in early 50s, oneof the major research and design challenges was design and implementationof parallel computations. The first steps towards parallelism in Russia weremade by Sergey Lebedev, who designed BESM — the forefarther of parallelcomputations in Russia.

With the number of arithmetic units increased the designers were chal-lenged with the goal how to make them work in parallel. First superscalarsarrived. In Russia — Elbrus 1, at Intel — PentiumPro. Elbrus-1 was de-signed in 1978, it had an advanced stack oriented processor architecture

283


with superscalar issue, multiprocessor support, tagged architecture for highreliability and other state-of-the-art features. One of the most importanttechnologies implemented in Elbrus 1 was type safety. Before the 80s, manyuniversities and companies in the West were doing intensive research inthat area, they created test samples and prototypes of the systems aimedat solving the problem of system protection against adverse effect of SWbugs, viruses and malicious attacks. In early 80s Intel designed iAPX 432computer. This design supported type-safety, however its implementationwas not successful, because Intel did not introduce tags and used insteadthe traditional approach. Elbrus type-safety approach is based on typechecking at all system levels, including hardware, language and operatingsystem. The benefits of this seamless integration of hardware and softwareeliminate the possibility of virus propagation, substantially improving pro-gram debugging facility. This solution was further advanced and embodiedin the next generations of Elbrus computers.

Elbrus developed into a series of even more advanced designs. Ten-processor supercomputer Elbrus 2 was delivered in 1984, it ran critical ap-plications for the Soviet government, including the Russian missile-defensesystem. In the 1985, fifteen years before Intel and HP were consideringEPIC, the design of the new line of VLIW oriented supercomputer Elbrus3 was started. Innovative design concepts and features implemented in thiscomputer are still ahead of the similarly designed systems in the West. Akey technology was Very Long Instruction Word (VLIW)/Explicitly Paral-lel Instruction Computing (EPIC). This technology was later to be used inthe Intel о Itaniumо processor family, released in 2000. Transmeta Corp.built Crusoe and Efficeon based on VLIW/EPIC using binary translation(code morphing) as a core technology.

With rapid advances in technology computer complexity is gettingworse. High complexity of superscalar does not provide for further per-formance growth. It must parallelize execution of sequential operations onthe fly. It must define information dependences and be aware what instruc-tions must be executed out-of-order, it must perform register renaming.The technical solution used in Elbrus 3 provided for compiler and HW be-ing together responsible for the complexity of accomplishing of computingtasks. The Elbrus-3 VLIW/EPIC implementation relied on strong com-pilers and explicit parallelism for performance. Along with VLIW/EPIC,Elbrus-3 also drove the development of binary translation technology. Thistechnology solves the problem of compatibility between the new and old ar-chitectures. Elbrus 3M microprocessor released in 2007 improving on many

284


of Elbrus features has demonstrated significant benefits of this approach.Today binary translation approach is much talked about. Many compu-

ter minds are focused on this technology, because superscalar has reachedits limit and does not provide for significant performance improvement.Efficient hardware-supported binary translation can offer a new way todesign processors. It has a potential to change the computer world andsave it from stagnation.

285


Recovering a potential from Cauchy datain the two–dimensional case

Bukhgeim A. L.1, Bukhgeim A.A.2

1Wichita State University, Wichita, USA;Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia;

[email protected]; [email protected], Oslo, Norway; [email protected]

The task of scattering theory is to reconstruct the atomic forces inquantum mechanics, or the refractive index in acoustics, or electromag-netic medium, from the observable quantities. In quantum mechanicsthe observable is the scattering operator (scattering amplitude). In1943 Heisenberg assumed that all information about atomic forces (say,potential) can be extracted from the scattering operator. Inverse problemsinvolving a radial potential were solved in the well-known papers by Borg,Levinson, Gelfand and Levitan, and Marchenko. In the multidimensionalcase (n > 2) uniqueness on fixed energy level follows from the paper bySylvester and Uhlmann and the Rellich-Vekua lemma. This was done byR.Novikov. The n = 2 case fails to be overdetermined and is hence muchmore difficult. In this case uniqueness is known only for sufficiently smallpotentials, or for potentials of “conductivity type”.

Acoustic or seismic observables are Cauchy data sets on the boundary.Similar problems arise in electro-impedance tomography. In the acousticcase, just like the case above, the first eigenvalue of the Dirichlet problemfor the Laplace operator is like the Great Chinese Wall.

Only recently the first author [1] proved that the set of Cauchy datafor the Schrodinger (or Helmholtz) equation in the two-dimensional casedetermines the bounded potential uniquely. Hence the scattering amplitudeat a fixed energy uniquely determines a bounded potential with compactsupport. An inversion formula was also obtained for smooth potentials. Incollaboration with the second author this formula was tested numerically.For solving this problem numerically we use some new properties of theZernike polynomials. This approach significantly reduces the time comple-xity of the problem. The purpose of this report is to provide basic analyticand numerical tools for solving such kind of inverse problems. We alsoprovide a short fresh overview of Zernike polynomials which we use in ournumerical algorithms.

286


REFERENCES

1. Bukhgeim A. L., “Recovering a potential from Cauchy data in the two-dimensional case,” J. Inv. Ill-Posed Probl., 16, No. 1, 19–33 (2008).

287


Approximate and exact solitary wave solutionsof the higher–order KdV equations

Burde G. I.

Jacob Blaustein Institutes for Desert Research, Ben-Gurion University,Sede-Boker Campus, Israel; [email protected]

In many practical physical problems, the nonlinear wave equations ofinterest are nonintegrable. In some cases they may be close to an integrableequation, and then the perturbation techniques can be applied for constru-cting approximate solutions. However, even in these cases and certainlyin general, it is useful to construct exact explicit solutions. The famousKorteweg–de Vries (KdV) equation arises in many physical contexts asan equation governing weakly nonlinear long waves when nonlinearity anddispersion are in balance at leading order. If higher order nonlinear anddispersive effects are of interest, then the asymptotic expansion can beextended to the higher orders in the wave amplitude which leads to theKdV equation with higher-order corrections. In this paper, the methods ofconstructing the approximate and exact solitary wave solutions are develo-ped and applied to a general class of scalar higher-order (fifth-order) KdVequations (defined, for example, in [1]).

First, based on the ideas of the approach developed in [2] and [3], theLie group machinery is used to construct approximate solutions stemmingfrom the solutions of the leading order KdV equation. This approach isfurther generalized by introducing the concept of the extended symmetrieswhich, as distinct from standard symmetries, map solutions of the evolutionequation with higher order corrections to solutions of the leading orderequation. The extended symmetries can be used in several ways for constru-ction of (exact or approximate) solutions of the perturbed evolution equa-tions starting from the solutions of the leading order equations. They maybe also used for construction of the equations asymptotically close to theconsidered perturbed equation but possessing the closed-form solutions.

Second, a modification of the direct method for finding solitary wave so-lutions is introduced and the new exact and explicit solitary wave solutionsof the higher-order KdV equations, and of the standard KdV equation,found using this technique are presented.

288


REFERENCES

1. Kichenassamy S., Olver P. J., “Existence and nonexistence of solitary wavesolutions to higher-order model evolution equations,” SIAM J. Math. Anal.,23, 1141–1166 (1992).

2. Burde G. I., “Potential symmetries of the nonlinear wave equation utt =(uux)x and related exact and approximate solutions,” J. Phys. A: Math. Gen.,34, 5355–5371 (2001).

3. Burde G. I., “On the asymptotic solutions of the KdV equation with higher-order corrections,” Nonlinearity, 18, 1443–1461 (2005).

289


Model reduction in applications

Bykov V.V.1, Maas U.2

Karlsruhe University, Karlsruhe, Germany;[email protected],[email protected]

The qualitative system analysis and model reduction for reacting flowshas gained an increasing interest during the last years. Nowadays, numericalsimulations based on sophisticated algorithms and implemented on power-ful workstations turn out to be a prevailing tool of the system analysis.However, the fast progress both in the detailed understanding of the un-derlying processes and the continuous trend from the solution of simplemodel systems towards realistic systems of technical importance leads toan extreme growth of the mathematical models (which represents conserva-tion laws and describes the reacting flow from the first principles) both incomplexity (nonlinearity) and in dimension. Typically, in order to describethe reacting flow properly, very large models are designed, which delivervital information about the flow, but they are not treatable even by moderncomputational facilities.

The resulting problems are excessive CPU and storage requirements,and a possible stiffness of the underlying system. Moreover, even if thesystem has been simulated, to filter terabytes of data and obtain crucialinformation about the system behaviour is not a trivial task. Accordingly,the need for automatic numerical methods providing with important pro-perties of systems and their reduced models, which are simple (low dimen-sional, less complex etc.), but nonetheless, describe quantitatively well theunderlying process, has increased constantly.

Much research is dedicated to reduced mechanisms with less systemvariables and parameters. This approach is not universal in the sense thatit requires a thorough investigation for each particular type of reactingflow system with subsequent benchmarking against the underlying detailedmodel for all operating conditions. On the other hand, one would be inte-rested in an universal method for analysing large systems that does notrequire an intimate knowledge of the underlying physics and chemistrythat is necessary for an a-priori reduction of the system dimension andcomplexity. The reduction method should be automatically applicable toany phenomena described by a large and complex system, thus lending itselfto a numerical implementation in a vast area of science and technology.

290


Recently, the framework of Singularly Perturbed Vector Fields (SPVF)has been suggested in [1, 2]. It incorporates the concept of a system decom-position by using invariant, attractive and stable manifolds, which allowsto study properties of the detailed system describing the reacting flow byconsidering appropriate low dimensional manifolds that naturally appearin the detailed system state space as a manifestation of a restricted numberof degrees of freedom governing the system.

The method of automatic reduction of chemical kinetics models thatboth produces the reduced models and provides a strategy for theimplementation of this model for the system integration will be presented.The reduced kinetic mechanism is constructed as a table of a slow mani-fold mesh in the composition or state space. The manifold table containsall necessary information about the reduced kinetics as well as about theprojection of the original system of governing equations on this low dimen-sional manifold. Thus, the actual reduction is realized by a reformulationof the system of governing equations on the low dimensional manifold thatapproximates the full system dynamics in the whole state space.

REFERENCES

1. Bykov V., Goldfarb I., Gol’dshtein V., “Singularly perturbed vector fields,” J.Phys., Conf. Ser., 55, 28–44 (2006).

2. Bykov V., Gol’dshtein V., Maas U., “Simple global reduction technique basedon decomposition approach,” Combust. Theory Model., 12, No. 2, 389–405(2008).

291


Solid–fluid diffuse interface model

Gavrilyuk S.

Aix-Marseille University, UMR CNRS 6595, IUSTI, Marseille, France;[email protected]

We derive an Eulerian diffuse interface model for elastic solid-compres-sible fluid interactions in situations involving extreme deformations. Elasticeffects are included following the Eulerian conservative formulation propo-sed in Godunov (1978), Miller and Colella (2001), Godunov and Romenski(2003), Plohr and Plohr (2005), Gavrilyuk, Favrie and Saurel (2008). Weapply first the Hamilton principle of stationary action to derive the conser-vative part of the model. The relaxation terms are then added which arecompatible with the entropy inequality. In the limit of vanishing volumefractions the Euler equations of compressible fluids and a conservative hy-perelastic model are recovered. Capabilities of the model and methods areillustrated on various tests of impacts of solids moving in an ambient com-pressible fluid.

292


High–performance computing for solving grid ellipticproblems with separable variables

Gololobov S.V.1, Kalinkin A.A.1, Laevsky Yu.M.2

1ZAO INTEL A/O, Novosibirsk, Russia2Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics

SB RAS, Novosibirsk, Russia; [email protected]

Among elliptic boundary value problems, the class of problems withseparable variables can be solved fast and directly. Elliptic problems withseparable variables usually assume that the computational domains aresimple e.g., rectangle or circle, and constant coefficients [3]. This kind ofproblems can serve to generate preconditioners in iterative procedures orused in low-accuracy models similar to the ones used in Numerical WeatherSimulations.

A straightforward implementation of solvers for such problems makesthem considered as too simple to pay much attention to them. For instance,NETLIB* contains the codes of various solvers for problems with separablevariables. We are not aware if such solvers are provided as separate solversin other software packages except NETLIB Fishpack* and Intel R©MathKernel Library (Intel R©MKL) together with Intel R©Cluster Poisson SolverLibrary (Intel R©CPSL).

Computational Mathematics suggests that we take into considerationnot only arithmetic operations, but also the cost of memory operations aswell. Modern computers can perform computations at a very high speed,while lacking the ability to deliver data to the computational units. Keepingin mind that a memory operation can easily be dozen to hundred timesslower than an arithmetic one, a computationally optimal algorithm couldcompute the solution slower than memory optimal algorithm.

The recent developments in processor industry resulted in multicoreprocessors become standard processors not only for powerful clusters, butalso for home computers and laptops. Therefore, the algorithm can alsobe non-optimal from the parallelization point of view. Optimality here canbe understood in terms of the number of synchronization points and/or interms of the amount of data that needs to be transferred between differentcores/processors.

In summary, the modern computational algorithm should focus on 3 keyaspects, namely, parallelization, memory operations, and arithmetic costs.

293


The purpose of this talk is to demonstrate on a simple 2D problemwith separable variables that taking into account modern model the solu-tion can be computed efficiently and fast. To complete our goal, we willevaluate software provided by Intel Corporation. In particular, we focus onthe comparison (where possible) of NETLIB Fishpack* and Intel R©CPSLprovided at [1] as well as Intel R©MKL provided at [2].

In particular, we took to solve the 2D Poisson problem of meshsize105x105, that is, the problem with 1010 unknowns and ran it.

Performance tests and ratings are measured using specific computer sys-tems and/or components and reflect the approximate performance of Intelproducts as measured by those tests. Any difference in system hardwareor software design or configuration may affect actual performance. Buyersshould consult other sources of information to evaluate the performance ofsystems or components they are considering purchasing. For more informa-tion on performance tests and on the performance of Intel products, visitIntel Performance Benchmark Limitations.

Fig. 1. Scalability of Intel R©MKL PL (2D Cartesian case) (dou-ble precision).

REFERENCES

1. Intel R©Cluster Poisson Solver Library,http://software.intel.com/en-us/articles/intel-cluster-poisson-solver-library

2. Intel R©Math Kernel Library, http://www.intel.com/software/products/mkl3. Samarskii A.A. and Nikolaev E. S., Methods of Solution of Grid Problems

[in Russian], Nauka, Moscow (1978).

294


Conservation of the Loitsyansky invariantin the Millionshtchikov model of homogeneous

isotropic turbulence

Grebenev V.N.

Institute of Computational Technologies SB RAS, Novosibirsk, Russia;[email protected]

We study analytically the dynamics in time of homogeneous isotropicturbulence and use the Millionshtchikov closure model for the von Karman–Howarth equation [1] which is written in the following form [2]

∂BLL

∂t=

∂

r4∂rr4

(2κ2r

√u′2(t) + 2ν

)∂

∂rBLL,

r = |~r|, ~r = (r1, r2, r3) ∈ K3.

Here BLL(r, t) is the so-called longitudinal correlation function and presentsthe first diagonal element of the two-point correlation tensor Bij(~x, ~x′; t)which acts in the correlation space K3 ' R3 for each time t, where ~r = ~x−~x′, κ2 =

√2/(5C3/2), C is the Kolmogorov constant. The above-mentioned

equation is the lowest-order two-point statistical equation for turbulencedynamics and may be understood as a relationship between the rate ofchange of energy in scales ∼ r to the flux of energy through scales ∼ r.

Loitsyansky invariant (conservation law) [3]

Λ = u′2(t)∫ ∞

0

r4f(r, t)dr, Λ ≡ const,

(where BLL(r, t) = u′2(t)f(r, t) and f is the normalized two-point doublevelocity correlation) plays the role of a conservation law that enables to de-termine both final period of decay of turbulence for t →∞ and asymptoticdecreasing the longitudinal correlation function as the correlation distancer →∞. In particular, this conservation law is used to determine the param-eter σ for the invariants obtained of the two-parametric Lie scaling group(see [4])

Ga1,a2 : t∗ = ea2t, r∗ = ea1r, u′2∗

= e2(a1−a2)u′2, f∗ = f,

295


admitted by the inviscid form of the Millionshtchikov closure model for thevon Karman-Howarth equation. The invariants of Ga1,a2 are

ξ =r

t2/(σ+3), f =

u′2ft−2(σ+1)/(σ+3)

, with σ =2a2 − 3a1

a1,

where ai, i = 1, 2 are given above. Here r is scaled by the integral lengthscale lt ∝ t2/(σ+3). The parameter σ is determined by σ = 4 due to theLoitsyansky conservation law that enables us to compute the evolution ofu′2(t) and the integral length scale lt

u′2(t) ∝ (t + a)−10/7, lt ∝ (t + a)2/7, a ∈ R.

The aim of the present work is to prove that the Loitsyansky invari-ant is admitted by the Millionshtchikov closure model. First, we study theexistence of solutions to an initial-boundary value problem for this modeland establish the asymptotic stability of the Millionshchikov selfsimilarsolution [2]. The theory of contractive linear semigroups combined withthe iterative process (the Trotter–Kato product formula) is used to find asolution of the original problem. Then, we prove that the continuous semi-group constructed admits the Loitsyansky invariant for a suitable initialdate. However, this assertion is incorrect in general, depending on how thehomogeneous isotropic turbulence is created. Dependence of solution ob-tained on the laminar viscosity (in the limit of small Reynolds numbers) isalso studied together with other accompanying questions.

This work was supported by Inter-regional Integration project SD RAN (grant 103).

REFERENCES

1. von Karman Th., Howarth L., “On the statistical theory of isotropic turbu-lence,” Proc. Roy. Soc., A168, 192–215 (1938).

2. Millionshtchikov M., “Isotropic turbulence in the field of turbulente viscosity,”JETP Lett., 10, No. 8, 259–263 (1969).

3. Monin A. S., Yaglom A.M., Statistical Hydromechanics [in Russian], Gidro-meteoizdat, St.-Petersburg (1996).

4. Grebenev V.N., Oberlack M., “A geometric interpretation of the second-orderstructure function arising in turbulence,” Math. Phys. Anal. Geom, 12, No. 1,1–18 (2009).

296


Stabilization of a layered piezoelectric 3–D bodyby boundary dissipation

Kapitonov B.V.

Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk, Russia;[email protected]

We consider a linear coupled system of quasi-electrostatic equationswhich govern the evolution of a 3-D layered piezoelectric body. Assumingthat a dissipative effect is at the boundary, we study the uniform stabili-zation problem. We prove that this is the case, provided some geometricconditions on the region and the interface hold. We also assume a mono-tonicity condition on the coefficients. As an application, we deduce exactcontrollability of the system with boundary control via a classical resultdue to Russell.

297


A review of effective parallelization schemes inapplication to computational linear algebra

Kobotov A.V.

Intel R©Corporation, Novosibirsk, Russia;[email protected]

The number of cores in today’s high performance computers continuesto increase, and it is important to develop algorithms that can be effi-ciently parallelized to exploit these new capabilities. The biggest challengefor parallelizing existing algorithms is to create an efficient load balance be-tween computational cores together with extracting maximal performanceon every core and keeping operation count on the same level. Several differ-ent approaches exist to distribute a work between computational threads.It looks like a quite obvious task if we talk about perfectly parallel algo-rithms (like matrix multiplication) — just divide work by number of cores.But in reality performance of cores could differ (eq. affected by other OSprocesses, by dynamically changed frequency, by NUMA data access, etc.),and such distribution becomes not the optimal one. The situation couldbefall to even worse if we assume not a perfectly parallelizable algorithmwith data dependencies between its stages.

A solution is dynamical parallelization where free thread receives nextavailable portion of work. But it also consider several problems to solve:balance between high performance of big subtasks and fine granularity forbetter subtasks distribution, data dependencies control and different wayof doing that (OpenMP 3.0 [1], FLAME API [2], Cilk [3], etc.), workflowoptimization to minimize critical path on data dependency graph, and soon.

The talk is devoted to an overview of these different parallelizationapproaches demonstrated on popular examples from Linear Algebra: Cho-lesky and QR factorizations. High efficiency of the best approaches is provenby achieving more than 90% utilization of overall floating point efficiencyavailable at dual socket Intel R© CoreTM i7 Platform. Described algorithmsare available as a part of Intel R© Math Kernel Library [4].

REFERENCES1. Chapman B., Jost G., van der Pas R., Using OpenMP — Portable Shared

Memory Parallel Programming, The MIT Press (2007). ISBN-10: 0-262-53302-2.

298


2. Bientinese P., Quintana-Orti E. S., van de Geijn R.A., “Representing linear al-gebra algorithms in code: The FLAME application programming interfaces,”ACM Trans. Math. Softw., 31, No. 1, 27–59 (2005).

3. Leiserson C., Plaat A., “Programming parallel applications in Cilk,” SIAMNews, 31, No. 4, 6–7 (1998)

4. Intel R© Math Kernel Library, http://www.intel.com/software/products/mkl

299


Singular solutions of mixed boundary value problemsof water impact

Korobkin A.A.

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, Russia;University of East Anglia, Norwich, UK; [email protected]

Unsteady two-dimensional and incompressible flow generated by impul-sive motion of a floating body is studied during the early stage. Threeshapes are considered: (a) plate, (b) wedge, (c) rectangle. Uniformly validinitial asymptotic solutions are derived for each shape.

In the problem of floating plate impact, the ratio of the plate displace-ment to the plate dimension plays the role of a small parameter. Asymp-totic analysis is performed within the ideal and incompressible liquid model.Method of matched asymptotic expansions is used to derive the second or-der outer solution, which is valid outside small vicinities of the plate edge,and the equations which govern the flow close to the plate edge. It is shownthat the initial flow close to the plate edge is self-similar in the leadingorder. This flow is governed by non-linear boundary-value problem withunknown shape of the free surface. The inner velocity potential was calcu-lated numerically by boundary-element method. The far-field asymptoticbehaviour of the inner solution is analytically derived. This asymptotics re-veals an eigen solution which gives rise to important singular contributionto the second-order outer velocity potential. In addition to this singulareigen solution the second-order velocity potential is singular on its own atthe plate edge. The singular solution of the outer second-order problem isobtained with the help of theory of analytic functions. The second-orderouter solution is matched with the leading order inner solution. Uniformlyvalid distribution of the hydrodynamic pressure over the plate is obtained.Initial asymptotic behaviour of the total hydrodynamic force acting on theentering plate is analytically evaluated and compared with the results ofnumerical calculations by non-linear potential solver. It is shown that theeigen solution of the outer problem gives the most important contributionto the total force. Within the incompressible liquid model, the jet length isinfinite.

The leading order outer and inner solutions are obtained in the prob-lem of floating wedge impact. It is shown that this solution predicts infi-nite length of the jets formed by the impact. In order to estimate the jet

300


length, the weakly compressible liquid model is considered. The jet lengthis evaluated for small Mach number. The obtained solution is applied tothe shaped charge problem studied by S.K. Godunov. Predicted length ofcumulative jet is compared with experimental data by Kinelovskii. Fairlygood agreement is reported.

The two-dimensional problem of floating box impact is studied by usingasymptotic methods with the small parameter being the ratio of initialdraft of the box to the width of its bottom. Initial stage of the process issubdivided into three phases. The outer solution is the same as that in theproblem od floating plate impact but the inner solution is different for eachphase. During the first phase the fluid separates from the corner points ofthe box. The dynamics of the cavity is approximately independent of thepresence of the liquid free surface and is self-similar in the leading order.The cavity grows during the second phase, interacts with the free surfaceand finally escapes on the free surface with formation of the jet flow. At thethird phase the flow approaches that derived in the problem of floating plateimpact.

301


Optimization aspects of Intel R© Math Kernel Library(Intel R© MKL) sparse linear algebra on multi–core

architectures

Kuznetsov S.V.

Intel R©Corporation, Novosibirsk, Russia;[email protected]

The solving large sparse linear systems of equations is often a stumblingblock in many scientific problems. MKL offers several approaches for solvingsuch problems. The PARDISO solver is sparse direct solver that is a thread-safe, high-performance and memory-efficient. Using this solver, you cansolve symmetric and non-symmetric sparse linear systems of equations onshared-memory multiprocessors. There is a point for PARDISO* where thememory requirements for large systems can become prohibitively high andPARDISO/DSS will not work. This is where MKL iterative sparse solverscome in: these solvers can provide a remedy because only a few workingvectors and the primary data need to be stored.

The Intel R©MKL iterative solvers are based on a reverse communicationinterface (RCI) scheme that makes the user responsible for providing certainoperations for the solver (for example, matrix-vector multiplications). Tosimplify the usage of Intel R© MKL iterative solvers and gain additionalperformance, Intel R© MKL offers Sparse BLAS functions that perform anumber of common vector and matrix operations for the most popularsparse storage schemes: compressed Sparse Row (CSR), Compressed SparseColumn (CSC), diagonal, coordinate(COO), skyline and block sparse row(BSR) formats. Most Intel R© MKL Sparse BLAS routines are OpenMPthreaded and performance is much better when the data are in the cache.

Like dense matrices, the performance of Intel R© MKL DSS/PARDISO*and Sparse BLAS depends on the details of the machine architectures, butunlike dense problems, the performance of these components also dependson the structure of the matrix because the distribution of the nonzeroelements in a sparse matrix determines the memory access patterns. Surpri-singly, many physical problems expose well-behaved sparse structure orrows which can be re-ordered to yield a better structure. PARDISO* usesapproximate minimum degree ordering and threaded METIS reorderingtechniques for getting permutations to minimize fill-in and the associated

302


memory requirements. Internal storage for the matrix factors in PARDISO*is a block format. Most of computations are done with the help of Intel R©MKL Level-3 BLAS and LAPACK. The usage of Level-3 BLAS, supernodepivoting, coupled with dynamic parallelization and asynchronous compu-tations allows PARDISO* to achieve high gigaflops rates and nearly linearspeedup on multi-core platforms.

There are differences in the way Level 2 and Level 3 Sparse BLAS areoptimized on many core platforms. Some of the optimization techniquesused are similar to those used for the dense level 2 and level 3 BLAS (e.g.low locality in Level 2 routines). For level 3 Sparse BLAS, reorganizingthe computations to perform the entire set of multiplications as a singleoperation produces significantly better performance. It is natural to expectthat the performance and scalability of Level 3 Sparse BLAS are betterthan those of the Level 2 Sparse BLAS. MKL sparse BLAS routines forthe block sparse row format exploit the benefits of data blocking, havebetter data locality and make use of vector instructions. For example, theSSE2 instruction set can be used even for the level 2 sparse BLAS in thiscase. Similar optimizations are done for the diagonal and skyline formatbecause the elements of the source vector as well as destination vector areaccessed sequentially. The level 2 sparse BLAS operations for point entrysparse formats such as the compressed sparse row (CSR) or coordinateformat (COO) are the most difficult to optimize because the elements ofthe source vector are accessed in a discontinuous way that leads to poortemporal locality. Nevertheless, many well-known optimization techniquesare used in the Intel R© MKL Sparse BLAS on multi-core architectures,among them blocking, pre-fetching, and advanced threading.

303


2D numerical model of hydraulic fracturing

Lapin V.N.1, Cherny S.G.1, Chirkov D.V.1, Esipov D.V.1,Alekseenko O.P.2, Medvedev O.O.2

1Institute of Computational Technologies SB RAS, Novosibirsk, Russia2Engineering company Schlumberger, Novosibirsk, Russia;

[email protected]

Hydraulic fracturing is the one of the most efficient way to increase oilwell debit. High viscosity fluid is pumped in to the wellbore and forcesthe fracture to grow in the direction of rock maximum in situ stresses. Theproppant is placed into the fracture to avoid its closing. Fracture form afterpumping end and fluid leak-off is depends on proppant distribution.

Hydraulic fracture quality depends both on fluid, rock properties andon the phenomenon of tortuosity. This phenomenon is convoluted pathwayconnecting the wellbore to the main body of the fracture further awayfrom the wellbore. It is very important to predict hydraulic fracturing fluidperformance and screenout frequency in the near wellbore region.

There are number of planar two-dimensional models (Pl2D) taken intoaccount near-wellbore fracture tortuosity effect at any way. But they arenot sophisticated enough. No one of them take into account all of the phys-ical effects namely: non-Newtonian power law fluid flow inside the fracture,fluid leak-off through fracture walls and its filtration into the rock, rockdeformation under fluid pressure, fracture propagation caused by rock de-struction. In present method all this physical effects are taken into account.To define direction and speed of fracture tip propagation we use directlyopening and shear modes of stress intensity factors.

At present proppant transport is not taken into account but it can beeasily included in to the model. In the framework of our model we solve thefluid flow equations inside the crack coupled with the elasticity equationsin the near wellbore area. Comparing our model with the most similarapproaches one note the pressure gradient along the fracture is not takeninto account as well as the interaction of the crack elements with the hole.However, these effects can be significant in the immediate vicinity of thewellbore and can change the stress picture.

Submodels mentioned above are fully coupled together and are solvedsimultaneously. Elastic equilibrium equations are solved by boundary ele-ment method (BEM). Proposed BEM has some preferences in comparison

304


with BEM used in hydraulic fracturing modeling. It is based on the mostadvanced in present method, namely the Dual BEM with discontinuouselements. The method employs directly physical variables on the boundary.There is no need to recalculate fictional variables to physical ones. Theusing of discontinues elements, which have all points inside gives simpleapproximation scheme of integral equations and simple method of regulari-zations of singular integrals. The approach gives us the usual way to const-ruct the high order approximation schemes for integral equations.

The non-linear system of equations of our model consists of is solvedby Newton’s method to perform the time stepping. Model equations arerewritten regarding only the one vector variable — pressure distribution. Itallows us to reduce system degree to mesh size and so to make algorithmmore effective.

Detailed sensitivity analysis of fracture shape and width to the perfora-tion misalignment, properties of fluid and rock have been carried out andwould be presented into the paper.

305


Modelling diffuse interfaceswith compressible materials

Saurel R.

Polytech Marseille, UMR CNRS 6595, INRIA SMASH, Marseille,France; [email protected]

A multiphase flow model with single pressure and single velocity is con-sidered to solve artificial mixture zones that appear at material interfacesduring numerical resolution. The Kapila et al. (2001) model is an excellentcandidate in this aim. However it poses serious computational and theoreti-cal challenges due to the non-conservative character of the equations. Toclose this model in the presence of shocks, appropriate jump conditions areproposed and validated (Saurel et al., 2007). However, even when shock con-ditions are known, convergence of the numerical algorithm is an issue. Thereason is related to cell averages of non-conservative variables that have nophysical sense. To circumvent these difficulties, another flow model is con-sidered, with two pressures and a single velocity. It is also non-conservative,but easier to solve, in particular regarding positivity issues. Convergenceat the shock front in reached with the help of:

— a supplementary compatible energy equation,— extra equations for the Hugoniot poles that correspond to invariants

across the multiphase shock.The resulting method is extremely robust and accurate. Applications

involving extra physics, such as phase transition at interfaces, capillaryeffects, detonations and compaction of granular powders are presented.

REFERENCES1. Saurel R., Favrie N., Petitpas F., and Gavrilyuk S. “Modelling irreversible

dynamic compaction of powders,” J. Fluid Mech. (2009), submitted.2. Petitpas F., Saurel R., Franquet E., Chinnayya A. “Modelling detonation

waves in condensed energetic materials: Multiphase CJ conditions and mul-tidimensional computations,” Shock Waves (2009), in press.

3. Saurel R., Petitpas F., and Berry R.A., “Simple and efficient relaxation forinterfaces separating compressible fluids, cavitating flows and shocks in mul-tiphase mixtures,” J. Comput. Phys., 228, 1678–1712 (2009).

4. Saurel R., Petitpas F., and Abgrall R., “Modeling phase transition inmetastable liquids. Application to flashing and cavitating flows,” J. FluidMech., 607, 313–350 (2008).

306


5. Saurel R., Le Metayer O., Massoni J., and Gavrilyuk S., “Shock jump relationsfor multiphase mixtures with stiff mechanical relaxation,” Shock Waves, 16,No. 3, 209–232 (2007).

6. Perigaud G. and Saurel R., “A compressible flow model with capillary effects,”J. Comput. Phys., 209, No. 10, 139–178 (2005).

307


Differentiability criterion of the solutionof the nonlinear elliptic equation with respect

to the absolute term

Serovajsky S.Ya.

al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan;[email protected]

The qualitative and numerical analysis of optimal control problems andmathematical physics inverse problems uses as a rule necessary conditions ofthe optimality or gradient methods. Then it is necessary the differentiatingof the state functional (discrepancy) with respect to the control (identifiableparameter). However the minimizing functional depends from the statefunction. Therefore the differentiability of the control-state-mapping is theobligatory step of the problem solving. We consider the criterion of theGataux differentiability of the nonlinear elliptic boundary problem solutionwith respect to the absolute term.

Let us consider the homogenous Dirichlet problem for the equation−∆u + |u|ρu = f, (1)

where ρ > 0. We determine the space Y = H10 (Ω) ∩ Lq(Ω) and its conju-

gate space X = H−1(Ω) + Lq′(Ω), where q = ρ + 2, 1/q + 1/q′ = 1. Theequation (1) has a unique solution u = u(f) from the set Y for all f ∈ X.

Theorem 1. The necessary and sufficient condition of the Gataux dif-ferentiability of the mapping u(·) : X → Y in the point f is the existenceof the solution of the homogenous Dirichlet problem for the equation

−∆v + (ρ + 1)|u(f)|ρv = g (2)

from the set Y for all g ∈ X.Theorem 2. The necessary and sufficient condition of the Gataux dif-

ferentiability of the mapping u(·) : X → Y in the arbitrary point is theinclusion H1

0 (Ω) ⊂ Lq(Ω). Besides its derivative in the point f satisfies theequality

∫

Ω

µu′(f)hdΩ =∫

Ω

pµ(f)hdΩ ∀h, µ ∈ H10 (Ω), (3)

where pµ(f) is the solution of the homogeneous Dirichlet problem for theequation

−∆pµ(f) + (ρ + 1)|u(f)|ρpµ(f) = µ. (4)

308


The inclusion H10 (Ω) ⊂ Lq(Ω) is true for all parameter ρ if n = 2 and

for ρ ≤ 4/(n− 2) if n ≥ 3 (see Sobolev’s Theorem). Then there is a criticalvalue of the nonlinearity parameter for n ≥ 3. Our mapping is Gatauxdifferentiable for the small parameter ρ and it is not differentiable for itslarge values. However there is the weak form of operator derivative. Thismapping is differentiable for all parameters in this sense.

Definition. Operator L : X → Y is (X0, Y0; X1, Y1)-extended differen-tiable in the point x ∈ X, if there will be linear topological spaces X0, Y0,X1, Y1 with continuous inclusions X1 ⊂ X0 ⊂ X , Y ⊂ Y0 ⊂ Y1, and linearcontinuous operator D : X0 → Y0, such as [L(x + σh)−Lx]/h → Dh in Y1

if σ → 0 for all h ∈ X1.The (X, Y ;X, Y )-extended derivative is equal to the usual Gataux one

of course.Theorem 3. The operator u(·) : X → Y for the equation (1) is

(X0, Y0; X1, Y1)-extended differentiable in the point f, where Y1 = H10 (Ω),

Y0 = Y1 ∩ y| |u(f)|ρ/2y ∈ L2(Ω), X0 and X1 are the conjugate spaces forY0 and Y1. Besides its derivative satisfies to the equality∫

Ω

µu′(f)hdΩ =∫

Ω

pµ(f)hdΩ ∀h, µ ∈ Y0, (5)

where pµ(f) is the solution of the homogeneous Dirichlet problem for theequation (4).

It is possible to obtain the general results. We consider Banach spacesX, Y and the continuously differentiable operator A : Y → X in theneighbourhood of the point u ∈ Y . We have the following criterion of thedifferentiability of the corresponding inverse operator.

Theorem 4. Let there is a neighbourhood U of the point u, such asthe set V = A(U) is an open neighbourhood of the point f = Au, thereis the inverse operator A−1 : V → U , and the equation A′(u)v = g has nomore than one solution. Then the necessary and sufficient condition of theGataux differentiability of the operator A−1 in the point f is the surjectivityof the derivative A′(u).

The Theorem 1 is the corollary of the last result. The Gataux derivativeof the inverse operator can be founded by means of the Inverse FunctionTheorem; besides the equality (3) is the corollary of this result. We have alsothe possibility to get the extended differentiability of the inverse operatorwith the Theorem 3 as the corollary. These results could be used for theanalysis of optimal control problems and inverse problems for the equati-on (1) with the absolute term f as the control or the identifiable parameter.

309

АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абрамов А.А., 13Адрианов А.Л., 15Азаренок Б.Н., 17Александров В.М., 19Алексеев Г.В., 21Алексеева Л.А., 23Алёхин В.В., 26Аниконов Д.С., 25Анисимов С.И., 156Аннин Б.Д., 26Артемова Н.А., 28Асеев А.Л., 243Ахмерова И. Г., 30

Бабаян Б.А., 32Базовкин А.В., 142Банников Д.В., 35, 174Барух Г., 37Белоносов В.С., 39Белых В.Н., 41Бельгарт Л.В., 219Бердышев В.И., 43Бибердорф Э.А., 45Боган Ю.А., 47Богданов В.В., 48Боговский М.Е., 50Богульский И.О., 52Бронина Т.Н., 54Брушлинский К.В., 56

Васкевич В.Л., 58Виногpадова П.В., 60Вишневский О.В., 62Воеводин А.Ф., 64Волков Ю.С., 66

Волчков Ю.М., 52Воропаева О.Ф., 68Вшивков В.А., 70

Гаврилов Н.В., 180Гаврилова Л.В., 72Гаевой В.П., 74Гайдов Ю.А., 76Галкин В.М., 78Гарипов Р.М., 80Глазатов С.Н., 82Годунов С.К., 84Головашкин Д.Л., 86Головнев И.Ф., 253Голубятников А.Н., 88Голубятников В.П., 76Гордиенко В.М., 90Горобчук А. Г., 92Грек Г.Р., 148Григорьев Ю.Н., 92Губарев Ю.Г., 94Гузев М.А., 96, 98

Деменков П.С., 100Демиденко Г.В., 102Демидов В.Н., 104Денисенко В.В., 106Дмитриев А.А., 98

Евстигнеев Н.К., 108Егоршин А.О., 110Емельянов К.В., 112Ефимова М.В., 114

Жданова Н.С., 56Жуков В.Т., 116


Задорин А.И., 118

Иванисенко В.А., 100Иванов М.Я., 120Иванова А.В., 122Ильин А.М., 124Ильин В.П., 126Исаев В.И., 127, 271

Казаков А.Л., 129Казанцев С. Г., 131Кайшибаева Г.К., 23Каменщиков Л.П., 133Капцов О.В., 135Карепова Е.Д., 136Квон З.Д., 243Киселев В.П., 138Киселев С.П., 138Князева А. Г., 108, 140Ковеня В.М., 142Ковыркина О.А., 144Кожанов А.И., 145Козлов А.Н., 146Козлов В.В., 148Козлов Г.В., 148Козлов Н.Н., 150Колпаков А. Г., 152Колпаков Ф.А., 45Компаниец Л.А., 72, 154Коновалов А.Н., 155Конюхов А.В., 156Конюхова Н.Б., 158Короткий А.И., 263Коткин Г.Л., 243Кугушев Е.И., 150Кукшева Э.А., 237Куликов И.М., 84, 160Куликовский А. Г., 162Кургузов В.Д., 164

Курзин В.Б., 165

Лаврентьев М.М., 62Лазарева Г. Г., 167Ларченко В.В., 168Лашина Е.А., 170Лежнев В. Г., 172Леликова Е.Ф., 245Леонова Т.И., 45Литвиненко Ю.А., 148Лихачев А.П., 156Лихошвай В.А., 102Лобарева И.Ф., 174Логанова Л.В., 86Лысаков К.Ф., 176Люлько Н.А., 178Ляпидевский В.Ю., 180

Малахова В.В., 278Мали В.И., 138Малышев А.Н., 182Маркелова Т.В., 237Меграбов А. Г., 184Меньшов И.С., 186Месяц Е.А., 70Мирошниченко В.Л., 188Михайленко Б. Г., 190Мищенко Т.И., 237Моисеев Н.Я., 191

Нечаев О.В., 276Нечепуренко Ю.М., 193Никифоровская В.С., 64Новиков Е.А., 195

Опарин А.М. , 156Остапенко В.В., 122, 144Остросаблин Н.И., 197

Палымский И.Б., 199

311


Пальцев Б.В., 201Папин А.А., 30Пененко A.В., 203Пененко В.В., 205Пешков И.M., 84Питальская О.C., 154Плотников П.И., 207Помозов Е.В., 106Попов В.Н., 263Прокопов Г.П., 208Прохорова М.Ф., 211Пудов С. Г., 213Пухначев В.В., 215Пятков С. Г., 217

Романенко А.А., 62Романовский Р.К., 219Роменский Е.И., 221, 229Рубина Л.И., 222, 245Рудаков А.В., 176Рябенький В.С., 224Рябченко В.П., 165

Садовой Г.С., 225Садовская О.В., 227Садовский В.М., 227Садыков А.Д., 229Сафина Р.М., 231Свешникова Е.И., 162Северин А.В., 208Сказка В.В., 233Скороспелов В.А., 35, 174Слюняев А.Ю., 142Снытников А.В., 235Снытников В.Н., 237Снытников Н.В., 237Соловьев М.Б., 158, 201Соловьев С.А., 213Стадниченко О.А., 237

Стояновская О.П., 237Суков А.И., 158Сунгатуллина З.Ю., 239

Терешко Д.А., 21Ткачева Л.А., 241Ткаченко В.А., 243Ткаченко О.А., 243Турук П.А., 35, 174

Ульянов О.Н., 222, 245Ульянова В.И., 13Утюжников С.В., 247Ушакова О.В., 249

Фадеев С.И., 102Феодоритова О.Б., 116Фибих Г., 37Фокин М.В., 251Фомин В.М., 253Фортов В.Е., 156Фурсиков А.В., 255

Халитова Т.Ф., 257Ханхасаев В.Н., 259Хисматуллина Н.А., 257

Цветова Е.А., 261Цепелев И.А., 263Цынков С., 37

Чашечкин Ю.Д., 265Чащин М.А., 245Черевко А.А., 122, 267Черепанов А.Н., 271Черный С. Г., 35, 174Черных Г. Г., 68Черных И. Г., 237Чирков Д.В., 35, 174Чиркунов Ю.А., 269

312


Чумаков Г.А., 170Чумакова Н.А., 170Чупахин А.П., 122, 267

Шадрин М.Ю., 176Шайдуров В.В., 136Шапеев В.П., 127, 271Шевченко Г.В., 273Шишленин М.А., 275Штокало Д.Н., 102Шурина Э.П., 276

Щербаков А.В., 278

Эмих В.Н., 280Энеев Т.М., 150

Юдин В.А., 165Юхно Л.Ф., 13

Якубайлик Т.В., 154

Abgrall R., 282Alekseenko O.P., 304

Babayan B.A., 283Bukhgeim A.A., 286Bukhgeim A. L., 286Burde G. I., 288Bykov V.V., 290

Cherny S.G., 304Chirkov D.V., 304

Esipov D.V., 304

Gavrilyuk S., 292Gololobov S.V., 293Grebenev V.N., 295

Kalinkin A.A., 293

Kapitonov B.V., 297Kobotov A.V., 298Korobkin A.A., 300Kuznetsov S.V., 302

Laevsky Yu.M., 293Lapin V.N., 304

Maas U., 290Medvedev O.O., 304

Saurel R., 306Serovajsky S.Ya., 308

313

СОДЕРЖАНИЕ

О научной и педагогической деятельности С.К. Годунова(Белых В.Н.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф.Индекс однородной самосопряженной краевой задачи для системобыкновенных дифференциальных уравненийThe index of a homogeneous self-adjoint boundary problem for systemsof ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Адрианов А.Л.Математическое моделирование ударных течений вязкого тепло-проводного газа на основе асимптотической моделиMathematical modelling of shock flows of viscous heat-conducting gasbased on the asymptotic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Азаренок Б.Н.К вопросу о построении расчетных сеток в двумерных областях спомощью отображенийOn grid construction problem in 2D domains by means of mappings . 17

Александров В.М.Итерационный метод вычисления оптимального по расходу ресур-сов управления линейными системамиIterative method of computing optimal resource consumption controlof linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Алексеев Г.В., Терешко Д.А.Численный анализ задач граничного управления для нестационар-ных уравнений тепловой конвекцииNumerical analisys of boundary control problems for nonstationaryequations of heat convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Алексеева Л.А., Кайшибаева Г.К.Сингулярные граничные интегральные уравнения краевых задачдинамики упругих сред при движущихся нагрузкахSingular boundary integral equations in boundary value problems ofthe elastic medium dynamics under moving loads. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


Аниконов Д.С.Задача типа Cтефана для сингулярного интегрального уравненияпервого родаStephan problem for the singular integral equationof the first kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Аннин Б.Д., Алёхин В.В.Численное решение задачи Коши для уравнений идеальной пла-стичности с условием текучести, зависящим от среднего напряже-нияNumerical solution of the Cauchy problem for equations of ideal plas-ticity with yield condition depending on the mean stress . . . . . . . . . . . . . 26

Артемова Н.А.Алгоритм построения ротационных сеток без вырожденийAlgorithm for construction of rotational grids without singularities . . 28

Ахмерова И. Г., Папин А.А.О решениях начально-краевой задачи одномерного движения теп-лопроводной двухфазной смесиOn solutions to the initial-boundary problem for the one-dimensionalheat-conducting motion of a two-phase mixture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Бабаян Б.А.История и анализ развития компьютерной архитектурыThe history and analysis of computer architecture development . . . . . . 32

Банников Д.В., Черный С. Г., Чирков Д.В., Скороспе-лов В.А., Турук П.А.Совершенствование проточной части гидротурбины методами ма-тематического моделированияImprovement hydroturbine flow passage shape using mathematicalmodeling methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Барух Г., Фибих Г., Цынков С.Численное решение нелинейного уравнения ГельмгольцаNumerical solution of the nonlinear Helmholtz equation . . . . . . . . . . . . . 37

Белоносов В.С.Метод усреднения в теории нелинейных почти периодических ко-лебанийAveraging method in the theory of nonlinear almost periodic oscilla-tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

315


Белых В.Н.К проблеме численного решения эллиптических задачOn the problem of the numerical solution to the elliptic problems. . . . 41

Бердышев В.И.Относительная видимость объекта в задаче навигацииRelative visibility of an object in navigation problem . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Бибердорф Э.А., Колпаков Ф.А., Леонова Т.И.Моделирование артериальной системы человека на основе 1D мо-дели гемодинамикиModelling of human arterial system on the basis of 1D hemodynamicsmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Боган Ю.А.Алгебры Клиффорда и краевые задачи анизотропной теории упру-гостиClifford algebras and boundary value problems in anisotropic theoryof elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Богданов В.В.Кубическая сплайн-интерполяция, наследующая кусочную моно-тонностьCubic spline interpolation inheriting piecewise monotonicity . . . . . . . . . 48

Боговский М.Е.О скорости сходимости некоторых итерационных методов дляуравнений Навье — СтоксаOn the rate of convergence of certain iterative methods for the Navier–Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Богульский И.О., Волчков Ю.М.Об одной численной схеме решения трехмерной задачи динамикиупругих телOn numerical method for three-dimensional dynamic elasticity prob-lems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Бронина Т.Н.Алгоритм построения начальных трехмерных структурированныхсеток для областей вращенияAn algorithm of constructing initial three-dimensional structured gridsfor domains of revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

316


Брушлинский К.В., Жданова Н.С.Численные модели ускорения плазмы в магнитном полеComputational models of plasma acceleration in the magnetic field . . 56

Васкевич В.Л.Гарантированная точность вычисления многомерных приближен-ных формулThe guaranteed computing accuracy of multidimensional approximateformulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Виногpадова П.В.Оценки скорости сходимости метода Галеркина для квазилинейно-го дифференциально-операторного уравненияConvergence estimates of Galerkin method for quasilinear operator-differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Вишневский О.В., Лаврентьев М.М., Романенко А.А.Применение графических ускорителей для выявления вырожден-ных олигонуклеотидных мотивов в регуляторных районах геновэукариотApplication of the graphics accelerators for detection of degenerateoligonucleotide motifs in the regulatory regions of eukaryotic genes . . 62

Воеводин А.Ф., Никифоровская В.С.Численные методы для расчета неустановившихся течений водыв системах открытых русел и водотоков на основе неявной схемыГодуноваNumerical methods for calculation of unsteady flows in systems of openchannels and water passages by the implicit Godunov scheme. . . . . . . . 64

Волков Ю.С.Оценки элементов и норм обратных циклических ленточных мат-рицThe estimates for entries and norms of matrices inverse to the cyclicband matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Воропаева О.Ф., Черных Г. Г.Взаимодействие зоны турбулентного смешения и локального воз-мущения поля плотности в пикноклинеThe interaction of turbulent spot and local density perturbation inpycnocline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

317


Вшивков В.А., Месяц Е.А.Исследование погрешностей метода частиц-в-ячейкахAn analysis of particle-in-cell method error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Гаврилова Л.В., Компаниец Л.А.О точных решениях уравнений ветрового движения стратифици-рованной жидкости (двумерный случай)On the exact solutions of the stratified fluid wind motion equations(two-dimensional case) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Гаевой В.П.Существование и устойчивость обобщенного решения системыуравнений каталитического процесса в кипящем слоеExistence and stability of the generalized solution to the system ofequations for a fluidized-bed catalytic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Гайдов Ю.А., Голубятников В.П.Одна модель генной сети, исправляющей повреждение ДНКDNA-reparation gene network model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Галкин В.М.Способ расчета непотенциальных смешанных течений газаA method for calculation of non potential mixed gas flow . . . . . . . . . . . . 78

Гарипов Р.М.Наилучшие в среднем квазиконформные отображенияThe best in average quasiconformal maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Глазатов С.Н.О задачах электродинамики, моделируемых псевдопараболически-ми уравнениями в нецилиндрических областяхOn problems of electrodynamics modelled by pseudoparabolic equa-tions in noncylindrical domains. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Годунов С.К., Куликов И.M., Пешков И.M.Вычислительное моделирование сплошной среды при помощи яче-истых дискретных структурComputational modelling of continuous medium using discrete struc-tures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Головашкин Д.Л., Логанова Л.В.Параллельный алгоритм метода встречных циклических прогонокс циклическим разбиениемA parallel algorithm in the cyclic counter-sweep method with cycledecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

318


Голубятников А.Н.О концентрации кинетической энергии при фазовых переходахOn concentration of kinetic energy at phase transitions . . . . . . . . . . . . . . 88

Гордиенко В.М.Применение кватернионов в теории волнового уравненияApplication of quaternions to the theory of the wave equation . . . . . . . 90

Григорьев Ю.Н., Горобчук А. Г.Численное моделирование плазмохимического травления кремнияNumerical modeling of plasma-chemical silicon etching . . . . . . . . . . . . . . 92

Губарев Ю.Г.Об устойчивости струйных магнитогидродинамических теченийOn a stability of jet MGD flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Гузев М.А.Пороговое поведение поля напряжений в неевклидовой моделисплошной средыThreshold behaviour of stress field in non-euclidean model of contin-uum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Гузев М.А., Дмитриев А.А.Перемежаемость спектра матрицы, имеющей блочную структуруIntermittency of spectrum of matrix with block structure . . . . . . . . . . . . 98

Деменков П.С., Иванисенко В.А.Применение графических ускорителей для решения задачи рас-кладки графаGraph layout using graphic accelerators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Демиденко Г.В., Лихошвай В.А., Фадеев С.И., Штока-ло Д.Н.Исследование предельных переходов в моделях матричного синте-за линейных полимеровA study of limiting transitions in models of matrix synthesis of linearpolymers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Демидов В.Н.О роли времени релаксации в формировании структуры ударныхволн в нелинейной максвелловской среде. Численный анализTo the influence of relaxation time on the formation of shock wavesstructure in nonlinear Maxwell medium. Numerical analysis . . . . . . . . . 104

319


Денисенко В.В., Помозов Е.В.Расчет крупномасштабных электрических полей в атмосфере Зем-лиCalculation of the large scale electric fields in the Earth’s atmosphere 106

Евстигнеев Н.К., Князева А. Г.Моделирование влияния условий нагружения на режимы распро-странения твердофазной химической реакцииModelling of loading conditions influence on behavior of solid-phasechemical reaction propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Егоршин А.О.Об одной задаче аппроксимации динамических процессовOn one approximation problem of the dynamical processes . . . . . . . . . . 110

Емельянов К.В.Об одной разностной схеме подгонки для сингулярно возмущеннойзадачиOn a finite difference fitting scheme for singulary perturbed problem 112

Ефимова М.В.Возникновение конвекции в двухслойной системе с деформируе-мыми поверхностями разделаFormation of convection in two-layer system with deformable interfaces 114

Жуков В.Т., Феодоритова О.Б.Программа расчета газодинамики H3TH3T code for gas dynamics simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Задорин А.И.Двухсеточный метод решения эллиптического сингулярно возму-щенного уравненияTwo-grid method for an elliptic singular perturbed equation . . . . . . . . . 118

Иванов М.Я.О законах сохранения и термодинамике рабочего процесса высо-котемпературных ГТДOn laws of conservation and thermodynamics of high-temperature gasturbine engine working process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

320


Иванова А.В., Остапенко В.В., Черевко А.А., Чупа-хин А.П.О разрывных решениях уравнений мелкой воды на вращающейсяпритягивающей сфереOn discontinuous solutions of shallow water equations on the roatingattractive sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Ильин А.М.Бисингулярная начальная задача для системы обыкновенных диф-ференциальных уравненийBisingular initial problem for the system of the ordinary differentialequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Ильин В.П.Метод A-ортогонализации Арнольди и его примененияThe Arnoldi A-orthogonalization method and its applications . . . . . . . 126

Исаев В.И., Шапеев В.П.О возможностях метода коллокаций и наименьших квадратовOn the collocations and least squares method capabilities. . . . . . . . . . . . 127

Казаков А.Л.Обобщенная задача Коши для квазилинейной системы и некото-рые ее приложения в механике сплошных средGeneralized Cauchy problem and some its applications in continuummechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Казанцев С. Г.Сингулярное разложение оператора продольного лучевого преоб-разования векторных полей в шареSingular value decomposition of the longitudinal x-ray transform ofvector fields in the ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Каменщиков Л.П.Параллельная реализация метода решеточного уравнения Больц-мана для задач гидродинамикиParallel realization of a lattice Boltzmann method for problems of hy-drodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

321


Капцов О.В.Образующие левых идеалов кольца дифференциальных операто-ров и преобразование решений уравнений с частными производны-миLeft ideal generators of differentiation operator ring and transforma-tion of solutions of partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Карепова Е.Д., Шайдуров В.В.Исследование эффективности параллельных реализаций МКЭ длякраевой задачи для уравнений мелкой водыA study of efficiency of parallel realization of FEM for boundary prob-lem of shallow water equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Киселев С.П., Киселев В.П., Мали В.И.Эффект волнообразования на поперечных перегородках при ком-пактировании микропорошка скользящей детонационной волнойEffect of wave formation on the transverse partitions in the compactionmicropowders by the sliding shock wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Князева А. Г.Термодинамически согласованные модели однофазной фильтра-цииThermodynamically coordinated models of single-phase filtration . . . . 140

Ковеня В.М., Базовкин А.В., Слюняев А.Ю.Численное моделирование задач аэрогидродинамики на основе ме-тода расщепленияNumerical simulation of aerodynamical problems based on splittingmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Ковыркина О.А., Остапенко В.В.О слабой сходимости разностных схем при сквозном расчёте раз-рывных решенийOn weak convergence of shock capturing difference schemes . . . . . . . . . 144

Кожанов А.И.О разрешимости нелокальных краевых задач с общим граничнымусловием А.А. СамарскогоOn solvability of nonlocal boundary value problems with the generalboundary Samarsky condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

322


Козлов А.Н.Применение векторного потенциала в расчетах МГД-течений плаз-мыApplication of the vector potential in calculations of the MHD plasmaflows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Козлов В.В., Грек Г. Р., Козлов Г.В., Литвиненко Ю.А.Физические аспекты неустойчивости дозвуковых струйных тече-нийPhysical aspects of subsonic jet flow instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Козлов Н.Н., Кугушев Е.И., Энеев Т.М.Математическое моделирование в задачах молекулярной биологии:структуризация макромолекул, генетический код, большие геномыMathematical simulation in molecular biology: macromolecules struc-turisation, genetic code, large genomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Колпаков А. Г.Емкость системы близких телCapacity of a system of closely placed bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Компаниец Л.А., Якубайлик Т.В., Питальская О.C.Анализ ветровых течений в замкнутом водоеме на основе новыханалитических решений для уравнений вязкой несжимаемой жид-костиThe analysis of the liquid wind induced motion in the closed basinbased on the new analytical solutions of the viscous incompressibleliquid equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Коновалов А.Н.Экономичные сеточные реализации динамических задач линейнойтеории упругостиEfficient difference formulations for dynamical problems of linear elas-ticity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Конюхов А.В., Лихачев А.П., Фортов В. Е., Аниси-мов С.И., Опарин А.М.Устойчивость и неоднозначное представление ударноволновогоразрыва в средах с произвольными термодинамическими свойства-миStability and ambiguous representation of shock wave discontinuity inmedia with arbitrary thermodynamic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

323


Конюхова Н.Б., Суков А.И., Соловьев М.Б.Автомодельные решения уравнений пограничного слоя: анализ ичисленное решение сингулярных нелинейных задачSelf-similar solutions to the boundary layer equations: analysis andnumerical simulation of the singular nonlinear problems . . . . . . . . . . . . . 158

Куликов И.М.Моделирование самогравитирующего газового облака на Супер-ЭВМSupercomputer simulation of self-gravitating gas cloud . . . . . . . . . . . . . . 160

Куликовский А. Г., Свешникова Е.И.Вынужденные околорезонансные колебания слоя упругой средыForced oscillations of elastic layer close to resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Кургузов В.Д.Численные процедуры решения геометрически нелинейных задачмеханики деформируемого твердого телаThe numerical solution of geometrically nonlinear problems of solidmechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Курзин В.Б., Рябченко В.П., Юдин В.А.О параметрическом резонансе при аэроупругих колебаниях гидро-динамических решеток в неравномерном потокеOn a parametric resonance under aerolastic vibrations of hydrody-namic lattices in nonuniform flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Лазарева Г. Г.Численное решение трехмерных задач взаимодействия галактикNumerical solution of 3D problems of galaxy interaction . . . . . . . . . . . . . 167

Ларченко В.В.Механика конвективного течения слабонеоднородной жидкостиMechanics of the convection flow of weakly nonhomogeneous fluid . . . 168

Лашина Е.А., Чумакова Н.А., Чумаков Г.А.Оценка глобальной погрешности численного интегрирования напериодических решениях-уткахAn estimation of the global error of numerical integration of the canardperiodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Лежнев В. Г.Алгоритм SVD-разложения и задача сжатия изображенийSVD algorithm and image compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

324


Лобарева И.Ф., Черный С. Г., Чирков Д.В., Скороспе-лов В.А., Турук П.А., Банников Д.В.Постановки задач и численные методы для моделирования про-странственных нестационарных течений в гидротурбинахProblem statements and numerical methods for 3D simulation of un-steady flows in hydraulic turbines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Лысаков К.Ф., Рудаков А.В., Шадрин М.Ю.Применение FPGA для решения задач биоинформатики и иссле-дования геномаApplication of FPGA for bioinformatics problems and genome study 176

Люлько Н.А.О неустойчивости гиперболических систем на плоскости с малымпериодическим возмущениемOn instability of hyperbolic systems on the plane with small periodicperturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Ляпидевский В.Ю., Гаврилов Н.В.Плотностные течения и интрузии в стратифицированной жидко-сти: теория и экспериментDensity currents and intrusions in stratified fluids. Theory and exper-iment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Малышев А.Н.Новый вариант блочной циклической редукцииA new variant of the block cyclic reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Меграбов А. Г.Некоторые дифференциальные тождества и гидродинамическиеуравнения ЭйлераSome differential identities and Euler’s hydrodynamical equations . . . 184

Меньшов И.С.Численный метод решения задач газовой динамики в пористыхсредахNumerical method for solving problems of gas flow in porous medium 186

Мирошниченко В.Л.Об алгоритмах построения интерполяционных и сглаживающихсплайнов многих переменных по хаотическим даннымOn algorithms for construction multivariate interpolating and smooth-ing splines under the chaotic data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

325


Михайленко Б. Г.Математические модели и численно-аналитические методы в гео-физикеMathematical model and numerical analytical methods in geophysics 190

Моисеев Н.Я.Разностные схемы повышенной точности для решения задач меха-ники сплошной среды методом Годунова с антидиффузиейHigh-order difference schemes for solving continuum mechanics prob-lems with the Godunov method with antidiffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Нечепуренко Ю.М.Регулярно структурированные псевдоспектры и интегральныекритерии качества дихотомииThe regulary structured pseudospectra and integral performance cri-teria for dichotomy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Новиков Е.А.Адаптивный алгоритм интегрирования жестких задачThe adaptive algorithm for integrating stiff problems . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Остросаблин Н.И.Канонические модули и общее решение уравнений двумерной ста-тической задачи анизотропной упругостиCanonical moduli and the general solution for equations of two-dimensional static problem of anisotropic elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Палымский И.Б.Линейный и нелинейный анализ численного метода расчета дву-мерной конвекцииThe linear and non-linear analysis of a numerical method for compu-tation of two-dimensional convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Пальцев Б.В., Соловьев М.Б.Об одном итерационном методе с расщеплением граничных усло-вий решения 1-ой начально-краевой задачи для нестационарнойсистемы Cтокса и его численных реализацияхOn an iterative method with boundary condition splitting for firstinitial-boundary value problem for nonstationary Stokes system andits numerical realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

326


Пененко A.В.Решение обратной коэффициентной задачи теплопроводности сприменением дискретно-аналитических схемSolution of a coefficient inverse heat conduction problem by discrete-analytical schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Пененко В.В.Оптимизационные модели и методы для природоохранного про-гнозирования и оценок экологических рисковOptimization models and methods for environmental forecasting andecological risk assessment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Плотников П.И.Минимизация сопротивления тела обтекаемого потоком вязкогогазаShape optimization problem for compressible viscous flow . . . . . . . . . . . 207

Прокопов Г.П., Северин А.В.Экономичная реализация метода Годунова на основе приближен-ного решения задач о распаде разрываAn efficient implementation of Godunov’s method by approximate so-lution of the Riemann problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Прохорова М.Ф.Гомеоморфизмы клеточных разбиенийHomeomorphisms of regular cell complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Пудов С. Г., Соловьев С.А.Intel R©MKL PARDISO* — многофункциональный прямой реша-тель разреженных систем линейных уравненийIntel R©MKL PARDISO* — multifunctional parallel direct solver forsparse systems of linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Пухначев В.В.Вязкие течения в областях с многосвязной границейViscous flow in domains with multiply connected boundary . . . . . . . . . . 215

Пятков С. Г.О некоторых обратных задачах для эллиптических уравнений исистемOn some inverse problems for elliptic equations and systems . . . . . . . . . 217

327


Романовский Р.К., Бельгарт Л.В.Исследование дихотомии линейных почти периодических системпрямым методом ЛяпуноваA study of dichotomy of linear almost periodical systems by the directLyapunov method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Роменский Е.И.Термодинамически согласованные законы сохранения моделеймногофазных сплошных средThermodynamically compatible conservation laws for models of mul-tiphase media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Рубина Л.И., Ульянов О.Н.Об одном методе получения уравнения поверхности ударной волныOn one method of deducing the equation for a shock wave surface . . . 222

Рябенький В.С.Метод разностных потенциаловThe method of difference potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Садовой Г.С.О некоторых задачах классической электродинамикиOn some problems of the classical electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Садовская О.В., Садовский В.М.О резонансных свойствах моментной упругой средыOn resonance properties of the couple-stress elastic medium . . . . . . . . . 227

Садыков А.Д., Роменский Е.И.О моделировании эффекта трансформации частот упругих волнModelling of the phenomenon of transformation of the frequency ofelastic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Сафина Р.М.Решение общей смешанной задачи для уравнения Лаврентьева —Бицадзе с оператором Бесселя методом интегральных уравненийSolution of general mixed problem for the Lavrentiev–Bitsadze equa-tion with the Bessel operator by integral equations method . . . . . . . . . . 231

Сказка В.В.О построении разностных схем высокого порядка аппроксимации,имеющих аналоги законов сохраненияOn construction of high-order difference schemes admitting discreteanalogues of conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

328


Снытников А.В.Численное моделирование аномальной теплопроводности в высо-котемпературной плазмеNumerical simulation of anomalous heat conductivity in high-temperature plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Снытников В.Н., Кукшева Э.А., Маркелова Т.В., Ми-щенко Т.И., Снытников Н.В., Стадниченко О.А., Стоя-новская О.П., Черных И. Г.Математическое моделирование на суперкомпьютерах физико-химической эволюции вещества при планетообразованииSupercomputer modelling of physico-chemical evolution of matter onthe stage of planet formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Сунгатуллина З.Ю.Квадратурная формула для дробного интеграла Вейля от перио-дических функцийQuadrature formula for Weyl’s fractional integral of periodic functions 239

Ткачева Л.А.Рассеяние поверхностных волн на плавающей упругой пластинепри периодической топографии днаThe scattering of surface waves on an elastic floating plate over undu-lating topography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Ткаченко О.А., Ткаченко В.А., Коткин Г.Л., Квон З.Д.,Асеев А.Л.Компьютерная квантовая инженерия в нанофизике и образованииComputer quantum engineering in nanophysics & education . . . . . . . . . 243

Ульянов О.Н., Леликова Е.Ф., Рубина Л.И., Чащин М.А.Высокопроизводительные вычисления в задачах моделированиярадиационного переносаHigh-performance computations in problems of modelling radiationtransfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Утюжников С.В.Метод декомпозиции для пристеночных турбулентных теченийDomain decomposition for near-wall turbulent flows . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

329


Ушакова О.В.Алгоритмы построения структурированных сеток в многоблочныхобластях вращенияAlgorithms for structured grid generation in multiblock revolution do-mains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Фокин М.В.Резонанс и развитие вихревых структур во вращающейся идеаль-ной жидкостиResonance and evolution of vortex structures in a rotating ideal fluid 251

Фомин В.М., Головнев И.Ф.Метод молекулярной динамики и его применение к решению задачмеханики сплошных средMolecular dynamics simulation and its application to continuum me-chanics problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Фурсиков А.В.Минимизация сопротивления тела, движущегося в жидкостиDrag minimization for a body moving in fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Халитова Т.Ф., Хисматуллина Н.А.Расчет сильного сжатия несферического кавитационного пузырькаComputation of strong compression of nonspherical cavitation bubble 257

Ханхасаев В.Н.Об одном обобщении уравнений Навье — СтоксаOn one generalization of the Navier–Stokes equations. . . . . . . . . . . . . . . . 259

Цветова Е.А.Вычислительные аспекты реализации модели гидродинамики озе-ра БайкалNumerical aspects of a hydrodynamics model for the Baikal lake. . . . . 261

Цепелев И.А., Короткий А.И., Попов В.Н.Численное моделирование ретроспективной задачи естественнойтепловой конвекцииNumerical modelling of retrospective problem of natural thermal con-vection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Чашечкин Ю.Д.Фундаментальные модели течений неоднородных жидкостейThe fundamental models of inhomogeneous liquid’s flow . . . . . . . . . . . . . 265

330


Черевко А.А., Чупахин А.П.О движениях газа типа автомодельного вихря ОвсянниковаSelfsimilar Ovsyannikov’s vortex gas motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Чиркунов Ю.А.Законы сохранения для уравнений газовой динамикиConservation laws for gas dynamics equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Шапеев В.П., Исаев В.И., Черепанов А.Н.Численное моделирование лазерной сварки тонких металлическихпластинNumerical modelling of laser welding of thin metal plates . . . . . . . . . . . . 271

Шевченко Г.В.Итеративный метод решения задачи быстродействия для нелиней-ных стационарных системIterative method of solving time optimal control problem for nonlinearstationary systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Шишленин М.А.Определение коэффициентов в обратной задаче акустикиDetermining unknown coefficients in inverse acoustic problem . . . . . . . 275

Шурина Э.П., Нечаев О.В.Анализ вычислительных схем решения трехмерного векторногоуравнения ГельмгольцаAnalysis of numerical schemes for the three-dimensional vectorHelmholtz equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Щербаков А.В., Малахова В.В.Моделирование отклика глобального океана на охлаждение по-верхностных вод с временным масштабом ледникового периодаSimulation the global ocean response to cooling the surface waters withtime scale of the ice age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Эмих В.Н.Двумерные фильтрационные течения со свободными границами:новые подходы к моделированию и анализуTwo dimensional filtrational flows with free boundaries: new ap-proaches to modelling and analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Abgrall R.Design of very high order schemes for compressible fluid dynamics . . . 282

331


Babayan B.A.The history and analysis of computer architecture development . . . . . . 283

Bukhgeim A. L., Bukhgeim A.A.Recovering a potential from Cauchy data in the two-dimensional case 286

Burde G. I.Approximate and exact solitary wave solutions of the higher-order KdVequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Bykov V.V., Maas U.Model reduction in applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Gavrilyuk S.Solid-fluid diffuse interface model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Gololobov S.V., Kalinkin A.A., Laevsky Yu.M.High-performance computing for solving grid elliptic problems withseparable variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Grebenev V.N.Conservation of the Loitsyansky invariant in the Millionshtchikovmodel of homogeneous isotropic turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Kapitonov B.V.Stabilization of a layered piezoelectric 3-D body by boundary dissipa-tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Kobotov A.V.A review of effective parallelization schemes in application to compu-tational linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Korobkin A.A.Singular solutions of mixed boundary value problems of water impact 300

Kuznetsov S.V.Optimization aspects of Intel R© Math Kernel Library (Intel R© MKL)sparse linear algebra on multi–core architectures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Lapin V.N., Cherny S.G., Chirkov D.V., Esipov D.V., Alek-seenko O.P., Medvedev O.O.2D numerical model of hydraulic fracturing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Saurel R.Modelling diffuse interfaces with compressible materials . . . . . . . . . . . . . 306

332


Serovajsky S.Ya.Differentiability criterion of the solution of the nonlinear elliptic equa-tion with respect to the absolute term. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Авторский указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

333

Научное издание

МАТЕМАТИКА В ПРИЛОЖЕНИЯХ

Тезисы докладов

Всероссийская конференция,приуроченная к 80-летию академикаСергея Константиновича Годунова

20–24 июля 2009 г.

Издание подготовлено с использованием пакета AMS-TEX

Подписано в печать 06.07.2009 г. Формат 60×84 1/16.Усл. печ. л. 19,5. Уч.-изд. л. 20,9. Тираж 250 экз. Заказ 415.

Издательство Института математики,пр. Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, Россия.

Отпечатано в РИЦ “Прайс-курьер”ул. Академика Кутателадзе, 4г, 630128 Новосибирск, Россия.

Математика в приложениях. Всероссийская конференция,...

Documents