МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЛАСТИЧНОСТИ...

Известия Тульского государственного университетаЕстественные науки. 2010. Вып. 1. С. 64–74

Механика

УДК 539.3

Математическое моделирование процессовпластичности и разрушения материаловпри нестационарных и несимметричных

циклических нагружениях

В. С. Бондарь, С. В. Бурчаков, В. В. Даншин

Аннотация. Рассматривается математическая модель, описыва-ющая процессы упругопластического деформирования и разрушенияконструкционных сталей и сплавов при нестационарных и несиммет-ричных как жестких, так и мягких режимах циклического нагруже-ния. Формулируются базовый эксперимент и метод идентификацииматериальных функций, замыкающих теорию. Приводятся резуль-таты расчетов процессов пластичности и разрушения при нестацио-нарных и несимметричных режимах циклического наружения.

Ключевые слова: пластическая деформация, циклическое нагру-жение, разрушение.

Введение

При несимметричных жестких циклических режимах нагружения кон-струкционных сталей и сплавов первоначально несимметричная петля пла-стического гистерезиса в процессе деформирования стремится стать сим-метричной, то есть осуществляется так называемая «посадка» петли пла-стического гистерезиса. При нестационарных несимметричных жестких цик-лических нагружениях имеет место эффект малого цикла в большом, за-ключающийся в том, что петля малого несимметричного цикла практиче-ски возвращается в ту же начальную точку, из которой и начался малыйцикл. При несимметричных циклических как пропорциональных мягких,так и непропорциональных мягких и смешанных режимах нагружения кон-струкционных сталей и сплавов происходит одностороннее накопление де-формации (вышагивание петли пластического гистерезиса), интенсивностькоторого увеличивается с возрастанием несимметричности процесса нагру-жения. Математическое моделирование явлений посадки и вышагиванияпредпринималось в большом количестве работ, обзор и анализ которых со-держится в работах [1–5]. В данной работе рассматривается математическоемоделирование этих явлений на основе варианта одноповерхностной теории

Математическое моделирование процессов пластичности и разрушения 65

пластического течения при комбинированном упрочнении. Смещение поверх-ности нагружения описывается на основе модели Новожилова–Шабоши [6, 7]подразумевающей, что полное смещение есть сумма смещений, для каждогоиз которых имеет место свое эволюционное уравнение. Здесь в качествепервого эволюционного уравнения, описывающего смещение первого типа,принимается уравнение Ишлинского–Прагера [8, 9], обобщенное согласнопринципу симметрии циклических свойств [10] на процессы вышагивания. Вкачестве второго эволюционного уравнения, описывающего смещение второ-го типа, принимается уравнение Амстронга–Фредерика [11]. Последующиеэволюционные уравнения, описывающие смещения третьего типа, соответ-ствуют простейшему аналогу модели Оно–Ванга [12].

Разрушение конструкционных сталей и сплавов при несимметричныхциклических нагружениях мало зависит от несимметричности в условияхжесткого нагружения и существенно зависит от несимметричности при мяг-ком нагружении. При нестационарных циклических нагружениях переходс меньших амплитуд деформации (напряжения) на большую увеличиваетсуммарную долговечность, а переход с большей амплитуды на меньшуюуменьшает суммарную долговечность, по сравнению с долговечностью соот-ветствующей правилу линейного суммирования повреждений. Для описанияэтих явлений формулируются кинетические уравнения накопления повре-ждений, где в качестве энергий расходуемых на создание повреждений вматериале принимаются работы добавочных напряжений (тензор смещения)первого, второго и третьего типов на поле пластических деформаций.

1. Основные положения и уравнения теории

Уравнения теории пластического деформирования подробно рассмотре-ны в работах [13, 14]. При этом предполагается, что материал однороден иначально изотропен. В процессе упругопластического деформирования в немможет возникать только деформационная анизотропия. Процесс цикличе-ского деформирования может проходить в условиях мягкого, жесткого илисмешанного режимов нагружения, быть стационарным или нестационарным,симметричным или несимметричным, изотермическим или неизотермиче-ским, а также проходить в условиях ионизирующего излучения.

Для описания процесса накопления повреждений используется энергети-ческий подход. В качестве энергий, расходуемых на создание поврежденийв материале, принимаются энергии равные работе добавочных напряжений(тензор смещения) первого, второго и третьего типов на поле пластическихдеформаций. Кинетические уравнения накопления повреждений имеют вид

ω̇ = ω̇c + ω̇p + ω̇e,

ω̇c =a

(1)ij ε̇

pij

Wc, ω̇p =

a(2)ij ε̇

pij

Wp, ω̇e =

0, если ωp < ωp1,

M∑m=3

a(m)ij ε̇p

ij

Wp.

66 В.С. Бондарь, С.В. Бурчаков, В.В. Даншин

Здесь ωc — повреждение, обусловленное работой добавочных напряженийпервого типа и проявляющееся при смещении петли пластического гисте-резиса; ωp — повреждение, обусловленное работой добавочных напряженийвторого типа, пороговое значение ωp1 которого говорит об окончании первойстадии зарождения микродефектов и о начале второй стадии распростране-ния микродефектов [15]; ωe — повреждение, обусловленное работой добавоч-ных напряжений третьего типа и имеющее место только на второй стадиипроцесса накопления повреждений. Введение этих стадий позволяет описатьявление нелинейного суммирования повреждений при нестационарных ре-жимах циклического нагружения.

Предлагаемый вариант теории пластического деформирования и разру-шения материала замыкают следующие материальные функции:

E (T,Φ), ν (T,Φ), αT (T,Φ), αΦ (T,Φ) — упругие параметры;Eao (T,Φ), σa (T,Φ), β (T,Φ) — модули анизотропного упрочнения;KE (T,Φ), nE (T,Φ) — модули вышагивания;σ

(m)a (T,Φ), β(m) (T,Φ), (m = 3, . . . ,M) — модули анизотропного упрочне-

ния, соответствующие аналогу модели Оно–Ванга;Cp (T,Φ, εp

u∗) — функция изотропного упрочнения;Wc (T,Φ) — энергия разрушения при вышагивании;Wp (T,Φ) — энергия разрушения при малоцикловой усталости;ωp1 — повреждение, соответствующее первой стадии накопления повре-

ждений.

2. Расчетно-экспериментальный метод определенияматериальных функций

Материальные функции определяются по результатам испытаний в усло-виях упругопластического одноосного напряженного состояния при различ-ных уровнях температуры и флюенса. Базовый эксперимент включает в себяследующий набор данных:

– упругие параметры, которые определяют традиционными методами;– диаграмма пластического деформирования при растяжении до дефор-

мации 0.05–0.1;– циклические диаграммы при симметричном растяжении-сжатии при

постоянной амплитуде деформации 0.005–0.01;– циклические диаграммы при несимметричном растяжении-сжатии при

постоянной амплитуде деформации 0.005–0.01 и средней деформации цикла0.05–0.1;

– данные по малоцикловой усталости 101 ÷ 103 циклов, многоцикловойусталости 104 ÷ 106 циклов при жестком симметричном циклическом нагру-жении;

– данные по малоцикловой усталости 101 ÷ 103 циклов при мягком несим-метричном (Rσ = σmin/σmax = −0.5 ÷ 0) циклическом нагружении.


На рис. 1 схематично представлены базовые эксперименты и набор мате-риальных параметров и функций.

Рис. 1. Базовые эксперименты и набор материальных параметров ифункций

Определение параметров анизотропного упрочнения и модулей вышаги-вания, а также функции изотропного упрочнения CP приведено в работах[13, 14].

Остановимся подробнее на определении энергии разрушения и порогово-го значения повреждения. Вначале рассматривается жесткое симметричноециклическое нагружение. Значение ωp1 принимается равным нулю, а Wc

полагается достаточно большим и подбирается значение энергии Wp при ма-лоцикловой усталости. Далее подбирается ωp1 при многоцикловой усталости.Затем проводится расчет при малоцикловой усталости и, если необходимо,то корректируется значение Wp. Далее проводится расчет при многоцикло-вой усталости и, если необходимо, то корректируется значение ωp1. Даннаяитерационная процедура повторяется до заданной сходимости значений Wp иWp1. Для определения энергии Wc рассматривается мягкое несимметричноециклическое нагружение с достаточной несимметричностью цикла. ЗначениеWC подбирается по результатам эксперимента при малоцикловой усталостипри мягком нагружении.

3. Пластичность при нестационарных и несимметричныхрежимах циклического нагружения

Результаты расчетов, проведенных на основе предложенной математиче-ской модели, процессов нестационарного циклического нагружения нержа-веющей стали SS 304 в условиях одноосного растяжения-сжатия приведены


на рис. 2–13. На всех этих рисунках сплошные кривые соответствуют расче-там, а кружки — экспериментам [16, 17]. Вначале рассматриваются жесткиециклические нагружения в условиях блочного изменения амплитуды дефор-мации в случае симметричного нагружения (рис. 2–5), а также блочного из-менения средней деформации цикла в случае несимметричного нагружения(рис. 6, 7). На рис. 3, 5, 7 приведены расчетные циклические диаграммы,соответственно для трех блочных режимов. Расчетные и экспериментальные[16, 17] циклические диаграммы практически совпадают.

Рис. 2. Амплитуда напряженийпри шестиблочном жесткомсимметричном нагружении

Рис. 3. Циклическая диаграммапри шестиблочном жесткомсимметричном нагружении

Рис. 4. Амплитуда напряженийпри пятиблочном жесткомсимметричном нагружении

Рис. 5. Циклическая диаграммапри пятиблочном жесткомсимметричном нагружении

Далее рассматриваются мягкие циклические нагружения в условияхблочного изменения амплитуды напряжения при постоянном среднем напря-жении цикла (рис. 8, 9), а также блочного изменения среднего напряже-ния цикла при постоянной амплитуде (рис. 10–13). Рассмотренные режимыявляются несимметричными, причем в процессе нагружения несимметрич-ность как возрастает, так и убывает. На рис. 9, 11, 13 приведены расчетныециклические диаграммы, иллюстрирующие процесс вышагивания петли пла-стического гистерезиса. Расчетные циклические диаграммы соответствуютэкспериментальным [16, 17].


Рис. 6. Амплитуда напряженийпри шестиблочном жестком

несимметричном нагружении

Рис. 7. Циклическая диаграммапри шестиблочном жестком

несимметричном нагружении

Рис. 8. Деформация ратчетингапри мягком циклическомнагружении (амплитуда

напряжения изменяется блочно,среднее напряжение постоянно)

Рис. 9. Циклическая диаграммапри мягком циклическомнагружении (амплитуда

напряжения изменяется блочно,среднее напряжение постоянно)


напряжения постоянна, среднеенапряжение изменяется блочно)



4. Разрушение при нестационарных и несимметричныхрежимах циклического нагружения

Расчетные исследования малоцикловой прочности нержавеющей сталиSS 304 проводятся при симметричном жестком циклическом нагружении






как при постоянной амплитуде деформации (рис. 14), так и при блочномизменении амплитуды деформации (рис. 15–17). На рис. 14 сплошной линиейпоказана расчетная кривая малоцикловой усталости, а треугольниками —экспериментальные данные [18]. Отклонение от правила линейного сумми-рования повреждений при блочном изменении амплитуды деформации при-ведены на рис. 15, 16 и 17 соответственно при двухблочном, трехблочноми пятиблочном изменении амплитуды деформации. Результаты расчетов иэкспериментов [18] на этих рисунках показаны соответственно светлыми итемными кружками и треугольниками. Наблюдается существенное отклоне-ние от правила линейного суммирования повреждений при удовлетворитель-ном соответствии результатов расчетов и экспериментов.

Рис. 14. Кривая малоцикловой усталости стали SS 304

Расчетные исследования малоцикловой прочности нержавеющей стали12Х18Н9 проводятся при несимметричном мягком циклическом нагруже-нии. На рис. 18 сплошной линией показана расчетная кривая малоцикловойусталости при жестком симметричном циклическом нагружении, а светлы-ми кружками — экспериментальные данные НИИ Механики ННГУ. Влия-ние несимметричности при мягком циклическом нагружении приводится нарис. 19. Здесь сплошные кривые соответствуют расчету, а светлые кружки,


Рис. 15. Суммированиеусталостных повреждений при

двухблочном измененииамплитуды деформации

Рис. 16. Суммированиеусталостных повреждений при

трехблочном изменении амплитудыдеформации

Рис. 17. Суммирование усталостных повреждений при пятиблочномизменении амплитуды деформации

треугольники, квадраты — эксперименту [19]. Влияние несимметричностипри жестком циклическом нагружении стали 45 показаны на рис. 20. Здесьтакже сплошная кривая соответствует расчету при средней деформациицикла εm = 0, а светлые кружки, треугольники и квадраты — эксперименту[20] соответственно при εm = 0, 0.08 и 0.16. Приведенные выше результа-ты иллюстрируют незначительное влияние несимметричности циклическогонагружения при жестком нагружении и существенное влияние при мягкомнагружении.

5. Заключение

Предложенный вариант математической модели в достаточной мереадекватно описывает процессы упругопластического деформирования и раз-рушения конструкционных сталей и сплавов при нестационарных и несим-метричных циклических нагружениях. Базовый эксперимент и метод иден-тификации материальных функций, замыкающих рассматриваемую теорию,


Рис. 18. Кривая малоцикловойусталости стали 12Х18Н9 при жестком

симметричном циклическомнагружении

Рис. 19. Кривые малоцикловойусталости стали 12Х18Н9 при

мягком несимметричномциклическом нагружении

Рис. 20. Кривая малоцикловой усталости стали 45 при жесткомнесимметричном циклическом нагружении

являются достаточно простыми и легко реализуемыми. Сравнение результа-тов расчетов и экспериментов говорит о надежном их соответствии.

Список литературы

1. Bari S., Hassan T. Anatomy of coupled constitutive models for ratcheting simula-tion // International J. of Plasticity. 2000. V. 16. P. 381–409.

2. Bari S., Hassan T. Kinematic hardening rules in uncoupled modeling for multiaxialratcheting simulation // International J. of Plasticity. 2001. V. 17. P. 885–905.

3. Bari S., Hassan T. An advancement in cyclic plasticity modeling for multiaxialratcheting simulation // International J. of Plasticity. 2002. V. 18. P. 873–894.

4. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 144 с.5. Chaboche J.L. On some modifications of kinematic hardening to improve the de-

scription of ratchettig effects // International J. of Plasticity. 1991. V. 7. P. 661–678.6. Новожилов В.В. О сложном нагружении и перспективах феноменологическо-

го подхода к исследованию микронапряжений // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3.С. 393–400.

7. Chaboche J.L., Dang-Van K., Cordier G. Modelization of the strain memory effecton the cyclic hardening of 316 stainless steel // Proceedings of the 5th InternationalConference on SMiRT, Div. L. Berlin. 1979.


8. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением //Укр. матем. журн. 1954. Т. 6. Вып. 3. С. 314–324.

9. Prager W. The theory of plasticity: A Survey of Recent Achievements // Proc. Inst.Mech. Engrs. London. 1955. V. 169. P. 41.

10. Бондарь В.С. Некоторые новые результаты исследования пластичности мате-риалов при сложном нагружении // Упругость и неупругость. М.: ЛЕНАНД,2006. С. 94–109.

11. Armstrong P.J., Frederick C.O. A mathematical represention of the multiaxialbauscinger effect // CEGB Report No. RD/B/N 731. 1966.

12. Ohno N., Wang J.-D. Kinematic hardening rules with critical state of dynamicrecovery. Part 1: formulations and basic features for ratcheting behavior // Interna-tional J. of Plasticity. 1993.V. 9. P. 375–390.

13. Бондарь В.С., Бурчаков С.В., Даншин В.В. Математическое моделированиепроцессов ратчетинга при несимметричных циклических нагружениях // Изв.ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 41–51.

14. Бондарь В.С., Бурчаков С.В., Даншин В.В. Пластичность и разрушение ма-териалов при нестационарных и несимметричных циклических нагружени-ях // Современные проблемы ресурса материалов и конструкций: тр. IIIшколы-семинара /МАМИ. Москва, 2009. С. 177–190.

15. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластическихсред с повреждениями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 424 с.

16. Guozheng Kang, Qing Gao, Lixun Cai, Yafang Sun. Experimental study on uniaxialand nonproportionally multiaxial ratcheting of SS304 stainless steel at room andhigh temperatures // Nuclear Engineering and Design. 2002. V. 216. P. 13–26.

17. Guozheng Kang, Qing Gao, Xianjie Yang. Uniaxial cyclic ratcheting and plastic flowproperties of SS304 stainless steel at room and elevated temperatures // Mechanicsof Materials. 2002. V. 34. P. 145–159.

18. Бернард-Конноли, Бью Куок, Бирон. Усталость коррозионностойкой стали 304при испытаниях в условиях многоступенчатой контролируемой деформации //Теор. основы инж. расчетов. 1983. № 3. С. 47–53.

19. Гусенков А.П. Прочность при изотермическом и неизотермическом малоцикло-вом нагружении. М.: Наука, 1979. 295 с.

20. Yang X. Low cyclic fatigue and cyclic stress ratcheting failure behavior of carbonsteel 45 under uniaxial cyclic // Intern. J. of Fatigue. 2004. V. 27. P. 1124–1132.

Бондарь Валентин Степанович ([email protected]), д.ф.-м. н., профессор, за-ведующий кафедрой, кафедра теоретической механики, Московский госу-дарственный технический университет «МАМИ».

Бурчаков Сергей Владимирович ([email protected]), аспирант, кафедра теоре-тической механики, Московский государственный технический университет«МАМИ».

Даншин Владимир Васильевич ([email protected]), к.ф.-м. н., доцент, кафед-ра теоретической механики, Московский государственный технический уни-верситет «МАМИ».


Mathematical modelling of processes of plasticity anddestruction of materials at non-steady and asymmetrical cyclical

loadings

V. S. Bondar, S.V. Burchakov, V.V. Danshin

Abstract. The mathematical model depicting processes of elastoplastic de-forming and destruction of constructional steels and alloys at non-steady andasymmetrical as rigid, and soft modes of cyclical loading is esteemed. Are statedbase experiment and method of identification of material functions closing thetheory. The outcomes of calculations of processes of plasticity and destructionare resulted at non-steady and asymmetrical modes cyclical loading.

Keywords: plastic deformation, cyclic loading, destruction.

Bondar Valentin ([email protected]), doctor of physical and mathematical sci-ences, professor, head of department, department of theoretical mechanics,Moscow State Technical University «MAMI».

Burchakov Sergei ([email protected]), postgraduate student, department of theo-retical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».

Danshin Vladimir ([email protected]), candidate of physical and mathematicalsciences, associate professor, department of theoretical mechanics, Moscow StateTechnical University «MAMI».

Поступила 08.12.2009

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЛАСТИЧНОСТИ...

Documents