1

معمولی دیفرانسیل معادالتشیمی ((رشته

• : وتنظیم تهیهاردبیلی • صفار جمالدانشگاه • علمی هییت نور عضو پیام

اردبیل

از داریم هرچه که دوست حضرت بناماوست

2

دیفرانسیل معادالت سرفصلعنوان

: اول مرتبه دیفرانسیل معادله اول فصلآنها: 1 بندی طبقه و دیفرانسیل معادالت ماهیتآن: 2 به تبدیل و شدنی جدا دیفرانسیل معادلهآن: 3 به تبدیل و همگن دیفرانسیل معادلهمتعامد: 4 های منحنی دسته و ها منحنی دستهكامل: 5 دیفرانسیل معادلهساز: 6 انتگرال عاملبه: 7 تبدیل و خطی اول مرتبه دیفرانسیل معادله آن

3

: مرتبه دیفرانسیل معادله دوم فصل دوم

خاص: 1 حالت دوم مرتبه دیفرانسیل معادلهیا فاقد

ثابت: 2 ضرایب با دوم مرتبه دیفرانسیل معادلههمگن

3- اویلر: کشی دیفرانسیل معادلهغیر: 4 خطی دوم مرتبه دیفرانسیل معادله

) متغیر ( تغییر همگن5 ) ) نامعین: ضرایب ثابت روشضرایب

y x

4

: به دیفرانسیل معادله حل سوم فصلها روشسری

توانی: 1 سریسری: 2 های وجواب ومنفرد معمولی نقاط

دیفرانسیل معادالتخطی: 3 دیفرانسیل معادالت منظم منفرد نقاط

دوم مرتبههای 4: ریشه دارای شاخص معادله كه حالتی

است برابر

5

: چهارم فصلدیفرانسیل: 1 معادالت دستگاه

6

: الپالس تبدیالت پنجم فصل

الپالس: 1 تبدیلالپالس: 2 تبدیل خواصالپالس: 3 تبدیل معکوسالپالس: 4 روش به دیفرانسیل معادله حلتوابع: 5 برخی الپالس تبدیل

7

وطبقه دیفرانسیل معادله ماهیتآن بندی

ای: مقدمه رابطه یعنی معادله مفهوم با . ساده هستیم آشنا باشد، تساوی درآن که

باشد، می مجهولی یک معادله ترینبانماد . نشان که مثال دهیم می

و اول درجه مجهولی یک معادلهو دوم درجه مجهولی یک معادله

والی سوم درجه مجهولی یک معادله آخر

0xf0bax

02 cbxax

023 dcxbxax

8

بانماد که مجهولی دو معادله 0, yxf می نشاندهیم

0 cbyax022 feydxcybxyax

اول مثال درجه مجهولی دو معادله

اخر والی دوم درجه مجهولی دو معادله : باشد می طرح قابل سوال دونوع معادله درمورد

0x 0xf آیا( معادله الف باشد؟ جواب می

راپیدا ب( معادله جوابکنید؟

00 , yx 0, yxf جفت معادله آیا باشد؟ جواب می

9

) باشد می ساده الف سوال به دادن جوابکرد مشخص توان می جایگذاری با .زیرا

) می مشکل ب سوال به دادن جواب ولیبندی. دسته را معادالت باید ابتدا باشد

راارائه خاصی روش نوع هر وبرای کردهدو باید معادله حل برای دیگر بعبارت داده

: کنیم مشخص را مرحلهشناخت ( 1 مرحله2 )) ( روشحل حل مرحله

10

0, yxfx

yy

x

اگر حالمتغیر متغیر درمعادله رابعنوان

گاه آن بگیریم درنظر وابسته متغیر بعنوان را

از تابع تابعی مشتق درمورد توان می و باشد می

مستق

و لیعنی : کرد صحبت

n

nn

dx

ydyy

dx

ydy

dx

dyy ,...,, 2

2

2

11

xy

0,...,,,, nyyyyxf

شامل که ای معادلهاز ترکیباتی

) مستقل) و متغیر

) وابسته نماد (متغیر وبا نامیم دیفرانسیل معادله را باشد آن مشتقات و

دهیم می نشان

:تعریف

: کرد طرح سوال دو توان می نیز دیفرانسیل معادله درمورد

تابع( آیا الف 0, yxf باشد؟ می دیفرانسیل معادله جواب

کنید؟( پیدا را دیفرانسیل معادله های جواب ب

12

xey 2065 yyy

) ( ) جایگذاری با است ساده الف سوال به دادن جوابتابع یاآمثال

معادله میباشد؟ جواب

) باشد می مشکل ب سوال به دادن جواب . دارد آن بندی وطبقه معادله نوع به وبستگی

سراغ به دیفرانسیل معادله ودرجه مرتبه باتعریف ) رویم می ب .سوال

را :تعریف معادله هر در مشتق تکرار بیشتریندرجه را مشتق تکرار بیشترین وتوان آن مرتبه

نامیم دیفرانسیل . معادله

13

مثال : معادله 1(

. باشد می سوم درجه ، اول مرتبه

معادله( 2

. باشد می اول درجه ، سوم مرتبه

معادله( 3باشد می اول درجه ، سوم . مرتبه

543 xyy

xdx

yd

dx

yd

2

2

2

3

3

432 yyy

14

شدنی جدا دیفرانسیل معادلهمرتبه تعریف به باتوجه معمولی معادله مشابه

راطبقه آنها توان می دیفرانسیل معادله ودرجه . دیفرانسیل معادله ترین ساده بنابراین کرد بندی

بصورت اول که مرتبه باشد میتوان مرتبه اگر معادله آنگاه باشد برابربایک

باشد می اول درجه اول

0,, yyxfy

کلی بصورت (,)

,

,yxF

yxg

yxfy

اول که درجه اول مرتبه

می باشد

15

اول :تعریف درجه اول مرتبه دیفرانسیل معادلهصورت به

.) هر ( شناخت مرحله نامیم شدنی جدا معادله رااختصارا را جداشدنی اول درجه اول مرتبه معادله

. ) معادله ( هر نامیم پذیر جدایی جداشدنی معادلهکلی بصورت توان می را شدنی جدا

کرد .تبدیل

ygxf

y

0 dyyNdxxM

16

: جداشدنی دیفرانسیل معادله انتگرال حل جداشدنی گیریبا معادله از

0 dyyNdxxM. کرد محاسبه آنرا جواب توان می

محاسبه: تذکر دیفرانسیل معادله حل از هدف . جوابی باشد می دیفرانسیل معادله عمومی جواب

به پارامترها تعداد هرگاه نامیم عمومی جواب راآنرا بعدا که باشد دیفرانسیل معادله مرتبه تعداد

کرد خواهیم تعریف .دقیقا

17

. معادله :مثال کنیم می حل راداریم: حل

گاه آن

ویا درنتیجه

) است ( معادله عمومی . جواب

yy

xxy

2

2

yy

xx

dx

dy

2

2

022 dyyydxxx

022 dyyydxxx

cyyxx 3223

3

1

2

1

2

1

3

1

18

ممکن اول درجه اول مرتبه دیفرانسیل معادلهتقسیم با ولی نباشد جداشدنی ظاهر به استشدنی جدا به تبدیل را آن توان می برعباراتی

.نمود

معادله : مثال

تقسیم با ولی نیست، شدنی جدا ظاهر بهاضافی عبارات : برحاصلضرب داریم

انتگرال با پس است شدنی جدا داریم : گیریکه

است معادله . جواب

01111 22 dyyxdxxy

11 yx01

1

1

1 22

dyy

ydx

x

x

cyyyxxx 1ln22

11ln2

2

1 22

19

همگن دیفرانسیل معادلهبصورت اول درجه اول مرتبه معادله شد مالحظه

صورت به ویا

باشد می

yxgyxf

y,

,

0,, dyyxNdxyxM

20

معادالت مثال

که باشند می اول درجه اول مرتبه معادالتدارای اولی معادله ولی نیستند شدنی جدا هیچکدام

. نیست دومی معادله که باشد می خاصیتیتوابع جمالت تمام اول دیفرانسیل درمعادله

دومی معادله ولی باشد می دو یکسان توان از . می تعریف ریاضی رابانماد مفهوم این نیست چنین

.کنیم

xy

yxy

xy

yxy

22

2

2

,

(,),(,) yxfzyxgz

21

متغیره :تعریف دو تابع

درجه از همگن تابع زیر را درشرط هرگاه نامیمکند :صدق

(,) yxfz

yxfttytxf n ,,

n

تاب ع

22, yxyxyxf می دو ازدرجه همگن تابع باشد

تابع x

yyxeyxf x

y

sin,

باشد می یک درجه از همگن .تابع

22

دیفرانسیل تعریف: معادله

متغیره دو توابع گاه هر نامیم همگن معادله را

. دیگر بعبارت باشند یکسان درجه از همگن توابعدیفرانسیل معادله

متغیره دو توابع گاه هر نامیم همگن معادله راباشند یکسان درجه از همگن توابع .

yxgyxf

y,

,

fg,

0,, dyyxNdxyxM

NM ,

23

همگن دیفرانسیل معادله کنیم: حل فرض معادله

. متغیر تغییر بافرض باشد داریم همگنپس

که شود می نتیجه درمعادله جایگذاری با گاه آن

به آنرا توان می است شدنی جدا اخیر معادله کهجایگذاری وبا کرد حل شدنی جدا روش

آید می بدست اولیه دیفرانسیل معادله .جواب

yxgyxf

y,

,

x

yv vxy

vxy

1, 1,

1, 1,

f v f vdv dv dxv x v x v f v

g v dx g v f v x

x

yv

24

همگن :مثال دیفرانسیل معادله باجایگذاری کنیم می حل و را

:داریم

اضافی عبارات برحاصلضرب تقسیم با

:داریم

xdvvdxdy vxy

221 vx 0

21 2

dvv

v

x

dx

022 xydydxyx

021

021

0

0

2

322

322222

222

xvdvdxv

vdvxdxvx

vdvxdxxvxvx

xdvvdxxvxdxxvx

25

جای بتذکر: به کردن ساده معموال رایبعنوان .را کنیم می اختیار ثابت پارامتر

. باشد می دیفرانسیل معادله جواب

21ln ln)1 2 ( ln

4x v c

ccln

12 4

24

2

42

ln )1 2 ( ln

)1 2 (

2)1 (

x v c

x v c

yx c

x

26

های منحنی ودسته ها منحنی دستهمتعامد

معادله هر عمومی جواب که شد مالحظهثابت یک شامل معموال اول مرتبه دیفرانسیل

. مقادیر وقتی است پارامتر به موسوم اختیارییک شود، می داده نسبت پارامتر این به مختلفی

این از یک هر آید می دست به منحنی دستهدیفرانسیل معادله خصوصی جواب یک ها منحنیآن عمومی جواب هم با آنها وهمه است مفروض

. معادله بنابراین دهند می تشکیل را

. بنابراین دهند می تشکیل را آن عمومی جوابمعادله

باشد می منحنی دسته . یک

0(,,) cyxf

0(,,) cyxf

27

بریک متعامد های منحنی دسته خواهیم می حالمعادله از رابااستفاده مفروض منحنی دسته

معادله از کاربردی که آوریم بدست دیفرانسیل . دسته تعدادی مثال بعنوان باشد می دیفرانسیل

کنیم : می رسم زیر رادر منحنی

28

29

مطالب به توجه با زیر باال حال روند از استفاده وبادسته بریک متعامد های منحنی دسته توان می

کرد پیدا را ها : منحنی

0(,,)01

,,0,,1

cyxgy

yxfyyxf yy

0(,,) cyxf

ها منحنی دسته معادله

معادله دیفرانسیل منحنی دسته ها

دیفرانسیل معادلههای منحنی دسته متعامد

دسته های منحنی متعامد

30

منحنی :مثال بردسته متعامد های منحنی دستهرابدست دلخواه وشعاع مبدا مرکز به دوایر های

: آوریم می

مشتق

متعامد های منحنی دسته

222 cyx 0022 yyxyyx

01

1

yyxy

yyyx

y

yx

cxyx

dx

y

dyy

dx

dyx lnlnln

cxycxy lnln

31

32

داده های منحنی دسته که است مناسب اغلبدراین کنیم بیان قطبی مختصات برحسب را شده

اگر که کنیم می استفاده موضوع این از حالتگاه آن باشد مماس وخط حامل شعاع بین زاویه

.) باال( بحث استفاده با عمومی ریاضی برای

متعامد های منحنی دسته له درمعادیافتنمنحنی دسته دیفرانسیل

عبارت جای به شده آن داده عکس منفییعنی

کنیم می جایگذاری .را

dr

rd tan

dr

rd

rddr

33

منحنی : بردسته متعامد های منحنی دسته مثال های

. معادله آوریم می بدست قطبی درمختصات رااست عبارت قطبی مختصات در ها منحنی دسته

از :بنابراین :

حذف با :داریم که

ویا

cxyx 222

cos2cr

sin2c

d

dr

c

sincos

r

d

dr

sin

cos

dr

rd

34

جایگذاری با : به که داریم

. باشد می متعامد های منحنی دسته معادله

dr

rdrddr

sin2

sin2lnln2lnsinlnlnsin

cos

sin

cos

cr

crcr

dr

drr

rd

dr

35

36

کامل دیفرانسیل معادلهمتغیره دو توابع دیفرانسیل با عمومی درریاضیات

کامل دیفرانسیل که کردیم ومالحظه شدیم آشنانماد با که را است تابع عبارت دهیم می نشان

ز ا

اول درجه اول مرتبه دیفرانسیل معادله وهمچنینکلی بصورت

. باشد می

(,) yxfz

df

dyy

fdx

x

fdf

0,, dyyxNdxyxM

37

دیفرانسیل :تعریف معادله

متغیره دو تابع گاه هر نامیم کامل معادله را

که بطوری باشد . و موجود

معادله اینکه تعیین باال تعریف به توجه بامشکل باشد، می کامل شده داده دیفرانسیلراجستجو متغیره دو توابع تمام باید زیرا استدارای تابع کدام بترتیب که کنیم ومالحظه کنیم

به نسبت جزیی توابع مشتقات با برابر

باشد و می

0,, dyyxNdxyxM

(,) yxfz

yxMx

f,

yxN

y

f,

xy, yxMM , yxNN ,

38

به است مشکل باشد، پذیر امکان کار این اگرروی شرایطی دلیل می همین بدست

. با کند تضمین را تابعی چنین وجود که آوریمهای رابطه طرفین از جزیی گیری مشتق

به نسبت ترتیب داریم: به

: داریم پیوسته توابع برای اینکه به توجه با

: بنابراین

NM ,

yxMx

f,

yxN

y

f,

yx,

y

M

x

f

yx

N

y

f

x

,

xy

f

yx

f

22

x

N

y

M

39

دیفرانسیل معادله بودن کامل شرط بنابراین

از است : عبارت

) شناخت .(مرحله

0,, dyyxNdxyxM

x

N

y

M

40

.:مثال باشد می کامل زیر دیفرانسیل معادالت الف(

زیرا

(ب زیرا

032 2 dyyxdxyx

11

x

N

y

M

0332 2223 dyxyyxdxyxy

1616 22

xyx

Nxy

y

M

41

کامل دیفرانسیل معادله :حلدیفرانسیل معادله که کنیم فرض

کامل، دیفرانسیل معادله تعریف بنابر باشد کاملمانند تابعی

: که است موجود

شود می نتیجه باال های تساوی بنابر پس

باشد ویا می دیفرانسیل معادله . جواب

0,, dyyxNdxyxM

(,) yxfz

yxMx

f,

yxN

y

f,

0df

cf

42

جزیی مشتقات معلومات، با تنها که باشد می. کرد محاسبه آنرا توان می زیر روند از استفاده

دوم رابطه از استفاده با گاه مقدار آن

مجهول آن از گیری انتگرال با که آید می بدستهمان در که شود می محاسبه باشد میکه نتیجه آید می بدست

است دیفرانسیل معادله . جواب

f

ydxyxmyy

f

ydxyxMfyxMx

f

yxNy

f

yx

,

,,

,

yxNy

f,

y

f y f

cf

43

معادله :مثال که شد مالحظه

: پس باشد می کامل

. است دیفرانسیل معادله جواب

cyyxxyyxxfyy

yyyxyxyxy

f

yxy

fyyxxfyx

x

f

df

yx

320323

222

2

333

2

032 2 dyyxdxyx

44

ساز انتگرال عاملدیفرانسیل معادله

زیرا باشد نمی کامل

در را باال معادله طرفین اگر ولی

داریم کنیم : ضرب

زیرا باشد می کامل جدید دیفرانسیل معادله واین

جدید دیفرانسیل معادله کامل روش به توان می وکرد حل . را

02 dyxxydx

1,12

y

Mx

x

N

2

1

xu

01

12

dy

xdx

x

y

22

1,

1

xy

M

xx

N

45

کامل دیفرانسیل معادله است ممکن بنابراینعامل آنرا که درتابع کردن باضرب ولی نباشد . اکنون کرد کامل به تبدیل سازگوییم انتگرال

وچگونگی ساز انتگرال عامل وجود شرط . که کنیم فرض کنیم می بیان را آن محاسبه

معادله

یعنی نباشد کامل

ساز انتگرال عامل باشد، ودارایمعادله ساز انتگرال عامل تعریف طبق آنگاه

جدید

باشد می کامل

0,, dyyxNdxyxM

x

N

y

M

(,) yxuu

0uNdyuMdx

46

x

uN

x

Nu

y

uM

y

Mu

محاسبه به که نیست ممکن معادله این ازانتگرال عامل خاصی شرایط تحت دلیل همین

. کنیم می بررسی را ساز

u

ساز( ا انتگرال عامل که کنیم می فرض لفاز تابعی یعنی فقط گاه باشد آن ،

x()xuu

, 0u du u

x dx y

47

: داریم جایگذاری با که

. باشد می ساز انتگرال عامل

فقط( ساز انتگرال عامل که کنیم می فرض باز یعنی تابعی آ باشد گاه ، ن

y()yuu

dxxpeuو

x

N

y

M

Nxp

1

, 0u du u

y dy x

48

: داریم جایگذاری با که

باشد می ساز انتگرال .عامل

x

N

y

M

Myq

1 dyyqeu

49

معادله :مثال برای سازی انتگرال عامل

. کنیم می پیدا رامشترک: مقدار ابتدا حل

بر تقسیم با که کنیم می محاسبه داریم: را

انتگرال پس عامل. باشد می ساز

01 2 dyxxydx

xxxx

N

y

M

2

M

1 1 1M Nq y x

M y x xy y

yeeu ydyy

ln

1

50

دارای :تذکر کامل غیر دیفرانسیل معادله گاهیبصورت سازی انتگرال عامل

درآن که مناسبی است، های ثابت. هستند

, n mu x y x ymn,

صورت به سازی انتگرال عامل یافتن برای

کنیم می ضرب درآن را معادله واز طرفینکاملشرط

کنیم می .استفاده

, n mu x y x y

51

کوتاه: یا بندی روشدسته با تذکر گاهی ،به را دیفرانسیل معادله توان می کردن جستجو

: کرد بندی دسته زیر حاالت از یکی الف(

) جداشدنی(

ب(

ج(

د( از گیری انتگرال با توان می سادگی به که

آورد بدست را آنها جواب معادالت . طرفین

dyyNdxxM

yxvddxxM ,

dyyNyxud ,

yxvdyxud ,,

52

:یادآوری

(الف

(ب

(ج

(د

2

2

12 2

) (

) (

) (

)tan (

d xy ydx xdy

x ydx xdydy y

y ydx xdydx x

y ydx xdyd

x x y

53

(ه

(و

2(ز

12 2

22 2

)ln (

)tan ) ((1

)ln) (( 2

x ydx xdyd

y xy

ydx xdyd xy

x y

xdx ydyd x y

x y

54

دیفرانسیل :مثال را معادله. کنیم می حل بندی دسته باروش

صورت: به را دیفرانسیل معادله حلکه نویسیم واز می

:داریم( ب(فرمول

شود می نتیجه گیری انتگرال با که

. باشد می دیفرانسیل معادله جواب

02 xdydxyy

02 xdyydxdxydxyxdyydx 2

dxy

xdyydxdx

y

xd

2

,

cxy

x

xc

xy

,

55

اول مرتبه دیفرانسیل معادله خطی

بصورت اول مرتبه معادله که شد مالحظههای توان اگر که باشد باشد می یک با برابر

خط ( معادله نامیم خطی اول مرتبه معادله آنراتوان که شد می مالحظه یک با برابر

از یکی توان اگر که آن یا باشد باشد یک غیر به ) مرتبه معادله بنابراین باشد می منحنی معادله گاه

صورت به خطی اول

باشد .می

0,, yyxfyy ,

cbyax yx,xy

xfyxfyxf 321 ()()

56

بر طرفین تقسیم اول با مرتبه معادلهکلی بصورت خطی

) اول ( مرتبه زیر معادالت مثال شناخت مرحله است: هستند خطی

الف(

ب(

ج(

1f

xqyxpy

31xy

xy

xeyx

y 1

2

2 xexyy

57

دیفرانسیل معادله حل برای

نه؟ یا است کامل آیا که کنیم می مالحظه ابتدا

مرتبه معادله ساز انتگرال عاملاست خطی و اول

xqyxpy

dxxpeu

cdxxqeeydxxpdxxp

.[خطی اول مرتبه معادله عمومی جواب xqyxpy

باشد می

58

خطی :مثال اول مرتبه حل معادله را. کنیم می

پس: و چون

دیفرانسیل معادله است جواب .

31xy

xy

x

xp1

3xxq cdxxeeydxx

dxx

3

11

.[

].[].[ 3ln3.lnln 1

cdxxxeycdxxeey xxx

x

cxycxxy

451

5

1

5

1

59

به خطی اول مرتبه معادالت از خاصی حالت صورت

های توان که باشد می می یک با برابربا. باشد

با خطی اول مرتبه معادله حل روش به توجهنقش که با تعویض شود می نتیجه وبالعکس

yqxypdy

dx

dy

dxxx ,

xy

].[ cdyyqeexdyypdyyp

60

به - تبدیل که اول مرتبه معادالت از خاصی حالتصورت به شود می خطی

ازای به که باشد اول می مرتبه معادلهازای وبه است شدنی خطی جدا معادله

ازای وبه برنولی است معادله ، . می را برنولی دیفرانسیل معادله شود می نامیده

متغیر تغییر با کرد توان دارای و حلجواب

است.

nyxqyxpy ()()

0n1n1,0n

nyz 1

cdxxqneeyzdxxpndxxpnn

()(1.)[()(1)()(1)1

61

معادله: حل مثال را. کنیم می

داریم: و و و حلپس:

. است معادله عمومی جواب

431yxy

xy

4n31 nx

xp1

() 3() xxq

](3.)[ 31

(3)1

(3)3 cdxxeey

dxx

dxx

343

33

33

3333

3

(3)

]3[

](3.)[

cxxy

cxxy

cdxxy

cdxxxxy

62

توان می اول مرتبه دیفرانسیل معادله بعنواندیفرانسیل معادله

نام به کرد مطرح معروف (Clairaut(کلرو راکه. شود می مالحظه بسادگی است

مشتق با زیرا باشد باالمی معادله از جوابیداریم نتیجه گیری درجواب جایگذاری با

شود کلرو می معادله کهجایگذاری. با کلرو معادله جواب بنابراین است

. آید می بدست

()yfyxy

()cfcxy cy

()yfyxy

yc

yc

63

معادله :مثال

. کنید حل را

جایگذاری: با دارای حل معادلهجواب

.است

2()yyxy

cy

2ccxy

64

اول - مرتبه دیفرانسیل معادله آخرین بعنوانصورت (Riccati (ریکاتی به که کنیم می رابیان

شرط جواب با کردن پیدا برای باشد میمعلوم آن از خاص جوابی باید باال معادله عمومی

.باشد

. اگر باشد باال معادله از خاص جواب یک جایگذاری

معادله و به را معادلهدیفرانسیل

خطی که اول کند است، مرتبه می .تبدیل

2()()() yxhyxgxfy 0() xh

()1 xyy

uyy

11

21 u

uyy

()]()2()[ 1 xhuyxhxgu

65

با( معادله : مثال: کنیم ( می حل را

چون: و و حلپس:

پس: و بنابراین

23 12y

xy

xxy 2

1 xy

3() xxf x

xg2

() 1) (h x

x

xux

xxu

1(](.)

1)2

2[ 2

xux

xu

1(2

2)

xx

xp 22

() x

xq1

()

]1

[22 ln2(ln2) cdxx

eeu xxxx

66

]1

[22 ln2(ln2) cdxx

eeu xxxx

]1

.[22 ln2ln2 cdxx

eeeeu xxxx

2 22 2 1[ . ]x xu x e x e dx c

x

][222 cdxexexu xx

2

2

2

2

22222

2

2

2

1

2

1x

x

x

x

ex

ce

ex

c

xecxxu

ce

exxy

x

x

2

22

22

67

دوم مرتبه دیفرانسیل معادلهمعادله فصل دوم دراین مرتبه

. کنیم می بررسی خاص درحاالت را

خاص حالت دوم مرتبه معادلهxیا yفاقد

ضریب درمعادله است برابر یا ممکن. باشد صفر

0(,,,) yyyxf

xy

68

صورت- به دوم را معادله مرتبهفاقد

مثال. و نامیم

فاقد دوم مرتبه . معادالت باشند می

صورت - به دوم را معادله مرتبه فاقد

مثال. و نامیم

فاقد دوم مرتبه . معادالت باشند می

0(,,) yyyfx

2()yyy 0 yyx

0(,,) yyxfy

yyx 23xyyx y

69

معادله الف( حلمتغیر تغییر به با را معادله توان می

بدست معادله اگر که کرد تبدیل اول مرتبه معادلهقبال که باشد اول مرتبه معادالت از یکی آمده

است شده کرد بحث حل آنرا توان می

بافرض با داریم زیرا کهشود می نتیجه درمعادله جایگذاری

. باشد می اول مرتبه معادله که

0(,,) yyxfpy

py dx

dpy

0(,,) dx

dppxf

70

معادله ب( حلمتغیر تغییر به با را معادله توان می

بدست معادله اگر که کرد تبدیل اول مرتبه معادلهقبال که باشد اول مرتبه معادالت از یکی آمده

است شده کرد بحث حل آنرا توان می

بافرض داریم زیراکه

شود می نتیجه درمعادله جایگذاری با

فرض با اول مرتبه معادله مستقل که متغیر. و باشد می وابسته متغیر

py

py

0(,,) yyyf

dy

dpp

dx

dy

dy

dp

dx

dpy

0(,,) dy

dpppyf

yp

71

فاقد : مثال باتغییر ، معادله را متغیر

. کنیم می حل

جایگذاری با داریم: که

. است دیفرانسیل معادله عمومی جواب

yyyx py

dx

dpy

x

dx

p

dpp

dx

dpx

22

11

111

2

1

lnlnlnlnln

cxcyxdxcdyxcdx

dy

xcpxcpcxp

72

فاقد : مثال دوم مرتبه ، معادلهمتغیر باتغییر با را که کنیم می حل

جایگذاری

داریم:

. است دیفرانسیل معادله عمومی جواب

x2()yyy py

dy

dppy pdyydpp

dy

dpyp 2

1 1 1

1 1

1 1 1

2

ln ln ln

ln

.c x c c x c xc

dp dyp y c p c y

p y

dy dyc y c dx y c x c

dx y

y e e e y c e

73

معادالت تذکر: نوع این درحلهر درواقع دوم، مرتبه دیفرانسیلمعادله دو به را دوم مرتبه معادله

حل را وآنها کرده تبدیل اول مرتبهکنیم .می

74

ثابت ضرایب با دوم مرتبه معادله همگن

رابررسی دوم مرتبه از خاصی حالت بخش دراین . دوم مرتبه معادله که شد مالحظه کنیم می

کلی بصورت خطی

اگر که باشد دوم می مرتبه آنرانامیم همگن خطی

()()()() 4321 xfyxfyxfyxf

0()4 xf

75

باشند اگر ثابت توابعآن باشند ثابت اعداد آنها مقادیر دیگر بعبارت

بصورت معادله گاه

ساده بصورت آنرا توان می که باشد می

با همگن خطی دوم مرتبه آنرا که کرد مالحظهثابت ضرایب با اختصارا یا ، ثابت ضرایب

) شناخت . ( مرحله نامیم

321 ,, fff

0321 yayaya

0 byyay

76

معادله : حل

نماد تعریف و داریم با

درمعادله جایگذاری با که

که شود می : نتیجه

0 byyay

dx

dD Dy

dx

dyy

yDdx

dy

dx

dy 2()

2) ( 0D aD b y

0 byyay

77

یا ( معادله کمکی معادله رادو( درجه معادله یک کمکی، معادله نامیم مفسر: دهد رخ زیر حالت سه است ممکن که باشد می

یعنی( باشد متمایز ریشه دو دارای الف

) یعنی( ( باشد تکراری مضاعف ریشه دارای ب

یعنی ( ج باشد مختلط ریشه دارای

02 baDD

0(()) 212 mDmDbaDD

0(())2 mDmDbaDD

0()()))2 iDiDbaDD

78

دیفرانسیل معادله را بنابرایناول مرتبه معادله دو به کمکی معادله به توجه با

. بنابراین کنیم می حل وآنرا کرده : تبدیلبافرض الف( که

اول داریم مرتبه معادله حل وبامی شود نتیجه .

درمعادله جایگذاری که با

داریم و باال خطی معادله حل

0() 2 ybaDD

0(()) 21 ymDmDuymD () 2

0() 1 umD0() 1 umD

xmecu 11

uymD () 2

xmxm ececy 2121

79

اگر( مشابه ب گاه آن ) که شود می نتیجه الف قسمت

. باشد می دیفرانسیل معادله جوابباشد( مختلط ریشه دو دارای کمکی معادله اگر ج

: ) داریم الف بنابر

ویامعادله باشد جواب می دیفرانسیل

0(()) ymDmD

mxmx xececy 21

(sincos) 21 xcxcey x

xixi ececy ()2

()1

80

معادالت:مثال (الف(ب (ج

باشند می ثابت ضرایب با دوم مرتبه .معادالت

065 yyy044 yyy0 yyy

81

) از: است عبارت کمکی معادله الف حل :بنابراین که

است دیفرانسیل معادله عمومی .جواباز( است عبارت کمکی معادله ب

بنابراین : که است دیفرانسیل معادله عمومی .جواب

از( است عبارت کمکی معادله جکه

پس و :بنابراین

است دیفرانسیل معادله عمومی .جواب

0652 DD3,2Dxx ececy 3

22

1

0442 DD2,2Dxx xececy 2

22

1

012 DDiD

2

3

2

1

2

1

2

3

(2

3sin

2

3cos) 21

2

1

xcxceyx

82

می :تذکر دیگرنیز روش به را دوم مرتبه معادلهاگر که کرد حل و توان

دیفرانسیل معادله از جوابی که باشند توابعیگاه آن همگن، دوم مرتبه

واگر باشد می دیفرانسیل معادله از جوابی ، جواب این آنگاه باشند خطی مستقل توابعی

ومی است دیفرانسیل معادله عمومی جواباین از را دوم مرتبه دیفرانسیل معادله توان

کرد بررسی . دیدگاه

()11 xyy ()22 xyy

()() 2211 xycxycy

12 , yy

83

معادله جواب وجود شرایط معموالهمگن دوم مرتبه دیفرانسیل

معادالت نظریه دردرسشود می بحث دیفرانسیل

می بیان توابع روی را وشرایطیمعادله جواب وجود که کنند

ما که کند تضمین را دیفرانسیل. شویم نمی بحث این وارد اینجا

84

تابع :تعریف دو هر و برایدترمینان

رونسک می توابع( Wronskian (نییرانماد وبا نامیم

دهیم می . نشان

()xf()xg

) ( ) () ( ) ( ) ( ) (

) ( ) (

f x g xf x g x g x f x

f x g x

fg,

()()()()(,) xgxfxgxfgfw

85

رونسک - که شود می متحد یثابت نیدوتابع اگر وفقط اگر است صفر با . تر ساده بعبارت اند خطی وابسته

گاه هر اند خطی وابسته تابع، دودرغیر باشد، دیگری مضرب یکیخطی مستقل را آنها صورت این

. نامیم می

86

توابع: که میشود حظه مال بسادگی توجه

شرط بها با مشا اند خطی مستقل

همچنین و اند خطی مستقل

و

شرط . با اند خطی مستقل

xmxm eyey 1212 ,

21 mm mxmx eyxey 12 ,

xey x cos1 xey x sin2

0

87

معادالت :تذکر برای را باال نتایجمرتبه ثابت ضرایب با دیفرانسیلیعنی . کرد تعمیم توان باالنیزمی

معادله کمکی معادله اگرهای ریشه دارای دیفرانسیل

ومختلط ومضاعف متمایز حقیقی . معادله جواب گاه آن باشد داشتههای جواب از ترکیبی دیفرانسیل

. است شده بیان

88

دیفرانسیل معادله مثال

ر که باشد می کمکی معادله آن یشدارای های هاست :از عبارت

بنابراین

است دیفرانسیل معادله . جواب

021 2 yDDD

2,2,1,0D

xxxx xececececy 24

232

01

89

- اویلر کشی معادلههمگن خطی دوم مرتبه معادله

درآن - اعداد راکه کشی معادله اند بت ثا.(Cauchy-Euler(اویلر نامیم می

کشی – های معادله زیر دیفرانسیل معادالت مثال. باشند می اویلر

الف(

) ب

02 byyaxyxab,

0642 yyxyx

02 yyxyx

90

اویلر – کشی معادله حل

متغیر تغییر با را معادله توان این میکرد تبدیل ثابت ضریب با دوم مرتبه معادله به

: زیرا

و

های مشتق به اگر با نسبت رابه تبدیل معادله دهیم، نشان

است . ثابت ضرایب با معادله که شود می

02 byyaxyxtex

dt

dyyx

dt

dy

dt

ydyx

2

22

ytYY ,

0() bYYaYY

91

::مثال کنیم – می حل را زیر اویلر کشی معادله

: فرض با داریم: حل

های ریشه دارای کمکی معادله پس : بنابراین است

جایگذاری می( یا( با نتیجه

شود:

. است – اویلر کشی معادله جواب

0642 yyxyxtex

064(1) YDYYDD

3,2Dtt ececY 3

22

1 tex xt ln

32

21 xcxcy

92

دیفرانسیل : تذکر معادالت برای را باال نتایج . داد – تعمیم توان می نیز باال مرتبه اویلر کشی

سوم – مرتبه اویلر کشی معادله مثال

متغیر تغییر با توان می به را تبدیلمعادله :

. کرد حل ثابت روشضرایب با وآنرا نمود

023 cyybxyaxyxtex

0((1)(2()1)) YcbDDaDDDD

93

را – :مثال زیر اویلر کشی دیفرانسیل معادله: کنیم می حل

فرض :حل :داریم با

بنابراین :

0884 23 yyxyxyxtex

088(1)4(2()1) YDYyDDYDDD

0(88(1)4(2()1)) YDDDDDD4,2,10(4()2()1) DDDD

ttt ecececY 43

221

4

32

21 xcxcxcy

94

خطی دوم مرتبه دیفرانسیل معادلههمگن غیر

با خطی دوم مرتبه معادله که شد مالحظهبصورت همگن غیر ثابت ضرایب

اگر که باشد معادله می آنرانامیم همگن ثابت ضرایب با خطی دوم مرتبه

یعنی :

بصورت جوابی می ودارای.باشد

()xfbyyay 0() xf

0 byyay

2211 uucy

95

اگر همگن حال معادله عمومی جواب

همگن و غیر معادله از خاص جوابی

گاه آن باشد

باشد می همگن غیر معادله عمومی .جواب

0 byyaycy

py

()xfbyyay

pc yyy

96

دیفرانسیل :تعریف معادلهوابسته ثابت ضرایب با دیفرانسیل معادله را

دیفرانسیل معادله

نامیم.خاص جواب کردن پیدا درس قسمت این از هدف

همگن غیر معادله

کردن پیدا برای روش دو که باشد ارائه می. دهیم می

0 byyay

()xfbyyay

()xfbyyay

py

97

پارامتر :الف( تغییر روش

خاص جواب که کنیم می فرض روش دراینبصورت

چون که شد جواب باپارامترهای تغییر وبا باشد می به همگن

آمده و توابع بدستپارامتر تغییر را روش این دلیل همین به است،

. نامیم

py

2211 uvuvy p

2211 ucucyc 21,cc()11 xvv

()22 xvv

98

خاص جواب ظاهر بودن معلوم به توجه با حالتوابع که روابطی است صدق کافی درآن

: داریم . بنابراین کنیم پیدا را کنند می

همگن درمعادله باید چونبنابراین کند، صدق

12 ,vv

22221111 uvuvuvuvy p

2222222211111111 uvuvuvuvuvuvuvuvy p

()xfbyyay ppp

1 1 2 2

1 1 2 2

0

) (

v u v u

v u v u f x

99

باشد می مجهولی دو معادله دو دستگاه کهمقادیر آن از توان محاسبه ومی را

گیری انتگرال با و کرده

جا آن واز شود می محاسبه

آید می .بدست

دهیم می توضیح مثال یک با

12 ,vv

12 ,vv

1 1 2 2py v u v u

100

همگن :مثال غیر معادله : کنیم می حل را

وابسته : معادله دارای حلبنابراین جواب و است

پس:

در اول معادله ضرب طرفین با جمع و: داریم باال دومعادله

جایگذاری : با داریم اول درمعادله

xeyyy 365

065 yyyxx

c ececy 32

21 xeu 2

1 xeu 32

xxx

xx

eevev

evev

3(3)(2)

03

22

1

32

21

2xx eev 33

2

xx evev 22

22 2

33

xev 22 3

101

درنتیجه:

پس

. است همگن غیر معادله عمومی جواب

0(3) 3221 xxx eeev

xxxx eveveev 333 112

1

xxx

xxxxp

eee

eeeeuvuvy

2

3

2

33

.2

3.3 322

2211

xxx eececy2

332

21

102

همگن :مثال غیر معادله . کنیم می حل را

وابسته: معادله دارای حلبنابراین جواب است

پس : و

در اول معادله ضرب دو- 2با طرفین جمع و : داریم باال معادله

جایگذاری : با داریم اول معادله در

xyyy 165

065 yyyxx

c ececy 32

21 xeu 2

1 xeu 32

xevev

evevxx

xx

1(3)(2)

03

22

1

32

21

xev x 132

xxx eexvexv 332

32 8

1(1)

3

1(1)

xexv 32 (1)

103

درنتیجه :

پس

. است همگن غیر معادله عمومی جواب

xxxx exveexev 21

3321 (1)0(1)

xxxx eexveexv 221

221 4

1(1)

2

1(

4

1(1)

2

1)

36

11

6

1

9

1

3

1

3

1

4

1

2

1

2

19

1(1)

3

1

4

1(1)

2

12211

xxx

xxuvuvy p

xececy xx

6

1

36

1132

21

104

برای تذكر: توان می تغییرپارامتررا روشمرتبه داد، معادالت تعمیم همگن غیر خطی ،

: اگر یعنی

گاه آن باشد وابسته همگن معادله عمومی جوابفرض با

دستگاه و وحل می معادله زیر مجهولیبدست را همگن غیر معادله خاص جواب توان

آورد:

n

n n

1 1 2 2 ...c n ny c u c u c u

1 1 2 2 ...p n ny v u v u v u

105

()...

0...

0...

0...

(1)(1)22

(1)11

(2)(2)22

(2)11

2211

2211

xfuvuvuv

uvuvuv

uvuvuv

uvuvuv

nnn

nn

nnn

nn

nn

nn

106

می – تذكر: نیز را همگن غیر اویلر كشی معادلهبا معادله به تبدیل مناسب متغیر تغییر با توان

روش به وآنرا نمود همگن غیر ضرایب. كرد حل تغییرپارامتر

امثل

متغیر تغییر معادله با به تبدیل

. شود می

xexyyxyx 22 2tx e

teteeYDYYDD 22(1)

107

ضرایب ( ثابت روشضرایبنامعین(

همگن غیر درمعادلهاگر كه شد نمایی مالحظه تابعی

گاه آن . باشد باشد می نمایی قبالنیزاگر كه گاه دیدیم آن

كرده. استفاده مطلب این از استدرحاالت ثابت روشضرایب نام به را وروشی

كنیم خاص می بیان .

()xfbyyay ()xfpy

xexf 3()

xp ey

2

3

()xf

108

اگر( كه الف درصورتی باشد نمایی تابعآنگاه نباشد كمكی معادله نیز ریشه

نمایی تابع بصورت

وجایگذاری گیری مشتق با كه استمقدار آید.می بدست درمعادله

مثال

xAexf ()py

xp Bey

B

xeyyy 365

109

اگر معادله و حال ریشه یكبارباشد كمكی

چون گاه است آن همگن معادله جواببنابراین

بصورت را خاص جوابگیریم می درنظر

. دهیم می توضیح مثال یك با

xAexf ()xec

1x

p Bxey

xeyyy 265

110

اگر معادله و حال ریشه بار دوگاه آن باشد هایی كمكی جواب

را خاص جواب پس باشد می همگن معادله ازبصورت

گیریم می .درنظراین معادله و اگر بنابر ریشه

تكرار مرتبه از گاه كمكی آن باشد :

است همگن غیر معادله خاص .جواب

xAexf ()xx ecxec

12 ,

xp eBxy 2

xAexf ()jxj

p Bexy

111

می معادله :مثال حل راكنیم.

چون: است حل كمكی معادله ریشه بار دونتیجه بنابراین پس در

: داریم همگن غیر درمعادله جایگذاری با درنتیجه

و پس

است. جواب

xeyyy 2344 22jx

p eBxy 222 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 4 4 4

x x

x x x xp

y Bxe Bx e

y Be Bxe Bxe Bx e

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 8 4 4)2 2 ( 4 3

32 3

2

x x x x x x x

x x

Be Bxe Bx e Bxe Bx e Bx e e

Be e B

x

p exy 22

2

3xxx exececy 223

22

1 2

3

عمومی معادله

112

اگر( چند ب تابعتابعی نیز خاص جواب گاه آن باشد ای جمله

. خاص، جواب اگر ولی باشد می ای جمله چندجواب باید گاه آن باشد همگن معادله جواب

در را . خاص جواب درصورتی كنیم ضربصفر كه است ای جمله چند صورت به همگن

. باشد كمكی معادله شد قبالریشه مالحظهمی یك درجه ای جمله چند كه

گاه آن باشد

. است ای جمله چند تابعی نیز

nnxAxAAxf ...() 10

jx

xxf 1()

xy p 6

1

36

11

113

و اگر :تذكرریشه

تكرار مرتبه از كمكی گاه معادله آن باشد

. است همگن غیر معادله خاص جواب

nnxAxAAxf ...() 10

0

j

(...) 10n

nj

p xBxBBxy

114

حل معادله :مثال را. كنیم می

چون : است حل كمكی معادله ریشه یكبار

بنابراین پس درنتیجه

: داریم همگن غیر درمعادله جایگذاری با

غیر پس خاص جواباست همگن

و

. است همگن غیر معادله عمومی جواب

21 xyy 0(1,0) D

1j() 2210 xBxBBxy p

5

3,1,

3

1

13

026

152

012

2

12

01

BBB

B

BB

BB

32

3

1

5

3xxxy p

3221 3

1

5

3xxxeccy x

115

اگر( نیز ج باشد

وكسینوس سینوس مثلثاتی بصورت خاص جوابباشد می

كه معادله ودرصورتی محض مختلط ریشهباشد كمكی

اگر همگن یعنی معادله جواب آنگاهبصورت

به باید حالت دراین كه است مثلثاتی

شود . ضرب

xAxAxf cossin() 21

iD

jx

116

اگر:تذكر

ازمرتبه و كمكی معادله محض مختلط ریشهآنگاه تكرار باشد

. است همگن غیر معادله خاص جواب

xAxAxf cossin() 21 j

1 2) sin cos (jpy x B x B x

117

حل معادله :مثال را. كنیم می

چون: معادله حل محض مختلط ریشهنیست كمكی

بنابراین پس : داریم همگن غیر درمعادله جایگذاری با و

غیر پس معادله خاص جوابو همگن

. است همگن غیر معادله عمومی جواب

xyy sin31

1D0jxBxBy p cossin 10

002,2

332

sin3cossincossin

1100

1010

BBBB

xxBxBxBxB

xy p sin2

3

xecxcy xx sin2

321

118

اگر تذكر: همگن غیر درمعادله گاه هر

هر ازای جواب ، به یكهمگن غیر معادله

بصورت جوابی همگن، غیر معادله آنگاه باشد،

دارد.

()...()()() 21 xfxfxfxf n

ni ,...,2,1()xyi()xfbyyay i

()...()() 21 xyxyxyy np

119

برای :تذكر توان می را ثابت روشضرایبمعادالت

كرد مرتبه استفاده همگن غیر خطی ،دراین كه

برابربا در حالت است

بودن كه كمكی معادله ریشه تكرار مرتبه ،

است.

njxnj ,...,2,1 py

j

120

معادله امثلكمكی و چون معادله ریشه نیستند

پس:

: داریم همگن غیر درمعادله جایگذاری با

xexyyy 32 4223 30

(2,1) D

2321

30 xBxBBeBy x

p

xBBeBy xp 32

30 23

33

0 29 BeBy xp

23 32

72 xxey x

p

121

روش به دیفرانسیل معادله حلسریها های

خطی دیفرانسیل معادالت حل با قبل درفصلخاص حالت درچند ثابت، ضرایب با دوم مرتبه

. با فصل دراین شدیم آشنا متغیر ضرایب بامعادالت برای حل روش موثرترین از یكی

) از ( یعنی، ، وباالتر دوم مرتبه خطی دیفرانسیل . دردرس كنیم می استفاده توانی سریهای

شده آشنا سری مفهوم با عمومی ریاضیاتدرك . رابهتر فصل این مطالب اینكه برای ایم

برسریهای مختصری مرور با را بحث كنیم،. كنیم می شروع توانی

122

توانی سریصورت به سری

درآن یا كه

و بوده ثابتی سری اعداد را است متغیرمركز به نامیم. توانی

...()...()() 02

02010 nn xxaxxaxxaa

0

0 ()n

nn xxa,...,...,,,, 2100 naaaax

x0x

123

سه از دریكی كه است ممكن توانی سری: كند صدق زیر حالت

ازای- 1 به . تنها باشد همگراهر- 2 ازای همسایگی به مطلقا دریك

برای یعنی باشد، همگرا همگراعدد وبرای باشد شعاع واگر را

. نامیم سری همگراییهر- 3 ازای . به باشد همگرا مطلقا

مقادیر همگرا مجموعه توانی سری كه را. ) نامیم ( می سری همگرایی فاصله بازه است،

0xx x0x

Rxx 0Rxx 0

Rxx

124

ازای :تذكر به سری همگرا اگرهمگرایی بازه آنگاه با باشد است برابر

بازه كردن پیدا با عمومی ریاضی دردرسشعاع كه ایم شده آشنا توانی سری همگرایی

از است عبارت همگرایی

است باال آنگاه ممكن حد

. باشد نامتناهی

Rxx 0

R

RxxRx 00

1

lim n

nn

aR

a

125

توانی :مثال سری همگرایی بازهكنید . پیدا را

چون

ازای به تنها سری ، همگرا بنابرایناست.

0

!n

nxn

01

1lim

(!1)

!lim

nn

nR

nn

0x

126

توانی :مثال سری همگرایی بازه

. كنید پیدا راچون

در یعنی حقیقی، اعداد مجموعه روی پسسری

است مهه همگرا . جا

0 !

(1)2

n

nn

n

x

2

1

(!1)

2!

2

lim lim1

n

n

nRn

n

n

n

127

توانی :مثال سری همگرایی بازه

. كنید پیدا راچون

مجموعه روی سری كه پس، هایی

است . همگرا

1

(2)1n

nxn

n

1(1()1)

(2)

2

11lim lim

nn

nn

n

nn

n

Rn

n

x12 x

128

بربازه : قضیه توانی سری كه اگرباشد، درآن همگرا است مثبت ثابت عدد یك

مانند تابعی توانی سری تعریف آنگاه راهر ازای به كه كند پیوسته می دربازه

است.می :تذكر مطرح سوال این طبیعی طور به

. است همگرا پیوسته تابع كدام به كه شودآسان كلی درحالت سوال این به دادن پاسخ

نیست.

Rxx 0R

()xf

x

129

سری اگر : قضیه یك توسط زیر صورت بهباشد، شده تعریف توانی

مشتق جمله به جمله باال سری از توان می آنگاه

كرد گیری

: یعنی گرفت انتگرال طور وهمین

كه

()xf

0

0 ()()n

nn xxaxf Rxx 0

1

10 ()()

n

nn xxnaxf

0

10 ()

1()

n

nnb

a

xxn

adxxf (,), 00 RxRxba

130

كنیم : :قضیه فرض

گاه آن

حقیقی( عدد هر ازای به داریم: الف

ب(

ج( : درآن كه

0

0 ()()n

nn xxaxf

0

0 ()()n

nn xxbxg

0

0 ()()n

nn xxcaxcf

c

0

0 (())()()n

nnn xxbaxgxf

0

0 ()()(.)n

nn xxcxgxf

n

k

n

kkknKnKnnnn bababababac

0 00110 ...

131

كه :: تذكر داد نشان توان می اندیس انتقال با

كردن كم با دیگر، اندیسجمع بعبارت از واحدكردن واضافه همه سری به های واحد

دست به مساوی سری دو سری، عالمت داخل. آید میبا -12.1.3تذكر: توانی سریهای با كردن دركار

بردن مركزبسط كار به غالبا صفر، با مخالفمتغیر تغییر : . یعنی است مفید

kn n

nkn

knn xxaxxa

000 ()()

kkn

0x0xxz

0 0

0 ()n n

nn

nn zaxxa

132

سری قضیه: كنیم فرض

تابع با برای به همگراكه شود می داده نشان بسادگی باشد،

اگر خاص آنگاه ودرحالت

0

0 ()n

nn xxa

Rxx 00R()xf

,...2,1,0,!

() 0()

nn

xfa

n

n

00 x

,...2,1,0,!

(0)()

nn

fa

n

n

133

را تعریف: سری

تی سری نقطه ر لبسط حول وسری ،را

لورن ماك می بسط صفر نقطه حولنامیم.

0

00

()

()!

()()

n

nn

xxn

xfxf

()xf0x

0

()

()!

(0)()

n

nn

xn

fxf

()xf

134

سری تعریف: اگر

هر ازای به دربازه به

گوییم می باشد درنقطه همگرا

. است تحلیلی

0

00

()

()!

()

n

nn

xxn

xf

x(,) 00 RxRx ()xf

f0x

135

توابع :مثال برخی لورن ماك سری بسط : از است عبارت

كه الف(

كه ب(

) كه ج

n

nx

n

xe

!x

x

x

0

2

(!2)

(1)cos

n

nn

n

xx

0

12

(!12)

(1)sin

n

nn

n

xx

136

كه د(

) كه ه

كه (و

1x

x

x

0

1

1n

n

xx

0

12

(!12)sinh

n

n

n

xx

0

2

(!2)cosh

n

n

n

xx

137

ومنفرد معمولی نقاط

( نقطه تعریف: عادی ( معمولی نقطه یك رامرتبه خطی دیفرانسیل معادله ام برای

ضرایب هرگاه گویم در و می

. نباشد معمولی كه را ای نقطه باشند تحلیلی. ) نامیم ( می معادله عادی غیر منفرد نقطه

0xn

()()()...() 01(1)

1() xgyxfyxfyxfy n

nn

) (if x()xg0x

138

دیفرانسیل :مثال معادله منفرد نقاط

. كنید پیدا رابر: تقسیم با را معادله بصورت حل

: یعنی كنیم می یك برابر ترین باال مشتق ضریب

درهمه معادله این ضرایب همه كه است بدیهینقاط جز به و و نقاط

. پس باشند می وهمه آنهاتحلیلی منفرد نقاط. هستند معادله معمولی نقاط دیگر نقاط

0(1)(1)(1) 23 yxyxxyxx

(1) 23 xx

0(1)

1

(1)

132

yxx

yxx

y

0x1x1x

139

توابع قضیه: از هریك اگر

جواب درنقطه یك گاه آن باشند، تحلیلیمانند فرد به در منحصر كه دارد وجود

ودر است اولیه تحلیلی شرط

. معادله جواب هر یعنی كند می دیفرانسیل صدقدرنقطه خود تیلر سری هزدربا توسط

شود می . بیان

011 ,,...,, fffg n

0x()xy0xn

10(1)

1000 (),...,(),() nn axyaxyaxy

0xI

140

معادالت سری های جوابمعمولی (دیفرانسیل نقطه (دریك

اول :مثال مرتبه دیفرانسیل با معادله راحل لورن مك سری بصورت جواب كردن پیدا

. كنیم میفرض: حل

كه

باید : چون پس

yy

0

10 .......n

nn

nn xaxaaxay

RxR ,0

1 11 2

1

2 ... ...n nn n

n

y na x a a x na x

yy

1 0

1

n n

nn

nn xaxna

141

پایین به باال از دستگاه كردن حل وباشود می كه: نتیجه

بازگشتی ویارابطه

آوریم، می دست به كه

nn aan

aa

aa

aa

aa

1

34

23

12

01

(1)

4

3

2

0 0 01 0 2 3, , ,..., ,...

2! 3! !n

a a aa a a a a

n

11 n

aa nn

!0

n

aan

142

در باال ضرایب جایگذاری با حال

داریم :

جواب كه كه كنیم دقت باشد می پارامترقبلی های روش از كه است جوابی همان باال

یعنی آید می جواب بدست. است باال جداشدنی معادله

0n

nnxay

0 0

00

!!n n

nn

n

xax

n

ay

0a

xeay 0

143

معادله :مثال های جواب تیلر بسط

معمولی درنقطه . را كنید پیدامتغیر: تغییر از سادگی برای حلمتناظر صورت دراین كنیم می استفاده

: با وداریم باشد می

تبدیل دیفرانسیل معادله ، جایگذاری با بنابراینمعادله به

هستند ای جمله چند ضرایب همه چون شود می

0(1)4(1) 2 yxyxy1x

1xt1x0t

2

2

2

2

()()dt

yd

dx

dt

dt

dy

dt

d

dt

dy

dx

d

dx

yd

dt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy

0422

2

tydt

dyt

dt

yd

144

برابر معادله جواب سریهای همگرایی بازه پس ،همگرایی با بازه است،

با برابر نیز اصلی معادله جواب سریهایبصورت . را جواب توانی سری است

لورن ماك سری

: پس . گیریم می درنظر

دیفرانسیل درمعادله باال سریهای دادن قرار با : داریم ثانویه

t x

n

nn

nn tatatataay

0

2210 ......

1

1

121 ......2

n

nn

nn tnatnataa

dt

dy

2

2

222

2

(1)...(1)...2

n

nn

nn tanntanna

dt

yd

145

1 0

112

2

04(1)n n

nn

nn

n

nn tatnatann

04(3)(1)

04467

04356

04245

0434

0423

02

33

447

336

225

114

03

2

nnn aanann

aaa

aaa

aaa

aaa

aa

a

146

درنتیجه:

سوم های ستون همه شود می مالحظه چنانکهتنها صفراند بقیه جمله اولین بغیر دوم وستون

باشدوبرحسب ناصفرمی اول ستون: بنابراین است

23

4,

34

3,0 0

31

42

aa

aaa

2356

4,0,0 0

675

aaaa

235689

42,0,0 0

9108

a

aaa

2356891112

245,0,0 0

121311

a

aaa

0a

147

33333 (13)3

(73)

(13)3

(433)

nn ann

na

nn

na

03 2(...43()13)(3(...)33)3

4(1)258(...103()73)a

nnnn

nna

n

n

3

3

2 5 8 ... )3 10()3 7( ) 1( 4

3 ) ) 1() 2(.... )2 1(2 5 ... )3 4( )3 1(

) 1( 4

3 . ! )3 4()3 1(

n

n n

n

n n

n na

n n n n n

an n n

148

2 3 4 5 60 1 0 1 0

7 8 9 10 110

110

4 3 40 0

3 2 4 3 6 5 3 22 4

0 0 0 09 8 6 5 3 2

2 5 4...

12 11 9 8 6 5 3 2

y a a t t a t a t t a t

t t a t t t

a t

4 3 61 0

9 12

3

1 2 4) ( )1

4 3 6 5 3 22 4 2 5 4

...9 8 6 5 3 2 12 11 9 8 6 5 3 2

) 1( .4...

3 . !)3 4()3 1(

nn

n

y a t t a t t

t t

tn n n

149

ویا

دادن قرار داریم : با

به شده داده دیفرانسیل معادله عمومی جوابهر . ازای باشد می

((13()43)!.3

4(1)1)(

4

1)

1

30

41

n

nn

n

tnnn

attay

1xt

1

30

41 ((1)

(13()43)!.3

4(1)1)((1)

4

1(1))()

n

nn

n

xnnn

axxaxy

x

150

حسب تذکر: بر بازگشتی رابطه است ممکننباشد پذیر امکان عمومی نتوان جمله بسادگی یا

را عمومی جمله حالتی چنین در کرد پیدا. کنیم" نمی پیدا معموال

دوم مرتبه خطی دیفرانسیل معادله

آن در معادله که به است ثابتی عدد. لژاندر دیفرانسیل می مالحظه است موسوم

نقطه که معادله شود معمولی نقطه یک : بصورت جوابی دارای بنابراین است

برای حداقل که . همگراست است

2)1 ( 2 ) 1( 0x y xy p p y p

00 x

1

1

n

nnxay

1|| x

151

: داریم معادله در جایگذاری با که

: داریم اندیس تغییر با

2 1 0

122 0(1)2(1)(1)n n n

nn

nn

nn xappxnaxxannx

2 1 0

122 0(1)2(1)(1)n n n

nn

nn

nn xappxnaxxannx

00 002 0(1)2(1)(2()1)

n

nn

n n

nnnn

n

nn xappxxaxannxann

02 0(1)2(1)(1()2)

n

nnnnn xappnaannann

152

2

2 2

2 2

) 1( 2 ) 1(

) 2() 1(

2

) 2() 1(

) 2() 1(

) () 1(, 0

) 2() 1(

n n

n

n

n

n n n p pa a

n n

n n n p pa

n n

n p n pa

n n

p n n pa n

n n

: بازگشتی ورابطه

: که شود می نتیجه

153

157

046

135

024

13

02

!7

(6()4()2()5()3()1)

76

(6()5)!6

(5()3()1()4()2)

65

(5()4)!5

(4()2()3()1)

54

(4()3)!4

(3()1()1)

43

(3()2)!3

(2()1)!2

(1)

apppppp

app

a

apppppp

app

a

apppp

app

a

apppp

app

a

app

a

app

a

: داریم معادله در جایگذاری با که

154

: داریم سری در ضرایب این دادن قرار با

برای واگر كه صحیح همگراست عددپرانتز داخل سری دو هر همگرایی شعاع نباشد

. جواب در شده تعریف توابع است یک با برابرتوابع که باشد می لژاندر توابع به مشهور سری

. خاص حالت در هستند جواب متعالی. باشد متناهی است ممکن ها سری

7531

6420

40

31

2010

!7

(6()4()2()5()3()1)

!5

(4()2()3()1)

!2

(2()1)

!6

(5()3()1()4()2)

!4

(3()1()2)

!2

(1)1

!4

(3()1()2)

!3

(2()1)

!2

(1)

xpppppp

xpppp

xpp

xa

xpppppp

xpppp

xpp

ay

xapppp

xapp

xapp

xaay

1|| x

p

p

155

معادالت منفردمنظم نقاطدوم مرتبه خطی دیفرانسیل

کنیم نقطه فرض منفرد كه نقطه یكهمگن خطی دیفرانسیل معادله

بصورت باشد را معادله اگر كه درصورتی

باشند در و بنویسیم ،تحلیلینقطه نقطه منظم را واگر منفرد نامیم

نباش را نتحلیلی می نقطه د منظم غیر منفردگوییم.

0x

0()() 01 yxfyxfy

0()()()() 02

0 yxqyxpxxyxx

()(,) xpxq0x

()(,) xpxq

156

دیفرانسیل :مثال معادله منفرد نقاط نوع

. كنید پیدا رادر: معادله طرف دو تقسیم با ، حل

صورت به باال معادله

منفرد نقاط كه كنیم می مشاهده آید می دراز : است ضرب عبارت با

در باال داریم : معادله

پس

021

(1) yyx

yx

1x0

1

2

(1)

1

y

xy

xxy

0,1 xx2x

01

2

1

1 22

y

x

xy

xxyx

1

1(),

1

2()

2

x

xpx

xxq

157

در دو هر . كه پس اند یك تحلیلی . معادله طرفین اگر حال است منظم منفرد نقطه

داریم : در را كنیم ضرب

هردو ، در كه

اند تحلیلی. پس است منظم منفرد نقطه یك

0x0x2(1) x

01

(1)21(1) 2

y

xy

x

xyx

xxpxxq

1()(,1)2() 1x

1x

158

لژاندر :مثال معادله

نویسیم . می زیر صورت به را

كه است منفرد و روشن نقاط

معادله طرفین اگر كه اند در معادله راداریم : كنیم می ضرب

0(1)2(1) 2 yppyxyx

01

(1)

1

222

yx

ppy

x

xy

1x1x2(1) x

01

(1()1)

(1)

(1)2(1) 2

yx

xppy

x

xxyx

159

: آنگاه در و هردوپس اند منظم تحلیلی منفرد نقطه یك

. در را معادله طرفین اگر حال است معادلهداریم : كنیم ضرب

هردو و كه در

پس اند منفرد تحلیلی نقطه یك. است معادله منظم

(1)

(1)2()

x

xxxp

1

(1()1)()

x

xppxq1x

1x2(1) x

01

(1()1)

(1)

(1)2(1) 2

yx

xppy

x

xxyx

(1)

(1)2()

x

xxxp

1

(1()1)()

x

xppxq

1x 1x

160

خطی :مثال دیفرانسیل معادله

) بسل معادله به که مرتبه( Besselرا ازمعادله این در گیریم می نظر در است معروف

نوشتن که با باشد می صفر نا ثابت عددبصورت معادله

که شود می معادله مالحظه منفرد نقطهتوابع به توجه وبا باشد می

پس درنقطه که اند تحلیلی . است معادله ومنظم منفرد نقطه

0() 222 ypxyxyxp

p

01

2

22

yx

pxy

xy

0x

0x

22(),1() pxxqxp 0x

161

بصورت تعریف: سری

آن در است که مختلط ویا حقیقی عددیسری به

.frobeniusفروبنیوس ( است( مشهور

0 00

00

) ( ) (

) (

s nn

n

n sn

n

y x x a x x

a x x

s

162

معادله اگر تذکر: منظم منفرد نقطه یکدوم مرتبه

یک دارای معادله که شود می ثابت باشد خطیدو وگاهی

با فروبنیوس سری بصورت جواباست.

اینجا است در حقیقی عددی

. دهیم می توضیح مثال چند ارائه با را روش این

0xx

00 a

s

163

دیفرانسیل :مثال معادله

که است واضح گیریم می نظر در نقطه رافروبنیوس سری جواب است معادله منظم منفرد

بنابراین : گیریم می نظر در را

: شود می نتیجه دیفرانسیل معادله در جایگذاری با

0(12)2 2 yyxxyx

00 x

00 n

snn

n

nn

s xaxaxy

0

2

0

1 (1())()n

snn

n

snn xasnsnyxasny

0 0 0

122 0()(12)(1()(2n n n

snn

snn

snn xaxasnxxxasnsnx

164

: یا و

داریم : اندیس تغییر با

0 0 0 0

1 0()()2(1())2n n n n

snn

snn

snn

snn xaxasnxasnxasnsn

0 0 0 0

11 0()(1)2(1())2

n n n n

snn

snn

snn

snn xaxasnxasnxasnsn

s

n n

snn

snn

s xsaxasnxasnsnxass 01 1

110 (1)2(1())2(1())2

1 1

0 0()n

sn

nn

ssnn xaxaxasn

165

یا : و

که است آن بر فرض پس : چون

را آن های ریشه و شاخص معادله را معادله اینمنفرد نقطه در دیفرانسیل معادله شاخص توان

پس . نامیم های منظم توان

منظم منفرد نقطه در دیفرانسیل معادله شاخص هستند

0(1)21()(1())21(1)2 10

snnn

s xasnasnsnsnxasss

00 a

012

0122

01(1)2

2

2

ss

sss

sss

1,2

1 ss

166

مقادیر از کدام هر ازای به ضرایب حالبازگشتی : رابطه در ها

یا : و

کند . می صدق

sna

1(1)21(1())2 nn asnasnsnsn

1,1(1())2

(1)21

nasnsnsn

sna nn

1,122

2

(122()1)

(1)211

na

sna

snsn

snnn

167

اگر( که : الف دهد می نتیجه باال رابطه

1s

0

023

012

01

1

(32)975

(2)

975

(2()2()2)

9

275

(2()2)

7

25

2

1,32

2

an

a

aaa

aaa

aa

nan

a

n

n

nn

168

اگر( آنگاه : ب

با

پس :

2

1s

111

1

2

2

1(2

1)22

2

nnnn a

na

na

na 1n

01

023

012

001

!

(1)1

32

(1()1()1)

3

12

(1()1)

2

11

1

an

an

a

aaa

aaa

aaa

n

nn

169

است عبارت فروبینوس سری جواب دو نتیجه دراز :

تابع دو بازه بدلیل و درپس : هستند وهمگرا خطی مستقل

است . دیفرانسیل معادله عمومی جواب

nn

xn

xxxxy(32)75

(2)

975

(2)

75

(2)

5

21 3

32

2

1

n

n

xn

xxxxy!

(1)

!3

(1)

!2

(1)1 3

32

22

1

2

12 , yy2

1x ,0

0

2

1

20

1 !

(1)

(32)75

(2)

n

nn

n

nn

xn

xcxn

xcy

170

ریشه دارای شاخص معادله كه حالتی. است برابر های

مورد تذکر: را معادالتی خود بحث درادامهمنفرد نقطه یک دارای که دهیم می قرار بررسی

صورت. در به معادله حالت این در استآن در آید،که می در در

. کردیم،این مشاهده قبال همچنانکه هستند تحلیلیکاهد، نمی بحث کلیت از تغییر محدودیت زیرابا

منفردمنظم متغیر را نقطه. کند می تبدیل صفر به

0x0()()2 yxqyxxpyx

()(,) xpxq0x

0xxt 0x

171

کلی بررسی - حالتدوم معادله مرتبه دیفرانسیل

فرض . گیریم نظرمی در نقطه را

باشد در منفردمنظم صورت این درازای به نتیجه هستند،در : تحلیلی داریم ،

: و بصورت تابعی

0()()2 yxqyxxpyx0x

()(,) xpxqRx

n

nn xqxq

0

()n

nn xpxp

0

()

y

172

: آنگاه باشد،

معادله در باال مقادیر دادن قرار دیفرانسیل باداریم:

sn

nn

n

nn

s xaxaxxy

00

()

1

0

()()

sn

nn xsnaxy

2

0

(1())()

sn

nn xsnsnaxy

snkn

n

kk

nn

nn

n

nn

s xpaskxpxasnxxyxxp

(())(()())()()

0000

snkn

n

kk

nn

nn

n

nn

s xqaxqxaxxyxq

()(())()()

0000

173

نتیجه در

توان کوچکترین فرضضریب با کهداریم:

پس چونویا

شاخص را معادله آن های ریشه و باشد میشاخص های نقطه توان در دیفرانسیل معادله

. شود می نامیده منظم منفرد

0()(())(1())0 0000

sn

knn

n

kk

snkn

n

kk

n

snn

n

xqaxpaskxasnsn

0}]([)(1(){)00

sn

kknkn

n

kn

n

xaqpskasnsn

xn (,0) 0()(1) 0000 aqspass

00 a00(1)() qspsssf

002 (1)() qspssf

174

در تواند می زیر حالت سه شودکه می مالحظه: دهد رخ شاخص معادله مورد

اگر( وغیرصفر الف صحیح غیر عددباشد.

اگر( . ب باشد ومثبت صحیح عدداگر( . ج باشد صفر

) الف حالت دو معادله در دارای دیفرانسیلصورت به مستقل جواب

و

. شد. مالحظه مورد این در مثالهایی قبال دارد

21 ss

21 ss 21 ss

n

nn

s xaxxy

0

11()n

nn

s xbxxy

0

22()

175

) ) صورت به جواب یک فقط ج و ب حالت در

کردن. پیدا برای نشان دارد دیگر مستقل جوابصورت به جواب که شود می داده

وجایگذاری گیری مشتق با توان می که در استضرایب معادله و دیفرانسیل پیدا را ها

مقدار است ممکن باشد کردکه برابرصفرصورت این در سری که یک شکل به

. شد با می فروبینوس

n

nn

s xaxxy

0

11()

n

nn

s xcxxxAyy

0

122log()

ncAA()2 xy

176

محض،اغلب تذکر: ریاضیات و فیزیک درجواب دیفرانسیلمعادله بررسی

مستقل متغیر نظر وقتی باشد،مورد بینهایت

به. با است

متغیر تغییر بردن بزرگ کار مقادیربا

. مقادیرکوچک بود خواهند متناظر

0()()2 yxqyxxpyx

x

tx

1x

t

177

جایگذاری جای با معادله به از جوابهاییبدست را جدید دیفرانسیل

نقطه یک دارای جدید معادله اگر که آوریم میدر گوییم معمولی معادله باشد،

در معمولی نقطه یک دارای بینهایت دیفرانسیلنحو،. همین به یک است دارای جدید معادله اگر

در منظم منفرد گوییم نقطه معادله باشد،منظم منفرد نقطه یک دارای دیفرانسیل

.در است بینهایت

x t

0t

0t

178

دیفرانسیل معادالت دستگاه

دستگاه كاربردهای به توجه با فصل این درمعادالت

دیگر و مكانیك و فیزیك در دیفرانسیلبه آن كاربردهای

. پردازیم می ها دستگاه این مطالعه و بررسی

179

معادله تعریف: یك از بیش ای مجموعهمعادالت دستگاه را همزمان دیفرانسیل

. نامیم دیفرانسیلدستگاه دیفرانسیل معادالت دستگاه ترین سادهاست عبارت كه باشد می دیفرانسیل معادله دو

از:

0(,,,,,)

0(,,,,,)

2

2

2

2

m

m

n

n

dt

yd

dt

yd

dt

dyytg

dt

xd

dt

xd

dt

dxxtf

180

معادالت دستگاه ترین ساده اینكه برایرا دستگاهها نوع این كنیم بررسی را دیفرانسیل

نظر در صورت ترین ساده به شرایطی بیان با . معادالت دستگاه ترین ساده گیریم می

مرتبه دیفرانسیل معادله دو دستگاه دیفرانسیل،از است عبارت كه باشد می :اول

0(,,)

0(,,)

dt

dyytg

dt

dxxtf

181

ظاهر دومی در اولی از مضربی است ممكن كهاز دیگری صورت بنابراین بالعكس، و شود

بصورت اول مرتبه دیفرانسیل معادله دو دستگاه: است زیر

0(,,,,)

0(,,,,)

dt

dy

dt

dxyxtg

dt

dy

dt

dxyxtf

182

توانهای اگر حال

مرتبه معادله دو دستگاه آنرا باشد یك با برابر: یعنی نامیم خطی اول

xydt

dx

dt

dy,,,

()()()

()()()

654

321

tfytfxtfdt

dy

tfytfxtfdt

dx

183

اگر معادله كه دو دستگاه آنراكه صورتی در و نامیم همگن خطی اول مرتبه

مرتبه معادله دو دستگاه آنرا باشند ثابت اعداد ، . با اكنون نامیم ثابت ضرایب با همگن خطی اول

آشنا دیفرانسیل معادالت دستگاه از تعدادیبیان. آنها از برخی حل برای را روشهایی شدیم

. جواب كه باشد می تذكر به الزم كنیم میبصورت دیفرانسیل معادله دو دستگاه

. شرط كه دارد وجود ای، قضیه باشد میمی بررسی را بودن بفرد منحصر و جواب وجودفرضمی و كنیم می صرفنظر آن ذكر از كه كند

. است بفرد منحصر و دارد وجود كه كنیم

0()() 63 tftf

(),(),(),() 1245 tftftftf

) ( , ) (y y t x x t

184

معادالت دو دستگاه از برخی حل برای. كنیم می بیان را روشهایی دیفرانسیل

: r روشاول مستقال دستگاه معادالت از یكی . می توضیح مثال یك با باشد می حل قابل

دهیم.::مثال كنیم می حل را زیر دستگاه

xytdt

dy

xxtdt

dx

2

2

185

معادله اول معادله شود می مالحظه چنانكهپس است جداشدنی

انتخاب با با كه داریم: برابر

نتیجه دستگاه دوم معادله در جایگذاری با كه: شود می

dttx

dxtx

dt

dx(12)(12)

cttctt eeexcttx 222lnce1cttecx

2

1

tttt ectydt

dyecyt

dt

dy 22

11 22

186

است خطی اول مرتبه معادله نیز معادله این و پس:

پس

. باشد می دستگاه جواب

21

22 2

cdteceey tttdttdt

21

222

cdteecey tttt 2121

22

ceceycdtecey tttt

22

2

21

1

ttt

tt

ececy

ecx

187

معادله سه دستگاه برای توان می را باال روش. برد بكار نیز

حل توان می را زیر معادله سه دستگاه مثالكرد.

tyxdt

dz

txdt

dy

xdt

dx

4

23

2

188

: اول روشدوم مرتبه معادله دو دستگاه حل: ثابت ضرایب با خطی

از استفاده و دستگاه معادالت از گیری مشتق بادوم مرتبه معادله به آنرا دستگاه دوم معادله

حل با كه كنیم می تبدیل ثابت ضرایب با خطیایم شده آشنا r قبال . آن

. دهیم می توضیح مثال یك با

()

()

22

11

tgybxadt

dy

tfybxadt

dx

189

: كنیم : می حل را زیر دستگاه مثال

: داریم اول معادله از گیری مشتق با

می نتیجه دومی معادله از جایگذاری با وشود:

xydt

dy

yxdt

dx

3

3

dt

dy

dt

dx

dt

xd3

2

2

dt

dy

xydt

dx

dt

xd 33

2

2

190

: داریم اول معادله از جایگذاری yبا

xxdt

dx

dt

dx

dt

xd (3)33

2

2

0862

2

xdt

dx

dt

xd

086 xxx

191

كه است كمكی معادله دارای كهو

: . پس هستند متمایز های ریشه: داریم اول معادله در جایگذاری با حال

بنابراین

. است دستگاه جواب

0862 DD4D

2Dtt ececx 42

21

tttt ececececxdt

dxy 4

22

14

22

1 33423 tt ececy 4

22

1

tt

tt

ececy

ececx

42

21

42

21

192

به :روشسوم مشهور روش این. اپراتوریا عملگرروش باشد می

كه كنیم می فرض روش این درعملگر جایگذاری با آنگاه ،

گوسحل حذفی روش به را دستگاه . را روش این مثال یك با كنیم می

دهیم می . توضیح

Ddt

d

193

: كنیم : می حل روش به را زیر دستگاه مثال

: داریم نماد از استفاده با

D2 4 1

1

dx dyx y

dt dt

dx dyt

dt dt

Ddt

d

1

142

tDyDx

yDyxDx

194

در دوم ومعادله در اول معادله ضرب با: داریم دستگاه طرفین جمع و

با دوم مرتبه خطی دیفرانسیل معادله این: پس باشد می غیرهمگن ثابت ضرایب

1

1(4)(12)

tDyDx

yDxD

D4D

(1()4)(1)(4)(12) tDDDxDxDD4(1)4()0(42) 22 DttDxDDDD

34(33) 2 txDD

195

كردن پیدا برای و بنابراینروشضرایب به آنرا غیرهمگن خاص جواب

كنیم می حل .ثابت

پس است كمكی معادله ریشه صفر :چون

23 3 0 3 ) 1( 0 0 , 1D D D D D D t

c eccx 21px

AxAtAxtAtAx

AtAtx

ppp

p

22

()

112

1

196

: شود می نتیجه معادله در جایگذاری با

بنابراین ، پس

: داریم معادله جایگذاری با بنابراین

3433 txx pp

3

7,

3

234366 11 AAtAtAA

ttx p 3

7

3

2 2 tteccx t

3

7

3

2 221

11 tdt

dx

dt

dyt

dt

dy

dt

dx

197

می دستگاه جواب پسباشد.

13

7

3

42 ttec

dt

dy t

3

4

3

12 tec

dt

dy t

dttecdy t (3

4

3

1) 2

32

2 3

4

6

1cttecy t

32

2

221

3

4

6

1

3

7

3

2

cttecy

tteccx

t

t

198

می : مالحظه چنانكه سوم و اول روشهای تذكرمعمولی دستگاه حل از شود

. را معمولی دستگاه r مثال است شده گیری نتیجهمعادالت از یكی كه كرد حل بسادگی توان می

روشسوم و باشد می حل قابل r مستقال دستگاهدرحل كه باشد می گاوس حذفی روش همان نیز

دستگاه

. شود می استفاده

3

732

yx

x

2

732

yx

x

199

حل تذكر: برای را باال روشهایاستفاده خطی معادالت دو دستگاه

دستگاه حل برای آنرا توان می كردیمو كرد استفاده نیز خطی معادالت سه

و داد تعمیم را آن توان می همچنینمعادالت با دستگاههایی برای

استفاده نیز بیشتر خطی دیفرانسیلكرد.

200

معمولی تذكر: دستگاه در كه همانطوریمنحصر جواب دارای دستگاه است ممكن

جواب یا و جواب نهایت بی یا و بفردمعادالت دستگاه در باشند نداشته

. r مثال باشد می چنین نیز دیفرانسیلدستگاه

. باشد می جواب نهایت بی دارای

tDxDx

tDxDx

444 21

21

201

و r مثال

جوابهایی

. است دستگاه ازدلخواه به را جوابها از كدام هر درحسب بر را دستگاه و كرده انتخاب

. دستگاه ولی كنیم می حل

. نیست جواب دارای

cx

ct

x

52

2

2

1

2

2

2

1

2

1

22

2

ctt

x

ct

x

()11 txx ()22 txx

2

21

21

tDxDx

tDxDx

202

ت تذكر: معادال دستگاه كه شد مالحظه: كلی بصورت روشسوم در دیفرانسیل

: یعنی ضرایب دترمینال كه باشد می

دیفرانسیل معادالت دستگاه دترمینان رانامیم.

()()()

()()()

43

21

thyDfxDf

tgyDfxDf

()()

()()

()43

21

DfDf

DfDf

DW

203

. پذیریم می اثبات بدون را زیر قضیهجواب قضیه : در پارامتر تعداد

و عمومیتوان با برابر باال دستگاه

اینكه بر مشروط است

. باشد دستگاههایی از جوابهایی در بنابراین

توان از بیشتر پارامتر تعداد كهپارامترهای توان می ، است

دستگاه در جایگذاری با را اضافی. كرد حذف معادالت

()txx ()tyy

()DW0() DW

()DW

204

با چگونه كرد خواهیم مالحظه فصل این دریك مورد در الپالس تبدیل بردن كار به

می ، اولیه شرایط با دیفرانسیل معادلهتبدیل تری ساده مسئله به را آن توان

الپالس تبدیل وارون با كه بطوری كردهو آید می بدست ابتدائی مسئله جواب

های روش كه شد خواهد مالحظه همچنینمورد در را ثابت ضرایب و پارامتر تغییر

تابع كه همگن غیر دیفرانسیل معادالت حلبكار توان نمی باشد ناپیوسته دوم طرف

تبدیل از توان می حالت این در كه برد. كرد استفاده الپالس

205

الپالس تبدیلیعنی ، باشد می تابع یافته تعمیم مفهوم تبدیلنسبت را دیگری تابع ، تابع هر به كه ای رابطه . مشهور تبدیالت جمله از نامیم تبدیل یك دهد،

می عبارتی در مضرب و انتگرال و مشتق تبدیلمی نشان بترتیب زیر نماد با r معموال كه باشد

.دهیم1)

2)

در (3 ضرب

()(()) xFxfD

cxFdxxf ()()

()(()) xfexfM x xe

206

تابع تعریف: كنیم بربازه فرضناسره انتگرال ، باشد شده تعریف

ا مقادیر ازای به است حقیقی عدد كه راتابع الپالس تبدیل آنرا باشد همگرا ز

یعنی : دهیم می نشان نماد با و نامیم

الپالس تبدیل و تابع بین رابطه بیان برایتابع

: نویسیم می

f 0,

) (sxe f x dx

s sRAf()sF

) ( ) (sxs A F s e f x dx

Ff) ( ) () (F s L f x

207

مطالعه r بعدا را الپالس تبدیل وجود شرایط . خاص تابع چند الپالس تبدیل اینك كرد خواهیم

كنیم . می پیدا را . كنیم می پیدا را تابع الپالس تبدیل

یعنی:

: پس همگراست انتگرال ازای به

1() xf

b

sxb

b

sx

b

sx es

imdxeimdxesFL

1

()(1)

(11

) es

es

im sb

b

0s

sL

1(1)

208

می پیدا را تابع الپالس تبدیلكنیم :

پس همگراست انتگرال ازای به

xxf ()

b

sx

b

sx dxxeimxdxesFxL

()()b

sxsx

b

sxbsx

be

sxe

simdxe

sxe

sim

2

1111

es

xes

es

bes

im sbsb

b 22

1111

0s2

1()

sxL

209

می پیدا را تابع الپالس تبدیلكنیم

ازای پس به همگراست : انتگرال

nxxf ()

dxxes

n

s

exdxxexL nsx

sxnnsxn 1()

1 21 1 1) ( ) ( ) ( )1(n nn n n n n

L x L x Ls s s s s s

0s

1

!()

nn

s

nxL

210

: شود می داده نشان درتمرینات

آنگاه ، اگر

s

s

eL x 1()

211

الپالس تبدیل خواص

انتگرال توسط الپالس تبدیل اینكه به توجه باشده تعریف

می را انتگرال خواصخطی دارای الاقل است.باشد

212

كه :قضیه: دهید نشان

چون : پس اثبات باشد می ثابت عدد

ولی دارد كوتاهی اثبات خاصیت این گرچهبسیاری توان می و باشد می قوی خیلی خواص

. كرد پیدا را توابع الپالس تبدیل از

) ) ( ) (( ) ) ( ) ) ((L f x g x L f x L g x

) ) ( ) (( ) ) ( ) ((sxL f x g x e f x g x dx

(())(())()() xgLxfLdxxgedxxfe sxsx

213

(1)12()5(125)(()) 22 LxLxLxfL

ssss

1210112

!25

33

()3()3(33)(()) 22 xLeLxeLxgL xx

22

3

2

313

2

13

ssss

:مثال

214

عبارت تابع الپالس تبدیل حالاز است

طرفی از و

: داریم تساویها اول طرف دو تساوی بنابر

xiexf ()

222222

11()

si

s

s

s

is

is

is

isiseL xi

()sin()cos(sin)cos() xiLxLxixLeL xi

22()cos

s

sxL22

()sin

s

xL

215

مثال:

شرط با

) ) (( )sinh ( ) (2

x xe eL f x L x L

2222

()2

1(

11)

2

1()()

2

1

ss

ss

sseLeL xx

) ) (( )cosh ( ) ( ) ) ( ) ((2

x xxe e

L g x L x L L e L e

2222()

2

1(

11)

2

1

s

s

s

ss

sss

216

الپالس تبدیل ز ا خاصیت دومین عنوان به.انتقال خاصیت باشد میكنید : قضیه آنگاه فرض

اثبات:

چون

(())() xfLsF

()(()) sFxfeL x

dxxfeexfeL xsxx ()(())

()()()

sFdxxfe xs

dxxfesF sx ()()

217

مثال: الف(

ب(

ج(

25(7)

5(5sin)

27

s

xeL x

16(3)

3(4cos)

23

s

sxeL x

652

(2)

!5()

sxeL x

218

الپالس تبدیل از خاصیت سومین عنوان بهباشد .مضربخاصیت میآنگاه :قضیه كنید فرض

:اثبات

(())() xfLsF

()(()) sFds

dxxfL

dxxfes

dxxfeds

dsF

ds

d sxsx ()()()

) ( ) ( ) ) (( ) ) ((sx sxx e f x dx e xf x dx L xf x

219

:نتیجه :اثبات

كه شود می نتیجه استقراء به

()(1)(())2

22 sFds

dxfxL

(())(1)(())(()) 2 xxfLds

dxxfxLxfxL

()(1)(())(1)2

2

sFds

dxfL

ds

d

ds

d n

(())(1)(()) xfLds

dxfxL

n

nnn

220

مثال:الف (

ب (

ج (

22222 (1)

2

(1)

2(

1

1)(sin)

s

s

s

s

sds

dxxL

22

2

22

22

2 (1)

1

(1)

21(

1)(cos)

s

s

s

ss

s

s

ds

dxxL

42

24

42

2222

222

(1)

246

(1)

(1)8(1)2(

(1)

2)(sin)

s

ss

s

sss

s

s

ds

dxxL

221

دیفرانسیل معادله آنجائیكه ازیعنی از ازتركیباتی

مشتقات و یعنی ومشتقاست شده تشكیل باال مراتبتبدیل قسمت این در بنابراین

می بررسی را مشتق الپالسكنیم .

x()xfy

222

دهید :قضیه نشان

چون: اثبات

: داریم جز به جز روشی از استفاده با

و و

پس

آنگاه : اگر

(0)()() yysLyL

dxyeimdxyeyLb

sx

b

sx

()

ue sx dvdxy dudxse sx vy

()() ydxSeyeimyLb

sxbsx

b

((0)()) ydxeseyebyimb

sxsb

b

0s(0)()()(0)() yysLysLyyL

223

. :نتیجه دهید نشان

اثبات:

: كه شود می نتیجه استقراء به

(0)(0)()() 2 ysyyLsyL

(0)((0)())(0)()(())() yyysLsyysLyLyL

(0)(0)()2 ysyyLs

(0)(0)(0)(0)()() (1)(2)21() nnnnnn ysyysysyLsyL

224

الپالس تبدیل معكوسوجود تابع الپالس تبدیل كنیم فرض

. تابع كه است واضح صورت این در باشد داشتهكه دارد وجود مانند بفردی منحصر

. گیریم می نظر در را حالت این عكس اینك . باشد شده داده مانند تابعی كنید فرض

به دارد وجود مانند بفردی منحصر تابع آیاباشیم : داشته كه ای گونه

: نویسیم می باشد مثبت سؤال پاسخ اگر

تابع الپالس تبدیل معكوس یا وارون را. نامیم

()xf()sF

(())() xfLsF

()sF()xf

(())() xfLsF

(())() 1 sFLxf ()xf()sF

225

معكوس خواص برخی اینكمی بررسی را الپالس تبدیل

كنیم.

دهید :قضیه :نشان

. شود: مالحظه قبلی قضیه اثبات

1 1 1) ) ( ) (( ) ) (( ) ) ((L F s G s L F s L G s

226

مثال:الف(

ب(

ج(

515(1

)5(5

) 11

sL

sL

xxs

Ls

Lss

L 2sin32(4

2)3(

!2)2(

4

64) 2

21

31

231

xes

Ls

L 311 2((3)

1)2(

3

2)

227

(د

(هـ

(1

11)(

(1)

1)(

1) 11

21

ssL

ssL

ssL

xes

Ls

L

1((1)

1)(

1) 11

(1

11)(

(1)

1)(

1)

221

221

241

ssL

ssL

ssL

xxs

Ls

L sin((1

1)(

1)

21

21

228

تبدیل خواصمعكوس الپالس

:قضیه دهید: نشان

. شود مالحظه قبلی قضیه اثبات

()(())1 xfesFL x

229

:مثال

الف(

ب(

xes

Lss

L x sin(1(2)

1)(

54

1) 2

221

21

xes

Ls

L x 3sin2(3(2)

3)2(

9(2)

6) 2

2211

230

مثال :بقیه (ج

(د

334

14

1 2((3)

!3)2(

(3)

12) xe

sL

sL x

(2(1)

2)(

2(1)

1)(

2(1)

21)(

52

3)

221

221

221

21

sL

s

sL

s

sL

ss

sL

xexe xx 2sin2cos

231

الپالس بروش دیفرانسیل معادله حلچگونه كه دهیم نشان هستیم آماده اینكاولیه مقدار با مسئله یك جواب توان می

به ، الپالس تبدیالت كمك به را دشوارتبدیل تر ساده شرایط با دیگری مسئله

تبدیل وارون از استفاده با سپس و كردهبدست را دیفرانسیل معادله جواب الپالس

معادله. مورد در ساده مثال یك با آورد. دهیم می توضیح اول مرتبه دیفرانسیل

232

شرط : با را معادله مثالكنیم : می حل

می: اثر معادله روی را الپالس تبدیل ابتدا حلدهیم :

xeyy 1(0) y

()()()()() xx eLyLyLeLyyL

()()(0)() xeLyLyySL

1

1()1()

s

yLySL

11

111

1

1()(1)

s

s

s

s

syLs

233

: كنیم می محاسبه را الپالس تبدیل وارون حال

(1()1)()

ss

syL

(1

2

1

12

1

)((1()1)

) 11

ssL

ss

sLy

(1

1)

2

1(

1

1)

2

1 11

sL

sLy

1 1cosh

2 2x xy e e x

234

شرط : با را معادله مثال. كنیم می حل

می : اثر معادله روی را الپالس تبدیل ابتدا حلدهیم:

xeyy 22(0) y

()()2()()(2) xx eLyLyLeLyyL

()()2(0)() xeLyLyySL

(2()1)

32()

1

322

1

1()(2)

ss

syL

s

s

syLs

235

می محاسبه را الپالس تبدیل وارون حال)كنیم:

(2()1)

32)1

ss

sLy

(2

1

1

1)1

ssLy

xx eeys

Ls

Ly 211 (2

1)(

1

1)

236

معادله : جواب است مطلوب مثالو شرایط با

: حل

xyy 44 1(0) y)0( 5y

()4()4()(4)(4) xLyLyLxLyyL

()4()4(0)(0)()2 xLyLysyyLs 3 2

22 2

4 4 5) 4( ) ( 5

s ss L y s

s s

237

((4)

45)

(4)

45()

22

231

22

23

ss

ssLy

ss

ssyL

(4

4

4

1)(

4

41)

2221

221

ss

s

sL

s

s

sLy

(4

2)2(

4)(

1)

21

21

21

sL

s

sL

sLy

238

توابع برخی الپالس تبدیلدیگر توابع برخی الپالس تبدیل به آنکه از قبلباید تابع که را شرایطی است خوب بپردازیم

باشد، داشته الپالس تبدیل تا باشد دارا . تضمین برای دهیم قرار توجه مورد دقیفترکنیم فرض است کافی الپالس، تبدیل وجود

به قطعه الاقل یا و پیوسته که . اخیر عبارت از مقصود است پیوسته قطعه

تابع که است آنمتناهی فاصله هر در

متناهی تعدادی در احتماآل مگر است، پیوستهاست جهشی پیوستگی نا دارای که ، نقطه

()xfbx 0

239

راست و چپ های حد نقاط آن در تابع یعنی . دارد متفاوتی

در تابع مثآل نیست الزم شرط ایناست بینهایت نوع از پیوستگی نا یک دارای

این با نیست، پیوسته قطعه به قطعه این وبنابرتا از انتگرالش وجود

بزرگ های برای که آنجا از و دارد وجودوجود آن الپالس تبدیل هست، نیز کراندار

برای،. واقع، در دارد: داریم

2

1

()

xxf0x

0b

0sdxxexL sx 2

1

0

2

1

()

240

دهد می نتیجه متغیر تغییر و

دهد می بدست متغیر تغییر یک

نشان انتگرال و دیفرانسیل درسحساب درکه شود می داده

: داریم لذا است، با برابر اخیر انتگرال

tsx dttesxL t 2

1

0

2

1

2

1

()

2st dsesxL s

0

2

1

2

12

2()

2

sxL

() 2

1

241

تابع تعریف:

و نامیم واحد ای پله تابع را باشد می که

: کنیم می پیدا را آن الپالس تبدیل

شرط با

cx

cxxuc 1

00()

0c

dxedxedxedxxuexuLb

c

sx

bc

sxc sxc

sxc

lim1.0.().(())00

0s

s

ees

es

es

cscssb

b

bc

sx

b

(

11)lim(

1)lim

242

واحد: ای پله توابع برحسب را زیر تابع مثالنویسیم؟ می

حل:

34

323

212

101

00

()

()

()

()

0()

()

xxxf

xxxxf

xxxxf

xxxxf

xxxf

xf

()(])()[()(])()[

()(])()[()(])()[()()

32

10

3423

12010

xuxfxfxuxfxf

xuxfxfxuxfxfxfxf

xx

xx

243

تابع مثال:

نویسیم؟ می واحد ای پله تابع بصورت را

5

545

40

()2 xx

x

xx

xf

()(5)()(5)() 52

4 xuxxuxxxf

244

برای تذکر: توان می واحد ای پله تابع ازتعریف دامنه که ، شده داده تابع انتقال

اندازه به آن . مثال برای کرد استفاده راست جهت در واحد

توسط شده تعریف تابع

اندازه به تابع از انتقالی واحد نمایش

مثبت جهت باشد در . می

f0xc

cxcxf

cxcxfxuy c ()

00()()

xc

245

: قضیه: دهید نشاناثبات:

: داریم متغیر تغییر با

0()(()()) ssFecxfxuL xcc

dxcxfedxcxfxuecxfxuLc

sxc

sxc ()()()(()())

0

cxu

0()()

()(()())

0

0

()

ssFeduufee

duufecxfxuL

cssucs

cusc

246

تابع: الپالس تبدیل مثال

. کنیم می پیدا رارا: تابع قبل مثال از استفاده با حلبه ای پله تابع حسب بر توان می

صورت . نوشت

پس چون

الپالس تبدیل های فرمول و خواص بنابر

2cossin

20sin()

xxx

xxxf

f()2 xu

xxuxxf cos()sin() 2(2cos)cos xt

(2cos)()sin() 2 xxuxxf

01

1

11

1()

2

2

22

2

ss

se

s

se

ssF

ss

247

و اگرقضیه:ازای به دو آنگاه هر باشد موجود

آن در که

است و کنولوسیون به تابع معروفبا را وآن

دهیم می . نشان

(())() xfLsF (())() xgLsG 0s

(())()()() xhLsGsFxH

x

duuguxfxh0

()()()

hfg

gfh

248

که دهیم می نشانزیرا

متغیر تغییر بردن بکار بازیر صورت به توان می را باال انتگرال

نوشت:

()() xfgxgf

x

duuguxfxgf0

()()()

vux

()

()()

(())()()

0

0

xfg

dvvfvxg

dvvxgvfxgf

x

x

249

بردن: بکار با تابع مثال معکوس تبدیل کنولوسیون

کنیم؟ می پیدا را

تبدیل: و فرض با حلالپالس

: داریم و

: داریم جز جزبه روش بردن بکار با

()()

222 ass

asH

2

1()

ssF 22

()as

asG

2

1()

sxL

22()sin

as

aaxL

x

auduuxxgfxh0

sin()()()

2

sin()

a

axaxxh

250

کسرهای تذکر: بردن بکار با توان می را باال مثالکرد : محاسبه زیر بصورت جزیی

این بنابر

()1

()2222 as

a

s

a

asH

(sin)1

()2

axaxa

xh

251

مثبت قضیه: عدد یک اگر که دهید نشانآنگاه باشد

اثبات:

به باال انتگرال متغیر تغییر بردن کار به باصورت

c()

1(())

c

sF

ccxfL

0()(()) dxcxfecxfL sx

ucx

casac

s

c

sFc

duufec

duc

ufecxfL

uc

s

uc

s

,()1

()1

1()(())

0

0

252

پایان

باشید موفق