Б) Чисто усукване на пръти с некръгло сечение

Невалидност

на хипотезата на Бернули.

(след натоварването с усукващ момент точките от сечението се преместват извън първоначалната равнина) и загубват равнинната си форма.

Опитът и изследвания с помощта на Теория на еластичността доказват, при чисто усукване на такива пръти напречните сечения се депланират

Явно е, че хипотезата на Бернули не е валидна. Тангенциалните напрежения са функция на две променливи = ( y,z ) .

фиг. 10

7. Специфика в разпределението на напреженията

С помощта на закона за взаимност на тангенциалните напрежения ще докажем следните специфични особености в разпределението на напреженията при усукване.

n

t

’n

t

7.1. Върху площадки в близост до контура на напречното сечение тангенциалните напрежения са насочени успоредно на допирателната към контура на сечението

(фиг. 11).

’n= 0

t

7.2. Върху площадки в близост до връх от контура на напречното сечение тангенциалните напрежения са равни на нула

2

1

’2

’1

(фиг.12).

(’1 = 0 ;и ’2 =0 = 0 ),

8. Усукване на пръти с пълностенно напречно сечение

8.1 правоъгълно сечение

Разпределението на тангенциалните напрежения в случай на правоъгълно сечение с височина h и ширина b, получено с помощта на Теория на еластичността е показано на фиг.13.

max

kmax

T

yc

bh

yc

W

M

hb

M

2)/(

max

T

yc

bh

yc

GJ

M

hbG

M

3)/(

фиг.13

Коефициентите , и k са функция на отношението h/b и се дават в таблици по Съпротивление на материалите. Част от тези стойности са дадени в таблица 1

h/b 1,0 1,25 1,5 2,0 4,0 20

0,208 0,220 0,231 0,246 0,282 0,327 1/30,333

0,1406 0,164 0,196 0,229 0,281 0,327 1/30,333

k 1,00 0,930 0,857 0,795 0,745 0,743 0,743

8.2 некръгло сечение

Структурата на формули (18) и (19) е подобна на (7) и (5). Характеристиките WT и JT за триъгълно, елиптично, шестогранно, осмогранно и др. сечения се дават в таблици по Съпротивление на материалите.

9. Мембранна и хидродинамична аналогии

Оказва се, че диференциалите уравнения описващи чистото усукване на прът с произволно сечение и диференциалите уравнения описващи провисването на тънка мембрана (натоварена с налягане) опъната върху контур с формата на сечението, подложено на усукване, са едни и същи от математическа гледна точка.

Всеки лесно може да си представи как се деформира от налягане р тънка мембрана опъната върху контур и да сравнява ъглите, които сключва допирателната към деформираната мембрана фиг.14.

Прандтл е доказал, че аналог на тангенциалното напрежение в дадена точка е ъгълът на наклона, който допирателната към деформираната мембрана сключва с равнината на контура (недеформираната мембрана).

max

p

=0

мембрана

контур

Аналог на усукващия момент е обема заключен между деформираната и недеформираната мембрана.

фиг.14

Съществува и хидродинамична аналогия. В съд със сечение като това на усуквания прът има идеална течност. Ако приведем течността в стационарно движение в равнината на контура, то токовите линии и посоката на тангенциалните напрежения съвпадат. Скоростта в дадена точка е аналог на тангенциалното напрежение. В ъглите скоростта е нула. Около издатини скоростта се увеличава.

Хидродинамична аналогия

10. Свободно усукване на тънкостенни пръти

Тънкостенни са тези пръти, при които дебелината на стената е много по-малка от разгънатата средна линия на профила L, а тя от своя страна е много по-малка от дължината на пръта l т.е. имаме следното съотношение << L << l .

Свободно усукване имаме, когато краищата на пръта могат свободно да се деформират по оста на пръта.

Сеченията на тънкостенните пръти се разделят на следните типове:

фиг.15а

фиг. 15с

сечения, които могат да се разгънат до тесен висок правоъгълник фиг.15а;

фиг.15в

тънкостенни затворени сечения фиг.15с.

такива, които не могат да се разгънат до правоъгълник фиг.15в

L

а) - сечения, които могат да се разгънат до тесен висок правоъгълник (фиг. 16)

L

M

L

M ycyc

22

max

3

31

LG

M

LG

M ycyc

33

3

31

Получава се правоъгълник с ширина и височина L .Съотношението L/ обикновено е по-голямо от 10. Коефициентите , в този случай могат да се примат за 1/3. Тогава от формули (18) и (19) следва:

в) сечения, които не могат да се разгънат до правоъгълник (фиг.17)

n

iiycyc MM

1

,

Разделяме мислено сечението на правоъгълници, всеки от тях с ширина i и

височина Li . Считаме отношението Li/i за голямо и приемаме коефициентите

, за 1/3. Усукващият момент в сечението може да се разглежда като сума от усукващите моменти в отделните правоъгълници.

n

Ln

1

L1

Приемаме, че всички правоъгълници се завъртат на един и същ относителен ъгъл = i =const.

T

yc

n

iii

yc

n

iii

n

iii

n

iiycyc

iiiycii

iyci

GJ

M

LG

M

LGGLMM

GLMGL

M

33

3

1

3

1,

3

1,

,3

1

3

1

3

1

3

1

33

фиг.17

iT

yciii

iiii

iyci J

MGGL

LL

M

3

22max, 3

13,3

n

iiiT LJ

1

3

3

1

iT

yciii

iiii

iyci J

MGGL

LL

M

3

22max, 3

13,3

Вижда се, че в този случай характеристиката JT

се пресмята по формула (22)

Тангенциалното напрежение в i - тия правоъгълник определяме чрез (20)

(22)

Това лесно може да се обясни с мембранната аналогия – там мембраната провисва най-много и ъгълът на допирателната към деформираната мембрана е най голям.

max

1

3max

3

n

iii

yc

L

M

Максималното напрежение за цялото сечение се получава в правоъгълника с най-голяма дебелина

2

1

1

2

ds

ds

a

с) тънкостенни затворени сечения (фиг.18)

От условието за равновесие на изрязания елемент по оста на пръта имаме:

constdsds ii minmax22112211 0

(24)

фиг.18

Произведението от дебелината и тангенциалното напрежение е константа. Най-голямото напрежение се получава където е минималната дебелина

Приемането, че тангенциалните напрежения по дебелината са постоянни се основава на мембранната аналогия фиг.19.

1

2

dt

r

dF

фиг. 19

rdtdFdM yc )(

Върху него действа напрежение . Елементарният усукващ момент е:

Разглеждаме диференциален елемент с дебелина , дължина dt и площ dF.

*

*

2

2)()(

dFrdt

FrdtrdtdMMLLF

ycyc

Усукващият момент в сечението ще получим чрез интегриране в сечението.

Тук F* е площта очертана от линията разполовяваща дебелините.

min*

min*max

2

2

FW

F

M

T

yc

dsG

dsddt

dFdsrd

*2

Интегрираме по затворения контур

L t

L tLLL

dtG

dsFd

dtG

dsdtG

dsdtG

dsdFd

)(

*

)(

*

1)(2.

1)(.2

Заместваме от (25) и интегрираме по дължината на пръта

L t

ycll

dtGF

МdsFd

)(*

0

*

0

1

2

)(2.

L t

yc dtFG

lМ

)(2*

1

2

За взаимното завъртане на две сечения на пръта на разстояние l получаваме:

(28)

2*4FG

lМ yc

При постоянна дебелина се получава:

Коравината на усукване в този случай е:

L t

T

dt

FGGJ

)(

2*

12