Исследовательская работа по теме

«Золотое сечение»

Выполнили: Колесов Андрей и Алексеев Александр. Преподаватель: Дубакова Нина Николаевна.

МОУ Пречистенская СОШ.

Цель работы • Познание математических

закономерностей в мире, определение значения математики в мировой культуре и дополнение системы знаний представлениями о «Золотом Сечении» как гармонии окружающего мира.

• Формирование навыков самостоятельной исследовательской деятельности.

Определение пропорции

Равенство двух отношений называют

пропорциейa:b=c:d

или a/b=c/d

крайние

средние

определение пропорции

ПропорцияПропорция означает «соразмерность», «определенное соотношение частей между собой».

определение пропорции

Измерить расстояния a, b, c, d и найти отношения (a+ b)/d и c/(a+ b)

Ответ: 5/8

определение пропорции

Деление целого на две неравные части, при котором большая часть так

относится к целому, как меньшая к большей называют«золотым

сечением».

Это отношение приближенно равно 0,618 ≈ 5/8.

Понятие «Золотое сечение»

a : b = b : c или с : b = b : а

Золотое сечение - деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Эта пропорция равна:

Золотое сечение в процентах

Золотое сечение. История вопроса.

• В Древнем Египте существовала «система правил гармонии», основанная на Золотом Сечении.

• В Древней Греции Золотое Сечение было своеобразным каноном культуры, который пронизывает все сферы науки и искусства. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания.

• В толковании древних греков понятие золотого сечения, и понятие гармонии идентичны.

• Согласно Пифагору гармония имеет численное выражение, то есть, она связана с концепцией числа.

• Евклид излагает теорию Платоновых тел, которая является существенным разделом геометрической теории Золотого Сечения.

Золотое сечение. История вопроса.

Пропорции, т.е. равенства отношений изучались пифагорейцами.

Евдокс развил учение о пропорциях–одно из величайших достижений греческой математики.

Термин «золотое сечение» ввёл Леонардо да Винчи.

Золотое сечение. История вопроса.

Математик Фибоначчи впервые получил последовательность

чисел, названной в его честь числами Фибоначчи

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 …

Особенностью этого числового ряда является то, что каждый

его член, начиная с третьего, равен сумме двух

предыдущих : 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8 …При этом

отношение двух соседних членов равно золотому сечению,

т.е. числу Ф.

Рассматривая закономерности, связанные с проявлением

золотого сечения, обычно используют обратную величину

числа Ф : 1/1,618 = 0,618

Золотое сечение. История вопроса.

• Гениальный астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) был последовательным приверженцем Золотого Сечения, Платоновых тел и Пифагорейской доктрины о числовой гармонии Мироздания.

• Считается, что именно Кеплер обратил внимание на ботаническую закономерность филлотаксиса и установил связь между числами Фибоначчи и золотой пропорцией, доказав, что последовательность отношений соседних чисел Фибоначчи:

1/1; 2/1; 3/2; 5/3 ;8/5; 13/8;…в пределе стремится к золотой пропорции

Сфинкс, охраняющий гробницу Тутанхамона

Есть предположение, что Пифагор понятие золотого сечения позаимствовал у египтян и вавилонян. И, действительно пропорции пирамиды Хеопса, барельефы предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношением золотого сечения при их создании.

Золотое сечение. История вопроса.

«Золотое сечение» - гармония математики«Золотое сечение» - гармония математики

1

1

Число является положительным корнем квадратного уравнения: x2 = x + 1

подставим корень вместо x и разделим на :

Если продолжить такую подстановку бесконечное число раз, то получим цепную дробь:

...11

1

11

11

Аналогично, если взять корень квадратный из правой и левой частей тождества (1) то получим представление золотой пропорции в «радикалах»:

...1111

Эти формулы (3) и (4) доставляют «эстетическое наслаждение» и вызывают неосознанное чувство ритма и гармонии…

Правило золотого сеченияТригонометрическая функция

Построение золотого сечения

Дано: отрезок АВ.Построить: золотое

сечение отрезка АВ, т.е. точку Е так, чтобы .

Построение.Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок ВС= .Далее, соединим точки А и С, отложим отрезок CD=CB,и наконец AE=AD.Точка Е является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.

Построение.Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок ВС= .Далее, соединим точки А и С, отложим отрезок CD=CB,и наконец AE=AD.Точка Е является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.

Золотым называется такой равнобедренный треугольник,

основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:

Золотой треугольник

ВС

АВ

...6180339887,12

51

Золотой прямоугольник

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение длины к ширине даёт число φ, называется золотым прямоугольником.

ВС

АВ

Математическое понимание гармонии

• «Гармония – соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия» -Большая Советская Энциклопедия

• Математическая гармония - это равенство или соразмерность частей с друг другом и части с целым.

Понятие математической гармонии тесно связано с понятиями пропорции и симметрии.

Если в пентаграмме провести все диагонали, то в результате получим пятиугольную звезду.

Точки пересечения диагоналей в пентаграмме являются точками золотого сечения диагоналей (отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618). При этом эти точки образуют новую пентаграмму FGHKL и пять правильных треугольников (ADC, ADB,EBD, AEC,EBC)

Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.

Пентаграмма

Золотое сечение в живописи, фотографии, дизайне. Основы композиции

В живописи, фотографии, дизайне золотое сечение очень часто используется в виде классических приемов композиции.

Основная рекомендация заключается в следующем. Объект, являющийся центральной фигурой в композиции, далеко не всегда должен располагаться в центре. Определенные точки в композиции автоматически привлекают внимание. Таких точек 4, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев картины. Нарисовав сетку, получим эти точки в местах пересечения линий (см. фотографию).

Золотое сечение в изобразительном искусстве

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Сосновая роща"

Золотое сечение в архитектуре

Пропорции Покровского Собора на Красной площади в Москве определяются восемью членами ряда золотого сечения: Многие члены ряда золотого сечения повторяются в затейливых элементах храма многократно:

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах

Примеры сознательного использования «Золотого сечения»

• Золотое сечение и зрительные центры• Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали

пропорции «золотого сечения». Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение в своих проектах[4].

• Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения, разбив ленту на пять частей (в первых трёх действие развивается на корабле, в двух последних — в Одессе), где переход в город происходит точно в точке золотого сечения.[источник не указан 120 дней]

Золотое сечение в природе Золотая спираль

Что общего в расположении полипептидных цепей нуклеиновых кислот, лепестков розы, раковин моллюсков, рогов млекопитающих, подсолнуха, далеких космических галактик?

В основе их структуры лежит золотая (логарифмическая) спираль. Эта спираль вписывается в золотой прямоугольник (отношение длины и ширины которого равно числу Ф). Последовательно отрезая от него квадраты и вписывая в каждый из них по четверти окружности, мы и получим золотую спираль (см. фото)

Золотое сечение в природе Золотая спираль

Золотое сечение в природе Золотая спираль

Золотое сечение в природе Явление филлотаксиса

Филлотаксисом называется своеобразное решетчатое расположение листьев, семян, чешуек многих видов растений.

Ряды ближайших соседей в таких решетках разворачиваются по спиралям или закручиваются винтовыми линиями вокруг цилиндра

Семечки в подсолнухе расположены по логарифмическим спиралям. При этом отношение числа левых и правых спиралей равно отношению соседних чисел Фибоначчи . Можно встретить подсолнухи с отношением количества спиралей 34 /55 и 55/89.

Пропорции тела человека и золотое сечение

Существуют определенные правила, по которым изображают фигуру человека, основанные на понятии пропорциональности размеров различных частей тела.

Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение. Основные пропорции были определены Леонардо да Винчи, и художники стали сознательно их использовать.

Пропорции тела человека и золотое сечение

Основное деление человеческого тела – это деление точкой пупа. Отношение расстояния от пупа до ступни к расстоянию от пупа до макушки составляют золотое сечение.Идеальной женской фигурой считается фигура Афродиты Милосской (см. рисунок).

Интересно, что статистически средние размеры тел различных людей также подчинены правилу золотого сечения (об этом свидетельствуют антропологические исследования Цейзинга (1855 г.), который провел измерения почти 2000 человек.

Пропорции тела человека и золотое сечение

Природа распорядилась в строении человеческого тела следующими пропорциями:

шесть ладоней составляют один локоть,

четыре локтя - рост человека,

четыре локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека,

наибольшая ширина плеч - восьмая часть роста,

четыре ладони равны стопе,

расстояние от локтя до кончиков пальцев - 1/5 роста,

расстояние от локтя до подмышечной ямки - 1/8,

длина всей руки - это 1/10 роста,

стопа - 1/7 часть роста.

Пропорции золотого сечения в природе

Форма птичьих яиц описывается золотым сечением. Сегодня уже установлено, что при такой конфигурации прочностные характеристики оболочки оказываются наиболее высокими.

Пропорции золотого сечения в природе

• Совершенная форма тела стрекозы создана по законам золотого сечения: отношение длины хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.