Решение задач по теме: «Сечение

многогранников»

РТ г. Казань Московский районУЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ:

ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ ШКОЛЫ № 20 СУББОТИНА Л. Н.;

ПЕРВОЙ КАТЕГОРИИ ШКОЛЫ № 99АХМЕТЗЯНОВА А. С.

Являются ли закрашенные фигуры сечениями изображенных на рисунках треугольных и

четырехугольных пирамид плоскостями PQR

Сечение куба плоскостью1.Могут ли куб Ф и плоскость α иметь:а) только одну общую точку;б) Только две общие точки;в) только один общий отрезок;г) не иметь ни одной общей точки?2. Сколько сторон может иметь многоугольник, полученный при пересечении куба плоскостью?3. Какие виды четырехугольника могут получиться при пересечении куба плоскостью?

Построить сечение куба, проходящее

через точки М, N, L

(MNL)=α;

Точки M, L лежат в одной плоскости.

α ∩ (AA1DD1) = ML;

A

D1

B

D

C

B1

A1

M

C1N

L

1 Построить сечение куба, проходящее

через точки М, N, L

(MNL)=α;Точки M, L лежат

в одной плоскости.

α ∩ (AA1DD1) = ML;

ML ∩ (A1B1D1D1) = ML ∩ A1D1 = X1;

A

D1

B

D

C

C1B1

A1

M

X1

N

L

1 Построить сечение куба, проходящее

через точки М, N, L

(MNL)=α;Точки M, L лежат в одной плоскости.

α ∩ (AA1DD1) = ML;ML ∩ (A1B1D1D1) = ML

∩ A1D1 = X1; α ∩ (A1B1D1D1) = KN;

A

D1

B

D

C

C1B1

A1

M

X1

N

L

K

1 Построить сечение куба, проходящее

через точки М, N, L

(MNL)=α;Точки M, L лежат в одной плоскости.

α ∩ (AA1DD1) = ML;ML ∩ (A1B1D1D1) = ML

∩ A1D1 = X1; α ∩ (A1B1D1D1) = KN; α ∩ (AA1B1B) = MK;

ML ∩ (DD1C1C) == ML ∩ DD1 = X2; A

D1

B

D

C

C1B1

A1

M

X1

N

L

K

X2

Построить сечение куба, проходящее

через точки М, N, L ПОСТРОЕНИЕ:

(MNL)=α;Точки M, L лежат в одной плоскости.

α ∩ (AA1DD1) = ML;ML ∩ (A1B1D1D1) = ML ∩ A1D1 = X1; α ∩ (A1B1D1D1) =

KN; α ∩ (AA1B1B) =

MK;ML ∩ (DD1C1C) =

= ML ∩ DD1 = X2;KN ∩ (DD1C1C) =

= KN ∩ D1C1 = X3;

A

D1

B

D

C

C1

B1

A1

M

X1

N

L

K

X2

X3

Построить сечение куба, проходящее

через точки М, N, L ПОСТРОЕНИЕ:

(MNL)=α;Точки M, L лежат в одной плоскости.

α ∩ (AA1DD1) = ML;ML ∩ (A1B1D1D1) = ML ∩ A1D1 = X1; α ∩ (A1B1D1D1) =

=KN; α ∩ (AA1B1B) = MK;

ML ∩ (DD1C1C) == ML ∩ DD1 = X2;

KN ∩ (DD1C1C) == KN ∩ D1C1 = X3;α ∩ (DD1C1C) =TP;

A

D1

B

D

C

C1

B1

A1

M

X1

N

L

K

X2

X3

T

P

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L ПОСТРОЕНИЕ:

(MNL)=α;Точки M, L лежат в одной

плоскости.α ∩ (AA1DD1) = ML;ML ∩ (A1B1D1D1) =

= ML ∩ A1D1 = X1; α ∩ (A1B1D1D1) = KN; α ∩ (AA1B1B) = MK;

ML ∩ (DD1C1C) == ML ∩ DD1 = X2;

KN ∩ (DD1C1C) == KN ∩ D1C1 = X3;

α ∩ (DD1C1C) =TP;α ∩ (ABCD) =LP;

α ∩ (BB1C1C) =NT;LMKNTP-искомое сечение

MK║ TP, KN ║ LP, NT ║ ML.

A

D1

B

D

C

C1

B1

A1

M

X1

N

L

K

X2

X3

T

P

Задача 1Построить сечение через заданные точки

1. Получим вспомогательные точки Х1 и Х2.

2. Соединив точки Х1 и Х2, получим точки Х3 и Х4.

3. Строим отрезки АХ3 и СХ4 (пунктиром).

4. Получим сечение NMPX4X3 A

D1

B

D

C

C1B1

A1M

N

Х3Х1

Х2

Р

Х4

Задача 2 Построить сечение через

заданные точки

AD1∩MP =X2;

MK∩А1В1=X1;

X1X2∩C1D1=X3;

X1X2∩B1C1=X3;

MPX3X4K- искомое сечение

A

D1

B

D

C

C1B1

A1

M

PK

X3

X2

X1

X4

Задача 4 Построить сечение через

заданные точкиHT ∩ DD1 = X1;X1K ∩ AD = X2;X2K ∩ AА1=X3;X2H∩AВ=X4;HTKX3X4 –

искомое сечение

A

D1

B

D

C

C1B1

A1

H

TK

X2

X1

X4

X3

1 Построить сечение параллелепипеда,

проходящее через точки М, S, F Точки M, F лежат в одной плоскости.MF ∩ DD1 = X1;

Теперь точки X1, S лежат в одной

плоскости.Соединяем их,

получим:X1S ∩ D1C1= X2; Точки M, S так же

лежат в одной плоскости.

Получим сечение MSX2F

A

D1

B

D

C

C1B1

A1

M

X1

X2F

S

2 Построить сечение параллелепипеда,

проходящее через точки R, E, G

RE ∩ DD1= X1;

X 1G ∩ D1C1= X2;

X 1G ∩ DC= X3;

X 3R ∩ BC= X4;

ERX4GX2 – искомое сечение

A

D1

B

D

C

C1B1

A1

X1

R

X3X4

G

E X2

3 Построить сечение параллелепипеда,

проходящее через точки М, V, К

A

D1

B

D

C

C1B1

A1

X3

Х1

ответ

X2

K

V

M

X5

MV ∩ B1C1= X1;X1K ∩ A1B1= =

X2 ;KX3║MV;KX3 ∩ AD= X4;DC ∩ VX4 = X5;

VMX2KX3X 5 – искомое

сечение X4

4 Построить сечение параллелепипеда,

проходящее через точки F, S, W 1. Точки F и S в одной

плоскости DD1С1C.2. Прямая FS

пересекается с прямой DC в точке Х1.

3. Точки W и Х1 лежат в одной плоскости АВСD.

4. Прямая WХ1 пересекается с прямой AD в точке Х2, с прямой ВС - Х3.

5. Получим сечение FSX 2 W X4

A

D1

B

D

C

C1B1

A1

W

F

S

X2

X1

X4

X3

В кубе АВСDА1В1С1D1

проведены диагонали так, как показано на

рисунке.Докажите:

а) В1СD1 А- тетраэдр;б) найдите

поверхность тетраэдра, если ребро равно a. A

D1

B

DC

C1

B1A1

ответ

Задачи для индивидуальной работы:1.Установите вид сечения куба плоскостью α :

а) найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см;

б) найдите площадь сечения, если диагональ грани куба равна 5см ;

в) докажите.

Задачи для индивидуальной работы:1.Установите вид сечения куба плоскостью α :

а) найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см;

б) найдите площадь сечения, если диагональ грани куба равна 5см ;

в) докажите.

Задачи для индивидуальной работы:1.Установите вид сечения куба плоскостью α :

а) найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см;

б) найдите площадь сечения, если диагональ грани куба равна 5см ;

в) докажите.

Задачи для индивидуальной работы:

Задачи для индивидуальной работы:

Задачи для индивидуальной работы:

Задачи для индивидуальной работы:

Контрольная работа по теме: «Сечения многогранников»