第九节 二次曲面

二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面 .

相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．

以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．

一、基本内容

o

z

yx

（一）椭球面

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

椭球面与三个坐标面的交线：

,

0

12

2

2

2

ycz

ax

.

0

12

2

2

2

xcz

by

,

0

12

2

2

2

zby

ax

图形有界，并且关于坐标面对称。

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化 .

椭球面与平面 的交线为椭圆kz

同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆 .

kz

kcc

b

y

kcc

a

x1

)()( 222

2

2

222

2

2

ck || 当 k由 0变到 c时 ,椭圆由大变小 ,最后缩成一点。

椭球面的几种特殊情况：

,)1( ba 12

2

2

2

2

2

cz

ay

ax 旋转椭球面

12

2

2

2

cz

ax

由椭圆 绕 轴旋转而成．z

旋转椭球面与椭球面的区别：

12

2

2

22

cz

ayx

方程可写为

与平面 的交线为圆 .kz )||( ck

,)2( cba 12

2

2

2

2

2

az

ay

ax 球面

.2222 azyx

.)( 22

2

222

kz

kcc

ayx截面上圆的方程

方程可写为

（二）抛物面

zq

yp

x

22

22

（ 与 同号）p q

椭圆抛物面

用截痕法讨论：

（ 1 ）用坐标面 与曲面相截)0( zxoy

截得一点，即坐标原点 )0,0,0(O

设 0,0 qp

原点也叫椭圆抛物面的顶点 .

图形位于 xoy 平面的上方，并关于 yoz 及 zox 坐标面对称。

与平面 的交线为椭圆 .kz

kz

qk

y

pk

x1

22

22

当 k 变动时，这种椭圆的中心都在 z 轴上 .

)0( k

与平面 z=k (k<0) 不相交 .

（ 2 ）用坐标面 与曲面相截)0( yxoz

0

22

y

pzx截得抛物线

与平面 y=k 的交线为抛物线 .

ky

q

kzpx

22

22 它的轴平行于 轴z

顶点

q

kk

2,,0

2

（ 3 ）用坐标面 ， x=k 与曲面相截)0( xyoz

均可得抛物线 .

同理当 时可类似讨论 .0,0 qp

z

xy

o

xy

z

o

椭圆抛物面的图形如下：

0,0 qp 0,0 qp

特殊地：当 时，方程变为qp

zp

yp

x

22

22

旋转抛物面)0( p

（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）

xoz pzx 22

kz

pkyx 222

与平面 z=k (k>0) 的交线为圆 .

当 k 变动时，这种圆的中心都在 z 轴上 .

zq

yp

x

22

22

（ 与 同号）p q

双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设 0,0 qp

图形如下：

x

y

z

o

（三）双曲面

单叶双曲面12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

（ 1 ）用坐标面 与曲面相截)0( zxoy

截得中心在原点 的椭圆 .)0,0,0(O

0

12

2

2

2

zby

ax

与平面 的交线为椭圆 .1zz

当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上 .

1zz

1

2

21

2

2

2

2

1

zzcz

by

ax

（ 2 ）用坐标面 与曲面相截)0( yxoz

截得中心在原点的双曲线 .

0

12

2

2

2

ycz

ax 实轴与 轴相合，

虚轴与 轴相合 .xz

1

2

21

2

2

2

2

1

yyby

cz

ax

双曲线的中心都在 轴上 .y

与平面 的交线为双曲线 .1yy )( 1 by

,)1( 221 by x实轴与 轴平行 , z虚轴与 轴平行 .

,)2( 221 by z实轴与 轴平行 , x虚轴与 轴平行 .

,)3( 1 by 截痕为一对相交于点 的直线 .)0,,0( b

,0

byc

z

a

x

.0

byc

z

a

x

,)4( 1 by

截痕为一对相交于点 的直线 .)0,,0( b

,0

byc

z

a

x.

0

byc

z

a

x

（ 3 ）用坐标面 ， 与曲面相截)0( xyoz 1xx

均可得双曲线 .

单叶双曲面图形

x

yo

z

平面 的截痕是两对相交直线 .ax

双叶双曲面12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

x

yo