расчет дифракционных...
TRANSCRIPT
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»
Л.Л. ДОСКОЛОВИЧ
РАСЧЕТ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК В РАМКАХ СТРОГОЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний
С А М А Р А Издательство СГАУ
2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 535.42 ББК 22.343 Д703
2
Инновационная образовательная программа "Развитие центра компетенции и подготовка специалистов мирового уровня в области аэро-космических и геоинформационных технологий"
ПРИО
РИТЕТНЫЕ
Н
АЦИ ОНА Л ЬНЫ
Е ПРОЕКТЫ
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, профессор В.В. Ивахник,
д-р физ.-мат. наук, профессор И.П Завершинский. Досколович Л.Л.
Д703 Расчет дифракционных решеток в рамках строгой электромаг-нитной теории: учеб.пособие / Л.Л.Досколович. – Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007. – 80 с.: 30 ил. ISBN 978-5-7883-0607-0
Рассмотрены методы решения прямых и обратных задач дифракции на одномерных и двумерных дифракционных решетках в рамках электромаг-нитной теории. Прямые задачи состоят в расчете отраженного (прошедшего) поля, возникающего при дифракции света на рельефе дифракционной ре-шетки. Обратные задачи состоят в расчете профиля периода решетки из ус-ловия формирования заданной интенсивности порядков дифракции. Методы применимы к расчету многослойных покрытий и фотонных кристаллов. Предназначено для студентов специальностей и направлений «Прикладные математика и физика», «Прикладные математика и информатика».
УДК 535.42 ББК 22.343
ISBN 978-5-7883-0607-0 © Досколович Л.Л., 2007 © Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...................................................................................................................................4 1. Дифракция на идеально проводящих решетках со ступенчатым профилем .................5
1.1. ТЕ-поляризация .......................................................................................................7 1.2. ТМ-поляризация ......................................................................................................9
2. Дифракция на идеально отражающих решетках с непрерывным профилем (приближение Рэлея).......................................................................................................13
3. Дифракция на диэлектрических дифракционных решетках.........................................16 3.1. Дифракция на диэлектрических решетках с непрерывным профилем
(ТM-поляризация) ..................................................................................................17 3.2. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках (ТM-поляризация) ........22 3.3. Дифракция на диэлектрических решетках с непрерывным профилем
(ТЕ-поляризация) ...................................................................................................25 3.4. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках (ТЕ-поляризация) ........27 3.5. Примеры расчета решеток....................................................................................29
4. Градиентные методы решения обратной задачи расчета дифракционных решеток ...32 4.1. Расчет отражающих решеток со ступенчатым профилем .................................32 4.2. Расчет диэлектрических бинарных решеток.......................................................35 4.3. Расчет идеально проводящих решеток с непрерывным профилем
в приближении Рэлея.............................................................................................47 5. Дифракция на двумерных диэлектрических решетках ..................................................53
5.1. Дифракция на бинарных дифракционных решетках..........................................63 5.2. Синтез субволновых антиотражающих покрытий .............................................67 5.3. Расчет поля от линзовых растров ........................................................................72
Заключение ............................................................................................................................76 Список контрольных вопросов ............................................................................................77 Список специальных терминов ............................................................................................78 Библиографический список ..................................................................................................79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
ВВЕДЕНИЕ Дифракционные решетки как прибор для пространственно-частотного
разделения компонент спектра оптического сигнала являются важными ком-понентами большого числа оптических систем. Если характерные размеры ступенек микрорельефа дифракционной решетки, на которых происходит ди-фракция света, сравнимы с длиной волны, то скалярное приближение не по-зволяет адекватно описать процесс дифракции. В этом случае требуется ис-пользовать общую электромагнитную теорию света, основанную на уравнени-ях Максвелла. В пособии приведены решения ряда прямых и обратных задач дифракции на одномерных и двумерных дифракционных решетках в рамках электромагнитной теории. В разделе 1 рассматривается дифракция плоской волны на одномерной идеально отражающей дифракционной решетке, период которой представляет собой набор прямоугольных ступенек различной глуби-ны. Эта задача включает в себя задачу дифракции на одномерной бинарной решетке. В разделе 2 рассматривается задача дифракции на одномерной отра-жающей решетке с непрерывным профилем в приближении Рэлея. Приближе-ние Рэлея представляет собой вариант использования строгой теории дифрак-ции и приближенных граничных условий. В разделе 3 рассматривается задача дифракции на одномерных диэлектрических решетках с непрерывным и би-нарным рельефом. Для решения задачи дифракции использован удобный мат-ричный формализм. В разделе 4 рассматриваются методы решения обратных задач расчета одномерных дифракционных решеток. Обратные задачи состоят в расчете профиля решеток из условия формирования заданных интенсивно-стей дифракционных порядков. Методы решения обратных задач основаны на минимизации функционалов-критериев с помощью градиентных методов. Ме-тоды раздела 4 обобщают итерационные алгоритмы расчета дифракционных решеток, разработанные в рамках скалярной теории дифракции. В разделе 5 рассматриваются задачи дифракции на двумерных диэлектрических дифракци-онных решетках. С использованием представленных методов произведен синтез двумерных антиотражающих покрытий и исследована работоспособность бинар-ных линзовых растров с размерами линз всего в несколько длин волн.
Рассмотренные в пособии методы решения прямых и обратных задач ди-фракции на дифракционных решетках непосредственно применимы к расчету многослойных покрытий, фотонных кристаллов, композитных структур. Ма-териал пособия также является дополнением к созданному в рамках ПРОГРАММЫ программному обеспечению Grating для расчета и моделиро-вания дифракционных решёток.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. ДИФРАКЦИЯ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ РЕШЕТКАХ СО СТУПЕНЧАТЫМ ПРОФИЛЕМ
Рассмотрим дифракционную решетку, изготовленную из абсолютно про-
водящего материала и имеющую K прямоугольных штрихов на периоде d (рис. 1). Положение l-го штриха определяется координатой xl начала штриха, шириной штриха cl и глубиной штриха hl. Предположим, что дифракционная решетка освещается плоской монохроматической волной с единичной ампли-тудой и волновым вектором
( ) (
5
)( )sin , cos , 0θ − θ
( )22 2 20 0/ 2π/k c= ω = λ
0 0k= εk ,
где , λ0 — длина волны, ε - диэлектрическая проницае-мость среды, θ - угол падения (рис. 1).
Рис. 1. Дифракционная решетка со ступенчатым профилем
( ),xВ среде с диэлектрической проницаемостью yε и магнитной прони-цаемостью равной единице поле описывается следующими базовыми уравне-ниями [1]:
( ) ( ) ( )( )
0
0
, , , ,, , .
ik x y x y zx y z
− εH EE H( )
, ,, ,
rot x y zrot x y z ik
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
(1)
Поскольку свойства среды не зависят от переменной z, то электрическое и магнитное поля имеют вид
( ) ( ), , , ( , ), , ( , )x y z x yE E x y z x y= =H H
0x y y x z
. (2) Подставляя (2) в (1), получим
0 0, ,y z x x z yH ik E H ik E∂ = − ε − ∂ = − ε ∂ H H ik E− ∂ = − ε
0x y y x zE E ik H∂ − ∂ =
,
0 0, ,y z x x z yE ik H E ik H∂ = − ∂ = , (3)
∂где x x∂ =
∂. Используя (3), представим компоненты поля Ex, Ey, Hx, Hy через
компоненты Ez, Hz в виде
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6
0 0
1 1, ,x y z y x zE H E Hik
= ∂ε εik
−= ∂
0 0
1 1,x y z y x zE H Eik ik
−= ∂ = ∂H , (4)
где компоненты Ez, Hz удовлетворяют уравнениям Гельмгольца 2 2 2
2 2 0,z zE Ek E
x y∂ ∂ ∂ 2
2 20 02 2 0.z z
z zH H
k Hx y
∂+ + ε =
∂ ∂ ∂ (5) + + ε =
∂
0, 0z zH
Задача дифракции плоской волны на одномерной дифракционной решетке сводится к рассмотрению двух независимых задач: задачи дифракции плоской волны с ТЕ-поляризацией ( E ≠ =
0, 0z zH E≠ =
0tE =
tE
~ 00
x y z
z
E HE
) и задачи дифракции плоской волны с ТМ-поляризацией ( ) [1]. При этом плоская волна с произволь-ной ориентацией вектора поляризации может быть представлена в виде линей-ной суперпозиции волн этих двух типов. Уравнения Гельмгольца (5) должны быть дополнены граничными условиями. Граничное условие на поверхности абсолютного проводника имеет вид
, (6) где — тангенциальная составляющая электрического поля. Условие (6), с учетом (4), принимает вид
∂ =⎧⎨ =⎩
0~ 0
z
y x z
EE H
=⎧⎪⎨
(7)
для горизонтальных участков профиля решетки и
(8) ∂ =⎪⎩
для вертикальных участков профиля решетки. Кроме того, компоненты электрического поля должны быть непрерывны
при y=0. Граничные условия (7), (8) должны быть дополнены условием непре-рывности тангенциальных компонент Hx, Hz магнитного поля при y=0 в облас-ти штрихов, то есть при , 1,i i ix x x c i K≤ ≤ + = [1-6]. Компоненты магнитного поля при y=0 между штрихами, в отличие от компонентов электрического по-ля, терпят разрыв, равный плотности поверхностного тока.
Рассмотрим решение задачи дифракции c использованием так называемого модового метода [1-6]. Метод основан на сшивке при y = 0 тангенциальных компонент двух полей. Первое поле является решением уравнения Гельмголь-ца внутри штрихов при , 0, 1,i ii ix x x c≤ ≤ + h y i K− ≤ < = , а второе – решени-ем уравнения Гельмгольца в области над штрихами при y>0.
Поле в области над штрихами представляется в виде разложения Рэлея:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) ( )( )
7
( )( )0expn n nik x yε α + β0 0 0, expn
u x y ik x y R∞
=−∞
= ε α − β + ∑ , (9)
где Rn — коэффициенты отражения дифракционных порядков (рис. 1),
( ) 0ndλ
+ε
21n nsinnα = θ , = − α . (10) β
Скалярная функция u(x,y) в (9) соответствует компоненте Еz(x,y) для слу-чая ТЕ-поляризации и компоненте Hz (x,y) для случая ТМ-поляризации. Разло-жение Рэлея (9) является решением уравнения Гельмгольца (5), представлен-ным в виде суперпозиции плоских волн (порядков дифракции). Отметим, что разложение (9) содержит однородные плоские волны ( )2 1nα <
( )2 1nα >
и неоднородные
плоские волны , экспоненциально-затухающие при удалении от по-
верхности дифракционной решетки. Слагаемое ( )0n dλ ε в (10) вытекает из теоремы Флоке и характеризует наличие постоянного фазового сдвига между соседними периодами решетки.
Решение задачи дифракции состоит в определении коэффициентов отра-жения Rn из граничных условий при y =0. Представление для компонент поля внутри штрихов решетки различно для случаев ТЕ и ТМ-поляризации.
1.1. ТЕ-поляризация
(Для ТЕ-поляризации электрическое поле ),lzE x y
20 0l l
z zE k EΔ + ε =
внутри l-го штриха удовлетворяет уравнению Гельмгольца
(11)
( )( ),
, 0l
lz x y C
E x y∈
= , (12) с граничным условием
[ ], ,0l lx x y h= ∈ − , где Cl — контур штриха, состоящий из трех отрезков
,l lx c= + [ ] [ ], , l lx x cx ,0ly h∈ − и l ly h x= − ∈ + .
Условие (12) является конкретизацией условий (7), (8). Используя метод раз-деления переменных для решения уравнения Гельмгольца, получим поле внутри l-го штриха в виде следующего разложения по ортогональным функциям:
( ) ( ) ( )( )sinl ln lx x y h⎛ ⎞
μ +⎜ ⎟⎝ ⎠1
π, sinl lz n
n l
nE x y Bc
∞
=
= −∑ , (13)
где 2
0π ,
l
nk k kc
⎛ ⎞2 2lnμ = − = ε⎜ ⎟
⎝ ⎠. (14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8
nR lnB
Дальнейшее решение задачи дифракции сводится к нахождению коэффи-циентов и из граничных условий при y=0. Запишем условие непрерыв-ности z-компоненты электрического поля ( ),zE x y при y = 0:
( ) ( )
( ) ( )sin ,n l ln lB x x h⎛ ⎞
= − μ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
0
1 1
exp exp
/ 2 πrect sin
n nn
Kll l
l nl l
ik x R ik x
x x c nc c
∞
=−∞
∞
= =
α + α =
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
∑ ∑ (15)
1, 0,5rect
0, 0,5x
xx
⎧ ≤⎪= ⎨ >⎪⎩
( ) , ,pik x p− α = −∞ ∞
где .
Заменим уравнение (15) условием равенства коэффициентов Фурье в раз-ложении правой и левой частей данного уравнения. Для этого умножим (15) на
и проинтегрируем по периоду. В результате получим следующую систему линейных уравнений: exp
( )1 1
K
pl n
R p∞
= =
+ δ = ∑∑ , ,l lpn nAA B p = −∞ ∞
( )1, 00, 0
pp
p=⎧
δ = ⎨ ≠⎩
, (16)
где ,
( ) ( ) ( )exp dpl
m i⎛ ⎞
0
sin πexp sinlkc
lm llpm p l
hAA ik x
kd kcμ
= − α ξ − α⎜ ⎟⎝ ⎠
( )nR=
∫ ξ ξ . (17)
Система линейных уравнений (16) содержит две последовательности ко-эффициентов и ( )R l
nB=B
~
. Для того, чтобы найти второе уравнение
связи между наборами коэффициентов R и B, воспользуемся условием непре-рывности для тангенциальных составляющих магнитного поля. Тангенциаль-ная составляющая магнитного поля Hx y zE∂ должна быть непрерывной при
y=0 в области штрихов, то есть при , 1,l l lx x x c l K≤ ≤ + =
~
. Условие непре-
рывности x y zH E∂ при y=0 имеет вид
( ) ( )
( ) ( )
exp i
cos
n n n
l lm l
R k x
x h
∞0 0
1
exp
πsin
n
lm lm
m l
ik ik x ik
mB xc
∞
=−
∞
=
− β α + β α =
⎛ ⎞− μ⎜ ⎟
⎝ ⎠= μ
∑
∑ (18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )( )/ ,l lx csin πm x −
9
при ,l l l 1,x x x c l K≤ ≤ + = ,m = −∞ ∞ . Умножая (18) на
и интегрируя по x на отрезке [ ],l l lx x c+ , получим выражение для коэффици-ентов разложения внутри l-го штриха в виде:
( ) ( )( ) ln n mnR n DD= β − δ
2cos
lm
nlm lm l
ikBh
∞
=−∞μ μ ∑ , (19)
где
( ) ( )exp i d .nl l
m⎛ ⎞
0
1 πexp i sinlkc
lmn n lDD k x
kc kc= α ξ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ α ξ ξ (20)
Подставляя (19), (20) в (16), получим систему линейных уравнений для на-хождения коэффициентов Рэлея:
, ,s pR D p⋅ = = −∞ ∞
( )ps s ps
pss
AA∞
=−∞∑ , (21)
AA M p s= β − δ − , (22) где
( ) ( )*ln l l lns np
ln
hDD DD
μμ
( )0 0p pD M p= β + δ
1 1
2 K
ps ll n
tgikM cd
∞
= =
= ∑∑ , (23)
. (24) При расчете система бесконечного числа линейных уравнений (21) заме-
няется конечной системой из 2N + 1 уравнений: ⋅ =AA R D , (25)
( ) ( ) ( ), ,N N Nps NAA R= =AA R p N p ND− − −=Dгде . (26)
При этом ряды в (19) заменяются суммами из , 1,ln l K=
( ),lz
членов. Эта замена предполагает, что для представления поля внутри l-го штриха достаточно nl членов.
1.2. ТМ-поляризация
Решение для случая ТM-поляризации во многом аналогично рассмотрен-ному решению для ТЕ-поляризации. Внутри l-го штриха решетки магнитное поле H x y удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
200,l l
z zH k k= = ε
( )
H kΔ + (27) с граничным условием
( ),
,0
l
lz
x y C
H x y
∈
=∂n
∂, (28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где n — вектор нормали к контуру штриха Cl. Условие (28) являются следствием общих граничных условий (7), (8). Используя метод разделения переменных для уравнения Гельмгольца (27), получим ( ),l
zH x y в виде следующего ряда:
( ) ( ) ( )( )cosl ln l1
π, cosl lz n
n l
nH x y B xc
∞
=
= −∑ x y h⎛ ⎞
μ +⎜ ⎟⎝ ⎠
nR lnB
( ),z
, (29)
где коэффициенты μln определены в уравнении (14). Для нахождения коэффициентов и воспользуемся граничными ус-
ловиями при y = 0. Условие непрерывности z-компоненты магнитного поля H x y при y = 0 в области штрихов решетки дает следующее функциональ-
ное уравнение:
( ) ( ) ( ) ( )cosl ln ln x x h
⎛ ⎞− μ⎜ ⎟
⎝ ⎠
l l
01
πexp exp cosln n n
n n l
ik x R ik x Bc
∞ ∞
=−∞ =
α + α =∑ ∑ , (30)
lx x x c≤ ≤ + 1,l K=
~
где и . Граничное условие для тангенциальной состав-
ляющей электрического поля x y zE H∂ требует при y = 0 равенства нулю про-
изводной y zH∂ на горизонтальных участках профиля и непрерывности произ-
водной
10
y zH∂ l l l в области штрихов (при x x x c≤ ≤ + , 1,l K=
nR lnB
)
). Данные условия
дают второе функциональное уравнение для коэффициентов и в виде
( ) (
( ) ( )sin .l lm lB x x h
=
⎛ ⎞− μ⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 0
1 1
exp exp
/ 2 πRect cos
n n nn
Kll lm lm
l ml l
ik ik x ik R ik x
x x c mc c
∞
=−∞
∞
= =
− β α + β α
⎛ ⎞− −= − μ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∑ ∑ (31)
( )( )cos πm x / , ,l lx c m−Умножая (30) на = −∞ ∞
[ и интегрируя по x на от-
резке ],l l lx x c+ , получаем следующее уравнение для коэффициентов разло-
жения внутри l-го штриха:
( ) ( )( )l ln mnR n DD
∞
=−∞
+ δ∑2cosm
nlm l
Bh
=μ
, (32)
( )где ( )π exp dnl l
m ikc
⎛ ⎞
0
1 exp coslkc
lmn n lDD ik x
kc= α ξ α⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ξ ξ . (33)
Далее заменим уравнение (31) условием равенства коэффициентов Фурье для правой и левой частей. В результате получим следующую систему линей-ных уравнений:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11
,l lm pmB AA p( )0
1 1
K
p pl m
p R i∞
= =
−β δ + β = ∑∑ = − ∞ ∞ , (34)
( ) ( ) ( )π exp dpl
m ikc
⎛ ⎞
0
sinexp cos
lkclm ll lm
pm p l
hAA ik x
kd kμ μ⎛ ⎞= − α ξ − α⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )ps p
⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ξ ξ . (35)
Подставляя (32), (33) в (34), получим систему линейных уравнений отно-сительно коэффициентов Рэлея в виде (21), (25), где
psAA M p s= − β δ − , (36)
( ) ( )*l lln l ns nph DD DD= μ
( )0 0p pD M p= − − β δ
1 1
2 tgK
lps
l n ln
ckiMd
∞
= = μ∑ ∑ , (37)
. (38) В скалярном приближении Кирхгофа интенсивности дифракционных по-
рядков определяются как квадраты модулей коэффициентов Фурье 2nc функ-
ции ( )(i xϕ )exp ( )x, где функция ϕ описывает набег фазы, формирующийся при отражении плоской волны от профиля решетки. Введем понятие интен-сивности порядка для отражающей решетки в рамках электромагнитной тео-рии. Рассмотрим область D, ограниченную снизу профилем решетки, сверху отрезком прямой x = p, p > 0, справа и слева – отрезками прямых x = 0, x = d. Используя закон сохранения энергии, приравняем к нулю поток вектора Умо-ва—Пойнтинга ( ) *8π Re ,c ⎡ ⎤= ⎣ ⎦S E H через область D [1]. В результате полу-чим следующее условие нормировки [1]:
20 n n
n U
R∈∑β = β , (39)
где { }2 1nU n= α <
nβ
— множество индексов, соответствующих распростра-няющимся отраженным плоским волнам (порядкам дифракции) в (9). Величи-ны определены в (16) и равны косинусам углов между осью Oy и направ-лениями отраженных порядков. Уравнение (39) имеет ясную физическую ин-терпретацию: энергия падающей волны равна сумме энергий отраженных по-рядков. Согласно (39), под интенсивностями порядков следует понимать сле-дующие нормированные значения коэффициентов Рэлея:
2n nI R
0
, 1 .nn
n UI
∈
β ⎛ ⎞= =⎜ ⎟β ⎝ ⎠∑ (40)
Пример 1. Рассмотрим работу простейшей бинарной решетки с одним штри-хом длины d/2 на периоде d. На рис. 2 приведены зависимости интенсивно-стей 0-го и –1-го порядков от глубины штриха h. Интенсивности порядков
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12
2 sm d⋅λ = − ⋅
рассчитывались по формулам (25), (36) — (38) при d=λ и угле падения θ = 30° для случая ТМ-поляризации. Отметим, что при указанных пара-метрах выполняется условие Брэгга [1,4] при m = –1. В этом случае существуют только 0-й и –1-й распространяющиеся порядки. При этом направление распространения –1-го порядка противоположно направлению па-дающей волны. Все остальные по-рядки соответствуют неоднород-ным волнам
( )in θ
( )2 1nα >
h ≈
, экспоненци-ально затухающим при удалении от поверхности решетки. Рис. 2 пока-зывает следующие интересные мо-менты в работе бинарной решетки. Во-первых, при глубинах штриха
0,1λ, 0,42λ, 0,57λ и 0,93λ энер-гия делится пополам между 0-м и –1-м порядками, то есть решетка работает как делитель пучка. Во-вторых, при глубинах штриха 0,22λ и 0,72λ энергия падающей волны концентрируется в –1-м порядке, т.е. при данных глубинах решетку можно использовать как дефлектор (отклонитель) пучка. По общему виду графиков на рис. 2 можно предположить, что интенсивности 0-го и –1-го порядков меняются периодически. На рис. 3 приведена зависимость интенсивностей порядков би-нарной решетки от глубины штриха для ТЕ-поляризации. Для ТЕ-поляризации бинарная решетка не обладает свойством концентрировать излучение в –1-ом порядке. Как делитель пучка решетка работает при глубине штриха 0,55λ.
1
I-1
I0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
h/λ0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 2. Зависимость интенсивностей –1-го
( ) ( )1I− и 0-го 0I порядков бинарной решетки от высоты штриха для ТМ-
поляризации при d = λ, θ= 30°
I-1
I0
h ≈
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
h/λ0,6 0,80,2 0,4
1
Рис. 3. Зависимость интенсивностей –1-го
( ) ( )1I− и 0-го 0I порядков бинарной решетки от высоты штриха для ТЕ-поляризации при d = λ, θ = 30°
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. ДИФРАКЦИЯ НА ИДЕАЛЬНО ОТРАЖАЮЩИХ РЕШЕТКАХ С НЕПРЕРЫВНЫМ ПРОФИЛЕМ (ПРИБЛИЖЕНИЕ РЭЛЕЯ)
13
( )( )0max
x d
Рассмотрим решение задачи дифракции на идеально отражающей дифрак-ционной решетке (период d) с непрерывным профилем y=f (x) в приближении Релея [1,5,6]. Согласно (9), поле над профилем дифракционной решетки при y a f x
≤ ≤> =
( )
представляется в виде разложения Рэлея. Из этого не сле-
дует, что при y < a поле также описывается разложением Рэлея. Однако при не-глубоком и гладком профиле f (x) эту гипотезу можно считать оправданной. Приближение Рэлея предполагает, что разложение (9) описывает поле не только над решеткой при y > a, но и внутри решетки при y < a. Напомним, что скаляр-ная функция u (x,y) в (9) соответствует компоненте Ez электрического поля для ТЕ-поляризации или компоненте Hz магнитного поля для ТМ-поляризации.
Для расчета коэффициентов Рэлея Rn в (9) достаточно воспользоваться граничным условием (6) при y=f (x). Согласно (6), поле (9) должно удовлетво-рять граничному условию
( ), 0
y f xu x y
== (41)
для ТЕ-поляризации и граничному условию
( )( )
d ,0
dy f x
u x y
=
=n
) ) ( )( )0exp 2ik f x= − − β
, ,n pR B p⋅ = = −∞ ∞
( ) ( )( )0n
(42)
для ТМ-поляризации, где n — единичный вектор нормали к профилю решетки. Подставляя (9) в (41), получаем в случае ТЕ-поляризации для расчета ко-
эффициентов Rn следующее уравнение:
( ) ( ) (( )( 0 0expn n nn
R ik x f x∞
=−∞
α − α + β − β∑ . (43)
Заменяя (43) условием равенства коэффициентов Фурье в разложении пра-вой и левой частей, получим для расчета Rn следующую систему линейных уравнений:
pnn
AA∞
=−∞∑ , (44)
( )2π
0
exppnAA i n= ξ −∫ p i H d+ β − β ξ ξ
( )( )02 dB i H ip
где , (45)
2π
0
expp = − − β ξ − ξ ξ∫ , (46)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14
( )2π
dH kf ξ⎛ ⎞ξ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
(47)
— нормированная высота. Проводя аналогичные вычисления, несложно получить в случае ТМ-поляриза-
ции для расчета коэффициентов Rn систему линейных уравнений вида (44), где
( ) ( )2π
0
exppn n nAA H i n pdλ⎛ ⎞′ ( ) ( )( )0 dni H= β − α ξ ξ −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ + β − β ξ ξ , (48)
( )2π
0 00
exppB Hdλ⎛ ⎞′= β + α ξ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ( )( )02 di H ip− β ξ − ξ ξ
⋅ =AA R B( )
. (49)
На практике для расчета коэффициентов Rn используется конечная система из 2N+1 уравнений:
, (50)
( ) ( ), ,N N Npn NAA= =AA R n N n NR B− − −=B
d >> λ
где .
При приближении Рэлея переходит в приближение Фраунгофера. Действительно, при ( )0 0n ( ) ( )d >> λ β − β ≈ и 0d H ′λ ξ ≈
2π
. В этом случае
матрица АА в (50) становится диагональной ( =AA ) и коэффициенты Рэлея будут пропорциональны коэффициентам Фурье в разложении функции
, где функция
E
( ))x(exp iϕ
( ) ( )02 / 2πx k f xdϕ = − β ⋅ (51) описывает набег фазы, формируемый при отражении плоской волны от решет-ки с высотой ( )2πf xd
( ) ( )1
0
. Интересно отметить, что приближение Фраунгофера
соответствует выбору первого члена в асимптотическом разложении для ко-эффициентов Рэлея. Действительно, используя матричное разложение
j
j
∞−
=
+ = −∑E C C ,
представим коэффициенты Рэлея в виде
( )
( )
1 12π
12π
−
∞
= ⋅ =
= − ⋅
R AA B E
AA B ( )
11
1 10 1
,j k
j j
−
∞
= =
+ =
= ± − − ⋅∑ ∑
AA B
F AA F
1AA
/ 2π, ,/ 2π 1, .
pn
pn
(52)
где F — вектор коэффициентов Фурье, а — матрица с элементами
A1 pn
A p nAA
AA p n≠⎧⎪= ⎨
⎪⎩ − = (53)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 2. Для оценки точности приближения Рэлея рассмотрим работу коси-нусоидальной решетки с профилем
( )
15
2πcos2h xf x
d⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
. (54)
Для характеристики точности приближения Рэлея введем относительную ошибку ( )
( ) ( )
Int Reln n
Intn
In
h I h
I h
−hε = , (55)
( ) (где h — амплитуда профиля, ),Int Reln nI h I h
ε-1
— интенсивности n-го порядка, рассчитанные точным интегральным методом [1,5,6] и в приближении Рэлея
по формулам (44) — (47). На рис. 4 приведены
графики относительной ошибки для интенсивно-стей 0-го и –1-го порядков в зависимости от норми-рованной амплитуды про-филя h/λ при периоде d=λ и угле падения θ = 30° для ТЕ-поляризации. Из рис. 4 видно, что приближение Рэлея дает ошибку менее 10% при h < 0,325λ. При-веденный пример показы-вает, что приближение Рэлея применимо при глад-ких неглубоких профилях (h < d/3), даже при перио-дах близких к длине волны.
ε0
0
10
20
n
h/λ0,25 0,30,2 0,35
5
15
25
Рис. 4. Ошибка приближения Рэлея для интенсивностей –1-го ( )( ) ( )( )1 h−ε и 0-го 0 hε порядков косинусоидальной решетки в зависимости от амплитуды для ТЕ-поляризации при d = λ, θ = 30°
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. ДИФРАКЦИЯ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТКАХ
16
( ) )Рассмотрим дифракцию плоской волны с волновым вектором
( )( 0 0s ,0 , k k− θ = εsin , cok= θk на диэлектрической решетке с профилем y = f (x) и периодом d. Геометрия задачи дифракции приведена на рис. 5, где Rn и Tn — коэффициенты отражения и пропускания дифракционных порядков. Для приведенной геометрии задачи имеются три зоны с различной диэлектри-ческой проницаемостью ε. Зона 1 соответствует области над решеткой при y > a, где a — максимальная высота профиля решетки. Зона 2 соответствует зоне профиля решетки 0 < y < a. Зона 3 соответствует области подложки y<0. В зонах 1 и 3 диэлектрическая проницаемость постоянна. Без ограничения общности будем считать, что в первой зоне ε = 1, а в третьей зоне ε > 1. Во второй зоне – зоне модуляции, диэлектрическая проницаемость является функцией ε = ε (x,y).
y=f(x)
y k
aθ
Tn
b0
Rn
d
2
1
3 ε>1
ε ε= (x,y)x
ε=1
0,z ≠0zH = 0, 0z zH E
Рис. 5. Геометрия задачи дифракции на диэлектрической решетке
Как и в пункте 1, достаточно рассмотреть две независимых задачи ди-фракции; задачу дифракции плоской волны с ТЕ-поляризацией ( E
) и задачу дифракции плоской волны с ТМ-поляризацией ( ≠ =
( )( )0expn n nik x yα + β
). В зонах 1 и 3 z-компоненты полей являются решениями уравнений Гельмголь-ца (5). Решения уравнений Гельмгольца могут быть представлены в виде раз-ложений Рэлея (суперпозиций плоских волн). В зоне 1 z-компоненты полей имеют вид
( ) ( )( )0 0 0, expn
u x y ik x y R∞
=−∞
= α − β + ∑ , (56)
( ) 20 , 1 .n nndλ
+sinnα = θ β = − α (57) где
Как и ранее, функция u (x,y) представляет компоненту Еz (x,y) электриче-ского поля для случая ТЕ-поляризации и компоненту Hz (x,y) магнитного поля для случая ТМ-поляризации. В зоне 3 z-компоненты имеют вид
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17
( )( )0, expn n nik x y= α − β%( )n
u x y T∞
=−∞∑ , (58)
где 2n nβ = ε − α%
2 0u k uΔ + =2 2
0k k= 2 20k k= ε
( ) ( )
. (59) Разложения Рэлея (56), (58) являются решениями уравнения Гельмгольца
(60) при и , соответственно.
3.1. Дифракция на диэлектрических решетках с непрерывным профилем (ТM-поляризация)
В зоне модуляции поле описывается системой дифференциальных уравне-
ний, различных для случаев ТЕ- и ТМ-поляризаций. Для TM-поляризации
( )( ), 0,0, ,zx y H x y=H уравнения (1) примут вид
( ) ( ) ( )( ) ( )
0
0
, , , ,
, , , ,
, 0,
x
y
( )( )( ) ( ) ( )0
, 0,
, 0,
, , , .
z y
z x
x y y x z
E x y
E x y
E x y E x y ik H x y
∂ =
∂ −∂ = −
∂ = (61) ( )( )
y z
x z
z
H x y ik x y E x y
H x y
E x y =
ik x y E x y
∂ = − ε
∂ = ε
Из первых двух уравнений в (61) получим:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
1 1, , ., , x zH x y
x y= ∂
ε ε, , ,x y z yE x y H x y E x y
ik x y ik−
= ∂ (62)
Подставляя (62) в последнее уравнение в (61), будем иметь:
( )( )
( )( ) ( )
,, 0z
z
x yH x y
y⎛ ⎞
2 20 0
,1 1, ,
zH x y Hx x yk x y k x y
⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂+ + =⎟⎟∂⎝ ⎠
( )
⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ε ε⎝ ⎠. (63)
Для дальнейших выкладок удобно ввести функцию: ( )( ) 2
0
,1,
zH,x
x yyk x y
∂∂ε
( ),xE x y%
E x y =% . (64)
Введение функции (64) оказывается удобным, поскольку, согласно (62), функция пропорциональна второй тангенциальной компоненте поля Ex(x,y) на границах зоны модуляции y=0, y=a. Представим (63) в виде системы из 2-х уравнений:
( ) ( )
( ) ( ) ( ), ,
, .zz
H x y
2
2
,, ,
1
zH x yk E x y
y
E x yH x y
x⎛ ⎞
−⎜ ⎟∂⎝ ⎠y x k
⎧∂=⎪ ∂⎪
⎨∂ ∂∂⎪ = −⎪ ∂ ∂⎩
%
% (65)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18
( , )zH x y)
является квазипериодической [1,5-9]: Функция ( ) ( ) ( ( )0 0 0p , sink x= α α = θ
(, , exzH x y v x y i , (66)
)где ,x yν ( — периодическая по x функция с периодом d. Разлагая )x, yν
( ,z
в ряд Фурье по переменной x, представим H )x y
)0 0 0, /m m
в виде
( ) ( ) (, expz mm
H x y H y ik x m d=−∞
= α α = α + λ∑( ),xE x y%
( ) ( )0, expx m mE y ik x∞
= α% %
∞
. (67)
Функция также является квазипериодической:
( )m
E x y∞
=−∑ . (68)
( ),xE x y% ( , )z, HВ дальнейшем будем считать, что функции x y в зоне мо-дуляции могут быть аппроксимированы отрезками своих рядов (57), (58) с 2N+1 членами.
( ) ( )20k x y k= ⋅Функции 2, ,x yε ( ) и 21/ ,k x y
( ) ( )
являются периодическими по x с периодом d:
( )
( )( ) ( )
12
2 ,
nn
nn
k x y c
k x y
∞
=−∞
∞
=−∞
=
=
∑
∑ 2
2π, exp ,
1 2πexp .
y i nxd
c y i nxd
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(69)
Подставим разложения (67) — (69) в систему (65) и, при учете 2N+1 чле-нов разложений, получим:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
0 0
20
0 0
dexp exp
dd 2πexp exp
d
exp exp
N Nm
m l lm N l N n
Nm
m nm N n
N N
l l l ml N m N
H yik x E y ik x
E yik x c y i n
y x
ik H y ik x H y ik
∞
=− =− =−∞
∞
=− =−∞
=− =−
α = α ⋅
∂ ⎛α = − ⎜∂ ⎝
⎞× α α −⎟
⎠
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
%
%
)
1
0
2πexp ,
.
n
m
c y i nxy d
xd
x
⎫⎛ ⎞⎪⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎪⎪⎪⎛ ⎞× ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎪⎪⎪α⎪⎭
∑
(70)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях 2exp ,i mxdπ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
,m N N= − , приведем уравнения (70) к системе 4N+2 дифференциальных уравнений, не зависящих от x:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
220
dd
dd
Np
l p ll N
Np
p l p l ll N
H yE y c y p
yE y
k c y Hy
−=−
−=−
⎧= =⎪
⎪⎨⎪ = α α −⎪⎩
∑
∑
%
%
, , ,
, , .p
N N
y H y p N N
−
= −
(71)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, в зонах 1 и 3 решения имеют вид (56) и (58), а в зоне мо-дуляции необходимо решать систему уравнений (71). Для поиска общего ре-шения системы (61) необходимо найти 4N+2 линейно-независимых частных ре-шений. При отсутствии модуляции ( ( ),x yε = ε ) система (71) принимает вид
( ) ( ) ( )
19
( ) ( ) ( ) ( )
10
22 20 0
dd
dd
pp
pp p
H yE y c p
yE y
k c H yy
⎧= =⎪
⎪⎨⎪ = α −⎪⎩
%
%
, , ,
, , ,p
N N
H y p N N
−
= −
(72)
( ) ( )1 22 20 0 0 0, 1/c k c k= ε = ε
( )
. (73) где
Базисные решения системы (72) имеют вид
( )
( ) ( )
0
0
exp
expp
H y ik
iE y
k
±
±
⎧ = ±⎪⎪⎨ β
= ± ±⎪ε⎪⎩
%
%%
0
, , ,
, , .
p p
p p
y p N N
ik y p N N
β = −
β = −% (74)
Для согласования решения в зоне модуляции с решением (74) в зоне 3, граничные условия для системы (71) определим в виде
( )( ) ( )0
, , ,
0 , , , ,
j N N
k m j N N
= −
ε = −
1, 0,0, 0.m
mm
=⎧⎨ ≠⎩
( )( )
( )( )
0 0,..., .
0 0N N
N N
− −
− −
⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
H HE E% %
( )
0 ,mj m j
mj m m j
H m
E i−
−
⎧ = δ⎪⎨
= β δ⎪⎩
m
m %% m (75)
где δ =
Для удобства выкладок введем 4N + 2 объединённых векторов начальных условий вида
( )( )
( )( )
0 0,..., ,
0 0N N
N N
+ +− −+ +− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
H HE E% %
(76)
Обозначим , 1, 4 2i y i NΨ = +
( )( )
... , ,N N
N N
y yy y
− −
− −
⎛ ⎞⎛ ⎞Ψ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠⎝ ⎠
%
вектора функций:
( )( )
( )( )
( )( )
, ... , , ,N N
N N
y yy y
+ +−+ +− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ Ψ Ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ψ Ψ Ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠% % %
(77)
являющихся решениями системы (71) с граничными условиями (76). При этом общее решение системы принимает вид
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) ( )N N
m j mjj N j N
( ), , ,j mjH y C y− −
=− =−
= Ψ +∑ ∑ C y m N N+ +Ψ = − (78)
( ) ( )N N
m j mjj N j N
E y C y C− −
=− =−
= Ψ +∑ ∑% % ( ), , .j mj y m N N+ +Ψ = −%
( ),z
(79)
Для определения коэффициентов пропускания Tn и отражения Rn в уравне-ниях (56), (58) воспользуемся условиями непрерывности функций H x y
( ),xE x y%
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
exp
0 0 exp
n n
nj n
ik x
ik x+
α =
⎛ ⎞Ψ α =⎟
⎝ ⎠
,
на границах зоны модуляции при y=0 и при y=a. Условия непрерывности при y=0 дают следующие функциональные уравнения:
( )
( )
( ) ( )0
exp 0
exp ,
N N
n nn N n N
N N N
j nj jn N j N j N
N
n n nn N
T ik x H
C C
C C ik x
=− =−
− − +
=− =− =−
− +
=−
α =
= Ψ +⎜
= + α
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑
(80)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
00
exp
exp .
N N
n n nn N n N
N N N
j nj j njn N j N j N
Nn
n n nn N
i T ik xk
C C
iC C ik x
k
=− =−
− − + +
=− =− =−
+ −
=−
− 0 0
0
0 exp
0 0 exp
n n
n
E ik x
ik x
β α =ε
= Ψ +⎜
β= −
ε
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑
%
% %
%
α =
⎛ ⎞Ψ α =⎟
⎝ ⎠
α
%
(81)
20
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях 2exp ,i pxdπ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
,p N N= − , получим:
,p p p pT C C T− += + − = , ,p pC C p N N− +− + = − . (82) Решение системы линейных уравнений (82) имеет вид:
, 0, ,pC p N N− += = = −p pT C . (83) Согласно (83), поле в зоне модуляции имеет вид:
( ) ( )( ) ( )
N Nm mj
j jj N j Nm mj
H y yC T
E y y−
=− =−
⎛ ⎞Ψ Ψ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ψ Ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑%( )
, ,( )
mj
mj
ym N N
y
− −
− −
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠% % . (84)
( ),z ( )H x y , Условия непрерывности функций ,xE x y% на верхней границе зоны модуляции (y=a) дают следующие уравнения:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21
( ) ( )0expn n nH a ik x( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0
0
exp exp
exp ,
N N
n N n N
N N
j nj nn N j N
R i ik x a
T a ik x
=− =−
−
=− =−
+ α − β = α =
⎛ ⎞= Ψ α⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑ (85)
( )( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0exp .N
j nj n
ik x a
a ik x( ) ( )
0
0 0
exp exp
exp
Nn
n n nn N
N N
n nn N n N j N
i iR ik x a
k k
E a ik x T
=−
−
=− =− =−
β βα + β − α − β =
⎛ ⎞Ψ α⎜ ⎟
⎝ ⎠∑= α =
∑
∑ ∑% % (86)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях 2exp ,i pxdπ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
,p N N= − , получим две системы линейных уравнений вида:
0 0 0 ), , ,ik a p N N− β = −( ) exp( ) exp(N
j pj p p pj N
T a R ik a−
=−
Ψ = β + δ∑ (87)
( ) 00
0 0
) , , .i
k a p N Nk k
ββ = −0 0exp( ) exp(
Np
j pj p p pj N
iT a R ik a i−
=−
βΨ = β − δ −∑ % (88)
Системы линейных уравнений (87), (88) представим в матричном виде: ( )01 02 0 0
01 02
exp ,
( ), exp(p j pj p j p j
ik a
0 ), , , ,pH a H i−−
⋅ = + − β ⋅
= Ψ = δ ⋅
H T H R δ
k a p j N Nβ = − (89)
( )
( )
011 12 0 0
0
11 12 00
exp ,
, epp j pj p j p j
iik a
ki
xp( ), , , .pH a H ik
−−
β⋅ = − − β ⋅
β= Ψ = δ ⋅
H T H R δ
% (90)
k a p j N Nβ = −
( ) 1
01 11
−
ββ − ⋅ ⋅H D H δ
Здесь δ — вектор столбец, центральный элемент которого равен единице, а остальные элементы равны нулю. Из уравнений (89), (90) получим вектора коэффициентов Рэлея в виде:
( )0 02exp ik a= −T , (91)
( )0 0exp 2ik a+ −112 11−= ⋅ β ⋅T δ
βD
R H H , (92)
0 / , ,pk i p N Nβ = −где — диагональная матрица с элементами .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках (ТM-поляризация)
В случае решетки с непрерывным профилем для решения системы (71)
используются численные методы типа метода Рунге — Кутта. Для бинарной решетки коэффициенты Фурье функций ( )2 ,k x y , ( )21/ ,k x y (69) не зависят от переменной y:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 20
112 202
01
11 ex
2π
1
Kj
jn K
j
j
ik
ck
d
=
=
⎧ ε −⎪⎪= ⎨
ε −⎪ + −⎪⎩
∑
∑
2πp , 0,
1 , 0,
j
j
i nx nn d
k x n
⎛ ⎞− − ≠⎜ ⎟⎝ ⎠
=
(93)
( )
( ) ( )
22
( ) ( )
2πp , 0,
, 0,
j
jj
i nx nd
k x n
⎛ ⎞− − ≠⎜ ⎟⎝ ⎠
=
1 2, ... ,
2
2102
220 2
10
1/ 11 ex
2π1/ 1
1/ 1
Kj
jn K
j
ink
c
k d
=
=
ε −⎧⎪⎪= ⎨
ε −⎪ + −⎪⎩
∑
∑ (94)
xгде К — число штрихов решетки, Kx — координаты границ штрихов (см. рис. 6). В этом случае поле в зоне модуляции описывается системой дифференци-альных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:
( )( )
( )( )
TMy yy y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
H HA
E E% %
( )
ddy
, (95)
( ),y yH E% – вектора из функций ( ) ( )где , , ,p pH y E y% p N N= − TMA
20 1
2
00
k
α α
⎛ ⎞⎜ ⎟
−⎝ ⎠
TD T D E
, - мат-рица системы.
Согласно (71), матрица системы имеет вид
100
TM ⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠2
FA
F, (96)
где нули обозначают матрицы с нулевыми элементами, F1, F2 - матрицы вида ( ) ( )1 22
1 , 2 , 0i j i j i j i j i j, , , ,i jF c F k c− −= = α i j N N−α − δ = − , (97)
T1, T2 — матрицы из Фурье коэффициентов функций ε(x,y) и 1/ε(x,y) ( ) ( )1
1 , 0 2 ,/ ,i j i j i jT c k T= = 22 20 , , 1, 2 1i jk c i j N− − = + , (98)
E-единичная матрица, Dα- диагональная матрица c элементами , ,i i N Nα = − . Отметим, что система (95) 4N+2 дифференциальных уравнений первого по-рядка может быть также сведена к системе 2N+1 дифференциальных уравне-ний второго порядка
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) ( )2
21 2 02
d ( ) ( )1 2y y kdy
= ⋅ ⋅ =H F F H yα α −T D T D E H , (99)
23
kθ1
2
30
Rny
a
b
x x x x x x1 2 3 4 2K-1 2K
x
Tn Рис. 6. Геометрия задачи дифракции на бинарной диэлектрической решетке
Решение системы (95) с постоянными коэффициентами для вектора гра-ничных условий X может быть представлено в компактном матричном виде: 0
( ) ( ) 0exp TM y⎛ ⎞
= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
A X
01H 11H
( )exp TM a= ⋅ ⋅A BC
( )( )
0 0,
0 0N N
N N
− −
− −
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
EH HDE E% %
( )yy
HE%
. (100)
Матричное представление (100) позволяет компактно выразить матрицы и в (91), (92) через матрицу системы и граничные условия в виде:
01
11
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
HH
, (101)
где матрица BC составлена из второй половины векторов граничных условий (75), (76):
( )( )
, ...−
−
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠BC , (102)
где E — единичная матрица размера (2N +1)×(2N+1), а D — диагональная мат-
рица с элементами 0/ , ,ji k j N N− β ε = −%
( )
.
Рассмотренный метод решения задачи дифракции на бинарной решетке обладает медленной сходимостью, особенно для случая комплексной диэлек-трической проницаемости. Напомним, что система дифференциальных урав-нений (95), (96) была получена при учете 2N+1 членов в разложении функций
( ) ( ) ( )2 2, , , 1/ ,, , ,z xH x y E x y% k x y k x y в (67) — (69). Медленная сходимость в данном случае означает, что для стабилизации результатов расчета требуется учет большого числа членов в разложении функций ( ) ( ) ( )2, , , , ,z x,H x y E x y k x y%
( )21/ ,k x y
, превышающего в десятки раз число распространяющихся порядков
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в зонах 1 и 3. При этом для случая ТЕ-поляризации такого эффекта не наблю-далось. В 1996 году в работах [10-12] была предложена другая форма системы дифференциальных уравнений, устраняющая медленную сходимость. В рабо-тах [10-12] было предложено вместо системы уравнений (85), (86) использо-вать систему вида
( )( )
( )( )
2 10 2
0y yky y
− ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
−⎝ ⎠⎝ ⎠
H HTE EE %
1 12 1,
11
0ddy −
α α
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠ D T D% . (103)
Система (103) получается из исходной системы (95), (96) формальной за-меной матриц T1, T2 на матрицы − −T T , соответственно. Теоретическое обоснование использования системы в виде (103) приведено в работе [12]. В этой работе показано, что система (103) обеспечивает равномерное выполне-ние граничных условий на вертикальных участках профиля решетки в зоне модуляции. Отметим, что на вертикальных участках нормальная составляю-щая вектора электрического смещения Dx непрерывна, а компонента Еx терпит разрыв. Система в виде (103) обеспечивает равномерную сходимость по N ря-да (68) к функции ( ),xE x% y на вертикальных участках профиля, а исходная система (95) – неравномерную. Равномерное выполнение граничных условий на вертикальных участках профиля и приводит к улучшению сходимости метода. Система (103) может быть также представлена в системы дифферен-циальных уравнений второго порядка
( )2
2 10 22
d ( ) ( )11y k y− −
α α= −D T D E Hdy
H T . (104)
В заключение отметим, что матричное представление (100) для бинарной решетки может быть использовано для решения задачи дифракции на решетке с непрерывным профилем. Действительно, введем разбиение , 0, ,iy i N=
0 0, Ny y a= = 1i iy y y−
зоны модуляции на N слоев. В каждом слое ≤ ≤ непре-
рывный профиль аппроксимируем бинарным профилем. Полагая при в (71)
24
1i iy y y− ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ,n n ic y c y 2 2n n ic y c y≈ ≈% % (, где )1 / 2i i iy y y−= +%
1i iy y y− ≤ ≤
11H
( ) ( )( )
( )( )
1 2 2 1
1 ,
TM
i i i
y y y
y y −
, аппроксимируем при систему дифференциальных уравнений (71) с переменными коэффициентами системой уравнений с постоянными коэффи-циентами. Используя матричное представление (100) для решения системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, получим мат-рицы и в виде 01H
( ) ( )( )(
( )( )) ( )
01
11
1
1 1
exp ... exp
exp exp
TMN N
TM TM
i N
y a y
y y y
−
⋅
=
⎛ ⎞= ⋅ − × ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
× ⋅ = ∏
HA A
H
A BC A% %
⋅ − ×
⎛ ⎞⋅ − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠BC
% %
(105)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )где BC — матрица граничных условий (102), а TMiyA % — матрица системы (71)
при ( ) ( ) ( ) (1 1n nc y c y= % )i
( ) ( ) ( () и )2n ic y%
( ) ( )( )1TM
i i iy y y −⋅ −%
( )1 0i i iy y y −Δ = − →
( ) ( )
2nc y = . При этом коэффициенты Rn, Tn также
определяются по формулам (91), (92). Отметим, что произведение матриц 1
( ) expTMN
i N=
Ω = ∏A A , (106)
в пределе, при и N→∞ соответствует мультипликативно-
му интегралу [13], представляющему решение системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Произведение (106) соответствует стандартной аппроксимации мультипликативного интеграла при сведении ре-шения системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициента-ми к решению N систем с постоянными коэффициентами [13].
3.3. Дифракция на диэлектрических решетках с непрерывным профилем (ТЕ-поляризация)
( ( )), 0,0, ,zx y E x y=EДля ТЕ-поляризации базовые уравнения (1)
примут вид: ( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( ) ( )
0
0
, ,
, ,
, 0 ,
, 0,
, 0,
, ,
y z x
x z y
z
z y
z x
x y y x
E x y ik H x y
E x y ik H x y
H x y
H x y
H x y
( ) ( )0
,
,
, , .zH x y H x y
∂ =
∂ = −
=
∂ =
∂ =
∂ − ∂
(107)
ik x y E x y= − ε
( ) ( ), , ,x yH x y H x y : Выразим из первых двух уравнений в (107) компоненты
( ) ( ) ( )
25
( )0 0
1, ,y x z1, , ,x y zH x y E x y H x
ik= ∂ y E x y
ik= − ∂
( )
. (108)
( ), , ,x yHПодставляя x y H x y
( ),zE x y
в последнее уравнение в (107), получим
для компоненты уравнение Гельмгольца:
( ) ( ) ( )2, , , 0z zk x y E x y =
( ),zE x y
( ) ( )0expz m mE y ik x∞
= α
E x yΔ + . (109)
Функция является квазипериодической [1,5-9]:
( ),m
E x y∞
=−∑ . (110)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя (110) и (69) в (109), получим систему 2N+1 дифференциаль-ных уравнений 2-го порядка:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
12 202
dd
Nn
n n n m mm N
E yk E y c y E
y −=−
− α + ∑ 0, ,y n N N= = − . (111)
Для поиска общего решения системы (111) необходимо найти 2(2N+1) ли-нейно-независимых частных решений. При отсутствии модуляции ( ( ),x yε = ε
( )
) базисные решения системы (111) имеют вид
( ) 0 , ,p pik y p N Nβ = −%expE y± = ± . (112)
Для согласования решения в зоне модуляции с решением (112) в зоне 3, определим 2(2N+1) векторов граничных условий для системы (111) в виде
( )( )
0
0 ,0
mj m j
mj
EE
iky
−⎧ = δ⎪
∂⎨= β⎪ ∂⎩
m
m
%m
26
, , , .m m j m j N N−δ = − (113)
При этом общее решение системы (111) принимает вид
( ) ( )N N
m j mjj N j N
E y C E y− −
=− =−
= +∑ ∑ ( ), ,j mjC E y m N N+ + = −
( )mjE y±
( , )zE x y
0( ) exp( )j mj mE y ik x+⎛ ⎞α⎟
⎝ ⎠
, (114)
где решения системы (111) с граничными условиями (113). Подставляя (114) в (110) получим, что в зоне модуляции имеет вид:
( , ) ( )N N N
z j mjm N j N j N
E x y C E y C− − +
=− =− =−
= +⎜∑ ∑ ∑ . (115)
Для определения коэффициентов пропускания Tn и отражения Rn в (46), (48) запишем условия непрерывности тангенциальных компонент поля
( ),zE x y ( ) ( ), ~ ,x y zH x y E x y∂
p pT C−= 0pC+
на границах зоны модуляции при y =0 и y=a. Из условия непрерывности тангенциальных компонент на нижней границе зоны модуляции несложно получить, что, как и в случае ТМ-поляризации,
, а = . При этом решение в зоне модуляции принимает вид
0( ) exp( )j mj mT E y ik x−= α
( )( )0 0 0 0
)
xp ,ik x a
α =
β + α − β
( , )N N
m N j N
E x y=− =−∑ ∑ . (116)
На верхней границе зоны модуляции условия непрерывности тангенци-альных компонент поля имеют вид:
( )( )
0( ) exp(
exp e
N N
j m j mm N j N
N
m m mm N
T E a ik x
R ik x a
−
=− =−
=−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= α +
∑ ∑
∑ (117)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )( )
0
0 0
( )exp( )
exp
N Nm j
j mm N j N
N
m m m mm N
E aT ik
y
ik R ik x a ik
−
=− =−
=−
⎛ ⎞∂α =⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠
= β α + β −
∑ ∑
∑ ( )( )0 0 0 0 0exp .
x
ik x aβ α − β
(118)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях
27
2 , ,i mx m N Ndπ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 0 0 ), ,ik a p N N− β = −
exp , получим две системы линейных уравнений вида:
( ) exp( ) exp(N
j p j p p pj N
T E a R ik a−
=−
= β + δ∑ , (119)
0 0
( )exp( )
, .
Np j
j p pj N
E aT ik R ik
yp N N
−
=−
∂= β β −
∂
= −
∑ 0 0 0 0exp( ),p pa ik ik aδ β − β (120)
Системы (119), (120) представим в матричном виде
( )01 02 0 0
01 02 0
exp ,
( ), exp(p j pj p j p j
ik a
E E a E i−−
⋅ = + − β
= = δ
E T E R δ
), , , ,pk a p j N Nβ = − (121)
( )11 12 0 0 0 0
11 12 0 0
exp ,
( ), epj
p j p j p j p
ik ik a
E aE E ik
y
−
−
⋅ = − β − β
∂= = δ β
∂
E T E R δ
xp( ), , , .pik a p j N Nβ = −
( )
(122)
Из уравнений (121), (122) получим вектора коэффициентов Рэлея в виде:
( ) 1
0 11 01a−
β− ⋅E D E δ
( )0 0exp 2ik a= + − βT δ
βD
0 0 02 expik ik= − β − βT , (123)
102 01−R E E , (124)
0 , ,pik p N Nβ = −где — диагональная матрица с элементами , а δ — вектор
столбец, у которого все нули кроме единицы в центре.
3.4. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках (ТЕ-поляризация)
( )Для бинарной решетки коэффициенты Фурье 1nc не зависят от перемен-
ной y. В этом случае поле в зоне модуляции описывается системой дифферен-циальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28
( ) ( ) 0TEy y+ ⋅ =E A E2
2
ddy
, (125)
( ) , ,E y p N N= − TEAгде Е(y) – вектор из функций , - матрица системы: p
( )1 , , ,j i jk c i j N N− −+ = −2 2, 0
TEi j i i= − α δA . (126)
Запишем решение системы дифференциальных уравнений (125) для гра-ничного условия с номером m в (113) в матричном виде [13]
)(( ) ( ) ( ) ( )sin
cos 0TEm my y
0TE
m
TE
y
y
−⋅ ∂+
∂
A E
A
01E 11E
− −= ⋅E A E . (127)
Матричное представление (127) позволяет выразить матрицы и в
(123), (124) через матрицу системы (126) и граничные условия (113) в виде
( ) ( )
( ) ( ),
cos ,
TE
TE
TE
a
a a
β01
11
sincos
sin
TE
TE TE
a
β
⎧⎪ = ⋅ ⋅ +⎪⎨⎪
= − ⋅ ⋅⎪⎩
E A E
E A A
⋅⋅
+ ⋅ ⋅
AD
A
E A D
(128)
где Е, Dβ — единичная и диагональная матрица с элементами 0 , ,jik j N N= −
01E 11E
( )1exp TE a ⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
EA
DE
1TE
TE
⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
0 EA
A 0
− β .
Матрицы и также можно выразить через матричную экспоненту в
виде, аналогичном представлению (101) для случая ТМ-поляризации. Дейст-вительно, заменим систему 2N+1 дифференциальных уравнений 2-го порядка (125) эквивалентной системой 4N+2 дифференциальных уравнений 1-го по-рядка и получим
01
11
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
EE
, (129)
где , E — единичная матрица.
Как и для случая ТМ-поляризации, матричные представления (128), (129) для бинарной решетки могут быть использованы для решения задачи дифракции на решетке с непрерывным профилем [5,6]. Действительно, аппроксимируя непре-рывный профиль набором N бинарных слоев и используя для расчета дифракции на слое соотношение (129), получим коэффициенты Rn, Tn в виде (123), (124). При
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29
( )01 a ( )11 11 a=E Eэтом матрицы и 01 =E E в (123), (124) вычисляются, как и для
случая ТМ-поляризации, через мультипликативный интеграл.
3.5. Примеры расчета решеток
В данном пункте мы рассмотрим работу простейших решеток. Под интен-сивностями отраженных и прошедших порядков будем понимать следующие нормированные значения квадратов модулей коэффициентов Рэлея [1,5,6]
1 2
1R Tn n
n U n UI I
∈ ∈
⎛ ⎞2 2
0 0
, ,R Tn nn n n nI R I T
β β= = ε
β β
%+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑ , (130)
1 2
1R Tn n
n U n UI I
∈ ∈
⎛ ⎞2 2
0 0
, ,R Tn nn n n nI R I T
β β= = + =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑β εβ
% (131)
для ТЕ- и ТМ-поляризаций, соответственно. U1, U2 в (130), (131) - являются множествами индексов, соответствующих распространяющимся отраженным и прошедшим порядкам;
{{ } ( ) }2/ 1n nn2
1 21 ,U n U= α < = α ε < . (132)
Эти формулы аналогичны уравнению (39) для случая дифракции на иде-ально отражающей решетке. Пример 3. Рассмотрим работу простейшей бинарной решетки с одним штри-хом шириной d/2 на периоде d. На рис. 7 приведены графики интенсивностей 0-го отраженного и 0-го и –1-го прошедших порядков в зависимости от высо-ты штриха a для случая ТЕ-поляризации. Расчет интенсивностей порядков проводился по формулам (123), (124), (129) при следующих параметрах: d=λ0, угол падения θ=30°, ε=2,25. Рис. 7 показывает ряд интересных моментов в работе бинарной решетки. Во-первых, при высоте штриха a∼0,8λ0 энергия рав-номерно распределена между 0-ым и +1-ым прошедшими порядками, то есть при данной высоте решетку можно использовать в качестве делителя пучка. Во-вторых, при высоте штриха a ≈ 1,6λ0 около 95% энергии падающей волны перете-кает из 0-го в –1-ый прошедший порядок, то есть при данной высоте решетку можно использовать как дефлектор (отклонитель) пучка. По общему виду графи-ков на рис. 7 можно также предположить, что интенсивности прошедших 0-го и -1-го порядков меняются периодически.
На рис. 8 приведена зависимость интенсивностей порядков бинарной ре-шетки от высоты штриха для случая ТМ-поляризации. Для ТМ-поляризации бинарная решетка работает как делитель пучка при высоте штриха a∼λ0. При a∼2λ0 более 95% энергии падающей волны содержится в -1-ом прошедшем порядке, то есть решетка работает как дефлектор пучка.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 4. Рассмотрим работу решетки c треугольным профилем [ ]( ) ( ) ( ) [ ]
1 1
1 1
/ , 0, ,/ , , ,
ax d x df x
a x d d d a x d d⎧ ∈⎪= ⎨− − − + ∈⎪⎩
(133)
где d1 — абсцисса вершины решетки. На рис. 9 — 11 для ТМ-поляризации приведены интенсивности порядков
для симметричной треугольной решетки (d1 = d/2), для правой пилообразной решетки (d1=d) и для левой пилообразной решетки (d1 = 0). Расчет интенсив-ностей порядков проводился по формулам (91), (92), (105) при периоде d = λ0, угле падения θ = 30° и ε=2,25. При расчетах треугольный профиль был ап-проксимирован шестнадцатью бинарными слоями, что соответствует кванто-ванию треугольного профиля решетки по 17 уровням. Из рис. 9 можно видеть,
что при высоте профиля a ≈ 1,7λ энергия равномерно распределена между 0-ым и –1-ым прошедшими поряд-ками и решетка работает как делитель пучка. При a~3,4λ более 95% энергии содер-жится в –1-ом прошедшем порядке, то есть при данной высоте решетка работает как дефлектор пучка. Таким об-разом, симметричная тре-угольная и бинарные решет-ки на рис. 7, 8 обладают свойствами делить пучок и собирать энергию в –1 по-рядке. Для симметричной треугольной решетки дан-ные эффекты происходят при примерно в полтора раза большей высоте про-филя.
30
Графики интенсивно-стей порядков для правой и левой пилообразных ре-шеток на рис. 10, 11 показы-вают, что, варьируя высотой профиля, нельзя сконцен-трировать энергию в –1-ом прошедшем порядке. Таким
I
Рис. 7. Зависимость интенсивностей –1-го и 0-го прошедших ( )1 0
T ( )0,TI I−R и 0-го отраженного I
порядков бинарной решетки от высоты штриха для ТЕ-поляризации при d = λ0, θ = 30°, ε = 2,25
I
Рис. 8. Зависимость интенсивностей –1-го и 0-го прошедших ( )1 0
T ( )0,TI I−R и 0-го отраженного I
порядков бинарной решетки от высоты штриха для ТМ-поляризации при d = λ0, θ=30°, ε=2,25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
образом, несимметричные пилообразные решетки не могут быть использова-ны как дефлекторы пучка. При этом левая пилообразная решетка (рис. 11) в отличие от правой пилообразной решетки (рис. 10) не позволяет равномерно рас-пределить энергию между 0-ым и –1-ым прошедшими порядками.
31
I I
Рис. 9. Зависимость интенсивностей –1-
го и 0-го прошедших порядков (Рис. 10. Зависимость интенсивностей –1-
го и 0-го прошедших порядков ( )
правой пилообразной решетки от высоты штриха для ТМ-поляризации
при d = λ0, θ = 30°, ε = 2,25
)1 0,T TI I−
симметричной треугольной решетки от высоты профиля для ТМ-поляризации
при d = λ0, θ = 30°, ε = 2,25
1 0,T TI I−
Рис. 11. Зависимость интенсивностей -1-го и 0-го прошедших порядков
левой пилообразной решетки от высоты штриха для ТМ-поляризации при d = λ0, θ = 300, ε = 2,25
( )1 0,T TI I−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК
4.1. Расчет отражающих решеток со ступенчатым профилем Решение прямой задачи дифракции на решетке со ступенчатым профилем,
изготовленной из идеально проводящего материала, приведено в разделе 1. В данном пункте рассматривается градиентный метод решения обратной задачи, состоящей в расчете параметров ( )1 1 1, ,..., , ,...,K K K,...,x x c c h h профиля решетки
(см. рис. 1) из условия формирования заданных значений интенсивностей ди-фракционных порядков [5,6,14]. Интенсивности порядков определены в урав-нении (40) и пропорциональны квадратам модулей коэффициентов Рэлея.
Для построения градиентной процедуры расчета профиля дифракционной решетки введем некоторую функцию ошибки ( )ε p
nI
nI%
( ) ( )( )ε = εp I p , I%
( )1 1 1, ,..., , ,...,
, характеризующую отли-
чие рассчитанных значений интенсивности в дифракционных порядках от
требуемых значений :
, (134)
,...,
32
где K K Kx x c c h h
( )
=p — вектор параметров, K — число штрихов
на периоде решетки, ( ),MM
n nM MI I
− −= =I I% %
( )1n n t+ = − ⋅∇εp p p
— вектора рассчитанных и требуе-
мых значений интенсивности порядков. Градиентная процедура минимизации функции ошибки состоит в итерационной коррекции параметров профи-
ля по правилу
( )ε p
, (135)
где n — номер итерации, t — шаг градиентного алгоритма,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
,..., , ,...,K Kx x c
∂ε ∂ε ∂ε ∂ε∇ε =
∂ ∂ ∂p p p p
p , ,...,Kc h h
∂ε ∂ε⎛ ⎞⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
p p
( )∇ε p
— градиент функ-
ции ошибки. Рассмотрим вычисление градиента функции ошибки . Со-
гласно (134), (40), элементы вектора градиента ( ) ip∂ε p ∂ , где pi — компонен-
та xi, ci или hi вектора p, имеют вид
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) ( ) ( ) ( )
33
( ) ( )
*
0
j jj j
j i
R RI p
∂ β⎛ ⎞∂⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ β⎝ ⎠
I% %
*
0
2Re .
M M
j M j Mi j i
Mj j
jj M j i
Ip I p
RR
I p
=− =−
=−
∂ε ∂ε∂ε= =
∂ ∂ ∂
⎛ ⎞∂ε β ∂⎜ ⎟=⎜ ⎟∂ β ∂⎝ ⎠
∑ ∑
∑
I,I I,pp
I,I p% (136)
Уравнение (136) удобно представить в виде реальной части скалярного произведения
( ) ( )2Re , ,
i ip p∂⎛ ⎞
= ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
p R pL
∂ε (137)
векторов
( )( ) ( ) ( )0
Mj j, ,
MM
j j jj M j
RI=−
∂ε∂ β=
∂ β∑I,I%
Mj i M
RL L
p p −−
⎛ ⎞∂= =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
pR pL . (138)
Коэффициенты Рэлея Rj в (138) определяются из решения системы линей-ных уравнений (25). Для расчета вектора производных коэффициентов Рэлея в (137) продифференцируем систему (25) по переменной pi:
( )i ip p
∂ ⋅
i ip p∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂
R DR AAAA R AA . (139)
Согласно (139), вектор производных имеет вид
1
i i ip p p− ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= − ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
R D AAAA R . (140)
Таким образом, компоненты градиента функции ошибки вычисляются по
формулам (137), (138), (140). Матрицы ,ip
∂∂AAAA и вектора , ,
ip∂∂
DR D в (140)
рассчитываются из уравнений (22) — (25) для случая ТЕ-поляризации и из уравнений (25), (36) — (38) для случая ТМ-поляризации. В частности, для слу-чая ТЕ-поляризации производные ip∂ ∂AA ip∂ и ∂D могут быть получены из (23) — (25) в виде
p 0p
l l
D AAp p
∂ ∂=
∂ ∂, (141)
( ) ( ) ( )*ln l l lns np
l ln
hDD DD
μ∂ μ
2
1
tg2pss s p l
n
AA k cx d
∞
=
∂= −β α − α ∑ , (142)
( ) ( )*2 1 l lns np
ln l
DD DDhμ2
1 cosps
s lnl
AA ik ch d
∞
=
∂= β
∂ ∑ , (143)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 21
*
π sin 2 2tg22 cos
tg,
ps
l
ln l lln ls
n ln l ln ln l
ln l l ll s p ns np
ln
AAc
n hhikd c
hic MD DD
∞
=
∂=
∂
⎛ − μ +μ⎜=
*n l l lns np
hDD DD
h
⎛ ⎞μβ + +⎜ ⎟⎜ ⎟μ⎝ ⎠⎜ μ μ⎝
μ ⎞+ α − α ⋅ ⋅ ⎟
μ ⎠
∑ (144)
( ) ( )exp dn lm i c⎛ ⎞
0
1 πexp sink
lmn n lMD ik x
k k= α
34
где ξ α⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ξ ξ . (145)
ipДля ТМ-поляризации расчет производных ∂ ∂AA ip∂, ∂D
( )N
аналогичен и состоит в дифференцировании уравнений (36) — (38).
Для исследования целесообразности расчета решеток в рамках электро-магнитной теории оценим работоспособность решеток, рассчитанных в при-ближении Кирхгофа для формирования M = 2N + 1 равных порядков. Для ха-рактеристики работы решеток будем использовать значения энергетической эффективности
jj N
E M I=−
= ∑ (146)
и среднеквадратичной ошибки формирования заданной равной интенсивности порядков
( ) ( )1221 1 N
jj N
M I II M =−
⎡ ⎤−⎢ ⎥
⎣ ⎦∑δ = , (147)
где ( ) /I E M M= — среднее значение интенсивности. Пример 5. Для исследования была выбрана 11-порядковая бинарная дифрак-ционная решетка с глубиной штрихов h=λ/4 и с координатами штрихов (x1,c1)=(0, 0,06857), (x2,c2) = (0,20885, 0,23582), (x3, c3) = (0,5293, 0,19171), (x4, c4) = (0,72854, 0,13583). Приведенные координаты штрихов нормированы на период решетки. Данная решетка в скалярном приближении имеет энергетиче-скую эффективность E=76,6% при среднеквадратичной ошибке δ менее 1% [15]. Для оценки применимости скалярного приближения Кирхгофа был про-веден расчет интенсивностей порядков при следующих размерах периода d: 7,2λ, 15,2λ, 25,2λ, 35,2λ. Расчет проводился для случая ТЕ-поляризации по формулам (22) — (25) при нормальном падении плоской волны. Значения среднеквадратичной ошибки δ и энергетической эффективности E составили 30,2% и 83,8% при d = 7,2λ, 17% и 78,9% при d = 15,2λ, 12,1% и 78,5% при d=25,2λ, 10,6% и 83,8% при d = 35,2λ. Результаты расчетов показывают, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
для 11-порядковой решетки при периоде d > 25λ ошибка δ ~ 10% и скалярное приближение дает приемлемую точность. В то же время при d =7,2λ расчет в скалярном приближении приводит к значительной ошибке δ >30%. Приведен-ный пример демонстрирует актуальность точных процедур синтеза решеток в рамках электромагнитной теории при малых (относительно длины волны) пе-риодах. Пример 6. Градиентный метод (135), (137), (140) был использован для расчета бинарных решеток с равными порядками. В качестве функции ошибки исполь-зовалась квадратичная функция
( ) ( )( )2N
j jj N
35
I I=−
ε = −∑p p % . (148)
В таблице 1 приведены результаты расчета решеток при нормальном паде-нии плоской волны для случая ТЕ-поляризации. Данные таблицы 1 показыва-ют работоспособность градиентного метода. В частности, рассчитанная для d=7,2λ 11-порядковая решетка, в отличие от решетки рассчитанной в скаляр-ном приближении, имеет в 4 раза меньшую среднеквадратичную ошибку δ. Градиентный метод позволяет рассчитывать не только бинарные решетки, но и решетки с различной глубиной штрихов. В качестве примера была рассчитана 5-порядковая решетка. Решетка имеет на периоде d = 3,2λ два штриха с глуби-ной 0,1λ и 0,2584λ и с координатами (x1, c1) = (0,034224, 0,173889), (x2, c2) = (0,465776, 0,308846). Значения энергетической эффективности E и среднеквад-ратичной ошибки δ для этой решетки составили 89,6% и 2,9%. Оптимизация с учетом глубины штрихов hi позволяет достичь высокой энергетической эф-фективности и малой ошибки δ при существенно большей ширине минималь-ного штриха ( )( )1n ,i i i i ic x x c+ − +miΔ = . В частности, 5-порядковая решетка со
штрихами разной глубины имеет почти такие же значения E и δ, как бинарная решетка в таблице 1, но при почти в 2 раза большей величине минимального штриха.
4.2. Расчет диэлектрических бинарных решеток
В разделе 3 приведено решение прямой задачи дифракции на диэлектриче-ской решетке. В данном пункте рассмотрен градиентный метод решения об-ратной задачи расчета бинарной диэлектрической решетки [5,6,16,17]. Метод состоит в расчете координат штрихов профиля (рис. 6) из условия формирова-ния заданных интенсивностей дифракционных порядков. Отметим, что метод решения прямой задачи в разделе 3 позволяет моделировать решетки, изготов-ленные из материала с комплексной диэлектрической проницаемостью. По-этому обратную задачу можно формулировать как для прошедших, так и для отраженных порядков. Рассмотрим для определенности расчет координат
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
штрихов профиля из условия формирования заданных интенсивностей поряд-ков , ,nI n M M= −% , соответствующих прошедшим волнам в (58). Интенсивно-сти порядков пропорциональны квадратам модулей коэффициентов пропуска-ния Tn
36
2n n nI t T= ⋅
nt
, (149)
где коэффициенты определены в уравнениях (130), (131).
Таблица 1. Результаты расчета бинарных отражающих решеток в рамках электромагнитной теории
Средне-квадра-тичная ошибка
δ (%)
Энергети-ческая эф-фектив-ность
Глубина штрихов
Число поряд-ков
Число штри-хов
Нормированные координаты штрихов Период
(d/λ) (xi, ci) / d (h/λ) E (%)
3 1 3,2 (0, 0,5) 92 0 (0, 0,089204), 5 2 3,2 0,25 87,2 3,5 (0,397067, 0,29625)
7 2 3,2 0,2241 (0,098974, 0,453849), 99,4 1,9 (0,751026, 0,146244)
9 3 5,2 0,2450 (0,117498, 0,095706),
91,2 4,1 (0,401101, 0,066281), (0,643485, 0,289262) (0,043523, 0,030163),
11 5 7,2 0,2363 (0,196521, 0,094899), (0,331266, 0,013970), 86,5 7,5 (0,381802, 0,161684), (0,651364, 0,282746)
Расчет профиля решетки состоит в градиентной минимизации функции ошибки (134), представляющей отличие рассчитанных значений интенсивности (вектор ) в порядках от требуемых значений (вектор ). Градиентная мини-мизация функции ошибки состоит в итерационной коррекции координат штрихов (вектора
I I%
( 1 2,..., K )x x=p ) по правилу (135). Рассмотрим вычисление
градиента функции ошибки ( )∇ε p для случая ТМ-поляризации. Согласно
(134), частные производные ( ) mx∂ε ∂p
( )
имеют вид
( ) ( )
( ) ( ) ( )*2Re 2Re , ,
Mj
j Mm j m
Mj
j jj M j m m
Ix I x
Tt T
I x x
=−
=−
∂ε ∂∂ε= =
∂ ∂ ∂
⎛ ⎞∂ε ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
∑
I, I pp
I,I p T pL
%
% (150)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где
( )( ) M( )
37
j
m m M
Tx x
−
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
pT p ( )∂, ,
MM
j j j jMj M j
L L t TI−
=−
∂ε= =
∂∑I, I
L%
jt
. (151)
Согласно (131), коэффициенты в (150), (151) имеют вид
0
njt
β=
εβ
%. (152)
( )Для расчета вектора производных mx∂ ∂T p в (150) продифференцируем уравнение (91):
( )( ( ) )( )
1
01 11
11 .m mx x
−
β
β β
0 0
1 0101 11
2 expm m
ik ax x
−
∂ ∂= − β
∂ ∂
∂= − − −
T
HH D H
⋅ − =
⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
H D H δ
HD T
(153)
Для расчета производных 01 11,m mx x∂ ∂ ∂ ∂H H воспользуемся аналитиче-ским представлением матриц H01, H11 в (101). Дифференцируя (101), получим
( )( ) ( )
( )
01
11
1
exp
,!
m TM
nm
m
n nTM
n m
xa
x xx
an x
∞
=
∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟ = ⋅ ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂= ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∑
H
A BCH
A BC
1 !
n nTM
m
an
∞
=
⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ A BC
(154)
где
( ) ( ) ( )1 TMn j jTM
m mx x− − ∂
∂ ∂AA A
1
0
nTM nTM
j
−
=
∂= ∑
A . (155)
( )При численном расчете производные
nTM
mx
∂
∂
A в (154) следует вычислять
с использованием рекуррентной формулы
( ) ( ) ( )1 1n n n
mx−
m mx x−∂
+ ⋅∂
AA A∂ ∂= ⋅
∂ ∂A A . (156)
При этом расчет производных матриц H01 и H11 по порядку сложности эк-вивалентен вычислению экспоненты в степени матрицы через ряд. Для расчета производной TM
mx∂ ∂A TMA воспользуемся представлением матрицы в урав-нении (96). Дифференцируя (96), получим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38
1
2
TMm
m
m
xx
x
∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎜ ⎟=⎜ ⎟∂∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠
F0
AF
0
∂ , (157)
где матрицы 1 2,m mx x∂ ∂ ∂ ∂F F имеют вид ( )
( ) ( ) ( )1 2
01 1 2 π1 exp , , ,ml jm
m m
c ki l j x l j N N
x x d d−∂ ε −∂ ⎛ ⎞= = − − − = −⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
F , (158)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2220 1 1
1/ 1 2 π1 exp
l jN l N j
m
m
ck
x
i ld d
−− + + − + +
∂∂= α α
∂
ε −× − − −
F1 1
, , , .
N l N jm
m
x
j x l j N N
− + + − + += α α ×∂
⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
(159)
Таким образом, компоненты градиента функции ошибки имеют вид реаль-ной части скалярного произведения:
( ) ( ) 1
01 112 Re−
β β
∂ε= − ⋅
pH D H 0111 ,
m m mx x x⎛ ⎞⎛ ⎞∂∂
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
HHD T L , (160)
где вектор T определен в (91), вектор L определен в (151), матрицы H01 и H11 аналитически выражаются через матрицу системы (96) и граничные условия (75) в виде (101), а матрицы производных 01 11,m mx x∂ ∂ ∂ ∂H H определены в уравнениях (154) — (159).
Отметим, что высота бинарного профиля a также может рассматриваться как параметр оптимизации. Производная функции ошибки по параметру a также имеет вид (160), где матрицы 01 11,a a∂ ∂ ∂ ∂H H могут быть получены из (101) в виде
( )( )01
11
exp TM TMaa
a
∂⎛ ⎞⎜ ⎟ ∂∂⎜ ⎟ = ⋅ ⋅
∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟
∂⎝ ⎠
H
A BCH ( )exp TMa a= ⋅ ⋅ ⋅A A BC . (161)
(Рассмотрим вычисление градиента функционала невязки )∇ε p
j
для слу-чая ТЕ-поляризации. Для ТЕ-поляризации компоненты вектора градиента для функции ошибки также имеют вид (150), (151), где вектор T определен в (123), а коэффициенты t имеют вид
0
njt
β= ε
%. (162)
β
( )Для вычисления производных mx∂ ∂T p в (150) продифференцируем уравнение (123):
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) 1
01
−∂= − − ⋅11
T E D E
39
m m mx x xβ β
⎛ ⎞∂∂− ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
0111 EED T . (163)
Для расчета производных 01 11,m mx x∂ ∂ ∂ ∂E E от матриц E01 и E11 восполь-зуемся аналитическими представлениями (128). Согласно (128), матрицы
01 11,m mx x∂ ∂E∂ ∂E имеют вид
)(( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
01
2 2 1
0 0
2 2 1
0 0
sincos
1 12 ! 2 1 !
1 1 ,2 ! 2 1 !
TE
TE
TEm m
n nn nn nTE TE
n nm
n nTE TEn nn n
n nm m
aa
x x
a ax n n
a an x n x
β
+∞ ∞
β= =
+∞ ∞
β= =
⎛ ⎞⋅∂ ∂ ⎜ ⎟= ⋅ + =⎜ ⎟∂ ∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂= − + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ + ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑
AEA E D
A
A E A D
A AE D
(164)
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
11
2 1
1 0
2 1
1 0
sin cos
12 1 !
1 12 1 !
TE TE
m m
n TE
n nm
TEn n
n n
x x
ax n
n x
−∞ ∞
= =
−∞ ∞
= =
∂ ∂= − ⋅ +
∂ ∂
⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟− ∂⎝ ⎠
∑
∑ ∑
EA A E
A E2 1
2
12 !
,2 !
TE
n nn nn TE
n nTEn n
m m
a a
an
a an x
β
β
β
⋅ =
⎛ ⎞⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∑
A D
A D
A AE D
(165)
( ) ( )где ( )1 TEn j jTE
m mx x− − ∂
∂ ∂AA A
1
0
nTE nTE
j
−
=
∂= ∑
A . (166)
( )nTEmx∂A∂При численном расчете производные в (164), (165) также
следует вычислять по рекуррентной формуле (166). В этом случае расчет про-изводных матриц E01 и E11 по порядку сложности эквивалентен вычислению через ряд косинуса и синуса от матрицы. Матрица TE
mx∂ ∂A в (164), (165) мо-жет быть получена из (126) в виде
( )
( ) ( ) ( )1 2
0 1 2π1 expTE
ml j
m m
c ki l
x x d d−∂ ε −∂ ⎛= = − −⎜∂ ∂
A , , ,mj x l j N N⎞− = −⎟⎝ ⎠
( )ε p
. (167)
Таким образом, для случая ТЕ-поляризации компоненты вектора градиен-та имеют вид
( ) ( ) 1
11 012 Re−
β β
∂ε= − ⋅
pE D E 01 11 ,
m m mx x x⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
E ED T L , (168)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где вектор T определен уравнением (123), вектор L определен уравнениями (151), (162), матрицы E01 и E11 аналитически выражаются через матрицу сис-темы (126) и граничные условия (113) в виде (128), а матрицы производных
40
01 11,m mx x∂ ∂ ∂ ∂E E
( )
определены уравнениями (164), (165). При минимизации функции невязки с учетом высоты профиля производ-
ная a∂ε ∂p также имеет вид (168), где матрицы 01 11,a a∂ ∂ ∂ ∂E E могут быть получены из (128) в виде
)(( )
( ) (
01si
cos
sin cos
TE
TE TE
aa a
∂ ∂= ⋅
∂ ∂ ⎜⎝
= − ⋅ +
EA E
A A E )
n
,
TE
TE
TE
a
a a
β
β
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎟⎠
⋅
AD
A
A D
(169)
) )( ) ((( ) (
11 sin
cos sin
TE TE
TE TE TE
a a∂ ∂
= − ⋅∂ ∂
= − ⋅ ⋅ −
EA A
A A E A )cos
.
TE
TE
a a
a a
β
β
+ ⋅ =
⋅
E A D
A D (170)
Для исследования целесообразности расчета диэлектрических решеток в электромагнитном приближении был проведен анализ работы решеток, рас-считанных в приближении Кирхгофа для формирования M=2N+1 равных по-рядков. Для характеристики работы решеток были использованы значения энергетической эффективности E (146) и среднеквадратичной ошибки δ фор-мирования заданной равной интенсивности порядков (147). Пример 7. Для исследования были выбраны 11 и 7-порядковые дифракцион-ные решетки с глубиной штриха, соответствующей фазе π, и с координатами штрихов (x1, x2) = (0, 0,06857); (x3, x4)=(0,20885, 0,44467); (x5, x6) = (0,5293, 0,72101); (x7, x8) = (0,72854, 0,86437) и (x1, x2) = (0, 0,23191); (x3, x4) = (0,42520, 0,52571), соответственно. Приведенные координаты штрихов нормированы на период решетки. Согласно [15], в скалярном приближении данные решетки формируют 11 и 7 порядков с энергетическими эффективностями E(11)=76,6% и E(7) = 78,6% при неравномерности интенсивности порядков менее 1%. В таблице 2 для указанных решеток приведены значения E и δ, рассчитанные в рамках электромагнитной теории при различных длинах периода. Значе-ния E и δ в таблице 2 приведены парами и соответствуют случаям ТМ- и ТЕ-поляризации. Расчет интенсивности прошедших порядков проводился по формулам (91), (101) и (123), (128) при ε = 2,25 и θ =0. Согласно данным таблицы 2, 11-порядковая решетка фактически неработоспособна при пе-риоде d<20λ0. При этом δ становится менее 10% только при d>50λ0. Для 7-порядковой решетки ошибка становится менее 10% уже при d>20λ0. Лучшая работа 7-порядковой решетки при малых значениях d/λ0 объясняется большим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
размером штрихов. В частности, для 11-порядковой решетки минимальная ши-рина штриха Δ =0,008d, а для 7-порядковой решетки Δ =0,1d. Проведенный расчет демонстрирует актуальность точных процедур синтеза решеток.
Таблица 2. Характеристики работы решеток, рассчитанных в скалярном приближении (ε = 2,25; θ = 0)
Период решетки
(d/λ0) 11-порядковая решетка 7-порядковая решетка
E(%)(ТМ/ТЕ) E(%)(ТМ/ТЕ) δ(%)(ТМ/ТЕ) δ(%)(ТМ/ТЕ) 5.5 90,3 / 82,9 95,9 / 144,0 81,3 / 79,0 35,8 / 38,2 10 78,9 / 77,6 42,7 / 52,3 76,2 / 75,9 19,6 / 22,2 15 75,9 / 75,9 28,6 / 34,2 75,9 / 75,5 13,4 / 14,1 20 75,4 / 75,4 22,4 / 25,1 75,6 / 75,5 11,4 / 11,7 25 74,9 / 74,8 18,0 / 20,4 75,5 / 75,4 9,1 / 8,4 30 74,6 / 74,6 16,3 / 16,9 75,5 / 75,4 7,8 / 7,1 50 74,0 / 74,0 9,9 / 8,6 75,4 / 75,4 4,8 / 4,1
Пример 8. Разработанный градиентный метод был использован для расчета бинарных диэлектрических решеток (ε = 2,25) с равными порядками. В качест-ве функции невязки была использована квадратичная функция ошибки (148). В таблице 3 приведены результаты расчетов решеток с периодом d=5,5λ0 при нормальном падении для случаев ТЕ- и ТМ-поляризации. Данные таблицы 3 показывают, что точный электромагнитный расчет дает решетки, существенно отличающиеся от ранее рассмотренных 11-порядковой и 7-порядковой реше-ток, рассчитанных в скалярном приближении. Использование градиентной процедуры в рамках электромагнитной теории позволяет, как и в скалярном случае, снизить среднеквадратичную ошибку δ до 1 — 5%, но при большей на 5 — 10% энергетической эффективности [5,6, 16—20]. В частности, рассчи-танные 11-порядковые решетки с 3 штрихами, имеют энергетическую эффек-тивность более 90%.
Пример 9. В скалярном приближении распределение интенсивности в поряд-ках дифракции бинарной решетки может быть только симметричным. Приме-ры электромагнитного расчета поля от простейших решеток в пункте 3 пока-зывают, что при d=λ0, θ = 30°, симметричные решетки позволяют сконцентри-ровать излучение в –1-ом порядке [21]. Такая асимметрия возможна не только при малых периодах. В таблице 4 приведены результаты градиентного расчета бинарных дефлекторов с максимумом в –1-ом порядке при нормальном паде-нии для случая ТЕ-поляризации. В качестве функции ошибки была использо-вана квадратичная функция ошибки
( )ε = ( )( )211 minI−− →p p . (171)
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42
Таблица 3. Результаты градиентного расчета бинарных диэлектрических решеток в рамках электромагнитной теории (d = 5,5λ0; ε = 2,25; θ = 0)
Число порядков
M Число
штрихов К Высота штрихов
(a/λ0) Координаты профиля E
(%) δ
(%) ТМ-поляризация
5 2 0,9 (0,1820, 0,4822), (0,5544, 0,8546) 80,1 3,1
7 2 0,9 (0,2454, 0,4367), (0,5999, 0,7912) 85,1 1,0
9 3 1,56 (0,0925, 0,1963), (0,3728, 0,4786), (0,6155, 0,7185)
96,1 0,6
11 3 1,6 (0,1515, 0,3435), (0,4845, 0,5753), (0,7162, 0,9046)
94,0 5,1
ТЕ-поляризация 5 2 0,8 (0,1798, 0,4816),
(0,5550, 0,8567) 80,7 2,5
7 2 0,875 (0,2579, 0,4297), (0,6070, 0,7787) 83,8 1,1
9 3 1,0 (0,0091, 0,1924), (0,3145, 0,4811), (0,7769, 0,9547)
89,7 3,6
11 3 1,57 (0,0444, 0,3390), (0,5033, 0,5567), (0,8259, 0,8792)
91,5 4,3
Таблица 4. Результаты градиентного расчета бинарных дефлекторов, концентрирующих излучение в –1-ом порядке (ε = 2,25; θ = 0, ТЕ-поляризация)
Период (d/λ0)
Число штрихов К
Высота штрихов
(a/λ0) Координаты профиля E (%)
3,5 2 1,68 (0,2596, 0,4378, 0,6082, 0,6754, 0,8469, 0,8780)
83,5
4,5 4 1,69 (0,2617, 0,4009, 0,5426, 0,6043, 0,7001, 0,7361, 0,8521, 0,8734)
87,7
5,5 5 1,78
(0,2714, 0,3982, 0,4997, 0,5565, 0,6100, 0,6473, 0,7243, 0,7560, 0,8793, 0,8984)
87,6
6,5 5 1,5
(0,1809, 0,4334, 0,4717, 0,5302, 0,6113, 0,6530, 0,7566, 0,7845, 0,8997, 0,9142)
80,0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 4 показывает, что в –1-ом порядке можно собрать более 80% энергии и при «больших» периодах. При этом для достижения высокой энергетической эффективности (>80%) на периоде d = pλ0 необходимо порядка p штрихов.
43
( )
Решетки, позволяющие сконцентрировать излучение в –1-ом порядке, имеют большое практическое значение. Рассмотрим возможность использова-ния таких решеток для расчета различных фокусирующих ДОЭ, например линз. В скалярном приближении для расчета ДОЭ используется приближение тонкого оптического элемента. В приближении тонкого оптического элемента микрорельеф ДОЭ однозначно определяется фазовой функцией. Пусть
[ ]x , 0,x dϕ ∈ — фазовая функция ДОЭ, рассчитанная в приближении гео-метрической оптики из условия фокусировки в заданную область. Расчет в приближении геометрической оптики основывается на использовании уравне-ния наклонов, определяющего направление преломленного луча через фазо-вую функцию ДОЭ в виде
( ) ( )( ) 0d x d xdx dxϕ ϕ⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
sin2πrλ
θ = ,
( ) ( )0 0 sinx k x0 /λ = λ ε ϕ — длина волны в среде, где = θ ⋅ — фазовая функ-ция освещающего пучка при y=0. Уравнение (172) совпадает с уравнением дифракционной решетки
( ) ( ) 0sin /m d= θ + λ
( )sin mε ⋅ θ
при периоде 2π /d d x dx= ϕ
( )( )sign /m d x dx= ϕ
и m=±1. Знак m определяется знаком произ-водной фазы;
. xДанное значение периода совпадает с размером зоны ДОЭ Δ , определяемой
( ) ( ) ( )2π , 2π/ .
d x d xx x x
dx dxϕ ϕ
Δϕ = ≈ Δ Δ = (174)
Таким образом, приближение геометрической оптики предполагает, что каж-дая зона ДОЭ работает как «однопорядковая» решетка, концентрирующая из-лучение в –1-ом или +1-ом порядках. В скалярном приближении Кирхгофа однопорядковой решетке соответствуют левая или правая пилообразная ре-шетка. При малых зонах геометрооптическое и скалярное приближения нера-ботоспособны, поскольку неработоспособной оказывается пилообразная решет-ка. В частности, для правой пилообразной решетки с высотой ( )0 / 1a = λ ε −
интенсивность 1-го порядка стремится к нулю при (рис. 12). 0d → λМожно предположить, что при замене непрерывных зон ДОЭ бинарными
решетками, рассчитанными в электромагнитном приближении из условия мак-симума –1-го или +1-го порядка, получится высокоэффективный бинарный
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ДОЭ. Хотя формулы (172)-(174) являются лишь эвристическим обоснованием метода «замены зон ДОЭ однопорядковой решеткой», на практике метод ока-
зывается работоспособным. В частности, в работе [22] рассмотрен расчет внеосе-вого сегмента бинарной отражающей линзы, имею-щей для случая ТМ-поляризации эффективность ~90%. Расчет линзы в [22] основывался на замене зон непрерывной дифракционной линзы простейшей отра-жающей бинарной решеткой с одним штрихом. Для ТМ-поляризации при d ~ λ0, θ ~30° и высоте штриха a ~ 0,25λ0 такая решетка кон-центрирует излучение в -1 порядке (см. рис. 2).
Рис. 12. Интенсивность 1-го порядка правой
пилообразной решетки в зависимости от длины периода для ТЕ-поляризации при ε = 2,25,
θ = 0 и высоте профиля ( )0 / 1a
44
Пример 10. Проиллюстрируем работоспособность метода на примере расчета преломляющей линзы. Фазовая функция дифракционной линзы имеет вид
( ) ( ) ( )( )2 20 ,
[ ]
2π0
2πmod sin
0, ,
x x x x f c⎛ ⎞
− + +⎜ ⎟⎝ ⎠
0 00,89 1,17xλ ≤ Δ ≤ λ
0~x λ
[ )[ )0
0, 0, / 2 ,, / 2, .
x xa x x x
∈ Δ⋅λ ∈ Δ Δ
( ) ( )( )
x d
ϕ = − ⋅ θ − ελ
∈
(175)
где (x0, f) — координаты фокуса, c - константа. При d = 20λ0, θ =30° и (x0, f) = (–20λ0, –85λ0) фазовая функция линзы имеет 20 зон с размером
. Для расчета бинарной линзы требуется заменить зоны линзы (165) бинарной решеткой, имеющей максимум в -1-ом порядке. При θ =30° и размерах зон Δ достаточно простейшей решетки с одним штрихом
( )2h x⎧⎪= ⎨⎪⎩
(176)
В частности, для ТМ-поляризации и ε = 2,25 решетка (166) концентрирует излучение в -1-ом порядке при a ~ 2λ0 (см. рис. 8). На рис. 13 и 14а приведены полученный бинарный рельеф линзы и распределение интенсивности
( ) *, ,x zE x f H x f= ⋅, ReI x f
= λ ε −
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
45
(в фокальной плоскости y=–85λ0. Указанное выражение для интенсивности
),I x f пропорционально модулю у-компоненты вектора Умова—Пойнтинга. Для сравнения на рис. 14б приведено распределение интенсивности для линзы с непрерывным рельефом
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) [ ]2 , 0, ,0
20
sin
cos sin
mod sin
h x
f c x dx + ∈+
[
x xλ
ε − θ= ×
ε − θ ε − θ
× ⋅− θ − ε −
(177)
рассчитанным в приближении тонкого оптического элемента.
Распределение интенсив-ности на рис. 14б оказывается размазанным в отличие от ост-рого пика на рис. 14а с шири-ной 5λ0, сформированного бинарной линзой. Приведен-ный пример расчета линзы демонстрирует возможности и практическую важность задачи расчета решеток с максимумом энергии в –1-ом или +1-ом порядках. Большие, по сравне-нию с длиной волны зоны, требуют более сложных реше-ток с несколькими штрихами. При этом актуален расчет од-нопорядковых решеток для некоторого интервала перио-дов
]min max,d d
( )1 ,I d− p
, определяюще-го изменение размера зон ДОЭ. Расчет бинарной решетки с максимальной ин-тенсивностью в –1-ом порядке при
Рис. 13. Бинарная линза с апертурой d = 20λ0 для фокусировки в точку (x0, f) = (–20λ0, –85λ0)
при θ = 300, ε = 2,25
[ ]min max,d d d∈
( )( )211 , d minI−− ξ ξ →p p
может быть про-веден рассмотренным градиентным методом с функцией ошибки определен-ной, например, в виде
( )max
min
d
dε = ∫ , (178)
где р — вектор координат штрихов решетки.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46
а) б)
Рис. 14. Распределения интенсивности в фокальной плоскости (при y = –85λ0) для бинарной линзы на рис. 13 (а) и для линзы
с непрерывным рельефом (177) (б) для ТМ-поляризации
Пример 11. Простейшая бинарная решетка (166) с одной ступенькой может быть использована только при размерах зон близких к длине волны. Приведем пример расчета более сложной бинарной линзы с большим интервалом изме-нения размеров зон. При параметрах размер апертуры d = 30λ0, координаты точки фокусировки (x0,f) = (0,–130λ0), θ=100, ε =2,25 линза с непрерывным рельефом (177) имеет 10 полных зон с размером от 5λ0 в начале апертуры до 2λ0 на краю апертуры. Для расчета бинарной линзы требуется рассчитать ре-шетку из условия максимума –1-го порядка для интервала периодов [2λ0, 5λ0]. Такая решетка с тремя штрихами была рассчитана градиентным методом для ТМ-поляризации при функции ошибки (178). Нормированные координаты штрихов решетки равны p=(0,0429, 0,2981, 0,4556, 0,5771, 0,7745, 0,8276) при высоте штрихов a =2,07λ0. Данная решетка при периоде [ ]0 02 , 5d ∈ λ λ кон-центрирует в –1-ом порядке не менее 80% энергии. На рис. 15а приведен про-филь бинарной линзы, полученный заменой зон линзы (177) рассчитанной би-нарной решеткой, а на рис.15б — распределение интенсивности, сформиро-ванное бинарной линзой при y = –130λ0. Для сравнения на рис. 15 также пока-заны профиль непрерывной дифракционной линзы (177) и распределение интен-сивности
( )2
0
p 2π d
,
i xu uf f
⎛ ⎞ε ε
0 0
22
0 0
, ex
πsinc
d
I x f
d d xf f
= − =⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠
⋅
( ) ( )sinc sin /
⎛ ⎞ε ε= ⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠
∫ (179)
xгде x x= , формируемое в скалярном приближении Кирхгофа в фо-кальной плоскости идеального сферического фронта. Рис. 15 показывает хорошую
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
работоспособность рассчитанной бинарной линзы и демонстрирует возможность замены задачи расчета ДОЭ существенно более простой задачей расчета однопо-рядковой решетки при значительном диапазоне изменения размеров зон.
47
а) б) Рис. 15. Бинарная линза (d = 30λ0) для фокусировки в точку (x0, f) = (0, –130λ0) при
θ =100, ε = 2,25 и непрерывная линза (177) (а), распределение интенсивности, сформированное бинарной линзой для ТМ-поляризации и распределение
интенсивности при идеальном сферическом фронте (б)
4.3. Расчет идеально проводящих решеток с непрерывным профилем в приближении Рэлея
Решение задачи дифракции на решетке с непрерывным профилем в при-
ближении Рэлея, изготовленной из идеально проводящего материала, приведе-но в пункте 2. Рассмотрим градиентный метод расчета профиля решетки ( )f x из условия формирования заданной интенсивности дифракционных порядков [5,6,23]. Интенсивности порядков (40) пропорциональны квадратам модулей коэффициентов Рэлея; 2
0/n n nI R= β β . Для удобства будем работать с норми-
рованной функцией высоты профиля решетки ( ) x2π
df ⋅H x k ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⋅ . Для по-
строения градиентной процедуры расчета профиля ( )H x введем функционал
ошибки ( )Hε , характеризующий отличие расчетных значений интенсивно-
стей порядков от требуемых значений : nI nI%
( ) ( )( )H Hε = ε I , I%
I I%I
,
где и - вектора расчетных и заданных интенсивностей дифракционных порядков. Отметим, что компоненты вектора также являются функционала-ми от профиля решетки ( )H x . Градиентная минимизация функционала (180)
состоит в итерационной коррекции функции ( )H x согласно правилу:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48
( ) ( ) ( )n n1H x H x t x′= − ⋅ε+ ,
( )′ xгде n — номер итерации, t — шаг градиентного метода, ε — градиент
функционала. Для вычисления градиента ( )′ xε
( ) рассмотрим приращение
функционала Hε (, вызванное малым приращением высоты профиля )H xΔ :
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )*
0
2R
M
j M
Mj
j jj M j
H H H H
R H R HI
=−
=−
∂εΔε = ε + Δ − ε =
∂
∂ε β⎛ ⎞= Δ ⋅⎜ ⎟∂ β⎝ ⎠
∑
∑I, I%
( ) ( )( )e , ,
jj
I HI
H H
Δ =
= Δ
I, I
R L
%
( ) ( )
(182)
( ) ( )( ) ( )( )
( )
, ,
.
M M
j jM MH L H
H
− −=
0
Mj
j jj M j
H R H
L RI=−
Δ = Δ
∂ε β=
∂ β∑
R L
I,I%
где
(183)
( )HСогласно (50), вектор приращений ΔR
( )1− Δ − Δ ⋅A B AA R
( ) ( )( )dH
имеет вид:
( )HΔ =R A , (184) где матрица AA и вектор B определены в уравнениях (45), (46) для случая ТЕ-поляризации и в уравнениях (48), (49) для случая ТМ-поляризации. Для случая ТЕ-поляризации из (45), (46) получим вектор приращений в виде
( ) ( )2π
0
H i−Δ = ⋅ Δ ξ ξ − ξ ⋅ ξ∫1R AA B A R%% , (185)
где
( ) ( )( )( ) ( ) (
,
exp
N
pn N
pn n
A
A i−
ξ = ξ
) ( ) ( )( )0 0 ,nn p i Hξ = β − β ⋅ ξ − + β − β ξ
A% %
% (186)
( ) ( )( ) ( ), 2N
p pNB B
−( )( )0 0exp 2i H ipξ = ξ ξ = − β − β ξ − ξB% % % . (187)
Подставляя (185) в (182), получим приращение функционала ошибки ( )Hε
( ) ( )( )( ), d
в виде
( )2π
0
2 ImH H −Δε = − Δ ⋅ ξ − ξ ⋅ ξ∫ 1AA B% A R L%
( ) ( )( )( ),x x− ⋅B A R L%%
. (188)
Согласно (188) градиент функционала имеет вид мнимой части скалярного произведения:
( ) 2 Imx −′ε = − ⋅ 1AA . (189)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проводя аналогичные выкладки для случая ТМ-поляризации, несложно получить градиент функционала ошибки также в виде (189), где вектор R ищется из уравнений (48) — (50), а матрица ( )( )
49
ξA% и вектор ξB имеют вид: %
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
,
exp
N
pn N
npn n n
A
A n pd
−ξ = ξ
α λ⎛ ⎞ ( ) ( ) ( )( )0 0 ,ni n p i Hξ = β β −β + − ξ − + β −β ξ⎜ ⎟⎝ ⎠
A% %
% (190)
( ) ( )( )
( ) ( )( )0 0xp 2 .i H ip2 0
,
2 e
N
p N
p
B
B pd
−ξ = ξ
α λ⎛ ⎞ξ = − β + − β ξ − ξ⎜ ⎟⎝ ⎠
B% %
% (191)
Рассмотрим расчет шага t для градиентной процедуры (181). Для расчета t рас-смотрим функционал ( )Hε
( ) ( )( )t H t H′ε = ε − ⋅ε
( )1 tε
( ) ( ) ( )1 1 10 0t t′ε = ε + ε ⋅
вдоль направления антиградиента как функцию от t:
. (192) 1
Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0
. (193)
( )HПредполагая, что минимальное значение функционала ε
( ) ( )1 10 / 0t ′= −ε ε
( )1 0′ε
равно ну-лю, приравняем правую часть уравнения (193) к нулю и получим величину шага t в виде
. (194)
( ) ( ) (Для расчета рассмотрим приращение )1 1 1 0t tΔε = ε − ε
( )t
функции
при t=0. Для расчета ( )1 tΔε1ε воспользуемся формулой (188) при
( ) (H H t′Δ = −ε . В результате получим )1 t
) ( )( )( ), d
Δε в виде
( ) ( ) (2π
10
2 Imt t H −′Δε = ε ⋅ ⋅ ξ − ξ ⋅ ξ∫ 1AA B% A R L% . (195)
( )1 0′ε имеет вид Согласно (195) производная
( ) ( )2π
10
0 4 Im −′ε = − ⋅ ( )( )( )( )2, dξ − ξ ⋅ ξ∫ 1AA B% A R L%
( ) ) )( )1
2, d
, (196)
а значение шага определяется по формуле
( ) ( )((2π
10
0 2 Imt−
−= ε ⋅ ⋅⎛ ⎞
ξ − ξ ⋅ ξ⎜ ⎟⎝ ⎠
R L∫ 1AA B A%% . (197)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) ( )xA% xМатрица и вектор B%
d >> λ
в (197) определены в уравнениях (186),
(187) для ТЕ-поляризации и в уравнениях (190), (191) для ТМ-поляризации. В пункте 2 показано, что при приближение Рэлея переходит в прибли-жении Фраунгофера, для которого коэффициенты Рэлея соответствуют коэффи-циентам Фурье в разложении функции (
50
( ))i xϕ ( )x, где exp ϕ - фазовая функция
(51). Это позволяет рассматривать широко используемые градиентные алгоритмы синтеза решеток в приближении Фраунгофера как частный случай общего гради-ентного алгоритма (181), (189), основанного на приближении Рэлея.
Пример 12. Рассмотренный градиентный метод был применен к расчету ре-шеток с 2M+1 равными порядками. В качестве функционала ошибки был ис-пользован квадратичный функционал:
( ) ( )( )2M
j jj M
H I H I=−
ε = −∑ % . (198)
Шаг t градиентного метода определялся из условия минимума функции, яв-ляющейся линейной аппроксимацией функционала ( )Hε вдоль направления ан-
тиградиента. Расчет проводился для нормального падения плоской волны для ТЕ-поляризации. На рис. 16 — 19 приведены расчетные профили ( )H x и интенсив-
ности дифракционных порядков для 5, 7, 9 и 11-порядковой решеток с периодами 3,6λ, 5,2λ, 6,2λ и 7,2λ, соответственно. В качестве начальных точек для градиент-ной процедуры в приближении Рэлея использовались профили, рассчитанные гра-диентным методом в скалярном приближении. Начальные профили показаны на рис. 16а — 19а пунктирными линиями. Значения энергетической эффективности Е (146) и среднеквадратичной ошибки δ (147), рассчитанные для начальных про-филей в скалярном приближении, составили 95,2% и 1,1% для 5-порядковой ре-шетки, 98,1% и 1,4% для 7-порядковой решетки, 99,6% и 1,9% для 9-порядковой решетки и 98,6% и 0,8% для 11-порядковой решетки.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Inf(x)/
51
а)
λ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,2 0,4 0,6 0,8 1x/d
б)
0,15
0,2
0,1
0,05
0-3 -2 0-1 21 3
n
Рис. 16. Профили 5-порядковых решеток (а) и интенсивности порядков (б), рассчитанные в скалярном приближении (штриховая линия) и приближении Рэлея (непрерывная линия)
If
а)
(x)/λ n
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,2 0,4 0,6 0,8 1x/d
0,5
б)
0,12
0,14
0,16
0.1
0,08
0,06
0,04
0.02
0-4 -2 0 2 4
n
Рис. 17. Профили 7-порядковых решеток (а) и интенсивности порядков (б), рассчитанные в скалярном приближении (штриховая линия) и приближении Рэлея (непрерывная линия)
If
а)
(x)/λ n
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,2 0,4 0,6 0,8 1x/d
0,5
б)
0,12
0.1
0,08
0,06
0,04
0.02
0-6 -4 -2 0 2 4 6
n
Рис. 18. Профили 9-порядковых решеток (а) и интенсивности порядков (б), рассчитанные в скалярном приближении (штриховая линия) и приближении Рэлея (непрерывная линия)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
If
52
а)
(x)/λ n
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,2 0,4 0,6 0,8 1x/d
0,5
б)
0,12
0.1
0,08
0,06
0,04
0.02
0-n -6 -8 0 64 -2 2 4
Рис. 19. Профили 11-порядковых решеток (а) и интенсивности порядков (б), рассчитанные в скалярном приближении (штриховая линия) и приближении Рэлея (непрерывная линия).
Интенсивности порядков для начальных профилей, рассчитанные в при-ближении Рэлея, показаны пунктирными линиями на рис. 16б — 19б. Исполь-зование приближения Рэлея для начальных профилей дает увеличение ошибки δ до 25-30% при снижении энергетической эффективности Е на 1,5-2,5%. Гра-диентный метод в приближении Рэлея (181), (189) позволяет скорректировать скалярные решения. Профили решеток и интенсивности порядков, рассчитан-ные градиентным методом в приближении Рэлея, показаны сплошными ли-ниями на рис. 16 — 19. Значения Е и δ для рассчитанных в приближении Рэлея решеток составили 92,5% и 1,7% для 5-порядковой решетки, 94,2% и 0,8% для 7-порядковой решетки, 99,3% и 0,5% для 9-порядковой решетки и 96,3% и 0,7% для 11-порядковой решетки. Для оценки точности полученных решений был проведен расчет интенсивности порядков с использованием точного инте-грального метода [1]. Результаты расчетов показали, что для рассчитанных в приближении Рэлея профилей, увеличение ошибки δ при точном расчете ин-тенсивностей порядков составляет всего 2 — 3%. Приведенные примеры пока-зывают как хорошую сходимость и точность градиентной процедуры в при-ближении Рэлея, так и необходимость корректировки решений, полученных в рамках скалярной теории.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. ДИФРАКЦИЯ НА ДВУМЕРНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕШЕТКАХ При описании дифракции на двумерной решетке ось z направим перпен-
дикулярно плоскости расположения дифракционной решетки. Как и в одно-мерном случае будем выделять три зоны. Зона 1 соответствуют области над решеткой при z>a, где a – максимальная высота профиля. Зона 2 соответствует зоне модуляции 0<z<a. И наконец зона 3 соответствует области подложки z<0. Над решеткой и под решеткой диэлектрическая проницаемость постоянна. В зоне модуляции диэлектрическая проницаемость является функцией ε = ε(x,y,z). Магнитную проницаемость будем считать равной единице во всех трех зонах.
Рассмотрим первоначально общее представление поля в среде с постоян-ной диэлектрической проницаемостью ε. Это позволит записать поля в зонах 1 (z>a) и 3 (z<0). Поскольку свойства среды не зависят от z, то электрическое и магнитное поля имеют вид
53
0
0
( , ) exp( ),
( , ) exp( ),( )( )
, ,
, ,
x y z x y ik z
x y z x y ik z
= γ
=
E E
H H (199)
γ
( )0cos ,где γ = ε γ γ0 - угол с осью z. Подставляя (199) в базовые уравнения (1.9), (1.10), получим
0 0
0 0
0
,,
,
y z y x
x z x y
y x zx y
H ik H ik EH ik H ik EH H ik E
∂ − γ = − ε+ γ = − ε
∂ − ∂ = − ε
0 0
0 0
0
,,
.
y z y x
−∂ x z x y
x y y x z
E ik E ik HE ik E ik HE E ik H
∂ − γ =−∂ + γ =
∂ − ∂ = (200)
Используя (200), представим тангенциальные компоненты поля через z-компоненты в виде
( ) ( )
( ) ( )
2
2
,
,
x y z x z
y x z y z
E H E
E H E
= ∂ + γ ⋅∂
= ∂ − γ ⋅∂γ
( )0
0
1
1
ik
ik
−ε − γ
ε −
( )
( )
( )
20
20
1 ,
1 ,
x y z x z
y x z y z
H E Hik
H E Hik
= ε⋅∂ −γ⋅∂ε−γ
−= ε⋅∂ + γ⋅∂
ε−γ
(201)
где Ez, Hz удовлетворяют уравнениям Гельмгольца 2 2
2 2
2 2
2 2
z z
z z
E Ex yH Hx y
∂ ∂∂ ∂
∂ ∂
2 20
2 20
( ) 0,
( ) 0.
z
z
k E
k H
+ + ε − γ =
+ + ε −
(202) γ =
∂ ∂Решая (202) методом разделения переменных, получим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) ( )( )( ) ( )( )
0 0 0 0
0 0 0 0
,
,
x y ik z, , exp
, , exp
z
z
E x y z ik
H x y z ik
= ε
= ε x y ik z
α + β ± γ
α + β ± γ (203)
2 20 01
54
где γ = ε − α − β . (204)
Далее рассмотрим так называемые волны Е и Н типов. Для Е-волны Ez≠0, Hz=0, а для Н-волны Hz≠0, Ez=0 [24]. Из уравнений (201) для Е-волны получим
( ) ( ) ( )( )0 0 0 0x y ik z02 2
0
1 expx x zE E ikik
γ εα−= γ ⋅∂ = ⋅ ε α + β ± γ
ε − γ ε − γ
m, (205)
( )20
1y y zE E
ik−
= γ ⋅∂ =ε − γ ( ) ( )( )0
0 0 0 02exp ik x y ik z
γ εβ
ε − γ
m, (206) ⋅ ε α + β ± γ
( )20
1x y zH E
ik= ε ⋅∂ =
ε − γ ( ) ( )( )00 0 0 02
exp ik x y ik zε εβ
, (207) ⋅ ε α + β ± γε − γ
( )20
1y x zE
ik−
= ε ⋅∂ =ε − γ
H( ) ( )( )0
0 0 0 02exp ik x y ik z
−ε εα. (208) ⋅ ε α + β ± γ
ε − γ
Поскольку решение задачи дифракции требует наложения условий равен-ства тангенциальных компонент полей на границах зоны модуляции, то оказы-вается удобным введение следующего четырехкомпонентного вектора танген-циальных компонент:
x
y
y
x
EHEH
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( )( )0 0 0 0x y ik z
0
0
2 2 00 0
0
1 exp ik
γα⎛ ⎞⎜ ⎟−εα⎜ ⎟ ε α + β ± γ⎜ ⎟γβγε α + β ⎜ ⎟
εβ⎝ ⎠
m
m. (209)
Вектор (209) дополнительно пронормирован на величину
( ) ( )2 20 02
εc = . γε α + βε − γ
При указанной нормировке z-компонента вектора Умова-Пойнтинга
z x y y xS E H E H= − (210)
равна единице. Для Н-волны из уравнений (201) получим
( )20
1x y zE H
ik−
= ∂ε − γ ( ) ( )( )0 0 0 0x y ik zε α +0
2exp ik
− εβ= ⋅ , (211) β ± γ
ε − γ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )20
1y x zE H
ik= ∂
ε − γ ( ) ( )( )0 0 0 0x y ik z02
exp ikεα
= ⋅ ε , (212) α + β ± γε − γ
55
( )20
x x zHik
γ= ∂
ε − γmH
( ) ( )( )00 0 0 02
exp ik x y ik zγ εα
ε − γ
m, (213) = ⋅ ε α + β ± γ
( )20
y y zHik
−γ= ∂
ε − γH
( ) ( )( )00 0 0 02
exp ik x y ik zγ εβ
ε − γ
m. (214) = ⋅ ε α + β ± γ
Как и для Е-волны, введем четырехкомпонентный вектор из тангенциаль-
ных компонент с нормировкой на величину ( ) ( )2 2
0 02
εc = γ : α + βε − γ
x
y
y
x
EHEH
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( )( )0 0 0 0x y ik z
0
0
2 2 00 0
0
1 exp ik
−β⎛ ⎞⎜ ⎟γβ⎜ ⎟ ε α + β ± γ⎜ ⎟αγ α + β ⎜ ⎟
γα⎝ ⎠
m
m
. (215)
Плоская волна произвольной поляризации может быть представлена в ви-де суперпозиции Е- и Н-волн. Поэтому полученные выражения (203), (209), (215) позволяют представить электромагнитное поле (при ε=const) в виде не-прерывной суперпозиции по α и β волн Е и Н типов.
При дифракции на двумерной решетке направления дифракционных по-рядков (Е- и Н-волн) в области над решеткой (z>a) описываются дискретным набором углов
0 00 0
0 0
, mx y
n md d
λ λβ = β +
ε ε, (216) nα = α +
2 20 1nm n mγ = ε − α − β
, ,
, ,, ,
N N
, (217)
где ε0 – показатель преломления среды в зоне 1, dx, dy – периоды решетки по осям Ox, Oy. Будем предполагать, что для описания поля в зонах 1 и 3 доста-точно (2N+1)2 порядков с номерами от (-N,-N) до (+N,+N). В этом случае четырехкомпонентный вектор отраженного от решетки поля запишем в виде конечной суперпозиции дифракционных порядков
( ) , ,, ,N N
R E nm E nmn N m N
x y z R=− =−
= +∑E V H nm H nmn N m N
R+ +
=− =−∑ V
, ,,
, (218)
где (n,m) – индексы порядков дифракции, E nm H nmR R
, ,,
- коэффициенты отраже-
ния, E nm H nm± ±V V - четырехкомпонентные вектора, описывающие Е- и Н-волны:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56
( )( )( )0 0 0n m nmx y ik zα + β ± γ
( )
0,
2 20
0
1 exp
nm n
nE nm
nm mnm n m
m
ik±
γ α⎛ ⎞⎜ ⎟−ε α⎜ ⎟= ε⎜ ⎟γ βγ ε α + β ⎜ ⎟
ε β⎝ ⎠
V
m
m, (219)
( )( )
2 2
0
1
.
m
nm m
nn m
nm n
n m nmx y ik z
−β⎛ ⎞⎜ ⎟γ β⎜ ⎟
,
0 0exp
H nm
nm
ik
± = ×⎜ ⎟α+ β ⎜ ⎟
γ α⎝ ⎠
α + β ± γ
m
m
, ,,
γ α
× ε
V (220)
Знак «+» в верхнем индексе четырехкомпонентных векторов E nm H nm± ±V V
описывает волны, распространяющиеся вдоль оси z, а знак «-» - волны, рас-пространяющиеся против оси z. Пусть электрический вектор падающей волны имеет вид
( ) ( )( )( )( )
0 0 0 0
0 0 0 0 0
, , exp
exp exp( )
x y z ik x y ik
ik x y ik z
= ⋅ ε α + β −
= ⋅ ε α + β γ =
E p
p E ( )0 0 0
0 0 0, exp( ) ,
z
x y ik z
γ =
⋅ γ (221)
где (α0,β0,-γ0) – единичный вектор направления распространения волны, а р - единичный вектор поляризации, перпендикулярный вектору распростране-ния волны. Падающая волна может быть представлена в виде суперпозиции Е- и Н-волн. Действительно, обозначим IE,00, IH,00 – коэффициенты разложения падающей волны (221) по базовым Е- и Н-волнам. Для отыскания коэффици-ентов IE,00 IH,00 приравняем компоненты Еx, Ey исходной волны и суперпозиции Е- и Н-волн. В результате получим следующую систему уравнений
( ) ( ),00
2 20 0
x E
y
pp
− ,000 0
2 20 00 0
HI Iγα −β⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞+ ⎜ ⎟−γβ α⎝ ⎠γ α + β
, ,
, ,,
N N
H nm H nmn N m N
R R+ +
=− =−
+∑ ∑ V
, ,
, ,, ,
N N
H nm H nmn N m N
T− −
=− =−∑ V
⎝ ⎠⎝ ⎠ γε α + β. (222)
Таким образом, поле над решеткой, представленное в виде четырехкомпо-нентного вектора, имеет вид
, ,,
,00 ,00 ,00 ,00 .
N N
E nm E nmn N m N
E E H HI I=− =−
− −
= +
+ +
E V
V V (223)
Аналогично, четырехкомпонентный вектор поля в области под решеткой (z<0) поле имеет вид
( ) , ,, ,N N
T E nm E nmn N m N
x y z T=− =−
= +∑E V , (224)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
57
, ,,где E nm H nmT T , ,, - коэффициенты пропускания, E nm H nm± ±V V
( )
- четырехкомпо-нентные вектора, описывающие Е- и Н-волны в зоне 3:
( )( )
2 2
0 0
1
,
nm n
s n
nm mn m
s m
m nmx y ik z
γ α⎛ ⎞⎜ ⎟−ε α⎜ ⎟= ×⎜ ⎟γ βα + β ⎜ ⎟
ε β⎝ ⎠
α + β ± γ
% %m
%
%%m%% %%
%% %
( )
,
exp
E nm
nm s
s nik
±
γ ε
× ε
V (225)
( )( )
2 2
0 0 ,
m
nm m
nn m
nm n
s n m nmx y ik z
⎛ ⎞−β⎜ ⎟
γ β⎜ ⎟= ×⎜ ⎟α+ β ⎜ ⎟⎜ ⎟γ α⎝ ⎠
α + β ± γ
%
%%m
%%
% %m
%% %
,1
exp
H nm
nm
ik
±
γ α
× ε
V% % (226)
где
00 0 0
00 0 0
/ / ,
/ / ,
sx s
sy s
nd
md
n n s
m m s
λα = α ε ε = α ε ε +
ε
λ= β ε ε +β = β ε ε
ε
%
% (227)
2 21nm s n mγ = ε − α − β%% % , (228)
где εs-диэлектрическая проницаемость материала подложки. Рассмотрим описание поля в зоне модуляции. Представим базовые урав-
нения (1.9), (1.10) в покомпонентном виде
0
0
0
,,,
y z z y x
x z z x y
x y y x z
H H ik EH H ik EH H ik E
∂ − ∂ = − ε+ ∂ = − ε
∂ − ∂ = − ε
0
0
0
,,.
y z z y x
−∂ x z z x y
y y x z
E E ik HE E ik HE E ik H
∂
x
− ∂ =−∂ + ∂ =
∂ − ∂ = (229)
Из последних уравнений в столбцах выразим Ez, Hz:
( )0
1z y x x yE H H
ik= ∂ − ∂
ε, (230.1)
( )0
1z x y y xH E E
ik= ∂ − ∂ . (230.2)
Подставляя (230) в оставшиеся 4 уравнения в (229), получим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
58
00
00
z x y
z y x y
E ik Hik
E ik Hik
1 1 ,
1 1 ,
x y x x y
y x x y
H H
H H
⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂ − ∂⎜ ⎟∂ = + ⎣ ⎦ε⎝ ⎠
⎛ ⎞ (231.1)
⎡ ⎤∂ − ∂⎜ ⎟∂ = − + ∂ ⎣ ⎦ε⎝ ⎠
( )
( )0
0
1 ,
1 .
x x y y x
y x y y x
0
0
z x y
z y x
H ik E E Eik
H ik E
∂ = − ε
∂ = ε E Eik
+ ∂ ∂ − ∂
+ ∂ ∂ − ∂ (231.2)
Компоненты электрического и магнитного полей являются квазипериоди-ческими функциями, то есть представимы в виде
( ) ( ) ( ( ))( ) ( ) ( )( )
0 0 0 0
0 0 0 0
,
,
ik x y, , , , exp
, , , , exp
x y z x y z
x y z x y z
= ⋅
= ⋅
E S
H U ik x y
ε α + β
ε α + β (232)
где S(x,y,z)=(Sx(x,y,z), Sy(x,y,z), Sz(x,y,z)), U(x,y,z)=(Ux(x,y,z), Uy(x,y,z), Uz(x,y,z)) – периодические по переменным x, y функции. Разлагая функции S(x,y,z), U(x,y,z) в ряды Фурье по переменным x, y, получим
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
,
,
n m
n m
k x y,
,
, , exp
, , exp
nmn m
nmn m
x y z z i
x y z z
∞
=−∞
∞
=−∞
= ⋅
= ⋅
∑
∑
E S
H U ik x y
ε α + β
ε α + β (233)
где Snm(z)=(Sx,nm(x), Sy,nm(z), Sz,nm(z)), Unm (z)= (Ux,nm(x), Uy,nm(z), Uz,nm(z)), а αn, βm имеют вид (18). В зоне модуляции функции ε(x,y,z), 1/ε(x,y,z) являются перио-дическими
( ) ( )
( ) ( )
(1)
,
(2)
,
, , ex
1/ , , exp
nmn m
nmn m
2 2p ,
2 2 .
x y
x y
x y z c z i nx i myd d
x y z c z
∞
=−∞
∞
=−∞
ε =
ε =
∑
∑ i nx i myd d
⎛ ⎞π π⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞π π
⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
(234)
Подставим разложения (233), (234) в уравнения (231) и приравняем коэф-фициенты при одинаковых гармониках. В результате получим бесконечную систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффици-ентами. Ограничиваясь рассмотрением конечного числа гармоник, запишем систему дифференциальных уравнений в виде
( ), 20 , 0 0 ,
,
, ,..., ,
Nx qt
y qt q n t m q mn m N
dSik U ik c
dzq t N N
− −=−
= + ε α
= −
∑ ( ), , ,x nm n y nmU Uβ − α (235.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ),0 0 , ,
, ,..., ,
y qtt q y qt t x qt
dUik S S
dzq t N N
= ε β α −β +
= −
( )10 , ,
,
,N
q n t m x nmn m N
ik c S− −=−
∑ (235.2)
( ), 20 , 0 0 ,
,
, ,..., ,
Ny qt
x qt q n t m tn m N
dSik U ik c
dzq t N N
− −=−
= − + ε β
= −
∑ ( ), , ,m x nm n y nmU Uβ − α (235.3)
( ),0 0 , ,
, ,..., .
x qtq q y qt t x qt
dUik S S
dzq t N N
= ε α α −β −
= −
( )10 , ,
,
,N
q n t m y nmn m N
ik c S− −=−
∑ (235.4)
Система (235) может быть записана в матричном виде ( )
59
( ) ( )z
z zd
dz= ⋅
VA V
( ), ,x qtS z
( ), , , ,...,t z q t N N= −
( )
( )
( )
2 20 0
2 20 0
1
0 0
0 0
α β
α β
β β
⎛ ⎞ε⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
ε −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
D C D
D
D C D E
C
, (236)
где V(z) – вектор столбец, составленный из 4(2N+1)2 функций
, A(z) – матрица системы. Матрица системы имеет вид:
( ) ( ), ,, ,y qt y qt x qU z S z U
( )
( )
( )
( )
1 20 0
0
20 0
0 0
z0 0
ik
α α
β
β α
α β α
− ε
− ε ε=
−ε
−ε ε −
E D C D
C D DA
D C D
D D D
, (237)
где нули обозначают матрицы из нулевых элементов, E – единичная матрица, С(1), С(.2) – матрицы, составленные из коэффициентов Фурье ( )( ) ( ) ( )1 2,nm nmc z c z , Dα, Dβ - диагональные матрицы. Диагональные элементы матриц Dα, Dβ соот-ветствуют наборам элементов αn и βn, n= -N,…,N, повторенным (2N+1) раз.
При записи системы дифференциальных уравнений (237), Фурье коэффи-
циенты произведений ( )1, ,x y z y x x yE H H∂ − ∂ε
E Eε ε были вычислены с ис-
пользованием так называемого прямого правила Лорана, основанного на пря-мом перемножении рядов Фурье сомножителей [25, 27]. При учете конечного числа Фурье гармоник использование прямого правила Лорана не является оптимальным [25, 26]. В работах [25, 26] рассмотрены специальные правила вычисления отрезков рядов Фурье для произведений функций, обладающих лучшей точностью представления. Соответствующий вид системы диффе-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) (ренциальных уравнений аналогичен (237), только матрицы )1 2,C C
,
,
x nm
y nmm
y nm
x nm
S zU z
zS zU z
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
имеют модифицированный вид. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением сис-темы (237). Использование представлений из работ [25, 26] необходимо только при работе с решетками из материалов с высокой проводимостью, таких как серебро или золото.
Таким образом, поле над решеткой и под решеткой имеет вид (223) и (224), а в зоне модуляции описывается системой дифференциальных уравне-ний (236), (237). Для поиска общего решения системы (236) необходимо найти 4(2N+1)2 линейно-независимых частных решений. При отсутствии модуляции (ε(x,y,z)=εs), решения системы (236) имеют вид
( )
( )( )( )( )
,
,,E n
±S%
60
( )( )0
1 exp
n
s nnm
mnm s n
s m
ik z
γ α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ± γ⎜ ⎟γ ε α ⎜ ⎟⎝ ⎠
% %
%%
%% %
,
,
x nm
y nmm
y nm
x nm
S zU z
zS zU z
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
2 2
nm
nmm
−ε αγ β+βε β
m
%m%%
, (238.1)
( )
( )( )( )( )
,
,,H n
±S% ( )02 2
1 exp
m
nm mnm
nnm n m
nm n
ik z
⎛ ⎞−β⎜ ⎟
γ β⎜ ⎟ ± γ⎜ ⎟αγ α +β ⎜ ⎟⎜ ⎟γ α⎝ ⎠
%
%%m%
%%% %% %m
, (238.2)
где n,m = -N,…,N. Граничные условия для системы (238) определим в виде вектор столбцов с 4(2N+1)2 компонентами. Каждый вектор граничных условий будем представлять как совокупность 4 векторов (Sx(0), Uy(0), Sy(0), Ux(0)). Указанные 4 вектора имеют размерности (2N+1)2 и состоят из начальных зна-чений функций Sx,nm(0), Uy,nm(0), Sy,nm(0), Ux,nm(0), соответственно. Определим граничные условия как вектора, у которых все элементы равны нулю за ис-ключением четырех компонент, соответствующих базисным решениям (238):
( ), 0E nm± =S%
( )2 2
1nm n
s n
nm mnm s n m
s m
γ α−ε αγ βγ ε α + βε β
% %m
%
%%m%% %%
, , ,...,m n N N
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, (239.1)
( ), 0H nm± =S%
( )2 2
1m
nm m
nnm n m
nm n
⎛ ⎞−β⎜ ⎟
γ β⎜ ⎟⎜ ⎟αγ α + β ⎜ ⎟⎜ ⎟γ α⎝ ⎠
%
%%m
%%% %% %m
, , ,...,m n N N= − . (239.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
61
( )
Такое определение граничных условий удобно для согласования решения в зоне модуляции с решением под решеткой.
(Обозначим ), ,,E nm H nmz z± ±D D
( ) ( )( )
( )( )
, ,
, , .
H ij H ij
H ij H ij
z C z
C z
+ +
− −
= + +D
D D
( ) ( ),
,M nmn m
решения системы с введенными граничными условиями. При этом общее решение системы (236) принимает вид
( )
( )
, ,,
, ,,
N
E ij E iji j N
N
E ij E iji j N
z C
C z
+ +
=−
− −
=−
+ +
∑
∑
G D (240)
Соответственно поле в зоне модуляции имеет вид
( )
( )( )( )( )
, ,, ,
, ,, ,, ,
x
y
y
x
E x y zH x y z
x y zE x y zH x y z
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = z x yϕ =∑E G
( )( )
( )( ) ( )
, ,
, , , ,
H ij H ij
H ij nm
C z
C z x y
+ +
−
= + +
⎞ϕ⎟
⎠
D D
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
( )
, ,, ,
, ,,
N N
E ij E ijn m N i j N
N
E ij E ij H iji j N
C z
C z
+ +
=− =−
− − −
=−
⎛⎜⎝
+ +
∑ ∑
∑ D D (241)
( )где ( )( )0xp n m, enm x y ik x yε α + βϕ = . (242)
Для определения коэффициентов пропускания и отражения используем условия непрерывности тангенциальных компонент на границах зоны модуля-ции при z=0 и z=a. Вектор тангенциальных компонент поля в зоне модуляции при z=0 имеет вид:
( ) ( ) ( ),
0 ,M nmn m
, ,0x y x y= ϕ =∑E G
( )( )
( )( ) ( )
( )
( )) ( )
,
,
,
,
0 0
0 0 ,
0 0
0 0 , .
j H ij
j H ij nm
nm
nm nm
x y
x y
+
−
+
−
+
⎞ϕ =⎟
⎠
+
ϕ
( )
( )
( )(
( )
, , ,, ,
, , ,,
, , ,,
, , ,
N N
E ij E ij H in m N i j N
N
E ij E ij H ii j N
N
E nm E nm H nm Hn m N
E nm E nm H nm H
C C
C C
C C
C C
+ + +
=− =−
− − −
=−
+ + +
=−
− − −
⎛= +⎜
⎝
+ +
= +
+ +
∑ ∑
∑
∑
D D
D D
D D
D D
(243)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогично, вектор тангенциальных компонент поля под решеткой при z=0 описывается выражением
62
( )
( )
, , , , 0
, .
H nm H nmT x y
x y
− − =
ϕ
V
( )
( )) ( )
( )( ) ( )
,
, ,
0 0
0 0 ,
0 0 , .
H nm
nm
H nm nm
x y
x y
+
− −
+ +
ϕ =
ϕD D
( ) ( )
( ) ( )( )
, ,, ,
, , , ,,
, , 0 , ,0
0 0
N N
T E nm E nmn m N n m N
N
E nm E nm H nm H nm nmn m N
x y T x y
T T
=− =−
− −
=−
= +
= +
∑ ∑
∑
E V
D D (244)
Запишем условие непрерывности тангенциальных компонент полей (243), (244) при z=0:
( )(
( )
( )
, , ,,
, , , ,
, ,,
N
E nm E nm H nmn m N
E nm E nm H nm H nm
N
E nm E nm H nmn m N
C C
C C
T T
+ + +
=−
− − − −
=−
+ +
= +
∑
∑
D D
D D (245)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях ϕnm(x,y) в (245), получим
, , ,
, ,0, 0,E nm E nm H nm
E nm E nm
C T C
C C
− −
+ −
= =
= =
,, , , , ,
, , .H nmT n m N N
n m N N
= −
= −
( )
( )( )( )( )
, ,, ,, ,, ,
x
y
y
x
E x y zH x y z
zE x y zH x y z
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )) ( ), , ,ij H ij nmT z x y− −⎛ ⎞+ ϕ⎟
⎝ ⎠D D
( )
( )( ) ( )
, , , ,
, ,
H nm H nm
nm
R x y a
a x y
+ +
(246)
Согласно (246), поле в зоне модуляции принимает вид
, ,M x yE
( )( , ,, ,
N N
E ij E ij Hn m N i j N
T z=− =−
= ⎜∑ ∑ . (247)
Далее используем условие непрерывности тангенциальных компонент на верхней границе зоны модуляции при z=a
( )
( ) ( )
( )
, ,
, ,, ,
,00 ,00 ,00 ,00
, , , ,, ,
, ,
, , , ,
N N N N
E nm E nmn N m N n N m N
E E H H
N N
E ij E ij H ij H ijn m N i j N
R x y a
I x y a I x y a
T a T
=− =− =− =−
− −
− −
=− =−
+ +
=
⎛ ⎞ϕ⎜ ⎟
⎝ ⎠
V V
+ +
= +
∑ ∑
∑ ∑
V V
D D
(248)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) (где четырехкомпонентные вектора ), ,,E nm H nm± ±V x V x определены в уравне-
ниях (219), (220) и могут быть представлены в виде: ( ) ( ) ( ), , ,E nm nmz x y± ±= ⋅ϕS ( ) ( ) ( ), , ,H nm H nm nmz x y± ±= ⋅ϕV x S , (249) E nmV x ,
где
( )( )
( )00
0
exp
nm n
nnm
nm m
m
ik z
γ α⎛ ⎞⎜ ⎟α⎜ ⎟ ± γ⎜ ⎟γ β⎜ ⎟
ε β⎝ ⎠
,2 2
0
1E nm
nm n m
z± −ε=
γ ε α + βS
m
m, (250.1)
( )( )
( )0exp
m
nm mnm
n
nm n
ik z
−β⎛ ⎞⎜ ⎟γ β⎜ ⎟ ± γ⎜ ⎟α⎜ ⎟
γ α⎝ ⎠
, , , ,, , ,
,2 2
1H nm
nm n m
z± =γ α + β
Sm
m
. (250.2)
Приравнивая в (248) коэффициенты при одинаковых функциях ϕnm(x,y), получим систему 4(2N+1)2 линейных уравнений относительно 4(2N+1)2 неиз-вестных коэффициентов
63
E nm H nm E nm H nmR R T T
( ) ( )( ), , ,
,..., ,
H ij H ija T a
n m N N
− −+ =
= −
D D
, 0, 0,0 0, 0.
n mn m
= =≠ ≠
:
( ) ( )
( ) ( )( ), , , , ,
,
, ,00 , , , ,
N
E nm E nm H nm H nm E ij E iji j N
E nm E H nm H nm nm
R a R a T
I a I a
+ +
=−
− −
+ −
= − + δ
∑S S
S S (251)
где 1
nm⎧
δ = ⎨⎩
5.1. Дифракция на бинарных дифракционных решетках
Рассмотрим бинарные дифракционные решетки. Для бинарных решеток функции ε(x,y,z), 1/ε(x,y,z) не зависят от переменной z. Соответственно, коэф-фициенты Фурье ( ) ( )1 2,nm nmc c в (234)-(237) также не зависят от переменной z. При этом поле в зоне модуляции описывается системой линейных дифференциаль-ных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:
( ) ( )z
zd
dz= ⋅
VA V , (252)
где А – матрица системы (237), а V(z) вектор столбец, составленный из функ-ций ( ) ( ) ( ) ( ), ,,y qt x qtS z U z, ,, ,x qt y qtS z U z . Решение системы дифференци-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
альных уравнений с постоянными коэффициентами удобно представить через экспоненту в степени матрицы:
64
( ) ( ) 0z exp z= ⋅ ⋅V A X , (253)
где X0– вектор граничных условий. Как и в одномерном случае, матричное представление (253) позволяет выразить значения ( ) ( ), ,,E nm H nma a− −D D
( )exp a= ⋅ ⋅D A C
реше-
ний системы дифференциальных уравнений при z=a, входящие в конечную систему линейных уравнений (251), в виде
, (254)
( ) ( ) , , ,...,m n N N= −, ,,E nm H nma a− −D Dгде D – матрица значений , а С – матри-ца, составленная из векторов граничных условий, ненулевые компоненты ко-торых определены в (239). Представление (254) удобно при решении задач оптимизации, поскольку позволяет легко записать приращения коэффициентов отражения и пропускания в (251) при малом изменении параметров профиля решетки. В двумерном случае мы не будем рассматривать градиентные проце-дуры решения обратных задач расчета решеток, поскольку, согласно (251), (254), их единственное отличие от одномерного случая состоит в громоздкости формул из-за наличия двойных индексов.
Рассмотрим некоторые аспекты численного решения задачи дифракции на бинарной решетке. Наибольшей вычислительной сложностью обладают проце-дура решения системы дифференциальных уравнений (235) и процедура реше-ния системы линейных уравнений (251). Решение системы дифференциальных уравнений сводится к вычислению экспоненты в степени матрицы в (254). Спе-циальный вид матрицы системы (237) позволяет существенно упростить реше-ние этой задачи. Действительно, перегруппируем дифференциальные уравнения системы (235) и представим вектор столбец ( )zV% искомых функций в виде
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,...,z q t N N= −
( )
, , ,, , ,x qt y qt x qt y qtS z S z U z U . (255) В этом случае система (37) примет вид
( )z
zd
dz= ⋅
VA V
%% %
( )
( )
2 20 0
2 20
0 0
0 0
α α
β α
⎛ ⎞ε − ε⎜ ⎟⎜ ⎟−ε⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
E D C D
E D C D
, (256)
где (257)
( )
( )
( )
( )
00 12
0 0
1 20 0
0 0
0 0ik
α β
β β
α β α
β α β
ε −=
−ε ε −
− ε ε
D C D
D C DA
D D D C
C D D D
%
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- матрица системы. Решение задачи дифракции требует вычисления вектора искомых функций ( )z ( )V% при z=a. Расчет aV% сводится к вычислению к вы-
числению экспоненты в степени матрицы ( )exp a⋅A%
1 a
. Обозначим W,
Λ матрицу собственных векторов и диагональную матрицу собственных зна-чений матрицы
= ⋅A A% %
1A%. (258)
В дальнейшем будем предполагать, что матрица не имеет кратных соб-ственных значений [7-9]. Экспонента в степени матрицы может быть пред-ставлена в виде [13]:
( )1exp exp ( ) ( )1 1exp− −= ⋅ ⋅W W WΛ Λ
1A% ( )1exp A%
1A%
1A%
1A%
11
22
0,
0⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
WΛ
Λ1
1
= ⋅ ⋅A W% , (259)
где exp(Λ) - диагональная матрица с элементами exp(λi), а λi, i=1,…,4(2N+1)2 -
собственные значения матрицы . Таким образом, вычисление сво-
дится к расчету собственных значений и собственных векторов матрицы .
Покажем, что представление матрицы в виде (257), (258) позволяет в два раза уменьшить размерность задачи на собственные значения [9]. Представим матрицы
W, Λ в виде блочных матриц с размером блока 2(2N+1)2×2(2N+1)2 [9]:
11 12121
21 2221
0,
0⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
W WAA W
W WA
%%
%. (260)
−Поскольку = ⋅ Λ ⋅A W W%
12 11
22 22
00
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
W WW
ΛΛ
11 11 12 22
21 11 22 22
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
W WW W
Λ ΛΛ Λ
21 11 11 11 11
22 22 12 22 22
,
.
= =
= =
W W
W W
Λ Λ Λ
Λ Λ Λ
12 21=B A A% %
, то
11 12 1112
21 22 2121
00
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
W WAW W WA
%
%,
12 21 12 22
21 11 21 12
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
A W A WA W A W
% %
% %
и будем иметь
12 21 11 12
12 21 12 12
A A W A
A A W A
% % %
% % % (261)
Введем матрицу
(262) и представим (261) в виде
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
66
2 212 12 22⋅ =B W WΛ Λ
2 211 11 12 22, , ,W WΛ Λ
121 21 11 11 22 21,−= = −W A W W WΛ%
1A%
11 11 11,⋅ =B W W . (263)
Согласно (263), - матрицы собственных векторов и диа-гональные матрицы собственных значений одной и той же матрицы B. Поэтому
11 12 22 11,= = −W W Λ Λ и . (264) Соотношения (264) определяют собственные значения и собственные век-
тора матрицы через собственные значения и собственные вектора матрицы B в два раза меньшего размера виде:
11
11
0
0
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
Λ
Λ
, ,,
11 111 1
21 11 11 21 11 11
,− −
⎛ ⎞= ⎜ −⎝ ⎠
W WW
A W A WΛ
Λ Λ% % . (265)
В работе [9] отмечено, что уменьшение в 2 раза размерности задачи на собственные значения эквивалентно сведению системы (256), (257) 4(2N+1)2 дифференциальных уравнений первого порядка к системе 2(2N+1)2 уравнений второго порядка.
В заключение отметим, что граничные условия (239) позволили предста-вить решение задачи дифракции в простом виде. Действительно, общее пред-ставление поля в зоне модуляции (241) содержит 4(2N+1)2 произвольных ко-эффициентов E ij H ijC C± ±
, ,,
. В общем случае решение задачи дифракции требует
совместного определения коэффициентов E ij H ijC C± ±
, ,
, RE,ij, TE,ij из условий равенства тангенциальных компонент поля на границах зоны модуляции. Вид граничных условий (239) позволил аналитически выразить коэффициенты
,E ijC±H ijC±
, ,,
через коэффициенты TE,ij в виде (246). Таким образом, мы исклю-
чили из рассмотрения коэффициенты E ij H ijC C± ±
( )
( )2 22 1
1 1exp
N N
l l ll l
C z+ +
− − −
= =
− + λ∑ S
и свели решение задачи к совместному определению только коэффициентов RE,ij, TE,ij из условия равен-ства тангенциальных компонент поля на верхней границе зоны модуляции.
Тем не менее простой алгоритмический подход (239), (246), (251) обладает недостатками с точки зрения численной реализации. Основной недостаток состоит в необходимости вычисления диагональной матрицы exp(Λ) в (259). Матрица exp(Λ) содержит элементы exp(λi), где λi - собственные значения матрицы системы дифференциальных уравнений (256). При увеличении глубины профиля a собственные значениях λi растут, что приводит к перепол-нению при вычислении экспонент exp(λi) [8,9]. Для численной реализации, исключающей переполнение, общее решение системы дифференциальных уравнений (256), (257) представляется в виде:
( )( )
( )( )2 2 1 2
expl l lz C z a+ + += λ∑V S% , (266)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
67
,l l± ±λ S
( )exp l a+λ ( )exp l z+λ
lC±
где – собственные числа и собственные вектора матрицы (257) [8,9]. Согласно (258), (265), первая половина собственных значений матрицы (257) имеет положительную действительную часть, а вторая половина – отрицатель-ную. Знаки ‘±’ в индексах собственных чисел и векторов обозначают знаки действительной части собственных значений. Представление решения системы (256), (257) в виде (266) позволяет избежать переполнения за счет введения множителей , компенсирующих значения экспонент на верхней границе зоны модуляции при z=a. Отметим, что представление реше-ния системы в виде (266) соответствует использованию в качестве граничных условий собственных векторов матрицы (257). Коэффициенты , RE,ij, TE,ij определяются из условий равенства тангенциальных компонент поля на гра-ницах зоны модуляции:
( ) ( )
( )( )2
,
2 2 1
, ,1 1
0 0
,
nm
N
l l l nml l
C a C+
+ − −
= =
+ =
λ +∑ ∑S S( )2
, , ,
2 2 1
exp
E nm E nm H nm H
N
l l nm
T T− −
++ += −
S S% %
(267)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
,00 ,00
,
H Ha I a
a
− −+ =
λ
S S
, , , ,, , ,
( ) ( )2 2
, , , , ,00 ,00
2 2 1 2 2 1
, ,1 1
exp
E nm E nm H nm H nm E E
N N
l l nm l l nm ll l
R a T a I
C C
+ +
+ ++ + − − −
= =
+ +
= +∑ ∑
S S
S S (268)
где вектора E nm H nm E nm H nm± ± ± ±S S S S% %
l
определены в (238), (239). Уравнения (267), (268) определяют систему 8(2N+1)2 линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Несмотря на то, что система линейных уравне-ний (267), (268) имеет в два раза большую размерность, чем система уравне-ний (251), ее решение не является более сложным. Можно показать, что урав-нения (267), (268) позволяют выразить коэффициенты отражения и пропуска-ния RE,ij, TE,ij через коэффициенты C ± , а расчет lC ± свести к решению системы 4(2N+1)2 линейных уравнений. Мы не приводим конечных расчетных формул только из-за их громоздкости.
Таким образом, мы получили два представления решения задачи дифрак-ции. Представление (239), (246), (251) является простым и наглядным, а пред-ставление (266)-(268) устраняет возможные переполнения и обладает лучшей вычислительной устойчивостью.
5.2. Синтез субволновых антиотражающих покрытий
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приведенный метод решения задачи дифракции был использован для рас-чета субволновых антиотражающих бинарных дифракционных решеток. Тер-мин «субволновые решетки» означает, что решетка имеет только нулевые от-раженный и прошедший распространяющиеся порядки. Остальные порядки соответствуют затухающим волнам. Для существования только нулевых порядков при нормальном падении, периоды dx, dy решетки должны удовле-творять условиям
68
( ) ( )0 0max ,y
s s
d λ<
ε ε,
max ,xd λ
<ε ε
. (269)
Пример 13. В качестве антиотражающего покрытия была использована про-стейшая бинарная решетка с равными периодами dx=dy=d по осям Ox, Oy и имеющая на периоде одну квадратную выемку c размером стороны r∈(0,d) и с глубиной h. Интенсивности отраженных и прошедших порядков для двумер-ной решетки рассчитываются по формулам
2 2
, ,Rnm E nm H nmI R R= +
2 2
, ,, .Tnm E nm H nmI T T= +
00
(270)
Расчет антиотражающего покрытия состоял в вычислении интенсивности ну-левого отраженного порядка RI
00
при различных значениях глубины выемки h и размера ступеньки r при фиксированном периоде d. Значения h, r, обеспечиваю-щие минимум отражения RI , и будут оптимальными параметрами решетки.
Для расчета были выбраны следующие параметры: λ=10,6 мкм, ε0=1, εs=5,76, d=0,25λ=2,65 мкм. Указанные значения диэлектрической проницаемо-сти εs и длины волны соответствуют случаю синтеза антиотражающего покры-тия из ZnSe (цинк селенид) для CO2 лазера. Задача синтеза такого покрытия является особенно актуальной при большой мощности CO2 лазера. На рис. 20 приведен график функции ( )00 , /RI h r d
)( )00 , /RI h r d
при h∈(0, 3.5)мкм и r/d∈(0.1, 0.8). Рас-чет проводился по формулам (266)-(268) при N=5 для случая нормального па-дения плоской волны. Падающая волна представлялась в виде суперпозиции Е- и Н- волн с равными коэффициентами IE,00, IH,00 в (222). Такое представле-ние моделирует случай неполяризованного света. Рис. 20 показывает, что при r/d~0,8 и h~1,8 мкм имеется ясно выраженный минимум коэффициента отра-жения . На рис. 21 приведен график коэффициента отражения
при оптимальном размере выемки r=0,8d и различных значениях
(00 , /RI h r d
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
высоты. Из графика на рис. 21 видно, что для решетки с квадратной выемкой коэффициент отражения падает фактически до нуля при глубинах 0,18 λ, 0,49 λ, и 0,82λ. При этом на плоской границе раздела “цинк селенид – воздух” коэффициент отражения составляет около 17%.
Рис. 20. Зависимость коэффициента отражения
Рис. 21. Зависимость коэффициента отражения
69
00RI от глубины h∈(0, 3,5)
мкм и размера стороны квадратной выемки r/d∈(0,1, 0,8)
00RI от глубины (h/λ)
при оптимальном размере стороны выемки r/d=0,8
Пример 14. Были исследованы антиотражающие свойства бинарной решетки, имеющей на периоде круглую выемку. На рис. 22 приведен график функции
при h∈(0, 3,5) мкм, r/d∈(0,1, 0,45). Рис. 22 показывает, что мини-
мум коэффициента отражения достигается при r/d=0,45 и h~1,9 мкм. График коэффициента отражения
( )00 , /RI h r d
( )00 , /RI h r d при оптимальном радиусе выемки
r=0,45d и различных значениях высоты приведен на рис. 23. Рис. 23 показыва-ет, что для решетки с круглой выемкой коэффициент отражения падает факти-чески до нуля при глубинах 0,17λ, 0,5λ, и 0,83λ.
Пример 15. Была исследована возможность использования простейших би-нарных решеток с квадратной и круглой выемками в качестве отражающего покрытия для вольфрама в видимой части спектра при λ=0,55 мкм. В этом случае диэлектрическая проницаемость комплексная и для λ=0,55 мкм
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(εs=4,8+19,11i. Графики коэффициента отражения )00 , /RI h r d для бинарных
решеток на вольфраме при периоде d = 0,85λ приведены на рис. 24. Рис. 24 показывает, что минимум коэффициента отражения достигается при размере квадратной выемки r = 0,75d и при радиусе круглой выемки r = 0,4d при при-мерно равной глубине h ~ 0,35λ.
Рис. 23. Зависимость коэффициента отражения
Рис. 22. Зависимость коэффициента отражения
70
00RI от глубины h∈(0, 3,5) мкм
и радиуса выемки r/d∈(0,1, 0,45) для бинарного покрытия
00RI от глубины h/λ
при оптимальном радиусе выемки r=0,45d
а) б)
Рис. 24. Зависимость коэффициента отражения от глубины (h/λ)∈(0, 0,4) мкм и размеров выемки r/d для решеток с квадратной выемкой (а) и с круглой выемкой (б)
Графики коэффициентов отражения при оптимальных размерах выемок
приведены на рис. 25. Из графиков на рис. 25 видно, что коэффициент отраже-ния для плоской границы вольфрам-воздух близок к 50%. С ростом глубины коэффициент отражения уменьшается, достигая нуля при глубине h ≈ 0,33λ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
для решетки с квадратной выемкой и при глубине h ≈ 0,38λ для решетки с круг-лой выемкой. В отличие от диэлектрических решеток на рис. 21, 23, вторичные минимумы выражены слабо.
На рис. 26 приведены графики для коэффициентов отражения при оптималь-ных размерах выемок в зависимости от длины волны в диапазоне от 0,35 мкм до 3,5 мкм. Верхние графики на рис. 26 показывают коэффициент отражения для плоской границы раздела вольфрам-воздух. Рис. 26 показывает наличие резких минимумов коэффициента отражения вблизи расчетной длины волны λ=0,55 мкм. При этом в пределах всего видимого диапазона коэффициент отражения для би-нарных решеток более чем в 2 раза меньше, чем для плоской границы раздела.
71
а) б) Рис. 25. Зависимость коэффициента отражения от глубины h/λ для решеток
с квадратной выемкой размера r=0,75d (а) и с круглой выемкой с радиуса r=0,4d (б)
а) б) Рис. 26. Зависимость коэффициента отражения от длины волны для решеток с квадратной выемкой при r = 0,75d и h = 0,33λ (а)
и с круглой выемкой при r = 0,4d и h = 0,38λ (б)
На рис. 27 приведены графики интенсивности отраженных порядков для рассчитанных решеток в зависимости от угла падения θ в диапазоне от 0 до 45°. В этом случае единичный вектор n=(-cos(θ),0,sin(θ)) направления падаю-щей волны в (221) расположен в плоскости XOZ, а угол θ отсчитывается от оси Оz. Как и ранее падающая волна соответствует суперпозиции Е и Н волн с равными коэффициентами IE,00, IH,00. Рис. 27 показывает, что в пределах 45°
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
интенсивность нулевого отраженного порядка составляет менее 8%. При θ>8,63° появляется дополнительный порядок дифракции (-1,0). Интересно от-метить, что интенсивность -1-го порядка оказывается значительно выше ин-тенсивности 0-го порядка. Несмотря на сильный -1-ый, решетки отражают зна-чительно меньше, чем плоская граница раздела вольфрам-воздух. При θ<45° суммарные коэффициенты отражения для решеток не превышают 20%, в то время как для плоской границы коэффициент отражения близок к 50%.
72
а) б) Рис. 27. Зависимость интенсивности 0-го и -1-го отраженных порядков
от угла падения для решеток с квадратной выемкой при r = 0,75d, h = 0,33λ (а) и с круглой выемкой при r = 0,4d, h = 0,38λ (б)
5.3. Расчет поля от линзовых растров
Метод решения задачи дифракции был использован для исследования структу-ры поля, формируемого растром бинарных линз. Растр бинарных линз является ча-стным случаем бинарной дифракционной решетки. Пусть растр линз предназначен для фокусировки в области подложки (зона 3), выполненной из непоглощающего диэлектрика. Для удобства фокус линз определим в длинах волн в зоне 3 в виде
3 0 / sf N N= − λ = − λ ε . (271) В этом случае высота ступенек и радиусы зон бинарной линзы определя-
ются по формулам
( )23
3, / 42 1
m
s
h rλ
= = λε −
, 1, 2,..., 2 ,m mN m M+ = (272)
где М – полное число зон. Формулы (272) получены в рамках геометрической оптики. Интересно исследовать фокусирующие свойства растра бинарных линз (272) при «экстремальных параметрах», когда радиус апертуры линзы R составля-ет всего несколько длин волн, а фокус сравним по величине с радиусом.
Пример 16. На рис. 28 приведено расчетное распределение интенсивности поля, формируемого растром бинарных линз в диэлектрике (εs=2,25) при нор-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
73
) ( ) ( )( )
мальном падении плоской волны, соответствующей суперпозиции Е и Н волн с равными коэффициентами IE,00, IH,00 в (222). Единицы длины вдоль осей на рис. 28 приведены в длинах волн λ3. Под распределением интенсивности по-нимается модуль z-компоненты вектора Умова-Пойнтинга:
( ) ( ) (* *, ,T y T xE H= −x x x
( ) ( ), ,Re T x T yI E Hx x , (273)
( ) ( ), ,, , ,T y T xE Hx x x x, ,T x T yE Hгде – компоненты вектора тангенциальных
компонент прошедшего поля (224).
а) б)
Рис. 28. Распределение интенсивности для растра бинарных линз с параметрами R = 3,54λ3, фокусом f = 2λ3 в фокальной плоскости z = -f (а) и в плоскости XOZ (б)
Расчет поля (273) проводился при следующих параметрах λ0 = 0,55 мкм,
3 0 / sλ = λ ε ≈ 0,37 мкм, радиус апертуры R = 3,54λ3, фокус линзы f = 2λ3. При указанных значениях параметров линза растра имеет две зоны. Период решет-ки является квадратным со стороной d = 2R. При этом в зоне периода, распо-ложенной вне апертуры линзы, диэлектрическая проницаемость совпадает с диэлектрической проницаемостью подложки εs=2,25. На рис. 28а показано распределение интенсивности, рассчитанное в фокальной плоскости z = -f в пределах периода. Расчет проводился по формулам (266)-(268) при N=15, что соответствует учету 225 порядков в прошедшем поле (224). На рис. 28а виден резкий пик интенсивности с диаметром порядка 1,5λ3. Таким образом, несмотря на то, что радиус линзы растра всего в 3,5 раза больше длины волны, а фокус лин-зы меньше радиуса в 1,7 раза, бинарная линза сохранила свои фокусирующие свойства. В углах периода видны вторичные всплески, обусловленные наличием на краях периода зон с постоянной диэлектрической проницаемостью, незанятых линзой. Расчетное распределение интенсивности в плоскости XOZ на рис. 28б показывает формирование пика вдоль оптической оси с размером порядка 2λ3.
На рис. 29, 30 приведены расчетные распределения интенсивности поля для растра бинарных линз с большими радиусами 4,9λ3, 5,6λ3 и большими, относительно величины радиусов, фокусами 5λ3 и 7λ3. При указанных пара-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
метрах линзы растра также имеют две полных зоны. Рис. 28-30 показывают, что с увеличением радиуса и уменьшением числовой апертуры фокальный пик становится более резким, а вторичные колебания интенсивности слабеют. В рамках скалярной теории величина пика интенсивности в фокусе бинарной линзы определяется по формуле
74
22
25 ln 1f Rf
⎛ ⎞⎛ ⎞π= ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( )
0.40I% , (274)
где коэффициент 0,405 представляет потери, обусловленным бинарным типом рельефа линзы. Из трех представленных растров линз, параметры линзы на рис. 30 наиболее близки к скалярной теории. Для линзы на рис. 30 относитель-ное отличие величины пика от значения, рассчитанного в рамках скалярной теории по формуле (274),
I 0,0,I fI
− −Δ =
%
%, (77)
составляет 10,4%. Для линзы с наиболее экстремальными параметрами на рис. 28 отличие составляет более 46%. Таким образом, скалярное приближение дало ошибку 10% уже при радиусе в 5,6 длин волн и фокусе всего лишь на 20% больше радиуса.
а) б)
Рис. 29. Распределение интенсивности для растра бинарных линз с параметрами R = 4,9λ3, фокусом f = 5λ3 в фокальной плоскости z = -f (а) и в плоскости XOZ (б)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
75
а) б)
Рис. 30. Распределение интенсивности для растра бинарных линз с параметрами R = 5,6λ3, фокусом f = 7λ3 в фокальной плоскости z = -f (а) и в плоскости XOZ (б)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
76
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Рассмотрены решения задачи дифракции плоской волны на одномерных
дифракционных решетках различных типов. В рамках электромагнитной тео-рии проведен анализ работы дифракционных решеток различных типов. Про-веденный анализ показывает актуальность и необходимость использования точных процедур расчета при исследовании дифракционных решеток с разме-ром периода, сравнимым с длиной волны.
На основе приведенных решений прямых задач, в рамках электромагнит-ной теории разработаны градиентные методы решения обратных задач расчета дифракционных решеток. Решения обратных задач, состоящих в расчете про-филя решетки из условия формирования заданных интенсивностей порядков, основаны на градиентной минимизации функционалов-критериев. Приведен-ные результаты расчетов показывают актуальность точных процедур синтеза решеток и подтверждают эффективность разработанных градиентных проце-дур. Показана работоспособность градиентной процедуры в задаче расчета однопорядковых бинарных решеток, концентрирующих излучение в -1-м или +1-м порядке. Однопорядковые решетки имеют ряд интересных применений. В частности, преобразование рельефа дифракционной линзы по закону бинар-ной однопорядковой решетки позволяет достичь энергетической эффективно-сти более 90% при бинарном профиле.
Детально рассмотрены решения задачи дифракции на диэлектрической решетке в общем трехмерном случае. Рассмотрены аспекты численного реше-ния задачи для трехмерной бинарной решетки. Проведен расчет субволновых бинарных антиотражающих покрытий. Показано, что простые бинарные ре-шетки, имеющие на периоде одну прямоугольную или круглую выемку, по-зволяют свести потери на отражение фактически до нуля как в видимой, так в инфракрасной части спектра. Проведено исследование структуры поля, фор-мируемого растром бинарных линз. Показано, что растр бинарных линз сохра-няет свои фокусирующие свойства даже при экстремальных параметрах, когда радиус линзы растра составляет всего 3,5 длины волны, а фокус линзы меньше радиуса в 1,7 раза.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
77
СПИСОК КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ
1. Какие уравнения Максвелла используются при решении задачи дифрак-ции на решетке?
2. Какие граничные условия используются при решении задачи дифракции на идеально проводящих и диэлектрических решетках?
3. В каком виде представляется отраженное (прошедшее) поле вне дифрак-ционной решетки?
4. В чем состоит приближение Рэлея? 5. Что такое квазипериодическая функция и как они используются при опи-
сании полей в дифракционных решетках? 6. Какие уравнения представляют поля внутри диэлектрической решетки
для ТЕ- и ТМ-поляризаций? 7. Какие матричные функции используются для представления поля внутри
бинарных диэлектрических решеток? В чем удобство матричного форма-лизма?
8. В чем суть градиентных методов расчета дифракционных решеток? 9. Какое представление используется для отраженного и прошедшего полей
в случае двумерной диэлектрической решетки? 10. Какие субволновые антиотражающие структуры рассмотрены в пособии?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78
СПИСОК СПЕЦИАЛЬНЫХ ТЕРМИНОВ Дифракционные решетки Дифракционные порядки Интенсивности прошедших и отраженных дифракционных порядков Приближение Рэлея Разложение Рэлея Квазипериодическая функция ТЕ-поляризация и ТМ-поляризация Градиентные методы расчета дифракционных решеток Е-волна и Н-волна Субволновая решетка
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
79
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Electromagnetic Theory of Gratings: Topics in current physics / Ed. by R.Petit, - 22, N.Y.: Springer-Verlag., 1980.- 286 pp.
2. Kok, Y.L. Relative phases of electromagnetic waves diffracted by rectangular-grooved grating / Y.L. Kok, N.C. Gallagher // JOSA A. - 1988. – Vol. 5 (1). – p. 65-73.
3. Kok, Y.L. Design of a binary chirped grating for near-field operation / Y.L. Kok // Opt. Eng. – 1994. – Vol. 33 (11). – p. 3604-3609.
4. Moharam, M.G. Rigorous coupled-wave analysis of metallic surface-relief gratings / M.G. Moharam, T.K. Gaylord // JOSA A. – 1986. – Vol. 3 (11). – p. 1780-1787.
5. Методы компьютерной оптики (Издание второе, исправленное) / под ред. Сойфе-ра В.А.- М.: Физматлит, 2003. - 688 с.
6. Methods For Computer Design of Diffractive Optical Elements / Edited by Victor A. Soifer - A Wiley-Interscience Publication John Wiley & Sons, Inc., 2002. - 765 pp.
7. Moharam, M.G. , Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary grating / M.G. Moharam, E.B. Grann, D.A. Pommet // JOSA A. – 1995. - Vol. 12 (5). - p. 1068-1076.
8. Moharam, M.G. Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for sur-face-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach / M.G. Moharam, D.A. Pommet, E.B. Grann // JOSA A. – 1995. – Vol.12 (5). – p. 1077-1086.
9. Peng, S. An efficient implementation of rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings / S. Peng, G.M. Morris // JOSA A. – 1995. – Vol.12 (5). – p. 1087-1096.
10. Lalanne, P. Highly improved convergence of the coupled-wave method for TM polari-zation / P. Lalanne, G.M. Morris // JOSA A. – 1996. – Vol.13 (4). – p. 779-784.
11. Popov, E. Grating theory: new equations in Fourier space leading to fast converging results for TM polarization / E. Popov, M. Nevier // JOSA A. - 2000. – Vol. 17 (10). – p. 1773-1784.
12. Li, L. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures / L. Li // JOSA A. – 1996. – Vol. 13 (9). – p. 1870-1876.
13. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер - М.: Наука, 1988. - 548 c. 14. Doskolovich, L.L. A gradient method for design of multiorder varied-depth binary
diffraction gratings - a comparison / L.L. Doskolovich [and other] // Opt. And Lasers in Eng. 1998. – Vol. 29(4). – p. 249-259.
15. Zhou, C. Numerical study of Dammann array illuminator / C. Zhou, L. Liu // Appl.Opt. – 1995. – Vol. 34(26). – p. 5961-5969.
16. Doskolovich L.L. Designing binary dielectric gratings and 1-D Does using the electro-magnetic theory /L.L. Doskolovich // Opt. Memory and Neural Networks. – 2000. – Vol. 9 (1). – p. 1-12.
17. Досколович, Л.Л. Расчет бинарных диэлектрических решеток и одномерных ДОЭ в рамках электромагнитной теории / Л.Л. Досколович // Компьютерная оп-тика. – 1999. – №19. – С. 21-28.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80
18. Doskolovich, L.L. Analytical initial approximation for multiorder binary grating design / L.L. Doskolovich [and other] // J.Opt.A: Pure Appl.Opt. - 1994 - Vol. 3. – p. 921-930.
19. Doskolovich, L.L. Direct two-dimensional calculation of. binary DOEs using a non-binary series approach / L.L. Doskolovich [and other] // Int. Jour. of Optoelectronics. - 1995. – Vol. 10. – p. 243-249.
20. Soifer, V. Iterative Methods for Diffractive Optical Elements Computation / V. Soifer, V. Kotlyar, L. Doskolovich - London, Taylor&Francis Ltd., 1997. - 244 pp.
21. Moharam, M.G. Diffraction analysis of dielectric surface-relief gratings / M.G. Mo-haram, T.K. Gaylord // JOSA A. - 1982. – Vol. 72 (10). – p. 1385-1392.
22. Veldkamp, W.B. High efficiency binary lenses / W.B. Veldkamp, G.C. Swanson, D.C. Shaver // Opt. Com. - 1984. – Vol. 5 (6). – p. 353-358.
23. Doskolovich, L.L. Gradient method for the design of multiorder diffraction gratings using the Rayleigh method / L.L. Doskolovich [and other] // Proc. SPIE. – 1997. – Vol. 3310. – p. 725-733.
24. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн / В.В. Ни-кольский, Т.И. Никольская. - М.: Наука, 1989. - 543 c.
25. Li, L. New formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings / L Li // JOSA A. – 1997. – Vol. 14 (10). – p. 2758-2766.
26. Li, L. Fourier modal method for crossed anisotropic gratings with arbitrary permittivity and permeability tensors / L Li // J.Opt.A: Pure Appl.Opt. – 2003. – Vol. 5. – p. 345–355.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Досколович Леонид Леонидович
РАСЧЕТ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК В РАМКАХ СТРОГОЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ
Учебное пособие
Компьютерная верстка С. В. Смагин, Я.Е. Тахтаров, М.А. Вахе Редакторская обработкаа
Доверстка
Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 5. Тираж экз. Заказ _______ . ИП- /2007
Самарский государственный аэрокосмический университет.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»