ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΛΥΜΕΝΑ

- 1 – ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ ΑΑΘΘΑΑΝΝΑΑΣΣΙΙΟΟΣΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΛΑΙΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ .

1) (2003)

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z=α+βi, όπου ,a β ∈ℝ και 3 4w z iz= − + , όπου z είναι ο

συζυγής του z.

α.Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α–β+4 και Ιm(w)=3β–α.

β.Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με

εξίσωση y=x–12, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση

y=x–2.

γ.Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι εικόνες των οποίων κινούνται

στην ευθεία με εξίσωση y=x–2, έχει το ελάχιστο μέτρο.

Λύση

α. Είναι z a iβ= + και z a iβ= −

23 4 3( ) ( ) 4 3 3 4 3 3 4

(3 4) (3 )

w z iz a i i a i a i ia i a i ia

a a i

β β β β β ββ β

= − + = + − − + = + − + + = + − − +

= − + + −

Άρα:

Re( ) 3 4w a β= − + και Im( ) 3w aβ= − .

β) Έστω w=x+yi οπότε ισχύει y=x-12 (1)

x, y ∈ R

αλλά ( )

⇔−+−=−⇒−=

+−=12433

3

43 1

βααβαβ

βy

ax

⇔ 4α-4β=8 ⇔ α-β=2 ⇔ β=α-2 δηλαδή οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x-2

γ) z=α+βi και είναι σημείο της y=x-2 Ελάχιστο μέτρο θα έχει ο μιγαδικός που έχει εικόνα το σημείο

τομής της (ε) και της κάθετης από το 0 στην (ε) η οποία έχει εξίσωση y=-x ως κάθετη στη

προηγούμενη

⇔−=

=⇔

−=

−=−⇔

−=

−=

1

122

y

x

xy

xx

xy

xy

Σημειο τομής (1, -1) δηλαδή z=1-i •

2)( Θέμα 2005 )Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2, z3 με 1 2 3 3z z z= = = . Δείξτε ότι 11

9z

z=

β . Δείξτε ότι ο αριθμός 1 2

2 1

z z

z z+ είναι πραγματικός .

γ . Δείξτε ότι:

133221321 3

1zzzzzzzzz ⋅+⋅+⋅=++



Λυση

α.

1111

2

11

9993

zzzzzz =⇔=⋅⇔=⇒=

β.

Θα δείξω πρώτα: Rz ∈ zz =⇔

Έστω z=x+yi τότε: x-yi=x+yi Rzyyi ∈⇔=⇔=⇔ 002

Αρκεί να δείξουμε ότι:

=

+

1

2

2

1

z

z

z

z

1

2

2

1

z

z

z

z+

Έχουμε:

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

/9

/9

/9

/9

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z+=+=+=

+

γ.

1 2 31 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z z z z

9 9 9 1 1 19

z z z z z z

+ + = + + = + + =

= + + = + + =

2 3 1 3 1 22 3 1 3 1 2

1 2 3 1 2 3

2 3 1 3 1 2

1 2 2 3 3 1

z z z z z zz z z z z z9 9

z z z z z z

z z z z z z 19 z z z z z z

3 3 3 3

+ ++ += =

+ +

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ ⋅

•

3) (2006)Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2, z3 με 1 2 3 1z z z= = = και z1 + z2+z3=0

α. Να αποδείξετε ότι:

i. .321321 zzzzzz −=−=−

ii. 2

1 2 4z z− ≤ και ( ) 1Re 21 −≥zz

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των 1 2 3, ,z z z στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του

τριγώνου που αυτές σχηματίζουν.

Λυση

α. i. ⇔−=− 3221 zzzz

( ) 331311 zzzzzz −−−=−−− ή

3131 22 zzzz +=+ ή

2

31

2

31 22 zzzz +=+ ή

( )( ) ( )( )31313131 2222 zzzzzzzz ++=++ ή

3331311133313111 422224 zzzzzzzzzzzzzzzz +++=+++



2

3

2

1 33 zz = ή 31 zz = ισχύει.

Όμοια 3213 zzzz −=−

ii. 42

21 ≤− zz ή 221 ≤− zz

Αφού οι εικόνες των μιγαδικών διατρέχουν το μοναδιαίο κύκλο η απόσταση των εικόνων τους θα είναι

μικρότερη ή ίση της διαμέτρου που είναι 2

• ⇔≤− 42

21 zz

( )( ) ⇔≤−− 42121 zzzz

⇔≤+−− 411 1221 zzzz

( ) ⇔−≥+⇔−≥+ 22 21211221 zzzzzzzz

( ) ( ) 1Re2Re2 2121 −≥⇔−≥ zzzz

β. Οι εικόνες των z1, z2, z3 βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο και επειδή οι αποστάσεις των εικόνων τους

(σύμφωνα με το α. i) είναι ίσες θα είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.

•

4) ( επαναληπτικές 2007)Δίνονται οι μιγαδικοί 1z a iβ= + και 12

1

2

2

zz

z

−=

+ , όπου ,a β ∈ℝ με 0β ≠ .

Δίνεται επίσης ότι 2 1z z− ∈ℝ .

Α) να αποδείξετε ότι 2 1 1z z− =

Β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του 1z στο μιγαδικό επίπεδο.

Γ) Αν ο αριθμός 2

1z είναι φανταστικός και 0aβ > , να υπολογίσετε τον 1z και να αποδείξετε ότι

20 201 1( 1 ) ( 1 ) 0z i z i+ + − + − =

Λύση

Α) Είναι :

12

1

2 2

2 2 2 2

2 2 2 (2 )(2 )..

2 (2 )(2 )2 2

4 4(1)

4 4 4 4

z a i a i a i a iz

a i a i a iz a i

ai

a a a a

β β β ββ β ββ

β ββ β

− − + − − − − + += = = = = =

+ − + − + ++ + +

− −= +

+ + + + + +

Επίσης είναι :

2 1 2 1 2 1 2 1

02 2 2 2

2 2

Im( ) 0 Im( ) Im( ) 0 Im( ) Im( )

40 ... ( 4 ) 0 4 0

4 4

z z z z z z z z

a aa a

βββ β β α β α

β

≠

− ∈ ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

⇔ − = ⇔ ⇔ + + = ⇔ + + =+ + +

ℝ

Άρα από την σχέση (1) παίρνουμε :



2 1

4 4 41 1

4 0 4 0z i i z

α βα β

+= + = + + = +

+ +

Επομένως είναι 2 1 1z z− =

Β) Σύμφωνα με το ερώτημα (α) παίρνουμε :

2 2 4 0a β α+ + =

Άρα η εικόνα Μ(α,β) του 1z ικανοποίει την σχεση 2 2 4 0x y x+ + = , η οποία παριστάνει τον κύκλο με κέντρο

Κ(-2,0) και ακτίνας ρ=2.Επειδη 0β ≠ προκύπτει ότι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι ο παραπάνω

κύκλος εξαιρούμενων των σημείων Α(-4,0) και Ο (0,0).

Γ) Είναι 2 2 2 2 2 2

1 ( ) 2 ( ) 2z a i a a i i a a iβ β β β β= + = + + = + − , άρα

2 2 2 2 21 0z I a aβ β∈ ⇔ − = ⇔ =

Και επειδή 0β ≠ , προκύπτει ότι 0a ≠ . Άρα από την σχέση 2 2 4 0a β α+ + = του ερωτήματος (α)

παίρνουμε :

022 4 0 2 ( 2) 0 2

a

a a a aα≠

+ = ⇔ + = ⇔ = −

Από την σχέση αβ>0 παίρνουμε 2 0 0β β− > ⇔ < , άρα, επειδή 2 2a β= , προκύπτει β=-2, οπότε είναι

1 2 2z i= − − .Επομένως έχουμε:

20 20 20 20 2 10 2 101 1

10 10

( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (( 1 ) ) (( 1 ) )

(2 ) ( 2 ) 0

z i z i i i i i

i i

+ + − + − = − − − − + = − − − − + =

− − =

•

5) (2008)Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν

(i 2 2)z 6+ = και w (1 i) w (3 3i)− − = − −

τότε να βρείτε:

α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z .

β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w .

γ. την ελάχιστη τιμή του w

δ. την ελάχιστη τιμή του z w−



Λυση

Α.

2 2

(i 2 2)z i 2 2 z

1 (2 2) z 9 z 3 z 6 z 2

+ = + =

= + = = = ⇔ =

Άρα η εικόνα του z, έστω Α, βρίσκεται σε κύκλο C με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα R=2

Αντίστροφα Οποιοδήποτε σημείο Α του C απέχει από το Ο απόσταση ίση με 2 οπότε Γ.Τ του Α είναι

ολόκληρος ο κύκλος C

(θα μπορούσαμε εναλλακτικά να θέσουμε z x iy ,x,y R= + ∈ να κάνουμε όλες τις επιμεριστικές και μετά να

χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του μέτρου ε την ρίζα, ή να υψώσουμε στο τετράγωνο και μετά να κάνουμε τις

πράξεις, θα καταλήξουμε σε κάθε περίπτωση στην εξίσωση του C :2 2x y 4+ = .)

Β. Αν Β η εικόνα του w x iy ,x, y R= + ∈ τότε

2 2 2 2

| w (1 i) | | w (3 3i) |

| (x 1) i(y 1) | | (x 3) i(y 3) |

(x 1) (y 1) (x 3) (y 3)

... x y 4 0

− − = − − ⇔

− + + = − + + ⇔

− + + = − + +

⇔ ⇔ − − =

Οπότε o Γ. Τ του Β είναι η ευθεία (ε) : x y 4 0− − =

Γ. | w | | w 0 |= − = απόσταση του Ο(0,0) από το τυχαίο σημείο Β της (ε)

Το μήκος της ΟΒ, έστω d, γίνεται ελάχιστο όταν OB ( )⊥ ε

min 2 2

0 0 4d d(O, ) 2 2

1 ( 1)

− −= ε = =

+ −

Δ. Είναι | z w | | w | | z | | w | 2 2 2 2− ≥ − = − ≥ −

Άρα αν υπάρχουν μιγαδικοί ώστε οι παραπάνω ανισότητες να γίνονται ισότητες τότε η ελάχιστη τιμή

min| z w | 2 2 2− = −

Πράγματι αρκεί οι εικόνες Ο,Α και Β να είναι συνευθειακά σημεία και τα OB OA↑↑��

ώστε η πρώτη

ανισότητα να γίνει ισότητα, γνωστό από την β λυκείου και το Β να ταυτιστεί με το Β0 ώστε και η

δεύτερη ανισότητα να γίνει ισότητα λόγω του προηγουμένου ερωτήματος

•

6) (2009)Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς



z=(2λ+1)+(2λ−1)i , λ∈∈∈∈R

Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z,

για τις διάφορες τιμές του λ∈∈∈∈R

β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός z0=1-i έχει το

μικρότερο δυνατό μέτρο.

Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση

0

212 zww =−+

όπου z0 ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα.

Λυση

Λύση

Α.

α) Θέτω z x yi= + Τότε:

2 1x λ= + και 2 1y λ= − , λ ∈ℝ Αφαιρώ κατά μέλη: 2 2x y y x− = ⇒ = − . Άρα οι εικόνες των z βρίσκονται στην ευθεία : 2y xε = − .

β) Ο z με το μικρότερο δυνατό μέτρο έχει ως εικόνα κ το σημείο τομής της : 2y xε = − και της κάθετης

σ΄αυτή 'ε που διέρχεται από το (0, 0): ' ' 1 1 ' 1 ' 1ε ε λε λε λε λε⊥ ⇔ ⋅ = − ⇔ ⋅ = − ⇔ = − .

Άρα ' : y xε = − , αφού διέρχεται από το (0, 0).

−=

−=

xy

xy 2

)2(

)1(



122:)2()1( −=⇔−=+ yy και

11:)2( =⇔−=− xx Άρα Κ(1, -1) η εικόνα του z0 και z0=1-i ο μιγαδικός με το μικρότερο μέτρο.

B. Θέτω a iω β= + και 1oz i= − iiaz −=−−++⇒=−+ 11212 22

0

2 βαβωω

=

=++⇒

−=−

=++⇒

1

131

1

13 222

b

aaaa

ββ

)1(

(1)

2112 0 4a α α+ − = ⇔ = − και 2 3a = με 1β = .

Άρα 1 4 iω = − + και 2 3 iω = + .

•

7) (2009 Επαναληπτικές) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει:

( ) ( )2- i z + 2+ i z -8 = 0

α. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z = x + yi οι οποίοι ικανοποιούν

την παραπάνω εξίσωση.

β. Nα βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό και τον μοναδικό φανταστικό αριθμό οι οποίοι

ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση.

γ. Για τους αριθμούς που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξετε ότι 2 2

1 2 1 2+ + −z z z z = 0

Λυση

α. Έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

2 2 8 0 2 8 2 2 2 8

2 4 2 4

z x iy

x y Ri z i z z z i z z x i yi

x y y x

= +

∈− + + − = ⇔ + − − = ⇔ ⋅ − = ⇔

⇔ + = ⇔ = − +Άρα ο γ.τ. των εικόνων των μιγαδικών z είναι η ευθεία

(ε): 2 4y x= − +

β. Ένας μιγαδικός είναι πραγματικός αν και μόνο αν η εικόνα του ανήκει στο άξονα των

πραγματικών αριθμών και αντίστοιχα φανταστικός αν και μόνο αν η εικόνα του ανήκει

στον άξονα των φανταστικών. Γνωρίζουμε όμως ότι, η εικόνα των μιγαδικών z ανήκει και

στην (ε), άρα αρκεί να βρούμε τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με την άξονες x x,y y′ ′ .

Για y = 0 είναι x x= − + ⇔ =0 2 4 2 , άρα 1 2z =

Για x = 0 είναι y y= − ⋅ + ⇔ =2 0 4 4 , άρα 2 4z i=

γ. Είναι



( ) ( )( )z z z z i i+ + − = + + − =

= + + + − =

= + =

2 2 2 2

1 2 1 2

2222 2 2

2 4 2 4

2 4 2 4

20 20 40

•

8) (20 10 )Δίνεται η εξίσωση 2

2zz

+ = όπου z ∈ℂ με 0z ≠

B1. Να βρείτε τις ρίζες z1 και z2 της εξίσωσης.

B2. Να αποδείξετε ότι :

02010

220101 =+ zz

B3. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει:

2134 zziw −=+−

τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο.

B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β3, να αποδείξετε ότι 3 7w− ≤ ≤

Λυση

Β 1 : zzz 22 =+ (αφο ύ 0≠z ) ⇒

12

4244022 2,1

22

⋅±

=⇒=−=∆⇒=+−i

zizz

Άρα iz += 11 και

iz −= 12

Β 2 : ( ) ( )10052

2

100521

20102

20101 zzzz +=+

Όπου ( ) iiiiiz 2121211 2222

1 =−+=++=+=

( ) iiiiiz 2121211 22222 −=−−=+−=−=

Άρα ( ) ( ) =−+=+ 100510052010

220101 22 iizz

022 1005100510051005 =⋅−⋅= ii Β 3 :

⇒−=+− 2134 zziw

⇒+−+=+− iiiw 1134

⇒=+− iiw 234

2)34( =−− iw Άρα ο γεωμ ετ ρικός τό πο ς τ ων ε ικό νων τ ου w ε ίναι ο κύκλο ς

( ) ( ) 434 22 =++− yx

Β 4 : ( ) 325min =−=−= ρOKw

Αφο ύ



( ) ( ) ( )

534

0304

22

22

=+=

=−−+−=ΟΚ

Το τε ρ=2

•

9) (2011)Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με 3z i≠ , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις

3 3 2z i z i− + + = και 1

33

w z iz i

= − +−

Β1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z.

Β2. Να αποδείξετε ότι 1

33

z iz i

+ =−

Β3.Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι 2 2w− ≤ ≤

Β4. Να αποδείξετε ότι : z w z− =

Λύση

Β1.Για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w με 3z i≠ , ισχύουν :

3 3 2z i z i− + + = (1) και 1

33

w z iz i

= − +−

(2)

Β1. Επειδή 3 3 3z i z i z i+ = − = − η (1) γ ίνεται:

3 3 2 3 3 2 2 3 2 3 1z i z i z i z i z i z i− + + = ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = (3).Αρα ο γεωμετρικός

τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ( 0,3)

και ακτίνα ρ=1.

Β2. 2 2

1 1( 3 ) 3 3 3 33

3 1( 3 )( 3 ) ( 3 )( 3 ) 3 3

z i z i z i z i z iz i

z i z i z i z i z i z i z i

− − − + += = = = = = +

− − − − − − −

Β3, Λογω του Β2. Η (2) γίνεται 1

3 3 3 2Re( )3

w z i z i z i z z zz i

= − + = − + + = + = ∈−

ℝ

Επειδή οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το Κ(0,3) και ακτίνα

ιση με 1 έπεται: 1 Re( ) 1 2 2Re( ) 2 2 2z z w− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

Β4, ( )z w z z z z z− = − − = − =



10) (2007) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί : 1z i= , 2 1z = , 3 1z i= +

Α). Να αποδείξετε ότι 2 2 2

1 2 3z z z+ =

Β)Αν για το μιγαδικό z ισχύει : 1 2z z z z− = − τότε να αποδείξετε ότι :

i ) Re( ) Im( )z z=

i i ) Για 0z ≠ , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης z z

Azz

= + .

Λύση

Α)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2 2 2

1 2

2 2 22 2 2 2 23

1 2

1 1 1 2 2

z z i

z i

+ = + =

= + = + = =

Β) i ) Από την δοθείσα σχέση 1 2z z z z− = − , υψώνουμε στο τετράγωνο και εφαρμόζουμε

την ιδιότητα 2

z z z= ⋅ .

2 2

1 2 1 1 2 2( )( ) ( )( )z z z z z z z z z z z z

zz

− = − ⇔ − − = − − ⇔

1 1 1 1zz z z z z zz− − + = 2 2 2 2

2

1 1 1 1

1

1

zz z z z z

zi iz i i z z

zi iz i z z

zi iz

− − + ⇔

− − + ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇔

− + − = − − + ⇔

− + + 1z z= − − +2Im( )

2Re( )

( ) 2 Im( ) 2 Re( ) Im( ) Re( )z z z i

z z z

i z z z z i z i z z z− =

+ =

⇔

− + = − − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⇔ =⇔

i i ) 2 22 2 2 2 ) ,

2

2

( ) ( )

2

ώ i z k ki kz z z z z z k ki k kiA

z kz zz zz

k

απο ερ τηµα Β = + ∈+ + + + −= + = = ==

ℝ

22k i+ 2 2k i+ 2k+ 22k i− 2 2k i+2

02k

=



10) (2011 επαναληπτικές ) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί ,z w οι οποίοι ικανοποιούν

αντίστοιχα τις σχέσεις :

1 Im( )z i z− = + (1)

( 3 ) (3 )w w i i w i+ = + (2)

Β1) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z

είναι η παραβολή 21

4y x= .

Β2 ) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι ο

κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(0,3) και ακτίνα 2 2ρ = .

Β3) Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επίπεδου , τα οποία είναι εικόνες των

μιγαδικών z,w με z w= .

Β4) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και, στην

συνέχεια, να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ

, έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ,Α,Λ,Β να είναι τετράγωνο.

Λύση

Β1. Έχουμε 1 Im( )z i z− = + οπότε αν , ,z x yi x y= + ∈ℝ , έχουμε διαδοχικά:

2 2

12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

1 ( 1) 1 ( 1) 1

( ( 1) ) (1 ) ( 1) 1 2 2 1 1 2y

x yi i y x y i y x y y

x y y x y y y x y y y y

x y

≥

+ − = + ⇔ + − = + ⇔ + − = +

⇔ + − = + ⇔ + − = + + ⇔ + − + = + +

⇔ + 2 1y− + 1= 22y y+ + 2 214 , 1

4x y x y y⇔ = ⇔ = ≥

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z με την ιδιότητα :

1 Im( )z i z− = + είναι η παραβολή με εξίσωση 21

4y x= .

Β2. Έστω , ,w x yi x y= + ∈ℝ με την ιδιότητα:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( 3 ) (3 ) ( )( 3 ) (3( ) )

( )( 3 ) (3( ) )

3 3 3 3

3 3 3 3 1 3 1 3 0 6 1 0

6 9 9 1 0 ( 3) 8

w w i i w i x yi x yi i i x yi i

x yi x yi i i x yi i

x xyi xi yxi y i yi xi yi i

x xyi xi yxi y y xi y x y y y x y y

x y y x y

+ = + ⇔ + − + = − + ⇔

+ − + = − + ⇔

⇔ − + + − + = − + ⇔

− + + + − = + − ⇔ − + + − = ⇔ − + + =

⇔ + − + − + = ⇔ + − = ⇔ ( )22 2( 3) 2 2x y+ − =

Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w με την ιδιότητα

( 3 ) (3 )w w i i w i+ = + , είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(ο,3) και ακτίνα ρ= 2 2=

Β3. Έστω z w= , τότε θα υπάρχουν 1 1,x y ∈ℝ με 1 1z x y i= + και 1 1w x y i= + , οπότε

21 1

11 Im( )

4z i z y x− = + ⇔ = και ( )2

2 21 1( 3 ) (3 ) ( 3) 2 2w w i i w i x y+ = + ⇔ + − = άρα :



( )

2 22 1 1 1 1

1 1

22 2 2 22 2

1 1 1 1 11 1

2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 4 44

( 3) 2 2 6 1 0( 3) 2 2

4 4 4 4 4

4 6 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 (

y x y xy x

x y x y yx y

y x y x y x y x y x

y y y y y y y y y y

και και

= == ⇔ ⇔ ⇔

+ − = + − + =+ − =

= = = = =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + − + = − + = − + = − + =

2

2 2 21 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1) 0

4 4 4 2

1 0 1 1 1

y x y x x x

y y y y

και και και και

− =

= = = = ±

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − = = = =

Άρα τα ζητούμενα σημεία του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία ισχύει z w= είναι τα

Α(2,1),Β(-2,1) .

Β4.Εχουμε τα σημεία Κ(0,3) , Α(2,1),Β(-2,1), τα διανύσματα

(2 0,1 3) (2, 2)

( 2 0,1 3) ( 2, 2)

ΚΑ = − − = −

ΚΒ = − − − = − −

��

��

Και τα μέτρα τους

2 2

2 2

2 ( 2) 8 2 2

( 2) ( 2) 8 2 2

ΚΑ = + − = =

ΚΒ = − + − = =

��

�� άρα το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισοσκελές .

Επειδή το εσωτερικό γινόμενο (2, 2)( 2, 2) 4 4 0ΚΑ ΚΒ = − − − = − + =�� i το τρίγωνο ΚΑΒ είναι

ορθογώνιο . Έστω τώρα το μέσο Μ του ΑΒ τότε 02

Α ΒΜ

Χ + ΧΧ = = και 1

2Α Β

Μ

Υ + ΥΥ = = ,

άρα Μ(0,1), τότε

0 02

Κ ΛΜ Κ Λ Λ

Χ + ΧΧ = = ⇔ Χ = −Χ ⇔ Χ = και

31 1 1

2 2Κ Λ Λ

Μ Λ

Υ + Υ + ΥΥ = = ⇔ = ⇔ Υ = − .Άρα το Λ(0,-1) και ο μιγαδικός 0 ( 1)u i i= + − = −

ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΛΥΜΕΝΑ

Documents