γ.τ μιγαδικοι αριθμοι (2) m.x

Περιεχόμενα (σελ. 19)

Α. Κατηγορίες ασκήσεων (4)

Β. Βασικά σημεία θεωρίας

Γ. Μεθοδολογίες Ασκήσεων (27)

Δ. Άλυτες ασκήσεις (29)

Ε. Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων

προηγούμενων ετών

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηματικών 693 2 453 707 http://lisari.blogspot.com

Γεωμετρικοί τόποι

Μιγαδικοί αριθμοί Μεθοδολογία - Ασκήσεις

Γ΄ Λυκείου – Κατεύθυνσης

Α΄ μέρος: Άλγεβρα – Κεφάλαιο 2ο

Σχολικό έτος 2012 – 13

Αθήνα 2012 - 13

http://lisari.blogspot.com/

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης http://lisari.blogspot.com

Γεωμετρικοί τόποι μιγαδικού αριθμού Σελίδα 2

Κατηγορία 1η Ασκήσεων

Α. Μορφή: Είδος τριγώνου

Β. Θεωρία: α. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών z,w , ισούται με την απόσταση των εικόνων τους,

δηλ. z w MP , όπου Μ η εικόνα του z και Ρ του w.

β. Οπότε το z γράφεται z z 0 0i που δηλώνει την απόσταση (ΟΜ), όπως γνωρίζουμε και από τον ορισμό

του μέτρου.

Γ. Μεθοδολογία: Αν ζητείται ή μας δίνουν το είδος τριγώνου ΑΒΓ, όπου Α, Β ,Γ οι εικόνες των μιγαδικών z1, z2, z3

αντίστοιχα, τότε πρέπει να γνωρίζουμε τα εξής:

AB

ισοσκελές ΑΒ = ΑΓ 1 2 1 3z z z z

AB

ισόπλευρο AB A 1 2 2 3 1 3z z z z z z

AB

ορθογώνιο (090 )

2 2 22 2 2

2 3 1 2 1 3z z z z z z

AB

αμβλυγώνιο (090 )

2 2 22 2 2 2 2 2

2 3 1 2 1 3z z z z z z

Αν α η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ ή η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου, ισχύει:

AB

οξυγώνιο 2 2 22 2 2 2 2 2

2 3 1 2 1 3z z z z z z

Τα σημεία Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο αν, και μόνο αν, τα σημεία είναι μη συνευθειακά, δηλ.

det AB,A 0

Β’ τρόπος: Αρκεί να ισχύει η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΒΓ, δηλ. αν ΒΓ = α η μεγαλύτερη

πλευρά του τριγώνου, τότε ισχύει:

1 2 1 3 2 3 1 2 1 3z z z z z z z z z z

Δ. Ασκήσεις

1. Έστω Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών z, w όπου w = iz αντίστοιχα, με z 0 .Να αποδείξετε ότι:

α. 22AB 2 z β. Το τρίγωνο ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

2. Για τον μιγαδικό z ισχύει: z 1

α. Να αποδείξετε ότι: 2 2

z 1 z 1 4

β. Αν Α(-1,0) και Β (1,0), ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του (α) ερωτήματος;

3. Έστω ο μιγαδικό z.

α. Να παραγοντοποιηθεί 3 2z 3z 3z 9

β. Να λύσετε την εξίσωση: 3 2z 3z 3z 9 0 (1)

γ. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης (1) αρχικά σχηματίζουν τρίγωνο, που είναι ισόπλευρο.

4. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς 1 2 3z ,z ,z , με 2z 0 και τους μιγαδικούς

1 1 2 2 1 2 3 1 2w iz z , w iz z , w iz i 3z

με Α, Β, Γ οι αντίστοιχες εικόνες τους.

α. Βρείτε τις αποστάσεις ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ

β. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο



5. Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί 1 2z ,z , για τους οποίους ισχύει η σχέση:

v v

1 2 1 2

1 3i z z i z z , v , v 1

2 2

Να αποδείξετε ότι:

α. Ο αριθμός 1

2

z

z είναι φανταστικός αριθμός β.

1 2z z

γ. Αν Α,Β οι εικόνες των 1 2z ,z αντίστοιχα και Ο η αρχή των αξόνων, τότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο.




Α. Μορφή: Γεωμετρικοί τόποι (γεωμετρικό τόπο) με συγκεκριμένη μορφή μέτρου

Β. Μεθοδολογία: Σε αυτή την κατηγορία αναφέρουμε εξισώσεις μέτρων που χωρίς κάποια ιδιαίτερη διαδικασία θα

γνωρίζουμε τον γεωμετρικό τόπο του μιγαδικού αριθμού z από τη μορφή της εξίσωσης και μόνο. Οι βασικές

μορφές είναι οι ακόλουθες:

Μορφή εξίσωσης Γεωμετρικός τόπος – στοιχεία Σχήμα

1. 0z z p, p 0

όπου z0 γνωστός μιγαδικός

Οι εικόνες του Μ(z) ανήκουν:

Κύκλος με κέντρο 0K z και ακτίνα ρ

2. 0z z p, p 0


Κυκλικός δίσκος με κέντρο 0K z

και ακτίνα ρ

3. 0z z p, p 0


Εξωτερικά σημεία κύκλου με κέντρο

0K z και ακτίνα ρ

4. 1 0 2 1p z z p , p 0


Κυκλικός δακτύλιος με κέντρο

0K z και ακτίνες ρ1,ρ2



5. 1 2z z z z

όπου 1 2z ,z γνωστοί μιγαδικοί


Στη μεσοκάθετο (ε) του ΑΒ, όπου Α,

Β οι εικόνες των μιγαδικών 1 2z ,z

αντίστοιχα

6. 1 2z z z z

όπου 1 2z ,z γνωστοί μιγαδικοί


Στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τη

μεσοκάθετο του ΑΒ,( όπου Α, Β οι

εικόνες των μιγαδικών 1 2z ,z

αντίστοιχα) και το σημείο Α

Σημείωση 1η : Υπάρχουν και άλλες 3 μορφές που κυκλοφορούν σε εξωσχολικά βιβλία, έλλειψη, παραβολή και

υπερβολή, αλλά για λόγους λιτότητας και εμβάθυνσης τουλάχιστον των βασικών περιπτώσεων του βιβλίου, δεν θα

τις αναφέρουμε.

Σημείωση 2η : Η εύρεση της εξίσωση του γεωμετρικού τόπου γίνεται με μια απλή αντικατάσταση όπου z = x + yi

με x,y πραγματικούς αριθμούς (όπως θα δούμε και στην Κατηγορία ασκήσεων 3η) . Φυσικά αν ο γεωμετρικό τόπο

είναι κύκλος, γνωρίζουμε (από την Β΄ Λυκείου) την εξίσωσή του (άρα δεν χρειάζεται να την βρούμε- αποδείξουμε).

Γ. Ασκήσεις

1. Να βρείτε των γεωμετρικό τόπο (διατύπωση, σχήμα και εξίσωση) στις παρακάτω περιπτώσεις:

α) z 3 4i 2 β) z 1 3 γ) z 2i 5 δ) 1 iz 2 3 ε) z 1 z 2i στ) z i z 2i

2. Γράψτε την σχέση των μέτρων για τον μιγαδικό z στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. Οι εικόνες του z ανήκουν σε κύκλο με κέντρο (1, 3) και ακτίνα 2

β. Οι εικόνες του z ανήκουν σε κυκλικό δίσκο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 4

γ. Οι εικόνες του z ανήκουν είναι εξωτερικά σημεία του κύκλου (2,-5) με ακτίνα 1

δ. Οι εικόνες του z ανήκουν στον κυκλικό δακτύλιο με κέντρο (0, 4) και ακτίνες 1, 3.

ε. Οι εικόνες του z ανήκουν στην μεσοκάθετο του ΑΒ, όπου Α(-1,2) και Β(-2,0).

στ. Οι εικόνες του z ανήκουν στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την μεσοκάθετο του ΑΒ, όπου Α(0,0) και Β (-1,-2) και

το σημείο Β.

3. Η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο με κέντρο (0,0) και ακτίνα 1. Αν ο μιγαδικός w δίνεται από την σχέση

w = z 2 + 3i τότε να αποδείξετε ότι:



α. w 3i 1

β. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z,w ανήκουν σε κύκλους και να βρείτε το κέντρο και τις ακτίνες τους.

γ. Βρείτε την σχετική θέση των παραπάνω κύκλων και να γίνει το σχήμα.

δ. Βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή του z w . Ποιες είναι κάθε φορά οι εικόνες των z,w, όταν το z w

γίνεται μέγιστο ή ελάχιστο; (δες κατηγορία ασκήσεων 4η)

4. Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει η σχέση: 3 z 2 z 10

α. Να αποδείξετε ότι: z 1 3

β. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z.

5. Δίνεται ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει η σχέση iz 1 (1 2i)z 2i

α. Να το γράψετε στην μορφή: 1 2z z z z

β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z

6. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w τέτοιοι ώστε: z 2 2w i .Αν οι εικόνες του w ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο τότε:

α. Να αποδείξετε ότι και οι εικόνες του z ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το (2,1) και ακτίνα 2

β. Γράψτε τις εξισώσεις και την σχετική θέση των γεωμετρικό τόπο των εικόνων z, w



Κατηγορία 3η – Ασκήσεων

Α. Μορφή: Γεωμετρικοί τόποι που δεν ανήκουν στις προηγούμενες περιπτώσεις

Β. Μεθοδολογία: Όταν μας ζητάει η άσκηση να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων μιγαδικού και δεν

ανήκουν στις προηγούμενες περιπτώσεις, τότε

Αντικαθιστούμε τον μιγαδικό με x + yi

Εκτελούμε πράξεις, ιδιότητες μιγαδικών και καταλήγουμε σε μια ισότητα με x, y.

Ανάλογα την σχέση που καταλήγουμε, έχουμε και τον αντίστοιχο γεωμετρικό τόπο .

Παρακάτω παρουσιάζουμε ένα νέο συνοπτικό πίνακα που μας δίνει όλες τις εξισώσεις σε ποιο γεωμετρικό τόπο

αντιστοιχούν ( δώστε έμφαση στα «Προσοχή»).

Εξίσωση Γεωμετρικός

τόπος

Στοιχεία του

γεωμετρικό τόπο

Σχήμα

Ax By 0

με A 0 ή B 0

Ευθεία

-

2 2 2

0 0x x y y p

Κύκλος

Κέντρο 0 0K x ,y

και ακτίνα ρ

2 2x y Ax By 0

με 2 2 4 0

Κύκλος

Κέντρο A B

K ,2 2

και ακτίνα

2 2A B 4p

2

-

2y 2px

Παραβολή

εστίες στον

άξονα χ΄χ

εστία ,02

και

διευθετούσα

: x2



2x 2py

Παραβολή


άξονα y΄y

εστία 0,2

και

διευθετούσα

: y2

2 2

2 2

x y1

Έλλειψη


άξονα χ΄χ

εστίες

' ,0 , ,0

2 2 2 και

,

2 2

2 2

y x1

Έλλειψη


άξονα y΄y

εστίες

' 0, , 0,

2 2 2 και

,

2 2

2 2

x y1

Υπερβολή


άξονα χ΄χ

εστίες

' ,0 , ,0

2 2 2 και

2 2

2 2

y x1

Υπερβολή


άξονα y΄y

εστίες

' 0, , 0,

2 2 2 και

Προσοχή 1η : Όταν θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ενός μιγαδικού z, προσέχουμε ( αν

υπάρχουν) τους περιορισμούς, δηλ. αν το z είναι παρονομαστής, πρέπει να το απαιτήσουμε διάφορο του μηδενός. Τις

τιμές των x, y που βρήκαμε από τους περιορισμούς, εξετάζουμε αν ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο, αν ανήκουν τις

εξαιρούμε.



Προσοχή 2η: Όταν θέλουμε να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο ενός μιγαδικού, δουλεύουμε με ισοδυναμίες ( ) για να

επαληθεύει ο γεωμετρικό τόπο την αρχική σχέση του z. Άρα την σχέση z w z w δεν την χρησιμοποιούμε

γιατί πολύ απλά δεν ισχύει το αντίστροφο (ή την εφαρμόζουμε και εξετάζουμε αν ισχύει το αντίστροφο).

Γ. Ασκήσεις

1. Έστω οι μιγαδικοί: z1 = (x - 2) + (y + 1)i και z2 = 1 + 2i.

Να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x, y) ώστε z1 z2 I.

2. Προσδιορίστε το σύνολο των εικόνων των σημείων Μ(z) (δηλαδή των γεωμετρικό τόπο) για τις οποίες οι εικόνες

των μιγαδικών i, z, iz είναι σημεία συνευθειακά.

3. Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων Μ των μιγαδικών αριθμών z - 1 για τους οποίους ο iz

z

2

1 + είναι φανταστικός

αριθμός.

4. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(z) αν 2 1

2z -

z R, Im(z) 0.

5. Δίνεται ο μιγαδικός w. Να προσδιορίσετε το σύνολο των σημείων Μ(z) του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία

α = w - wz

1 - z R.

6. Έστω z = x + iy με z 2 και w = z - z +

z -

3 2

2. Δείξτε ότι αν w I τότε οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι

πάνω σε υπερβολή.

7. Έστω 3 5

f z 2 i z zi,2 2

όπου z = x + ψi, με x,y .

a) Να βρεθούν τα Re(f(z)), Im(f(z)).

b) Να βρείτε τo γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(f(z)) στο μιγαδικό επίπεδο.

c) Να δειχτεί ότι f (z) x 2y 5.

d) Να βρείτε τo γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z = x+ yi, για τους οποίους ισχύει 5)( zf .

8. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z1και z2 οι οποίοι είναι τέτοιοι ώστε:

1

1

1 iz

z i

και iziz 22 21

a) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο (C1) της εικόνας του z1

b) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο (C2) της εικόνας του z2

c) Να προσδιορίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των εικόνων z1 και z2. (δες Κατηγορία 4η ασκήσεων)

9. Δύο μικρές μύγες Α και Β κινούνται πάνω στο μιγαδικό επίπεδο και είναι εικόνες των μιγαδικών z1 και z2

αντίστοιχα, ώστε να ισχύει συνεχώς z1 = 5

34 i z2. Να αποδειχθεί ότι:

a) Οι δύο μύγες Α και Β ισαπέχουν συνεχώς από την αρχή των αξόνων.

b) Αν η μύγα Α κινείται πάνω στον ορισμένο κύκλο (Κ, ρ), τότε και η μύγα Β κινείται πάνω σε έναν ορισμένο

κύκλο, του οποίου να βρεθούν κέντρο και ακτίνα.




Α. Μορφή: Εύρεση μέγιστων (max) και ελάχιστων (min) μέτρων

Β. Θεωρία: α. Όταν αναζητούμε το min

z ή min

z , αναζητούμε κατάλληλο σημείο του γεωμετρικό τόπο των εικόνων

του z που να απέχουν ελάχιστη ή μέγιστη απόσταση αντίστοιχα, από την αρχή των αξόνων.

β. Όταν αναζητούμε το min max

z w , z w , ψάχνουμε κατάλληλα σημεία των γεωμετρικό τόπο του z και w, έτσι

ώστε η απόσταση ΜΡ να είναι ελάχιστη ή μέγιστη αντίστοιχα μεταξύ τους, όπου Μ(z) και Ρ(w) οι εικόνες των

μιγαδικών.

Γ. Μεθοδολογία: Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται η εύρεση του μέτρου διαφοράς z w όλων των περιπτώσεων.

Προσοχή : Το z γράφεται ως z z 0 0i δηλαδή εκφράζει την απόσταση OM , της εικόνας M z από την

αρχή των αξόνων, άρα είναι μέτρο διαφοράς δύο μιγαδικών.

Γεωμετρικός τόπος – σχήμα Μέγιστο μέτρο: z w max Ελάχιστο μέτρο: z w min

1. Σημείο – ευθεία

M z ανήκει σε ευθεία και P(w) σημείο

Δεν υπάρχει

z w min = ΡΜ = d( P, ε)

η απόσταση του Ρ από

την ευθεία (ε)

2. Ευθεία – ευθεία (παράλληλες)

M z ανήκει σε ευθεία και το P(w) σε

παράλληλη ευθεία

Δεν υπάρχει

z w min = d( ε, ζ)

η απόσταση των παράλληλων

ευθειών



3. Κύκλος και σημείο

M z ανήκει σε κύκλο

και P(w) σημείο

(το Ρ εκτός κύκλου)

(το Ρ εντός κύκλου)

z w max = ΡΛ = ΡΚ + ρ

max

z w PA p (OP)

Θ.δ.ο: (PM) (PA) , δηλαδή όταν

το σημείο Μ πάρει την θέση του Α

στον κύκλο, απέχει μέγιστη

απόσταση από το Ρ.

Εφαρμόζουμε τριγωνική ανισότητα

στο τρίγωνο MOP

:

PM OM OP

PM OA OP PM PA

z w min = ΡB = ΡΚ - ρ

minz w (PB) p (OP)

Θ.δ.ο: (PB) (PM) , δηλαδή όταν

το σημείο Μ πάρει την θέση του Β

στον κύκλο, απέχει ελάχιστη

απόσταση από το Ρ.

Εφαρμόζουμε τριγωνική ανισότητα

στο τρίγωνο MOP

:

OM OP PM OB OP PM

OB OP PM PB PM

4. Κύκλος και ευθεία

M z ανήκει σε κύκλο

και P(w) ευθεία (ε)

Δεν υπάρχει, αλλά υπάρχει όμως

η μέγιστη απόσταση του Μ(z)

από την ευθεία (ε) και ισούται:

ΛΕ = d(K, ε) + ρ

z w min = ΒΕ = d(K, ε) - ρ

5. Κύκλος και κύκλος

M z ανήκει σε κύκλο( C)

και P(w) κύκλο(d)

που δεν έχουν κοινά σημεία και

ΚΛ > ρ1 + ρ2

Φέρνουμε την διακεντρική ευθεία

ΚΛ και τέμνει τον κύκλο C, d

στα σημεία Π, Η και Θ, Ν

αντίστοιχα.

Αποδεικνύεται εύκολα:

MP

-‖‖-



z w max =ΠΝ =ΚΛ + ρ1 + ρ2

z w min = ΗΘ = ΚΛ - ρ1 - ρ2

6. Τόξο ΑΒ

Οι εικόνες του z ανήκουν ταυτόχρονα σε

κύκλο (K2,ρ2) και σε κυκλικό δίσκο

(K1,ρ1), έτσι ώστε η τομή τους να είναι

τόξο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Στην περίπτωση αυτή, επειδή

είναι πιο περίπλοκη, θα

ασχοληθούμε μόνο με αυτές που

η διακεντρική ευθεία είναι της

μορφής y = λχ

Ειδική περίπτωση:

Ο άξονα x’x ή y’y

Αποδεικνύεται ότι:

( ) ( ) ( ) ( )

max

z OA OB

Γενικά μπορούμε να βρούμε τα

σημεία Α, Β λύνοντας το

σύστημα των γεωμετρικό τόπο

τους, μετά υπολογίζουμε την

απόσταση (ΟΑ) ή (ΟΒ)

2 2minz ( )

7. Έλλειψη

Μ(z) ανήκει σε έλλειψη

max

z

που πραγματοποιείται στα σημεία

Α(α,0) και Α΄(-α,0)

max

z z 2


Β(0,β) και Β΄(0,-β)

Β΄ περίπτωση

max

z


Α(0,α) και Α΄(0,-α)

max

z z 2


Β(0,β) και Β΄(0,-β)

1 2 maxz z 2α , όπου 1 2z ,z

δύο τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί του

γεωμετρικού τόπου της έλλειψης.

min

z


Β(0,β) και Β΄(0,-β)

min

z z 0

Β΄ περίπτωση

min

z


Β(β,0) και Β΄(-β,0)

min

z z 0

1 2 minz z 0 , όπου 1 2z ,z

δύο τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί του

γεωμετρικού τόπου της έλλειψης.



Σημείωση 1η : Στην τελευταία περίπτωση όμοια εξετάζουμε αν η έλλειψη έχει τις εστίες στον άξονα y΄y. Επίσης

ανάλογη περίπτωση θεωρείτε και το αντίστροφο, δηλαδή ο κύκλος εξωτερικός και η έλλειψη στο μέσα στον κύκλο.

Σημείωση 2η : Όταν ζητάμε και τα σημεία που μας δίνει μέγιστο ή ελάχιστο μέτρο, αρκεί να λύσουμε το σύστημα

των εξισώσεων των γεωμετρικό τόπο που ανήκουν οι μιγαδικοί.

Σημείωση 3η : Η μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου προκύπτει πολλές φορές και από την τριγωνική ανισότητα

μιγαδικών.

Προσοχή: αν καταλήξουμε στην ανισοτική σχέση: z , δεν είναι πάντα σωστό να γράφουμε:min

z και

maxz , αλλά πρέπει να βρούμε μιγαδικούς z που το μέτρο τους να δίνουν αποτέλεσμα α και β (δηλαδή να ισχύει η

ισότητα).

Δ. Ασκήσεις

1. (Ευθεία και ελάχιστο μέτρο) Δίνεται ο μιγαδικός z 1 2i 4 3i t, t . Να προσδιορίσετε:

α. Το Re(z) και το Im(z) συναρτήσει του t.

b. Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων M(x, y) του z

c. Την ελάχιστη τιμή του z

8. Έλλειψη και κύκλος

Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Ο(0,0) (ειδική περίπτωση), ενώ οι εικόνες του w

είναι έλλειψη (ειδική περίπτωση στο σχήμα, οι εστίες στον άξονα x΄x).

max

min

z w '

z w '

όπου Α(α, 0), Α΄(-α, 0), Β(0, β), Β΄(0,- β)

Γ(ρ, 0), Ζ(-ρ, 0), Ε(0, ρ), Δ(0, -ρ).

9. Υπερβολή

Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι υπερβολή, τότε

min

max

z OA '

z

όπου Α(α, 0) και Α΄(-α, 0)

Ομοίως αν οι εστίες βρίσκονται στον άξονα y΄y.

Οπότε για κάθε z ισχύει: z



d. Τον μιγαδικό z για τον οποίο προκύπτει η ελάχιστη τιμή z

e. Να αποδείξετε ότι z 5 4

2. (Κύκλος και ευθεία) Θεωρούμε τους μιγαδικούς z, w που ικανοποιούν τις σχέσεις:

z 10i 3 z 2i και w 2 2i w 6 6i

α. Να δείξετε ότι: z i 3

β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z, w (διατύπωση, εξίσωση, σχήμα)

γ. Βρείτε ποιοι μιγαδικοί του γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, μας δίνουν z w max και z w min;

3. (Κύκλος και σημείο) Για τον μιγαδικό z ισχύει η σχέση z 2 3i 3

α. Να βρείτε το σύνολο των εικόνων του Μ(z) που ανήκουν στο μιγαδικό επίπεδο.

β. Αν Α(z1), Β(z2) είναι δύο τυχαία σημεία του γεωμετρικό τόπο, τότε να δείξετε ότι: 1 2z z 6

γ. Αν w = 1 + i μιγαδικός, τότε:

i. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου z w ;

ii. Να αποδείξετε ότι: 2 z w 8 (προκύπτει με δύο τρόπους)

4. (Δύο κύκλοι) Οι μιγαδικοί αριθμοί z, w ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις:

z 4i 2 και w 3 1

α. Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των z και w

β. Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου z w

γ. Να βρείτε τους μιγαδικούς z και w που μας δίνουν την μέγιστη – ελάχιστη τιμή του μέτρου z w

5. (Έλλειψη) Έστω ο μιγαδικός z ώστε να ισχύει: z 3 z 3 10 . Να αποδείξετε ότι:

α. Οι εικόνες του z κινούνται σε έλλειψη, που να βρείτε την εξίσωσή της, τις κορυφές και τις εστίες.

β. 4 z 5

γ. 216 z 9 25

6. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z =λi1

i3

, λ .

α) Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση. Ο μιγαδικός z έχει μέτρο :

A) Μεγαλύτερο του 3 B) Μικρότερο ή ίσο του 1

C) Μεγαλύτερο ή ίσο του 1 και

μικρότερο του3

D) Ίσο με 1

E) Ίσο με 3

β) Να δείξετε ότι: οι εικόνες όλων των μιγαδικών z ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε κέντρο και ακτίνα.

γ) Αν z1 και z2 είναι δύο τυχαίοι μιγαδικοί από τους παραπάνω, ν.δ.ο: 21 zz 4

7. Aν η εξίσωση z2 +α z +β = 0, όπου α, β , έχει ρίζες του μιγαδικούς z1 = 3+2i και z2, τότε:

a) Να βρείτε τους α, β και z2.

b) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ο μιγαδικός w = z1ν + z2

ν είναι πραγματικός.

c) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της παράστασης f(z) = ,21 zzzz z C.

8. Έστω f(z) =z

zz )Im(4)Re(3 , z C-{0}.

Α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z 0 για τους οποίους ισχύει 3)( zf



Β. Αν Re(z) =λ Im(z), τότε: α. Να εκφράσετε το )(zf ως συνάρτηση του λ.

β. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του )(zf .

9. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w τέτοιοι ώστε: z 1 z i 3 ,z και 1 3i w 11 ,w

3 i

α. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z, w στο μιγαδικό επίπεδο

β. Γράψτε τις εξισώσεις και να γίνει σχήμα για τους παραπάνω γεωμετρικούς τόπους

γ. Βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z που το μέτρο του είναι ελάχιστο.

δ. Βρείτε την ελάχιστη τιμή του μέτρου z w

ε. Βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου w i

10. Έστω ο μιγαδικός z τέτοιος ώστε 2z 1 2Re z Im z i

α) Να δείξετε ότι ο z δεν είναι φανταστικός αριθμός

β) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ισοσκελής υπερβολή της οποίας να βρείτε εστίες

και εκκεντρότητα.

γ) Αν z 1 , βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β τέτοιοι ώστε 2012 1006 7z i i



Μιγαδικοί αριθμοί – Τα θέματα ομαδοποιημένα

1. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 . Να αποδείξετε ότι: z1 z2 = z1 z2 .

(Θέμα 1Α1/2001 -2007-2009)

2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει:

α. 2

z z z β. 2 2 z z γ. z - z

δ. z z ε. z z i (Θέμα 1Α2/2001)

3. Αν z = α + β i με α, β R, είναι ένας μιγαδικός αριθμός, να γράψετε στο τετράδιό σας τα

γράμματα της Στήλης Ι του επόμενου πίνακα, και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης

ΙΙ που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Στήλη Ι Στήλη ΙΙ

A. Re(z)

Β. Im(z)

Γ. -z

Δ. z

Ε. z

ΣΤ. z z

1. -α - βi

2. α - βi

3. α + β

4. α

5. 2 2α β

6. α2 + β

2

7. β

(Θέμα 1Α/2001 Εσπ)

4. α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

z 16 4 z 1

β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

z 1 z i (Θέμα 2/ Ιουλ. 2001)

5. Να βρεθούν τα σημεία του επιπέδου, που είναι εικόνες των μιγαδικών z, για τους οποίους

ισχύει: z - 1 1 z - i

. (Θέμα 2βΤεχν. /2000)

6. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z =1, να δείξετε ότι 1

z z

(Θέμα 1Β2/2001)

7. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z 1 , z2 , z3 με z1 = z2 = z3 = 3.



α. Δείξτε ότι: 1z =

1

9

z

β. Δείξτε ότι ο αριθμός 1 2

2 1

z z

z zείναι πραγματικός .

γ. Δείξτε ότι : z1+ z2+z3 = 1

3 z1z2+z2z3 +z1 z3 (Θέμα 2/2005)

8. α. Αν z 1 , z2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης z2+2z+2=0, να αποδείξετε ότι 20

1z - 202z = 0.

β. Αν z 1 είναι ρίζα της εξίσωσης του α. ερωτήματος, με φανταστικό μέρος θετικό αριθμό, να

βρείτε τις τιμές του θετικού ακεραίου ν για τ ις οποίες ν1z είναι πραγματικός αριθμός

(Θέμα 2/Σεπ 2001)

9. Αν 1 2 z 3 4 i και z 1 - 3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α

και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα.

Στήλη Α Στήλη Β

1. z1z2 α. 4

β. 2

2. z12 γ. 25

3. z22 δ. –5

4. 1z ε. –2

5. iz2 στ. 5

ζ. 10

(Θέμα 1Β1/2001)

10. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z=α+βi, όπου α,βIR και

w=3z – i z +4, όπου z είναι ο συζυγής του z.

α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α–β+4 και Ιm(w)=3β–α.

β. Να αποδείξετε ότι , αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με

εξίσωση y=x–12, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–2.

γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z , οι εικόνες των οποίων κινούνται στην

ευθεία με εξίσωση y=x–2, έχει το ελάχιστο μέτρο. (Θέμα 2/2003)

11. α. Αν z1 , z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει

z1+z2=4+4i και 2z1 2z =5 + 5ί, να βρείτε τους z 1 , z2 .

β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w ισχύουν

z 1 3i ≤ 2 και w 3 i ≤ 2

i . να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w έτσι, ώστε z = w

i i . να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z w . (Θέμα 2ο / Ιουλ. 2005)



12.α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που

ικανοποιούν τις σχέσεις: z 2 και Ιm (z) 0 .

β. Να αποδείξετε ότι , αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η

εικόνα του μιγαδικού αριθμού 1 4

w z 2 z

κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο

βρίσκεται στον άξονα x΄x . (Θέμα2/ Ιουλ. 2003)

13. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z 1 , z2 , z3 με z1= z2= z3= 1 και z 1+z2+z3=0

α. Να αποδείξετε ότι:

i . z1z2 = z2z3 = z3z1

i i . z1 z2 4 και Re( 1 2z z ) 1

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z 1 , z2 , z3 στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς

και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν. (Θέμα 3/ 2006)

14. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 2 iz

2i

με αIR .

α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και

ακτίνα ρ =1.

β. Έστω z1 , z2

οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο 2 iz

2i

για α = 0 και α = 2

αντίστοιχα.

i . Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z 1 και z2

.

i i . Να αποδειχθεί ότι ισχύει: (z1)2 ν

= (z2)ν

για κάθε φυσικό αριθμό ν. (Θέμα 2/ 2007)

15. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = α + βi και z2 =1

1

2 z

2 z

, όπου α, β IR με β 0. Δίνεται

επίσης ότι z 2 z1 IR .

α. Να αποδειχθεί ότι z 2 z1 = 1.

β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z 1 στο μιγαδικό επίπεδο.

γ. Αν ο αριθμός z12 είναι φανταστικός και αβ>0, να υπολογισθεί ο z 1 και να

δειχθεί ότι : (z1+1+i)20 (1z +1 i )20= 0. (Θέμα 4/Ιουλ. 2007)

16. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν

622 z)i( και )i(w)i(w 331

τότε να βρείτε:

α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z . Μονάδες 6



β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w . Μονάδες 7

γ. την ελάχιστη τιμή του w Μονάδες 6

δ. την ελάχιστη τιμή του wz Μονάδες 6

(Θέμα 2ο – 2008 – Μάιου – Ημερ.)

17. Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός 2

311

iz

είναι ρίζα της εξίσωσης z

2+βz+γ=0, όπου β και γ

πραγματικοί αριθμοί.

α. Να αποδείξετε ότι β=–1 και γ=1. Μονάδες 9

β. Να αποδείξετε ότι 13

1 z Μονάδες 8

γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w, για τον οποίο ισχύει:

11 zzw Μονάδες 8

(Θέμα 2ο 2008-Επαν. –Ημερ)

18. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς

z=(2λ+1)+(2λ−1)i , λR

Α. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών

αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λR Μονάδες 9

β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ό τι ο μιγαδικός αριθμός z0 =1-i έχει

το μικρότερο δυνατό μέτρο. Μονάδες 8

Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση 0

2z12ww

όπου 0z ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα. Μονάδες 8

(Θέμα 2ο – 2009 – Μαΐου – Ημερ.)

19. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: 2 -i z + 2 +i z -8 = 0

α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z = x + yi οι οποίοι ικανοποιούν την

παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 10

β. Να βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό και τον μοναδικό φανταστικό αριθμό οι οποίοι ικανοποιούν την

παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 8

γ. Για τους αριθμούς που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξετε ότι

2 2

1 2 1 24 z z z z = 0 Μονάδες 7

(Θέμα 2ο – 2009 – Επαν. – Ημερ.)

20. Δίνεται η εξίσωση 2

z + = 2z

όπου z∈C με z≠0

B1. Να βρείτε τις ρίζες z1 και z2 της εξίσωσης. Μονάδες 7

B2. Να αποδείξετε ότι 2010 20101 2z + z = 0 Μονάδες 6



B3. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει 1 2w-4 +3i = z - z τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων

των w στο μιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 7

B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β3, να αποδείξετε ότι 3 w 7 Μονάδες 5

(Θέμα 2ο – 2010 – Μαΐου – Ημερ.)

21. Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2 είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για

τις οποίες ισχύουν z1 + z2 = –2 και z1⋅z2

= 5

B1. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z1, z2

Μονάδες 5

B2. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση |w – z1|2 +|w – z2|

2 = |

z1 − z2|

2 να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός

τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (x+1)2

+ y2

= 4 Μονάδες 8

B3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β2 να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει

2⋅Re(w) + Im(w) = 0 Μονάδες 6

B4. Αν w1, w2 είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος Β2 με την ιδιότητα |w1 – w2|=4, να αποδείξετε

ότι |w1 + w2|=2. Μονάδες 6

(Θέμα 2ο – 2010 – Επαν. – Ημερ)

22. Θεωρούμε την εξίσωση z2 – 6z + γ = 0 με γ∈ℝ, η οποία έχει ρίζες τους μιγαδικούς αριθμούς z1, z2

με Im(z1) > 0

και |z1| = 5.

Γ1. Να αποδείξετε ότι γ = 25. Μονάδες 8

Γ2. Αν γ = 25, να βρείτε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης. Μονάδες 5

Γ3. Αν για τον μιγαδικό αριθμό w ισχύει |w – z1| = |w – z2|, να αποδείξετε ότι w∈ℝ. Μονάδες 6

Γ4. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης (z1–2–3i)8 + (z2–4+5i)

8. Μονάδες 6

(Θέμα 3ο – 2010 – Εσπερινά – Επαν. )

23. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z≠3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:

z 3i z 3i και

1w=z 3i

z 3i.

B1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z

B2. Να αποδείξετε ότι

1z 3i=

z 3i

B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι – 2 ≤ w ≤ 2

B4. Να αποδείξετε ότι: z w z (Θέμα Β / Ημερ. και Εσπ. 2011)

24. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:

–z i =1+Ιm(z) (1) και w w 3i i 3w i (2)

i. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η παραβολή με εξίσωση

21y= x

4 ii. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το

σημείο Κ(0, 3) και ακτίνα ρ=2 2 .



iii. Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, w με

z =w.

iv. Αν Λ είναι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού u = – i στο μιγαδικό επίπεδο, τότε να αποδείξετε ότι το

τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ, Α, Λ, Β είναι τετράγωνο.

(Θέμα Β / Ημερ. και Εσπ. Επαναλ. 2011)

25. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, με z≠ – 1 για τους οποίους ο αριθμός

z 1w=

z 1 είναι φανταστικός.

Να αποδείξετε ότι:

i. |z|=1

Μονάδες 7

ii. Ο αριθμός

41z

z είναι πραγματικός.

Μονάδες 6

iii.

1 21 2

1 1z z 4

z z όπου z1, z2 δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z

Μονάδες 6

iv. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u, για τους οποίους ισχύει i

u ui= ww

, w≠0 ανήκουν στην υπερβολή

x2 – y

2=1 Μονάδες 6

(Θέμα Β /Επαναληπτικών εξετάσεων 2012)

26. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις:

|z – 1|2 + |z + 1|

2 = 4 (1) και |w – 5 w |= 12 (2)

i. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με

κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 1.

Μονάδες 6

ii. Αν z1, z2 είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με |z1 – z2|= 2 , τότε να βρείτε το |z1+ z2|.

Μονάδες 7

iii. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη

με εξίσωση 2 2x y

19 4

και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |w|.

Μονάδες 6

iv. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w που επαληθεύουν τις σχέσεις (1) και (2) να αποδείξετε ότι:

1 ≤|z – w|≤ 4

Μονάδες 6

(Θέμα Β/ Εξετάσεων 2012)

γ.τ μιγαδικοι αριθμοι (2) m.x

Documents