Θεωρούμε  το  πεδίο  δυνάμεων:  

 

                F(r) = yz

i + xz

j + xy

k  

 

ορισμένο   στο   σύνολο   R3 .   Να   δείξετε   ότι   το   πεδίο   αυτό   είναι   συντηρητικό  

και  να  βρείτε  την  συνάρτηση  δυναμικής  ενέργειας  που  το  συνοδεύει.  

 

ΛΥΣΗ:    Αρχικά    ελέγxουμε  τον  στροβιλισμό  της  δύναμης   F(r),  μέσω  της  σχέσεως:  

 

               

∇ ×F(r)⎡⎣ ⎤⎦ =

i

j

k

∂/ ∂x ∂/ ∂y ∂/ ∂zyz xz xy

= x − x( )i − y − y( )

j + z − z( )

k =

0  

 

όπου i ,   j   ,   k   τα  μοναδιαία  διανύσματα  των  ορθογώνιων  αξόνων  x,   y,   z  αντιστοί  

χως.   O   μηδενισμός   του   στροβιλισμού   της   δύναμης   παντού   στο   συνεκτικό   πεδίο  ορισμού  της   R

3 ,  εγγυάται  ότι  η  δύναμη  είναι  συντηρητική  και  επομένως  απορρέει  από  συνάρτ  ση  δυναμικής  ενεργειας   U(

r)  που  υπολογίζεται  από  την  σχέση:  

   

                U(r) = Fx

x0

x

∫ t,y,z( ) dt + Fy

y0

y

∫ x0,t,z( ) dt + Fy

z0

z

∫ x0,y0,t( ) dt + C                                        (1)  

 

όπου  (x0,  y0,  z0)  σταθερό  σημείο  και   Fx x,y,z( )  ,   Fy x,y,z( )  ,   Fz x,y,z( )  οι  τρεις  συνιστώσες  της  δύναμης,  για  τις  οποίες  ισχύουν:  

 

                Fx x,y,z( ) = yz    ,     Fy x,y,z( ) = xz    ,     Fz x,y,z( ) = xy  

 

Λαμβάνοντας  ως  σταθερό  σημείο  (x0,  y0,  z0)  την  αρχή  των  αξόνων,  με  βάση  τις  παραπάνω  σχέσεις  θα  έχουμε:  

 

                Fx t,y,z( ) = yz    ,   Fy 0,t,z( ) = 0    ,     Fz 0,0,t( ) = 0  

 

και  η  (1)  δίνει:  

 

                U(r) = yz

0

x

∫ dt + 00

y

∫ dt + 00

z

∫ dt + C = xyz + C                                                                                                              (2)  

 

όπου  η  σταθερά  C  θα  προσδιορισθεί,  αν  ορίσουμε  αυθαίρετα  θέση  του  πεδίου  στο  οποίο  η  συνάρτηση   U(

r)  μηδενίζεται.  

P.M.  fysikos  

 

 Να  αποδειχθούν  οι  παρακάτω  χρήσιμες  σχέσεις:  

 

i)  

∇ ×

∇U(r)⎡⎣ ⎤⎦ =

0 ,  όπου   U(

r)    βαθμωτή  συνάρτηση  θέσεως.  

 

ii)  

∇ ×f(r)

r⎡⎣ ⎤⎦ =

0 ,   όπου   f(r)   βαθμωτή   συνάρτηση   θέσεως   και  

r   επιβατική  

ακτίνα.  

iii)  

∇ ×

A +

B( )⎡⎣ ⎤⎦ =

∇ ×

A( ) +

∇ ×B( ) ,   όπου   A ,  

B   χωροεξαρτώμενα  διανύσ  

ματα.  

 

ΛΥΣΗ:  i)  Έχουμε:      

                 

∇ ×

∇(U(

r)⎡⎣ ⎤⎦ =

i

j

k

∂/ ∂x ∂/ ∂y ∂/ ∂z∂U / ∂x ∂U / ∂y ∂U / ∂z

= ∂∂y

∂U∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− ∂∂z

∂U∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥i −  

 

                − ∂

∂x∂U∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− ∂∂z

∂U∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥j + ∂

∂x∂U∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− ∂∂y

∂U∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥k =  

 

                  = ∂2U

∂z ∂y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− ∂2U

∂y ∂z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥i − ∂2U

∂z ∂x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− ∂2U

∂x ∂z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥j+ ∂2U

∂y ∂x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− ∂2U

∂x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥k      

 

               

∇ ×

∇U(r)⎡⎣ ⎤⎦ =

0                                                                                                                                                                                                                                    (1)  

 

ii)  Για  την  επιβατική  ακτίνα   r  έχουμε  

r = x

i + y

j + z

k ,  οπότε:  

 

               

∇× f(r)

r⎡⎣ ⎤⎦ =

∇× xf(r)

i + yf(r)

j + zf(r)

k( )⎡⎣ ⎤⎦ =

z

∂f(r)∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−y

∂f(r)∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥i−  

 

            − z

∂f(r)∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−x

∂f(r)∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥j+ y

∂f(r)∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− x

∂f(r)∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥k                                                                                  (2)  

 

Όμως  ισχύει:  

                 

∂f(r)∂x

= ∂f(r)∂r

∂r∂x

= ∂f(r)∂r

∂ x2+ y2+ z2( )1/2

∂x= f '(r)x

x2 + y2 + z2= f '(r)

x

r                                  (3)  

 

Oμοίως  θα  έχουμε:  

 

               

∂f(r)∂y

= f '(r)y

r    και    

∂f(r)∂z

= f '(r)z

r                                                                                                                                                    (4)  

 

Συνδυάζοντας  την  (2)  με  τις    (3)  και  (4)  παίρνουμε:  

   

             

∇× f(r)

r⎡⎣ ⎤⎦ = z f '(r)

y

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− yf '(r)

z

r

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥i −  

 

                − zf '(r)

x

r−xf '(r)

z

r⎡⎣⎢

⎤⎦⎥j+ yf '(r)

x

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− xf '(r)

y

r

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥k =  

 

                = f '(r)

zy

r− yz

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥i − f '(r)

zx

r− zx

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥j+ f '(r)

yx

r− xy

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥k =

0  

 

iii)    To  πρώτο  μέλος  της  αποδεικτέας  σχέσεως  γράφεται:  

 

               

∇×

Α+Β( )⎡⎣ ⎤⎦ =

∂∂xi+ ∂

∂yj+ ∂

∂y

k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟× Αx+Bx( )

i + Αy+By( ) j+ Αz+Bz( )

k⎡⎣ ⎤⎦ =  

 

               

=

i

j

k

∂/ ∂x ∂/ ∂y ∂/ ∂zΑx + Bx Αy + By Αz + Bz

= ∂(Αz + Bz)

∂y−∂(Αy + By)

∂z⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥i −  

                − ∂(Αz + Bz)

∂x− ∂(Αx + Bx)

∂z⎡⎣⎢

⎤⎦⎥j +

∂(Αy + By)

∂x− ∂(Αx + Bx)

∂y⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥k =  

 

                  = ∂Αz

∂y−∂Αy

∂z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i − ∂Αz

∂x− ∂Αx

∂z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟j+

∂Αy

∂x− ∂Αx

∂y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k +      

     

                + ∂Bz

∂y−∂By

∂z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i − ∂Bz

∂x− ∂Bx

∂z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟j+

∂By

∂x− ∂Bx

∂y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k    

 

 

                 

∇ ×

Α +

Β( )⎡⎣ ⎤⎦ =

∇ ×

Α( ) +

∇ ×Β( )  

P.M.  fysikos  

 

 Ένα  υλικό  σημείο  Σ  διαγράφει  καμπύλη  τροχιά  υπό  την  επίδραση  κεντρικής  δύναμης   ,    η  οποία  εξαρτάται  μόνο  από  την  απόστασή  του  r  εκ  του  κέντρου  O  της  δύναμης.    

 

i)  Eάν  η  διανυσματική  συνάρτηση  που  περιγράφει  τη  δύναμη  έχει  τη  μορφη:  

 

                F = F0e

αr ⋅ er                                                                                                                                                                                                                                                      

 

όπου   F0,   α   θετικές   και   σταθερές   ποσότητες   και   er   το   μοναδιαίο   διάνυσμα  

της  διεύθυνσης  OΣ,  να  δείξετε  ότι  η  δύναμη   F  είναι  συντηρητική.  

 

ii)   Nα   βρείτε   την   συνάρτηση   δυναμικής   ενέργειας   που   αντιστοιχεί   στην  κεντρική  δύναμη  

F .  

 

ΛYΣH:  Για   το  στοιχειώδες   έργο   της   δύναμης   F  που  αντιστοιχεί   στην  στοιχειώδη  

μετατόπιση   ds  του  υλικού  σημείου  ισχύει  η  σχέση:  

 

                dW = (F⋅ds) = Fdr                                                                                                                                                                                                                        (1)  

 

όπου    η  προβολή  του  διανύσματος   ds  στη  διεύθυνση  της  επιβατικής  ακτίνας

r .  

Για  το  έργο   WA1A2

 της   F  που  αντιστοιχεί  στην  μετατόπιση  του  υλικού  σημείου  από  

τη  θέση  A1  στη  θέση  A2  ισχύει  η  σχέση:  

 

                WA1A2

= Fdr( )r1

r2

∫ = F0eαrdr( )

r1

r2

∫ = F0

αeαrd(αr)

r1

r2

∫      

 

                WA1A2

= F0

αeαr2 - eαr1( ) = F0e

αr

αer2 -er1( )                                                                                                                                  (2)  

 

 

             Σχήμα    1    

δηλαδή  το  έργο   WA1A2

 είναι  ανεξάρτητο  της  μορφής  της  τροχιάς  και  εξαρτάται  από  

τις  ακραίες  θέσεις  A1  και  A2  του  υλικού  σημείου,  που  σημαίνει  ότι  η  δύναμή   F  είναι  

συντηρητική.  H  συνάρτηση  U(r)  δυναμικής  ενέργειας  που  αντιστοιχεί  στη  δύναμη   F  ικανοποιεί  την  σχέση:  

 

                F(r) = -

dU(r)

dr         dU(r) = -F0e

αrdr          

 

                U(r) = -F0 eαr dr∫ + C = -

F0eαr

α+ C  

 

όπου  C  σταθερά  ολοκλήρωσης.  

P.M.  fysikos  

 

   Ένα  μικρό  σώμα  κινείται  στο  επίπεδο  των  ορθογώνιων  αξόνων   Ox,   Oy   κατά   μήκος   της   ευθείας   y=αx.   H   συνισταμένη   δύναμη   που  εξασφαλίζει  την  κίνηση  του  σώματος  περιγράφεται  από  την  διανυσματική  σχέση:    

 

                F = λy

i + µx

j                                                                                                                                                                                                                                            (α)  

 

όπου   i ,   j  οι  διανυσματικές  μονάδες  των  αξόνων  Ox,  Oy  αντιστοίχως  και  λ,  μ  

θετικές  και  σταθερές  ποσότητες.  

 

i)  Nα  βρεθεί  το  έργο  της   F  για  την  μετατόπιση  του  σώματος  από  την  θέση  O  

στην  θέση  A(x0,  y0=αx0).  

 

ii)  Nα  εξετασθεί  αν  η  δύναμη   F  είναι  συντηρητική.  

 

ΛYΣH:   i)  Tο  στοιχειώδες   έργο  dW  της  δύναμης   F  που  αντιστοιχεί  σε  μια  στοιχει  

ώδη   μετατόπιση   dr   του   σώματος   κατά   μήκος   της   ευθείας   y=αx   είναι   ίσο   με   το  

εσωτερικό  γινόμενο   (F⋅dr),  δηλαδή  ισχύει:  

 

                  W = (F⋅dr) = Fxdx + Fydy                                                                                                                                                                                          (1)  

όπου  Fx  ,  Fy  oι  αλγεβρικές  τιμές  των  προβολών  της   F  στους  άξονες  Ox  και  Oy  αντι  

στοίχως  και  dx,  dy  οι  αντίστοιχες  αλγεβρικές  τιμές  των  προβολών  του  διανύσματος dr .  H  (1)  με  βάση  την  δεδομένη  σχέση  (α)  γράφεται:  

 

              W = λydx + µxdy                                                                                                                                                                                                                              (2)  

 

Διαφορίζοντας  τη  σχέση  y=αx  παίρνουμε  dy=αdx,  οπότε  η  (2)  γράφεται:  

 

                dW = λydx + µxαdx = λαxdx + µαxdx = α(λ + µ)xdx                                                                      (3)  

 Oλοκληρώνοντας   την   (3)   με   όρια   ολοκλήρωσης   x=0   και   x=x0  παίρνουμε   το   ζητού  μενο  έργο  WOA  της  

F ,  οπότε  θα  έχουμε:  

   

              WOA = α(λ + µ)xdx

0

x0

∫ = α(λ + µ) xdx0

x0

∫ = α(λ + µ)x02/2                                                                  (4)  

 ii)  Aς  υπολογίσουμε  το  έργο  της  

F  κατα  μήκος  της  διαδρομής  OBA.  Θα  ισχύει  για  το  

έργο  αυτό  η  σχέση:    

                WOA = WOB + WBA = Fxdx + Fydy( )

ΟB∫ + Fxdx + Fydy( )

BΑ∫                                                        (5)  

 

 

Σχήμα  2  

 

Όμως  κατά  μήκος  της  OB   ισχύει  Fx=0  και  dy=0,  οπότε  το  πρώτο  ολοκλήρωμα  της  (5)  είναι  μηδενικό.  Eξάλλου  κατά  μήκος  της  BA  ισχύει  dx=0  και  Fy=μx0,  οπότε  για  το  δεύτερο  ολοκλήρωμα  της  (5)  θα  ισχύει:  

 

                               

Fxdx + Fydy( )BA∫ = αx0dy( )

BA∫ = αx0 dy( )

0

αx0

∫ = µα2x02  

 

Άρα   WOAB = µα2x02 ≠ WΟΑ ,  που  σημαίνει  ότι  η  δύναμη    είναι  μη  συντηρητική.  

   

 Θεωρούμε  το  πεδίο  δυνάμεων  

 

               

F(r)=

−y

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i + ∂

∂zx

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟j  

 

ορισμένο  στο  σύνολο R2− (0,0)  .  Να  εξετάσετε  εάν  το  πεδίο  αυτό  είναι  

συντηρητικό.  

 

ΛΥΣΗ:    Σε  πρώτο  στάδιο  θα  υπολογίσουμε  τον  στροβιλισμό  της  δύναμης    μέσω  της  σχέσεως:  

 

               

∇×F(r)⎡⎣ ⎤⎦ =

i

j

k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z−y

x2 + y2

−y

x2 + y2 0

= ∂∂z

−y

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i −  

 

                + ∂∂z

−y

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟j + ∂

∂xx

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k − ∂

∂y−y

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k =  

 

                = 0 + 0 + ∂

∂xx

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− ∂∂y

−y

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥k                                                                                                                      (1)  

 

όπου   i ,   j ,   k   τα  μοναδιαία  διανύσματα  των  ορθογώνιων  αξόνων  x,   y,   z  αντιστοί  

χως.  Για  τους  δύο  όρους  της  αγκύλης  (1)  έχουμε:  

 

                 

∂∂x

x

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= x2 + y2

x2 + y2( )2− 2x2

x2 + y2( )2= y2 − x2

x2 + y2( )2                                                                              (2)  

 

               

∂∂y

−y

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= − x2 + y2

x2 + y2( )2+ 2x2

x2 + y2( )2= y2 − x2

x2 + y2( )2                                                                        (3)  

 

Συνδυάζοντας  τις  (1),  (2)  και  (3)  παίρνουμε:  

 

               

∇ ×

F(r)⎡⎣ ⎤⎦ =0                                                                                                                                                                                                                                        (4)  

 

Επειδή    το  πεδίο  ορισμού  της  δύναμης  είναι  μη  συνεκτικό,  λόγω  της  ασυνέχειας  της    στο   σημείο   (0,0)   ο   μηδενισμός   του   στροβιλισμού   της   δύναμης   δεν   εγγυάται   την  συντηρητικότητά   της,   δηλαδή   υπάρχει   υποψία   ότι   το   επικαμπύλιο   ολοκλήρωμα

F(r)⋅dr⎡⎣ ⎤⎦

(C)∫  κατά  μήκος  μιας  κλειστής  καμπύλης  (C)  που  περιέχει  το  σημείο  (0,  0)  

δεν  είναι  μεδενικό,  οπότε  αν  αυτό  συμβαίνει  η  δύναμη  είναι  μη  συντηρητική.  Για  να  ελέγξουμε  το   ενδεχόμενο  αυτό   επιλέγουμε  ως  κλειστή  γραμμή   (C)  μια  περιφέρεια  που  έχει  κέντρο  το  σημείο  (0,  0)  και  ακτίνα  α  και  υπολογίζουμε  κατά  μήκος  αυτής  το  επικαμπύλιο  ολοκλήρωμα:  

 

                 

F(r) ⋅ dr⎡⎣ ⎤⎦

(C)∫ = −ydx

x2 + y2 + xdy

x2 + y2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥(C)

∫                                                                                                                                            (5)  

 

Εάν   η   περιφέρεια   (C)   διαγράφεται   αριστερόστροφα,   οι   παραμετρικές   της   εξισώ  σεις  θα  είναι:  

 

               

x = α cosϕy = α sinϕ

⎫⎬⎪

⎭⎪    

dx = −α sinϕdϕdy = α cosϕdϕ

⎫⎬⎪

⎭⎪ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π  

 

οπότε  θα  έχουμε:  

 

               

−ydx

x2 + y2 = α2 sin2ϕdϕα2 = sin2ϕdϕ  

και    

               

xdy

x2 + y2 = α2 cos2ϕdϕα2 = cos2ϕdϕ  

 

με  αποτέλεσμα  η  (5)  να  γράφεται:  

 

                 

F(r) ⋅ dr⎡⎣ ⎤⎦

(C)∫ = sin2ϕ + cos2ϕ( )

(C)∫ dϕ = dϕ

0

2π

∫ = 2π ≠ 0                                                                        (6)  

 

H  (6)  δηλώνει  ότι  στην  μη  συνεκτική  περιοχή   R2− (0,0)  ορισμού  της  δύναμης  

F(r)

αυτή  είναι  μη  συντηρητική.    

 

Παρατήρηση:  

Ας   δεχθούμε   ότι   η   σχέση  

∇ ×

F(r)⎡⎣ ⎤⎦ =

0   σε   συνδυασμό   με   την   διανυσματική  

ταυτότητα    

∇ ×

∇U(r)⎡⎣ ⎤⎦ =

0   επιτρέπει   να   ισχυριστούμε   ότι   υπάρχει   βαθμωτή  

συνάρτηση   δυναμικής   ενέργειας   U(r)   από   την   οποία   απορρέει   η   δύναμη  

F(r)  

σύμφωνα  με  την  σχέση .  Tότε  θα  ισχύει:  

 

                dU(r) = −

F(r)⋅dr = − −ydx

x2 + y2 + xdy

x2 + y2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟                                                                                                                        (7)  

Χρησιμοποιώντας  για  τις  μεταβλητές  x,  y  πολικές  συντεταγμένες  θα  έχουμε:  

 

               

x = rcosϕy = r sinϕ

⎫⎬⎪

⎭⎪        

dx = −r sinϕdϕ + cosϕdr

dy = rcosϕdϕ + sinϕdr

⎫⎬⎪

⎭⎪  

οπότε  

                 

−ydx

x2 + y2 =−r sinϕ −r sinϕdϕ + cosϕdr( )

r2 = sin2ϕdϕ − sinϕ cosϕdr

r  

και  

               

xdy

x2 + y2 =rcosϕ rcosϕdϕ + sinϕdr( )

r2 = cos2ϕdϕ + sinϕ cosϕdr

r  

 

Έτσι  η  (7)  γράφεται:  

 

                dU(r) = − sin2ϕdϕ − sinϕ cosϕdr

r+ cos2ϕdϕ + sinϕ cosϕdr

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟      ⇒  

 

                dU(r) = − sin2+ cos2ϕ( ) dϕ = −dϕ    ⇒        ⇒  

 

                  U(r) = −τοξεϕ(y/x) + C                                                                                                                                                                                              (8)  

 

Η   σχέση   (8)   δηλώνει   ότι   η   συνάρτηση   δυναμικής   ενέργειας     δεν   είναι   καλά  ορισμένη,  αφού  στην  ίδια  θέση  παρουσιάζει  διάφορες  τιμές  (είναι  πλειότιμη)  και  το  γεγονός  αυτό  είναι  συμβατό  με  το  ότι  η  δύναμη  είναι  μη  συντηρητική,   είναι  όμως  αστρόβιλη  στο  πεδίο  ορισμού  της  λόγω  της  σχέσεως  (4).  

P.M.  fysikos  

 

 

 Θεωρούμε  το  πεδίο  δυνάμεων:  

 

               

F(r) = x

x2 + y2( )3/2

i + y

x2 + y2( )3/2

j  

 

ορισμένο  στο  μη  συνεκτικό  σύνολο   R2−(0,0).  Να  δείξετε  ότι  το  πεδίο  αυτό  

είναι  συντηρητικό  και  να  βρείτε  την  συνάρτηση  δυναμικής  ενέργειας  που  το  συνοδεύει.  

 

ΛΥΣΗ:     Αρχικά   θα   ελέγξουμε   τον   στροβιλισμό   της   δύναμης   F(r) ,   μέσω   της   σχέ  

σεως:  

 

∇×F(r)⎡⎣ ⎤⎦ =

i

j

k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zx

x2 + y2( )3/2

y

x2 + y2( )3/2 0= − ∂

∂zy

x2 + y2( )3/2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

i +  

   

             

+ ∂∂z

x

x2 + y2( )3/2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

j + ∂

∂xy

x2 + y2( )3/2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

k − ∂

∂yx

x2 + y2( )3/2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

k =  

 

               

= 0 + 0 + ∂∂x

y

x2 + y2( )3/2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥− ∂∂y

x

x2 + y2( )3/2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥                                                                                                        (1)  

 

όπου   i ,   j ,   k  τα  μοναδιαία  διανύσματα  των  ορθογώνιων  αξόνων  x,  y,  z  αντιστοί  

χως.  Eκτελώντας  τις  μερικές  παραγωγίσεις  στις  δύο  ακγύλες  τελικά  παίρνουμε:  

 

               

∇ ×

F(r)⎡⎣ ⎤⎦ =

0                                                                                                                                                                                                                                          (2)  

Όμως    το  πεδίο  ορισμού  της  δύναμης  είναι  μη  συνεκτικό,  λόγω  της  ασυνέχειας  της    στο  σημείο  (0,0),  που  σημαίνει  ότι  ο  μηδενισμός  του  στροβιλισμού  της  δύναμης  δεν  εγγυάται   την   συντηρητικότητά   της,   δηλαδή   υπάρχει   ενδεχόμενο   το   επικαμπύλιο  ολοκλήρωμα  

F(r)⋅dr⎡⎣ ⎤⎦

(C)∫  κατά  μήκος  μιας  κλειστής  καμπύλης  (C)  που  περιέχει  το  

σημείο  (0,  0)  να  μην  είναι  είναι  μεδενικό,  οπότε  η  δύναμη  θα  είναι  μη  συντηρητική.  Για  να  ελέγξουμε  το  ενδεχόμενο  αυτό  επίλέγουμε  ως  κλειστή  γραμμή  (C)  μια  περι  φέρεια  που  έχει  κέντρο  το  σημείο  (0,  0)  και  ακτίνα  α  και  υπολογίζουμε  κατά  μήκος  αυτής  το  επικαμπύλιο  ολοκλήρωμα:  

 

               

F(r) ⋅ dr⎡⎣ ⎤⎦

(C)∫ = xdx

x2 + y2( )3/2 + ydy

x2 + y2( )3/2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥(C)

∫                                                                                                            (3)  

 

Εάν   η   περιφέρεια   (C)   διαγράφεται   αριστερόστροφα,   οι   παραμετρικές   της   εξισώ  σεις  θα  είναι:  

   

             

x = α cosϕy = α sinϕ

⎫⎬⎪

⎭⎪    ⇒    

dx = −α sinϕdϕdy = α cosϕdϕ

⎫⎬⎪

⎭⎪ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π  

 

οπότε  θα  έχουμε:  

 

               

xdx

x2 + y2( )3/2 = −α2 cosϕ sinϕdϕα3 = − cosϕ sinϕdϕ

α                                                                                  (4)  

και  

               

ydy

x2 + y2( )3/2 = α2 cosϕ sinϕdϕα3 = cosϕ sinϕdϕ

α                                                                                                (5)  

 

Η  (3)  λόγω  των  (4)  και  (5)  γράφεται:  

 

               

F(r) ⋅ dr⎡⎣ ⎤⎦

(C)∫ = 0                                                                                                                                                                                                                                  (6)  

 

H  (6)  δηλώνει  ότι  στην  μη  συνεκτική  περιοχή   R2− (0,0)  ορισμού  της  δύναμης  

F(r)  

αυτή   είναι   συντηρητική;   που   σημαίνει   ότι   απορρέει   από   συνάρτηση   δυναμικής  ενέργειας   U(

r),  η  οποία  υπολογίζεται  από  την  σχέση:.    

 

               

dU(r) = −

F(r)⋅dr = − xdx + ydy

x2 + y2( )3/2 = −rdr

r3 = −dr

r2                                                                                          (7)  

 

H  (7)  με  ολοκλήρωση  δίνει:  

 

                U(r) = 1

r+ C = 1

x2 + y2+ C / R

2− (0,0)  

P.M.  fysikos  

 

 Να  αποδείξετε  τις  ακόλουθες  προτάσεις;  

 

i)   Εάν   ένα   υλικό   σημείο   δέχεται   συντηρητικές   και   μη   συντηρητικές   δυνά  μεις,   τότε   ο   ρυθμός   μεταβολής   της   μηχανικής   του   ενέργειας   είναι   κάθε  στιγμή  ίσος  με  το  εσωτερικό  γινόμενο   (

f⋅v),  όπου  

f  η  συνισταμένη  των  μη  

συντηρητικών  δυνάμεων  και    η  ταχύτητα  του  υλικού  σημείου  την  στιγμή  που  το  εξετάζουμε.  

 

ii)   Εάν   μια   δύναμη  απορρέει   από   συνάρτηση   δυναμικής   ενέργειας   της   μορ  φής  U=f(r),  όπου    η  επιβατική  ακτίνα  του  υλικού  σημείου  που  δέχεται  την  δύναμη,  ως  προς  μία  αρχή  Ο,  τότε  η  δύναμη  είναι  κεντρική  με  κέντρο  το  Ο.  

   

ΛΥΣΗ:  i)  Εάν  U  είναι  η  συνάρτηση  δυναμικής  ενέργειας  του  υλικού  σημείου,  από  

την  οποία  απορρέει  η  συνισταμένη   F  των  συντηρητικών  δυνάμεων  που  ενεργούν  

πάνω   σ’   αυτό   και   Κ   η   κινητική   του   ενέργεια,   τότε   η   μηχανική   του   ενέργεια   Ε   θα  είναι:  

                  E = U + K    ⇒     dE = dU + dK                                                                                                                                                                    (1)  

 

όπου   dE,   dU,   dK   οι   μεταβολές   της   μηχανικής,   της   δυναμικής   και   της   κινητικής  ενέργειας   αντιστοίχως   του   υλικού   σημείου,   μεταξύ   των   χρονικών   στιγμών   t   και  t+dt.  Όμως  εάν   d

r   είναι  η  μετατόπιση  του  υλικού  σημείου  σε  χρόνο  dt  θα   ισχύει,  

συμφωνα  με  το  θεώρημα  κινητικής  ενέργειας-­‐έργου  η  σχέση:  

 

                dK =

f +F( )⋅dr⎡⎣ ⎤⎦ =

f⋅dr( ) +

F⋅dr( )                                                                                                                                                (2)    

Όμως  ισχύει  και  η  σχέση   dU= −

F⋅dr( ) ,  οπότε  η  (2)  γράφεται:  

 

                dK =

f ⋅dr( ) - dU    ⇒    

dU + dK =

f ⋅dr( )      

 

                dE =

f ⋅dr( )    ⇒    

dE

dt=f ⋅dr

dt⎛⎝⎜

⎞⎠⎟    ⇒    

dE

dt=f ⋅ v( )  

 

ii)   Eάν   F   είναι   η  συνισταμένη   των  συντηρητικών  δυνάμεων  που   ενεργούν  πάνω  

στο  υλικό  σημείο  και  U(r)  η  συνάρτηση  δυναμικής  ενέργειας  από  την  οποία  απορ  ρέει  η  

F ,  θα  ισχύει:  

 

               

F=-∇U(r)=-

∂U∂xi + ∂U

∂yj + ∂U

∂z

k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟                                                                                                                                                  (3)  

 

όπου   i ,   j ,   k  τα  μοναδιαία    διανύσματα  των  αξόνων  x,  y,  z.  αντιστοίχως.    Όμως  η    

U(r)  είναι  συνάρτηση  της  μορφής  U=  f(r),  οπότε  θα  έχουμε:  

             

∂U∂x

= ∂U∂r

∂r∂x

= df(r)

dr

∂∂x

x2+y2+ z2( )1/2  

 

               

∂U∂x

= df(r)

dr

1

2(r-1)2x = df(r)

dr

x

r                                                                                                                                                                        (4)  

 

Ομοίως  εργαζόμενοι  καταλήγουμε  στις  σχέσεις:  

 

               

∂U∂y

=df(r)

dr

y

r    και      

∂U∂z

=df(r)

dr

z

r                                                                                                                                                                  (5)  

 

Συνδυάζοντας  τις  σχέσεις  (3),(4)  και  (4)  παίρνουμε:  

 

               

F=-

df(r)

dr

x

r

i +

df(r)

dr

y

r

j+

df(r)

dr

z

r

k

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥      

 

               

F=-

df(r)

dr

1

r(xi+yj+zk)

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=-

df(r)

dr

r

r                                                                                                                                                      (6)  

 

Η  σχέση  (6)  εγγυάται  ότι  η  συντηρητική  δύναμη    είναι  κεντρική,  με  κέντρο  την  αρχή  Ο  ως  προς  την  οποία  λαμβάνεται  η  επιβατική  ακτίνα    του  υλικού  σημείου.  

P.M.  fysikos  

 

    Ένα   υλικό   σημείο   μάζας  m,   κινείται   στο   επίπεδο  Οxy  υπό  την   επίδραση  μιας   δύναμης  

F   η   οποία  απορρέει  από  συνάρτηση  δυνα  

μικής  ενέργειας  της  μορφής:  

 

                U(r)=kr2  

όπου  k  θετική  και  σταθερή  ποσότητα  και  r  η  απόσταση  του  υλικού  σημείου  από  την  αρχή  Ο  των  συντεταγμένων.  

 

i)  Να  δείξετε  ότι  η  δύναμη   F  είναι  κεντρική.  

 

ii)  Εάν  τη  χρονική  στιγμή  t=0  το  υλικό  σημείο  είναι  ακίνητο  στη  θέση  r=α,  να  εκφράσετε  την  κινητική  του  και  δυναμική  του  ενέργεια  σε  συνάρτηση  με  το  χρόνο.  

 

ΛΥΣΗ:  i)  Eπειδή  η  δύναμη   F  απορρέει  από  συνάρτηση  δυναμικής  ενέργειας  συνάρ  

τηση,  ισχύει  η  σχέση:  

 

               

F = -

∇U(r) = -

∂U∂xi + ∂U

∂yj + ∂U

∂z

k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟                                                                                                                                            (1)  

 

Όμως  έχουμε     U(r) = kr2 = k x2 + y2( )  από την οποία προκύπτουν:

 

               

∂U∂x

= 2kx    ,    

∂U∂y

= 2ky    ,    

∂U∂z

= 0  

 

και  η  (1)  γράφεται:  

 

                F = - 2kx

i + 2ky

j( ) = −2k

r                                                                                                                                                                                    (2)  

 

όπου    το  διάνυσμα  θέσεως  (επιβατική  ακτίνα)  του  υλικού  σημείου  ως  προς  την  αρχή  Ο.  Από  την  (2)  προκύπτει  ότι  η  δύναμη  είναι  αντίρροπη  του  διανύσματος  

r ,  

δηλαδή  είναι  κεντρική  δύναμη  με  φορά  προς  το  Ο.  

ii)  Εάν  το  υλικό  σημείο  αφεθεί  ελεύθερο  στην  θέση  r=α  θα  τεθεί  σε  κίνηση  εκ  της  ηρεμίας  κατευθυνόμενο  ευθύγραμμα  προς  το  Ο  και  σύμφωνα  με  τον  δεύτερο  νόμο  του  Νέυτωνα  θα  ισχύει:  

                m

d2r

dt2 = -2kr    ⇒    

d2r

dt2 = -2k

mr    ⇒    

d2r

dt2 + ω2r = 0                                                                                    (3)  

 

όπου   ω2   =   2k/m.   H   (3)   αποτελεί   μια   διαφορική   εξίσωση   δευτέρας   τάξεως   με  σταθερούς  συντελεστες,  η  οποία  δέχεται  λύση  της  μορφής:  

 

                r = Aηµ(ωt + ϕ)                                                                                                                                                                                                                                    (4)  

 

όπου   οι   σταθερές   Α   και   φ   θα   καθορισθούν   από   τις   αρχικές   συνθήκες.   Παραγω  γίζοντας  την  (3)  ως  προς  τον  χρόνο,  παίρνουμε  την  ταχύτητα  v  του  υλικού  σημείου,  δηλαδή  ισχύει:  

 

                v = dr

dt= Aωσυν(ωt + ϕ)                                                                                                                                                                                                (5)  

 

Oι  σχέςεις  (4)  και  (5)  δίνουν:  

 

               

α = Aηµϕ

0 = Aωσυνϕ

⎫⎬⎪

⎭⎪    ⇒    

α = Aηµϕ0 = συνϕ

⎫⎬⎪

⎭⎪    ⇒    

α = A

ϕ = π /2

⎫⎬⎪

⎭⎪  

 

Έτσι  οι  σχέσεις  αυτές  παίρνουν  την  τελική  τους  μορφή:  

 

               

r = α ηµ(ωt + π /2) = ασυνωt

v = αωσυν(ωt + π / 2) = αω ηµωt

⎫⎬⎪

⎭⎪                                                                                                                                            (6)  

 

Η  κινητική  ενέργεια  Κ  του  υλικού  σημείου  κατά  την  τυχαία  χρονική  στιγμή  t  είναι:  

 

                K = mv2

2     ⇒

(6)

   

K=m

2α2ω2ηµ2ωt= mα2

2

2k

mηµ2 2k

mt

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟      

 

               

K=kα2ηµ2 2k

mt

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟                                                                                                                                                                                                                        (7)  

 

Η  αντίστοιχη  δυναμική  ενέργεια  U  του  υλικού  σημείου  είναι:  

   

              U = kr2     ⇒(6)

    U = kα2συν2ωt = kα2συν2 2k

mt                                                                                                        (8)  

 

Παρατήρηση:    

 

Εάν   Ε   είναι   η   ολική   ενέργεια   του   υλικού   σημείου   κατά   τη   χρονική   στιγμή   t,   θα  ισχύει:  

 

                E = K + U     ⇒(7) , (8)

    E = kα2ηµ2 2k

mt + kα2συν2 2k

mt      

 

               

E = kα2 ηµ2 2k

mt + συν2 2k

mt

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= kα2  

 

δηλαδή  η  ολική  ενέργεια  είναι  ανεξάρτητη  του  χρόνου.  

 

P.M.  fysikos  

  Ένα   υλικό   σημείο   μάζας  m,   κινείται   κατά   μήκος   ενός  άξονα   x’x   και   βρίσκεται   στις   θέσεις   x1,   x2   κατά   τις   χρονικές   στιγμές   t1,   t2  

αντιστοίχως,  με  t2>t1.  Επί  του  υλικού  σημείου  ενεργεί  συντηρητική  δύναμη,  στην  οποία  αντιστοιχεί  δυναμική  ενέργεια  U(x)  για  το  υλικό  σημείο.  

 

i)  Εάν  Ε  είναι  η  ολική  ενέργεια  της  μάζας  m,  να  δείξετε  την  σχέση:  

 

               

t2 -t1 = ± m

2

dx

E-U(x)x1

x2

∫  

 

ii)  Χρησιμοποιώντας  την  παραπάνω  σχέση  να  βρείτε  την  εξίσωση  κινήσεως  

 του  υλικού  σημείου,  εάν  η  δυναμική  του  ενέργεια  είναι  της  μορφής:  

 

                U(x) = kx2 / 2  

 

όπου  k  θετική  και  σταθερή  ποσότητα.  Δίνεται  ότι  τη  χρονική  στιγμή  t=0  το  υλικό  σημείο  βρίσκεται  στη  θέση  x  =  α  και  έχει  μηδενική  ταχύτητα.  

 

ΛΥΣΗ:   i)  Eπειδή  το  υλικό  σημείο  κινείται  κατά  μήκος  του  άξονα  x’x  υπό  την  επίδ  ραση  συντηρητικής  δύναμης,  η  ολική  του  ενέργεια  παραμένει  αναλλοίωτη,  δηλαδή  ισχύει  η  σχέση:  

 

               

mv2

2+ U(x) = E    ⇒    

v2 = 2

mE - U(x)[ ]                                                                                                                                    (1)  

 

όπου   v  η  ταχύτητα  του  υλικού  σημείου  στη  θέση  που  το  εξετάζουμε.  Η  σχέση  (1)  

γράφεται:  

 

               

dx

dt⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 2

mE- U(x)[ ]    ⇒    

dx

dt= ± 2

mE - U(x)    ⇒  

 

                dt= ± m

2

dx

E - U(x)                                                                                                                                                                                                                (2)  

 

Ολοκληρώνοντας  την  (2)  μεταξύ  των  χρονικών  στιγμών  t1  και  t2  παίρνουμε  τη  σχέ  ση:  

               

t2 -t1= ± m

2

dx

E-U(x)x1

x2

∫                                                                                                                                                                                                (3)  

 

ii)  Στην  περίπτωση  που  η  δυναμική  ενέργεια  του  υλικού  σημείου  είναι  της  μορφής  

 U(x)=kx2/2  και  αυτό  τη  χρονική  στιγμή    t=0  βρίσκεται  στη  θέση  x=α  με  μηδενική  τα  χύτητα,  τότε  η  σχέση  (3)  γράφεται:  

 

               

t-0= ± m

2

dx

E-kx2 /2α

x

∫    ⇒    

t= ± m

2

dx

kα2 /2-kx2 /2α

x

∫    ⇒  

 

               

t= ± m

k

dx

α2-x2α

x

∫                                                                                                                                                                                                                            (4)  

 

όπου   x  η  μετατόπισή   του   εκ   της  αρχής  Ο   του  άξονα   x’x   κατά   την   τυχαία   χρονική  στιγμή  t,  ενώ  τέθηκε  Ε=kα2/2,  διότι  τη  χρονική  στιγμή  t=0  το  υλικό  σημείο  έχει  μόνο  δυναμική  ενέργεια  ίση  με  kα2/2.  Όμως  το  ολοκλήρωμα  του  δεύτερου  μέλους  της  (4)  είναι  ένα  τυπικό  ολοκλήρωμα  για  το  οποίο  ισχύει:  

 

               

dx

α2-x2α

x

∫ = τοξηµ x

α⎤⎦⎥ α

x

=τοξ ηµ x

α⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

-τοξ ηµ αα

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=τοξ ηµ x

α⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

-π2  

 

οπότε  η  σχέση  (4)  παίρνει  τη  μορφή:  

 

                t= ± m

kτοξ ηµ x

α⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

-π2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥    ⇒    

x= ±αηµ k

mt ± π

2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟      

 

               

ηµ k

mt ± π

2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= ± x

α    ⇒    

x = ±αηµ k

mt ± π

2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟      

 

                x=ασυν k /m t( )  

P.M.  fysikos  

 

  Χωρίς   να   χρησιμοποιήσετε   την   έννοια   της   συντηρητι  κότητας   μιας   δύναμης,   να   αποδείξετε   ότι,   ο   στροβιλισμός   της   Νευτώνειας  έλξης   ανάμεσα   σε   δύο   σημειακές   μάζες   είναι   μηδενικός   παντού   στο   πεδίο  ορισμού    της  δύναμης.  

ΛΥΣΗ:    H  βαρυτική  δύναμη   F  ανάμεσα  σε  δύο  σημειακές  μάζες  m1  και  m2  σύμφω  

να  με  τον  νόμο  της  παγκόσμιας  έλξης  του  Νεύτωνα  δίνεται  από  την  σχέση:  

 

             

F = − Gm1m2

r2

er = − Gm1m2

r2

r

r= − Gm1m2

r3

r                                                                                                          (1)  

 

όπου  G  η  παγκόσμια  σταθερά   της  βαρύτητας  και     το  μοναδιαίο   διάνυσμα     της  επιβατικής  ακτίνας    από  την  μία  προς  την  άλλη  μάζα.  Εάν  x,  y,  z  είναι  oι  συνιστώ    

                                                                         

Σχήμα  3  

σες  του  διανύσματος   r  ως  προς  ένα  τρισορθογώνιο  σύστημα  αξόνων  και  

i ,   j ,   k  

τα  μοναδιαία  διανύσματα  των  αξόνων  αυτών,  η  σχέση  (1)  γράφεται:  

               

F = − Gm1m2

r3 xi + y

j + z

k( ) = −λ x

r3

i + y

r3

j + z

r3

k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥                                                            (2)  

 

όπου  τέθηκε  λ=Gm1m2.  Ο  στροβιλισμός  της   F  στο  σύστημα  αξόνων  που  επιλέξαμε  

είναι:    

                 

 

                 

 

H  x-­‐  συνιστώσα  του  στροβιλισμού  είναι:  

 

                                                                                                                                       (3)  

 

Οι  δύο  όροι  στην  παραπάνω  σχέση  γράφονται:  

 

                                                                                                                 (4)  

και  

                                                                                                                                 (5)  

 

Όμως    από  την  σχέση    έχουμε:  

 

                         και        

 

οπότε  οι  σχέσεις  (4)  και  (5)  γράφονται:  

 

                   και                                                      (6)  

 

Η   (3)  λόγω    των   (6)  δίνει   .  Mε  ανάλογο  τρόπο  και  οι  άλλες  δύο  συνι  

στώσες  του  στροβιλισμού  θα  είναι  μηδενικές,  που  σημαίνει  ότι:  

 

                     

P.M.  fysikos