ชั้��นมั�ธยมัศึกษาปี�ที่�� 1

ระบบจำ�านวนการหา ห.ร.มั.

    1.วิ�ธี�การแยกตั�วิประกอบ        (1) แยกตั�วิประกอบของแตั�ละจำ�านวินให้�เป�นตั�วิประกอบเฉพาะ        (2) เล�อกเอาตั�วิประกอบที่� ซ้ำ�"าก�นของแตั�ละจำ�านวินมา 1 ตั�วิ แล�วิคู&ณก�นเป�น ห้.ร.ม.

    2. วิ�ธี�การตั�"งห้ารสั้�"น        (1) น�าตั�วิเลขที่� ตั�องการห้า ห้.ร.ม.     มาตั�"งห้ารสั้�"นโดยห้าตั�วิห้ารที่� เป�นจำ�านวินเฉพาะมาห้ารและสั้ามารถห้ารจำ�านวินที่,กตั�วิที่� ห้า ห้.ร.ม.

ลงตั�วิได�ที่�"งห้มด        (2) น�าตั�วิห้ารที่� ได�มาคู&ณเป�น ห้.ร.ม. ที่�"งห้มดการหา ค.ร.น.

    1. วิ�ธี�การแยกตั�วิประกอบ        (1) แยกตั�วิประกอบของแตั�ละจำ�านวินให้�เป�นตั�วิประกอบเฉพาะ        (2) เล�อกเอาตั�วิประกอบที่� ซ้ำ�"าก�นของแตั�ละจำ�านวินมา 1 ตั�วิ     พร�อมที่�"งห้าตั�วิที่� ไม�ซ้ำ�"าก�นลงมาด�วิยและน�ามาคู&ณก�นเป�น คู.ร.น.

    2. วิ�ธี�การตั�"งห้ารสั้�"น        (1) น�าตั�วิเลขที่� ตั�องการห้า คู.ร.น.     มาตั�"งห้ารสั้�"นโดยห้าตั�วิห้ารที่� เป�นจำ�านวินเฉพาะมาห้ารและสั้ามารถห้ารได�ลงตั�วิอย�างน�อย 2 ตั�วิ     ห้ร�อห้ากจำ�านวินใดที่� ไม�สั้ามารถห้ารลงตั�วิก/ให้�ด0งตั�วิเลขน�"นลงมาแล�วิห้ารจำนห้ารตั�อไปไม�ได�        (2) น�าตั�วิห้ารที่� ได�มาคู&ณก�นเป�น คู.ร.น. ที่�"งห้มดความัสั�มัพั�นธ�ของ ห.ร.มั. และ ค.ร.น.

        (1) ให้� a, b เป�นเลข 2 จำ�านวิน โดย c เป�น ห้.ร.ม. และ d เป�น คู.ร.น. ของ a,b ก/จำะได�วิ�า a x b =     c x d        (2) ห้.ร.ม. ของเศษสั้�วิน=

        (3) คู.ร.น. ของเศษสั้�วิน =

การตรวจำสัอบการหารแบบลงต�วในบางจำ�านวน    1. จำ�านวินที่� 2 ห้ารลงตั�วิจำะเป�นจำ�านวินที่� ม�ห้ล�กห้น�วิยเป�นเลขคู&�ซ้ำ0 งจำะรวิม 0 ด�วิย    2. จำ�านวินที่� 3 ห้ารลงตั�วิจำะเป�นจำ�านวินที่� น�าแตั�ละห้ล�กของเลขจำ�านวินน�"นมาบวิกเข�าด�อยก�นที่,กห้ล�ก เม� อผลบวิกออกมาเป�นตั�วิเลขที่� 3

สั้ามารถห้ารได�ลงตั�วิซ้ำ0 งน� นคู�อจำ�านวินที่� 3 สั้ามารถห้ารได�ลงตั�วิ แตั�ถ�าผลบวิกออกมาเป�นตั�วิเลขที่� 3 ไม�สั้ามารถห้ารได�ลงตั�วิก/คู�อจำ�านวินน�"นสั้ามารถที่� จำะน�า 3 มาห้ารได�ลงตั�วิ    3. จำ�านวินที่� 5 ห้ารลงตั�วิ ซ้ำ0 งจำะม�เพ�ยงจำ�านวินที่� ม�ห้ล�กห้น�วิยเป�นเลข 5, 0 เที่�าน�"น

ค%ณสัมับ�ต'ของ 0, 1    1. a + 0 = 0 + a = a    2. a x 0 = 0 x a = 0    3. a x 1 = 1 x a = a

    4. a 0 จำะไม�ม�คู�า เม� อ a 0

โดยก�าห้นดให้� a แที่นจำ�านวินใดๆค%ณสัมับ�ต'การสัล�บที่��ของการบวก, การค(ณ    1. a + b = b + a    2. a x b = b x aโดยก�าห้นดให้� a, b = จำ�านวินใดๆ

ค%ณสัมับ�ต'การเปีล��ยนกล%*มัของการบวก, การค(ณ    1. (a + b) + c = a + (b + c)    2. (b + c) x c = a x (b x c)โดยก�าห้นด a, b, c = จำ�านวินใดๆค%ณสัมับ�ต'การแจำกแจำง    1. a x (b +c) = (a x b) + (a x c)    2. (b + c) x a = (b x a) + (c x a)โดยก�าห้นดให้� a, b, c = จำ�านวินใดๆ

ข+อสั�งเกตในการบวกและค(ณจำ�านวนเลขค(*และเลขค��    1. จำ�านวินคู&� + จำ�านวินคู&� = จำ�านวินคู&�    2. จำ�านวินคู� + จำ�านวินคู� = จำ�านวินคู&�    3. จำ�านวินคู� + จำ�านวินคู&� = จำ�านวินคู�     4. จำ�านวินคู&� + จำ�านวินคู&� = จำ�านวินคู�     5. จำ�านวินคู&� x จำ�านวินคู&� = จำ�านวินคู&�    6. จำ�านวินคู� x จำ�านวินคู� = จำ�านวินคู�     7. จำ�านวินคู� x จำ�านวินคู&� = จำ�านวินคู&�    8. จำ�านวินคู&� x จำ�านวินคู� = จำ�านวินคู&�การหาผลบวกของจำ�านวนเต-มั    1. การห้าผลบวิกของจำ�านวินเตั/มลบจำะได� (-) + (-) = (-)

    2. การห้าผลบวิกระห้วิ�างจำ�านวินเตั/มจำะได�          2.1 ถ�า |(+)| > |(-)| (+) + (-)= |(+)| - |(-)| = (+)

        2.2 ถ�า |(+)| < |(-)| (+) +(-)= |(+)| - |(-)| = (-)การหาผลลบของจำ�านวนเต-มั    สั้&ตัร = ตั�วิตั�"ง ตั�วิลบ – = ตั�วิตั�"ง + จำ�านวินตัรงข�ามของตั�วิลบห้มายเห้ตั, จำ�านวินตัรงข�ามของ a เข�ยนด�วิย –a

จำ�านวินตัรงข�ามของ –a เข�ยนแที่นด�วิย –(-a)

การหาผลค(ณของจำ�านวนเต-มั    1. การผลคู&ณของจำ�านวินเตั/มบวิกจำะได� (+) x (+) = (+)

    2. การผลคู&ณของจำ�านวินเตั/มลบจำะได� (-) x (-) = (+)

    3.การผลคู&ณของจำ�านวินเตั/มบวิกและจำ�านวินเตั/มลบจำะได� (+) x (-) = (-)

    4.การห้าผลคู&ณของจำ�านวินเตั/มลบและจำ�านวินเตั/มบวิกจำะได� (-) x (+) = (-)

การหาผลหารของจำ�านวนเต-มั    สั้&ตัร ตั�วิตั�"ง ตั�วิห้าร    1. การผลห้ารของจำ�านวินเตั/มบวิก(+) (+) = (+)    2. การห้าผลห้ารของจำ�านวินเตั/มลบ(-) (-) = (+)    3. การผลห้ารระห้วิ�างจำ�านวินตั/มบวิกและจำ�านวินเตั/มลบ(+) (-) = (-)    4. การห้าผลห้ารระห้วิ�างจำ�านวินเตั/มลบและจำ�านวินเตั/มบวิก(+) (-) = (-)

ค%ณสัมับ�ต'ของจำ�านวนจำร'ง    1. คู,ณสั้มบ�ตั�ป5ดของการบวิกa + b เป�นจำ�านวินจำร�ง    2. คู,ณสั้มบ�ตั�ของการคู&ณa x b เป�นจำ�านวินจำร�ง    3. คู,ณสั้มบ�ตั�การเปล� ยนกล,�มได�ของการบวิก(a + b) + c = a + (b + c)    4. คู,ณสั้มบ�ตั�การเปล� ยนกล,�มได�ของการคู&ณ(a +b) x c = a x (b x c)    5. คู,ณสั้มบ�ตั�การสั้ล�บที่� ของการบวิกa + b = b + a     6. คู,ณสั้มบ�ตั�การสั้ล�บที่� ของการคู&ณa x b = b x a   7. เอกล�กษณ6การบวิก     เอกล�กษณ6ของการบวิก คู�อ 0 0 + a = a = a + 0   8. เอกล�กษณ6การคู&ณ    เอกล�กษณ6ของการคู&ณ คู�อ 11 x a = a = a x 1   9. อ�นเวิอร6สั้การบวิก    อ�นเวิอร6สั้การบวิกของ a ได�แก� –a(-a) + a = 0 = a + (-a)   10. อ�นเวิอร6สั้การคู&ณ

อ�นเวิอร6สั้ของการคู&ณของของ a คู�อ [a 0] x a = 1 = a x

   11. คู,ณสั้มบ�ตั�การแจำกแจำงa x ( b+ c) = (a x b) + (a x c)

 

ค%ณสัมับ�ต'ของเลขยกก�าล�ง    1. an = a x a x a x … x a (n ตั�วิ)[เม� อ n เป�นจำ�านวินเตั/มบวิก]

    2. a-n = 1 an [a 0]

    3. a0 = 1 [a 0]    4. am x an = am+n [ฐานเห้ม�อนก�นคู&ณก�นน�าก�าล�งบวิกก�น]

    5. am an = am-n [ฐานเห้ม�อนก�น ห้ารก�นน�าก�าล�งลบก�น]

    6. (am)n = am x n [ก�าล�งซ้ำ�อนก�นน�าก�าล�งไปคู&ณก�น]

    7. (a x b)n = an x bn [ก�าล�งซ้ำ�อนก�นน�าก�าล�งไปคู&ณก�น]

    8. [ ]n = an bn , b 0 [ก�าล�งซ้ำ�อนก�นน�าก�าล�งไปคู&ณก�น]

    9. (a b)m am bm

    10. an / m = ( )n

    11. = x [a > 0, b > 0]

 

การบวก,ลบ,ค(ณ,หารของเศึษสั*วน      หล�กการ     ที่�าตั�วิสั้�วินของเศษสั้�วินให้�เที่�าก�น แล�วิน�าตั�วิเศษมาบวิกห้ร�อลบก�น กล�าวิคู�อ ถ�า และ แที่นเศษสั้�วินใดๆจำะได�วิ�า    เศษสั้�วิน

    วิ�ธี�ที่� 1 เปล� ยนเศษสั้�วินจำ�านวินคูละให้�เป�นเศษสั้�วินเก�น

                            วิ�ธี�ที่� 2 ใช้�สั้มบ�ตั�การสั้ล�บที่� และสั้มบ�ตั�การเปล� ยนกล,�ม ซ้ำ0 งเป�นวิ�ธี�ที่ � น�ยมใช้ �เม� อ เศษสั้�วิน เป�นจำ�านวิน  ที่� ม��คู�ามาก

    ห้มายเห้ตั, การบวิกและการลบเศษสั้�วินอาจำที่�าได�โดยใช้�วิ�ธี�ล�ด     ตั�วิอย�าง คู.ร.น. ของ 3, 12 และ 20 เที่�าก�บ 60

    การคู&ณและการห้ารเศษสั้�วิน 

   

ค%ณสัมับ�ต'ของอ�ตราสั*วน    1. a : b = c : d เม� อ ad = bc

    2. a : b = c : d เม� อ

    3. a : b = c : d เม� อ

    4. a : b = c : d เม� อ

    5. a : b = c : d เม� อ     6. a : b = c : d เม� อ b : a = d : c

    7. a : b และ b : c จำะได� a : b : c

ชั้��นมั�ธยมัศึกษาปี�ที่�� 2 ที่ศึน'ยมั     ที่ศน�ยมแบ�งเป�น 2 ช้น�ด คู�อ     1. ที่ศน�ยมซ้ำ�"า ม� 2 ประเภที่ - ที่ศน�ยมร& �จำบ คู�อ ที่ศน�ยมที่� ซ้ำ�"าศ,นย6 - ที่ศน�ยมไม�ร& �จำบ คู�อ ที่ศน�ยมที่� ซ้ำ�"าก�นเป�นระบบ     2. ที่ศน�ยมไม�ซ้ำ�"า เป�นที่ศน�ยมที่� ไม�ซ้ำ�"าก�น ไม�เป�นระบบ สั(ตรการเปล� ยนที่ศน�ยมซ้ำ�"าแบบไม�ร& �จำบให้�เป�นสั้�วิน

     n = จำ�านวินของตั�วิเลขที่ศน�ยมไม�ซ้ำ�"า

ร+อยละ     ร�อยละ คู�อ เศษสั้�วินที่� ม�สั้�วินเป�น 100 ม�คู,ณสั้มบ�ตั�     1. ก�าไร a% ห้มายคูวิามวิ�า ที่,น 100 บาที่ ก�าไร a บาที่     2. ขาดที่,น a% ห้มายคูวิามวิ�า ที่,น 100 บาที่ ขาดที่,น a บาที่     3. ลดราคูา a% ห้มายคูวิามวิ�า สั้�นคู�าราคูา 100 บาที่ ลดราคูา a บาที่

สัามัเหล��ยมัและความัเที่*าก�นที่%กปีระการ

      น'ยามัของความัเที่*าก�นที่%กปีระการ     1. ร&ปสั้องร&ปเที่�าก�นที่,กประการเม� อร&ปห้น0 งที่�บอ�กร&ปห้น0 งได�สั้น�ที่พอด�     2. สั้�วินของเสั้�นตัรงสั้องเสั้�นจำะเที่�าก�นที่,กประการ เม� อสั้�วินของเสั้�นตัรงน�"นยาวิเที่�าก�น     3. ม,มสั้องม,มจำะเที่�าก�นที่,กประการ เม� อม,มที่�"งสั้องม,มม�ขนาดเที่�าก�น คูวิามเที่�าก�นที่,กประการของร&ปสั้ามเห้ล� ยม น�ยาม ร&ปสั้ามเห้ล� ยม ABC คู�อ ร&ปที่� ประกอบด�วิยสั้�วินของเสั้�นตัรงสั้ามเสั้�น , และ เช้� อมตั�อจำ,ด A,B และ C  วิ�าจำ,ดยอดม,มของร&ปสั้ามเห้ล� ยม ABC ร&ปสั้ามเห้ล� ยมสั้องร&ปเที่�าก�นที่,กประการเม� อด�านและม,มของร&ปสั้ามเห้ล� ยมที่�"งสั้องม�ขนาดเที่�าก�นเป�นคู&�ๆ  คูวิามสั้�มพ�นธี6ของสั้ามเห้ล� ยมในร&ปแบบตั�างๆ     1. คูวิามสั้�มพ�นธี6ของสั้ามเห้ล� ยมในแบบด�าน-ม,ม-ด�าน(ด.ม.ด.)

 น�ยาม ถ�าร&สั้ามเห้ล� ยมสั้องร&ปใดๆ ม�ด�านยาวิเที่�าก�นสั้องคู&�และขนาดของม,มในระห้วิ�างด�านคู&�ที่� ยาวิเที่�าก�น  เที่�าก�นแล�วิ ร&ปสั้ามเห้ล� ยมสั้องร&ปน�"นจำะเที่�าก�นที่,กประการ     2. คูวิามสั้�มพ�นธี6ของสั้ามเห้ล� ยมในแบบม,ม-ด�าน-ม,ม(ม.ด.ม.)

 น�ยาม ถ�าร&ปสั้ามเห้ล� ยมสั้องร&ปใดๆ ม�ม,มที่� ม�ขนาดเที่�าก�นสั้องคู&�  และด�านซ้ำ0 งเป�นแขนร�วิมของม,มที่�"งสั้องที่� ม�ขนาดเที่�าก�น ยาวิเที่�าก�นด�วิยแล�วิ  ร&ปสั้ามเห้ล� ยมสั้องน�"นจำะเที่�าก�นที่,กประการ     3. คูวิามสั้�มพ�นธี6ของสั้ามเห้ล� ยมในแบบด�าน-ด�าน-ด�าน(ด.ด.ด.)

 น'ยามั ถ�าร&ปสั้ามเห้ล� ยมสั้องร&ปใดๆ ม�ด�านยาวิเที่�าก�นสั้ามคู&�แล�วิ ร&ปสั้ามเห้ล� ยมน�"นจำะเที่�าก�นที่,กประการ

เสั+นขนาน

     น'ยามั เสั้�นตัรงสั้องเสั้�นที่� บนระนาบเด�ยวิก�นขนานก�นเม� อเสั้�นที่�"งสั้องน�"ไม�ตั�ดก�น ห้ล�กการง�ายที่� ใช้�พ�จำารณาวิ�าเสั้�นตัรงสั้องเสั้�นขนานก�นห้ร�อไม�     1. ถ�าเสั้�นตัรงสั้องเสั้�นขนานก�นและม�เสั้�นตั�ดแล�วิขนาดของม,มภายในที่� อย&�บนข�างเด�ยวิก�นของเสั้�นตั�ดรวิมก�นเป�น 180 องศา     2. ถ�าเสั้�นตัรงเสั้�นห้น0 งตั�ดเสั้�นตัรงคู&�ห้น0 ง ที่�าให้�ขนาดของม,มภายในที่� อย&�บนข�างเด�ยวิก�นของเสั้�นตั�ดรวิมก�นเป�น 180 องศาแล�วิ เสั้�นตัรงคู&�น�"จำะขนานก�น

     ความัสั�มัพั�นธ�ระหว*างเสั+นขนานและมั%มัแย+ง     1 . ถ�าเสั้�นตัรงสั้องเสั้�นขนานก�นและม�เสั้�นตั�ดแล�วิม,มแย�งจำะม�ขนาดเที่�าก�น     2 . เสั้�นตัรงเสั้�นห้น0 งตั�ดเสั้�นตัรงคู&�ห้น0 ง ถ�าม,มแย�งที่� เก�ดข0"นม�ขนาดเที่�าก�นแล�วิเสั้�นตัรงคู&�น� "นจำะขนานก�น     ร(ปีสัามัเหล��ยมัและเสั+นขนาน  คู,ณสั้มบ�ตั�ของร&ปสั้ามเห้ล� ยม      1. ขนาดของม,มที่�"งสั้ามของร&ปสั้ามเห้ล� ยมใดๆรวิมก�นได� 180 องศา     2. ถ�าตั�อด�านใดด�านห้น0 งของร&ปสั้ามเห้ล� ยมออกไปม,มภายนอกที่� เก�ดข0"นจำะม�ขนาดเที่�าก�บผลบวิกของขนาดของม,มภายในที่� ไม�ใช้�ม,มประกอบของม,มภายนอกน�"น     3. ถ�าร&ปสั้ามเห้ล� ยมสั้องร&ปม�ขนาดของม,มเที่�าก�นสั้องคู&�และม�ด�านที่� อย&�ตัรงข�ามก�นม,มที่� ม�ขนาดเที่�าก�นยาวิเที่�าก�นคู&�ห้น0 งแล�วิ ร&ปสั้ามเห้ล� ยมสั้องร&ปน�"จำะเที่�าก�นที่,กประการ  สั้ามเห้ล� ยมสั้องร&ปที่� เกล�าวิม�คูวิามสั้�มพ�นธี6แบบม,ม-ม,ม-ด�าน(ม.ม.ด.)

     4. สั้ามเห้ล� ยมสั้องร&ปที่� ม�คูวิามสั้�มพ�นธี6แบบม,ม-ม,ม-ด�านด�วิย

ชั้��นมั�ธยมัศึกษาปี�ที่�� 3

พัห%นามั      เอกนามั คู�อ น�พจำน6ที่� สั้ามารถเข�ยนให้�อย&�ในร&ปการคู&ณของคู�าคูงตั�วิก�บตั�วิแปรตั�"งแตั�ห้น0 งตั�วิข0"นไป  โดยที่� เลขช้�"ก�าล�งของตั�วิแปรแตั�ละตั�วิเป�นศ&นย6ห้ร�อจำ�านวินเตั/มบวิก      พัห%นามั คู�อ น�พจำน6สั้ามารถเข�ยนในร&ปเอกนามห้ร�อสั้ามารถเข�ยนในร&ปการบวิกของเอกนามตั�"งแตั�สั้องเอกนามข0"นไป      การแยกต�วปีระกอบของพัห%นามั การแยกต�วปีระกอบของพัห%นามั คู�อ การเข�ยนพห้,นามน�"นในร&ปของการคู&ณของพห้,นามที่� ม�ด�กร�ตั� ากวิ�า พห้,นามด�กร�สั้องตั�วิแปรเด�ยวิ คู�อ พห้,นามที่� เข�ยนได�ในร&ป ax2 + bx +c เม� อ a, b, c เป�นคู�าคูงตั�วิที่� a 0 และ x  เป�นตั�วิแปร     การแยกต�วปีระกอบของพัห%นามัดี�กร�สัอง x2+ bx + c เม� อ b และ c เป�นจำ�านวินเตั/ม ที่�าได�เม� อสั้ามารถห้าจำ�านวินเตั/มสั้องจำ�านวินที่� คู&ณก�นได� c และ  บวิกก�นได�  b ให้� d และ e แที่นจำ�านวินเตั/มสั้องจำ�านวินด�งกล�าวิ ด�งน�"น de = c d + e = b ฉะน�"น x2 + bx + c = x2 + (d + e)x + de = ( x2 + dx ) + ( ex + de ) = ( x + d )x + ( x + d )e = ( x + d ) ( x + e ) ด�งน�"น x2 + bx +c แยกตั�วิประกอบได�เป�น ( x + d ) ( x + e )

 ต�วอย*าง (6x-5) (x+1) = (6x-5) (x) + (6x-5) (1) = 6x2 – 5x + 6x – 5 = 6x2 + (5x+6x) – 5 = 6x2 -5x +6x -5 = 6x2 + x – 5 จำากตั�วิอย�างข�างตั�น อาจำแสั้ดงวิ�ธี�ห้าพห้,นามที่� เป�นผลล�พธี6ได�ด�งน�" 1. (6x – 5)(x + 1) = 6x2

 - พจำน6ห้น�าของพห้,นามวิงเล/บแรก x พจำน6ห้น�าของพห้,นามวิงเล/บห้ล�ง = พจำน6ห้น�าของพห้,นามของผลล�พธี6 2. (6x - 5)(x + 1) = -5 -พจำน6ห้ล�งของพห้,นามวิงเล/บแรก x พจำน6ห้ล�งของพห้,นามวิงเล/บห้ล�ง = พจำน6ห้ล�งของพห้,นามของผลล�พธี6 3. (6x – 5)(x + 1) = 6x + (-5x ) - พจำน6ห้น�าของพห้,นามวิงเล/บแรก x พจำน6ห้ล�งของพห้,นามวิงเล/บห้ล�ง + พจำน6ห้น�าของพห้,นามวิงเล/บแรก x  พจำน6ห้น�าของพห้,นามวิงเล/บห้ล�ง     พัจำน�กลางของพัห%นามัที่��เปี/นผลล�พัธ� การแยกตั�วิประกอบของพห้,นามด�กร�สั้องที่� เป�นก�าล�งสั้องสั้มบ&รณ6 ก�าล�งสั้องสั้มบ&รณ6 คู�อ พห้,นามด�กร�สั้องที่� แยกตั�วิประกอบแล�วิได�ตั�วิประกอบเป�นพห้,นามด�กร�ห้น0 งซ้ำ�"าก�น ด�งน�"น พห้,นามด�กร�สั้องที่� เป�นก�าล�งสั้องสั้มบ&รณ6แยกตั�วิประกอบได�ด�งน�" x2 + 2ax + a2 = ( x + a )2

 x2 – 2ax + a2 = ( x – a )2

 ร&ปที่� วิไปของพห้,นามที่� เป�นก�าล�งสั้องสั้มบ&รณ6คู�อ a2 +2ab + b2 และ a2 -2ab +b2 เม� อ a และ b  เป�นพห้,นาม  แยกตั�วิประกอบได�ด�งน�"  สั(ตร a2 +2ab + b2 = ( a + b )2

 a2 -2ab +b2 = (a-b)2

      การแยกต�วปีระกอบของพัห%นามัดี�กร�สัองที่��เปี/นผลต*างของก�าล�งสัอง พห้,นามด�กร�สั้องที่� สั้ามารถเข�ยนได�ในร&ป x2 – a2 เม� อ a เป�นจำ�านวินจำร�งบวิกเร�ยกวิ�า ผลตั�างของก�าล�งสั้อง จำาก x2 – a2 สั้ามารถแยกตั�วิประกอบได�ด�งน�" x2 – a2 = ( x + a ) ( x – a )

 สั(ตร x2 – a2 = ( x + a ) (x-a)     

 การแยกต�วปีระกอบของพัห%นามัดี�กร�สัองโดียว'ธ�ที่�าเปี/นก�าล�งสัองสัมับ(รณ�   การแยกตั�วิประกอบของพห้,นามด�กร�สั้อง x2 + bx + c โดยวิ�ธี�ที่�าเป�นก�าล�งสั้องสั้มบ&รณ6 สั้ร,ปได�คู�อ 1. จำ�ดพห้,นามที่� ก�าห้นดให้�อย&�ในร&ป x2 + 2px +c ห้ร�อ x2 -2px +c เม� อ p เป�นจำ�านวินจำร�งบวิก 2. ที่�าบางสั้�วินของพห้,นามที่� จำ�ดไวิ�ในข�อ 1 ให้�อย&�ในร&ปก�าล�งสั้องสั้มบ&รณ6 โดยน�าก�าล�งสั้องของ p  บวิกเข�าและลบออกด�งน�" x2 + 2px +c = ( x2 + 2px + p2 ) – p2 + c = ( x + p)2 – ( p2 - c ) x2 – 2px + c = ( x2 - 2px + p2 ) – p2 + c = ( x - p)2 – ( p2 - c ) 3. ถ�า p2 – c = d2 เม� อ d เป�นจำ�านวินจำร�งบวิกจำากข�อ 2 จำะได� x2 + 2px + c = ( x + p)2 – d2

 x2 - 2px + c = ( x - p)2 – d2

 4. แยกตั�วิประกอบของ ( x + p )2 – d2 ห้ร�อ ( x – p )2 – d2 โดยใช้�สั้&ตัรการแยกตั�วิประกอบของผลตั�างของก�าล�งสั้อง การแยกตั�วิประกอบของพห้,นามด�กร�สั้&งกวิ�าสั้องที่� ม�สั้�มประสั้�ที่ธี�:เป�นจำ�านวินเตั/ม พห้,นามที่� อย&�ในร&ป A3 + B3 และ A3 - B3 วิ�าผลบวิกของก�าล�งสั้าม ตัามล�าด�บ สั(ตร A3 + B3 = ( A + B )( A2 –AB + B2)  A3 - B3 = ( A - B )( A2 +AB + B2)

  สัมัการก�าล�งสัอง เราสั้ามารถห้าคู�าตัอบของสั้มการ ax2 + bx + c = 0

 ได�จำากสั้&ตัร x = เม� อ a, b, c เป�นคู�าคูงตั�วิ a 0 และ b2 – 4ac 0

 สั้มการก�าล�งสั้อง ax2 + bx + c = 0 เม� อ a, b, c เป�นคู�าคูงตั�วิ a 0 และ b2 – 4ac < 0  ไม�ม�จำ�านวินจำร�งเป�นคู�าตัอบ ข�"นตัอนในการห้าคู�าตัอบป;ญห้าโดยใช้�สั้มการ 1. อ�านป;ญห้า 2. สั้มม,ตั�ตั�วิแปรห้น0 งตั�วิ แที่นจำ�านวินที่� ตั�องการที่ราบคู�า 3. ห้าสั้มการที่� แสั้ดงคูวิามเก� ยวิข�องของตั�วิแปรก�บจำ�านวินอ� นๆ ที่� ที่ราบคู�า 4. แก�สั้มการ 5. ใช้�คู�าตัอบของสั้มการห้าคู�าตัอบของป;ญห้า 6. ตัรวิจำคู�าตัอบ

ความัน*าจำะเปี/น      การที่ดีลองสั%*มั คู�อ การกระที่�าที่� เราที่ราบวิ�าผลที่�"งห้มดที่� อาจำจำะเก�ดข0"นม�อะไรบ�าง  แตั�ไม�สั้ามารถบอกอย�างถ&กตั�องแน�นอนวิ�าจำะเก�ดผลอะไรจำากผลที่�"งห้มดที่� เป�นไป ได�เห้ล�าน�"น จำากการที่ดลองสั้,�มและเราสั้ามารถเข�ยนที่�"งห้มดที่� อาจำเก�ดข0"นจำากการที่ดลองสั้,�มได�  โดยอาจำใช้�แผนภาพช้�วิย แซ้ำมเป5ลสั้เปซ้ำ คู�อ กล,�มของผลล�พธี6ที่� อาจำเป�นไปได�ที่�"งห้มดจำากการที่ดลองสั้,�ม คูวิามน�าจำะเป�นที่างปฏิ�บ�ตั�

 =  - คูวิามน�าจำะเป�นของเห้ตั,การณ6ใดๆ จำะเป�นจำ�านวินใดจำ�านวินห้น0 งตั�"งแตั� 0 ถ0ง 1

 สัถิ'ต' ในเร� องสั้ถ�ตั�น�"ประกอบไปด�วิย 1.ตารางแจำกแจำงความัถิ�� จำะประกอบด�วิย      1. อ�นตรภาคชั้��น คู�อ ช้�วิงของตั�วิเลขที่� แบ�งเป�นช้�"นๆในตัารางแจำกแจำงคูวิามถ�       2. ข+อมั(ลดี'บ คู�อ ข�อม&ลที่� ได�มาจำากแห้ล�งข�อม&ลโดยตัรง      3. คูวิามถ� คู�อ จำ�านวินของข�อม&ลด�บในแตั�ละช้�วิงของอ�นตัรภาคูช้�"น ความัร(+ในการสัร+างตารางแจำกแจำงความัถิ�� 1. ในการสั้ร�างตัารางแจำกแจำงคูวิามถ� จำ�านวินอ�นตัรภาคูช้�"นที่� น�ยมใช้�ก�นคู�อ 5 ถ0ง 15  อ�นตัรภาคูช้�"นตัามคูวิามมากน�อยของข�อม&ล 2. ในการสั้ร�างตัารางแจำกแจำงคูวิามถ� คูวิามกวิ�างของอ�นตัรภาคูช้�"นไม�จำ�าเป�นตั�องเที่�าก�นที่,กช้�"น 3. ในกรณ�ที่� ม�คูะแนนด�บเป�นจำ�านวินมากๆ  ถ�าคู�าที่� น�อยที่� สั้,ดและคู�าที่� มากที่� สั้,ดของอ�นตัรภาคูช้�"นเป�นคู�าที่� สั้�งเกตัได�ง�าย  การบ�นที่0กกร�อยคูะแนนจำะสั้ะดวิกข0"น 2.ขอบล*าง = คู�าที่� น�อยที่� สั้,ดของอ�นตัรภาคูช้�"นน�"น + คู�าที่� มากที่� สั้,ดของอ�นตัรภาคูช้�"นที่� ตั� ากวิ�าห้น0 งช้�"น/2

 3.ขอบบน = คู�าที่� มากที่� สั้,ดของอ�นตัรภาคูช้�"นน�"น + คู�าที่� น�อยที่� สั้,ดของอ�นตัรภาคูช้�"นที่� สั้&งกวิ�าห้น0 งช้�"น/2

 4. ความักว+างของอ�นตรภาคชั้��น = ขอบล�าง ขอบบน–

 5. จำ%ดีก�งกลางชั้��น=

 ห้ร�อ จำ,ดก0 งกลางช้�"น = คู�าที่� น�อยที่� สั้,ดของอ�นตัรภาคูช้�"น + คู�าที่� มากที่� สั้,ดของอ�นตัรภาคูช้�"น/2

 6. ค*ากลางของข+อมั(ล  ค*ากลางของข+อมั(ล คู�อ คู�าที่� สั้ามารถน�ามาแที่นข�อม&ลกล,�มน�"นๆ เพ� อที่� จำะใช้�ในการวิ�เคูราะห้6ข�อม&ลน�"นๆได� คู�ากลางของข�อม&ล สั้ามารถแบ�งออกได�เป�น 3 ช้น�ดให้ญ�ๆ ได�แก�  1. ค*าเฉล��ยเลขคณ'ต ได�จำากการห้ารผลบวิกของข�อม&ลที่�"งห้มดด�วิยจำ�านวินข�อม&ล 2. ฐานน'ยมั คู�อ ข�อม&ลที่� ม�คูวิามถ� สั้&งสั้,ดในข�อม&ลน�"น 3. มั�ธยมัฐาน คู�อ คู�าที่� อย&�ก0 งกลางของข�อม&ลที่�"งห้มดซ้ำ0 งเม� อเร�ยงข�อม&ลช้,ดน�"นจำากน�อยไปมาก  ห้ร�อจำากมาไปน�อยแล�วิ ข�อม&ลที่� มากกวิ�าคู�าน�"น