池袋数学勉強会 対馬龍司 線形代数学講義 3章章末問題解説
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初心者のための線形代数学入門
第3章 章末問題@gm3d2
Apr. 25 2015池袋バイナリ勉強会会場
3.1 (1)-1● n × nに一般化して数学的帰納法
● nまでは成り立つとして、n+1を証明
3.1 (1)-2
第一列で余因子展開
第一行で余因子展開
3.1 (1)-3
3.1 (2)-1● ある行のスカラー倍を別の行に加えてもよい● 1, 2, ... n-1 行をn行(最下行)に加える
最下行のスカラー倍をくくり出す
3.1 (2)-2● 第一列を次の二つの列ベクトルの和に分けて計
算する
3.1 (2)-3a1をくくり出せば(1, 1, ... 1)で同じ行を二つ含むので0
Xとおく
サイズn-1でXと同じ形 サイズn-2で同じ形
3.2 (1)
上半分の行を一行ずつ下半分に加える
右半分の列を一行ずつ-1倍して左半分に加える
定理3.1.18
3.2 (2)
上半分の行を一行ずつi倍して下半分に加える
右半分の列を一行ずつ-i倍して左半分に加える
定理3.1.18
3.3 (1)
定理3.1.18
3.3 (2)
(1)
3.4
3.5● 曲線 を決めるという
こと→ を決めるということ● がこの曲線を通る
● aiを未知数とする方程式と見る
3.5 -2
Vandermondeの行列式→差積!
異なるi, jに対するxは違う値を取るので、この行列式は0ではない→行列は正則で、係数aについて方程式を解くことができる。
3.6 (1)
移項してnをn+1と書き換え
3.1 (1)と同じやりかた
3.6 (2)
3.6 (3)
3.6 (4)
k = 0, n+1は分母も0となるので不適
3.7● 教科書の解答(243p)の通り
3.8
3.9
両辺の行列式を取ると右辺が問題の行列式で左辺は差積の2乗
3.10● 任意のxiとxjを等しいとおくと第i列と第j列が等
しくなり、行列式は0となる
→因数定理より
● に含まれるxiの次数 = n-1● 左辺もxiについてn-1次 ... f()は定数c● xn^(n-1)の係数を両辺で調べると c=1とわかる
3.11-0● 左辺の行列は(おそらく)以下が正しい
(以下そうであると仮定して計算する)
3.11-1● Aも右の行列に合わせてブロックに分ける
3.11-2● 左上のブロック
余因子展開の形定理3.2.1 (80p)
3.11-3● 右上のブロック
● 右下のブロック
3.11-4● 左下のブロック
● あとはテキストの解答通り
定理3.2.1(p80)で i≠kの場合
3.12● 以下の式をまず数学的帰納法で示す
● n = 2: 積の微分そのもの● n = k まで成立したとして、n = k+1では
3.12 -2● あとは行列式の定義(3.3式)をにらんで、行列
の各成分がxの関数であることに注意して全体を微分すればよい